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8/2/2019 Hinged 1
1/12
W a v e e e c t s o n h i n g e d b o d i e s
P a r t I b o d y m o t i o n s
J . N . N E W M A N
D e c e m b e r 9 , 1 9 9 7
1 I N T R O D U C T I O N
W A M I T c a n b e u s e d w i t h a p p r o p r i a t e g e n e r a l i z e d m o d e s t o d e s c r i b e t h e c o u p l e d
m o t i o n s o f a n e n s e m b l e o f s e p a r a t e o a t i n g b o d i e s c o n n e c t e d b y h i n g e s , a s w e l l
a s s t r u c t u r a l l o a d s a n d d e e c t i o n s o f e a c h b o d y . T h e t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d f o r
t h i s a n a l y s i s i s p r e s e n t e d i n 1 . T o i l l u s t r a t e t h e m e t h o d o l o g y w e s h a l l c o n s i d e r a
l o n g i t u d i n a l a r r a y o f N i d e n t i c a l r i g i d m o d u l e s c o n n e c t e d b y f r i c t i o n l e s s h i n g e s .
F o l l o w i n g t h e c o n v e n t i o n i n W A M I T a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m x ; y ; z i s
u s e d w i t h z = 0 t h e u n d i s t u r b e d f r e e s u r f a c e , x p o s i t i v e t o w a r d t h e ` b o w ' o f t h e
a r r a y , y p o s i t i v e t o w a r d t h e p o r t s i d e o f t h e a r r a y , a n d z p o s i t i v e u p w a r d s . E a c h
m o d u l e i s c o n s i d e r e d t o b e a o a t i n g v e s s e l w i t h g e o m e t r i c s y m m e t r y a b o u t t h e
v e r t i c a l c e n t e r p l a n e y = 0 a n d a l s o a b o u t i t s m i d s h i p s e c t i o n . T h e o r i g i n x = 0
i s a t t h e m i d p o i n t o f t h e a r r a y . S i m p l e t r a n s v e r s e h i n g e j o i n t s a r e l o c a t e d a t
x = x
n
n = 1 2 ; : : : ; N , 1 . T h e s e a r e n u m b e r e d i n a s c e n d i n g o r d e r f r o m t h e
s t e r n t o t h e b o w . T h e o v e r a l l l e n g t h L o f e a c h m o d u l e i s d e n e d a s t h e d i s t a n c e
b e t w e e n a d j a c e n t h i n g e s , x
n + 1
, x
n
I n g e n e r a l t h e m o t i o n s o f t h e a r r a y w i l l i n c l u d e s i x c o n v e n t i o n a l m o d e s
s u r g e , s w a y , h e a v e , r o l l , p i t c h , y a w w h e r e t h e e n t i r e a r r a y i s t r a n s l a t i n g a n d
r o t a t i n g a s a r i g i d b o d y , a n d N , 1 a d d i t i o n a l ` g e n e r a l i z e d ' m o d e s c o r r e s p o n d i n g
t o d e e c t i o n s o f t h e h i n g e s . T h e a n a l y s i s o f t h e r i g i d - b o d y m o t i o n s i s c l a s s i c a l ,
a n d o u r m a i n c o n c e r n h e r e i s t o e x t e n d t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e t o i n c l u d e
t h e h i n g e - d e e c t i o n m o d e s a s w e l l a s a n y c o u p l i n g t h a t m a y e x i s t w i t h t h e s i x
c o n v e n t i o n a l m o d e s . S i n c e t h e a r r a y g e o m e t r y i s s y m m e t r i c a b o u t y = 0 , a n d
t h e h i n g e a x e s a r e p a r a l l e l t o t h e y - a x i s , t h e r e i s n o c o u p l i n g b e t w e e n t h e v e r t i -
c a l m o t i o n s c o n s i d e r e d h e r e a n d t h e s w a y , r o l l , a n d y a w m o t i o n s . T h u s w e s h a l l
i g n o r e t h e l a t t e r t h r e e m o d e s , w h i c h c a n b e a n a l y s e d i n d e p e n d e n t l y f r o m t h e
h i n g e - d e e c t i o n m o d e s .
T o s i m p l i f y t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e h i n g e a x e s a r e i n
t h e p l a n e z = 0 , a n d c o n s i d e r o n l y t h e v e r t i c a l m o t i o n s o f e a c h m o d u l e a s s o c i a t e d
1
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w i t h t h e m o d e s o f h e a v e , p i t c h , a n d t h e h i n g e d e e c t i o n s . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o
c o n s i d e r t h e c o u p l i n g w i t h s u r g e , a n d h i n g e s w h i c h a r e l o c a t e d a t o t h e r v e r t i c a l
p o s i t i o n s .
