Hermit Operator
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7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 1/24
G e n e r a l i z e d H e r m i t e P o l y n o m i a l s a n d t h e H e a t E q u a t i o n f o r D u n k l
O p e r a t o r s
M a r g i t R o s l e r
M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t M u n c h e n
A r c i s s t r . 2 1 , D - 8 0 3 3 3 M u n c h e n , G e r m a n y
e - m a i l : r o e s l e r @ m a t h e m a t i k . t u - m u e n c h e n . d e
A b s t r a c t
B a s e d o n t h e t h e o r y o f D u n k l o p e r a t o r s , t h i s p a p e r p r e s e n t s a g e n e r a l c o n c e p t o f m u l t i v a r i a b l e
H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h n i t e r e e c t i o n g r o u p s
o n R
N
. T h e d e n i t i o n a n d p r o p e r t i e s o f t h e s e g e n e r a l i z e d H e r m i t e s y s t e m s e x t e n d n a t u r a l l y
t h o s e o f t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t s ; p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d t h e u s u a l e x p o n e n t i a l k e r n e l a r e h e r e
r e p l a c e d b y D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K o f t h e D u n k l t r a n s f o r m . I n
c a s e o f t h e s y m m e t r i c g r o u p S
N
, o u r s e t t i n g i n c l u d e s t h e p o l y n o m i a l e i g e n f u n c t i o n s o f c e r t a i n
C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e o p e r a t o r s . T h e s e c o n d p a r t o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e h e a t
e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h D u n k l ' s L a p l a c i a n . A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , t h e c o r r e s p o n d i n g C a u c h y
p r o b l e m i s g o v e r n e d b y a p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r s e m i g r o u p ; t h i s i s a s s u r e d b y a m a x i m u m
p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n . T h e e x p l i c i t s o l u t i o n t o t h e C a u c h y p r o b l e m i n v o l v e s
a g a i n t h e k e r n e l K ; w h i c h i s , o n t h e w a y , p r o v e n t o b e n o n n e g a t i v e f o r r e a l a r g u m e n t s .
1 9 9 1 A M S S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : P r i m a r y : 3 3 C 8 0 , 3 5 K 0 5 ; S e c o n d a r y : 4 4 A 1 5 , 3 3 C 5 0 .
R u n n i n g t i t l e : H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d t h e h e a t e q u a t i o n f o r D u n k l o p e r a t o r s .
1 I n t r o d u c t i o n
D u n k l o p e r a t o r s a r e d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s a s s o c i a t e d w i t h a n i t e r e e c t i o n g r o u p , a c t i n g
o n s o m e E u c l i d e a n s p a c e . T h e y p r o v i d e a u s e f u l f r a m e w o r k f o r t h e s t u d y o f m u l t i v a r i a b l e a n a l y t i c
s t r u c t u r e s w h i c h r e v e a l c e r t a i n r e e c t i o n s y m m e t r i e s . D u r i n g t h e l a s t y e a r s , t h e s e o p e r a t o r s h a v e
g a i n e d c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n v a r i o u s e l d s o f m a t h e m a t i c s a n d a l s o i n p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s ; t h e y
a r e , f o r e x a m p l e , n a t u r a l l y c o n n e c t e d w i t h c e r t a i n S c h r o d i n g e r o p e r a t o r s f o r C a l o g e r o - S u t h e r l a n d -
t y p e q u a n t u m m a n y b o d y s y s t e m s , s e e L - V ] a n d B - F 2 ] , B - F 3 ] .
F o r a n i t e r e e c t i o n g r o u p G O ( N ; R ) o n R
N
t h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a r e d e n e d a s
f o l l o w s : F o r 2 R
N
n f 0 g , d e n o t e b y
t h e r e e c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o , i . e . i n t h e h y p e r p l a n e
T h i s p a p e r w a s w r i t t e n w h i l e t h e a u t h o r h e l d a F o r s c h u n g s s t i p e n d i u m o f t h e D F G a t t h e U n i v e r s i t y o f V i r g i n i a ,
C h a r l o t t e s v i l l e , V A , U . S . A .
1
7/16/2019 Hermit Operator
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o r t h o g o n a l t o . I t i s g i v e n b y
( x ) = x
? 2
h ; x i
j j
2
;
w h e r e h : ; : i i s t h e E u c l i d e a n s c a l a r p r o d u c t o n R
N
a n d j x j : =
p
h x ; x i . ( W e u s e t h e s a m e n o t a t i o n s
f o r t h e s t a n d a r d H e r m i t i a n i n n e r p r o d u c t a n d n o r m o n C
N
. ) L e t R b e t h e r o o t s y s t e m a s s o c i a t e d
w i t h t h e r e e c t i o n s o f G , n o r m a l i z e d s u c h t h a t h ; i = 2 f o r a l l 2 R . N o w c h o o s e a m u l t i p l i c i t y
f u n c t i o n k o n t h e r o o t s y s t e m R , t h a t i s , a G - i n v a r i a n t f u n c t i o n k : R ! C , a n d x s o m e p o s i t i v e
s u b s y s t e m R
+
o f R . T h e D u n k l o p e r a t o r s T
i
( i = 1 ; : : : ; N ) o n R
N
a s s o c i a t e d w i t h G a n d k a r e
t h e n g i v e n b y
T
i
f ( x ) : = @
i
f ( x ) +
X
2 R
+
k ( )
i
f ( x ) ? f (
x )
h ; x i
; f 2 C
1
( R
N
) ;
h e r e @
i
d e n o t e s t h e i - t h p a r t i a l d e r i v a t i v e . I n c a s e k = 0 , t h e T
i
r e d u c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g
p a r t i a l d e r i v a t i v e s . I n t h i s p a p e r , w e s h a l l a s s u m e t h r o u g h o u t t h a t k 0 ( i . e . a l l v a l u e s o f k a r e
n o n - n e g a t i v e ) , t h o u g h s e v e r a l r e s u l t s o f S e c t i o n 3 m a y b e e x t e n d e d t o l a r g e r r a n g e s o f k . T h e m o s t
i m p o r t a n t b a s i c p r o p e r t i e s o f t h e T
i
, p r o v e d i n D 2 ] , a r e a s f o l l o w s : L e t P = C R
N
] d e n o t e t h e
a l g e b r a o f p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o n R
N
a n d P
n
( n 2 Z
+
= f 0 ; 1 ; 2 : : : g ) t h e s u b s p a c e o f h o m o g e n e o u s
p o l y n o m i a l s o f d e g r e e n . T h e n
( 1 . 1 ) T h e s e t f T
i
g g e n e r a t e s a c o m m u t a t i v e a l g e b r a o f d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s o n P .
( 1 . 2 ) E a c h T
i
i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e ? 1 o n P ; t h a t i s , T
i
p 2 P
n ? 1
f o r p 2 P
n
:
O f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e i n t h i s p a p e r i s t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a s s o c i a t e d w i t h G a n d k , w h i c h
i s d e n e d a s
k
: =
P
N
i = 1
T
2
i
. I t i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e ? 2 o n P a n d g i v e n e x p l i c i t l y b y
k
f ( x ) = f ( x ) + 2
X
2 R
+
k ( )
h
h r f ( x ) ; i
h ; x i
?
f ( x ) ? f (
x )
h ; x i
2
i
:
( H e r e a n d
r d e n o t e t h e u s u a l L a p l a c i a n a n d g r a d i e n t r e s p e c t i v e l y ) .
T h e o p e r a t o r s T
i
w e r e i n t r o d u c e d a n d r s t s t u d i e d b y D u n k l i n a s e r i e s o f p a p e r s ( D 1 - 4 ] ) i n
c o n n e c t i o n w i t h a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s : H e r e t h e u n i f o r m
s p h e r i c a l s u r f a c e m e a s u r e o n t h e ( N
? 1 ) - d i m e n s i o n a l u n i t s p h e r e i s m o d i e d b y a w e i g h t f u n c t i o n
w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t h e a c t i o n o f s o m e n i t e r e e c t i o n g r o u p G , n a m e l y
w
k
( x ) =
Y
2 R
+
j h ; x i j
2 k ( )
;
w h e r e k 0 i s s o m e x e d m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n o n t h e r o o t s y s t e m R o f G . N o t e t h a t w
k
i s
h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 2 , w i t h
: =
X
2 R
+
k ( ) :
I n t h i s c o n t e x t , i n D 3 ] t h e f o l l o w i n g b i l i n e a r f o r m o n
P i s i n t r o d u c e d :
p ; q ]
k
: = ( p ( T ) q ) ( 0 ) f o r p ; q 2 P :
2
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H e r e p ( T ) i s t h e o p e r a t o r d e r i v e d f r o m p ( x ) b y r e p l a c i n g x
i
b y T
i
. P r o p e r t y ( 1 . 1 ) a s s u r e s t h a t
: ; : ]
k
i s w e l l - d e n e d . A u s e f u l c o l l e c t i o n o f i t s p r o p e r t i e s c a n b e f o u n d i n D - J - O ] . W e r e c a l l t h a t
: ; : ]
k
i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e - d e n i t e ( i n c a s e k 0 ) , a n d t h a t p ; q ]
k
= 0 f o r p 2 P
n
; q 2 P
m
w i t h n 6= m . M o r e o v e r , f o r a l l i = 1 ; : : : ; N ; p ; q 2 P a n d g 2 G ;
( 1 . 3 ) x
i
p ; q ]
k
= p ; T
i
q ]
k
a n d g ( p ) ; g ( q ) ]
k
= p ; q ]
k
;
w h e r e g ( p ) ( x ) = p ( g
? 1
( x ) ) : T h e p a i r i n g : ; : ]
k
i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s c a l a r p r o d u c t o n
L
2
( R
N
; w
k
( x ) e
? j x j
2
= 2
d x ) : I n f a c t , a c c o r d i n g t o D 3 ] ,
( 1 . 4 ) p ; q ]
k
= n
k
Z
R
N
e
?
k
= 2
p ( x ) e
?
k
= 2
q ( x ) w
k
( x ) e
? j x j
2
= 2
d x f o r a l l p ; q
2 P ,
w i t h s o m e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t n
k
> 0 . G i v e n a n o r t h o n o r m a l b a s i s f '
; 2 Z
N
+
g o f P w i t h
r e s p e c t t o : ; : ]
k
, a n e a s y r e s c a l i n g o f ( 1 . 4 ) s h o w s t h a t t h e p o l y n o m i a l s
H
( x ) : = 2
j j
e
?
k
= 4
'
( x )
a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o w
k
( x ) e
? j x j
2
d x o n R
N
. W e c a l l t h e m t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y -
n o m i a l s o n R
N
a s s o c i a t e d w i t h G ; k a n d f '
g .
T h e r s t p a r t o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e s t u d y o f s u c h H e r m i t e p o l y n o m i a l s y s t e m s a n d
a s s o c i a t e d H e r m i t e f u n c t i o n s . T h e y g e n e r a l i z e t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t s i n a n a t u r a l w a y : t h e s e
a r e j u s t o b t a i n e d f o r k = 0 a n d '
( x ) = ( ! )
? 1 = 2
x
: I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , a s s o c i a t e d
w i t h t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z
2
o n R , o u r g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s c o i n c i d e w i t h t h o s e
i n t r o d u c e d i n C h i ] a n d s t u d i e d i n R o s ] . O u r s e t t i n g a l s o i n c l u d e s , f o r t h e s y m m e t r i c g r o u p G = S
N
,
t h e s o - c a l l e d n o n - s y m m e t r i c g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s w h i c h w e r e r e c e n t l y i n t r o d u c e d b y
B a k e r a n d F o r r e s t e r i n B - F 2 ] , B - F 3 ] . T h e s e a r e n o n - s y m m e t r i c a n a l o g u e s o f t h e s y m m e t r i c , i . e .
p e r m u t a t i o n - i n v a r i a n t g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a s s o c i a t e d w i t h t h e g r o u p S
N
, w h i c h w e r e
r s t i n t r o d u c e d b y L a s s a l l e i n L 2 ] . M o r e o v e r , t h e \ g e n e r a l i z e d L a g u e r r e p o l y n o m i a l s " o f B - F 2 ] ,
B - F 3 ] , w h i c h a r e n o n - s y m m e t r i c a n a l o g u e s o f t h o s e i n L 1 ] , c a n b e c o n s i d e r e d a s a s u b s y s t e m o f
H e r m i t e p o l y n o m i a l s a s s o c i a t e d w i t h a r e e c t i o n g r o u p o f t y p e B
N
. W e r e f e r t o B - F 1 ] a n d v D ]
f o r a t h o r o u g h s t u d y o f t h e s y m m e t r i c m u l t i v a r i a b l e H e r m i t e - a n d L a g u e r r e s y s t e m s .
A f t e r a s h o r t c o l l e c t i o n o f n o t a t i o n s a n d b a s i c f a c t s f r o m D u n k l ' s t h e o r y i n S e c t i o n 2 , t h e
c o n c e p t o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s i s i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 3 , a l o n g w i t h a d i s c u s s i o n
o f t h e a b o v e m e n t i o n e d s p e c i a l c l a s s e s . W e d e r i v e g e n e r a l i z a t i o n s f o r m a n y o f t h e w e l l - k n o w n
p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s : A R o d r i g u e s f o r m u l a , a
g e n e r a t i n g r e l a t i o n a n d a M e h l e r f o r m u l a f o r t h e H e r m i t e p o l y n o m i a l s , a n a l o g u e s o f t h e s e c o n d o r d e r
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s a s e i g e n f u n c t i o n s
o f t h e D u n k l t r a n s f o r m . P a r t s o f t h i s s e c t i o n m a y b e s e e n a s a u n i f y i n g t r e a t m e n t o f r e s u l t s f r o m
B - F 2 ] , B - F 3 ] a n d R o s ] f o r t h e i r p a r t i c u l a r c a s e s .
