Ingeniería Sismica

ING. JORGE LUIS PAREDES ESTACIO

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTA DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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SISTEMAS DINÁMICOS DE UN GRADO DELIBERTAD

- VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA- VIBRACIONES FORZADAS ARMÓNICAS- VIBRACIONES TRANSITORIAS- EXCITACIÓN EN LA BASE- LA ENERGÍA EN LA RESPUESTA DINÁMICA

Docente: Ing. Jorge Luis Paredes Estacio



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte , ya sea entensión o en compresión, es proporcional a la deformación y siendo k laconstate de proporcionalidad, o rigidez, podemos determinar la fuerza delresorte por:

Fr=kx

Donde:Fr = Fuerza ejercida por el resorte (N)k = Rigidez del resorte (N/m)x = Desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)





La fuerza Inercial que se tiene en la masa m debido ala aceleración a, esta dada, según la segunda ley deNewton:

Fi=-m풙̈Donde:Fr = Fuerza inercial que obra sobre la masa (N)m = Masa (kg)푥̈ = Aceleración de la masa (m/푠 )





Dividiendo por m y llamando la constante k/m, se obtiene:

La solución de esta ecuación diferencial es:

Donde A y B dependen de las condiciones iniciales que indujeron al movimiento.





Por tanto la solución de la ecuación se convierte:

Donde:Vo = velocidad de la masa en el instante t=0 (m/s)Xo = desplazamiento de la masa en el instante t=0 (m)ω = frecuencia natural del sistema (rad/s)




VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con

el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se disipe.

Las causas de este amortiguamiento están asociadas a diferentes fenómenos como la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, la no linealidad del material del resorte, entre otros.

Entre los modelos más usados es el amortiguamiento viscoso.




VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

Fa=c푥̈Donde:

Fa = fuerza producida por el amortiguador (N)c = constante de amortiguamiento (N.s/m)푥̈ = velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (m/s)




VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADAUtilizando el principio de D’Alembert puede plantearse la siguiente ecuación:

Fr+Fa-Fi=0

Y reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas:

풌풙 + 풄풙̇ − (−풎풙̈) = ퟎ

Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:

풎풙̈ + 풄풙̇ + 풌풙 = ퟎ

La ecuación característica de la ecuación anterior es:

풎흀ퟐ + 풄흀+k=0




VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADACuyas raíces son:

흀 =−풄 ± 풄ퟐ − ퟒ풎풌

ퟐ풎Ósea:

흀ퟏ =−풄 + 풄ퟐ − ퟒ풎풌

ퟐ풎

y

흀ퟐ =−풄 − 풄ퟐ − ퟒ풎풌

ퟐ풎

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema es:

푿 풕 = 푨풆 ퟏ풕+B풆 ퟐ풕

Donde:A = constante que depende de las condiciones iniciales del movimientoB = constante que depende de las condiciones iniciales del movimientoE = base de logaritmos neperianos




VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADAExisten tres casos de solución para la ecuación anterior dependiendo del valor radical de la ecuación:

- AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO- AMORTIGUAMIENTO MAYOR QUE EL CRÍTICO

(SUPERCRÍTICO)- AMORTIGUAMIENTO MENOR QUE EL CRÍTICO

(SUB-CRÍTICO)




AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO• Cuando el radical de la ecuación es igual a cero la cantidad

de amortiguamiento crítico se define como Cc y seobtienen así:

• Por lo tanto

• Definiendo ξ como el coeficiente de amortiguamientocrítico, igual al coeficiente C/Cc, entonces:

• Que al ser reemplazado en las ecuaciones se obtiene:•

y• Ahora, los tres casos de interés se han convertido en ξ=1,ξ>1, y ξ<1, que se denominan amortiguamiento igual,mayor y menor que el crítico respectivamente .




AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO• Para el caso del amortiguamiento igual al crítico(ξ =1):

λ1= λ2=-ω• Debido a la doble raíz la solución para el movimiento

x, es del tipo:

• Reemplazando las condiciones iniciales se tiene:

• Donde X0 y V0 son el desplazamiento y la velocidadiniciales respectivamente.




AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

• Se puede apreciar que es un movimiento aperiódico pues no hay oscilación.En este caso el sistema regresa de manera más rápida a su condición dereposo.




Amortiguamiento Mayor que el crítico En este caso ξ>1. Tomando los valores de λ1 y λ2

obtenidos de las ecuaciones e introduciéndolos en laecuación:

Se obtiene:

A y B son constantes arbitrarias que dependen de lascondiciones iniciales. En este caso el movimientotambién es aperiódico como en el caso delamortiguamiento crítico, con la diferencia que elmovimiento decrece más lentamente que cuando setiene amortiguamiento igual al crítico.




Amortiguamiento menor que el crítico La gran mayoría de aplicaciones prácticas en vibraciones están regidas

por este caso debido a que la mayoría de sistemas de los sistemasestructurales tienen valores de amortiguamiento bajos. En este casoξ<1. Tomando los valores de λ1 y λ2 de las ecuaciones puede verse quela parte interna de los radicales es negativa por lo tanto la solución esimaginaria:

Aplicando la transformación de Euler, la cual se expresa como:




Amortiguamiento menor que el crítico Al resolver, se obtiene una forma no imaginaria:

Al resolver las constantes C y D para las condiciones iniciales dedesplazamiento inicial X0 y velocidad inicial V0, se obtiene:

Donde ωa se conoce como la frecuencia amortiguada y está definidapor:




Amortiguamiento menor que el crítico Alternativamente esta expresión puede ser escrita como

Donde:

El período de vibración amortiguado es igual a:




Amortiguamiento menor que el crítico El valor del coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales

es considerablemente menor que el crítico de amortiguación;generalmente fluctúa entre el 2% y el 20% del valor crítico.Sustituyendo este valor máximo ξ=0.20 en la ecuación

ωa=0.98ω

De este resultado se puede observar que la frecuencia devibración de un sistema con un coeficiente de amortiguación tanalto como del 20% de la amortiguación crítica, es prácticamenteigual a la frecuencia angular de un sistema con amortiguación seconsidera igual a la frecuencia calculada en el sistema sinamortiguación.




Decremento Logarítmico




Amortiguamiento menor que el crítico




GRAFICA COMPARATIVA SISTEMAS AMORTIGUADOS




COMPARACIÓN SISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO Y CON AMORTIGUAMIENTO




Decremento Logarítmico Existen diferentes métodos para obtener el coeficiente de

amortiguamiento crítico, ξ. Si se conocen las amplitudes delos picos de oscilaciones sucesivas, X0, X0+1, X0+2, …, talcomo se muestra en la figura, es posible ver que el intervalode tiempo entre picos sucesivos es el periodo amortiguadoTa.

Tomando el Cociente entre la amplitud de dos picossucesivos Xi, Xi+1 y por medio de la ecuación es posibleobtener:




Decremento Logarítmico




Decremento Logarítmico El logaritmo natural de este cociente se conoce con el nombre de

decremento logarítmico: Tomando el Cociente entre la amplitud de dos picos sucesivos Xi,

Xi+1 y por medio de la ecuación es posible obtener:

A partir del cual es posible calcular ξ:




Decremento Logarítmico El Valor del decremento logarítmico para valores pequeños de δ se

convierte en:

Por lo tanto, disponiendo de un registro de oscilaciones es posibleentonces determinar el coeficiente de amortiguamiento crítico confacilidad. Cuando el movimiento decrece muy poco, debido a que elamortiguamiento es pequeño, el valor del decremento logarítmicopuede obtenerse comparando las amplitudes localizadas n ciclos apartepor medio de:




Vibraciones Armónicas Forzadas Tipo de Vibración a cuya masa se le aplica una fuerza que

varía en el tiempo con una periodicidad constante. Estafuerza periódica puede describirse por medio deF0Sen(Ωt) cuyo valor máximo es F0 con una frecuencia deΩ rad/seg. Se plantea la siguiente ecuación diferencial:

풎풙̇ + 풄풙̈ + 풌풙 = 푭ퟎ풔풆풏(훀풕)




Vibraciones Armónicas Forzadas Puede suponerse que la solución particular tiene la

siguiente forma

풙 = 푿풔풆풏 훀풕 − ФDonde:X: Amplitud del movimiento (m)Ф: Desfase de la respuesta con respecto a la excitación (rad)Derivando y reemplazando esta ecuación en la ecuación diferencial se obtiene




Vibraciones Armónicas Forzadas Describiendo en un sistema cartesiano en el cual en su

origen rotan los vectores correspondientes a cada uno delos términos de la ecuación .

