Iniciacnion a La Matematica

8/15/2019 Iniciacnion a La Matematica

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UNIVEUNIVEUNIVEUNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTEFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMOFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

CIENCIAS BÁSICASGUÍA DE EJERCICIOS PARA LA INTRODUCCIÓN

2012

RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:RESPONSABLES DE LA GUÍA:

Prof. María Rosa Matta Prof. María Rosa Matta Prof. María Rosa Matta Prof. María Rosa Matta

Lic. Carina JovanovichLic. Carina JovanovichLic. Carina JovanovichLic. Carina Jovanovich

Ing. Rufino Iturriaga Ing. Rufino Iturriaga Ing. Rufino Iturriaga Ing. Rufino Iturriaga

REVISIÓN: Prof. C.P. Carmen Rescala


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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

Introducción a las Ciencias Básicas – 2012

Prof. María Rosa Matta-Lic. Carina Jovanovich- Ing. Rufino Iturriaga

Supervisión: Prof. Carmen Rescala Página 2

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA “CIENCIAS BÁSICAS”

UNIDADES TEMÁTICAS

Unidad 1: Álgebra y Geometría

Tema 1: Polígonos.Tema 2: Movimientos en el Plano.Tema 3: Teoría de la Proporción.

Unidad 2: Trigonometría. Geometría Analítica del Plano y del Espacio

Tema 4: Nociones de Trigonometría.Tema 5: Geometría Analítica en el Plano.Tema 6: Geometría Analítica en el Espacio.

Unidad 3: Matrices, Determinantes, Sistemas Generales de Ecuaciones Lineales

Tema 7: Matrices, Determinantes, Sistemas De Ecuaciones Lineales.

Unidad 4: Nociones de Física

Tema 8: Introducción. Medición. Vectores.Tema 9: EstáticaTema 10: DinámicaTema 11: Calor y Temperatura

Tema 12: Mecánica de los fluidosTema 13: El estudio del sonido. Acústica.

Unidad 5: Cálculo infinitesimal.

Tema 14: Funciones.Tema 15: Límite funcional.Tema 16: Continuidad y discontinuidad.

Unidad 6: Cálculo Diferencial.

Tema 17: Derivadas.Tema 18: Diferenciales.Tema 19: Aplicaciones geométricas de la derivada.Tema 20: Variación de funciones.

Unidad 7: Cálculo Integral

Tema 21: Integrales indefinidas. Integrales definidas.Tema 22. Aplicaciones geométricas de la integral definida.


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Bibliografía

ÁLGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stanley Smith, RandallCharles, John Dossen, Mervin Keedy, Marvin Bittinger. Ed. Addison Wesley Logman. SerieAWLI. México. 1998. INICIACIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA. Pilar García Pineda- José AntonioNuñez Prado- Alberto Sebastián Gómez. Ed. Thompson. España. 2007. MATEMÁTICA PARA ARQUITECTURA. Mario de Jesús Carmona y Pardo. Ed. Trillas.México. 2º Edición. 2008. FÍSICA APLICADA PARA ARQUITECTURA TÉCNICA. José Fernando García RebullSalgado. Tórculo Ediciones. España. 2005.

C.P. Carmen RESCALAProf. Titular Ordinaria “Ciencias Básicas”


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Introducción

Unidad 1: Conjuntos numéricos. Operaciones en N, N0, Z, Q, R, C. Propiedades. Sumaalgebraica. Producto. Cociente. Potenciación .Propiedades Radicación. PropiedadesRacionalización. Operaciones combinadas.

Unidad 2: Expresiones Algebraicas. Suma. Resta. Multiplicación. División de polinomios.Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factoreo (todos los casos). Operaciones conexpresiones Algebraicas Fraccionarias: suma, resta, producto, cociente y operacionescombinadas. Logaritmo: .definición, propiedades, ejercicios.

Unidad 3: Ecuaciones. Resolución de ecuaciones de 1º grado. Resolución de problemas deecuaciones de 1º grado con una incógnita. Resolución de ecuaciones de 2º grado.Resolución de problemas de ecuaciones de 2º grado con una incógnita. Resolución de

ecuaciones racionales con una incógnita. Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución desistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Métodos de resolución: Sustitución,Igualación, Determinantes Gráfico. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales deacuerdo al conjunto solución. Problemas.

Bibliografía

La bibliografía utilizada en la confección de este cuaderno didáctico es:

1) Algebra I. Armando rojo. Editorial “El Ateneo”. Buenos Aires. 5º Edición.1976.

2) Aritmética – Algebra. Tajani Vallejo. Editorial Cesarini Hnos. Buenos Aires. 27ºedición. 1980.

3) Matemática 3. Tapia. Editorial Estrada y Cía. S.A. Buenos Aires. 1º edición. 1980.

4) Aritmética y Algebra - 3º curso. Repetto – Linskens – Fresquet. Editorial KapeluszSRL. Buenos Aires. 3º Edicion. 1950.

5) Aritmética y Algebra – 4º curso. Cabrera – Médici. Establecimiento Gráfico “TomásPalumbo”. Buenos Aires. 1961.

¿Qué necesitamos saber deMatemática para ingresar aCiencias Básicas?


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UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto: es una agrupación de elementos de una misma especie.

A los conjuntos los denominamos con letra mayúscula y sus elementos con letrasminúsculos.

Si un elemento se encuentra en el conjunto A diremos que pertenece ( )∈ a A,

sino diremos que ( )∉ a A.

Los conjuntos pueden ser finitos (que se pueden enumerar todos sus elementos)o infinitos.

Conjunto de Números Naturales

Si incluimos el cero, entonces:

Propiedades:a) El 0 no pertenece a N y si pertenece a

b) son infinitos.

c) tienen primer elemento, pero no último.

d) Un número natural y su siguiente se dicen consecutivos. El conjunto de los númerosnaturales es un conjunto ordenado.

e) Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural. El conjunto delos naturales es discreto.

Operaciones:1) Adición o Suma


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2) Multiplicación o Producto

a y n se llaman factores.

( ) ( )

( )

a n b a n b

a n b a n a b

× × = × ×

× + = × + ×

( )a n b a n a b× − = × − ×

3) Potenciación

a es la base de la potencia.

n es el exponente.

n aa n≠ Ej:

2

3

3 9

2 8

=

=

( )n n na b a b± ≠ ±

Ej:( )

( )2 2

2 2 2

2 2

2 3 5 252 3 2 3

2 3 4 9 13

+ = = ⇒ + ≠ +

+ = + =

( )

( ): :

n n n

n n n

a b a b

a b a b

× = ×

=

5 3 5 1 3 9 Ej: 2 2 2 2 2n m p n m pa a a a + + + +× × = × × = =

Si :n m>

5 3 5 3 2: Ej: 2 : 2 2 2n m n ma a a

− −= = =

Si :n m=

0 0 0 0: 1 0 Ej: 3 1; 20 1; 150 1

n m n ma a a a a

−= = = ∀ ≠ = = =


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1 1 2 1 Ej: 2 2; 20 20; 1870 1870a a= = = =

( )m

n n ma a ×=

4) Resta o diferenciaa b− a se denomina minuendo.

b se denomina sustraendo.