I n S e c t i o n 4 , w h i c h m a k e s u p t h e s e c o n d m a j o r p a r t o f t h i s p a p e r , w e t u r n t o t h e C a u c h y p r o b l e m
f o r t h e h e a t o p e r a t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n : G i v e n a n i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f 2
C
b
( R
N
) , t h e r e h a s t o b e f o u n d a f u n c t i o n u
2 C
2
( R
N
( 0 ; T ) )
\ C ( R
N
0 ; T ] ) s a t i s f y i n g
3
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( 1 . 5 ) H
k
u : =
k
u
? @
t
u = 0 o n R
N
( 0 ;
1 ) ; u ( : ; 0 ) = f :
F o r s m o o t h a n d r a p i d l y d e c r e a s i n g i n i t i a l d a t a f a n e x p l i c i t s o l u t i o n i s e a s y t o o b t a i n ; i t i n v o l v e s
t h e g e n e r a l i z e d h e a t k e r n e l
?
k
( x ; y ; t ) =
M
k
t
+ N = 2
e
? ( j x j
2
+ j y j
2
) = 4 t
K
x
p
2 t
;
y
p
2 t
; x ; y 2 R
N
; t > 0 :
H e r e M
k
i s a p o s i t i v e c o n s t a n t a n d K d e n o t e s t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l a s s o c i a t e d w i t h
G a n d k a s i n t r o d u c e d i n D 3 ] . I n t h e t h e o r y o f D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e D u n k l t r a n s f o r m , i t t a k e s
o v e r t h e r ^ o l e o f t h e u s u a l e x p o n e n t i a l k e r n e l e
h x ; y i
: S o m e o f i t s p r o p e r t i e s a r e c o l l e c t e d i n S e c t i o n 2 .
W i t h o u t k n o w l e d g e w h e t h e r K i s n o n n e g a t i v e , a s o l u t i o n o f ( 1 . 5 ) f o r a r b i t r a r y i n i t i a l d a t a s e e m s t o
b e d i c u l t . H o w e v e r , o n e c a n p r o v e a m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n
k
, w h i c h
i s t h e k e y i n g r e d i e n t t o a s s u r e t h a t
k
l e a d s t o a p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p
o n t h e B a n a c h s p a c e ( C
0
( R
N
) ; k : k
1
) . P o s i t i v i t y o f t h i s s e m i g r o u p e n f o r c e s p o s i t i v i t y o f K a n d
a l l o w s t o d e t e r m i n e t h e e x p l i c i t s o l u t i o n o f ( 1 . 5 ) i n t h e g e n e r a l c a s e . W e n i s h t h i s s e c t i o n w i t h a n
e x t e n s i o n o f a w e l l - k n o w n m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e c l a s s i c a l h e a t o p e r a t o r t o o u r s i t u a t i o n . T h i s
i n p a r t i c u l a r i m p l i e s a u n i q u e n e s s r e s u l t f o r s o l u t i o n s o f t h e a b o v e C a u c h y p r o b l e m .
A c k n o w l e d g e m e n t . I t i s a p l e a s u r e t o t h a n k C h a r l e s F . D u n k l a n d M i c h a e l V o i t f o r s o m e v a l u a b l e
c o m m e n t s a n d d i s c u s s i o n s .
2 P r e l i m i n a r i e s
T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o e s t a b l i s h o u r b a s i c n o t a t i o n s a n d c o l l e c t s o m e f u r t h e r f a c t s o n
D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e D u n k l t r a n s f o r m w h i c h w i l l b e o f i m p o r t a n c e l a t e r o n . G e n e r a l r e f e r e n c e s
h e r e a r e D 3 ] , D 4 ] a n d d J ] .
F i r s t o f a l l w e n o t e t h e f o l l o w i n g p r o d u c t r u l e , w h i c h i s c o n r m e d b y a s h o r t c a l c u l a t i o n :
F o r e a c h f 2 C
1
( R
N
) a n d e a c h g 2 C
1
( R
N
) w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t h e n a t u r a l a c t i o n o f G ,
T
i
( f g ) = ( T
i
f ) g + f ( T
i
g ) f o r i = 1 ; : : : ; N :( 2 . 1 )
W e u s e t h e c o m m o n m u l t i - i n d e x n o t a t i o n ; i n p a r t i c u l a r , f o r = (
1
; : : : ;
N
) 2 Z
N
+
a n d x =
( x
1
; : : : ; x
N
)
2 R
N
w e s e t x
: = x
1
1
: : :
x
N
N
, ! : =
1
!
: : :
N
! a n d
j
j : =
1
+ : : : +
N
: I f
f : R
N
! C i s a n a l y t i c w i t h f ( x ) =
P
a
x
; t h e o p e r a t o r f ( T ) i s d e n e d b y
f ( T ) : =
X
a
T
=
X
a
T
1
1
: : : T
N
N
:
W e r e s t r i c t i t s a c t i o n t o C
k
( R
N
) i f f i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e k a n d t o P o t h e r w i s e . T h e f o l l o w i n g
f o r m u l a w i l l b e u s e d f r e q u e n t l y :
2 . 1 . L e m m a . L e t p 2 P
n
. T h e n f o r c 2 C a n d a 2 C n f 0 g ;
?
e
c
k
p
( a x ) = a
n
?
e
a
? 2
c
k
p ( x ) f o r a l l x 2 R
N
:
I n p a r t i c u l a r , f o r p 2 P
n
w e h a v e
?
e
?
k
= 2
p
(
p
2 x ) =
p
2
n
?
e
?
k
= 4
p
( x ) :( 2 . 2 )
4
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 5/24
P r o o f . F o r m
2 Z
+
w i t h 2 m
n ; t h e p o l y n o m i a l
m
k
p i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n
? 2 m : H e n c e
?
e
c
k
p
( a x ) =
b n = 2 c
X
m = 0
c
m
m !
(
m
k
p ) ( a x ) =
b n = 2 c
X
m = 0
c
m
m !
a
n ? 2 m
(
m
k
p ) ( x ) = a
n
?
e
a
? 2
c
k
p
( x ) :
A m a j o r t o o l i n t h i s p a p e r i s t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K ( x ; y ) o n R
N
R
N
, w h i c h
g e n e r a l i z e s t h e u s u a l e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e
h x ; y i
. I t w a s r s t i n t r o d u c e d i n D 3 ] b y m e a n s o f a
c e r t a i n i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r . B y a r e s u l t o f O 1 ] ( s e e a l s o d J ] ) , t h e f u n c t i o n x 7! K ( x ; y ) m a y
b e c h a r a c t e r i z e d a s t h e u n i q u e a n a l y t i c s o l u t i o n o f t h e s y s t e m T
i
f = y
i
f ( i = 1 ; : : : ; N ) o n R
N
w i t h f ( 0 ) = 1 : M o r e o v e r , K i s s y m m e t r i c i n i t s a r g u m e n t s a n d h a s a h o l o m o r p h i c e x t e n s i o n t o
C
N
C
N
. I t s p o w e r s e r i e s c a n b e w r i t t e n a s K =
P
1
n = 0
K
n
, w h e r e K
n
( x ; y ) = K
n
( y ; x ) a n d K
n
i s
a h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l o f d e g r e e n i n e a c h o f i t s v a r i a b l e s . N o t e t h a t K
0
= 1 a n d K ( z ; 0 ) = 1
f o r a l l z
2 C
N
.
F o r t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z
2
o n R ; t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n k i s c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e
p a r a m e t e r 0 , a n d t h e k e r n e l K i s g i v e n e x p l i c i t l y b y
K ( z ; w ) = j
? 1 = 2
( i z w ) +
z w
2 + 1
j
+ 1 = 2
( i z w ) ; z ; w 2 C ;
w h e r e f o r ? 1 = 2 , j
d e n o t e s t h e n o r m a l i z e d s p h e r i c a l B e s s e l f u n c t i o n
j
( z ) = 2
? ( + 1 )
J
( z )
z
= ? ( + 1 )
1
X
n = 0
( ? 1 )
n
( z = 2 )
2 n
n ! ? ( n + + 1 )
:
F o r d e t a i l s a n d r e l a t e d m a t e r i a l w e r e f e r t o D 4 ] , R ] , R - V ] a n d R o s ] .
W e l i s t s o m e f u r t h e r g e n e r a l p r o p e r t i e s o f K a n d t h e K
n
( a l l u n d e r t h e a s s u m p t i o n k 0 )
f r o m D 3 ] , D 4 ] a n d d J ] :
F o r a l l z ; w 2 C
N
a n d 2 C ,
( 2 . 3 ) K ( z ; w ) = K ( z ; w ) ;
( 2 . 4 ) j K
n
( z ; w ) j
1
n !
j z j
n
j w j
n
a n d j K ( z ; w ) j e
j z j j w j
:
F o r a l l x ; y 2 R
N
a n d j = 1 ; : : : ; N ;
( 2 . 5 ) j K ( i x ; y ) j
p
j G j ;
( 2 . 6 ) T
x
j
K
n
( x ; y ) = y
j
K
n ? 1
( x ; y ) a n d T
x
j
K ( x ; y ) = y
j
K ( x ; y ) ;
h e r e t h e s u p e r s c r i p t x d e n o t e s t h a t t h e o p e r a t o r s a c t w i t h r e s p e c t t o t h e x - v a r i a b l e .
I n d J ] , e x p o n e n t i a l b o u n d s f o r t h e u s u a l p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K a r e g i v e n . T h e y i m p l y i n p a r t i c u l a r
t h a t f o r e a c h
2 Z
N
+
t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t d
> 0 ; s u c h t h a t
( 2 . 7 ) j @
x
K ( x ; z ) j d
j z j
j j
e
j x j j R e z j
f o r a l l x 2 R
N
; z 2 C
N
.
5
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 6/24
L e t u s n a l l y r e c a l l a u s e f u l r e p r o d u c i n g k e r n e l p r o p e r t y o f K f r o m D 4 ] ( i t i s r e s c a l e d w i t h r e s p e c t
t o t h e o r i g i n a l o n e , t h u s t t i n g b e t t e r i n o u r c o n t e x t o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s ) : D e n e
t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e
k
o n R
N
b y
d
k
( x ) : = c
k
e
? j x j
2
w
k
( x ) d x ; w i t h c
k
=
Z
R
N
e
? j x j
2
w
k
( x ) d x
? 1
:
M o r e o v e r , f o r z 2 C
N
s e t l ( z ) : =
P
N
i = 1
z
2
i
: T h e n f o r a l l z ; w 2 C
N
;
( 2 . 8 )
Z
R
N
K ( 2 z ; x ) K ( 2 w ; x ) d
k
( x ) = e
l ( z ) + l ( w )
K ( 2 z ; w ) :
T h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n K g i v e s r i s e t o a n i n t e g r a l t r a n s f o r m , c a l l e d t h e D u n k l
t r a n s f o r m o n R
N
; w h i c h w a s i n t r o d u c e d i n D 4 ] a n d h a s b e e n t h o r o u g h l y s t u d i e d i n d J ] f o r a l a r g e
r a n g e o f p a r a m e t e r s k . T h e D u n k l t r a n s f o r m a s s o c i a t e d w i t h G a n d k 0 i s d e n e d b y
D
k
: L
1
( R
N
; w
k
( x ) d x ) ! C ( R
N
) ; D
k
f ( ) : =
Z
R
N
f ( x ) K ( ? i ; x ) w
k
( x ) d x ( 2 R
N
) :
I n d J ] , m a n y o f t h e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f F o u r i e r t r a n s f o r m s o n l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n g r o u p s
a r e p r o v e d t o h o l d t r u e f o r D
k
: I n p a r t i c u l a r , D
k
f 2 C
0
( R
N
) f o r f 2 L
1
( R
N
; w
k
( x ) d x ) ; a n d t h e r e
h o l d s a n L
1
- i n v e r s i o n t h e o r e m , w h i c h w e r e c a l l f o r l a t e r r e f e r e n c e : I f f
2 L
1
( R
N
; w
k
( x ) d x ) w i t h
D
k
f 2 L
1
( R
N
; w
k
( x ) d x ) ; t h e n f = 4
? ? N = 2
c
2
k
E
k
D
k
f a : e : ; w h e r e E
k
f ( x ) = D
k
f ( ? x ) : ( N o t e t h a t
D
k
( e
? j x j
2
= 2
) ( 0 ) = 2
+ N = 2
c
? 1
k
, w h i c h g i v e s t h e c o n n e c t i o n o f o u r c o n s t a n t c
k
w i t h t h a t o f d e J e u . )
M o r e o v e r , t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R
N
) o f r a p i d l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n s o n R
N
i s i n v a r i a n t u n d e r D
k
,
a n d D
k
c a n b e e x t e n d e d t o a P l a n c h e r e l t r a n s f o r m o n L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) . F o r d e t a i l s s e e d J ] .
