1

Diffraction à l’infini

I) Principe d’Huygens - Fresnel :

1 – Présentation du phénomène de diffraction :

2

Vidéo : « Diffraction de Fraunhofer »

The phenomenon that the propagation of light deviates from the predictions by geometrical

optics in the case of encountering an obstacle, either transparent or opaque, is called

diffraction of light.

Diffraction pattern

Animation JJR :

Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Diffraction par une pupille rectangulaire

(rectangular aperture)

No-one has ever been able to define the difference between

interference and diffraction satisfactorily.

It is just a question of usage, and there is no specific,

important physical difference between them.

(Richard Feynman, 1963)

3

4

Computationnel model of an interference pattern from two-slit diffraction

5

Diffraction par une fente fine : (Fraunhofer Diffraction by a slit aperture)

0d

2a

λ≈�

Demi - largeur angulaire : 0

1a

λθ ≈

(half-angular length)

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When light from a point source passes through a small circular aperture :

7

• Diffuse circular disc (Airy’s disc) surrounded by much fainter concentric circular rings.

• Angular resolution : (D, diameter of the circular aperture)

0sin 1, 22L

D

λθ =

• Great importance because the eye and many optical instruments have circular apertures.

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• Limiting resolution of a system can be calculated using the Rayleigh criterion.

A∞

B∞

00

1,22D

λθ θ> =

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The Rayleigh criterion specifies that two point sources can be considered to be resolvable if

the separation of the two images is at least the radius of the Airy disk

(the first minimum of one coincides with the maximum of the other)

10

Diffraction pour les ondes acoustiques :

11

Interprétation qualitative : (Single slit diffraction, qualitative explanation)

The phenomenon of diffraction involves the spreading out of waves past openings which are on

the order of the wavelenght of the wave.

The spreading of the waves into the area of the geometrical shadow can be modeled by

considering small elements of the wavefront in the slit and treating them like point sources.

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• Maximum de lumière (maximum of light, geometrical pattern) : θ = 0

• 1st light minimum : (destructive interference)

θ1 a

a

2 a

2

M ∞

The light from a source located at the top edge of the slit interferes destructively

with a source located at the middle of the slit when the path length difference is :

0 01 1 1

a asin

2 2 2 a

λ λθ θ θ≈ = ⇒ = ±

Similarly, the source just below the top of the slit will interfere destructively with the

source located just below the middle of the slit at the same angle.

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2nd light minimum : (destructive interference)

0 02 2 2

a asin 2

4 4 2 a

λ λθ θ θ≈ = ⇒ = ±

• A similar argument can be used to show that if we imagine the slit to be divided

into six, eight parts, …: minima are obtained at angles given by :

0n n ( n 1, 2, 3, 4, ...)

a

λθ = ± =

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Calcul géométrique de l’amplitude diffractée : (diffracted wave’s amplitude)

jn

n 0

0

2 asin ; a a e ( n 0 to N )

N

∆ϕπ∆ϕ θ

λ= = =

Njn

d 0

n 0

a ( M ) AB a e∆ϕ

=

= =∑

O

R

R

A

B

amax

ad

Φ

/ 2Φ

(Fresnel’vectors theory)

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max

0

2N a sin ; AB 2R sin ; E AB R

2

π ΦΦ ∆ϕ θ Φ

λ

∩ = = = = =

0

d max max

0

0

sin a sin

a ( M ) E E sin c a sin

a sin

πθ

λ πθ

π λθλ

= =

2

d 0

0

I ( M ) I sin c a sinπ

θλ

=

Minima in the diffracted light :

0m m m

0

a sin m sin m ( m )a

λπθ π θ θ Ζ

λ= ⇒ ≈ = ∈

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2) Enoncé du principe de Huygens-Fresnel :

Soit (Σ) une ouverture plane éclairée par une source ponctuelle (S) monochromatique de

longueur d’onde λ0. Soit un découpage de (Σ) en éléments de surface dσ(P) centrés en P. Alors, pour le calcul de l’éclairement en un point M :

• Chaque élément de surface se comporte comme une source ponctuelle fictive, émettant une ondelette dont l’amplitude complexe instantanée en P est proportionnelle à l’amplitude complexe instantanée aS(P,t) de l’onde émise par S en P

et à l’élément de surface dσ(P).