En el conjunto de los sólo se puede realizar la operación si el minuendo es

mayor o igual que el sustraendo.

Ej:8 3 5 8 3

4 4 0 4 4

− = >

− = =

Si 7 9 ?− = no tiene solución en el conjunto de los números naturales ya que7 9< .

Para poder resolver una resta donde el minuendo sea menor que elsustraendo, los matemáticos crearon el conjunto de los números enteros que

incluye los números negativos.

Propiedades:

a) El conjunto de los enteros es un conjunto infinito.b) El conjunto de los enteros es un conjunto discreto porque entre dos números

enteros consecutivos no existe otro número entero.

c) El conjunto de los enteros no tiene primer ni último elemento.d) En el conjunto de los enteros todo número es menor que su consecutivo.e) Todo número entero tiene opuesto.

Ej: nº a su opuesto es –a

5 su opuesto es -5

f) El valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo, y es suopuesto si es negativo.

Ej:a a

a a

=

− =

3 3

3 3

0 0

=

− =

=


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Operaciones de números enteros:

1) Suma y diferenciaPara sumar o restar números enteros recordemos cómo extraíamos paréntesis:

Signo + delante de un paréntesis nos indica que al extraer todos lossignos que se encuentran en él permanecen como están:

( )

( )5 3 5 3 2

a b c d a b c d + − + = + − +

+ − = − =

Signo − delante de un paréntesis nos indica que al extraerlo debemoscambiar todos los signos que se encuentran dentro de él:

( )

( )4 2 4 2 6

a b c a b c− − + = + −

− − = + =

Si el ejercicio consta de paréntesis, corchetes y llaves, recordemos elorden para extraerlos: 1º paréntesis, 2º corchetes y por último las llaves:

( ){ }

[ ]{ }

{ }

( ) ( )

2 3 5 2 se extrae paréntesis

2 3 5 2 se extrae corchetes

2 3 5 2 se extrae llaves

2 3 5 2 2 3 5 2 5 7 2

− − + − − − + =

= − − + − + + =

= − − − + + =

= + − − = + − + = − = −

2) ProductoAl multiplicar dos o más números enteros debemos realizar el producto de losnúmeros y de los signos, guiándonos por la siguiente regla:

.

.

.

.

+ + = +

+ − = −

− + = −

− − = +

Ej:( )

( )

2 .4 8

3. 1 .4 12

− = −

− = −

3) División o CocienteSiendo m , n y p números enteros:

: . con 0m n p m n p n= ⇔ = ≠

m se denomina dividendo.

n se denomina divisor.

p es el cociente.


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Esta operación sólo es posible en los números enteros si el dividendo esmúltiplo del divisor.

Se llama múltiplo de un número al producto de a por cualquier número:

Ej:

3 2 6

3 2 15 6, 15 y 9 son múltiplos de 3

3 3 9

× =

× = × =

Decimos que m es divisible por n , si se verifica que:: .m n p m p n= ⇔ =

Donde m es múltiplo de n y n es divisor de m .

Debemos tener en cuenta:

) 0 : 0

) : 0 no tiene resultado

) 0 : 0 no está definida

i a

ii a

iii

=

En la división debemos tener en cuenta la misma regla de los signos que en elproducto. Sólo cambiamos el signo de multiplicar por el de dividir.

Ej: ( ) ( ) ( )10 :5 2 3 : 1 3− = − − − =

4) Potenciación

Para realizar esta operación en el conjunto de los enteros debemos tener encuenta que: - la base sea un número entero;- el exponente sea un número entero.

Si la base 0a > el resultado de la potencia siempre es positivo.

Si la base 0a < el resultado es positivo si el exponente es par y es negativo siel exponente es impar.

Ej:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4

3

3

2 4 1 1

2 2 2 2 81 1 1 1 1

− = − =

− = − × − × − = −− = − × − × − = −

Cuando hablamos de cociente de números enteros planteamos la condición de que eldividendo tenía que ser múltiplo del divisor. ¿Pero si esa condición no se cumple? Ej: 4 : 3 =? Ya entramos en el conjunto de los números racionales .

Llamaremos número racional a la fracción p q donde p y q son números enteros y p

se denomina numerador y q denominador.


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Como una fracción está indicando el cociente entre el numerador y denominador, esteúltimo debe ser distinto de 0.

Propiedades:

1. El conjunto de los números racionales es infinito, no posee primer ni últimoelemento.

2. El conjunto de los racionales es un conjunto denso porque entre dos númerosracionales existen infinitos números racionales.

3. Llamamos mínima expresión de un número racional a la fracción cuyonumerador y denominador no tienen divisores enteros comunes.

Ej:16 4.4 4

28 4.7 7= = es la mínima expresión de

16

8.

4. Si efectuamos el cociente de una fracción obtenemos su expresión decimal que

consta de una parte entera y una parte decimal con un número infinito de cifraso periódicas.

Ej:3 2

3: 5 0,6 2 : 3 0,65 3

= = = =⌢

5. Orden en : Dadas y p r

q s con . 0q s >

Diremos:

( )

4 1 4.5 9.1 20 9

9 5

1 7 1.8 2.7 8 > >

< <

−< − < <

6. El conjunto de números racionales incluye al conjunto de los naturales incluido

el cero y los enteros, conservando todas las operaciones y propiedades que severifican en esos conjuntos numéricos.

Operaciones:

1. Suma y Diferenciai) Si son fracciones de igual denominador: se coloca el mismo denominador yse suman o restan los numeradores según esté indicado.

. .

. .

p r p s q r

q s

p r p s q r q s

> ⇔ >

< ⇔


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2 4 6 Ej:

5 5 5

7 1 6 3.2 3

8 8 8 4.2 4

5 3 2 5 3 2 8 2 6

7 7 7 7 7 7

a c a c

b b b

±± = + =

− = = =

+ − −+ − = = =

ii) Si las fracciones son de distintos denominadores, se encuentra un númeroque sea múltiplo de todos los denominadores.

. .

.

