REND. SEM. MAT. UNIVERS. POLITECN. TORINO

Vol. 35° (1976-77)

PASCAL DUPONT

I FONDAMENTI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA IN CHRISTIAAN HUYGENS (*)

SUMMARY • At the origins of the Theory of Probability we find a logical framework created by B. Pascal and one by C. Huygens, both based on a concept that today is given various names such as mathematical expectation, expected value, mean value, etc.. In this paper we study the importance this concept has — with a peculiar meaning — in the work of Huygens and, in particular, we deeply analize the foundations of the Theory of Probability by the great Dutch mathematician. These foundations consist of a Principle pivoting on both that specific concept of mathematical expectation and on three theorems derived from it.

1. INTRODUZIONE. Viene talvolta affermato che la prima vera costruzione razionale del Calcolo delle Probabilita (*) si trova nel-l'opera De ratiociniis in ludo alece che Christiaan Huygens scrisse nel 1656. Noi siamo pero del parere che nel Traite du triangle arithmetique di Blaise Pascal, «dont la composition parait dater de la fin de 1654 » (p. 91 di [12]), vi sia una parte (III, pp. 115-126 di [12]) che debba essere valutata altrettanto organicamente costituita. Questi primi due veri trattati di Calcolo delle Probabilita si fondano sul concetto di speranza matematica, speranza che, di fatto, coincide con la nostra speranza matematica del Calcolo delle

Clussificazione per soggetto AMS (MOS) 1970: 01A45, 6003. (*) Lavoro eseguito nell'ambito del contratto del Consiglio Nazionale delle Ricerche,

dal titolo « La Matematica nei suoi aspetti storici, filosofici e psicologici » (ex Gruppo n. 25), diretto dal prof. Tullio Viola dell'Universita di Torino.

C1) Per una valutazione del Calcolo delle Probabilita come una scienza delle mate-matiche applicate, cfr. p. 18 di [9].

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Probability, ma e diversamente concepita, da Pascal da una parte, da Huygens dall'altra, e prescinde, in entrambi, dal concetto di probability.

In questa Nota, studiamo l'opera di Huygens; precisamente essa e dedicata: 1) all'analisi del suo concetto di speranza; 2) all'in-terpretazione di quello che chiameremo «Principio fondamentale » di Huygens, dopo averlo enucleato dalla breve introduzione del-l'Autore; 3) alio studio dei suoi tre teoremi dedotti dal «Prin-cipio », sulle cui dimostrazioni abbiamo forti riserve da fare e che ci permetteremo di perfezionare, modificandone qualche dettaglio; 4) all'osservazione di due ulteriori deficienze che ci sembra deb-bano essere rilevate in Huygens, se la sua opera vuole essere giudi-cata costruzione razionale, scientificamente strutturata, poiche «Une science doit enchainer les cas simples aux cas composes et reposer sur des principes » (p. 24 di [3]).

2. SULLA NATURA DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA ALLE SUE

ORIGINI. II Calcolo delle Probabilita nasce come calcolo combi-natorio con Luca Pacioli, Girolamo Cardano, Nicolo Tartaglia, Galileo Galilei e altri, ma specialmente con Pierre Fermat e Blaise Pascal. Del famosissimo «probleme des partis» (cfr. [6]), noto sin dal 15° secolo (v. p. 21 di [9]), s'occuparono Pacioli, Cardano e Tartaglia, sempre per mezzo del calcolo combinatorio. II pro-blema e assai complesso e le soluzioni di questi illustri matematici sono errate (p. 22 di [9]). E ragionevole percid affermare che, dopo una gestazione di circa 150 anni, di fatto, il Calcolo delle Proba­bilita (C.d.P.) nasce con Fermat e Pascal, che danno le prime soluzioni esatte di questo problema (1654), nonche di problemi vari sui giochi con dadi (uno dei quali brillantemente risolto da Galileo) (2). Vi e chi afferma pero che finche si ha soltanto calcolo combinatorio, il quale e pur sempre stato ed e oggi un metodo valido per la risoluzione di certi problemi probabilistici, non vi e un vero C.d.P.: « Le compte des cas favorables rapproche de celui des cas possibles appartient a la theorie des combinaisons. L'inge-nieux et bizarre Cardan, bon geometre et grand ami des des, con-

(") « Les grands noms de Pascal, de Fermat et de Huygens decorent le berceau du Calcul des hasards. On est injuste en oubliant Galilee » (p. VI di [3]).

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naissait pour chaque coup le nombre exact des chances (8); il l'a publie sans devenir, pour cela, Pinventeur de la science du hasard » (p. 24 di [3]).

Per opinabile che possa essere questa pretesa, e un fatto che una svolta decisiva nella nuova scienza la si ebbe con la scoperta, da parte di Pascal e Huygens, di quel fondamentale concetto che noi oggi chiamiamo speranza matematica (4).

Ma, in Huygens ed in Pascal, non vi e soltanto l'introduzione di un nuovo tecnicismo per la risoluzione di problemi; le loro opere in C.d.P. {De ratiociniis e la parte III del Traite) hanno un'impronta di razionalita tale da segnare la nascita di una nuova scienza (5).

3. GENERALITA SUL TRATTATO DI HUYGENS (6). Nell'estate del 1655 Huygens (1629-1695) si reed a Parigi dove, pur non incontrando ne Fermat (che era a Tolosa), ne Pascal (perche pen-sava che questi avesse abbandonato gli studi matematici), ne Carcavy (l'intermediario dello scambio epistolare fra Pascal e Fermat; v. [6] per la genesi dei primi concetti probabilistici), fu messo al corrente delle ricerche sul C.d.P. del mondo culturale francese da Roberval (che abbiamo visto in [6] interessarsi delle ricerche di Pascal e Fermat) e da Mylon (amico di Carcavy e cultore del C.d.P.). Huygens viene a conoscenza dell'interesse di Fermat e Pascal per il « probleme des partis » e per i « problemes des des », ma non conosce la soluzione che di questi problemi avevano dato Pascal e Fermat nel loro famoso carteggio del 1654 (cfr. [6]). Animato dalla conoscenza di queste ricerche, Huygens scrive nel 1656 un piccolo trattato sul C.d.P. L'opera e scritta in olandese e porta il titolo: Van rekeningh in spelen van geluck. La medesima

(s) Osserviamo, en passant, che qui, per Bertrand, chance e sinonimo di possibilita: «nombre des chances», in questa citazione, non puo dunque che voler dire «numero delle possibilita ».

(l) L'esame del carteggio Fermat-Pascal rivela che nel 1654 si ebbe una svolta decisiva nel C.d.P. con l'introduzione da parte di Pascal di un concetto di speranza matematica, concetto poi, con altra genesi, ed indipendentemente da Pascal, fonda­mentale nella costruzione di Huygens. Sorprende percio leggere a p. 51 di [14]: « Huy­gens was actually the first to introduce the notion of mathematical expectation and to apply it ».

(r>) Per la preistoria del Calcolo delle Probability vedasi pp. 3-38 dell'opera [14]; in particolare le interessantissime pp. 1-18 per il periodo che precede Cardano.

(u) Cfr. pp. 8-12 di | 1 ] . Per ulteriori informazioni sul trattato di Huygens, v. cap. I l l di [13], pp. 48-55 di [14], pp. 8-12 di [1], pp. 3-10 di [9].

