Hansen - A Globally Convergent Interval Method for Computing and Bounding Real Roots

8/4/2019 Hansen - A Globally Convergent Interval Method for Computing and Bounding Real Roots

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BI T 18 ( 1978), 415- 4 24

A G L O B A L L Y C O N V E R G E N TI N T E R V A L M E T H O D F O R C O M P U T I N G

A N D B O U N D I N G R E A L R O O T SE L D O N H A N S E N

A b s t r a c t .In th i s paper , we ex tend the in t e rva l Newton method to the case where the in t e rva lder iva tive m ay conta in zero . Thi s ex tended m ethod wi l l i so l a te and boun d a ll t he rea l roo t sof a con tinuo usly differentiable func tion in a given interval . In p art icu lar, i t wil l bo un d

mul t iple roots . We prove that the method never fai l s to converge.Key words: interval ari thmet ic , interval analysis , roots , Newton method, error bounds,convergence.

1 . I n t r o d u c t i o n .I n [ 1 ] , R . E . M o o r e d e r i v e d a n i n t e r v a l e x t e n s i o n o f N e w t o n ' s m e t h o d a n d

s h o w e d t h a t i n th e n e i g h b o r h o o d o f a s i m p l e r o o t o f a r e a l f u n c t io n f ( x ) , i tc o n v e r g e d q u a d r a t i c a l l y t o th e r o o t . N i c k e l [ 2 ], [ 3 ] h a s o b s e r v e d t h a t t h e m e t h o dc o n v e r g e s g l o b a l l y p r o v i d e d t h e d e r i v a t i v e o f f ( x ) i s n o n - z e r o i n s o m e i n t e r v a lc o n t a i n i n g t h e r o o t .I n t h i s p a p e r , w e e x t e n d t h e m e t h o d t o y i e l d a g l o b a l l y c o n y e r g e n t m e t h o d t of in d ( a n d b o u n d ) a ll r e al r o o t s i n a n i n t e rv a l X o. T h e r o o t s m a y h a v e a n ym u l t i p l ic i t y , b u t w e a s s u m e t h e r e a r e a f i n it e n u m b e r o f t h e m i n X 0.

W e a s s u m e t h r o u g h o u t t h i s p a p e r t h a t t h e f u n c t io n f ( x ) i s c o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e o n X 0 .

2 . M o o r e ' s m e t h o d .L e t X i = [ as , b J b e a n i n t e rv a l c o n t a i n i n g a r o o t r o f f ( x ) , a n d l e t x~ b e t h e

m i d p o i n t o f X v L e t f ' ( X 3 b e a n i n te r v al e x te n s io n ( se e [ 1 ]) o f f ' ( x ) f o r x ~ X i a n da s s u m e(2.1)D e f i n e(2.2)a n d l e t(2.3)

0 dl f ' ( X i ) .

f (xi)N ( X i ) = x i - f , ( X i )

X i + 1 = X i N N ( X i ) .Received Ap ril 28, 1978. Rev ised M ay 29, 1978.


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4 1 6 ELDON HANSENM o o r e t- 1] s h o w s t h a t i f r e X 0 a n d i f t h e s e q u e n c e {X ~} i s g e n e r a t e d b y ( 2.3 ),

t h e n r ~ X ~ f o r a ll i. H e a l s o s h o w s t h a t i f c o n v e r g e n c e o c c u r s , it i s a s y m p t o t i c a l l yq u a d r a t i c . T h a t i s, i f w e d e f i n e t h e w i d t h o f X ~ = [ a i , b i ] t o b e(2.4) w ( X ~ ) = b - a i ,t h e n

w (X~ +t)


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A G L O B A L L Y C O N V E R G E N T I N T E R V A L M E T H O D . , . 417I f f ( x i ) = 0 , t h e n x i is a r o o t o f f . E x c l u d i n g t h i s c a se , w e h a v e t h e f o l l o w i n g tw o

poss ib i l i t i es . I f f ( x i ) > 0 , the n f rom (2.2) an d (3.3) ,

] [ - ~ , q i ] i f c i = 0 ,(3.4a) N ( X I ) = . [ P i , ~ ] if d i = 0 ,I [ - ~ , q J U [p~ , 0 o ] o t h e r w i s e ,

w h e r e

I f f ( x i ) < O , t h e n

P l = x i - - f ( x i ) / C i ,qi = x i - f ( x i ) / d i .

[qi, cx~] i f c i = O ,(3.4b) N ( X i ) = [ - c ~ , p i ] i f d i = 0 ,

[ - cx~ , P i ] U [ % ~ ] o t h er w i se .T o o b t a i n X ~ f3 N ( X ~ ) i s a s imp le s e t ope r a t i on . We ge t a f i n i t e s e t w h ich can be

e i t h e r a s i n g le i n t er v a l , o r t h e u n i o n o f t w o i n t er v a l s, o r t h e e m p t y s e t .T h u s e v e n i f 0 ~ f ' ( X i ) , t he r e s u l t ( 2 . 3 ) i s a bounded s e t . We s ha l l s how tha t t he

m e t h o d d e f i n e d b y ( 2 . 3 ) i s g l o b a l l y c o n v e r g e n t i n a s e n s e t o b e d e f i n e d b e l o w .

