1

Linköpings universitet | Matematiska institutionen

Examenarbete grundnivå, 15 hp | Utbildning - Matematikdidaktik

Höstterminen 2020 | LiU-LÄR-MA-G--2021/04--SE

Hur gymnasieelevers

förståelse av statistik

påverkas av uppgifter i

läroböcker

How Upper Secondary School Students´ Understanding

of Statistics is Affected by Problems in Textbooks

Mohamad Hadi Mohammadi

Handledare: Björn Textorius

Examinator: Jonas Bergman Ärlebäck

Linköpings universitet

SE-581 83 Linköping, Sweden

013-28 10 00, www.liu.se

2

Institutionen för (ange institution)

581 83 LINKÖPING

Seminariedatum

2021-01-13

Språk (sätt kryss före) Rapporttyp ISRN-nummer (fyll i löpnr)

X Svenska/Swedish

Engelska/English

Examensarbete grundnivå LIU-LÄR-MA-G--2021/04--SE

Titel

Hur gymnasieelevers förståelse av matematik påverkas av uppgifter i läroböcker

Title

How high school students understanding of statistics is affected by problems in textbooks

Författare

Mohamad Hadi Mohammadi

Sammanfattning

Statistik används alltmer i både vardagen och inom olika vetenskapsområden. Detta gör det viktigt att skolans

matematik ge eleverna möjlighet till att utveckla sin kunskap om statistik. Men det finns undersökningar som visar

svårigheter hos elever och studenter i att förstå olika statistikområden, bland annat standardavvikelse samt studier om

att problemlösning spelar en stor roll i elevernas matematikförståelse speciellt i svenska skolor där läroböcker har blivit

någon form av styrinstrument. Därför studeras i denna studie hur gymnasieelevers förståelse av olika

statistikområde påverkas av uppgifter i läroböcker.

Nyckelord

Statistik, matematik, standardavvikelse, Lärobok, övningsuppgifter

3

Innehållsförteckning 1. Inledning och teoretisk bakgrund ................................................................................................... 1

2. Bakgrund ......................................................................................................................................... 4

2.1 Statistik .......................................................................................................................................... 4

2.2 Statistik i gymnasiets kursplaner ................................................................................................... 5

2.2.1 Lägesmått ............................................................................................................................... 5

2.2.2 Spridningsmått ....................................................................................................................... 6

2.2.5 Regressionsanalys ................................................................................................................... 8

2.2.6 Korrelation .............................................................................................................................. 8

2.2.7 Kausalitet ................................................................................................................................ 8

2.2.8 Normalfördelning ................................................................................................................... 9

2.2.9 Urval ....................................................................................................................................... 9

2.2.10 Svarsbortfall ........................................................................................................................ 10

2.3 Procedur- och problemlösningsförmåga ..................................................................................... 11

2.3.1 Procedurförmåga .................................................................................................................. 11

2.3.2 Problemlösningsförmåga...................................................................................................... 11

3. Syfte och frågeställningar .............................................................................................................. 12

4. Metod ............................................................................................................................................ 13

4.1 Innehållsanalys ............................................................................................................................ 13

4.2 Genomförande ............................................................................................................................ 14

4.2.1 Avgränsning .......................................................................................................................... 14

4.2.2 Val av litteratur ..................................................................................................................... 14

4.2.3 Kategorisering av uppgifterna .............................................................................................. 15

5. Resultat .......................................................................................................................................... 18

5.1 Matematik origo 1b/1c ................................................................................................................ 18

5.2 Matematik origo 2b ..................................................................................................................... 19

5.3 Matematik origo 2c ..................................................................................................................... 20

5.4 Beskrivning av resultaten ............................................................................................................ 21

6. Diskussion ...................................................................................................................................... 22

6.1 Metoddiskussion ......................................................................................................................... 22

6.2 Resultatdiskussion ....................................................................................................................... 22

7. Vidare forskning ............................................................................................................................ 22

8. Referenser ..................................................................................................................................... 23

9. Bilaga ............................................................................................................................................. 25

4

1. Inledning och teoretisk bakgrund

I forskningslitteraturen har observerats att amerikanska nybörjarstudenter i statistik har

svårigheter att hantera statistiska grundbegrepp i andra än algoritmiska sammanhang (Liu &

delMas, 2005). Det finns även studier genomförda av svenska forskare som visar att både

lärare och elever har problem med att förstå statistiska procedurer och tolka graf samt dra

slutsatser från statistiska data (Ärlebäck et al., 2020). Dessa resultat ledde till funderingar om

en av orsakerna kunde vara att uppgifterna i läromedlen på föregående stadium inte gav

tillräckligt stöd för eleverna att utveckla sina begreppsbilder från operationella till strukturella

och att statistikstudenterna därför hade svårigheter med icke-algoritmiska uppgifter.

Jag fann det därför intressant att undersöka vilka uppgiftstyper i statistik, som förekommer i

svenska gymnasieläroböcker. Finns det kanske en översikt av uppgifter av rutinkaraktär inom

vissa statistikområden, som kan leda eleverna till att begränsa sig till en operationell förståelse

av vissa grundbegrepp? Nedan beskrivs lärobokens funktion och de teoretiska ramverk som är

grunden till denna studie, dvs teorin om didaktiska situationer och Sfards teoretiska ramverk.

Läroböckernas funktion är att ge stöd och stimulans i undervisning. De ska vara källor för

kunskapsinhämtning för elever samt spegla kursplaner och detaljerat omsätta kursmålen.

Vidare ska läroböcker vara hjälpmedel och redskap för elevernas inlärning genom att bland

annat innehålla tillräcklig omfattning av uppgifter med olika svårighetsgrad. En bra lärobok

kan övertala läraren att låta boken styra undervisningen, vilket kan bero på bland annat

kunskapsbrist hos läraren eller tidsbrist. Läroböcker har inte officiellt status som

styrdokument men dessa har blivit inofficiella styrinstrument (Wyndhamn, n.d.).

Även Johansson påpekar i sin studie om textböckers roll i matematikundervisning att

läromedel har en dominerande roll i matematikundervisning i både Sverige och flera andra

länder. Enligt Johansson har läromedlen blivit det viktigaste verktyget i

matematikundervisning i skolor och har en avgörande roll i beskrivningen av matematik och

skolans matematik, lärarnas val av undervisningsinnehåll och lektionsplanering (Johansson,

2003).

