Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00...

69

Transcript of Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00...

Page 1: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�������� ����� � ������������� � �����������

���� �������� ������������������������ �� ��

�������������� ����������� ���������

�������� ��

������ �����

����� � ������� � ��

����� ���!����� ����� �� ������������ ��������

"���!����� ��� !� "#��$��

�%�!����

Page 2: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��������

� �������� �� ������� ��������� �

# "�� ���� ��$ � %������� ��& '��� �&&�' (�)*��+! ���*�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,��� "������+! �-������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .��/ ��0���� ���! � �-����� "������+! ��) � � � � � � � � � � � � &��, 1�*�� ���������! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��2 %����*�� ������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����3 �����*����! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

( ���� ������������ ������� #)��� 45� !����6*������� ��) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/

����� 45� 6�! ���� ��!���$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/����� 45� 7��� ��!���$��� �� ����! ��� 5� ��� ���� ��!���$��� �,����/ 45� ���!!� ��!���$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,����, 8����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �.����2 ��� ��!���$���! 5� �-�*� !��!� "������+! ��) � � � �&

��� ���������*� � 5� $����� ��!���$��� � � � � � � � � � � � � � � �9��/ � �5���*�� �-�������� �� "������+! ��)' ����+! 5����! � � ��

��/�� 45� ������ ��������� !��*� � � � � � � � � � � � � � � � � ����/�� �*��� ��������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,��/�/ "�!� ��������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �3��/�, 1���� ��!���$���! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /�

��, �� ���������!$ *5���*���:���� � � � � � � � � � � � � � � � � � /,��,�� �$���������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /,��,�� %;$������*� ��)��� !$���������*� ��� ������5�* ��) /,

��2 <5�� ��������*�! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /3��2�� �����!� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /3��2�� �$�����*���� ��� ����!��� � � � � � � � � � � � � � � � � � /.��2�/ ���������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /9��2�, ������� ��� !$���*��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,�

��3 ��;$��*�! ��� "������+! ��) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,���3�� ��6����� ��� $!��$� 5����! � � � � � � � � � � � � � � � ,���3�� =�����* !�;$��*�! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,/��3�/ ��>� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,/

Page 3: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��3�, <5�� !�;$��*�! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,,

�� ����������� �� ��������� �� ��

) *��� �������� ��� %������� �& '+/�� ?��� *�$���! ��� �)�! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,3

/���� ���$�����! �� 5� ?��� *�$���! � � � � � � � � � � � � � � ,3/���� ��!��$� ��� ������� *5����! � � � � � � � � � � � � � � � � ,9/���/ ���$�����! �� 5� ?��� �)�! � � � � � � � � � � � � � � � � 2�

/�� @���*5 ��������! ��� ������! � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�/���� ��������! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�/���� 1�����! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�

/�/ %�!��� �����!! ���A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2/

' ���, � �� �������� ��� ����� �������� --,�� 45� ���!� $!�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22

,���� "������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22,���� @��$� ���*��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2.

,�� �*���� ��� ��!����������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2&,���� �*��� ��������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2&,���� "�!� ��������*� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 29

,�/ �����!� ��� $�����*���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3 ,�/�� �����!� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3 ,�/�� �$�����*���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3�

��

Page 4: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��������������

45� �$5�� )�!5�! � 5��A ����� ����� ���� ��� ��� 1�*5��� "���� ���������������� ��� ��������� � *��!�� ��� �-��!��� !$���� 5��$�5�$ 5� ���7�*B����� 45������ ���� �=������ ��!�$� �� 4�*5����� � ��� *�$��*���� 5��������� ��) ��!$� �� !�*��� ���B ��� ��� ����� ������ �?�����!� �� (��54�-�!� ��� �-�������� 5� ����� �� !$���������*� �� !�*��� ��,�

������������

"������+! C�) �! 5� A��� �� ��� *�$������$���� ��) )5�*5 ����� *��!�! ��!�$��� �*$��� !�� �$5��! *������ � )�5 (�)��+! C�) �� ���������B!� ��� 5� � �! ��� � !���� ��!������� �� ����� ��5�� 5�� � ���������5���*�� ��!$�� ������� )�5 5� A��� �� ��) �! ;$�� ��Æ*$�B ��*�$!�5� !*����! �! 5�� ��)� ! !��)5��� ��)��� �-*�!!��� *���!��� ��$� ��� !�*�� ���5� ��)���� 5� �$5�� ���� � !� 5� �! �����!�* ��!!���� ��5�! ������*5B )�5�$ ��� ��� 5� ����� �� ��*! �$ )�5�$ ���)��� �� ��!*��*�$!����

"������+! C�)B ���� �! ��!*���� B )�! �������B �� ��5�� ���� !$����B��*�$!� � 5�� ���� �����*���� � ���� ������!� (�)��� !B 5�)����B � �!�-������*��� � ������ �� �����!B *������ ��*�$!� �� ���$� ���*��� ��� �������� *$�������� �����*����!� �� 5� *���- 5� ���7�* )�! �� ���� �5�!� �����*����! �� 5� ���� )���� �!�� )�$�� !� D�� 5� ��A�+�B �$ ��5��� 5� �5���*�� 7$!�6*����! �� !$*5 �����*����!�

45� ���!�� ����� �! � �*5��*�� !$�� �� !�� �� 5� �! �����!��������! 5� )��� �$���!5�� �� "������+! C�)B ��$! � ��) �-������! 5� 5��!A���*��� �$5�� �������� �� ���� ���!�!� 45� �5���*�� ��� ��*�$��!��5��� ����� ��) ��-*�� � �� !�*��� ����B �! �� �� 5� 5����! ���5� �����! )��� ��� ������� � 5� �$5��B )5� 5$! ��� 5� ��!�� $�����!�������� ��� �� 5� !�*���! ��� �� �! *����� �! 5� �$5�� )�$�� )�!55� � ��B �$ ��� 5� �7�� *�����$���! ��� ��!*������

Page 5: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��������

45� �����)��� ������! ��� ��6�����! )��� �� $!�� 5��$�5�$ 5�! �����'

� ������ )��� ����� 5� ������5 �� � �� ��!� � B )5��� ����� )��� �����5� ��$��� ������5 �� � ����� �� ��!� ��B ��� ������� 5� ������5 �� ��� ��!� ��

� ����� )��� ����� 5� ��������� �� 5� ���� �B ��� �� )��� ����� 5�����*��� �$�*��� �� �

� E�� �F �! 5� *��!�� ���� �������B E�� �� �! 5� ���� ������� *��!�� �� � ������� �� �B ��� !������ ��� ��� �F ��� ��� ���

� �� � �! � !� �� �$���!B � � ���� �$���B ��� � � ��!���� ������B �� ���� � ��B ��B ��� � �� � )��� ����� ��!��*���� 5� !�! ��� � ��B��� � ��B ��� � �� �� � �� �

� 45� *�������� �� � *�$����� !� � )��� �� ������ G��

� 45� ���!!� �$�*��� �� ��!� � �� � ��!���� ���� �$��� �! ��6��� �!�����)'

� ' �� � E�� ��

� �� ��

)5��� �� �! 5� $��;$� �$��� �� E�� �� !$*5 5� � H �� � �� ��� !��� � ��

� 45� ���!!� �$�*��� �� ��!� � )��� �� ������ !��� �

� 45� ��� !����6*�� ���� �$�*��� �� ��!� � �� � ��!���� ���� �$��� �!��6��� �! �����)'

��� ' �� � � � � ��� �� ���

)5��� ������ �! 5� $��;$� !�;$��*� !�� ��� � ��� � ����� ��� � � � � ����B ���'

���� H

�����

����������

� �! ��� 5� ���!!�B 5� ��!� � )��� �� ���� )5�� ��!!���� �� 5������� �� 5� !����6*�� ����!�

� ?���!! !��� �5��)�!�B � )��� ����� �� ������� ����� ��������B 5� ����� �������� �����!����� �! ���!!� �� ��!� � � H ����B��� �� 5� ����� �������� �����!����� �! ��� !����6*�� ���� �� ��!�� ��� H �������

Page 6: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

���� �

�������� ��

����������� �������

/

Page 7: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

������

��� ������ �� ����� ��

���

45�! *5���� �! ����*��� � 5� 5�!�� �� "������+! ��)B )5�*5 �! � ���� �-����� �� 5�) ��!*������! ��� !����! ���B �������B ��� 5�� ��$�� ��������

��� ����� �������� �������

���� (�)*�� ��&/2��9 9� �! 5�$�5 � 5��� ���� 5� 6�! � ��!*���� 5��5������� 5� )�$�� ���� �� *����� "������+! ��)B �� � ���! 5� 6�! )5��$���!5�� !��5��� ���$ �� �� )�! � 5��5� 5������ ����*�� �!������B5�! �! ���$! )��A ��������� ������� 5�����! ��� �!�����*�� *��!������������ ��! ��!*���� �� 5� �����$�� �� 5� ��� ��� �! �����*�� ��!����� ��� � 5� ����!������ �� ��������! �� ��� �� ������ �� 5� ���5�

@��$�� ���' ���� (�)*�� ��&/2��9 9�

,

Page 8: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

���� (�)*�� )�! �� � �5���*��� �� 5� !��* !��!� �� 5� ��B�$ �� !$����!���� � �! *�$������$���� ��$�� "������+! ��) ���! � ����* ��� ������ ��� �5 !�*�!! �� �5 !�*! ������ !*����!! 5�� ��� �$���5���*���!� �� �&&�B 5� �$���!5�� � )������! ���� ����� �� 5� ����*����$���� �� ��5���*! �!�� E(�)*��F�B ��� 5� )�$�� !$��� �� !$����!�� 5�)$*5 5� !$�7�* 5�! ���� �-������ !��*� 5���

�� )5� ��� (�)*�� 6��I

45� 5� �� ����! �� �� �**$� )�5 �;$�� ���;$��* $! �� ������� � �� ��� �A��� $*5 $!� �� ������5�* ����!B ��� ���*���5�) $*5 ��!�� 5� 6�! ���! )��� �$ 5�� 5� ��! ���!�

�**������ � 5�! ��!�������!B 5� 6�! ����! �� 5� ������5�* ����!B ����5�!� !5�)��� 5� ������5! �� �$���! ��������� )�5 5� ��)�! ����!B )������ �������� � 5�� 5� ��! ���!� ��! �����) !*����!! )�$�� 5$! �� $!������ �$���! ��������� )�5 5� ���� � 5�� �-��*����� 45�! � !�$��!����� � 6�! !��5B )5 !5�$�� �� 5� ����! �� !$*5 �$���! �� $������ ��!���$��I ��)����B � �A�! ��� !��!� )5�� ��� 5��A! 5� 5� �$���!$!�� � !*����!! ��� ���5�� ������ ����B ��� ������ ����� � �� ���� ��������� 5�!� �$���! *�� ��� !�� �5 !�*�� *��!��!B � !�� ��������� ��!�� *��$����� 45������� (�)*�� *����� 5� J��$��� �$���KB � ��� ����$� �� � ���� ���B )5����! ���� "������ $!�� 5� �-���!!��� J�$��)�$���!K �� ;$�� 5� !�� �������

?!��� !�� 5�$��!�* ���$��! ���$ �$���!B ��*�$���� !�� 5� ��5!�$�� !����� ��� �J�! ��$��� �$���! �**$� �� ��$��B 5� ��� � ��*��!������ �! 5� ����! �� ;$�����!�K�B (�)*�� *��*�$���'

45� ��) �� ��������� �� 5� �**$����*� �� �$���! �! !$*5 5� ������!!�� �� 5��� ������5! ��� �;$��� ��A�� �

45�! !����*� �����! ���5�$�5 �� *����� B !�� ����,� 5� 5� �������� 5� 5� 6�! ���� �� �;$��! � �! ����� � '

����� H �� H ���

�� L

��)����B 5�! !����*� �! � �� ��� �������B �! 5� ��!���$���! �� ��� 5�����!B ��� ���� 5� �� 5� )5��� ���!!�B *�� �� �������� (�)*�� ��� ��)��� �-���*�� 5�!� ���$���B ��5�$�5 � �! *����� 5� 5� )�! �$�� �)��� ��5�B �! 5� ���� 5� �����)��� ���� �� ��������� ��� 5� 6�! )� ����!'

2

Page 9: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ����� H �� ����� H �� � ��9.� / � ��/9� �.3� � &&/ ��,9 � ,/, 939 � /2 .9� 93.3 339 9/,. 2& 9 ,& 2�� &.39 ,2& &2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

@��$�� ���' 45� ��!���$���! �� 5� 6�! ��� !�*��� ����! �! ������� � (�)�*��

� *�� 5$! �� ��!����� 5� 5� ��!���$��� �� 5� !�*��� ���� �! ��!! ���!A�)�� 5�� 5� �� 5� 6�! ����B ��� � �! ��!� ��� ������� (�)*�� �������$ 5�! ��*B ��� ��!� 5� �**������ � D5�!+ ��) 5� ��!���$��� �� � ����*�������! � 5� $����� �! �! ��!���� ��*���!�! �� 5� ���!!�B ����'

�� 5� *�!� �� 5� 5��� 6�$�� 5� ��������� )��� �� ����� 5� !����� ��*5 ����B ��� ��� 5� ��$�5 ��� �����)��� ���! 5� ��0����*�)��� �� �������*������

3

Page 10: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

<� 5� )5���B (�)*��+! ���*�� 5�! � A��� �� ����$! !��!�B �$ �! ���� ��5� A��� �� ��!*���� � �! �� )��� �-������� � ���� �������� 5� ��!*���� �!���� *�$������$����B !� �*$��� 5� )�$�� ������� 5��� ���� *��!������ �!� �� )���� �� 5�! ���*�� 5�� ���)� �� ���������

��� �������� ����������

(�)*��+! ���*�� )�! �� )��� ��*����:�� � ���B ���5��! ��*�$!� �� �! �������� ��*A �� �5���*�� ��*A���$��� ��)����B ���$ 5��� � *��$� ����B ��5 !�*�! � =������ %��*��* !��5�) +����!*������+ 5� �5�������B ��� !���$���� 5� ��) ��A 5�! ���B $����$���� ��� 5�! �����*�!!���

C�A� (�)*�� ������ 5�B @���A "������ ��!����� 5� ��0����*� �� ������!!�� 5� ������5 ����!� �� 5�� ���� � ������$*� �� � ��) ���$! �-������� )5� 5�!� ����! )��� $!�� ��� �!�� E"������F�� �� *����*�� !�� � B��9��!�������! �� J��$���K �$���!B !�� *���� ��� !��* �5���*�� �$��!��A� !;��� ���! �� ������!B �5��! ��� �5 !�*! ��A� *��!��! ��� ��!$�����!B �$ ��!� !�� ��� D)����+ ���!�! ��A� 5� 6�! /,� !��� �����!!�! ������ ��� ��� � �� ����B ���� �$��� ��� �� �!!$� �� ������ � ����B �*���

�� *��$�� 5� ���;$��*��! �� 5� 6�! ���� ��� ��*5 ��0���� ���!� 5�$!��B ��� ��!� 5� ������� �� ��� 5� ���!�! ���5��� 45� ��!$�! )��� !$����:�� �� 5� �����)��� ����'

4��� � � / , 2 3 . & 9 �����!1����!B ���� /�� �3�, � �. ���/ .�� &�3 2�2 ,�� 2�� //2���$����� //�9 � �, �,�� &�� .�� 3�� ,�� /�. ��� /�29���!��! ,��/ �,�, ,�& &�3 � �3 2�& �� ��9 � �3 � ,(�)!����� ��! / � �&� ��� � � &� 3� 3� 2� 2� � ���*� ��� �,� �&�, �3�� �,�3 � �3 ,�� /�� ,�& ,�� �/&9���!!$�� �9�3 �&�/ ���& 9�& &�/ 3�, 2�. ,�, ,�. . /���� C�! / � �&�, ���9 � �& &�� .� 2�� 2�� /�3 39 ���� M�� �3�. �2�� �2�, � �& 3�. 2�� ,�� ��& /�� �& �������� �.�� �/�9 �/�& ���3 &�� 2� 2� ��2 ��9 �29���* M�� ,.�� �&�. 2�2 ,�, 3�3 ,�, /�/ ,�, 2�2 9�����

� �2�. � �/ 9�. 3�& 3�3 3�& .�� &� &�9 2

��!��� �3�& �,�& �,�/ .�2 &�/ &�, .� .�/ 2�3 23 � ���� //�, �&�2 ���, .�2 .�� 3�2 2�2 ,�9 ,�� / &��! ��� /��, �&�& � �� � �� 9�& 2�2 ,�. 2�2 /�� .,�N�1� 8��! �.�9 �.�2 �,�, 9� &�� .�, 2�� 2�& ,�& . .�� C���$� /��. �.�3 ���3 9�& .�, 3�, ,�9 2�3 /� �,2&"��*A��� /�� �.�/ �,�� &�. 3�3 .� 2�� ,�. 2�, ��32�����!!�! �&�9 �9�� ���3 &�& &�2 3�, 2�3 2� 2� /,���� ��� � �> �2�/ �3� ��� � � &�2 &�& 3�& .�� 2�2 9 ���5 1�� �.� �&�3 �2�. 9�, 3�. 3�2 .�� ,�& ,�� ,�&������� / �3 �&�2 ���, 9�, &� 3�, 2�� ,�9 ,�. � ���������� %���� �� �& �, �, �/ �� �� �� �� �/

.