1 5 1.3 5.2 3 10 13

Ej: 2 3 6 6 6

3 2 3.5 2.4 15 8 7

4 5 20 20 20

1 2 7 1.6 2.2 7.3 6 4 21 10 21 11

2 6 4 12 12 12 12

p r p s r q

q s q s

++ =

+ +

+ = = =

− −− = = =

+ − + − −+ − = = = = −

(Dividimos cada denominador por 12 y al resultado lo multiplicamos por elnumerador.)

iii) Si los números racionales están expresados como decimales, debemos

encolumnar las partes enteras y las decimales y recién ahí sumar o restar

Ej:

2,71 153,07

15,30 12,91

18,01 140,16

+ −

2. Producto y Cociente

i) Para multiplicar fracciones:a c a c

b d b d

×× =

×

. Es decir, realizamos el producto de

los numeradores sobre el producto de los denominadores.

Ej:( )

7 1 7 1 7

5 3 5 3 15

1 41 4 4

7 5 7 5 35

×× = =

×

− × − × = = −

×


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ii) Cada número racional no nulo tiene su inverso multiplicativo.

Si su inverso es 1 11

y 1m m m

m

− −= × = .

Ej: Si m es 2, su inverso es1

2. Si

5

3m = − su inverso es

3

5− .

iii) Para dividir fracciones se realiza el producto del dividendo por el inverso deldivisor.

( )

:

2 22 3 2 2 4

Ej: :5 2 5 3 5 3 15

a c a d

b d b c= ×

− ×

− = − × = = −×

3. Potenciacióni) Potencia de exponente entero positivo

n n

n

a a

b b

=

Ej:

( )

2 2

2

33

3

1 1 1

3 3 9

22 8

5 5 125

= =

− − = = −

ii) Potencia de exponente entera negativo

2 2 2

2

2 3 3 9Ej:

3 2 2 4

n n n

n

a b b

b a a

−

−

= =

= = =

4. RadicaciónSi entonces

nn

nn

p p r r p

q s s qq

= = ⇔ =

Ej:3 33

333

27 27 3 3 3 27

8 2 2 2 88

= = ⇔ = =

n es el índice del radical y p

q es el radicando.


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i) Si p

q es positivo, para cualquier n

p

q es positiva. Ej:

4 2

25 5=

ii) Si p

q es negativo y , n

p

q es negativa. Ej:

3

33

64 64 4

27 327

− − −= = porque ( )

34 64− = −

iii) Si p

q es negativo y , no tiene solución en este campo numérico.

Ej:

64

?25

−

= Ningún número entero elevado al cuadrado da por resultado ( )64− .

iv) Si

nn s n

s s p p p

q q q

= =

En una potencia de exponente fraccionario el numerador pasa a serexponente y el denominador índice de la raíz.

Ej:

2 22 3 23

33

1 1 1 1 1

8 8 2 48

= = = =

5. Simplificación de Radicalesi) Si el radicando es una potencia igual al índice de la raíz, se simplifica índice y

exponente.

( )3 33 8 2 2

nnnn

a a=

= =

ii) Si el radicando está compuesto por varias potencias, se divide potencia eíndice por el común divisor.

4 2 4 2 2 22 .3 2 3 2 .3 4.3 12= = = =


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6. Extracción fuera del radical

Para poder extraer el radical es necesario que el radicando esté compuesto por

factores y exista por lo menos una potencia de grado mayor o igual al índice.

2 4 4 2 248 6.8 3.2.2.4 3.2.2.2 3.2 3 2 2 3 4 3= = = = = = =

7. Multiplicación de radicales

i) Si son de igual índice.

3 3 3 3

. .

Ej: 3 9 3.9 27 3

n n na b a b=

= = =

ii) Si son de distintos índices: se saca un común índice.

( ) ( )

( )

3 23 3 9 2 9 26 6 63 66

34 3 3 4 9 412 123 12

. .

2 . 3 2 . 3 2 .3

a b a b a b a b= = =

= =

8. Racionalización de denominadores

i)( )

2

1 1. 2 2 2

22 2. 2 2

= = =

ii)2 2 2 24 4 4 4

42 3 2 3 2 2 3 24 4 4 4 4 4

2 2. 2. 2. 2.

.

a b a b a b a b

aba b a b a b a b a b a b= = = =

IMPORTANTE: La potencia y la radicación NO son distributivas con

respecto a la suma yo la diferencia.

2 2 2 2

2

3

3 3 33

1 2.3 1 7 7 212

3 2 3 3 9

7 1 7.4 1 27 27 3

2 8 8 8 28

+ + = = = =

−− = = = =


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iii)( )

( )( )

( )

( )2 2

2

11 a b a b a b

a ba b a b a b a b

+ + += = =

−− − + −

iv)( )

( )( )( )

( ) ( )

( )2 2

2 2 22 a b a b a b

a ba b a b a b a b

− − −= = =

−+ + − −

Números Irracionales

Cuando a un número no lo podemos expresar como número entero, fracción o decimalcon cifras derivadas finitas o periódicas, entonces no es racional sino irracional.

Un número es irracional si su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales noperiódicas. Lo simbolizamos con I.

Ej:2 1,414213562...

3,141592654...π

=

=

Números reales

El conjunto de los números reales es la unión de los racionales y los irracionales.

Como veremos, el conjunto de los reales incluye a todos los conjuntos estudiadoshasta ahora, los cuales conservan todas las operaciones y propiedades. Además se puedenrealizar otras operaciones que no se verifican en los otros conjuntos.

Sólo las raíces de radicando negativos e índice par no se verifican en el conjunto delos números reales.

El conjunto de los números reales es infinito y denso.

Los números reales los representamos en una recta (conjunto de infinitos puntos) quellamamos recta real, espacio de una dimensión o eje x, el punto que corresponde al cero es

el origen. Los valores positivos se colocan a la derecha del origen en orden creciente y losnegativos, a la izquierda del origen en orden decreciente.

......

0-∞ ∞

-3/2

1

-1/2

-1-2

-5/2

2

1/2 3/2 5/2


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Resolver las siguientes operaciones

( ) ( ){

( ) ( ){ }

1) 25 6 5 3 8 3 2

2) 2 9 6 2 7 4 7 5 1 3

1 7 33)

12 2 4

3 1 4 24)

5 3 5 5

1 4 1 1 15) 3 5 1 6 2

2 3 2 2 3

+ + − − − − =

− − + − − + − − − + − + =

− − + =

− − − − + =

− − + − + − − − + + − =

Operaciones combinadas

22

2 2

3

2

1) 15 12 :3 2 6 :3

2 1 22) 6. 5

3 5 3

1 3 53) 2. 1 : 3 .

3 5 3

41

22 324) :3 1

1 14 3

1 2 6 1 1. .

