Research Collection

Doctoral Thesis

Studio di alcuni problemi elastici a due dimensioni

Author(s): Rajnfeld, Seweryn

Publication Date: 1933

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000096646

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Studio di alcuni problemi elastici

a due dimensioni

TESI PRESENTATA AL POLITECNICO FEDERALE SVIZZERO IN ZURIGO

PER IL

CONSEGUIMENTO DEL GRADO DI DOTTORE IN SCIENZE TECNICHE

e DA

SEWERYN RAJNFELD

DI VARSAVIA

Relatore: Prof. Dott. F. TANK

Correlatore: Prof. M. ten BOSCH

N. 730

MILANO, AGOSTO 1933

Arti grafiche E. Calamandrei e C,

via hayez, 9

Curriculum Vitae.

Sono nato a Varsavia (Polonia) nel 1906, dove ho seguito il corso normale di studi

fino al liceo, ottenendone la licenza nel 1924. Dal 1924 al 1925 ho frequentato i corsi

dell'Istituto Minerva di Zurigo per la preparazione all'esame d'ammissione al Poli¬

tecnico Federale di Zurigo, al quale mi iscrissi alla fine del 1925, e dal quale ottenni

nel 1929 il diploma di ingegnere meccanico. Assunsi, non appena finiti gli studi, il posto

di assistente presso il Prpf. M. ten Bosch, e vi rimasi per un anno. Dal 1930 al 1932 fui

trasferito al Laboratorio di Fotoelasticità dell'Istituto di Fisica del Politecnico Fede¬

rale, dove, sotto la valida guida del Prof. Dott. F. Tank, ebbi la possibilità di incomin¬

ciare e condurre a termine la mia laurea di Dottore in Scienze Tecniche.

Seweryn Rajnfeld.

Seweryn Rajnfeld

Studio di alcuni problemi elastici a due dimensioni(I)

Esprimo i miei sinceri ringraziamenti al Prof. Dott. F. Tank

per il costante ed infaticàbile aiuto portatomi, alla « Schweizerische

Volkswirtschaftstiftung », che ha sovvenzionato il laboratorio di

fotoelasticità, ai Professori M. ten Bosch, Dr. W. Brunner e Dr.

G. Pólya per i loro preziosi consigli, ed a L'Energia Elettrica

per la cortese ospitalità.

PARTE TEORICA

i) Introduzione.

Tensioni e deformazioni.

Quando un sistema di forze in equilibrio agisce su un corpo

solido, fra due qualunque elementi contigui del corpo, si svilup¬

pano delle forze a cui, riferendole all'unità di superficie, diamo

il nome di tensioni.

Consideriamo nell'interno del corpo un elemento di volume,

limitato da superfìci parallele ai piani coordinati; le tensioni

saranno in generale inclinate rispetto alle perpendicolari alle

faccie del parallelepipedo. Decomponiamo ciascuna tensione

in una componente normale o ed in una componente, che

giaccia nella faccia stessa, la tensione tangenziale t. Indichiamo

la tensione normale diretta parallelamente all'asse X col sim¬

bolo a*, analogamente le altre con ay e <sz, infine con Ty^ la

tensione tangenziale parallela all'asse X e giacente nella faccia

perpendicolare all'asse Y. Si può dimostrate quanto segue:

Esiste tra gli infiniti parallelepipedi, che delimitano l'elemento

di volume, un parallelepipedo speciale, per il quale le tensioni

tangenziali sono nulle. I piani a cui appartengono le faccie di

questo parallelepipedo vengono chiamati piani principali e le

tensioni normali ad essi, che sono le massime o minime in quelpunto, vengono dette tensioni principali. Sotto l'azione di questeforze superficiali il volume elementare considerato si deformerà

e ogni punto del corpo si sposterà rispetto alla sua posizioneiniziale di un segmento, le cui componenti, riferite agli assi

coordinati, chiameremo \, ti, K.

2) Problema delle lastre.

§ 1. Definizione ed equazioni fondamentali.

Nella tecnica compaiono spesso problemi relativi a corpi so¬

lidi limitati da due superfìci piane parallele, quali travi, muri,ruote dentate, cilindri, pareti piane ecc., caratterizzati dal

fatto che il carico è applicato in un piano parallelo alle super¬

fìci suddette mentre nella direzione Z perpendicolare ad esso

non agiscono ne forze, né coppie. Tali problemi si sogliono chia¬

mare problemi piani, trascurando le deformazioni nella dire¬

zione Z. Si può però dimostrare, partendo dalle equazioni ge¬

nerali dell'elasticità, che se la distribuzione delle tensioni è

la stessa in tutti i piani paralleli a quello in cui è applicatoil carico, deve necessariamente verificarsi una deformazione

nella direzione Z. Se vogliamo che le superfìci, che limitano il

corpo in questa direzione, rimangano piane, la ripartizione delle

tensioni nella direzione Z deve essere variabile e le superfìcipiane suddette devono essere sollecitate da pressioni normali.

a) Ipotesi.

Si definisce col nome di lastra un corpo limitato da due pianiparalleli senza carico, il cui spessore è piccolo in confronto alle

altre dimensioni. La superficie di contorno deve essere perpendi-

(1) I numeri in parentesi nel testo si riferiscono alla bibliografia

riportata in fondo a questo studio.

colare alle superfìci piane, e il carico deve agire solo su di

essa ed essere uniformemente ripartito lungo lo spessore. Per

trattare matematicamente il problema, dobbiamo fare delle ipo¬tesi che lo semplifichino. Supporremo che la lastra sia o infini¬

tamente sottile, o infinitamente spessa. Allora potremo ritenere

costanti ax, <jy t lungo la direzione Z.

d ax

~d~T ~d~7 dz

d-. dTzydz

La dilatazione unitaria nella direzione Z è differente da puntoa punto, ed il valore di sz sul contorno può essere quindi scelto

arbitrariamente ; lo supporremo uguale a zero. Solo l'esperienzapuò decidere sulla validità di questa ipotesi. Ricordiamo qui le

esperienze di J. Mùller (1), il quale basandosi su tale • ipotesi,ha determinato le tensioni di un dente. L'integrazione delle

tensioni così trovate estesa all'area della sezione ha dato per

risultato, entro i limiti di precisione della misura, il carico esterno.

b) Equazioni fondamentali.

Considerando le condizioni d'equilibrio per un parallelepi¬pedo i cui spigoli sono dx, dy, 1 (spessore) otteniamo:

d (Jy+

dxI. 2)

Se supponiamo secondo la legge di Hooke, che le deforma¬

zioni unitarie siano proporzionali alle tensioni, e se teniamo

conto anche di quelle trasversali, otteniamo per le deformazioni

di un corpo omogeneo e isotropo l'equazione:

d x E \ mi

1

~G

__

dr,

d\ d-n

dy d x.

5)

dove E = modulo d'elasticità a tensione normale.

G = modulo d'elasticità a tensione tangenziale.

ix, sy = deformazioni unitarie nelle direzioni x e y.

Per risolvere il problema nel caso di una lastra bisogna de¬

terminare in ogni punto le cinque grandezze <rx, <sy, r, sX] sy, e

poiché noi abbiamo trovato esattamente 5 equazioni, esso è

risolto in forma differenziale.

e) Funzione tensionale.

Il calcolo delle lastre si semplifica introducendo la così detta

funzione tensionale: Eliminiamo Txy tra le equazioni 1 e 2

dopo averle differenziate, con ciò otteniamo

dx'

du

dy6)

.

Ne segue che <s% e oy possono considerarsi come derivate

parziali di una stessa funzione F (funzione tensionale di Airy).

d'F

dy

Se si pone inoltre

"y =d'F

dx'

d'F

d,d,

7, 8)

9)

- 4 -

si ottiene introducendo questi valori nelle equazioni 3, 4, 5

d'F

d xl+ 2

d'F d'F

d x' d y dy

Il problema è quindi ridotto all'integrazione dell'equazioneA Ai7 = o, per date condizioni al contorno.

d) Soluzione mediante la funzione tensionale.

Con lo sviluppo matematico esposto possiamo risolvere pra¬ticamente il problema solo in un modo: Costruiamo una fun¬

zione, che soddisfi la condizione A A F = o, e mediante doppiadifferenziazione determiniamo le tensioni e la ripartizione di

queste; da queste considerazioni seguirà per quali problemipratici la soluzione è applicabile.

Il metodo porta ad una faticosa serie di tentativi di risultato

incerto; per questa via sono stati risolti alcuni problemi da

Micheli (2) e Boussinesq (3), quale ad es. quello di una forza

isolata applicata su un semipiano. Una soluzione di interesse

pratico è stata trovata da Kirsch (4) per un piano infinitamente

esteso e forato, sottoposto a trazione uniforme. Sommerfeld

ha dato l'espressione della funzione tensionale per i diedri, e

mediante questa Wieghardt (5) ha potuto determinare la ripar¬tizione delle tensioni in alcuni solidi prismatici. Dopo aver

trovato con questo procedimento alcune soluzioni, se ne pote¬rono ottenere delle nuove, ricorrendo alle proprietà della fun¬

zione tensionale F. Una via di ricerca è data dalla rappresenta¬zione conforme della forma della lastra e delle sue deformazioni,mediante una funzione armonica; ma la rappresentazione con¬

forme della funzione tensionale non conduce generalmente alla

funzione tensionale, che corrisponde al nuovo sistema. Si deve

ancora notare, che un contorno non sollecitato nel primo sistema

corrisponde a un contorno sollecitato da tensioni variabili nel

secondo. Wolf (6) ha eseguito l'integrazione della funzione ten¬

sionale nel caso di un piano infinitamente esteso con foro el¬

littico, sottoposto a trazione uniforme, mediante l'introduzione

di coordinate ellittiche con la rappresentazione conforme

x' -f i y' = cos (u -\- tv)

Una rappresentazione conforme importante è l'inversione

x' + ì y' — (x + 1 y\~T

Il campo elastico è invariante rispetto alla sostituzione

x y „,F

x' + y x' + yF'

x* + y

Con questa speciale rappresentazione conforme le proprietàdelle traiettorie delle tensioni principali rimangono invariate,e i contorni sollecitati da tensioni costanti vengono sollecitati

da nuove tensioni, pure costanti. Questa proprietà è stata uti¬

lizzata da Timpe (7) per dedurre nuove soluzioni da quelle giànote; egli ha così potuto indicare la soluzione dei seguenti-problemi :

1) Sbarre diritte e curve sottoposte a flessione semplice.

2) Trave diritto incastrato a una estremità, sollecitato da

un carico concentrato o da un carico distribuito sia uniforme¬

mente sia con legge lineare o quadratica.

3) Lame sollecitate sul filo.'

4) Anelli sollecitati internamente.

Queste soluzioni sono però in parte incomplete, poiché in

esse l'azione locale delle forze, o degli incastri, non viene con¬

siderata. Il principio dell'inversione fu anche utilizzato da

Hertz (8) e Micheli (9), per studiare la distribuzione delle ten¬

sioni in una lastra circolare sollecitata da un carico concentrato.

Applicando il principio di superposizione si trovarono in

seguito soluzioni di problemi fisici, come Micheli (io) ha dimo¬

strato, partendo anzi talvolta da soluzioni praticamente non

realizzabili: così ad es. han potuto essere determinate le solle¬

citazioni di un semipiano caricato con una pressione costante

lungo un segmento. Con la superposizione di sollecitazioni ele¬

mentari calcolate dal Boussinesq, Lorenz (n) ha ottenuto la

soluzione nel caso di un semipiano caricato comunque lungo il

contorno.

Volterra, nella sua pubblicazione: «Sull'equilibrio dei corpielastici a connessioni multiple », ha sviluppato un problema,che spesso si presenta nella teoria dell'elasticità, cioè il caso

di un anello appiattito, con orlo perpendicolare, al quale venga

tagliato via un pezzo radiale o parallelo, ed i due tagli siano

avvicinati e saldati assieme, così che l'anello sia soggetto a

tensioni interne.

La soluzione di simili problemi porta a notevoli complica¬zioni matematiche, e i risultati vengono presentati in una forma,che male si adatta all'applicazione pratica.Sembra dunque che i problemi, che più .spesso compaiono

nella tecnica, e cioè quelli nei quali i contorni hanno una forma

geometrica complessa, non possano mai venire risolti per questavia; non rimane dunque altra possibilità, che rivolgersi all'espe¬rienza, e misurare i campi elastici reali. Poiché i metodi speri¬mentali non sono mai perfetti, è importante derivare alcune

regole dalle equazioni generali che possano servire di controllo

nell'interpretazione dei valori misurati.

§ 2. Campi elastici.

In ciò che segue verranno sviluppate le leggi dei campi ela¬

stici nella misura necessaria per la comprensione e discussione

delle misure sperimentali. Queste leggi troveranno poi conferma

nella parte sperimentale.

a) Traiettorie.

Definiamo come traiettorie quelle curve, le cui tangenticoincidono con le direzioni delle tensioni principali. Dalla defi¬

nizione segue che esiste un sistema ortogonale di traiettorie,

poiché in ogni punto esistono due tensioni principali, tra loro

normali. Siano date in ogni punto le tensioni ax, ay, -.; le ten¬

sioni principali e le loro direzioni si calcolano allora con le

espressioni

+ «> J/l^r1)'d'F

d x'+

d'F

1/d'F

d x'

d'F

dv'+

d'F \

dx dy I")

tg2<?

Se ci riferiamo alla proprietà delle traiettorie delle tensioni

principali, che cioè le loro tangenti coincidono in direzione con

le tensioni stesse, possiamo scriverne l'equazione differenziale

tg< = >' ^±|/' + Pi^)'d'F d'F

dx' dy- -t-

d'h—

dx dx

13)

Se la funzione tensionale per un dato problema è conosciuta

otteniamo il sistema delle traiettorie mediante un'unica in¬

tegrazione.Una relazione molto semplice

tra traiettorie e tensioni è data

dalle equazioni di Lamé (12) (con¬fronta fig. 1)

d Gì rjl — t2

dSi

da,

P>

14)

Consideriamo il punto di fles¬

so di una traiettoria del siste¬

ma 2; la variazione della ten¬

sione lungo la traiettoria 1, che Fig. 1.

passa per detto punto è ugualea zero; ciò significa, che se una

traiettoria taglia la coniugata in un punto di flesso, in quelpunto la tensione presenta un massimo, un minimo, o un

flesso. Congiungiamo con una curva i punti di flesso di una

famiglia di traiettorie : nella famiglia coniugata punti come I e II

corrisponderanno in generale a massimi e a minimi, punti come

III a punti di flesso nell'andamento delle tensioni. Se una traiet¬

toria non taglia alcuna coniugata in un punto di flesso, l'anda¬

mento delle tensioni lungo di essa dovrà essere sempre crescente

o sempre decrescente.

- 5 -

b) Contorno.

