Heat Transfer 

Sheet #2 – Conduction_I 

 1‐ Consider a cold canned drink left on a dinner table. Would you model the heat transfer to the drink as one‐, two‐, or three‐dimensional? Would the heat transfer be steady or transient? Also, which coordinate system would you use to analyze this heat transfer problem, and where would you place the origin? Explain.  2‐ Consider a round potato being baked  in an oven. Would you model the heat transfer to the potato  as one‐,  two‐, or  three‐dimensional? Would  the heat  transfer be  steady or  transient? Also, which coordinate system would you use to solve this problem, and where would you place the origin? Explain.  3‐ Consider a medium in which the heat conduction equation is given in its simplest form as 

 (a) Is heat transfer steady or transient? (b) Is heat transfer one‐, two‐, or three‐dimensional? (c) Is there heat generation in the medium?  4‐ Consider a medium in which the heat conduction equation is given in its simplest form as 

 (a) Is heat transfer steady or transient? (b) Is heat transfer one‐, two‐, or three‐dimensional? (c) Is there heat generation in the medium?  5‐ Shown below is the 3‐D transient heat conduction equation in spherical coordinates. 

22 2 2 2

1 1 1sin

sin sin

T T T Tkr k k g C

r r r r r t

 

a) Cross out the term(s) that go away if heat transfer is steady. b) Underline the term(s) that go away if there is no internal heat generation. c) Circle the term(s) that go away if temperature is a function only of r.  6‐  Consider  one‐dimensional  heat  conduction  through  a  large  plane  wall  with  no  heat generation that is perfectly insulated on one side and is subjected to convection and radiation on  the other side.  It  is claimed  that under steady conditions,  the  temperature  in a plane wall must be uniform (the same everywhere). Do you agree with this claim? Why?  

7‐  It  is stated that the temperature  in a plane wall with constant thermal conductivity and no heat generation varies linearly during steady one‐dimensional heat conduction. Will this still be the case when the wall loses heat by radiation from its surfaces?  8‐Consider  a  1.2‐m‐high  and  2‐m‐wide  glass window whose  thickness  is  6 mm  and  thermal conductivity is k = 0.78 W/m ∙ °C. Determine the steady rate of heat transfer through this glass window and the temperature of its inner surface for a day during which the room is maintained at  24°C  while  the  temperature  of  the  outdoors  is  ‐5°C.  Take  the  convection  heat  transfer coefficients on  the  inner and outer surfaces of  the window  to be h1= 10 W/m2∙°C and h2= 25 W/m2∙°C, and disregard any heat transfer by radiation.  9‐  Consider  a  1.2‐m‐high  and  2‐m‐wide  double‐pane  window  consisting  of  two  3‐mm‐thick layers  of  glass  (k  =  0.78 W/m∙°C)  separated  by  a  12‐mm‐wide  stagnant  air  space  (k=  0.026 W/m∙°C). Determine the steady rate of heat transfer through this double‐pane window and the temperature of its inner surface for a day during which the room is maintained at 24°C while the temperature of the outdoors is ‐5°C. Take the convection heat transfer coefficients on the inner and outer surfaces of the window to be h1= 10 W/m2∙°C and h2 = 25 W/m2∙°C, and disregard any heat transfer by radiation. Answers: 114 W, 19.2°C  10‐ Clothing made of several thin  layers of  fabric with trapped air  in between, often called ski clothing, is commonly used in cold climates because it is light, fashionable, and a very effective thermal insulator. So it is no surprise that such clothing has largely replaced thick and heavy old‐fashioned coats. Consider a jacket made of five layers of 0.1‐mm‐thick synthetic fabric (k = 0.13 W/m∙°C) with  1.5‐mm‐thick  air  space  (k  =  0.026 W/m∙°C)  between  the  layers.  Assuming  the inner surface temperature of the jacket to be 28 °C and the surface area to be 1.1 m2, determine the rate of heat  loss through the  jacket when the temperature of the outdoors  is 5 °C and the heat transfer coefficient at the outer surface is 25 W/m2∙°C. What would your response be if the jacket is made of a single layer of 0.5‐mm‐thick synthetic fabric? What should be the thickness of a wool fabric (k = 0.035 W/m∙°C) if the person is to achieve the same level of thermal comfort wearing a thick wool coat instead of a five‐layer ski jacket?  11‐ A thin silicon chip and an 8‐mm thick aluminum substrate (k= 238 W/m.K) are separated by 0.02 mm thick epoxy joint.  The chip and substrate are each 10 mm on a side, and their exposed surfaces  are  cooled  by  air,  which  is  at  a  temperature  of  25  oC  and  provides  a  convection coefficient of 100 W/m2.K.  If  the  chip dissipates 104 W/m2 under normal  conditions, and  the maximum operating temperature of the epoxy is 85 oC, will this assembly operate safely?  12‐ Will the thermal contact resistance be greater for smooth or rough plain surfaces?  13‐ Consider two surfaces pressed against each other. Now the air at the interface is evacuated. Will the thermal contact resistance at the interface increase or decrease as a result?  14‐ A 1‐mm‐thick copper plate (k = 386 W/m∙°C) is sandwiched between two 5‐mm‐thick epoxy boards (k = 0.26 W/m∙°C) that are 15 cm by 20 cm in size. If the thermal contact conductance on both sides of the copper plate is estimated to be 6000 W/m∙°C, determine the error involved in the total thermal resistance of the plate if the thermal contact conductances are ignored.  