S i n c e w e o n l y c o n s i d e r h e a v e a n d p i t c h , a n d t h e d e e c t i o n s o f N , 1 h i n g e s , a
t o t a l o f N + 1 d e g r e e s o f f r e e d o m e x i s t . E a c h d e g r e e o f f r e e d o m c a n b e d e s c r i b e d
b y a n a p p r o p r i a t e f u n c t i o n f
j
x w h i c h d e s c r i b e s t h e e l e v a t i o n d u e t o m o t i o n
w i t h u n i t a m p l i t u d e i n e a c h s e p a r a t e m o d e . I n t h e t i m e d o m a i n e a c h m o d e i s
m u l t i p l i e d b y a c o r r e s p o n d i n g a m p l i t u d e a
j
t , a n d t h e t o t a l s u p e r p o s i t i o n o f
a l l t h e m o d e s i s
f x t =
N + 1
X
j = 1
a
j
t f
j
x 1 . 1
I n t h e f r e q u e n c y - d o m a i n d e s c r i p t i o n e a c h s p e c t r a l f r e q u e n c y ! i s t r e a t e d s e p a -
r a t e l y , a n d 1 . 1 c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o r m
f x t = R e
2
4
e
i ! t
N + 1
X
j = 1
j
f
j
x
3
5
1 . 2
T h e r e s p o n s e - a m p l i t u d e o p e r a t o r s
j
a r e c o m p l e x , r e p r e s e n t i n g t h e a m p l i t u d e
a n d p h a s e o f e a c h m o d a l r e s p o n s e a t t h e f r e q u e n c y !
T h e d e n i t i o n a n d n u m b e r i n g o f e a c h m o d e i s s o m e w h a t a r b i t r a r y , b u t t h e
a n a l y s i s i s s i m p l i e d i f t h e s e a r e d e n e d c a r e f u l l y a t t h e o u t s e t . I n W A M I T t h e
i n d i c e s j = 1 2 ; : : : ; 6 a r e r e s e r v e d f o r t h e s i x r i g i d - b o d y m o t i o n s , w i t h j = 3 5
c o r r e s p o n d i n g t o h e a v e a n d p i t c h r e s p e c t i v e l y . A d d i t i o n a l ` g e n e r a l i z e d m o d e s '
a r e i d e n t i e d b y c o n s e c u t i v e i n d i c e s j = 7 8 ; : : : . I n t h e d e s c r i p t i o n b e l o w i t
i s s i m p l e r t o u s e a m o r e c o m p a c t n u m b e r i n g s y s t e m , w h e r e h e a v e a n d p i t c h
a r e i d e n t i e d b y j = 1 2 a n d t h e a d d i t i o n a l h i n g e - d e e c t i o n m o d e s b y j =
3 4 ; : : : ; N + 1 . W e s h a l l d e n e t h e l a t t e r m o d e s i n i t i a l l y c o n r r e s p o n d i n g t o u n i t
e l e v a t i o n o f e a c h h i n g e n = 1 2 ; : : : ; N , 1 w i t h a l l o t h e r h i n g e s a t t h e s t a t i c
p o s i t i o n z = 0 . T h e g e n e r a l i z e d m o d e s d e n e d i n t h i s m a n n e r a r e n e i t h e r
s y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i c , n o r o r t h o n o r m a l .
S i n c e t h e g e o m e t r y o f t h e a r r a y i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e p l a n e s x = 0 a n d
y = 0 , s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n s i n c o m p u t i n g t i m e a n d m e m o r y c a n b e a c h i e v e d i f
t h e m o d e s a r e d e n e d t o b e e i t h e r s y m m e t r i c o r a n t i s y m m e t r i c a b o u t t h e s a m e
p l a n e s . I n S e c t i o n 2 w e r s t c o n s i d e r t h e a p p r o p r i a t e m o d e s t o u s e i r r e s p e c t i v e
o f s y m m e t r y , a n d t h e n t h e a l t e r n a t i v e m o d e s w h i c h s e p a r a t e a l l m o t i o n s i n t o
t h e i r s y m m e t r i c a n d a n t i s y m m e t r i c c o m p o n e n t s .
