Instabilità Barocline

Baroclinic instability is associated with vertical shear of the mean flow. Baroclinic instabilities grow by converting potential energy associated with the mean horizontal temperature gradient (Holton 1992).

In this pair of sketches, the middle latitude westerly wind flow is shown in two different states. On the left is the typical wind regime under conditions of baroclinic stability, when the imbalance of energy between tropics and polar regions is not excessively large. While there always an equator to pole temperature gradient which (based on laws of wind dynamics on a rotating planet) leads to mid-latitude westerlies, the westerly wind currents have no great need to transport excess energy in this state of relative stability. Since westerly wind flow parallel to latitude circles will not transport much energy poleward, the atmosphere in a baroclinically stable state will continue to build up the equator to pole temperature gradient under the influence of excess net radiational heating in the tropics.

When the temperature gradient reaches an excessively large value, the atmosphere becomes baroclinically unstable and the wind currents respond by developing poleward energy transporting modes of flow. As seen in the sketch on the right, this is accomplished by the development of large meanders in the westerly flow, and cut-off pressure centers, which provide pathways for warm and cold air pools to move across latitudes, thus achieving the required energy transports.

ρ2 =ρ1+Δρρ1

Il concetto di instabilità baroclina si colloca nell'ambito più generale della problematica associata allo studio della stabilità dei sistemi dinamici. In questo caso il sistema dinamico a cui siamo interessati è, ancora una volta, l'oceano o l'atmosfera. In particolare, questa volta, ci vogliamo occupare della stabilità dei flussi associati alla presenza di interfacce inclinate rispetto alla superficie geopotenziale, le quali separano masse d'acqua con diversa densità

In una situazione di questo tipo esiste una certa quantità di energia potenziale disponibile a trasformarsi in energia cinetica e potenziale della perturbazione secondo un processo chiamato, appunto, di instabilità baroclina. Diremo di "instabilità baroclina" una situazione in cui l'instabilità trae l'energia potenziale disponibile dalla inclinazione dell'interfaccia che separa i due fluidi e non dall'energia

cinetica del movimento delle due masse l'una rispetto all'altra.

€

d

dt

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ψ − f

∂w

∂z= 0

€

ζ =∇2ψ

€

u = −∂ψ ∂y

€

υ =−∂ψ ∂x

€

∂ζ∂t

+r u ⋅

r ∇( )ζ − f

∂w

∂z= 0

Se pensiamo ad un flusso base zonale con meandri in corrispondenza dei massimi (o minimi) locali del fronte l'avvezione di vorticità è zero. Allora, in questi casi, tenendo presente che

zwuH ∂∂−=⋅∇rr (17.3)

la (17.2) diventa

uft Hrr⋅∇−=∂∂ζ (17.4)

Dunque, se la vorticità cresce nel tempo (situazione instabile) ci si trova in presenza di una divergenza o convergenza orizzontale di velocità ovvero la presenza del termine 0≠⋅∇uHrr

implica che si trovi in una situazione di circolazione ciclonica o anticiclonica. Il problema matematico associato ci permetterà di stabilire se queste celle di circolazione (eventuali nuclei di instabilità) cresceranno nel tempo o tenderanno a distruggersi.

Figura 35

Asse x

Asse z

y

z

x

U0

€

u(z ) = −∂Ψ

∂y= U0

z + H

H

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

ψ(x,y,z ,t) = Ψ(y,z )+φ(x,y,z ,t)

Sovrapponiamo a questo flusso base (y,z) una perturbazione (x,y,z,t), dove rappresenta una piccola perturbazione che si inserisce sullo stato base imperturbato

€

∂∂t

+U0

z + H

H

∂

∂x

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥∂ 2

∂x2+

∂ 2

∂y2+

f 2

N 2

∂ 2

∂z 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟φ = 0

equazione di conservazione delle vorticità potenziale

€

φ(x,y,z ,t) = Re F(x,y)e ik (x −ct )[ ]

€

c = cr + ici

€

ik uz + H

H− c

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥∂ 2

∂y2+

f 2

N 2

∂ 2

∂z 2− k2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟F = 0

€

∂ 2

∂y2+

f 2

N 2

∂ 2

∂z 2− k2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟F = 0

Le condizioni al contorno impongono che v=0 per y=0,l ovvero

€

∂φ

∂x= 0 y=0,l (17.11)

inoltre sul fondo e in superficie la velocità verticale deve annullarsi cioè w=0 per z=0 e z=-H che in termini di si scri ve (tieni p resente che è possibile dimostrare che la prima le gge della

termodinamica si riesce a scrive in termini di come

€

d

dt

∂ψ

∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+

N 2

fw = 0

€

d

dt

∂ ψ

∂ z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0 z=0,-H

cioè

€

∂

∂ t+ u

∂

∂ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟∂ φ

∂ z−

∂ φ

∂ x

∂ u

∂ z= 0 z=0,-H (17.12)

€

F(y,z ) = A(z )sin(lny)

€

ln = (n +1

2)π

€

∂ 2A

∂z 2− μ 2A = 0

€

μ 2 =N 2

f 2(k2 + ln

2 )

€

A(z ) = a cosh(μz )+ b sinh(μz )

€

U0 − c( )∂A

∂z−

U

HA = 0

€

−c∂A

∂z−

U0

HA = 0

€

−aU0

H+(U0 − c)μb = 0

a ck sinh(μb)−U0

Hcosh(μb)

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ b −ck cosh(μH )+

U0

Hsinh(μH )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= 0

Affinché questo sistema abbia soluzione diversa da quella banale si deve annullare il determinante.

