III Workshop de Álgebra da UFGA Álgebra dos quatérnios teve origem com William Rowan Hamilton...
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III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Os Complexos e o Anel dos Quatérnios Edson Félix Júnior - [email protected] Romário Pereira Rezende - [email protected] Igor dos Santos Lima (Orientador) - [email protected] Resumo A Álgebra dos quatérnios teve origem com William Rowan Hamilton (1805-1865). O presente trabalho visa discutir o conjunto dos números dos quatérnios e demonstrar algumas de suas propriedades. Este trabalho é um complemento ao estudo do conjunto dos números complexos na disciplina cursada este semestre (Cálculo em uma variável complexa). Introdução Segundo BOYER, William Rowan Hamilton apresentou o primeiro conceito moderno dos complexos como pares ordenados de reais e tentou generalizar esta ideia para o espaço tridimensional. Após inúmeras tentativas verificou-se que não era possível a existência de um complexo tridimensional. Com isso, Hamilton descobriu os quatérnios, que é uma Álgebra de dimensão quatro sobre o corpo dos números reais e que possui todas as propriedades de um corpo, exceto a comutatividade da multiplicação. Dizem que Lorde Hamilton teve a ideia de definir o produto quaterniônico num passeio que fez com a Lady Hamilton. “Quaternion Bridge” Preliminares Definição: Um anel é um conjunto não vazio munido de duas operações internas, uma chamada soma e denotada por + e outra chamada multiplicação e denotada por ∙ satisfazendo as seguintes propriedades: 1) Para quaisquer , ∈ tem-se + = + . (Comutatividade da adição) 2) Para quaisquer , , ∈ tem-se + + = + +. (Associatividade da adição) 3) Existe ∈ + = para qualquer ∈ . (Existência do elemento neutro da adição) 4) Para qualquer ∈ existe − ∈ tal que + − = . (Existência do simétrico de todo elemento de A) 5) Para quaisquer , , ∈ tem-se ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅. (Associativa da multiplicação) 6) Para quaisquer , , ∈ tem-se ⋅ + = ( ⋅ ) + ( ⋅ ) e + ⋅=⋅+⋅. (Distributividade da multiplicação em relação a soma) Observação: A multiplicação não necessita ser comutativa. Quando isto ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo. Veremos que os quatérnios não formam um corpo. Notação: (, +,⋅) denotará um anel com as operações + ⋅. Exemplo: O conjunto ℂ = { a + bi | a, b ∈ ℝ e i² = -1 } é um exemplo de anel. As operações neste conjunto são definidas por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e (a + bi)(c + di) = (ac –bd) + (ad + cb)i. O elemento neutro aditivo é (0 + 0i) = 0 e o elemento neutro multiplicativo é (1 + 0i). O inverso aditivo de um elemento (a + bi) é (-a + (-bi)), pois (a + bi) + (-a + (-bi)) = (a – a) + (b – b)i = 0 + 0i = 0. O Anel dos quatérnios O anel dos quatérnios é definido como Q = { + + + |, , , ∈ ℝ}. A operação de soma é definida coordenada a coordenada e para o produto usamos = = = = −. Estas igualdades implicam que = , = , = , = −, = − = −. As leis que definem as operações em Q são: ( + + + ) + (a’ + b’i + c’j + d’k) = a + a’ + (b + b’)i + (c + c’)j + (d + d’)k ( + + + ) * (a’ + b’i + c’j + d’k) = ’ – ’ – ’ – ’ + ’ + ’ + ’ – ’ + ′ − ′ + ′ + ′ + ′ + ′ − ′ + ′ Resultados Se = + + + ∈ , definimos o conjugado de como =− − − e a norma de como N() = = + + + . Segue da definição de norma que se ≠ 0, − = () . Lema 1: A conjugação em Q satisfaz às seguintes propriedades: 1. Se ∈ Q, então =. 2. Se , ∈ Q e , ∈ ℝ, ã + = + . 3. Se , ∈ Q, então = = . Demonstração: As duas primeiras afirmações são de fácil verificação. Para a última, podemos supor , ∈ , , , e usar o item anterior. Lema 2 : A norma em Q satisfaz às seguintes propriedades: 1. Se α ∈ Q, então N(α) ∈ ℝ, N(α) ≥⇔=. 