UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN TACNAFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

ANALISIS ESTADISTICO DE DATOS MINEROS

PROBABILIDADES

DOCENTE DEL CURSO : MAGISTER SALOMON ORTIZ Q.ALUMNO : ELVIS IVAN QUISPE TICONACODIGO : 2013 - 38941AO : 3 ER AOFECHA DE PRESENTACION : JULIO 2015TACNA PER2015INTRODUCCIONEn la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultar cara y otro sello. Estos fenmenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.Lateora de la probabilidadpretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos lastcnicas estadsticasa la recogida, anlisis e interpretacin de los datos, lateora de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeado por laprobabilidaddentro de la estadstica, es necesario familiarizarse con sus elementos bsicos, lo que constituye el objetivo del presente tema.Comenzamos con una motivacin sobre laincertidumbrey los distintos grados de incertidumbre, relacionndolos de manera intuitiva con los enfoques ms tradicionales para asignarprobabilidades. Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en trminos deexperimentos aleatorios,espacio muestral,sucesos, etc. , llegando a la formalizacin axiomtica de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de laprobabilidad condicionaday los teoremas de laprobabilidad compuesta o del producto, de laprobabilidad totaly deBayes.

La probabilidad es la base sobre la que se construyen los mtodos importantes de la estadstica inferencial. Como un sencillo ejemplo, suponga que usted hubiera ganado el premio mayor de la lotera nacional cinco veces seguidas. Habra acusaciones de que usted hizo trampa de alguna forma. Las personas saben que aun cuando existe la posibilidad de que alguien gane cinco veces consecutivas, por pura suerte, la posibilidad es tan increblemente baja, que rechazaran la suerteComo una explicacin razonable. sta es precisamente la forma de pensar de los estadsticos: las personas rechazan las explicaciones basadas en probabilidades muy bajas. Los estadsticos usan la regla del suceso infrecuente.

MARCO TEORICO1. ORIGEN E HISTORIA DE PROBABILIDADES

El origen de las probabilidades se inicia en el ao de 1654 cuando el matemtico francs BlaisePascalhacia un viaje con el apasionado jugador de dados ycartas, conocido como El Caballero de Mere, quien era noble e ilustrado. Este crea que haba encontrado una falsedad en los nmeros al analizar elcomportamientode los dados, era diferente cuando se utilizaba un dado, que cuando se utilizaban dos dados. Esta presuncin era una comparacin errnea, entre las probabilidades de sacar un seis en un solo dado o de sacar un seis con dos dadosLos juegos de azar tienen una antigedad de ms de 40000 aos; as por ejemplo, los dados se utilizaron tanto en el juego como en ceremonias religiosas. El factor principal impulsor es el conjunto de problemas de astronoma y fsica que surgen ligados a la contrastacin emprica de la teora de Newton. Estas investigaciones van a ser de importancia fundamental en el desarrollo de la Estadstica.

Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi (publicado en 1713 aunque escrito sobre 1690) y Auguste De Moivre (1667-1754) contribuyeron de forma importante a este desarrollo. Jacob Bernoulli proporciona la primera solucin al problema de estimar una cantidad desconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que, por el error experimental, presentan variabilidad.

La necesidad de sortear la incertidumbre nos lleva a estudiar y aplicar la teora de la probabilidad. Para tener xito en la toma de decisiones, se necesita la capacidad de tratar sistemticamente con la incertidumbre misma mediante cuidadosas evaluaciones y aplicaciones de mtodos estadsticos concernientes a las actividades de los negocios. Las aplicaciones de mtodos estadsticos en las diferentes reas son numerosas.

2. IMPORTANCIA DE LAS PROBABILIDADES

Nuestrocerebroutiliza probabilidades en la mayora de sus razonamientos: ejemplo, identificar una palabra/ una frase dicha por otrapersona. Sin embargo, an as nuestro cerebro es capaz de identificarla por semejanza (probabilidades) con otras entonaciones y pronunciaciones que hemos escuchado antes. Esto no es mas que un calculo de la probabilidad de que esta palabra recientemente sea la misma que hayamos escuchado antes. De la misma forma, para situaciones en las que no tenemosseguridaden un 100%, al buscar algo parecido o lo mas probable

CONCEPTOS BASICOS:

Con ellos vamos a dar una serie de conceptos para poder desarrollar este tema y los sucesivos.