3 6 4 2 25)

3 11

4 3

−

−

− + + =

− − + − =

+ − =

+− − = + +

+

=

− −

Aplicar propiedades de la potenciación

2 3

32

3 4 2

1 1 11)

2 2 2

3 12)

4 2

2 2 23) :

3 3 3

−

− + − − − =

+ =

=


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( )

22 3

1 6

2

274)

81

5) 3 2

x y

x y

a b

− −

=

+ =

( ) ( )2 3 2 36) 4 3 . 4 3 x y x y+ − =

Decir si son V o F las siguientes identidades y justificar las opciones falsas:

a) (a2)4 = a8 e) (x .y )2 = x 2 . y 2

b) a .a = a 2 f) (a − b )2 = a 2 − 2.a .b

c) a0 = a g) (a. a5): a2 = a8

d) a2. a3. a5 = a-10

Aplicar propiedades de la radicación

( ) ( )

7 12

515

13 6

3 34

1 3

3 1 32 5 3 5

641)

243

12) 2 .

4

2 125

3) . 25 .5 36

64 44)

27 3

5) 0,01 0,01

a b

c

y y x

x y xyz y

−

−

=

=

=

− − =

Racionalizar

23

21)

3

32)

5

1 33)

1 3

3 24)

3 5

3 2 2 35)

3 2

xy

=

=

−=

+

=+

−=

−


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UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión algebraica: es una expresión matemática, donde se combinan números yletras.

Monomio: es la expresión algebraica en que pueden intervenir todas las operaciones,menos la suma y la resta.

Ej: 2 31

52

a b mp x−

Consta de tres partes: - el signo

- el coeficiente (o parte numérica)

- parte literal (letras)

2 23

5

coeficiente

signo parteliteral

a m x

−

−−

Monomios semejantes: si dos o más monomios tienen exactamente la misma parteliteral, son monomios semejantes.

Polinomios: es la suma o resta de monomios.

Ej:2

12

32 1

5 3

ab p

a b mp a

−

− + − +

Polinomio ordenado: un polinomio se dice ordenado con respecto a las potenciascrecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cadatérmino elevada a una potencia menor que el término anterior.


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Ej:

4 2

5 3

1 25

2 3

1

5 3

a a a

x x x

− +

− + −

Polinomio completo: un polinomio se dice completo con respecto a la potencia deuna de sus letras cuando, una vez ordenado figuran todas laspotencias de esa letra.

Ej:

4 3 2

3 2

1 32 2

2 2

10 32

x x x x

x x x

− + − +

+ + −

Valor numérico de una expresión algebraica: el valor numérico es el número real quese obtiene al reemplazar las letras que intervienen por númerosreales determinados y efectuar las operaciones indicadas.

Ej:2

2

2 con 2

2.2 2.4 8

a a= =

= =

Operaciones

Suma o resta de monomios : sólo se pueden sumar o restar monomiossemejantes, es decir con la parte literal exactamente iguales.

Ej:

Producto y cociente de monomios : Se multiplican o dividen la parte numérica ypara resolver la parte literal tenemos en cuenta lo visto en la Unidad I, en producto ycociente de igual base.

Ej:( )

( ) ( )

2 3

4 2 3 1

1 22 .

3 3

8 : 2 4

a b ac a bc

p q pq p q−

− = −

− = −

2 2 2

2

2 5 7

15 no se pueden restar

2

a m a m a m

xy x y

+ =

−


20/46






Suma y resta de polinomios : es aconsejable colocar los monomios semejantesen columnas.

( ) ( )3 3 3 3 3

3 3

3 3 3

3 3 3

3 2 3 2 5 7

3 2 3

2 5 7

3 4

ax a x a ax a x

ax a x

ax a x a

ax a x a

+ − + − − + =

+ −

− − + +

− + +

Producto de polinomios :

( ) ( )3 3 2

3 3

2

3 3 5 2

2 4 4 2

3 3 5 2 2 4 4 2

3 2 3 . 2 5

3 2 3

2 5

6 4 6

15 10 15

6 4 6 15 10 15

ax a x a ax

ax a x

a ax

a x a x a

a x a x ax

a x a x a a x a x ax

+ − − +

+ −

× − +

− − +

+ + −

− − + + + −

División de polinomios :

Para dividir: el polinomio dividendo debe estar ordenado y completo y elpolinomio divisor debe estar ordenado.

Para poder dividir la potencia de la parte literal del dividendo debe sermayor o igual que la del divisor.

( ) ( )3 4 2

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

2

2

Ej: 2 5 : 3 6

2 0 0 5 3 6

3 6 9

6 0

3 6

9 6 5

9 27 54

33 49resto

a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a a

a

− + − +

+ + + − + −

− − + − +

− + +

+ −

− −

− − +

+

+


21/46






Regla de Ruffini: nos permite dividir polinomios si y sólo si el polinomio divisor es de

la ( ) x a± (siendo a un número cualquiera).

Aquí también (como en toda división de polinomios) al polinomio dividendo lodebemos ordenar y completar.

( ) ( )

( ) ( )

4 2

4 3 2

2 2 : 1

2 0 0 2 : 1 1; 1

x x x

x x x x x a a

− − −

+ − + − − = − − =

2 0 1 0 2

1 2 2 1 1

2 2 1 1 1

resto

− −

−

Teorema del Resto: para aplicarlo el polinomio divisor debe ser de la forma

( ) x a± igual que es Ruffini. Nos permite conocer sólo el resto del cociente sin

realizar la operación, reemplazando en el polinomio dividiendo la parte literal por( )a− .

( ) ( )

( ) ( )

4 2

4 2

Ej: 2 2 : 2 2; 2

T del R: 2 2 2 2 2.16 2 4 32 6 26 resto

x x x a a− − + = − =

− − − − = − − = − =

Ejercicios:

Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

2 2

2

1) para 3 6

1

x

x y z y R

z

=

− + = = − = − = −

2 2 3

11 9

2) 2 para 28 2

2

a

a b ab c b R

c

=

− + = = = − = −

-a

Una potencia menos que la

( ) ( )

4 2 3 22 2 : 1 2 2 1 x x x x x x∴ − − − = + + +


22/46






2

1

13 2 5 53) para

4 2

0

x

y x y R

mm n

n

=

= −− + = =

=−

=

3

3 2

11

554) para 122 2

3 1

mm n n

R x

x y y

−

=

== =

= = −

Resolver las siguientes operaciones con polinomios.

( )

( ) ( )

4 3 4 4 3 4 3 4

3 3 3 2 3

2 2 2

3 2 2 3

1 31) 2 5 1

2 4

16 16 12) 2 3 5 8 4

5 5 4

1 5 13) 2 2

9 2 9

2 24) 3 9 9

5 5

5) .

6)

ab ac bc ac bc ab

a a b x a a b x a b x

a b a a b b

m mn n mn n

m m n mn n m n

− + − + + − + =

− − + − − + + − + =

− − + − =

− − + − − + =

+ + + − =

2 22 3 1 1 .5 2 4 2 x xy y x y

+ + − =

( )

( )

2 2

2 2 2 2

4 2 3

5 3 2

1 17) 2 . 2

3 3

1 1 1 18) .