Page 11: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

ObservedBenford

@��$�� ��/' ������� �� ��� ���;$��*��! �� "������+! �-������

"������ ��!����� 5� 5� ������5�* ��) )�! ���� 6�� � 5� �������� �$���! �� 5�! �-������ �J5�!� �$��) �$���! )�5�$ A��)� ��������!5��!K�B ��A� 5� �$���! �A�� ��� ��)!�����!B 5� !��� ����!!�!B ���5� �5 !�*�� ��!$����! ���� ���!!!$��B ���*A ��� ��������B �*����B 5�� 5���� �������!�* ���!B ��A� 5� !;$��� ���! �� ������!� ��)����B )5� 5�! ��� ������ �$ �! 5� � �! 5� ������� )5�*5 5�! 5� ��! 6 � 5� ������5�*��)�

�� !�"����� ������� �� ������� �������� ���

"������ 5�!��� ���� � �-����� 5� �5������� � ����!������ 5� !� ����$��� ������!B �� �� ��� � ����� 5� � *��! ��$���� ��� �$� �$���! !�� �! � !��B 5� ���� � ����� 5� 5� !� �� ������! 5� 5��� ��� �!6�! ���� ����� ��� ��� ��� � � � �� �� 5�! � D��������� + �� ��� � ���� 5�������!� 45� ������ 5� 5� ��*�$����� ���� 5� �� ��*�$����� ����5�� �! 5� 5�! !� 5�! �� �! ���* ��$��� ���;$��* B ���� 5� ���'

���

�G �� � � � � � � ��� ����� H ��

���! �� �-�!�

&

Page 12: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�� ��� ���� � �����!�� 5� ��5����$� �� 5�! !�;$��*� ��-��������� ���)��� ������!�B 5�! )�$�� ���A ��A� 5�!'

n

freq

uenc

y

1 10 100 1000 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

@��$�� ��,' @��;$��* �� ��������*� �� 5� 6�! ���� � �� 5� !� ��� ��

�� 5� ��� ���! �� �-�!B 5� !�;$��*� �! �!*������� �� � ������5�* !*�����)��� )� �-��� 5� ��� �� ���� *��!�� ����� �� � *���� �� *����� !����� 6�$�� ��,�B 5� ���� ��*���!��� �)���! �

� H ���� ��� 5� �-���)���! �

� H 2222 �45��� ��� �����$! )� ! � ��6�� � ��� �� !$*5 � !�;$��*�B ��� !������ ��

5� ���� � 5� ��!���� ��� �� �� ��* �� �� 5� )����! 5� �����)�� ������5� !�� !�� �! "������B ��� ��0���� ��������� !*5��! )��� ������ ��� *��!�!�� )�5 "������+! C�)� 1��� 5�! �� �-*����� �����) �� 5� D���+�����$�� �!�� E1���F ��

"$ 5� ������ �! 5�� ��)� ! 5� !�� ��� 5�!� �-��������!'

� @��!� B 5� ��������� �5��! ��� �� $��;$�B ��� �� *�$�!� ���� ��5� �� ���� � "������+! ��)�

� ��*���� B 5� ������*5 �!��� �! � �� �$���$!B !��*� � ��! � ������� 5�5� ��) �! ����� ��� 5� )5��� �$��� ! !� �!� �! *������ $�����!���B��� �� *�$�!� ��! �� ��� !�! ����� +��$���+ ���!� �� *��6� �"������+! ��)�

45� 6�! �7�� ����A5��$�5 �� 5� *���- )�! �������� ��� � ���A5��)5� 5�)���� ����$�! 5� ���� � ������B �� �93� �!�� E���A5�F�� 45�!��� !���� ���� )�!' J�� 5���+! � $�����!�� ��) �� ��$�� 5�� � !5�$�� ������

9

Page 13: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

)5����� $��! ��� $!�� � *�$�K� @�� �-����B �� "������+! ��) �! ��!����� ��� 6���*��� ���!� �-���!!�� �� ������!B 5�� � !5�$�� ��!� ������ �� 5� !�����!� �-���!!�� �� ����*!� 45� �*��� �� *�������� ��� ��� $�� � ���5���! �� *�$�!� � !*����� � � *��!��B ��� ���A5� �� ��� ��!*������ 5� 5�������5�* ��) �! �������� � !*�����B �$ ��!� 5� � �! 5� ��� ��) 5�5�! !$*5 � ������ B )5�*5 5� ��$���� *����� !*������������*� �!�� ��/�� ��� 5������!��

45��� )��� !��� !�� �����$! ������! �� 5� ���!�����B 5�$�5� 45���!�* 5 ��5�!�! )�! J�� 5���+! � $�����!�� ��)KB ��� �� *�$�!� � �! ��5�� 5����� ���� ���!!���� � ���� ��� ��!�B �� � ��� �5���*�� ���$��B � �!��! � !�� 5� ����� � � ����� ���� ��� ����� � �� ������� � ��� �����B!��*� 5�� ��� �-���� 5� ��������� �� � � �� )�$�� �;$�� 5� �� � � �B ������� !B )5�*5 �! ���!!���� �� � � �� 5�! � ��� :��� ��������� � "$ 5� ���� )�!5���B ��� )�5 5� �� ���!�! 5� )��� 5�� A��)� � �����) "������+!C�)B 5� ��5 )�! !� ��� ��0���� ���� � �� ��� ������$!� ������*5�!���

��# $����� ��%��������

���� 5� �9& !B � ������ �$���� )5�*5 ��) ���*��! )��� �$���!5�� ���$ 5�!$�7�*B 5� ��������� �� 5� 9 ! !��! ��A� � ����)�� ��� "������+! C�)� 45�! �!���5��! �$� � 5� D��!*���� + �� � ��) ������ 6��� �� �����*����B ���� ���$����*��� �!�� ����)B !�*��� ��3� � <�� �� 5� 6�! A� �����! � �� )���� ��5� !$�7�* )�! ���A (������+! 5�!�! �!$������ �� �99� � 5� ������� ���**�$����B ?�����!� �� ���*������

�� 5� 9 !B ��� �� 5� �7�� *�����$���! � 5� ���� !�! �� "������+! C�)�! *������ �$� � 45������ ����B )5� !� $� � *����* ��������� ����)��A��� "������+! C�)B �-����� 5� ���� �� !*������������*� � ��!����������*� �)5 !5�$�� � K$�����!�� ��)K �� �������� �� 5� ��!� �� )5�*5 5� �$���! ���)����I�B ��� �����$*�� � ��) )� �� *��!������� "������+! C�)B �! �-�����������)�

"�����5���B �� �� 5� ������$! )��A! �� "������+! C�) )��� !��5�);$���� J !�*��K ���!��! )5�� �-�������� 5� �-�!��*� �� 5� ��)� �*$��� �� �$5��! 5 ��5�!�:�� � !�� �� ��5����5��!*��� $�����!�� ��)B �� )5�*5�! 5� !��B � $�����!�� ���� �� *��!��!B ��� ���� � *��7�*$�� ��� 5�!5 ��5�!�!�

��)����B �! � )�! �-������� ����� �� !�*��� ��/B 5�! *���� �� ������ ����� � ��� ��$��� ������*5B ��� ������ !� ��$��� 5� !$����!���� ����� �-������ � ������ ���� �� �992B �! � 5��A �� ��� �! ����� � �-$�� ��� ������ ��� ��� ��� �*$��� 5�! ������*5 !��! � �� ������� � "������+!�-������B )5��� 5� ��� *�� ��� ��� 5�� � �����$! ��!���$���!� ����!��� ���A�� 5�! ���� )�5 !*���� ��� ��!����������*� � �A� � *��!�!�� ��$ $�6��!5��� �-�������� �� "������+! C�)� ��� �� 5� ���� �$5��! �!��EC���! �� ���F� 5��� ���� � *����� �B �$ 5��� �! !��� � �� �� )��A � ���� 5� ������ ��*��� ��/ ���! � ������� �� ��!��5 �� ����+! �5���*��)��A �� "������+! C�)�

Page 14: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��& '�������� �%������

��!��* ��� 5� 5�����*�� ���! � �-�������� 5� ��)B 5��� 5�� ��)� !���� ��! �� �$���*����! ���$ ��)� ��!*������ "������ ���!�!� �� ��*�� !$����!���� �� �� 5� )��� ��� � �5 !�*�!! �� *��$�� !*����!!����!������� 5� �$��� �� ���!�! �� 5� $�����!� *������ )�5 5� �$����� ������ �)��� �� "������+! C�)B 5��� !��� $! �� � �� � 6����� ��)����B5�!� ���!�! )��� ���� ��$�� � �$*AB !� 5� *5��*�! �� !����� ���A��� ���$���!� ��� � ��) A��� �� "������ ���!� !$**������ ��� �� ��*�!!���� 5��5���

45� �����)��� ��!B )5�*5 ���! �� ��*�$�� 5� ���! ��$�� � "������B ���!�� ������ � �� *�����B �$ ���! � �0�� � ���) �! ����� �! ��!!����'

� .�$����� ��������' 45� ��! �� 5� �! $!�� *��!��! �� �5 !�*! 5�!���� ��$�� � !������ �$5��! � �0�� � ��5�� ���� 6 � "������+! C�)�!�� EO�$5F ��� E"$�A� P O��*����F �� 45�! �! �� � ����� *�����*����-���� ��� 5� �$5��+! ��������B !��*� �� ������� 5��� ��� �� ��) ��5� � ���) � !���� !��!�*�� *��*�$!����

� .�$����� ������������' ��� �5 !�*�!! ��� ��������! ����A�� 5�5� 6�! ����! �� 5��� �)� ��� 5�� 5� ������5�* ��!���$���� ������������� ��� ��!��*� "�*A�� ��$�� 5� 5� ����$�� ���! ��� 5� �4�4@! ����� 4�� 4� @���$���B �A�� ��� *��!!�*�� ����!B ���� !��!� "������+! C�) �!�� E"�*A��F�� �� ���* �5 !�*!B "$*AB ���*5�� �������: ��!����� 5� 5� 6�! ����! �� ��5 5� �����*�� ��� 5� ��!��������$�! �� ,.. ������*��� 5��������! 5��� 5� ������5�* ��!���$��� �!��E"$*A �� ���F��

� �������/� �����������' �� *�!� �� ���� !����! �� Q���������� ���������!B 5� ���!!�� ��� A��)� � �����) � ������5�* ��!���$���� �*�$��� !�� !��*����!! 7$! )������� )5 � �! �� *��!������ ��� �����B ����� 5� ��� 5��5 ���;$��* �� ��������*� �� 5� �5������� �!��E�����F ��� EO�$5F��

� 0�������� ��� ��������� ����' ��� "������ ���!�! 5��� ������$�� �� 5�! ������ �� �**�$����B "������+! C�) ������! ��� ����B�! J��!! �� ��!B !$*5 �! �**�$�! ��*������� �� �� ����B ������� *�$�!B6-�� �!!� �*;$�!����!B ���� !���!B ��� ��!�$�!���!B !5�$�� �����) "�������+! C�)K �!�� E(������ P ��������F�� �� 6���*�B C� ��� �-������$�� 5� J5� !����! �� ���� ��$��! �� 5� ��)�����! ���$!���� �������� ����- ������ ��� 5� ������� ��� ����+! ����- ��P�� ���!����� �����! )�5 "������+! C�)K �!�� EC� F��

� .��������' ���!$! ��� �! ���5�� ������ �� �� "������ ���!�!��� �� �������� $��$���!5�� !$� (������ ��� M��� ��$�� 5� 5����$�����! �� 5� /�,� ?��� *�$���! �� �99 )��� � ���� 6 � "������+!C�) �!�� E�����F�� �� 5� ���!�� ����� !�� �5�� �������5�* ��� ���*��!������ ��� *5���� /��

��

Page 15: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��( ����������

� 5� ��������� �� �� �����*����! )��� !��� � !*����!!� "������+! C�))�! !��� �! � A��� �� �5���*�� ��*� )�5�$ �� ���*�*�� ��$��!� 45���� 5� . ! ��� )�5 5� ������� �� *��$��! !�� �����*����! )��� �������B��� ���� �� 5� 9 ! � ��) ������ ���� �� �����*���� )�! $�������B �!��!*����� ����)� ���*� ��) 5��� �7�� �����!B ��*5 ��!�� �� � ��0����A��� �� ���!�B *�� �� ��!���$�!5��'

� ������ ������' M5�� ��!������ � *��$�� �� )����� ��$���!B ��!����$���! �� �������! 5��� � �� *��!������� ������ ���� �$���! ���;$���! ��� �-���� � ��*��� )�5 )5�*5 �$��� �� ��! 5� ���!!� )����� ��!*����� �5�! �! ���A�� )�5 *��6���*� �������!�� � *����� ������� 5� ���!!� )��� ���� � ��0���� *5��*�!B �� ����� � ����:� !��������R�� ���*�!!��� !����� �*5��B O�$5B ��� �5�� �����$! �$5��! ��5� . ! ��� & ! 5��� 5$! ����!����� )5� 5� *����� 5� J������5�**��$��K �!�� E�*5��FB EO�$5F ��� E�����FB ��� 5� �����! �������*��5����B �$ �*$��� )�5 5� ��� ��! �������� �� �*5����� 5��**$�! �� *��$��� �;$���� 5�! !��! � �� D������!5�����+���

� ��������' 45�! �����*���� )�! �������� ������� � 8����� �� �9.��!�� E8�����F�� � �! ��!�� �� 5� �����)��� ��� !���� ����' �� � *�����!� �� ���$�! �����)! "������+! C�)B 5�� ����! ��� 5� *����!������������*�� ���$�! !5�$�� ��!� �����) "������+! C�)� ���� ;$���6�� 5�! ���� �����*���� �! J"����������"��������$K �E�����F�� 45�! ��*�$��! �����-����� ����! ��� �������5�* ���)5B 6���*��� ����-�!B �� �� �5��"������ ���!����

� 0���� ��������' 45�! �! � ��� ���� �����*����B ���A�� )�5 !$*5���*! �! ��� �����B �-��� ! !�!B ��$��� ��)��A!��� "�!�*��� B �*��! ��� 5� ��!������� 5� ����$���� ��� ���$�$���� ��� �� ����� � *��6� � "������+! C�)B )5����! $�����$���� ��� ��� "�������+! C�) ��!� 5���! � !�� �$���*�� �����! �� �����!�!B ��A� ��$����� ��!B ��� �! 5$! �����!��� ��� �! *������!� 45� 6�! $!� ��"������+! C�) �� 5� ���� )�! *���$*�� � 5� ��!��* ����� +! ���6*� �� "���A� �B (�) S��AB 5� *5����� �!$*�!!�$�� � !���� *������!��� ���$� $!��� � *��$�� ������� ��� � (������ ��� ���������� "������ ������!!����6 �!! �5�! )�! ����$�*�� �� 5� ���� ������������ �� �$� B � 5 �992�� @�� 5�� �� $!� �� "������+! C�) 5�!���� )���!����� �� 5� �**�$���� )���� �, �� 5� J"�� @���KB 5� �!���$! ?��� �**�$���� 6�!B $!� ��B !�� *��$�� ��*A���! 5��� ������!����� �� �B ��� � 5�! ���� � � A��� �� ���$� ���*��� ! !� *�����J������ ���� !�!KB 5� �����! �� ��� �� "������+! C�)B �$ ��!� ���5�� �!! �� ����!� ��� �� 5� �����!��� �����! �� 5� !$�7�* ���E(������ P ��������F ��� E(������F�

��

Page 16: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

������ �

���� ����������� ������

��� )*� ����+����,����� ���

45� �� �� 5�! !�*��� �! � ��6�� ������ "������+! ��) ��� � ���� !����!�* ��!$�! �� 5� �������� ��!���$���!�

� ! ! "�� #��� ����� ������$�����

��/����� (1#1# ��� ���� ��� � ������! ��� �� ����� � �� ��� "��� � �� � �"�� ��#

���� H �� H ���

�#L

#

$���� � � ��� � 9��

45� *����!������� ��!���$��� �$�*��� �����)! ��!�� '

���� � �� H�

������

���� H ��� H�

������

���

�� L

��

H ���

�� �

������

�� L

��

���H ���

��� L

��� L

�� L

��

H ���

��

�� /

�� � �L �

�H �����L �� ���

)5��� � � ��� � 9��

�/

Page 17: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

*����, (1#1( ���� � 9� H �% � ��� ����� � �� ��� �� ����� � �"�� ��"� � � &�'�' � $��� �"�� � ��� � 9��

� ! � "�� %���� ������$����� �� ������ �� ��� ��� ����� ���&

���$�����

��/����� (1#1) ��� ���� ��� � ( �� ��� ��� � � ��� "��� � �� "���� � ����� ��� � �� �� ����� � � �� � � �"�� ��#

����� H ��� ��� H ��� H ���

��#L

�����

#2�����

����$���� �� � ��� � 9�% �� ��� ���� � � � � � 9��

�3����� (1#1' ��� ����� � �� � ��� ��� ��� � � � �� ��� �� ���� ��� ����� �� �� �� � �)����� �% ����

����� H �� �� H �� � H /� H ���

�� L

��/

�H ���

���,

��/

45� ��!*��� ���!� �$�*��� ��� 5� ��� ���� �� *�� �� ������� $!��� ��6������ ����/'

����� H ��� H�

������

���������

��������

����� H ��� �� H �� � �� H ���

H�

������

���������

��������

���

��� L

�����

� �����

���� ���

*����, (1#1- *� ��� � �� "���� � �� ���$ ���� ��� � ��$�% ���� ��� �� ��������+ ,� �)�����% � ��� H �� �� H �� H ���

����

�H /2% $������

� ��� H �� � � ��� H �� H ������ � ����

����

�L ���

����

�L L ���

����

��H

//�

� ! � "�� ������ ������$�����

���� (1#1+ ��� ���� ��� � ��� �� � �"� � � &�'�- ��� �� ������� .� �� ��� ���� $�� �� ��� ���� ��� � ��� ���$ �� ���#

���� ��� H �����

$���� � � E�� � ��

�,

Page 18: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

.��1

� @��! *��!���� 5� *�!� )5��� � H ��B ���� 5�! ��� ��� !����6*�� ����'

��� � �� H

��

�� �� � � � ���� H ' � H / � � ��� ���� ���� �

����� � �� � �� H ������� H ������ �� � � �� � �

� 45�� !$���!�� H ���� �� �� ��*��� ������B ���� � H����� �

��������B)�5 �� � �� �� � � � �� � '

��� � �� H ����� � �� � �� �/�

L����� H ��� �� � �� � ��

L L����� H ��� �� H ��� � ���� H ����� �� � �� � ��

H ����� � �� � ��

L�

���������

����� H ��� �� H ����

L L

����

������

����� H ��� �� H �� � �� � �� H ����

H �������

L�

���������

���

�� L

� �� L ���

L

L�

���������

���

��� L

�������

� ����� L ���

����

" ������ )�5 5� ��������� �� 5� 6�! ���� ��!���$��� ���B )� 6��'

��� � �� H ������� L ���

�� �� L ��

� ��

�L L ���

����� �

������������ � �����

H ���

����� �

������ ���

H ���

�����

� ��������

H ������

�2

Page 19: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� (�) �� ��� ��� !������� �� 5� � �� � �� ��� �$�� �� �� �� H �B 5� ��!$������ �! !��� �$��

�� � H ���� ��� ��� �� ��� �-����� 45�� 5��� �! �� ��� ���� 5� !$ �/�B ��� 5�! ����! � 5� �����)��� �-���!!���'

��� � �� H ������� L

L ���

������ �

������������ �

������

L L ���

������ �

���������� �

������

L

L ���

����� �

������������ � �����

H ���

� ��������� �

���������� �

������� �

� �����

�����

� �����

H ���

� ��� �

� �� �

� �����

�����

� �����

H ���

� ����

�����

� �����

H ������

45�! *�� �� ��!�� �-����� � 5� *�!� )5��� !������ � ��� �$�� �� ���� H ��

*����, (1#14 *� ���� � � ��� �� �� ��� ������� �� � �� �0 ��� ���� $����� ��� � �� �� ��� ��� ��� � � ��� ��� � � ��� ��� ��� ��� � � ������� ���!#

����� H ��� �� H ��� � �� H ��� H ����� L ��� �� L L ���

���� � �

�� L ��� �� L L ��� L ��� �����

H ������ L ��� �� L L ��� L ��� �����

� ������ L ��� �� L L ���

�����

H ���

��� L ���

�� L L ��� L ��� ����

�� L ��� �� L L ��� ����

H ���

��� L

�����

� �����

������ � $�� � �� �0 �� � ���� ������� �� ��� �� ��� � � �� � � ���� ��%

� 0� � �)����� &�'�1�

�3

Page 20: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

45� �����)��� A� ��6����� �� "������+! ��) *�� ��) �� !���'

��/����� (1#15 � ���� ��� ���� � ��� �"�� �����2� ��$ �� ��� ���� ��� � H��� ���$� ��� ���� ��� � ���� ��� ��� ��� ��� ���� ��� ���� � ��� �"�� �����2� ��$ �� ��� ��� � � � �� H ��������$� ��� ���� ��� � ��� � � ��� ��� ��

� ! � '���� ���������

� �! ��� ��! � ������� ����� ��������! 5� �����) "������+! ��!���$���!�1�*��� 5� 5� *$$����� ��!���$��� ��� 5� ���!!� � �!'

��� � �� H ������

��� � � E�� � ����B � � !����5���)��� �����!���B � ����� �������� 5� �����)! "���

����+! ���!!� ��!���$��� *�� �� �������� � '

�� #2� �,�

)5��� � � �� � ����! � *��!�;$��*�B � ����� �������� �� 5� �����)! "������+! 6�! ����

��!���$��� *�� �� �������� � '

�� � �� �45� ��������� �5�� �,� 5���! � �-����� (�)*��+! !����B )5�*5 �!

5� ��� ��������� � ��� ��������� � ������� 6&���� ������$ %��7����� ��&8 ��� �������$ ����������� �!�� !�*��� ����'

C� � �� 5� ����� �������� 5� �����!��! 5� �$��� )5�!� ������5�! !���*5�� ���B �! ���!!�B ��� � 5� ������ ����� �������� !$*5 5�� � � � � � ��� �� �! 5� !*��� �� � �� ��!� � B ��� � H � � � �����*�' H � � � �� H � �� ���

��B �**������ � 5� ��������� ���*��$�� �,�B �� ���� � � � �� � ��B 5�� �����)! "������+! ���!!� ��!���$��� �!� � !��!6�! "������+! ��)�B ���*�����!�� �

*����, (1#19 *� ����% ���� � � ���������� ��� ������ � ��� ���� ��� �����% ��� ��� 3�� �� ���� � ��� ���� ��� � �4� �������� ��� ���� ��� ��� '!%� � � �� �)����� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� �� 5�$��� ����� � $������� � � � � �% �����% ��� ��� �������� � � � � ��� ����!�

*����, (1#1#2 �� � �������� � �������� � ���� � ����0 $������ � ������� ���� � ��� �"�� �����2� ��$ � ��#� ��� �"�� �����2� ��$ � �� ��� � ����������� � �� � �� � �4� �������� � ���� �� � � �� � ���

�.

Page 21: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ! � (��� ������$������ ��� ����) �����) ��������� �

� ��!���$��� �! !��� � !��!� "������+! ��) �� �! *����!������� ����� ��������� ���!� � �! �������� ��! � 6�� !$*5 ��!���$���!T �� ��* �� �� 5�!�� � !��!� ��

@�� �-����B !$���!� )� ��� ���A��� ��� � ��!���$��� �� E�� � � !��!� ���"������+! ��) ��� 5� 6�! ����B !� �� � 45�� ��� � � ��� � 9� )� 5���'

����� H �� H ���� � � � �L �� H� ���

� ������� H ��������

��� � ��$��� )� �� *��!�$*��� �� �! � *5��!� ����� H

� �� � � �� ��* 5�!

��!���$��� *�� �� ��$�� $!��� �,�B ��� � !��!6�! "������+! ��) ��� 5� )5������!!�B �! � �! 5� �� � ����� �������� � H � )5��� � � �� � �� �5�*����!������� *$$����� ��!���$��� �$�*��� �� �!' �� ��� H

� �

�� �� ��� H

����B ��� �������� � ����! � H � �45�! ��5�� !���� ��!���$��� �! ��� $!��$� � ���� � *�$� ���$ 5�) � 6��

�5�� ��!���$���! 5� !��!� "������+! ��)� �� � ��!���$��� �� E� �� � �� �!!���*5�� ���B � �! 5$! ��$��� � 5��A �� 5� �� � B )5��� � � ���� ��B )5�*5�! ����� H

������ �� � �

��� ������ )� 6��'

����� H �� H ���� � � � � � � � � � ��L ���

L���� ��� � � � � � � ��� � ��L ���

L L���� ��� � � � � � � ��� � ��L ���

H�

�� � �����

�� � � ��L ��

� � � ��

L ���

�� ��� � ��L ��

� ��� � ��

L L ���

�� ��� � ��L ��

� ��� � ���

H�

�� � ����� ��� ���

��L �

��

H ���

��L �

?!��� 5� !�� ����B !������ �5�� ��!���$���! )��� ��$�� !��!� ��� "�������+! ��)� 45�!� ��!���$���! ��� �� 5� ��� � � B )�5 � � ����� ��������)5�!� !$���� �! �� ������� ��)��� ������!� ���� 5�!� )� *�� ;$�� �!��EC���! �� ���F�'

�� �� ��� H

�� �� � � � �

�� � �� � � � � �

� �� ������� ��� ��� � � E/ � & F !

�&

Page 22: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� *�� ��) �� *5�*A�� 5� "������+! ��) �! !��!6�� � �������� 5� *$�$����� ��!���$��� �$�*��� �� � H� ��B )5��� � H �� � �*��� ����A����� �� ����������� � � ����!B ��� ��� � � E � �F'

����� H ���� H �� ���� � � � � H �

L���� H ��� ���� � � � � � � H ��

H ���� � � � �� � ��

L���� � �L� � � �� � ��

H ���� � �� L ���� �� � � L ��

H

� �

� �� L

� ���

��� �� ��

H��

�L

�� � �

�H �

���*� � � � E � �FB ��� �**������ � ����A ����� B � H � � !��!6�!"������+! ��)�

�� �� ��� H

��� �� �� �� � � � �� � ��� �� � � � �

� ��6������� � ��� ��� � � E�' � ' F !

� *�� �� !5�)� 5� � H � � !��!6�! "������+! ��) $!��� 5� !�����*�!! �! �����'

����� H ���� H ���� ���� L � � � � � � �� � �

L���� H �� ���� � � � �� � ��

H ���� � � � �� L ��� �� � ��

H

� ���

��

��� ��� �� L

� �

�� � ��� ��

H

���

/L ��

�L

��

/� �� L �

�H �

��� -��%������� �� �*� ������� �����������

45� ���!�� )5 "������+! ��) �! ��� $!��$� ��� 5� 6�! ����! ����� ��� �� )��� ���*�*�� �! 5� 5� ��!���$��� �� 5� ��� ���� ���! � 5� $����� ��!����$��� �� � � � 9� �-��������� ��! �! A ��*���!�!� (�)*�� 5�� ������ ����A�� 5� �5��������

�� ��*B 5�! ������ )�! ������ 5��$�5 ����* *��*$����� � ���*���! �!��E���*���!F�B �$ 5��� �! � ��� ������� ��!$� 5� �! �$� � ���� ��� 5� 5�!�������� �� ���� �$���!5�� ��

�9

Page 23: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�:������ (1(1# 7�� � �� ��$ ��� ���� ���� ��� ���� $ �� ����� ���$ �� ���� ��� �� ����� �� ���� ��� ��� ��� � � ����� ������������ �� ��� ��� ��� � �� 0 ��� � �"� ���

.��145��� �! *$����� �� ����� ����� ��� 5� �����!����B �$ � �! ��5�� ��!

� !A�*5 �� ������� ����M�5�$ ��!! �� �������� B !$���!� 5� ��!� $!�� ��� ��!*������ �$���! �!

��4�A� �� �������B !� E�� �FB ��� ���) �� ������� ��$���� *����$�$! �$�*�

���B !� �� �-��������B �� 5� �������� 45�! �$�*��� *�� 5�� ��)� ! ��������:�� � ��6�� � ��������� ���!� �$�*����

�� ��!� �B E�� �F �! )���� E� � � F� ���� ��� 5� ���� �$���! �� E�� �FB5�!� )5�*5 5��� �! 5��� !�*��� ������ � ���� ��� ��)��� �� ��� ��� ���� � ��� ��2 �� ��*��� �������� 45�!� )5�*5 5��� �! 5��� 5��� ������ ����� ��� ��)��� �� ��� �� � �� ��� ���2� ��� ��)��� ��� ��� ���� ���2��� ��.2�B �*���

�! 5� ���*�!! ���! � 5� ��6���B � )��� !��� �� 5��� 5� *����� �������B��� 5��*� 5� ��������� �� ��!������ � )��� �� 5� !�� �! ��!������ � ��$����� ��!���$�����

45� !� �� 6�$��! ��� ��!*����! 5� ���*�!! �� ����B )�5 � !���� ��������:��� �-�������� �$�*��� ��)��� � ��� ��

@�� �� ������� 5� ��5����$� )��� �� �!������ 5� !��� E�� �F �� ��!� �)�! *5�!�� ��� !����*� B �$ � )��� )��A ��� �� �������B �! ���*��� 5�������� )��� �� ������� �� 5����

@�� 5� ��*��� ����! 5� ��5����$� )��� ��!� �� 5� !��B �-*�� 5��� )����� � !$����!���! �� 5� ������� ��!��� �� ��

�*$��� 5� 5 ��5�!�! ��� *������ � �� �� !����B �! � !5�$�� )��A ����� K������5�����*��K �$�*��� ����� �� $!$�� ��������� ���!� �$�*�����

45� ����� ����� !5�$�� ������� $!� !�� ��!$�! ���$ ���*��!B �� � ���� 5��� ���� �$���!5�� �� 5� ������

*����, (1(1( �� � ������ � ������ ������� � ����� ���� ��� ������� ��� ���� ��� � �0� ��% ��� ���� ������ � � ��� ��� �� � � � � ����� ���� ��� � ��%������� � �� �� ����� ���� � �0 � ��� �"� �� � ��� � �� "���� � �� �"� � � ��� � ������ �% ���� ����� $�� �� � ��� ���� ����� � �� �����������

Page 24: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1.0 1.5 2.00.0

0.5

1.0

1.5

Digit 0 : 0.378Digit 1 : 0.622

Second digit

1.00 1.25 1.50 1.75 2.000.0

0.5

1.0

1.5

Digit 0 : 0.438Digit 1 : 0.562

Third digit

Seventh digit0.0

0.5

1.0

1.5Digit 0 : 0.496Digit 1 : 0.504

@��$�� ���' ���������*� � 5� $����� ��!���$���

��

Page 25: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��� ��� 5� !��� !A���*�� ���!B 5��� ��� 5� *��$�� �����������! 5� 5���� ������ � ���� �;$��! :��� ��� & ��0���� ��!���$���! *��������� ��)���� ��� �'

2 4 6 8 10

Digit

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65 Unif(1,2)N(0,1)Exp(1)Cauchy(0,1)Beta2(2,3)Gamma(1.5,1.5)Weibull(2,2)Chi-Square(5)

@��$�� ���' ��!���$��� �� ����� ����! �� & ��!���$���! ��6��� �� E�� �F

�� ���*�������� ����������� �� �������� ����

.���� �*�����

45�! !�*��� ���! � ���� !�� ��!��5! �� ����+! )��A �!�� E�����FB ��� ��!� E�����FBE����*F�B )5�*5 !��! � �� *$����� ��� �� 5� �! *�����*��� �-��������! ��5� ��*$����*� �� "������+! ��) �� ��$�� �5�������!�

� � ! "�� ������ ���$$���) ����

��6���� � ������ ��������� !��*� �! ��� �� 5� A� ! � $����!��� ��� �!$� "������+! ��)� <�� �� 5� ������! 5� ;$�*A� ������! )5�� *��!�$*���� !$*5 � !��*� �! 5� 5� ���� !��*� �! �� � D�����+ ���B ���� �� 5�!� �� "����! �� �� @�� �-����B � !����� ������� ����� *�����! ��� 5� �����$���! )5�!� ���!!�� ������ � � *����� "���� !� �5��A �� E� � � �' ����� �$��� �� E� � � � 5�! �! ���!!� �� E�� ��B �$ �� *�$�!� ���� �$��� ��

��

Page 26: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

E�� ��� E� � � �� E� � � ���� 5�! ��!� �! ���!!� �� E�� �� �� �� �5�� )���!B� ��������� *���� �� �!!����� � � !����� ������� �� ��� ��� ���A! � 5�*����!������� !� �� ���!!���

��)����B �����)��� 5� �-����B � �! ��5�� ��! � !�� 5� 5� !� �� �����$���!