FENOMENO DETERMINISTICO: Cuando al repetirlo bajo idnticas condiciones iniciales se obtienen siempre los mismos resultados.

FENOMENO ALEATORIO: Cuando al repetirlo bajo idnticas condiciones iniciales no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando lanzamos una moneda al aire observando la sucesin de caras y cruces que presentan.

EXPERIMENTO ALEATORIO: Operacin que repetimos bajo idnticas condiciones iniciales y no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: lanzamiento de un dado observando la sucesin de nmeros que se presentan {1, 2, 3, 4, 5,6}

ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los sucesos elementales del experimento aleatorio y lo designaremos como (E). Ejemplo del dado: {1,2,3,4,5,6}.

SUCESO: Conjunto formado por uno o ms sucesos elementales, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio. Ejemplo del dado: nos interesa saber si el resultado a sido un nmero impar A={1, 3,5}.

SUCESO SEGURO: Coincide con el suceso elemental, ya que al realizar el experimento aleatorio se obtendr con seguridad uno de los posibles resultados o sucesos elementales, y por tanto ocurrir (E).

DOS SUCESOS: se dice que son iguales, cuando todo suceso elemental de uno est en el otro, y viceversa.

SUCESO IMPOSIBLE: Es el que no tiene ningn elemento del espacio muestral (E), y por tanto no ocurrir nunca, y se representa como . Ejemplo: En el lanzamiento del dado no puede darse el 7.

SUCESO COMPLEMENTARIO A UN SUCESO: Es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con el smbolo .

3. DEFINICION DE PROBABILIDADES:

Para definir la probabilidad vamos a dar varias definiciones o conceptos de probabilidad. Con estas definiciones se pretende expresar de manera objetiva y precisa el grado de ocurrencia de ciertos resultados de un fenmeno aleatorio.

3.1. DEFINICION DE LAPLACE:

La probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el nmero de resultados favorables o resultados que integran el suceso A y el nmero total de elementos o posibles resultados del espacio muestral E.

3.2. DEFENICION A PARTIR DE FRECUENCIAS RELATIVAS:

Concepto Frecuentista Dado un suceso A que se repite un nmero de veces, si observamos la frecuencia con que se repite ese suceso, obtendremos las probabilidades asociadas asignando la frecuencia relativa a cada suceso. Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al nmero de veces que se verifica A al realizar el experimento un nmero determinado de veces. Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el nmero de veces que se realiza el experimento, que viene dada por:

..........lasfrecuencias absolutasorelativasmediante rectngulos. Elpolgono de frecuencias asociado a unhistogramase dibuja uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectngulos

4. COMBINATORIAEl anlisis combinatorio se ocupa de la ordenacin de los objetos dentro de un conjunto. En este sentido nos facilitar mtodos que sern tiles para determinar el nmero de resultados posibles de un experimento. Veamos a continuacin de una forma breve las formulas combinatorias:4.1. VARIACIONES SIN REPITICION:Se llaman Variaciones sin repeticin de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, teniendo en cuenta el orden. (Importa el orden y no se pueden repetir).

Ejemplo: Sea un conjunto formado por las letras a, b, c. Cuntos grupos de 2 letras se puede obtener, sin repetir los elementos, teniendo en cuenta el orden?

4.2. VARIACIONES CON REPETICION:Se llaman Variaciones con repeticin de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, teniendo en cuenta el orden. Es la misma definicin anterior pero pudiendo repetir los elementos que intervienen en el grupo.

4.3. PERMUTACIONES SIN REPETICION:Se llaman Permutaciones de n elementos a las variaciones sin repeticin pero el nmero de elementos coincide con el nmero de grupo. (importa el orden y no se pueden repetir).

4.4. COMBINACIONES SIN REPETICION:Se llaman Combinaciones sin repeticin de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, sin tener en cuenta el orden. (No importa el orden ni se pueden repetir).