4 . P r o o f o f c o n v e r g e n c e w h e n 0 f ' ( X o ) .As s ta te d ear l ie r , i f 0 d~ ' ( X o ) , t h e n w e h a v e g l o b a l c o n v e r g e n c e ( s e e [ 2 ] , [ 3 ] ) .

T h i s f o l lo w s a s a c o r o l l a r y t o t h e f o l lo w i n g w e l l - k n o w n t h e o r e m w h i c h s t a t e s t h a tw (X~ + 1 ) < w (Xi ) f o r a ll i = 0, 1 . . . . T h u s t h e i n t e rv a l N e w t o n m e t h o d c o n v e r g e sr e a s o n a b l y r a p i d ly e v e n b e f o r e th e a s y m p t o t i c a ll y q u a d r a t i c n a t u r e is e v id e n t.

THEOREM 1. A s s u m e 0 d~ f ' ( X o ) . I f X i ( i = 1 , 2 . . . . ) i s g e n e r a t e d b y (2.3), t h e nw (X i+ l)~ x i or e l s eN ( X ~ ) < x ~ a n d X ~+ I = X i f - t N ( X i ) m u s t c o n t a i n l es s t h a n h a l f o f X i .

5 . P r o o f o f c o n v e rg e n c e w h e n 0 e f ' ( X ) .W e s h a ll n o w p r o v e t h a t t h e i n te r v a l N e w t o n m e t h o d i s c o n v e r g e n t e v en w h e n

0 ~ f ' ( X o ) . T h e m e t h o d is m o r e c o m p l i c a t e d i n t h is c a s e , h o w e v e r , si n c e e v e n i f X ~i s a n i n t e rv a l , X ~+ I m a y b e a d i s j o i n t s et c o m p o s e d o f t w o i n te r v a ls . W h e n t h iso c c u r s, w e a s s u m e t h e i n t e r v a l N e w t o n m e t h o d is a p p li e d s e p a r a t e l y t o e a c h o f th et w o i n t e r v a l s . T h e s e ( o r s u b s e q u e n t i n t e r v a l s ) m a y a g a i n g i v e r i s e t o t w o n e w


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4 1 8 ELDON HANSENs m a l l e r i n te r v a ls , t h a t is, t h e n u m b e r o f in t e r v al s m a y g r o w . I n p r a c t i c e t hen u m b e r o f in t er v al s s h o u l d n o t b e m u c h l a r g e r t h a n t h e n u m b e r o f r e al ro o t s o f fi n X0 .

S u p p o s e t h a t b e f o r e t h e i t h s t e p , t h e s e t X ~ i s c o m p o s e d o f s t d i s j o i n t i n t e r v a l s.W e s h a ll d e n o t e t h e m b y X ~ ) (j = 1 . . . . s t) . T h e i th s t e p i n v o l v e s o n l y o n e o f th e s ei n te r v a ls . N e v e r t h e le s s , w e s h al l r e n a m e t h e o t h e r u n c h a n g e d i n t e rv a l s s o t h a t j u s taf ter the i th s te p, the set of in tev als is -~i+xY(J)( j = 1 . . . . s t+ 1). W e h a v e s t + l = s i + 1 ift w o d i s j o i n t i n t e r v a l s a r e f o r m e d ; s t + 1 = s t if t h e i n t e r v a l i s m e r e l y r e d u c e d i n s i z e ;o r s t + 1 = s t - 1 i f N ( X ~ ~)) a n d X ~~) a r e d i s j o i n t . T h e l a t t e r c a s e c a n o c c u r o n l y i f n or o o t o f f ( x ) l ie s in X ~ ~.

A s s u m e t h a t t h e s e t o f i n t e r v a ls i s l a b e l e d s o t h a tw ( X 7 +1 )) < w ( X ~ )) ( j = l . . . . . s i - 1 ) .

T h u s w ( X l 1 )) i s a t l e a s t a s l a r g e a s a n y o t h e r w ( X l j )) w h e re j = 2 . . . . . s vW e n o w s t a te a n d p r o v e a t h e o r e m s h o w i n g t h a t t h e m e t h o d a l w a y s c o n ve r ge s .THEOREM 2. L e t a n i n i t ia l i n t e r v a l X o b e g i v e n a n d l e t n e w i n t e r v a l s b e o b t a i n e d

b e g i n n i n g w i t h X o u s i n g (2.3) w i t h N d e f i n e d b y (3 .4a) a n d (3.4b). A s s u m e t h a t a t t h ei - th s t e p ( i = 1 , 2 . . . ) , t h e m e t h o d i s a p p l i e d t o t h e i n t e r v a l X ~ 1 ) o f l a r g e s t w i d t h . A l s oa s s u m e t h a t f ( x ) a n d i ts d e r iv a t i ve f ' ( x ) e a c h h a s a f i n i t e n u m b e r o f z e r o s i n X o .T h e n f o r s u f fi c i e n tl y l a r g e v a l u e o f i,(5.1) w < e