2. Se , ∈ Q, então N() = N()N() Demonstração: A primeira afirmação segue diretamente da definição de norma. Vamos agora mostrar a segunda: Usando o Lema 1, temos = = = = . Na terceira igualdade acima, usamos que ∈ ℝ, além de fazer uso do item 3 do Lema 1. Referências Bibliográficas • H. H. Domingues; G. Iezzi. Álgebra Moderna. Atual, São Paulo, 2003. • J. C. Braga Barros; J. A. Santana. Estruturas Algébricas – Com Ênfase em Elementos da Teoria de Lie. Editora da Universidade Estadual de Maringá, 2011. • Abramo Hefez: Curso de Álgebra – Volume 1. SBM, Rio de Janeiro – 1993 • C. B. Boyer. História da matemática. Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
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III Workshop de Álgebra da UFG – CAC
Os Complexos e o Anel dos Quatérnios
Edson Félix Júnior - [email protected]
Romário Pereira Rezende - [email protected]
Igor dos Santos Lima (Orientador) - [email protected]
Resumo
A Álgebra dos quatérnios teve origem com William Rowan
Hamilton (1805-1865). O presente trabalho visa discutir o
conjunto dos números dos quatérnios e demonstrar algumas de
suas propriedades. Este trabalho é um complemento ao estudo
do conjunto dos números complexos na disciplina cursada este
semestre (Cálculo em uma variável complexa).
Introdução
Segundo BOYER, William Rowan Hamilton apresentou o primeiro
conceito moderno dos complexos como pares ordenados de reais e tentou
generalizar esta ideia para o espaço tridimensional. Após inúmeras
tentativas verificou-se que não era possível a existência de um complexo
tridimensional. Com isso, Hamilton descobriu os quatérnios, que é uma
Álgebra de dimensão quatro sobre o corpo dos números reais e que possui
todas as propriedades de um corpo, exceto a comutatividade da
multiplicação. Dizem que Lorde Hamilton teve a ideia de definir o produto
quaterniônico num passeio que fez com a Lady Hamilton.
“Quaternion Bridge”
Preliminares
Definição: Um anel é um conjunto não vazio 𝑨 munido de duas operações
internas, uma chamada soma e denotada por + e outra chamada
multiplicação e denotada por ∙ satisfazendo as seguintes propriedades:
1) Para quaisquer 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂. (Comutatividade da
adição)
2) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄. (Associatividade da adição)
3) Existe 𝟎 ∈ 𝑨 𝐭𝐚𝐥 𝒒𝒖𝒆 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 para qualquer 𝒂 ∈ 𝑨. (Existência do
elemento neutro da adição)
4) Para qualquer 𝒂 ∈ 𝑨 existe −𝒂 ∈ 𝑨 tal que 𝒂 + −𝒂 = 𝟎. (Existência
do simétrico de todo elemento de A)
5) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 = 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄. (Associativa
da multiplicação)
6) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 ⋅ 𝒃 + 𝒄 = (𝒂 ⋅ 𝒃) + (𝒂 ⋅ 𝒄) e
𝒃 + 𝒄 ⋅ 𝒂 = 𝒃 ⋅ 𝒂 + 𝒄 ⋅ 𝒂. (Distributividade da multiplicação em relação
a soma)
Observação: A multiplicação não necessita ser comutativa. Quando isto
ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo. Veremos que os quatérnios
não formam um corpo.
Notação: (𝑨,+,⋅) denotará um anel 𝑨 com as operações + 𝒆 ⋅.
Exemplo: O conjunto ℂ = { a + bi | a, b ∈ ℝ e i² = -1 } é um exemplo de
anel. As operações neste conjunto são definidas por (a + bi) + (c + di) = (a +
c) + (b + d)i e (a + bi)(c + di) = (ac –bd) + (ad + cb)i. O elemento neutro
aditivo é (0 + 0i) = 0 e o elemento neutro multiplicativo é (1 + 0i). O inverso
aditivo de um elemento (a + bi) é (-a + (-bi)), pois (a + bi) + (-a + (-bi)) = (a –
a) + (b – b)i = 0 + 0i = 0.