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viene tradotta in latino da Frans van Schooten, l'« instructor of Huygens in mathematics » (p. 22 di [13]) ed inserito nelle Exerci-tationes mathematicce (1657) (7) del maestro di Huygens, sotto il titolo De ratiociniis in ludo alece. Giacomo Bernoulli (1654-1705) studio a fondo l'opera di Huygens (8). La sua opera Ars Conjectandi, pubblicata postuma nel 1713, inizia con il trattato stesso di Huy­gens, che e riportato integralmente, nella versione latina di van Schooten, nella prima delle quattro parti di quest'opera fondamen-tale (9) sul C.d.P.. Bernoulli perd fa, passo a passo, commenti (10) alio scritto di Huygens, che, per ampiezza e profondita di contenuti concettuali, costituiscono, per cosi dire, un nuovo trattato infra-mezzato con quello di Huygens e di piu ampia mole.

Per il nostro studio, limitato ai fondamenti, non ci serviremo dello scritto originale in olandese, scritto che troviamo riprodotto nel vol. 14° dell'opera omnia di Huygens ([9]), ma: 1) della ver­sione latina, che e quella che Huygens conosceva e che percio do-vrebbe riflettere piu fedelmente il pensiero dell'Autore ( n ) ; 2) della versione tedesca [ 2 ] : Abhandlung iiber die bei Gliicksspielen mo-glichen Berechnungen; 3) della versione francese (12) [ 9 ] : Du calcul dans les jeux de hasard; 4) della traduzione, direttamente fatta ultimamente dall'olandese in tedesco, di certe parti (proprio quelle che ci interessano) (pp. 8-12 di [1 ] ; a p. 8 si legge: « . . . direkt aus dem Hollandiscen ins Deutsche iibersetzt»).

II trattato e sostanzialmente costituito da 14 « Proposizioni». La Propositio I e preceduta da poche righe nelle quali noi vogliamo vedere il « Principio fondamentale ». Questa Propositio costituisce un primo teorema. Nella Propositio II distingueremo un Teorema 2 ed un Teorema 2'. La Propositio III costituisce il Teorema 3, che, d'altronde, assimila i precedenti. II nostro lavoro si limita sostan­zialmente a studiare queste parti del trattato.

(7) A proposito di questa data, cfr. p. 22 di [13]. Per cio che concerne la data 1656 della stesura dell'opera in olandese, leggiamo cio che, il 18 aprile 1656, Huygens scrive a Roberval (p. 404 di [8]): «J'ay depuis quelque jours escrit les fondements du calcul es jeux de hasard a la priere de Monsieur Schooten qui le veut faire imprimer...».

(8) « Huygens' book was essentially the only text on probability theory prior to the appearance of James Bernoulli's "Ars Conjectandi" » (v. p. 51 di [14]).

(°) Per una valutazione delVArs Conjectandi, v. p. 77 di [13]. (10) V. pp. 109-150 di [1]. (u) Questa edizione latina si trova nelle pp. 109-150 di [1] dove abbiamo anche le

aggiunte di Giacomo Bernoulli. (12) In [9] troviamo nelle pp. 60-90 affiancate la versione olandese e quella francese.

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Stabiliti cosi i fondamenti, Huygens risolve una serie di pro-blemi del tipo Partie des Parties, che gia troviamo nel carteggio Fermat-Pascal del 1654 (cfr. [6]) e poi sistematicamente da Pascal nel capitolo III (pp. 115-126 di [12]) del Traite du Triangle arithmetique. Questi problemi possono tutti essere compresi nel seguente enunciato: « Un gioco, al quale partecipano due (o piu) giocatori, e costituito da un numero imprecisato di partite, in ognuna delle quali i diversi concorrenti hanno pari possibility di vincere (ovvero giocano con pari abilita). La natura (13) delle partite non interessa. Dovrebbe vincere il gioco colui che per primo ha vinto un numero n fissato di partite (in generale non consecu-tivamente); in tal caso, questo giocatore ritirerebbe l'intera posta(14). Ma il gioco viene interrotto quando ai singoli giocatori mancano delle partite per arrivare al numero n prefissato. Si chiede come debba essere divisa la posta fra i diversi giocatori» (15).

A questi problemi fa seguito un insieme di altri problemi tutti dedicati ai giochi dei dadi, problemi anche questi profondamente dibattuti e risolti da Fermat e Pascal; fra questi ritroviamo quello famoso proposto dal Cavalier de Mere a Pascal (cfr. p. 244 di [12]).

II trattato termina con la formulazione di cinque problemi che Huygens propone al lettore senza darne la risoluzione. (Per la interessante storia di questi problemi, v. pp. 21-25 di [9] e p. 52 di [14]).

(13) Non si pensi che le partite debbano necessariamente essere giochi di dadi, come potrebbe suggerire la parola «aleae». Pur essendo vero che «ludere alea» vuol dire « giocare ai dadi », si pensi che di per se il significato di « alea, -ae » e « dado, giuoco dei dadi, sorte, fortuna, rischio ». D'altronde si parla di alea belli: la sorte della guerra; di aleae indulgere: darsi ai giochi d'azzardo, ecc.

(u) Alia formazione della posta avranno contribuito i giocatori stessi, ma dopo che un giocatore ha versato il suo contribute, questa somma non gli appartiene piu. Su questo punto, ne Huygens, ne Bernoulli, saranno molto chiari: la cosa si rivela ovvia dal contesto e dall'ipotesi che Huygens non sentisse la neeessita. di fermarcisi, perche ben nota agli accaniti giocatori dell'epoca. £ interessante comunque osservare che Pascal invece esplicitamente dice: «Pour entendre les regies des partis, la premiere chose qu'il faut considerer est que l'argent que les joueurs ont mis au jeu ne leurs appartient plus, car ils en ont quitte la propriete; ...» (p. 115 di [12]).

(1R) A conti fatti, la posta sara. divisa in proporzione alle probabilita di vincere. Ma questo lo diciamo noi oggi. Huygens, a stretto rigore, non conosce il concetto di proba­bilita ed il problema della divisione della posta sara una delle questioni che faranno maturare lentamente il concetto di probabilita. Noi siamo percio del parere che soste-nere che in Huygens la fondamentale ipotesi «that the stakes should be divided in proportion to the probabilities of winning the Avhole stake if the play is continued» (p. 51 di [14]) costituisce un completo ribaltamento della successione logica dei concetti probabilistic! nel loro sviluppo storico. Accettando questa arTermazione, tutta la costru-zione razionale di Huygens viene travisata, ed in modo sostanziale.

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4. LA SPERANZA MATEMATICA IN HUYGENS. Nella parte che precede la Propositio I, che chiameremo Introduzione (16), troviamo illustrato il concetto di valore atteso o speranza matematica, su cui fara perno la concezione probabilistica dell'Autore: « Der zentrale Begriff der ganzen Theorie ist der Begriff Erwantungswert» (p. 8 di [1]). La parola usata da Huygens in olandese e kans e una lista di parole latine che egli aveva preparato per la traduzione del suo trattato inizia cosi: alea, sors, fortuna, casus, lusiones (p. 10

di [I])-Vediamo come viene espresso questo concetto nelle tre versioni

latina [1], tedesca [2], francese [9]. Noi incontriamo intanto il concetto nella Introduzione, precisamente nell'enunciato del Prin-cipio che riportiamo nelle tre versioni al n. 5. Riteniamo pero che sarebbe un errore metodologico servirci soltanto del Principio per il nostro studio. Le fonti devono essere: 1) il Principio; 2) gli enunciati (17) e le dimostrazioni dei tre teoremi; 3) gli enunciati e le risoluzioni dei problemi.