Particolare interesse presenta il contorno, che, essendo li¬

bero da tensioni tangenziali, deve coincidere con una traiet¬

toria. In questo caso una tensione principale è tangente -al

contorno. In ciò che segue ci limiteremo a considerare contorni

privi di tensioni normali e tangenziali, per i quali quindi <s± e t

assumono il valore zero. Per semplicità ammetteremo, che nei

punti immediatamente vicini al contorno le variazioni della

tensione principale, normale ad esso, siano costanti, che cioè

questa tensione dal valore zero al contorno vada sempre cre¬

scendo o sempre diminuendo, fino al valore <sL alla distanza

As da quello. Le equazioni di Lamé danno in tal caso

As

S a.

àsda cui <r.

i +As

Questa permette di trarre alcune importanti conclusioni.

Supponiamo di muoverci dal contorno verso l'interno della

lastra e consideriamo come positivi, o negativi, i raggi di cur¬

vatura del contorno, a seconda che il centro di curvatura rela¬

tivo giace al di fuori, o nell'interno della lastra. Da questadefinizione e dalla ipotesi precedente segue il teorema :

Le due tensioni principali nei punti immediatamente vicini

ad un tratto curvo del contorno hanno ugual segno se il centro

di curvatura giace al di fuori della lastra; in caso contrario

esse hanno segni opposti.Questo teorema è completamente confermato nella parte

sperimentale, come si vede chiaramente nel tratto curvo del

contorno di una briglia forata.

Consideriamo adesso il caso di un tratto rettilineo di contorno.

Il raggio di curvatura è allora infinito. Posto rx — oo nell'equa¬zione precedente, si ricava

ds,.

Dunque nei punti immediatamente vicini ad un contorno

rettilineo, non soltanto le tensioni, ma anche le loro variazioni

sono nulle.

Le considerazioni precedenti permettono anche di apportareopportune correzioni alle misure eseguite sul contorno, se, in

luogo di misurare le tensioni principali stesse, ci limitiamo a

misurare la differenza fra le tensioni principali, ciò che puòfarsi con maggiore facilità ed esattezza. Occorre difatti tener

presente che non è mai possibile effettuare misure proprio sul

contorno, ma solo nelle sue immediate vicinanze, alla distanza

As. Ma qui esiste già una tensione «,.

Da quanto si è detto risulta però che per un contorno retti¬

lineo l'errore è zero, poiché nelle sue immediate vicinanze una

delle tensioni principali è zero.

Per un contorno curvilineo invece possiamo scrivere.

às

i +As

dalla quale segue

(i+.£) („._.., 16)

Dalla misura delle differenze delle tensioni <r. — a, sul con¬

torno, che è facilmente eseguibile, si ricava a..

Nelle mie misure lungo contorni curvi ho scelto la distanza

As = 0,2 mm; e, poiché il raggio di curvatura è compresofra 3 e 4 mm per tutti i modelli studiati, il fattore di corre¬

zione, posto

a, = K (a. — <r.) risulta K = 1,05 -^ 1,056

Con considerazioni, analoghe si determina il punto del con¬

torno dove la tensione assume il valore massimo. Poiché la

linea di contorno dev'essere una traiettoria, il valore massimo

della tensione lungo il contorno si verificherà nel punto, in cui

una traiettoria coniugata incontra il contorno con raggiodi curvatura infinito. In questo punto, secondo v. Widdern (13),la isoclina, luogo geometrico di tutti punti dove le tensioni

principali hanno la stessa direzione, è perpendicolare all'orlo.

L'esperienza ha confermato questa legge, benché la ricerca di

quelle traiettorie, la cui curvatura sul contorno è zero, possaessere eseguita solo con mediocre precisione.

e) Punti singolari:

Sono questi i punti del campo elastico, nei quali la direzionedelle traiettorie (tensioni principali) è indeterminata. Questocaso si verifica se

come si vede dalla equazione delle traiettorie.

È importante per quel che segue distinguere i due casi

1) dx = dj = a, t = o: il punto singolare viene chiamatoin questo caso « punto circolare ».

2) ox = Oj = t = o: il punto singolare viene detto «puntozero ».

Possiamo allora domandarci se nei problemi pratici le singo¬larità consistano in punti circolari o in punti zero. Ambeduei casi sono possibili: singolarità circolari si presentano per es.

negli angoli, nelle briglie forate e sollecitate a trazione, ecc. ;i punti zero sono invece meno frequenti, si riscontrano in gene¬rale sul contorno, ed in alcuni casi anche nell'interno del so¬

lido, come per es. nelle travi sollecitate a flessione.Non è possibile indicare a priori il numero dei punti singo¬

lari: basta un piccolo spostamento della forza applicata percambiare il numero di questi punti, pur rimanendo invariatala forma del corpo e la specie del carico. Ciò si vede chiaramente

dagli spostamenti dei punti singolari nel caso di denti cortisollecitati a flessione. Però il numero dei punti zero può essere

anche infinito; in questo caso essi formano una linea singolarezero, come chiaramente è stato dimostrato dal Prof. O. M. Cor-bino (14) nella sua nota su «Le tensioni create in un corpoelastico dalle distorsioni di Volterra e la conseguente doppiarifrazione accidentale ».

La precisa conoscenza della posizione e della natura dei

punti singolari è di grande importanza, perchè questi deter¬

minano a grandi linee il sistema delle traiettorie; voglio per

questo descrivere alcuni tipi di questi punti, che si incontrano

con grande frequenza.

1) Punto angolare del contorno (fìg. 20).Se due tratti liberi di contorno si tagliano in un punto, questo

è un punto di singolarità zero; il sistema delle traiettorie somi¬

glia ad una famiglia di iperboli equilatere, e quantunque questaforma non sia definita, non è però possibile, che esse ne assu¬

mano un'altra, come facilmente risulta dalla discussione di

alcuni casi suscettibili di trattazione grafica.

2) Punto di sorgente (fig. 15).D:finiamo come punto di sorgente il punto d'applicazione

di una forza esterna sul contorno. Se il contorno è rettilineo e se

le eventuali parti di contorno di forma diversa sono abbastanza

lontane, per le traiettorie non troppo vicine ai punti di applica¬zione delle forze vale la soluzione del Boussinesq per un semi¬

piano sollecitato da un carico concentrato. In questa semplifica¬zione bisogna fare attenzione alle tensioni normali alle traiet¬

torie, che partono dalla sorgente, perchè queste, nel caso che

sia applicata una sola forza, sono nulle. Praticamente non si

applicano carichi concentrati ma distribuiti, e perciò questetensioni trasversali non sono nulle, e anzi raggiungono valori

notevoli, come risulta dalle misure. Alla loro volta le tensioni

longitudinali si comportano approssimativamente come nel

caso studiato da Boussinesq, cioè diminuiscono linearmente

con la distanza dal contorno.

Questo andamento delle traiettorie lo si riscontra in tutti i

casi esaminati.

Se un dente sollecitato a pressione sul suo asse di simmetriaè congiunto con un semipiano, il sistema delle traiettorie nel

semipiano, a una distanza dal dente dell'ordine delle sue dimen¬

sioni, segue pure l'andamento indicato dalla soluzione del Bous¬

sinesq.

3) Il punto intrecciato (fig. 19).

Questa singolarità si riscontra molto spesso, specialmente nei

problemi relativi alla flessione. Sono noti alcuni casi, in cui

questo punto si presenta come punto circolare, per es. nella bri¬

glia forata sottoposta a trazione, e altri, dove si presenta comepunto zero, per es. nel caso di un trave sottoposto a flessione.

4) Punto a stella (fig. 20).

Questo tipo compare pure nei problemi di flessione, per es.

nel caso di un dente in un sol pezzo con un semipiano. Attra¬

verso di esso si compie il passaggio dal complesso sistema di

traiettorie nel dente, a quello più semplice nel semipiano(Boussinesq).

5) Punto singolare su contorno rettilineo (fig. 9).

Questo punto singolare è sempre un punto zero. In esso la

linea zero è tangente all'orlo; come si dimostrerà più avanti,

- 6 -

le due traiettorie singolari si tagliano sotto un angolo che in

generale si aggira sui 6o°.

d) Linee zero.

Intendiamo con questa denominazione il luogo geometricodei punti zero delle traiettorie di una stessa famiglia.

Il problema dei punti singolari è simile a quello delle linee zero.

Il caso speciale del punto singolare zero può sussistere come

punto d'intersezione di due linee zero. Vogliamo studiar questepiù da vicino, poiché esse separano nel campo elastico le regionidi trazione-trazione, compressione-compressione e compressione-trazione ; nel seguito determineremo il numero di linee zero che

possono tagliarsi in un punto zero.

Introduciamo i simboli seguenti

SF d'F d'F__

~dx~dy~~ rxy ecc-

dx*

dx'

Dall'equazione (n) si ricava l'equazione delle linee zero

-^xx '~v~ -*"yy K*«—iv)'+o anche

F%X Fyj F'xy 17)

Da questa segue subito, che le funzioni armoniche, cioè quelleche soddisfano la condizione Fx* + Fyy = o, conducono a

campi elastici senza linee zero, poiché l'equazione (17) assume¬

rebbe la forma

che non può mai esser soddisfatta.

Giacché nei problemi tecnici si presentano sempre contorni

liberi da tensioni, cioè linee zero, restano esclusi dalle nostre

considerazioni tutti i campi semplici di potenziale che si pre¬stano alla rappresentazione conforme.

Cerchiamo quante soluzioni reali l'equazione

h = FXx -Fjy — F\y = o

possiede nelle vicinanze di un punto di tensione zero.

La soluzione generale dell'equazione differenziale della fun¬

zione tensionale è la seguente

F = A (x + i y) + f, (x — iy) + (x — iy)f,{x + iy) +

+ (x + iy)f< {x — iy)

dove /,, /„.... sono funzioni arbitrarie.

L'equazione delle linee zero assume la forma

h = 4 (/»' + /')" — 4 [A" +(*— * y) /•"] [/." + (x+iy)f"] = o

dove gli indici in alto stanno a significare la derivazione rispettoalla variabile complessa z = x + iy.

Essendo h e F funzioni reali, segue che flt /, e /„ /, sono fun¬

zioni complesse coniugate

/.* /. = / /.* = /. = gÈ dunque

h = 4 (g' + g'*Y — 4 [/"+ (*— i V) g"ì [/"*+ (x + iy) g"*ì = o

F = f(z)+f*(z)+z*g (z)+zg(z*)

Sviluppando le funzioni / e g nelle vicinanze del punto zero

in serie di potenze e considerando solo le potenze più basse di z,

possiamo scrivere

f(z)=azn+2 g(z) = fHzm+I

Gli esponenti n + 2 e m + 1 sono scritti a questo modo per

semplificare il calcolo seguente. Introducendo questi valori nelle

equazioni delle linee zero otteniamo

A = 4 (m + l)> ($zm + p*z*m)' —4[(m+ 2) {n + 1) azn +

+ z* (tn + 1) m?zm~I] [(w + 2) (n + 1) a.* z*a +

+ z{m + i)«P*?*m_I]

Consideriamo il caso m^>n; possiamo trascurare allora i

termini di esponente m e otteniamo

h = — 4 (n + i)! (n + 2)' »i* (zz*) = o

Questa espressione di h è però sempre negativa e mai egualea zero, perciò non conduce a nessuna soluzione e a nessuna linea

zero.

•Poniamo m = n; le conclusioni che trarremo valgono anche

per il caso m <C_ n quando sia a = o.

H caso m = n è dunque il più generale.Con questo l'equazione diviene:

h = 4 (n + i)! \{$ z,n + $* z* n)'—[(« -f 2) i2° +

+ n$z*zn~I] [(w + 2) <x*z** + nf>zz*u~1]\ .

Introducendo coordinate polari

s = x + iy = reld a = Ae'8 3 = eX

con

0'<&<OC 0<C><~ 0<S<27r O < X < IT M=0,I,2....

otteniamo *

h = 4 cos! (X. + n d) — (n + 2)1 k' — n' —

— 2 n k (n + 2) cos (8 + 25 — X) = o

Se poniamo

II.n

5' = 3-| l = k(n + 2) 2 8' = 8 —X-

otterremo

h = 4 cos! nS — /' — n' — 2I n cos (2 d -f- 2 8)

nella quale per semplicità abbiamo omessi gli indici. (9 è l'angoloincognito della linea zero con la direzione positiva dell'asse X.

Posto

2 <9 = <I> 28 = 8*

l'equazione suddetta diventa

h = cos n*— nl cos (tf -

con

n = o, 1, 2, 3, 4... -

Introducendo i simboli

t[l = * — 8* + ir

otteniamo

h = n .I

.cos 1} —• cos (w i|i

+ 2 iv.<*<n n

= » (8* + w) IT

/' 4- M!

„_(: ) = o.

I punti d'intersezione delle curve

'

7" 4- «*a = n

.I cos i}1 — I -

6 = cos (« tj< — 0)

ci daranno le soluzioni dell'equazione A = o.

Fig. 2.

La curva a (fig. 2) è una sinusoide, il cui valore massimo

non può mai essere superiore ad 1 : questo caso limite si verifica

per n = l.

La curva b è una sinusoide con frequenza n volte maggioredella curva a. Dimostreremo, che se le due sinusoidi hanno una

differenza di fase zero, la curva a si trova sempre al di sotto

della curva b.

In questo caso le equazioni divengono:

, , ( l' + n' \

a = n . I cos 9 — — 11

b = cos n <J<

- 7 -

Yogliamo dimostrare che b — a è sempre positivo.È sufficiente limitare la ricerca all'intervallo

o ^ <!/ ^ t

perchè le funzioni sono pari e periodiche.Dividiamo questo intervallo in due parti:

i) _^_<<(:£=w.Allora

— ni cos <J< > O COS Mt};^ I l*~!> o

Introduciamo questi valori minimi nell'equazione h — b — a

h = b — a >

Se quindi

i = — (« — 4).

2.

2'

« > 2 sarà 6 — a > o

2) o < $ ^ —

b — a = —• (1 — cos n <ji) -+- • 1 (/» — 2 In cos <|i)

= — (1 — cos nty) + (J—cos'i}') H (^ — n cos i}»)'

?z ?z2 1

= — 2 sen! fy -\ sen* <[i -j (/ — n cos t|i) •

/ sen —— \_,

n cos <|/)!

Poiché per $' > i|/ è

sen tji sen i)1'

—f->'—

avremo che per n ^ 3 sarà

6 •— a > o

Per w ^ 3 la curva 6 giace sempre al di sopra di a. Dunque

per n = 3, 4, 5... la nostra supposizione è giusta. Se guardiamola fig. 2 vediamo, che cambiando la differenza di fase della

curva b, cioè se essa viene spostata con una traslazione nel

senso dell'asse X, si possono produrre due punti d'intersezione,

o un punto doppio di contatto, cosa questa che verrà dimostrata

più avanti.