W-- s iw h e re t - ~ q = l w ( X ~ )) a n d e > O i s arb i t rary .B e f or e p r o v i n g t h is t h e o r e m , w e i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n a n d a c o n c e p t w h ic h

w i ll e n a b l e u s t o s i m p l if y t h e p r o o f . F o r n o t a t i o n a l s i m p l i c it y w e s h a l l d e n o t e X I x)b y X i.

L e t F ' ( X i ) d e n o t e t h e s e t o f v a l u e s o f f ' ( x ) a s x r a n g e s o v e r X ~ ; t h a t i s,

A s s h o w n i n [ 1 ] ,F ' ( X i ) = { f ' ( x ) : x ~ X t } .

f ' ( X i ) = F ' ( X i )b u t i n p r a c t i c e , t h e c o m p u t e d i n t e r v a l f ' ( X i ) i s g e n e r a l l y n o t e q u a l t o F ' ( X i ) .

I t is al s o s h o w n i n [ 1 ] t h a t i f f ' ( x ~ ) i s a r a t i o n a l f u n c t i o n o f x i a n d i f f ' ( X t ) i so b t a i n e d b y s i m p l y r e p l a c i n g x t b y X ~ a n d d o i n g t h e n e c e s s a r y r a t i o n a l o p e r a t i o n si n i n t e r v a l a r i t h m e t i c , t h e n(5.2) w [ f ' ( X i ) ] - w [ F ' ( X i ) ] = O [ w ( X i ) ] .T h a t i s, t h e a m o u n t b y w h i c h t h e le n g t h o f f ' ( X i ) e x c e e d s t h a t o f F ' ( X i ) t e n d s t oz e r o a s t h e l e n g t h o f X ~ t e n d s t o z e r o . A c t u a l l y , t h e r i g h t m e m b e r o f ( 5.2 ) c a n b er e p l a c e d b y O [ w ( X i ) z] i f t h e c o m p u t a t i o n o f f ' ( X i ) i s d o n e u s i n g s p e c i a l


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A GLOBALLY CONVERGENT INTERVAL MET HO D. .. 41 9p r o c e d u r e s s u c h a s t h e " c e n t e r e d fo r m " ( se e [ 1 ] a n d C h a p t e r 1 0 o f [ 7 ]) . W h e n t h em e t h o d i n [ 8 ] i s u s e d , t h e i n t e r v a l f ' ( X i ) i s r e p l a c e d b y a s u b s e t o f it se l f.

W e b e g i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 b y n o t i n g t h a t i f 0 ~ f ' (X ~), t h e n t h e N e w t o ns t e p ( 2 . 3 ) g e n e r a t e s a s i n g l e n e w i n t e r v a l , s a y X ' ( o r e l s e t h e e m p t y s e t ) . B yT h e o r e m 1 ,(5.3) w ' (X ' ,) < w ( X i ) .T h u s t h e w i d t h o f t h e l a r g e s t i n t e r v a l i s r e d u c e d b y m o r e t h a n h a l f b y t h e i t h s te p .

W i t h o u t l o ss o f g e n e r al it y , a s s u m e h e r e a f t e r t h a t f ( x O > 0 . T h e n N ( X ~ ) i s g ivenb y ( 3. 4a ). I f c i = 0 , t h e i t h s t e p p r o d u c e s t h e n e w i n t e r v a l

X ' = X i fq N ( X i ) = X i f') [ - 0 o , q /] .B u t q i < x , s o a g a i n w e f i n d t h a t ( 5.3 ) h o l d s . S i m i l a r l y , if d i = 0 , w e a g a i n o b t a i n( 5.3 ). T h u s ( 5.3 ) h o l d s i f c i i s n o n - n e g a t i v e o r i f d , is n o n - p o s i t i v e .

T he rem ain ing case i s c~ < 0 < d~. In th i s case , us ing (3 .4a) ,X~ = ( [ - c~, qi] U [Pi, c~]) [q [ai , b i ]

W e s h a l l d i s t i n g u i s h s e v e r a l s u b - c a s e s .F i r s t , h o w e v e r , n o t e t h a t q i < x i < b ~ a n d a , < x ~ < p ~ s o t h a t X '~ i s s t r i c t ly

c o n t a i n e d i n X e T h u s w e a l r e a d y s e e t h a t i n a l l c a se s , t h e t o t a l w i d t h$iw, = Z w(X?)

j = lo f t h e r e m a i n i n g i n t e r v a l s i s a m o n o t o n i c a l l y s t r ic t l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n . S i n c e wi s n o n - n e g a t i v e , i t h a s a l i m i t a s i - -- , c ~. I t r e m a i n s t o s h o w t h a t t h e l i m i t i s z e r o .