Usando el Teorema de Pitágoras:




Vibraciones Armónicas Forzadas

Se calcula la magnitud de X

Y el ángulo de desfase con respecto a la excitación:




Vibraciones Armónicas Forzadas Realizando transformaciones las ecuaciones anteriores se

convierten en:

Esta ecuación describe un fenómeno clásico de resonanciacuando el coeficiente de amortiguamiento crítico ξ es iguala cero y la relación de frecuencias (Ω/ω) es igual a launidad, el denominador de la ecuación es cero y por lotanto la amplificación se convierte en infinito.




Vibraciones Armónicas Forzadas




Vibraciones Armónicas Forzadas Es posible demostrar que el máximo valor de X se obtiene cuando:

En algunos casos es conveniente expresar la ecuación como una sumade seno y un coseno, en lugar de un seno mas un ángulo de desfase.Definiendo β=Ω/ω y utilizando sen(α-γ)=senαcosγ-cosαsenγ,obtenemos:




Vibraciones Transitorias Movimiento de un grado de libertad cuya excitación no

es ni periódica ni armónica por lo que presenta un grado de complejidad mayor a pesar que su solución matemática es relativamente sencillo.

Cuando se tiene excitaciones que no se prestan a una descripción matemática hay necesidad de recurrir a métodos numéricos para obtener su solución con ayuda del computador.

Se estudiaran RESPUESTA A UN IMPULSO y EXCITACIONES ARBITRARIAS




Respuesta a un Impulso Un impulso es una fuerza de gran magnitud que actúa

durante un tiempo muy corto y es definido por dosparámetros el valor de la fuerza y su duración. Por loque su magnitud es igual a:




Respuesta a un Impulso Si usamos la segunda Ley de Newton la ecuación se puede

expresar:

Aceptando que la derivada de la velocidad es expresablecomo un diferencial se obtendría:

Y al reordenar la magnitud del impulso es equivalente a lamasa multiplicada por el cambio de velocidad




Respuesta a un Impulso Por lo que un Δv es equivalente a:

El sistema sufre un cambio de velocidad pero no dedesplazamiento. Esto es totalmente equivalente a imponeruna condición inicial de velocidad Vo, mientras que lacondición de desplazamiento es nula. La condición develocidad inicial es:

Si aplicamos esta variable a la solución de ecuación delsistema no amortiguado resulta:




Respuesta a un Impulso

Y análogamente para un sistema amortiguado su soluciónquedaría expresado a

Que al incluir la definición deωa, se obtiene:

Si al término F =FΔt lo expresamos en términosdiferenciales sería F=Fdτ, por lo que la ecuaciones resultan




Respuesta a un ImpulsoPara el movimiento sin amortiguamiento:

Y para el movimiento amortiguado:

Estas ecuaciones pueden emplearse si se tienenexcitaciones arbitrarias y podrían aplicar integraciones parala aplicación de EXCITACIONES ARBITRARIAS




Excitaciones Arbitrarias Cuando el sistema se somete a una excitación

arbitrarias expresada en términos de fuerza, es posibledividirla en una serie de impulsos que se aplican en eltiempo y que tienen una duración dτ




Excitaciones Arbitrarias Al integrar el efecto de cada uno de estos impulsos diferenciales

variando τ, se obtiene para el caso sin amortiguamiento:

Y para el caso con amortiguamiento

Estas integrales se conocen como integrales de convolución o deDuhamel, y corresponden a la solución particular del sistema.

풆 ξω(풕 )




Soluciones Analíticas Integral de Duhamel




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