How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische...
-
Upload
audo-boeschen -
Category
Documents
-
view
103 -
download
0
Transcript of How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische...
![Page 1: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/1.jpg)
How Does Fuzzy Arithmetic Work ?
© 2001- Hartwig JeschkeInstitut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme
Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 2: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/2.jpg)
Introduction
• Analytical modeling of technical processes:• Uncertainty of data material
– if no stationary statistical process is available:
– Possibilty Theory may help !
• Fuzzy Sets as a measure for possibility
• Extension of classical arithmetic by Fuzzy Numbers
- 1 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 3: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/3.jpg)
possible solution set
Possible And Expected Solution Sets
• Zimmermann: Inclusion Principle for Modeling Problems
expectedsolution set
(statistics)
Assumption: • specification of possible solution sets may be much easier
- 2 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 4: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/4.jpg)
Fuzzy Sets as Possibility Measure
modeling-parameter
Degree of membership to a fuzzy set
1
0
certainly possible values
certainly not possible values
as for known analytical models
more or less possible values
Exactly known parameter value, e. g.:
13.21345678953142........
- 3 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 5: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/5.jpg)
Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes
modeling-parameter p
Degree of membership
1
0
m1 m2m1-a m2+b
Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]
certainly not possible values
certainly possible values
- 4 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 6: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/6.jpg)
Arithmetic with Real Numbers
Generalization of Numbers
Real Numbers
Intervals
Fuzzy Intervals
Real Numbers
IntervalsInterval-Arithmetic
Fuzzy Interval-Arithmetic
- 5 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 7: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/7.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c
a
b
) ( ), ( ) (b a Min cB A C ) ( ), ( ) (b a Min cB A C
c = a b
,...,/,,,, MaxMina‘ b‘c‘
?
- 6 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 8: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/8.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
- 7 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 9: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/9.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-8 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 10: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/10.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-9 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 11: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/11.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-10 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 12: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/12.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-11 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 13: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/13.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-12 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 14: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/14.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-13 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 15: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/15.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-14 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 16: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/16.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-15 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 17: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/17.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-16 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 18: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/18.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
levels from 0 to 1Processing of
c a b
-17 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 19: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/19.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
c‘
Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)
Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)
-18 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 20: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/20.jpg)
Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)Approximation by Trapezoidal Shapes
A B=C
c a b
c
Exact solution has no trapezoidal shapeExact solution has no trapezoidal shape
- 19 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
![Page 21: How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover .](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062623/55204d8149795902118d4aad/html5/thumbnails/21.jpg)
FzCalc Fuzzy Calculator
- 20 -
© 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de