A s a f i r s t s u b - c a s e , s u p p o s e q i < a ~ a n d b ~ < p v T h e n X ~ i s e m p t y a n d ( 5.3 )c e r t a i n l y h o ld s . N o t e t h a t t h i s i m p l i e s t h a t X ~ d o e s n o t c o n t a i n a r o o t o f f

N ex t sup po se a~ < q~ an d b~ x v H e n c e x i d~ X'~ a n d s o e a c h o f th e d i s j o i n t i n t e r v a l sc o m p o s i n g X'~ h a s w i d t h l es s t h a n h a l f t h a t o f X v T h e r e f o r e , f o r s u f f ic i e n tl y l a r g e i ,a ll t h e r e m a i n i n g i n t e r v a l s a r e o f a r b i t r a r i l y s m a l l w i d t h . W h a t w e m u s t s h o w i st h a t t h e i r t o t a l w i d t h a p r o a c h e s z e r o .

W e h a v e as s u m e d t h a t i f ( x ) h a s a f i n it e n u m b e r o f z e r o s i n t h e i n i t i al i n t e r v a lX o . L e t 6 d e n o t e t h e s m a l l e st d i s t a n c e b e t w e e n a n y t w o d i s t in c t z e r o s . ( N o t e t h a t


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420 ELDON HANSEN

w e a l l o w m u l t i p l e z e r o s . ) A s s u m e t h e a l g o r i t h m h a s p r o c e e d e d u n t i l i i s s o l a r g et h a t t h e l a r g e s t i n t e r v a l X~1~ h a s w i d t h l es s t h a n ~ . T h i s e v e n t u a l i t y m u s t o c c u r s i n c e,a s w e h a v e s e e n , e a c h r e m a i n i n g s u b i n t e r v a l b e c o m e s a r b i t r a r i l y s m a l l .

" B y t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 , t h e n u m b e r o f z e ro s o f f ' (x ) i n X o is f in it e.H e n c e o n l y a f in i te n u m b e r o f i n t e r v a l s X~~) c a n c o n t a i n a z e r o o f f ' ( x ) a n d t h e i rt o t a l l e n g t h a p p r o a c h e s z e r o a s i --~ c o .

T h e r e m a i n i n g i n te r v a ls w h i ch d o n o t c o n t a i n a z e r o o f f ( x ) s h o u l d b e s u c h t h a t0 d~ f ' ( X ) . I f t h i s i s t h e c a s e , t h e n a s w e h a v e s e e n , t h e i r w i d t h s g o r a p i d l y t o z e r o .H o w e v e r , a s p o i n t e d o u t e a r l i e r , t h e c o m p u t e d i n t e r v a l f ' ( X ) i s g e n e r a l l y l a r g e rt h a n t h e t r u e r a n g e F ' ( X ). H e n c e i t is p o s s ib l e t h a t 0 ~ f ' ( X ) e v e n t h o u g h t h e r e isn o p o i n t x ~ X s u c h t h a t f ' ( x ) = 0 . W e s e e f r o m e q u a t i o n (5 .2 ) t h a t t h e p o s s i b i li t yo f t h is h a p p e n i n g d e c r e a s e s a s t h e w i d t h o f X g o e s t o z e r o .

A s y m p t o t i c a l l y , a s t h e w i d t h o f t h e l a r g e s t r e m a i n i n g i n t e r v a l g o e s to z e r o , t h es e t o f r e m a i n i n g i n t e r v a l s X ~ ) fo r w h i c h 0 ~ f ' ( X ~ )) i s t h e s a m e a s t h e s e t o fi n t e rv a l s c o n t a i n i n g a z e r o o f f ' (x ) . W e h a v e s e e n t h a t t h e t o t a l w i d t h o f t h e s ei n t e r v a ls a p p r o a c h e s z e r o a s i ~ c ~. W e h a v e a l so s e e n t h a t t h e t o t a l w i d t h o f t h eo t h e r r e m a i n i n g in t e rv a l s a p p r o a c h e s z e r o . T h u s t h e th e o r e m is p r o v e d . II

6 . E l i m i n a t i o n o f i n t er v a l s.I t s o m e t i m e s h a p p e n s t h a t X ~+ 1 i s e m p t y . I t i s o f i n t e r e s t t o c o n s i d e r w h e n t h is

o c c u r s . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s r e l e v a n t .THEOREM 3. A s s u m e t f ( x ) l > 6 > 0 f o r a l l x ~ X i = [ a l, b i] a n d t h a t I f ' ( X i ) l ~ M .