2 5 2 51 5 1 3 3

9) : 12 4 8 8 2

510) 12 : 6 5 3

3

x x

a b a b

x x x x x

x x x x

+ + =

− − =

+ + + + + =

− + + − =


23/46






Aplicar Regla de Ruffini

( )

( )

3

8 6 4

11) 4 1 :

23 7 9

2) 3 : 12 4 4

x x x

x x x x x

− + − + =

− + − + − =

Calcular directamente el resto

( ) ( )2 4

3 2

1) 2 5 12 5 : 2

1 17 7 3 1

2) :2 4 5 10 2

x x x x

x x x x

− + − + =

− + + − =

Desarrollar las siguientes expresiones notables

( )

( )

( ) ( )

22

2 3

33

11) 3 2) 5

2

13) 1 4) 2

2

4 45) . 6) 1 . 1

5 5

a x

m x

x x x x

+ = − =

− = + =

+ − = + − =

Factoreo:

factorear un polinomio es transformarlo en un producto. El factoreo no siempre esposible, los polinomios que pueden factorearse presentan características, segúnlas cuales se agrupan en los siguientes casos.

1) Factor común

Ej: 2 12 6 2 1 33 3

a ab ac a b c + − = + −

2) Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor comúnen cada grupo.Ej: 3 2 2 3 x ab nx bx an a− + − + +

Agrupo todos los términos que tienen “x ” y por otro lado los que tienen “a ”.


24/46






( ) ( )3 2 2 3 x nx bx ab an a+ − + − + +

Extraigo el factor común de cada grupo.

( ) ( )3 2 2 3 x n b a b n+ − + − + +

Los paréntesis son iguales, y son factores de cada término, entonces losextraigo como factor común.

( ) ( )3 2 .n b x a+ − + y queda factoreado el polinomio dado.

3) Trinomio cuadrado perfecto

Ej:

( )

( )

2

22 2

2.2. .

2

4 4 2a b

a

a ab b a b− + = −

4) Diferencia de cuadrados

( )

22

2

2 4 2 2

5

2

25 5 5

4 2 2b

a

a b a b a b

− = + −

5) Suma o diferencia de igual base

Son polinomios de la forma: on n n n x y x y+ −

Ej: 3 3 38 2 x x+ = +

Veamos si 3 8 x + es divisible por 2 x + . Aplicamos el Teorema del Resto:

( )33 8 2 8 8 8 0 x + = − + = − + = . El resto es cero, entonces es divisible.

Aplicamos Ruffini:

( ) ( )3 20 0 8 : 2

1 0 0 8

2 2 4 8

1 2 4 0

x x x x+ + + +

− − −

−

2

2

a

a

=

− = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 28 : 2 2 4 8 2 4 . 2 x x x x x x x x+ + = − + ⇒ + = − + +

queda factoreado.

De esta manera podemos proceder con cualquiera de las expresiones

mencionadas, excepto con ( )n n x y+ cuando n es par.


25/46






Ejercicios:

Extraer factor común:

3 3 5 2

3 5 2

2 3 2

1) 4 10 24

2 3 12)5 10 5

3 9 273)

2 4 8

ay a y ay

xy y yz

xy x y xy

− + =

− + =

+ − =

Descomponer en grupos de igual número de términos y factorear.

3 2

2 2

2 2

1) 1

1 1 2 22)3 3 3 3

3) 9 3 15 5 6 2

a a a

a m abm a n abn

a x ax a x am mx

− + − =

+ − − =

− + − + − =

Verificar si las expresiones siguientes son trinomios cuadrados perfectos. Factorear.

2

8 4

4 6 2 3

1) 16 8

1 92)

9 4

3) 16 8 1

x x

m m

m n m n

− + =

− + =

+ + =

Factorear las siguientes diferencias de cuadrados.

2 4

12 6

4 8

1) 4 9

12) 169

49

3) 25 100

a b

x y

m n

− =

− =

− + =

Suma o diferencia de potencias de igual grado.

2

3

1) 32

12)

8

x

x

+ =

− =

73) 1a − =


26/46






Combinar los distintos casos de factoreo.

2 2

2 3 2

3 2 3 2 2 2

1) 5 10 5

2) 8

1 1 1 13)

2 8 2 8

x xy y

x y x

a x a y ax ay

− + =

+ =

− − + =

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

Reducir a la su mínima expresión.

( )( )

2

2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

4 2

2 3

3 2

2 2 4 2 2 4

2

5 5

1) 1

1 4 42)

4

3 2 63)

2 3

15 6 10 44)

25 4

3 2 1 2 3 1

5) 4 2 8

3 26)

2

17) . .

1

81 818) :

2

2 39)

9 16 3

x

x

a a

a a

xy x y

x y

x xy bx by

x y

x x x x

x x x x

m mn n m n

a ax ax x

ax a a a

x x x

x y x x y y

x

−

=+

+ +=

−

− + −=

+ −

− + −=

−

− − + +

+ − + =

− =− + −

− −=

− +

− −=

− − +

+−

1:

4 3 4

10)

x x

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

=

+ + − +

−+ −

=+ −

−− +


27/46






Logaritmos

Siendo 0 y 1b b> ≠ ; con 0a > , se dice que log xb a x b a= ⇔ = .

(Logaritmo en base b del número a es igual a x si y sólo si b elevado a la x es igual a a .)

Ej:

4

2

23 2 3

3

log 16 4 2 16

3log 27 3 3 27

2

= ⇔ =

= ⇔ = =

Propiedades

( )( )

1) log . log log

2) log : log log

3) log .log

a a a

a a a

n

a a

m n m n

m n m n

m n m

= +

= −

=

Ejercicios:

Calcular

( ) ( )

2 5

3

6 2

3

2 2

2 3

5 2

1) log 8 2) log 251

3) log 4) log 436

275) log 4 6) log 3

125

7) log 4.8.16 8) log 64 :16

9) log 125 10) log 64

x x

= =

= =

= =

= =

= =


28/46






UNIDAD 3: Ecuaciones

Ecuaciones de Primer Grado

Analicemos las siguientes igualdades:

3 4 2 7 2 igualdades numéricas

4 7 11

+ + = +

+ =

( )

( )2 2 2

2 2 igualdades algebraicas

2

a b a ab

a b a ab b

+ = +

− = − +

Analicemos el siguiente cuadro:

Igualdad

Al ebraica

Identidad Ecuación

Se verifica para cualquier

valor dado a sus letras

Se verifica para algunos

valores dados a sus letras

Ejemplo:

( )( )2 2a b a b a b− = + −

Ejemplo: 2 3 5 x − =

La letra que aparece en la

ecuación se llama incógnita


29/46






La solución a la ecuación es el valor que al sustituirlo por la incógnita hace cierta laigualdad.

