Identity in modal logic theorem proving

8/14/2019 Identity in modal logic theorem proving

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F R A N C I S J . P E L L E T I E R d e n t i t y i n M o d a l L o g i cT h e o r e m P r o v i n g

A b st ra c t . TH INK ER s an au toma ted natura l deduction f i rst -order theorem provingprogram . This paper reports on how i t was adap ted so as to prove theorem s in modallogic. Th e m ethod employed is an indirect semantic me thod , obtained by consideringthe sem antic condit ions involved in being a valid argume nt in these mo dal logics . T hem eth od is exten ded from proposit ional mo dal logic to predicate mo dal logic, and issuesconcerning th e dom ain of quantification an d existence in a world's dom ain are discussed.Final ly, we took a t the very interest ing issues involved with adding ide nt i ty to the theore mprover in the realm of m odal pred icate logic. Various al ternat ives are discussed.

1 o I n t r o d u c t i o nT h i s p a p e r is a r e p o r t o n s o m e is s ue s c o n c e r n i n g t h e a d d i t i o n o f i d e n t i t y t om y a u t o m a t e d t h e o r e m p r ov in g s y s t e m , T H IN K E R , i n t h e r e a l m o f m o d a llo g ic . A l t h o u g h t h e r e i s m u c h b a c k g r o u n d m a t e r i a l w h i c h is o f r e l e v a n c e tot h e o v e r a l l e n t e r p r i s e ( f o r s o m e o f i t , s e e [11], [ 1 2]), f o r t u n a t e l y n o t m u c h o f i tis c r u c i a l f o r u n d e r s t a n d i n g t h e p h i l o so p h i c o - lo g i c a l i ss u es i n v o lv e d w i t h t h ea d d i t i o n o f i d e n t i t y t o m o d a l lo g ic s . I n t h i s i n t r o d u c t o r y s e c t i o n , I m e n t i o ns o m e o f th i s b a c k g r o u n d w i t h o u t g o i ng in t o d e t ai ls ; in t h e f o ll o w in g s e c ti o n sw e l o o k a t s o m e d e e p e r i ss u es .

T H I N K E R i s a n a u t o m a t i c t h e o r e m p ro v in g s y s t e m , e m p l o y i n g a n a t u -r a l d e d u c t i o n f o r m a t , f o r t h e f u ll f i r s t - o r d e r lo g ic w i t h i d e n t i t y . W h i l e i t isn o t i m p o r t a n t f o r t h e l o g ic o f w h a t i s t o b e d i sc u s s ed b e lo w t h a t t h e s y s-t e r n e m b o d i e s a n a t u r a l d e d u c t i o n f o r m a t , t h is p e r h a p s e x p la i ns w h y t h ee m p h a s i s b e l o w is o n r u le s o f i n fe r e n ce r a t h e r t h a n a x i om s a n d r a t h e r t h a no n r e s o l u t i o n - s ty l e s t ra t eg i es . T h e p a r t i c u la r s y s t e m w h i c h is i m p l e m e n t e dm i r r o r s t h e K a t i s h & M o n t a g u e s y s t e m [3], [4]. T h e s y s t e m i m p l e m e n t s t h ef u l l f i r s t - o r d e r p r e d i c a t e l og ic w i t h i d e n t i t y ( b u t w i t h o u t a r b i t r a r y f u n c t i o ns y m b o l s ) .

A b a s i c d i s t in c t i o n c a n be m a d e b e t w e e n direct and indirect m e t h o d so f ( a u t o m a t e d ) t h e o r e m p r o v i n g in g e n e ra l , a n d n o t j u s t i n m o d a l lo g ic .F o r e x a m p l e , w e r e o n e i n t e r e s t e d i n p r o o fs i n t h e s im p l e p r o p o s i t i o n a l l o g ic ,t h e r e a r e n u m e r o u s p r o o f t h e o ri e s a v a il ab l e - - d i ff e ri n g a x i o m a t i c d e v e l o p -m e n t s , d i f fe r e n t t a b l e a u x m e t h o d s , d i f fe r e n t n a t u r a l d e d u c t i o n f o r m u l a t io n s ,a n d a l so p r o p o s i t i o n a l r e s o l u ti o n . A direct m e t h o d o f t h e o r e m p r o v i n g is t oStudia Logica 52: 291-308, 1993. ].993 Kluwer Academic Publishers Printed in the Netherlands


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292 F J Pelletierc o n s t r u c t p r o o fs w i t h i n o n e o f t h e s e p r o o f t h e o ri e s - - b y w h i c h I m e a n b o t ht h a t t h e r e s u lt g e n e r a t e d w o u l d b e r e c o g n i z e d a s a p r o o f i n [say] W h i t e h e a d

R u s s e ll 's a x i o m s y s t e m a n d a ls o t h a t t h e m a c h i n e i n t e r n a l s t ra t e g ie sa n d m e t h o d s a re a p p l i c a ti o n s o f w h a t i t i s l e ga l t o d o w i t h i n t h e p r o o f t h e -o ry . ( I n W h i t e h e a d ~ R u s s e ll , t h is a m o u n t s t o f i n d i n g s u b s t i t u t i o n i n s t a n c e so f f o r m u l a s fo r p r o p o s i ti o n a l v ar ia b le s i n t h e a x i o m s , a n d a p p l y i n g M o d u sP o n e n s ) . W e r e o n e d i re c t ly c o n s t r u c t i n g p ro o f s i n S m u l l y a n [ 1 4] t a b l e a u xs y s t e m , t h e o u t p u t s h o u l d b e a li st o f s u b f o r m u l a s o f t h e o r i g i n a l f o r m u l a ,e a c h w i t h a s i g n ( i n d i c a t i n g w h e t h e r t h e y a r e t r u e o r f a l se ) , a n d a r-r a n g e d i n s u c h a w a y t h a t t h e d e p e n de n c ie s a m o n g s t t h e d e c o m p o s i t io n sr e fl e c t a g e n u i n e p r o o f s a s d e f i n e d b y t h e t a b l e a u x s y s t e m . F u r t h e r m o r e , t h ei n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m s h o u l d i nv o lv e t h i s d e c o m p o s i t i o n a n dd e p e n d e n c y f or m u l a t io n , a n d a c t u al ly m a k e u s e o f i t i n d e t e r m i n i n g w h e t h e rt h e o r i g i n a l a r g u m e n t w a s v al id o r n o t . A p r o p o s i t i o n a l r e s o l u t i o n s y s t e mo u g h t t o h a v e a n i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n o f c la u se s e a c h a s a r e p r e s e n t a t i o no f a d i s j u n c t i o n o f l it er a ls a n d o u g h t t o u s e t h is r e p r e s e n t a t i o n i n s o m e w a ys o a s t o g e n e r a t e r e s o lv a n t s . T h e o u t p u t s h o u l d b e a l i st i n g o f t h e c l a u se sw i t h a n o r d e r i n g o f w h i c h f o r m u l a s g av e ri se t o t h e n u l l c l a u s e b y r e s o l u t i o n .I n t h i s s e n se , T H I N K E R is a d i re c t t h e o r e m p r o v i n g s y s t e m f o r f ir s t o r d e rl o gi c w i t h i d e n t i t y o f K a l is h ~ M o n t a g u e . I ts i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n a n dm e t h o d o f c o n s t r u c t i n g a p r o o f is j u s t l ik e t h e w a y a s t u d e n t w o u l d c o n s t r u c ta K a l is h & M o n t a g u e p r o o f - e v e r y th i n g TH IN K R d o e s i n t e r n a l l y i s a l e -g i t i m a t e K a l is h & M o n t a g u e p r o o f - s te p ; a n d i ts o u t p u t i s s t r a i g h t f o r w a r d l ya p r o o f in K a l is h & M o n t a g u e ' s s y s te m .

B u t d i r e c t p ro o f s a re n o t t h e o n l y p o ss ib i li ty . A n indirect m e t h o d i s t ou s e a p r o c e d u r e o f o n e s y s t e m in o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r there is a proofi n s o m e o t h e r s y st e m . I n c o n t r a s t to t h e d i r e ct m e t h o d s , i t d o es n o t c o n s t r u c tt h e p r o o f w i t h i n th i s o t h e r s y s t e m ( e x c ep t , p o ss ib l y, b y m e a n s o f a p o s t -p r o c e ss o r ) n o r is t h e i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n a n d s t r a t e g y d i r e c tl y i s o m o r p h i ct o w h a t is l eg a l i n t h e s y s t e m . F o r e x a m p l e , r a t h e r t h a n a t t e m p t t og e n e r a t e p r o o fs d i r e c tl y in W h i t e h e a d & R u s se l l' s p r o p o s i t i o n a l s y s t e m , o n ec o u l d i n s t e a d c o n s t r u c t a t r u t h t a b l e fo r t h e f o r m u l a a n d e v a l u a t e it . S h o u l dt h e t r u t h t a b l e h a v e a ll t r u e i n i ts f in a l c o l u m n t h e n t h e r e i s a p r o o f w i t h i nW h i t e h e a d 8 z R u s s e l l ' s s y s t e m .

