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Histoire d'une inconsistance Claude Girard André Plante 10 avril 2015
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Histoire d'une inconsistance
Claude Girard
André Plante
10 avril 2015
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L'onde de 'Schär'
A New Terrain-Following Vertical Coordinate Formulation for
Atmospheric Prediction Models
Schär et al. MWR 2002
UNUN / ;/0 az
Un profile de vent:
Un profile de température:
Une montagne, ,
deux nombres non-dimensionels:
1 10 msU
KTs S 288 ; 01.0 1 N
w(vitesse verticale)
intervalles
de contours:
~10 cm/s
'zoom'
Un problème théorique linéaire dont la solution stationaire analytique existe
Sz
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GEM en mode théorique: Courant d'air sur montagne idéalisée
en deux dimensions: plan x-z
Montage pour l'onde de Schär
xkml
kma
z
l
x
a
xzz
x
x
S
8Δ
m 250
4
5
cosexp
0
2
2
0
401 ;500 ;200
65 ; ;5.19
NimxkmL
NkkmH 300mΔz
N.B. : problème linéaire zz 0
l=1
l>1
l>>1
l: facteur d'aplatissement!
15
10
5
0
15
10
5
0
15
10
5
0
-75 -50 -25 0 25 50 75
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Solution correcte depuis ~un an: fin 2013
Solution erronée (bosselée) jusqu'à fin 2013
L'onde de 'Schär'
L'histoire
Une intégration de 4h avec 'éponge' près du toit, à l'entrée et à la sortie
du domaine pour prévenir la réflexion d'ondes
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b=.5
t=16s
2h40
L'onde de 'Schär'
La préhistoire : instable sans décentrage jusqu'en 2010
Qu'est-ce que le décentrage? b>.5
DépartArrivéeetrajectoir xbbxx 1
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l=1
t=8s
t=16s
t=32s
b=.6
4h
L'onde de 'Schär'
l=10 la préhistoire
l=Rcoef
Impact de l et t
avec
décentrage
l: aplatissement de la coordonnée
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Bosses sans doute dues à une inconsistance
reliée à l'advection semi-Lagrangienne
L'onde de 'Schär'
b=.5
t=32s
l=1
stabilité obtenue en 2010
avec changement de définition de
RT
pgg
z
RT
g
z
ln
RT
gp
z
ln
sans
décentrage
la préhistoire
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L'onde de 'Schär'
avant 2010
solution instable sans décentrage
solution stable avec décentrage mais erronée
depuis 2010
avec nouvelle définition de
solution stable sans décentrage mais toujours incorrecte
l'hypothèse d'une inconsistance numérique
comme cause du 'bosselage'
devient très plausible
Fin de la préhistoire
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0lnln
dt
pd
dt
Td
pdt
pd
ln
0ln*
pT
T
dt
d
0'
*
RT
wg
T
T
dt
d
RT
gw
p
wg
p
0' 2
*
Tc
wg
T
Tg
dt
d
p
*T
Tc
gN
p
22
*
'
T
Tgb
02 wNdt
db
constant
: bouée
: fréquence de
Brunt-Vaïsälä
au carré
Équation thermodynamique et ondes de gravité internes
***
''1lnln
T
T
T
T
T
T
relation classique en coordonnée-z
Commence l'histoire
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0lnln
dt
pd
dt
Td
)/ln( lnln pqqp
BsA
Bs
ln
ln
0ln*
qBs
T
T
dt
d
*T)/ln( refS ps
l
TS
TB
0' 2
*
wN
T
Tg
dt
d
Équation thermodynamique en coordonnée- de GEM
0ln*
qBs
T
T
dt
d
constant
(prononcez zèta ou dzèta)
0'
*
Bs
T
T
dt
d
dt
dBsw
g
N
2
un deux
terme termes
un beau mélange
en coordonnée-
L'histoire
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l
TS
TB
110l
*
'
T
T
0lnln
0lnln
*
0
0
*
0
0
T
TqBs
T
T
dt
d
T
T
dt
dqBs
T
T
dt
d
0T
0ln*
qBs
T
T
dt
d
Pourquoi une erreur? D'où provient-elle?
Dans le cas présent, la température varie beaucoup à la verticale:
KTKTs 143 ; 288 ; 01.0 minmax1 N; 10 1 msU
a) Il y a la possibilité d'avoir un atmosphère isotherme:
; 71.18 1 msU KTTTs 16.273 ; 01871.0 *minmax1 N
et en effet , puisque 1, l'erreur disparaît
avec
b) On a vu, aussi: avec , l'erreur disparaît
même si que la température varie beaucoup
c) Une troisième possibilité: une advection verticale Eulérienne
: température initiale
Il y a 3 termes!
Inconsistance SLI ?
L'histoire
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02
DADA
t
0
dt
d
Discrétisation SLI Semi-Lagrangienne Implicite
une
différence
une
moyenne
D
A futur
Arrivée
passé
Départ
0ln*
qBs
T
T
dt
d
Il n'y a vraiment
que 2 termes!
L'histoire
Page 13 – 16 April, 2015
02
DADA
t
...
t
t
A
ADD
dt
d
Comprendre la discrétisation SLI
02
...
DAAA
t
ttDAMMMA
22/
2
DADA
t
Calcul des trajectoires:
Règle du point milieu
MADA 2
Méthode trapézoidale
oubliant
l'horizontale
L'histoire 0
dt
d
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Règle du Point Milieu Méthode Trapézoidale
L'onde de 'Schär'
Calcul des trajectoires
méthodes équivalentes
Page 15 – 16 April, 2015
02
DADA
t
...
t
t
A
ADD
dt
d
Discrétisation SLI
02
...
DAAA
t
22/
MMMA
t
2
DADA
t
Calcul des trajectoires:
Règle du point milieu Méthode trapézoidale
oubliant
l'horizontale Calcul SLI
Page 16 – 16 April, 2015
Point Milieu / interp. linéaire Trapèze / interp. linéaire
Trapèze / interp. cubique Point Milieu / interp. cubique
L'onde de 'Schär'
Calcul des trajectoires
Page 17 – 16 April, 2015
Scores globaux
44 cas d'hiver
Prévisions de 6 jours
Gem Yin-Yang Résolution: 15 km
Calcul des trajectoires
Bleu: Point Milieu / interp. linéaire
Rouge: Variations (ps_adjust)
Point Milieu / interpolation cubique
Trapèze / interpolation linéaire
Trapèze / interpolation cubique
Impact d'une inconsistance résolue
Page 18 – 16 April, 2015
L'impact pour GEM, un modèle complexe, cependant toujours avec décentrage,
n'est pas aussi négligeable qu'attendu!
Il est plutôt positif en fait!
Plusieurs éléments étaient nécessaires à la convergence:
stabilité + même méthode de moyennage: trapézoidale
+ même ordre d'interpolation: cubique
+ absence de décentrage
La solution de l'onde de 'Schär' convergeait trop lentement lorsqu'on diminuait t
Ici, on a vu que:
résumé & conclusion
Un système d'équations numériques est inconsistant lorsque
la solution ne converge pas ou mal vers la vraie solution.