I n a d d i t i o n t o t h e s e ` h i n g e m o d e s ' , a p p r o p r i a t e g e n e r a l i z e d m o d e s m a y b e
r e q u i r e d t o r e p r e s e n t t h e s t r u c t u r a l d e e c t i o n o f e a c h m o d u l e , o r s i m p l y t o a s s i s t
i n t h e e v a l u a t i o n o f t h e s t r u c t u r a l l o a d s . A d i s t i n c t i o n i s m a d e h e r e b e t w e e n a
` a c t i v e ' m o d e s u s e d i n a ` h y d r o e l a s t i c ' a n a l y s i s w h e r e t h e s t r u c t u r a l d e e c t i o n s
a r e s i g n i c a n t , a n d b ` p a s s i v e ' m o d e s w h i c h a r e u s e d t o e v a l u a t e t h e s t r u c -
t u r a l l o a d s i n t h e u n d e f o r m e d s t a t e . T h e h y d r o e l a s t i c a n a l y s i s i s n o t g e n e r a l l y
r e q u i r e d u n l e s s t h e m a g n i t u d e o f t h e s t r u c t u r a l d e e c t i o n i s c o m p a r a b l e t o t h e
o t h e r m o d e s o f m o t i o n a n d o r t h e i n c i d e n t - w a v e a m p l i t u d e . T h e u s e o f g e n e r -
2
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a l i z e d m o d e s t o e v a l u a t e t h e s t r u c t u r a l l o a d s w i l l b e c o n s i d e r e d s u b s e q u e n t l y i n
P a r t 2 .
2 G E N E R A L I Z E D H I N G E M O D E S
I n d e n i n g t h e g e n e r a l i z e d m o d e s i t i s c o n v e n i e n t t o n o r m a l i z e t h e l o n g i t u d i n a l
c o o r d i n a t e x r e l a t i v e t o t h e l e n g t h L . W e u s e t h e n o n d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e
u = x = L , a n d d e n e t h e m o d e s a s f u n c t i o n s o f u . T h e h i n g e a x e s a r e a t u =
u
n
= x
n
= L I f N i s e v e n , t h e h i n g e s a r e a t u = 0 1 2 ; : : : , a n d i f N i s o d d
t h e h i n g e s a r e a t
1
2
3
2
; : : : . I n a l l c a s e s t h e h e a v e a n d p i t c h m o d e s a r e d e n e d
b y t h e v e r t i c a l d e e c t i o n s f
1
= 1 f
2
= , u L . T h e f a c t o r L i s r e q u i r e d i n t h e
l a t t e r c a s e s i n c e t h e p i t c h m o d e i s d e n e d w i t h v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t , x i n t h e
d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e s y s t e m .
F i r s t c o n s i d e r t h e s i m p l e s t c a s e o f t w o r i g i d b o d i e s w i t h o n e h i n g e a t u = 0
T h e h i n g e m o d e w i l l b e d e n e d i n t h i s c a s e a s f
3
u = 1 , u , w i t h u n i t
d i s p l a c e m e n t a t t h e h i n g e a n d z e r o d i s p l a c e m e n t a t t h e e n d s . T h i s m o d e i s
s y m m e t r i c a b o u t u = 0 . I t i s r e f e r r e d t o a s a ` t e n t f u n c t i o n ' d u e t o i t s s h a p e .
F o r s u b s e q u e n t a n a l y s i s i t i s c o n v e n i e n t t o d e n e t h e f u n c t i o n
t u = 1 , u 0 u 1 t u = 0 u 1 2 . 1
T h e o n l y g e n e r a l i z e d m o d e r e q u i r e d f o r N = 2 i s f
3
= t u , a s s h o w n i n F i g u r e
1
T e n t f u n c t i o n s c a n b e u s e d m o r e g e n e r a l l y t o r e p r e s e n t t h e h i n g e d e e c t i o n s
o f a n a r r a y w i t h a n y n u m b e r o f m o d u l e s . A c o m p l e t e s e t o f m o d e s w h i c h d o
n o t s a t i s f y t h e s y m m e t r y a n t i s y m m e t r y r e q u i r e m e n t a r e d e n e d b y
f
j
u = t u , u
n
j = 3 4 5 ; : : : ; N + 1
n = 1 2 3 ; : : : ; N , 1 2 . 2
E a c h m o d e
f
j
c o r r e s p o n d s t o a t r i a n g u l a r e l e v a t i o n o f t h e t w o m o d u l e s a d j a c e n t
t o t h e h i n g e n = j , 2 , w i t h n o m o t i o n o f t h e o t h e r m o d u l e s .
A l t e r n a t i v e l y , a n e q u i v a l e n t s e t o f g e n e r a l i z e d m o d e s c a n b e d e n e d s u c h
t h a t t h e y a r e e i t h e r s y m m e t r i c a b o u t u = 0 j o d d o r a n t i s y m m e t r i c j e v e n .
