7/29/2019 Hw2 Practice

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C S E 4 4 1 T 5 4 1 T : A d v a n c e d A l g o r i t h m s F a l l S e m e s t e r , 2 0 0 4

P r a c t i c e P r o b l e m s o n D y n a m i c P r o g r a m m i n g

S e p t e m b e r 2 1 , 2 0 0 4

B e l o w a r e f o u r p r a c t i c e p r o b l e m s o n d e s i g n i n g a n d p r o v i n g t h e c o r r e c t n e s s o f d y n a m i c

p r o g r a m m i n g a l g o r i t h m s . F o r t h o s e o f y o u w h o f e e l l i k e y o u n e e d u s t o g u i d e y o u t h r o u g h

s o m e a d d i t i o n a l p r o b l e m s t h a t y o u r s t t r y t o s o l v e o n y o u r o w n , t h e s e p r o b l e m s w i l l s e r v e

t h a t p u r p o s e .

T h e s o l u t i o n s a r e a v a i l a b l e o n t h e c o u r s e w e b p a g e u n d e r h o m e w o r k s . Y o u c a n u s e

t h e s e s o l u t i o n s a s a g u i d e a s t o h o w y o u s h o u l d w r i t e - u p y o u r s o l u t i o n s . T h e s e p r o b l e m s w i l l

b e M U C H m o r e v a l u a b l e t o y o u i f y o u r s t s o l v e t h e m a n d t h e n c h e c k t h e s o l u t i o n s . H i n t s

t o g e t y o u g o i n g a r e a l s o a v a i l a b l e o n t h e w e b p a g e i f y o u w a n t a h i n t w i t h o u t s e e i n g t h e

w h o l e s o l u t i o n . I f y o u n e e d f u r t h e r g u i d a n c e , l e t u s k n o w .

P r a c t i c e P r o b l e m s

1 . S u p p o s e w e w a n t t o m a k e c h a n g e f o r n c e n t s , u s i n g t h e l e a s t n u m b e r o f c o i n s o f

d e n o m i n a t i o n s 1 ; 1 0 , a n d 2 5 c e n t s .

D e s c r i b e a n O n d y n a m i c p r o g r a m m i n g a l g o r i t h m t o n d a n o p t i m a l s o l u t i o n . T h e r e

i s a l s o a n e a s y O 1 a l g o r i t h m b u t t h e i d e a h e r e i s t o i l l u s t r a t e d y n a m i c p r o g r a m m i n g .

2 . H e r e w e l o o k a t a p r o b l e m f r o m c o m p u t a t i o n a l b i o l o g y . Y o u c a n t h i n k o f a D N A

s e q u e n c e a s s e q u e n c e o f t h e c h a r a c t e r s a " , " c " , " g " , " t " . S u p p o s e y o u a r e g i v e n D N A

s e q u e n c e s D

1

o f n

1

c h a r a c t e r s a n d D N A s e q u e n c e D

2

o f n

2

c h a r a c t e r s . Y o u m i g h t w a n t

t o k n o w i f t h e s e s e q u e n c e s a p p e a r t o b e f r o m t h e s a m e o b j e c t . H o w e v e r , i n o b t a i n i n g

t h e s e q u e n c e s , l a b o r a t o r y e r r o r s c o u l d c a u s e r e v e r s e d , r e p e a t e d o r m i s s i n g c h a r a c t e r s .

T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e a l i g n m e n t p r o b l e m .