Dalla versione latina [1], cioe dalla traduzione di van Schooten, che si sa concordata con Huygens stesso (18), sembra di poter de-durre che il nostro concetto e espresso con la parola expectatio ( ). Nel Teorema 1 si parlera di «. . . expectatio mea dicenda est. . .»; nel Teorema 2 di «. . . expectatio mea aestimanda est. . .»; nel Teo­rema 3 di «. . . expectatio mea valebit...». Nell'enunciato del Prin­cipio, che daremo al numero successivo, troviamo pero anche una delle parole della lista preparata da Huygens: sors. La parola expectatio e quella che poi passera nel vocabolario del C.d.P.; in inglese e Vexpectation, in italiano il valore atteso. La versione latina parla quindi di attesa, della stima delVattesa, del valore delVattesa e, diciamo, la nostra speranza e espressa sostanzialmente, con un significato particolare, come vedremo, con la parola expectatio.

Un esame superficiale della versione tedesca [2] potrebbe facil-mente indurci a pensare che ivi il nostro concetto sia espresso dalla parola Hoffnung (speranza). A questa conclusione c'indurra inequi-

(™) Non si confonda questa «Introduzione » (p. 110 di [1] ; pp. 3-4 di [2] ; pp. 60 e 62 di [9], con la Praefatio (p. 109 di [1]).

(17) II lettore trovera qualche enunciato dei teoremi nei numeri successivi. (1S) Huygens e van Schooten si preoccuparono molto della traduzione dall'olandese

in latino del trattato (cfr. pp. 5, 6 di [9] e Nota p. 51 di [14]). (10) La parola « expectatio » pare dovuta a Huygens stesso (cfr. Nota p. 51 di [14]).

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vocabilmente Fenunciazione del Principio (v. n. 5). Nei Teoremi 1, 2, 3, troveremo sempre pero l'espressione «. . . der Werth meiner Hoffnung... » (il valore della mia speranza). A rigore ci sembra di poter sostenere percio che, nell'edizione tedesca, ci sia una piu forte tendenza a parlare del valore della speranza che della spe­ranza, tout court. La parola Hoffnung dev'essere forse interpretata come l'espressione di uno stato d'animo (speranza, fiducia), o, come ci sembra meglio, sinonimo di stato potenziale, di possibilita.

Per la versione francese occorre fare un discorso piu impegna-tivo. Si e tentati di dire che abbiamo la parola chance per indicare speranza. Riconosciamolo, la parola chance e forse la piu vicina a kans e, cid non ostante e proprio quella che riteniamo meno felice. Chance ha avuto ed ha nella lingua francese una notevole oscilla-zione di significati (cfr. [11], dizionario del 1694; [5], dizionario del 1732; [7], l'Encyclopedie del 1753). Gia abbiamo osservato come chance, in Bertrand, significhi possibilita. Come vedremo al n. 5 nell'enunciato francese del Principio (p. 60 di [9]) si parlera di « chance qu'on a de gagner quelque chose », e qui chance vorra dire possibilita; ma poi si parlera di valeur di questa chance. For-muliamo un'ipotesi di lavoro: nell'edizione francese, la speranza nel Principio e espressa con valeur de la chance. Una conferma di questa interpretazione I'avremo negli enunciati dei tre teoremi dove a priori incontriamo delle chances (possibilita) e si dira che avere dette possibilita il me vaut ecc. Siamo dunque fortemente portati a distinguere fra chance e valeur de la chance.

Volendo dunque servirci delle tre versioni [1], [2], [9], use-remo la parola speranza (speranza, per brevita, al posto di « spe­ranza matematica») o l'espressione valor atteso, per tradurre ex­pectation Werth meiner Hoffnung, valeur de la chance (ovvero il me vaut) (20).

Osserviamo pero che di questo concetto fondamentale, speranza, della costruzione di Huygens, non troviamo nel trattato una defi-nizione. II suo significato ci apparira chiaro e inequivocabile dopo lo studio del Principio, dei teoremi, e del procedimento risolutivo anche di un solo problema.

Qui pero ci preme mettere il lettore in guardia contro un pos-

i20) Secondo Maistrov, Huygens « considered mathematical expectation as the "value of the chance" to win in a fair game » (p. 51 di [14]).

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sibile spontaneo errore. In Bertrand, per esempio, leggiamo: «Le sort des joueurs a ete la premiere preoccupation des creatcurs de la theorie du hasard» (p. 49 di [3]); e questo ci trova perfetta-mente consenzienti. Ma leggiamo anche: « On le nomme aujourd'hui esperance mathematique... U esperance mathematique de celui qui a la probability p de recevoir la somme S est mesuree par le pro-duit pS» (pp. 49-50 di [3]). Noi qui pero osserviamo che la «spe-ranza di Huygens» nasce senza il concetto di probability (come senza probability nasce quella di Pascal); di fatto, in uno stesso contesto, numericamente, o meglio fisicamente, la «speranza di Pascal» e la «speranza di Huygens» coincideranno con quella sopra vista in Bertrand, che e poi la nostra, ovvero il concetto di speranza di Laplace (pp. 257-58 di [10]). Ma allora non e esatto affermare che la speranza, come quantita pS, e la prima preoccu-pazione dei creatori « de la theorie du hasard». No! alle origini del Calcolo delle Probability, quando questo si svincola dal Calcolo Combinatorio, abbiamo, se si vuole, la «speranza matematica», ma non definita come quantita pS, ma una speranza di Pascal, una speranza di Huygens, una speranza di Bernoulli, ecc.

Ma v'e di piu. Secondo noi, con il nuovo concetto viene creato uno strumento per semplificare la risoluzione di certi problemi, cosi ingombrante con il calcolo combinatorio (21). Maistrov e invece del parere che « his solution [di Huygens] are rather cumbersome » (p. 51 di [14]). Dopo, in casi piu complessi, nuovamente il calcolo combinatorio si rivelera piu utile (p. 25 di [9]).

5. I L PRINCIPIO FONDAMENTALE DI HUYGENS. Come gia detto, nella Introduzione del trattato di Huygens, noi troviamo un Prin­cipio, nel quale abbiamo simultaneamente una prima illustrazione del concetto di speranza, che pero non si rivelera esauriente. Sul Principio poi si baseranno i teoremi (le prime tre proposizioni).

Invece, sulla storia del Calcolo delle Probability del Todhunter (p. 23 di [13]) e del Maistrov (p. 49 di [14]) si ha l'impressione che le prime tre proposizioni di Huygens siano dei principi (questi Autori non citano neppure il Principio).

(2l) Cioe possiamo adattare al metodo di Huygens quello che Pascal diceva del suo metodo: «... parce que la peine des combinaisons est excessive, j'en ai trouve un abrege...» (p. 242 di [6]).

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Nelle tre versioni [1], [2], [9], questo che noi interpretiamo come il fondamento di tutta la costruzione razionale probabilistica di Huygens, e espresso come segue:

« nimirum, in aleae ludo tanti aestimandam esse cujusque sortem seu expectationem ad aliquid obtinendum, quantum si habeat, possit denuo ad similem sortem sive espectationem pervenire, aequa con-ditione certans » (p. 110 di [1]).

«Beim Gliicksspiele ist die Hoffnung eines Spielers, etwas zu erhalten, so hoch anzuschlagen, dass er, wenn er diese Hoffnung hat, von neuem zur gleichen Hoffnung gelangen kann, wenn er unter der gleichen Bedingung spielt» (p. 4 di [2]).

