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month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreFebruary 28, 2015

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LOGO-PRINCIPAL7.png

MEDICIONES Y ERRORES

Erick Reinoso, Daniel MariscalUNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-ESPE

Quito, Ecuadorerick.reinoso10@gmail.com

mariscal.daniel628@gmail.com

February 28, 2015

1. Abstract

This chapter is intended to give an explanation of theTheory of Errors, as easy as possible and essentiallypractical, that demonstrates the student when per-forming their work in the Physics Laboratory, have atall times aware of the reality of the values that willand determining boundaries between which is mo-ving relative to the true value of the values obtained.In practice we could calculate its dimensions andmeasure a test body in which we observed that thesehad errors, measurements were performed in height,diameter and weight of the body to perform thesemeasurements we use the following instruments:

- Vernier caliper with which we take 10 measurementsof height.

- Micrometer with which we take 10 measurements ofthe diameter.

- Balance with which we take the measurement fromstep

2. Resumen

Se pretende en este capítulo dar una explicación dela Teoría de Errores, lo más fácil posible y funda-mentalmente práctica, que pueda servir al alumnocuando efectúe sus trabajos en el Laboratorio de Fí-sica, tener en todo momento conciencia de la reali-dad de los valores que va determinando y entre quelímites se está moviendo con relación al valor verda-dero de los valores que obtiene. En la práctica pudi-mos calcular sus dimensiones y medir un cuerpo deprueba en el cual pudimos observar que estos teníanerrores, las mediciones que realizamos fueron de al-tura, diámetro y el peso del cuerpo, para realizar es-

tas mediciones utilizamos los siguientes instrumen-tos:

- Calibrador venier con el cual tomamos 10 medicio-nes de la altura.

- Micrométro con el cual tomamos 10 mediciones deel diámetro.

- Balanza con la cual tomamos la medicion del paso

3. Introducción

El resultado de toda medición siempre tiene ciertogrado de incertidumbre. Esto se debe a las limitacio-nes de los instrumentos de medida, a las condicionesen que se realiza la de medición, así como también, alas capacidades del experimentador. Es por ello quepara tener una idea correcta de la magnitud con laque está trabajando, indispensable establecer los li-mites entre los cuales se encuentra el valor real dedicha magnitud. La teorde errores establece estos li-mites.

4. Objetivo(s).

Determinar la densidad del cuerpo de prueba, uti-lizando mediciones directas e indirectas del mismo.Expresando correctamente el valor numérico de es-tas mediciones empleando el concepto de cifras sig-nificativas y determinando la relativa exactitud delas mediciones directas e indirectas que se han utili-zado, aplicando la Teoría de Errores y Teoría de Pro-pagación de Errores.

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5. Fundamentación Teórica.

5.1. Tipos de errores.

Los errores pueden ser producidos, por la impreci-sión de los aparatos de medida, que reciben el nom-bre de errores sistemáticos, o causa de agentes exter-nos o del propio operador, que reciben el nombre deerrores accidentales. Mientras que los primeros serepiten en el mismo sentido, siempre que se utilizael mismo aparato de medida, los segundos varían deuna experiencia a otra, tanto en valor como en signo.

5.2. Clases de errores.

El error en general podemos definirlo como la dife-rencia que tenemos entre el valor obtenido y el ver-dadero. A este error se le denomina error absoluto ysi llamamos x a la medición y X al valor verdadero, elerror absoluto será:

E a = x −X (1)

Otro tipo de error es el error relativo, definido por elcociente entre el error absoluto y el valor real, dadopor la formula:

Er = E a

X(2)

5.3. Media aritmética

Los errores sistemáticos prse pueden hacer desapa-recer, pero no así los accidentales. La experiencia ytambién la teoría con aplicación del cáculo de proba-bilidades, demuestra que cuando hacemos una seriede mediciones, unos valores estarán por encima delvalor verdadero y otros por debajo, de modo quecuando aumentamos el número de estas observa-ciones las diferencias por más y por menos con elvalor real al hallar la media aritmética de estos valo-res, se van destruyendo las diferencias, y en generalpodemos tomar como valor más probable de unaserie de mediciones el de su media aritmética, y éstaserá tanto más cercana al valor verdadero cuantasmás mediciones hagamos. Es decir, si tenemos unaserie de mediciones de una magnitud, x1, x2, x3,.......el valor más probable es:

x = x1+x2+x3+ ...

n= Σxi

n(3)

5.4. Desviaciones

Naturalmente que este valor más probable así deter-minado, no coincidirá ni con el valor real, ni con la

mayoría de las mediciones hechas. A la diferenciaentre cada una de las medidas obtenidas y el valormás probable se le llama desviación, la cual podráser igual, mayor o menor que cero.