Se consideriamo il caso speciale / = n troviamo che le due

curve si toccano nel vertice e precisamente avremo in questopunto

a = b = a' = V = a" = b" = a'" = b'" = o;

il contatto è cioè di quarto ordine; otteniamo una soluzione

quadrupla.Rimane da studiare il caso n = 2.

Ponendo questo valore in 6 — a otteniamo

6 — a = — (/— 2 cos <!/)

Le due curve si toccano e precisamente in due punti simme¬

trici: ci sono dunque due soluzioni doppie; facendo coincidere

i due punti di contatto, si ottiene la soluzione quadrupla giàdescritta per l = n.

Il caso n = 1 non ci interessa, perchè conduce ad una equa¬

zione lineare per la linea zero, che non può dare più di una

soluzione, il che è impossibile.Questo risulta direttamente ponendo n = 1 nelle equazioni

a e b. Otteniamo così due sinusoidi di frequenza uguale a 1,

che, data la loro posizione reciproca, non si possono tagliare in

un punto solo; è possibile però un punto di contatto doppio.Ne segue che attraverso ogni punto singolare situato sul con¬

torno deve passare una linea zero. Poiché questa però né puòper ragioni di continuità arrestarsi in questo punto né deve

presentarvi una cuspide, essa dovrà esservi tangente al con¬

torno.

Riassumendo possiamo dire che attraverso un punto singolarepossono passare o nessuna, o due, o quattro linee zero; in que¬

st'ultimo caso però esse dovranno due a due o tutte quattroassieme avere in quel punto comune la tangente.

Inoltre, se le linee zero sono quattro e due a due hanno in

comune la tangente nel punto zero, nelle vicinanze di questopunto la funzione tensionale si può sviluppare in una funzione

omogenea di quarto grado.Faremo per disteso il calcolo per il caso n = 2 (J).Nello sviluppo in serie della funzione tensionale nell'intorno

del punto zero, non devono comparire termini di grado infe¬

riore al quarto e si trascurano tutte le potenze più elevate:

esso si riduce quindi ad una funzione omogenea, che deve sod¬

disfare alla condizione AAi? = o.

F = e x' + a x* y — 3 (e + d) xl y' + b x y' + d y*

L'equazione delle linee zero diviene allora

h = [a' + 8 e (e + d)] xl — 4 [a (e + d) + 2 b e] x3 y +

+ b [2 (e + d)> — (8cd + ab)~]x*y' + 4 [b{c + d) +

+ 2 ad] x y + [b' + 8 d (e + d)] y = o

Si ponga .

a = ab— \cd — 3 (e + d)'

3= (a + b) (ad + bc) — 2 (e— d) (e— d')

Ne segue

3J

L'espressione del discriminante è:

1

. 4R> a8

27

16D = 7»— 27 J' = — i6g» (4 a» + 273=)

Se esiste almeno una soluzione reale è lecito porre

61 + 8 d {e + d) = o

Consideriamo i seguenti casi

1) b (e + d) + 2 a d ^ o

Otteniamo due soluzioni reali e due soluzioni complesse co¬

niugate.

2) b(c + d) + 2ad = o

A) d

Una soluzione reale quadrupla

b) e ^ o

Una soluzione reale doppia e due soluzioni complesse co¬

niugate.2 Ta S 4- 8» S3

B) a = f 6 = 8' c=^-± — d =

.47 47

Due soluzioni reali doppie.Vediamo che i risultati del calcolo generale sono confermati

appieno.Ringrazio a questo punto il prof. Racah, il dott. Casimir,

ed il prof. dott. G. Pólya di avermi gentilmente aiutato a

dare la dimostrazione del numero delle linee zero che passano

per un punto singolare.Poiché sappiamo che in un punto zero due linee zero devono

tagliarsi, e che inoltre ognuna di queste può essere costituita

da due curve zero distinte aventi in quel punto la stessa tan¬

gente, sarebbe possibile classificare i differenti tipi di puntisingolari secondo l'angolo d'intersezione delle due tangenti alle

7T

linee zero; i valori speciali o, — ecc. darebbero probabil¬

mente i punti, che più spesso è dato di incontrare.

Sarebbe inoltre interessante conoscere se una traiettoria

può coincidere con una linea zero, ed in quali casi questo puòeventualmente verificarsi. Le equazioni delle traiettorie e

delle linee zero sono rispettivamente

2FV *v$ -)-

o -i- (F„ + F„i ± \/(""-"")' + P,

(1) Cfr. Pascal: « Repertorio di matematica superiore ».

8 -

Se esse devono essere soddisfatte contemporaneamente do\ ra

aversi

v

t-^

Cioè l'equazione della linea zero che contemporaneamente è

anche traiettoria, e indipendente da _F„ dunque da <ix

Questo è fisicamente possibile solo nel caso che sia a,— cost,

oppure 0^ = 0

e) Interpretazione di un sistema di ti alettone

Dall'osservazione di un sistema di traiettorie (fìg 20), è pos¬

sibile ricavare molte proprietà del campo elastico anzitutto

la direzione delle tensioni in ogni punto resta stabilita dalle

direzioni delle traiettorie stesse Sulla grandezza assoluta delle

tensioni non siamo però in grado di dir nulla perchè il sistema

delle traiettorie (sono presupposte piccole deformazioni rispettoalle dimensioni del corpo) è indipendente dalla grandezza del

carico per controllare questa legge furono determinate a ca

richi variabili, entro vasti limiti, le isocline, col metodo piùavanti descritto, 1 sistemi di tralettone coincidono esattamente

nei vari casi

Se però so\ rappomamo al sistema delle traiettorie le linee

zero, possiamo senza difficolta renderci conto dell'andamento

delle tensioni

Consideriamo per es la traiettoria A che ha origine su un

ti atto rettilineo di contorno non caricato la tensione ed il

suo gradiente hanno perciò valore zero Se ci allontaniamo

dal contorno la tensione diviene una tensione di trazione e

1 aggiunge nuovamente il valore zero nel punto in cui essa

taglia la linea zero Tra questi due punti la tensione di tra

zione avrà raggiunto un massimo, e ciò avviene la, dove la

traiettoria considerata taglia la coniugata in un punto di flesso

di questa Dopoché la traiettoria ha tagliato la linea zero, la

tensione diviene di compressione Proseguendo lungo la traiet¬

toria la stessa sequenza torna a ripetersiSe le traiettorie hanno un andamento molto semplice, e

presentano solo una piccola curvatura, e sono quindi prive di

singolarità, ci avviciniamo nel problema delle lastre al caso

della semplice sollecitaz.one a trazione od a compressiore, che

permette la migliore utilizzazione del materiale

Questa forma di traiettoria può realizzarsi, entro certi limiti

confoimando il contorno secondo l'andamento delle linee di

forza Dobbiamo a tal uopo cominciare col rappresentarciidealmente la forma della famiglia più importante di traietto¬

rie, che ha origine nel punto di applicazione della forza e ter¬

mina nel punto di appoggio il contorno deve seguire questosistema ideale di traiettont

Se il contorno ha forma inutilmente Tormentata ed acciden

tata le traiettorie risultano contorte e presentano singolarità ed

il materiale riesce scarsamente utilizzato Dal confronto delle

figure 20 e 25 appare che un dente sollecitato a flessione, =e ha

lo spigolo interiore inclinato, è soggetto ad una sollecitazione

assai più favorevole che un dente di forma quadrata lo stesso

vale per le bnghe forate a contorno sia rettangolare sia cir

colare

L utilizzazione del materiale sarà tanto migliore, quanto più

semplice è il sistema di traiettorie

PA.RTR SPERfMENTALE

ij 1 MrTODO

a) Determinazione ottica delle tensioni

Il metodo ottico utilizza la proprietà dei corpi trasparenti

isotropi ed omogenei di diventare binfrangenti sotto 1 azione

di tensioni interne

Un raggio di luce monocromatica, linearmente polarizzata,viene decomposto, nell'attraversare un corpo sottoposto a sol¬

lecitazioni elastiche, in due componenti, che oscillano nelle

direzioni delle due tensioni principali e sono sfasate rispetto a!

raggio iniziale Questa proprietà viene utilizzata per determinare

tanto le direzioni delle tensioni principali, quanto le loro gran¬

dezze, le prime si trovano, girando due nicol tra di loro incro¬

ciati, tra 1 quali è posto il modello, fino a raggiungere 1 oscurità

questa posizione dei nicol corrisponde alla direzione delle ten

sioni principali Per eseguire la misura ci si può servire di due

differenti metodi

1) Metodo per punti

Sul modello viene fissata una foglia di alluminio provvista di

fon di 0,4 mm di diametro e in ogni foro viene determinata

la direzione delle tensioni principali Ra precisione della lettura

è di V± di grado

Pig 3

2) Metodo fotografico (fìg 3)11 modello viene posto tra due nicol incrociati e illuminato

con un largo fascio di luce parallela In tutti 1 punti, dove le

direzioni delle tensioni principali si accordano con la posizionedei nicol, si avrà oscurità Otteniamo con ciò, sulla lastra foto

grafica, una linea scura, chiamata isoclina, luogo geometricodei punti di uguale direzione delle tensioni principali Questometodo non è molto pieciso perchè la linea oscura ha una lar

ghezza finita II disegno delle curve medie può essere eseguitopiù facilmente sulla negativa, perchè, per ragioni fisiologiche,è più facile distinguere il massimo di luminosità anziché il

massimo di oscurità è resa cosi facile la determinazione dei

punti singolari che compaiono come punti d intei sezione delle

isocline 11 vantaggio, rispetto al metodo per punti, è che si

ottiene una curv a continua, la qual cosa elimina ogni ambi

gmtà Già nel 1909 G C

Trabacchi (15) ha appli¬cato il metodo fotograficodi ricerca su modelli di

gelatina, per dimostrare

praticamente le conclu¬

sioni tiatte dal Prof O

M Corbino dalla teoria

generale di Volterra Ese

guendo le misure si è pròceduto fotografando pri¬ma il sistema delle traiet

tone per avere la posizio¬ne dei punti singolari e

1 andamento generale del¬

le traiettorie nella loro vi¬

cinanza, ed eseguendosuccessivamene le misure

di precisione col metodo

dei punti in base ai cui risultati son poi state tracciate le

traiettorie II metodo per punti non conduce da solo, nelle vi

cinanze dei punti singolari, senza ambiguità alla soluzione cor¬

retta, perchè la direzione delle tensioni è troppo variabile da

punto a puntoCome seconda misura si determinarono le differenze di fase

tra le due componenti del raggio, che abbandona il modello

esse, secondo la legge di Wertheim, sono proporzionali alla dif¬

ferenza delle tensioni principali

6j = z e (a — a )

dove e è una costante del vetro, òj la differenza di fase e z è

lo spessore del modello Questa misura si eseguisce assai rapi¬damente col compensatore di Soleil Babinet

Poiché questa misuia da in ogni punto la tensione tangenzialemassima essa è di grande importanza per giudicare il pericolodi rottura di tutti quei materiali che offrono la medesima

resistenza alla trazione e alla compressione Per un modello di

una costruzione in ferro o in materiale simile possono quindibastare queste due misure se si tratta invece di elementi di

costruzioni in cemento o in altri materiali, che possiedono di¬

versa resistenza alla trazione e alla compiessione, si dovreb¬

bero determinare anche le tensioni normali principali, perchèla curva-limite di Mohr, che è determinante per il pericolo di

rottura, non ha pm 1 equazione

Tom ^ COSI

Le tensioni principali stesse sono funzioni della diiteienzadi

fase tra il raggio, che cade sul modello, e le componenti del

raggio, che ne esce polarizzato ellitticamente

Secondo Favre (16) queste leggi sono rappresentate dalle

espressioni5[ = i (a 5, -)- 6 t )

8 = z (b a, -j- a a )

La misura delle differenze di fase 8,, 6 di ciascuna compo¬nente viene eseguita mediante 1 interferometro di Zeiss, ed è

sufficiente per determinare le tensioni principali quella delle

differenze fra le tensioni serve poi da controllo Ricorrendo al

calcolo degli errori e tenendo conto del grado di precisione nella

determinazione delle tensioni, si sono determinati ì v alori più

probabili delle tensioni principali

a, = ic„ 3, + R„ 6 + K,t 8

a = R, 8 -J- R_. ò -r R, 8,

i?„ = R = f (a, 6, e) R„ = R, = g (a, b, e)

i?„ = — R„ = h (a, b, e)

.- 9-

Le costanti ottiche a, b, e del vetro furono determinate con

una misura inversa, cioè misurando le differenze di fase in un

provino a sezione rettangolare di 6 cm di lunghezza e di i cm2 di

sezione, sollecitato lungo l'asse di simmetria a compressione,

per il quale le tensioni potevano essere calcolate esattamente.

Dalle tensioni note, dalle differenze di fase misurate e dalle leggi

di Wertheim e di Favre si poterono determinare le costanti;

l'equazionee = a — b

servì di controllo, e permise il calcolo degli errori.

Per la descrizione esatta del metodo di misura e di calcolo dei

resultati si rimanda al lavoro di Favre.

b) Costanti elastiche.

Per trovare le costanti elastiche dei vetri adoperati in quei

casi, nei quali la ripartizione delle tensioni dipende dalle co¬

stanti del materiale, fu adoperato il metodo di Cornu (17, 18)

Un prisma di dimensioni 5 x iox 100 mm appoggiato su due

coltelli fu caricato simmetricamente mediante una staffa, an¬

ch'essa provvista di due coltelli di alluminio, in modo che la

parte compresa fra i due coltelli mediani risultasse sollecitata

derivate. Bisogna dunque seguire alcune regole: la piastra deve

essere caricata soltanto con forze normali, il che può essere ot¬

tenuto permettendoalmodello di scorrere sotto ai punti di appli¬

cazione del carico col porre tra i coltelli e il vetro, un materiale

iBÉÉill

"ET U=3

Fig. .5-

Fig- 4 a).

tenero, cuoio o gomma. Larghezza e spessore del prisma devono

essere piccoli rispetto al suo raggio di curvatura, ciò che porta

ad una limitazione del carico. Nel nostro caso il raggio di cur¬

vatura era circa 100 volte più grande delle dimensioni menzio¬

nate. Il rapporto —- deve essere pure piccolo rispetto al rag¬

gio di curvatura. Come condizioni sperimentali per la riuscita

di questo metodo di misura si richiede che le due piastrinesiano esattamente piane e parallele, e che la luce sia perfetta¬

mente monocromatica.

a flessione. La superficie del prisma in questo caso assume una

forma a sella, le cui linee di uguale freccia formano una famiglia

di iperboli. L'angolo degli asintoti di queste è legato da una

semplice relazione col numero di Poisson, e la freccia col mo¬

dulo di elasticità di trazione E.

Fig. 46).