I t is n e v e r c o m p l e t e l y o b v i o u s w h e t h e r a m e t h o d i s d i r e c t o r i n d i r e c t , a sf o r e x a m p l e w h e t h e r s e m a n t i c t a b l e a u x a r e d i re c t f o r t h e p r o o f t h e o r y o fs e m a n t i c t a b l e a u x o r ar e i n d ir e c t i n t h e s a m e w a y t h a t t r u t h t a b l e s a r e .N o d o u b t t h e a n s w e r h as s o m e t h i n g t o d o w i t h t h e intentions o f t h e p e r s o nw r i t i n g t h e s y s t e m . N e v e r t h e l e s s , t h e r e a r e c le a r c a se s o f i n d i r e c t m e t h -o d s , a n d t w o o f t h e m s t a n d o u t : t h e s y n ta c t ic m e t h o d a n d t h e s e m a n t i c


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I de n t i t y i n M odM L og i c . . . 293m e t h o d . 1 I n t u i ti v e l y , t h e f o r m e r m e t h o d in v ol ve s a n a t t e m p t t o representt h e s y n t a c t i c p r o o f t h e o r y w i t h i n so m e m o r e t u fi v er sa l l og ic - - s u c h a sf ir s t o r d e r p r e d i c a t e l o g ic . A l l f o r m u l a s o f t h e o r i g i n a l l og i c a r e t a k e n t o b eo b j e c t s i n t h e m o r e u n i v e r s a l l og ic ; t h e s t r u c t u r e o f c o m p l e x f o rm u l a s o f t h eo r i g in a l l o gi c is r e p r e s e n t e d b y d e p l o y in g f u n c t i o n s w i t h i n t h e m o r e u n i v e r s a ll og ic ; a n d t h e r e is a s p e c ia l m o n a d i c p r e d i c a t e o f th e m o r e u n i v e r s a l lo g i cw h i c h i s i n t e r p r e t e d a s x is a t h e o r e m o f t h e o r i g i n a l l o g ic [le t u s s y m b o l i z ei t a s T h m O ( ~ ) ] . R u l e s o f i n f e re n c e o f t h e o r i g i n a l l o g ic a r e r e p r e s e n t e d a ss a y in g t h a t t h e r e is a c e r t a i n r e la t i o n b e t w e e n t w o o b j e c ts o f w h i c h T h m Ois t r u e . F o r e x a m p l e , i f t h e a x i o m s o f t h e o r i g in a l l o g ic i n c l u d e d

-~-~p ~ pa n d t h e r u le s o f i n fe r e nc e i n c l u d e d M o d u s P o n e n s , t h e m o r e u n i v e r s a l l o gi cm i g h t r e p r e s e n t '-~ ' a s t h e f u n c t i o n ' n ' a n d ' ~ ' a s t h e f u n c t i o n ' i ' , a n dt h e r e b y r e p r e s e n t t h i s a x i o m a n d t h e r u le a s

( V ) T hm O [ i ( n ( n ( ~ ) ) , ~ ) ]( Y ~ ) (V y ) [ T h m O ( ) & T h m O ( i ( ~ , y ) ) --* T h m O ( y ) ] .

A l l a x i o m s a n d r u l es o f t h e o r i g i n a l l og ic w o u l d b e r e p r e s e n t e d i n t h i s m a n n e r ,a n d w h e n e v e r a fo r m u l a ~ is to b e c h e ck e d f or t h e o r e m h o o d i n t h e o r i g i n a ll o gi c , w e c o n s t r u c t a p r o o f o f T h m O ( ~ ' ) i n t h e u n i v e r s a l l o g ic ( w h e r e ~ ' i st h e r e s u l t o f r e p r e s e n t i n g ~ b y f u n c t i o n s , c o n s ta n t s , a n d v a r ia b le s ) u s i n g t h ea b o v e r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e a x i o m s a n d r u l es a s p re m i s e s to t h e a r g u m e n t .I f w e c a n c o n s t r u c t s u c h a p r o o f w i t h i n m o r e u n i v e r s a l l og ic , t h e n w e k n o wt h a t t h e r e i s a p r o o f i n t h e o r i g in a l lo gic . A n d d e p e n d i n g o n o u r m e t h o d s i nt h e u n i v e r s a l l og ic , w e c a n s o m e t im e s e v e n p o s t p r o c e s s t h is g e n e r a t e d p r o o fo f t h e m o r e u n i v e r s a l lo g i c t o f i n d t h e p r o o f o f t h e o r i g in a l l og ic . ( A s f o re x a m p l e b y t h e m e t h o d m e n t i o n e d i n [9]).

T h e s e c o n d in d i r e c t m e t h o d a g a i n i nv o lv e s u s i n g a m o r e u n i v e r s a l l o gi c ,b u t t h i s t i m e r a t h e r t h a n u s i n g f ir st o r d e r lo g ic t o m i r r o r t h e s y n t a c t i cm e t a t h e o r y , w e u se i t t o f o r m u l a t e t h e v a l i d i ty - c o n d i t i o n s o f t h e s e m a n -t ic m e t a l a n g u a g e . T o a p p l y th i s s e m a n t i c m e t h o d , o n e s t a rt s w i t h so m eb a s i c s e m a n t i c n o t i o n i n t e r m s o f w h i c h t h e n o t i o n o f v a li d it y is d e fi ne d .O n e t rans lates t h e o b j e c t l a n g u a g e s e n t e n c e i n t o o n e w h i c h c h a r a c t e r i z e s i ti n t e r m s o f t h i s b a s ic s e m a n t i c n o t i o n , a n d t h e n o n e u s es t h e d e f in i t i o n o f v a-h d i t y t o t r y t o p r o v e t h a t t h e t r a n s l a t i o n o b e y s t h is d e f in i ti o n . F o r e x a m p l e ,

t T h e t e r m s a r e t a k e n f r o m M o r g a n [8], w h o w a s t h e f ir s t I b e l ie v e ) t o d e s c r i b e th e i n -d i r e c t m e t h o d s a s b e i n g u se f u l i n n o n - c l a s s i c a l t h e o r e m p r o v i n g t o t h e a u t o m a t e d t h e o r e mp r o v i n g a u d i e n c e . S e e a l s o [ 18 ]) .


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294 F. J. Pelletierc o n s id e r t h e p r o p o s i t io n a l l og ic f o r m u l a t e d w i t h ~ a n d & . T h e f u n d a m e n t a ls e m a n t i c n o t i o n f o r t h i s l o g ic i s t r u e i n a p a r t i c u l a r i n t e r p r e t a t i o n ( o r:

t r u e i n a r o w o f a t r u t h t a b l e ). V a l i d i t y i s t r u e i n a l l i n t e r p r e t a t i o n s( or : t r u e in e v e r y r o w o f a t r u t h t a b l e ) . S o o u r b a s i c s e m a n t i c c o n c e p ti s t r u e i n [ ro w , o r i n t e r p r e t a t i o n ] i . N o w w e w i s h t o t r a n s l a t e e v e r y se n -t e n c e o f t h e o b j e c t l a n g u a g e in t o a s t a t e m e n t c o n c e r n i n g i ts t r u t h . H e r e iso n e m e t h o d : w e de fi ne t h e t r a n s l a t io n f u n c t i o n T R A N S ( A , i ) a s f o l l o w s :

T R A N S ( A , i ) :i f A i s a p r o p o s i t i o n a l l e t t e r p , t h e n T R A N S ( A , i ) = P ( i ) ;i f A h a s t h e f o r m - ~B , t h e n T R A N S ( A , i ) = ~ T R A N S ( B , i ) ;i f A h a s t h e f o r m ( B C ) , t h e n T R A N S ( A , i ) = ( T R A N S( B , i)T R A N S ( C , i ) ) .

E a c h s e n t e n c e g e t s a u n i q u e t r a n s l a t i o n . N o t e t h a t q i s t r u e a t ro w i o ft h e t r u t h t a b l e g e t s t r a n s l a t e d a s Q(i) ~ m e a n i n g , r o u g h l y , t h a t i is o n e o ft h e Q r o w s . T h e s e n t e n c e c o n n e c t i v e s g e t t r a n s l a t e d i n t o t h e m s e l v e s , b u tt h a t is j u s t b e c a u s e w e w e r e a s s u m i n g t h e u s u a l t r u t h t a b l e s fo r t h e o b j e c tl a n g u a g e -~ a n d & . H a d t h e y h a d d i ff e re n t t r u t h c o n d i t i o n s f r o m t h e s e , w ew o u l d h a v e t r a n s l a t e d t h e m a c c o r d i ng l y . N o w , t o s h o w a s e n t e n c e t o b ea t h e o r e m , w e w i s h t o s h o w t h a t i t i s t r u e a t e v e r y ro w o f t h e t r u t h t a b l e ;t h a t i s , w e w a n t t o p r o v e

(V~)(TRANS(~,~r) ) .T h u s , r a t h e r t h a n p r o v i d i n g a p r o o f o f w i t h i n s o m e p a r t i c u l a r p r o o f t h e o r y ,w e h a v e a s c e nd e d t o t h e ( se m a n t ic ) m e t a l a n g u a g e a n d s h o w n t h a t t h e r em u s t b e a p r o o f o f t h e f o r m u l a w i t h i n t h e s y s t e m . F o r e x a m p l e , if t h e o b j e c tl a n g u a g e s e n t e n c e w e r e -~ (p & - ~ p ), w e w o u l d t r y t o p r o v e

( V z )- ~ (P ( z ) & ~ P ( z ) )i n o u r m o r e u n i v e r s a l t h e o r y , f i r s t o r d e r l o g i c .

