Ingenieria Sistema Wladimir Rios

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERA OFICINA DE EDUCACION EN INGENIERIA

INGENIERA DE SISTEMAS

SERIE PUBLICACIONES DOCENTES 4708-01-002

WLADIMIR RIOS MARTINEZ

VALDIVIA-CHILE (2001)

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Indice1.

Introduccin a la Teora General de Sistemas (TGS)1.1. Conceptos fundamentales de sistemas 1.1.1. Aspectos evolutivos histricos 1.1.2. Conjunto de variables externas 1.1.3. Nivel de resolucin 1.1.4. Actividad 1.1.5. Comportamiento 1.1.6. Estados 1.1.7. Relaciones causales 1.1.8. Sistemas controlados Definicin de sistemas 1.2.1. Definicin 1 1.2.2. Definicin 2 1.2.3. Definicin 3 1.2.4. Definicin 4 1.2.5. Definicin 5 Clasificacin de sistemas 1.3.1. Primer Nivel 1.3.2. Segundo Nivel 1.3.3. Tercer Nivel 1.3.4. Cuarto Nivel 1.3.5. Quinto Nivel Problemas fundamentales 1.4.1. Anlisis de sistemas 1.4.2. Sntesis de sistemas 1.4.3. Caja negra Modelos de sistemas 1.5.1. Modelos de comportamiento. 1.5.2. Modelos de estructura ST 1.5.3. Modelos de estructuras UC Teora general de sistemas Introduccin Nivel de resolucin Conceptos fundamentales de sistemas discretos Comportamiento Estructura ST para sistemas discretos. Estructuras UC para sistemas discretos Comparacin de sistemas discretos y continuos Sistemas controlados Estructura UC Propiedades de la estructura UC para anlisis sobre ella

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

2.

Sistemas Discretos y Continuos2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

3.

Anlisis de Sistemas3.1. 3.2.

4 4 4 5 6 7 8 10 13 16 17 19 19 21 22 24 25 25 25 26 27 28 28 29 29 30 31 32 34 36 38 44 44 44 45 46 47 48 49 50 57 57 58

3 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Eliminacin de variables auxiliares. Determinacin del control Funciones discretas y sus expresiones algebraicas. Determinacin de la estructura ST. 60 61 64 68 73

4.

Bibliografa

INTRODUCCIN A LA TEORIA GENERAL DE SISTEMAS

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1.

Introduccin a la Teora General de Sistemas (TGS)1.1. Conceptos fundamentales de sistemas1.1.1. Aspectos evolutivos histricos

En su libro Perspectivas en la Teora General de Sistemas, von Bertalanffy argumenta que el concepto de enfoque sistmico es tan antiguo como la filosofa europea y lo sita en la edad presocrtica jnica en el siglo VI a.C. En esa poca, los griegos aprenden a encontrar en el mundo de la experiencia un orden o kosmos inteligible y, por tanto, controlable mediante el pensamiento y la accin racional. La cosmologa aristotlica formul este orden csmico a travs de sus nociones holsticas. El dictum aristitlico que el todo es ms que la suma de sus partes es la definicin an vlida del problema sistmico fundamental. La evolucin cientfica del siglo XVI y XVII sustituy la concepcin descriptivo-metafsica del universo, sintetizada en la doctrina aristotlica, por una concepcin matematicopositivista de Galileo, que describa los eventos mediante leyes matemticas causales. Sin embargo esta nueva concepcin reemplaz pero no elimin el Dictun Aristotlico que se mantiene hasta hoy. La ciencia no estaba preparada para tratar este problema y lo propuesto en el Discours de la Methode cartesiano, que era descomponer cada cuestin en tantos elementos simples como fuera posible, que tambin lo formul Galileo, forma parte del paradigma conceptual de la ciencia desde sus orgenes hasta el trabajo experimental que se realiza hoy en los laboratorios. Este mtodo llamado resolutivo, consiste en resolver y reducir los fenmenos complejos en procesos y partes elementales. El paradigma funcion muy bien mientras los eventos observados estaban sujetos a causas aisladas, esto es, las variables involucradas en los eventos eran muy pocas y por tanto, sus relaciones eran simples. Esto permiti una evolucin muy grande de la fsica y la tecnologa. Para resolver problemas ms complejos, donde las variables eran muchas y por tanto, las interrelaciones entre las variables se haca muy complejas, se concibieron dos ideas fundamentales: a) Establecer comparaciones con mquinas hechas por el hombre, sobre el concepto de la bte machine cartesiana y que despus generalizara LaMettrie con su homme machine. Esta teora vea a los organismos vivos con distintos disfraces, desde la mquina mecnica o de relojera hasta las concepciones de organismos como mquinas trmicas, quimico-dinmicas, celular y ciberntica, explicando los fenmenos biolgicos en sus distintos niveles b) Imaginar el orden como producto del azar, que encontrara sentido en el concepto darwiniano de seleccin natural, lo que dio lugar a la Teora Sinttica de la Evolucin. La batalla librada en las primeras dcadas del siglo XX, pona de manifiesto crecientes dudas sobre la validez del paradigma de la ciencia clsica, esto es, la explicacin de fenmenos complejos a partir de elementos aislados. Exista un factor organizativo detectado en todo ser viviente que estableca una forma de integracin de sus elementos y provea una orientacin hacia metas.

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A fines de los aos 20, von Bertalanffy escribi: Puesto que el carcter fundamental de la cosa viviente es su organizacin, la investigacin usual de procesos y elementos individuales es incapaz de ofrecer una explicacin completa de los fenmenos vitales. Estableca adems que la biologa debera modificar sus mtodos de investigacin, haciendo hincapi en el descubrimiento de las leyes de los sistemas biolgicos. A esta nueva visin, considerada como Mtodo de Investigacin, se le llam Biologa Organsmica y a su intento explicativo, Teora de Sistemas del Organismo, que ms tarde se denomin Teora General de Sistemas. El Dictum Aristotlico tena una respuesta trivial al enfoque mecanicista, pero que sin embargo planteaba bastantes inconvenientes: Las propiedades y modos de accin de los niveles superiores no pueden explicarse por la suma de las propiedades y modos de accin que corresponden a sus componentes consideradas aisladamente. No obstante, es posible llegar a los niveles ms elevados partiendo de los componentes, si se conoce el conjunto de componentes y las relaciones que existen entre los mismos. Algunos de los inconvenientes son los siguientes: Cuando se investiga la naturaleza, se circunscribe a lo que interesa de ella para efectos del estudio , lo que se llama objeto, llamando a todo lo que queda externo a l ambiente. Al considerar objetos tan complejos como la Tierra por ejemplo, entonces el ambiente lo constituye todo lo que no est considerado en el objeto Tierra. Es posible establecer los lmites exactos entre el objeto y su ambiente? Tanto la paradoja aristotlica como el reduccionismo cartesiano se han mezclado en arduas discusiones, pero que sin embargo no han aadido nada nuevo al hecho que para comprender el todo organizado, se debe conocer previamente sus partes y las relaciones que existen entre ellas. Sin embargo, los medios actuales no permiten estudiar los objetos en toda su complejidad.

1.1.2 Conjunto de variables externas. De los objetos elegidos para estudiar, se observan o miden la apariencia de ciertos atributos, o dicho de otro modo, se observan o miden valores de ciertas variables. Por tanto, la eleccin depender de lo que se considere relevante para estudiar el objeto, eliminando del anlisis otros atributos interrelacionados que pueden ser de gran inters para analizar el mismo objeto pero desde otra perspectiva cientfica. Cada variable mensurable bajo consideracin debe estar determinada en el espacio. Por ejemplo, el potencial elctrico, la corriente elctrica y la carga elctrica puede estar especificada en un punto, en un rea y en un volumen en el espacio respectivamente. Del mismo modo, la velocidad y aceleracin de un cuerpo se asocian con cierta posicin del cuerpo en el espacio. Si la posicin es relevante, entonces se debe considerar como una variable a medir. En este caso, no se requiere de la posicin absoluta en el espacio, sino una posicin relativa, con el fin de interrelacionarla con otras variables bajo consideracin. W. Rios M.