Coi simboli dalla figura 4 otteniamo le relazioni

I2 ni

t bei'24

Per misurare le linee di uguale freccia poniamo sulla superficie

una piastrina di vetro a faccie parallele; otteniamo così delle

frangio d'interferenza, che rappresentano le linee di ugual

treccia n .

2

La disposizione degli apparecchi di misura risulta dallo schiz¬

zo fig. 5. Furono adoperati i seguenti apparecchi:

A) Lampada a vapore di mercurio.

B) Monocromatore registrabile, che per queste esperienzefu adattato alla lunghezza d'onda ">

sensibilità della lastra.

436 ['-u., a causa della

C) Condensatore per ottenere fasci di luce parallela.

D) Piastrina di vetro a superfici parallele, che illuminava

la lastra X del vetro adoperato, per riflessione.

E) Piastrina a superfici piane parallele per ottenere le

frangie di interferenza.

F) Specchio per fotografare il sistema delle linee d'inter¬

ferenza.

G) Apparecchio per flettere la piastrina.

Lo spettro d'interferenza ottenuto, fig. 46, fu misurato col

microscopio, e per determinare la scala, fu fotografata contem¬

poraneamente una carta millimetrata già calibrata.

Questo metodo conduce a risultati assai buoni se non si per¬

dono di vista le ipotesi in base alle quali le formole sono state

!) 2. PiATTABANDE FORATE.

Piattabande forate si incontrano nella tecnica sotto forma di

lamiere bullonate, elementi di catene ecc.

Fra le soluzioni matematiche di un problema simile va ricor¬

data quella di Kirsch per un piano infinitamente esteso e fora¬

to; Cocker (19), Preuss (20) ed altri studiarono invece sperimen¬

talmente il comportamento di un nastro forato sollecitato a

trazione alle due estremità; sono per altro molto incomplete

le esperienze relative a un prisma forato nel caso che le forze

agiscano nell'interno del foro, come sem¬

pre avviene nella pratica.Mi sono proposto di fare delle ricerche

in proposito, per differenti dimensioni del

modello, la forma del quale è riportatanella figura 6.

Originariamente la larghezza era di 4,8

cm e il diametro di 1,6 cm; lasciando

inalterato il diametro, la larghezza fu suc¬

cessivamente ridotta a 3,6 e 3,2 cm ; infine

furono arrotondati anche gli spigoli. Tutti

questi casi furono studiati otticamente.

Scegliendo opportunamente la lunghez¬za del prisma si fece in modo da rendere

la distribuzione delle tensioni, nel tratto

considerato, indipendente dalla specie del¬

l'appoggio; perciò si ricorse ad una leggie¬

ra strozzatura. Per fare variare una sola

grandezza al cambiare delle dimensioni, si

tenne sempre m = n, cosicché le soluzioni ottenute sono in fun-

*\~

Y/////,

Fig. 0.

zione della variabile —-.

a

Le misure furono eseguite col solito

metodo, e cioè ogni misura fu effettuata mediante il compen¬

satore di Babinet e l'interferometro. Al contorno fu eseguitala sola misura col compensatore e furono introdotte le corre¬

zioni ricordate nei paragrafi precedenti.Nell'esaminare i sistemi di traiettorie occorre tener presente

che le linee più spesse rappresentano linee di trazione, le più

sottili linee di compressione.Tutti i casi studiati mostrano molti caratteri comuni (fig. 7,

8,9, io).Considerando anzitutto la tensione sul contorno del foro,

vediamo che in vicinanza del punto di applicazione della forza

vi sono tensioni di compressione, il che risulta ancor più com¬

prensibile se pensiamo alla distribuzione delle tensioni lungo il

contorno della superficie di Hertz, che tra poco studieremo.

Questa tensione di compressione diminuisce con la distanza dal

punto di applicazione della forza, assume quindi il valore zero

in un punto singolare, cambia di segno, diviene una tensione

di trazione, raggiungendo il suo massimo nel punto M, ; passa

nuovamente per il valore zero nel punto singolare successivo,

diventando quindi tensione di compressione e raggiungendocome tale il suo massimo nel punto diametralmente opposto

al punto di applicazione della forza.

— io — •

IO 15 #7/'

Fig. 7.

0,5 IO Ut

0,5 J.O l.Sko/mmq

— — Trae/torlo di Italioti*

T/oetlona di compfetvone

—— tinta taro

Fig. o.

L'andamento di questa tensione lungo il contorno è espressodalla formola empirica

per

«0 = "max (0,283 0.71? COS 1,63 o)

I,6<_<3,5

La relazione tra la tensione massima all'orlo e la tensione me-

sdia può essere rappresentata ugualmente in funzione di —r- con

la formola empirical d

, ì p

valevole nell'intervallo

1,6 <-<3,5

/.o

0.8

0,6

|J? ^N

\

/ !'A

>

\n(ff <*1li Ctmot

/=[0.2SÓ -o.m cos 1,63 t3

2 II 4 6 8 m 12^

„!• 'ri'li Per metro de 1 foro

^i/jjp

S^ 1

tinnitili!)

1^=3.00H-%=2,25

13

///-y= 2.00

Fig. 11.

Come questa formola" sia stata ricavata risulta dal diagramma

fig. 13, dove il rapportom"

è stato riportato in funzione di—."m a

fc

nei punti abbastanza lontani dal punto di applicazione dellaforza. La sua esattezza risulta dal diagramma fig. u.

L'andamento della tensione al contorno riferita alla tensionemedia

P

che deve verificarsi nei punti infinitamente lontani dal foro, èriportato nel diagramma fig. 12 per tutti i casi studiati.

-2

-4

£-?-XV""A

fy

? / r6 8 / 1 12

,

s// Perin etro det foro

rj>

» „£Hf

= 2,25

<é=2.00

Fig. 12.

II

Oltre ai valori trovati sperimentalmente si conoscono anche

gli asintoti della curva, perchè, per s = d, <rmax deve diventare

infinito e perchè nel caso di una larghezza infinita del prismavale approssimativamente la soluzione di Kirsch <jma, = 3 am.

Per la tensione al contorno vale quindi la formola empirica

?=

\5,5 s — d+ 3) '0'283 — °'717 C0S I,6s ?1 _P_

F

entro gli stessi limiti indicati sopra.

Se consideriamo tutto il campo elastico del provino vediamo

che può essere diviso in alcune regioni caratteristiche: abba¬

stanza lontano dal foro abbiamo le due tensioni principali di

Fig- J3-

trazione; nella direzione dell'asse del provino la trazione è

forte, debole invece per la direzione coniugata a questa. Muo¬

vendoci verso il foro questa tensione coniugata diminuisce fino

al valore zero e diviene poi addirittura tensione di compres¬

sione. Le due regioni sono separate da una linea zero, che perònon può essere determinata esattamente, perchè giace in un

tratto dove le tensioni e le loro differenze sono piccole.Osservando la distribuzione delle tensioni' nell'intorno del fo¬

ro, si vede che è verificato il teorema precedentemente enun¬

ciato, che cioè le due tensioni principali hanno lo stesso segno

nella vicinanza di curvature concave, poiché in realtà troviamo

soltanto regioni di trazione-trazione, e compressione-compres¬sione. È caratteristica per la piattabanda la regione di com¬

pressione-compressione, situata nel tratto diametralmente op¬

posto al punto di applicazione della forza, nella quale la ten¬

sione diviene massima lungo l'asse del prisma. Nella regione

trazione-trazione, immediatamente adiacente alla precedente,la tensione di trazione è massima sul contorno; la sua posi¬

zione può essere determinata partendo dalle precedenti conside¬

razioni teoriche; essa trovasi nel punto, dove la traiettoria co¬

niugata con curvatura zero, taglia il contorno.

Lungo il tratto curvilineo del contorno esterno deve esistere

una zona di trazione-compressione. Anche questo risulta con¬

fermato. Possiamo rilevare inoltre, che lungo il contorno esterno

si trovano due punti zero.

La parte superiore è sollecitata a trazione ; tale tensione rag¬

giunge il suo massimo lungo l'asse, diminuisce quindi lentamente

fino al valore zero e diviene poi tensione di compressione (perinfluenza della flessione) che raggiunge il suo massimo.nel punto

M ; quindi passa per il valore zero e diviene di nuovo tensione

di trazione.

Le regioni di tensioni di ugual segno sono separate dalle

regioni di tensioni di segno contrario da linee zero, che, secondo

le leggi ricordate, devono essere tangenti all'orlo nei punti sin¬

golari zero.

Il punto singolare nella regione trazione-trazione è un puntocircolare del tipo intrecciato; le due singolarità lungo il con¬

torno rettilineo corrispondono invece al tipo già precedente¬mente descritto.

I punti più pericolosi, prescindendo dall'azione locale della

forza, si trovano sul contorno e precisamente in Mi e M* (vedi

fig. 7). Le tensioni in questi due punti sono di trazione ; quellasul bordo del foro è la più grande ,delle due.

Se l'estremità della sbarretta hon è arrotondata, compaionoai suoi spigoli delle nuove singolarità, che per la piccolezzadelle tensioni non offrono interesse pratico, la ricerca delle

quali però è assai difficile.

Per la qualità di vetro adottata valgono le seguenti costanti

a = 0,061 X/kg/mm* b' = 0,118 X/kg/mm"

e = — 0,055 Vkg/mm'Ne segue

Bi, = i?13 = 0,279 Rn = Rls = 0,303 #„ = —R,.=—0,89

Le costanti elastiche furono determinate col metodo di Cornu

1) Modulo di elasticità di trazione

E — 545000 kg/cm'

2) Numero di Poisson

(a = 0,214

Il fattore di correzione per le tensioni all'orlo fu calcolato

già precedentementeK = 1,03

Confronto dei risultati della misura con la teoria approssimata.

Per la tecnica è di grande importanza il valore della tensione

massima, perciò vogliamo confrontare il valore massimo calco¬

lato con quello misurato.

Supponiamo che gli spigoli del provino non abbiano influenza

sul valore della tensione massima; potremo allora considerare

l'estremità della sbarretta come un arco caricato nel punto

medio, unito alla sbarra lungo la linea A-B. Essendo la parte II

del sistema molto più rigida della parte I, possiamo trascurare

in prima approssimazione il lavoro di deformazione del tratto II,

rispetto a quello del tratto I. Per la simmetria del corpo, ri¬

spetto alla retta C E, ci limitiamo a un quarto dell'arco di

cerchio. Se tagliamo "l'arco lungo C-E dobbiamo sostituire

la reazione della parte tagliata via mediante il sistema M„, H, Q;p

dalle condizioni di equilibrio segue Q = —.

Il problema è due volte staticamente indeterminato; come

incognite abbiamo Af 0, H, e siccome la deformazione del corpo

non comporta né uno spostamento di C nella direzione di H,

*-H

Fig. 143.

né una variazione dell'angolo della tangente in C, possiamoscrivere secondo il teorema di Castigliano (Vedi : M.ten Bosch,

Vorlesungen uber Maschinenelemente, Hf. I)

SA

3M„

SA

8H

dove A rappresenta il lavoro di deformazione lungo l'arco C-B.

Indichiamo con M il momento flettente nella posizione cp e

con P* la forza di trazione, e introduciamo i simboli seguenti:

MPo = h P* Z = lF*f

F*J7!

dF*r

,r -\- 1

In

2 e r—1

Segue dalla teoria della flessione delle travi curve

M = M. + H r (1 — cos 9) — Qr sen o

P0=_^.+H

segue

5A

3M

SA

:-[- (i+x) ']' + -rd+*) f1-^0

OH= [^(^>-* + t]^^(i+xHv-

Q

2

\

— 12 —

•-,2 w — 6—" *

«Xx 4- o,2Q

„Af. = Qr— = Qr^ ' *

= Q.v.a

H = Q

— fi + X) - 4

7T—4 + Xtt

>•-7- + o,g.5

8 °^-x* =8.P4 —(!+>•) X— + °'95

Secondo la teoria della flessione di travi curve vale la formola

71P.,

M

t h *r X »- + «

per la tensione nel punto 9, "»i in direzione tangenziale.Per il foro vale dunque

P. M

F* r X r— e

= %* W + P) + (I3 cos ? + se- <?),

,/„,

— (« + P)*

X (y-e)'X (r—r)

Quest'espressione diviene massima quand'è massimo

* = 0 cos <p + sen o = <I>maxossia quando

d'ì>o e cioè per tg <f„ = — arc tg -jf

Con questo valore di <?, è stato calcolato e per diversi valori

del rapporto —.

Tabella

e

rx. a P ?» •l'ina» 'cale. ffmis-

o.33 0,042 0,364 0,625 58° 1,168 3.35-2- 93-92^

0,385 0 05405 o,375 0,56 6o°45' J.J4650

3,37^ 3.94^

ó,5 0,0986 0,418 0,38 6g°io' 1,065 3.48 £ $•'p*

Vediamo da questo confronto, che la teoria approssimataconduce a valori inferiori del io o 15 % circa a quelli misurati.

§ 3. Denti (mensole).

Ricerche su denti lunghi, prismatici e cuneiformi, sono state

eseguite da MUller (1), Favre (16), Tank e Miiller (21); quantosegue è invece un studio sistematico di denti di piccola lun¬ghezza.

a) Pressione sull'asse di simmetria.

Dente quadrato sollecitato sull'asse di simmetria a compressione(fig. 15)-

L'intero campo elastico può essere diviso in due regioni, laprima di compressione-trazione, la seconda di compressione-compressione; una distribuzione quasi uniforme si ha solo nel

piano medio del dente. Le tensioni trasversali sono piccole inconfronto a quelle orientate nella direzione dell'asse del dente.

L'idea molto diffusa, che nelle linee trasversali prevalga latrazione per la diminuzione di pressione nelle traiettorie longi¬tudinali, si dimostra errata come risulta dalle linee trasversalidi compressione della regione II.Le tensioni al contorno, nei tratti arrotondati, non sono molto

pericolose, e raggiungono al massimo un valore 2-H3 volte

pmaggiore della tensione media <r = -=-; queste tensioni sono

però più piccole di quelle che si sviluppano nelle vicinanze del

punto di applicazione della forza.La linea zero ha un andamento completamente diverso dalle

traiettorie (vedi parte teorica) ; la sua posizione non può" ve¬

nire determinata con grande precisione, perchè giace in una

regione di piccole tensioni e di piccole differenze di tensione. Il

punto di contatto della linea zero con il contorno è, come ab¬biamo già detto, un punto singolare.

La regione degli spigoli del dente non venne studiata, essendole tensioni in quei punti troppo piccole.L'andamento delle traiettorie è del tutto diverso da quello,

che spesso viene indicato nei libri di testo. La prossimità delcontorno si fa sentire distintamente, e l'esistenza del puntosingolare porta a differenze notevoli, rispetto alla soluzione di

198 kg

Fig. 15.

Boussinesq, mentre invece alla base del dente il sistema delletraiettorie rassomiglia molto a quello da lui trovato.