2

Brousseaus teori om didaktiska situationer, TDS, förklarar varför det är attraktivt att bygga

undervisningar på tillämpning av algoritmer och varför en sådan undervisning inte är

effektivt. Enligt Brousseau kan elevers svårigheter med matematik bero på elevernas icke

utvecklade förståelse av matematiken. Ett enklare och tidseffektivt men riskfullt sätt att

överbygga elevernas svårigheter är att försöka presentera algoritmer för att eleverna ska

kunna lösa uppgifter utan att utveckla sin matematiska förståelse. Brousseau hävdar att denna

tidseffektivitet och det faktum att algoritmer är tillförlitliga vid lösning av uppgifter gör att en

förenkling av undervisningen blir attraktiv för både läraren och eleverna (Brousseau, 1997).

Brousseau skriver vidare att vissa läroböcker är designade så att de kan lätt omvandla

matematiklärandet till elevernas sökning efter nyckelord för att kunna lösa uppgifter med

hjälp av givna algoritmer, vilket inte utvecklar deras matematiska förståelse. Eleven kan t.ex

tolka begreppet ”mindre än” som subtraktionsalgoritm, vilket inte alltid stämmer.

Undervisning och läroböcker som baseras på presentation av algoritmer kräver inte av

eleverna ny kunskap, tolkning av uppgifter och matematisk förståelse, därför är de ineffektiva

ur ett lärandeperspektiv (Brousseau, 1997).

Enligt Sfards teoretiska ramverk kan två olika bilder av abstrakta begrepp utvecklas hos

individer vilka kompletterar varandra: den operationella begreppsbilden och den strukturella

begreppsbilden. För de flesta är utveckling av den operationella begreppsbilden det första

steget i att skaffa sig förståelse kring ett nytt matematiskt begrepp, medan den strukturella är

mer abstrakt och utvecklas efter utveckling av den operationella begreppsbilden. En

operationell begreppsbild gör att individen tolkar begreppet som processer och algoritmer.

Med en strukturell begreppsbild kan individen se begreppet som en helhet och självständigt

objekt. Övergången från en operationell begreppsbild till en strukturell genomförs i tre steg:

internalisering, kondensering och objektifiering. I det första steget tas nya begrepp upp vid

genomförande av processer på de redan kända begreppen. I det andra steget lär man sig se

helheten och slutligen i det sista steget kan individen se begreppen som integrerade objekt

(Sfard, 1991).

Utveckling av operationell begreppsbild är nödvändig och ibland tillräckligt, men med bara

den operationella begreppsbilden kan inte enheter behandlas som abstrakt objekt och det gör

att det blir svårare att hantera mer komplicerade processer eftersom det blir svårt att dela dem

i mindre hanterbara delar. Med utveckling av den strukturella begreppsbilden ökar kapaciteten

för ny information och problemlösningsförmåga och på så sätt blir inlärningen mer effektiv.

Operationellt tänkande ger inte mer än instrumentell förståelse. (Sfard, 1991)

3

De konsekvenser för elevers lärarande, som fokus på algoritmer i läroböcker enligt Brousseau

(1997) har, kan i Sfards ramverk tolkas som att deras begreppsbilder inte utvecklas från

operationella till strukturella.

4

2. Bakgrund

I detta avsnitt ges en kort beskrivning av begreppet statistik och vissa andra begrepp inom

statistik som ingår i det centrala innehållet för kurser i matematik på gymnasienivå och tas

upp i en representativ läroboksserie för ämnet matematik på gymnasienivå. För att tydliggöra

vad som menas med dessa begrepp anges ett exempel efter varje definition. I vissa exempel

utgås ifrån datamängden A={23, 54, 16, 12, 13, 19, 33, 34, 57, 14, 112, 1, 33, 54, 33, 57, 23,

33, 16, 33}.

2.1 Statistik

Begreppet statistik kommer från det latinska ordet status som betyder ställning. Statistik,

enligt Stukat (1991), innebär att sammanfatta sifferuppgifter i form av tabell eller figur med

syftet att beskriva förändringar och förhållanden i ett fenomen. En annan betydelse av

begreppet statistik är att statistik är ett verktyg som används inom forskning för att samla in,

beskriva och bearbeta statistiska uppgifter och dra slutsatser utifrån dessa (Stukat, 1991).

Nationalencyklopedin definierar statistik som ”dels uppgifter om omvärlden i numerisk form,

vanligen presenterade i tabeller och diagram, dels vetenskapen om hur data med inslag av

slumpmässig variation eller osäkerhet ska insamlas, utvärderas och presenteras” (NE b, u.d.).

Tillämpad statistik, dvs insamling och tolkning av data, är en urgammal vetenskap som

användes i den forntida Egypten för att beräkna folk och boskap. Först under 1900-talet blev

statistik ett eget ämne. Utveckling av de metoder som används inom statistik har skett med

utgångspunkt i problem inom andra vetenskapliga ämnen som biologi, medicin, teknik och

samhällsvetenskap. Idag används statistik inom alla vetenskapliga ämnen där kvantitativa

mätningar görs (NE, f, u.d.).

Beskrivande statistik, explorativ dataanalys och statistisk inferensteorin är några områden

inom ämnet statistik. I den beskrivande statistiken används olika statistiks mått, exempelvis

standardavvikelse, medelvärde och median för att beskriva data. Inom den explorativa

dataanalysen används data och modeller för att hitta samband och testa hypoteser. Den

statistiska inferensterorin som utvecklades på 1920-talet handlar om skattningar och

hypotesprövningar, där data hämtas från slumpmodeller och okända parametrar skattas utifrån

data med en viss osäkerhet (NE, f, u.d.).

5

2.2 Statistik i gymnasiets kursplaner

Enligt Skolverket ska undervisning i matematik på gymnasiet ge eleverna förutsättningar att

utveckla förmågan att:

• kunna använda matematiska begrepp och förstå sambandet mellan dem

• kunna använda matematiska procedurer för att lösa standardiserade uppgifter

• kunna lösa och analysera matematiska problem samt värdera strategier och resultaten

• tolka matematiska modeller och värdera deras egenskaper och begränsningar

• kunna föra matematiska resonemang och bedöma dem

• kommunicera matematiken både muntligt, skriftligt och i handling

• relatera och använda matematiken till andra ämnen och vardagen (Skolverket, u.d.).

Beroende på val av program läser gymnasieelever olika spår i matematikämnet. Matematik 1a

ingår i samtliga yrkesprogrammen, matematik 1b ingår i ekonomiprogrammet, estetiska

programmet, humanistiska programmet och samhällsvetenskapsprogrammet och matematik

1c ingår i teknikprogrammet och naturvetenskapsprogrammet. Senare kurser i matematik

byggs på dessa kurser, exempelvis matematik 2a kan byggas på matematik 1a, 1b eller 1c.