������ � � � *�����! ��� 5� ��!���� �$���! )5�!� ���!!��

������ � B )5��� �! � "���� �� E�� � �� �� ��!����� )5� )�$�� ��� ���A ����!!�� *�$�� �!!��� � ��������� � 5�! !�� �� � ��$��� ��6����� �� 5���!$����� !��*� �!!�*���� )�5 � "���������A� �-������B )5��� ��� ��!�������� �$���! ��� !�����B �! ��� ��� )5��� 5� ���� !��*� � �! ��6��� ��5� �����)��� )� '

��/����� (1)1# ��� ����� ����� �% ����� ��� �������� �������% � �"����#

� H

���

����

%� #2� ��� ��� ����� % � E#�#2�

45� ���!!� ������� � �! �� *�$�!� � !��������B �! � !$��!�6��� �� 5�"����!� 45� �����)��� ��� �! $!��$� � $����!��� 5� !�$*$�� �� 5� ����!!� ��������

���� (1)1( ��� �� � ������ �� � ��� ���� ��� ������� ��� ��� ���$ ��#

'� 8���� ��6����� ��� � � � �"� �� $ �� ��������� � � ��� �� ���� L� ��� � ��� ��� � � � � � ��$��� ��� ��� � "� ��� ����� ������� ��� ����� ����� ��6.�� �������!

&� � � ���� ���� ������ ���� �� ��� � �� ��� � � � ��� � � �!%

-� � � ���� ���� ������� ���% ��� �� ������� �$��� �� ��� � ��� � � �� ���� ��!%

1� � � ����6� � ��� � ��� ����� ���� �� ��� � � �� � � �� � �� ���

45� ��������! �B � ��� , ��� ��! � $����!���B )5����! ������ / ����!��� ������� ���� �! 5� ����� �� ������ /'

.��1@��!B ������ 5� �

�� ���

C� � � �� � 45�� � ��6����� ��/��'

� � � � ��� � "���� � E�� � � !�� � � � � �

�� � 5� ��6����� �� � "���� !�B ��� � � E�� � � !�� ��� � � � � ��� �����*� � 5� %$*������ ����!��� �� � � '

� " � �� � � � � ��� �� !�� � �� � �

���� � � � �

� � � ����

C�

� H

������

��

�� � �

��

�� �

�� �2�

�/

Page 27: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� �! *����� � "���� !� �� E�� � �B ��� � ������ � � � �B !� �

�� ���

(�)B *��!���� 5� !� �� �� ��� ���� �$���! )5�!� 6�! ���� �! � ���'

�� H

������

E�� ��� �

45� !� ��� �! 5� �����)���'

��� H

������

E�� ,�� ��

45$! ��� ���! �� ������ � �B !��*� ��� �-���� � ��*�$��! E�� ,� �$ ��E� � , ��

(�) 5� 5� ��������� !��*� �! ��6��� ��� 5� �! ��������! ��� A��)�B5� ��- !�� �! � !�� !�� ���!������ 5 ��5�!�! ��� !5�) 5� "������+!��) *��! ��� 5�!� 5 ��5�!�!� ������ � ����! � 5� 5 ��5�!�! �� !*�����������*�B )5����! ������ / �! � A� � 5� )��A�� 5 ��5�!�! �� ��!� ���������*�B �! � )��� �� !��� �� ��- !$�!�*����

� � � (�� ��*�����

�*��� ��������*� �! ��� �� 5� !����! 5 ��5�!�! 5� *��! )5�� 5��A��� ��5� J$�����!��� K �� "������+! ��)� �$���!� 5� 5��� �! � ��) 5� )�$��!��5�) ������ �� J��$���K ��� !�! )5����� ! !� �� �$��� �! *5�!���45� 6�! 5��� 5� *��! � ��� �! 5� � )�$�� �� �-��*�� � �� ������������ 5� $�� ! !�B ���� ��!*����� ��� 5� �$���! � � *��!�� !5�$�� �� �0�*5� ��������� ��!$��� 45�! ������ �! *����� !*��� ��������*�B ��� �! ������ ��6��� �� 5� �����)��� )� ���*��� 5�� �! *��!�� $���� !*���� $�����*����B��� ��/��B ������ ��'

��/����� (1)1) � ����� � �� ������� � � ��� ���� ��� ������� � � ����� ���� ��� �

� � ��� � ��� � ��� H � ���

45� �����)��� 5���� !5�)! 5� !*��� ��������*� �! � *5���*���:���� ��"������+! ��)B ��� 5$! �A�! � ��� ��*$�����

"����� (1)1' � ����� � �� ������� � � ��� ��� � ����� ���� ��� � �� � ��� � ��� �"�� �����2� ��$�

.��1C� � �� � ��������� ��!$�� �� ��� ���B ��� �� H

������E�� � ���� �

��� �� ������ � � E � �� �� ��������� ��!$�� ��� �! ������ ��6��� � �!���$�! �� !$*5 !�!��

�,

Page 28: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

C� � ��� U� �� 5� ��������� ��!$��! ��6��� ��!��*���� �� 5� ���!$����� !��*�!

�E � ��� � E � � F

����

�E�� � �� � E�� � F

�� '

� � � E � ��� � E � �� H U� E�� � �� H � ���� �3�

45�! ������� ��6��! �*$��� � $!��$� �'� *����!������*� ��)��� 5� ���!��*��� ��!$����� !��*�! �� �� U� � ��� � �

(�) ��� 5� ����� �!���� �� 5� ��!$����� !��*� ��� ���B � !��!6�! "�������+! ��) �� ��� �� ��� � ���� H � ��� ��� � � E � �� �!� �**������ � �3� �� ��� � �! 5� $����� ��!���$��� �� E � �FB ��� �� ��� U� E�� � �� H �� � � � E � �� ��

(�) !$���!� � !��!6�! "������+! ��)B ��� ����� 5� ��� ��� � �'

� ���� H �

��

����

E� � � ��� � �

H � ����

M�5�$ ��!! �� �������� B *�� �� ��!������ � E�� � E ���!� �A� �� � ��4)� *�!�! ��� ��) � �� ��!���$�!5��'

� �� � � � � � '

� ���� H U� E� � � ��

H U� E�� � � ��� U� E�� �

H ����� � ��� �����

H �

H � ����

� �� � � � � � ' �!��*� � � B � � � �! �� E� � � � �

� ���� H U� E� � � L U� � E� � � � �� �� � �

H ��� ������ L U�

���� � �

H �� ����� L ���

�� � �

�H �� ����� L ����� L �� �

H �

H � ����

������!�� B !$���!� � �! !*��� ��������B ���� � ���� H � ���� ��� ��� � �

��� � � E � ��B ��� !5�) 5� � !��!6�! "������+! ��)B ���� � ���� H ��

�2

Page 29: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

C� # �� �� ������ ��������� �� �� 45�� � ���� H � �� ����B ��� ��� � ��E � ��� M�5�$ ��!! �� �������� B � *�� �� !$���!�� 5� � � � E�� � � ���!��A� � � �� � ��

45� �!����5�! ��6��� �� �3� 5�� �����! 5�'

U� E�� � �� H U��E� �� � ���� �� �

�B � � � E � ��

E 9��� ��� ���� � E�� ���� � ����� E�� �� � � � � % � E�� � � � E�� �$� � � � � E� � � � F

���B �! � *��!�;$��*�'

� E � �� H � �E#� �L #� �� �� B � � � E � ��

E � �� ��� �4� ������ ���� �� F45�! ��! �;$��� ���! 5� � �! �������� � �� ��������� ������ �� 5�

$�� *��*��� � 5�! ���� ���� A��)� 5� 5� $��;$� ��!���$��� �� E � �� 5�5�! !$*5 � ������ �! 5� $����� �!�� ��� �-���� EM� �F�B ��� *��!�;$��� � !��!6�! "������+! ��)�

*����, (1)1- �� � ��� ��$� ���� ��� �"� � � � ����� ���� ���� ���6����� ���� � �"� � � &�-�- � � � � � ������ *� ���� ��� ����� ����� �6��� ���� ������� � ��� �� ����� � ��� ������� � � ����� ���� ���� �� ����� ���� ������ ���� � �� � ��� ��� �$�� � ��� ���� ���� # � ���� ���%�� ��� ��� ��� ���� ����� ���� ���� �� � �!�

� � � ��� ��*�����

"�!� ��������*� �! � ��� !$��� 5 ��5�!�! 5� ��!� ����! � "������+! ��)� ��� *����� ��) !5�$�� ������ �� ��!������ !�� J��$���K ���!�! �� ��!� � B5�� 5� ���� �! 5� 5�! ��) !5�$�� ��!� ������ �� ���5�� ��!� )�! $!��� ����5� ��6����� �� 5� ���!!� ������� � 5� )�! $!�� ������ �! ����� � ����������:�� � �5�� ��!�!B ��� 5� �������� )��� ����� 5� ���!!� ��������� �� ������� ��!� � �5$!�� H��� ��� ��� ���������; ��/������; ���������� ��� ����������$ ��� ����B �-*�� 5� � �����*�! � ���� �-�������� �����*�! ��� �� 5� ��������� ��!���$���!��

(�) 5� �����)��� ��6����� �� ��!� ��������*� *�� �� ���!���� ���*��� 5��� �! *��!�� $���� ������� ���!B ��� ��/��B ������ /�'

��/����� (1)1+ � ����� � �� ������� � � ��� ���� � ���� ���� ��� �

�� � ��� � � ��� � ��� H � ���� �

?����!������ )5 5�! ��6����� �! ������� � ��!� ��������*� �! �� ��� ��! � 6�! !��5� 4� ����� �B *��!����'

� H

������

E � � �� �� ��

�3

Page 30: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

)5��� �� % � E � �� ��� ����*��!�� ������� �� E�� �� *�� �� �����!���� �� 5���� E� � ����

?!� �-���!!��� �2� �� 5� ����� �� ������ / �� ��� ��/�� ������*� � � ��'

��� H

������

� � ��

H

������

������

E ��� � �

� � ���

� ��

(�) �����*� � �� 5� �-���!!��� ����� � ��'

��� K H K

������

������

E � � ��� ��

� ���

K H K

������

������

E � � ��� �����

K H K

������

E � � ��� ��

K H K �

��B �� � ��������� ��!$�� �! D��!� ��������+B � !5�$�� �� �������� � ���!��� 5� ��)��! �� 5� ������ ��!�B ��� !� 5� ��������� �� � !5�$�� �;$�� 5��� �

�� � ���*� 5� ��6����� �! !��5�) )��AB !��*� � ��� �**�$�! ��� 5�

��!� 5� ��� ��)��! �� 5� ������ ��!�B �$ 5� �����)��� 5���� ��/�. )���!5�) 5� � �! !$Æ*��� ��� ��� ��!��

(�)B �� �� ����� 5� ������5�* ��������� ��!$�� �� ��� ����B ����'

� � � E�� ��� ��

��

����

E�� �F ��

H �������

C� ��!� V� ����� 5� ����* ���� ��!$�� �� 5� !� �� H���������� ���

���� ���*�!�� B V� �! ��6��� ��� ��� � � �� � V���� H � �� � � �� ��� �5��)�!� �5�! ��6����� �! ����� ��*�$!� �� 5�! �� ����� �����!$�����!$�!���

45� �����)��� 5���� ���A! ��!� ��������*� )�5 5�!� ��������� ��!$��!B��� 5$! )�5 "������+! ��)'

"����� (1)14 � ����� � �� ������� � � ��� ���� � ���� ���� ��� � ������) ��� " � E � �F ����

� H ��� "��� L "V�

�.

Page 31: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�����$ (1)15 ��� �� 4�� ����6 ���� ��� �� ������� ����� � �� �������� ��� ���� � ���

"����� ������� 5� 5����B � ��) ���� $! 6�! �� !����

��/����� (1)19 � ������� & � �W��� � ���� ��� ���� ��� ������� ���6� �� ' ' W� W �

&��� H &�'������% �� � ��

(�) �� � �� �� ������� ��!���� ������B ��� *��!���� 5� "���� ��!$�����!��*� �� E � �� ��� 5� ������ '� ��6��� �� E � �� � '���� H �� �� ��

���� (1)1#2 � ����� � �� ������� � ��E � ��� � E � �F

� � ���� ��� ����

'� � �� ��� �

� E � �� H

������

��

��� L �

.��1� �! 5��� !$Æ*��� � !5�) 5�'

'�

������

��

��� L �

�H E � ��

� @��!B �A� � � ������

��� �����

��

� � �� � � � � �� �� !�� �� � �� � �� L �� �� �� � � E � ��

� ������!�� B �A� % � E � ���

� � � � �B � �� � E�� � L �� !�� �� H � L %

� � � � �B � � � ��� �����

�!�� �� H � L % ��� % H �� �� � �

(�) ��� � 5�! � �� ��!������ � E � ��B � $! �� �� � � � �� ���� � � � � � � �� ��B � � � �

�� �����

�!�� % H �� �� �

(�) � !�*��� ��� *�� �� !���� C� ( ����� 5� C���!�$� ��!$�� ��E � ��B ��� Æ 5� ����* ��������� ��!$�� � �

���� (1)1## � ���� ����� � �� ������� � � E � �� � ���� ��� ���� '� � �� ��� �

� H "Æ L ��� "�(�� ��� " � E � �F�

�&

Page 32: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

.��1@��!B �� � H "Æ L ��� "�( ��� !�� " � E � �F�45�� ��� ��� � � E � ��'

������

��

��� L �

�H " L ��� "�

������

(

��

��� L �

H " L ��� "�������

H " L ��� "��H � E � ��

������!�� B !$���!� � �! �� ������ ��������� ��!$�� �� E � �� ��������$���� '��

1�*��� 5� � ��������� ��!$�� �� E � �� �! $��;$�� �������� � �!@�$���� *��Æ*���!'

)� H

� �

*���� �� ��� B � � �

�45� ��������*� �� � $���� '� �����! 5� �! @�$���� *��Æ*���! )� ���

*��!��B ��� ��� � � ��4� !�� 5�!B $!� 5� *5���� �� �������� �� H '���� H �� �� �B ��� 5��

����A 5� *��� �

H *���� '

)� H

� �

*���� �� ���

H

� �

*��� �

�� �'��� �����

H

� �

*��� �

�� ���� � ��� � ��� H � �'��� ���� �� ��� 8 � � E � �� !

H )� ��� ��� ��

45$! �� )� H "B )�5 " � � �� �� � ��(�)B � !5�) 5� " �! �� ��* � ���� �$��� �� E � ��B *��!����'

� �� �� H� �

�����

��

+

�����

*����

��� ���

45� �;$��� *��! ��� 5� ��* 5�B ����� � *����- �$��� � )�5��� � � �5��� *5��!� � H *��� �B �

����� �

� � �! + ��B �-*�� �� � H � ��)5�*5 *�!� � �! �;$�� � � ��� ��� + �

(�) $!� 5� ��$���� *��������*� 5���� �!��*���� �� ��

��� *����

��� � �� '

�9

Page 33: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� �� �� H �����

+

�����

)�

H " � ��� ��� )� ��� ������� �� �4��� � 4 !

���*� " �! � ��������� B ��� � �! �� E � ���(�)B ������ 5� @�$���� *��Æ*���! )�� ��� "Æ L ��� "�('

)�� H " � *���� L ��� "�� �

*���� ��

H "

H )� ��� ��� ��

�! 5� @�$���� *��Æ*���! �� � ��!$�� ������� � $��;$�� B

� H "Æ L ��� "�(�

(�) 5� ����� �� 5� ��� 5���� �� ��!� ��������*� *�� �� ��!�� !����.�� � ������ (1)141@��! !5�) 5� �� ��� V� ��� ��!� ���������@�� V� 5�! �! ;$�� �����$!B !��*� 5� ���� � �! )���� � �� �� ��!����(�) ��� ��B �� -B �� ������� �$���! �� E � �� ��� � H

������E� � ��� ��'

������ � H ��

��

����

������

E ��� � �

� � ���

� ��

�� �� ��� � ��� ��� � ������� - � ����� &�-�&!