«. . . je pars de l'Hypothese que dans un jeu la chance qu'on a de gagner quelque chose a une valeur telle que si Ton possede cette valeur on peut se procurer la meme chance par un jeu equi­table, c'est-a-dire par un jeu qui ne vise au detriment de personne» (p. 60 di [9]).

Come si vede, si tratta di tre versioni che si discostano note-volmente l'una dall'altra, almeno sotto il profilo filologico. La nostra interpretazione consistera neH'immaginare un passaggio del gioca-tore attraverso tre situazioni successive, ben distinte. Schematiz-ziamo tale passaggio nella seguente tabella che ci proponiamo subito di spiegare:

S S I E D O

IN POTENZA SPERANZA

a ovvero b X situazione

d'incertezza

0 0 situazione

di certezza

a ovvero /? ovvero...

X situazione

d'incertezza

Huygens afferma, a nostro parere, che tutto avviene come se io, giocatore, alia partenza del gioco d'azzardo (« Gluckspiele»; « ... Du calcul dans les jeux de hasard »; «. . . dans les jeux de hasard pur, ... ») di natura qualsiasi (« . . . apres quoi je considererai aussi

SITUAZIONE GIOCO P O

DIFATTO

r G, 0

2 a nessuno X

3 a G2 0

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le jeu au des »; « ... deinde etiam, qua? ad aleam sive tesseras proprie pertinent, explicabo ») e non necessariamente gioco di dadi, mi tro-vassi in una situazione la, corrispondente ad un gioco Gu nel quale non posseggo nulla, ma sono nello stato potenziale di ottenere, per esempio, con pari facilita, una somma a, ovvero una somma 6 («chance de gagner quelque chose»). Voglio ora attribuire un valore a tale stato potenziale, valore che chiamo speranza e che indico con x.

Immagino ora di rinunciare a questo gioco Gl9 e di entrare in possesso effettivo della predetta somma x («s i Ton possede cette valeur »), portandomi cosi in una situazione 2a, nella quale non ho nulla in potenza e quindi ho la speranza o.

Partendo dalla 2a situazione, immagino ora di essere in grado di realizzare un gioco G2 (v. situazione 3a) nel quale: 1) nuova-mente io possegga nulla di fatto; 2) il gioco sia equo («jeu equi­t a b l e ^ ; 3) io abbia la stessa speranza x («on peut se procurer la meme chance ») che avevo nel gioco d, naturalmente speranza in potenza. Diciamo che, in G2, avro in potenza certe somme a, J3, ... (non necessariamente le stesse a, b e neppure in egual numero, almeno per quanto finora ne sappiamo).

E nostra intenzione approfondire questo Principio fondamentale di Huygens analizzando a fondo le prime tre proposizioni I, II, III, cioe i teoremi 1, 2, 3, perche la cosa risultera piu agevole in quanto ci troveremo di fronte a casi concreti. Sin d'ora pero e opportuno fare qualche osservazione.

Prima osservazione. Si ha intanto l'impressione di essere in un giro vizioso. In partenza, in un gioco d'azzardo Gl9 ho una speranza. Ma questa speranza non la conosco, ne posso calcolarla diretta-mente con la regola del gioco d . Penso allora di possedere questa speranza, diciamo x, e di costruire un gioco G2 nel quale abbia la stessa speranza x. Ma come faro a determinare la speranza di G2?

Seconda osservazione. Siamo di fronte ad un principio o ad una definizione stessa della speranza? definizione costruttiva della spe­ranza? Forse delle due cose compenetrate.

Terza osservazione. Che cosa s'intende per gioco equo? Perche l'equita del gioco non viene deflnita in [1] e [2]? Ed in [9] non e assai vaga?

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Alia luce di queste osservazioni, che sono anche ben motivate preoccupazioni, affrontiamo lo studio delle Propositiones I, II , III.

6. I L PRIMO TEOREMA. Diamo del primo teorema le tre for-mulazioni:

(L) «Si a vel b expectem, quorum utrumvis aeque facile mihi obtingere possit, expectatio mea dicenda est valere (ai + 6 ) /2»

(P. n o dip]). (Tx) «Wenn ich die Summe a oder die Summe b erwarte, von

denen ich die eine ebenso leicht wie die andere erhalten kann, so ist der Werth meiner Hoffnung gleich (a + b)/2» (p. 4 di [2]).

(F) «Avoir des chances egales d'obtenir a ou b me vaut (a + 6 ) / 2 » (p. 62 di [9]).

A p. 8 di [1] troviamo pero anche

(T2) « I Satz. Wenn ich gleiche Chancen habe, um a oder b zu haben, ist mix das so viel wert wie (a-\-b)/2», che e una tradu-zione odierna direttamente dall'olandese (ad opera di B. L. van der Waerden).

Nella versione (L), tanto piu se la paragoniamo ai teoremi suc-cessivi, si ha Pimpressione che si voglia semplicemente dare un nome al valore (a-\rb)/2. La spiegazione pero che viene dopo detto enunciato, fuga ogni dubbio. Si tratta di un teorema: «Ad hanc regulam... demonstrandum..,».

Viste le diverse versioni, diamo la seguente traduzione: « Se con eguale f acilita io posso ottenere una somma a od una

somma b, allora la mia speranza e (a + b)/2». Uenunciato latino (L), cioe la traduzione di Schooten dello

scritto originate di Huygens, esprime il pensiero genuino dell'Au-tore (22). In esso non vi e ombra di probabilita ma e affermato soltanto il concetto, fondamentale in Huygens, di valore atteso: expectatio. Questo e stato gia illustrato nell'Introduzione, ma molto velocemente. Ora, Huygens dira che prima di verificarlo vorra co-struire questo risultato (a-\-b)/2. Ed in questa costruzione, noi troveremo, ed in modo molto esplicito e dettagliato, la descrizione del concetto expectatio appena accennata nella Introduzione.

Uenunciato tedesco (Ti), molto lineare e preoccupato dei mi-

H Cfr. Notap.51 di [14].

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nimi particolari, traduce anch'esso, senza snaturarlo, il pensiero di Huygens: « Io aspetto la somma a o la somma b e posso ottenere o Tuna o I'altra con uguale faciiita...». Nuovamente non vi e ombra di probability ma vi e la descrizione perfetta di una situazione nella quale due soli casi sono possibili e possono verificarsi «ebenso leicht» (con pari faciiita). Naturalmente si potra obiettare che, in fondo, viene gia affermato qui un concetto probabilistico: l'equi-probabilita dei due casi; e l'obiezione che si fa alia definizione classica di probability di Laplace. Prendiamo atto che comunque qui, esplicitamente, di probability non si parla. Si dira poi invece che « i l valore della mia speranza e (a-\-b)/2».

Potrebbero dar luogo a degli equivoci invece l'enunciato fran-cese (F) e la versione ( r 2 ) . E vero: non vi e la parola probabilita, pero troviamo la parola «chance» molto compromettente. Come gia osservato, si deve pero riconoscere che la cosa e assai giustifi-cata se si pensa all'enunciato olandese stesso originale di Huygens (cfr. versione (T2)), dove incontriamo la parola kans che, di fatto, e piu esatto tradurre in chance che in expectatio (vedasi in pro-posito p. 9 di [1]). Vi e pero il pericolo gravissimo che «chanche» venga interpretata «probabil i ta», cosa che snaturerebbe, ed in modo sostanziale, il pensiero di Huygens; e questo pericolo vi e anche se, lo riconosciamo, «chance» non sia sinonimo di «pro­babilita» (cfr. nota p. 242 di [10]). Molto indovinata e invece l'espressione «me vaut» ([9]). Huygens vuole proprio dire che poter ottenere a oppure b viene valutato come il possesso, di fatto, della somma (a-\-b)/2. Cio precisato, il testo francese (F), dove « chances » sia sinonimo di possibility, e la felicissima espressione « i l me vaut» rifletta proprio quel valore concreto della speranza, come somma che io sono disposto ad accettare in sostituzione di quanto posseggo solo alio stato potenziale, e accettabile (vorremmo dire che il pericolo una volta denunciato svanisce) e di esso, tenuto conto gia delle chiarificazioni che ci perverranno dalla dimostra-zione del medesimo, potremmo trarre la seguente versione:

« Se io ho una possibility che mi venga ofTerta una somma a ed una possibility che mi venga offerte una somma b, e queste due possibility sono eguali, allora questa ofTerta di a o b viene da me interpretata equivalente ad una ofTerta effettiva di (a + 6 ) /2» .