Sannolikhet och statistik ingår i det centrala innehållet i kurserna matematik 1a, 1b, 1c, 2b och

2c enligt Skolverkets kursplan för matematik på gymnasienivå. När det gäller statistik ska

statistiska metoder och resultat som används inom vetenskap och i samhället behandlas i

kurserna matematik 1a, 1b och 1c. I det centrala innehållet för kurserna matematik 2b och 2c

ingår analys av statistiska metoder för rapportering av undersökningar och mätdata,

resonemang kring korrelation och kausalitet, beräkningsmetoder för lägesmått och

spridningsmått inklusive standardavvikelse samt beräkningar på normalfördelning

(Skolverket, u.d.).

2.2.1 Lägesmått

Viss information om de värden en variabel antar i ett material kan anges med hjälp av så

kallade lägesmått. Nedan beskrivs tre vanliga lägesmått som förekommer i läroböcker i

matematik på gymnasienivå.

6

Typvärde

Typvärde, det vanligaste förekommande värdet i en datamängd, är ett enkelt centralmått som

ger en snabb men ytlig information om data, enligt stukat (Stukat, 1991). I datamängden A

förekommer värdet 33 fem gånger vilket är flest jämfört med andra värden i datamängden,

därför är 33 typvärdet.

Median

Median i ett datamaterial är värdet för variabeln som delar datamaterialet på mitten när

datamaterialet har rangordnats på något sätt. Om datamaterialet inte går att rangordna är det

omöjligt att beräkna medianen. Om antal värden som variabeln antar är udda är medianen det

mittersta värdet och om antal värden som variabeln antar är jämnt är medianen medelvärdet

av de två mittersta värdena (Stukat, 1991). Om man rangordnar datamängden A får man

A={1, 12, 13, 14, 16, 16, 19, 23, 23, 33, 33, 33, 33, 33, 34, 54, 54, 57, 57, 112}. Antal värden

i datamängden är 20 vilket är ett jämnt tal, därför är medianen medelvärdet mellan de tionde

och elfte värdena, dvs 33.

Aritmetiskt medelvärde

Aritmetiskt medelvärde är det mest kända bland centralmåtten. Det beräknas genom att

dividera summan av värdena som variabeln antar med antalet värden.

𝑚 =∑𝑥

𝑛

Aritmetiska medelvärdet är känslig för extrema värden som variabeln antar (Stukat, 1991).

Det aritmetiska medelvärdet för datamängden A blir:

𝑚 =23 + 54 + 16 + 12 + 13 + 19 + 33 + 34 + 57 + 14 + 112 + 1 + 33 + 54 + 33 + 57 + 23 + 33 + 16 + 33

20= 33,5

2.2.2 Spridningsmått

Datamaterial kan presenteras exempelvis med hjälp av tabeller eller diagram. Typvärde,

median och aritmetiskt medelvärde är olika centralmått som kan ge information om

datamaterial. Dessa centralmått kan vara användbara i olika situationer beroende på bland

annat vilken skaltyp som använts vid mätningar och undersökningar, men var och en av dem

har sina nackdelar. Till exempel är det aritmetiska medelvärdet känsligt för extrema värden

vilket kan orsaka en missvisande bild av datamaterialen. Dessutom ger det aritmetiska

medelvärdet ingen information om hur ett observationsvärdes förhåller sig till medelvärdet.

Två olika undersökningar kan ha likadana typvärde, aritmetiskt medelvärde och median

7

medan observationerna i dessa undersökningar inte har samma värden, därför behöver man

exempelvis undersöka hur spridda eller samlade observationer är, det vill säga

observationernas fördelning vilket kallas för spridningsmått (Stukat, 1991).

De vanligaste spridningsmåtten är variationsbredd och standardavvikelse. Nedan ges en kort

beskrivning av dessa samt andra spridningsmått som tas upp i ämnet matematik på gymnasiet.

Variationsbredd

Variationsbredd eller variationsvidd är den enklaste spridningsmåttet och fås fram genom att

beräkna skillnaden mellan högsta och minsta observationsvärdena. Variationsbredd är ett

grovt mått och påverkas av extrema observationsvärden (Rudberg, 1993). I datamängden A är

1 och 112 de minsta och högsta värdena, därför blir variationsbredden 112 − 1 = 111.

Standardavvikelse

Standardavvikelse är det mest använda spridningsmåttet och beskriver hur långt värden som

en variabel antar i genomsnitt ligger från det aritmetiska medelvärdet. Om

observationsvärdena ligger samlade kring det aritmetiska medelvärdet kommer

standardavvikelsen att vara liten. En stor standardavvikelse innebär att observationsvärdena är

långt utspridda från aritmetiskt medelvärde. Kvadraten till standardavvikelse kallas för

variansen och beräknas med hjälp av nedanstående formel:

𝑠2 =1

𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

I formeln är s standardavvikelse, n är antal observationsvärden, 𝑥𝑖 är observationsvärden och

�̅� är aritmetiskt medelvärde. För att undvika kancellationsfel, dvs noggranhetsförlust som kan

inträffa bland annat på grund av avrundningar, ska beräkningar genomföras med stor

noggrannhet vid användning av formeln (Vännman, 1990). Variansen för datamängden A blir:

𝑠2 =1

20 − 1∑(𝑥𝑖 − 33,5)220

𝑖=1

= 603,74

Detta ger en standardavvikelse på 24,57.

Kvartiler och kvartilavstånd

Nationalencyklopedin definierar kvartil som ”värde som i ett statistiskt material avgränsar de

25% största eller minsta värdena”. Detta innebär att nedre kvartilen, övre kvartilen och

medianen delar datamängden i fyra lika stora delar (NE, c, u.d.). För datamängden A är nedre

kvartilen 16+16

2= 16 och högre kvartilen är

34+54

2= 44.

8

Percentiler

Enligt Nationalencyklopedin är percentil ett värde som avgränsar en viss procentandel av

observationerna. Exempelvis 95% av observationerna ligger under 95 procent-percentilen

(NE, d, u.d.). För datamängden A ligger bara värdet 112 över 95 procent-percentilen och

resten av värdena ligger under den.

2.2.5 Regressionsanalys

Enligt NE är regressionsanalys en ”statistisk metod för analys av sambandet mellan en

responsvariabel (beroende variabel) y och en eller flera förklarande x-variabler”. Med andra

ord används regressionsanalys för att förklara observerad variation i en variabel med hjälp av

andra variabler genom att definiera en funktionssamband mellan dem. Detta

funktionssamband kan vara linjärt. Sambandet brukar inte vara perfekt utan det finns residual

variation i beroende variabeln som orsakas av bland annat mätfel (NE, a, u.d.). Exempelvis

om några mätvärden på skostorlek y och fotlängd x är y={23, 24, 27, 29} och

x={37,39,42,45}, kan man med hjälp av en grafritande räknare få ett linjärt samband mellan x

och y. Den räta linjens ekvation, 𝑦 = 1,26𝑥 + 8,21, som man får är ekvationen till linjen som

ligger så nära värdena på x och y som möjligt (Szabo, et al., 2012).