H

������

��

��

����

������ � �

���

���

H

������

����

����

�����

H

������

����

������

�H % � �H �����

���*� �� ��� V� ��� ��!� ��������B ��� !� �! 5��� �-$�� "V�L��� "����

/

Page 34: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

������!�� B !$���!� � �! ��!� �������� �� ����� ��

C� � H������E�� ��� ��B ��� !�� � � E � ��B ��� $!� 5� �-���!!��� �� �

��

� ��'

� ���� � H �

��

����

������

���� � �

����

���

���*�B � 5� ��!$�� �!����5�! �3�B 5� �;$��� � ��� H � ���� � �����!'

U� E�� ��� H U�

������

���� � �

����

��� *��!�;$��� '

� E � �� H

������

��

��� L �

45�! ��! �;$��� ���! � ���� ��/�� ��� ��/��� 5� 5��� �-�!! " �E � �� !$*5 5� � H "Æ L ��� "�(�

(�) � *�� �� ��!�� !��� 5� V� H Æ ��� �� H (����*� 5��� �-�!! " � E � �F !$*5 5� � H "V� L ��� "����

*����, (1)1#( ��� ��� � ������ &�-�: �)��� �� $�� ��� ������� � ;� ��� H

� ���� �< � ��� ��� �� ���� ���� � ��� ���� � �� � � ��� ��� �� ���� 6

���� �� �$��� � ��� � � �� ����!� �� � �� � � � � ���� ��Æ� ��� � �������� ��� ����� � �� � � "Æ L �� � "�(% �� ��� 4 � E � �F% $� �� � ���� �6�� �� ���� � H "V� L �� � "��� � ���� �% $������� ��� ���� � �� 9���� = � ���� ��� �� ��� �����

*����, (1)1#) �� ��� ��� ������� � ������� &�-�: �� &�-�1 � ��������� ���� ���� ��� �� ���� ���� ����% ��� �� ���������� ,� �)�����% V�

� ���� ���� ��� ��� �� ����� ���� ����

� � � +���� ������$������

45�! !�*��� �! � !$�� �� E�����FB )5��� �� �����!��� ��� ����� ���� �����) ���$ "������+! C�) �! ����������

�! )�! �-������� �� !�*��� ��,B 5� ��!�* ���� �� 5�! �-�������� �� "�������+! C�) �! � ������:� 5� ��!���$���! 5�!����!� �*$��� B "������+!�-������ �! ��A� � *����*��� �� ����� !����! ��� ����� ��!���$���!�

45� *��*�� �� ����� ��!���$���! 5�! ������ ���� !$���� � !�������$5��!B !�� E�����F ��� 5� �����! �������*�� 5��� ��� � *����� ���)� ������� 5� $!��$� ��6�����! ��� ��!$�! �� 5� *���- )��� �� ���!�����

/�

Page 35: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��/����� (1)1#' � ���� ����! ����� ���������$ ������� �����! � � � ���� ��� ���� >� �� ������ �� ����� � �� ����� �W�� �.�% ��� ����� � ��� ��� �� ? ���� ��0�� ����� $� �� ��� ���� ����� � �� �������� � � ��$� �� � ������� � ��� ����� ���� �� ���� ���� ��� � �% � � � � � ������� �����

��/����� (1)1#- ��� �3������ ����������� ������� � � ����� � � �������� � �� ������� �� � ��� ���� ���������� ����� ��� � �,�� �"�� ��#

��� �� � H ��� � �� �� ��� ���� � �

$���� � ����� ��� �)������ � $ �� ������� � .�

45� ��6�����! ��/��, ��� ��/��2 � �� � �� ��!��*B �$ 5� $����� ������*�!! �! ����� !���� � $����!���' 5� �-��*�� ��!���$��� �� � ����� �!� �-$�� �� ��!���$���! )�5 ��!��* � � *����� ��������� ��!$�� .� @���-����B �� 5� !��*� �� ��!���$���! �! ��!*���B *��!�!��� �� � ��!���$���!)�5 ���!���! ��� ��� ��B ��� 5� ��������� . �! $����� �� 5� !��*�B 5��5� �-��*�� ��!���$��� �� 5� ����� 5�! !��� 5� ���!� �

����� ���

(�)B �� ����� � ���� "������+! �-������B 5� *��*�� �� � 6����06������ �! �������

��/����� (1)1#+ ,� �� ������ � �� �� � �� ������ 0% � �������� � � 7����� ,7������� � � ��4����� � ���� ��� ����� ��� ��� � �W�� �.�� ���� �� ��� � �� ��4������ � � �� � � � ������2� $ �� ��� ���� ��� ��6� � �� � �� �� ���� � H �� �� %

� ��� � H � % ��� ���� ��� ����� ��������� � �� ��� � �� $ �� ����� =

��

��������� � �� ��� �������� � � � �� ���������� � ��� �� ��� � �H �

����� ��6����� ��/��3 � ������ �! ��!*$��B �$ 5� ��6����� �! �� ��*����� !����� � !�;$��*� �� � ������ A�!����! �! *��*���� � *����*��� �������������� !����! �� !�:� AB ��*5 !���� *���� ��� � ��!���$��� J���)�� ����� ��� ����������� K $!��� 5� ����� � � ���*� "������+! �-�������! �*$��� � !�;$��*� �� � ������ A�!����!B ��5�$�5 5� ����� $!�� *������ *����� ��6����

��)����B 5� �����)��� ��� ����)! � �� �� �� 5� ���� !�!B ���� �� 5������ �! �� *������ A��)�'

���� (1)1#4 7�� � �� � ������% �� ��� ��� ��� �� � ��4����� � � 6���� 06������� �� ��� 0� ���� �� ��� ���� �%

�����

�����

����� H �� � �

/�

Page 36: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

C�� ��/��. ���! 5�B ���� 5�$�5 5� �� ��� �� !��*� �����B 5� ���!����� ���;$��* �� �� ���� �� � !�;$��*� �� � ������ A�!����! !��� *�������!� � ��������� B ��� 5�! ��������� �! 5� ��!$�� �� 5� ���� �**������ �5� �-��*�� ��!���$��� �� � � �� �� ��� )��� � A��) 5� ���;$��* �� ������ ��� ��;$���! � A��) 5� �-��*�� ��!���$����

� ������� �-�������� �� )5 5� �� ��� �� �����B ��� ��!� 5� ����� ����� ��/��.B *�� �� ��$�� �� E�����F�

(�) 5� ��*A���$�� �! !� ��� 5� ��- ��!$�B )5�*5 �! � D!5��+ ���!��� ������+! 5�����

"����� (1)1#5 6 �7����� ��& �� �����/���� ������8 7�� � �� �� ������� ��� ���� ��� ���$ �� ��� �4� ������#

'� �� � �����6 ���� ���@

&� �� � ����6 ���� ��� �� ������� � ��� ���@

-� �����

����E�� �� � ��H ������ �� ��� � � E�� � �@

1� �� ����� ��4����� � � 6���� 06������ ��� �� %

�����

�����

������������ H ������ �� ��� � � E�� � �

.��1 45� ����� �! ������'��� � �/� � 5���� ��/�,���� � �/� � *������� ��/�& �� 5���� ��/�.��/� � �,� � ��� ��/��.�

45�! 5���� �-�����! )5 "������+! C�) � ������ �� !$*5 �� �-������� �! "������ ���� <�!������ "������+! C�) ���! �� ��;$��� 5� � � ��������:���� �� � ��� !*���� �� ��!����������B ��� � � ����� 5�! � � ��� ��"������+! �-������ !�� �� 5� ��!���$���! )��� �������� ��� ��� !��!� ���� "������+! C�) �*����� �5���*�� !�;$��*�! ��� ��!��*��B �$ *�������5� )�5 �5��! !��! � 5��� *����� � !*���� ���R�� ��!���������� ���������!���$����

�� � !�;$��*� �� � ������ A�!����!B ��� 5� �-��*�� ��!���$��� ��� !� ���� �� ���;$��* *��*$�����!B !� ��������� �� 5� ��!���$��� ����)! ��� ����) *��*�$!���! �� ���;$��*��!� 45$! 5� ������� ��!���$��� �� �! � !���� ���*�*�� ���B ��� ��� 5� ;$�!���! ���$ 5� *����� J��5����5��!*���K!��*� �� ��!���$���! ��� �������� �� 5� *���- 5� !��*� �� ��!���$���! �! ��� ��A� 5� ������ $!�� J$�����!�� ���� �� *��!��!K��� ���*� �� � !��!� 5������� �����! ����B ���� �� � *��+ �� ������ 5� ����+! ������*5 �-�����!)5

5��� ��� �� ���$���� !������ ���*��$��! )5�*5 ���� � 5� �����!���$����

//

Page 37: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

*����, (1)1#9 ������ &�-�'A ��� �� �)���� � ����� $���� ��� � .� � ���������� 0 � �� ")� ���� �� �)�����!

��# � ��%������,�� �*��������/�����

45�! !�*��� ��! � �-������� ���5�� *5���*���:���� �� "������+! ��)B )5�*5)�! 6�! ��!����� � (������ ��� ���� ������ � ������B !�� E������F�

� � ! (��&��*�����

�� 5�! �5��� 5�!�! ��99��B (������ ��!����� 5� ����! �� $�����$���� �*�*�$���� ��� *��!�� !��!� "������+! C�)B ��� 5� �� !$*5 ��!! �� ���B

45� !$ �� ��� �����! )�5 ������� ���� � �! *��!�� ��� �����$! ��

���� 5� )��� J�����!K ���! J���!!��K� <� *�$�!� �� 5� �$���! 5��!����! )��� !$��B 5� !$ )�$�� �� �� *��!��B �! ��� �-���� � ��*$��������� �$��� )�$�� ������ �� � !$�

�� ��* � �A�! !��!� )5�� ��� ���A! � 5� ��!���$���� @�� ��!��*� �� �!���� �� ������! 5� �����)! � 6�!����� ������5�* ��)B 5��� ��� ��! �� �B� �� ��!! �� �B ��� ��� !� �� $��� 9� �� 5� !$ �� �! !5�$�� �� J��$�5� K ������� �-��*����� �;$�� � 5� �� �!B � 5� �� /!B �*���

(�) )5� )�! !��� ��� 5� 6�! ���� )�! ��!� ��!����� ��� 5� )� �����������!B 5� 5��� ������� ����!B �*��� @�� �-���� 5� !$ �� ��� 5� �����!5� ����� )�5 ���/, �! �;$�� ��� �-��*����� � 5� !$ �� ��� 5� �����! 5������ )�5 .�,2/��� ���� 5� 5� *��!������ �$��� �� !����6*�� ����! 5�! ��� 5� !��B 5��� , ��� �-������ �� ��$����� � ��!���$��� *�� �� ;$���6���! !$��������� �� ��� �� ��$��� �$��� A �6-���B 5� �-��*�� !$ �� 5����!!�� �� ��� �����! !����� )�5 � *����� A�$��� �� !����6*�� ����! �! 5�!�� �! 5� ��� �� �5�� A�$����

� � � �,��*���� $������ ���&��*����� �� ������&

��� �

������ 5�! !5�)� 5� 5� !$���������*� ������ �! � *5���*���:���� �� 5�������5�* ��)B �! �� �5�� ��) 5�! 5� ������ � @��! � ��) ������! 5���� �� �����'

=���� � � �B �� � ��� �� � 9� ��� ��� �� �� � � � �� � 9�'� �� -���� ��� ��� �� 5� !� �� ���� �$���! )5�!� 6�! !����6*�� ����!��� ��� ��� ���

� �� -���� ��� ��� �� 5� !� �� ���� �$���! �� E�� � � )5�!� 6�! !�������*�� ����! ��� ��� ��� ���

/,

Page 38: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

=���� � ��������� ��!$�� � �� ��� � � ����B ��6�� �� �� �E�� � �� � �E�� � ���! 5� *����!������� ���!!� ��������� ��!$��B ����'

�� E�� �� H �

��

����

E�� �� � �

� � � � E�� � �

�� � � ���� ��� ���� �� $��� $�� ����� U� � ���� � &�- !� 5�! ��) � �� ����A�� 5� �� 5� !� *����� !$���������*� ������ 5�

!$���� �! �� ��*�!!�� B ��� 5� �-��*���� �!� 45� !$���� �! (��������� �! �� ��* � )� � !�$��� 5� �������� 4�A� � �� ������� ������������� 5� *��! ��� � !$��������� ��!���$���B ��� �� � � �� M5� �!����� ��� � !$���������*� �! 5� 5� �*���������� �-��*���� �� �������� 5� ��� �����! )�5 ��� ��� � �� �! 5� !�� )5����� 5� A�$������� ��� � ��� �!� ���*� � ����� ��6����� �� !$���������*� *�� �� ����� �!�����)'

��/����� (1'1# � ����� � �� ������� � � ��� � � ��� �� � ���6 ���� ��� �% �� ��� ���� ��� ���� � $ �� ��� ��� � � % �� �� ��� ")� � ��% ��� �)������ �� �E������������ �������F ��� ������� $������� ��� 06��������� ��� � ��� � $ �� �� � ��� �� � 9� �� ��� �� �� � � � �� � 9�!�

(�) 5� ��� 5���� *�� �� !���'

"����� (1'1( � ����� � �� ������� � � ��� � � ��� �� � ���6 ���� ��� ��� ��� � �� E�� �� H ������

.��1@��! ��!���� 5�B ��� ��� ����! ��� ��� ��'

�E������������ �������F H �E������������ �������F H

��������� ����

� ��� ���

�.�

45�� ����A 5� ��� 5� !�! -���� � ��� ��� �� ��* �������!B 5��� 5�!�� ����5B !� (�-� ���� ( ����� ��� 7������� ������� � E�� � � !B ������ � ������� �� E�� � ��

�$���!� !$���������*�B ���� 5� �-��*����! �� �.� ��� *��!�� ������5��� ���$�

�� � ��� ����B ��� !$ 5� ���� ��� !�! -���� � ���'

�������

���������

������

��������� ����

� ��� ��� H

� �

� ��� ���

� 9

(�-�

��

� ��� ��� H

� �

� ��� ���

/2

Page 39: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ��� ��� �)������ �� ��� ������� �� ���� ����� ��� ����� ���� � � �� �6

������� � ������ (�-� � E�� � � !