T h e n X i w i ll b e e n ti r el y e l i m i n a te d in m s t e p s w h e r e m < ( b i - a i ) M / 2 6 .W e s h a l l p r o v e t h is t h e o r e m i n a s p e ci a l c a s e i n w h i c h f ' ( X i ) c o n t a i n s z e r o b u t

is n o n -n e g a t iv e . T h e g e n e r a l c a se f o ll o w s i n t h e s a m e w a y . T h u s w e a s s u m e f ' ( X i )= [ 0 , d J . W i t h o u t l o s s o f g e n e r al it y , w e al s o a s s u m e t h a t f ( x ) i s p o s i t i v e f o rx e . X i. T h u s b y a s su m p t io n , f ( x ) ~ 6 > 0 f o r a ll x ~ X i .

I n t h i s c a s e N ( X i ) i s g iven by (3 .4a) asN ( X i ) = [ - o o , x i - f ( x i) /d i ] .

S i n c e f ( x i ) / d i > O , i t f o l l o w s t h a t N ( X i ) < x i a n d h e n c e t h e r i g h t h a l f o f X i i se l i m i n a t e d i n o n e s te p . E i t h e r t h e l e ft h a l f o f X~ i s a ls o e l i m i n a t e d o r e l se t h e s u b -i n t e r v a l

I-X - - f ( x i ) /d i , x i ]i s e l i m i n a t e d . T h i s s u b - i n t e r v a l h a s w i d t h w = f ( x~) /d i a n d f r o m t h e h y p o t h e s e s o ft h e t h e o r e m , w >=,5/M.

T h e b o u n d 6 h o l d s f o r a ll o f X i a n d b y i n c l u si o n m o n o t o n i c i t y ( se e [1 ] ) th eb o u n d M w i ll h o l d f o r a n y s u b s e t o f X~. H e n c e a t e a c h s u b s e q u e n t s t ep , w e e i t h e re l i m i n a t e a l l o f t h e r e m a i n i n g s u b s e t o f X ~ o r e ls e w e a g a i n e l i m i n a t e a s u b - i n t e r v a lo f w i d t h =>6 / M .


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A GLOBALLY CONVERGENT INTERVAL MET HO D. .. 421T h e t o t a l w i d t h o f th e l e f t h a l f o f X i i s (b - ai)/2 a n d a s u b s e t o f w i d t h ~ 6 /M is

e l i m i n a t e d a t e a c h s te p . T h u s t h e c o n c l u s i o n o f t h e t h e o r e m f o l lo w s . II

7 . E v a l u a t i o n o f f ( x ) .I n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e i m p l i c i t l y a s s u m e d f ( x ) w a s k n o w n e x a c t l y . I n

p r a c t i c e w e e v a l u a t e f ( x ) u s i n g i n t e r v a l a r i t h m e t i c . I f t h e r e s u l t i n g i n t e r v a lc o n t a i n s z er o a n d i f f ' ( X ) al s o c o n t a i n s z er o , t h e n N ( X ) = l - - ~ , ~ ] a n d X ' = X .H e n c e t h e r e is a p r a c t ic a l l i m i t o n h o w a c c u r a t e l y w e c a n b o u n d a ro o t . W e c a no n l y r e d u c e t h e s i z e o f X i f 0 ~ f ( X ) w h e n 0 ~ f ' ( X ) .

H o w e v e r , e v e n i f 0 ~ f ' ( X ) , w e e v e n t u a l l y r e a c h a s t a g e w h e r e X ' = X w h e nu s i n g f i n i t e p r e c i s i o n i n t e r v a l a r i t h m e t i c . F o r a m u l t i p l e r o o t , t h i s w i l l o c c u r f o r al a r g e r i n t e r v a l X , i n g e n e r a l , s i n c e t h e c o n d i t i o n o f a m u l t i p l e r o o t t e n d s t o b ew o r s e t h a n t h a t o f a si m p l e o n e .

8 . T e r m i n a t i o n .I n p r a c t i c e , w e u s e f i n i t e p r e c i s i o n a r i t h m e t i c . H e n c e i t i s n o t p o s s i b l e t o i s o l a t e

a r o o t t o a r b i t r a r y a c c u ra c y . W e n o w c o n s i d er h o w t e r m i n a t i o n c o n d i ti o n s s h o u l db e u s e d t o a c c o u n t f o r t h i s f a c t .

I f t h e t o l e r a n c e e i s s u ff i c ie n t l y l a r g e a n d t h e e r r o r c r i t e r i o n (5 .1 ) is s a t is f i ed , w ew i ll o f c o u r s e s t o p t h e a l g o r i t h m . H o w e v e r , i f e is t o o s m a l l , ( 5.1 ) m a y n e v e r b es a ti sf ie d . W e w i sh o u r p r o g r a m t o r e c o g n i z e w h e n i t h a s d o n e t h e b e s t j o b i t c a na n d a u t o m a t i c a l l y s t op .