€

c 2 − cU0 +U0

μHcoth(μH) −

Uo2

μ 2H 2= 0

€

c =U0

2±

2U0

μH

μH

2− tanh

μH

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟μH

2− coth

μH

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1

2

poiché vale sempre

segue

€

tanh x < x

€

μH

2< coth

μH

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

17.17

allora il valore critico per μ (che chiameremo μc), ovvero quello per cui si passa da una situazione stabile ad una instabile, è dato da

€

μcH

2= coth

μ cH

2μH=2.3994

per μH < μcH la (17.17) fornisce per c due radici complesse coniugate. Quindi F è la soluzione dell’equazione del moto con autovalore c, mentre F* è la soluzione per lo stesso valore di k ma con autovalore c*. La condizione di instabilità del sistema può essere scritta utilizzando la definizione di μ2

€

N2H

2

f2

<μ

cH( )

2

ln

2=

4 μcH( )

2

π2

(2 n + 1)2

=2 .333

(2 n + 1)2 (17.18)

Chiaramente questa condizione è più facilmente soddisfatta per il modo n=0, che è quindi il modo più instabile. Inoltre, tenendo presente la (17.14 a) si può scrivere

€

NH

f<

μcH

k=

2 .3994

2 π

L

da cui

€

L > 2 .6 Ld

dove Ld è il raggio di deformazione di Rossby (NH/f). Ogni perturbazione la cui lunghezza d’onda è 2.6 volte il raggio di deformazione di Rossby è instabile

Il rapporto di crescita delle onde instabili è dato dal prodotto della parte immaginaria della velocità di fase per il vettore d’onda k.

€

kci

=2 kU

μ H

μ H

2− tgh

μ H

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

μ H

2− coth

μ H

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1

2

(17.19)

ovvero il rapporto di crescita è una funzione del numero d’onda k della perturbazione. Nella figura qui sotto è mostrat o (vedi zona grigia) l’andamento del “growth rate” in funzione del num ero d’onda (K è l ’equivalente adimensionalizzato moltiplicando k per il raggio di deformazione di Rossby che nella figura è Ld)

Si vede che sebbene ci assume i sui valori massimi per onde molto lunghe il “growth rate” va a zero per K che tende ad infinito. La velocità di crescita ha un massimo per Km=1.6 che corrisponde all’onda più instabile. Se il disturbo iniziale è composto da un insieme di onde di varia lunghezza, all’istante iniziale ogni onda avrà la stessa ampiezza, ma è prevedibile che l’onda con numero d’onda Km emergerà più rapidamente e dominerà la struttura del campo di disturbo. È plausibile, quindi, associare l’onda più instabile con il disturbo più favorito dal meccanismo di instabilità, ad essere osservato in ampiezza finita.

Al numero d’onda dimensionale Km corrisponde una lunghezza d’onda dimensionale data da:

€

λ =2 π

km

=2 π

Km

Ld

Ricordando che l’onda più instabile e quella con Km=1.6 si trova che

€

λ =2 π

Kn

Ld

=2 π

1 .6L

d= 3 .92 L

d (17.20)

Cioè l’onda più instabi le dovrebbe avere una lunghezza d’onda circa quattro volte il ra ggio di deformazione di Rossby.

2= 1+ .

1 H

R0

Simulazione dell’instabilità baroclina: L’esperimento di Saunders

Se si visuali zza la corrente in superficie utilizzando un qualche colorante è possibile e filmare l’evoluzione del sistema con una semplice cinepresa solidale con il sistema ruotante. In questo caso si osserveranno ini zialmente la formazione di onde intorno al vorti ce centrale. Dopo qualche rotazione queste onde si amplificano e formano piccoli vortici che si estendono su tutta la colonna del fluido. Saunders interpretò questi vortici come il risultato di un processo di instabilità baroclina. In questo caso, infatti, l’inclinazione dell’interfaccia tra i due fluidi fornisce l’energia potenziale al sistema. Tale energia potenziale si trasforma in energia cinetica di movimento di una massa di fluido rispetto all’altra. Saunders trovò sperimentalmente che il numero di onde di ampiezza crescente, e quindi di piccoli vortici periferici, dipende solo da un parametro dimensionale dato da:

€

θ =′ g H

r0

2f

2=

Ld

r0

2< 1 (17.21)

dove con g’ si intende la solita gravità ridotta g’= / .

Nell’esperimento do Saunders varia da 0.1 a 1 0. Saunders osservò che per = c=1 si formava un rigonfiamento asimmetrico del vortice centrale. Per questo valore di si ha il limite di stabilità. Per valori di inferiori a c la circolazione è instabile e appaiono menadi e vortici periferici. Saunders trovò anche u na relazione tra il numero di meandri , il nume ro di vortici e il raggio di deformazione di Rossby Ld.

€

m ≈ 1 .8r

0

Ld

(17.22)

nell’applicazione di tale criterio ai di fferenti casi di vortici oceanici Saunders trovò un bu on accordo tra i risultati di questo esperimento e le osservazioni sperimentali.