Hidrograful unitar

7/27/2019 Hidrograful unitar

http://slidepdf.com/reader/full/hidrograful-unitar 1/12

8. Hidrograful unitar

8.1 Procesul integrării scurgerii pe versanţi

Procesul integrării scurgerii pe versanţi (funcţia de transfer a sistemului hidrologic) este deosebit de complex datorită

variaţiei spaţiale şi temporale a precipitaţiilor, infiltraţiilor şi a caracteristicilor bazinului hidrografic. Datorită modului de formare a scurgerii foarte diferit de la un bazin hidrografic la altul, nu a fost elaborată până în

prezent o soluţie analitică general valabilă care să permită calculul scurgerii pe versanţi şi prin albii pornind de ladatele de precipitaţii. Prin urmare se analizează anumite cazuri tipice de formare şi propagare şi anume: scurgerea pe versant sub forma unei pelicule subţiri de apă, valabilă pentru zone urbane şi pe versanţii cu

caracteristici relativ constante în spaţiu;

aportul lateral în cursul de apă relativ uniform distribuit pe lungimea cursului (pentru bazine cu suprafaţa10F1000 km2);

aportul lateral uniform distribuit şi concentrat (F10 km2); pâraiele se unesc pentru a forma râuri; aportul concentrat mult mai important decât cel uniform distribuit (F1000 km2); aportul lateral în râu neglijabil în comparaţie cu scurgerea care se propagă pe sectorul de râu respectiv.

Din punct de vedere matematic cazurile a) şi b) se tratează utilizând modele hidrodinamice, bazate pe integrareaecuaţiilor care descriu mişcarea apei în regim nepermanent iar în cazul c) se utilizează modele de tip

izocron şi/sau modele de tip hidrograf unitar.

8.2 Funcţiile răspuns ale sistemelor liniare

Modelul general al unui sistem hidrologic: )()( t it Q (8.1)

i (t ) reprezintă intrarea în sistem (impulsul)–precipitaţia;

Q(t ) reprezintă ieşirea (răspunsul)–scurgerea hidrologică;

–operatorul (funcţia de transfer ).



Teoria hidrografului unitar se bazează pe aproximarea scurgerii hidrologice cu un fenomen liniar. Soluţia ecuaţiei(8.1) pentru funcţia de transfer respectă două principii de bază ale sistemelor liniare:

1. principiul proporţionalităţii: dacă f(Q) este o soluţie a ecuaţiei (8.1) atunci produsul este de asemeneao soluţie, unde c =const.;

2. principiul aditivităţii sau superpoziţiei: dacă există două soluţii f1(Q) şi f2(Q) atunci suma f1(Q)+ f2(Q) este deasemenea o soluţie a ecuaţiei.

8.2.1. Funcţii definite pe un domeniu continuu În acest caz variabilele t , i(t) şi Q(t) au o variaţie continuă. Funcţia de intrare i(t) poate fi de tip: impuls unitar,

treaptă unitară sau puls unitar.

)(Q f c

8.2.1.1. Funcţia răspuns la un impuls unitar

Figura 8.1 Răspunsul unui sistem liniar la un impuls unitar.

i(t)=1 pentru t = şi i(t)=0 pentru t .

Dacă un sistem primeşte un impuls unitar aplicatinstantaneu la momentul , răspunsul ulterior al sistemuluila momentul t este reprezentat de funcţia u(t- );

t - reprezintă defazajul în timp de la aplicarea impulsului(figura 8.1).



Figura 8.2 Funcţia răspuns la o intrare continuă.

O funcţie continuă i(t) poate fi considerată ca o sumă deimpulsuri de durată infinitezimală; de exemplu, dacă i ()

reprezintă intensitatea ploii [mm/h] şi d este intervalul detimp infinitezimal [h] atunci produsul i ()d reprezintăprecipitaţia [mm] intrată în sistem în acest interval de timp.Conform principiului proporţionalităţii scurgerea directă carerezultă după timpul t - este :

Răspunsul la întreaga intrare i () (figura 8.2) se obţine prinintegrarea tuturor răspunsurilor constituente:

( 8.2)

Expresia de mai sus poartă numele de integrala de

convoluţie şi reprezintă ecuaţia fundamentală pentrusoluţia unui sistem liniar cu t – variabilă continuă. În general, în aplicaţiile hidrologice, funcţia de intrare estereprezentată pe intervale discrete de timp (hietograma ploiinete), ceea ce conduce la necesitatea introducerii funcţiilor

răspuns la treapta şi pulsul unitar.

t

d t uit Q

0

)()()(

)()( t ud i ( 8.1)



8.2.1.2. Funcţia răspuns la intrare tip treaptă unitară

1)( i 0pentru (8.3)

Figura 8.3 Funcţia răspuns la o intrare de tip treaptă unitară.