I t h i n k t h i s b a s ic d i v i s io n b e t w e e n d i r ec t a n d i n d i r e c t p r o o f m e t h o d sw i l l h e l p o r g a n i z e o u r d i s c u s si o n o f p r o o f m e t h o d s i n m o d a l l o g ic 2, e v e nt h o u g h t h e d i s t i n c t io n b e t w e e n d i re c t a n d i n d i re c t m e t h o d s c a n e a s i ly b lu r .A s r e m a r k e d a b o ve , it is n e v e r c le a r w h e t h e r a s e m a n t i c t a b l e a u x m e t h o d

2 A n o t h e r i n d i r e c t m e t h o d w o u l d b e t o c o n s t ru c t m o d e l s o f s e t o f s e n t e n c e s. S u c h am e t h o d h a s b e e n e x p l o r e d in t h e r e a l m o f R e l e v a n t L o g i c s b y T h i s t l e w a i t e a n d c o l le a g u e s .S e e e s p e c i a l l y [ 7] b u t a l s o [1 5] [ 16 ]. H o w e v e r w e s h a l l n o t c o n s i d e r t h i s m e t h o d h e r e .


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Ident i ty in Modal Logic 295is d i r ec t o r is a n i n d i re c t s e m a n t i c m e t h o d . T h e r e a re o t h e r p h i l o s o p h i c a li s su e s t h a t a r e o c c a s i o n e d b y r e f le c t io n u p o n t h e d i ff e re n c e b e t w e e n d i r e c ta n d i n d i r e c t p r o o f m e t h o d s ; s o m e o f th e s e a r e d i s c u ss e d i n [13].I n t h e r e a l m o f m o d a l l o g ic s , a l m o s t a ll p r e s e n t a t i o n s o f t h e l o gi c o ft h e s e s y s t e m s a r e g i v e n i n t e r m s o f a x i o m s . B u t n o o n e w h o is i n t e r e s t e d i np r o v i d i n g a u t o m a t e d p r o o f s w i t h i n m o d a l l o gi c u s es a n a x i o m a t i c s y s t e m ,a n d so i t w o u l d t h e re f o re s e e m t h a t a ll th e s e m e t h o d s o f i m p l e m e n t i n g t h e mm u s t b e i n d i re c t ( o n th e g r o u n d s th a t t h e y i m p o r t s o m e o t h e r m e t h o d o l o g yf o r p r o o f s o v e r a n d a b o v e w h a t i s al lo w e d i n t h e a x i o m s y s t e m ) . H o w e v e r , Iw o u l d p r e fe r t o c o u n t s u c h d e v e l o p m e n t s a s ' d i re c t ' i f t h e y e m p l o y ru l e s o fi n f e re n c e w h i c h d i r e c t l y a p p l y t o t h e f o r m u l a s o f m o d a l lo g ic , a n d o n l y c a l lt h e m e t h o d ' i n d i r e c t ' w h e n it e l im i n a t e s t h e d i s t i n c t iv e m o d a l o p e r a t o r s i nf aw 3 u r o f f i r s t - o r d e r p r e d i c a t e s , re l a ti o n s , o r m o d e l s . ( O n t h e o t h e r h a n d , o n ec o u l d lo o k a t t h e s e d e v e l o p m e n t s a s p r o v i d i n g s o m e o t h e r , n e w p r o o f t h e o r yf o r t h e m o d a l l o g ic s - - e . g ., a r e s o l u t i o n p r o o f t h e o r y f o r m o d a l l o g ic s o r at a b l e a u x p r o o f th e o r y f or m o d a l l o gi cs .)

V a r i o u s a u t h o r s h a v e d e v e l o p e d in d i re c t s e m a n t i c m e t h o d s , f or e x a m -p l e J a c k s o n & R e i c h g e l t [2] a n d O h l b a c h [ 10 ] w h o t r e a t m o d a l f o r m u l a s b ys e p a r a t i n g t h e m o d a l p o r t i o n f r o m t h e re s t o f t h e f o rm u l a . T h e m o d a l in -f o r m a t i o n ( e . g ., w h i c h w o r l d s a r e a l le g e d b y t h e f o r m u l a t o b e a c c e ss ib l ef r o m w h i c h o t h e r w o r ld s ) is g iv e n a s e p a r a t e r e p r e s e n t a t i o n f r o m t h e p r o p o -s i t i o n a l l e t t e r s th e m s e l v e s . T h e y t h e n d e v e l o p u n i f ic a t i o n a n d r e s o l u t i o nm e t h o d s t o s h ow h o w t h e n e g a t e d - c o n c l u s i o n c la u se f o r m o f a m o d a l s en -t e n c e c a n b e t r e a t e d . T h e m e t h o d e m p l o y e d b y T H IN K E R i s a ls o a n i n d i re c ts e m a n t i c m e t h o d , b u t i n t h e c o n t e x t o f a n a t u r a l d e d u c t i o n s y s t e m r a t h e rt h a n w i t h i n r e s o lu t i o n s y st e m .

2 . I n d i r e c t M o d a l P r o p o s i t i o n a l L o g i c i n THINK RM o d a l l o g ic s a r e f o r m e d f r o m c l a ss ic a l l o gi c b y a d d i n g ' L ' ( n e c e s s a r i ly ) a n d' M ' ( p o s s i b l y ) a s s e n t e n c e o p e r a t o r s . A s is w e l l k n o w n , t h e v a r i o u s s y s t e m so f n o r m a l m o d a l l o g ic s a re c h a r a c te r iz e d b y v a l id i ty i n a f r a m e , w h e r e i nt h e d i ff e r en c e s a m o n g s t t h e d i ff e re n t sy s t e m s a re m a n i f e s t e d b y d i ff e re n tr e s t r i c t i o n s o n a b i n a r y a c c e s s i b i l i t y r e l a t i o n b e t w e e n p o s s i b l e w o r l d s , R .T h i s m e a n s t h a t f f w e c o u l d c o n v e rt e a c h f o r m u l a o f a m o d a l l o gi c i n t oa s t a t e m e n t t h a t d e s cr ib e s t h e f o r m u l a a s b e i n g t r u e i n t h e c o r r e ct s e t o fp o s s i b le w o r l d s , t h e n w e c o u l d u s e th i s n e w s t a t e m e n t a s a c o n c l u s i o n o f a na r g u m e n t w h o s e p re m i s e s a re t h e p a r t i c u l a r c o n d i t io n s u p o n R w h i c h a r er e l e v a n t t o t h e s pe c if ic m o d a l s y s t e m in w h i c h w e a r e i n t e r e s t e d . T h i s i s t h em e t h o d p u r s u e d i n T H IN K E R - - a n in d ir ec t s e m a n t ic m e t h o d .


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296 F. J. PelletierO f c o u r s e t h e r e a r e d i r e c t m e t h o d s a v a i l a b l e f o r n a t u r a l d e d u c t i o n s y s -

t e m s , b u t f r o m a p r a c t ic a l p o i n t o f v ie w t h e y h a v e t w o s h o r t c o m i n g s . T h es u g g e s t i o n w o u l d b e t o e x p a n d t h e i n fe r en c e r u le s ( a n d t h e r u l es o f p r o o fc o m p l e t i o n ) o f t h e n a t u r a l d e d u c t i o n s y s t e m s o a s t o b e c o r r e c t f o r t h e m o d a ls y s t e m u n d e r i n v e s t i g a t io n . H o w e v e r , t h i s w o u l d r e q u i r e distinct p r o g r a m sf o r d if f er e n t m o d a l s y s t e m s , s in c e t h e r u l e s o f i n f e re n c e , t h e p r o o f c o m p l e t i o nr u l es , a n d i n d e e d p e r h a p s e v e n t h e p r o o f s tr a t e g y i t s e ff w o u l d a l l b e d i ff e r en ti n th e s e d i f fe r e n t s y s t e m s . T h e i n d i r e c t s e m a n t i c m e t h o d o n l y r e q u i r e s o n ep r o g r a m - - a g o o d f ir s t -o r d e r l og ic w i t h i d e n t i ty t h e o r e m p r o v e r . D i ff e re n c esa m o n g s t t h e m o d a l s y s t e m s is a m a t t e r o f d i ff e re n t p r e m i s e s c o n c e r n i n g R .S e c o n dl y , n o t e v e ry m o d a l s y s t e m , n o t e v e n t h o s e s y s t e m s t h a t a r e p o p u l a ri n t h e h t e r a t u r e , h a s b e e n g i v e n a w e l l- d e fi n e d n a t u r a l d e d u c t i o n f o rm u l a -t i o n ; i n d e e d , i t is v e r y d if fi cu l t t o s ee h o w t o a c c o m m o d a t e c e r t a i n l o g ic s .B e t t e r , t h e n , t o g o w i t h w h a t i s k n o w n

I n a l l th e m o d a l l og ic s u n d e r c o n s i d e r a ti o n , th e d e d u c t i o n t h e o r e m h o l d s :r A e B i f f r e A - , B ) .

