*spanishcaptions [unicode, charset=utf8, fontenc=EU1 EU2]spanishstringprocess BibliografaCaptuloAppendixApendiceList of FiguresIndice

de figurasList of TablesIndice de cuadrosIndexIndice alfabeticopaginaveaseveasetambienDemostracionContentsIndice

*spanishcaptionsspanishstringprocess PrefacioReferencesReferenciasAbstractResumenBibliografaCaptuloAppendixApendiceList

of FiguresIndice de figurasList of TablesIndice de cuadrosIndexIndice alfabeticoFigureFiguraTableCuadroPartParteAdjuntoCopiaaApaginaveasevease tambienDemostracionGlosarioContentsIndice *spanishdate

month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreJuly 31, 2014

1

escudo.pngUNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

INFORME DE LABORATORIO DE FISICAPRACTICA N0.- 4.1

MOMENTO DE INERCIA Y ACELERACION ANGULARAula: A309

KARINA MEJIAERICK REINOSO

July 31, 2014

1. Abstract.

In this experience we make about what concerns conservative systems and related motion preservation phenomenaabound shocks are mainly good for we will build a practice that is conservative system where no energy is lost so that wewill an error in the calculations that will make in practice and in order to prove that for there to be a 100% conservativewere going to calculate the error and this practice does not exist error is impossible as there is a 100 % conservative butIll take it as well considering these criteria are ready for practice and we know our goals and we want to conclude anddetermined by the steps that we will ever know a little more about how our world works.

2. Resumen.

La practica se la realiza con la ayuda del sistema Mesure el cual nos ayudara a tomar los datos necesarios para realizaresta practica, con la ayuda de sus sensores podemos tomar la medicion de la acelelarcion y la velocidad que tiene el discoal girar. En la segunda parte se busca demostrar el principio de conservacion de la energa para lo cual se utiliza unsistema de rieles conectado a una computadora la cual mediante un software llamado Measure nos facilitara el calculode las velocidades de los cuerpos. En esta parte de la practica se ira variando las masas de los cuerpos para demostrarque si se cumple dicho principio.

2

3. Objetivo(s).

Determinar las ecuaciones del angulo, rapidez angu-lar y la aceleracion angular en funcion del tiempo,para el movimiento circular uniformemente variado.

Calcular el momento de inercia que rota alrededordel eje z.

4. Marco Teorico:

- Introduccion

El momento de inercia (smbolo I)

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes prin-cipales de inercia, la inercia rotacional puede ser re-presentada como una magnitud escalar llamada mo-mento de inercia. Sin embargo, en el caso mas generalposible la inercia rotacional debe representarse pormedio de un conjunto de momentos de inercia y com-ponentes que forman el llamado tensor de inercia. Ladescripcion tensorial es necesaria para el analisis desistemas complejos, como por ejemplo en movimien-tos giroscopicos.

El momento de inercia desempena un papel analogoal de la masa inercial en el caso del movimiento rec-tilneo y uniforme. Es el valor escalar del momentoangular longitudinal de un solido rgido.

Aceleracion angular

Es el cambio que experimenta la velocidad angularpor unidad de tiempo. Se denota por la letra griegaalfa . Al igual que la velocidad angular, la acele-racion angular tiene caracter vectorial.

. Centro de masas de un sistema de partculas

El centro de masas (CM) de un sistema de partculases una media ponderada, segun la masa individual,de las posiciones de todas las partculas que lo com-ponen

rC =m1r1 +m2r2 + ...m1 +m2...

(1)

rC =Ni=1miriM

(2)

Equivalentemente se cumple

Mrc =i

miri (3)

En el caso de un sistema continuo, habra que sumarpara todos los elementos que lo componen

rC =1M

Mrdm =

1M

rd (4)

. Calculo del momento de inercia de un sistema departculas y de figuras planas con espesor uniforme

Momento de inercia respecto a un punto

El momento de inercia de un sistema respecto a unpunto se calcula con la siguiente formula:

I =miri2 (5)

Donde I es el momento de inercia, Mi la masa de lapartcula y ri es la distancia que existe entre el puntode observacion y la masa puntual.

Momento de inercia respecto a un eje

La distribucion con capacidad de rotacion puede serobservada respecto a un eje. Ejemplos tpicos de es-tas distribuciones son los motores. El calculo del mo-mento de inercia de un sistema de partculas respectoa un eje se calcula mediante la siguiente formula:

I =miri2 (6)

Donde I es el momento de inercia, mi es la masa enkg de la partcula y ri es la distancia perpendiculardesde la partcula hasta eje de observacion.

. Teorema De Steiner

Este teorema nos da el momento de inercia de uncuerpo cuando el eje de rotacion pasa paralelo a uneje de rotacion que pasa por el centro de masas delcuerpo.