T h i s i s a c h i e v e d b y c o m b i n i n g t h e t e n t f u n c t i o n s a s f o l l o w s :
f
j
u = t u , u
n
+ t u , u
N n
j = 3 5 7 ; : : : ; 2
N 1
2
+ 1
n = 1 2 3 ; : : : ;
N 1
2
f
N + 1
u = t u , u
N = 2
N e v e n 2 . 3
f
j
u = t u , u
n
, t u , u
N n
j = 4 6 8 ; : : : ; 2
N + 1
2
n = 1 2 3 ; : : : ;
N 1
2
2 . 4
H e r e t h e s y m b o l a d e n o t e s t h e l a r g e s t i n t e g e r w h i c h i s l e s s t h a n o r e q u a l t o a
F o r N e v e n t h e r e a r e a t o t a l o f N = 2 g e n e r a l i z e d s y m m e t r i c m o d e s a n d N = 2 , 1
a n t i s y m m e t r i c m o d e s . T h e l a s t s y m m e t r i c m o d e i s a s i n g l e t e n t f u n c t i o n a t
3
-
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t h e c e n t e r h i n g e u = u
N = 2
= 0 . F o r N o d d t h e r e a r e N , 1 = 2 g e n e r a l i z e d
s y m m e t r i c m o d e s a n d t h e s a m e n u m b e r o f a n t i s y m m e t r i c m o d e s . T h e l a s t
m o d e i s j = N + 1 . T h e s e m o d e s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 f o r N = 1 2 3 4 5
T h e u s u a l s t e p i n r e p r e s e n t i n g a g e n e r a l f u n c t i o n f x a s a c o m b i n a t i o n o f
s y m m e t r i c a n d a n t i s y m m e t r i c c o m p o n e n t s i s i n t e r m s o f t h e s u m a n d d i e r e n c e
o f t h e t w o s e p a r a t e f u n c t i o n s , f x f , x . I n 2 . 3 - 4 w e h a v e i m p l i c i t l y u s e d
t h e f a c t s t h a t t u i s a n e v e n f u n c t i o n , a n d u
N n
= , u
n
, t o r e p l a c e t , u , u
n
b y t h e m o r e p h y s i c a l a n d e q u i v a l e n t f u n c t i o n t u , u
N n
G e n e r a l i z e d m o m e n t s w i l l b e d e n e d b y t h e i n t e g r a l s
I
i j
=
Z
f
i
u f
j
u d u 2 . 5
w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s o v e r t h e c o m p l e t e a r r a y . T h e m o m e n t s a s s o c i a t e d w i t h
t h e h e a v e a n d p i t c h m o d e s f
1
= 1 f
2
= , x = , L u a r e
I
1 1
= N
I
1 j
= 2 j = 3 5 7 ; : : : ; 2
N 1
2
+ 1
I
1 N + 1
= 1 N e v e n
I
2 2
=
1
1 2
N
3
L
2
I
2 j
= , L u
n
, u
N n
n =
1
2
j , 1
= L N , j + 2
T h e o t h e r m o m e n t s c a n b e e v a l u a t e d b y s u b s t i t u t i n g 2 . 3 o r 2 . 4 i n 2 . 5 a n d
u s i n g t h e r e l a t i o n s
Z
t u , u
m
t u , u
n
d u =
2
3
m = n
=
1
6
m , n = 1
= 0 m , n 2
M o r e e x p l i c i t r e s u l t s a r e l i s t e d i n T a b l e 1 . I n a l l c a s e s I
i j
= I
j i
, a n d I
i j
= 0 i f
i + j i s o d d .
W i t h s o m e a d d i t i o n a l a l g e b r a i t i s p o s s i b l e t o s y s t e m a t i c a l l y d e n e a n a l t e r -
n a t i v e s e t o f s y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i c o r t h o n o r m a l m o d e s
~
f
j
u b y s u p e r p o s i -
t i o n o f t h e n o n o r t h o g o n a l m o d e s 2 . 3 - 4 . W e d e n e t h e o r t h o n o r m a l m o d e s i n
t h e f o r m
~
f
i
u =
i
X
j = 1
C
i j
f
j
u i = 3 5 7 ; : : : ; 2
N
2
+ 1
~
f
i
u =
i
X
j = 2
C
i j
f
j
u i = 4 6 8 ; : : : ; 2
N + 1
2
2 . 6
w h e r e C
i j
= 0 i f i + j i s o d d . T h e c o r r e s p o n d i n g m o m e n t s a r e
~
I
i j
=
Z
~
f
i
u
~
f
j
u d u =
i j
2 . 7
4
-
8/2/2019 Hinged 1
5/12
(2D) 17 Nov 1997
N=2 N=4N=3
j=1
2
3
4
5
6
N=5N=1
(2D) 17 Nov 1997
F i g u r e 1 : S y m m e t r i c a n d a n t i s y m m e t r i c m o d e s f
j
u s e d t o r e p r e s e n t t h e v e r t i c a l
m o t i o n s o f a n a r r a y . T h e n u m b e r o f s e p a r a t e m o d u l e s N i s s h o w n a t t h e t o p o f
e a c h c o l u m n , a n d t h e m o d e i n d e x j i s s h o w n i n t h e l e f t c o l u m n . T h e r s t t w o
m o d e s c o r r e s p o n d t o h e a v e a n d p i t c h , f o l l o w e d b y t h e h i n g e d e e c t i o n m o d e s
2 . 3 - 4 . F o r p i t c h t h e s c a l e i s n o r m a l i z e d b y t h e m o d u l e l e n g t h L . N o t e t h a t t h e
i n d e x j u s e d h e r e d i e r s f r o m t h e W A M I T m o d e i n d e x , w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g
i n d i c e s j = 3 5 7 8 9 1 0 r e p l a c e t h e v a l u e s s h o w n i n c o l u m n 1 .
