Hauser - astroperrito.files.wordpress.com · Introducci on a los principios de la mec anica Hauser...
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Introducci´ on a los principios de la mec´anica Hauser Cap´ ıtulo 1 Problemas pares Problema 1-2. Demostrar que los tres vectores de posici´ on r 1 =3 ˆ ı +2 ˆ - ˆ k r 2 =3 ˆ ı +4 ˆ - 5 ˆ k r 3 =c( ˆ ı + ˆ - ˆ k) (1) son coplanares. Cu´ al debe ser la magnitud de c para que los tres vectores sean los lados de untri´angulo? Problema 1-4. Los vectores de posici´on de los puntos P 1 y P 2 con respecto al origen O son r 1 = ˆ ı - 2 ˆ +3 ˆ k r 2 =2 ˆ ı - 4 ˆ +5 ˆ k (2) H´ allese los vectores que determinan los puntos de la recta que une los dos puntos. Problema 1-6. Encontrar el vector de posici´on de los puntos que est´ an sobre la recta que pasa por el punto (2, 0, 1) y es perpendicular al plano de los vectores A = ˆ ı - 2 ˆ + ˆ k B =2 ˆ ı +3 ˆ - ˆ k (3) Problema 1-8. Deducir las ecuaciones (1-59) a la (1-61). Problema 1-10. Cu´ ales de los siguientes conjuntos de vectores son no coplanares? a) b 1 =2 ˆ ı +1 ˆ +4 ˆ k b 2 = ˆ ı +3 ˆ k b 3 = - 3 ˆ ı - 4 ˆ - ˆ k (4) b) b 1 = ˆ ı +2 ˆ +2 ˆ k b 2 = - 3 ˆ ı - 4 ˆ +2 ˆ k b 3 =2 ˆ ı - ˆ - ˆ k (5) Problema 1-12. Expresar los vectores A =2 ˆ ı - 4 ˆ +3 ˆ k B = - 3 ˆ ı +2 ˆ - ˆ k (6) en funci´ on de una suma lineal de los vectores no coplanares del problema 1-10 y en funci´ on de una suma lineal de sus vectores rec´ ıprocos. 1
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Introduccion a los principios de la mecanica
HauserCapıtulo 1
Problemas pares
Problema 1-2. Demostrar que los tres vectores de posicion
r1 =3ı + 2 − k
r2 =3ı + 4 − 5k
r3 =c(ı + − k)
(1)
son coplanares. Cual debe ser la magnitud de c para que los tres vectores sean los lados deun triangulo?
Problema 1-4. Los vectores de posicion de los puntos P1 y P2 con respecto al origen O son
r1 =ı − 2 + 3k
r2 =2ı − 4 + 5k(2)
Hallese los vectores que determinan los puntos de la recta que une los dos puntos.
Problema 1-6. Encontrar el vector de posicion de los puntos que estan sobre la recta quepasa por el punto (2, 0, 1) y es perpendicular al plano de los vectores
A =ı − 2 + k
B =2ı + 3 − k(3)
Problema 1-8. Deducir las ecuaciones (1-59) a la (1-61).
Problema 1-10. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son no coplanares?
a)
b1 =2ı + 1 + 4k
b2 =ı + 3k
b3 = − 3ı − 4 − k
(4)
b)
b1 =ı + 2 + 2k
b2 = − 3ı − 4 + 2k
b3 =2ı − − k
(5)
Problema 1-12. Expresar los vectores
A =2ı − 4 + 3k
B = − 3ı + 2 − k(6)
en funcion de una suma lineal de los vectores no coplanares del problema 1-10 y en funcionde una suma lineal de sus vectores recıprocos.
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Introduccion a los principios de la mecanica
HauserCapıtulo 1
Problemas pares
Problema 1-14. Encontrar la distancia del origen al plano determinado por los tres puntosdel problema 1-13.
Problema 1-16. Considerando los vectores unidad
e1 =(sinαt cos βt)ı + (sinαt sin βt) + cosαtk
e2 =(cosαt cos βt)ı + (cosαt sinαt) − sinαtk
e3 = − sin βtı + cos βt
(7)
hallese la velocidad angular ω que satisface las ecuaciones
de1
dt=ω × e1
de2
dt=ω × e2
(8)
Demostrar que la misma ω nos da de3dt
= ω × e3.
Problema 1-18. a) Demostrar que los productos escalares αi y α∗i del vector A por los
vectores base bi y sus vectores recprocos b i, estn relqacionados linealmente como seindica por
α∗i =
∑j
g∗ijαj
αi =∑j
gijα∗j
(9)
Expresese gij y g∗ij en funcion de los vectores base bi y los vectores recıprocos b i.
b) Demostrar que el producto escalar de los vectores A y B se puede expresar por
A · B =∑ij
g∗ijαiβj =∑ij
gijα∗iβ
∗ij (10)
Problema 1-20. Comprobar en la ecuacion (1-43) que los vectores bi son recıprocos de losvectores b i.
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