Si osservi che siamo con cio assolutamente nelle stesse posizioni della versione (T2).

Dobbiamo sin d'ora pensare che la speranza di Huygens, Vex-

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pectatio, se si vuole, non e uno stato d'animo, non e un atteggiamento psicologico, e non e una chance, una possibility, e una somma reale.

E interessante esaminare la posizione di Poisson in merito. Poisson scrive: « Si le gain espere par une speculation est 60 000fr

et que 1/3 soit la probabilite de l'obtenir, la personne qui devra recevoir cette somme eventuelle pourra considerer le tiers de 60 000fr

comme un bien qu'il possede et que l'on devrait comprendre dans l'inventaire de sa fortune» (p. 50 di [3]). E Bertrand-commenta subito: « Poisson va trop loin », e porta valide argomentazioni per giudicare le parole sopra riportate una «assertion exageree de Poisson », e per sostenere che « Cette confusion entre une esperance mathematique et la certitude d'une somme equivalente a fait naitre de graves difficultes». Ora questo e senz'altro vero, ma cid non toglie che il valore operativo deWexpectatio di Huygens risieda proprio in questa sostituzione di una condizione d'incertezza con una condizione di certezza, come vedremo al n. 9, nella risoluzione di un problema. Non dimentichiamo infatti che, nel suo trattato, Huygens risolvera molti problemi e la tecnica risolutiva, per i meno semplici, non potra prescindere da detta sostituzione: e noi cerche-remo di mettere la cosa in risalto piu ancora di quanto faccia Huygens stesso.

Analizziamo ora, con riferimento ai tre testi [1], [2], [9] tutto quanto sta sotto il titolo Propositio I.

Esplicitamente Huygens dice che non viiole verificare il risultato (a-\-b)/2, ma costruirlo. Io, dice Huygens, posso ottenere con eguale facilita la somma a oppure la somma b. Diciamo che sono in una prima situazione caratterizzata dal non possedere nulla e dall'avere diritto di possedere a oppure 6, e questo con eguale facilita. Io ho la possibility di ottenere a e la possibility di ottenere b: certamente entrero in possesso o di a o di b, ma non di tutti e due. Tu hai 3 monete in una mano e 7 monete nell'altra. Io posso scegliere una delle due mani; ne ho diritto. Ho, di fatto, nulla, ma alio stato potenziale ho a oppure b; ho 3 oppure 7. Ebbene! Io voglio valu-tare il valore di questo mio stato potenziale, il valore di questa attesa; diremo che voglio calcolare la speranza. La mia scelta verra effettuata una volta sola e quindi non posso pensare che la mia situazione sia paragonabile o prossima, come intuitivamente si potrebbe affermare, a quella di chi possedesse (a + 6)/2. A priori la cosa non avrebbe nessun senso. Io non entrero in possesso di (a + 6)/2, di (3 + 7)/2 = 5, ma o di a o di b (o di 3 o di 7). Noi

— 270 —

siamo tentati di pensare alia ripetizione di questo «gioco», di questa scelta, ripetizione di un numero molto elevato di volte. Dopo 1000 scelte, avremo circa 5000 monete, d'accordo! e questo l'accetta anche l'uomo della strada. Ma qui, sia ben chiaro, siamo in tutt'altra atmosfera. Non vi e ombra di prove ripetute. Vi e un solo gioco, una sola scelta. Cio nonostante, Huygens attribuisce un valore a questa mia possibility di scelta, a questa expectatio: essa « i l me vaut» (a + b)/2 (essa mi vale 5). Ma occorre attribuire un senso a questo « i l me vaut», a questa «expectatio ».

II valore che io indico con x, della mia speranza, e un valore che io devo dedurre, che devo ricavare con un tecnicismo ben defi-nito. Passo intanto, con una finzione matematica, dalla precedente situazione ( l a situazione) ad un'altra (2a situazione) cosi caratte-rizzata (v. Tabella del n. 5 ) : io posseggo la somma x ma non ho piu la possibility di ottenere a oppure b. Sono passato da una situazione d'incertezza ad una situazione di certezza. Prima non possedevo nulla ed ora posseggo invece x (da stabilire); prima sapevo che sarei diventato in possesso o di una somma o di un'altra, ma non sapevo di quale, mentre ora non ho piu nessuna possibilita. Da questa seconda situazione, passo ora ad una terza situazione, che esaminiamo nelle tre versioni [1], [2], [9]. Debbo costruire un nuovo gioco nel quale io sia di nuovo, come nella l a situazione, di fronte alle due possibilita, possibilita uguali di entrare in pos­sesso o di a o di b? E cio che sembrerebbe secondo la versione [1 ] : «. . . rursus ad similem sortem pervenire posse ». Ma, tanto in virtu della versione [ 2 ] : «. . . die gleiche Hoffnung wieder erlangen kon-nen...», quanto per la versione [9 ] : « . . . procurer de nouveau la meme chance...», e specialmente in virtu del principio fondamen-tale, cio che conta e che nel nuovo gioco io abbia la stessa speranza che nel primo. Ma, per realizzare questo, senza cadere in circolo, pretendero qualche cosa in piu di quanto chiede il Principio stesso di Huygens, cioe invece di esigere dal nuovo gioco la stessa spe­ranza, esigero che si crei, per me, addirittura Videntica situazione di partenza. Costruisco questa 3a situazione giocando con un'altra persona. Tutti e due, per partecipare al gioco, contribuiamo con la somma x e percio diciamo che la posta del gioco e 2x. La somma x non l'ho piu ( 3) e percio parlero ora di quello che vinco a partire

Is8) Cfr. nota (14).

271 —

da questa situazione, cioe senza tenere conto che, per partecipare al gioco, ho dovuto versare x (se avro versato 1000 lire per parte­cipare al gioco, di queste 1000 lire non terro piu conto; se il gioco mi dara 1400 lire, diro che ho vinto 1400 e non 400). Nulla di difficile in tutto cio. Convenzionalmente attribuisco questo significato alia parola vincita. La regola del gioco e : chi vince da a all'avver-sario e, cosa che Huygens non dice in un primo tempo (2A), ritira la posta, l'intera posta, somma 2x dei versamenti dei due gioca-Lori. Ma allora, se vinco ritiro in tutto 2x — a, se perdo ritiro a. Ho due possibilita: 2x — a, a; nella l a situazione avevo le due possibilita a, b. Ma allora le situazioni si indentificano se impongo che sia 2x — a = 6, cioe x = {a-\-b)/2.