T h e r e f o r e , i n a n y s u c h m o d a l s y s t e m , t h e c l a im t h a t t h e r e i s a p r o o f o f Bf r o m a fi n it e se t o f p r e m i s e s c a n b e e q u i v a l e n t ly r e p r e s e n t e d a s c l a i m i n g t h a ta s i n g l e f o r m u l a is a t h e o r e m :

A 1 , A 2 , . . . , A , t - B i f f ( ( A I & A 2 & . . . & A ~ ) - - * B ) .T h e f i rs t s t e p i n T H I N K E R 's m e t h o d o proo o r }- B i n a n a r b i t r a r y m o d a ls y s t e m is t o a p p l y t h e d e d u c t i o n t h e o r e m , s o t h a t t h e t a s k b e c o m e s o n eo f p r o v i n g s o m e f o r m u l a t o b e a t h e o r e m ( w i t h n o p re m i s e s ) . S e c o n dl y ,w e " t r a n s l a t e " t h i s a ll e g e d t h e o r e m i n t o a s t a t e m e n t a b o u t p o s s i b l e w o r l d s .T h i s t r a n s l a t i o n c o m e s i n tw o s t e p s. T h e f ir st i s s i m p l y t h e o b s e r v a t i o n t h a ta f o r m u l a A is a t h e o r e m o f a n o r m a l m o d a l lo g i c j u s t i n c a s e i t is t r u e a te v e r y p o s s i b le w o r l d . L e t t i n g W b e a o n e - p l a c e p r e d i c a t e m e a n i n g " ~ is ap o s s i b le w o r l d ", t h i s b e c o m e s r e q u i r e m e n t :

( V $ ) ( W $ - * T R A N S ( A , z ) )w h e r e T R A N S ( A , x) is a f u n c t i o n t h a t t r a n s l a te s t h e s e n t e n c e A i n t o o n et h a t s a y s A is t r u e a t ( w o r ld ) x " . T h i s f u n c t i o n is r e c u r s i v e ly d e f i n e d t h u s :

T R A N S ( A , y ) :1 . i f A i s a p r o p o s i t i o n a l l e t t e r p , t h e n T R A N S ( A , y) = P ( y)2 . i f A h a s t h e f o r m - ~B , t h e n T R A N S ( A , y ) = - ~ T R A N S ( A , y)


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I d e n t i t y in M o d M L o g i c . . . 2973 . i f A h a s t h e f o r m ( B . C ) , w h e r e is o n e o f t h e b i n a r y c o n n e c t i v e s

--*, ~ , & , V , t h e nT R A N S ( A , y) = ( T R A N S ( B , y) T R A N S ( C , y ) )

4 . i f A h a s t h e f o r m L B , t h e nT R A N S ( A , y ) = ( V z ) ( W z & R y z ~ T R A N S ( B , z ) )

5 . i f A h a s t h e f o r m M B , t h e nT R A N S ( A , y ) = ( 3 z ) ( W z & R y z & T R A N S ( B , z ) ) .

( I n s t e p s 4 a n d 5 , z is d i s t i n c t f r o m a n y v a r ia b l e o c c u r r i n g i n A a n d f r o my ) . A s c a n e a s i l y b e s e e n f r o m t h e d e f i n i ti o n o f T R A N S ( A , y) , t h e w a y w er e p r e s e n t t h a t a p r o p o s i t i o n a l l e t t e r p i s t r u e a t a p o s s i b l e w o r l d y i s j u s t t oi n v e n t a n e w o n e - p l a c e p r e d i c a t e ( w h i c h w e r e p r e se n t a s t h e u p p e r c a se o ft h e p r o p o s i t i o n a l l e t t e r ) m e a n i n g p is t r u e a t y , P ( y ) . T h e t r u t h f u n c t i o n a lc o r m e c t i v e s (c l a u se s 2 a n d 3 ) c o n t r i b u t e n o t h i n g n e w t o t h e t r a n s l a t i o n , b u tt h e m o d a l c o n n e c t i v e s L a n d M ( cl au s es 4 a n d 5 ) d o . L B is t r u e a t a w o r l dy j u s t i n c a s e B i s t r u e a t e v e r y w o r l d r e l a t e d t o y ; a n d M B i s t r u e a t aw o r l d y j u s t i n c as e B i s t r u e a t s o m e w o r l d r e l a t e d t o y. T h e f u n c t i o nT R A N S ( A , y ) i s w e l l - d e f i n e d a n d y i e ld s a u n i q u e t r a n s l a t i o n ( u p t o c h o i c eo f v a r i a b l e s) o f A g i v e n in i t i a l y , i n a f in i te n u m b e r o f s te p s ( d e p e n d i n gf in ,e ar ly o n l y o n t h e l e n g t h o f A ) . F o r e x a m p l e :T R A N S ( L ( L p ~ M p ) , :r )=

T R A N S ( L M p ~ p , x ) =vy) wu 3z) wz Ryz

T R A N S ( L ( L p ~ p ) ~ L p , ~.) =Pu)].

S u c h e x a m p l e t r a n s l a t i o n s s h o u l d gi ve t h e f la v o u r o f t h e o p e r a t i o n o fT R A N S ( A , ~ ) .

I n t h e c u r r e n t i m p l e m e n t a t i o n o f T H I N K E R , a u s e r s pe ci fie s w h i c h m o d a ls y s t e m h e w i sh e s a p r o o f t o b e a t t e m p t e d in . T H IN K E R go e s t o a s p e c i a lf ile i n w h i c h t h e s e m a n t i c c o n d i t io n s o n R c o r r e s p o n d i n g t o e a c h a x i o m a r e


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298 F. J . Pe l Ie t i e rstored and adds t he m as premises to the argu ment to be proved. 3 As iswell-known, certain of these premises imply others, certain combinationsof the premises are equivalent to oth er combi nations , and in deed certaincombinations are equivalent to other (simpler) formulas. For example, it iswell-kn own that T implies D; so whenever a user happen s t o specify a syst emby using bot h T and D, only T is added. 4 It is also true th at G is provablein any system with either B or 5; thus any user attempt to specify G incombi nati on wit h B or 5 will jus t result in the B or 5 premise being added,respectively. Sys tem KB4 is the same as sys tem KB5 (which of course is thesame as sys tem KB45). In this case it was empirically det erm ine d th at th emost efficient form ulat ion had all of B, 4, and 5 ad ded as premises for an y ofthese combinations entered by the user. The combinations T5, T B 4 , T45,D B 4 , and D B 5 are equivalent ways of specifying sys te m $5. Furt her more ,it is also well-known th at $5 is determi ned by t he class of worlds in which

3The nomenclature used here follows Ghellas [1]. K is the smallest normal system. Itis formed from classical logic by adding the interdefinability of L and M plus

if ~'k (~ then ~-k L~.The other systems under consideration here are formed from K by adding combinationsof these axioms:D. L~ ~ M~;T. L4~ --~ ~;G. MLiI~ --~ L M~ ;B. ~ ~ LM ~;4. L~--* LL~;5 M ~ ~ L M ~

There are certain dependencies amongst these axioms, so that of the 64 different pos-sible combinations of the axioms, only 21 distinct systems are generated. The semanticconditions on the accessibility relation R corresponding to the axioms are:(d) [seriality] (Vz)(z E W -* (Sy)(V E W Rzy));t ) [ r ei te ~ iv it y ] w ) ~ ~ w - . R ~ ) ;

(b) [symmetry] (Vz)(Vy)(z,y E W --~ (Rzy --, Ryz));g ) [ in e es tu a li ty ] V ~ ) V y ) V z ) ~ ,y , ~ e W - . R ~ y S ~ R ~ z - ~ 3 ~ ) ~ e W S ~ R ~

e~ Rz w) ) ) ;(4) [transitivity] (Yz)(y )(Vz)(z, y, z C W ~ (R zy Ry z --* Rzz) );(5) [euclidean] (Vz)(Vy)(Vz)(z,y, z ~ W -* (R zy Rz z -4 Ryz) ).4More xccurately, we should always say the semantic condition corresponding to Tis added (cf. the previous footnote for these conditions), but we will just indifferentlyrefer to the axioms and allow context to determine whether we mean the axioms or thesemantic conditions on the accessibility relation.