2.2.6 Korrelation

Ibland behöver man undersöka om det finns något samband mellan en variabel med annan

variabel och i så fall vilket samband och hur starkt sambandet är. Samband på statistikens

språk kallas för korrelation, enligt Rundberg. Korrelation mellan variablerna kan vara positiv,

negativ eller nollkorrelation. Om höga värden i en variabel ger höga värden i den andra

variabeln och låga värden i första variabeln ger låga värden i andra variabeln är sambandet en

positiv korrelation. Ifall höga värden i ena variablerna ger låga värden i andra variabeln och

vice versa är det en negativ korrelation mellan dessa variabler. Om det inte finns något

samband mellan variablerna säger man att det är nollkorrelation. Sambandets styrka mellan

variablerna kallas för korrelationskoefficient och kan vara mellan -1 och 1. En

korrelationskoefficient med värdet noll innebär nollkorrelation och ju närmare 1 och -1 är

korrelationskoefficienten desto starkare samband finns mellan variablerna (Rudberg, 1993).

2.2.7 Kausalitet

9

Korrelation kallas även för siffersamband och visar om det finns något samband mellan

variabler. Ibland visar korrelation ett orsakssamband eller kausalitet vilket innebär att det ena

företeelse orsakar det andra (Rudberg, 1993). Exempelvis är korrelationen mellan

elförbrukning och utomhustemperatur ett orsakssamband, lägre utomhustemperatur orsakar

mer elförbrukning. Men i en undersökning kan man få värden på variabler så att det blir ett

samband mellan variablerna men variablerna orsakar inte varandra, exempelvis om

variablerna visar tiden föräldrar lägger på sociala medier och hur många gånger barn till dessa

föräldrar blir sjuka. Detta är en korrelation men inget orsakssamband.

2.2.8 Normalfördelning

Normalfördelning innebär en fördelning av observationer enligt Gausskurvan. I en perfekt

normalfördelning sammanfaller typvärde, aritmetiskt medelvärde och median och

observationerna delas i två likadana delar. Om en företeelse är normalfördelad ligger cirka 34

procent av observationer mellan det aritmetiska medelvärdet och en standardavvikelse uppåt

eller nedåt. Mellan en standardavvikelse och två standardavvikelser ligger cirka 14 procent

och mellan två standardavvikelser och tre standardavvikelser ligger cirka 2 procent av

observationerna (Stukat, 1991).

Figur 1, Gausskurva (källa: matteguiden)

2.2.9 Urval

Mätningar och undersökningar, beroende på bland annat begränsning av resurser och

populationens storlek, kan göras antingen på hela eller en grupp inom populationen. Baserad

på detta kallas undersökningen för populationsundersökning respektive

stickprovsundersökning. Det finns olika urvalsmetoder som kan tillämpas vid

stickprovsundersökningar. Systematiskt urval, obundet slumpmässigt urval och stratifierat

urval är några av dessa metoder. Vid tolkning av statistiskt material är det viktigt att ha

10

kunskap om urvalsmetoder för att kunna värdera resultaten rätt (Stukat, 1991). Exempelvis för

att genomföra ett systematiskt urval kan man välja var femte person från en lista och för att

genomföra ett obundet slumpmässigt urval kan man numrera personerna i listan och med

hjälp av räknare välja ut några nummer.

2.2.10 Svarsbortfall

Bortfall förekommer i de flesta undersökningar när till exempel vissa inom gruppen inte

svarar på undersökningsfrågor. Därför behövs en bortfallsanalys göras för att kunna resonera

kring undersökningens tillförlitlighet (Stukat, 1991). Detta kan man göra exempelvis genom

att genomföra en mätning eller undersökning bland personer som inte svarat på

undersökningsfrågor. Det innebär att man genomför en ny stickprovsundersökning för

personer som inte svarat på undersökningsfrågor. Exempelvis om i en undersökning 30

procent av 1000 deltagande svarat ja till undersökningsfrågan och 40 procent svarat nej så har

man ett stort svarsbortfall. För att genomföra bortfallsanalysen gör man en

stickprovsundersökning bland de som inte svarat på frågan. Om i den nya undersökningen

svarar 25 procent ja kan man ange resultatet av undersökningen med hänsyn till svarsbortfall

enligt nedan:

0,3 ∗ 700 + 0,25 ∗ 300 = 285

285

1000= 0,285

Vilket innebär att 28,5 procent svarat ja.

11

2.3 Procedur- och problemlösningsförmåga

Procedurförmåga och problemlösningsförmåga är två av de förmågorna, som Skolverket

nämner som mål i matematikämnesplanen för gymnasiet. I detta avsnitt beskrivs kort dessa

förmågor.

2.3.1 Procedurförmåga

Procedurförmåga innebär att kunna välja lämpliga matematiska procedurer och algoritmer och

tillämpa dem för att lösa rutinuppgifter, dvs uppgifter av standardkaraktär, samt kunna hantera

digitala verktyg. Det innebär att eleverna ska få förutsättningar att utveckla förmågan att

identifiera vilka algoritmer som är lämpliga för vilka sorter av uppgifter och kunna tillämpa

algoritmerna för lösning av uppgifterna (Skolverket b, u.d.).

2.3.2 Problemlösningsförmåga

Skolverket definierar ett problem som en uppgift som inte är av standardkaraktär och inte går

att lösa på rutin. Det betyder att alla uppgifter, som inte kan lösas med en känd lösningsmetod,

betraktas som problem. Undervisningen i matematik ska, enligt Skolverket, ge eleverna

förutsättningar att kunna tolka, analysera och lösa matematiska problem. Det innebär att

elevernas förmåga att använda lämpliga problemlösningsstrategier ska utvecklas samt att

eleverna ska kunna resonera kring bland annat resultatens giltighet. Många nationer med

framgångsrik matematikundervisning har en undervisning baserad på problemlösning där

problem med olika kvalitativa nivåer ingår i undervisningen, vilket ger eleverna möjligheten

att utmanas och utveckla sina matematikkunskaper, enligt Skolverket (Skolverket b, u.d.).

12

3. Syfte och frågeställningar

Syftet är att undersöka uppgifterna i kapitlen som handlar om statistik i en läroboksserie i

matematik. Vilka typer av uppgifter förekommer inom varje statistikområde (se bilagan för att

ta reda på hur statistiken delats upp i olika områden i denna studie)? Detta är intressant att

veta eftersom svensk skolundervisning i hög grad är läroboksstyrd (Johansson, 2003) och

studiens hypotes om att ett övervägande fokus på algoritmisk räkning inom ett visst

statistikområde riskerar att inte ge gymnasieelever tillfälle att utveckla sina begreppsbilder

från operationell till strukturell nivå. Därmed kan det försvåra för dem att uppnå målen för

statistikundervisning i läroplanen i matematik.