5
-
8/2/2019 Hinged 1
6/12
m , n N , m , n s y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i c
0 1 5 = 3 1
0 2 4 = 3 4 = 3
1 1 2 = 3 0
1 2 1 = 3 1 = 3
2 1 1 = 3 , 1 = 3
2 2 0 0
T a b l e 1 : V a l u e s o f I
i j
f o r s y m m e t r i c a n d a n t i s y m m e t r i c m o d e s i 3 j 3
T h e h i n g e i n d i c e s a r e d e n e d b y m =
i 1
2
a n d n =
j 1
2
w h e r e t h e K r o e n e c k e r d e l t a f u n c t i o n
i j
i s e q u a l t o 1 i f i = j , a n d e q u a l t o z e r o
i f i 6= j . F o r e a c h v a l u e o f i t h e c o e c i e n t s C
i j
c a n b e e v a l u a t e d r e c u r s i v e l y b y
s u b s t i t u t i n g 2 . 6 i n 2 . 7 , a n d s o l v i n g a l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s o f d i m e n s i o n
i + 1
2
. T h e c o e c i e n t m a t r i x a n d r i g h t - h a n d - s i d e v e c t o r i n v o l v e t h e m o m e n t s
I
i j
3 H Y D R O D Y N A M I C S O L U T I O N
T i m e - h a r m o n i c m o t i o n s o f s m a l l a m p l i t u d e a r e c o n s i d e r e d , w i t h t h e c o m p l e x
f a c t o r e
i ! t
a p p l i e d t o a l l r s t - o r d e r o s c i l l a t o r y q u a n t i t i e s . T h e b o u n d a r y c o n d i -
t i o n s o n t h e b o d y a n d f r e e s u r f a c e a r e l i n e a r i z e d , a n d p o t e n t i a l o w i s a s s u m e d .
W e f o l l o w t h e s a m e n o t a t i o n a s i n 1 , w h e r e a m o r e c o m p l e t e s t a t e m e n t o f
t h e p r o b l e m i s o u t l i n e d . T h e u i d v e l o c i t y e l d i s r e p r e s e n t e d b y t h e g r a d i e n t o f
t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l R e e
i ! t
, w h e r e x ; y ; z i s a c o m p l e x f u n c t i o n g o v e r n e d
b y L a p l a c e ' s e q u a t i o n i n t h e u i d d o m a i n w i t h a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
o n t h e f r e e s u r f a c e a n d b o t t o m . T h e v e l o c i t y p o t e n t i a l o f t h e i n c i d e n t w a v e i s
d e n e d b y
I
=
i g A
!
c o s h k z + h
c o s h k h
e
i k x c o s + y s n
3 . 1
w h e r e g i s t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n , A t h e w a v e a m p l i t u d e , t h e w a v e n u m b e r
k i s t h e p o s i t i v e r e a l r o o t o f t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n
!
2
g
= k t a n h k h 3 . 2
h i s t h e u i d d e p t h , a n d i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n o f
t h e i n c i d e n t w a v e a n d t h e p o s i t i v e x , a x i s . I f t h e u i d d e p t h i s l a r g e c o m p a r e d
t o t h e c h a r a c t e r i s t i c w a v e l e n g t h 2 = k t h e i n n i t e - d e p t h l i m i t c a n b e u s e d i n
p l a c e o f 3 . 1 :
I
=
i g A
!
e
k z i k x c o s + y s n
3 . 3
w h e r e !