Viene dado por la expresion siguiente:

I = ICM +md2 (7)

En donde ICM nos indica el momento de inerciacuando el eje pasa por el centro de masas, m es lamasa del cuerpo y d es la distancia entre el eje y el

centro de masas del cuerpo.

eje.png

3

. Calculo del momento de inercia debido a la os-cilacion de un cuerpo con respecto al eje de sus-pension y al eje que pasa por el centro de gravedadpara angulos menores de 15 grados

Un pendulo fsico es un solido rgido de forma arbi-traria que puede oscilar en un plano vertical alrede-dor de un eje perpendicular a un plano que contengaa su centro de masas. El punto de interseccion deleje con dicho plano es el punto de suspension. Laposicion de equilibrio es aquella en que el centro demasas se encuentra en la misma vertical y por debajodel punto de suspension.

Se producen oscilaciones como consecuencia de des-viaciones de la posicion de equilibrio, ya que en-tonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro demasas, produce un momento respecto del punto desuspension que tiende a restaurar la posicion de equi-librio.El momento respecto del punto de suspension O es:

T = dmg (8)

T =mgdsen() (9)

T = I() (10)

I +mxg()xdSen = 0() (11)

sen()esequivalentea() (12)

I =T 2

4pi2mgd (13)

5. Materiales y Equipos.

* Materiales

Disco que rota con sus poleas centrales acanaladas

Soporte del disco

Disparador fijo a un borde del disco

Barrera fotoelectrica contadora

Hilo de seda que une la polea con el cuerpo quecuelga, pasando por la polea de la barrera fotoelec-trica contadora

Barreras fotoelectricas contadoras

Masa de valores conocidos

Material de montaje

Soplador

Nivel circular

* Herramientas

Interfase Cobra 3

Computadora

Software Traslacion/Rotacion

6. Procedimiento

. Coloca el disco y la polea de diametro sobre el soportevertical: nivelalo. Conecta la base superior del so-porte con el soplador mediante la manguera flexibley la polea de = 60(mm), mediante la piola de sedacon el cuerpo colgante, de 20(g),30(g),....., de masa,pasando por la polea de la barrera fotoelectrica con-tadora. Esta con el interfase Cobra 3 y con el compu-tador

. Despliega el programa Measure;selecciona trasla-cion/rotacion; arriba , diametro 25(mm); angulo en(rad); abajo, diametro 60(mm).Iniciar,automatico;finalizar,manual.

. Enciende el soplador con nivel 4. Fija el extremosuperior del disparador en la raya de la pestana deldisco. Y todo esta listo!

. Libera el disparador y empieza las mediciones. Tras-curridas unas 15 oscilaciones del disco, apalasta fina-lizar.

. Chequea las graficas de = f (t) , = f (t) y = f (t).Si su tendencia es correcta: las dos primeras graficasascendentes y la tercera aproximadamente constante,esta bien. t continua. De lo contrario, repite el pro-ceso.

. Haz clic derecho sobre cada grafica. Marca Tabula-cion de datos, y escoge en cada caso unos diez datosaleatorios: 1,4,7,10,...

. A continuacion en cada grafica ordena reajuste decurva y selecciona la ecuacion de casa recta. Anotalas respectivas pendientes y ordenada en el origen.

g.png

u.png

c.png

4

r.png q.png

t.png

7. Tabulacion de Datos:

7.1. = f (t) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13i (rad) 0.000 0.039 0.092 0.157 0.262 0.393 0.524 0.681 0.877 1.086 1.322 1.597 1.898ti (s) 0.00 0.400 0.800 1.200 1.600 2.000 2.400 2.800 3.200 3.600 4.000 4.400 4.800

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26i (rad) 2.12 2.553 2.919 3.299 3.691 4,110 4,555 5.013 5.498 6.008 6.545 7.108 7.697ti (s) 5.200 5.600 6.000 6.400 6.800 7.200 7.600 8.000 8.400 8.800 9.200 9.600 10.000

5

27 28 29 30 31 32 33 34i (rad) 8.312 8.954 9.608 10.276 10.956 11.650 12.370 13.116ti (s) 10.400 10.800 11.200 11.600 12.000 12.400 12.800 13.200

7.2. = f (t):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13i (rad) 0.065 0.131 0.131 0.196 0.327 0.327 0.327 0.458 0.524 0.524 0.654 0.720 0.785ti (s) 0.00 0.400 0.800 1.200 1.600 2.000 2.400 2.800 3.200 3.600 4.000 4.400 4.800

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26i (rad) 0.785 0.916 0.916 0.982 0.982 1.113 1.113 1.178 1.244 1.309 1.374 1.440 1.505ti (s) 5.200 5.600 6.000 6.400 6.800 7.200 7.600 8.000 8.400 8.800 9.200 9.600 10.000