���

� ��� ��� H(�-�

9

� �

� ��� ��� �&�

������!�� B �� 5� �;$��� �&� �! ����� ��� ��� !�! - �� 5� ��� -���� � ���B5�� � �! �����$!� !$��������� !��*� 5�� 5� �-��*����! �� �.� ��� *��!���

���*� 5� �;$��� �&� �! � ��*�!!�� ��� !$Æ*��� *������� ��� !$���������*��(�) !$���!� �� �! 5� ������5�* ��)

���� ��� H �

�� ����B ��� !$�!�$�

�� ��5 !���! �� �&�' ��

� ��� ��� H�

�� � (�-�

���'(�-�

9

� �

� ��� ��� H(�-�

9� 9

�� �

�� 5� �;$��� �&� �! ����6���������!�� B !$���!� 5� �&� 5���! ��� ��� - �� 5� ��� -���� � ���� %���

������� �� E�� � � *�� �� �����!���� �! � *�$����� $���� �� !$*5 !�!B !� � !$��� 5� �������!B �&� 5���! ��� ���� ��������

"�5 !���! �� �&� *�� ��6�� � ��������� ��!$�� �� 5� !� -B ��� 5�!���!$��! ��� 5$! �;$�� �� 5� !� �� �������! �� E�� � �� " ����5����� +!�-��!��� 5����B 5�! �! ���$�5 � ��!$�� 5��� *����� �;$��� �� 5� !��� "����! �� E�� � ��

���*� � ��� ��� �! ����������� � ��B ��� !� ��� ��� �! ����������� �� ���

" ������:��� ���� E�� � � � �����)! 5� ��� ��� H � �� ���B ���� �� �! 5�

������5�* ��)�

��& 0�*�� ��%�������

45�! !�*��� ����Q ���!��! !�� �5�� �����!��� ��������! �� "������+! C�)B)5�*5 � �-����� )5 � �**$�! !� ���;$��� B �!��*���� �� *��$��� ���5���*!�

� � ! ��*����

�� � !��!6�! "������+! C�)B ;$�� � ��) ��!�* �$�*���! �� � )��� ��$�� � !���!� "������+! C�) �! )���� �� �� 5� �! !���� �! 5� �����!� �5�! ������ �! �A�� ��� E��5�A��� P ���A��F��

.������� (1-1# *� � � � ���� ��� ���� ���� ���� ��� ���$� ��� ��6�� ��� � ��$% ���� ����� ��� ���$� ��� ���� ��� � ��$�

/3

Page 40: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

.��1 @�� ��� � � E�� � �'

�������� � E�� ��� H ��

��� �

������

E�� �� � �

H ��

� �

������

��

�� �

�� �

H ��

���� �

��

�� �

��

H �� ���

��

�H ������

� � � ���������� �� ��*�����

45�! ��� �! ��!����� ��� E�����F� "�*�$!� 5� �-�����! �� �� ��� � ������ 5� ���!!� �� 5� ����$* �� )� ���� �$���!B � �! ��5�� ��! � �������� �-���!!��� �� �! ��!���$����

.������� (1-1( 7�� ��. �� �$ ���� ��� �����% �� ��� �� � �� / �� ���������� �� ��� � �� � ����% ��. �% �� ���. �� ����% �� ��� � � E�� ��#

/��� H

� �

��� ��

����� ��L

� �

��

���

����� �� �9�

.��1 C� � B 0B ��� 1 �� 5� ��!��*��� ��������� ��!���$��� �$�*���!�� ����B ��. �B ��� ���. ��

(�) �� � ��� % �� )� ���� �$���!� M�5�$ ��!! �� �������� B !$���!��� % �� E�� ��� 45� ���!!� �� �% �! 5�� ����� � '

���%� H

���% �� � � �% � � �� �� � � �% � ��

���*� ��� ��� � � E�� ��B

���%� � � �� ���% � ��� �� � � ��� � � �%

�� ��% � �

��� � % � ��

/.

Page 41: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

11

b

b

z

z

y=bz/x

y=b/xy=z/x

@��$�� ��/' ���%� � �

������ 5� !5���� ������ ��� 5��� ��� �������'

1��� H

� �

� ��

������%� �%��L

� �

� �

������%� �%��L

� �

� ��

������%� �%��

H

� �

�0� ��

��0��� L0����0

��

������ ��

L

� �

�0

���

��0

��

������ ��

��0������� )�5 ��!��* � �'

/��� H ����

�0����0��� L0����0

��

��0��� L0

��

��

L

� �

��� ��

����� ��L

� �

��

���

����� ��

H

� �

��� ��

����� ��L

� �

��

���

����� ��

/&

Page 42: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

��������*� � $�����*���� �! � ;$�� ��:��� ������ � �� ��* � �! �$���� $�����*���� � ��� �*����$�$!� ����� ��������'

.������� (1-1) 7�� . �� � ���� ��� ���� ���� ��� �"�� �����2� 7�$�7�� � �� �� ��� ����� ���� ��� ���� $ �� � ��� ���� ��� ��� ���� �.��� �"�� �����2� 7�$�

.��1 M�5 5� !�� ������! �! �� �����!���� ��2��B �� ��%� H �� �� � ��

�9� ����� S !��!6�! "������+! C�)�'

/��� H

� �

� �� ����� ��L

� �

�� �� ����� ��

H�

� �� �

� �

���� ��

H�

� �� ������ NS !��!6�! "������+! C�)� �� �

�� ������ *������� �� �����!����! ��2�� ��� ��2�/ �! 5� ��������*� �!��!� �$� ��� ����!���'

.������� (1-1' 7�� . �� � ��.��! ���� ��� ���� ���� ��� �"�� ���6��2� 7�$� 7�� � �� �� ��� ����� ��.��! ���� ��� ���� $ �� � ��� ������� ��� ���� �

� �� �� ��� ��� �����2� 7�$�

45�!� ��!$�! ������!����! ��2�/ ��� ��2�,� �$������ 5�B �� 5� *�!� ��� ���� !����! �� $�����*���� ���R�� ����!���!B �� ��� �� 5� ������� 5�����!� �� ��� � !��!� "������+! C�)B 5�� 5� )5��� �����)��� !�;$��*� ���$���! )��� !��!� "������+! C�)� 45� ��� ���)��*A �� 5�! �! 5� ���������� 5�! � !��!� J�-�*� K "������+! C�)�

� � � -��*�������

"�!���! 5� ��!$�! ���!���� �� !�*��� ��2��B ����� ��$�� 5��� �! �� ������� ��:��� ��!$� ���$ $�����*����B )5�*5 �-�����! )5 �� ���� *��$�����! "������+! C�) ��5 ������ J�$ �� ��)5���K� �� ��* � ����$* ������� ��������! 5�����! � �� J*��!��K ��� 5� �����)��� !��!�� � "������+!C�) 5�� �! �������!�

��/����� (1-1- ��"�� ��� ����� ��! ������ � ��� �� � � �����2� 7�$��#

���� H �-��� �

��������� 2���2���

����$���� 2��� H �

� �� � �

(�) ��� 5� ����$�*�� ���� !����� ��!$�'

/9

Page 43: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

.������� (1-1+ >� �� ��� ���� ���� �� �� � ���� � � &�B�&?

��/� � �������� �����

.��1%;$���� �� � !� ! 5�B ��� �� ���!� �'

2��� H

� �

�2� ��

����� ��L

� �

�2

���

����� ��

>5�� ���� �� � ��� �� ��� ������ �� � ������ � ��� ����?(�) !$�!��* 5�! ��� �-���!!��� �9�B ��� ������ � 2���'

/���� 2���2���

H

� �

����

���

�� 2 � � �2���

��

L

� �

�����

����

�� 2 � �� �2���

��

H

� �

�������

�� 2 � � �2��

� ��

L

� �

��������

�� 2 � �� �2���

� ��

���*� ���� �� E�� ��B����/���� 2���2���

���� �� �

�������� ��L

� �

�������� ��

� ����

45������� ��/� � ����B ��� !��*� � ��� � ��� *����� ����*5��������B��/� � �������� ������

<� *�$�!� 5�! ���!�+ ��� 5��� �! �� �*$�� *��������*�B !��*� ��� �-������ � �! 5� ����* �$�*��� � 5�� ��/� H ����� "$ �� �� ���*�*�� *�!�!5� ���;$��� )��� �� !��* !� 5� *��������*� )��� 5����� �!�� ��� ��!��*�E�*5��F �� )5�*5 �����$! *�!�! ��� �����)��B ��� !�� ��!� 5� *�!� �� � ����$*�� $�����! ����)��

*����, (1-14 ��� ������ &�B�C � ��� ���� �� � � �% ��� ��� �� � ��4� ����� �)����� � � ��� ��� �� � ��� ���� ��� � � ��� 6�� ���� ��� � � ����6 ���� >9��� ��? ��� �!�

��5�A��� ��� ���A�� 5��� ��$�� 5�B �� ��� � � � ��� $����� ��������������� ��������!B �! ���*��� 5� !�;$��*�! ���� �� ��� �

�� !��!� "���

����+! C�)� 45�! �! �� *�$�!� ������ � 5� ��!$� ��2�3B )5�*5 �! 5�)���� �����������

,

Page 44: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�*$��� B � �! ��!!���� � �� �� �-�* �-���!!��� �� 5� ��!��*� �� � �����$* ���� �� � "������+! C�)B �**������ � 5� �$��� �� �������! �� ��E�����F 5� �����)��� ��!$�! ��� ���!����'

($��� ��!��*��� �������! � "������+! C�)

� ��22&� �/,2,/ � 9& , � �&9

45�! !5�)! 5� *��������*�B �� 5� *�!� �� � ����$* �� $�����!B �A�!���*� ��5�� ;$�*A� ���

� � � .������� �� ��$�������

45� ����*���� �� ��������*� ��!*����� �� ��2�� ��!� �-�!! ��� �������B �$ � �!�� �! !����5���)���� �� ��* 5��� �! �� ��! ���$�� ��� 5� ���!!� �� �!$B �! 5� �-�����! �� 5� �������! ��!� ��� � ��� ��� �� 5� ��!$��

����� 5�! ������ 5�B $���� *����� !$���!����!B ������� �����! "�������+! C�) �������� �!�� E�����F�� �������� !�� �$5��! 5��� !5�)� 5�5� ��!���$��� �� � !$ �� ����� ��������! *�������! � "������+! C�)B ��� *����� !��!� �1� ��� 1��!: ���!B !�� E�*5��F ��� 5� �����! �������*��5����� <� *�$�!� 5��� ��� ��! �� !$����� �5��!B ��� ���� 5��� *�� ����� � J� *����� !��!�KB !� 5�! ��� ����� )�$�� ��;$��� � ��� ���� !$� ���

%��� �� ��������*� � ������� �����! 5� �$5�� � �� $�*�����*��B � )�!��$�� 5� !����! �����*��� � )��A! ;$�� )��� �!�� !�*��� /������

��( 1�2����� ��� �������� ���

���*� "������ $!�� �5���*�� !�;$��*�! �� 5�! �-������B ��� ��!� !��*� 5����� � ����� 5�! ��) �� 5� ��$��� !�;$��*� �� ������!B �� �$5��! )��������!�� �� ����!������ "������+! C�) ��� !�;$��*�!�

� / ! 0�#������ �� ����� ��������

�� )5� �����)! 5� ��!� *��!������ �! � ��� !����*� B �$ �! ��)� ! ���� 5���*�� �� ��!�� �-����� � �� ��!�� @�� !�;$��*�! "������+! C�) 5�! � ��*$�����-���!!���B ���� 5� ��6����� �� ����� ��4������'

��/����� (1+1# � ���� ��4����� ������� � ����� � ����� ��4����� �#

�����

G

��

+

�����

�������

�H ��� �

,�

Page 45: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

*����, (1+1( ��� �"� � � &�C�' � � ����� ��� ��% � ��� ����� ���� ���� � � �� ���4����� ���� � � ���� ��� � ��$� ���� � $�� ���� ��4������ ������� ��� ����� ;�����< ����� ��4������� D���� �"� � �� ���� ���� � ��� ��� �� �)����� >�� � ?!% �� ���� ��� � ;$��0< ����� ��4������� ������ � ���� ���� �"� � �� ��� �) ��% � ���� $ �� �� �� ��� ��� �����

"������ !�;$��*�! ��� *��!�� ������ � 5� ���$! �� ����� ��� ������� ' !�;$��*�!B 6�! !$���� � ������ M��� �� �9�3 �!�� EM� �F�� ��� 5�A��)� ��!$�! ���$ 5�!� !�;$��*�! ��� !$�� $� �� EO$����! P (����������F�

45� �����)��� 5���� �!�� ��� �-���� E���*���!F� �A�! 5� ������� �-����*�'

"����� (1+1) ��� ���� ��4����� ������� � � ����� ��4����� � �� ��� � ��� ��4����� ������������ � �� ����� ��� ���� ��� '�

.��1 45� ����� ����� 5��� �! � !5�� ���� � �� �� !� ������$!� ���B !������� E���*���!F ��� � ������� ����

�� ��������� �! $������ ��!���$�� ��$�� �B 5�! !�;$��*� *�� �� *��!������� �! � !���� ��� � $����� ��!���$���� �**������ � 5� ������ ���������� ���*��$�� �!�*��� ����,B ��� ����A ����� �B 5� !�;$��*� ���� *�� 5$! ��*��!������ �! � !���� ��� � ��!���$��� 5� !��!6�! "������+! C�)� "�*�$!��� 5� ���;$��* �������� ��6����� ��3��B ���� �! 5��*� � "������ !�;$��*� ����*�����!�� ��

(�) 5� �����)��� $!��$� 5����! ���$ $������ ��!���$�� !�;$��*�!���$�� �� 5��� � �� ���!���� �!�� *5����! � ��� � �� EO$����! P (����������F��� 5� �����!�'

"����� (1+1' *� ���� � �� ����� ��� ���� ��� '% �� �%�� � �������� ������%�� H # � � � �������% ���� �%�� � �� ����� ��� ���� ���'�

"����� (1+1- 6<�$��� ��������8 ���� � �� ����� ��� ���� ��� ' � �� ��� �% �� ��� / � �� %

�����

+

�����

*���� H

"����� (1+1+ 6=�� ��� ������ �������� �� ����������� ����8 7���� � � �% � � �% �� � � ����� � �$ �� ������ ���� � E�� �F $ �� � ����� 3 � � � ����� � �3 � �� � � E�� �F� ���������

�����

*���!���

����� � ��� ����� � �����L ��

�,

3L /

�����

"����� (1+14 60�:���� ������8 *� ������ � �� ����� ��� ���� ���'% ����

�� !$� �����L ��� ����� H��

,�

Page 46: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� / � 1�������� ��,������

.������� (1+15 � ������ � ��4����� ���� � � ����� ��4����� � ����� � ������ � ���� ����

.��1 " 5���� ��3�/B ���� �! � "������ !�;$��*� �� ��� ��� �� �� ��������! $������ ��!���$�� �� �� � 5�! ���� ���� A��)� 5� 5� ��� !�;$��*�!�� 5� ��� ��#� 5� ��� $������ ��!���$�� ��$�� � ��� 5�!� ��� )5�*5# �! ��������� �!�� EM� �F �������

�3����� (1+19 D� ����� �� � ���� ������� ��� � ����� ��� ��4������% ����$� �� ��� ��� � ������� �� � ��� ��� �)��� � ���� ������� �� � �����2�7�$ � �������

� / � ���� �� ����

45� )� !�;$��*�! ��>� ��� ���� ��� "������ !�;$��*�!� 45� ��� ��*�$���5��� � !5�) !�� �-����! �� 5� 7��� $!� �� M� �+! �$������� *��������5���� ��3�2� ��� 8�� ��� ����$+! �!��� �5���� ��3�3��

� @�� ���� 5�! �! ;$�� !����5���)���'C� / � ��B + � �� B ��� �$ � H �B � H + B ��� ���� H /� ������ �� �����

� ���� H / ������ L /

� ����� H/

�� 3 H

�/��

� �

+

����������

*����� �� ���

����� � �

+��/� ����+� L ��

,

�+

�/� L /

H 4

�����+�

+��

�� �! + ��

���*� � M� �+! *������� �� ������� �! $������ ��!���$�� �� �B ���� 5���� ��3�/ ���� �! � "������ !�;$��*��

� @�� ��>� 5�! �! � �� ��� ��Æ*$�'

@��! ��*��� �������+! ���$��'

�> � ��5����

�� �*��

,/

Page 47: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

45$! 5� !�;$��*�

�����>�����L

�������� �

���� ��

����! � � *��!�� �! ���B ��� � 5����! ��3�, � �! 5��*� !$Æ*���� !5�) 5�

��L �

������� L ��

!�! $������ ��!���$�� ��$�� ��

)5��� � H � ������ *��!��

��

�� �� / � ��B+ � �� B ��� �$ � H �B � H + B ��� ���� H /��L �

�������L

/�� �� �����

� ���� H / ������ L /L/

��L /�

� ����� H/

�� /

���

�� 3 H �/�

��

+� �

�+�

��

� �

+

����������

*���!���

����� � �

+

��/� ����+� L

����/�������

+� �

�L �

�,�+"�/���+ � ��

L /

H 4

�����+�

+��

�� �! + ��

@����� 5� $!� �� M� �+! *������� ��� 5���� ��3�/ *�����! 5� ������

� / � 2���� ��,������

���� !�� ����"������ !�;$��*�! )��� �� ���!����� �� ������� 5� � !�;$��*��! �� "������B 5���� ��3�. �! ��� $!��$�B �� ��5�� �! �����)��� ������*������� �$!� 5���� ��3�/ ��� ���� H �������'

�����$ (1+1#2 *� ���� � � ����� ��4�����% ���� � �������

����

?!��� 5� *������� B ����B ���� ��� ����� �� *�� �� ��!�� ������ �� � ��"������B )5����� � �!�

� @�� ����' � ��������

�H �� ��

�� L �

�� �

� @�� ����' � �����������

�H � ��

�� L �

�� �

� @�� ������� ' � ����� ������� �

�H � ��

�� L

����� ����

�� �

��� �

���B 6���� B � �� *�����B !������ �5�� !�;$��*�! )��� ��$�� � �� "�������B ��A� ������ �!�� E���*���!F�B 5� C$*�! ��� @�����**� !�;$��*�!B ��� �5����*$�!���� ��6��� !�;$��*�! �!�� E�*5��F ��� 5� �����! �������*�� 5�������

,,

Page 48: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

���� ��

���������� �� ����� ��

���

,2

Page 49: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

������ �

���� ������� �� ����� ��

���

�� 3�1� ������� ��� ����

45�! !�*��� ���!��! ��!$�! ���$ !�� �������5�* ��� *���� ��� 5�?��� ���!$! "$���$ �)))�*��!$!������

� ! ! 3�������� �� ��� 4 ( ��������

�� �992 (������ ��� M��� ��$�� 5� 5� �99 *��!$! ���$�����! �� 5� /�,�*�$���! �� 5� ?���� ���! �����)�� "������+! ��) �!�� E�����F�� 45� ��!���$�� 5� � )�! �$� ��� 5� �����*�� ���$�! ��� �99� ��� �99��

� ���! ����B �� � B ���5�� *��!$! )�! ������:�� �� 5� ?���B !� 5� ������ *5�*A��� "������+! C�) �� 5� ��������� ��� )�! ;$�� �����:���� �� � )�!�$�B 5�� 5� J"����������"��������$K �! �!�� !�*��� ��3� )�$�� �0�*���� �� $!��$� �� �$������ ����! ��� ���$����� ���)5�

@��$��! /�� ��� /�� ���!�� 5�!����! �� 5� 6�! ���� ��� ��5 � ����99 �

�������� B ��5 6�! ����! ��� ��� D*��!�+ � "������+! C�)� X$���� ���5� ��!��*� �! 5�)���� � �� ��*A B �! �� !����! �� !$*5 !�:� 5� �5��!;$����! ��)� ! ��7�*! 5� �$�� 5 ��5�!�! ��� ���!������ *��6���*� �����!�

1�*��� 5� 5� �5��!;$��� !��!�* �! ��6��� � '

H + ������

��� � *���*�

)5��� + �! 5� !���� !�:�B � �! 5� �$��� �� *��!!�!B ��� ��� *� ��� ��!��*���� 5� ��!����� ��� �-��*�� ���������! ��� 5� *��!! ��

�� 5� �5��!;$��� �!B 5� �$�� 5 ��5�!�! �! J5� !���� *��! ��� 5���!���$��� )�5 ������ ����������KB !� 5� �$�� 5 ��5�!�! �! ��7�*�� �� �! ������

,3

Page 50: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1�*��� ��!� 5� $���� 5� �$�� 5 ��5�!�! � � 6����� 45$! 5� �����$� ��� 5��! �! �� ������B )5��� ���� �! 5� *����� �� 6�����

��)���� �� + �! �����B )��� ��� � �� �����B ��� ���� �� 5��� ��� �� �����!B 5� !���� � �� �� ���� � ������*5 ���$�5 5� �-��*�� ��) ���*���!� � 45�! *�� �� !��� �! � ��� �� 5� (� �������!�� 5��� B !�� EC� F��� ��!��*� ��� 5� �����! �������*�� 5����

45� �! )5 B 5��� ��� 5��$�5�$B ��5 5� ����� �5��!;$��� ��� 5� ��!���*�

�������� � *��� �)�5 5� !�� ������! �! �� 5� �5��!;$���� )��� ��

!5�)�� 45� ���� !�! 5�� ��;$���! ��� D*��� !��!�+ 5�� !��* �5����*�� *��*$�����!� 45� �$5�� 6��! 5� 5� ��*��� ����� �� 5� ��!��*��������! � ���� ���� �� 5�) "������+! C�) �! 6 � � ���!�� �� ����*$���B ���5� 6�! ���� �� ��!� � B � ��!��*� �� 5� ����� �� � �� *�� �� *��!������ �! ����$ ���$� ��� *������ ' � ���! 5� �� ������� ��� � *�� �! �� 5� ������� ��)��� � �� ��� � � ����� 5� ��!��$� ��0����*� ��)��� 5� ��!��������;$��* ��� 5� �����*�� ��������� �! �� ������� ��)��� �Y ��� ��Y� �45� �5��!;$��� ��� 5� �����$� $! �� *��!������ )�5 � �� �� ������*��

@�� 5� 6�! ���� �� 5� /�,� ?��� *�$���! 5� ��!$�! ��� 5� �����)���'

S��� �5��!;$��� ��!��*� �����$��99 �2�� 3�� � �� 2Y� � � /� � �� �3Y

(�) )5� *�$�� �� 5� �-�������� �� !$*5 � �5�������I45��� ��5 �� � ��� !���� ��!)��� �� ��* � �A�! !��!� � !$���!� 5�

5� ���$����� �� � ����� *�$� �! � ������* !�;$��*� )�5 ��!��* � ��B!��*� �! ���)5 ��� �! ��$�5� *��!��� ���*� � �����)! "������+! C�) �!��!�*��� ��3��� ���� ��� ��� ��) �� ��� �A�! ��! �� *�$���! � �� ����������A� �� � !$��� �B 5��� !5�$�� �� *�$���! � ���� J!���K �� ��� �� 5�����$��� �� �� !����!B 5� ���*�!! �� !$��� ��� !��! � A��� "������+! C�)�������� ��� �� ��!���$��� � ��!���� ��!���$����

,.

Page 51: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

US counties 2000Benford

@��$�� /��' ���$����� �� 5� /�,� ?��� *�$���! �� �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

US counties 1990Benford

@��$�� /��' ���$����� �� 5� /�,� ?��� *�$���! �� �99

,&

Page 52: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ! � .$����� �� ����*� ������

45� ��!��$� *5���� �! 5� �� *5���� �� ���$�����! �� 5� ?��� *�$���! ���)��� �99 ��� � � 45� *5���� �! �A�� �! �� ��!��$� ���$� !��*� !��*�$���! 5��� ��! ��5�����!�

45� ������� *5���� �! !��� 5� *5���� �� ���*�����B ��*� ����� �� ��!��$����$��

@��$�� /�/ ��� /�, !5�) 5� ��!��$� *5���� �! ;$�� *��!� ��� "������+!C�)B )5����! ������� *5���� �! �� ����� � M5� !��5�) *��6�! 5�! ��!�������� ��� 5� �5��!;$��� ��!$�!'

4 �� �5��!;$��� ��!��*� �����$���!��$� 9�3 ��& � �� / Y1������ 33�9 /� � � Y

�� �-�������� �� "������+! C�) �! 5��� � �� ��!*$��� ��!��$� *5���� *���� !��� �! � �����:���� �� � �. B )5��� ��5 � ��� . !��!� "������+! C�)���45������� � ����)! � 5��A 5� ��������*� � !$�!��*��� ���� � ���������! D!����!+ �$��

1������ *5���� ���!�! ���5�� ������� � *�� �� !��� �! � �����:���� ������ B !� � $�����*���� ��������*� �!�� !�*��� ��2���B � )�$�� ������ ��

� ���� 6 � "������+! C�)� "$ 5��� 5� ��� �� ��!������� � D*���!��!�+ �! ���*5��B ���� 5� ;$�!��� J�! 5� 6 �� 6�$�� /�, ���� �� ��IK *������ ���*�!�� ��!)�����

,9

Page 53: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

Absolute change 1990-2000Benford

@��$�� /�/' ��!��$� *5���� �� 5� ���$����� �� 5� ?��� *�$���! ��)��� �99 ��� �

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3 Relative change 1990-2000Benford

@��$�� /�,' 1������ *5���� �� 5� ���$����� �� 5� ?��� *�$���! ��)��� �99 ��� �

2

Page 54: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ! � 3�������� �� ��� 4 ( �����

@��$�� /�2 !5�)! 5� ���$�����! �� 5� ?��� !��� �)�! �A�� ��� 5� � *��!$! ��� ��� *��!� � "������+! C�)B ��� �� � !��!� 5�� 5� *�$���!� 45����!�� �! *������ 5� 5� ���!� �! $*5 ������B ��� 5��*� �� �! ���*��*5���*�� �� "������+! C�) �A�! ���*�� ���� �� *�$�!� 5� �5��!;$��� ��� 5������$� ��� 5�)���� ������:�� � �� � 5� !���� !�:� ��2�2 ��

�5��!;$��� ��!��*� �����$�4�)�! �2�� 9�� � �� 3Y

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

US TownsBenford

@��$�� /�2' ���$����� �� �2�2 ?��� �)�! �� �

�� 4����* ����������� ��� ������

45� ���$�����! �� @���*5 ��������! ��� ������! ���0���� A��� �� ������!����� !$����!���!� ��� 5��� *5�*A�� ��� *������ � "������+! C�)� 45���� ��� �A�� ��� �(�%% �)))���!�������

� � ! 0����������

� �������� �! � !��� �����!����� !$�����!��� �� @���*� ��� ���� �� ������-������ 6�� 5�$!��� !;$��� A������!�B ��� 5��� ��� 99 �� 5� ����� ���*�$���� ����!��! ��������!��

2�

Page 55: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

@��$�� /�3 ��� 5� �5��!;$��� ��!$�! ����) ���� � 5� !�� *��*�$!���' �*���� �� !$���!�� 5� 5� ���$�����! �� @���*5 ��������! �����) "�������+! C�)� �� ��*B 5� ���!� �! �� ����� ���$�5 � !�� "������+! C�) *����� ������� �$*5 � ���!� �! !$�7�* � �� $*5 ������*�T �� ��� �-���� 5� ����$�����! 5�� ���� �A�� ��*5 ��� 5��$�5 5� )5��� *��$� B 5�� "������+!C�) )�$�� ������� 5��� ���� ��!������

S��� �5��!;$��� ��!��*� �����$��99 �2�, .�9 � � �2Y�999 � �� ��/ � �� 2Y

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

French departementsBenford

@��$�� /�3' ���$����� �� 5� 99 @���*5 ��������! �� �999

� � � +������

� ������ �! � ������ �����!����� !$�����!��� �� @���*� � ��*��� � ������)�$�� ��*�$�� , ��������!�B ��� 5��� ��� �3 �� 5��

45� *��*�$!��� �! �!!������ 5� !�� �! ��� 5� ��������!B !��*� 5����!� �! ���� !������ � 5�! � �� ���� 5� ��� ��5 5� ��������! ���5� ������! 5� �5��!;$��� �! !��! � �� !����6*���

S��� �5��!;$��� ��!��*� �����$��99 &�� /�. � �� ,�Y�999 .�. /�2 � �� ,.Y

2�

Page 56: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

0.4French regionsBenford

@��$�� /�.' ���$����� �� 5� �3 @���*5 ������! �� �999

� '����� ����� ����

�� 5�! �9/& �-������B "������ $!�� 5� !��� �����!!�! �� /,� !*����!! �A����� ���� ��� ��� � �� ����� ��� 5� 6 � 5� ������5�* ��) )�! ��� *��!�B ��� �� 5� ��! ������� ���*� 5��B � �! � �� 5� ���!� 5� )�! 5��! ��A�� ���$ �� *�������*�!� M5 !5�$�� !$*5 � ���!� �����) "������+!C�)I 45��� �! �� ������$! ��!)��B 5� ��� !��!��*�� ��� �! ���5��! 5�J5��� ��� ��� !5�� !���! 5�� ���� ���!K��� <� *�$�!� � �! *������ $!���!!B !� �7$!�6��� � �� $*5 ��!���*5 5�! ���� ���� �� 5� !$�7�*�

45� �$5�� )�! ��� !A���*�� ���$ 5�! ���A� ���$ "������+! C�) �� ��������B � 5� )� �B ��� )���� � !5�) 5� "������ 5�� D�$*A+ �� 5�! �-�������45� !��� �����!!�! �� 2�2 %�!��� !$���! )��� 5$! ���� :����� "�5 5�5�!���� �6�$�� /�&� ��� 5� �5��!;$��� ��!$�! ��� ;$�� ��:������

�5��!;$��� ��!��*� �����$�����!!�! 3�, 9�� � �� 3 Y

*����, )1)1# ��� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ������� 6 � ���� $�� ����������2 �������6� ����� $��� ����� � ��� �� ��� ������ ����� ���������� � � �� �������% �� ����� ��� ������ � ��� �������2 $� ������� �6����� ���� ��� ���� ���� �����

2/

Page 57: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

AdressesBenford

@��$�� /�&' ���� �����!!�! �� 2�2 %�!��� !$���! �� � �� �

2,

Page 58: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

������

���� �� ��������� ��

��� �������

#�� )*� ������ ���

��� ��������*�! �� "������+! C�) ��� !� ��:��� 5� 5� ��!���� � ��*5�*A�� �����*��� � �� 5�! !�*��� 5� ���!� $!�� � *5�*A 5�!� ��������*�!�! �����$*���

� ! ! ������� �������)

45� ���!� $!��B )5�*5 5��� ��� 5��$�5�$ )��� �� *����� �B �! � ���� ���!��� �9. & �����!B ��� *��!�!! �� � �-$�� �� *�$���! ��� �)�! �A�� ��� 5�� ?��� ���!$!� 45� ��* 5� � �! � ���� ���!� �! �� 5��� ������ ���!���T �� 5� *$���� *���- � �! *��!������ �! � ����� "������ ���!� )�5 ��� �� D��$���+ ���!� �)5�*5 �! ���� � $!� 5�� � �����* "������ ���!���

��)����B 5� *������ �� � � "������+! C�) 5�! 6�! � �� *5�*A���@��$��! ,�� ��� ,�� !5�) 5�!����! ��� 5� 6�! ��� !�*��� ����! �� �� 45���- ���� *��6�! )5� *�� �� ��!�����B ���� 5� 5� 6�! ���� 5�! � �-*�����6B )5����! 5� !�*��� 5�! � ���$ ����

���� �5��!;$��� ��!��*� �����$�@��! 3�� /�2 � �� 3,Y��*��� ,&�. ��2 � �� Y

22

Page 59: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

Dataset DBenford

@��$�� ,��' @��! ���� �� �

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Second digit

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

ObservedBenford

@��$�� ,��' ��*��� ���� �� �

23

Page 60: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� ! � 5��� ���������

"������+! C�) �! $!�� � �**�$���! � ���* ���$� ���R�� �$���*��� ����� �! � ���� ���� ����� �� ����B ��A� �� �5�� �$��!B ���� �� "������+! C�) �! ��!��!6��B 5�� � �! �������� 5� 5� ���!� )�! ����$���� �!� �$�5�� �������� �!! ��� ��*�!!�� �B �$ *�����!�� � ���� "������ ���!� *�$�� ��!!��� �� ���$�$����

�*$��� 5�! �! 5� *�!� �� 5� ���!� �� � )�! ������� � �!�A�B �-���!�� �� 5� ���$�����! �� �)�! ��� *�$���!� M5� �A�! � D���$�$���+ �!5� !�� �� 5� �����! ��� !$! �� �5��! �� *�$� �! ������� ��� !�������)�!�� ���*� !�� �� 5� ��� �� � ��� 5����� �$���*���B �� �� 5� �����!��!� �$ �� 5� !��!� 5� 5� ��� !��� ��� !$!� (� ��� ��� "������+!C�) �� 5��� � !�� 5� A��� �� �$���*���� �)5�*5 �! ����*���B �$ ��!� ���*�� *������ !� 5� � ��� 5� 6 �����

���5�� �-������ )�! 5�� ��������B � !�� 5�) ������� "������+! C�)*�� �� �� ���$� ���*���� 45� �������� ���!� )�! *�������� � � !������� � ����� ��!���$��� )�5 5� !�� ��� ��� 5� !�� ������*�� 45���� )��� �����*�� � ����� �� � � 5� ���$�$��� ���!B !� 5� 5� !�:� ��5� ���!� )�! A�� *��!��� 45�! )�! �A�� �! � ���� ��� � *����� ���$�B�$ 5��� ��� �$���$! �5�� �5��! ��� *�� 5��A ���$�

@��$�� ,�/ !5�)! 5� ����$��� �� 5� ��!��*� ��� "������+! C�)B �**������� 5� !�:� �� 5� ���$�$��� !���� ����!���� 5��� �! � ���*����� �� 5� !�:��� 5� )5��� ���!��� 45� ����� �� *��������� )�! *5�!�� � �� �� YB ������� � �� �����!�*�

������� ����A! 5��� � �� ����'

� �� �-�������� *$��� )�! ��$�� �����5�*��� � � �� � ��� ���� 6B )5�*5���! 5� 5� ��!��*� � "������+! C�) ��*���!�! �-��������� �! 5����!� �! ��� *��������� 45�! �A�! 5�! !���� ��!��*� � ��!!������� �� ���$� ���*���B �$ ��� 5� ������ )��� 5�� �� � ��!��� � *����*)������ ������

� 45� ������*� �� 5� ��!��*� �! �����B �!��*���� ��� 5��5 �����! �� *����������B !� 5�! )������ ����� � �� �� �**$��� � ���� @�� ��!��*�B �!�� ��!��*� ���$� )�! �����-������ ��$�� ��� � ����� �� /�2Y ��� ���� ����� �� &�2Y� ��������� ��$��� ���!� ��� �*$�� ���$� ��5 5$! ������� ��*A �

� 45� ��*��� ����� �� 5� ��!��*� �!��� !��5�) *������*! )5� )�!!��� �� !�*��� /����B ���� 5� � �� )�! � ���$ ���$� ��� *������ ������� �� ����� �� � �� !��! � �� ;$�� ���B !��*� � *����!����! � �*��������� ����� �� � Y� 45�! A��� �� ���� !�! 5���! � ;$���� )5�!5�$�� �� �-��*�� ��� 5� ��!��*��

<� *�$�!� ���� 5��� 5� )�! ���� 5��� �! ��!�� �� � �������5�* ���!�5� ����� ��� ����� ���� )�$�� 5��� 5� �����! � ���$�� ��� 5� A��� �����$� $!�� �! ��� �� �-����B �� �� *�!�! !���� �$���*����! ��� ���������

2.