4.5. COMBINACIONES CON REPETICION:Se llaman Combinaciones con repeticin de n elementos tomados en grupos de m, a cada uno de los subconjuntos de m elementos que se pueden formar con los n elementos, sin tener en cuenta el orden. (No importa el orden pero se pueden repetir).

5. MODELOS DE PROBABILIDAD Y MUESTREO ALEATORIO

5.1. VARIABLES ALEATRORIAS DISCRETAS:Una variable aleatoria discreta es una modelizacin de una caracterstica X de tipo discreto. Recordemos que una caracterstica X es de tipo discreto cuando puede tomar una serie de valores claramente separados x1, ..., s. En una muestra concreta de tamao n, cada uno de estos valores aparece n1, ..., nk veces (frecuencias absolutas). La frecuencia relativa de cada valor es fi = ni/n. DEFINICION: Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo discreto cuando puede tomar los valores x1, ..., xk con probabilidades P(x1), ..., P(xk). Estas probabilidades reciben el nombre de funcin de masa o funcin de probabilidad.

5.1.1. DATOS MUESTRALES:Lanzamos el dado n veces, y anotamos los resultados: obtenemos n1 veces el nmero 1,...,n6 veces el nmero 6. La frecuencia relativa con la que hemos obtenido el valor i es fi = ni/n. Si lanzamos el dado muchas veces, seguramente las frecuencias relativas sern todas ellas bastante parecidas a 1/6, si el dado esta equilibrado.5.1.2. MODELO TEORICOConsideramos la variable X=Resultado obtenido como una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 1,...,6, cada uno de ellos con probabilidad 1/6.

Cuando trabajbamos con variables discretas en Estadstica Descriptiva, podamos calcular la media muestal y la varianza muestral. Si obtenamos los valores x1, ..., xk, n1, ..., nk veces, respectivamente, tenamos:

5.1.3. MEDIA Y VARIANZA:Las definiciones de media y varianza para una variable aleatoria discreta siguen la misma filosofa, sustituyendo frecuencias relativas por probabilidades. DEFINICION: Consideramos una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores x1, ..., xk con probabilidades P(x1), ..., P(xk).LA MEDIA O ESPERANZA DE X SE DEFINE COMO:

LA VARIANZA DE X SE DEFINE COMO:

5.2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:Una variable aleatoria continua es una modelizacin de una caracterstica X de tipo continuo. Recordemos que una caracterstica X es de tipo continuo cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. En una muestra concreta de tamao n, los valores obtenidos se pueden representar grficamente, en un diagrama de tallos y hojas o en un histograma, obteniendo as el perfil de los datos.

Los parmetros de la distribucin son la media y la desviacin tpica, y , respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviacin tpica no deben estar correlacionadas en ningn caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa mayora de las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal.

La curva normal cumple las siguientes propiedades:1)El mximo de la curva coincide con la media.2)Es perfectamente simtrica respecto a la media (g1= 0).3)La curva tiene dos puntos de inflexin situados a una desviacin tpica de la media. Es convexa entre ambos puntos de inflexin y cncava en ambas colas.

4)Sus colas son asintticas al eje X.

5.2.1. MEDIA Y VARIANZA:La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen como en el caso discreto, sustituyendo las probabilidades por la funcin de densidad: DEFINICIONES: Consideramos una variable aleatoria continua X con funcin de densidad f(x).

LA MEDIA O ESPERANZA DE X SE DEFINE COMO:

LA VARIANZA DE X SE DEFINE COMO:

La siguiente tabla resume y compara los conceptos que utilizamos, tanto cuando disponemos de datos muestrales, como cuando recurrimos al modelo terico (en los dos casos, discreto y continuo):

5.3. MEDIANA

DEFINICIONES: Consideramos una variable aleatoria continua X con funcin de densidad f(x).LA MEDIANA DE X SE DEFINE COMO EL VALOR M QUE VERIFICA:

5.4. MODELOS DE PROBABILIDAD MS IMPORTANTES:En esta seccin, presentaremos los modelos de probabilidad ms interesantes desde el punto de vista de las aplicaciones.5.4.1. MODELO DE BERNULLIUna prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio cuyos posibles resultados son agrupados en dos conjuntos excluyentes que llamaremos xito (E) y fracaso (F), con P(E) = p y P(F) = 1 p.