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A veces incluso la posicin relativa es irrelevante y las variables se pueden especificar en el espacio en relacin con otro objeto que le es propio. Por ejemplo, el potencial elctrico est definido para un terminal, en cambio la corriente elctrica est definida para una seccin transversal de un conductor elctrico y en tales casos, el potencial de la corriente elctrica no depende de la posicin del terminal o del conductor, o sea, su posicin es irrelevante. Sin embargo, si la posicin es una variable relevante (por ejemplo la posicin de un conductor dentro del enducido de una dnamo), se debe especificar como una variable separada. Por otro lado, adems de las especificaciones de espacio, las variables se deben especificar con relacin al tiempo, es decir, se debe especificar el comienzo de las observaciones (habitualmente establecida como tiempo cero), as como las mediciones sucesivas. Pero del mismo modo que para la especificacin de espacio, la medicin del tiempo puede ser irrelevante. Las dos especificaciones mencionadas comnmente se llaman especificacin espaciotiempo.

1.1.3 Nivel de resolucin Una vez que se han establecido las variables a ser observadas o medidas y despus de definirse su especificacin espacio-tiempo, se debe decidir la exactitud y frecuencia de las observaciones o mediciones, que se denomina nivel de resolucin espacio -tiempo. El nivel de resolucin que se utilice depender exclusivamente de la capacidad de resolver de nuestros sentidos o de los instrumentos de medida utilizados. A veces intencionalmente se utilizan niveles de resolucin ms bajos con el fin de desechar las fluctuaciones aleatorias (por ejemplo ruido trmico en dispositivos elctricos, movimiento browniano en pequeas partculas inmersas en un lquido, ruido ambiental en acstica, etc.). Ejemplo 1.1 Se puede medir la temperatura de un paciente con niveles de exactitud de 1, 2 o 0,05 y registrarlos respecto del tiempo con una frecuencia diaria, horaria, cada minuto o cada segundo. Sin embargo, para efectos prcticos no se requiere una resolucin alta, pues las variaciones que interesan son superiores a los dos grados y su frecuencia puede ser horaria o an menos frecuente. Ejemplo 1.2 Supngase que en una resistencia elctrica se registran las variaciones en el tiempo del voltaje v y flujo de corriente i(t). Si las medidas se hace discretamente en el (t) tiempo, partiendo del tiempo t=ta o tiempo cero y terminando en el tiempo t=tbta 0 0 0 t1 1 0,6 0,2 t2 2 1 0,33 t3 3 1,8 0,6 t4 4 3 1 t5 5 2 0,67 t6 6 2,5 0,83 t7 7 3,5 1,17 t8 8 4 1,33 t9 9 2 0,67 t10 10 1,5 0,5 tb 11 0 0

t(segundos) v(volts) i(mA)

Cuadro 1.1 Mediciones discretas de las variables v(t) e i(t)

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En la Figura 1.1, se muestra la misma medicin pero realizada continuamente respecto del tiempo. Se puede observar que la medicin discreta para este ejemplo, no permite visualizar el efecto del ruido trmico producido por el paso de la corriente, que s se visualiza en una medicin continua. Por tanto, la ley de Ohm (relacin lineal) sirve para aquellos casos en donde el nivel de exactitud no es relevante.

5 v(volts); i(mA) 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t(segundos) v(volts) i(mA)

Figura 1.1 Medicin continua de variables v(t) e i(t)

Las relaciones invariantes en el tiempo, se supone que son aquellas que se satisfacen en un cierto intervalo de tiempo. El conjunto de variables, nivel de resolucin, las relaciones invariantes en el tiempo entre las variables y las propiedades que determinan esas relaciones, son los tratados fundamentales de los sistemas estudiados por las ramas experimentales de la ciencia. Para todos los efectos de las siguientes definiciones, se asume que el sistema est caracterizado por un conjunto de variables y por diferentes propiedades q determinan las ue relaciones invariantes en el tiempo (ya sea determinstica o estadsticamente) entre esas variables a un nivel de resolucin dado.

1.1.4 Actividad Se definen a continuacin los siguientes conceptos:

Nivel de actividad. Conjunto de variaciones en el tiempo de todas las variables bajo consideracin, a un nivel de resolucin dado. Intervalo de tiempo de una actividad. Puede ser el espacio de tiempo completo en que se realiza la observacin de las variables relevantes (en investigacin experimental de sistemas), o bien el intervalo en el cul las variaciones en el tiempo estn dirigidas (en el caso de ingeniera en el diseo de sistemas). Sistema simple. Clase de objetos que difieren mutuamente en forma casi irrelevante en sus especificaciones de espacio-tiempo.

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Relaciones absolutas. Aquellas que se satisfacen en un intervalo completo de tiempo para cualquier posible nivel de actividad que tengan las variables a un nivel de resolucin. Relaciones relativas. Aquellas que se satisfacen siempre para un nivel particular de actividad a un nivel de resolucin. Relaciones locales. Se aplican solo a intervalos muy cortos de tiempo de una actividad en particular.

Ejemplo 1.3 Si el voltaje sobre una resistencia lineal se cambia dentro de ciertos lmites, la corriente depende del voltaje aproximadamente de acuerdo a la ley de Ohm. Sin embargo, si se aplica un voltaje demasiado alto (un voltaje crtico Vcrit), se destruye la resistencia y desde ese momento la corriente es cero, independientemente del voltaje. Evidentemente se distinguen claramente dos relaciones en este caso: a) La primera relacin local est representada por la Ley de Ohm y la segunda relacin local por la corriente cero. b) Las relaciones relativas dependen de la actividad bajo consideracin en una o ambas de las dos relaciones locales. c) Las relaciones absolutas contienen ambas relaciones locales.

Vcrit

Vcrit v(t) i(mA) v(V)

Vcrit v(t)

v(t) i(mA) v(V)

i(mA) v(V)

i(t) i(t) 0ta

i(t)

t(seg)

tb

0

ta

t(seg)

tb

0

ta

t(seg)

tb

Figura 1.2 Voltajes y corrientes en una resistencia elctrica

1.1.5 Comportamiento El comportamiento del sistema es una relacin invariante en el tiempo especificada para un conjunto de variables a un nivel de resolucin y basados sobre muestras de un cierto modelo. Se distinguen tres clases de comportamiento: Comportamiento permanente (real). Corresponde a la relacin absoluta o, en otras palabras, al conjunto de todas las relaciones locales. Comportamiento relativamente permanente (conocido). Corresponde al conjunto de todas las relaciones locales de una actividad en particular.