Ecuación lineal se denomina a la igualdad donde la incógnita tiene como exponente 1.

Ej: 2 3 x + = 1 1

12 x

+ =

1 3 9

5 3

x x+ −=

Resolución

Dada 2 3 5 x + = tenemos dos formas de resolución

( ) ( )2 3 3 5 3

2 2

1 12. 2

2 2

1

x

x

x

x

+ + − = + −

=

=

=

2 3 5

2 5 3

5 3

2

1

x

x

x

x

+ =

= −

−=

=

En ambos casos se deben realizar las operaciones necesarias sin contradecir laigualdad. Hallando el valor de la incógnita, siempre es recomendable verificarreemplazándola en la ecuación y verificando la igualdad.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita están asociadas a funcioneslineales, por lo tanto su representación gráfica es una recta.

Ej: 2 1 función lineal y x= + →

2 1 0 es su ecuación es asociada x + =

Hallar el valor de x :

Aplicando propiedades “Despejando”


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2

1) 2 5 4 2 Rta: 3 2

2) 2 14 9 6 12 Rta: 2

5

3) 9 1 12 0 Rta: 24

2 3 44) Rta: 2

4 2

2 15) Rta: 3

3 5 4

1 36) Rta: 4

2 2

3 5 3 27) Rta: 2

1 2

4 28) 2 Rta: 14 2

19)

x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

x x x x x

x

− = − = −

+ − = − =

− + = = −

+ −= =

+ ++ + = =

= =− +

− −= =

− +

= − =− +

− ( )

2

1 14 Rta: 7 2

2

1 1 110) 0 Rta: 1 4

1 1 1

x x x x

x x x

x x x

+ = = −

+ −− + = = −

− + −

Problemas de aplicación

1) Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta elmismo número amentado en 5, se obtiene 1. ¿Cuál es dicho número?Rta: 45

2) La suma de 4 números consecutivos es 402. ¿Cuáles son los números?Rta: 99, 100, 101, 102.

3) Si las longitudes de los lados de un triángulo son (en cm) 2; 2 5; 3 1; x x x+ + + ysabemos que su perímetro es de 10 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

Rta: 7 17; ; 23 3

4) La suma de 3 números pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números?Rta: 32, 34, 36

5) Siendo 36,20m el perímetro de un rectángulo y 8,20m uno de sus lados. ¿Cuáles la longitud del otro lado?Rta: 9,90m


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Ecuaciones de Segundo Grado

La ecuación 2 0ax bx c+ + = donde a , b y c son números reales y 0a ≠ se llamaecuación cuadrático o de segundo grado en la variable x .

Para resolverla utilizamos la siguiente fórmula:

2 4

2

b b ac x

a

− ± −=

La cantidad ( )2 4b ac− se llama discriminante de la ecuación y su signo determina la

naturaleza de sus raíces (soluciones).

Si 2 4 0b ac− > ⇒ las raíces son reales y diferentes.

Si2

4 0b ac− = ⇒ las raíces son reales e iguales.Si 2 4 0b ac− < ⇒ las raíces son imaginarias.

Si , , y 0a b c ≠ ecuación completa. Ej: 2 4 1 0 x x− + =

Si y 0 0a b c≠ ∧ = ecuación incompleta. Ej: 2 4 0 x x− =

Si y 0 0a c b≠ ∧ = ecuación incompleta. Ej: 2 1 0 x + =

La ecuación cuadrática es la asociada a una función cuadrática: 2 y ax bx c= + + y

su gráfica es una parábola.

Resolver:

( ) ( )

( ){

( ) ( )

( )

12 2

2

12

2

1

2

1

2

2

1 2

2 2 1

2

12

21) 3 2 2 Rta:

1

52) 6 5 0 Rta:

1

13) 5 2 1 3 Rta:

3

02

4) 2 Rta: 31 1

25) 0 Rta: 2

3

16) 2 4 3 Rta:

7 3

17) 3 4 2 Rta:

3

x x x x

x

x x x

x

x x x x x

x

x x

x x x

x x x

x

x x x

x

x

x x

=+ = +

=

=− + =

=

= −+ = + −

= −

=− = = −+ −

+= = = −

= −+ = +

= −

=

+ = −

2

12

3

12

3

i

x i

+

= −


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Reconstruir las ecuaciones que tienen por raíces:

1 1

2 2

1 1

22

2 31) 2)

3 4

12

23) 4)5

34

2

x x

x x

x x

x x

= = −

= =

= − = −

= − = −

Problemas:1) ¿Cuál es el número natural que sumado al cuadrado de su consecutivo da

109?Rta: 9

2) Si al triplo de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtieneel duplo del mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esacondición?Rta: 0 y -2

3) La superficie de un triángulo es de 60cm2. ¿Cuál es la altura sabiendo quetiene 2cm más que la base?Rta: 12cm

4) La superficie de un rectángulo es de 108cm2. Sabiendo que uno de los

lados es igual a los

4

3 del otro, calcular las dimensiones del rectángulo.Rta:9cm y 12cm

5) Con una hoja de cartón de forma cuadrada se quiere construir una cajasin tapa, para la cual se sacan cada ángulo de dicho cartón, un cuadradode 2,5cm de lado. Calcular la longitud del lado de la hoja sabiendo que lacaja construida tiene un volumen de 90cm3.Rta: 11cm

Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Ej: 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

Normalmente lo llamamos Sistema de 2x2 y con la llave indicamos que buscamos lasolución de ambas ecuaciones simultáneamente.

Analíticamente son varios los métodos que podemos emplear para resolverlos.


33/46






Método de Sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.2. Reemplazamos la incógnita despejada en la otra ecuación.3. Resolvemos esta última ecuación simplemente como una ecuación lineal con

una incógnita.

Ej:2

2 5

x y

x y

+ =

+ =

1º) 2 y x= −

2º) ( )2 2 5 x x+ − =

3º ) 2 2 5

2 5

3

x x

x

x

+ − =

+ =

=

si 2 y 3

2 3

1

y x x

y

y

∴ = − =

= −

= −

Método de IgualaciónConsiste en despejar de ambas ecuaciones del sistema la misma incógnita y luego

igualar las expresiones obtenidas.