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Ide n t i t y in M oda l Log ic . . . 299t h e r e l a t i o n R i s a u n i v e r s a l r e l a t i o n :$ 5 : w ) v y ) w , w y R ,y ).T h i s p r e m i s e t u r n s o u t t o b e m u c h e a s i e r f o r THINKER t o u s e t h e n a n y o ft h e o t h e r , e q u i v a l e n t , c o m b i n a t i o n s o f r e s tr i ct i o n s o n R . T h u s w h e n a n y o f

5 , K T 5 , K T B 4 , K T 4 5 , K D B 4 , K D B 5 are e n t e r e d b y t h e u se r , t h e f o r m u l ad e s c r i b e d b y $ 5 i s u s e d i n s t e a d . A l s o w e ll k n o w n is t h a t , i n t h e p r e s e n c e o fT , G c a n be r e d u c e d t oV t

A n d s o w h e n t h e u s e r e n t e r s s o m e c o m b i n a t i o n o f T a n d G , G t is e n t e r e dr a t h e r t h e n G ( T is s ti ll e n t e r e d s e p a r a te l y , o f c o u r s e ).

L a s t l y i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e u s e r c a n s p ec if y t h a t a n a r g u m e n ts h o u l d b e a t t e m p t e d i n a s y s t e m o t h e r t h a n o n e o f t h e a b o v e , i f h e k n o w st h e r e l e v a n t a c c e s si b il it y r e l a t i o n t h a t c h a r a c te r i z es t h e s y s t e m . F o r e x a m p l e ,o n e m i g h t b e i n t e r e s t e d i n a p r o o f w i t h i n t h e s y s t e m $4.3. T h i s s y s t e m i s$4 p l u s a n y o n e o f a l a rg e n u m b e r o f a x i o m s , s u c h a s [ ( M L A & M L B ) - ~M ( L A ~ / ;B ) ] . I f o n e k n o w s t h a t t h e a d d i t i o n o f4 . 3 ) w y R y v Rye))

t o T a n d 4 w i l l d e s c r i b e t h i s s y s t e m S 4.a, t h e n o n e c a n m e r e l y a d d t h i s a sa n e x t r a p r e m i s e w i t h i n K T 4 t o a n y a r g u m e n t t h a t o n e w i sh e s t o i n v e s t ig a t et h e v a l i d i ty o f. O v e r a l l , t h e n , w h e n a p e r s o n w i s h e s t o p r o v e f o r m u l a Ai n t h e m o d a l s y s t e m s X , w h a t i s do n e is t o s h o w t h a t i t is p r o v a b l e t h a tt h e t r a n s l a t i o n o f A is t r u e a t e v e r y w o r ld , g i v e n t h e s e m a n t i c a c c e s s i bi l it yc o n d i t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o s y s t e m X a s p r e m i se s .T h u s T H I N K E R h a s t h e c a p a c it y , w i t h n o fu r t h e r u s e r i n p u t , t o i n v e st i-g a t e t h e v a l i d it y o f a r g u m e n t s o f a n y o f t h e s e 2 1 p r o p o s i t i o n a l m o d a l s y s t e m s :K, KD, KT, KB, K4, KG, K5, KD B, KD 4, KD G, KG4, KG T, KD 5, K45, KB4,KTB (Browerische), KT4 (S4), KT4G ( 4.2), KT5 ( 5), KD 45, KD G4. In ad-di t ion, i f t h e u s e r k n o w s t h e r e l e v a n t a c c e ss ib i li ty r e l a t i o n f or a n e x t e n s i o no f a n y o f t h e s e s y s t e m s , h e c a n a d d i t a s a n e x t r a p r e m i s e a n d i n v e s t i g a t ep r o o f s i n s u c h a n e w s y s t e m .3 . M o d a l P r e d i c a t e L o g i cT h e s c h e m e d e s c r ib e d a b o v e f o r i n v e s t ig a t i n g t h e 2 1 p r o p o s i t i o n a l m o d a ls y s t e m s i n v o lv e s f in d i n g a fo r m u l a o f t h e s e m a n t i c m e t a l a n g u a g e t h a t h a st h e t r u t h c o n d i t i o n s r e le v a n t to t h e o r ig i n a l s e n te n c e . T h e m a i n i d e a w a s


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300 F . J. Pe lletiert h a t a t o m i c p r o p o s i t i o n s , p o r q e t c ., w e r e r e p r e s e n t e d a s P ( x ) o r Q(y) e t c .

w h i c h s a i d t h a t p is t r u e a t w o r l d z o r q i s t r u e a t w o r l d y , et c .T h i s s a m e i d e a c o u ld b e e x t e n d e d t o a r b i t ra r y p r e d i c a t e s : t h e f i r s t - o r d e r( m o n a d i c ) s e n t e n c e F(a) c o u l d b e r e p r e s e n t e d a s F ( a , ~ ) m w h i c h w o u l ds a y t h a t F ( a ) is t r u e a t w o r l d ~ . M o r e g e n e r a ll y , a n y n - p l a c e p r e d i c a t ew o u l d b e r e p r e s e n t e d as a n ( n + 1 ) - p la c e p r e d i c a t e w h o s e la s t a r g u m e n tr e c o rd s t h e w o r ld r e le v a n t t o e v a lu a t io n . ( T h e t r e a t m e n t o f a n o b j e c t l an -g u a g e ' = ' w i l l h a v e t o b e d i ff e re n t. F o r n o w w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t of ir s t o r d e r p r e d i c a t e lo g i c w i t h o u t id e n t i t y .) T o s a y t h a t L F ( a ) i s t r u e a tw o r l d ~ , o n e w o u l d r e p r e s e n t t h i s a s ( V y ) ( W ( y ) R ( ~ , y ) ~ F ( a , y ) ) i np r e c i s e ly t h e s a m e m a n n e r a s b e f o re . I n d e e d , t h i s j u s t is t h e m e t h o d r e -p o r t e d e a r li e r, i f o n e t h i n k s o f p r o p o s i t i o n s a s b e i n g 0 - p l a c e p r e d i c a t e s . S ot h e o n l y n e w m a c h i n e r y n e e d e d c o n c e rn s n - p l a c e p r e d i c a t e s a n d q u a n ti f i e rs :

T R A N S ( A , w ) :i f A i s a n n - p l a c e p r e d i c a t e F ~ f o ll o w e d b y n t e r m s a l , . . . , a s ,

t h e n T R A N S ( A , w ) = F ' ~ + l ( a l . . . a ~ , w ) ;i f A h a s t h e f o r m ( V $ ) B ,

t h e n T R A N S ( A , w ) = ( V z ) T R A N S ( B , w ) ;i f A h a s t h e f o r m ( 3 x ) B ,

t h e n T R A N S ( A , w ) = ( 3 x ) T R A N S ( B , w ).T h e s e m a n t i c p o s t u l a t e s o r a x i o m s o n t h e a c c e s s ib i li ty r e l a t i o n r e m a i n e x-a c t l y t h e s a m e a s b ef o re , g i v i n g u s o u r 2 1 m o d a l p r e d i c a t e l o g i c s y s t e m s . A sa m a t t e r o f f o r m , o n e w o u l d p r o b a b l y w i sh t o r e s tr i c t t h e o b j e c t l a n g u a g e n o tt o h a v e t h e m o n a d i c p r e d ic a t e R ( ~ ) , s in c e t h a t w o u l d g e t t r a n s l a t e d i n t o t h eb i n a r y R ( ~ , w ) - - w h i c h c o u l d t h e n b e c o n f o u n d e d w i t h t h e ( m e t a l i n g u i s t i c )a c c e ss i b il it y r e l a t i o n R . [W e t a c i tl y m a d e a s i m i l a r r e s t r i c t i o n i n t h e p r o p o -s i t i o n a l l a n g u a g e in n o t a l lo w i n g w t o b e a p r o p o s i t i o n a l v a r i a b l e - - s i n cei t s t r a n s l a t i o n , W ( y ) , m i g h t h a v e b e e n c o n f o u n d e d w i t h t h e m e t a l i n g n i s t i cp r e d i c a t e is a p o s s i b l e w o r l d . W e m a i n t a i n t h a t r e s t r i c t i o n h e r e .]