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Comportamiento temporal. Corresponde a la relacin local para una seccin especfica de una actividad particular. Si el sistema exhibe un comportamiento en particular, este debe poseer, como se mencion anteriormente, ciertas propiedades que producen este comportamiento, que se denominan Organizacin del Sistema. Puesto que el comportamiento de un sistema puede cambiar, se asume que la organizacin de un sistema tambin puede cambiar. En este caso, ser ventajoso definir la parte constante y la parte variable de la organizacin del sistema. Se definen por tanto, dos nuevos conceptos: Estructura. Corresponde a la parte constante de la organizacin del sistema. Estructura real. La que forma la base del comportamiento permanente. Estructura hipottica. La que corresponde al comportamiento relativamente permanente. Programa. Corresponde a la parte variable del sistema. Elementos de un Sistema. Si el comportamiento de un sistema se puede descomponer en relaciones ms simples, entonces se puede asumir que el sistema est compuesto de sistemas ms simples o subsistemas a los que se les llama elementos del sistema original. Entonces, el comportamiento de un sistema en particular est determinado, por un lado, por el comportamiento de sus elementos y por otro lado por la composicin de estos comportamientos. Es apropiado hablar sobre composicin de comportamiento de dos elementos, solo si estos exhiben alguna variable externa comn. Variables externa. Valores instantneos y/o pasados y/o futuros observados del comportamiento del sistema. Variables internas. Variables que solo juegan un papel mediador en el comportamiento del sistema. Acoplamiento. Conjunto de todas las variables externas comunes entre dos elementos de un sistema. Acoplamiento real. Son aquellos vlidos sobre todo el intervalo de tiempo para cualquier actividad del sistema. Acoplamiento hipottico. Son vlidos para un nivel particular de actividad del sistema. Se puede ver claramente que los acoplamientos reales, junto con los comportamientos permanentes de todos los elementos del universo que interesan, participan de la estructura real, mientras que los acoplamientos hipotticos junto con los comportamientos relativos o permanentes del universo, participan de la estructura hipottica.

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1.1.6 Estados Es el conjunto de valores instantneos producto de la medicin de todas las variables, tanto externas como internas, del sistema. Cuando las medidas se refieren solo al conjunto de medidas internas, entonces se denota como estado interno del sistema. Con la ayuda del concepto de estado, un programa para cualq uier instante de tiempo se puede definir como el estado instantneo del sistema, un conjunto de otros estados no instantneos y un conjunto de transiciones desde el estado instantneo a los dems estados bajo consideracin en el tiempo. De este modo, el programa es variable desde el punto de vista del estado instantneo del sistema, y existen diferentes programas para diferentes subconjuntos del conjunto de todos los estados del sistema. Programa completo. Es un estado instantneo junto con un conjunto de todos los dems estados del sistema, y el conjunto de todas las transiciones desde el estado instantneo a todos los otros estados del sistema en el tiempo. Subprograma. Es un estado instantneo, junto con un conjunto no vaco de un subconjunto de todos los dems estados del sistema, y un subconjunto no vaco del conjunto de todas las transiciones desde el estado instantneo a todos los estados del subconjunto bajo consideracin en el tiempo Programa instantneo. Es un estado instantneo y las transiciones desde ese estado. Siendo generalmente variable, el programa completo contiene una parte constante, es decir, el conjunto completo de estados y el conjunto completo de transiciones entre los estados. Esta parte constante debera, de acuerdo con la clasificacin anterior de la organizacin del sistema, ser incluido en la estructura. A esta parte de la estructura se le llamar Estructura de Transicin de Estado o Estructura ST. De este modo, la estructura ST est definida como el conjunto completo de estados, junto con el conjunto completo de transiciones entre los estados. Nuevamente debemos distinguir entre la estructura real de transicin del estado y la estructura hipottica de transicin de estado. Si se examina el programa del sistema sobre un largo perodo de tiempo, se pueden encontrar probabilidades experimentales para diferentes transiciones para cada uno de los estados. Estas probabilidades se pueden considerar como el suplemento de la estructura de transicin de estado. La Estructura de Universo y Acoplamiento o Estructura UC, junto a la estructura de transicin de estado (estructura ST) forman la Estructura del Sistema, o simplemente la Estructura. Ejemplo 1.4 Suponiendo un voltaje elctrico v y una corriente elctrica i que se miden en una resistencia simple. Entonces, un estado instantneo S es un par ordenado (v,i) y la estructura de transicin de estado se representa por las caractersticas voltaje-corriente de la Figura 1.3. El programa instantneo definido para el estado S=(v,i ) depende claramente del valor de v e i . En la figura se muestran estados tpicos junto con las posibles transiciones de estado. Los estados S3 y S4 representan los valores positivos y negativos de voltajes crticos que destruyen la resistencia, de tal modo que existe una nica transicin desde cualquiera de esos estados (S 3 S5 ,S4 S6 ), durante el cul la corriente cambia autnomamente de su valor crtico (i crit ) a cero sin ningn cambio de voltaje. Esta transicin es irreversible. Cada

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uno de los otros estados se asocia con dos transiciones que son provistas con un simple cambio de voltaje (o de corriente) que se aumenta o reduce en v ( i , respectivamente). a) (v,i) (v + v, i + i ) y (v,i ) (v - v, i - i ) en caso de los estados S0, S1 y S2 (dos estados adyacentes que difieren por | v | y | i |), b) (v,0) (v + v, 0 ) y (v,0) (v - v,0) en caso de todos los otros estados Todas las transiciones, excepto las que existen entre los estados S3 y S4 dependen de cambios externos ya sea de voltaje o corriente. Las transiciones desde los estados S3 y S4 son autnomas. Para estas transiciones el sistema procede de un conjunto tpico de subprogramas (cualquier estado instantneo entre S3 y S4 , junto con el conjunto de todos los estados entre S3 y S4 y sus transiciones) a o conjunto tpico de subprogramas (cualquiera tro de los otros estados, junto con el conjunto de todos los estados y sus transiciones).

Figura 1.3. Estados en una relacin voltaje-corriente en una resistencia

Se debe notar que el estado S0 = S0 = (0,0) tienen diferentes transiciones en cada uno de los dos subprogramas. Esto significa que S0 y S0 son, de hecho dos estados diferentes. Puesto que estos dos estados no se distinguen por v y i , entonces deben existir otras variables que los distingan. Aparentemente esta variable es la conductancia G o resistencia R del resistor. De esta forma, los estados del sistema son ordenados por la triada (v,i,G), G 0 que corresponde al primer conjunto tpico de subprogramas; G=0 corresponde al segundo grupo tpico de subprogramas. El voltaje y la corriente son variables externas y la conductancia es una variable interna para este ejemplo particular. Suponiendo que solo es posible distinguir los estados que se muestran en la figura, entonces este es un problema de nivel de resolucin.

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Parte del programa se muestra en la Figura 1.4 y que corresponde al estado instantneo S0 . Para cada instante de tiempo bajo consideracin se obtiene un conjunto de posibles estados. Para diferentes estados instantneos se obtienen diferentes programas. Si un mismo par de estados ocurre para el mismo instante de tiempo, no se pueden distinguir y por tanto se pueden representar en un nico par de estados. Si se consideran los estados y transiciones sin mirar el tiempo, entonces los mismos estados que solo se distinguen por el tiempo, se pueden unir para formar la estructura estadotransicin (estructura ST), que se tratarn en mayor detalle mas adelante.

