Research Collection

Doctoral Thesis

Gruppenpaare mit homologischer Dualität der Dimension zwei

Author(s): Widmer, Hans Rudolf

Publication Date: 1981

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000272147

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DISS ETH Nr. 67 jo

GRUPPENPAARE MIT HOMOLOGISCHER DUALITAET

DER DIMENSION ZWEI

ABHANDLUNG

zur Erlangung des Titels eines

Doktors der Mathematik

der

EIDGENOESSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZUERICH

vorgelegt von

Hans Rudolf Widmer

dipl. Math. ETH

geboren am 31. Juli 1951

von Hausen (AG)

Angenommen auf Antrag von

Prof. Dr. Beno Eckmann, Referent

Prof. Dr. Guido Mislin, Korreferent

1981

Abstract

This work deals with group pairs (G,S) with duality in dimension

two, where S is a family {S.} of subgroups of G. Known examples

of such pairs are as follows: G is the fundamental group of a closed

surface with a finite number of disks removed; the subgroups S. are

infinite cyclic, generated by the boundary circles of the disks.

This geometrical situation can be characterized in a purely

algebraic way: let (G,SO be a group pair and A the kernel of the

augmentation map Z(G/S)—*Z. The pair (G,!3) is said to be a group

pair with Poincare duality in dimension two, if there exists, for a

certain G-operation on Z, a fundamental class eeH _1(G;Z8A) such

that the Cap-product with e yields isomorphisms

(*) Hk(G;A) =Si^Hn_k_1 (G;Z0A®A)

(**) Hk(G;Hom(A,A)) ~*

> HR_k_1(G;Z8A)

for all keZ and for all G-modules A.

The problem is investigated as to whether further algebraic examples

can be obtained if the module Z above is replaced by a more general

module C. The main result of our paper tells that duality in dimension

two with C^Z is possible only if the augmentation kernel A is

infinite cyclic, and this is the case only for very few new examples

(which in a certain sense are trivial).

The result is surprising because in the absolute case (S=0) the

situation is quite different: there are many interesting examples

of groups with duality in dimension two where C^Z. The deeper reason

for the result in the relative case lies in the fact that duality

pairs of dimension two always admit a free resolution. This is a

consequence of finiteness properties which follow from the

duality isomorphisms, together with a result of Bass.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit handelt von Gruppenpaaren (G,S) mit Dualitat

in der Dimension zwei. Dazu gehSren die bekannten Beispiele, in denen

G die Fundamentalgruppe einer geschlossenen Flache ist, aus der man

eine endliche Anzahl Scheiben entfernt hat; die Untergruppen S. sind

unendlich zyklisch und entsprechen den Randern der weggelassenen

Scheiben.

Diese geometrische Situation lasst sich wie folgt rein algebraisch

charakterisieren: Es seien (G,SJ ein Gruppenpaar und A der Kern der

Augmentationsabbildung Z(G/S)-*>z. Man sagt, (G,S) sei ein Gruppenpaar

mit Poincare-Dualitat in der Dimension zwei, wenn es fur eine gewisse

G-Operation auf Z eine Fundamentalklasse eeH _,(G;Z®A) gibt, so dass

das Cap-Produkt mit e Isomorphismen

(*) Hk(G;A) ' — * H.

.(G;Z®A®A).

n-k-l

(**) HK(G;Hom(A,A))-=i-*Hn_k_1 (G;Z®A)

fur alle keZ und fUr alle G-Moduln A induziert.

Es stellt sich die Frage, ob man zu den oben beschriebenen geometrischen

Beispielen weitere dazugewinnt, wenn man den Modul Z, der in der

obigen algebraischen Charakterisierung auftritt, durch einen allgemei-

neren Modul C ersetzt. Das Hauptresultat dieser Arbeit besagt, dass

Dualitat in der Dimension zwei mit C^Z nur moglich ist, wenn der

Augmentationskern A unendlich zyklisch ist, und dies liefert nur

ganz wenige neue Beispiele.

Dieses Resultat ist deshalb erstaunlich, weil im absoluten Fall (§=0)

eine ganz andere Situation vorliegt: es gibt sehr viele interessante

Gruppen mit Dualitat in der Dimension zwei, bei welchen Cj*Z ist. Der

tiefere Grund fur das Resultat im relativen Fall ist in der Tatsache

zu suchen, dass Dualitatspaare der Dimension zwei stets eine freie

Auflosung besitzen. Dies folgt aus Endlichkeitseigenschaften, welche

eine direkte Konsequenz der Dualitatsisomorphismen sind, zusammen mit

einem Resultat von Bass.

(i)

Einleitung

Eine Gruppe G heisst Poincare-Dualitatsgruppe der Dimension n

(PD -Gruppe), wenn sie die fur geschlossene Mannigfaltigkeiten

bekannte homologische Dualitat besitzt; d.h. wenn es fur eine

gewisse G-Operation auf Z natiirliche Isomorphismen zwischen

Cohomologie und Homologie gibt

Hk(G;A)-^^* Hn_k(G;Z®A)

fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A. Beispiele sind die

Fundamentalgruppen von geschlossenen aspharischen n-dimensionalen

Mannigfaltigkeiten; man nennt solche PD -Gruppen geometrisch,

wobei nicht bekannt ist, ob es noch andere gibt. Im Fall n=2

haben Eckmann und Miiller [7] die Vermutung bewiesen, dass alle

2PD -Gruppen geometrisch sind, aber nur unter der Annahme (im

orientierbaren Fall), dass die Gruppe nicht perfekt ist (ob eine

2PD -Gruppe perfekt sein kann, ist noch ungeklart).

Eine erste Verallgemeinerung des Begriffs der PD -Gruppe stammt

von Bieri und Eckmann [3] : sie ersetzen den in der Definition der

PD -Gruppe auftretenden Modul Z durch einen allgemeineren

Modul C und nennen solche Gruppen D -Gruppen. Beispiele fiir

2D -Gruppen finden sich in der Geometrie: die Knotengruppen.

D -Gruppen besitzen viele Endlichkeitseigenschaften; z.B. sind

sie vom Typ (FP). Der dualisierende Modul C einer D -Gruppe ist

sehr speziell beschaffen: er ist z.B. vom Typ (FP) und hat

projektive Dimension n. Der Endomorphismenring von C ist isomorph

zum Ring Z der ganzen Zahlen. Es ist hingegen nicht klar, ob C

als Abelsche Gruppe frei ist.

Eine andere Verallgemeinerung des Begriffs der PD -Gruppe ist

derjenige des PD -Paares: es sei G eine Gruppe und S eine Familie

von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Untergruppen von G.

(ii)

Der Modul A bezeichne den Kern der Augmentationsabbildung

©Z(G/S.)—*Z. Das Paar (G,S) heisst dann ein PD -Paar, wenn es

fur eine gewisse G-Operation auf Z eine Fundamentalklasse

eeH _.(G;Z®A) gibt, so dass das Cap-Produkt mit e Isomorphismen

(*) Hk(G;A) -~ >Hn_k_1(G;Z8A«A)(**) Hk(G;Hom(A,A))^»Hn_k_1(G;Z8A)

fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A induziert. Auch hier lasst

sich der in der Definition auftretende Modul Z durch einen

allgemeineren Modul C ersetzen, und man spricht dann von D -Paaren.

Am besten kennt man auch hier den Fall n=2. In xl^wird bewiesen.,

2dass alle PD -Paare geometrisch sind: G ist die Fundamentalgruppe

einer geschlossenen Flache, aus der eine endliche Anzahl Scheiben

entfernt wurden; die Untergruppen S. sind unendlich zyklisch und

entsprechen den Randern der weggelassenen Scheiben. Man kennt also

2die PD -Paare vollstandig, und eine nachste Frage muss sein, ob

2man wie absoluten Fall beim Uebergang von den PD -Gruppen zu den

2D -Gruppen auch im relativen Fall neue Beispiele dazugewmnt.

Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit besagt, dass alle

2 2D -Paare PD -Paare sind(also von der oben beschriebenen geometri-

schen Art) mit Ausnahme von Fallen, die man als trivial bezeichnen

kann: es sind diejenigen, bei denen der Augmentationskern A

als Abelsche Gruppe unendlich zyklisch ist; und dies bedeutet, dass

nur die Paare (F,{F,F}) Oder (F,S) mSglich sind, wobei F eine

endlich erzeugte freie Gruppe ist und S eine Untergruppe vom

Index 2.

2Eine Folgerung aus diesem Resultat ist, dass der bei D -Paaren

auftretende Modul A "dieselben" Eigenschaften hat wie C.

Insbesondere ist der Endomorphismenring von A isomorph zum Ring

Z der ganzen Zahlen. Dass A und C ahnliche Eigenschaften

aufweisen, ist nicht erstaunlich: die Isomorphismen (**)

(iii)

(fiir C anstelle von Z) bedeuten namlich gerade, dass die beiden

Moduln C und A zueinander '"dual" sind im Sinne einer Verallgemeine-

rung des Funktors Hom„(-,ZG), die im ersten Abschnitt dieser

Arbeit genauer untersucht wird. Im zweiten Abschnitt der vor-

liegenden Arbeit wird untersucht, wie sich die Dualitat eines

2D -Paares (G,S) auswirkt auf Paare (G,S'), wobei S' eine Teil-

familie von S ist. Es wird gezeigt, dass der Augmentationskern

solcher Paare ebenfalls Dualitat besitzt, allerdings nicht mehr

2in derselben Dimension wie der Augmentationskern A des D -Paares

(G,S). Es gelingt auch, den dualen Modul des reduzlerten Paares

genau anzugeben.

Im dritten Abschnitt wird auf zwei verschiedene Arten das oben

erwahnte Hauptresultat hergeleitet. Der erste Beweis verwendet

wesentlich (Bass \l\ ), dass iiber dem Gruppenring ZF einer freien

Gruppe die endlich erzeugten projektiven Moduln frei sind. Der

zweite Beweis beruht auf einem Resultat von Wall [l3J ,welches

eine Aussage iiber Gruppenpaare macht, deren Augmentationskern

projektiv ist.

Dnser Resultat legt Fragen nahe, auf die wir nicht eingegangen ...

sind, insbesondere, ob ein solches Ergebnis auch in hoheren

Dimensionen gilt. Sowohl in der Dimension 1 als auch in der

Dimension 2 ist bei einem D-Paar (G,S) von den beiden Moduln

C und A mindestens einer unendlich zyklisch; diese Form der

Aussage konnte eventuell in hohere Dimensionen {ibertragen werden.

Schliesslich muss man sich fragen, ob es iiberhaupt moglich ist,

dass das Tensorprodukt C^A, welches bei einem D -Paar ja den

dualisierenden Modul der Gruppe G bedeutet, als G-Modul endlich

erzeugt ist, ohne dass einer der Moduln C und A als Abelsche

Gruppe endlich erzeugt ist.

Besonders herzlich danke ich Herrn Prof. Dr. B. Eckmann fiir die

mir entgegengebrachte Unterstutzung, fiir sein Interesse an

meiner Arbeit und fur seine wertvollen Anregungen.

Inhaltsverzeichnis

I. DER BEGRIFF DER DUALITAET 1

1. Vorbereitungen 1

2. Endlichkeitsbedingungen 3

3. Moduln mit Dualitat 7

II. DUALITAET VON GRUPPENPAAREN 18

4. Dualitat von Gruppenpaaren 18

III. D?-PAARE34

5. D -Paare 34

26. D -Paare 34

-1-

I. DER BEGRIFF DER DUALITAET

Der Begriff der Dualitat wird in dieser Arbeit ausschliess-

lich als homologische Dualitat verstanden. Dualitatsrelati-

onen, die durch natiirliche Isomorphismen

Tor'* .(C,-) ^ Ext^(A,-)n—1 u

gegeben sind, sind eine massive Verallgemeinerung des Pro-

zesses, der einem projektiven endlich erzeugten Modul P seinen

dualen Modul P*=Hom (P,ZG) zuordnet.