3 G e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s
L e t f '
; 2 Z
N
+
g b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f P w i t h r e s p e c t t o t h e s c a l a r p r o d u c t : ; : ]
k
s u c h t h a t
'
2 P
j j
a n d t h e c o e c i e n t s o f t h e '
a r e r e a l . A s P =
L
n 0
P
n
a n d P
n
P
m
f o r n 6= m , t h e '
w i t h j j = n c a n f o r e x a m p l e b e c o n s t r u c t e d b y G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i z a t i o n w i t h i n P
n
f r o m
a n a r b i t r a r y o r d e r e d r e a l - c o e c i e n t b a s i s o f P
n
. I f k = 0 , t h e D u n k l o p e r a t o r T
i
r e d u c e s t o t h e
u s u a l p a r t i a l d e r i v a t i v e @
i
, a n d t h e c a n o n i c a l c h o i c e o f t h e b a s i s f '
g i s j u s t '
( x ) : = ( ! )
? 1 = 2
x
:
A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o n n e c t i o n o f t h e b a s i s f '
g w i t h t h e g e n e r a l i z e d
e x p o n e n t i a l f u n c t i o n K a n d i t s h o m o g e n e o u s p a r t s K
n
:
3 . 1 . L e m m a . ( i ) K
n
( z ; w ) =
X
j j = n
'
( z ) '
( w ) f o r a l l z ; w 2 C
N
:
( i i ) K ( x ; y ) =
X
2 Z
N
+
'
( x ) '
( y ) f o r a l l x ; y 2 R
N
,
w h e r e t h e c o n v e r g e n c e i s a b s o l u t e a n d l o c a l l y u n i f o r m o n R
N
R
N
:
P r o o f . ( i ) I t s u c e s t o c o n s i d e r t h e c a s e z ; w 2 R
N
: S o x s o m e w 2 R
N
. A s a f u n c t i o n o f z , t h e
p o l y n o m i a l K
n
( z ; w ) i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n . H e n c e w e h a v e
K
n
( z ; w ) =
X
j j = n
c
; w
'
( z ) w i t h c
; w
= K
n
( : ; w ) ; '
]
k
:
6
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 7/24
R e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f f o r m u l a ( 2 . 6 ) f o r K
n
g i v e s
c
; w
= '
( T
z
) K
n
( z ; w ) = '
( w ) K
0
( z ; w ) = '
( w ) :
T h u s p a r t ( i ) i s p r o v e d . F o r ( i i ) , r s t n o t e t h a t b y ( 2 . 4 ) w e h a v e j K
n
( x ; x ) j
1
n !
j x j
2 n
a n d h e n c e , a s
t h e '
( x ) a r e r e a l , j '
( x ) j
1
p
n !
j x j
n
f o r a l l x 2 R
N
a n d a l l w i t h j j = n : I t f o l l o w s t h a t f o r
e a c h M > 0 t h e s u m
P
Z
N
+
j '
( x ) '
( y ) j i s m a j o r i z e d o n f ( x ; y ) : j x j ; j y j M g b y t h e c o n v e r g e n t
s e r i e s
P
n 0
?
n + N ? 1
n
M
2 n
= n ! : T h i s y i e l d s t h e a s s e r t i o n .
F o r h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s p ; q 2 P
n
, r e l a t i o n ( 1 . 4 ) c a n b e r e s c a l e d ( b y u s e o f f o r m u l a ( 2 . 2 ) ) :
p ; q ]
k
= 2
n
Z
R
N
e
?
k
= 4
p ( x ) e
?
k
= 4
q ( x ) d
k
( x ) :( 3 . 1 )
T h i s s u g g e s t s t o d e n e a g e n e r a l i z e d m u l t i v a r i a b l e H e r m i t e p o l y n o m i a l s y s t e m o n R
N
a s f o l l o w s :
3 . 2 . D e n i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s f H
; 2 Z
N
+
g a s s o c i a t e d w i t h t h e b a s i s
f '
g o n R
N
a r e g i v e n b y
H
( x ) : = 2
j j
e
?
k
= 4
'
( x ) = 2
j j
b j j = 2 c
X
n = 0
( ? 1 )
n
4
n
n !
n
k
'
( x ) :( 3 . 2 )
M o r e o v e r , w e d e n e t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s o n R
N
b y
h
( x ) : = e
? j x j
2
= 2
H
( x ) ; 2 Z
N
+
:( 3 . 3 )
N o t e t h a t H
i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e j j s a t i s f y i n g H
( ? x ) = ( ? 1 )
j j
H
( x ) f o r a l l x 2
R
N
. A s t a n d a r d a r g u m e n t s h o w s t h a t P i s d e n s e i n L
2
( R
N
; d
k
) . T h u s b y v i r t u e o f ( 3 . 1 ) , t h e
f 2
? j j = 2
H
; 2 Z
N
+
g f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L
2
( R
N
; d
k
) : L e t u s g i v e t w o i m m e d i a t e e x a m -
p l e s :
3 . 3 . E x a m p l e s . ( 1 ) I n t h e c l a s s i c a l c a s e k = 0 a n d '
( x ) : = ( ! )
? 1 = 2
x
; w e o b t a i n
H
( x ) =
2
j j
p
!
N
Y
i = 1
e
? @
2
i
= 4
( x
i
i
) =
1
p
!
N
Y
i = 1
b
H
i
( x
i
) ;
w h e r e t h e
b
H
n
; n
2 Z
+
d e n o t e t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s o n R d e n e d b y
e
? x
2
b
H
n
( x ) = ( ? 1 )
n
d
n
d x
n
?
e
? x
2
:
( 2 ) F o r t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z
2
o n R a n d m u l t i p l i c i t y p a r a m e t e r 0 , t h e p o l y n o m i a l b a s i s
f '
n
g o n R w i t h r e s p e c t t o : ; : ]
i s d e t e r m i n e d u n i q u e l y ( u p t o s i g n - c h a n g e s ) b y s u i t a b l e
n o r m a l i z a t i o n o f t h e m o n o m i a l s f x
n
; n 2 Z
+
g . O n e o b t a i n s H
n
( x ) = d
n
H
n
( x ) ; w h e r e d
n
2
R n f 0 g a r e c o n s t a n t s a n d t h e H
n
; n 2 Z
+
a r e t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s o n R
7
7/16/2019 Hermit Operator
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a s i n t r o d u c e d e . g . i n C h i ] a n d s t u d i e d i n R o s ] ( i n s o m e d i e r e n t n o r m a l i z a t i o n ) . T h e y a r e
o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o j x j
2
e
? j x j
2
a n d c a n b e w r i t t e n a s
8
<
:
H
2 n
( x ) = ( ? 1 )
n
2
2 n
n ! L
? 1 = 2
n
( x
2
) ;
H
2 n + 1
( x ) = ( ? 1 )
n
2
2 n + 1
n ! x L
+ 1 = 2
n
( x
2
) ;
h e r e t h e L
n
a r e t h e L a g u e r r e p o l y n o m i a l s o f i n d e x ? 1 = 2 , g i v e n b y
L
n
( x ) =
1
n !
x
?
e
x
d
n
d x
n
x
n +
e
? x
:
B e f o r e d i s c u s s i n g f u r t h e r e x a m p l e s , w e a r e g o i n g t o e s t a b l i s h g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l
s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s . F o r t h e i r p r o o f
w e s h a l l e m p l o y t h e s l ( 2 ) - c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s o f t h e o p e r a t o r s
E : =
1
2
j x j
2
; F : = ?
1
2
k
a n d H : =
N
X
i = 1
x
i
@
i
+ ( + N = 2 )
o n P , w h i c h c a n b e f o u n d e . g . i n H ] ; t h e y a r e
H ; E
= 2 E ;
H ; F
= ? 2 F ;
E ; F
= H :( 3 . 4 )
( A s u s u a l ,
A ; B
= A B ? B A f o r o p e r a t o r s A ; B o n P . ) T h e r s t t w o r e l a t i o n s a r e i m m e d i a t e
c o n s e q u e n c e s o f t h e f a c t t h a t t h e E u l e r o p e r a t o r : =
P
N
i = 1
x
i
@
i
s a t i s e s ( p ) = n p f o r e a c h
h o m o g e n e o u s p 2 P
n
. W e h a v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l r e s u l t :
3 . 4 . T h e o r e m . ( 1 ) F o r n 2 Z
+
s e t V
n
: = f e
?
k
= 4
p : p 2 P
n
g : T h e n P =
L
n 2 Z
+
V
n
, a n d V
n
i s t h e e i g e n s p a c e o f t h e o p e r a t o r
k
? 2 o n P c o r r e s p o n d i n g t o t h e e i g e n v a l u e ? 2 n .
( 2 ) F o r q 2 V
n
, t h e f u n c t i o n f ( x ) : = e
? j x j
2
= 2
q ( x ) s a t i s e s
?
k
? j x j
2
f = ? ( 2 n + 2 + N ) f :
P r o o f . ( 1 ) I t i s c l e a r t h a t P =
L
V
n
. B y i n d u c t i o n f r o m ( 3 . 4 ) w e o b t a i n t h e c o m m u t i n g r e l a t i o n s
2 ;
n
k
= ? 4 n
n
k
f o r a l l n 2 Z
+
; h e n c e
2 ; e
?
k
= 4
=
k
e
?
k
= 4
:
F o r a r b i t r a r y q 2 P a n d p : = e
k
= 4
q i t n o w f o l l o w s t h a t
2 ( q ) = ( 2 e
?
k
= 4
) ( p ) = 2 e
?
k
= 4
( p ) +
k
e
?
k
= 4
p = 2 e
?
k
= 4
( p ) +
k
q :
H e n c e f o r a 2 C t h e r e a r e e q u i v a l e n t :
(
k
? 2 ) ( q ) = ? 2 a q ( ) ( p ) = a p ( ) a = n 2 Z
+
a n d p 2 P
n
:
T h i s y i e l d s t h e a s s e r t i o n .
( 2 ) F r o m ( 3 . 4 ) i t i s e a s i l y v e r i e d b y i n d u c t i o n t h a t
k
; E
n
= 2 n E
n ? 1
H + 2 n ( n ? 1 ) E
n ? 1
f o r a l l n 2 N ;
8
7/16/2019 Hermit Operator
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a n d t h u s
k
; e
? E
=
? 2 e
? E
H + 2 E e
? E
: I t f o l l o w s t h a t
(
k
? j x j
2
) f =
k
?
e
? E
q
? 2 E e
? E
q = e
? E
k
q ? 2 e
? E
( + + N = 2 ) q :
T h e s t a t e d r e l a t i o n i s n o w a c o n s e q u e n c e o f ( 1 ) .
3 . 5 . C o r o l l a r y . ( i ) T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s s a t i s f y t h e f o l l o w i n g d i e r e n t i a l - d i f -
f e r e n c e e q u a t i o n :
k
? 2
N
X
i = 1
x
i
@
i
H
= ? 2 j j H
; 2 Z
N
+
:
( i i ) T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s f h
; 2 Z
N
+
g f o r m a c o m p l e t e s e t o f e i g e n f u n c t i o n s f o r
t h e o p e r a t o r
k
? j x j
2
o n L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) w i t h
?
k
? j x j
2
h
= ? ( 2 j j + 2 + N ) h
:
N o t e a l s o t h a t a s a c o n s e q u e n c e o f t h e a b o v e t h e o r e m , t h e o p e r a t o r
k
? 2 h a s f o r e a c h p 2 P
n
a u n i q u e p o l y n o m i a l e i g e n f u n c t i o n q o f t h e f o r m q = p + r , w h e r e t h e d e g r e e o f r i s l e s s t h a n n ;
i t i s g i v e n b y q = e
?
k
= 4
p :
3 . 6 . E x a m p l e s . ( 3 ) T h e S
N
- c a s e . F o r t h e s y m m e t r i c g r o u p G = S
N
( a c t i n g o n R
N
b y p e r -
m u t i n g t h e c o o r d i n a t e s ) , t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e p a r a m e t e r
w h i c h i s o f t e n d e n o t e d b y 1 = > 0 , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t f u n c t i o n i s g i v e n b y
w
S
( x ) =
Q
i < j
j x
i
? x
j
j
2 =
: T h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a r e
T
S
i
= @
i
+
1
X
j 6= i
1 ? s
i j
x
i
? x
j
( i = 1 ; : : : ; N ) ;
w h e r e s
i j
d e n o t e s t h e o p e r a t o r t r a n s p o s i n g x
i
a n d x
j
. T h e o p e r a t o r
S
? 2 i s a S c h r o d i n g e r
o p e r a t o r o f C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e , i n v o l v i n g e x c h a n g e t e r m s a n d a n e x t e r n a l h a r m o n i c
p o t e n t i a l , s e e B - F 2 ] a n d B - F 3 ] . I t i s g i v e n e x p l i c i t l y b y
S
? 2 = ? 2
N
X
i = 1
x
i
@
i
+
2
X
i < j
1
x
i
? x
j
h
( @
i
? @
j
) ?
1 ? s
i j
x
i
? x
j
i
:( 3 . 5 )
I n B - F 2 ] , B a k e r a n d F o r r e s t e r s t u d y \ n o n - s y m m e t r i c g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s " E
( H )
;
w h i c h t h e y d e n e a s t h e u n i q u e e i g e n f u n c t i o n s o f ( 3 . 5 ) o f t h e f o r m
E
( H )
= E
+
X
j j < j j
c
;
E
;
w h e r e t h e E
; 2 Z
N
+
a r e t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s ( a s s o c i a t e d w i t h S
N
a n d )
a s d e n e d e . g . i n O 2 ] ( s e e a l s o K - S ] ) . T h u s E
( H )
= e
?