Riassumendo: Prima situazione: ho nulla di fatto, ho potenzialmente a oppure

b; sono in una situazione d'incertezza. Seconda situazione: ho x ma non ho nient'altro neanche alio

stato potenziale; sono in una situazione di certezza, Terza situazione: ho nulla di fatto, ma ho potenzialmente

2x — a, o a; sono nuovamente in una situazione d'incertezza. Impongo che sia 2x—a=b e con cio identifico le due situazioni.

Deduco x= (a-{-b)/2.

Schematizzand o: ^a

Prima situazione /

/ \

\

x6.

Terza situazione <(

/2x— a

a + b •x — ^-—

\ 1\ \

\<z

(ai) Precisamente la cosa viene leggermente ritardata in [1] e [9] mentre in [2] e subito chiarita esplicitamente.

— 272 —

Naturalmente la regola del gioco avrebbe potuto essere: « chi vince da b all'avversario ecc.», ed allora avremmo avuto:

Prima situazione

Terza situazione

,a-

/ \

1/

\

\ H

/ \

1 / / 2% — b-

a+b * % = •

\ 1> \

\6

Ma ora dobbiamo porci la domanda fondamentale: il gioco della terza situazione (25) e equo? Nelle edizioni [1], [2], non vi e menzione di che cosa s'intende per equita del gioco, mentre nel-l'edizione francese [9] vien detto soltanto: « . . . jeu ... qui ne vise au detriment de personne ». Dunque Huygens non dice qui, per il problema in esame, che cosa vuol dire che il gioco e equo, ma, cio non ostante, afferma che il gioco e equo. Vi sono, a nostro giudizio due questioni che non debbono essere confuse. Intanto la terza situazione deve riprodurre (26) la prima e non e in questo che consiste l'equita del gioco. La terza situazione viene generata con la costruzione di un gioco. Io, A, gioco con B. £ chiaro che, siccome tutti e due contribuiamo con la somma % per partecipare al gioco, questo sara equo se ci troveremo di fronte alia stessa prospettiva, se avremo le stesse possibility. Ora, seguendo la prima versione sopra data, il giocatore A, se vince «ritira l'intera posta e da a a

(2r') Per il gioco della prima situazione parliamo semplicemente di uguali possibilita. di ottenere a oppure b. Qui, ora, stiamo parlando del gioco costruito da noi e che ha creato la terza situazione e ci chiediamo se il gioco e equo per i due giocatori.

(m) Si osservi che siamo noi che imponiamo questo che, a rigore, non e richiesto dal Principio fondamentale (che chiede meno).

— 273 —

B », mentre se perde « riceve a da B », ma tutto cid, per il parti-colare valore scelto per la x, significa che, ignorando la somma versata, A ha una possibilita di ottenere a ed una uguale possibilita di ottenere b. E immediato constatare che anche B si trova di fronte a queste due possibilita. Dunque il gioco e equo nel senso che A e B si trovano di fronte alle stesse possibilita. E giusto che qui Huygens sorvoli sulla dimostrazione che il gioco e equo, ma l'estre-ma elementarieta di questo caso lo indurra, come vedremo, a sorvolare su questo punto anche nella Propositio II dove, a nostro giudizio, sara necessario fare una disamina molto accurata; ma di questa necessita non v'e sentore in Huygens. Ne vi sarknelVArs di Bernoulli.

Concludendo, la Propositio I afferma: « Se con eguale facilita io posso ottenere una somma a od una somma b, allora la mia speranza e (a + b)/2 nel senso che, in possesso di (a-\-b)/2, posso costruire con un avversario un gioco nel quale, versata che sia la somma (a + b)/2 da parte di ognuno di noi, tutti e due ci troviamo in situazioni identiche cioe nelle due possibilita, che possono verifi-carsi con pari facilita, di ottenere a oppure b ».

Osservazione fondamentale. Huygens, come abbiamo rilevato piu volte, non ci parla di probabilita, ma solo di expectation solo di valore atteso, diremmo noi, ma, si noti bene, valore atteso se-condo la sua concezione e non gia secondo la nostra definizione di speranza matematica, valor medio, ecc, di una variabile alea-toria. La expectatio di Huygens non e concepita neppure come la speranza matematica di Laplace: «. . . prodotto della somma spe-rata per la probabilita di ottenerla» (pp. 257-58 di [10]) (27), non e concepita come speranza pS, come abbiamo visto in Poisson: la probabilita esplicita in Huygens non esiste. Naturalmente questo concetto implicitamente c'e e noi possiamo anche accettare che la probabilita «ist implizit im Begriff der " Chance " enthalten, den Huygens dauernd verwendet» (p. 9 di [1]).

Ma questo conta poco: la probabilita in Huygens non esiste esplicitamente e non esiste operativamente. Viceversa, la speranza non e definita esplicitamente, esiste di fatto, ed e il mezzo sostan-ziale, lo strumento, con il quale Huygens risolve i suoi problemi.

(S7) E interessante osservare che Yexpectatio di Huygens differisce, nella sua genesi, anche da quella di de Moivre (pp.2, 3 di [4]).

18

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II valore atteso, la speranza di Huygens, coincide pero nume-ricamente con la speranza definita come pS, ma ne differisce sostan-zialmente nella genesi.

7. IL SECONDO TEOREMA. Diamo del secondo teorema una nostra versione dell'enunciato ed uno studio della dimostrazione. Teorema. Se con uguale facilita io posso ottenere a, oppure b, op-pure c, allora la mia speranza e stimabile in (a + 6 + c)/3.

Io posso ottenere « pari facilitate » o a monete, o b monete, o c monete. Suppongo di non avere nulla; ho pero queste possibilita. Ora ho nulla, dopo la scelta avro una delle tre offerte: a, b, c; ora non so quale. Questa possibilita di scelta ha per me un certo valore x che voglio scoprire. Suppongo di possedere questo valore x e mi propongo di costruire un gioco equo nel quale, privatomi di x, contributo per partecipare al gioco, io sia di nuovo nella situazione iniziale di poter ottenere a oppure b oppure c. Osserviamo che qui noi ci allontaniamo da Huygens che invece chiede meno: «ad eandem expectationem pervenire posse justo lusu». Costruisco il gioco come segue. Ad esso possono partecipare con me, A, con pari facilita di vincere il gioco, altri due giocatori B e C. Ogni gioca-tore, per partecipare al gioco, versa una somma x; la posta com-plessiva del gioco sara percio 3x. Stabilisco ora la seguente regola del gioco (28):

R= «Se vince B mi dara b e reciprocamente; se vince C mi dara c e reciprocamente ».

E evidente che questo gioco e equo, afferma Huygens. A noi pero non sembra che la cosa sia cosi ovvia. Analizziamo intanto la regola stessa del gioco. Essa si compone di due parti. Studia-mole separatamente. La prima parte dice: « Se vince B mi dara b e reciprocamente». Supponiamo che vinca B. E intanto ormai chiaro che chi vince ritira l'intera posta. Dunque B ritira 3x e da b ad A. La regola non dice nulla pero sul comportamento di B nei confronti di C. Se vince B dunque, le vincite di A, B, C sono rispet-tivamente 6, Sx — 6, o. Con questo abbiamo analizzato le conse-

O Enunciamo qui la regola del gioco rimanendo fedeli ai testi [1], [2J. [9], anche se proprio questo enunciato e, a nostro giudizio, insufficiente. £ nostro compito in-terpretarlo.