S

M

P

Σ

dσ

u�

'u�

• Les sources fictives sont cohérentes : les ondes émises par ces sources secondaires interfèrent donc entre elles.

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3 – Distinction entre « diffraction à distance finie » et « diffraction à l’infini » :

Lorsque la distance entre la pupille de diffraction et l’écran d’observation est finie, on parle de diffraction à distance finie ou « diffraction de Fresnel ».

Dans le cas contraire, on parle de diffraction à l’infini ou encore « diffraction de Fraunhofer ». Les calculs sont plus simples et l’on étudiera le phénomène de diffraction

dans une direction définie par le vecteur unitaire u� ; en pratique, les observations se

feront dans le plan focal d’une lentille convergente.

Passage du régime de Fresnel au régime de Fraunhofer : évolution de la figure de diffraction lorsque le plan d’observation s’éloigne de l’ouverture.

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Réalisation pratique des conditions de Fraunhofer :

La source S à l’infini peut être obtenue à l’aide d’un laser et l’observation à l’infini peut être approchée par l’observation sur un écran éloigné.

S M

P

O

u�

'u�

O1 O2

F’2

F1

L2 L1

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4 – Expression mathématique du principe :

0 0

2 2i ( u .SO u' .OM ) ( u' u ).OP

d( Pupille )

a ( M ) Ke e dXdY

π π

λ λ− + −

= ∫∫���� ����� ����� � � �

0 0

2 2i ( SOM ) ( u' u ).OP

d( Pupille )

a ( M ) Ke e dXdY

π π

λ λ− −

= ∫∫����� �

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II) Exemple d’une ouverture rectangulaire :

1 – Diffraction par une fente fine dans le cas d’une incidence normale :

21

2

0

0

( ) sin'

xaI M I c

f

π

λ

=

22

−2π −π π 2π u −2π −π π 2π u

sinc2(u) sinc

2(u)

Graphe de la fonction sinc2(u)

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• sinc2(u) présente un maximum absolu, appelé maximum principal, égal à 1 en u = 0.

• sinc2(u) s’annule pour u = nπ, avec n entier non nul.

• Entre deux zéros successifs, sinc2(u) présente un maximum secondaire situé pratiquement au milieu de deux zéros successifs. On peut ainsi évaluer :

2 23 5sin 0,04 sin 0,016

2 2c et c

π π = =

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2 – Cas d’une ouverture rectangulaire :

On choisit l’origine O au centre de l’ouverture rectangulaire.

2 2

0

0 0

( ) sin sin' '

ax bxE M E c c

f f

π π

λ λ

=

2 2

0

0 0

( ' ) ( ' )( ) sin sin

a bE M E c c

π α α π β β

λ λ

− −=

25

26

Conclusions :

• L’éclairement est maximum pour α = α’ et β’ = β, c’est-à-dire pour 'u u=� �

, soit au point M situé sur le rayon lumineux non dévié. M est l’image géométrique de la source S à travers les deux lentilles.

Ce résultat est général : « Dans un phénomène de diffraction à l’infini, l’éclairement est maximal sur l’image géométrique de la source ».

• L’essentiel de l’énergie lumineuse est concentrée dans la frange centrale de diffraction, centrée sur l’image géométrique S’ de la source S et de demi-largeurs angulaires :

0 0' 'eta b

λ λα α β β− = − =

Dans le cas ou b = 2a, les franges sont deux fois plus longues selon (Ox) que selon (Oy). On peut aussi dire que le phénomène de diffraction est le plus marqué dans la direction où la fente est la plus étroite.

27

File Diffint software : « Pupille rectangulaire » (rectangular aperture)

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III) Diagramme de phase, diagramme d’amplitude :

Définition du facteur de transmission :

Les objets diffractants ne sont pas forcément des ouvertures laissant passer 100 % de

l'onde au niveau de l'ouverture et rien à côté.