Risultati pratici:'La tensioni di compressione nelle vicinanze del punto di ap¬

plicazione della forza sono le più pericolose per la rottura.Nel punto A le misure eseguite ci danno tensioni di un valore4,86 volte maggiori della tensione media; nell'immediata vici¬nanza del punto di applicazione della forza esse sono natural¬mente maggiori, e questa regione, nella quale le tensioni hannovalori elevati, è alquanto estesa. Quando si tratti di cementoarmato bisogna quindi tener conto specialmente del campo Inella parte superiore del dente.

Il dente rettangolare nel rapporto 1:1,5, conduce a sistemi ditraiettorie del tutto simili ai precedenti.

Il dente rettangolare nel rapporto 1:6, è stato studiato da Favree conduce pure a risultati simili, che però non è stato possibileapprofondire> sufficientemente in prossimità dei punti singolari.

b) Pressione eccentrica'.

Dente quadrato compresso eccentricamente (figg. 16 e 17).La distribuzione delle tensioni è già molto più complicata, e

le traiettorie, che partono dal punto di applicazione della forza,

1/39,60*7

_^

Tt *13 *Ìs \Ì7 7/9 [27 \23 "^

OS 10 ISctn

\—ì—1—1—1—1—!.

0 1 2 3*5 Gkg/itmq

Fig. 16.

- 13 -

trasmettono la maggior parte della pressione ; le tensioni lungodi esse sono elevate. Esiste una traiettoria limite, che divide

quelle dalle altre, e separa il campo elastico in due regioni:la prima è contenuta nel dente, la seconda si estende anche al

di fuori di esso, nel semipiano infinitamente esteso, dove il

campo assomiglia a quello di Boussinesq.

plicare la forza esattamente sullo spigolo del dente, la posizionerelativa del punto singolare può ricavarsi soltanto per estrapo¬lazione : essa cade sull'asse di simmetria.

e) Flessione di mensole.

Lo scopo di questa ricerca è la determinazione sperimentaledei campi elastici di denti di piccola lunghezza, in un sol pezzocon il semipiano che li sostiene.

Se la mensola è lunga i calcoli usuali portano a risultati abba¬

stanza esatti per la zona media del dente; questi calcoli perònon coincidono affatto per i punti del dente vicini all'incastro.

;

<

'

\ s

t

i ^~

"- i_—

*~

r\"

K

Fig. 17.

La linea zero ha un andamento del tutto diverso da questa •

traiettoria limite, e divide la regione di compressione-compres¬sione da quella di trazione-compressione; una seconda linea

zero non è stata misurata, ma deve esistere nelle vicinanze

del raccordo, dalla parte non caricata del dente, perchè quideve comparire una regione di trazione-trazione; non è stato

però possibile determinarla dati i piccoli valori delle tensioni

trasversali, e nella figura 16 è stata perciò indicata con una

linea punteggiata.L'andamento delle tensioni nella parte media del dente cor¬

risponde alla teoria approssimata usuale.

Interessante è la variazione della tensione lungo il contorno

arrotondato: dalla parte della forza le tensioni, che compaiononel tratto arrotondato, sono di compressione e raggiungono il

valore massimo assoluto, dall'altra parte abbiamo invece tra¬

zione, e di valore molto inferiore.

Il calcolo approssimato delle tensioni dà

P Ma = --r±-w

— = 1,396 kg/mm'

fftraz = 0,931 kg/mm'.

— = 0,465 kg/mm'

"comp = 1,861 kg/mm'

La tensione massima di compressione è circa 3,4 volte mag¬

giore di quella di trazione, e 1,6 volte maggiore di quella cal¬

colata; la tensione massima di trazione coincide quasi con

quella calcolata.

Il dente rettangolare, studiato da Favre, mostra un anda¬

mento di traiettorie simile, soltanto non è possibile dire alcunché

sulla sua linea zero.

Spostamento dei punti singolari allo spostarsi del carico eccentrico.

Nella fig. 18 è data la posizione dei punti singolari corrispon¬denti a ciascuna posizione del carico; si vede che al carico non

eccentrico corrispondono due punti singolari, che si trovano

sul contorno e sono punti zero. Se spostiamo la forza dall'asse

di simmetria otteniamo in corrispondenza ad ogni sua posizioneun punto singolare situato dalla parte non caricata del mo¬

dello. Questo punto si avvicina tanto più all'asse di simmetria

quanto maggiore diviene l.'eccentricità della forza, e si tra¬

sforma al tempo stesso in punto circolare. Non potendosi ap-

Fig. 18.

Le tensioni normali infatti non hanno in questi punti distribu¬

zione lineare; né quelle tangenziali, le quali raggiungono il

loro massimo in vicinanza del contorno, ciò che aumenta

il periodo di rottura (vedi Favre e Mùller), hanno distribuzione

parabolica: anzi le tensioni tangenziali possono raggiungerevalori notevoli.

Per denti di piccola lunghezza le traiettorie e le tensioni hanno

un andamento così complicato da rendere impossibile una

trattazione matematica del problema.

Il dente rettangolare nel rapportodialo da Favre.

1:6 sollecitato a flessione, stil¬

ile traiettorie sono cur /e che partono perpendicolarmentedal contorno, tagliano la linea di simmetria sotto un angolodi circa 450, e poi si dispongono parallelamente al contorno.

Nella zona, dove il dente si salda con il semipiano, esse hanno

dapprima un andamento 1 adiale, quindi si piegano per termi¬

nare normalmente al bordo del semipiano.Esiste un punto singolare, che si trova nel piano di simmetria

del dente, vicino al semipiano.La distribuzione delle tensioni è quasi lineare, se si fa astra¬

zione dalle zone immediatamente vicine al punto di applica¬zione della forza e al semipiano; è da notare, che le tensioni

principali lungo l'asse baricentrico non sono uguali a zero, ma

assumono valori sensibili dovuti alla presenza di tensioni

tangenziali.Essendo le tensioni trasversali molto piccole è impossibile

sapere se esiste una linea zero, ed è ugualmente difficile sapere,se il punto singolare è un punto zero o circolare. Però, se è

lecito estrapolare i risultati ottenuti per un dente di piccolalunghezza, dovrebbero esistere due linee zero uscenti ciascuna

da uno degli angoli.Le tensioni maggiori compaiono lungo le traiettorie parallele

al contorno, e precisamente in quelle più vicine ad esso. Il va¬

lore assoluto massimo si verifica nel tratto arrotondato, dove la

tensione è 2,1 volte maggiore di quella calcolata con la for-

,M

mola ex = -T77-.W

Dal dente rettangolare con il rapporto 1 :i,5 si rileva un sistema

di traiettorie del tutto simile, soltanto il punto singolare è

spostato nella direzione della forza verso la base del modello

(fig- 19).Il dente quadrato (figg. 20 e 21) mostra pure un sistema di

traiettoria analogo, che però presenta una notevole dissimme¬

tria rispetto all'asse medio; il punto singolare si è spostato nel

semipiano, lontano dal dente e dall'asse di simmetria di questo.Si differenzia dalle altre la famiglia delle traiettorie che par¬

tono dal punto di applicazione della forza e terminano nel se¬

mipiano; il secondo punto singolare, che corrisponde al puntodi transazione dal sistema delle traiettorie del dente a quello di

Boussinesq, si avvicina al dente, ma le tensioni nelle sue vici¬

nanze sono così piccole da non poter essere misurate.

L'andamento delle tensioni è già molto più complicato: le

tensioni principali nei punti vicini all'asse dei baricentri, e nella

zona vicina alla forza, sono elevate, quelle invece lungo il con¬

torno dalla parte opposta al carico, data la loro piccolezza,sfuggono alla misura, per un tratto di 1/3 della lunghezza del

modello a partire dallo spigolo esterno.

Vi sono due linee zero, che però non si tagliano; dunque la

singolarità è in questo caso circolare con due tensioni di com¬

pressione di ugual valore; le linee zero dividono il campo in

tre zone: compressione-compressione nelle vicinanze del rac¬

cordo inferiore, trazione-trazione verso quello superiore, infine

tra le due vi è la regione compressione-trazione.

- *5 -.

Le tensioni massime compaiono negli arrotondamenti, e

quella di trazione assume un valore 2,1 volte maggiore di

Mquello calcolato con la formola o = -777- mentre quella di com-

W

pressione ha un valore 2,4 volte più grande.In altre esperienze abbiamo spostato la forza verso il semi¬

piano; il sistema delle traiettorie subisce allora una notevole

deformazione. Furono studiati due casi, dai quali si vide che

O I 3 3 4 5 6kg/mma

Se spostiamo la forza ancor più verso il semipiano, questo rav¬

vicinamento delle traiettorie diviene più uniforme, e otteniamo

infine un sistema assai semplice. Un'eccezione si ha nella parteesterna del dente, dove si sono formati due punti singolari;dei quali uno è di tipo intrecciato, l'altro è sul contorno nel

61,8$ kg

Fig. 24. Fig. 26.

le singolarità si avvicinano sempre più tra di loro per incon¬

trarsi infine quando la forza è applicata nel punto medio della

lunghezza del dente. Il sistema delle traiettorie cambia comple¬tamente e non si hanno più singolarità, Esso consta di una

punto di contatto di questo con una linea zero. Questa zona è

però senza importanza pratica per la piccolezza delle tensioni,che vi compaiono.La distribuzione delle tensioni nel dente è determinata da

due linee zero, che lo dividono in tre regioni: compressione-compressione, trazione-trazione, trazione-compressione. Le zone

famiglia di linee, che partono dal punto di applicazione della

forza, o dalle.sue vicinanze, per terminare nel semipiano;dove prima si trovava una singolarità, vediamo adesso un rav¬

vicinamento delle traiettorie.

' ' ^/~i— / /*

1 r-» /' ' "A>^

1 / /^

1 » /i 1 /

1 1 ~""i——^

1 111/

-—r—i r-S<1 1 11

• 1 1'

l ! '

l'i /III /

i -I--I—I—/*— 111 r-

Fig. 27.

- 16 -

di tensione di ugual segno si hanno vicino ai raccordi, ed in

esse troviamo i valori massimi delle tensioni; la trazione mas¬

sima raggiunge un valore 2,7 volte, la pressione massima un

valore 3,45 volte più grande di quello calcolato con la for-

,

'

Mmola <j = -777-.

W

La maggior parte della pressione è trasmessa dalle traiettorie

che, partendo dal punto d'applicazione della forza, raggiungonol'incastro.

Sono molto pericolose le compressioni in prossimità del ca¬

rico e similmente a quanto si è visto per la sbarretta compressa

assialmente, l'azione locale della forza ha grande importanza.Dente con spigolo inferiore obliquo, (fìgg. 25, 26, 27 e 28).Sono studiate due disposizioni di carico diverse su tale dente,

cioè carico all'estremità esterna e carico vicino al semipiano.

Pressione assiale. •

La distribuzione del carico è indicato nella fig. 15.I denti I e II presentano-la tensione massima nell'arroton¬

damento stesso, il dente III invece nella parte rettilinea.

L'andamento delle tensioni risulta dal diagramma fig. 29.

</- ;f = o,»s

} iy-b

III -^-=0,22

// ?iiy

v e

*-.7 b

Sviluppo del raccorda

M ?s

' 2

cm

ì 3 4 1 5 6 V

Fig. 29..

Se vogliamo confrontare la tensione massima con quellacalcolata

5max P

Scale. = —

"cale'med.

e riportiamo a questo scopo i valori trovati in funzione del

r

rapporto —, potremo segnare anche gli asintoti della curva,

perchè per r = o deve essere <7max = 00 e perchè per

r = co e = 1.

ffmed.

La curva più semplice, che unisce i punti trovati sperimental¬mente e che soddisfa queste condizioni è l'iperbole

Fig. 28.'caie (0,15 — + lì

È risultato che l'aver tagliato via una parte, dove non si

sviluppano tensioni notevoli, non varia sensibilmente né il si¬

stema delle traiettorie né la distribuzione delle tensioni. Il

campo elastico dipende dal rapporto tra la distanza del puntodi applicazione della forza dal semipiano e la larghezza del

dente.

La distribuzione delle tensioni risulta simile al caso del dente

rettangolare e le traiettorie che partono dal punto di appli¬cazione della forza trasmettono la pressione all'incastro.

Vi sono due linee zero, che dividono le zone, ove le tensioni

non hanno ugual segno; nella parte superiore vi è sempre una

zona di trazione-trazione con valori molto elevati nei raccordi.

Lo stesso si verifica nella zona inferiore sottoposta a compres¬

sione-compressione. Le linee zero partono come nei casi prece¬

denti dal punto di applicazione della forza e dall'angolo.Per le qualità di vetro studiate valgono le seguenti costanti

ottiche

a = 0,03429 b = 0,08333 c = — 0,04904 tykg/mm!

dalle quali segue

i?„ = i?„ = 0,4262 i?sl = 7?12 = 0,4413

Rtl = —- B,z = — 1,0327 kg/mm! .X

§ 4. Studio di denti quadrati al variare del raggio dei

raccordi.

Furono considerati dei denti in un sol pezzo col semipianoper determinarne le tensioni massime. L'azione locale della

forza non fu presa in considerazione, ma furono misurate sol¬

tanto le tensioni al contorno, con speciale riferimento a quelleche compaiono nel tratto raccordato.

Si 'sono esaminati denti quadrati i cui spigoli avevano le

seguenti dimensioni :

1) 30 mm 2) 22 mm 3) 15,9 mm

Il raggio del tratto arrotondato era in tutti i casi 3,5 mm.

Il carico veniva applicato su un coltello di alluminio della lar¬

ghezza di 2,2 mm mediante adatto dispositivo di compressione.

L'intervallo, in cui l'equazione è valida, è

0,05 < — < 0,2

Per —— < 0,05 l'estrapolazione è troppo malsicura e per

r—— > 0,2 la tensione massima non compare più nell'arroton-

damentqt cosicché la formola I conduce a valori superiori ai

reali,{fig. 30).

\^Js b

j_, 0 p4-1

0w =—

~*~

o,os

Fig- 3°•

Denti caricati sullo spigolo esterno.

Questa specie di carico corrisponde alla figura 17.I risultati sono assai semplici nei limiti già ricordati.

Se confrontiamo la tensione massima con quella calcolata

mediante la formola solita

P_F

M

W

dove M

W

P

F

Momento flettente

Modulo di resistenza della sezione.

Forza agente.Sezione del dente.

- 17 -

troviamo che la tensione misurata dalla parte del carico è 1,6

volte maggiore di quella calcolata, mentre invece quella che ri¬

sulta dalla parte del dente opposta al carico coincide col calcolo.

Flessione del dente. La forza agisce all'estremità.

Il carico corrisponde alla figura 20.