I t w o u l d b e n i c e s t i f w e h a d a t w o - - so r te d l o gi c so t h a t t h e r e w e r e d i f f e re n ts e t s o f v a r ia b l e s f o r p o s s i b l e w o r l d s a n d fo r o r d i n a r y i n d i v i d u a l s i n t h o s ew o r l d s . ( T H IN K E R d o e s n o t h a v e t h i s f e a t u r e ) . I f n o t , w e w i l l h a v e t o s t a t ea s a s p e c ia l a x i o m , w h i c h i s t o b e u s e d f o r e v e r y a r g u m e n t i n e v e r y s y s t e m ,t h a t n o p o s s i b l e w o r l d is a n o r d i n a r y i n d i v i d u a l . T h e r e a r e a v a r i e t y o fw a y s t h i s m i g h t b e d o n e , b u t o n e t h a t f it s i n w e ll w i t h o t h e r f e a t u r e s t o b ec o n s i d e r e d s h o r t l y is t h i s. W e h a v e a n o t h e r m e t a l i n g u i s t i c p r e d i c a t e D ( ~ , y )


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302 F. J. Pel let ierT h e ( B F ) a x i o m is a n o n - e x p a n s i o n a x i o m , s a y i n g t h a t i f w 2 i s a c c e s si b lef r o m w l t h e n t h e r e a re n o n e w i te m s i n t h e d o m a i n o f w 2 t h a n t h e r e w e r ei n w l . T h e r e l e v a n t s e m a n t i c s a x i o m is(b ) ( V w l ) ( V w 2 ) ( W ( w l ) ~ W ( w 2 ) g z R ( w l , w2)S h o u l d o n e w i s h a c o n s t a n t d o m a i n l og ic , o n e c o u l d a d d b o t h ( c b f) a n d( b f ) , b u t i t w o u l d p r o b a b l y b e e a s i er t o w o r k w i t h( cd ) ( V w l ) ( V w 2 ) ( W ( w l ) W ( w 2 ) --+ ( V z ) ( D ( ~ , w l ) - - + D ( ~ , w 2 ) ) ) .I t m i g h t a l s o b e n o t e d t h a t a d d i n g o n e o f ( c bf ) o r ( b f ) t o a n y l og ic w h i c hi n c l u d e s s y m m e t r y o f t h e a c c es si b il it y r e l a t i o n ( a n y l o g i c c o n t a i n i n g t h e Ba x i o m , f o r e x a m p l e $ 5 ) w il l g e n e r a t e a c o n s t a n t d o m a i n l o gi c.

T h e e x t e n s i o n t o m o d a l p r e d i c a t e lo gi c h a s n o t b e e n d o n e f o r T H I N K E R ,b u t t h e r e s e e m s t o b e n o o b s ta c l e h e r e - - a ll a r g u m e n t s c o n t i n u e t o b e i nf i r s t o r d e r p r e d i c a t e l o g i c , o n l y w i t h s o m e f u r t h e r a x i o m s ( p r e m i s e s t o e a c ha r g u m e n t ) . T H I N K E R h a s a l re a d y d e m o n s t r a t e d t h a t p r e d i c a t e l o gi c a r g u-m e n t s o f t h is c o m p l e x i t y p o s e n o p a r t i c u l a r p r o b l e m . W e t h u s c a n h a v e a n yo f t h e 2 1 m o d a l s y s t e m s , w i t h o r w i t h o u t c o n s t a n t , s h r i n k i n g , o r e x p a n d i n gd o m a i n s ( so l o n g as it i s l o gi ca l ly p o s si b l e - - S s c a n n o t h a v e a s t r i c t l y e x -p a n d i n g d o m a i n , f or e x a m p l e ) .4 . I d e n t i t y . 5M o d a l p r e d i c a t e l o g i c r a is e s a h o s t o f p h i l o s o p h i c a l l y i n t e r e s t i n g q u e s t i o n s .( F o r a c la ss ic s t a t e m e n t o f t h e m s ee K r i p k e [5], [6 ]) .W e s t a y h e r e w i t h t h ef o r m a l i ss ue s r ai s e d in a d d i n g i d e n t i t y to t h e f r a m e w o r k j u s t o u t l i n e d , b u tn o n e t h e l e s s th e r e s e e m t o b e p l ac e s w h e r e e v e n th i s i m p i n g e s u p o n t h e p h i lo -s o p h i c a l i s su e s .

T h e r e s e e m t o b e t w o d i ff e re n t a p p r o a c h e s t o i d e n t i t y a v a i l a b l e t o u su s in g th e m e t h o d o f t r a n sl a t i o n i n to t h e s e m a n t i c m e t a l a n g u a g e . T h e o n eis t o t r e a t a n i d e n t i t y s t a t e m e n t ju s t l ik e a n y p r e d i c a t e , t r u e a t a w o r l d - -t h a t i s, t o tr e a t i d e n t i t y a s a w o r l d r e l a ti v i z e d r e l a t i o n . T h e o r d e r i s t ot r e a t i d e n t i t y a s a t r a n s w o r l d r e l at i o n - - t h a t is , a n i d e n t i t y s t a t e m e n t iss i m p l y t r u e , n o t m e r e l y t r u e i n s o m e w o r l d.

~THINK R a d d s c l a s s ic a l i d e n t i t y i n f ir s t o r d e r l o g i c b y m e a n s o f t h r e e r u l e s o f i n f e r -e n e e : R e f l e x i v i t y o f I d e n t i t y ( w h i c h r e q u ir e s n o p r e m i s e s ) , L e i b n i z s L a w , a n d N e g a t i o n o fI d e n t i t y :

[ R E F L ] = ~ a = a ;I T . L ] + a ) , a = b ~ + b ) ;[N EG ID ] ~ (a ) , -~ , I~ (b ) =~ a ~ b .


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Iden t i t y i n Modal Lo gic . . . 303T h e w o r l d - r e l a t iv i z e d a p p r o a c h w o u l d e x t e n d t h e T R A N S ( A , w ) fu n c -

t ions as fo l lows :T R A N S ( A , w ) :

i f A i s o f t h e f o r m ( a = f l) , t h e n T R A N S ( A , w ) = I ( a ,f l , w ) .T h a t i s, w e r e p l a c e t h e o b j e c t l a n g u a g e b i n a r y i d e n t i t y r e l a t i o n w i t h t h ew o r l d - r e l a t i v i z e d , t e r n a r y r e l a t i o n I ( a , f l, w ) - - w h i c h s a y s t h a t a a n d / 3 a r ei d e n t i c a l in w o r l d w . I n s u c h a n a p p r o a c h , t h e v a r io u s R u l e s o f I n f e r e n c ec o n c e r n i n g i d e n t i t y a ls o n e e d t o b e r e l at iv i z e d . T h e f o ll ow i n g t h r e e s e e mt m p r o b l e m a t i c : F o r a l l a , b , a n d x

( I d l ) D ( a , ~ ) ~ I (a , a , ~ ) ;( I d 2 ) D (a , ~ ) , D(b , ~ . ) , q~ (a , x ) , I (a ,b , x ) ~ ~ ( b , z ) ;( I d 3 ) D(a,~),D(b,a:), , I~(a,~),~q~(b,~) ~ ~I(a,b,~).

T h a t i s, w i t h i n t h e d o m a i n o f a n y w o r ld z , I (a , b , z ) w o r k s j u s t l ik e i d e n t i t y .B u t , w e m i g h t a s k , w h a t s h a ll b e s a i d a b o u t I(a , b, ~) w h e n o n e o r b o t h o fa a n d b a r e n o t i n d o m a i n o f z ? O n e p o s s i b il it y is t o s a y n o t h i n g . T h i sh a s t h e e f fe c t o f a ~ o w i n g s u c h c a se s t o b e t r u e i n s o m e w o r l d s a n d f a l s ei n o t h e r w o r ld s . ( S in c e t h e s e m a n t i c m e t a l a n g u a g e is e x t e n s io n a l , a t a n yp a r t i c u l a r w o r l d w , e i t h e r I (a , a , w) o r -~I(a, a, w ) i s t r u e [ fo r e x a m p l e ] e v e ni f ~ D ( a , w ) - - t h e y a r e n ' t u n d e f i n e d , n o r d o th e y t a k e o n s o m e o t h e r t r u t hv a l u e . B u t f o r d i f fe r e n t w ' s it w i ll h a p p e n t h a t ( ~D ( a , w l ) & I ( a , a , w l ) )a n d ( - ~ D ( a , w 2 ) & ~ I ( a , a , w 2 )).) T h i s i s p e r h a p s t h e l e a s t p h i l o s o p h i c a l l yl o a d e d d e c i s io n t o m a k e , s in c e i t p r e s u m e s n o s p e c ia l t r u t h s i n a w o r l da b o u t o b j e c t s . t h a t d o n ' t ex i s t i n t h a t w o r l d . B u t it i s n o t t h e o n l y c h o i c et h a t c o u l d b e m a d e . M y o w n i n t u it i o n s w o u l d h a v e t h e fo ll ow i n g

( I d l ' ) ~ D ( a , z ) ~ I ( a , a ,x ) ;( Id 2 ' ) -~D(a , z ) ,~D(b ,a: ) , I (a ,b ,~) , , I~ (a ,~) ~ ~ ( b , ~ ) ;( Id 3 ' ) ~ P ( a , ~ ) , ~ D ( b , ~ ) , q ~ ( a , ~ ) , ~ ( b , a : ) ~ ~ I ( a , b , z ) ;( Id 4 ' ) - D ( a , ~ ) , D ( b , ~ ) ~ ~ I (a , b , ) ;( Id 5 ' ) D ( a , ~ ) , I ( a , b , z ) ~ D ( b , e ) ;( Id 6 r) ~ D ( a , a : ) , I ( a , b , z ) ~ ~ D ( b , ~ ) .

I n t h i s v i e w , s e lf i d e n t i t ie s a r e t r u e i n a w o r l d e v e n w h e n t h e o b j e c t d o e s n ' te x is t i n t h a t w o r l d . ( I d l ' ) c a n b e p u t t o g e t h e r w i t h ( I d l ) t o f o r m w o r l d -r e l a t i v e r e f l e x iv i ty , a r u l e w i t h n o p r e m i s e s .