1. Vorbereitungen

1.1 Es sei G eine Gruppe und ZG der zugehorige Gruppenring.

Wir nehmen an, dass der Leser mit den Funktoren Ext„ und

G»

Tor, von der Kategorie der G-Moduln in die Kategorie der

Abelschen Gruppen vertraut ist. Um die im folgenden ver-

wendete Notation klarzustellen, machen wir jedoch einige

Vorbemerkungen. Ext_(-,-) ist kontravariant im erstenG

kund kovariant im zweiten Argument. Ext_(U,V) ist defi-

G

niert, wenn U und V beides Links-G-Moduln Oder beides

Rechts-G-Moduln sind, und wir halten uns an die Abmachung,k C

dass Ext =0 fur k<0. Der Funktor Tor, (-,-) ist in beiden

GArgumenten kovariant. Tor. (U,V) ist definiert, wenn U ein

Rechts-G-Modul und V ein Links-G-Modul ist. Auch hier

soil gelten, dass Tor =0 fur k<0.

Falls nichts anderes gesagt wird, bedeuten im folgenden

A,A',A usw stets Links-G-Moduln; mit B,B',B usw bezeich-

nen wir Rechts-G-Moduln.

1.2 Das Tensorprodukt (iiber Z) B®A zweier G-Moduln wird zu

einem G-Modul durch die Definition x(b0a)=bx 8xa resp.

durch (b8a)x=bx®x a. Die Abelsche Gruppe Hom(A,A') der

Z-Homomorphismen von A nach A' wird durch die Definition

(xn): a»-xn(x a) zu einem Links-G-Modul. Falls nichts

-2-

anderes gesagt wird, sollen B®A und Horn(A,A') stets mit

diesen diagonalen Operationen versehen sein.

1.3 1st S eine Untergruppe von G (S<G), so sind fiir S-Moduln

A resp. B die folgenden Abelschen Gruppen auch G-Moduln:

a) B® ZG ein Rechts-G-Modul durch (b®g)x=b®gx

b) Horn (ZG,A) ein Links-G-Modul durch (xri) (g) =n (gx)

Mit den so definierten Operationen gilt fiir S^G

Lemma 1.1 Es gibt natiirliche G-Isomorphismen

a) a: B® ZG ->• B®Z (G/S) als Rechts-G-Moduln

b) B: Horn (ZG,A) -> Hom(Z (G/S) ,A) als Links-G-Moduln.

Beweis: a ist gegeben durch a(b®g)=bg®g S.

a ist gegeben durch a (b®gS)=bg®g

8 ist gegeben durch B: ir+tgSH-gri (g )) .

B ist gegeben durch B : Xn-(gn-gX(g S)) .

Man verifiziert leicht, dass diese Abbildungen

G-Homomorphismen sind.

Lemma 1.2 A sei ein S-Modul, A' ein G-Modul.

B sei ein S-Modul, B' ein G-Modul. Dann gibt es

natiirliche Isomorphismen

a) Tor^(B',A) s Tor^(B',ZG®gA)b) Tor^(B,A') = Tor£(B® ZG,A')

cl)Extg(A' ,A) = Extg(A' ,Homs(Z(f,A))

c2)Extg(B',B) = Extg(B',Homs(ZG,B))

dl)Ext^(A,A') = Extk(ZG®cA,A')

d2)Extg(B,B') = Extg(B®sZGCB')Bemerkungen:

1. Fiir A'=Z(triviale G-Operation) folgt aus b) und cl)

das Shapiro-Lemma: H, (S;B) = H, (G;B®„ZG)

Hk(S;A) = Hk(G;Homs(ZG',A))

-3-

2. Sind in Lemma 1.2 A und B auch G-Moduln, so erhalt

man zusammen mit Lemma 1.1 Isomorphismen der folgen-

den Art: Tor^(B',A) = Tor^(B',Z(G/S)®A) .

2. Endlichkeitsbedingungen

2.1 Es sei G eine Gruppe und A ein Links-G-Modul.

Eine G-Auflosung

P: ...-s-P. + P., -» -> P. -> A ->- 0

von A soil aus projektiven Links-G-Moduln P. bestehen.

Fur einen Rechts-G-Modul B soil eine Auflosung P aus

projektiven Rechts-G-Moduln bestehen.

P heisst "endlich in der Dimension i", falls P. endlich

erzeugt ist.

Definition:

a) Ein G-Modul A heisst vom Typ (FP) ,falls er eine in

den Dimensionen <n endliche Auflosung besitzt.

b) Ein G-Modul A heisst vom Typ (FP), falls er endliche

projektive Dimension pdA hat, und falls er zudem vom

Typ (FP)pdA ist.

c) Ersetzt man in a) und b) den Modul A durch den

trivialen G-Modul Z, so sagt man, dass die Gruppe G

vom Typ (FP) resp. (FP) ist.

Bemerkung: Ein Modul vom Typ (FP) hat im allgemeinen

keine endliche freie Auflfisung.

2.2 Wir betrachten die natiirlichen Homomorphismen

$: M*8GA + HomG(M,A), $(f0a)(m)=f(m)-a

f: B«GM •* HomG(M*,B), f (b»m) (f) =b-f (m)

Lemma 2.1 Ist A auch ein Rechts-G-Modul und B auch

ein Links-G-Modul, so sind $ und V G-Homomorphismen.

-4-

Lemroa 2.2^2']

a) Ist A projektiv, so ist <J> ein Monomorphismus.

b) 1st A endlich erzeugt projektiv, so ist $ ein

Isomorphismus.

c) Ist M endlich erzeugt und A projektiv, so ist

$ ein Isomorphismus.

d) Ist M endlich erzeugt projektiv, so ist $ ein

Isomorphismus.

Aussagen iiber die Abbildung ¥ sind ein wenig schwie-

riger zu machen. Betrachten wir den Links-G-Homomor-

phismus y: D -* D**, der durch y(a)(f)=f(a), feA*,

gegeben ist. y kann als eine Art Evaluationsabbil¬

dung gedeutet werden. Die Abbildung

T: B®_M* + Hom„(M,B) mit '$(b®f) (m)=b-f (m)

entspricht genau der Abbildung <t>, nur sind Links-

und Rechts-Moduln vertauscht worden. Auch fiir die

Abbildung $ gilt natiirlich Lemma 2.2 mit der ent-

sprechenden Modifikation. Ersetzen wir nun in $

den Modul M durch den dualen D* eines Links-G-Moduln

D, so erhalten wir:

?: B8„D** •* Honu(D*,B) .

Verkniipfen wir die obige Evaluationsabbildung y mit

dieser Abbildung, so erhalten wir

?: B8„D -+ B®„D** * Hom~(D*,B)

b®d + b®y(d)

b®y(d) * (f * b-Y(d)(f) = b-f(d) )

Man sieht also, dass die Abbildung "F mit $ iiberein-

stimmt. f ist also die Zusaitimensetzung der Evaluations¬

abbildung mit der Abbildung $.

-5-

Lemma 2 . 31"2 |

a) 1st P projektiv, so ist die Evaluation y:P->-P**

ein Monomorphismus.

b) Ist P endlich erzeugt projektiv, so ist die

Evaluation y:P-»-P** ein Isomorphismus.

Dieses Lemma zusammen mit dem fiir Rechts-Moduln modifi-

zierten Lemma 2.2 gestattet es, Aussagen uber die Abbil-

dung y zu machen:

Lemma 2. 4 |"2~]

a) Sind M und B projektiv, so ist V ein Monomorphismus.

b) Ist M endlich erzeugt projektiv, so ist ¥ ein

Isomorphismus.

Die fiir das folgende wesentlichen Aussagen sind 2.2d und

2.4b. Aussage 2.4b lasst sich wie folgt verscharfen:

Lemma 2.5 Folgende Aussagen sind aquivalent£ 2 J

a) M ist endlich erzeugt projektiv.

b) $ ist fiir alle G-Moduln A ein Isomorphismus.

c) ¥ ist fiir alle G-Moduln B ein Isomorphismus.

2.3 Ersetzen wir in den Abbildungen $ und V aus Abschnitt 2.2

den Modul M durch eine G-projektive Auflosung eines

Moduln A, so erhalten wir Komplexabbildungen und in der

Homologie induzierte Abbildungen:

Hk(P*®„A) * Extk(A,A) und Tor^(B,A) - H, (Hom„ (P* ,B) )

Die Verkniipfung mit den funktoriellen Homomorphismen

Hk(P*)®„A + Hk(P*0„A) und H. (Hoiru (P* ,B) )->-Hom„ (Hk (P*) ,B)

liefert naturliche Homomorphismen:

$k: Extk(A,ZG)«GA -+ Extk(A,A)

<fk: Torj[(B,A) + HomG(Extk(A,ZG) ,B)

Im folgenden werden wir Aussagen tiber $ und ¥. machen.

-6-

Lemma 2.6 1st A vom Typ (FP) ,so gilt:

ka) 1st A projektiv, so ist <t> fur k<n ein Isomorphismus.

b) Ist B injektiv, so ist V. fur k<n-l ein Isomorphismus.

Beweis von b)

Es sei P -» A eine in den Dimensionen <n endlich erzeugte

projektive Auflosung von A. Es bezeichne K den Kern von

P +P.. Das folgende Diagramm ist dann kommutativ:

Tor*(B,A) > > B0GKs » BOgP^

*s h ¥T2

HomG(Ext^(A,ZG),B) * HomG(K|,B) - HomQ(P|_1#B)

Die obere Zeile ist nach Definition von Tor exakt, die

untere ist exakt, da B injektiv ist. ¥. und ¥_ sind

Isomorphismen (siehe [l] ,Lemma 5.2) und somit ist auch

¥ ein Isomorphismus. Da K nicht endlich erzeugt seins

cn

muss, funktioniert der Beweis fur s=n nicht.

Der Beweis von a) verlauft dual.

Lemma 2.7 Es sei A vom Typ (FP) und pdA=n<«°. Weiter

bezeichne C den Rechts-G-Modul Ext_(A,ZG). Die Abbildungenc

* : C0^,A * Ext"(A,A) und ¥ : Tor (B,A) + Honu(C,B)Cj \j n n b

sind dann fur alle G-Moduln A und B Isomorphismen.

Beweis: Da A vom Typ (FP) ist, ist nach Lemma 2.6 die

Abbildung ¥ fur injektive Moduln B ein Isomorphismus.

Es sei nun B ** I -» D eine injektive Prasentierung von B.

Das folgende Diagramm mit exakten Zeilen ist kommutativ:

TorG(B,A)=—>TorG(I,A)—sTorG(D,A)n n n

h y2 h

HomG(C,Bb—»HomG(C,I)—> HomG(C,D)

-7-

f~ ist iso und somit ist Y, mono. Dies gilt fiir beliebige

Moduln B, also ist auch ¥, mono. Daraus aber folgt, dass

¥, iso ist. Der Beweis fiir $ verlauft dual.

3. Im Hinblick auf die Anwendungen im zweiten und dritten Teil

dieser Arbeit warden wir die Dualitat von G-Moduln in

einer Art definieren, die anfangs etwas kunstlich wirken

mag. Den Vorteil werden wir spater erkennen.

3.1 Definition: Ein Links-G-Modul A heisst Modul mit Dualitat

in der Dimension n, wenn es eine natiirliche Zahl n und

einen Rechts-G-Modul C^O gibt, so dass man fiir alle keZ

und fiir alle G-Moduln A natiirliche Isomorphismen hat:

\k: Ext*(A,A) + Tor^_k(Z,C8A)3.2 Aus dieser Definition folgt sofort:

Lemma 3.1

a) pdA<n

b) Der Funktor Ext„(A,-) vertauscht mit direkten

Limites fiir alle k>0. Nach £5] folgt, dass A vom Typ

(FP)^ ist.

c) Setzt man A=ZG, so erhalt man

Ext*(A,ZG)=0 fur k<n-l und Ext"(A,ZG)=C

Zusammen mit a) hat man also, dass pdA=n. Man sieht

auch, dass C und n durch A bestimmt sind.

d) C ist als Abelsche Gruppe torsionsfrei. Fiir A=L8ZG gilt:

ExtJ(A,L0ZG)=Tor«_k(ZG,C8L) = {°0f^J=kFiir jede kurze exakte Folge L. >* L? -* L. ist die

Folge L.8ZG « L-8ZG -» L,8ZG ebenfalls exakt.