2
= g = k
6
-
8/2/2019 Hinged 1
7/12
T h e v e l o c i t y p o t e n t i a l c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m
=
R
+
D
3 . 4
w h e r e
D
=
I
+
S
3 . 5
i s t h e d i r a c t i o n p o t e n t i a l ,
S
i s t h e s c a t t e r i n g c o m p o n e n t r e p r e s e n t i n g t h e
d i s t u r b a n c e o f t h e i n c i d e n t w a v e b y t h e x e d b o d y , a n d
R
=
J
X
j = 1
j
j
3 . 6
i s t h e r a d i a t i o n p o t e n t i a l d u e t o t h e b o d y ' s m o t i o n s , w i t h c o m p l e x a m p l i t u d e
j
i n e a c h m o d e . I n e a c h m o d e ,
j
i s t h e c o r r e s p o n d i n g u n i t - a m p l i t u d e r a d i a t i o n
p o t e n t i a l .
O n t h e u n d i s t u r b e d p o s i t i o n o f t h e b o d y b o u n d a r y , t h e r a d i a t i o n a n d d i f -
f r a c t i o n p o t e n t i a l s a r e s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n s
@
j
@ n
= i ! n
j
3 . 7
@
D
@ n
= 0 3 . 8
H e r e n
j
i s t h e n o r m a l c o m p o n e n t o f t h e d i s p l a c e m e n t o n t h e b o d y s u r f a c e ,
a s s o c i a t e d w i t h m o d e j . F o r v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s d e n e d b y t h e m o d e s i n
S e c t i o n 2 , n
j
= f
j
n
z
w h e r e n
z
i s t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e u n i t n o r m a l
v e c t o r o n t h e b o d y s u r f a c e , d e n e d p o i n t i n g f r o m t h e u i d i n t o t h e b o d y .
T h e b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m i s c o m p l e t e d b y i m p o s i n g a r a d i a t i o n c o n d i t i o n
o f o u t g o i n g w a v e s , f o r t h e p o t e n t i a l s
S
a n d
j
C o r r e s p o n d i n g t o e a c h m o d e o f m o t i o n , g e n e r a l i z e d r s t - o r d e r p r e s s u r e f o r c e s
a r e d e n e d b y a p p r o p r i a t e w e i g h t e d i n t e g r a l s o f t h e p r e s s u r e o v e r t h e s u b m e r g e d
s u r f a c e S i n t h e f o r m
F
i
=
Z Z
S
p n
i
d S = ,
Z Z
S
i ! + g z
n
i
d S 3 . 9
H e r e p i s t h e u i d p r e s s u r e , w h i c h i s e v a l u a t e d i n t h e l a s t f o r m o f 3 . 9 f r o m t h e
l i n e a r i z e d B e r n o u l l i e q u a t i o n .
A f t e r s u b s t i t u t i n g 3 . 6 f o r t h e c o m p o n e n t s o f t h e r a d i a t i o n p o t e n t i a l , a d d e d -
m a s s a n d d a m p i n g m a t r i c e s a r e d e n e d i n t h e f o r m
!
2
a
i j
, i ! b
i j
= , i !
Z Z
S
j
n
i
d S 3 . 1 0
S i m i l a r l y , t h e g e n e r a l i z e d w a v e - e x c i t i n g f o r c e i s
X
i
= , i !
Z Z
S
D
n
i
d S 3 . 1 1
7
-
8/2/2019 Hinged 1
8/12
T h e i n d i c e s i a n d j c a n t a k e o n a n y v a l u e s w i t h i n t h e r a n g e s o f t h e r i g i d - b o d y
m o d e s 1 - 2 a n d e x t e n d e d m o d e s 3 , 4 , . . . .
F o r t h e c a s e c o n s i d e r e d h e r e w h e r e t h e o n l y b o d y m o t i o n s a r e d e s c r i b e d b y
v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s , t h e h y d r o s t a t i c r e s t o r i n g m a t r i x i s d e n e d b y
c
i j
= g
Z Z
S
f
i
n
j
d S = g
Z Z
S
f
i
f
j
n
z
d S 3 . 1 2
4 F R E E M O T I O N S O F T H E A R R A Y
A s s u m i n g e a c h m o d u l e t o b e r i g i d , e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e d e r i v e d b y e q u a t -
i n g t h e h y d r o d y n a m i c p r e s s u r e f o r c e c o e c i e n t s i n S e c t i o n 3 t o t h e c o r r e s p o n d -
i n g i n e r t i a l f o r c e c o e c i e n t s M
i j
f o r t h e i n t e r n a l m a s s d i s t r i b u t i o n o f t h e s t r u c -
t u r e . F o r a s i n g l e b o d y w h i c h i s f r e e i n t h e h e a v e a n d p i t c h m o d e s , a p p r o p r i a t e
e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e d e r i v e d b y i n t e g r a t i n g t h e p r e s s u r e f o r c e a n d i t s r s t
m o m e n t a l o n g t h e l e n g t h , a n d e q u a t i n g t h e s e t o t h e c o r r e s p o n d i n g i n e r t i a l f o r c e
a n d m o m e n t . M o r e g e n e r a l l y , f o r t h e a r r a y w i t h h i n g e d c o n n e c t o r s a n d n o e x -
t e r n a l c o n s t r a i n t s , t h e s a m e p r o c e d u r e i s a d o p t e d i n c l u d i n g i n t e g r a l s a l o n g t h e
l e n g t h w e i g h t e d b y e a c h m o d e f u n c t i o n .