S
= 4
E
( j u s t b y L e m m a 3 . 4 ) , a n d
i n d e e d , u p t o s o m e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s , t h e E
( H )
m a k e u p a s y s t e m o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e
9
7/16/2019 Hermit Operator
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p o l y n o m i a l s f o r S
N
i n o u r s e n s e . T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k
p o l y n o m i a l s E
, b e i n g h o m o g e n e o u s o f d e g r e e j j a n d f o r m i n g a v e c t o r s p a c e b a s i s o f P , a r e
a l s o o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o D u n k l ' s s c a l a r p r o d u c t : ; : ]
S
. T h i s w a s p r o v e d i n B - F 3 ] v i a
o r t h o g o n a l i t y o f t h e E
( H )
. A s h o r t d i r e c t p r o o f c a n b e g i v e n a s f o l l o w s : A c c o r d i n g t o O 2 ] ,
P r o p . 2 . 1 0 , t h e E
a r e s i m u l t a n e o u s e i g e n f u n c t i o n s o f t h e C h e r e d n i k o p e r a t o r s
i
f o r S
N
,
w h i c h w e r e i n t r o d u c e d i n C ] a n d c a n b e w r i t t e n a s
i
= x
i
T
S
i
+ 1 ? N +
X
j > i
s
i j
( i = 1 ; : : : ; N ) :( 3 . 6 )
I n f a c t , t h e E
s a t i s f y
i
E
=
i
E
; w h e r e t h e e i g e n v a l u e s = (
1
; : : : ;
N
) a r e g i v e n
e x p l i c i t l y i n O 2 ] . T h e y a r e d i s t i n c t , i . e . i f 6= , t h e n 6= . O n t h e o t h e r h a n d , i t f o l l o w s
a t o n c e f r o m ( 3 . 6 ) t o g e t h e r w i t h p r o p e r t i e s ( 1 . 3 ) f o r : ; : ]
S
t h a t t h e C h e r e d n i k o p e r a t o r s
i
a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o : ; : ]
S
: T o g e t h e r , t h i s p r o v e s t h a t t h e E
a r e o r t h o g o n a l w i t h
r e s p e c t t o : ; : ]
S
. H e n c e a p o s s i b l e c h o i c e f o r t h e b a s i s f '
g i s t o s e t '
= d
E
, w i t h s o m e
n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t s d
> 0 .
W e n a l l y r e m a r k t h a t i n t h i s c a s e t h e l o c a l l y u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i n L e m m a
3 . 1 ( i i ) e x t e n d s t o C
N
C
N
, s e e a l s o B - F 3 ] , P r o p . 3 . 1 0 . T h i s i s b e c a u s e t h e c o e c i e n t s
o f t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k - p o l y n o m i a l s E
i n t h e i r m o n o m i a l e x p a n s i o n s a r e k n o w n t o b e
n o n n e g a t i v e ( K - S ] , T h e o r e m 4 . 1 1 ) , h e n c e j E
( z ) j E
( j z j ) f o r a l l z 2 C
N
.
( 4 ) A r e m a r k o n t h e B
N
- c a s e . S u p p o s e t h a t G i s t h e W e y l g r o u p o f t y p e B
N
, g e n e r a t e d
b y s i g n - c h a n g e s a n d p e r m u t a t i o n s . H e r e t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y t w o
p a r a m e t e r s k
0
; k
1
0 : T h e w e i g h t f u n c t i o n i s
w
B
( x ) =
N
Y
i = 1
j x
i
j
2 k
1
Y
i < j
j x
2
i
? x
2
j
j
2 k
0
:
L e t T
B
i
a n d
B
d e n o t e t h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a n d L a p l a c i a n . W e c o n s i d e r t h e s p a c e
W : = f f 2 C
1
( R
N
) : f ( x ) = F ( x
2
) f o r s o m e F 2 C
1
( R
N
) g
o f \ c o m p l e t e l y e v e n " f u n c t i o n s ; h e r e x
2
= ( x
2
1
; : : : ; x
2
N
) : I t i s e a s i l y c h e c k e d t h a t f o r c o m p l e t e l y
e v e n f ,
B
f i s a l s o c o m p l e t e l y e v e n . T h e r e s t r i c t i o n o f
B
t o W i s g i v e n b y
B
j
W
= + 2 k
1
N
X
i = 1
1
x
i
@
i
+ 2 k
0
X
i < j
1
x
i
? x
j
?
@
i
? @
j
+
1
x
i
+ x
j
?
@
i
+ @
j
? 2 k
0
X
i < j
1
( x
i
? x
j
)
2
+
1
( x
i
+ x
j
)
2
?
1 ? s
i j
:
A g a i n , t h e o p e r a t o r (
B
? 2 ) j
W
i s o f C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e . I t s c o m p l e t e l y e v e n p o l y -
n o m i a l e i g e n f u n c t i o n s a r e d i s c u s s e d i n B - F 2 ] a n d B - F 3 ] s e p a r a t e l y f r o m t h e H e r m i t e - c a s e ;
t h e y a r e c a l l e d \ n o n - s y m m e t r i c L a g u e r r e p o l y n o m i a l s " a n d d e n o t e d b y E
( L )
( x
2
) : I t i s e a s y
1 0
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t o s e e t h a t t h e y m a k e u p t h e c o m p l e t e l y e v e n s u b s y s t e m o f a s u i t a b l y c h o s e n g e n e r a l i z e d
H e r m i t e - s y s t e m f H
g f o r B
N
( a n d p a r a m e t e r s k
0
; k
1
, w h e r e w e a s s u m e k
0
> 0 ) :
T o t h i s e n d , l e t a g a i n E
d e n o t e t h e S
N
- t y p e n o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s , c o r r e s p o n d i n g
t o = 1 = k
0
. F o r 2 Z
N
+
s e t
b
E
( x ) : = E
( x
2
) : T h e s e m o d i e d J a c k p o l y n o m i a l s f o r m a b a s i s
o f P \ W . T h e n o n - s y m m e t r i c L a g u e r r e p o l y n o m i a l s o f B a k e r a n d F o r r e s t e r c a n b e w r i t t e n
a s
E
( L )
( x
2
) = e
?
B
= 4
b
E
( x ) :
( N o t e t h a t t h e p o l y n o m i a l s o n t h e r i g h t s i d e a r e i n f a c t c o m p l e t e l y e v e n a n d e i g e n f u n c t i o n s
o f
B
? 2 . ) I n v o l v i n g a g a i n t h e S
N
- t y p e C h e r e d n i k o p e r a t o r s f r o m ( 3 ) , i t i s e a s i l y c h e c k e d
t h a t t h e
b
E
a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o D u n k l ' s p a i r i n g : ; : ]
B
: T h e
i
i n d u c e o p e r a t o r s
b
i
( i = 1 ; : : : ; N ) o n W b y
b
i
f ( x ) : = (
i
F ) ( x
2
) i f f ( x ) = F ( x
2
) ;
c . f . B - F 3 ] . T h u s
b
i
b
E
=
i
b
E
, a n d a s h o r t c a l c u l a t i o n g i v e s
b
i
f ( x ) = x
2
i
( T
S
i
F ) ( x
2
) + 1 ? N +
X
j > i
s
i j
=
2
x
i
T
B
i
f ( x ) + 1 ? N +
X
j > i
s
i j
:
T o g e t h e r w i t h ( 1 . 3 ) , t h i s s h o w s t h a t t h e
b
i
a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o : ; : ]
B
o n P \ W ;
a n d y i e l d s o u r a s s e r t i o n b y t h e s a m e a r g u m e n t a s i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e . W e t h e r e f o r e
o b t a i n a n o r t h o n o r m a l b a s i s f '
g o f P w i t h r e s p e c t t o : ; : ]
B
b y s e t t i n g '
: = d
b
E
f o r
= ( 2
1
; : : : ; 2
N
) a n d c o m p l e t i n g t h e s e t f '
; 2 ( 2 Z
+
)
N
g b y a G r a m - S c h m i d t p r o c e d u r e .
M a n y p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s o n R
N
h a v e n a t u r a l
e x t e n s i o n s t o o u r g e n e r a l s e t t i n g . W e s t a r t w i t h a R o d r i g u e s - f o r m u l a ; f o r S
N
- t y p e s y m m e t r i c
H e r m i t e p o l y n o m i a l s , s u c h a f o r m u l a , i n v o l v i n g t h e ( s y m m e t r i c ) J a c k p o l y n o m i a l s , i s k n o w n , s e e
e . g . K ] .
3 . 7 . T h e o r e m . F o r a l l 2 Z
N
+
a n d x 2 R
N
w e h a v e
H
( x ) = (
? 1 )
j j
e
j x j
2
'
( T ) e
? j x j
2
:( 3 . 7 )
P r o o f . F i r s t n o t e t h a t i f p i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n 0 , t h e n
p ( T ) e
? j x j
2
= q ( x ) e
? j x j
2
w i t h a p o l y n o m i a l q o f t h e s a m e d e g r e e . T h i s f o l l o w s e a s i l y f r o m i n d u c t i o n b y t h e d e g r e e o f p ,
t o g e t h e r w i t h t h e p r o d u c t r u l e ( 2 . 1 ) . I n p a r t i c u l a r , t h e f u n c t i o n
Q
( x ) : = ( ? 1 )
j j
e
j x j
2
'
( T ) e
? j x j
2
= e
j x j
2
'
( ? T ) e
? j x j
2
i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e j j : I n o r d e r t o p r o v e t h a t Q
= H
, i t t h e r e f o r e s u c e s t o s h o w t h a t f o r
e a c h
2 Z
N
+
w i t h
j
j j
j ,
2
? j j
Z
R
N
Q
( x ) H
( x ) d
k
( x ) =
;
;( 3 . 8 )
1 1
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 12/24
w h e r e
;
d e n o t e s t h e K r o n e c k e r d e l t a . U s i n g t h e a n t i s y m m e t r y o f t h e T
i
w i t h r e s p e c t t o
L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) ( L e m m a 2 . 9 o f D 4 ] ) a s w e l l a s t h e c o m m u t a t i v i t y o f f T
i
g ; w e c a n w r i t e
2
? j j
Z
R
N
Q
( x ) H
( x ) d
k
( x ) = c
k
Z
R
N
'
( ? T )
?
e
? j x j
2
e
?
k
= 4
'
( x ) w
k
( x ) d x
= c
k
Z
R
N
e
? j x j
2
?
'
( T ) e
?
k
= 4
'
( x ) w
k
( x ) d x =
Z
R
N
?
e
?
k
= 4
'
( T ) '
( x ) d
k
( x ) :
B u t a s j j j j , w e h a v e '
( T ) '
= '
; '
]
k
=
;
f r o m w h i c h ( 3 . 8 ) f o l l o w s .
T h e r e i s a l s o a g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s :
3 . 8 . P r o p o s i t i o n . F o r n 2 Z
+
a n d z ; w 2 C
N
p u t L
n
( z ; w ) : =
P
j j = n
H
( z ) '
( w ) : T h e n
1
X
n = 0
L
n
( z ; w ) = e
? l ( w )
K ( 2 z ; w ) ;
t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s b e i n g l o c a l l y u n i f o r m o n C
N
C
N
.
P r o o f . S u p p o s e r s t t h a t z ; w 2 R
N
. B y d e n i t i o n o f t h e H
a n d i n v i e w o f f o r m u l a ( 2 . 6 ) f o r K
n
w e m a y w r i t e
L
n
( z ; w ) = 2
n
e
?
z
k
= 4
K
n
( z ; w ) = 2
n
b n = 2 c
X
m = 0
( ? 1 )
m
4
m
m !
l ( w )
m
K
n ? 2 m
( z ; w )
=
b n = 2 c
X
m = 0
( ? 1 )
m
m !
l ( w )
m
K
n ? 2 m
( 2 z ; w )
f o r a l l n
2 Z
+
. B y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , t h i s h o l d s f o r a l l z ; w
2 C
N
a s w e l l . U s i n g e s t i m a t i o n
( 2 . 4 ) , o n e o b t a i n s
S
n
( z ; w ) : =
b n = 2 c
X
m = 0
1
m !
j l ( w ) j
m
j K
n ? 2 m
( 2 z ; w ) j
b n = 2 c
X
m = 0
1
m !
j w j
2 m
j 2 z
j
n ? 2 m
j w
j
n ? 2 m
( n ? 2 m ) !
:
I f n i s e v e n , s e t k : = n = 2 a n d e s t i m a t e f u r t h e r a s f o l l o w s :
S
n
( z ; w )
j w j
2 k
k !
k
X
m = 0
k
m
( 2 j z j
2
)
k ? m
=
1
k !
?
j w j
2
( 1 + 2 j z j
2
)
k
:
A s i m i l a r e s t i m a t i o n h o l d s i f n i s o d d . T h i s e n t a i l s t h e l o c a l l y u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s
P
1
n = 0
L
n
( z ; w ) o n C
N
C
N
, a n d a l s o t h a t
1
X
n = 0
L
n
( z ; w ) =
1
X
n = 0
1
X
m = 0
( ? 1 )
m
m !
l ( w )
m
K
n ? 2 m
( 2 z ; w ) ( w i t h K
j
: = 0 f o r j < 0 )
=
1
X
m = 0
( ? 1 )
m
m !
l ( w )
m
1
X
n = 0
K
n ? 2 m
( 2 z ; w ) = e
? l ( w )
K ( 2 z ; w )
f o r a l l z ; w 2 C
N
.
1 2
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 13/24
A p p l y i n g L e m m a 2 . 1 t o p = '
w i t h c =
? 1 = 4 a n d a = 1 = , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g f o r m u l a
f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s :
3 . 9 . L e m m a . F o r
2 C
n f 0
g ;
2 Z
N
+
a n d x
2 R
N
,
2
j j
H
x
=
?
e
?
