Chapter 8Hamilton’s Ray Equations

Dadi Abdurrahman (22311007)

Okto Ivansyah (22311008)

TG 6004 Geolombang dan Medan Dalam Geofisika

Teknik Geofisika – ITB

Hamilton’s Ray Equations8.1 Method of characteristics

8.2 Time parametrization of characteristic

equations

8.3 Example: Ray equations in isotropic

inhomogeneous continua

Conclusion

Preliminary remarksChapter 7 kita telah memperoleh pers.EikonalPersamaan Eikonal memberikan kita fasa magnitude slowness.

Dari parameter waktu dalam persamaan karakteristik akan diperoleh persamaan Hamilton Ray

8.1 Method of Characteristics

Pers Eikonal memungkinkan untuk di tranformasi kedalam sistem turunan parsial orde-1 dengan menggunakan metode karakteristik

Pers. 7.17dimana

Bentuk umum dari dimensi ke-n untuk nonlinear order-1 turunan parsial

Pada kedua kasus F(x,p(x)) adalah konstan

(8.2)

Pers. 7.12

Jika dF=0 dimana F dalam fungsi x saja, maka turunan parsial rantai pertama dari F adalah:

Dengan menggunakan definisi dari pers 8.2 maka dapat dinyatakan dalam bentuk ψsebagai

Selama dxi ≠0 dan pers digabungkan untuk tiap-tiap i

Sedangkan dengan turunan parsial rantai ke-2 melalui pers 8.2 dapat dinyatakan

….(8.2)

Bila Bentuk pers (8.7) ditulis dalam scalar product dua vektor menjadi :

……..(8.8)

Dengan mengikuti sifat scalar product kita dapatkan bahwa dua vektor tegak

lurus terhadap yang lain dalam 4 dimensi x1x2x3pi

Penyelesaian permukaan dari dapat ditulis sebagai fungsi zero level permukaan :

.……..(8.9) Kita dapatkan gradient dari vektor normal ni

……… (8.10)

Subtitusi

Kemudian kita peroleh

Dengan menguji pers 8.8 dan pers 8.11 kita dapatkan bahwa

Kemudian kita peroleh tangen vektor untuk penyelesaiannya menjadi :

Dimana adalah faktor skala Dan s adalah parameter sepanjang kurva

diringkas,

i dan j sebagai indeks penjumlahan, dapat dinyatakan kembali :

Dengan catatan bahwa F adalah konstan sepanjang xi(s), pi(s) dan s parameter bebas,Maka :

Untuk menghitung faktor skala pada pers 8.12 kita berikan F=p2v2(x,p) dan Skala faktor = 1 :

Dan jika diberikan ;

Dari bagian ke dua persamaan pada keduanya diambil maka dapat diperoleh faktor skala;adalah

Subtitusi