Det syftet har lett till följande frågeställningar:

1. Vilka typer av uppgifter i statistik förekommer i allmänt använda läroboksserier i

matematik för elever i det svenska gymnasiet?

2. Vilka möjligheter ger uppgifterna att uppnå målen i Skolverkets målbeskrivning för

matematikundervisningen, speciellt att utveckla de förmågor som kräver en

instrumentell begreppsbild av centrala statistiska begrepp?

13

4. Metod

Studien genomförs genom en kvantitativ innehållsanalys av den valda läroboksserien. Nedan

beskriv genomförandet av innehållsanalysen samt vad som legat till grund för genomförandet.

4.1 Innehållsanalys

Innehållsanalys definieras av Krippendorff som en typ av forskningsteknik för att dra

replikerbara och giltiga slutsatser från texter. Krippendorff kallar de steg som analytiker

genomför vid en innehållsanalys för forskningsdesign. I den enklaste formen av en

forskningsdesign litar analytiker på tillgängliga texter för att svara på frågeställningar, enligt

Krippendorff. Denna forskningsdesign bryter Krippendorff ner i sex olika steg: Unitizing,

sampling, recording/ coding, reducing data to manageable representations, abductively

inferring contextual phenomena och narrating the answer to the research question.

(Krippendorf, 2013) Nedan beskrivs kortfattat och kopplas dessa steg till genomförandet av

denna studie.

I steg ett, Unitizing, dras systematisk åtskillnad mellan olika texter såsom exempelvis

dokument, figurer, ljud osv som är intressanta för analysen. I detta steg utelämnas irrelevant

material och texter som inte kan åtskiljas utan förlust av mening hålls ihop (Krippendorf,

2013). Unitizing tillämpas i denna studie genom att särskilja mellan olika områden inom

statistik och beräkna antal uppgifter separat för varje statistiskt område. I andra steget,

sampling, får analytikern spara resurser genom att göra ett urval av observationer som

representerar hela observationsmängden (Krippendorf, 2013). Sampling har implementerats i

studien genom att välja en viss läroboksserie som används i svenska skolor vid undervisning

av matematik på gymnasienivå. Valet av läroboksserien presenteras i avsnitt 4.2.2.

Tredje steget, recording/ coding, överbrygger klyftan mellan separata observationer och

sammanhang de befinner sig i för att bland annat skapa analysbara dokument som är möjliga

att tillämpa olika metoder på dem. En skriven text är redan ett analysbart dokument enligt

Krippendorff (Krippendorf, 2013). Eftersom uppgifterna som analyseras i denna studie redan

är analysbara dokument är det möjligt att använda TDS och Sfards teroretiska ramverk för att

analysera och dra slutsatser. I fjärde steget, reducing data to manageable representations, kan

analytiker få effektiv representation av datamängden genom att till exempel använda listade

statistiska data, speciellt vid hantering av stora volymer av data (Krippendorf, 2013). I denna

14

studie har fokuserats på uppgifter inom statistik vilket innebär undersökning av två kapitel i

valda läroboksserien, därför har datamängden en lagom volym för omfattningen av en uppsats

av denna typ. I det sista steget, abductively inferring contextual phenomena och narrating the

answer to the research question, besvaras frågeställningarna och svaren tillgängliggörs för

andra (Krippendorf, 2013). Detta genomförs i denna studie i avsnitt ”6. Diskussion” där

svaren till frågeställningarna diskuteras och slutsatser dras utifrån resultaten.

4.2 Genomförande

Som tidigare nämnts är denna studie en innehållsanalys av en läroboksserie med fokus på

området statistik som har genomförts enligt Krippendorffs forskningsdesign. Genomförandet

av studien krävde val av läroboksserie, en del avgränsningar samt vissa beslut för att

säkerställa resultaten och andra detaljer vilka redovisas här.

4.2.1 Avgränsning

Studiens syfte är att undersöka hur uppgifterna inom området statistik i en läromedelserie är

lämpliga för att uppnå målen som nämnts i Skolverkets styrdokument, därför avgränsas

undersökning av uppgifterna till kapitlen i läromedelserien som handlar om statistik.

Dessutom kan matematiska uppgifter delas in i olika klasser på olika sätt. I denna studie har

valts att undersökningen begränsas till indelning av uppgifter i rutinuppgifter och problem.

Problemen kan vidare delas in i olika kategorier baserad på uppgifternas tema, exempelvis

problem som beskriver en vardagssituation eller problem med kritisk information osv, men i

studien nöjs med indelning i de två nämnda huvudkategorier, dvs rutinuppgifter och problem,

eftersom vidare indelning inte anses ge nytta i besvarande av studiens frågeställningar. Vidare

har studien avgränsats till att undersöka en läroboksserie på grund av tidsbrist.

4.2.2 Val av litteratur

Val av läroboksserien har gjorts genom att först undersöka vilka läroboksserien som används

för kursen matematik på gymnasienivå i svenska skolor. Bland de tillgängliga

läroboksserierna på Linköpings Universitetsbibliotek valdes serieboken Origo eftersom serien

anses vara allmänt använd i gymnasists matematikkurser i svenska skolor samt jag själv har

använt serien när jag läste gymnasiet på KOMVUX och är bekant med böckernas upplägg och

struktur. Som tidigare nämnts ingår statistik i det centrala innehållet i kurserna matematik 1a,

1b, 1c samt 2b och 2c, därför är det just dessa böcker från origoserien som studeras. Kapitlen

15

som behandlar statistik i Matematik origo 1a, 1b och 1c innehåller samma uppgifter trots att

Matematik origo 1a är en separat bok. När det gäller Matematik origo 2b/2c så tillhör vissa

sidor i boken spåret 2b och vissa andra sidor tillhör spåret 2c.

4.2.3 Kategorisering av uppgifterna

kapitelstruktur

Det femte kapitlet i Matematik origo 1b/1c och det sjätte kapitlet i Matematik origo 2b/2c

handlar om statistik och undersökts i denna studie. Varje kapitel i origoserien börjar med en

kort beskrivning av kapitlets innehåll, kapitlets relation till ämnesplan i matematik och

kapitlets kunskapsmål. Därefter kommer olika avsnitt och i varje avsnitt ingår en kort

beskrivning med några exempel samt uppgifter som har delats in i tre olika svårighetsnivåer. I

slutet av varje kapitel hittar man kopplingar mellan kapitlets innehåll och matematikens

historia, en tankekarta över kapitlets innehåll, blandade uppgifter som är också delade in i tre

olika svårighetsnivåer samt kapiteltest som består av två delar som kan lösas med och utan

miniräknare.