2
k
= 4
'
( x ) :
3 . 1 0 . P r o p o s i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s f h
; 2 Z
N
+
g a r e a b a s i s o f e i g e n f u n c t i o n s
o f t h e D u n k l t r a n s f o r m D
k
o n L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) , s a t i s f y i n g
D
k
( h
) = 2
+ N = 2
c
? 1
k
( ? i )
j j
h
:
P r o o f . W e u s e P r o p . 2 . 1 f r o m D 4 ] , w h i c h s a y s t h a t f o r a l l p 2 P a n d z 2 C
N
,
c
k
2
+ N = 2
Z
R
N
e
?
k
= 2
p ( x ) K ( x ; z ) w
k
( x ) e
? j x j
2
= 2
d x = e
l ( z ) = 2
p ( z ) :( 3 . 9 )
H e r e a g a i n , l ( z ) =
P
N
i = 1
z
2
i
: L e t p
( x ) : = e
k
= 2
H
( x ) : I n v i e w o f ( 3 . 9 ) w e c a n w r i t e
D
k
( h
) ( ) =
Z
R
N
H
( x ) K ( ? i ; x ) w
k
( x ) e
? j x j
2
= 2
d x = 2
+ N = 2
c
? 1
k
e
? j j
2
= 2
p
( ? i )
f o r a l l 2 R
N
. B y d e n i t i o n o f H
w e h a v e p
( x ) = 2
j j
e
k
= 4
'
( x ) : S o w e a r r i v e a t
D
k
( h
) ( ) = 2
+ N = 2
c
? 1
k
e
? j j
2
= 2
2
j j
?
e
k
= 4
'
( ? i ) :
A p p l i c a t i o n o f L e m m a 3 . 9 w i t h = ? i n o w y i e l d s t h a t
?
e
k
= 4
'
( ? i ) = ( ? i = 2 )
j j
H
( ) , h e n c e
D
k
( h
) ( ) = 2
+ N = 2
c
? 1
k
( ? i )
j j
h
( ) :
W e n i s h t h i s s e c t i o n w i t h a M e h l e r - t y p e f o r m u l a f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s . F o r
t h i s , w e n e e d t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n :
3 . 1 1 . L e m m a . F o r a l l x ; y 2 R
N
a n d 2 Z
N
+
w e h a v e
e
? j x j
2
H
( x ) = 2
j j
Z
R
N
K ( x ; ? 2 i y ) '
( i y ) d
k
( y ) :
P r o o f . A s h o r t c a l c u l a t i o n , u s i n g a g a i n r e l a t i o n ( 2 . 2 ) , s h o w s t h a t f o r h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s p ,
f o r m u l a ( 3 . 9 ) m a y b e r e w r i t t e n a s
Z
R
N
e
?
k
= 4
p ( x ) K ( x ; 2 z ) d
k
( x ) = e
l ( z )
p ( z ) ( z 2 C
N
) :( 3 . 1 0 )
B y l i n e a r i t y , t h i s h o l d s f o r a l l p
2 P : L e m m a 3 . 9 w i t h = i f u r t h e r s h o w s t h a t
e
k
= 4
'
( x ) =
?
i
2
j j
H
( ? i x ) :
A s '
i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e j j ; w e t h u s c a n w r i t e '
( 2 i y ) = ( ? i )
j j
e
?
k
= 4
H
( y ) w i t h H
( y ) =
H
( i y ) : F r o m ( 3 . 1 0 ) i t n o w f o l l o w s t h a t
Z
R
N
K ( x ;
? 2 i y ) '
( 2 i y ) d
k
( y ) = e
? j x j
2
H
(
? i x ) ;
w h i c h y i e l d s t h e a s s e r t i o n .
1 3
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 14/24
3 . 1 2 . T h e o r e m . ( M e h l e r - f o r m u l a f o r t h e H
) F o r r
2 C w i t h
j r
j < 1 a n d a l l x ; y
2 R
N
;
X
2 Z
N
+
H
( x ) H
( y )
2
j j
r
j j
=
1
( 1 ? r
2
)
+ N = 2
e x p
?
r
2
( j x j
2
+ j y j
2
)
1 ? r
2
K
2 r x
1 ? r
2
; y
:
P r o o f . C o n s i d e r t h e i n t e g r a l
M ( x ; y ; r ) : = c
2
k
Z
R
N
R
N
K ( ? 2 r z ; v ) K ( ? 2 i z ; x ) K ( ? 2 i v ; y ) w
k
( z ) w
k
( v ) e
? ( j z j
2
+ j v j
2
)
d ( z ; v ) :
T h e b o u n d s ( 2 . 4 ) a n d ( 2 . 5 ) o n K a s s u r e t h a t i t c o n v e r g e s f o r a l l r 2 C w i t h j r j < 1 a n d a l l
x ; y 2 R
N
: N o w w r i t e K ( ? 2 r z ; v ) =
P
1
n = 0
( 2 r )
n
K
n
( i z ; i v ) i n t h e i n t e g r a l a b o v e . A s
1
X
n = 0
j 2 r j
n
j K
n
( i z ; i v ) j e
2 j r j j z j j v j
;
t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m y i e l d s t h a t
M ( x ; y ; r ) =
1
X
n = 0
( 2 r )
n
Z
R
N
Z
R
N
K
n
( i z ; i v ) K ( ? 2 i z ; x ) K ( ? 2 i v ; y ) d
k
( z ) d
k
( v )
=
1
X
n = 0
( 2 r )
n
X
j j = n
Z
R
N
K ( ? 2 i z ; x ) '
( i z ) d
k
( z )
Z
R
N
K ( ? 2 i v ; y ) '
( i v ) d
k
( v )
:
F r o m t h e a b o v e l e m m a w e t h u s o b t a i n
M ( x ; y ; r ) = e
? ( j x j
2
+ j y j
2
)
X
2 Z
N
+
r
j j
H
( x ) H
( y )
2
j j
;( 3 . 1 1 )
a n d t h i s s e r i e s , a s a p o w e r s e r i e s i n r ; c o n v e r g e s a b s o l u t e l y f o r a l l x ; y 2 R
N
: O n t h e o t h e r h a n d ,
i t e r a t e d i n t e g r a t i o n a n d r e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f f o r m u l a ( 2 . 3 ) a n d t h e r e p r o d u c i n g f o r m u l a ( 2 . 8 )
s h o w t h a t f o r r e a l r w i t h j r j < 1 w e h a v e
M ( x ; y ; r ) = c
k
Z
R
N
Z
R
N
K ( ? 2 r z ; v ) K ( ? 2 i y ; v ) d
k
( v )
K ( ? 2 i z ; x ) e
? j z j
2
w
k
( z ) d z
= c
k
e
? j y j
2
Z
R
N
e
( r
2
? 1 ) j z j
2
K ( 2 i r y ; z ) K ( ? 2 i x ; z ) w
k
( z ) d z
= c
k
( 1 ? r
2
)
? ( + N = 2 )
e
? j y j
2
Z
R
N
e
? j u j
2
K
u ;
2 i r y
p
1 ? r
2
K
u ;
? 2 i x
p
1 ? r
2
w
k
( u ) d u
= ( 1 ? r
2
)
? ( + N = 2 )
e x p
?
j x j
2
+ j y j
2
1 ? r
2
K
2 r x
1 ? r
2
; y
:
B y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , t h i s h o l d s f o r f r 2 C : j r j < 1 g a s w e l l . T o g e t h e r w i t h ( 3 . 1 1 ) , t h i s n i s h e s
t h e p r o o f .
4 T h e h e a t e q u a t i o n f o r D u n k l o p e r a t o r s
A s b e f o r e , l e t
k
d e n o t e t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a s s o c i a t e d w i t h s o m e n i t e r e e c t i o n g r o u p G
o n R
N
a n d a m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n k 0 o n i t s r o o t s y s t e m R . R e c a l l t h a t i t s a c t i o n o n C
2
( R
N
)
1 4
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 15/24
i s g i v e n b y
k
f = f + 2
X
2 R
+
k ( )
f ;
w h e r e
f ( x ) =
h r f ( x ) ; i
h ; x i
?
f ( x ) ? f (
x )
h ; x i
2
:
I t s a c t i o n m a y a s w e l l b e r e s t r i c t e d t o C
2
( ) , w h e r e R
N
i s o p e n a n d i n v a r i a n t u n d e r t h e g r o u p
o p e r a t i o n o f G . W e c a l l a f u n c t i o n f 2 C
2
( ) k - s u b h a r m o n i c o n ; i f
k
f 0 o n .
T h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n s a t i s e s t h e f o l l o w i n g m a x i m u m p r i n c i p l e , w h i c h w i l l b e i m p o r t a n t
l a t e r o n :
4 . 1 . L e m m a . L e t
R
N
b e o p e n a n d G - i n v a r i a n t . I f a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n f
2 C
2
( ) a t t a i n s
a n a b s o l u t e m a x i m u m a t x
0
2 , i . e . f ( x
0
) = s u p
x 2
f ( x ) , t h e n
k
f ( x
0
) 0 :
P r o o f . L e t D
2
f ( x ) d e n o t e t h e H e s s i a n o f f i n x 2 . T h e g i v e n s i t u a t i o n e n f o r c e s t h a t r f ( x
0
) = 0
a n d D
2
f ( x
0
) i s n e g a t i v e s e m i - d e n i t e ; i n p a r t i c u l a r , f ( x
0
) 0 : M o r e o v e r , f ( x
0
) f (
x
0
) f o r
a l l 2 R , s o t h e s t a t e m e n t i s o b v i o u s i n t h e c a s e t h a t h ; x
0
i 6= 0 f o r a l l 2 R . I f h ; x
0
i = 0 f o r
s o m e 2 R , w e h a v e t o a r g u e m o r e c a r e f u l l y : C h o o s e a n o p e n b a l l B w i t h c e n t e r x
0
. T h e n
x 2 B f o r x 2 B , a n d
x ? x = ? h ; x i : N o w T a y l o r ' s f o r m u l a y i e l d s
f (
x ) ? f ( x ) = ? h ; x i h r f ( x ) ; i +
1
2
h ; x i
2
t
D
2
f ( ) ;
w i t h s o m e o n t h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n x a n d
x . I t f o l l o w s t h a t f o r x 2 B w i t h h ; x i 6= 0 w e
h a v e
f ( x ) =
1
2
t
D
2
u ( ) : P a s s i n g t o t h e l i m i t x
! x
0
n o w l e a d s t o
f ( x
0
) =
1
2
t
D
2
f ( x
0
)
0 ,
w h i c h n i s h e s t h e p r o o f .
A t t h i s s t a g e i t i s n o t m u c h e o r t t o g a i n a w e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r k - s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s
o n b o u n d e d , G - i n v a r i a n t s u b s e t s o f R
N
, w h i c h w e w a n t t o i n c l u d e h e r e b e f o r e p a s s i n g o v e r t o t h e
h e a t e q u a t i o n . I t s r a n g e o f v a l i d i t y i s q u i t e g e n e r a l , i n c o n t r a s t t o t h e s t r o n g m a x i m u m p r i n c i p l e i n
D 1 ] , w h i c h i s r e s t r i c t e d t o k - h a r m o n i c p o l y n o m i a l s o n t h e u n i t b a l l . O u r p r o o f f o l l o w s t h e c l a s s i c a l
o n e f o r t h e u s u a l L a p l a c i a n , a s i t c a n b e f o u n d e . g . i n J ] .
4 . 2 . T h e o r e m . L e t R
N
b e o p e n , b o u n d e d a n d G - i n v a r i a n t , a n d l e t f 2 C
2
( ) \ C ( ) b e
r e a l - v a l u e d a n d k - s u b h a r m o n i c o n . T h e n
m a x
( f ) = m a x
@
( f ) :
P r o o f . F i x > 0 a n d p u t g : = f + j x j
2
. A s h o r t c a l c u l a t i o n g i v e s
k
( j x j
2
) = 2 N + 4 > 0 : H e n c e
k
g > 0 o n , a n d L e m m a 4 . 1 s h o w s t h a t g c a n n o t a c h i e v e i t s m a x i m u m o n a t a n y x
0
2 : I t
f o l l o w s t h a t
m a x
( f + j x j
2
) = m a x
@
( f + j x j
2
)
1 5
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 16/24
f o r e a c h > 0 . C o n s e q u e n t l y ,
m a x
( f ) + m i n
j x j
2
m a x
@
( f ) + m a x
@
j x j
2
:
T h e a s s e r t i o n n o w f o l l o w s w i t h ! 0 .
I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h e g e n e r a l i z e d h e a t o p e r a t o r
H
k
: =
k
? @
t
o n f u n c t i o n s p a c e s C
2
(
( 0 ; T ) ) ; w h e r e T > 0 a n d
R
N
i s o p e n a n d G - i n v a r i a n t . A m o n g
t h e v a r i e t y o f i n i t i a l - a n d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w h i c h m a y b e p o s e d f o r H
k
i n a n a l o g y t o t h e
c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a l p r o b l e m s , w e h e r e f o c u s o n t h e h o m o g e n e o u s C a u c h y p r o b l e m :
F i n d u
2 C
2
( R
N
( 0 ; T ) ) w h i c h i s c o n t i n u o u s o n R
N
0 ; T ] a n d s a t i s e s
8
<
:
H
k
u = 0 o n R
N
( 0 ; T ) ;
u ( : ; 0 ) = f 2 C
b
( R
N
) :
( 4 . 1 )
F i r s t o f a l l , l e t u s n o t e s o m e b a s i c s o l u t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d h e a t e q u a t i o n H
k
u = 0 . A g a i n
w e s e t : =
P
2 R
+
k ( ) 0 :
4 . 3 . L e m m a . F o r p a r a m e t e r s a 0 a n d b 2 R n f 0 g , t h e f u n c t i o n
u ( x ; t ) =
1
( a ? b t )
+ N = 2
e x p
b
j x
j
2
4 ( a ? b t )
s o l v e s H
k
u = 0 o n R
N
( ? 1 ; a = b ) i n c a s e b > 0 , a n d o n R
N
( a = b ; 1 ) i n c a s e b < 0 .