Intrarea de tip treaptă unitară, compusă dintr -o succesiunecontinuă de impulsuri unitare se defineşte prin relaţia :

În figura 8.3 sunt reprezentate funcţiile de intrare şi răspunsla semnalul treaptă unitar. Răspunsul sistemului, funcţia g (t ),se obţine din ecuaţia (8.2) considerând . Rezultă:

t

d t ut g

0

)()( (8.4)

Cu substituţia ecuaţia ( 8.4) devine: t l

t

dl l ut g 0 )()(

(8.5)



8.2.1.3. Funcţia răspuns la intrare tip puls unitar

Intrarea de tip puls unitar reprezintă o intrare (precipitaţie)egală cu 1 mm sau 1 cm care se produce într -un timp t ;se defineşte prin relaţia :

t i

1

)( t 0 (8.6)

Pulsul unitar se obţine grafic din diferenţa a două intrăritreaptă, neunitare (figura 8.4), a doua fiind decalată faţă deprima cu t .

Figura 8.4 Funcţia răspuns la o intrare de tip puls unitar.

)(1

t g t

)(1

t t g t

t

t t

dl l ut

t t g t g t

t f )(1

)]()([1

)(

Răspunsul la prima treaptă care începe lamomentul =0, conform principiuluiproporţionalităţii este

iar la cea de-a doua treaptă

Răspunsul sistemului la pulsul unitar de duratăt , funcţia f(t), se obţine prin diferenţarăspunsurilor la cele două intrări treaptădecalate cu t :

( 8.7)



8.2.2. Funcţii definite pe intervale discrete de timp

Domeniul de variaţie pentru variabila independentă timp este împărţit în intervale discrete de durată t . Există douămodalităţi de a reprezenta o funcţie continuă pe intervale discrete şi anume:

prin dreptunghiuri sau pulsuri (precipitaţia netă-intrarea);

prin puncte (debitul – ieşirea).

Figura 8.5 Funcţiile răspuns la intrări de tip puls. Figura 8.2 Funcţia răspuns la o intrare continuă.

t m

t m

m d ih1

)( m=1, 2,...M (8.8)

M reprezintă numărul total de pulsuri deprecipitaţie

Valoarea ieşirii (debitului) la momentul t nt

)( t nQQn n=1, 2,...N (8.9)

N reprezintă numărul total de valori

ale debitului

t nmt mt nt

t nt

t 1)m

)1()1(



])1[(])1([ t mn f t mt f

t mn

t mn

t mn

t t mn

dl l ut

dl l ut

t mn f

)1(

)(

)1(

)1(

)(1

)(1

])1[(

Pulsul unitar care începe la momentul (m-1)t produce un răspuns care, la momentul t=nt are valoarea

Conform relaţiei (8.7) rezultă:

( 8.10)

t

hi m

)( t mt m )1( 0)( i t M Pentru pulsul m:

si

,

Contribuţia fiecăruia din cele M pulsuri ale intrării asupra ieşirii Q(t ) la momentul t=nt se obţine împărţind integralade convoluţie (8.2) în M părţi:

t M

t M

M

t m

t m

m

t

t

t

n

d t t

hd t

t

hd t

t

hd t

t

h

d t it QQ

)1()1(

2

2

0

1

tn

0

)u(n...)u(n....)u(n)u(n

)u(n)()n(

( 8.11)



t nl

)1(

)()1(

)()u(n

mn

t mn

m

t m

t m

m dl l ut

hd t

t

h

Dacă în fiecare din integralele de mai sus se face substituţia

Integrala „m” din relaţia (8.11) devine:

( 8.13)

( 8.12)

1

)1(

)(

])1[()(

mnmm

mn

t mn

m U ht mn f hdl l ut

h

])1[(1 t mn f U mn t mt m )1(

])1[(...])1[(...])2[(])1[(][ 321 t M n f ht mn f ht n f ht n f ht n f hQ M mn

1123121 ...... M N M mnmnnnn U hU hU hU hU hQ

Ţinând cont de relaţia (8.7) ecuaţia de mai sus se poate scrie sub forma

reprezintă valoarea răspunsului la pulsul unitar corespunzător intervalului

. Aplicând formula (8.14) fiecărui termen din relaţia (8.11) rezultă:

( 8.14)

( 8.15)

( 8.16)

M

m

mnmn U hQ1

1 ( 8.17)

M n

mmnmn

U hQ1

1 ( 8.18)

, 1mnU n-m+1=1,…,N -M+1 reprezinta valorile (componentele) hidrografului unitar (HU)

indexul de timp pentru:

precipitaţia netă, m

hidrograful unitar , n-m+ 1

hidrograful scurgerii de suprafaţă, n



8.3 Hidrograful unitar

Hidrograful unitar notat (HU, t ) reprezintă funcţia răspuns la un puls unitar de durată t a unui sistem hidrologicliniar sau cu alte cuvinte, hidrograful scurgerii de suprafaţă care rezultă dintr -o ploaie netă PN de 1 mm generatăuniform pe un bazin hidrografic, având o intensitate constantă pe o anumită durată t.