Analysverktyg

Övningsuppgifterna i de kapitlen som undersökts har delats upp baserad på vilket statistiskt

område uppgiften handlar om samt om uppgiften är ett problem eller rutinuppgift. Vid

räkning av antalet uppgifter i studien har alla uppgifter i de aktuella kapitlen räknats, så väl

exemplen, uppgifter med olika svårighetsnivåer, blandade uppgifter som kapiteltest delats in i

olika grupper baserad på vilka statistiska områden de handlat om. Eftersom de flesta uppgifter

har deluppgifter som i vissa fall handlat om olika statistiska områden så har varje deluppgift

undersökts och räknats som en separat uppgift. I de fall där fler än ett statistiskt område ingår

i en uppgift eller deluppgift har det kategoriserats i fler än en grupp, exempelvis om en

uppgift handlar både om beräkning av mätfel och standardavvikelse har uppgiften

kategoriserats i båda områdena.

Kategorisering av uppgifterna i problemlösning och rutinuppgifter har genomförts genom att

varje uppgift eller deluppgift som inte var möjligt att lösas genom att följa en bestämd metod

eller algoritm har klassificerats som problem. Uppgifter och deluppgifter som ska lösas utan

beräkning, exempelvis uppgifter som kräver att analysera eller förklara något, har

klassificerats som problem om de inte ska lösas genom att man anger olika steg i en metod för

lösning av en viss typ av uppgifter. Vidare har de uppgifter som handlat om regressionsanalys

och ska lösas med miniräknare klassificerats som rutinuppgifter eftersom dessa löses genom

16

att genomföra samma algoritm med miniräknare. Nedan visas några exempel på hur i denna

studie skiljs mellan rutinuppgifter och problem. Exemplen hämtats från Matematik origo

2b/2c.

Exempel på kodning

Exempel 1.

Månadslönerna i ett företag med 6 anställda och en chef är 22600, 19800, 23100, 21700,

21300, 20300, 47200. Beräkna median och medelvärde för månadslönerna. Vilket lägesmått

beskriver löneläget i företaget bäst? Motivera ditt svar (Szabo, et al., s. 218, 2012).

I detta exempel ska man först beräkna median och medelvärde, vilka kan beräknas genom att

följa bestämda metoder, därför har dessa betraktats som två rutinuppgifter. Att svara på frågan

vilket lägesmått beskriver löneläget bäst och att motivera svaret har betraktats som ett

problem, eftersom det inte finns någon bestämd metod utan uppgiften ska besvaras och

motiveras på olika sätt baserad på givna observationsvärdena.

Exempel 2.

a) Beräkna medelvärde och median av följande tal: 7, 3, 12, 9 och 6.

b) Hur ändras medelvärde och median om man byter ut 9 mot talet 15? (Szabo, et al.,

uppgift 6102, s. 220, 2012). Första deluppgiften av detta exempel beräknats som två

rutinuppgifter där man kan genom att följa metoder beräkna medelvärde och median.

Andra deluppgiften kan tolkas både som problem och rutinuppgift eftersom eleven kan

följa samma metoder och beräkna lägesmåtten igen men kan också genom att motivera

hur ändring av talen kan påverka dessa lägesmått svara på frågan utan att räkna. I detta

fall har lärobokensfacit angett ett nytt exakt värde för medelvärdet vilket visar att

författarna vill att eleven löser uppgiften med det nya värdet en gång till, därför har

deluppgiften ansetts som två nya rutinuppgifter.

Exempel 3.

Tre klasser tävlar i luftgevärsskytte med fem representanter från varje klass. Resultaten blev:

Klass A 62 94 95 98 98

Klass B 62 63 98 98 99

Klass C 58 62 95 99 99

Tabell 1. Resultaten av tävlingen för olika klasser

17

Var och en av de tre klassernas mentorer ansåg att deras klass hade lyckats bäst. Hur kan de

ha resonerat (Szabo, et al., uppgift 6109, s. 220, 2012)?

Lösning till detta exempel är tre motivationer gällande tre olika lägesmått därför har detta

beräknats som tre problem om medelvärde, median och typvärde eftersom i resultatavsnitt för

Matematik origo 2b/2c finns det tre kategorier för lägesmått (Szabo, Larson, Viklund,

Dufåker , & Marklund, 2012).

Slutligen för att säkerställa att kodningen har genomförts korrekt har uppgifterna undersökts,

lösts och kodats tre gånger. Kategorisering av uppgifter i Matematik origo 1b/1c och

Matematik origo 2b/2c har genomförts baserad på de statistiska områden som definierats för

dem. Exempelvis i Matematik origo 1b/1c finns fåtal uppgifter om lägesmått då detta inte är

en huvuddel av kapitlet om statistik. Därför har alla uppgifter om lägesmått placerats i

statistikområdet Lägesmått, medan i Matematik origo 2b/2c behandlas lägesmåtten mer

ingående med flera uppgifter. Därför har varje lägesmått ansetts som ett separat

statistikområde.

18

5. Resultat

I detta avsnitt presenteras resultaten av undersökning av läroboksserien. Tabell 2 och tabell 3

och 4 visar antal och andel av rutinuppgifter och problem i Matematik origo 1b/1c respektive

2b/2c. Resultaten för undersökning av Matematik origo 2b/2c presenteras i två separata

tabeller eftersom kurserna har lika upplägg i läromedelserien.

5.1 Matematik origo 1b/1c

Statistikområde Antal

uppgifter

Antal

Rutinuppgifter

Antal

problem

Andel

rutinuppgifter

Andel

problem

Frekvens 19 14 5 74% 26%

Tolkning av

diagram

66 24 42 36% 64%

Lägesmått 18 7 11 39% 61%

Urval 38 8 30 21% 79%

Svarsbortfall 21 4 17 19% 81%

Summa 162 57 105 35% 65%

Tabell 2. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik origo 1b/1c

Man ser att andel problem är större än andel rutinuppgifter i alla statistiska områden förutom i

området frekvens, se figur nedan.

Figur 2. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 1b/1c

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Frekvens Tolkning avdiagram

Lägesmått Urval Svarsbortfall Summa

Matematik 1b/1c

Andel rutinuppgifter Andel problem

19

5.2 Matematik origo 2b

Statistikområde Antal

uppgifter

Antal

Rutinuppgifter

Antal

problem

Andel

rutinuppgifter

Andel

problem

Medelvärde 44 23 21 52% 48%

Median 27 12 15 44% 56%

Typvärde 8 4 4 50% 50%

Variationsbredd 14 8 6 57% 43%

Kvartiler och

kvartilavstånd

16 12 4 75% 25%

Lådagram 13 6 7 46% 54%

Percentiler 10 5 5 50% 50%

Standardavvikelse 24 12 12 50% 50%

Normalfördelning 36 10 26 28% 72%

Korrelation och

kausalitet

32 17 15 53% 47%

Regressionsanalys 15 7 8 47% 53%

Summa 239 116 123 49% 51%

Tabell 3. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik 2b

Man ser att andel rutinuppgifter och problem är nästan lika förutom i det statistiska området

kvartiler och kvartilavstånd. Se figur nedan.