La tensione massima nell'arrotondamento è notevolmente

superiore a quella calcolata con la solita formola

M

e può essere ottenuta da questa, moltiplicandola per un fat¬

tore K. Questo fattore è una funzione delle dimensioni del

dente e viene espresso entro i limiti anzidetti dall'equazioneempirica

vb

,

K = 0,119 + 1,05

K.K.

3

2

^s

__jr"==a079 £ H-1,68

~^J<=0,l!9y + l,0S

7

•

P

f-*—

K

bIPA =M

I J('^—F-

0,05 oro 0./5 0,20"

Fig- 31-

Analogamente si ricava un fattore K* per la tensione massima

di compressione che si verifica dalla parte opposta al carico

K* = 0,079 1- 1,68r

Queste formule sono state ricavate dal diagramma fig. 31.

§ 5. Contatto fra due cilindri.

a) Esperienze fino ad oggi eseguite e teoria relativa..

Nella tecnica ci si domanda spesso quali siano le tensioni,che si sviluppano tra due cilindri a contatto lungo una genera¬

trice, per es. appoggi di ponti, ruote dentate, cuscinetti* a rulli,elementi di catene, ruote ecc.

Hertz (8a)si è occupato di questo problema e partendo dalla

teoria del potenziale di un ellissoide appiattito, a tre assi,uniformemente riempito di materia, ha potuto dare la funzione

tensionale. Per la dimostrazione della teoria di Hertz riman¬

diamo alle sue pubblicazioni (8, Sa, 22). Hertz ha'tracciato

anche il sistema delle traiettorie in base a considerazioni

astratte; questo sistema che trovasi spesso riprodotto in pub¬blicazioni del passato è però, come è stato dimostrato, errato.

Lorenz ricorda che già Timpe ne aveva rilevato l'insufficien¬

za (n); Huber e Fuchs (23, 24) hanno tentato di correggerloe dopo aver approssimativamente integrato l'equazione di

Hertz hanno disegnato il sistema delle traiettorie nei casi del

contatto di una sfera con un piano e del contatto di due cilindri.

Nella teoria di Hertz sono fatte alcune ipotesi, che possonoessere controllate soltanto sperimentalmente. Specialmentel'ipotesi, che nella superfìcie di contatto non si producano ten¬

sioni tangenziali, sembra non si verifichi in realtà. Siccome le di¬

mensioni dei cilindri rispetto alle dimensioni della superficiedi contatto sono state considerate come infinite, segue che nei

due cilindri la distribuzione delle tensioni deve essere uguale,ad una distanza però dai punti di contatto, che sia comparabilecon le dimensioni della superficie di contatto medesima.

Sono state eseguite spesso esperienze in proposito, ma se si

sono potute determinare le dimensioni della superficie di con¬

tatto, non si è però potuto misurarne le tensioni. Come modelli

sono stati adoperati o una sfera e un piano, o due cilindri pa¬

ralleli, oppure incrociati. Hertz stesso ha eseguito per primoqueste esperienze, premendo con carichi diversi una sfera su

una piastra, e misurando la superficie di contatto in modo assai

primitivo, che tuttavia lo condusse a risultati molto prossimia quelli teorici. Esperienze minuziose ed accurate sono state

eseguite da Auerbach (25), che compresse una sfera di vetro

contro una lastra pure di vetro, e ne misurò direttamente la

superficie di contatto con un metodo ottico; ne risultò che il

rapporto della forza agente alla terza potenza del diametro della

superficie di contatto, che secondo la teoria dovrebbe essere

costante, si discostava del 10% dal valore teorico.

Invece le relazioni

P

D'-cost.

D-- cost.

p— = cost.

(valevoli per Pj costante)

dove Pi = Pressione massima

P = Forza agenteD = Diametro del cerchio di contatto

p = Raggio della sfera,

non sono soddisfatte; mentre il raggio della sfera varia da 3 a

15 mm, il valore delle espressioni suddette arriva ad assumere

un valore triplo di quello iniziale.

Questi risultati furono confermati da Fòppl (26) e Schwerd

(27), che hanno studiato il caso di due cilindri incrociati.

Altre esperienze sono state fatte da Stribeck (28) e Schwin-

ning (29) per determinare la sollecitazione ammissibile per sfere

d'acciaio ed i relativi cuscinetti. Essi trovarono che se la solleci¬

tazione è applicata in modo intermittente, il carico di rottura

si abbassa a circa un quarto di quello che si trova quando il

carico viene aumentato con continuità. Schwinning supponeche sulla superficie di contatto si sviluppino delle forze d'at¬

trito, le quali impediscono alle sfere già incrinate di sfasciarsi.

Goodman (30) ha trovato che l'avvicinamento di due piastrecaricate, tra le quali sia posta una sfera, supera del 13% il

valore dato dalla teoria.

Nella letteratura tecnica si danno generalmente le seguentiragioni per spiegare la differenza di risultati tra la teoria di

Hertz e l'esperienza:

1) L'ipotesi della piccolezza del rapporto fra la superficiedi contatto e le dimensioni del corpo. Huber e Friesendorf (31)hanno mostrato quali modificazioni siano da portare alla teoria

nel caso che il suddetto rapporto abbia un valore finito, ma

non hanno ottenuto dal loro calcolo risultati praticamenteutilizzabili.

2) Il diverso comportamento dello strato superficiale e

dell'interno del corpo. Fòppl e Brillouin (32) ritengono che il

modulo d'elasticità non sia nei due casi il medesimo.

3) La presenza di sensibili tensioni tangenziali sulla super¬

ficie di contatto. Questo fenomeno è stato da noi osservato

nel caso di superfici di contatto estese.

b) Esperienze.

1) I modelli di prova.

Le lastre utilizzate erano quadrate di 60x60x10 mm; in

ognuna delle due lastre utilizzate uno dei bordi era stato la¬

vorato con la mola in modo da fargli assumere forma cilindrica,

concava per l'una e convessa per l'altra come è indicato nella

fig. 32. La scelta di questi modelli era im¬

posta dalle condizioni delle misure e dalla

sistemazione della macchina di prova.Si dovettero usare curvature assai pic¬

cole, che non presentassero grandi diffe¬

renze tra la faccia concava e quella con¬

vessa, per ottenere grandi superfici di

contatto e per rendere così possibile la

misura. Non potendo estendere la ricer¬

ca, con i mezzi a disposizione, all'intero

cilindro, fu decisa l'adozione dei modelli

descritti. La forma di questi è tuttavia

ammissibile, sia perchè il carico fu au¬

mentato soltanto fino a che la superficiedi contatto raggiunse la larghezza di 8,8mm sia perchè, per queste dimensioni, l'influenza del contorno

è molto piccola. Basandoci su esperienze precedenti, possiamoritenere che le sollecitazioni entro una zona larga da b a 2 b

dovute ad un carico distribuito sopra una zona di larghezza b

sono indipendenti dal contorno, purché questo disti di almeno

36 dalla zona compressa (Principio di de Saint Venant).'La realizzazione pratica di una buona superficie di contatto

è stata ostacolata da difficoltà impreviste, quali ad es. la costru¬

zione di due superfici cilindriche, che abbiano generatrici per¬

fettamente rettilinee. Dopo molti tentativi si riuscì a ottenere

VMwbyyy1;)/,77777777777777

- 18 -

modelli utilizzabili per merito della ditta C. Zeiss di Jena, alla

quale porgo i miei ringraziamenti per l'interesse dimostrato

e il lavoro fatto.

2) Registrazione dei modelli.

I modelli dovevano essere premuti in modo da toccarsi lungouna generatrice giacente nello stesso piano della forza P.

Questo fu reso possibile mediante spostamenti del modello in¬

feriore nella direzione C e mediante una rotazione del modello

superiore intorno agli assi A e B. Come controllo della << messa

a punto » servì la forma della stessa superficie di contatto

e la distribuzione delle tensioni, che doveva risultare simme¬

trica.

La forma della superficie di contatto fu controllata facendovi

cadere sopra obliquamente un raggio di luce, che deve attra¬

versarla senza riflettersi (contatto ottico) ; perciò la superficie di

Hertz appare oscura, in contrasto con il contorno, in quei tratti,

dove non vi è contatto, perchè qui la luce viene riflessa, (fig. 33).

Fig 33-

Come controllo di precisione abbiamo adoperato lo specchio M,

(fig. 32), con il quale la superfìcie di contatto e le sue vicinanze

venivano illuminate con luce monocromatica; con lo specchio N

si osservava la superficie di Hertz e le frangie di interferenza

vicine. Il più piccolo errore era subito visibile perchè dava luogoa distorsione delle frangie ed a deformazione della superficie di

contatto.

3) Determinazione dei raggi di curvatura.

Questa è stata eseguita con un noto metodo ottico, utiliz¬

zando i modelli come specchi cilindrici e confrontando gli og¬

getti con le loro immagini.

Fig- 34-

La disposizione risulta dalla fig. 34.

Attraverso un canocchiale si sono osservate le immagini di

due fessure illuminate, riflesse dagli specchi cilindrici e se ne è

letta la distanza sopra una scala M; i raggi di curvatura po¬

tevano così essere determinati conoscendosi le grandezze L,

l, A, B, indicate nella figura.Dalle relazioni geometriche della disposizione e dalla equa¬

zione degli specchi si ricavano infatti facilmente le espressioni

per i raggi di curvatura delle superfici.

Per la superficie convessa R = — -^—'——?- = 28,4 cm

Per la superfìcie concava R =

Al + Bl — LB

2 A .B .1

Al+ Bl + LB30,4 cm

4) La misura della superficie di contatto.

Tre metodi ci sono noti:

1) 11 primo utilizza la proprietà ricordata, inerente alla

riflessione della luce; è però da notare, che sul contorno della su¬

perficie di contatto si producono frangie di interferenza, e che

Ja prima frangia si unisce direttamente alla superfìcie oscura

di Hertz. Se l'inclinazione delle superfici che delimitano il

contatto è piccola, può accadere che nella misura si facciano

degli errori notevoli.

Auerbach ha utilizzato questo metodo nelle sue misure e ha

tenuto conto, in parte dell'errore con fattori di correzione.

2) Uno dei due corpi viene ricoperto di un sottile strato di

nerofumo ; tolto il carico viene misurata la superficie di contatto

con un microscopio, ciò che però conduce a valori maggiori del

vero, perchè non soltanto vengono premute assieme le parti¬celle di nerofumo situate sulla superficie di contatto, ma anche

quelle vicine ai margini di questa.Ciò nonostante questo metodo fu adoperato da Fòppl e

Hertz.

3) I punti estremi della superficie di contatto sono punti

singolari, in essi si devono tagliare tutte le isocline; quindi la

misura dei punti singolari conduce alla determinazione della

grandezza e della posizione della superficie di contatto. Questometodo per la sua maggiore esattezza è stato da noi presceltoed utilizzato nelle nostre misure, fissando fotograficamente la

posizione dei punti singolari.

e) Risultati sperimentali.

1) Distribuzione delle tensioni.

Il diagramma fig. 35 offre il confronto tra le tensioni misurate

e quelle calcolate lungo la congiungente dei due centri di cur¬

vatura nella direzione di questa.

Indichiamo con P il carico totale, con b la semilunghezzadella superficie di contatto, con e lo spessore della piastra e

con z la distanza del punto misurato dalla superficie di contatto.

Allora la formola di Hertz diviene

be / b [-m are ts _b__

Come è chiaramente visibile nel diagramma le tensioni misu¬

rate nella parte convessa sono di poco superiori a quelle calco¬

late e le tensioni misurate nella parte concava sono invece del

10% inferiori. Il valore della tensione nel vertice, cioè la pres¬

sione normale massima nel punto di contatto, è circa del 5%

inferiore al valore calcolato. Se si tien conto della precisionedel metodo di misura, si vede che questo risultato è assai fa¬

vorevole alla teoria di Hertz.

Segue pure dall'esame del diagramma fig. 35, che le tensioni

- ig -

nel cilindro concavo sono inferiori del io -^ 15 % a quelle nel

cilindro convesso. Si potrebbe pensare che ciò possa derivare

in parte dall'imperfezione del metodo adoperato, perchè con la

disposizione di carico usata può essere possibile una concen¬

trazione di tensioni maggiore nel cilindro superiore che in quelloinferiore. Come però vedremo in seguito, questa supposizionenon ha ragione di essere. È da notare che il modo in cui il

carico è applicato non dovrebbe far sentire la sua influenza

nelle vicinanze della superficie di contatto, perchè la distanza

del punto d'applicazione della forza dalla suddetta superficie è

grande in confronto delle dimensioni di questa.

•

Convesso

Concavo

1 17 0 kglmmq

(S,) -fly)1.5-

m

* •

io

^1V Herl :

05

1

\

-5 -3 -2 -; 0 ; 2

\

\ 5rnm

Fig. 36.

2) Nel diagramma fig. 36 sono riportati i valori delle ten¬

sioni normali misurate sulla superficie e la curva parabolicaquale risulterebbe dalla teoria.

La coincidenza dei risultati è assai buona se si pensa alla

difficoltà della misura delle tensioni nell'immediata vicinanza

della superficie di contatto; la teoria di Hertz rappresenta

dunque con esattezza l'andamento delle tensioni normali.

IfQlm

2

mq

1T = fly)

5 1 - 4 - 3 - 3 f ^+

0 1 2 3 4,

5 mm

-7

Ce ncav |

p-;00,1 g-2

^

^/

"= 30,4L

r, = 28,4 kllm maConv ÌSSO

Fig. 37-

3) Il diagramma fig. 37 mostra l'andamento delle tensioni

tangenziali (attriti) lungo la superficie di contatto, tensioni che

furono trascurate da Hertz ; come è intuitivo, l'attrito assume

il valore zero nella linea di simmetria e nei punti estremi della

superficie di contatto; in due punti equidistanti dall'asse di

simmetria e situati da parti opposte, la tensione tangenzialeassume valori eguali ma di segno contrario. I valori delle ten¬

sioni tangenziali sono rilevanti e sono dell'ordine di grandezzadelle tensioni normali. Da ciò si vede, che anche su superficidi vetro perfettamente lisce l'attrito non scompare mai com¬

pletamente. Per altri materiali e altre superfici questi valori

saranno ancora più alti.

Ci si può rendere ragione dell'esistenza di queste tensioni,

pensando alle diverse deformazioni delle superfici e alla con¬

seguente tendenza che i due corpi hanno a spostarsi relativa¬

mente l'uno all'altro.

I valori delle tensioni tangenziali si poterono calcolare con

le solite formole della teoria dell'elasticità, conoscendo i valori

delle tensioni principali e la loro inclinazione rispetto alla dire¬

zione normale alla superficie.Le misure nei punti di contatto non richiedono in sé una esat¬

tezza troppo grande, devono soltanto farci conoscere l'anda¬

mento approssimato delle tensioni e la grandezza dell'attrito.