P r o o f . T h e p r o d u c t r u l e ( 2 . 1 ) t o g e t h e r w i t h
P
N
i = 1
T
i
x
i
= N + 2 s h o w s t h a t f o r e a c h > 0 ,
k
?
e
j x j
2
=
N
X
i = 1
T
i
?
2 x
i
e
j x j
2
= 2 ( N + 2 + 2 j x j
2
) e
j x j
2
:
F r o m t h i s t h e s t a t e m e n t i s o b t a i n e d r e a d i l y b y a s h o r t c a l c u l a t i o n .
I n p a r t i c u l a r , t h e f u n c t i o n
F
k
( x ; t ) =
M
k
t
+ N = 2
e
? j x j
2
= 4 t
; w i t h M
k
= 4
? ? N = 2
c
k
;
i s a s o l u t i o n o f t h e h e a t e q u a t i o n H
k
u = 0 o n R
N
( 0 ; 1 ) : I t g e n e r a l i z e s t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n
f o r t h e c l a s s i c a l h e a t e q u a t i o n u ? @
t
u = 0 , w h i c h i s g i v e n b y F
0
( x ; t ) = ( 4 t )
? N = 2
e
? j x j
2
= 4 t
: T h e
n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t M
k
i s c h o o s e n s u c h t h a t
Z
R
N
F
k
( x ; t ) w
k
( x ) d x = 1 f o r a l l t > 0 :
I n o r d e r t o s o l v e t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) , i t s u g g e s t s i t s e l f t o a p p l y F o u r i e r t r a n s f o r m m e t h o d s
{ i n o u r c a s e , t h e D u n k l t r a n s f o r m { u n d e r s u i t a b l e d e c a y a s s u m p t i o n s o n t h e i n i t i a l d a t a f . I n
1 6
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 17/24
f a c t , i n t h e c l a s s i c a l c a s e k = 0 a b o u n d e d s o l u t i o n o f ( 4 . 1 ) i s o b t a i n e d b y c o n v o l v i n g f w i t h t h e
f u n d a m e n t a l s o l u t i o n F
0
, a n d i t s u n i q u e n e s s i s a c o n s e q u e n c e o f a w e l l - k n o w n m a x i m u m p r i n c i p l e
f o r t h e h e a t o p e r a t o r . I t i s n o t m u c h e o r t t o e x t e n d t h i s m a x i m u m p r i n c i p l e t o t h e g e n e r a l i z e d
h e a t o p e r a t o r H
k
i n o r d e r t o o b t a i n u n i q e n e s s r e s u l t s ; w e s h a l l d o t h i s i n P r o p . 4 . 1 2 a n d T h e o r e m
4 . 1 3 a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n . H o w e v e r , i n o u r g e n e r a l s i t u a t i o n i t i s n o t k n o w n w h e t h e r t h e r e
e x i s t s a r e a s o n a b l e c o n v o l u t i o n s t r u c t u r e o n R
N
m a t c h i n g t h e a c t i o n o f t h e D u n k l t r a n s f o r m D
k
,
i . e . m a k i n g i t a h o m o m o r p h i s m o n s u i t a b l e f u n c t i o n s p a c e s . I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e t h i s i s t r u e :
t h e r e i s a L
1
- c o n v o l u t i o n a l g e b r a a s s o c i a t e d w i t h t h e r e e c t i o n g r o u p Z
2
o n R a n d t h e m u l t i p l i c i t y
p a r a m e t e r k = 0 ; t h i s c o n v o l u t i o n e n j o y s m a n y p r o p e r t i e s o f a g r o u p c o n v o l u t i o n . I t i s s t u d i e d
i n R ] ( s e e a l s o R - V ] a n d R o s ] ) .
I n t h e N - d i m e n s i o n a l c a s e , w e m a y i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f a g e n e r a l i z e d t r a n s l a t i o n a t l e a s t o n
t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R
N
) ( a n d s i m i l a r o n L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) , a s f o l l o w s :
L
y
k
f ( x ) : =
c
2
k
4
+ N = 2
Z
R
N
D
k
f ( ) K ( i x ; ) K ( i y ; ) w
k
( ) d ; y 2 R
N
; f 2 S ( R
N
) :( 4 . 2 )
N o t e t h a t i n c a s e k = 0 , w e s i m p l y h a v e L
y
0
f ( x ) = f ( x + y ) ; w h i l e i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , ( 4 . 2 )
m a t c h e s t h e a b o v e - m e n t i o n e d c o n v o l u t i o n s t r u c t u r e o n R : C l e a r l y , L
y
k
f ( x ) = L
x
k
f ( y ) ; m o r e o v e r ,
t h e i n v e r s i o n t h e o r e m f o r t h e D u n k l t r a n s f o r m a s s u r e s t h a t L
y
k
f = f f o r y = 0 a n d D
k
( L
y
k
f ) ( ) =
K ( i y ; ) D
k
f ( ) : F r o m t h i s i t i s n o t h a r d t o s e e ( b y u s e o f t h e b o u n d s ( 2 . 7 ) ) t h a t L
y
k
f b e l o n g s t o
S ( R
N
) a g a i n .
L e t u s n o w c o n s i d e r t h e \ f u n d a m e n t a l s o l u t i o n " F
k
( : ; t ) f o r t > 0 . A s h o r t c a l c u l a t i o n , u s i n g
P r o p . 3 . 1 0 o r L e m m a 4 . 1 1 o f d J ] , s h o w s t h a t
( D
k
F
k
) ( ; t ) = e
? t j j
2
:( 4 . 3 )
B y u s e o f t h e r e p r o d u c i n g f o r m u l a ( 2 . 8 ) o n e t h e r e f o r e o b t a i n s f r o m ( 4 . 2 ) t h e r e p r e s e n t a t i o n
L
? y
k
F
k
( x ; t ) =
M
k
t
+ N = 2
e
? ( j x j
2
+ j y j
2
) = 4 t
K
x
p
2 t
;
y
p
2 t
:( 4 . 4 )
4 . 4 . D e n i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d h e a t k e r n e l ?
k
i s g i v e n b y
?
k
( x ; y ; t ) : =
M
k
t
+ N = 2
e
? ( j x j
2
+ j y j
2
) = 4 t
K
x
p
2 t
;
y
p
2 t
; x ; y
2 R
N
; t > 0 :
4 . 5 . L e m m a . T h e h e a t k e r n e l ?
k
h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s o n R
N
R
N
( 0 ; 1 ) :
( 1 ) ?
k
( x ; y ; t ) =
c
2
k
4
+ N = 2
Z
R
N
e
? t j j
2
K ( i x ; ) K ( ? i y ; ) w
k
( ) d :
( 2 ) F o r x e d y 2 R
N
, t h e f u n c t i o n u ( x ; t ) : = ?
k
( x ; y ; t ) s o l v e s t h e g e n e r a l i z e d h e a t e q u a t i o n
H
k
u = 0 o n R
N
( 0 ; 1 ) .
( 3 )
Z
R
N
?
k
( x ; y ; t ) w
k
( x ) d x = 1 :
( 4 ) j ?
k
( x ; y ; t ) j
M
k
t
+ N = 2
e
? ( j x j ? j y j )
2
= 4 t
:
1 7
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 18/24
P r o o f . ( 1 ) i s c l e a r f r o m t h e a b o v e d e r i v a t i o n . F o r ( 2 ) , r e m e m b e r t h a t
x
k
K ( i x ; ) =
? j
j
2
K ( i x ; ) :
H e n c e t h e a s s e r t i o n f o l l o w s a t o n c e f r o m r e p r e s e n t a t i o n ( 1 ) b y t a k i n g t h e d i e r e n t i a t i o n s u n d e r t h e
i n t e g r a l . T h i s i s j u s t i e d b y t h e d e c a y p r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a n d a n d i t s d e r i v a t i v e s i n q u e s t i o n
( u s e e s t i m a t i o n ( 2 . 7 ) f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K ( i x ; ) w i t h r e s p e c t t o x . ) T o o b t a i n ( 3 ) , w e
e m p l o y f o r m u l a ( 4 . 4 ) a s w e l l a s ( 4 . 3 ) a n d w r i t e
Z
R
N
?
k
( x ; y ; t ) w
k
( x ) d x = D
k
?
L
? y
k
F
k
( 0 ; t ) = K ( ? i y ; 0 ) ( D
k
F
k
) ( 0 ; t ) = 1 :
F i n a l l y , ( 4 ) i s a a c o n s e q u e n c e o f t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 ) f o r K .
R e m a r k s . 1 . F o r i n t e g e r - v a l u e d m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n s , B e r e s t a n d M o l c h a n o v B - M ] c o n s t r u c t e d
t h e h e a t k e r n e l f o r t h e G - i n v a r i a n t p a r t o f H
k
( i n a c o n j u g a t e d v e r s i o n ) b y s h i f t - o p e r a t o r
t e c h n i q u e s .
2 . I n c o n t r a s t t o t h e c l a s s i c a l c a s e , i t i s n o t y e t c l e a r a t t h i s s t a g e t h a t t h e k e r n e l ?
k
i s g e n e r a l l y
n o n n e g a t i v e . I n f a c t , i t i s s t i l l a n o p e n c o n j e c t u r e t h a t t h e f u n c t i o n K ( i y ; : ) i s p o s i t i v e - d e n i t e
o n R
N
f o r e a c h y 2 R
N
( c . f . t h e r e m a r k s i n d J ] a n d D 3 ] ) . T h i s w o u l d i m p l y a B o c h n e r -
t y p e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f K ( i y ; : ) a n d p o s i t i v i t y o f K o n R
N
R
N
a s a n i m m e d i a t e
c o n s e q u e n c e . I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e t h i s c o n j e c t u r e i s t r u e , a n d t h e B o c h n e r - t y p e i n t e g r a l
r e p r e s e n t a t i o n i s e x p l i c i t l y k n o w n ( s e e R o s ] o r R ] ) . B y o n e - p a r a m e t e r s e m i g r o u p t e c h n i q u e s ,
i t w i l l h o w e v e r s o o n t u r n o u t t h a t K i s a t l e a s t p o s i t i v e o n R
N
R
N
.
4 . 6 . D e n i t i o n . F o r f
2 C
b
( R
N
) a n d t
0 s e t
H ( t ) f ( x ) : =
8
>
<
>
:
Z
R
N
?
k
( x ; y ; t ) f ( y ) w
k
( y ) d y i f t > 0 ;
f ( x ) i f t = 0
( 4 . 5 )
P a r t ( 4 ) o f L e m m a 4 . 5 a s s u r e s t h a t f o r e a c h t 0 ; H ( t ) f i s w e l l - d e n e d a n d c o n t i n u o u s o n R
N
.
I t p r o v i d e s a n a t u r a l c a n d i d a t e f o r t h e s o l u t i o n t o o u r C a u c h y p r o b l e m . I n d e e d , w h e n r e s t r i c t i n g
t o i n i t i a l d a t a f r o m t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R
N
) , w e e a s i l y o b t a i n t h e f o l l o w i n g :
4 . 7 . T h e o r e m . S u p p o s e t h a t f 2 S ( R
N
) : T h e n u ( x ; t ) : = H ( t ) f ( x ) ; ( x ; t ) 2 R
N
0 ; 1 ) ; s o l v e s
t h e C a u c h y - p r o b l e m ( 4 . 1 ) f o r e a c h T > 0 . M o r o v e r , i t h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :
( i ) H ( t ) f 2 S ( R
N
) f o r e a c h t > 0 .
( i i ) H ( t + s ) f = H ( t ) H ( s ) f f o r a l l s ; t 0 .
( i i i ) k H ( t ) f ? f k
1 ; R
N
! 0 w i t h t ! 0 .
P r o o f . U s i n g f o r m u l a ( 1 ) o f L e m m a 4 . 5 a n d F u b i n i ' s t h e o r e m , w e c a n w r i t e
u ( x ; t ) = H ( t ) f ( x ) =
c
2
k
4
+ N = 2
Z
R
N
Z
R
N
K ( i x ; ) K ( ? i y ; ) e
? t j j
2
f ( y ) w
k
( ) w
k
( y ) d d y
=
c
2
k
4
+ N = 2
Z
R
N
e
? t j j
2
D
k
f ( ) K ( i x ; ) w
k
( ) d ( 4 . 6 )
1 8
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 19/24
f o r a l l t > 0 . ( R e m e m b e r t h a t
S ( R
N
) i s i n v a r i a n t u n d e r t h e D u n k l t r a n s f o r m ) . T h i s m a k e s c l e a r
t h a t ( i ) i s s a t i s e d . A s b e f o r e , i t i s s e e n t h a t d i e r e n t i a t i o n s m a y b e t a k e n u n d e r t h e i n t e g r a l i n
( 4 . 6 ) , a n d t h a t H
k
u = 0 o n R
N
( 0 ; 1 ) . M o r e o v e r , i n v i e w o f t h e i n v e r s i o n t h e o r e m f o r t h e D u n k l
t r a n s f o r m , ( 4 . 6 ) h o l d s f o r t = 0 a s w e l l . U s i n g ( 2 . 5 ) , w e t h u s o b t a i n t h e e s t i m a t i o n
k H ( t ) f ? f k
1 ; R
N
p
j G j
c
2
k
4
+ N = 2
Z
R
N
j D
k
f ( ) j
?