Diese Folge induziert

->-Ext""1(A,L.0ZG)*Ext"(A,Ln8ZG)->-Ext"{A,L-®ZG)->-Ext^(A,L-0ZG)r0 > C8L > C8L »C»L

Da C8L. >*• CSL- -» C8L.. exakt ist, folgt dass C als

Abelsche Gruppe torsionsfrei ist.

Satz 3.2 Ein Modul A hat genau dann Dualitat in der

Dimension n, wenn folgendes gilt:

1. A ist vom Typ (FP)

2. Ext£(A,ZG)=0 fur k^n\j

3. Ext„(A,ZG) ist Z-torsionsfrei

Beweis: Wir mussen nur noch zeigen, dass aus diesen drei

Eigenschaften folgt, dass A Dualitat in der Dimension n hat.

Es sei P >-+ P ,-*...-» P. -» A eine endliche Auflosung

n n-1 0^

von A. Wegen Eigenschaft 2. ist dann

*

P. >* P* *...

+ P* -» C0 1 n

eine endliche Auflosung von C=Ext_(A,ZG). Nach Lemma 2.2d)

gibt es naturliche Isomorphismen $: P*8 A + Hom_(P. ,A)

fur alle keZ und fur alle Links-G-Moduln A. Die

Abbildung $ induziert also Isomorphismen

Tor,(C,A) + Ext„(A,A). Da C wegen Eigenschaft 3. torsions-

n—K V3

frei ist, hat man in den Inversen dieser Isomorphismen

die in der Definition der Dualitat geforderten Iso-

k C

morphismen A. : Ext„(A,A) ~+ Tor, (Z,C8A) gefunden.

K tj n—K

Bemerkung: Fordert man irgendwelche natiirlichen Isomor-

k Gphismen A, :Ext_(A,A) + Tor

, (Z,CSA), so gibt es stetsK L? n—K

eine zweite Sorte von natiirlichen Isomorphismen, namlich

diejenigen, die von $ herriihren. Diese vertauschen, da

sie in beiden Argumenten natUrlich sind, mit verbindenden

Homomorphi smen.

3.3 Proposition 3.3 Hat der ZG-Modul A Dualitat uber Z, so

haben die Z G-Moduln A8Z und der QG-Modul A8Q Dualitaty p

uber Z resp. Q ( p eine Primzahl).

Beweis: Satz 3.2 gilt uber jedem unitaren Ring. Wir mussen

also nur zeigen, dass die in Satz 3.2 auftretenden drei

Bedingungen erfiillt sind.

-9-

Es sei P-»A eine ZG-projektive AuflSsung von A. Dann ist

P8Z eine Z G-projektive Auflosung von A8Z und es gilt:~ p

k p k p

Ext„„(A,A)SExt, „(A8Z ,A) fur alle Z G-Moduln A und keZ.ilij ii \3 D P

Pk

Somit vertauscht der Funktor Ext„ _(A8Z ,-) mit Produkten,L \j pP

und nachf2] folgt, dass A8Z vom Typ (FP)^ 1st. Die

projektive Dimension von A ist aber trivialerweise gleich

derjenigen von A8Z,und somit ist A8Z vom Typ (FP).

Damit ist die erste Eigenschaft von Satz 3.2 bewiesen.

Wir niitzen nun aus, dass A Dualitat iiber Z hat:

Ext* „(A8Z ,Z 8ZG)3Extk„(A,Z ®ZG)=TorZG, (C,Z 8ZG)STorZG, (ZG,Z 8C)ZG PP ZGp n-k p n-k p

Beim letzten Isomorphismus hat man verwendet, dass C als

Abelsche Gruppe torsionsfrei ist. Der Ausdruck ganz rechts

verschwindet fur k^n und fur k=n betrSgt er Z 0C .

Damit sind auch die zweite und dritte Eigenschaft von

Satz 3.2 bewiesen. Der Beweis fur A8Q verlauft analog.

Es stellt sich nun sofort die Frage, ob auch die Umkeh-

rung von Proposition 3.3 gilt. Dazu benotigen wir zuerst

einige Vorbereitungen.

Lemma 3.4 Es seien A und A Links-ZG-Moduln. Wenn

Ext ~1(A,A/pA)=Ext* (A, A) =0 fur ein keZ und O^peZ ,£i\J ii\3 p ,

dann enthalt die Abelsche Gruppe Ext_„(A,A) kein Element

der Ordnung p.(Dabei bezeichnet A den Teilmodul aller

p-Torsionselemente von A.)

Beweis: Die kurzen exakten Folgen

(1) A «-> A •» pA und (2) pA >+ A -* A/pA

induzieren zwei exakte Folgen

(1M Ext£G(A,pA) * Ext*G(A,A) 5 Ext*G(A,pA)(21) Ext^G1(A,A/pA) - Ext*G(A,pA) I Ext*G(A,A)

Es folgt sofort, dass die Abbildung 6a die Multiplikation

mit p in Ext„„(A,A) bezeichnet. Nach Voraussetzung

-10-

verschwinden nun die Terme ganz links in (l1) und in (21).

Dies aber bedeutet, dass in Ext„„(A,A) die Multiplikation

mit p ein Monomorphismus ist.

Lemma 3.5 Es sei A ein Links-ZG-Modul vom Typ (FP)^ iiber Z.

Fur alle ZG-Moduln A und alle keZ gilt:k k

Ext„_(A,A®Q)=0 4=» Ext„_(A,A) ist eine TorsionsgruppeZ(a Zlj

Beweis: Es sei T ein ZG-Modul, der als Abelsche Gruppe

eine Torsionsgruppe ist. T lasst sich dann schreiben als

direkter Limes der endlich erzeugten ZG-Teilmoduln:

T=lim T. Zu jedem T gibt es ein ceZ, so dass c-T =0 .

—» cJ

ck

c

Also haben auch die Abelschen Gruppen Ext (A,T ) die

Eigenschaft, dass sie von c annulliert werden. Da A vom

Typ (FP) ist, vertauscht der Funktor Ext„(A,-) mit°°

kdirekten Limites, und es folgt sofort, dass Ext (A,T)

Z(j

eine Torsionsgruppe ist. Es bezeichne nun t(A) den Teil-

modul aller Torsionselemente von A. Wir betrachten die

beiden kurzen exakten Folgen

(1) t(A) » A * A/t(A) und (2) A/t(A) v* A®Q -* A®(Q/Z)

Sie induzieren die exakten Folgen

(1*) +Ext*G(A,t(A))+Ext*G(A,A)+Ext£G(A,A/t(A))->Ext£GJ-(A,t(A):

(2') ->Ext£G1(A,A®Q/Z)-*Ext2G(A,A/t(A))-'-Ext2G(A,A®Q)

•+Ext2G(A,A0Q/Z)Da t(A) und A8Q/Z Torsionsgruppen sind, kann man folgender-

massen schliessen:

v

a) Es sei Ext„„(A,A®Q)=0. Dann folgt aus (2"), dass

k

Ext„G(A,A/t(A)) eine Torsionsgruppe ist, und aus (1')

folgt weiter, dass auch Ext„„(A,A) eine TorsionsgruppeZG

sein muss,

v

b) Es sei Ext _(A,A) eine Torsionsgruppe. Dann folgt aus

k(1'), dass auch Ext„„(A,A/t(A)) eine Torsionsgruppe

kist, und aus (2') folgt, dass Ext„„(A,A8Q) ebenfalls

£t\3

-11-

k keine Torsionsgxruppe ist. Da aber Ext„„(A,A®Q)=Ext„_(A,A)®Q

und da Ext„_(A,A) eine Torsionsgruppe ist, ist dieses

Tensorprodukt mit Q =0 .

Lemma 3.6 Es sei A ein ZG-Modul vom Typ (FP) mit

n=pd '>pd_(A0Q). Dann gibt es eine Primzahl p, so dass

Ext";;1 (A, ZG) 7*0 und Ext" (A,Z G)^0 .

Beweis: Es sei O+P -+P ,-*...->-P.-*Z eine endlich erzeugte

n n-1 0

projective Auflosung von Z. Dann ist Ext„(A,ZG) alsZo

coker(Hom„_(P.,,ZG)->-Hom„_ (P , ZG) ) endlich erzeugt als

L\j n—i zb n

ZG-Mcd.il. Ist nun pd0(A8Q)<n, so ist Ext" (A8Q,QG)=n

Ext" (A,ZG®Q)=0, und nach Lemma 3.5 ist nun Ext„„(A,ZG)

eine Torsionsgruppe. Es sei I={ceZ|c-Ext„„(A,ZG)=0}?«0.

I ist ein Ideal in Z und somit von einem Element d erzeugt.

Da Ext„ (A,ZG)fO, gibt es eine Primzahl p, die d teilt.

Die karze exakte Folge ZG «• ZG -» Z G induziert die

exakte Folge

-Ext^'"1 (A, ZpG) +Ext£G (A, ZG) e*Ext£G (A, ZG) -+Ext£G (A, Z G)

p* ist dabei die Multiplikation mit p. Da aber p die Zahl

d teilt, ist p* weder mono noch epi; daraus folgt die Be-

hauptung.

Satz 3.7 A sei ein ZG-Modul vom Typ (FP) .

A hat genau dann Dualitat in der Dimension n Uber Z, wenn

A0Z und A®Q Dualitat liber Z (p Primzahl) resp. uber Q

in der Dimension n haben.

Beweis: Die eine Richtung ist die Aussage von Proposition 3.3

Wir setzen also voraus, dass A8Z und A®Q DualitSt in der

Dimension n haben. A sei ein beliebiger ZG-Modul. Weil

A und A/pA Z G-Moduln sind, folgt mit Lemma 3.4, dassP

n+2P

Ext (A,A) torsionsfrei ist. Wegen der Dualitat von A0Q

ist Ext"* (A,A8Q)=0, und nach Lemma 3.5 folgt, dass Ext" (A,A)

eine Torsionsgruppe ist. Somit ist Ext„_ (A,A)=0. Man hat

-12-

also gezeigt, dass pd A<n+2. Wir nehmen nun an, es seia

pd A=n+1. Nach Lemma 3.6 finden wir eine Primzahl p,n-t-1

fur die Ext„„(A,Z G) ^0 und Ext„„ (A,Z G)^0.Dies aberL\3 P ll\3 p

widerspricht der Voraussetung, dass alle Moduln A8Z

Dualitat haben. Somit ist pd A<n+1.

Die Dualitat der Moduln A0Z fiir alle Primzahlen p bedeutet:

k kP

Ext„ _(A8Z ,Z G)=0=Ext__(A,Z G) fiir k^n. Aus Lemma 3.4Z-" P P LSj P v

und p3.5 folgt nun, dass fur k=0,1,2,...,n-l Ext„„(A,ZG)=0,

und dass Ext (A,ZG) torsionsfrei ist. Aus Satz 3.2 folgt

nun, dass A Dualitat in der Dimension n hat.

Satz 3.8 Es sei K ein Korper und D ein KG-Modul von

endlicher projektiver Dimension. Es sei Ext„„(D,KG)=0 fiir i<n

und Ext„„(D,KG) enthalte einen von Null verschiedenen

Teil-KG-Modul. Wenn D vom Typ (FP) ist, so folgt:

1. D ist vom Typ (FP) iiber K.

2. Ext^_(D,KG)=0 fur i^n.KG

Beweis: Es sei n>0. Wir betrachten eine projektive

Auflosung von D mit minimaler Lange m:

P>j P .-*...* P. -> Dm d m-1 0

m

Sie sei fiir i-sn endlich erzeugt. Wir nehmen nun an, es

sei m>n. Diese Annahme ftihren wir zu einem Widerspruch.

Wir betrachten den Komplex

n n-1 0

Nach Voraussetzung ist

P «. P* +...

h- p* _». E0 1 n

eine endlich erzeugte projektive Auflosung eines Moduln E.