Ej:2

2 5

x y

x y

+ =

+ =

2

5 2

2 5 2

y x

y x

x x

= −

= −

− = −

2 2 5

2 5

x x

x

− + =

+ =

5 2

3

x

x

= −

=

2

2 3

1

y x

y

y

∴ = −

= −

= −

Método de los Determinantes

Dado el siguiente sistema:

ax by c

dx ey f

+ =

+ =


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Llamaremos determinante principal o determinante del sistema:

a bae db

d e∆ = = −

Para poder resolver por este método el determinante debe ser distinto de cero.c b

x ce fb f e

a c y af dc

d f

∆ = = −

∆ = = −

x x

∆=

∆ e

y y

∆=

∆

Ej:

22 5

1 11.1 2.1 1 2 1 0

2 1

2 12.1 5.1 2 5 3

5 1

1 21.5 2.2 5 4 1

2 5

3 31

3 e 11

11

x y x y

x

y

x x x y

y y

+ =+ =

∆ = = − = − = − ≠

∆ = = − = − = −

∆ = = − = − =

∆ −

= = = ∆ −= = −

∆ = = = −∆ −

Clasificación de los sistemas de ecuaciones según sus soluciones

Sistemas

Incompatible(No tiene

solución)

Compatible(Tiene solución)

Determinado

(Tiene solución

única

Indeterminado

(Tiene infinitas soluciones)


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Interpretación geométrica de las soluciones de un sistema de 2x2

Un sistema de 2x2 representa geométricamente dos rectas y lo que gráficamentevamos a analizar es la intersección o no.

Resolver analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.

{

3 3 5 11) Rta:

3 2 5 1

5 9 22) Rta:

2 8 4 1

7 33) Rta:1 4

04) Rta: 0

2 15)

2 1

x y x

x y y

x y x

x y y

x y x x y y

x y x y

x y

y x

y x

− = =

− = = −

− = =

− = − =

+ = = = − =

+ == =

− =

= −

= +

Problemas:

1) Para cercar un campo rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca.Calcular las dimensiones del campo.Rta: 30; 25 x y= =

2) En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?Rta: 12 conejos y 23 palomas

3) Hallas 2 números tales que la suma de sus inversos sea 5 y que la diferencia

de sus inversos sea 1.Rta:

1 1 y

3 2

4) José le dice Marta: “Mi colección de discos compactos es mejor que la tuya yaque si te doy 10 de los míos tendríamos la misma cantidad”. Marta leresponde: “Tienes razón, sólo te faltan 10 para tener el doble”. ¿Cuántosdiscos tiene cada uno?Rta: 30 discos Marta y 50 discos José.


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5) Compré un celular y me costó $120. Si pagué con billetes de $5 y de $2. ¿Concuántos billetes de cada clase pagué?

6) Un fabricante de focos bajo consumo gana $0,30 por cada uno que sale defábrica, pero pierde $0,40 por cada uno que sale defectuoso. Un día en el quefabricó 2100 focos, obtuvo de beneficio $484,40. ¿Cuántos focos buenos ycuántos defectuosos fabricó ese día?Rta: 1892, 208 x y= =

APLICACIONES DE ÁLGEBRA A ARQUITECTURA

Movimiento en el Plano

En cada uno de estos giros señala el centro de giro, poniéndole la letra O y el ángulo de giro

escribiendo sus valores aproximados.

Escribe los vértices homólogos de ABCD llamándoles A’B’C’D’

Proporcionalidad

1) Un rectángulo tiene sus lados en proporción φ. Encontrar las longitudes de los lados

si el perímetro es igual a 450 cm. Un segundo rectángulo mantiene la misma

proporción y presenta una superficie de 12.100 cm2.

90º

O

45º

O


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• ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

• ¿Cuál de los dos presenta mayor área?

Rta: Rectángulo 1: Sup 1 = 11951 cm2; Per 1 = 450 cm.

Rectángulo 2: Sup 2 = 12100 cm2; Per 2 = 452,8 cm

2) Se desea construir una vivienda con techo rectangular que responda a la proporciónáurea, tal como se muestra en el dibujo. En dicho techo se deja un espacio conforma de rombo que será cubierto con material traslúcido para obtener iluminaciónnatural. ¿Qué porcentaje de superficie total del techo corresponde a la superficie

traslúcida? Rta: 41,95%

Trigonometría

Un observador contempla la parte superior de un edificio a 212 m por encima del nivel desus ojos a un ángulo de elevación de 19º10´. ¿A qué distancia se encuentra el observadordel edificio?

Rta:

El observador se encuentra a una distancia aproximada de 610 metros.

19º10´

21

2

x


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Hipérbola

El esquema representa la zona destinada a los sanitarios de un boliche. Se desean conocerlos elementos necesarios para poder calcular el área de circulación entre los sanitariosfemeninos y masculinos. Las paredes de dichos sanitarios fueron proyectadas según lasiguiente ecuación: 9x² - 16y² = 1

Rta: Sup=48m²

Recta en el Plano

En el siguiente plano de una ciudad se muestra la intersección de dos avenidas principalesmuy transitadas de coordenadas: A= (10;-2) B= (7; 6 ) C= ( -1 ; 8) D= (-2; 3)

X

y

A

C

D

B

y

xSanitariofemeninos

Sanitariomasculinos


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Se pide calcular:

a) Las rectas: AC y BD. Rtas:

11

78

11

10++++−−−−==== x y ;

3

11

3

1++++==== x y

b) La distancia entre B y A. Rta: d=8,54

Matrices

Una empresa construye departamentos en un edificio, el Dpto A, es de un dormitorio, elDpto B, de dos dormitorios y el Dpto C, de tres dormitorios; en los primeros colocarán pisosde cerámicos, en los segundos, pondrán pisos de parqué en los dormitorios y de cerámicosen el resto del dpto, en los otros dptos, pisos de parqué. Los metros cuadrados que senecesitan para cubrir las superficies, se muestran en la siguiente tabla:

A B C

Piso de Cerámicos 40 20 0

Piso de Parqué 0 35 80

Representar la tabla en forma matricial:

Rta:


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APLICACIONES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO A ARQUITECTURA

Funciones

Un comercio tiene la siguiente lista de precios por kilo de yeso para mayoristas: $0,45 paracantidades menores a 100 kg; $0,30 para cantidades hasta 500 kg, y $0,25 si la compraexcede este peso. Definan la función p (x), siendo p el precio y x la cantidad de yeso en kg.Indiquen el dominio de p (x) y represéntenla gráficamente.

Rtas: Dominio= RImagen = {0,45} U {0,30} U {0,25}

Gráfico (Nota: los ejes tienen escalas diferentes)

Límite de funciones

La ganancia obtenida por una empresa por la construcción de una plaza pequeña está dada

por la función , donde g es la ganancia en miles de dólares y x la

cantidad de plazas construidas. Hallar el límite de la función para determinar la gananciaaproximada de construir 5 (cinco) plazas: Rta:

La ganancia es de aproximadamente 75.000 dólares

0,25

0,30

0,45

100 500

y

-

-x x


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Derivadas

Se quiere cercar un terreno rectangular de 800 m2 de superficie dividiéndolo en dos partesiguales, una parte tendrá rosas y la otra parte sólo césped, con cercas paralelas a los lados.Determinar la cantidad mínima de metros de cerca necesarios.