T h e s o u r c e o f t h e d i ff ic u lt y is t h a t w e c a n n o t e v a l u a t e f ( x ) e x a c t l y . T o a s s u r et h a t , w i t h o u t q u e s t i o n , t h e s e t o f i n t er v a l s X /~ ) c o n t a i n a ll t h e r o o t s o f f ( x ) w h i c hl ie i n X o , w e m u s t e v a l u a t e f ( x ) i n i n te r v a l , a r i t h m e t i c t o b o u n d r o u n d i n g e r r o r s .

L e t F(x) d e n o t e t h e i n t e r v a l w e o b t a i n w h e n e v a l u a t i n g f ( x ) . S u p p o s e f h a s ar o o t n e a r t h e c e n t e r x o f a n i n t e r v a l X a n d w e o b t a i n F(x)= [eL, eR] w h e r e eL < 0a n d eR > 0 . S u p p o s e a l s o t h a t w e f in d 0 ~ f ' ( X ) . T h e n N ( X ) = [ - c ~ , c ~] an d th eN e w t o n s t e p d o e s n o t r e d u c e X i n si ze . T h i s c o u l d h a p p e n w h e n w(X) i s n o t s m a l ls o t h a t w e h a v e n o t i s o l a t e d a r o o t o f f e v e n t h o u g h t h e r e is p r o b a b l y a r o o t n e a r xb e c a u s e 0 ~ F(X).O n e t h i n g w e c a n d o i n th i s ca s e is s i m p l y t o d i v id e X i n h a l f a n d a d d e a c h h a l ft o o u r l is t o f i n t e r v a ls . I t is p o s s i b l e t o m a k e u s e o f th e f a c t t h a t a r o o t e x i s t s n e a rx . W e l e a r n t h i s f a c t w h e n w e f i n d t h a t F(x) c o n t a i n s z e r o . W e s h a l l n o t d i s c u s st h e d e t a il s o f h o w t h is m i g h t b e d o n e .

S i m p l y d i v i d in g X i n h a l f d o e s n o t r e d u c e t h e t o t a l l e n g t h o f a l l r e m a i n i n gi n t er v a ls . T h u s w e m i g h t r e p e a t t h i s s t e p a d i n f i n i t u m a n d n e v e r s a ti s fy t h et e r m i n a t i o n c o n d i t i o n (5 .1 ). H e n c e i f w e f in d t h a t 0 ~ F(x) a n d 0 ~ f ' ( X ) a n d t h ew i d t h o f t h e c u r r e n t i n t e r v a l X i s l es s t h a n e , w e s t o p s u b d i v i d i n g X . O u rt e r m i n a t i o n c o n d i t i o n i s s u b s e q u e n t l y a p p l i e d o n l y t o t h e r e m a i n i n g i n t e rv a l se x c lu s iv e o f X . A s i m p l e p r o c e d u r e i s t o p r i n t o u t X a n d r e m o v e i t f r o m t h e l is t o fi n t e v a l s y e t t o b e p r o c e s s e d .BIT t5--28


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4 2 2 ELDON HANSENA n o t h e r p r o c e d u r e t h a t w e m i g h t u s e, i n s t ea d , w h e n 0 e F ( x ) a n d 0 ~ f ' ( X ) is

t h e fo l lo w i n g . R e p e a t t h e N e w t o n s t e p l e tt i n g x b e a n e n d p o i n t o f X i n s t e a d o f t h ec e n t e r o f X . I f w e s ti ll h a v e 0 ~ F ( x ) , r e p e a t t h e s t e p a g a i n u s i n g t h e o t h e re n d p o i n t .G e n e r a l l y , t h i s p r o c e d u r e w i l l e v e n t u a l l y y i e l d t h e b e s t p o s s i b l e i n t e r v a l .H o w e v e r , it is p o s s i b l e t h a t a n i n t e r v a l X c o n t a i n s a r o o t a t it s c e n t e r a n d r o o t s a te a c h e n d p o i n t . T h u s t h i s a l t e r n a ti v e p r o c e d u r e w o u l d f a il t o i s o l at e t h e m f r o mo n e a n o t h e r . A c a u t i o u s p e r s o n m i g h t p r e f e r t o e v a l u a t e f a t a d d i t i o n a l p o i n t si n X .

O n t h e o t h e r h a n d , i f e i s m u c h t o o s m a l l , s i m p l y d i v i d in g X i n h a l f w h e n0 ~ F ( x ) a n d 0 ~ f ' ( X ) c a n r e s u l t i n m a n y f r u i t l e s s s u b d i v i d i n g s t e p s . H e n c e t h es e c o n d p r o c e d u r e i s m o r e a t t r a c t i v e .