Der in ExtRG(D,KG) enthaltene endlichdimensionale Teil-

KG-Modul V ist auch ein Teilmodul von E. Man hat also eine

kurze exakte Folge V »+ E -* E/V . Die Folge

Honi (E/V,A) w- Hon^fE.A) -*• Horr^fVjA) ist fur jedes A auch

exakt und diese Folge induziert die Folge

-13-

+Ext^G (D.Hon^ (E, A) } •*ExtG (D.Hon^ (V,A) ) -Ext*1 (D.Hon^ (E/V,A) ) +

Da D eine AuflSsung der LSnge m besitzt, liest man aus

obiger Folge einen Epimorphismus ab:

Ext^tD^OItl^E.A)) -» Ext^D.Hom^V.A))1st nun m>n, so ist Ext (D,Honu (E,A))=0, denn es ist

Extm(D,Hom (E,A))=Ext(E,Honi (D,A)), und E besitzt nach

Definition eine projektive Auflosung der Lange n. Wegen

des obigen Epimorphismus ist auch Ext„_ (D,HoitL (V,A)) =0 fur

alle KG-Moduln A. Wahlen wir speziell fur A einen freien

Modul F und beniitzen, dass wegen der endlichen Dimension

von V der Modul Horn (V,F) frei ist, so folgt, dass furK

alle freien Moduln F gilt: Ext„„(D,F)=0. Insbesondere giltKb

Ext„„(D,P )=0. Dies aber bedeutet, dass die Abbildung

d*: Hom,,_(P. ,P ) •* Hom„„(P ,P ) ein Epimorphismus ist.

m KG m-1 m KG m mr r

Es gibt also ein YeHoitL,_ (P, ,P ), so dass yd =Id (P ),

KG m-1 m mm

d.h. P ist direkter Summand in P. . Man hat also in

m m-1

P, /d P >* P

_

+ -* P. -» Dm-1 m m m-2 0

eine projektive Auflosung der Lange m-1 gefunden, was

der Minimalitat der gegebenen AuflSsung widerspricht.

Also ist m=n, und der Satz ist bewiesen.

Wir untersuchen nun, ob ein analoger Satz auch iiber Z gilt.

Satz 3.9 A sei ein ZG-Modul vom Typ (FP), und n sei

die kleinste Zahl, fur die Ext" (A, ZG) 7*0. Wenn Ext" (A,ZG)ZG it\j

als Abelsche Gruppe endlich erzeugt ist, so ist pdA=n,

und A hat Dualitat in der Dimension n.

Beweis: Da A vom Typ (FP) ist, sind auch A8Z und A8Q

vom Typ (FP). Nach dem universellen Koeffiziententheorem gilt:

Ext* (A®Z .Z G) = Ext* _(A®Z ,ZG)0Z « TortExt1.*1(A8Z ,ZG),Z )titjppi/iLiP p £. G p pP P P

rP

oder

ExtJG(A,Z G) | Ext2G(A,ZG)0Z 9 Tor (Ext1.*1 (A , ZG) ,Z )

iMan iiberlegt sich, dass Ext__(i,ZG)«Z bei diesem

Isomorphismuj als Z G-Modul in Exti„(A,Z G) eingebettet wird.p Zb p

-14-

Wir nehmen nun an, Ext_r(A,ZG)habe p-Torsion fvir eine

gewisse Primzahl p. Dann hat man nach obigem:

1. Ext-i „(A®Z ,Z G) =0 fur i<n-lL \j p pp

2. Ext" _(A®Z ,Z G) ?* 0Z G P P

3. Ext"~i(A®Z ,Z G) hat endliche Z -Dimension ^0Z G p p pp

Dies aber steht im Widerspruch zu Satz 3.8. Also hat

Ext„_(A,ZG) keine Torsion und ist somit eine freieZG

Abelsche Gruppe. Somit ist Ext„ „(A®Z ,Z G) =0 fur i<n6 u

p D

P^ ^

und Ext„ „(A®Z ,Z G) enthalt einen Teil-Z G-Modul von

ZpG p' P P

endlicher nichtverschwindender Dimension. Satz 3.8 sagt

dann, dass A8Z projektive Dimension n hat. Damit haben

also fur alle Primzahlen p die Moduln A8Z DualitSt inP

der Dimension n. Eine ahnliche(etwas einfachere)

Argumentation ergibt, dass auch A8Q DualitSt in der

Dimension hat. Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.7.

Bemerkung: Satz 3.9 ist eine Verallgemeinerung eines

Satzes von Farrell[8 ] . Farrell betrachtet den Fall A=Z

(triviale G-Operation). Als zusatzlich Resultat erhSlt er

mit dieser starkeren Voraussetzung, dass Ext__(A,ZG)ZG

unendlich zyklisch ist als Abelsche Gruppe.

3.4 Lemma 3.10 A sei ein ZG-Modul mit DualitMt in der Dimen-

sion n. Dann sind alle Abelschen Gruppen Ext„(A,Z) und

Tor, (Z,A) endlich erzeugt.

Beweis: Der zu A duale Modul C besitzt eine projektive

Auflosung P*»>P*->-. . .-*-P*-«C aus endlich erzeugten Moduln.

Somit sind alle in der Folge

P*8„Z - P?®rZ *...

* P*®„ZU G 1 G n G

auftretenden Abelschen Gruppen endlich erzeugt und damit

auch Tor (C,Z). Die DualitSt liefert dann, dass Ext_(A,

endlich erzeugt ist. Der andere Teil ist trivial.

-15-

Lemma 3.11 A sei ein G-Modul mit Dualitat in der Dimen¬

sion n und mit dualent Modul C. Dann gilt Hom_(A,A)=Hom„(C,C)vj G

Beweis: Wegen der Dualitat hat man

HomG(A,A)=Ext°(A,A)STor^(C,A) + HomG(C,C)Dabei ist Y der Isoirorphismus aus Lemma 2.7

Man kann auch zeigen, dass dieser Isomorphismus ein

Ring(anti)isomorphismus ist.

3.5 Inverse Dualitat eir.es Moduln

Definition: Ein Links-G-Modul A heisst Modul mit inverser

Dualitat in der Dimension n, wenn es einen Rech.ts-G-Modul

C gibt, so dass man fiir alle keZ und fur alle G-Moduln B

natijrliche Isomorphismen

uk: Ext*(Z,Horn(C,B)) + Torn-k(B,A) hat"

Aus dieser Definition folgt sofort

Lemma 3.12

a) die flache Dimension von A ist <n.

b) Der Funktor Tor. (-,1) vertauscht fiir alle k»0 mit

direkten Produkten. Nach [3] ist A vom Typ (FP) .

c) Fiir B=Hom(ZG,L) hat man Isomorphismen

Ext*; (Z, Horn (C, Horn (ZG,L) ) + TorG. (Hom(ZG,L) , A)

Da aber Hom(CrHom(ZG,L))=Hom(ZG,Hom(C,L)) ist, folgt:

TorG (Hom(ZG,L),A)= j°,„ T ,

^r^n-kv 1 11 1

[Hom(C,L) fur k=n

Damit ist auch gezeigt, dass die flache Dimension von

A =n ist(siehe a)).

d) Betrachte eine beliebige kurze exakte Folge L.**L -*L,.

Dann ist auch Hom(ZG,L1 )>*Hom(ZG,L?)-*Hom(ZG,L-) exakt.

Diese Folge induziert

0->-TorG(Hom(ZG,L,), i) ->-TorG (Hom(ZG,L_)

, A) ->TorG (Hom(ZG,L.,), A)

n in 2 n i

-»-Torn_ (Hom(ZG,L1) ,A)->-

Nach c) ist dies aber gerade die kurze exakte Folge

Hom(C,L ) >» Hoe(C,L2) -* Hom(C,L )

Der Funktor Hom(C,-) ist also rechtsexakt, und C ist

somit eine freie Abelsche Gruppe.

-16-

Bemerkungen:

1. Da C sich mit der obigen Definition als frei erweist,

konnte man fur die inverse Dualitat auch natiirliche

k G

Isomorphismen Ext„(C,B)~Tor. (B,A) fordern und

o n-k

zusatzlich verlangen, dass C frei ist als Abelsche Gruppe.

2. Es bleibt noch zu zeigen, dass auch die projektive

Dimension von A = n ist. Dies ist die Aussage des fol¬

genden Lemmas.

Lemma 3.13 Ein Modul vom Typ (FP) mit flacher Dimension

n hat auch projektive Dimension n.

Beweis siehe [ 2]

Lemma 3.14 A sei ein Modul mit inverser Dualitat in

der Dimension n. Dann ist Ext„(A,ZG)=0 fur k^n.

Beweis: Es sei I eine teilbare Abelsche Gruppe. Dann ist

Hom(ZG,I) ein injektiver G-Modul,und man hat nach Lemma

2.6b) und 2.7 :

Tor^(Hom(ZG,I),A) = HomG(Ext*(A,ZG),Hom(ZG,I)) furkeZ

Nach Lemma 1.2, Teil c2) ist die rechte Seite isomorph zu

Hom(Ext„(A,ZG),I). Wegen der inversen Dualitat von A istG

kalso HomfExt (A,ZG) , I) =0 fur kj'n und fur alle teilbaren

&

Abelschen Gruppen I. Da man jede Abelsche Gruppe in eine

teilbare einbetten kann, folgt dass Hom(Ext (A,ZG),L)=0k

fur jede Abelsche Gruppe L. Also ist Ext_(A,ZG)=0 fur k^n.

Satz 3.15 Ein Modul A mit inverser Dualitat in der

Dimension n hat auch Dualitat in der Dimension n.

Beweis: Nach Satz 3.2 miissen 3 Bedingungen fur Duali¬

tat erfiillt sein. Diese Bedingungen sind aber nach

Lemma 3.12 ,3.13 und 3.14 erfiillt.

Es bleibt noch die Frage, welches bei einem Modul A

mit inverser Dualitat und somit mit Dualitat der

dualisierende Modul ist. Die Antwort steht im folgenden Satz.

-17-

Satz 3.16 A sei ein Modul mit inverser Dualitat in der

Dimension n und mit invers-dualisierendem Modul C. Nach

Satz 3.15 hat A auch Dualitat in der Dimension n. Der

dualisierende Modul sei C. Dann gilt: C = C .

Beweis: Es ist C=Ext„(A,ZG). Nach Lemma 2.7 hat man einen

,~ Gnatiirlichen Isomorphismus Hom„(C,B)

~

Tor (B,A). Die in-Cj n

verse Dualitat liefert einen natiirlichen IsomorphismusG

~

Tor (B,A) + Hom„(C,B). Die Zusammensetzung ergibt einen

n t?^

natiirlichen Isomorphismus Hom„(C,B) ~+ Hom„(C,B) .

Die beiden Funktoren Hom„(C,~) und Hom,_(C,-) sind also

natiirlich aquivalent, und somit ist C = C.

Satz 3.17 Ein Modul A hat genau dann inverse Dualitat

in der Dimension n, wenn folgende Bedingungen erfiillt sind:

1. A ist vom Typ (FP)

2. Extk(A,ZG)=0 fur k^n\j

3. Ext"(A,ZG) ist frei als Abelsche Gruppe(j

Beweis: Lemma 3.12 enthalt die eine Richtung der Behauptung.

Wir setzen also voraus, dass ein Modul A die obigen

drei Eigenschaften hat. P x-P ,-*.. .-*-P„-*A sei einen n-1 0

endliche projektive Auflosung von A. Dann ist

P*h-P*-*. . .->-P*-»Ext'J(A,ZG) eine endliche projektive Auf¬

losung von Ext_ (A,ZG) =C. Nach Lemma 2.2 hat man nattir-

liche Isomorphismen B8_P. + Homr(P*,B) fUr alle keZ und

fiir alle G-Moduln B. Dann aber gilt:

Tor£(B,a)£ExtjTk(C,B)=Ext£~k(Z,Horn(C,B))Beim zweiten Isomorphismus bentitzt man, dass C Z-frei ist.

-18-

II. DUALITAET VON GRUPPENPAAREN

Der Begriff der Dualitat von Gruppenpaaren wurde in fit]

von Bieri und Eckmann gepragt und in einem Spezialfall

auch ausfiihrlich untersucht. Wir werden in diesem Abschnitt

den Begriff der DualitSt von Paaren in einen gewissen

Zusairaitenhang zum Dualitatsbegriff des ersten Abschnitts

bringen, und wir werden auch gewisse Resultate von [ 4J

verallgemeinern.

4. Dualitat von Gruppenpaaren

4.1 Es sei G eine Gruppe und S_={S.,ieI} eine Familie von

(nicht notwendigerweise verschiedenen) Untergruppen von G.