4) Il diagramma fig. 38 mostra l'andamento delle tensioni

principali nell'intorno della superficie di contatto: nelle sue

immediate vicinanze esse assumono i valori nassimi; ad una

distanza da quella maggiore di 36 è lecito calcolarle con la

teoria di Boussinesq, che suppone cioè il contatto sia punti¬forme.

Allora

2 P cos o

Alla distanza 36 né la forma della superficie di contatto né la

ripartizione delle tensioni lungo la stessa hanno più influenza.

Il cilindro convesso è diviso da una semplice linea zero, in un

nucleo interno di compressione-compressione adiacente alla

superficie di contatto, e in una zona di compressione-trazione.Il cilindro concavo presenta un andamento molto più compli¬cato delle linee zero; queste possono essere individuate sol¬

tanto nelle vicinanze della superficie di contatto. La linea zero

è una curva intrecciata e la zona compressione-compressioneè piìi estesa che nell'altro cilindro; vicino alla parte di con-

j_ w

_J 1 1 1 1 9.

_s S 1 1 1 8'

_S S 1 1 I 7»

_j s \ ! le*

5'

4»

J 1 I.

N \.'\<

i N J-

s±±

2*-Co. Tr.+

-

)S_

I

"7—T

-7 T

~> 7-

t 1 7

1

P= 100,1 kg

"7 r

rr

7-n7*

0 0,1 0,2 Qj3 0,4 0,5 cm

r—t—i-~i—1—I,

0 > 2 3 4 S kg/mmq

1 1'

-rr I \ I\

T70»

Fig. 38.

torno non caricata la sollecitazione è di compressione-compres¬sione, e tra le due zone se ne incunea una terza di compressione-trazione.

Anche in questo caso è verificato il teorema relativo ai segnidelle tensioni lungo un contorno curvo.

26

cm

0,8

2b-l P)Misura•v

^,—<

Hertz

.*--'26=2

/S(m'^l) P r,r2'

m' Tt £ r,tr,

/

/ r,=30,4

\r2=-28,4

1/ 1m = 4,76

1f=724 000*g/cmq Pkg

10 20 30 40 80 90 700

Fig. 39.

5) Il diagramma fig. 39 rappresenta la grandezza della super¬ficie di contatto in funzione del carico; vi è una notevole dif¬

ferenza dalla teoria di Hertz, poiché la superficie di contatto

misurata supera quella calcolata del 16-^50% e le differenze

maggiori si notano per i piccoli carichi.

L'influenza del numero di Poisson è quasi nulla nei riguardidelle dimensioni della superficie di Hertz; il modulo di elasti¬

cità invece compare sotto il segno di radice, ma una sua varia¬

zione non può esser sufficiente per far coincidere le due curve ; e

siccome non vi è ragione di pensare che le forze d'attrito abbiano

influenza sulla grandezza della superficie di Hertz, riteniamo con

Fòppl e Brillouin, che il valore del modulo d'elasticità non sia lo

stesso sulla superficie e nell'interno del corpo. In base alle

nostre misure sembrerebbe verosimile, che il modulo d'elasticità

alla superficie sia 1,5-^-2 volte più piccolo del « modulo d'elasti¬

cità totale ».

6) Il sistema di traiettorie fig. 40 è completamente diverso

per il cilindro concavo e per quello convesso. Esso differisce

dal sistema determinato da Huber e Fuchs; coincide invece,

per il cilindro concavo, con la rappresentazione data dai me¬

desimi autori nel caso del contatto di una sfera con un piano.Per la qualità del vetro studiata valgono le seguenti costanti

ottiche

a = 0,03883 b = 0,09373-

e = — 0,05474 X/kg/mm»

— 20 —

Da ciò segue

Rtl = i?„ = 0,36788 R„ = i?18 = 0,381206

-R,, = — it3, = — 0,89768 kg/mm!. X

Fig. 40.

Le costanti elastiche sono state determinate col metodo di

Cornu. Si sono ottenuti i valori seguenti:

1) Modulo d'elasticità

E = 724000 kg/cm!

2) Numero di Poisson

(v = velocità periferica, quando si trascurino gli allungamentielastici).

Carichiamo adesso i due cilindri: il segmento y + v .dt si

allungherà di

Ay + A (v . dt)

Per effetto del rotolamento e dell'applicazione del carico il

punto y sarà spostato del tratto

d l = v.dt + A (v . dt)

A (v . dt) è però uguale a

A (v . dt) = v .dt

.

dz

dy= v

.dt

.z'

come si vede dalla fig. 43.

Ne seguedi = v (1 + s') dt

kglmmq

1.5 <S, = Hb)

nr— Convesso

sr*'

0,5<

V*

-0 3 -0,! -0,1 0 V 0,2 0,3

+0,5

+1.0

p -100.1 kg Concavo

r,~30,41

1r2 ~ 13.4

+ 1.5

kgìmma

0,214 Fig. 42.

d) Determinazione dell'attrito volvente.

Proveremo a calcolare approssimativamente il lavoro di

scorrimento della superfìcie di contatto di un cilindro concavo

su uno convesso, lavoro che si trasforma completamente in

calore. Esso risulta dalla somma del lavoro di isteresi della de¬

formazione e di quello d'attrito volvente. La parte spettanteal lavoro d'isteresi la quale non può essere ricuperata, è piccolain confronto alla seconda, perciò riterremo il lavoro di deforma¬

zione uguale al lavoro d'attrito. Il coefficiente d'attrito fra le

due superfici lo ricaveremo poi in base al lavoro d'attrito.

n

t:Fig. 41.

Consideriamo un cilindro senza peso, che rotoli in un cilindro

•cavo, premuto lungo una generatrice da una forza P. Suppor¬remo inoltre che gli sia applicata una coppia. Con queste ipo¬tesi non vi sarà attrito di adesione nel punto di contatto.

Per risolvere il problema dobbiamo .determinare le deforma¬

zioni delle due superfici nella direzione del rotolamento partendodalle tensioni misurate.

Consideriamo un elemento di volume adiacente alla super¬ficie di contatto; le sue deformazioni, quando si conoscano le

tensioni, sono date dalla (fig. 41)

A J I 'Z W V

L'allungamento totale del segmento y, contato a partire dal¬

l'asse di simmetria, è:

\• mi'

A v= 2 =

y

E

dove <Jj e <rz sono state misurate in funzione della posizione,(fig. 42). Le grandezze s, e s„ sono diverse per le due superficiperchè la distribuzione delle tensioni oy è diversa nei due ci¬

lindri; la tensione <sK è invece uguale in ambedue.

Consideriamo ora il solo rotolamento e supponiamo che il

punto y durante il tempo dt si sia spostato del tratto v . dt,

Un elemento di superfìcie, situato nel punto y, ha quindicontribuito al lavoro d'attrito con

-z.df (di, —di,) ' s s's) dt .dj

Se noi in prima approssimazione consideriamo un elemento di

superficie come rigido, questo, durante una rotazione completaintorno al cilindro, produrrà il lavoro

dA, df A-«- z.) .v .dt

La velocità vera del punto è

Wdi

di

7- = » (r + s'l

t

+

\-< V M <-\rdl—»-

Fig- 43-

Da ciò segue che il differenziale del lavoro d'attrito è dato

dalla

j a ,. fb , , , .w.dt

dAA = df )_b T- (£. —Si)'i + z\

dt J- 1 + z\7— dy

giacche durante il tempo d t la superfìcie d f descrive il seg¬mento d y.

Introduciamo i valori di z\ e z'1 e otterremo:

àAA=

(b„

df J-b "'

E+(„yl_J^-)V mi

dy .

— 21 —

L'espressione <xyl— può essere trascurata rispetto ad E

con un errore di circa 0,01 %.Il valore <xyl

—

cry. è quasi costante

0,35 kg/mm!

Otteniamo dunque

df

35

724.1O* Jo. dy

(b

^'integrale 2 I t dy e stato calcolato graficamente

2 I t .rf y = 90 kg/cm.

Si trova così

4,36 .io-3 kg/cm = 7?

Il lavoro d'attrito prodotto da tutti gli elementi di super¬ficie durante una rotazione completa è

AA = K. 2 ts

.r

. e

(ciascun elemento produce in una rotazione completa lo stesso

lavoro).Poiché d'altra parte il lavoro d'attrito può essere espresso

dal prodotto dell'angolo di rotazione per il momento d'attrito,

può ricavarsi il valore di quest'ultimo:

MA =-^_

= K.r.y

D'altra parte secondo le notazioni correnti possiamo scrivere

Mk /a

Per confronto con la precedente si ricava allora subito il

coefficiente di attrito volvente

/a=

K. e . r

= 1,24 .io-6 cm/A -

j.

valore che ben si accorda con quelli già noti.

TABELLE

Queste tabelle sono state scelte tra le molte misure fatte,e danno l'andamento delle tensioni soltanto nelle sezioni piùinteressanti. I punti sono designati con gli stessi numeri nei

diagrammi e nelle tabelle.

Tutte le tensioni sono date in kg/mm1.0 denota l'angolo d'inclinazione rispetto alla verticale.

Briglia forata.

Caso I. Fig. io.

Sezione 3.

Punto 2

9 56e/, -0,0421o3 0,0828

4

630,0111

0,2674

5 6

67 71

0,0584 0,133

o,3577 o.5i3

Tensione lungo il foro

Punto 0 1

5 —0,494 —0,487

Punto 6 7

« o.975 1."

2

-0,321

8

1,16

3

-0,114

9

1.15

7

80

0,1870,729

4

o,336

10

I.I35

5

0,642

11

0,697

Caso II. Fig. 9.

Sezione 3.

Punto 4 5 6 7

9 385( 0,1022

117

0,008109

0,137

97

0,182»i -0.0557 0,3263 0,587 0,994

Tensione lungo il foro.

Punto 1 2 3 4 5 6

« -0,454 -0,370 -0,185 0,130 0,482 0,821

Punto 7 8 9 10 11

1 1,02 1,01 0,96 o,74i 0,398

Caso III. Fig. 8.

Sezione 3.

Punto 4 5 6 7

9 65»i -0,05a. -0,13

122

0,14

0,2605

109

o,75

0,558

93,5

1.14

1,06

Tensione lungo il foro

Punto 1 2 3 4 5 6

or -0,446 -o,34 -0,208 o,i43 0,404 o,745

Punto 7 8 9 11

5 1,025 o,995 0,971 o,334

Caso IV. Fig. 7-

Sezione 1.

Punto 1 2 3 1 2

9 75

«1 0,075tjj 0,809

60

-0,047

0,4308

47,5

-0,1180,124

70

0,179

0,932

7i0,08250,368

Sezione 3.

Punto 1 2 3 4

9 64" 0,39<js 0,7215

76-0,1

0,4861

90

-o,i475

0,2174

88

-0,1280

Sezione 4.

Punto 2'

3 4

9 92

<*! 0,067iT) -0,7402

90

0,611

-0,317

89

1,070

Tensione lungo il foro.

Punto 1 2 3 4 5 6

a -0,592 -0,466 -0,29 0,179 o,5i5 0,96

Punto 7 8 9 10 11

0 1,22 i.3 1.195 0,85 0.364

Sollecitazioni di denti.

Dente quadrato sollecitato centricamente a pressione. Fig. 15.

Sezione 11.

Punto 17

9 -87<7, -0,l88r/j -0,695

Sezione 12.

Punto 17

9 87,5"i -0,239

c/j —0,696

Sezione 13.

Punto 17

o 88

"1 -0,239<r, -0,659

Punto 26

o 121

«l -0,47<Ja -0,063

18

82

-0,2

-0,72

20

75

-0,301

-o,757

20

80

-0,319

-0,723

20

73

-0,212

-0,768

21

72

-o,359

-0,846

21

79

-o,349

-0.773

21 22

7° 73-0,226 -0,199

-0,87 -1,132

22

68

-0,405

-1,036

22

73

-o,335

-0,849

23

58-0,309

-0,91

24

36-0,25

-0,67

— 22 —

Dente quadrato premuto eccentricamente all'estremità. Fig. 16.

Sezione 6.

13 15Punto

9 115 123

st -0,1294 -0,294

ss 0,2644 -0,0337

Punto 22

17 19 20

79 103

-0,267 -0,264-0,3825 -1,018

100

-0,17

-1,409

21

95

-0,084-1,84

9 93,5

Si -0,138s2 -2,105

Sezione 12.

Punto 11 13

a 82

Si —0,156<*•. 0,356

65-0,256;0,17

Punto 21 22

9 78Si -0,65s2 -1,369

66

-0,69-1,981

Punto 21

9 28

Si —1,007

°t -0,0033

Sezione 3.

Punto

Punto

22

35

-i,348-0,218

15 17

52,5 126

-0,3708 -0,231

0,0277 -0,589

19 20

102 88

-0,404 -0.119

-0,819 -0,6193

7 8 9 10 11 12

45

-0,0323

0,414

39

-0,043

0,491

3°

-0,0170,581

20

-0,016

o,572

13

-0,007

0,464-

12

0,013

0,382

14 16 17 19 21 22

22

-0,0840,2453

21

-o,3470,0892

18

-0,4630,015

13

-0,572

-0,084

12

-0,669

-0,25

19

-0,674-0,302

23 24 25 26

25

-0,771

-0,306

23

-0,877—0,227

18

-0,936-0,181

13

-o,933

-0,12

Punto

Flessione di denti con spigolo inferiore inclinato.

Gaso I. Fig. 26.

Sezione 6.,

Dente quadrato sollecitato a flessione.Punto 11 13 15 17 19 21

Caso I. Fig. 21[. 9 - 90 53 46 50 5i 46,5

Sezione 6. s, 0,836 0,265 0,2566 0,183 0,076 -0,009

Sj 0,031 -0,1094 -0,399 -0,508 -o,544 -0,6285

Punto 11 12 14 16 17 19

9 o,5 9 37-5 3i5,5 3i8 323,5 Sezione n.

°i o,o55 0,02 -0,2116 0,2838 0,2768 0,1867s2 0,751 0,505 0,1128 -0,4096 -0,46 -0,4082 Punto 7 9 10 11 13 15

0 117 48 65 80 96,5 92Punto 21 22 al 0,016 o,457 0,5112 0,462 0,263 0,0767

9 336 349,5 Sj 0,201 0,0295 0,043 0,0655 0,067 0,0147

Si 0,1138 -0,0226«> -0,3658 -o,355i

*

Punto 17 19 21 23 25 26

9 59 54,5 .56 59 63 62,5

Sezione 12.st -0,0085 -"0,0499 -0,0775 -o,i55 -0,203 -0,237

Sa -O.I -0,2231 -o,334 -o,479 -0,617 -o,7

Punto 11 12 14 16 17 19Punto 27 28

9 19.5 14 16 26,5 303,5 3io,5

St 0,321 0,313 0,148 -0,104 0,0507 -0,143 9 66 47,5

s3 1,041 0,71 o,35* 0,0692 -0,146 -0,413s, -0,153

Sj -0,748-0,054

-0,678

Punto 21 22

0 318 323 Caso II. Fig. 28.