— 275 —

guenze della prima meta (Se vince B mi dara b) della prima parte. Laseiamo in sospeso l'interpretazione del l '«e reciprocamente», se-conda meta della prima parte. Analogamente la prima meta della seconda parte ci dice che se vince C le vincite di A, B, C sono rispet-tivamente c, o, 3# — c. Ma allora, tenendo presente l'intero enun-ciato della regoia /?, risultera che se vince A, dovra dare b a B e c a C e ritirare 3x. Considerando le possibili vincite di A in questo gioco, ponendole a confronto con le offerte a, b, c iniziali, identifi-cando le due situazioni iniziale e finale, troviamo %••= (a-hb-\-c)/3. Le vincite di A, Z?, C sono rispettivamente:

a, b, c se vince A b, a + c, o se vince B c, o, a + 6 se vince C

Occorre pero ancora dimostrare che questo gioco e equo. Ab-biamo gia detto che il concetto di equita del gioco non lo troviamo in [1], ne in [2] ed e vago in [9]. Siamo tentati di dire che il gioco e equo se A, B, C, hanno le stesse speranze matematiche. Ora questo sara certamente vero, ma verificabile a posteriori, quando avremo costruito le speranze dei tre giocatori; dimostrare con esse che il gioco e equo significherebbe cadere in circolo. Dovremo percio concludere che il tecnicismo di Huygens, illustrato nel Principio, non funziona? Non ci sembra. II tecnicismo deve funzionare, la speranza deve essere ^ = ( a + 6 + c) /3 . I/enigma si risolve, a nostro giudizio, semplicemente ammettendo che la regoia R non sia espressa con chiarezza; ci e di conforto a questa nostra ipotesi, che cioe Huygens abbia potuto essere poco felice nella formulazione della regoia R, la constatazione che uno dei 5 problemi dati al termine del trattato venne interpretato in molteplici modi (v. p. 88 di [9]).

Noi partiamo percio dall'ipotesi che, al di la delle apparenze, Huygens abbia costruito, senza cadere in circolo, un gioco che gli appariva evidentemente equo e che deve potersi dimostrare tale senza passare attra verso la speranza per non cadere in circolo; e la formulazione del medesimo che e infelice e la mancanza di definizione del concetto « equo gioco » che crea a noi difficolta. Ma tutto cio non puo invalidare la razionalita della costruzione di Huygens. Non e pensabile che il nostro grande Matematico abbia commesso un errore cosi grave come quello di cadere in circolo.

Vediamo percio intanto che cosa vogliamo intendere per gioco

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equo. Ci sembra del tutto ovvio che una definizione di equita possa essere «I1 gioco e equo se A, B, C, si trovano tutti e tre nella stessa situazione cioe di fronte a tre casi, che possono verificarsi con pari facilita, di ottenere a, o 6, o c » (29).

Osserviamo che per partecipare al gioco, A, B, C, debbono ver-sare la stessa somma x; e questo intanto un primo dato che depone a favore dell'equita del gioco (30). Ora il gioco stabilisce quale deve essere la mia situazione (di A cioe) nei confronti di B e nei confronti di C, tanto se vinco io, quanto se vince B o vince C. Pre-cisamente, A, se vince, da 6 a B e c a C. Ma allora pensiamo di porre B e C in condizioni analoghe. Se B vince, debba dare b ad A ed a a C; se C vince, debba dare c ad A ed a a B. In queste con­dizioni, si vede subito che, naturalmente con x>= (a ;+6 + c) /3 , il gioco e equo nei senso che A, B, C, si trovano tutti e tre di fronte alle stesse possibility di vincere o a o b o c. La tabella che segue riassume tutti i casi possibili:

SOM

da A

ME INCASS

d a £

ATE

da C

Vince A Sx—b—c b c

Vince B b 3x—b—a a

Vince C c a 3x—a—c

Tabella illustrativa della regola R;

Diamo dunque, in sostituzione della R, la regola

Rx: «Se A vince, d a 6 a / ? e c a C ; se B vince, da 6 ad A e a a C; se C vince, da c ad A ed a a C ».

C30) Qualora ripugnasse dare una simile definizione restrittiva per l'equita del gioco, potremmo lasciare cadere il concetto stesso e dire: «nei gioco che costruiamo, i tre giocatori si trovano di fronte alle stesse possibility ». E allora evidente che la definizione che diamo sopra, presenterebbe un caso particolare di gioco equo.

O E ovvio pero come a priori si possa concepire un gioco equo in base ad una certa definizione che porti alle stesse speranze per i vari giocatori. senza che il contributo per partecipare al gioco sia uguale per tutti.

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Questa regola (dissimmetrica!) non si presta ad essere genera-lizzata. Sostituiamola, a sua volta, con la seguente

R2: «SeA (B,C) vince, da b a B (C, A) e c a C (A,B) ».

La tabella che segue riassume tutti i casi possibili per questa nuova regola:

SOM]

da A

VIE INCASS

da B

ATE

da C

Vince A 3x—b—c b c

Vince B c 3x—b—c b

Vince C b c Sx—b c

Tabella illustrativa delta regola R2

Con la R2 e immediato nuovamente constatare che, con x=(a-\~b-\-c)/S, sono soddisfatte le due condizioni: 1) A si ritrova di fronte alle stesse possibility di partenza; 2) il gioco e equo per A, B, C nel senso che tutti e tre si trovano di fronte alle tre possi-bilita (equipossibilita) di vincere a, 6, c.

Nella Propositio II, oltre al Teorema 2, abbiamo poi il caso di quattro possibility a, 6, c, d, enunciato senza dimostrazione: Teorema 2'. Se io posso ottenere con pari facilita o a, o b, o c, o d, allora la mia speranza e (a + b-\-c-\-d)/4<. La dimostrazione di questo teorema e ora facile. Detta x tale speranza, consideriamo un gioco nel quale partecipi io, Au ed altri tre giocatori A2, A%, A±. Ognuno, per partecipare al gioco, versa la somma x. La posta totale e 4# e va al vincitore. Tutti e quattro i giocatori possono vincere con pari facilita. La regola del gioco, posto Ai+4 == A,h e « Se vince 4 4 ( £ = 1 , 2, 3, 4), da ad A i+i, Ai+2, Ai+s rispettivamente 6, c, d ». Posto xt= (# + 6 + c + d)/4, si vede che il gioco e equo perche tutti i giocatori si trovano di fronte alia possibility di vincere, con pari facilita, a, o 6, o c, o d. Inoltre io mi ritrovo nella posizione di partenza.

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8. I L TERZO TEOREMA. Operiamo come nel numero precedente. Teorema. Se in p casi io posso ottenere a ed in q casi posso otte-nere b ed ammetto che tutti i p-\-q casi possano aver luogo con uguale facilita, allora la mia speranza e (pa-]-qb)/(p-\-q).

Gli enunciati latino e tedesco parlano esplicitamente di p casi per ottenere a e q casi per ottenere 6, casi equipossibili. Di conse-guenza, expectatio mea valebit (so der Werth meiner Hoffnung gleich) (pa-\-qb)/(p + q). NelFenunciato francese si parla di p chances di ottenere a e di q chances di ottenere b. Ovviamente chances deve essere interpretato qui come «casi possibili». Nuo-vamente poi abbiamo la locuzione «me vaut» molto espressiva per indicare la speranza.

Dunque ho p possibility di ottenere a e q possibility di ottenere b ed i p + q casi sono ugualmente possibili. La mia speranza x e tale che, se io sono in possesso di x, posso realizzare un gioco equo che mi pone nuovamente nella situazione di partenza. Questo lo posso fare con p + q — 1 giocatori. Huygens pensa di scommettere b con q casi di essi ed a con gli altri p — 1 e perviene cosi, con il solito metodo, al risultato. Per i motivi esposti nella nostra inter -pretazione della Propositio II, anche qui, e a fortiori, ci doman-diamo qual'e la regola del gioco. Che cosa fa un giocatore qualsiasi quando vince?