[ w - r R E F L ] ~ I( a , a, ~.).


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304 F . J . P e l l e t i e r( I d 4 ') , ( I d 5 ') , a n d ( I d 6 ') a r e r a t h e r l ik e i n s t a n c e s L L a n d N E G I D , a p p l i e d t oe x i s t e n c e - i n - a - w o r l d . M y in t u i ti o n s t el l m e t h a t i f a d o e s n o t e x i s t in w b u t/3 d o e s , th e n a a n d f l c a n n o t b e t h e s a m e i n w ; o r a l te r n a t i v e l y p u t , i f a e x i s t si n w a n d i s i d e n t i c a l - t o - f l - i n - w , t h e n fl m u s t e x is t i n w . T h i s g r o u p o f r u le st e ll u s t h a t i f a a n d f l a r e i d e n t i c a l - i n - a - w o r l d , t h e n e i t h e r t h e y b o t h e x i s t i nt h a t w o r l d o r b o t h d o n ' t e x is t i n t h a t w o r ld . T h a t is , e x i s t e n c e - i n - a - w o r l dis a p r o p e r t y o f t h a t w o r l d i n t h e s en s e t h a t L L a p pl ie s t o e x i s t e n c e - i n - a -w o r l d , t h a t is , i t a p p li es t o t h e p r o p e r t y o f b e i n g i n t h e d o m a i n o f a w o r l d

w e m i g h t c a ll i t d o m a i n L L :[ d o m L L ] I a , b ,w ) ~ D a , w ) ~ D b ,w ) ) .

N o w , g i v en t h a t t h e r e c a n b e s o m e t r u e i d e n t i t ie s in a w o r l d e v e n i f t h eo b j e c t s i n v o l v e d do n o t e x i s t i n t h a t w o r l d , w e n e e d t o b e a b l e t o r e a s o na b o u t t h e m ; ( I d 2 ') a n d ( I d 3 ') j u s t m i r r o r o u r i d e n t i t y r u le s L L a n d N E G I D ,b u t i n a w o r ld r e l a ti v e w a y, a n d a p p l y t h e m t o t h i n g s t h a t d o n o t e x is t int h e w o r l d. O f c o u r se o n c e w e h a v e [ d o m L L ] , t h e n t h e ( I d 2 ) a n d ( I d 2 ') r u le sa n d t h e ( I d 3) a n d ( I d 3 ') r ul e s c a n b e m o r e s i m p l y s t a t e d a s w o r l d - r e l a t i v er u l e s :

[ w - r L L ] I a , b , x ) , f f ? a , z ) ~ O ( b , $ ) ;[ w - r N E G I D ] ~ a , z ) , - , O b , z ) :::> - , I a , b , z ) .

N o t i c e t h a t i n t h is v e r s io n o f w o r l d - r e l a ti v e i d e n t i ty , t h e r e is n o r e q u i r e m e n tt o t h e e ff e ct t h a t t h e r e b e s o m e t e r m s w h i c h d e n o t e t h e s a m e t h i n g in e a c hp o s s ib l e w o r l d , o r , t o w e a k e n i t s o m e w h a t , d e n o t e t h e s a m e t h i n g i n e a c hp o s s ib l e w o r l d i n w h i c h t h e y e x is t . I t is n o t q u i t e c le a r h o w t h is r e q u i r e m e n tm i g h t b e s t a t e d i n t h e l a n g u a g e a n y w a y , b u t w e c an a t l e a s t n o t e t h a t t h e r ea r e 11o a a n d b s u c h t h a t I a , b , w l ) a n d - , I a , b , w2 ) are m u t u a l l y i n c o n s i s t e n t( u n l e s s w l = w 2 o r u n l e s s a = b ). F o r a n y tw o d i s t i n c t t e r m s a a n d f l , a ne x p r e s s i o n o f i d e n t i t y c a n b e t r u e i n o n e w o r l d w i t h o u t b e i n g t r u e i n a n o t h e r

w h e t h e r o r n o t a a n d / 3 e x is t i n t h e r e l e v a n t w o r l d s . O f c o u r s e o n e c o u l da d d t h e p o s t u l a t e

( W , ) ( V y ) [ ( 3 w ) I ( ~ , , y , , , , ) ~ ( V , . , , ) . r ( , , , , y , w ) ] ~ .A n o t h e r o p i n i o n w o u l d b e t o r e s t r ic t t h e p r i n c i p le j u s t t o h o l d o f c e r t a i nc o n s t a n t s - - r i g id d e s i g n a t o r s a a n d b:

3 w ) I a , b , w ) --* V w ) I a , b , w )SOt, perhaps, the weaker( V = ) ( V y ) [ ( : : l w ) I ( z , y , w - * ( V w ) ( D ( x , w ) - . - , I ( ~ , y , w ]

if one wa nted to add the quantification in worlds in which the y exists . (A nd perha psthis last principle and these formulas should be restricted to accessible possible worlds.)


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I d e n t i ty i n M o d a l L o g i c . . . 305o r t h e w e a k e r

( 3 w ) I ( a , b , w ) -* ( V w ) ( D ( a , w ) - * I ( a , b , w ) )( a n d a g a i n , m a y b e t h i s s h o u l d b e r e s t r i c t e d t o a c c e s si b le p o s s ib l e w o r l d s ) .B u t I s ee n o r e a s o n t o t r y to f o r ce t h e n o t i o n o f w o r l d - b o u n d id e n t i t y i n t os e rv i c e f o r t r a n s w o r l d i d e n t i t y . A b e t t e r s t r a t e g y w o u l d b e t o t a k e t h eo t h e r a v e n u e f o r i d e n t i t y .

T h e s e c o n d o f t h e t w o p a t h s o n e m i g h t t a k e f or id e n t i ty i n a m o d a lp r e d i c a t e l o g ic is t o t r e a t i d e n t i t y a s e s s e n ti a ll y a t r a n s w o r l d c o n c e p t i ni ts o w n r i g h t . T h i s m e a n s t h a t

T R A N S ( A , ~) :f f A i s o f t h e f o r m ( a = j3 ), t h e n T R A N S ( A , x ) = ( a = f l )

I d e n t i t y s t a t e m e n t s a r e n o t r e l a t i v i z e d t o a w o r l d ; t h e y a r e t r u e o r f a l s e ,s i m p l i c i t e r. T h u s , f r o m t h e o r ig i n a l L L a n d N E G I D r u l e s o f c l a s si c a l l o g ic ,w h e n e v e r w e a r e g i v e n a t r u e i d e n t i t y a = b, w e c a n in f e r t h a t every p r o p e r t yo f a is o n e o f b a n d c o n v e r s e ly - - a n d t h is in c l u d e s m o d a l p r o p e r t i e s ,s in c e t h e y a r e m e r e l y e x p r e s s e d a s a f o r m u l a w h i c h q u a n t i fi e s o v e r p o s s i b lew o r l d s . C o n s i d e r t h e n a s e n t e n c e l ik e '% is n e c e s s a r il y a n F , w h i c h m i g h tb e r e p r e s e n t e d a s L F ( a ) , o r in o u r f r a m e w o r k a s1) R I , F a ,

I f a = b , i t f o l l o w s b y L L t h a t2 )

t h a t is t o s a y , g i v e n a = b i t fo l lo w t h a t b is n e c e s s a r i l y a n F . C o n t r a p o s i -t iv e l y , i f w e h a d ( 1 ) a n d( 3 ) - ~ ( V w l ) ( W ( w l ) --* ( Y w 2 ) ( W ( w ~ ) R ( w l , w 2 ) - * F ( b , w 2 )) )t h e n N E G I D w o u l d c o n c lu d e a ~ b. ( T h e s a m e w o u l d h o l d t r u e i f t h et r a n s l a t i o n ( 1 ) h a d a c l a u se s a y in g t h a t a a n d b h a d t o e x i s t i n t h e r e l e v a n tw o r l d s , s u c h a s D ( a , w 2 ) o r D ( a , w l ) . B y L L a n d N E G I D , i f a = b t h e n t h e ye x i s t in e x a c t l y t h e s a m e p o s s ib l e w o r l d s .)

P e r h a p s t h is t r a n s - w o r l d i d e n t i t y is m o s t s u i t a b le t o c a se s i n w h i c h b o t ht e r m s a r e r i g h t d e s i g n a t o r s , f o r i t e n t ai ls t h a t s u c h a n i d e n t i t y i m p l ie s t h em u t u a l p o s s e s s io n o f a l l q u a l it ie s i n c l u d in g m o d a l o n e s. T h u s i f t ( ' T u l l y ' )a n d c ( ' C i c e r o ' ) a r e s u c h te r m s , a n d i f ' t = c ' is t ru e , t h e n t h e y s h a r e a llm o d a l p r o p e r t ie s .