S5

S3

S1

S1

S0

S0

S2

S2

S4

S6

to

t1

t2

t3

Figura 1.4 Subprograma para el estado S0

Los factores que pueden afectar el comportamiento del sistema son los elementos del universo del sistema, el ambiente del sistema y algunos acoplamientos entre ellos. Desde este punto de vista, el experimentador forma parte, en muchos casos, del ambiente del sistema y podra por tanto, influir en su comportamiento. Ejemplo 1.5 Consideremos un circuito elctrico como el descrito en la Figura 1.5, el que es operado por una fuente elctrica y un switch que se activa manualmente.P Ambiente del Sistema Relacin invariante en el tiempo: P>=pc

Ampolleta

Luz

Fuente 220 volts

Figura 1.5 Estructura fsica del dispositivo de prueba

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Sea la variable bajo consideracin p aplicada sobre el botn del switch que enciende la luz de la ampolleta. Entonces la relacin invariante en el tiempo entre estas variables determinada por el sistema es p pc la luz se enciende; si p 0.07 V1 0 220 220 220 V2 0 0 0 220 V3 0 220 0

Cuadro 1.5 Comportamiento permanente entre variables P,V 1,V 2 y V 3

Calefactor:

Potencial V 3, calor C producida por segundo pudiendo tomar valor 0 o 1 Kw. V3 0 220 M 0 1 Kw

Cuadro 1.6 Comportamiento permanente entre variables V3 y M

Ventilador:

Potencial V2 , enfriamiento F producido por segundo pudiendo tomar valor 0 o -1 Kw. V2 0 220 C 0 -1 Kw

Cuadro 1.7 Comportamiento p ermanente entre variables V2 y C

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El ambiente del sistema contiene cuatro de estas variables asociadas con los elementos T, V1 , C, F. Entre Termmetro y swtich Termmetro y calefactor Termmetro y ventilador Termmetro y ambiente Swtich y calefactor Swtich y ventilador Swtich y ambiente Calefactor y ambiente Ventilador y ambiente Contiene Presin P No hay No hay Temperatura T Potencial V3 Potencial V2 Potencial V1 Calefaccin C Enfriamiento F

Cuadro 1.8 Acoplamiento entre los elementos de Ejemplo 1.13

El diagrama en bloques de la estructura UC se muestra en la Figura 1.7.

1.2.5 Definicin 5. Definicin mediante la estructura ST real. El sistema controlado S es un conjunto dado de estados junto con un conjunto de transiciones entre estos estados. Cada transicin puede, pero no necesariamente estar asociado con la probabilidad de su ocurrencia. Generalmente un simple estmulo se asocia con una simple transicin. Formalmente: El sistema controlado S es un conjunto dado de estados junto con una relacin binaria R(S,S) definido sobre S y a veces con un mapeo (si,sj) P(si|sj) asignando probabilidades condicionales P(si|sj) de transiciones de si a sj para los elemento (si,sj) R(S,S), es decir S = {S,R(S,S)} o bien, asignando probabilidades S = {S,R(S,S), (si,sj)-> P(si|sj): (si,sj) R(S,S), P(si|sj) 1,

P(si|sj) = 1 para un valor fijo de si }j

Se debe notar que las probabilidades incluidas en las definiciones (3) y (5) tienen significado solo si las correspondientes relaciones no son mapeadas, es decir, si ellas son uno-a-muchos. Todas las probabilidades son igual a 1 si las relaciones son mapeadas.

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1.3

Clasificacin de sistemas

Los sistemas se pueden clasificar de diferentes puntos de vista, dependiendo de los objetivos que se deseen alcanzar con tal clasificacin. La siguiente propuesta de George Klir [5.1] establece una clasificacin que servir a los objetivos de anlisis, sntesis e investigacin de sistemas mirndolos como una caja negra.

1.3.1 Primer nivel Los sistemas se pueden clasificar de acuerdo al tipo de variables asociadas, de tal modo que estos pueden ser: Fsicos, son aquellos cuyas variables son medibles. Reales, las variables realmente existen. Conceptuales, las variables slo son asumidas. Acotados, poseen un nmero de variables externas y estructura finita. No acotados, tanto las variables externas como la estructura es indeterminada. Sistemas abstractos, en donde las variables no son posibles de ser medidas. Grficamente, esta primera clasificacin se puede visualizar en la Figura 1.8Real (1) Fsico Conceptual Sistema Acotado (1) Abstracto No Acotado (1)Figura 1.8 Clasificacin del primer nivel de sistemas

Acotado (1) No Acotado (1)

(1) Clasificaciones que se desagregan en un segundo nivel 1.3.2 Segundo nivel Este nivel de clasificacin se realiza desde el punto de vista de los valores de las variables internas y externas y de la distribucin en el tiempo que stas tengan Sistemas continuos. Es posible expresar la relacin entre las principales variables mediante ecuaciones diferenciales. Las variables externas junto con las derivadas de tiempo forman el conjunto de variables principales. Sistemas discretos. Las relaciones entre las variables principales se pueden expresar por ecuaciones con una lgica algebraica particular.

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Sistemas de pulsos. Estos sistemas se basan en la teora de muestreo de Whittaker que dice: Cada funcin contnua de tiempo que tiene un espectro de frecuencia con un lmite superior de frecuencia fmax se puede sustituir adecuadamente por un nmero finito de sus valores registrados en intervalos de tiempo de t = 2f 1max

Sistemas hbridos. Tienen elementos de sistemas discretos o de pulsos junto con elementos de sistemas continuos.

Grficamente, este segundo nivel de clasificacin se puede visualizar en la Figura 1.9Continuo (2) Discreto (2) (1) Pulso (2) Hbrido (2)Figura 1.9 Clasificacin del segundo nivel de sistemas

(2) Clasificaciones que se desagregan en un tercer nivel

1.3.3 Tercer nivel Este tercer nivel de clasificacin de sistemas tiene que ver con la historia del sistema. Sistema nico. Todo sistema que se analice desde el punto de vista de su comportamiento histrico es nico, si el nivel de resolucin es los suficientemente fino como para distinguir entre comportamientos aparentemente similares. Si se consideran dos estructuras UC que representan el mismo comportamiento pero al menos uno de los componentes difiere entre las dos estructuras, entonces existir una diferencia en su nivel de resolucin estructural. Un razonamiento similar se puede hacer desde el punto de vista de la estructura ST. Sistema repetido. A veces es necesario relajar el nivel de resolucin de tal modo que el comportamiento entre los sistemas se haga indistinguible e incluso poder trabajar con valores medios. Sistema controlado. Es aquel donde es posible establecer una clara separacin entre variables producidas por el ambiente (imputs) y las producidas por el sistema (outputs), adems de poder establecer una clara relacin de dependencia entre las variables producidas por el sistema respecto de las producidas por el ambiente. Sistema neutral. Es aquel donde no es posible establecer una clara relacin de dependencia entre las variables ms importantes y por tanto no es posible conocer el control.

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Grficamente, este tercer nivel de clasificacin se puede visualizar a continuacin:Controlado (3) Unico Neutral (2) Controlado (3) Repetido Neutral

Figura 1.10 Clasificacin del tercer nivel de sistemas

(3) Clasificaciones que se desagregan en un cuarto nivel

1.3.4 Cuarto nivel Si los sistemas son controlados, entonces se puede hacer una subclasificacin de estos desde el punto de vista del tipo de relaciones entre las principales variables de salida y las dems, o sea, desde el punto de vista de su comportamiento. Se pueden distinguir los siguientes tipos: Sistemas deterministicos. Todas las relaciones se pueden representar por un mapeo (sean relaciones uno-a-uno o muchos a uno). O sea, las principales variables de salida son funciones de las otras variables principales, luego, no se puede asignar ninguna probabilidad a los elementos de las relaciones. Los sistemas determinsticos pueden subdividirse a su vez en: Sistemas combinacionales (sin memoria). Todas las variables principales estn definidas solo sobre la base de valores instantneos de variables externas. Sistemas secuenciales. Al menos una de las variables principales no est definida como valores instantneos de una variable externa. Sistemas probabilsticos (o estocsticos). Al menos una de las relaciones Rk no est representada por un mepeo (representada por una relacin uno-a-uno). Cada elemento (a,b) de la relacin est asociada con una probabilidad condicional P(b,a) de ocurrencia de b cuando ocurre a. Estos sistemas se pueden subdividir en: Sistemas probabilsticos simples (sin memoria). Todas las variables principales estn definidas sobre la base de valores instantneos de variables externas. Sistemas probabilsticos complejos (secuenciales). Al menos una de las variables principales no est definida como los valores instantneos de una variable externa. Grficamente, este cuarto nivel de clasificacin se puede visualizar como sigue:

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Combinacional (sin memoria) Determinstico Secuencial (4) (3) Simple Probabilstico (estocstico) Complejo (4)

Figura 1.11 Clasificacin del cuarto nivel de sistemas

(4) Clasificaciones que se desagregan en un quinto nivel

1.3.5 Quinto nivel Tanto los sistemas secuencial y complejo a su vez pueden subdividirse como sigue: Sistemas anticipatorios (teleolgicos). Al menos una de las variables principales est definida sobre la base de un valor futuro de una variable externa con respecto al tiempo de referencia de las variables externas. Sistemas no anticipatorios (fsicamente realizables). Ninguna variable principal est definida sobre la base de valores futuros de variables externas con respecto al tiempo de referencia de las variables externas. Grficamente, este quinto nivel de clasificacin se puede visualizar a continuacinAnticipatorio (teleolgico) (4) No anticipatorio (fsicamente realizable)Figura 1.12 Clasificacin del quinto nivel de sistemas

En cualquier problema que se trate con sistemas, siempre algunas de sus propiedades son conocidas y a partir de stas se encuentran las dems. Evidentemente, el sistema se puede determinar solo por las propiedades que se den, las que por supuesto, deben ser consistentes y suficientemente completas para permitir el establecimiento de las dems propiedades. Por lo tanto, las distintas definiciones de sistemas que se han visto sern aplicables a diferentes problemas.

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1.4.

Problemas fundamentales

Cuando se trabaja con sistemas, es frecuente encontrar problemas que se pueden clasificar en tres grandes grupos: 1. Anlisis de sistemas 2. Sntesis de sistemas 3. Investigacin del sistemas visualizando este como una caja negra. En cualquier problema que tenga que ver con sistemas, se parte de algunas propiedades conocidas y con la ayuda de estas se encuentran las dems. Por tal motivo, es posible establecer distintas definiciones de sistemas, dependiendo del problema que se enfrenta, pues en cada uno de estos se conocen propiedades distintas.

1.4.1. Anlisis de sistemas. En este caso, se da la estructura UC por tanto, se utiliza la definicin bsica 4 de sistema. La tarea de anlisis es eliminar de las relaciones y acoplamientos dados, todas las variables, excepto las principales. O sea, la tarea en anlisis es encontrar el comportamiento y/o la estructura ST del sistema que corresponde a la estructura UC dada. Las variables principales y su significado deberan acompaar directamente a la estructura UC dada. El procedimiento esquemtico se muestra en la Figura 1.13Comportamiento (Definicin 3)

Estructura UC (Definicin 4)

Estructura ST (Definicin 5)

Figura 1.13 Procedimiento de anlisis

1.4.2. Sntesis de Sistemas. Corresponde al inverso de anlisis de sistemas y se puede formular como sigue: Se da un comportamiento y/o una actividad y/o una estructura ST de un sistema y un conjunto de tipos de elementos (entendindose por tipo, elementos que poseen igual comportamiento permanente). Se debera encontrar una estructura del sistema que tenga un comportamiento dado y entonces se busca una estructura UC apropiada. Por tanto, la tarea de sntesis

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consiste en encontrar qu estructura de entre todas las posibles, satisface los requerimientos en la mejor forma posible. Esquemticamente se presenta en la Figura 1.14

Demandas hechas sobre la Estructura ST

Estructura ST (Definicin 5)

Actividad (Definicin 2)

Comportamiento permanente (Definicin 3)

Demandas sobre la Estructura UC

Estructura UC (Definicin 4)

Figura 1.14 Procedimiento de sntesis

1.4.3. Caja Negra Este trmino ha sido adoptado para cada sistema cuya organizacin y/o comportamiento es desconocido (o no completamente conocido) y se debe determinar su estructura. Por otro lado, las variables externas del sistema se supone que son observables o medibles a un determinado nivel de resolucin y estn disponibles para una experimentacin. De este modo, cada problema de caja negra est basado en la Definicin (1) al cul se van agregando otros rasgos del sistema investigado. Los problemas de caja negra difieren de los anteriores principalmente en el conocimiento que se tiene de las variables sobre la organizacin y/o el comportamiento del sistema investigado. Si se tiene informacin sobre la organizacin de la caja negra (por ejemplo, se conoce el nmero de elementos y su tipo), se puede muchas veces, bajo ciertas suposiciones y con la ayuda de experimentos controlados, obtener un conocimiento total sobre su comportamiento permanente. Por tanto, los problemas de caja negra tienen la misma meta que el anlisis de sistemas: determinar el comportamiento, el programa y/o la estructura del sistema. Mayores detalles sobre Caja Negra se darn mas adelante.

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Esquemticamente, el problema de Caja Negra se presenta a continuacin:

Programa real completo

Estructura Hipotetica ST

Estructura real ST (Definicin 5)

Informacin sobre la estructura ST

Caja Negra (Definicin 1)

Actividad (Definicin 2)

Comportamiento relativamente permanente

Comportamiento permanente (Definicin 3)

Informacin sobre la estructura UC

Estructura Hipottica UC

Estructura real UC (Definicin 4)

Figura 1.15 Procedimiento de caja negra

1.5.

Modelos de Sistemas

Utilizado la teora de la similitud, un sistema real es reemplazado por un modelo que debera representar las caractersticas de ste (o las caractersticas ms importantes de ste). La ventaja de experimentar con modelos es que es ms rpido de implementar, ms barato que hacer pruebas con un sistema real, sin peligro de las consecuencias producidas por errores, ms cmoda de usar puesto que se pueden hacer abstracciones de elementos, pudindose concentrar el estudio en ciertos factores de inters y a veces ms exacta, puesto que se puede considerar que el sistema est hecho de elementos ideales, asignndoles la eficiencia que se desee. Los tres modelos ms importantes son: Modelos de comportamiento Modelos de estructura ST Modelos de estructura UC

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1.5.1. Modelos de comportamiento Se requiere que tanto el sistema original como el modelo demuestren el mismo comportamiento, a pesar que las otras caractersticas podran ser un poco diferentes. Sea un par de sistemas S1 y S2, cada uno de los cuales est definido por el comportamiento permanente. Para usar S2 como un modelo de comportamiento de S1, debe existir una asignacin mutua nica entre las componentes de los dos comportamientos, de tal modo que ambos sean iguales. Se asume que la asignacin consiste de las siguientes correspondencias uno a uno. 1) La correspondencia uno a uno k1 entre las principales variables del sistema S1 y el sistema S2. 2) La correspondencia uno a uno k2 entre los valores de los pares de las principales variables que estn representadas por k1. Suponiendo que las componentes del comportamiento de S2 se sustituyen de acuerdo a k y 1 k2 por las componentes del comportamiento de S1. Si el comportamiento de S2 despus de la sustitucin es igual al comportamiento de S1, entonces el conjunto M1 = {R2, k1 , k 2 } representa el modelo de comportamiento de S1 M2 = {R1, k1 , k 2 } representa el modelo de comportamiento de S2 Ejemplo 1.14 Sean dos relaciones R 1 (relaciona los valores de las variables X e Y) y R 2 (relaciona los valores de las variables W y Z) y que representan el comportamiento de dos sistemas S1 y S2 respectivamente.X 1 Y a A W Z I

2

b

B

II

3

c

C

III

4

d

D

IV

S1 R1(X X,Y)

S2 R2(X W,Z)

Figura 1.16 Comportamiento permanente de los sistemas S1 y S2

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Usando correspondencias uno-a-uno X Z y W Y (que es k1) entre las variables de S1 y S2, e introduciendo una correspondencia uno-a-uno X Z Y W Y (que es k2 ) entre los valores de las variables.S1 S2 W A X W Y a Z I X 1

B

b

II

2

C Y Z D k1

c

III

3

d k2

IV

4

Figura 1.17 Correspondencia k 1 entre variables de S1 y S2 y k 2 entre valores de las variables de S1 y S2

Se puede considerar S2 junto con las correspondecias uno-a-uno k1 y k2 como un modelo de comportamiento de S1 y viceversa.