1 ? e
? t j j
2
w
k
( ) d ;
a n d t h i s i n t e g r a l t e n d s t o 0 w i t h t ! 0 : T h i s y i e l d s ( i i i ) . I n p a r t i c u l a r , i t f o l l o w s t h a t u i s c o n t i n u o u s
o n R
N
0 ; 1 ) . T o p r o v e ( i i ) , n o t e t h a t D
k
?
H ( t ) f
( ) = e
? t j j
2
D
k
f ( ) : T h e r e f o r e
D
k
?
H ( t + s ) f
( ) = e
? t j j
2
D
k
?
H ( s ) f
f ( ) = D
k
?
H ( t ) H ( s ) f
( ) :
T h e s t a t e m e n t n o w f o l l o w s f r o m t h e i n j e c t i v i t y o f t h e D u n k l t r a n s f o r m o n S ( R
N
) .
W e a r e n o w g o i n g t o s h o w t h a t i n d e e d , t h e l i n e a r o p e r a t o r s H ( t ) o n S ( R
N
) e x t e n d t o a p o s i t i v e
c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p o n t h e B a n a c h s p a c e C
0
( R
N
) ; e q u i p p e d w i t h i t s u n i f o r m n o r m k : k
1
. T o
t h i s e n d , w e c o n s i d e r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n
k
a s a d e n s e l y d e n e d l i n e a r o p e r a t o r o n C
0
( R
N
)
w i t h d o m a i n S ( R
N
) .
4 . 8 . T h e o r e m . ( 1 ) T h e o p e r a t o r
k
o n C
0
( R
N
) i s c l o s a b l e , a n d i t s c l o s u r e
k
g e n e r a t e s a
p o s i t i v e , s t r o n g l y c o n t i n u o u s c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p f T ( t ) ; t 0 g o n C
0
( R
N
) .
( 2 ) T h e a c t i o n o f T ( t ) o n S ( R
N
) i s g i v e n b y T ( t ) f = H ( t ) f .
P r o o f . ( 1 ) W e a p p l y a v a r i a n t o f t h e L u m e r - P h i l l i p s t h e o r e m , w h i c h c h a r a c t e r i z e s g e n e r a t o r s o f
p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p s ( s e e e . g . A ] , C o r . 1 . 3 ) . I t r e q u i r e s t w o p r o p e r t i e s :
( i ) T h e o p e r a t o r
k
s a t i s e s t h e f o l l o w i n g \ d i s p e r s i v i t y c o n d i t i o n " : S u p p o s e t h a t f
2 S ( R
N
) i s
r e a l - v a l u e d w i t h m a x f f ( x ) : x 2 R
N
g = f ( x
0
) : T h e n
k
f ( x
0
) 0 :
( i i ) T h e r a n g e o f I ?
k
i s d e n s e i n C
0
( R
N
) f o r s o m e > 0 :
P r o p e r t y ( i ) i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f L e m m a 4 . 1 . C o n d i t i o n ( i i ) i s a l s o s a t i s e d , b e c a u s e
I ?
k
m a p s S ( R
N
) o n t o i t s e l f f o r e a c h > 0 ; t h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e D u n k l t r a n s f o r m
i s a h o m e o m o r p h i s m o f S ( R
N
) a n d D
k
?
( I ?
k
) f
( ) = ( + j j
2
) D
k
f ( ) . T h e a s s e r t i o n n o w
f o l l o w s b y t h e a b o v e - m e n t i o n e d t h e o r e m .
( 2 ) I t i s k n o w n f r o m s e m i g r o u p t h e o r y t h a t f o r e v e r y f 2 S ( R
N
) ; t h e f u n c t i o n t 7! T ( t ) f i s t h e
u n i q u e s o l u t i o n o f t h e a b s t r a c t C a u c h y p r o b l e m
8
<
:
d
d t
u ( t ) =
k
u ( t ) f o r t > 0 ;
u ( 0 ) = f
( 4 . 7 )
w i t h i n t h e c l a s s o f a l l ( s t r o n g l y ) c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s u o n 0 ; 1 ) w i t h v a l u e s i n
t h e B a n a c h s p a c e ( C
0
( R
N
) ;
k :
k
1
) : B y p r o p e r t y ( i ) o f T h e o r e m 4 . 6 w e h a v e H ( t ) f
2 C
0
( R
N
) f o r
f 2 S ( R
N
) . M o r e o v e r , f r o m r e p r e s e n t a t i o n ( 4 . 6 ) o f H ( t ) f i t i s r e a d i l y s e e n t h a t t 7! H ( t ) f i s
c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e o n 0 ; 1 ) a n d s o l v e s ( 4 . 7 ) . T h i s n i s h e s t h e p r o o f .
1 9
7/16/2019 Hermit Operator
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4 . 9 . C o r o l l a r y . T h e h e a t k e r n e l ?
k
i s s t r i c t l y p o s i t i v e o n R
N
R
N
( 0 ;
1 ) : I n p a r t i c u l a r , t h e
g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K s a t i s e s
K ( x ; y ) > 0 f o r a l l x ; y 2 R
N
:
P r o o f . F o r a n y i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f 2 S ( R
N
) w i t h f 0 t h e l a s t t h e o r e m i m p l i e s t h a t
Z
R
N
?
k
( x ; y ; t ) f ( y ) w
k
( y ) d y = T ( t ) f ( x ) 0 f o r a l l ( x ; t ) 2 R
N
0 ; 1 ) :
A s y 7! ?
k
( x ; y ; t ) i s c o n t i n u o u s o n R
N
f o r e a c h x e d x 2 R
N
a n d t > 0 , i t f o l l o w s t h a t ?
k
( x ; y ; t )
0 f o r a l l x ; y 2 R
N
a n d t > 0 : H e n c e K i s n o n n e g a t i v e a s w e l l . N o w r e c a l l a g a i n t h e r e p r o d u c i n g
i d e n t i t y ( 2 . 8 ) , w h i c h s a y s t h a t
e
( j x j
2
+ j y j
2
)
K ( 2 x ; y ) = c
k
Z
R
N
K ( x ; 2 z ) K ( y ; 2 z ) w
k
( z ) e
? j z j
2
d z
f o r a l l x ; y 2 R
N
: T h e i n t e g r a n d o n t h e r i g h t s i d e i s c o n t i n u o u s , n o n - n e g a t i v e a n d n o t i d e n t i c a l l y
z e r o ( b e c a u s e K ( x ; 0 ) K ( y ; 0 ) = 1 ) . T h e r e f o r e t h e i n t e g r a l i t s e l f m u s t b e s t r i c t l y p o s i t i v e .
4 . 1 0 . C o r o l l a r y . T h e s e m i g r o u p f T ( t ) g o n C
0
( R
N
) i s g i v e n e x p l i c i t l y b y
T ( t ) f = H ( t ) f ; f 2 C
0
( R
N
) :
P r o o f . T h i s i s c l e a r f r o m p a r t ( 2 ) o f T h e o r e m 4 . 8 a n d t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e
o p e r a t o r s H ( t ) a r e c o n t i n u o u s { e v e n c o n t r a c t i v e { o n C
0
( R
N
) :
R e m a r k . T h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a l s o l e a d s t o a c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p o n t h e H i l b e r t s p a c e
H : = L
2
( R
N
; w
k
( x ) d x ) ; t h i s g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t s o f R o s ] f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . I n f a c t ,
l e t M d e n o t e t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r o n
H d e n e d b y M f ( x ) =
? j x
j
2
f ( x ) a n d w i t h d o m a i n
D ( M ) = f f 2 H : j x j
2
f ( x ) 2 H g . M i s s e l f - a d j o i n t a n d g e n e r a t e s t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s
c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p M ( t ) f ( x ) = e
? t j x j
2
f ( x ) ( t 0 ) o n H . F o r f 2 S ( R
N
) , w e h a v e t h e i d e n t i t y
D
k
(
k
f ) = M (
D
k
f ) : A s
S ( R
N
) i s d e n s e i n D ( M ) ; t h i s s h o w s t h a t
k
h a s a s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n
e
k
o n H , n a m e l y
e
k
= D
? 1
k
M D
k
, w h e r e h e r e D
k
d e n o t e s t h e P l a n c h e r e l - e x t e n s i o n o f t h e D u n k l
t r a n s f o r m t o H . T h e d o m a i n o f
e
k
i s t h e S o b o l e v - t y p e s p a c e D (
e
k
) = f f 2 H : j j
2
D
k
f ( ) 2 H g :
B e i n g u n i t a r i l y e q u i v a l e n t w i t h M ; t h e o p e r a t o r
e
k
a l s o g e n e r a t e s a s t r o n g l y c o n t i n u o u s c o n t r a c t i o n
s e m i g r o u p f
e
T ( t ) g o n H w h i c h i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t w i t h f M ( t ) g ; i t i s g i v e n b y
e
T ( t ) f ( x ) =
Z
R
N
e
? t j j
2
D
k
f ( ) K ( i x ; ) w
k
( ) d :
T h e k n o w l e d g e t h a t ?
k
i s n o n n e g a t i v e a l l o w s a l s o t o s o l v e t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) i n i t s
g e n e r a l s e t t i n g :
4 . 1 1 . T h e o r e m . L e t f
2 C
b
( R
N
) . T h e n u ( x ; t ) : = H ( t ) f ( x ) i s b o u n d e d o n R
N
0 ;
1 ) a n d
s o l v e s t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) f o r e a c h T > 0 :
2 0
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P r o o f . I n o r d e r t o s e e t h a t u i s t w i c e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e o n R
N
( 0 ;
1 ) w i t h H
k
u = 0 ,
w e o n l y h a v e t o m a k e s u r e t h a t t h e n e c e s s a r y d i e r e n t i a t i o n s o f u m a y b e t a k e n u n d e r t h e i n t e g r a l
i n ( 4 . 5 ) . O n e h a s t o u s e a g a i n t h e e s t i m a t i o n s ( 2 . 7 ) f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K ; t h e s e p r o v i d e
s u c i e n t d e c a y p r o p e r t i e s o f t h e d e r i v a t i v e s o f ?
k
, a l l o w i n g t h e n e c e s s a r y d i e r e n t i a t i o n s o f u u n d e r
t h e i n t e g r a l b y u s e o f t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m . B o u n d e d n e s s o f u i s c l e a r f r o m t h e
p o s i t i v i t y a n d n o r m a l i z a t i o n ( L e m m a 4 . 5 ( 3 ) ) o f ?
k
; i n f a c t , j u ( x ; t ) j k f k
1 ; R
N
o n R
N
0 ; 1 ) :
F i n a l l y , w e h a v e t o s h o w t h a t H ( t ) f ( x ) ! f ( ) w i t h x ! a n d t ! 0 . W e s t a r t b y t h e
u s u a l m e t h o d : F o r x e d > 0 , c h o o s e > 0 s u c h t h a t j f ( y ) ? f ( ) j < f o r j y ? j < 2 a n d l e t
M : = k f k
1 ; R
N
: K e e p i n g i n m i n d t h e p o s i t i v i t y a n d n o r m a l i z a t i o n o f ?
k
, w e o b t a i n f o r j x ? j <
t h e e s t i m a t i o n
j H ( t ) f ( x ) ? f ( ) j
Z
R
N
?
k
( x ; y ; t )
?
f ( y ) ? f ( )
w
k
( y ) d y
Z
j y ? x j <
?
k
( x ; y ; t )
j f ( y )
? f ( )
j w
k
( y ) d y +
Z
j y ? x j >
?
k
( x ; y ; t )
j f ( y )
? f ( )
j w
k
( y ) d y
< + 2 M
Z
j y ? x j >
?
k
( x ; y ; t ) w
k
( y ) d y :
I t t h u s r e m a i n s t o s h o w t h a t f o r e a c h > 0 ,
l i m
( x ; t ) ! ( ; 0 )
Z
j y ? x j >
?
k
( x ; y ; t ) w
k
( y ) d y = 0 :
F o r a b b r e v i a t i o n p u t
I ( x ; t ) : =
Z
j y ? x j
?
k
( x ; y ; t ) w
k
( y ) d y :
A s I ( x ; t ) 1 , i t s u c e s t o p r o v e t h a t l i m i n f
( x ; t ) ! ( ; 0 )
I ( x ; t ) 1 : F o r t h i s , c h o o s e s o m e p o s i t i v e
c o n s t a n t
0
< a n d h 2 S ( R
N
) w i t h 0 h 1 ; h ( ) = 1 a n d s u c h t h a t h ( y ) = 0 f o r a l l
y w i t h j y ? j > ?
0
: T h e n f o r e a c h x w i t h j x ? j <
0
t h e s u p p o r t o f h i s c o n t a i n e d i n
f y 2 R
N
: j y ? x j g ; t h e r e f o r e
Z
R
N
h ( y ) ?
k
( x ; y ; t ) w
k
( y ) d y I ( x ; t )
f o r a l l ( x ; t ) w i t h j x ? j <
0
: B u t a c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 7 w e h a v e
l i m
( x ; t ) ! ( ; 0 )
Z
R
N
h ( y ) ?
k
( x ; y ; t ) w
k
( y ) d y = h ( ) = 1 :
T h i s n i s h e s t h e p r o o f .