15‐  Steam  at  320°C  flows  in  a  stainless  steel  pipe  (k  =  15 W/m∙°C) whose  inner  and  outer diameters are 5  cm and 5.5  cm,  respectively. The pipe  is  covered with 3‐cm‐thick  glass wool insulation (k = 0.038 W/m∙°C). Heat is lost to the surroundings at 5 °C by natural convection and radiation, with  a  combined  natural  convection  and  radiation  heat  transfer  coefficient  of  15 W/m2∙°C. Taking the heat transfer coefficient  inside the pipe to be 80 W/m2∙°C, determine the rate of heat  loss  from the steam per unit  length of the pipe. Also determine the temperature drops across the pipe shell and the insulation.  16‐ Consider a 2‐m‐high electric hot water heater that has a diameter of 40 cm and maintains the hot water at 55 °C. The tank is located in a small room whose average temperature is 27 °C, and the heat transfer coefficients on the  inner and outer surfaces of the heater are 50 and 12 W/m2∙°C,  respectively.  The  tank  is  placed  in  another  46‐cm‐diameter  sheet  metal  tank  of negligible thickness, and the space between the two tanks is filled with foam insulation (k = 0.03 W/m∙°C). The thermal resistances of the water tank and the outer thin sheet metal shell are very small and  can be neglected. The price of electricity  is $0.08/kWh, and  the home owner pays $280  a  year  for water  heating. Determine  the  fraction  of  the  hot water  energy  cost  of  this household that is due to the heat loss from the tank. Hot water tank insulation kits consisting of 3‐cm‐thick  fiberglass  insulation  (k = 0.035 W/m  ∙ °C)  large enough to wrap the entire tank are available  in  the market  for about $30.  If such  insulation  is  installed on  this water  tank by  the home  owner  himself,  how  long  will  it  take  for  this  additional  insulation  to  pay  for  itself? Answers: 17.5 percent, 1.5 years  17‐ The boiling temperature of nitrogen at atmospheric pressure at sea level (1 atm pressure) is ‐196°C. Therefore, nitrogen  is  commonly used  in  low‐temperature  scientific  studies  since  the temperature of liquid nitrogen in a tank open to the atmosphere will remain constant at ‐196°C until  it  is depleted. Any heat  transfer  to  the tank will  result  in  the evaporation of some  liquid nitrogen, which has a heat of vaporization of 198 kJ/kg and a density of 810 kg/m3 at 1 atm. Consider a 3‐m‐diameter spherical tank that  is  initially  filled with  liquid nitrogen at 1 atm and      ‐196°C. The tank  is exposed to ambient air at 15 °C, with a combined convection and radiation heat  transfer  coefficient of 35 W/m2∙°C. The  temperature of  the  thin‐shelled  spherical  tank  is observed to be almost the same as the temperature of the nitrogen inside. Determine the rate of  evaporation  of  the  liquid  nitrogen  in  the  tank  as  a  result  of  the  heat  transfer  from  the ambient air if the tank is  (a) Not insulated, (b) Insulated with 5‐cm‐thick fiberglass insulation (k = 0.035 W/m∙°C), and  (c)  Insulated with  2‐cm‐thick  super‐insulation which  has  an  effective  thermal  conductivity  of 0.00005 W/m∙°C.             

FIG. P. 9  Fig. P. 10 

 

FIG. P. 14 

 

FIG. P. 16 

  

 FIG. P. 17