Rta:

La cantidad mínima de metros de cerca que se necesita es: 139 metros.

Integrales

Un terreno tiene un Forma no convencional y se encuentra delimitada por cuatro calles. Noconoce más que algunas dimensiones, pero sabe que una de las calles responde a laecuación de la recta y = -x + 10, otra se corresponde con el eje OX y las calles lateralesserán x = 2 y x = 8.Encontrar mediante el cálculo de área por integración, la superficie

encerrada entre las cuatro calles. Rta:

La superficie encerrada entre las cuatro calles es de 30 m2

rosas cés e

x

x


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EJERCICIOS DE FÍSICA PARA ARQUITECTURA

EJ. N°1: Realizar las siguientes reducciones:

• 34m a cm..........................3400.cm

• 54m a mm.........................54000.mm

• 45m a Km.........................0,045.Km

• 20m3 a cm³.......................20000000.cm³

• 10000cm2 a m².................1.m²

• 900Kg a tn........................0,9.tn

El ejercicio 1 plantea la reducción de unidades. A un costado de cada ítem se coloca elresultado pertinente y para llegar al mismo se procederá de similar manera a los casosanteriores, es decir, multiplicando por las equivalencias correspondientes.

cmm

cmm .3400

.1

.100..34 = mm

m

mmm .54000

.1

.1000..54 =

Kmm

Kmm .045,0

.1000

.1..45 = 3

3

33 .7.2

.1

.1000000..20 cme

m

cmm +=

2

2

22 .1

.10000

.1..10000 m

cm

mcm = tn

Kg

tnKg .9,0

.1000

.1..900 =

EJ. N°2 : Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un punto, F1 es de 8 N y su dirección forma un

ángulo de 60°por encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 N y su dirección

forma un ángulo de 53°por debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:

a) Las componentes de la resultante.

b) La magnitud de la resultante.

c) La magnitud de la diferencia F1- F2


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Rtas: Analíticamente, las fuerzas se calcularán cuales:

a)

N sen N sen N Ry

N N N Rx

94,2º53.5º60.8

7º53cos.5º60cos.8

=−=

=+=

b)

N R

N N R

Ry Rx R

59,7

.94,2.7 2222

22

=

+=

+=

c)

N F F R

N N R

N sen N sen N Ry N N N Rx

99,9

.94,9.99,0

94,9º53.5º60.899,0º53cos.5º60cos.8

21

2222

=−=

+=

=+==−=

EJ. Nº3: Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 900cm/seg durante un

tiempo de 9seg, y luego con velocidad media de 48dm/seg durante 8seg, siendo ambas

velocidades de la misma dirección y sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 17seg?

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?

Se calculan las distancias parciales, posteriormente se hace la conversión de unidades quepermita sumar ambas para tener el espacio total que se aha recorrido y ese valor es divididopor el tiempo total empleado, de manera que se tiene como resultado de la relación, lavelocidad media.

Rtas:

mmme

mdmsegseg

dm

mcmsegseg

cm

rec 4,1194,3881

4,383848.48

8181009.900

=+=

==

==

seg

m

seg

m

t

xvm 02,7

17

4,119==

∆

∆=

60 º

53º


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EJ. Nº4: ¿De qué sustancia está lleno cada cubo? Sabemos que miden 3cm de arista.

Rtas:

En primer lugar se buscará el volumen del cubo, que se halla como la arista elevada a latercera potencia:

( ) 33 .27.3 cmcmVc ==

Con este valor de volumen se pueden calcular los valores de densidad a partir de los datosde densidad que se han provisto:

a) ⇒=⇒=⇒33

.89,0.27

.03,24.03,24

cm

g

cm

gg ρ ρ BENCINA

b) ⇒=⇒=⇒=33

.26,1.27

.02,34.02,34.03402,0

cm

g

cm

ggKg ρ ρ GLICERINA

c) ⇒=⇒=⇒ 33 .9,0.27

.3,24.3,24 cm

g

cm

gg ρ ρ AMONÍACO

d) ⇒=⇒=⇒33

.8,1.27

.6,48.6,48

cm

g

cm

gg ρ ρ ARENA

EJ. Nº5: ¿A cuántos grados Fahrenheit y Kelvin equivalen 76ºC?

Rta: Se transformará la temperatura dato que es de 76ºC a sus equivalentes en las escalas

Farenheit y Kelvin, para lo cual se expresan primero las correspondientes fórmulas deconversión:

100

15,273

180

32º

100

º −=

−=

K F C a partir de la cual se deducen las fórmulas necesarias que

serán de utilidad en adelante.

( )32º9

5º −= F C 32º

5

9º += C F 15,273º += C K 15,273º −= K C


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Para los casos de transformaciones de ºF a K se recomienda pasar primero a ºC para luegohacer la conversión definitiva.

F F C F º8,1683276.5

9º32º

5

9º =+=⇒+=

K K C K 15,34915,2737615,273º =+=⇒+=

EJ. Nº6: Calcular la cantidad de calor que se transmite por unidad de tiempo a través de

una ventana de 2m2 de superficie y espesor de 0,5cm. La temperatura interior es de 20ºC y

la exterior de 5ºC. (λ=2,5 x10-4 Kcal/m s ºC).

Rta: A partir de la fórmula de flujo de calor se lo puede calcular de manera directa, debido aque se cuenta con todos los datos:

( )

m

C C m

C hm

KcalQ

e

t S Q

05,0

º5º20.2.

.º.10.5,2.. 24** −

=⇒∆

= −λ

h

KcalQ

h

KcalQ 15,0.

05,0

15.2.10.5,2 *4

* =⇒=−

EJ. Nº7: Se aplica una fuerza de 5Kgr a una superficie de 3cm2 y otra de 30Kgr sobre una

superficie de 12cm2. ¿Cuál de las dos presiones es mayor?

Rta: Se resuelve a través de la fórmula elemental:

221

11 .667,1

3

.5

cm

Kgr

cm

Kgr

S

F P ===

22

2

22 .5,2

12

.30

cm

Kgr

cm

Kgr

S

F P ===

De las cuales se nota que la segunda situación es la que representa una mayor presión.

CELSIUS FARENHEIT KELVIN

0ºC

100ºC

-273,15ºC

273,15K

373,15K

0K

212ºF

32ºF

-469,57ºF


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EJ. Nº8: Por un caño de 2” de diámetro, circula agua a una velocidad de 20 cm/seg. ¿Qué

volumen de agua pasó en 25 seg?

Rta: Se usa la fórmula de volumen:

t Avt QV ∆=∆= ... segcm

seg

cmV 25.

4

08,5..20

22π =

lt V

cmV

13,10

.15,10134 3

=

=

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