Si -0,304 -0,421Sa -0,763 -1,296

Sezione 7.

Punto 11 13 15 17 19 21

Sezione 13.9 57 7i 71 69 ,°5 58

Punto 7 8 9 10 11 12Si 0,426°> -4,974

0,672-2,047

0,2792

-1,7760,3288

-0,90980,1522

-0,86440,047

-0,8719 340,5 337,5

.,

322,5 28 n,5 2

st 0,1244 0,2834 0,6013 0,118 0,21 0,113 Punto 23

"2 -0,055 -0,0492 -0,0384 0,853 0,8 0,5289 47Si -0,005

Punto 14 16 17 19 21 22Sa

-

—1,002

? 356 358 274 298 323,5 324

s. 0,093 -0,0563 -0,0563 —0,2072 -0,393 -0,427 Sezione io.

Sj 0,2848 0,0476 -0,1606 -0,3133 -o,59 -0,896

Punto 7 9•

10 11 13 15

Punto 23 24 25 26? 95,5 in 47 - 50 44 55

0 310 289 8 4 Si 0,0154 0,074 1,467 0,92 0,5197 0,3609Si -0,386 -0,09 -o,777 -0,613 Sa 0,422 1,27 0,329 0,38 -0,4168 -0,6772Sj -1,221 -1,047 -0,004 0,028

Caso II. Fig. 24.

Sezione 12.

Punto 11 12

?

Si

Sa

313

1,047

0,239

317

0,7141

-0,2633

14

35

-0,580,509

16

28

-0,6490,296

17

27

-0,6780,2297

27

-o,793

0,102

Punto 17

9 62

Si 0,26"* -0,7372

Punto 27

9 77°l -0,253

ff2 -2,35

19

650,1722

-o,7745

28

85 '•

-0,089

-i,77

21

66

o

-0,936

23

65-0,102

-1,128

25

64-0,275

-1,584

26

66

-0,442

-2,011

- 23 -

Tensioni nei raccordi di denti soi lecitati a pressione. Punto

Pressione assiale. Fig. 15.

Valori di /:r

Punto 1

'(*)

8

0,116

o,i59

0,384 0,77

>7

1,43 2,04 2,26 1,81 1,49 0,8630,712 1,19 1,69 1,86 1,92 1,36 0,698

0,141 0,435 0,634 0'905 1,125 r.2 1.24

Pressione eccentrica; la forza agisce all'estremità. Fig. 16.

<s = tensione nel raccordo dalla parte in cui agisce il carico.

Valori di <r:

Punto 12 3 4 5 6 7 8

r Carico

b kg0,116 139,6 0,275 0.63 i,39 2,33 3,05 3,03 2,6 2,21

0,159 41.85 0,06 0,252 0,505 0,816 1,12 1,25 1,1 1,0650,22 41.85 0,287 0,49 0,7 0,91 1,07 1,41

Tensioni nei raccordi di denti sollecitati a flessione

e taglio.

Dente quadrato.

La forza agisce all'estremità. Fig. 21.

Valori di 1:

Punto 1* 1 2* 2 3* 3 4* 4

r Carico

b kg0,116 51,85 0,021 0,745 0.895 I>29 J>23 I,44 1,8 1,66

0,159 22,6 0,322 0,626 0,504 0,916 0,65 1,13 0,805 1,14

0,22 41,85 0,542 0,79 1,4 0,98 1,37 1,16 1,23

Punto 5* 5 6* 6 7* 7 8* 8

r Carico

b kg0,116 51,85 2,5 2,2 2,12 1,46 1,31 0,636 0,79 0,214

0,159 22,6 0,86 0,916 1,37 0,568 1,27 0,227 0,06450,22 41,85 1,22 0,965 1,29 0,85 1,28 0,608 0,178

La forza agisce vicino all'incastro. Fig. 24. Carico 139,6 kg.

Punto 1* 1 2* 2 3* 3 4* 4

e 1,09 0,312 1,55 0,69 2,26 1,1 2,5 1,7

Punto 5* 5 6* 6 7* 7

1 2,1 1,92 1,225 1.82 0,628 0,95

Dente con spigola inferiore obliquo.

La forza agisce all'estremità. Fig. 26. Carico 61,85 kg.

Punto 1* 1 2* 2 3* 3 4* 4

e 0,6 0,097 0,708 0,415 0,96 0,778 1,33 1,16

Punto 5* 5 6* 6 7* 7

<r 1,3 1,53 0,92 1,28 0,785 0,975

La forza agisce vicino all'incastro. Fig. 28. Carico 198 kg.

Punto 1* 1 2* 2 3* 3 4* 4

e 1.33 !,74 2,65 2,75 2,82 2,5

Punto 5* 5 6* 6 7* 7-

a 2,24 1,98 1,79 1,25 1,49 0,385

I punti indicati con* si trovano nel raccordo situato dalla

parte opposta alla forza.

Contatto di due cilindri.

Superficie convessa. Fig. 38.

Punto 0*,1 0*,2 0*,3o 95 106 129

ci -0.951 -0,664 -0,086o, -1,443 -1,176 -0,621

0*,4 1*,1 1*,268 90 102,5

-0,1242 -0,584 -0,481-0,0182 -1,49 -1,354

1*,3118

-0,16

-0,978

Punto 2*,3o 116

Gt —0,046°! -0,956

Punto

Punto

Punto

Punto

Punto

o

Punto

1*,4 1*,5

51 63-o,5543 -0,2042-0,0185 -0,0134

3*,3

112

-0,002

-0,859

4*,2

99

0,0175

-0,878

5*,1

90

0,037

0,7854

5*,7

129

0,024

-0,29

6*,6120

o,o35

-0,364

7*,5

in

0,0455

-0,442

Punto 8*,4o 104G, 0,0682a, -0,4614

Punto 9*,3

9 98Si 0,0878*> -0,4439

Punto 10*,2

9 93"<. 0,075ff2 -0,4531

2*,4

129

0,005

-0,671

3*,4

1230,0166

-0,6683

4*,3108

0,011

-0,774

5*,2

97,5

0,045

-o,745

6*,1

90

0,059

-0,69

6*,7

124

0,0243

-0,293

7*,6

ii50,0283

-0,3762

8*,5

1070,0364

-0,403

9*,4102

0,063-0,4305

2*,5

50

.-0,425

-0,0085

3*,5

131

0,023

-0,465

4*,4

117

0,03

-0,625

5*,3106

0,062-0,6673

6*,2

970,061

-0,6525

7*,1

90

0,078-0,6028

7,*7

119

0,0326-0,31

8*,6112

0,0272

-0,364

9*,5

105

0,0402

-o,3955

10*,3 10*,4

97

0,066

-o,4434

100

0,056-0,4156

Superficie concava. Fig. 38.

Punto 1*,1o 80

a, -0,891<*2 -1,517

Punto

o

2*,2

74

-o,54

-1,366

Punto 3*,1

Punto

-o,347

-1.312

3*,7

115

-0,2774

1*,268

-0,587-i,237

2*,3

58-0,208

-i,o34

3*,2

75

-0,244

-1,191

4*,1

89-0,145

-0,0371 -1,056

Punto 4*,6

9 !27

4*,7

123

-0,4033 -0,3221-0,008 -0,026

1*,3

45-0,098-0,779

2*,4

370,021

-0,591

3*,360

-0,138-0,996

4*,2

76-0,14-0,106

5*,1

90

-0,089-0,911

1*,666

-0,1006-0,0229

2*,6

57

-0,2491

-0,0055

3*,6

48-0,3280,0105

4*,5

125

0,04

-0,478

5*,4

"3

0,0515

-o,579

6*,3

103

0,0486-0,61

7*,2

95

0,0713

-o,59i5

8*,1

90

0,0545

-o,549

8*,7

115

0,0347

-0,312

9*,6108

0,0418-o,34

10*,5

103

0,0509

-0,3763

1*,4

no

-0,3289-0,022

2*,5

113

-0,33870,0056

3*,4

47

-0,059

-o,745

4*,3

65-0,094-0,889

5*,280

-0,064-0,849

2*,1

90

-0,257

-1,312

3*,1

90

-0,047

-1,073

3*,7

52

-0,2511

-0,0073

4*,6

130

0,028

-o,3534

5*,5

119

0,0244

-o,4954

6,*4

109

0,0568-o,5i74

7*,3

101

0,067-o,55

8*,2

94

0,096

-o,5i55

9*,1

90

0,086

-0,4872

9*,7

ni

0,0433-0,2869

10*,6106

0,0492

-o,333

2*,2

102,5

-0,174-=1,208

3*,2101

-0,037

-1,03

4*,1

90

-0,004

-0,92

4*,7

45

-0,2493

0,0278

5*,6

«5

0,0313

-0,376l

6*,5

"5

0,0485-o,453

7*,4106

0,0468-0,5072

8*,3

99

0,0959

-0,4888

9*,2

94

0,0815-o,479'

10*,1

890,076

-0,4655

10*,7108

0,04

-0,2944

2*,1

89

1*,5

109

-0,174 -0,661

-0,0059 -1,49

2*,6108

-0,2173

0,0003

3*,5126

-0,511

-0,017

4*,4

54

-0,027

-0,684

5*,3

69

-0,032

-0,765

3*,6

119

-o,355

-0,02

4*,5

45

-0,0315

-0,5363

5*,460

-0,048-0,678

- 24 -

Punto 5*,5 5,*6 5*,7 6*,1 6*,2 6*,3 Punto 9*,7 10*,1 10,*2 10*,3 10*,4 10*,5

tVi

«1

5i

-0,009

-o,534

44

-0,028

-o,4595

129

-0,3516-0,011

89-0,068

-0,786

80

-0,041

-o,737

72

-0,043

-0,694

? 560-1 -0,0019

s* -0,3677

90

-0,0065

-o,473

84-0,0016

-o,4553

77

-0,0041

-0,4267

73'0,0039

-0,4187

68

0,001

-o,39

Punto

<?

6*,4

63-0,0105

-o,5935

6*,5

55

-0,0034

-0,5095

6*,6

50

-0,0026

-o,4352

6*,7

45

-0,085-o,357

7*,1

90

-0,028-0,665

7*,281

-0,023

-0,6355

Punto 10*,6

9 63<T, 0,015

°J -0,35l8

10*,7

61

0,009

-0,3231

Punto

tp

"2

7*,3

73

-0,0144

-0,5852

7*,4

66

—0,0086-0,546

7*,5

60

—0,018

-0,4992

7*,6

54-0,008

-0,421

7*,7

50

-0,0085-o,349

8*,1

90

—0,0076-0,5835

Tensioni sulla superficie

Superficie convessa.

Punto 1 2

di contatto.

3 4 5

Punto

tp

o2

8*,282

-0,0056-o,5557

8*,3

760,002

-0,5294

8*,4

69-0,01

-0,514

8*,5

63-0,0165-o,4738

8*,6

580,0018

-0,3874

8*,7

53

-0,0217

-0,3824

0 120 78°» -0,3362 -0,906o-, 0,0368 -1,262

Superficie concava.

82

-1,121

-1,427

99

-1,041

-1,388

122

-0,384-0,769

Punto 9*,1 9*,2 9*,3 9*,4 9*,5 9*,6 Punto 1 2 3 4 5 6

90

-0,015

-0,5256

83—0,010

-0,518

77

0,0

-0,479

7i

0,0035

-0,4521

65-0,027

-0,4425

61

-0,002

-0,383

0 78e, -0,11760, -0,0322

118

-o,53

-0,885

97

-1,1685-1,2675

64-1,337

-1,463

57-0,929

-r.159

101

-0,2668-0,0882

Seweryn Rajnfeld.

INDICE DELLE OPERE CONSULTATE

1. J. MiiLLER, Etnde de trois profils de murs encastrés sollicités à

la compression et à la flexion. « Revue d'Optique ». 1930.

2. I. H. Micheli., On the direct determinahon of stress in an elastic

solid with application to the theory of plates. Proc. Lond. Math. Soc. 31.

1899.

3. J. Boussinesq, Application des potentiels à l'étude de Véquihbreet du monvement des solides élastiques. Paris, 1885.

4. B. Kirsch, cfr. Fòppl, Vari, uber teck. Mechanik Bd. V.

5. K. Wieghardt, Ztschr. f. Math. und Physik. Bd. 55. 1907.

6. K. Wolf, Ztschr. f. techn. Physik Bd. II 1921.

7. A. Timpe, Ztschr. f. Math. und Physik Bd. 52. 1905.

8. H. Hertz, Ztschr. f. Math. und Physik Bd. 28. 1883.Sa. Ges. Werke, Bd. II.

9. I. H. Michell, Proc. Lond. Math. Soc. 32, 1900.

io. I. H. Micheli., The inversion of piane stress. Proc. Lond.

Math. Soc. 34. 1902.

11. H. Lorenz, Technische Elastizitàtslehrc.

12. M. Lamé, Legons sur la theorie mathématique de l'élasticité des

corps solides. 1862.

13. C. v. Widdern, Polarisationsoptische Spannungsmessungen an

Stabecken. Diss. Techn. Hochschule Miinchen. 1929.

14. O. M. Corbino, Rend. Acc. Lincei, XVIII, 1909.

15. G. C Trabacchi, Rend. Acc. Lincei, XVIII, 1909.

16. H. Favre, Sur une nouvelle méthode optique de détermination

des tensions intérieures. « Revue d'Optique ». Paris, 1929.

17. A. Corno, Comptes rendus. 69. 1869.18. R. Straubel, Wied. Ann. 68. 1899.

19. E. G. Coker, Photo-Elasticily.20. E. Preuss, Mitt. Forsch. Arbeit. 126. V. d. I.

21. F. Tank und J. Muller, Spannungs-Optische Untersuchungeines kurzen, aufBiegungbeanspruchtenStabes.FAdg. Materialprufungs-anstalt an der E. T. H. Zurich. 1930.

22. A. Fòppl, Vorl. uber techn. Mechanik. Bd. V. 1918, Drang und

Zwang, Bd. 2. 1928.

23. M. T. HuBERund R. Fuchs, Phys. Ztschr. 15. 1914.

24. R. Fuchs, Phys. Ztschr. 14. 1913.

• 25. F. Auerbach, Wied. Ann. 43. 1891, 45. 1892, 53. 1894,

58. 1896.26. A. Fòppl, Wied. Ann. 63. 1897.

27. F. M. Schwerdt, Mitt. Techn. Lab. Miinchen, 1897.28. R. Stribeck, Z. V. d. L, 45, 1901, pag. 73.

29. Schwinning, Z. V. d. I. 45. 1901.

30. J. Goodman, Eng. 116.

31. R. Friesendorf, Contatto di corpi solidi elastici. Pietroburgo.

1905.

32. M. Brillouin, Ann. de chìmie et de physique. 13. 1898.