A n a l i g n m e n t i s d e n e d b y i n s e r t i n g a n y n u m b e r o f s p a c e s i n D

1

a n d D

2

s o t h a t t h e

r e s u l t i n g s t r i n g s D

0

1

a n d D

0

2

b o t h h a v e t h e s a m e l e n g t h w i t h t h e s p a c e s i n c l u d e d a s

p a r t o f t h e s e q u e n c e . E a c h c h a r a c t e r o f D

0

1

i n c l u d i n g e a c h s p a c e a s a c h a r a c t e r h a s

a c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r m a t c h i n g o r n o n - m a t c h i n g i n t h e s a m e p o s i t i o n i n D

0

2

. F o r

a p a r t i c u l a r a l i g n m e n t A w e s a y c o s t A i s t h e n u m b e r o f m i s m a t c h e s w h e r e y o u c a n

t h i n k o f a s p a c e a s j u s t a n o t h e r c h a r a c t e r a n d h e n c e a s p a c e m a t c h e s a s p a c e b u t d o e s

n o t m a t c h o n e o f t h e o t h e r 4 c h a r a c t e r s .

T o b e s u r e t h i s p r o b l e m i s c l e a r s u p p o s e t h a t D

1

i s c t a t g a n d D

2

i s t t a a g c . O n e

p o s s i b l e a l i g n m e n t i s g i v e n b y :

c t a t g

t t a a g c

I n t h e a b o v e b o t h D

0

1

a n d D

0

2

h a v e l e n g t h 8 . T h e c o s t i s 5 . T h e r e a r e m i s m a t c h e s i n

p o s i t i o n 1 , 3 , 5 , 6 a n d 8 .

G i v e t h e m o s t e c i e n t a l g o r i t h m y o u c a n a n a l y z e d a s a f u n c t i o n o f n

1

a n d n

2

t o

c o m p u t e t h e a l i g n m e n t o f m i n i m u m c o s t .

1

7/29/2019 Hw2 Practice

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3 . Y o u a r e t r a v e l i n g b y a c a n o e d o w n a r i v e r a n d t h e r e a r e n t r a d i n g p o s t s a l o n g t h e

w a y . B e f o r e s t a r t i n g y o u r j o u r n e y , y o u a r e g i v e n f o r e a c h 1 i j n , t h e f e e f

i j

f o r r e n t i n g a c a n o e f r o m p o s t i t o p o s t j . T h e s e f e e s a r e a r b i t r a r y . F o r e x a m p l e i t i s

p o s s i b l e t h a t f

1 3

= 1 0 a n d f

1 4

= 5 . Y o u b e g i n a t t r a d i n g p o s t 1 a n d m u s t e n d a t

t r a d i n g p o s t n u s i n g r e n t e d c a n o e s . Y o u r g o a l i s t o m i n i m i z e t h e r e n t a l c o s t . G i v e

t h e m o s t e c i e n t a l g o r i t h m y o u c a n f o r t h i s p r o b l e m . B e s u r e t o p r o v e t h a t y o u r

a l g o r i t h m y i e l d s a n o p t i m a l s o l u t i o n a n d a n a l y z e t h e t i m e c o m p l e x i t y .

4 . F o r b i t s t r i n g s X = x

1

: : : x

m

, Y = y

1

: : : y

n

a n d Z = z

1

: : : z

m + n

, w e s a y t h a t Z i s

a n i n t e r l e a v i n g o f X a n d Y i f i t c a n b e o b t a i n e d b y i n t e r l e a v i n g t h e b i t s i n X a n d Y

i n a w a y t h a t m a i n t a i n s t h e l e f t - t o - r i g h t o r d e r o f t h e b i t s i n X a n d Y . F o r e x a m p l e

i f X = 1 0 1 a n d Y = 0 1 t h e n x

1

x

2

y

1

x

3

y

2

= 1 0 0 1 1 i s a n i n t e r l e a v i n g o f X a n d Y ,

w h e r e a s 1 1 0 1 0 i s n o t . G i v e t h e m o s t e c i e n t a l g o r i t h m y o u c a n t o d e t e r m i n e i f Z

i s a n i n t e r l e a v i n g o f X a n d Y . P r o v e y o u r a l g o r i t h m i s c o r r e c t a n d a n a l y z e i t s t i m e

c o m p l e x i t y a s a f u n c t i o n m = X a n d n = Y

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