27 28 29 30 31 32 33 34i (rad) 1.571 1.636 1.636 1.702 1.702 1.767 1.833 1.898ti (s) 10.400 10.800 11.200 11.600 12.000 12.400 12.800 13.200

7.3. = f (t):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13i (rad) 0.164 0.082 0.082 0.245 0.164 0.000 0.164 0.245 0.082 0.164 0.245 0.164 0.082ti (s) 0.00 0.400 0.800 1.200 1.600 2.000 2.400 2.800 3.200 3.600 4.000 4.400 4.800

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26i (rad) 0.164 0.164 0.082 0.082 0.164 0.164 0.082 0.164 0.164 60.164 0.164 0.164 0.164ti (s) 5.200 5.600 6.000 6.400 6.800 7.200 7.600 8.000 8.400 8.800 9.200 9.600 10.000

27 28 29 30 31 32 33 34i (rad) 0.164 0.082 0.082 0.082 0.082 0.164 0.164 0.164ti (s) 10.400 10.800 11.200 11.600 12.000 12.400 12.800 13.200

8. Preguntas:

A.- . Realiza la grafica = f (t). Reajusta la recta y obten la ecuacion respectiva.

Curva linealizada y ecuacion

6

B.- Realiza la grafica = f (t) Reajusta la recta y obten la ecuacion respectiva.

7

Curva linealizada y ecuacion

C.- Realiza la grafica = f (t) Reajusta la recta y obten la ecuacion respectiva.

8

Curva linealizada y ecuacion

9

D.- Comprueba que integrando dos veces la ecuacion de la aceleracion angular en funcion del tiempo, obtienes lasecuaciones de rapidez angular y desplazamiento angular en funcion del tiempo. Calcule el error porcentual enlas respectivas pendientes.

[w] = T 1;S.I. rads

(14)

R = r sen v = wr sen ; w = ddt k v = w xr (15)

w = ddtd =

wodt = wo

dt (t) = o +wo(t to) (16)

t = T ; = 2 2 = wot wo = 2T = 2v (17)

= dwdt

(18)

= dwdt

=d2

dt2(19)

w = ddt o =

wdt =

wo +o(t to)dt (20)

= o +wo(t to) + 12o(t to)2 (21)

E.- Derivando dos veces sucesivas con respecto al tiempo la ecuacion del angulo en funcion del tiempo obtienes lasecuaciones de rapidez angular en funcion del tiempo, y de aceleracion angular en funcion del tiempo. Calcularel error porcentual en las respectivas pendientes.

at =dvdt

= Rdwdt

= Rd2

dt2= R (22)

= w x(w r ) (23)v = w xr dv

dt= = w xdr

dt= v xw (24)

F.- Calcula el momento de inercia o factor inercial del disco aplicando la ecuacin 2.El modulo del vector momento angular vale

Li = rimivi (25)

Su proyeccion sobre el eje de rotacion Z vale

Liz = ricos(90 qi)mivi, es decir, (26)

Liz =miR2 (27)

El momento angular de todas las partculas del solido vale

L =

Li (28)

La proyeccion Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotacion es

Lz == (miR2i )w (29)

El termino entre parentesis se denomina momento de iner- cia

I = miR2i (30)

I = 0;11kgm2 (31)

10

9. Conclusiones

Se logro determinar el momento de inercia de dos solidos con masas similares (disco y aro) y pudimos ver comovariaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribucion de su masa, siendo mayor el momento del aroporque su masa esta distribuida en el borde la circunferencia

Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como las fuerzas de rozamiento queaunque eran despreciables incidieron en los resultados.

Se pudieron comparar dos metodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por medio de la relacion de sus radios ysus masas y usando la arana

Se puede concluir que entre mas alejada este la masa del centro de rotacion, mayor es su inercia. Esto se ve en losresultados obtenidos con el aro, mucho mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares.

10. Recomendaciones

Para este experimento, tener muy en claro el concepto de cantidad de movimiento.

Considerar que el hilo tiene que ser lo mas posible paralelo a la superficie de la mesa.

Ser cuidadoso con el uso de los instrumentos para evitar danos o desgastes prematuros de los mismos.

El trabajo a conciencia, el interes en la practica y la colaboracion de cada integrante del grupo hara que los resulta-dos que deseamos obtener sean los mejores para el desarrollo y la elaboracion de la misma.

11. Bibliografia

- http : //www.sc.ehu.es/sbweb/f isica/dinamica/rozamiento/dinamico/dinamico.htm.

- V allejo,P .,Zambrano, J.(2008).F sicaV ectorial1.Quito,Ecuador : RODIN.

- Ing.Guevara,F., Ing.Msc.Buitron,P ., Ing.Lasso,C.(2012).F sicaBasica.Quito

- http : //www.sc.ehu.es/sbweb/f isica/dinamica/rozamiento/general/rozamiento.htm

LaTeX

11