Modelo de Comportamiento para sistemas controlados. Sea S1 y S2 dos sistemas controlados definidos por sus comportamientos respectivamente. Asumiendo: a) b) c) d)

R1

y

R2

Existe un mapeo k1 de las variables de entrada de S1 a las variables de entrada de S2. Sea k2 el mapeo de valores de las variables de entrada S1 a valores de las variables de entrada de S2 de acuerdo a k1 . Existe un mapeo L 1 de las variables de salida de S2 a las variables de salida de S1 Sea L 2 el mapeo de valores de las variables de salida de S2 a valores de las correspondientes variables de salida de S1 de acuerdo a L 1 .

El mapeo k1 y k2 se llaman mapeos de entrada. El mapeo L1 y L2 se llaman mapeos de salida.

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S1

Estmulos del Ambiente

k1

Mapeos de Entrada

k2

L1

Mapeos de Salida

L2

S2

Figura 1.18 Modelo de comportamiento de un sistema controlado

Si el sistema S2 junto con los mapeos produce respuestas iguales al sistema S1 para cualquier estmulo equivalente que provenga del medio ambiente, entonces el conjunto: M1 = {R2 , k1 , k2 , L1 , L2} Representa el modelo de comportamiento del sistema controlado S1. M2 = {R1 , k1 , k2 , L1 , L2} Representa el modelo de comportamiento del sistema controlado S2.

1.5.2. Modelos de estructura ST Sea un par de sistemas S1 y S2 definidos por su estructura ST (Definicin 5), S1 y S 2 respectivamente. El sistema S2 se puede usar como un modelo de S1 si existe una asignacin nica entre los componentes de las dos estructuras ST bajo la cual ambas estructuras ST son iguales. La asignacin consiste de: 1) Una correspondencia uno a uno k1 entre los estados de S 1 y S 2. 2) Una correspondencia uno a uno k2 entre las transiciones entre estados de S 1 y S 2 tal que para cada transicin entre dos estados de S 1 se asigne una transicin entre los correspondientes dos estados de S 2 (asignados por k1 ) y viceversa. Por tanto M1 = {S2, k1 , k 2 } representa el modelo de estructura ST de S1 M2 = {S1, k1 , k 2 } representa el modelo de estructura ST de S2

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Ejemplo 1.15 Sea los siguientes sistemas S1y S2 definidas por las estructuras ST respectivamente, mostradas en las figuras siguientes:1 1 1 2 1 0,5 1 0,3 0,3 1 2 0,2 3

S1 y S 2

0,2

0,5

0,5

3

S1

S2

Figura 1.19 Modelo de estructura ST

Los estados se denotan por crculos, las transiciones por las flechas dirigidas y las probabilidades de transicin por los nmeros asociados a las lneas. Sean las siguientes correspondencias uno a uno: 1 3 2 1 3 2 ( 1 , 2 ) ( 3, 1 ) ( 2 , 3 ) ( 1, 2 ) ( 3 , 1 ) ( 2, 3 ) ( 3 , 2 ) ( 2, 1 ) ( 3 , 3 ) ( 2, 2 )

k1=

k2=

Luego: M1 ={S2 , k1, k2 } M2 ={S1 , k1, k2 } es un modelo de la estructura ST de S 1 . es un modelo de la estructura ST de S 2 .

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1.5.3. Modelos de estructuras UC Sea S1 y S2 dos sistemas definidos por sus estructuras UC U1 y U2 respectivamente. Para poder usar S2 como modelo de S1, las componentes de la estructura UC deben estar dispuestas de tal forma que las estructuras UC se hagan iguales bajo una determinada asignacin. Sean las siguientes correspondencias uno a uno: 1) Una correspondencia uno a uno k1 entre los elementos de U1 y U2. 2) Una correspondencia uno a uno k2 entre las variables de U1 y U2 (tanto internas como externas). 3) Una correspondencia k3 uno a uno entre los valores de los correspondientes pares de variables en U1 y U2 de acuerdo a k2 . El conjunto M1 ={U2 , k1 , k2, k3 } tiene la propiedad del modelo de estructura UC, si k1 , k2 y k3 son correspondencias tales que: a) b) Cada elemento de U2 es, bajo k2 y k3 un modelo de comportamiento del correspondiente elemento de U1 (asignado por k1 ). Cada acoplamiento de U2 bajo k2 es igual al acoplamiento entre el correspondiente par de elementos de U1 (asignado por k1 ).

Ejemplo 1.16 Sea el sistema S1 que contiene tres elementos a1, a2, a3 cuyos comportamientos son 1, 2 y 3: 1x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

2x3 x4 x5 x6 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

3x6 x7 0 0 0 1 1 0

a1

a2

a3

Cuadro 1.9 Matrices de comportamiento para los elementos del sistema S1

Sea el sistema S2 que contiene tres elementos b1 , b2 , b3 cuyo comportamiento es 1, 2 y 3

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37 3y4 y5 y6 y7 a b c 0 b b c 0 a a c 0 a b d 0 a b c 1 b a d 1

1y1 y2 1 0 0 0 1 1

2y2 y3 y4 y5 0 d a b 0 c b a 1 d b a 1 c a a 1 c b b 1 c b a

b1

b2

b3

Cuadro 1.10 Matrices de comportamiento para los elementos del sistema S2

El sistema S2 se puede usar como un modelo de estructura UC de S1 (y viceversa), si se proveen las siguientes correspondencias: a1 b3 a2 b2 a3 b1 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 c b b c 1 0 1 1 1 0 0 1

k1 :

k2 :

k3 :

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7

x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1

0 0 d a a a 0

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INTRODUCCIN A LA TEORIA GENERAL DE SISTEMASx1 x2

38

a1 x7 x3 x4

y1

y3

y6

y7

y4a2 x6

y2a3

b1

b2 y5

b3

x5

Figura 1.20 Modelos de estructura UC para el problema 1.16

1.6.