Figur 3. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 2b

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Matematik 2b

Andel rutinuppgifter Andel problem

20

5.3 Matematik origo 2c

Statistikområde Antal

uppgifter

Antal

Rutinuppgifter

Antal

problem

Andel

rutinuppgifter

Andel

problem

Medelvärde 44 23 21 52% 48%

Median 27 12 15 44% 56%

Typvärde 8 4 4 50% 50%

Variationsbredd 14 8 6 57% 43%

Kvartiler och

kvartilavstånd

16 12 4 75% 25%

Lådagram 13 6 7 46% 54%

Precentiler 10 5 5 50% 50%

Standardavvikelse 24 12 12 50% 50%

Normalfördelning 36 10 26 28% 72%

Korrelation och

kausalitet

20 15 5 53% 47%

Regressionsanalys 13 7 6 54% 46%

Summa 225 114 111 51% 49%

Tabell 4. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik origo 2c

Även här ser man att i stort är andel rutinuppgifter och problem lika stora. Se figur nedan.

Figur 4. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 2c

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Matematik 2c

Andel rutinuppgifter Andel problem

21

5.4 Beskrivning av resultaten

Tabeller och grafen ovan besvarar den första forskningsfrågan:

Vilka uppgifter i statistik förekommer i allmänt använda läroboksserier i matematik för elever i det

svenska gymnasiet?

Det man ska ha i åtanke när man undersöker dessa tabeller och grafer är att uppgifterna har

delats upp dels baserat på vilket statistiskt område uppgifter handlar om och dels att

uppgifterna har klassificerats i problem och rutinuppgifter och det senare ska fokuseras på för

att få svar på första forskningsfrågan.

För att besvara den andra forskningsfrågan

Vilka möjligheter ger uppgifterna att uppnå målen i Skolverkets målbeskrivning för

matematikundervisningen, speciellt att utveckla de förmågor som kräver en instrumentell begreppsbild

av centrala statistiska begrepp?

Analysen visar att Matematik origo 1b/1c innehåller totalt 65% problemuppgifter och andelen

av problemuppgifter i Matematik origo 2b och 2c är 51% respektive 49%. Om man studerar

varje statistikområde separat så framgår att en stor andel av rutinuppgifter bara syns i området

frekvens i Matematik origo 1b och i områden kvartiler och kvartilavstånd i Matematik origo

2b/2c. I de övriga områdena är rutinuppgifter och problem ganska jämnt fördelade.

Fördelningen på rutinuppgifter och problem inom alla statistikområden och det totala antalet

uppgifter förefaller därför lämpliga (med hänsyn också till tillgänglig tid) för att ge elever

möjlighet att uppnå läroplanens mål.

Resultatet bekräftar inte hypotesen att de elevsvårigheterna inom vissa statistikområden, t ex

området standardavvikelse, som nämndes i avsnitt 2.6, kan förklaras med att läroboksseriens

fördelning av uppgifter på rutinuppgifter och problem är olämplig, med alltför få problem.

Undersöker man antal uppgifter i varje statistikområde istället för andelen märker man att

exempelvis finns det sammanlagt 24 uppgifter, som behandlar standardavvikelse, varav 12

stycken är rutinuppgifter och 12 är problem. Samma observation kan man göra för nästan alla

de statistikområden som böckerna i serien behandlar. Böckernas fördelning av uppgifter

förefaller därför ge förutsättningar för att kunna utveckla elevers begreppsbilder av centrala

statistiska begrepp från operationella till instrumentella.

Detta besvarar den andra forskningsfrågan

22

6. Diskussion

6.1 Metoddiskussion

Som tidigare nämnts har jag i studien försökt välja en läroboksserie, som är representativ för

de läromedel som används i svenska skolor, men eftersom olika lärare och skolor föredrar

olika läroböcker ska man ha i åtanke att resultaten kan se annorlunda ut om jag hade valt

andra läroboksserier. Vidare har övningsuppgifterna i studien delats in i kategorierna

rutinuppgifter och problem. Med tanke på de använda teoretiska ramverken och

frågeställningen har jag bedömt den kategoriseringen som tillräcklig. Uppgifterna kunde

struktureras vidare genom att exempelvis dela in problemen baserad på deras tema,

exempelvis om dessa handlar om en vardagsituation eller innehåller fakta om till exempel

samhället, men det skulle inte ge bättre svar på studiens frågor.

6.2 Resultatdiskussion

Att elever trots den jämna fördelningen av rutinuppgifter och problem har svårigheter med

statistiska grundbegrepp kan ha en förklaring i att läroboken är bara en komponent i den

didaktiska transpositionskedjan. Trots att läroböcker har en dominerande roll i

matematikundervisningen och har blivit icke-officiellt styrinstrument (Wyndhamn, n.d.),

påverkas elevernas matematikförståelse i hög grad av andra komponenter såsom resurser i

form av tid och personal med goda kunskaper och förmåga att välja uppgifter, lämpliga för att

utveckla elevernas begreppsbilder. Studien av delMas och Liu (2005) – se avsnitt 2.6 - kan ge

en idé om hur man främjar en systematisk utveckling av studenters begreppsbilder genom

successiva val av lämpliga uppgifter, vilket läroboken måste möjliggöra genom att inte bara

innehålla tillräckligt många problem utan också att problemen är konstruerade på lämpligt

sätt. Detta har jag inte analyserat i arbetet.

7. Vidare forskning

Resultaten leder till frågan om problemens skiftande karaktär är lämplig för att utveckla

elevers begreppsbild från operationell över stegen internalisering, kondensering och

objektifiering till instrumentell. Ett förslag till vidare forskning är att göra en empirisk

undersökning av detta ur ett lärar- eller ett elevperspektiv. Ett annat förslag till vidare

23

forskning kan vara att studera andra läroboksserier på liknande sätt som denna studie för att

granska om resultaten kan bekräfta denna studies hypotes.

8. Referenser

Brousseau, G. (1997). Theory of didactila situations in mathematics. Boston: Kluwer academic.

Frejd, P., & Ärlebck, J. (2020), On pre-service secondary teachers’ mathematical content knowledge in

statistics.