Per dimostrare la Propositio III dobbiamo generalizzare quanto fatto nel caso delle 4 offerte a, 6, c, d. Consideriamo un gioco nel quale partecipo io, Al9 ed altri p-\-q—1 giocatori A2, As, ..., Ap+q. Ognuno per partecipare al gioco versa la somma x. La posta totale e (p + q)x e va al vincitore. Tutti i p + q giocatori possono vincere con pari facilita. La regola del gioco, posto Ai+p+q*= Ai9 e «Se vince Ai(i<= 1, 2, ..., pA-q) da a ad ognuno dei giocatori Ai+1, ..., i4 i+p_i e da b ad ognuno dei giocatori Ai+P9 Ai+P+U ..., Ai+p+q_-i_». II gioco e equo in quanto il giocatore A{ si trova di fronte a p pos­sibility di ottenere a e q possibility di ottenere 6, non appena sia x= (pa-\-qb)/(q-\-l), cosa che, d'altra parte, identifica la mia posizione in questo gioco con quella iniziale.

9. I L VALORE OPERATIVO DELL '« EXPECTATIO » DI HUYGENS.

Possiamo anche non essere d'accordo suiraffermazione che Huy­gens non conoscesse il concetto di probability (numero p tale che o ^ p ^ 1) : il fatto non e importante. Cio che conta e che tutto il suo calcolo delle probability non e fondato su di un qualsiasi

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concetto piu o meno prossimo alia probability, ma su una sua concezione delVexpectatio e concezione piu spinta di quanto Egli stesso supponesse. E nata in noi questa convinzione dall'esame del-l'intero trattato. Ma per convincere il lettore, e sufficiente esami-nare la Propositio IV, cioe il seguente Problema: Ad un giocatore A manca una partita ed alVavversario B mancano due partite (31) per vincere un gioco e con cid la posta a; il gioco viene interrotto. Si vuole sapere come deve essere divisa la posta.

Secondo le regole del gioco, l'intera posta a avrebbe dovuto andare a chi per primo avesse vinto un numero prescritto di par­tite. A priori la posta a non e frazionabile: va interamente al vincitore del gioco, p.e. a colui che per primo vince 20 partite. Ora, p.e., A ne ha vinte 19 e B ne ha vinte 18 e di comune accordo decidono di non proseguire il gioco. Si chiede come debba essere divisa la posta. Occorre subito dire che con cid le regole del gioco sono state cambiate.

Risolviamo il nostro problema: « Come dividere la posta a ira A e B » analizzando come si evolverebbe la situazione se facessimo ancora una partita. Questa partita pero non la facciamo. Noi siamo in una situazione nella quale non siamo in grado di ripartire la posta. Con una finzione matematica, immaginiamo di fare ancora una partita perche con essa si creerebbe una nuova situazione, di un tipo o di un altro, nella quale la divisione della posta sarebbe possibile. Infatti se, nell'ipotetica partita vince A, l'intera posta a va ad A; se vince B, si crea la nuova situazione «tanto ad A quanto a B manca una partita » e percio, dice Huygens, la posta va divisa in parti uguali. C'e forse qui l'applicazione, piu o meno inconscia, del principio di ragion sufficiente?

Se ci poniamo dal punto di vista di A, diciamo: Ho una possi­bility di vincere la partita, e con cid il gioco, e quindi di ottenere a, ed ho anche una possibility di perdere la partita, e con cio di trovarmi alia pari con B, nel qual caso la posta dovrebbe essere divisa a meta. Dico percio che ho una possibilita di ottenere a ed una possibilita di ottenere (l/2)a. La speranza di A e allora, in virtu della Propositio I, (3/4)a.

Nella risoluzione di questo problema, Huygens dice di appli-care la Propositio I e Giacomo Bernoulli, nelle sue ricche « Anno-

(al) Ogni partita puo essere vinta con pari facilita da A o da B.

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tationes», non sollevera obiezioni a questa affermazione di Huygens. A noi sembra pero di dover fare un'osservazione. Nella Propositio I, io mi trovo di fronte a due possibilita: di ottenere a oppure di ottenere b. Dopo la scelta avro o a o b. Qui invece, in questo pro-blema (Propositio IV), mi trovo ancora di fronte ad una possibilita di ottenere a, ma l'altra possibilita non e di ottenere una somma b (somma effettiva che mi vien data), ma e la possibilita di trovarmi in una situazione nella quale ho una speranza b>= (l/2)a. Vi e dunque, da parte di Huygens e Bernoulli l'uso di un principio non esplicitato: la possibilita di entrare eventualmente in possesso di b monete sia identificata con la possibilita di entrare eventualmente in possesso di una speranza b.

Ricolleghiamoci allora con 1'asserzione di Poisson che Bertrand giudica esagerata. Ma questo, nell'accezione piu ampia di speranza matematica. Operativamente Huygens manifesta le stesse posizioni psicologiche che avra Poisson. Dobbiamo pero osservare che la cosa non vien detta. Huygens non applichera in generale i suoi tre teoremi, ma teoremi di piu vasta portata, cioe i teoremi che si ottengono dalle prime tre proposizioni sostituendo ad una o piu delle somme effettive che si possono ottenere, delle speranze con lo stesso valore. II terzo tecrema, che assimila i precedenti, potrebbe percio essere enunciato come segue: « Se posso ottenere a in p casi e b in q casi ed i p-\-q casi sono equipossibili, la mia speranza e (pa-\- qb)/(p + q) e questo risultato continua a sussistere se a e/o b sono delle speranze invece che delle somme effettive ».

Nella costruzione razionale di Huygens, oltre a questa lacuna, ci sembra doverne riscontrare un'altra. Quando ad A ed a B manca lo stesso numero di partite per vincere il gioco, la posta va divisa in parti uguali. La cosa e ovvia, Huygens la da per scontata, su di essa sorvola, non sente il bisogno di enunciare un principio, cosa che invece molto esplicitamente fa Pascal nel Traite, anzi che trova come conseguenza di Teoremi dedotti da Principi precedentemente enunciati (p. 117 di [12]).

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BIBLIOGRAFIA

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[5] Dictionnaire Universel Francois et Latin, vulgairement appelle DICTIONNAIRE DE TREVOUX, A Paris, chez Le Mercier, MDCCXXXII.

[6] P. DUPONT, Concetti probabilistici in Roberval, Pascal e Fermat, Rend. Sem. Mat. Univers. Politecn. Torino, vol. 34° (1975-76).

17] Encyclopedic, ou Dictionnaire raisonne des sciences, des arts et des metiers, t. troi-sieme, M.DCC.LIII.

[8] C. HUYGENS, Oeuvres completes, tome premier, La Haye Martinus, NijhofT, 1888.

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[11] Le Dictionnaire de I'Academie franchise, chez Jean Baptiste Coignard, MDCLXXXXIV.

[12] B. PASCAL, Oeuvres completes, Bibliotheque de la Pleiade, Gallimard, 1954.

[13] I. TODHUNTER, A history of the mathematical theory of probability, Macmillan and Co., Cambridge and London, 1865.

[14] L. E. MAISTROV, Probability theory a historical sketch, Editors Z. W. Birnbaum, University of Washington, Seattle, Washington. Academic Press, New York and London, 1974.

PASCAL DUPONT, Istituto di Matematiche Complementary Universita di Torino.