Il peut s'agir d'objets atténuant l'onde de façon différente suivant le point ou d'objets

introduisant un déphasage dépendant là aussi du point considéré

0 0

2 2i ( SOM ) ( u' u ).OP

d( Pupille )

a ( M ) Ke t( X ,Y )e dXdY

π π

λ λ−

= ∫∫����� �

Exemples :

* Pour un verre d’indice n et d’épaisseur e (on néglige l’absorption) :

0

2j ( n 1 )e

t( M ) e

π

λ− −

=

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* Prisme carré de côté a, d'indice n et d'angle au sommet α (petit)

Un rayon lumineux incident à une distance y du sommet du prisme subit un

déphasage :

Φ = 2πα y(n - 1) / λ0

En supposant le prisme parfaitement transparent, la

transmission s'écrit:

j at( X ,Y ) e si X et 0 Y a

2

t( X ,Y ) 0 sinon

Φ= < < <

=

0

a

α

Y

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Exemple d’application ; apodisation

On étudie la figure de diffraction par une fente éclairée par un faisceau monochromatique de lumière parallèle en incidence normale. Grâce à un cache, on obtient un coefficient de transparence variable avec l’abscisse, sur la largeur de la fente :

( ) expX

t Xa

= −

On admet que la décroissance de cette fonction avec X est assez rapide pour que l’on

puisse raisonner avec X variant sur [ ],−∞ +∞ . L’observation a lieu dans le plan focal image

d’un objectif.

a) Comment peut-on produire un faisceau de lumière monochromatique et parallèle à l’axe, à partir d’une lampe à incandescence blanche ?

b) Soit F’ le foyer de l’objectif et f’ sa distance focale, quelle est l’expression des variations relatives de l’éclairement en fonction de l’abscisse x, sur l’axe (F’x) ?

c) Par comparaison avec le cas d’une fente de coefficient de transparence uniformément égal à 1, quelles sont les caractéristiques de la nouvelle figure de diffraction ?

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Un avantage de la disparition des pieds, en astronomie par exemple, est que l’on ne risque plus de confondre les maxima secondaires avec des objets moins lumineux situés au voisinage de l’objet central observé.

32

IV) Diffraction par N motifs jumeaux :

Paragraphe important, dans lequel les interférences et la diffraction sont intimement liées.

33

Trous d’Young : figure de diffraction

34

35

On peut faire le calcul complètement dans le cas d’une incidence normale et pour deux fentes d’Young infiniment fines dans une direction :

S F’1

S1

S2 H

θ θ

L1 L2 Ecran

F’2

M(x)

x f’1 f’2

36

2

0 ' '

0 2 0 2

( ) sin ( ) 1 cos 2xa dx

I M I cf f

ππ

λ λ

= +

On retrouve bien l’expression du terme d’interférences, modulé par un terme dû à la diffraction par une fente.

Les courbes suivantes ont été tracées avec regressi.

On a choisi : f’2 = 20 cm, λ0 = 0,5 µm, d = 1 mm.

Pour le 1er graphe, a = 0,1 mm.

Pour le 2nd, a = 0,2 mm (le pic de diffraction est alors moins étalé).

37

I (10²- mª®)

(mm)x

diffr (10²- mª®)

(mm)x-1 -0.5 0 0.5 1

I (10²- mª®)

5

10

15

20

38

I (10²- mª®)

(mm)x

diffr (10²- mª®)

(mm)x-1 -0.5 0 0.5 1

I (10²- mª®)

5

10

15

20

Pour retrouver l’image d’interférences décrite dans le chapitre sur les « Interférences », il faut que la diffraction soit suffisamment importante, de façon à ce que la fonction sinus cardinal ait ses premiers zéros rejetés très loin de O.

Dans ce cas, on reste dans le pic central (qui est très étalé) et on ne voit pas la décroissance lente de l’enveloppe.

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Exercices :

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42

43

File Diffint : « 3fentes »

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46

2

2

0

0 0

2sin 1 2cos

' '

ax dxI I c

f f

π π

λ λ

= +

47

The aperture is a net curtain :

48

File Diffint : « voilage.exo »

2 2

0 02 2

max

0 0

0 0

N cx M dysin sin

f ' f 'ax byI( x, y ) I sin c sinc

f ' f ' cx dyN sin M sin

f ' f '

π π

λ λπ π

λ λ π π

λ λ

=

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