Teora general de sistemas

Los modelos podran, pero no necesariamente ser de la misma rama cientfica que el sistema original. Por ejemplo, un sistema de ingeniera se puede investigar usando un modelo cuyas propiedades cuantitativas simplemente se ajustan de acuerdo a un determinado factor para reflejar el sistema original. Esto se conoce como la teora de la similaridad en donde fenmenos tales como las propiedades dinmicas de aeroplanos, barcos, etc. son investigadas mediante modelos a escala. Sin embargo, el mismo sistema de ingeniera se podra investigar utilizando un modelo cuyas propiedades fsicas son esencialmente diferentes del sistema original. Por ejemplo, se podra usar un sistema elctrico puro como modelo de un sistema mecnico puro, un sistema trmico, un sistema biolgico, etc. Este es el principio bsico de la computacin analgica.Sistema 1Mapeo 1

CLASES DE SISTEMAS

Sistema 2

Mapeo 2

Sistema General

Mapeo k

Sistema k

Figura 1.21 Uso de un sistema general para describir diferentes clases de sistemas

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Se entiende como sistemas generales a un modelo abstracto de un sistema particular o clase de sistemas (sea fsico o abstracto) que no tiene una interpretacin concreta pero que satisface todos los requerimientos del modelo respectivo. Con diferentes mapeos (k1, k2 o k3 vistos en modelos de comportamiento, UC y ST), un sistema general particular (o un sistema general de una clase particular) se puede usar como modelo para una extensa clase de sistemas particulares diferentes, segn se muestra en la Figura 1.21 Se puede ver que un sistema general no es nico. Cada sistema desplegar las propiedades del sistema general, sin embargo los distintos sistemas tienen caractersticas fundamentales, por ejemplo, diferentes niveles de resolucin, estructuras, etc.. Sin embargo hay una teora nica que trata con las clases de todos los sistemas generales y que se denomina Teora General de Sistemas. Esta multiplicidad de sistemas generales y la universalidad de la teora general de sistemas se muestra en la Figura 1.22. Cada una de las clases de sistemas puede contener diversos tipos de sistemas especiales, tales como mecnicos, elctricos, qumicos, biolgicos, sicolgicos, sociales, econmicos, lingsticos, matemticos, etc. Se han elaborado teoras de sistemas particulares para diferentes tipos de sistemas, por ejemplo, las teora de la relatividad de Einstein para sistemas mecnicos, la teora de Maxwell de sistemas electromagnticos, la teora de lenguajes naturales, la teora de lgebras booleanas, la teora de los sistemas de informacin, etc.. An cuando una teora particular trata con algn fenmeno en gran detalle, est desinteresado de aquellas propiedades generales de sistemas bajo consideracin que estn fuera del enfoque de la respectiva rama de la ciencia. Esta es la principal desventaja de las teoras especiales, causada por la tradicional clasificacin de la ciencia. Ni siquiera un enfoque interdisciplinario particular podra ayudar significativamente en este aspecto, solo una completa unificacin de la ciencia podra superar esta desventaja. Sin embargo estas desventajas de teoras especiales se pueden eliminar creando una nueva rama de la ciencia que considera solo rasgos generales de todos los sistemas. Esta nueva rama se llama Teora General de Sistemas .Todos los posibles sistemas especiales Conjunto de mapeos Conjunto I Sistema General I Conjunto II Sistema General II Conjunto III Sistema General III Area de la Teora General de Sistemas Todos los posibles sistemas generales

Sistema Clase I Sistema Clase II Sistema Clase III

Area de diferentes teorias de sistemas especiales

Figura 1.22 Esquema estructural de la Teora General de Sistemas

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La aplicacin bsica de la teora general de sistemas para las soluciones de problemas fundamentales asociados con sistemas se muestra en la Figura 1.25. Sus etapas son: 1. El problema es formulado para un sistema en particular usando el lenguaje de la respectiva rama de la ciencia. 2. El problema es traducido mediante un mapeo a un lenguaje de la teora general de sistemas. 3. Finalmente todos los resultados obtenidos se interpretan como una salida que se mapea al lenguaje del sistema original. Si ninguna de las preguntas han sido contestadas por la teora general de sistemas, se debe trabajar adicionalmente sobre el sistema original. Se puede desarrollar una teora de sistemas para una interpretacin dada de la palabra sistemas. La aplicacin de una teora particular de sistemas es mas o menos general dependiendo del significado del concepto de sistemas en el cual se basa la teora. Hay dos limitaciones para este punto de vista: 1. En el nivel mas bajo de generalizacin estn las diferentes teoras de sistemas, cada una de las cuales se detalla para una clase particular de sistemas asociado con una cierta disciplina cientfica o de ingeniera. Algunos ejemplos son teora de circuitos elctricos, teora de sistemas mecnicos, teora de sistemas nerviosos, teora de sistemas glandulares, etc.. 2. En el nivel mas alto de la generalizacin se encuentran las teoras de sistemas algebraicos abstractos. Un sistema algebraico abstracto particular esta definido por un conjunto de elementos abstractos y algunas relaciones definidas entre los elementos. Algunos ejemplos son teora de grupos, teora de lgebras booleanas, teora de grafos, teora de redes, etc.MAPEOS DE ENTRADA MAPEOS DE SALIDAElaboracin adicional del problema para el sistema especial

Un problema formulado para un sistema

Sistema General

Aplicacin de la Teora de los Sistemas

Interpretacin de los resultados generales

Figura 1.23 Aplicacin de la TGS a la solucin de problemas

Muchas teoras de sistemas se localizan entre estos dos limites y son mas generales que las teoras especficas asociadas con disciplinas particulares cientficas o de ingeniera pero son menos generales que la teora de los sistemas algebraicos abstractos. Todas esas teoras tienen cierto derechos a llamarse teoras de los sistemas generales porque todas son generales respecto de la teora de un sistema especial. Un ejemplo es la teora general de circuitos que es aplicable no solo a circuitos elctricos sino a sistemas mecnicos, acsticos, magnticos, etc. Puesto que el nivel de generalizacin de esta teora es relativamente baja, se prefiere llamarla teora general de circuitos en vez de teora general de sistemas. W. Rios M.


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Segn Klir, la teora general de sistemas debera tener las siguientes caractersticas: 1. Ser aplicable a todos los sistemas o al menos a todos los sistemas limitados. 2. Reflejar los rasgos fundamentales de los sistemas, tal como comportamiento, organizacin, estructura, etc.. La idea de la teora general de sistemas fue desarrollado por von Bertalanffy a fines de 1930, y la concibi a travs de la biologa y encontr que el concepto clsico de sistema cerrado (aislado completamente de su medio ambiente) usado por siglos en fsica, era insatisfactorio en biologa y llevaba a conclusiones erradas. Argumentaba que en los sistemas biolgicos se debera considerar el contacto con su medio ambiente y sugiri el concepto de sistemas abiertos, donde la estructura es mantenida por un flujo continuo energtico e informacional entre el sistema y su ambiente. Posteriormente trato de extender el concepto de sistemas abiertos a otros campos adems del biolgico y esto le dio la idea de la teora general de sistemas cuya tema principal es la formulacin y derivacin de aquellos principios que son validos para sistemas en general. Un sistema se considera como un objeto fsico complejo que consiste de diferentes partes, cada una de las cuales esta asociado con algunas variables que estn relacionadas con otras variables de otras partes. Aplicando este enfoque, los sistemas pertenecientes a diferentes disciplinas se investigan en sus formas naturales. Sobre la base de resultados experimentales, se estudian las relaciones de isomorfismos entre diferentes sistemas y finalmente se aplican algunos principios generales a todos los sistemas que pertenecen a una cierta clase. Una importante aproximacin la ha sugerido Ashby bajo el nombre de sistema de estado determinado o mquina de estado determinado. Se definen primero un conjunto de condiciones externas y un conjunto de estados internos para una maquina de estado determinado. El sistema en s esta definido como un mapeo de (a,b1) en b2 donde a es un elemento del conjunto de condiciones externas y b1 y b2 son del conjunto de estados internos. De este modo, el prximo estado interno b2 est definido por la condicin externa a y el estado interno b1 . Adems de este mapeo, se puede introducir un mapeo de entrada y estados internos en los estados de salida. El enfoque est elaborado particularmente para sistemas con variables continuas cuyo comportamiento se describe generalmente por ecuaciones diferenciales ordinarias. Se mostr que cada sistema de estado determinado con variables continuas se puede representar por la forma cannica dxi/dt = fi(x1 ,x2 ,x3,.........xn ,y1 ,y2 ,......ym ) i , i=1,2......n, donde x son variables que representan el estado interno, y , y2 , y3 , ... ym i 1 son variables que representan las condiciones externas y f1 , f2 ,....fn son funciones mediante las cuales los valores de las derivadas son asignadas a los valores de las variables x , x2 , 1 ....xn, y1 , y2 ,......ym. Obviamente los valores de las derivadas estn asociadas con el prximo estado del sistema. Ashby desarrollo su Teora de Sistemas de Estado Determinado, principalmente para aplicaciones cientficas. Fue uno de los primeros cientficos en investigar el Problema de la Caja Negra desde un punto de vista general. Como una aplicacin particular de la teora, elaboro una teora formal de homeostasis. ltimamente ha estado interesado principalmente W. Rios M.