Esta divisin en xito y fracaso puede ser algo que viene dado de manera Natural o una divisin artificial que a nosotros nos interesa realizar. Vemos a continuacin algunos ejemplos sencillos:

En el lanzamiento de una moneda podemos tomar E = {Cara} y F = {Cruz}.

En el lanzamiento de un dado podemos tomar, por ejemplo, E = {1, 2} y F = {3, 4, 5, 6}.

Al elegir una persona al azar en una poblacin podemos considerar, por ejemplo, E = {Altura _ 180 cm} y F = {Altura < 180 cm}.

Al estudiar la duracin de unas determinadas piezas podemos considerar, por ejemplo, E = {Duracin _ 1000 horas} y F = {Duracin 0), que representaremos.

Abreviadamente por Poisson (), es un modelo de probabilidad que surge como lmite del modelo binomial (en las condiciones que se acaban de indicar). Los valores posibles para esta variable son x = 0, 1, y su funcin de probabilidad

La funcin de distribucin de la variable normal tipificada est tabulada y, simplemente, consultando en las tablas se pueden calcular probabilidades en cualquier intervalo que nos interese. De forma anloga a lo pasaba con las variables Poisson, la suma de variables normales independientes es otra normal.

Histograma de una normal idealizadaHistograma de una muestra de una variable norma

PRACTICA DE LABORATORIO

1. PRIMERA PRACTICA DE LABORATORIO PROBABILIDADES:

xf(x)F (X)m'1m'2m'3m'4

00.060.060000

10.250.310.250.250.250.25

20.380.690.751.536

30.250.940.752.256.7520.25

40.061.000.251416

sumatoria1.003.00251442.5

TABLA DE VALORES:

media=u=m'12

clculos de la varianza

var=u2m'2-(m'1)^21

momento de tercer orden

u3=u'3-3uu'2+2u^30

momento de cuarto orden

u4=u'4-4uu'3+6u^2u'2-3u^42.5

coeficiente de asimetra

u3/(u2)^3/2=0

coef. Curtosis

u4/u2=2.5

GRAFICAS DE LAS TABLAS DE PROBABILIDADES:

2. SEGUNDA PRACTICA MODELO BINOMIAL (BERNULLI)

PROBLEMA:

15 DE 50 PROYECTOS DE VIVIENDA no tiene licencia de construccin

cul es la probabilidad de que un inspector del municipio , que seleccione aleatoriamente a 4 de ellas

a) todas la casas tienen licencia de construccin

b)una no tiene licencia de construccin

c)dos no tienen licencia de construccin

d) al menos tres no tienen licencia de construccin

SOLUCION:

n=4

p=0.3

x=v.a. no tienen licencia

xf(x)F(x)

00.24010.2401

10.41160.6517

20.26460.9163

30.07560.9919

40.00811

sumatoria1

a) todas la casas tienen licencia de construccin0.2401

b)una no tiene licencia de construccin0.4116

c)dos no tienen licencia de construccin0.2646

d) al menos tres no tienen licencia de construccin0.08370.0837

MEDIAnp=1.2

VARIANZAnp(1-p)0.84

trabajo con la formula

f(x)=nCx*p^x(1-p)^(n-x)

Casos de dos que no tienen licencia

f(x)= 0.2646

GRAFICOS:

3. TERCERA PRACTICA MODELO DE DISTRIBUCION DE POISSONPROBLEMA 1: las llamadas de emergencia a una estacin de polica ingresan a razn de 10 por hora en un fin de semana cualquiera se puede aproximar mediante la distribucin de poisson

a) calcular la probabilidad de 2 llamadas

b) como mnimo 3 llamadas

c) a lo ms 5 llamadas

SOLUCION=10

a) calcular la probabilidad de 2 llamadas

p(x=2)=0.002270.23%

F(x= 3)= 1-P(X