Page 61: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0%

Contamination

0.0

5.0*10-005

1.0*10-004

1.5*10-004

2.0*10-004

Distance

@��$�� ,�/' ���*��� �� ���$�$��� ��� �� �

#�� 1����, ��� ���,��%�������

�*���� ��� ��!����������*� ��� !�� �� 5� �! ������ ��������*�! �� "�������+! C�)� �� 5�! !�*��� 5� )��� �� �-��!���� �!�� �� ��

� � ! (�� ��*�����

45� ���!� � )�! $������� � 9� *��!��! ���$���� !��*�� ��)��� � ���� �5��*� )�5 � !�� �� ���� @��$�� ,�, !5�)! 5� ��!��*� � "������+! C�)��� 5� 6�! ���� �� ��*5 �� 5� !*���� ���!�!�

M5� 5�! � �� ����A�� �! 5� 5� ��!��*� �����! ��!*����$�$!� B )�5�� ������� �� 3�, � �� ��� � ������*� �� 2�3 � ��� �*������������*� �! ��$�5� ��!�����B !��*� 5� ��*��� ����� �� 5� ��!��*� ���!�+ �-*��� � �� �� 5�)��! *�!�� 45� !*��� �� 5� �������� ���!� � ����� �� �! �$*A�� ��� �� 5� ��!!*���!�

2&

Page 62: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

0 2 4 6 8 10

Scaling factor

3*10-005

5*10-005

7*10-005

9*10-005

10-004

Distance

@��$�� ,�,' �*������������*�

� � � ��� ��*�����

45� ���!� � )�! �-���!!�� �� & ��0���� ��!�!B ��� / � � � "�!�! ������5�� � )��� �� ����!����� ��*�$!� � )�$�� 5��� ��;$���� � $*5 ���*����*��� *��$�� ��$���� "�!� � )�! �� ��5��B �! �� ��!� � 5� 6�! �����! ��)� ! �� 45� ��- ���� !5�)! 5� �5��!;$���B 5� ��!��*�B ��� 5� �����$���� 5� 6�! ����! �� ��*5 �� 5� *������� ���!�!� ���� 5� �5��!;$���! ���5� ��!��*�! �� �� 5��� 5� !�� ������ �**������ � 5� ��!� ��� ��!� �5��� ��� ��� *��!!�! ��� 5� 6�! ����B !� 5� ��� � �� ��$���� ��)�� �� 5���) ��!�!�� 4�A��� 5� ��� �**�$�B 5� ������� ��!��*� ��� � *�� �� ��� 5���!�! ��� ��� 5� *��!!�! )�! ��$�� � �� �� 5� ����� �� � �B !� ��!� ��������*��! ����6���

���� 5� �5��!;$���! !�� �� � �� !����6*��� �� ��!� / 5� �-*����� 6�! ������� �$� � 5� ��* 5� 5��� ��� ��� )� *��!!�!� 45� �����$�! ������ ��� �! $!$��B �$ �� 5� ��!��*�! ��� *��!������B ������� ��!����������*� �!;$�� )��� ����6���

29

Page 63: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

"�!� �5��!;$��� ��!��*� �����$�/ �� ��. � �� ., Y, 2�. .�� � �� 3 Y2 �/�, ��, � �� Y3 �/�9 ��/ � �� � Y. �,�� ��� � �� � Y& � �, ��9 � �� Y9 ���9 &�� � �� & Y� 3�� /�2 � �� 3, Y

#� ��%��� ��� ��������������

�����!� ��� $�����*���� ��������*�! ��� ���5�� A��� �� ��������*�!B )5�*5�-����� 5� ��������*� �� "������+! C�) �� ���� !����! �� *��*$�����!�

� � ! ��*����

@��$�� ,�2 !5�)! 5� 5�!���� ��� 5� 6�! ���� �� 5� �����!� �� �B ��� 5� ��-���� ��5��! 5� �5��!;$��� ��� ��!��*� ��!$�!� �**������ � 5� ��!��*�B�����!� ��������*� �! )��� ����6���

���� �5��!;$��� ��!��*� �����$������!� ���3 3�9 � �� �/Y

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

Inverse(D)Benford

@��$�� ,�2' �����!� �� �

3

Page 64: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

� � � ����������

@��$��! ,�3B ,�. ��� ,�& !5�) 5�!����! ��� 5� 6�! ���� �� 5� ����$* ��� � � !���� ��� !�:� �9. &� ��� 5��� $!$�� ��!���$���! �$�����B �����B��� �-���������� �! ������ �� !�*��� ��2��B $�����*���� ��������*� �� �����!���$���B )5�*5 �! !��5�) � ��� ��:��� ������ � �! �*$��� ��!�������� 5� ��) *5�!�� ��!���$���!�

���� �5��!;$��� ��!��*� �����$�?����� � � ,�3 � �� �3Y(���� &�� 2�. � �� ,�Y

%-�������� .� 2�& � �� 2,Y

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

D*UnifBenford

@��$�� ,�3' �$�����*���� � � !���� ��� � $����� ��!���$��� �� E � �F

3�

Page 65: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

D*ExpBenford

@��$�� ,�.' �$�����*���� � � !���� ��� � ����� ��!���$��� +� � ��

1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.1

0.2

0.3

D*NormBenford

@��$�� ,�&' �$�����*���� � � !���� ��� �� �-�������� ��!���$��� ��7���

3�

Page 66: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

-��������

"������+! C�) 5�!�� B )5�*5 �! ;$�� ��!*������B �! � ���� �-���� �� 5�)!*����!! ������ �� 5��� ������*5�!� @��!B 5� ������ )�! ����!����� ��5� )5��� !� �� ������!T 5��B ��������*�! )��� ��$�� ��� $!�� � 5 ��5�!�:�"������+! C�)T ��� ����$��� 5� ���� �� ������:�� ��!���$���! )�! ������$*��� "������+! C�) 5�!�� �! �$�� �� *�������!��!B �!�A�!B ��� ��!*$!!���!B��� 5��� �! !��� � �� � )������

� !$�� �� 5� �5���*�� ��������! ��!*����� �� 5� ���!�� �����*�$�� ��'

�� 1��� �$���! !��!� "������+! C�) �� 5��� ������5! ��� $������ ��!����$�� ��$�� � �!�*��� ����,�T

�� @�� �� D������5�����*��+ ��!���$���B 5� !����6*�� ����! � 5� ��6������ � �� $������ ��!���$�� �!�*��� ����T

/� 45� ������5�* ��!���$��� �! 5� ��� !*������������ ��!���$��� �!�*���� ��/���T

,� 45� ������5�* ��!���$��� �! 5� ��� ����!! ��!���������� ��!���$���� �!�*��� ��/�/�T

2� �� ��!������ !����! ��� $����� ��!���$���!B !$���!��� 5� 5� �������� ��!���$��� �! !*���� �� ��!���������� ���� ����!!� �! !$Æ*��� ���"������+! C�) � ������ �!�*��� ��/�,�T

3� 45� ������5�* ��!���$��� �! 5� ��� !$��������� ��!���$��� �!�*�����,�T

.� 45� ������5�* ��!���$��� �! �������� $���� �����!��� ��� $�����*����� � �� ��!���$��� �!�*��� ��2�T

&� � !�;$��*� �� ����$*! �� ����� ��������! �! ��� ��A�� � *������� �"������+! C�) �!�*��� ��2�/�T

9� =�����*�� !�;$��*�! ��� �� ������� ������5�*��� ��!���$��B �����)�5 �5�� !�;$��*�! �!�*��� ��3��

45� $����� ��� ;$�!��� )�!B ���� 5�!� ��������!B )5�*5 *�� �-����� 5���������*� �� "������+! C�) �� !� �� ���!�!� � ��!!���� ������ ��!)�� �!'

� ������ 9 ��� ����*$��� ���!�! ��A� ���$�����! �� 6���*��� ����-�!T

� ������ & ��� ���!�! *���� ��� ���� !����! �� *��$����!T

� ������ 2 ��� ���!�! *��!�!��� �� �-$��! �� �5�� ���!�!�

3/

Page 67: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�� 5� ���*�!! �� *5�*A��� 5� �-�!��*� �� "������+! C�)B !�� ���!�! )�����$�� � �����) 5� ������5�* ��) ��� *��!�� � ��� �� 5� ��! 6! )��� 5����$�����! �� 5� ?��� �)�! ��� 5� %�!��� �����!! ���A� 45� ������ ��;$���� ��� 5� ������!!����6 )�! ���!��' "������+! C�) ��� ������ *����� ���$�5 �� ����� ���!�!B )5��� 5� �5��!;$��� !��!�* �! �� ���� $!�� ���5��!��!�*B � !���� ��!��*� � "������+! C�)B )�! ��$�� � �� ��� $!��$� ��5�!� *�!�!B �$ ����� � !��! � ��*A �**$��* ��� �! 5��5� �������� �� 5����!�� @��$� ���*��� )�! 5�� !��5�) *���*�:��B �)��� � 5� ��* 5� ��!$*5 ���!�! ���!� ��� ���$�$��� ��� )��� �� 5��� � ��!���$�!5�

�� 5� *�!� �� "������+! C�)B ��������*�! ��� !� ��:��� �� ������� 5� 5��$5�� ��$�� 5� )��� ������ � �� *5�*A��� <������ 5� ��) *5�!�� )��� �����6��B � 5� ��!��*� $!��� �� �� � �$�5�� �-��!��� *�$�� �� � *5�*A 5�!���������*�! �� �5�� *��!!�*�� ��!���$���! ��� !�� �� !�� *�� �� ������� �5� ���� ��!��*� 5� ������ �� *��������*� � 5� $����� )�! 6�! 5�$�5� �� ��� �����*���� � ����! �����)��� � ������5�* ��!���$���B �$ �� ��*� )�! ��$�� � �� � $*5 ��� ������� ������ �����

45��� *�$�� �� )� �5�� ����* !�;$��! � 5� ���7�*'

� M����� � ����� ����� ��� ����+! *��7�*$�� �����B

� ��!������ �� �**$��� �!��� �5�� ��� *������ �� ����� ���!�! �"������+! C�)�

����!������ �5�� ��!���$���! ��� ����! *�$�� ��!� �� �����!���� 45�������5�* ��!���$��� !5�$�� �� �� 5� ��� $!��$� ������ �*$��� !��!A���*�� ������ *�$�� !� 5�B ����� �� $!$�� ��!���$��� ��� ����!B 5���)�$�� *������ �� ���� �� *��6���� ���!�! � �� ��$��� ��� ��!���$���!�� ����! ��� ��� �����!��� �� ��� )���!����� 5�� �5��!B 5�$�5B ���"������+! C�) !��! � �� ��� �� 5� ��! �� 5�!� �����!�

3,

Page 68: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

�� ��������

E��5�A��� P ���A��F ����O�1�B ��B ��� ��1O�1B "� ��93&�� ��!���$��� ���! !����6*�� ���� �� *����� �$�*���! )5�!� ���$��! ��� �������������!� *� �� ������ � ���� �� �� � ���0��� ����! / B ,.�2&�

E������F �CC��14B ���� ��99.�� �� ���������!$ *5���*���:���� �� "�������+! C�)� ������ � ���� � =���� � �� /,B �&&��9��

E"������F "%(@<1�B @� ��9/&�� 45� ��) �� ������$! �$���!� =���� ���� ��� ���� ��� =� ���� ��� �� ��� .&B 22��2.��

E"�*A��F "%�O%1B �� ��9&��� �����! �� ��!���! �� ����$������ ��� �44@���$�! ��� ��!���! �� �5�� ���� *888 �������� �� � ��� �� � �� 1�/�B�/���/,�

E"$*A �� ���F "?�OB "�B �%1���(4B ��B ��� �%1%ZB �� ��99/�� �� ���$!������ �� "������+! 6�! ���� ��) $!��� ���5� ��*� 5��� ����!� 8������������ � =��� �� �,B 29�3/�

E"$�A� P O��*����F "?1O%B ��B ��� O�(��(<( B %� ��99��� "������+! C�)��� �5 !�*�� *��!��!' 5� �����$��� �� ������ ����!� ���� ��� ������� =��� �� 29B 92��

E���*���!F ����<(��B �� ��9..�� 45� ��!���$��� �� ������� ����! ��� $�������!���$��� �� �� ������ � =���� � �� 2B .��&��

E�����F �����(=B 1� ��9. �� <� 5� ��!���$��� �� �$���!� ���� ����������� ��� ������ ,9 �3 9��3�2�

E�����F ��CCB 4��� ��992�� 45� !����6*������� ��)� ���� �� ��� �� ���� � �,�B/2,�/3/�

E�����F ��CCB 4��� ��992�� "�!����������*� �����! �������+! C�)� =���� ���� ��� ���� ��� �������� ��� �� ��� ��/B &&.�&92�

E����*F ��CCB 4��� ��992�� 45� !����6*�� ���� �5�������� ���� ��� �����6��� ��� ������ � /B /���/�.�

EO�$5F O(?4�B �� ��939�� ��� ��� � ������� ������� ��B ��9���9�����!���M�!�� B 1������B ���

Page 69: Imperial College London1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.378 Digit 1 : 0.622 Second digit 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 0.0 0.5 1.0 1.5 Digit 0 : 0.438 Digit 1 : 0.562 Third digit

EO$����! P (����������F O?��%1�B C� ��� (�%�%11%�4%1B �� ��9.,�� E� 6��� ��� ��� �� � ��4������B ���&� M��� B (�)�S��A�

EC���! �� ���F C%%���B C���B ����%��%1B "�M� ��� %8�(�B ��C� �� ���$������ ��!���$���! !��!� ��� "������+! C�)� ��� ���� ��� ���� �� � ��2,�/�B �/3��,��

EC� F C%SB %� ��993�� <� 5� ��*$���� ��!���$��� �� 5� ?��� !�*A ����-�!+����!� ��� ���� ��� ���� �� � �� 2 �,�B /���/�/�

E(�)*��F (%M�<�"B �� ��&&��� (�� �� 5� ���;$��* �� $!� �� 5� ��0��������! �� ��$��� �$���!� ���� ��� ������ � �������� �� ,B /9�, �

E(������ P ��������F (�=1�(�B ����B ��� ��44%1���%1B C��� ��99.��45� $!� �� "������+! C�) �! �� ��� �� ���� �*�� ���*��$��!� �� � ��#� ������ � =���� �� F ����� �3���B 2��3.�

E(������F (�=1�(�B ���� ��999�� �+�� �� �$� �$���� ������ � ������������ B .9�&/�

E���A5�F ��(O���B 1��� ��93��� <� 5� ��!���$��� �� 6�! !����6*�� �����!� ������ � �������� ��� ���� �� �� /�B ���/���/

E1���F 1����B 1� ��9.3�� 45� 6�! ���� ������� ���� ��� �������� ��������� &/B 2���2/&�

E�*5��F ����44%B �� ��9&&�� <� ���!!� ��!���$���! �� *��$��� ���"������+! C�)� ������ � *������ � =����� �� �� G������� �� �,B ,,/�,22�

E8�����F 8�1��(B �� ��9.��� "������+! C�)� ���� ��� ���� �� � �� �/��$���B32�33�

EM� �F M%SCB �� ��9�3�� [?��� ��� =���*5������$�� ��� Z�5��� �� %��!��������� ���� ������� ..B /�/�/2��

��