Wir nennen (G,S_) ein Gruppenpaar. Falls Sfft schreiben wir

Z(G/S) fur den Links-G-Modul

.®TZG®„ Z =.®TZ(G/S.)lei S. lei i

i

Es handelt sich dabel um die freie Abelsche Gruppe mit

den Linksrestklassen xS., fiir alle iel, als Erzeugende.

Die G-Operation ist induziert durch die Multiplikation

(im Sinne der Gruppe) von links. Die Augmentationsabbil-

dung e: Z(G/S) * Z ist der durch e(xS.)=1 fur alle iel

definierte G-Epimorphismus. Seinen Kern bezeichnen wir

mit i.„ _.,oder wenn keine Verwechslungsgefahr besteht,

mit A. Man hat also eine kurze exakte Folge von

Links-G-Moduln: A»-Z(G/S)-»Z .

Beachte, dass fiir jedes Gruppenpaar (mit Sf$) der

Augmentationskern A Z-frei ist.

4.2 Fiir einen G-Modul A resp. B definiert man die (Co-)Homo-

logiegruppen des Gruppenpaares (G,S) mit Koeffizienten in

A resp. B wie folgt: Falls S=0 sind die relativen

(Co-)Homologiegruppen von (G,0) die absoluten Gruppen

H (G;A) resp. Hk(G;B). Falls S?$ definiert man:

-19-

Hk(G,S;A) = Extg_1(A,A)

Hk(G,S;B) = Tor^fB.A)

Beisplele:

1. Falls S={e}, so gilt:

Hk(G,S;A) =Hk(G;A) furk>l

H (G,S;B) = H.(G;B) fur k>l

Sind A und B triviale G-Moduln, so gilt auch

H1(G,S;A) = H1(G;A) und H1(G,S;B) = H^GjB)

Ausser in der Dimension 1 stimmen also die relativen

(Co-)Homologiegruppen der Paare (G,0) und (G,{e})

uberein (selbstverstSndlich sind sie auch in der

Dimension 0 verschieden).

2. Falls S={G}, ist A=0, und somit ist

Hk(GfS;A)=Hk(G,S;B)=0 fur k=l,2,3... und fur alle

G-Moduln A resp. B.

3. Die Familie S bestehe aus i (2<i<°°) Exemplaren

von G. Der Augmentationskern A besteht dann aus der

direkten Summe von i-l Exemplaren der unendlich zykli-

schen Gruppe mit trivialer G-Operation. Es gilt also:

Hk(G,S;A) =i1I1Hk~1(G;A) und Hk<G,S;B) ~if1Hk_1 (G;B)

4. Die Familie S bestehe aus einer Untergruppe vom Index 2

in G. Dann ist A unendlich zylisch, aber G operiert

nlcht trivial auf A. Trotzdem gilt dann fttr freie

Moduln A : Hk(G,S;A) = Hk_1(G;A)

Lemma 4.1 Fiir jedes Gruppenpaar (G,S) gilt:

cd(G,S) < l+cd(G)

Beweis: Es handelt sich um eine direkte Folgerung aus

der Definition der relativen Cohomologiegruppen.

-20-

4.3 Dualitat bei Gruppenpaaren#

Wir haben im Abschnitt 3.1 gesagt-, was es heisst, dass

ein Modul Dualitat hat. Diese Definition wird nun zur

Definition der Dualitat von Gruppenpaaren herangezogen.

Wir werden einerseits verlangen, dass der Augmentations-

kern A._„.

Dualitat hat. Sein dualisierender Modul sei C.

Anderseits verlangen wir, dass G eine Dualitatsgruppe ist,

d.h. der triviale G-Modul Z soil Dualitat haben, und zwar

in derselben Dimension wie A ,_ ... Zusatzlich werden wir

verlangen, dass der dualisierende Modul der Gruppe G gerade

der Modul C8A ist.Eine exakte Definition folgt im nachsten

Abschnitt.

4.4 Definition: Das Gruppenpaar (G,S) heisst ein Dualitats-

paar in der Dimension n ( ein D -Paar ) ,wenn es einen

Rechts-G-Modul C und ein Element esH (G,S;C) gibt, so

dass die Cap-Produkte

(*) [en-) : Hk(G;A) ~

Hn_k (G, S;C0A)

(**) (eo-) : Hk(G,S;A) ~

Hn_k<G;C0A)fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A Isomorphismen sind.

Dabei wird das Cap-Produkt (*) beziiglich der IdentitSts-

paarung C8A8A •+ C8A8A genommen, das Cap-Produkt (**)

beziiglich der Evaluationspaarung C®A8Hom(A,A) -v C®A.

Bemerkungen;

1. Ist die C zugrundeliegende Abelsche Gruppe unendlich

zyklisch, so heisst (G,£3) ein Poincar6-Dualitatspaar

in der Dimension n, kurz PD -Paar. Je nachdem, ob G

auf C trivial operiert oder nicht, nennt man das PDn-

Paar orientierbar oder nicht-orientierbar.

2. Ist S=0, so fallen die Cap-Produkte (*) und (**) zusammen,

und man befindet sich im Fall der Dualitatsgruppe

im Sinne von [3 J.

-21-

3. Da die Cap-Produkte natiirliche Isomorphismen sind,

bedeutet (*) gerade, dass der triviale G-Modul Z

Dualitat in der Dimension n-1 mit dualisierendem

Modul C®A hat. (**) bedeutet, dass der Augmentations-

kern A Dualitat in der Dimension n-1 mit dualisierendem

Modul C hat.

Satz 4.2

Wir betrachten Paarungen I., J?, -? zwischen C8A und

den Folgen

(1) A » Hom(Z(G/S),A) -» Hom(A,A)

(2) A8C8A >+ Z(G/S)8C8A •» C8A

wie folgt:

J.: A0C8A + A8C®A ist die Identitatspaarung

3L: A®C®Hom(Z(G/S),A) -> Z(G/S)®C®A ist die Restriktion von

Z(G/S)®C®Hom(Z(G/S),A) -> Z(G/S)8C8A

gegeben durch xS.®c®A h- xS.®c®A(xS.)

S : A®C®Hom(A,A) -* C8A ist die Evaluationspaarung

Dann ist fur jedes e£H (G,S;C) das Diagramm

k- k k k+1-*H (G;A) >H (G;Hom(Z(G/S),A)) -+H (G;Hom( A ,A) ) +H (G;A)-

{es\-)\ ien-M (en-1

+H,

n(G;C®A®A)+H , ,(G;Z(G/S)8C8A)+H (G;C8A)->-H (G;C8A8A)

kommutativ.

Satz 4.3

Bei einem Dn-Paar (G,S) gilt: HomG(C,C) = Z

Beweis: Nach Lemma 2.7 gilt: Hom„(C,C)^Tor ,(C,A)STor .(Z.C8A)

\a„ n—x n—l

Wegen der Dualitat (*) gilt: Tor ,(Z,C®A)=HomG(Z,Z)=ZEine andere Art, den Satz einzusehen, benutzt die in Satz 4.4

gezeigte Tatsache, dass jedes S. eine DualitStsgruppe

mit dualisierendem Modul C(durch Restriktion) ist. Nach

Lemma 3.11 folgt dann Hom„(Z,Z) = Horn (C,C). Daraus aber

folgt die Behauptung.

>

-22-

Bemerkung: Der Beweis beniitzt nur, dass naturliche Isomor-

phismen vorhanden sind, nicht aber, dass sie durch das

Cap-Produkt gegeben sind.

Satz 4.4 f 4 ]Es sei (G,SJ, S^0, ein Dn-Paar mit dualisierendem

Modul C. Dann gilt:

1. G ist eine D -Gruppe mit dualisierendem Modul C8A.

2. Die Familie S^ ist endlich.

3. Jedes S. ist eine D -Gruppe mit dualisierendem

Modul C (S.-Operation durch Restriktion).

Beweis: Wende das Funferlemma auf das Diagramm in Satz 4.2

an und beachte, dass die Cap-Produkt-Abbildung]r fan -)

H (G;Hom(Z(G/S),A) -* H (G;Z (G/SJ8C0A)n

kdieselbe ist, wie die Abbildung H (S;A) -» H (S;C0A).

oe n k x

Dabei bezeichnet <S den verbindenden Homomorphismus

H (G,S;C8A) + H. (S;C®A) in der exakten Homologiefolge.

Im nachsten Satz zeigen wir, dass es nicht notig ist, zu

fordern, dass die beiden Sorten von natiirlichen Iso-

morphismen durch ein Cap-Produkt gegeben sind, sondern

dass es ausreicht, wenn man die Existenz von zwei Sorten

nattirlicher Isomorphismen fordert.

Satz 4.5

Es sei (G,S) ein Gruppenpaar und C ein Rechts-G-Modul.

uk: Hk(G-,A) % H. n(G;A«C«A)

v : H (G;Hom(A,A)) ^H.

.(G;C®A)n-k-l

seien zwei Familien von nattlrlichen Isomorphismen.

Dann ist (G,S) ein D -Paar.

Beweis: Wir wissen bereitsf siehe[2J), dass es ein

Element eeH .(G;C8A) gibt, so dass das Cap-Produkt mit

ke die Isomorphismen v erzeugt. Wir miissen zeigen, dass

das Cap-Produkt mit demselben Element e auch die Isomor¬

phismen bezilglich der Evaluationspaarung

COAHom(A,A) ~± C0A induziert. Sicher ist die Abbildung

(en-*) . H (G;Hom( A, ZG)) -< C8G (A0Hom( A, ZG)) ein Isomorphismus.

Wir betrachten noch den von der Evaluation herrUhrenden

-23-

G-Epimorphismus C0„(A®Hom(A,ZG)) -* C.

— i i i

Betrachtet man die Abbildung v • {\i ) ,wobei in

\i der Modul A durch Hom(A,ZG) zu ersetzen ist, so

sieht man, dass die Verkniipfung von(eo-1mit der Evaluations-

abbildung einen G-Epimorphismus C-»C liefert. Da aber nach

Satz 4.3 diese Abbildung die Multiplikation mit einer

ganzen Zahl ist, und da C torsionsfrei ist, ist diese

Abbildung ein Isomorphismus. Somit ist gezeigt, dass das

Evaluations-Cap-Produkt mit dem durch die Isomor-

phismen \i konstruierten Element e fur A=ZG einen Isomor¬

phismus produziert. Nach Lemma 2.7 gibt es einen

natiirlichen Isomorphismus $ : C®„A + H (G;Hom(A,A) ) .

Es sei nun a die Abbildung a: ZG -* A, gegeben durch

a(l)=a, a beliebig. Man hat dann ein kommutatives Diagramm

.n-1 ..

( r, _i

C®„ZG > H (G;Hom(A,ZG)) — »C8_ZG

,n-l,

!

a* a*

(ei-lC0.A r* H (G;Hom(A,A)) —>

C®„AG $n-l G

Die obere Zeile ist ±Id(C). Da a beliebig ist, ist die

untere Zeile ±Id(C®„A), und somit ist (en-) ein Isomorphismus.

Es sei nun K«-F-»A eine freie Prasentierung von A. Da C und A

torsionsfrei sind, sind die Folgen

Hom(A,K) >* Hom(A,F) -» Hom(A,A)

K8C w F®C -* A0C

exakt. Die Natiirlichkeit des Cap-Produkt mit Evaluation

ergibt ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

•>Hn~2(G;Hom(A,F))-vHn~2(G;Hom(A,A))-<'Hn~1(G;Hom(A,K))^Hn"1(G;Hom(A,F)'ei "> tn- I kn-* I i#i-^

r C * G * G

-*Tor^(C,F) >Tor^(C,A) -»Tor0(C,K) j- TorQ(C,F)

»

-24-

Da Hn"2(G;Hom(A,FnSExt" 2(A,9ZG) = ffiExt^"2 (A, ZG) =0

n— ? cnach Satz 3.2, folgt, dass H (G;Hom(A,A) J+Tor.^ (C,A)

ein Isomorphismus ist, und man kann das Verfahren iterieren.

Aus der Forderung, dass natUrliche Isomorphismen p existie-

ren, folgt also einerseits, dass diese y vom Cap-Produkt

mit einem Element eeH (G,S;C) induziert werden. Anderseitsn —

folgt, dass das Cap-Produkt mit Evaluation Isomorphismen

erzeugt, von denen man allerdings nicht sicher ist, ob

sie mit v iibereinstimmen. Dies ist allerdings nicht

schlimm, denn in der Definition eines D -Paares wird

nur verlangt, dass das Cap-Produkt mit e Isomorphismen

induziert.