I t i s s t i l l o p e n w h e t h e r o u r s o l u t i o n o f t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) i s u n i q u e w i t h i n a n a p p r o p r i a t e
c l a s s o f f u n c t i o n s . A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , t h i s f o l l o w s f r o m a n m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d
h e a t o p e r a t o r o n R
N
( 0 ; 1 ) . T h e r s t s t e p i s t h e f o l l o w i n g w e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r H
k
o n
b o u n d e d d o m a i n s . I t i s p r o v e d b y a s i m i l a r m e t h o d a s u s e d i n T h e o r e m 4 . 2 . B y v i r t u e o f L e m m a
4 . 1 , t h i s p r o o f i s l i t e r a l l y t h e s a m e a s t h e s t a n d a r d p r o o f i n t h e c l a s s i c a l c a s e ( s e e e . g . J ] ) a n d
t h e r e f o r e o m i t t e d h e r e .
2 1
7/16/2019 Hermit Operator
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4 . 1 2 . P r o p o s i t i o n . S u p p o s e t h a t
R
N
i s o p e n , b o u n d e d a n d G - i n v a r i a n t . F o r T > 0 s e t
T
: = ( 0 ; 1 ) a n d @
T
: = f ( x ; t ) 2 @
T
: t = 0 o r x 2 @ g :
A s s u m e f u r t h e r t h a t u 2 C
2
(
T
) \ C (
T
) s a t i s e s H
k
u 0 i n
T
. T h e n
m a x
T
( u ) = m a x
@
T
( u ) :
U n d e r a s u i t a b l e g r o w t h c o n d i t i o n o n t h e s o l u t i o n , t h i s m a x i m u m p r i n c i p l e m a y b e e x t e n d e d t o
t h e c a s e w h e r e = R
N
. T h e p r o o f i s a d a p t e d f r o m t h e o n e i n d B ] f o r t h e c l a s s i c a l c a s e .
4 . 1 3 . T h e o r e m . ( W e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r H
k
o n R
N
. ) L e t S
T
: = R
N
( 0 ; T ) a n d s u p p o s e
t h a t u 2 C
2
( S
T
) \ C ( S
T
) s a t i s e s
8
<
:
H
k
u 0 i n S
T
;
u ( : ; 0 ) = f ;
w h e r e f 2 C
b
( R
N
) i s r e a l - v a l u e d . A s s u m e f u r t h e r t h a t t h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s C ; ; r s u c h
t h a t
u ( x ; t )
C
e
j x j
2
f o r a l l ( x ; t )
2 S
T
w i t h
j x
j > r :
T h e n s u p
S
T
( u ) s u p
R
N
( f ) :
P r o o f . L e t u s r s t a s s u m e t h a t 8 T < 1 : F o r x e d > 0 s e t
v ( x ; t ) : = u ( x ; t ) ?
1
( 2 T ? t )
+ N = 2
e x p
j x j
2
4 ( 2 T ? t )
; ( x ; t ) 2 R
N
0 ; 2 T ) :
B y L e m m a 4 . 3 , v s a t i s e s H
k
v = H
k
u 0 i n S
T
. N o w x s o m e c o n s t a n t > r a n d c o n s i d e r t h e
b o u n d e d c y l i n d e r
T
= ( 0 ; T ) w i t h = f x 2 R
N
: j x j < g : S e t t i n g M : = s u p
R
N
( f ) , w e h a v e
v ( x ; 0 ) < u ( x ; 0 ) M f o r x 2 : M o r e o v e r , f o r j x j = a n d t 2 ( 0 ; T ]
v ( x ; t )
C e
2
?
1
( 2 T )
+ N = 2
e
2
= 8 T
:
A s < ( 8 T )
? 1
, w e s e e t h a t v ( x ; t ) M o n @
T
, p r o v i d e d t h a t i s l a r g e e n o u g h . T h e n b y
P r o p . 4 . 1 2 w e a l s o h a v e v ( x ; t ) M o n
T
: A s > r w a s a r b i t r a r y , i t f o l l o w s t h a t v ( x ; t ) M
o n S
T
. A s > 0 w a s a r b i t r a r y a s w e l l , t h i s i m p l i e s t h a t u ( x ; t ) M o n S
T
. I f 8 T 1 , w e m a y
s u b d i v i d e S
T
i n t o n i t e l y m a n y a d j a c e n t o p e n s t r i p s o f w i d t h l e s s t h a n 1 = 8 a n d a p p l y t h e a b o v e
c o n c l u s i o n r e p e a t e d l y .
4 . 1 4 . C o r o l l a r y . T h e s o l u t i o n o f t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) a c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 1 1 i s u n i q u e
w i t h i n t h e c l a s s o f f u n c t i o n s u 2 C
2
( S
T
) \ C ( S
T
) w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g e x p o n e n t i a l g r o w t h
c o n d i t i o n : T h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s C ; ; r s u c h t h a t
j u ( x ; t ) j C e
j x j
2
f o r a l l ( x ; t ) 2 S
T
w i t h j x j > r :
2 2
7/16/2019 Hermit Operator
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R e f e r e n c e s
A ] A r e n d t , W . : C h a r a c t e r i z a t i o n o f p o s i t i v e s e m i g r o u p s o n B a n a c h l a t t i c e s . I n : N a g e l , R .
( e d . ) O n e - p a r a m e t e r S e m i g r o u p s o f P o s i t i v e o p e r a t o r s . L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 1 1 8 4 , p p .
2 4 7 { 2 9 1 . S p r i n g e r - V e r l a g : B e r l i n 1 9 8 6 .
B - F 1 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : T h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l a n d g e n e r a l i z e d c l a s s i c a l p o l y -
n o m i a l s . C o m m . M a t h . P h y s . 1 8 8 1 7 5 { 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) .
B - F 2 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : T h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l a n d p o l y n o m i a l s w i t h p r e -
s c r i b e d s y m m e t r y . N u c l . P h y s . B 4 9 2 6 8 2 { 7 1 6 ( 1 9 9 7 ) .
B - F 3 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : N o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s a n d i n t e g r a l k e r n e l s . D u k e
J . M a t h . , t o a p p e a r .
B - M ] B e r e s t , Y . Y . , M o l c h a n o v , Y . : F u n d a m e n t a l s o l u t i o n s f o r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h
r e e c t i o n g r o u p i n v a r i a n c e . J . M a t h . P h y s . 3 6 , n o . 8 , 4 3 2 4 { 4 3 3 9 ( 1 9 9 5 ) .
C ] C h e r e d n i k , I . : A u n i c a t i o n o f t h e K n i z h n i k - Z a m o l o d c h i k o v e q u a t i o n s a n d D u n k l o p e r a t o r s
v i a a n e H e c k e a l g e b r a s . I n v e n t . M a t h . 1 0 6 , 4 1 1 { 4 3 2 ( 1 9 9 1 ) .
C h i ] C h i h a r a , T . S . : A n I n t r o d u c t i o n t o O r t h o g o n a l P o l y n o m i a l s . G o r d o n a n d B r e a c h : N e w Y o r k
1 9 7 8 .
d B ] D i B e n e d e t t o , E . : P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . B o s t o n , B a s e l , B e r l i n : B i r k h a u s e r V e r l a g
1 9 9 5 .
v D ] v a n D i e j e n , J . F . : C o n u e n t h y p e r g e o m e t r i c o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s r e l a t e d t o t h e r a t i o n a l
q u a n t u m C a l o g e r o s y s t e m w i t h h a r m o n i c c o n n e m e n t . C o m m . M a t h . P h y s . 1 8 8 4 6 7 { 4 9 7
( 1 9 9 7 ) .
D 1 ] D u n k l , C . F . : R e e c t i o n g r o u p s a n d o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s o n t h e s p h e r e . M a t h . Z . 1 9 7 ,
3 3 { 6 0 ( 1 9 8 8 ) .
D 2 ] D u n k l , C . F . : D i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s a s s o c i a t e d t o r e e c t i o n g r o u p s . T r a n s . A m e r .
M a t h . S o c . 3 1 1 , 1 6 7 { 1 8 3 ( 1 9 8 9 ) .
D 3 ] D u n k l , C . F . : I n t e g r a l k e r n e l s w i t h r e e c t i o n g r o u p i n v a r i a n c e . C a n . J . M a t h . 4 3 , 1 2 1 3 {
1 2 2 7 ( 1 9 9 1 ) .
D 4 ] D u n k l , C . F . : H a n k e l t r a n s f o r m s a s s o c i a t e d t o n i t e r e e c t i o n g r o u p s . I n : P r o c . o f t h e
s p e c i a l s e s s i o n o n h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n s o n d o m a i n s o f p o s i t i v i t y , J a c k p o l y n o m i a l s a n d
a p p l i c a t i o n s . P r o c e e d i n g s , T a m p a 1 9 9 1 , C o n t e m p . M a t h . 1 3 8 , 1 2 3 { 1 3 8 ( 1 9 9 2 ) .
D - J - O ] D u n k l , C . F . , d e J e u , M . F . E . , O p d a m , E . M . : S i n g u l a r p o l y n o m i a l s f o r n i t e r e e c t i o n
g r o u p s . T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 3 4 6 , 2 3 7 { 2 5 6 ( 1 9 9 4 ) .
d J ] d e J e u , M . F . E . : T h e D u n k l t r a n s f o r m . I n v e n t . M a t h . 1 1 3 , 1 4 7 { 1 6 2 ( 1 9 9 3 ) .
H ] H e c k m a n , G . J . : A r e m a r k o n t h e D u n k l d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s . I n : B a r k e r , W . ,
S a l l y , P . ( e d s . ) H a r m o n i c a n a l y s i s o n r e d u c t i v e g r o u p s . P r o g r e s s i n M a t h . 1 0 1 , p p . 1 8 1 {
1 9 1 . B a s e l : B i r k h a u s e r V e r l a g 1 9 9 1 .
J ] J o h n , F . : P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . N e w Y o r k , H e i d e l b e r g , B e r l i n : S p r i n g e r - V e r l a g
1 9 8 6 .
2 3
7/16/2019 Hermit Operator
http://slidepdf.com/reader/full/hermit-operator 24/24
K ] K a k e i , S . : C o m m o n a l g e b r a i c s t r u c t u r e f o r t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l s . J . P h y s . A 2 9 ,
L 6 1 9 { L 6 2 4 ( 1 9 9 6 ) .
K - S ] K n o p , F . , S a h i , S . : A r e c u r s i o n a n d c o m b i n a t o r i a l f o r m u l a f o r J a c k p o l y n o m i a l s . I n v e n t .
M a t h . 1 2 8 , n o . 1 , 9 { 2 2 ( 1 9 9 7 ) .
L - V ] L a p o i n t e , L . , V i n e t , L . : E x a c t o p e r a t o r s o l u t i o n o f t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l . C o m m .
M a t h . P h y s . 1 7 8 , 4 2 5 { 4 5 2 ( 1 9 9 6 ) .
L 1 ] L a s s a l l e , M . : P o l y n ^ o m e s d e L a g u e r r e g e n e r a l i s e s . C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 2 , S e r i e I ,
7 2 5 { 7 2 8 ( 1 9 9 1 ) .
L 2 ] L a s s a l l e , M . : P o l y n ^ o m e s d e H e r m i t e g e n e r a l i s e s . C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 3 , S e r i e I ,
5 7 9 { 5 8 2 ( 1 9 9 1 ) .
O 1 ] O p d a m , E . M . : D u n k l o p e r a t o r s , B e s s e l f u n c t i o n s a n d t h e d i s c r i m i n a n t o f a n i t e C o x e t e r
g r o u p . C o m p o s . M a t h . 8 5 , 3 3 3 { 3 7 3 ( 1 9 9 3 ) .
O 2 ] O p d a m , E . M . : H a r m o n i c a n a l y s i s f o r c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s o f g r a d e d H e c k e a l g e b r a s . A c t a
M a t h . 1 7 5 , 7 5 { 1 2 1 ( 1 9 9 5 ) .
P ] P a s q u i e r , V . : A l e c t u r e o n t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l s . I n : I n t e g r a b l e m o d e l s a n d
s t r i n g s ( E s p o o , 1 9 9 3 ) , L e c t u r e N o t e s i n P h y s . 4 3 6 , p p 3 6 { 4 8 . S p r i n g e r V e r l a g : B e r l i n 1 9 9 4 .
R ] R o s l e r , M . : B e s s e l - t y p e s i g n e d h y p e r g r o u p s o n R . I n : H e y e r , H . , M u k h e r j e a , A . ( e d s . )
P r o b a b i l i t y m e a s u r e s o n g r o u p s a n d r e l a t e d s t r u c t u r e s X I . P r o c e e d i n g s , O b e r w o l f a c h 1 9 9 4 ,
p p . 2 9 2 { 3 0 4 . S i n g a p o r e : W o r l d S c i e n t i c 1 9 9 5 .
R - V ] R o s l e r , M . , V o i t , M . : A n u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e f o r H a n k e l t r a n s f o r m s . P r o c . A m e r . M a t h .
S o c . , t o a p p e a r .
R o s ] R o s e n b l u m , M . : G e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d t h e B o s e - l i k e o s c i l l a t o r c a l c u l u s . I n :
O p e r a t o r T h e o r y : A d v a n c e s a n d A p p l i c a t i o n s , V o l . 7 3 , p p . 3 6 9 { 3 9 6 . B a s e l : B i r k h a u s e r
V e r l a g 1 9 9 4 .
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