Johansson, M. (2003). Textbooks in mathematics education. Hämtad från https://www.diva-

portal.org/smash/get/diva2:991466/FULLTEXT01.pdf%20Luettu%2014.11.2017 2020-12-05

Krippendorf, K. (2013). Content analysis: An introduction to its methodology. California: Sage

publications.

Liu, Y., & delMas, R. (2005). Exploring students conceptions of the standard deviation. Hämtad från

https://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/serj/SERJ4(1)_delMas_Liu.pdf 2020-12-05

Matteguiden. Matte 2 statistik. Hämtad från http://www.matteguiden.se/matte-

2/statistik/normalfordelning/ 2021-01-28

Nationalencyklopedin a. Regressionsanalys. Hämtad från

https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/regressionsanalys 202-12-05

Nationalencyklopedin b. Statistik. Hämtad från

https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/statistik 2020-12-05

Nationalencyklopedin c. Kvartil. Hämtad från

https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/kvartil 2020-12-05

Nationalencyklopedin d. Percentil. Hämtad från

https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/percentil 2020-12-05

Nationalencyklopedin f. Statistikens historia. Hämtad från

https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/statistik#statistikens-historia 2020-12-05

Rudberg, B. (1993). Statistik-Att beskriva och analysera statistiska data. Lund: Studentlitteratur.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflevtions on processes and

objects as different sides av the same coin. Hämtad från

24

https://www.jstor.org/stable/pdf/3482237.pdf?refreqid=excelsior%3Addd1ad2f0503976314af1ff7d6

9a59ae 2020-12-05

Sidenvall, J. (2019). Lösa problem. Hämtad från http://umu.diva-

portal.org/smash/get/diva2:1303310/FULLTEXT01.pdf 2020-12-05

Skolverket. (n.d.). Ämne- Matematik. Hämtad från

https://www.skolverket.se/undervisning/gymnasieskolan/laroplan-program-och-amnen-i-

gymnasieskolan/gymnasieprogrammen/amne?url=1530314731%2Fsyllabuscw%2Fjsp%2Fsub

ject.htm%3FsubjectCode%3DMAT%26tos%3Dgy&sv.url=12.5dfee44715d35a5cdfa92a3 2020-

12-05

Skolverket b. (n.d.). Om ämnet matematik. Hämtad från

https://www.skolverket.se/download/18.6011fe501629fd150a2893a/1530187438471/Kommentarm

aterial_gymnasieskolan_matematik.pd 2020-12-05

Stukat, S. (1991). Grundkurs i statistik för lärare. Lund: Studentlitteratur.

Szabo, A., Larson, Viklund, G., Dufåker , D., & Marklund, M. (2012). Matematik origo 2b/2c.

Stockholm: Sanoma utbildning.

Vännman, K. (1990). Matematisk statistik. Lund: Studentlitteratur.

Wyndhamn, J. (n.d.). Lärobok och ämnesprov som styrinstrument. Hämtad från

https://www.student.liu.se/program/amneslarare-i-arskurs-7-9-270-hp/student/om-

programmet/kompletteringskurser/matematik-93adma/dokument/del-c/1.669057/JW193-

220.pdf 2020-12-05

25

9. Bilaga

I detta avsnitt beskriv vad de nämnda statistikområdena innehåller. Eftersom spåren 2b och 2c

har samma statistikområden med små skillnader i uppgifternas innehåll har bestämts att dessa

presenteras i samma tabell.

Matematik 1b

Statistikområde Innehåll

Frekvens Att förstå begreppet frekvens, beräkning av

relativ frekvens, att göra frekvenstabeller

och läsa av och tolka data i en frekvenstabell

Tolkning av diagram Att tolka olika diagramsorter, exempelvis

stapeldiagram, cirkeldiagram, histogram och

linjediagram och förstå hur och när en viss

diagramtyp används

Lägesmått Beräkning av medelvärde, median och

typvärde och förstå vilka för- och nackdelar

olika lägesmått har samt under vilka

förutsättningar passar en viss typ av

lägesmått att använda för tolkning av

observationsvärden

Urval Att förstå begreppen population,

totalundersökning, stickprovsundersökning,

urval (systematiskt urval, obundet

slumpmässigt urval och stratifierat urval),

att använda miniräknare för att ta fram en

grupp bland en viss population, beräkningar

kring urvalsfel och att kommentera

genomförda undersökningar

Svarsbortfall Att genomföra enkla bortfallsanalys och

beräkna resultatet av en undersökning med

och utan hänsyn till svarsbortfall och

jämföra dessa

Matematik 2b/2c

Statistikområde Innehåll

Medelvärde Beräkning av medelvärde utifrån givna

observationsdata i form av tal, tabell och

diagram och förstå dess för- och nackdelar

samt i vilka situationer är medelvärde ett

fungerande lägesmått för tolkning av

observationsdata

Median Beräkning av median utifrån givna

observationsdata i form av tal, tabell och

diagram och förstå dess för- och nackdelar

samt i vilka situationer är median ett

26

fungerande lägesmått för tolkning av

observationsdata

Typvärde Beräkning av typvärde utifrån givna

observationsdata i form av tal, tabell och

diagram och förstå dess för- och nackdelar

samt i vilka situationer är typvärde ett

fungerande lägesmått för tolkning av

observationsdata

Variationsbredd Beräkning av variationsbredd och förståelse

kring dess för- och nackdelar

Kvartiler och kvartilavstånd Att förstå begreppen kvartil och

kvartilavstånd, beräkning av kvartilavstånd

Lådagram Att använda kvartiler och median för att

göra lådagram, att tolka givna lådagram

Percentiler Att förstå begreppet percentil, att avläsa

percentiler utifrån givna lådagram samt

genomföra beräkningar kring percentiler

standardavvikelse Att förstå begreppet standardavvikelse,

beräkning av standardavvikelse både med

hjälp av formeln och miniräknare och att

tolka observationernas spridningsstorlek

Normalfördelning Att förstå begreppet normalfördelning, dra

information kring standardavvikelse och

medelvärde genom att tolka given

normalfördelningskurva, att bestämma hur

stor andel av observationerna ligger i ett

visst område i normalfördelningskurva samt

hur utseendet av kurvan påverkas av

ändringar i observationsvärdena

Korrelation och kausalitet Att förstå begreppen korrelation och

kausalitet och skillnaden mellan dem, att

avgöra om ett samband är kausalt och om

det finns statistiskt samband mellan givna

variabler, att göra spridningsdiagram med

och utan miniräknare och tolka givna

spridningsdiagram

Regressionsanalys Att förstå begreppet regression, att finna

linjära samband mellan variabelvärdena med

hjälp av miniräknare eller avgöra om det

finns ett linjärt samband mellan

variabelvärdena