4.5 Beispiele

1. Ist S=0 und n=l, so sind wir 1m Fall der (absoluten)

D -Gruppen. Es handelt sich dabei gerade um die

endlich erzeugten freien Gruppen(siehe I 2 J ).

2. Wir geben ein Beispiel eines Gruppenpaares (G,S), bei

dem der Augmentationskern Dualitat hat, und bei dem

auch die Gruppen G und S Dualitatsgruppen sind. Trotz-

dem handelt es sich nicht um ein Dualitatspaar(der

dualisierende Modul der Gruppe G ist ^C®A).

Es sei F=<a,b> die freie Gruppe mit zwei Erzeugenden,

und H=<a2b2> sei die von a2b2 erzeugte Untergruppe.

Dann ist (F,H) ein nicht-orientierbares PD -Paar(siehe[ 4])Betrachte nun die Untergruppe S=<a2,b2>. Sicher ist H

eine Untergruppe von S, und man hat also ein kommuta-

tives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten:

K K

: 1

A(F,H) "* Z(F/H) * Z

A(F,S) - Z(F/S)

-25-

Es folgt sofort, dass die Abbildung A,_

_.-*A,_,„,

(i ,S) (F/H)

ein Monomorphismus ist, und da wegen der Dualitat des*

Paares (F,H) der Modul A._

„, verschwindet, hat man

* (F,H)

&tv ci=(l' Sicher verschwinden auch Ext„(A,_ _,,ZF), k>l, denn

die Gruppe F ist frei. Somit ist Bedingung 2 aus Satz

3.2 erfullt. Die Bedingung 1 ist trivialerweise erfullt,

und es bleibt also der Nachweis, dass A,_ _,keine

Z-Torsion hat. Urn dies einzusehen, betrachten wir die

von der kurzen exakten Folge IOM,„

„,-*A,__.

induzierte-i (* »H) (r ,t>) -

Folge K*»-ExtF(A(F s),ZF) - Ext^A R>

, ZF) -*Ext£(K, ZF) .

Nach Voraussetzung ist Ext_(A,_ IT.,ZF) torsionsfrei,

und somit auch der (Co)Kern L. Es bleibt also nur

zu zeigen, dass K* keine Z-Torsion hat. Dies aber ist

aus der zu K>*Z (F/H)-»Z (F/S) dualen Folge ersichtlich:

K*«-Ext^ (Z , ZF) ->Ext^ (Z , ZF) Ext,, (K, ZF) .

o n r

Da S eine freie endlich erzeugte Gruppe ist, ist sie

nach Beispiel 1 eine absolute D -Gruppe, und der duali-

sierende Modul Ext (Z,ZS) ist sogar Z-frei(siehe [ n ]).1 ~ 1 ~ 1

Wegen Ext^(Z,ZF) = Ext^(Z,9ZS) = e Ext^(Z,ZS)

ist auch Ext (Z,ZF) frei als Abelsche Gruppe, und somit

auch die Untergruppe K*.

Damit sind alle Bedingungen von Satz 3.2 fiir Dualitat

2erfullt. Trotzdem ist das Paar (F,S) kein D -Paar,

wie wir spSter aus unserem Hauptresultat dieser Arbeit

ersehen werden.

4.6 Im folgenden betrachten wir D -Paare, bei denen die

Familie S aus mehr als einer Untergruppe besteht. S lasst

sich also schreiben als disjunkte Vereinigung S=Sa/S_,

wobei S.^^S-. Man hat also zwei Augmentationsfolgen

Ax >» Z(G/Sj) -» Z und A2 « Z(G/S_2) -» Z

Das folgende Diagramm ist dann kommutativ:

(

-26-

A1©A2-> ztG/s^j&zcG/s^ *zez

-> Z(G/S) *Z

Die zugehorige Kern-Cokern-Sequenz lautet:

A.®A-s—» A -»Z

Der verbindende Homomorphismus tt ist dabei gegeben durch:

tt:(E zn . x, .

S.,Z z_. x_. S_,...,r z .x

.S )•• IE z.,

xl lxl lxl * x2 2l2 2l2 2 xn nln nin n ]1j ]1jDabei lauft der Index j liber die Indexmenge, welche

die Teilfamilie S beschreibt.

Wendet man auf das obige Diagramm den Funktor Ext*(-,ZG)

an, so ergibt sich das kommutative Diagramm

(G.S^ZG) 61 —* H^CGjZG^V-^S.fZG)—»Hn(G,S.;Z

(G,S ;ZG)©Hn-1(G,S ;ZG) * Hn_1(G;ZG) - h" (G, S ; ZG)-^h" (G, S ; ZG) ®H

S2 Y

Die obere Zeile ist die ubliche von A.-w-Z (G/S )-*Z

induzierte Folge. a und 5 sind die komponenten-

weisen Einbettungen. Betrachtet man die 3 Abbildungen

u: A-> »Z(G/S) "Einbettung"

v: Z(G/S) »Z(G/S ) Projektion

e: Z(G/S )—*Z Augmentationsabbildung

so ISsst sich ii schreiben als u=evu. Die Abbildung B

in obigem Diagramm ist induziert von der Abbildung vu.

6.. und 6. sind die iiblichen verbindenden Homomorphismen.

-27-

Wir zeigen nun, dass y=w* surjektiv ist.y ist durch tr

induziert in C®A®„Hom(Z,ZG) =» C8A®„Hom(A,ZG)G \J

c®<5® A i >c®6® Air ,wobei A(l)=e

Nun ist aber C®A®Hom(A,ZG)SC via die Evaluationsabbildung

(siehe Beweis von Satz 4.5). Also gilt:

y: c®5®A>-»c®6®Aiti-^>- c- Air (6)=cir (<$)

Da tt surjektiv ist, ist auch y surjektiv.

Daraus aber folgt, dass sowohl Hn(G,£ ;ZG) und Hn(G,S ;ZG)

verschwinden. Aus der kurzen exakten Folge A.SA^A-feZliest man sofort ab, dass A. und A. vom Typ (FP) sind.

Dies bedeutet, dass Hn(G,S ;A) und Hn(G,^ ;A) fur alle

freien Moduln A verschwinden. Da sicher pdA.<n fur 1=1,2 ,

sind H (G,!3 ;-) und H (G,S.;-) rechtsexakte Funktoren,

und es ist Hn(G,S ;A) und Hn(G,S2;A)=0 fur alle A.

Wir haben somit folgenden Satz bewiesen:

Satz 4.6

Es sei S=S_.US_ eine disjunkte Vereinigung mit nichtleeren

Teilfamilien S und S .Ist (G,SJ ein D -Paar, so sind

cd(G,S.)<n und cd(G,S,)<n.

Korollar 4.7

Bei einem D -Paar (G,S), bei dem S aus mehr als einer

Untergruppe besteht, ist fur jedes SeS_ und fur jeden

G-Modul A die Restriktionsabbildung Hn_1 (G;A)-*Hn~ (S,A)

surjektiv.

Satz 4.8

Ist bei einem D -Paar (G,S), bei dem S mehr als eine

Untergruppe enthalt, Hn~ (G,T!ZG)=0 fur eine nichtleere

Teilfamilie TcS, so handelt es sich um das Paar (G,{G,G}).

>

-28-

Beweis: Betrachte wiederum das Diagramm, das im Beweis

von Satz 4.6 verweadet wurde. Wahle S=T Und S =SVT.

n —1 *

1st H (G,S_;ZG)*0, so ist a ein G-Isomorphismus und

nach dem Fiinferlemma ist auch B ein G-Isomorphismus:

B: «C®„ ZG -^*C,d.h. &E®Honu(C80 ZG,C)=©Hom„ (C,C)

b, ,

U b. b

.

11 11 1

i 13uft dabei uber die Teilmenge der Indexmenge von S, welche

S beschreibt. Fur jedes S. ist aber Horn (C,C)3£Z.J. 1 b

,

1

Der Isomorphismus A:Hom_ (C,C)+Hom_(C®„ ZG,C) ist aufb

. U b.

1 1

jeder Komponente gegeben durch X(k):c®x(—» k(c)*x. Verwen-

det man noch den Isomorphismus C8Z(G/S.) —=^* C® ZG aus

i

Lemma 1.1, so folgt: c®xS. •— zc (z fest). Die obige

Abbildung $ kann also nur ein Monomorphismus sein, wenn

die Teilfamilie S_ aus einer einzigen Kopie von G besteht.

Es ist dann Hn~ (G,S ;ZG)=0 (da A1=0); schreibt man das

obige Diagramm mit vertauschten Indizes, so folgt, dass

^ ={G}. Somit lasst sich Satz 4.6 wie folgt verscharfen:

Satz 4.9

Es sei S=S,VJ^2 eine disjunkte Vereinigung mit S.-.?0?Sj-Ist (G,Si) ein D -Paar

,so handelt es sich entweder um

das Paar (G,{G,G}) Oder es ist cd(G,S )=cd(G,S )=n-l.

Satz 4.10

Es sei S=S-\JS2 eine disjunkte Vereinigung mit £>-,^0^£;und es handle sich nicht um das.Paar (G,{G,G}). Ist

(G,S) ein D -Paar, so haben die Moduln A., und A beide

Dualitat in der Dimension n-2.

Beweis: Betrachte die kurze exakte Folge A ©A"-A-*>Z, in

der die beiden rechten Moduln Dualitat in der Dimension

n-1 haben und verwende Satz 4.9. Aus der langen exakten

-29-

Cohomologiefolge liest man sofort ab, dass Ext_(An,ZG)=01

und Ext^(Ao,ZG)=0 fur i?«n-2, und dass weder Ext"- (A,,ZG)V3 A » 1

noch Ext„ (A.,ZG) Z-Torsion haben. Das Resultat folgt

dann aus Satz 3.2.

4.7 Es stellt sich jetzt die Frage, welches die zu A. und A.

dualisierenden Moduln in der in Satz 4.10 beschriebenen

Situation sind. Urn diese Frage zu beantworten, betrachten

wir wieder die exakte Folge A.9A_»A-»Z. Die lange

exakte Cohomologiefolge mit Koeffizienten ZG lautet

Ext^"2(A1©A2,ZG)» Extg-1(Z,ZG)^*Extg-1 (A,ZG)

I IC0A > C

Dabei ist, wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde,

tt4 die Abbildung 1®tt:C®A-»-C®Z

Somit ist klar, dass Ext""2 (An®A-,ZG) = C®(A.ffiA-).\j 1 z 1 2.

Genaueres sagt der folgende Satz:

Satz 4.11

In der oben beschriebenen Situation gilt:

Extg~2(A1,ZG) = C0A2 , Extg~2(A2,ZG) = CSAj^

Beweis: Betrachte die Abbildung <j>: A+Z (G/S^ ) ,welche

als Zusaimnensetzung der Abbildungen u:A-*Z(G/S) und

v: Z (G/S)->-Z(G/S..) zustandekommt (siehe Abschnitt 4.6).

Man Uberlegt sich leicht, dass i> ein Epimorphismus ist.

Hat man nSmlich ein Element (a,-) eZ (G/S) =Z (G/S.JfflZ (G/£5 ) ,

so lasst sich die zweite Komponente immer so erganzen,

dass die Koeffizientensumme aller auftrenden z. verschwindet.

Das aber bedeutet gerade, dass das Element in A liegt.

Wir bestimmen nun den Kern der Abbildung vu. Dies sind

offensichtlich genau diejenigen Elemente (0,b)eZ(G/S) ,

bei denen die Koeffizientensumme aller (in b) auftretenden

z. verschwindet; das aber heisst gerade, dass das Element

zu A_ gehort. Man hat also eine kurze exakte Folge

-30-

A^A^ZtG/^) (1)

und naturlich auch(durch Vertauschen der Indizes)

A^A-«(G/S2) (2)

In beiden Folgen haben die beiden rechts stehenden Moduln

Dualitat in der Dimension n-1, und die zu (1) gehorige

lange exakte Cohomologiefolge lautet:

Extg"2(A ,ZG)^Extg_1(Z,ZG)4*Extg-1(A,ZG)-1, I

C0Z(G/S ) -h C

Wiederum ist aus dem im Beweis von Satz-4.6 verwendeten

Diagramm ersichtlich, dass <)>* gerade die Abbildung

l®e: C8Z(G/S )-v C8Z ist. Somit ist der Kern

Extg"2(A1#ZG) = C0A2.