9 . A n e x a m p l e .W e n o w p r e s e n t a n u m e r i ca l e x a m p l e w h ic h i ll u s tr a te s h o w o u r m e t h o d c a n

i s o l a te s e p a r a t e d r o o t s a n d b o u n d e i t h e r s im p l e o r m u l t i p l e r o o t s .C o n s i d e r t h e p o l y n o m i a l

(9.1) f ( x ) = (X-- 1)2(X+1) = x a - x E - x + 1w h i c h h a s a s i m p l e r o o t a t x = - 1 a n d a d o u b l e r o o t a t x = 1. T h e d e r i v a t i v e o ff (x) i s

f ' ( x ) = 3 x z - 2 x - 1 .U s i n g t h e m e t h o d d e s c r i b e d i n [ 8 ] , w e c a n r e p l a c e t h e i n t e rv a l d e r i v a ti v e o f f b y(9.2) f ' ( X ) = x 2 - x - 1 + X ( X + x - 1 )w h e r e x i s t h e c e n t e r o f X . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y r e w r i t i n g f ( x ) a s a f u n c t i o ng ( x l , x 2 , x 3 ) = x l x 2 x 3 - x l x z - x l + l , s o t h a t g ( x , x , x ) = f ( x ) . T h e m u l t i -d i m e n s i o n a l i n t e r v a l N e w t o n m e t h o d ( se e [ 8 ] ) is a p p l i e d t o t h e f u n c ti o n g . T h e nx a, x 2, a n d x 3 a r e s e t e q u a l t o x . T h e r e s u l t i s o f th e f o r m o f t h e o n e d i m e n s i o n a lm e t h o d w i t h f ' ( X ) g i v en b y (9 .2 ). N o t e t h a t f o r a g i v e n i n te r v a l X , f ' ( X ) a s g i v enb y (9 .2 ) d o e s n o t g e n e r a l l y c o n t a i n t h e r a n g e o f f ' ( x ) f o r x e X .L e t t h e in i ti a l in t e r v a l b e X o = [ - 2 , 2 . 5 ] a n d n o t e t h a t X o c o n t a i n s b o t h t h es i m p l e a n d d o u b l e r o o t . T h e c e n t e r o f X o i s x o = 0 .2 5 . F r o m ( 9.2 ),

f ' ( X o ) = [ - 8 .0 7, 4 . 3 2 ] .F o r b r e v i t y , w e r e c o r d i n t e r m e d i a t e r e s u l t s t o o n l y t h r e e s i g n i f ic a n t d ig i ts .H o w e v e r , o u r c a l c u l a t i o n s w e r e d o n e u s i n g tw e l v e d e c i m a l d i g it a r i t h m e t i c o n t h eH P 9 8 3 0 A c o m p u t e r .

S in c e O ~ f ' ( X o ) , w e o b t a i n t w o s e m i - i n f i n i te in t e r v a l s f r o m (3 .4 b) . T h e s ei n t e r v a l s a r e

N I (Xo, Xo ) = [ - c~ , 0 .0870 ] , N2 (xo , X0) = [ -0 .337, ~x~] .


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A GLOBALLY CONVERGENT INTERVAL METHOD.., 4 2 3I n t e r s e c t i n g t h e s e i n t e r v a l s w i t h X o , w e o b t a i n

X ~1) = [ - 2 , 0 . 0 8 7 0 ] , X ~2) = [ 0 . 3 3 7 , 2 . 5 ] .L e t u s f i r s t p r o c e s s X ] 1) w h i c h c o n t a i n s t h e s i m p l e r o o t o n l y . W e f in d f ' (X ] 1~)

> 0 s o t h a t t h e i n t e r v a l N e w t o n m e t h o d c a n b e a p p li e d i n th e u s u a l w a y . W e o b t a i n[ - 1 .28 , - 0 .975] .

T h r e e a d d i t i o n a l s t e p s y i e l d t h e i n t e r v a l[ - 1 .0 0 0 0 00 0 3 8 , - 0 .9 9 9 9 9 9 9 9 6 ] .

S u p p o s e w e h a d s t a r t e d w i t h t h e o r d i n a r y i n t e r v a l N e w t o n m e t h o d u s i n g (2 .2 )a n d m e r e l y s u b d i v i d e d a n y i n t e r v a l f o r w h i c h f ' ( X ) c o n t a i n e d z e r o. W e w o u l d f ir s th a v e s u b d i v i d e d X o i n t o ( s ay ) X ] = [ - 3 , 0 . 25 ] a n d X ~ = [ 0 .2 5 , 2 . 5] . W e w o u l d f i n d0 ~ f ' ( X ' 0 a n d w o u l d h a v e to s u b d i v i d e a g a i n . T h u s t h e e n t i r e in i t ia l i n t e r v a lw o u l d r e m a i n ( b u t b e s u b d i v i d e d i n t o t h r e e s u b in t e rv a l s) . I n c o n t r a s t , t w o s t e p s o fo u r e x t e n d e d m e t h o d e l i m i n a t e 4 5 ~ o f t h e i n i ti a l in t e rv a l .