O Anel dos quatérnios
O anel dos quatérnios é definido como Q = {𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌|𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ}. A operação de soma é definida coordenada a coordenada e para o
produto usamos 𝒊𝟐 = 𝒋𝟐 = 𝒌𝟐 = 𝒊𝒋𝒌 = −𝟏. Estas igualdades implicam que
𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒋𝒊 = −𝒌, 𝒌𝒋 = −𝒊 𝒆 𝒊𝒌 = −𝒋.
As leis que definem as operações em Q são:
(𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌) + (a’ + b’i + c’j + d’k) = a + a’ + (b +
b’)i + (c + c’)j + (d + d’)k
( 𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌 ) * (a’ + b’i + c’j + d’k) =
𝒂𝒂’ – 𝒃𝒃’ – 𝒄𝒄’ – 𝒅𝒅’ + 𝒂𝒃’ + 𝒂’𝒃 + 𝒄𝒅’ – 𝒅𝒄’ 𝒊 +
𝒂𝒄′ − 𝒃𝒅′ + 𝒄𝒂′ + 𝒅𝒃′ 𝒋 + 𝒂𝒅′ + 𝒅𝒄′ − 𝒄𝒃′ + 𝒅𝒂′ 𝒌
Resultados
Se 𝜶 = 𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌 ∈ 𝑸, definimos o conjugado de 𝜶 como 𝜶 = 𝒂 −𝒃𝒊 − 𝒄𝒋 − 𝒅𝒌 e a norma de 𝜶 como
N(𝜶) = 𝜶𝜶 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐+𝒄𝟐+𝒅𝟐.
Segue da definição de norma que se 𝜶 ≠ 0, 𝜶−𝟏 =𝜶
𝑵(𝜶).
Lema 1: A conjugação em Q satisfaz às seguintes propriedades:
1. Se 𝜶 ∈ Q, então 𝜶 = 𝜶.
2. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q e 𝒓, 𝒔 ∈ ℝ, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒓𝜶 + 𝒔𝜷 = 𝒓𝜶 + 𝒔𝜷 .
3. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q, então 𝜶 𝜷 = 𝜶𝜷 = 𝜷 𝜶.
Demonstração: As duas primeiras afirmações são de fácil verificação. Para
a última, podemos supor 𝜶,𝜷 ∈ 𝟏, 𝒊, 𝒋, 𝒌 e usar o item anterior.
Lema 2 : A norma em Q satisfaz às seguintes propriedades:
1. Se α ∈ Q, então N(α) ∈ ℝ, N(α) ≥ 𝟎 ⇔ 𝜶 = 𝟎.
2. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q, então N(𝜶𝜷) = N(𝜶)N(𝜷)
Demonstração: A primeira afirmação segue diretamente da definição de
norma. Vamos agora mostrar a segunda: Usando o Lema 1, temos
𝑵 𝜶𝜷 = 𝜶𝜷𝜶𝜷 = 𝜶𝜷𝜶 𝜷 = 𝜶𝜶 𝜷𝜷 = 𝑵 𝜶 𝑵 𝜷 .
Na terceira igualdade acima, usamos que 𝜷𝜷 ∈ ℝ, além de fazer uso do
item 3 do Lema 1.
Referências Bibliográficas
• H. H. Domingues; G. Iezzi. Álgebra Moderna. Atual, São Paulo,
2003.
• J. C. Braga Barros; J. A. Santana. Estruturas Algébricas – Com
Ênfase em Elementos da Teoria de Lie. Editora da Universidade
Estadual de Maringá, 2011.
• Abramo Hefez: Curso de Álgebra – Volume 1. SBM, Rio de
Janeiro – 1993
• C. B. Boyer. História da matemática. Edgard Blücher, São Paulo,
1974.