Lemma 4.12

In der obigen Situation gilt: Hom_(A ,A,)=Hom„(A_,A_)

rG 1 1 C I I

Beweis: HomG (A^_, A^ sTor^_2 (C0A2 , Aj_) =Tor£_2 (C0A1, A2) £HomG (A2 , A2)Dabei wurde zuerst die Dualitat von A. ausgeniitzt, dann

die von A_.

4.8 Ein Erweiterungssatz

Es sei (G,SJ) ein Gruppenpaar mit S={S. |iel}, und H sei

eine Untergruppe von G. Fur jedes i«I wahlen wir ein

System X von Doppel-Nebenklassen-Repr3sentanten von

H^G^S. ; wir betrachten die Familie von Untergruppen von H:

HnSX = {Hflx.S.x71|x.eX,,iel}V

Bis auf Konjugation in H hSngt HAS nicht von der Wahl

von X={X.|iei} ab. Wir betrachten nun die folgende

Abbildung $ : Z (G/S)-»Z (H/HrtSX) :

-31-

d> (xS )=h(HOS ), wobei xtG und h£H, xeX , s^S sodass

x=hxs. Man verifiziert, dass dadurch ein wohldefinierter

H-Isomorphismus gegeben ist, der auch mit den Augmentati-

onen vertraglich ist. Somit gilt:

Lemma 4.13 (siehe [4 j )

Es sei Sf$. Dann gibt es einen H-Isomorphismus zwischen

A(G,S) Und A(H,HnSX)-Lemma 4.14 (siehe I 4 ])

Ist in obiger Situation H von endlicher" Index in Gr so

hat man naturliche H-Isomorphismen

Hk(G,S;ZG) = Hk(H,HOSX;ZH) fur alle keZ.

Satz 4.15

Es sei (G,S_) em Gruppenpaar, und es sei H erne Unter-

gruppe von endlichem Index in G. Ist (G,SJ ein D -Paar,

X nso ist auch (H,H0S > em D -Paar. Die dualisierenden

Moduln smd H-isomorph.

Beweis: Wegen Lemma 4.13 gilt:

Tor"(UZH,A)S>ror£(1!ZH®HZG,A)STor£(1IZG,A) fur alle keZ.

Daraus folgt nach [ 1, dass A als G-Modul genau dann vom

Typ (FP) ist, wenn er es als H-Modul ist. Wegen Lemma

4.14 ist Ext„(A,ZG)=0=Ext„(A,ZH) fur k^n-1 und

n-1 n-1Ext_ (A,ZG)sExt„ (A,ZH) ist Z-torsionsfrei. Dass die

projektiven Dimensionen von A als H-Modul und als

G-Modul ubereinstimmen ist klar. Somit ist der H-Modul A

vom Typ (FP) und hat nach Satz 3.2 Dualitat. Es

gibt also naturliche Isomorphismen

vk: Hk(H;Hom(A,A)) *H, (H;C®A) fur alle H-Moduln A.

n—K 1

Ersetzt man in der obigen Argumentation den Modul A

durch Z, so fmdet man, dass der triviale H-Modul Z

-32-

Dualitat in der nunension n-1 hat und dass es natiirliche

Isomorphismen pk:Hk(H;A)+H (H;C®A8A) fUr allen—K J.

y

H-Moduln A gibt. Satz 4.5 sagt nun, dass (H,HflS )

ein D -Paar ist.

Bemerkung: Man hat dabei beniitzt, dass bei einer absoluten

D -Gruppe G und einer Untergruppe H von endlichem

Index die dualisierenden Moduln H-isomorph sind. Die

entsprechende relative Aussage wird von Lemma 4.14

geliefert.

4. 9 Beispiele:

1. Es sei G eine D -Gruppe. Betrachte das D -Paar (G,{G,G}).

H sei eine Untergruppe vom Index 2 in G. Die Doppel¬

klassenzerlegung liefert nur die eine Klasse G(fiir beide

Untergruppen). Es entstehen also zwei Untergruppen

HOG=H. Der Erweiterungssatz 4.15 liefert also das

Dn-Paar (H,{H,H}).

2. Es sei G eine D -Gruppe, und S sei eine Untergruppe

vom Index 2 in G. Betrachte das D -Paar (G,S). Es sei

P-»Z eine endliche G-Aufl6sung von Z; dann ist P8Z-*?

eine endliche G-Auflosung von A=Z und man sieht sofort,

dass A Dualitat hat und dass es sich bei (G,S) wirklich

um ein D -Paar handelt. Die Doppelklassenzerlegung HnG'S,

wobei H irgendeine Untergruppe von endlichem Index in G

ist, fallt zusammen mit der Zerlegung HSx. Es gibt zwei

Moglichkeiten:

a) H ist eine Untergruppe von S. Dann ist das vom

Erweiterungssatz gelieferte Paar (H,{H,H}).

b) H liegt nicht in S. Dann ist das erweiterte Paar

(H,H<1S). Es ist klar, dass H/IS in H Index 2 hat.

-33-

Bemerkung: In Beispiel 2 ist A=Z mit nichttrivialer G-Operation.

Es sind genau die Elemente von S, welche auf A trivial operie-

ren. Die H-Operation des Paares (H,{H,H}) auf A ist aber

trivial. Dies ist kein Widerspruch, denn in Lemma 4.13

wird lediglich ein H-Isomorphismus konstruiert, und da H^s,

operiert H tatsachlich trivial auf A.

-34-

III. D2-PAARE

In[ 43behandeln Bieri und Eckmann ausfiihrlich den Fall der

2PD -Paare. Insbesondere erhalten sie das Resultat, dass ein

2Paar (G,SI) mit S/0 genau dann ein PD -Paar ist, wenn G eine

endlich erzeugte frei/ Gruppe ist und wenn S^ eine endliche

Familie zyklischer Untergruppen von G ist, derart dass

H1G,S3;ZG) unendlich zyklisch ist.

Wir werden in diesem Abschnitt beweisen, dass mit diesem

2Kriterium sogar bis auf einige triviale Falle alle D -

Paare erfasst werden.

5. D -Paare sind leicht vollstandig aufzuzahlen. Falls

S=0, ist G eine absolute D -Gruppe und somit eine freie

endlich erzeugte Gruppe. Ist S/0, so ist cdG=0 und G=l

und S={l,l}.Es handelt sich bei diesem einzig moglichen

Paar trivialerweise um ein PD -Paar.

26. D -Paare

2 16.1 Bei einem D -Paar mit Sf$ ist G eine absolute D -Gruppe,

und somit ist G endlich erzeugt frei. Ueber solche Gruppen

weiss man relativ viel, was uns ermoglichen wird, die

2D -Paare mit S/0 vollstandig zu beschreiben.

26.2 Zuerst betrachten wir D -Paare (G,£>) ,

bei denen die

Untergruppenfamilie £ mehr als eine Untergruppe enthalt.

2Nach Korollar 4.7 ist bei solchen D -Paaren die

Restriktionsabbildung H (G;A)-*H (S;A) fur alle SeS

und fiir alle G-Moduln A surjektiv. Dies hat aber sehr

weit gehende Konsequenzen.

Satz 6.1(siehe [6,12"] )

Ist fiir eine Untergruppe S einer Gruppe G und fur alle

G-Moduln A die Restriktionsabbildung H1 (G;A) -"-H1 (S;A)

surjektiv, so ist S ein freier Faktor in G.

-35-

Korollar 6.2

2Bei einem D -Paar (G,SJ, bei dem S^ mehr als eine Unter-

gruppe enthalt, ist jedes SeS freier Faktor in G.

Bemerkung: Wir werden aufgrund der bisherigen Erkennt-

2nisse D -Paare mit (F,S) bezeichnen.

6.3 Aus Satz 4.4 wissen wir bereits, dass die Familie S^ endlich

sein muss. In L 4 Jwird gezeigt, dass fur PD -Paare (F,SJ

die Ungleichung m«n+l besteht, wobei m die Anzahl der in

S auftretenden Untergruppen und n den Rang der Gruppe F

bezeichnen. Wir werden diese Ungleichung auf den Fall

2beliebiger D -Paare verallgemeinern.

2Es sei (F,S) ein D -Paar mit mehr als einer Untergruppe.

S sei eine beliebig herausgegriffene Untergruppe von S,

und es sei S ={S} und S =S_^{S}. Die kurze exakte

Augmentationsfolge A »*Z (F/S )-»Z gibt bei Anwendung des

Funktors Hom„(-,Z) Anlass zur exakten Folge

Z^HomF(A2,Z)^Fab^(Sk)abDabei wurde beriicksichtigt, dass nach Satz 4.6 die projek-

tive Dimension von A- Null ist. Ist nun n der Rang der

freien Gruppe F, so liest man aus der obigen Folge sofort ab,

dass die Summe der Range aller in S^ auftretenden Unter¬

gruppen kleiner oder gleich n ist. Wenn man annimmt, dass

S die Untergruppe mit dem kleinsten Rang ist, so folgt

die Ungleichung I(rg S.) ^ n+min{rg S, )

i1

kk

Satz 6.3

2Bei einem D -Paar (F,S) mit mehr als einer Untergruppe

gilt die Rangungleichung

I(rg S.) < n+min(rg S. )

l k

l

-36-

Korollar 6.4

2Im PD- Fall mit m>l Ontergruppen, lautet die Ungleichung

von Satz 6.3 m<n+l, in Ueberieinstimmung mit der

Ungleichung in Proposition 11.1 in [4 J.

6.4 Auf den ersten Blick scheint es, als sei die Situation

2bei einem D -Paar mit nur einer Untergruppe S viel kompli-

zierter. Auf jeden Fall ist S kein freier Faktor in F.

Wir zeigen, dass dies aber "fast" der Fall ist. Lemma 3.10

in [^ jbesagt namlich folgendes:

Lemma 6.5

F sei eine freie Gruppe und S eine endlich erzeugte Unter¬

gruppe von F. Dann ist S freier Faktor einer Untergruppe

H von F, welche in F endlichen Index hat.

Bemerkung: Da H in F endlichen Index hat, ist H eine freie

Gruppe, deren dualisierender Modul H-isomorph zum duali-

sierenden Modul von F ist(in unseren Anwendungen dieses

Lemmas ist F ebenfalls endlich erzeugt).

6.5 Wir kommen mit diesen Erkenntnissen nochmals zuriick auf

2den Erweiterungssatz 4.15

. Es sei (F,S) ein D -Paar mit

mehr als einer Untergruppe, und H sei eine Untergruppe

von endlichem Index in F. Betrachte das durch Erweiterung

entstehende Paar (H,HflS ). Offensichtlich folgt aus

der Tatsache, dass S ein freier Faktor in F ist, dass

Y

Hf)£> ein freier Faktor in H ist. Dieser Satz gilt sogar

allgemeiner ohne Endlichkeitsvoraussetzungen:

Satz 6.6 f 10 "\

Es sei S ein freier Faktor der freien Gruppe F und H eine

beliebige Untergruppe von F. Dann ist SDH ein freier

Faktor von H.

-37-

26.6 Der Satz 4.9 sagt, dass bei einem D -Paar mit mehr als

einer Untergruppe die Augmentationskerne A und A„

projektiv sind(fails es sich nicht um das Paar (F,{F,F>)

handelt). Dies wollen wir beniltzen, um eine explizite Auf-

losung von A anzugeben. Dazu betrachten wir das folgende

kommutative Diagramm:

IF ... IF

I" IjA,©Aj- >A,®A-ffiZF »ZF1 2>

*12

I I P

A1eA2^_^ *A *Z

Aus diesem Diagramm liest man die projektive Auflosung

f ftIF> *A ©A ©ZF »A

heraus. Kurzen wir A.©A. mit P ab, so kann man schreiben:

IF >—I ?.P©ZF -- 3A (*)

Dabei gilt: y(a)=(-a(a),j(a))

6(p,0)=i(p) ; 6(0,b)=o(b)

a bezeichnet dabei die Abbildung, die das untenstehende

Diagramm konunutativ macht:

Man kann einen solchen Homomorphismus explizit angeben.