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306 F. J . Pe l le t ierH o w e v e r , t h e c l a ss ic t e s t f o r r i g i d d e s i g n a t i o n is w h e t h e r a t r u e i d e n t i t y

is n e c e s s a r i l y t ru e . I n t h e p r e s e n t f r a m e w o r k t h e t r a n s l a t i o n o f s u c h a c l a i mw o u l d s e e m t o b e( 4 ) t = c - . w l ) [ w ~ , ) ~ ~ ~ , ~ 1 ) - ~ t = c].B u t f a r f r o m b e i n g a n in t e r e s t in g a n d c o n t r o v e r s ia l c l a im , a s r i g i d i d e n t i t yi s s u p p o s e d t o b e , t h i s i s a m e r e t r u t h f u n c t i o n a l t a u t o l o g y ( a l m o s t ) , a n ds e e m s u n l i k e l y t o b e w h a t i s m e a n t b y t h e c la s s i c t e s t . P e r h a p s t h e c la s s i ct e s t a c t u a l l y m i x e s t h e t w o n o t i o n s o f i d e n t i ty . I f t = c a n d t h e y a r e b o t hr ig i d t e rm s , t h e n t h e w o r l d - b o u n d i d e n t i t y h o l d s i n e a c h r e l a t e d w o r l d .

5 ) t = c -+ w l ) [ w ~ l ) e R ~ , ~ 1 ) - * z t , c , ~ 1 ) ]o r i f o n e p re f e rs a f o r m u l a t i o n m e n t i o n i n g i n w o r l d s i n w h i c h t h e y e x i s t ,( 6 ) t = c - - - * ( Y w l ) [ W ( w l ) R ( w , w l ) z D ( t , w l)---* I ( t , c , w l )] .T h i s l a s t i s s t i ll a lo g i c a l t r u t h ( g i v e n t h e t w o v i e w s o f I (a , b , w ) e x p r e s s e da b o v e ) , b u t n o lo n g e r m e r e l y a n ( a l m o s t ) t r u t h - f u n c t i o n a l t a u t o l o g y l i k e ( 4 ).R e c a l l t h a t D ( a , w ) ~ I ( a , a , w ) [ fo r a l l w a n d a ] i s a r u l e o f i n f e r e n c e e v e ni n t h e w e a k e r a c c o u n t o f I ( i .e . , t h e a c c o u n t w i t h ( I d l ) , ( I d 2 ) , a n d ( I d 3 ) ) . I tf o l l ow s t h e n t h a t

7 ) v w l ) [ w ~ l ) ~ R ~ , ~ 1 ) e D t , , o l ) - . Z t , t , ~ 1 ) ]i s l o g ic a l l y t r u e . F r o m t h e lo g ic a l l y t r u e ( 7 ) , a n d w i t h t h e a s s u m p t i o n o ft = c , w e c a n i n f e r t h e c o n s e q u e n t o f ( 6 ) ; t h u s ( 6 ) i t s e l f i s l o g i c a l l y t r u e .N o t e t h a t i n t h is w e a k e r a c c o u n t o f I , t h e f o r m u l a ( 5 ) is n o t l o g ic a l ly t ru e ;h o w e v e r , i n m y p r e f e rr e d , s t r o n g e r , a c c o u n t o f I , i n w h i c h ~ I (a , a , w ) [ fo ra n y a a n d w ] , f o r m u l a ( 5) w o u l d b e . F o r , w e h a v e

8 ) ( V w l ) [ W ( w l ) R ( w , w l ) ~ I ( t , t , w l ) ]b e i n g l o g ic a l ly tr u e , a n d i f a = b w e w o u l d d e r i v e t h e c o n s e q u e n t o f ( 5 ) b yL L , a n d h e n c e ( 5 ) i t s e l f m u s t b e l o g i c a ll y t r u e .

M y o w n f ee l i ng a b o u t t h e t w o a v e n u e s f o r t r e a t i n g i d e n t i t y i s t h a t b o t h' = ' a n d ' I ' s h o u l d b e u s e d , a t l e a s t i n c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s a n d f o r c e r t a inp u r p o s e s . I t s e e m t o m e th a t w e w a n t ' I ' in o r d e r t o b e a b l e t o e x p r e s s n o nr i g i d i d e n t i t i e s s u c h a s t he i nven tor o f t he b i foca ls = the fi r s t pos tm as t e rgenera l o f the US. ( I d o b e l i e v e t h a t t h i s re a l ly is a n i d e n t i t y , a n d n o t s o m eo t h e r f o r m o f p r e d i c a t i o n . ) H e r e w e w o u l d w a n t t o s a y i t i s t r u e i n s o m ep o s s i b l e w o r ld s b u t n o t i n o t h e r s , a n d t h is c a ll s fo r u s i n g t h e w o r l d - b o u n d


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I d e n t i t y i n M o d a l L o g i c . . . 307p r e d i c a t e I i n i t s t r a n s l a t i o n . O n t h e o t h e r h a n d t h o u g h , fo r s o m e p u r p o s e sw e w i s h t o m a k e t r a n s w o r l d i d e n t i fi c a t io n s a n d t h i s s e e m s t o c al l f o r s o m er e l a t io n o t h e r t h a n ' I ' . F o r e x a m p l e , i n t h e u se o f m o d a l lo g ic t o a n a l y z ed i s t r i b u t e d s y s t e m s , w e s o m e t i m e s w o u l d l ik e t o s a y t h a t t h e o b j e c t ( o r p r o -c es s o r m e m o r y l o c a t io n ) t h a t o n e p r o c es s or is w o r k i n g o n i s t h e s a m e a st h e o n e t h a t a n o t h e r p r o c e s s o r is w o r k i n g o n ( n o w , o r p e r h a p s a t a d i ff e re n tt i m e ) . T h i s c a n n o t b e a d e q u a t e l y c a p t u r e d b y 'I ' , w h i c h o n l y t a lk s a b o u ti d e n t i t i e s f r o m t h e p o i n t o f v i ew o f o n e p r o c es s or . S o p e r h a p s w e w o u l dw i s h t o u s e b o t h . S o m e t e r m s w o u l d b e m a r k e d a s r ig i d d e s i g n a t o r s i n t h eu n d e r l y i n g l og ic , a n d a n i d e n t i t y s t a t e m e n t b e t w e e n t w o o f t h e m w o u l d b et r a n s l a t e d i n t o t h e s e m a n t i c m e t a l a n g u a g e a s ~ = f t. T e r m s n o t s o m a r k e dw o u l d b e t r a n s l a t e d a s I ( a , f i , z ) . A l t h o u g h t h e r e m i g h t b e c h o ic e s , I w o u l ds u p p o s e t h a t a n i d e n t i t y b e tw e e n a r ig i d t e r m a n d a n o n - r i g i d t e r m w o u l d b et r a n s l a t e d w i t h ' I ' ( a t l e a st t h a t is h o w I w o u l d t o t r a n s l a te B e n F r a n k l i n =t h e i n v e n t o r o f th e b i fo c a ls ) I t s e e m s t o m e t h a t t h e r e is c o n s id e r a b le p r o m i s ei n d e v e l o p i n g l o g ic a l s y s t e m s i n w h i c h b o t h ' I ' a n d ' = ' p l a y a r ol e.5 . A c k n o w l e d g m e n t sM y r e s ea r c h in t o a u t o m a t e d t h e o r e m p r ov i n g , a n d t h e d e v e l o p m e n t o fT H I N K E R , h a s b e e n s u p p o r t e d o ve r t h e y ea rs b y t h e ( C a n a d i a n ) N S E R Cg r a n t O G P 5 5 2 5 . I a m e x t r e m e l y g r a te f u l f o r t h i s a s s is t an c e , a s a r e t h es t u d e n t s w h o w o r k e d o n T H I N K E R d u r i n g p a r t s o f t h i s p e r i o d : D a n W i l -s o n , G il le s C h a r t r a n d , R a n d y K o p a c h , X i n y i n g G u , J ef f K e ll y, H o n g - q i L u .T h a n k s a ls o t o C h a r l e s T r u s c o t t f or b i b li o g ra p h i c al h e l p . T h i s p a r t i c u l a rp a p e r w a s f i r s t d r a f t e d w h e n I v i s i t e d t h e S e m i n a r f l i t n a t i i r l i c h - s p r a c h l i c h eS y s t e m e a t U n i v e r s i t t T i i b i n g e n i n S u m m e r 1 98 9. I s in c e re ly t h a n k F r a n zG u e n t h n e r f o r h is h o s p i t a l i t y d u r i n g t h is p e r i o d , a n d f o r p r o v i d i n g m e w i t ha p le a s a n t e n v i r o n m e n t i n w h ic h t o t h i n k a b o u t a u t o m a t e d t h e o r e m p r o v i n gf o r m o d a l l o gi cs . I a m a ls o a m e m b e r o f t h e I n s t i t u t e f o r R o b o t i c s a n d I n -t e ll i g en t S y s t e m s , a n d I w i sh t o a c k n o w le d g e t h e s u p p o r t o f t h e N e t w o r k s o fC e n t e r s o f e x ce ll en c e P r o g r a m o f t h e G o v e r n m e n t o f C a n a d a , N S E R C , a n dt h e p a r t i c i p a t i o n o f P R E C A R N A s so c ia te s In c .R e f e r e n c e s

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Identity in modal logic theorem proving

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