L e t u s n o w c o n t i n u e w i t h X t~ ) w h i c h c o n t a i n s t h e d o u b l e r o o t . C o n v e r g e n c e t ot h i s r o o t i s s l o w b e c a u s e i t i s a t a l i n e a r r a t e . W e c h o s e e s o s m a l l t h a t t h ec o n v e r g e n c e c r i t e r i o n w < e c o u l d n o t b e s a t i sf i ed .

W e c h o s e t h e o p t i o n o f u s i n g a n e n d p o i n t ( o r e n d p o i n t s ) o f X i n s t e a d o f t h em i d p o i n t w h e n e v e r b o t h 0 ~ F ( x ) a n d 0 ~ f ' ( X ) . I t w a s n e c e s s a r y t o u s e a ne n d p o i n t f o u r t i m e s . A f t er g e tt i n g X ]z), o u r a l g o r i t h m t e r m i n a t e d a f te r a na d d i t i o n a l 3 3 e v a l u a t i o n s o f f a n d 2 9 e v a l u a t i o n s o f f '( X ) a n d o b t a i n e d t h e f in a li n t e r v a l

[ 1 .0 0 0 0 0 4 2 3 2 , 1 .0 0 0 0 0 5 4 0 6 ]b o u n d i n g t h e d o u b l e r o o t a t x = 1.

T h e N e w t o n m e t h o d u s i n g r e a l a r i t h m e t i c r a t h e r t h a n i n t e r v a l a r i t h m e t i cr e q u i r e s 1 7 s t e p s t o g e t a s a c c u r a t e a r e su l t w h e n s t a r t i n g f r o m t h e m i d p o i n t o fX ]2). T h u s t h e i n t e rv a l m e t h o d i s s l o w e r ; b u t i t p r o v i d e s g u a r a n t e e d e r r o r b o u n d s .

10 . Conclus ion .W e h a v e s h o w n t h a t t h e in t e rv a l N e w t o n m e t h o d c a n b e e x t e n d e d t o i n cl u de

t h e c a s e in w h i c h t h e i n t e r v a l d e r i v a t iv e c o n t a i n s z e r o . W e h a v e p r o v e d t h a t t h ee x t e n d e d m e t h o d a l w a y s c on v e rg e s .

T h i s t y p e o f g e n e r a l i z a t i o n c a n a l s o b e d o n e f o r th e m u l t i d i m e n s i o n a l i n t e r v a lN e w t o n m e t h o d , s e e [ 9 ].

O u r m e t h o d c a n n o t b e u s e d d ir e c t ly t o fi n d c o m p l e x r o o t s . T h i s is b e c a u s e t h em e a n v a l u e t h e o r e m ( w h i c h i s u s e d t o de r iv e t h e i n t er v a l N e w t o n m e t h o d ) d o e sn o t h o l d i n th e c o m p l e x p l a n e. H o w e v e r , th e c o m p l e x c a s e c a n b e s e p a r a t e d i n t or e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s . T h e n t h e m e t h o d i n [ 9 ] c a n b e u s e d.


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424 E L D O N H A N S E N

R E F E R E N C E S1. R a m o n E . M o o r e , Interv al analysis, P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 6 .2 . K a r l N i c k e l , Triplex-Algol and i t s appl icat ions, in Topics in interval analysis, ( e d i t e d b y E . R .

H a n s e n ) , O x f o r d P r e s s , 19 69 .3 . K a r l N i c k e l , On the N ew ton me thod in i n t e rva l ana ly s is , U n i v . o f W i s c o n s in , M a t h e m a t i c s R e s e a r c hC e n t e r R e p o r t 1 1 3 6 , D e c . , 1 9 7 1 .

4 . W . M . K a h a n , A more com plete interval ari thm et ic , L e c t u r e n o t e s f o r a s u m m e r c o u r s e a t t h e U n i v .o f M i c h i g a n , 1 9 6 8 .

5 . R i c h a r d J . H a n s o n , In t e rva l ar i t hme t i c as a c losed ar i thme t i c sy s t em on a computer , J e t P r o p u l s i o nL a b . R e p o r t 1 9 7 , J u n e , 1 96 8.

6 . G . A l e f e ld a n d J . H e r z b e r g e r , Einf i ihrung in die lnterval lrechnung, B i b l i o g r a p h i s c h e s I n s t i t u tM a n n h e i m - W i e n - Z i i r i c h , 1 9 7 4 .

7 . E l d o n H a n s e n ( e d . ) , Topics in interva l analysis, O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 69 .8 . E l d o n H a n s e n , I n t e r v a l f o r m s o f N e w t o n ' s m e th o d, t o a p p e a r i n vo l. 1 9 o f C o m p u t i n g .9 . E l d o n H a n s e n , Bounding solut ions o f systems o f equat ions using interval analysis , t o b e s u b m i t t e d .

DEPARTMENT OF PURE AND APPLIED MATHEMATICSWASHINGTON ST ATE UNIVERSITYPULLMA N, WASH INGTON 99164U.S.A.

Hansen - A Globally Convergent Interval Method for Computing and Bounding Real Roots

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