P r o c e e d i n g i n t h i s m a n n e r , t h e i n e r t i a l e e c t s a s s o c i a t e d w i t h t h e b o d y m a s s
a r e d e n e d b y t h e m a s s m a t r i x
M
i j
=
Z
m x f
i
x f
j
x d x 4 . 1
w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s o v e r t h e e n t i r e a r r a y , a n d m x i s t h e l o n g i t u d i n a l
d e n s i t y o f m a s s . A d d i n g t h e s e c o e c i e n t s t o t h e c o r r e s p o n d i n g a d d e d - m a s s
c o e c i e n t s t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e o b t a i n e d i n t h e f o r m
N + 1
X
j = 1
j
, !
2
a
i j
+ M
i j
+ i ! b
i j
+ c
i j
= X
i
i = 1 2 3 ; : : : ; N + 1 4 . 2
T h e s u m m a t i o n o n t h e l e f t s i d e o f 4 . 2 i s o v e r a l l m o d e s i n c l u d i n g h e a v e , p i t c h ,
a n d t h e h i n g e d e e c t i o n s .
A f t e r s o l v i n g t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s 4 . 2 f o r t h e N + 1 u n k n o w n m o d e
a m p l i t u d e s
j
t h e m o t i o n s o f t h e a r r a y c a n b e e v a l u a t e d b y m o d a l s u p e r p o s i t i o n ,
w i t h t h e r e s u l t s
f x
n
t = R e
,
1
,
2
x
n
+
j
+
j + 1
e
i ! t
n = 1 2 ; : : : ;
N 1
2
j = 2 n + 1
= R e
,
1
,
2
x
n
+
j
e
i ! t
n =
N
2
j = 2 n + 1
= R e
,
1
,
2
x
n
+
j
,
j + 1
e
i ! t
n =
N + 1
2
; : : : ; N , 1
j = 2 N , 2 n + 1 4 . 3
H e r e t h e r s t a n d s e c o n d t e r m r e p r e s e n t t h e v e r t i c a l m o t i o n s d u e t o h e a v e
a n d p i t c h , a n d t h e l a s t t e r m s a r e t h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e s y m m e t r i c a n d
a n t i s y m m e t r i c h i n g e m o d e s .
8
-
8/2/2019 Hinged 1
9/12
5 A R R A Y O F B A R G E S
T o i l l u s t r a t e t h e m e t h o d o l o g y w e s h a l l d e s c r i b e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s f o r a n
a r t i c u l a t e d r e c t a n g u l a r b a r g e w i t h v e s e c t i o n s . T o s i m p l i f y t h e d e t a i l s o f t h e
g e o m e t r y n e a r t h e h i n g e s , t h e s u b m e r g e d s u r f a c e i s a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s ,
w i t h a t o t a l l e n g t h 5 L , b e a m B , a n d d r a f t T . T o c o n f o r m w i t h t h e h o r i z o n t a l
d i m e n s i o n s a n d d i s p l a c e m e n t o f t y p i c a l M O B c o n g u r a t i o n s t h e s e d i m e n s i o i n s
a r e c h o s e n t o b e 6 0 0 0 f e e t , 5 0 0 f e e t , a n d 2 0 f e e t , r e s p e c t i v e l y . T h e f o u r h i n g e s
a r e a t x = x
n
= , 1 8 0 0 , 6 0 0 6 0 0 1 8 0 0 f e e t .
O n e q u a d r a n t x 0 y 0 o f t h e s u b m e r g e d s u r f a c e i s d i s c r e t i z e d w i t h
N
A
p a n e l s i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n , N
B
p a n e l s i n t h e t r a n s v e r s e d i r e c t i o n ,
a n d N
C
p a n e l s v e r t i c a l l y o n t h e s i d e a n d e n d . T h e t o t a l n u m b e r o f p a n e l s , a n d
u n k n o w n s , i s N
A
N
B
+ N
A
N
C
+ N
B
N
C
. U n i f o r m s p a c i n g i s u s e d i n t h e
l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n t o f a c i l i t a t e s u b d i v i s i o n a t t h e h i n g e s . T w o d i s c r e t i z a t i o n s
a r e c o m p a r e d t o i n d i c a t e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e r e s u l t s .