Hidrograful unitar este un model liniar simplu care poate fi utilizat pentru a determina hidrograful care rezultă dinorice cantitate de ploaie netă. Modelul a fost iniţial dezvoltat pentru bazine mari dar s-a dovedit ulterior aplicabil şi

pentru bazine mai mici, cu suprafaţa până la 25 km2.

Tabelul 8.1 Comparaţie între sistemul liniar şi conceptul HU

Sistem liniar

Conceptul HU

Intrarea în sistem i(t) Precipitaţia netă PN

Ieşirea din sistem Q(t) Debitul scurs Q

Impulsul unitar

Răspunsul la impulsul unitar u(t- )

1 mm PN instantanee

Hidrograful unitar instantaneu ( HUI )

Treaptă unitară Răspunsul la treaptă unitară g(t)

1 mm/h (cm/h) PN continuă Hidrograful în S

Puls unitar de durată t

Răspunsul la pulsul unitar f(t)

1 mm (cm) PN

Hidrograful unitar ( HU, t )

Sistemul liniar Scurgerea directă se calculează pe baza

principiilor sistemelor liniare



8.4 Calculul hidrografului unitar

Ecuaţia de convoluţie (8.18) permite calculul valorilor hidrografului scurgerii Qn (m=1, 2,..., N ) cunoscându-se precipitaţianetă (hm, m=1, 2,..., M ) şi hidrograful unitar (Un-m+1, n-m+1=1, 2,..., N-M +1). Procesul invers, numit deconvoluţie,conduce la calculul HU fiind cunoscute ploaia netă şi hidrograful scurgerii.Ecuaţia (8.18) reprezintă un sistem de N ecuaţii cu N-M +1 necunoscute, nedeterminat deoarece sunt mai multe ecuaţiidecât necunoscute.(N N -M +1):

0 ...0 ...0 ...0 ...0 ... 0

0... ....0 0 .... 0 ....0

...

.... 0

.....

........

1

111

11221

1211

3122133

21122

111

M N M N

M N M M N M N

M M M M

M M M M

U hQ

U hU hQ

U hU hU hQ

U hU hU hQ

U hU hU hQ

U hU hQ

U hQ

M n

m

mnmn U hQ1

1( 8.19)

8.4.1. Metoda substituţiei

Metoda substituţiei înainte/înapoi utilizează doar primele S=

N-M+1 respectiv ultimele S ecuaţii ale sistemului (8.19).Rezultă valorile hidrografului unitar:

...

.. .

)(1

1

122

1

2

1

11

M N U

U hQh

U

h

QU

( 8.20)



8.4.2. Metoda celor mai mici pătrate (matricială)

Dacă se notează cu P matricea dreptunghiulară de dimensiune (N S), formată din cele M pulsuri ale hietogramei ploii

nete,U

–vectorul de dimensiune (S

1), formată din cele S ordonate ale HU şiQ

–vectorul de dimensiune (N

1), formatdin cele N ordonate ale hidrografului scurgerii de suprafaţă, sistemul de ecuaţii (8.19) poate fi pus sub formă matricialăastfel:

N

N

M

M

M N

M

M M

M M

M M M

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

U

U

U

U

h

hh

hhhh

hhhh

hhh

hh

h

1

1

3

2

1

1

3

2

1

11

121

121

123

12

1

000000

00000

000

000

0000

00000

000000

( 8.21)

QUP ( 8.22)



Dacă se cunosc precipitaţia netă şi hidrograful scurgerii de suprafaţă (P şi Q ), în general nuexistă soluţie pentru vectorul U care să satisfacă toate cele N ecuaţii (8.21). Se consideră căpentru o soluţie U rezultă o matrice estimată astfel încât , toate cele N ecuaţii fiind satisfăcute.

Soluţia optimă U opt care minimizează eroarea se determină prin metoda celor mai mici pătrate.Pentru a rezolva ecuaţia (8.22) matricea dreptunghiulară P (N S) se transformă într -o matricepătrată Z (S S) prin înmulţire cu transpusa sa: . Prin înmulţire la stânga a ambilor membrii aiegalităţii (8.22) cu P T se obţine:

QPUZ T

QPZU T-1opt

Hidrograful unitar

Documents

Transcript of Hidrograful unitar