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en encontrar una elaboracin de mtodos por los cuales relaciones extremadamente complicadas asociadas con sistemas que son totalmente inmanejables y van mas all de los limites de Bremermann se pueden reducir a relaciones mas simples que de todas formas preservan la esencia de las relaciones originales pero son manejables con equipos computacionales de capacidad media. Brenermann determin por simples consideraciones fsicas que ningn computador puede, bajo ninguna circunstancia procesar mas de 1.4 x 1047 bits per gram per segundo, de tal modo que 10100 bits se acepta como un limite superior absoluto que es prcticamente alcanzable. Otro enfoque conocido como Enfoque Estado-espacio fue desarrollado por Zadeh, Desoer y otros. El significado de sistemas en este enfoque es aproximadamente igual al significado de Sistema de Estado Determinado desarrollado por Ashby. La principal diferencia est en su elaboracin. Ashby desarroll su teora esencialmente sobre la base de su aplicacin en biologa, en cambio el enfoque Estado-espacio se trabaj desde una perspectiva de una generalizacin de la llamada Teora General de Circuitos, basada sobre la teora de circuitos elctricos. Por lo tanto, muchos conceptos, principios y procedimientos as como el simbolismo del enfoque estado-espacio se tom de la teora de circuitos y generalizada segn las necesidades. El Enfoque Estado-espacio originalmente se aplic principalmente a sistemas cuyas variables eran continuas y posteriormente se extendi a sistemas discretos. Otra extensin del Enfoque Estado-espacio fue el enfoque de los llamados Sistemas Difusos, que fue sugerido y parcialmente desarrollado por Zadeh. Los Sistemas Difusos estn definidos como sistemas cuyas variables pueden tomar valores desde un conjunto difuso, es decir, un conjunto que no esta precisamente especificado. Una de las contribuciones mas significativas a la teora general de sistemas es sin duda la Teora Finita de Autmatas o en otra terminologa la Teora de Maquinas Finitas o Mquinas Secuenciales. Esta teora se ha venido desarrollando desde los aos 1950, existiendo en la actualidad una considerable literatura al respecto. Hay dos enfoques parciales que se pueden distinguir en la teora finita de autmatas: la Teora de Autmata de Estado Finito y la Teora de Autmata de Memoria Finita, siendo el primero ms general que el segundo. Un autmata de estado finito es un sistema discreto con un conjunto especificado finito de estmulos y respuestas llamado alfabetos de input y output, un conjunto especificado finito de estados internos y un par de funciones dadas yi = fi(xi,zi) zi+1 = gi(xi, zi) donde xi, yi y zi son respectivamente los estmulos, respuestas y estado interno del autmata en un instante de tiempo t (i=1,2,3,....). De este modo, tanto la respuesta y en el i i tiempo ti y el estado interno zi en el tiempo ti+1 estn nicamente determinadas por el estimulo xi y el estado interno zi en el tiempo ti. Las funciones f y g representan de hecho las mismas clases de dependencias que las funciones especificadas para los sistemas de estado determinada, sugerida y elaborada por Ashby o aquellas usadas en el enfoque estado-espacio. la diferencia principal entre la teora de autmata finito y las otras dos teoras es que el primero trata con sistemas discretos solamente y debido a esta limitacin puede ser descrito en mas detalle. W. Rios M.


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Un autmata de memoria finita es un sistema discreto con un conjunto finito especificado de estmulos y respuestas y una funcin dada yi = hi(xi, xi-1 ,xi-2 ,......xi-a,yi,yi-1,yi-2 ,.....yi-b) donde xi, xi-1,.......xi-a son estmulos a un instante de tiempo ti,ti-1 ,....ti-a respectivamente y yi,yi-1 ,......yi-b son respuestas a un instante de tiempo ti,ti-1 ,ti-2 ,.....ti-b (i=0,1,2,3,.....). De este modo la respuesta yi en el tiempo ti est nicamente determinado por los estmulos xi al mismo tiempo y por algn estimulo y respuesta pasado. La necesidad de un mtodo formal eficiente para un diseo detallado de sistemas complejos de procesamiento digital de datos fue la principal motivacin para los avances de la teora finita de autmatas. Se pueden distinguir dos niveles los que son generalmente la Teora Abstracta de Autmatas y la Teora de Estructura de Autmatas. La Teora Abstracta de Autmatas est orientada a problemas en los cuales, de acuerdo a nuestra terminologa no se considera la estructura UC. Tales problemas son, por ejemplo, la determinacin de las funciones fi y gi, o en nuestra terminologa, la estructura ST para un comportamiento dado, la especificacin de estados internos equivalentes, la elaboracin de problemas asociados con la identificacin de estados y la experimentacin de caja negra, etc.. La Teora de Estructura de Autmata, cuyos principios generales han sido desarrollados desde 1960, tiene que ver con problemas asociados con la estructura UC. Como se puede describir formalmente la estructura UC, cmo un autmata se puede realizar (compuesto) por un conjunto dado de autmatas simples, cmo una estructura UC puede ser simplificada, etc. En el presente, la mayor atencin ha sido dada a esa clase especial de autmata cuyas variables son dos-evaluada. La clase de autmata se referencia usualmente como un circuito switch y su teora se llama Teora de Switching. Adems de la Teora de Autmata Finito Determinstico, se ha desarrollado recientemente la Teora de Autmata Finito Probabilstica y se define asignando diferentes valores de y y i zi+1 con diferentes probabilidades para un simple par de valores de xi y zi.

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SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS

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2.

Sistemas Discretos y Continuos2.1. Introduccin

Sistemas discretos son aquellos cuyas variables adquieren un nmero finito de valores discretos y se conocen solo en instantes discretos de tiempo. Se supone que un conjunto finito de valores exactamente especificados de una variable (llamados valores ideales) no se puede alcanzar en la prctica con un sistema fsico, puesto que cada variable depende de mltiples factores (por ejemplo temperatura, humedad, campo magntico, etc.), cuya influencia nunca se eliminar totalmente, pero que sin embargo se deben incluir en el sistema. Los valores reales de las variables por tanto, fluctuarn en las vecindades de los valores ideales, por lo tanto, los valores ms cercanos a los valores ideales deberan ocurrir ms frecuentemente. Los valores de una variable asociada a un sistema discreto se dividen en muchos conjuntos disjuntos. En sistemas fsicos, uno de los valores de cada conjunto, y generalmente el ms frecuente, es el valor ideal y en este caso, el valor ideal representa al conjunto completo. En sistemas abstractos, el valor ideal se puede especificar por definicin.

2.2.

Nivel de resolucin

El nivel de resolucin de variables discretas se define especificando conjuntos mutuamente disjuntos de valores para cada variable. Cada conjunto est representado por un valor, generalmente el ms comn que se llama valor ideal. Sea k conjuntos disjuntos de valores para la variable x. Se denota al conjunto por Ij = (j=0,1,2,3,4....k-1) y los correspondientes valores ideales por ij (j=0,1,2,3,4...k-1). Si m0

Ingenieria Sistema Wladimir Rios

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