δ= xi −x (4)

5.5. Diferencia media y error medio

La desviación, diferencia media, será la media delas desviaciones, y es a su vez la que nos define elgrado de precisión de las observaciones. Ahora bien,no es conveniente usar las desviaciones en sí parahallar la media aritmética de las desviaciones, puesal ser estas variables por más y por menos se vancontrarrestando, dándonos entonces un nivel falsode la precisión. Por ello se toman los valores de loscuadrados de las desviaciones, viniendo entonces ladiferencia media definida por:

S =±√Σδ2

n(5)

Ya se puede comprender que al no ser un valor quemarque la diferencia con el valor verdadero, esta di-ferencia será un valor aproximado. La verdadera di-ferencia media, a la que realmente se llama error me-dio estará definido por:

m =±√Σδ2

n(6)

En la que d, si será realmente la diferencia entre losvalores obtenidos y el verdadero. Esta fórmula no espráctica por no conocer d. Se le suele denominartambién diferencia cuadrática media o error cuadrá-tico medio de las desviaciones. Observemos que en(1) al hacer una única observación, se tendrá que:

Σδ2 = 0 (7)

y como n = l, el valor de S = 0, por lo que en este casotendríamos que la precisión es infinita con una solamedida, lo cual es absurdo. Para salvar este incon-veniente se suele tomar como denominador en lugarde n, (n-1) y entonces la fórmula a aplicar quedarácomo sigue:

S =±√Σδ2

n −1(8)

con lo que en el caso particular que estamos con-siderando quedaría indeterminada, eliminando elabsurdo anterior. Esta fórmula nos sirve para deter-minar el error medio de cada observación.

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5.6. Tipos de materiales de medición

Calibrador venier.- El calibrador vernier fue elabo-rado para satisfacer las necesidades de un instru-mento de lectura directa que pudiera brindar unamedida fácilmente, en una solo operación el cali-brador típico puede tomar tres tipos de mediciónexteriores, interiores y profundidades, pero algunospueden tomar medición de peldaños. Es un instru-mento para medir longitudes que permite lecturasen milímetros y en fracciones de pulgada, a través deuna escala llamada Nonio o Vernier.Está compuesto por una regla fija que es donde estángraduadas las escalas de medición ya sea en milíme-tros, en pulgadas o mixtas.Fig. 1 Nos muestra un ejemplo de un Calibrador ve-nier.

calibrador.png

Fig. 1

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Tornillo micrometrico.- Es un instrumento de me-dición el cual sirve para valorar el tamaño de un ob-jeto con gran precisión, en un rango del orden decentésimas o de milésimas de milímetro, 0,01 mm ó0,001 mm (micra) respectivamente.Para proceder con la medición posee dos extremosque son aproximados mutuamente merced a un tor-nillo de rosca fina que dispone en su contorno deuna escala grabada, la cual puede incorporar un no-nio. La longitud máxima mensurable con el micró-metro de exteriores es de 25 mm normalmente, sibien también los hay de 0 a 30, siendo por tanto pre-ciso disponer de un aparato para cada rango de ta-maños a medir: 0â25 mm, 25â50 mm, 50â75 mmâ¦Fig. 2 Nos muestra un ejemplo de un Tornillo micro-metrico.

Tornillo.jpg

Fig. 2

Balanza.- La balanza es un instrumento que sirvepara medir la masa de un objeto.Es una palanca de primer género de brazos igualesque, mediante el establecimiento de una situaciónde equilibrio entre los pesos de dos cuerpos, permitemedir masas.Fig. 3 Nos muestra un ejemplo de una Balanza.

balanza.jpg

Fig. 3

6. Materiales y Equipos.

Materiales.- Cuerpos de prueba:

Herramientas:- Calibrador-vernier- Tornillo Micrométrico- Balanza

7. Procedimiento

7.1 Determine 10 veces, una misma magnitud lineal dela altura del cuerpo de prueba, utilizando para ello elcalibrador-venier.

7.2 Determine 10 veces, una misma magnitud lineal deldiámetro del cuerpo de prueba, utilizando para elloel tornillo micrométrico.

7.3 Determine 10 veces, una magnitud de la masa delcuerpo de prueba, utilizando para ello una balanza.

7.4 Registre los datos en las unidades que dan los instru-mentos con las apreciaciones del instrumento en lahoja técnica de datos.

8. Tabulación de datos

Tabla de alturas

Cuerpo de prueba: Magnitud:Mediciones Lecturas Valor Desvío Desvío

N X () probable δ= X −X δ∧2(m ∧2)

n= ΣX = Σδ= Σδ∧2∆X s = ∆X a = ∆X = E r= E p=

X ±∆X =

Tabla de diámetro

Cuerpo de prueba: Magnitud:Mediciones Lecturas Valor Desvío Desvío

N X () probable δ= X −X δ∧2(m ∧2)

n= ΣX = Σδ= Σδ∧2∆X s = ∆X a = ∆X = E r= E p=

X ±∆X =

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Tabla de masa

Cuerpo de prueba: Magnitud:Mediciones Lecturas Valor Desvío Desvío

N X () probable δ= X −X δ∧2(m ∧2)

n= ΣX = Σδ= Σδ∧2∆X s = ∆X a = ∆X = E r= E p=

X ±∆X =

Densidad

Teórico Experimental Error Substancia

9. Ejemplo de calculos

10. Preguntas

A.- Considerando la teoria de mediciones y propaga-cion de errores, determine el volumen y la densidaddel cuerpo de prueba con sus respectivos erroresrelativos, porcentuales y su incertidumbre respec-tiva?.