Dazu muss man beachten, dass die Elemente von A die

Form haben:

( I z., xli,S,, I z„. x_. S_,..., Y, z . x .S ) mit Zl z.. =

li, 1 1.

2i- 2i_ 2' m m n ..31.

i,l i-2 2 inn ji .

J

j1 2 n j

»

-38-

Definiere nun a(l)-=(Slf-S2,0,0,...,0)Dadurch wird das Diagramm kommutativ.

Die duale Folge der Auflosung des Augmentationskernes A

eines D -Paares (F,S) ,bei dem S mehr als eine Untergruppe

enthalt, ist eine endliche Auflosung des dualisierenden

Moduln C des Gruppenpaares:

p*ezF^—r* ®zf *cY*

Nach Abschnitt 4.7 gilt aber P* = P0C. Es muss also P8C,

versehen mit diagonaler F-Operation, endlich erzeugt sein.

Dies ist sicher dann der Fall, wenn P=0; dies fuhrt auf '

die Situation A.=A2=0, d.h. man hat das Paar (F,{F,F}).

Die Auflosung (*) fallt dann mit der Folge IF**ZF-»Z£A

zusammen. Die Frage lautet nun, ob es moglich ist, dass

P8C endlich erzeugt ist, ohne dass P verschwindet. Der

folgende Satz von Bass hilft hier weiter.

6 . 7 Satz 6.7 f^]Es sei F eine freie Gruppe. Dann sind die endlich erzeug-

ten projektiven ZF-Moduln frei.

Satz 6.8

2Ein D -Paar (F,S) mit mehr als emer Untergruppe ist

2entweder das Paar (F,{F,F}) oder es ist ein PD -Paar.

Beweis; Aus den Ueberlegungen in Abschnitt 6.6 folgt, dass

der Modul P8C mit diagonaler F-Operation endlich erzeugt

sein muss. Ist P=0, so fuhrt dies auf (F,{F,F}).1st P/0,

so lasst sich P nach Satz 6.7 schreiben als direkte

Summe P=®ZF mit endlich vielen Summanden und P8C somit

als P0C = 9(C0ZF). Da aber C8ZF mit diagonaler Operation

zu C 8ZF isomorph ist, folgt sofort, dass P®C genau

dann endlich erzeugt ist, wenn C als Abelsche Gruppe

endlich erzeugt ist. Nach dem Satz von Farrell folgt,

da C dualisierender Modul jeder Untergruppe Sej> ist,

dass C unendlich zyklisch ist(siehe Bemerkung zu Satz 3.9).

-39-

Wir behandeln nun dos etwas heikleren Fall der D -Paare

(F,j3), bei denen S aus genau einer Untergruppe besteht.

Fiir ein solches Paar schreiben wir kurz (F,S) .

Satz 6.9

2Ein D -Paar (F,S) mit genau einer Untergruppe S ist ent-

2weder ein PD -Paar, Oder S hat Index 2 in F.

Beweis: Nach Lemma 6.5 gibt es eine Untergruppe H von

endlichem Index in F, in welcher S ein freier Faktor

ist. Wir wenden auf diese Situation den Erweiterungs-

satz 4.15 an. Dazu mussen wir die Doppelklassenzerlegung

H^F^S betrachten. Da HS=H#F, enthalt sie mehr als eine

2Klasse. Der Erweiterungssatz liefert also ein D -Paar

mit mehr als einer Untergruppe, nach Satz 6.8 also ein

2PD -Paar oder das Paar (H,iH,H}). Da bei dieser Erweite-

rung die dualisierenden Moduln H-isomorph sind, sind

2 2die D -Paare (F,S), welche bei der Erweiterung auf PD -

2Paare ftihren, selbst PD -Paare. Da bei der Erweiterung

aber auch die Augmentationskerne A H-isomorph sind,2

haben die D -Paare (F,S), welche auf (H,{H,H>) ftihren,

auch unendlich zyklischen Augmentationskern A. Eine

Augmentationsfolge Z"-Z(F/S)-»Z ist aber nur moglich, wenn

S in G Index 2 hat.

Beim Beweis von Satz 6.8 resp 6.9 wurde wesentlich

verwendet, dass iiber dem Gruppenring ZF einer freien

Gruppe die endlich erzeugten projektiven Moduln

frei sind. Wir geben nun noch einen Beweis unseres

Hauptresultates, der diese Eigenschaft nicht beniitzt.

Dabei stutzten wir uns auf ein Resultat von Wall(siehef1

-40-

Satz 6.10

Es sei (G,S) ein Gruppenpaar, dessen Augmentationskern A

projektiv ist. Dann ist (bis auf Konjugation) G das

freie Produkt aller S. und einer freien Gruppe. Dabei

wird G als endlich erzeugt vorausgesetzt.

2Wir betrachten nun ein D -Paar (F,S), bei dem die

Familie S aus mindestens 3 Untergruppen besteht:

S={S ,S ,S ,S ,...,S,}, k>2. Es bezeichne S' die Teil-

familie S'={S ,S ,S ,...,S }. Nach Satz 4.9 erfullt das

Paar (F,S/) die Voraussetzungen von Satz 6.10, und es

gibt somit eine freie Gruppe F', so dass

F = S2*(S3*...*Sk*F')Betrachte nun das kommutative Diagramm

A , Z(F/S ) »Z

I \\A->-Z(F/S3*S4*. . .*F')+Z

n

Dabei ist y die Abbildung y: fS i—» f(S *S *...*F').

Es ist klar, dass y ein F-Epimorphismus ist. Durch y

wird ein Epimorphismus yx A —*A induziert. Da nach Satz

4.10 der Modul A,®C endlich erzeugt ist, ist auch A8C

endlich erzeugt. Das freie Produkt F=S_*(S,*...*S, *F')

gibt Anlass zur kurzen exakten Folge

ZF«-Z(F/S2)eZ(F/S3*. . .*F')-*Z

Das folgende Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten ist

kommutativ:

IF A.9A

T 2rZF? Z(F/S,)»Z(F/S,*.

. .*F')- *Z

12

I3

iiZ > 7 Z9Z — » Z

-41-

Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass IF ^ A_®A .

Aus dem oben Gesagten folgt also, dass der Modul

IF8C = A_®C®A®C als E1-Modul endlich erzeugt ist;

da aber der dualisierende Modul C endlich prasentiert

ist, folgt mit dem Shanuel-Lemma, dass in der

Prasentierung C®IF»C®ZF-»C auch der Modul CSZF endlich

erzeugt ist. Dies ist aber nur moglich, wenn C als Abelsche

Gruppe endlich erzeugt ist, und da C ein dualisierender

Modul(z.B. von S_) ist, folgt nach dem Resultat von

Farrell(siehe Bemerkung zu Satz 3.9), dass C unendlich

2zyklisch ist. Wir haben also bewiesen, dass ein D -Paar

2mit mindestens 3 Untergruppen ein PD -Paar ist.

2Es sei nun (F,S_) ein D -Paar mit genau 2 Untergruppen S

und S,und es sei S.^F fiir i=l,2(andernfalls erhalt man

das Paar (F,{F,F})). Da S ein freier Faktor in F ist,

gibt es Erzeugende {x ,x„ , ... ,x, ,x , . . .x } fiir F,

so dass S von {x:,x_,...x, } erzeugt wird. Es sei nun

S' die von {x.,x2,...,x _.} erzeugte freie Gruppe(wir

haben k<n vorausgesetzt), und S" sei die Untergruppe

2{x } = 2Z von F. Der von S'*S" erzeugte Normalteiler H

hat Index 2 in F und es ist S ch. Wir wenden nun auf das

2D -Paar (F,{S^ ,S~}) und auf den Normalteiler H den

Erweiterungssatz 4.15 an. In der Doppelklassenzer-

legung H>G-S, hat man wegen HS=H sicher mindestens zwei

2Klassen, und die Erweiterung liefert somit ein D -Paar

2mit mindestens drei Untergruppen, also ein PD -Paar.

2Der Uebergang zu D -Paaren mit genau einer Untergruppe

erfolgt wie bei Satz 6.9.

^

-42-

Die bisherigen Resultate kann man wie folgt zusammenfassen:

Satz. 6.11

2Bei einem D -Paar (G,S) mit Sf0 ist mindestens einer der

Moduln A und C unendlich zyklisch als Abelsche Gruppe.

Falls A unendlich zyklisch ist, so gilt naturlich, dass

Hom„(A,A)=Z. Ist C unendlich zyklisch, so folgt mit Lemma 3.11,

dass Hom„ (A, A) =Hoiru (C,C) ,und es gilt also auch in diesem Fall,

G o

dass Hom„(A,A)=Z.

6.9 Bemerkungen

Satz 6.11 gilt in dieser Formulierung auch fur D -Paare.

Es stellt sich naturlich die Frage, ob der Satz auch auf hohere

Dimensionen iibertragen werden kann. Insbesondere muss man sich

fragen, ob es uberhaupt moglich ist, dass ein Tensorprodukt C®A

als G-Modul endlich erzeugt ist, ohne dass einer der Moduln

C und A als Abelsche Gruppe endlich erzeugt ist.

2Satz 6.11 enthalt die Aussage, dass bei einem D -Paar (F,S)

alle in S^ auftretenden Untergruppen zueinander isomorph sind.

Gilt dieses Resultat auch in hoheren Dimensionen?

2Abschliessend kann man sagen, dass D -Paare (F,S) mit Sf0

nun vollstandig bekannt sind. Nach einem Resultat von Eckmann und

Miiller [7] sind namlich alle PD -Paare geometrlsch(im Sinne

von j^4^ ) ,und die D -Paare, die keine PD -Paare sind, kennen

wir nun auch vollstandig.

f

Literatur:

[l] H. Bass, Projective modules over free groups are free.

Journal of Algebra,1(1964),p.367-373

[2] R. Bieri, Homological dimension of discrete groups.

Queen Mary College Math. Notes, London 1976

[3] R. Bieri,B.Eckmann, Finiteness properties of duality groups.

Comment.Math.Helv.49(1974)p.460-478

[4] R. Bieri,B.Eckmann, Relative homology and Poincare duality

for group pairs, Journal of pure and applied Algebra,

13(1978),p.277-319

[s\ K.S.Brown, Homological criteria for finiteness. Comment—Math..

Helv.50(1975),p.417-419

[6] D.Cohen, Groups of cohomological dimension one,

Lecture Notes in Mathematics,245

[7] B.Eckmann,H.Muller, PoincarS duality groups of dimension two.

Comment.Math.Helv.(to appear)

[8j T.Farrell, Poincare duality and groups of type (FP).

Comment.Math.Helv.50(1975),p.650-665

[9] R.Lyndon, P. Schupp, Combinatorial group theory.

Springer,Ergebnisse der Mathematik und ihrer

Grenzgebiete,89

[10] W.Magnus,A.Karrass,D.Solitar, Combinatorial group theory,

Dover New York

[ll] H.Muller, Ueber die hoherdimensionalen Endengruppen von Gruppen,

Diss ETH 6033

[l2] R.Swan, Groups of cohomolical dimension one.

Journal of Algebra 12(1969),p.585-610

tl3} C.T.C.Wall, Pairs of relative cohomological dimension one.

Journal of pure and applied Algebra 1(1971),p.141-154

Lebenslauf

Am 31. Juli 1951 wurde ich in Aarau geboren. Wahrend

5 Jahren besuchte ich in Lenzburg die Primarschule und

anschliessend wahrend 4 Jahren die Bezirksschule. Im Jahre

1970 erwarb ich an der Kantonsschule Aarau die Maturitat

Typus C. Im gleichen Jahr begann ich das Mathematikstudium

an der ETH Zurich; im Herbst 1974 erwarb ich das Diplom

fiir Mathematik. Wahrend einiger Jahre war ich als Assistent

bei den Herren Professoren C. Blatter, A. Huber, M. Knus,

H. Lauchli, G. Mislin und U. Stammbach tatig. Seit dem

Herbst 1980 bin ich Hauptlehrer fiir Mathematik an der

Aargauischen Kantonsschule in Baden.