I n t h e r s t d i s c r e t i z a t i o n w e u s e N
A
= 1 0 0 , N
B
= 1 0 , N
C
= 2 , g i v i n g a t o t a l
o f 1 2 2 0 p a n e l s o n o n e q u a d r a n t , w i t h u n i f o r m s p a c i n g i n t h e t r a n s v e r s e a n d
v e r t i c a l d i r e c t i o n s . . T o v e r i f y c o n v e r g e n c e o f t h e r e s u l t s a n e r d i s c r e t i z a t i o n i s
u s e d w i t h N
A
= 1 5 0 , N
B
= 1 2 , N
C
= 4 , g i v i n g 2 4 4 8 p a n e l s o n o n e q u a d r a n t ,
a n d u s i n g n o n u n i f o r m t r a n s v e r s e ` c o s i n e ' s p a c i n g n e a r t h e b i l g e c o r n e r s .
W a v e p e r i o d s f r o m 6 t o 3 0 s e c o n d s a r e c o n s i d e r e d , w i t h w a v e h e a d i n g a n g l e s
= 0 3 0 a n d 6 0
. I n n i t e u i d d e p t h i s a s s u m e d .
T h e r e s u l t s i n F i g u r e s 2 - 7 s h o w t h e a m p l i t u d e s o f t h e v e r t i c a l m o t i o n s a t t h e
e n d s o f e a c h m o d u l e , p r o g r e s s i n g f r o m t h e s t e r n t o t h e b o w w i t h i n t e r m e d i a t e
p o i n t s a t t h e f o u r h i n g e s . I n e a c h c a s e t h e a m p l i t u d e R A O i s n o r m a l i z e d b y
t h e i n c i d e n t w a v e e l e v a t i o n . T h e s e g u r e s a r e b a s e d o n c o m p u t a t i o n s u s i n g t h e
r s t d i s c r e t i z a t i o n , w i t h h a l f - s e c o n d i n c r e m e n t s o f t h e w a v e p e r i o d . A n a l o g o u s
c o m p u t a t i o n s w i t h t h e n e d i s c r e t i z a t i o n h a v e b e e n p e r f o r m e d a t o n e - s e c o n d
i n c r e m e n t s ; t h e t w o s e t s o f r e s u l t s a g r e e w i t h i n a m a x i m u m a b s o l u t e d i e r e n c e
o f 0 . 0 0 9 .
I n g e n e r a l , t h e v e r t i c a l m o t i o n s a r e s m a l l f o r w a v e p e r i o d s b e l o w 1 0 s e c o n d s ,
w h e r e a s f o r p e r i o d s o f 2 5 - 3 0 s e c o n d s t h e R A O ' s a p p r o a c h t h e i r a s y m p t o t i c v a l -
u e s o f u n i t y f o r l o n g w a v e l e n g t h s . R e s o n a n t p e a k s o c c u r a t i n t e r m e d i a t e w a v e
p e r i o d s b e t w e e n 1 5 a n d 2 5 s e c o n d s , w i t h p e a k v a l u e s o f 1 . 2 - 1 . 4 a f t o f t h e c e n t e r ,
i n c r e a s i n g t o 1 . 7 a t h i n g e 4 a n d 2 . 2 a t t h e b o w .
R e f e r e n c e s
1 J . N . N e w m a n , ` W a v e e e c t s o n d e f o r m a b l e b o d i e s , ' A p p l i e d O c e a n R e -
s e a r c h , V o l u m e 1 6 1 9 9 4 .
9
-
8/2/2019 Hinged 1
10/12
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2elevation at stern
= 0
30
60
(XY) 17 Nov 1997
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2elevation at hinge 1
= 0
3060
(XY) 17 Nov 1997
F i g u r e 2 : R A O ' s f o r s t e r n a n d h i n g e 1 .
1 0
-
8/2/2019 Hinged 1
11/12
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2elevation at hinge 2
= 0
30
60
(XY) 17 Nov 1997
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2elevation at hinge 3
= 0
3060
(XY) 17 Nov 1997
F i g u r e 3 : R A O ' s f o r h i n g e 2 a n d h i n g e 3 .
1 1
-
8/2/2019 Hinged 1
12/12
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2elevation at hinge 4
= 0
30
60
(XY) 17 Nov 1997
(XY) 17 Nov 1997
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Period
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3elevation at bow
= 0
3060
(XY) 17 Nov 1997
F i g u r e 4 : R A O ' s f o r h i n g e 4 a n d b o w .
1 2