B.- Qué entiende por cifras significativas y demuestrecomo las utilizó en esta experiencia?

El grado de incertidumbre de una medida está in-cluido en la forma en que expresamos la misma.Cuando medimos sólo podemos obtener ciertonúmero de dígitos. Cuando realizamos un cálculomatemático con esta medida, el error o incertidum-bre se propaga y aumenta. Entonces, ¿ Cuántoslugares decimales debemos utilizar al expresar unamedida? Para contestar esta pregunta haremos refe-rencia a las cifras significativas.Las cifras significativas o dágitos significativos enuna medida experimental incluyen todos los núme-ros que pueden ser leídos de la escala mun númeroestimado.Por ejemplo. Si utilizamos un metro para medir lalongitud de un objeto podemos decir que la medidaes 0.9345 metros. Los primeros tres dígitos a la dere-cha del punto decimal fueron leídos de la escala. Por

otro lado el cinco es el número estimado.

En nuestro caso usamos las cifras significativas almomento de usar los materiales de laboratorio yaque al hacer las mediciones tuvimos que tomar lasmediciones exactas que marcaba el instrumentopero también tuvimos que tomar un número esti-mado, y como ya se explica, los valores exactos quese han tomado con los instrumentos de laboratorioson las cifras significativas y el numero estimado noes considerado significativo

C.- Cree que aumentando indefinidamente el númerode mediciones de una misma magnitud, obtendría-mos su valor verdadero. Analice?

Si repetimos la medida y obtenemos valores dife-rentes, en principio debemos realizar diez medidas.como valor verdadero de la magnitud de medida, to-mamos la media aritmética y hallamos la desviaciónde estas 10 mediciones.Hallamos él error porcentual.

Er r or por centual = Er r or r el ati vo ×100 (9)

Si él valor del error porcentual es menor que el 5 porciento es suficiente realizar diez medidas. en casocontrario realizaremos las necesarias para reducir elporcentaje.

D.- En qué criterios se fundamenta la Teoría de Erroresy describa los principales parámetros que utiliza?

Es usual expresar las incertidumbres con una solacifra significativa, y solo en casos excepcionales ycuando existe fundamento para ello, se puden usarmás. También es usual considerar que la incerti-dumbre en un resultado de medición afecta a la úl-tima cifra si es que no se la indica explícitamente.Por ejemplo, si sólo disponemos de la informaciónque una longitud es L=95 mm. podemos suponerque la incertidumbre es el orden del milímetro y,como dijimos antes, el resultado de L tiene dos cifrassignificativas.

E.- Averigue en que consiste el Principio de indetermi-nación de Heisenberg, ponga un ejemplo de medi-ción aplicando el principio?

El Principio de indeterminación o incertidumbrede Heisenberg Establece que es imposible conocer

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simultáneamente la posición y la velocidad de unapartícula, y por tanto es imposible determinar su tra-yectoria. Cuanto mayor sea la exactitud con que seconozca la posición, mayor será el error en la veloci-dad, y viceversa. Solamente es posible determinar laprobabilidad de que la partícula se encuentre en unaregión determinada.Una manera bastante difundida de interpretar estePrincipio consiste en imaginar lo que sería la medidade la posición y velocidad de una partícula: para rea-lizar la medida (para poder "ver" de algún modo elelectrón) es necesario que un fotón de luz choquecon el electrón, con lo cual está modificando su po-sición y velocidad; es decir, por el mismo hecho derealizar la medida, el experimentador modifica losdatos de algún modo, introduciendo un error que esimposible de reducir a cero, por muy perfectos quesean nuestros instrumentos.

11. Conclusiones

El realizar esta practica nos fue de mucha satisfac-ción ya que pudimos agrandar nuestroa conoci-mientos en el uso de los materiales de medición delaboratorio, ya que al ser estudiantes de la carrera deIng. Mecánica estos instrumentos van a ser de mu-cho provecho al momento de realizar mediciones yasi poder determinar los errores relativos, porcen-tuales y cuadráticos.

12. Bibliografia

Published by: Miguel Berardi Alfonso/Teoría de erro-res / 08, 2009http://es.scribd.com/doc/19533298/Teoria-de-errores-en-Fisica

PROYECTO UChttp://laboratoriobae.blogspot.com/2008/03/1-vernier-o-calibrador.html

Este artículo incorpora material de la Gran Enciclo-pedia Rialp que mediante una autorizaciónhttp://es.wikipedia.org/wiki/Balanza

María Antonia Dosal/Cifras significativas/Febrero de2007http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/CIFRAS

SIGNIFICATIVAS18505.pd f

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