1

Министерство образования и науки Российской Федерации

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ

ВЕЩЕСТВА

Описания лабораторных работ № 1 и № 2

к курсу общей физики «Механика»

Учебный электронный текстовый ресурс

Создано с целью облегчения подготовки студента к лабораторному эксперименту

и повышения эффективности его проведения. Представленные в пособии материалы

направлены на оказание помощи в обработке результатов измерений, оформлении

и подготовке отчетов по лабораторным работам. Теоретический материал частично

расширяет объем традиционного лекционного курса и позволяет студентам получить

больший объем знаний по курсу «Механика».

Адресовано студентам 1 курса, обучающимся в Институте естественных наук

по направлениям подготовки «Физика», «Радиофизика», «Астрономия»,

«Гидрометеорология», «Информационные системы и технологии», «Геодезия

и дистанционное зондирование», «Стандартизация и метрология», «Инноватика,

нанотехнологии и микросистемная техника». Оно также может быть рекомендовано

студентам департаментов «Химический факультет» и «Биологический факультет».

Подготовлено кафедрой общей и молекулярной физики

Екатеринбург, 2016

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ ........................................................................................... 3

1.1. Аналитические демпферные весы АДВ-200 ..................................................... 3

1.2. Лабораторные весы .............................................................................................. 6

2. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ............................................................. 8

2.1. Штангенциркуль ................................................................................................... 8

2.2. Микрометр .......................................................................................................... 11

2.3. Линейка ............................................................................................................... 13

3. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА .............................................. 14

Лабораторная работа № 1. Определение плотности вещества тел правильной

геометрической формы ............................................................................................. 14

Лабораторная работа № 2. Измерение плотности твердых тел

пикнометрическим методом ..................................................................................... 22

4. ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ....................................................................... 28

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................................... 31

3

1. ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ

1.1. Аналитические демпферные весы АДВ-200

Измерение массы выполняется путем взвешивания на аналитических

весах. Аналитические весы отличаются высокой чувствительностью, которая

достигается тщательным изготовлением деталей, высококачественными

материалами и некоторыми вспомогательными устройствами. Подобно другим

лабораторным весам, аналитические весы – это равноплечные весы с

коромыслом. В середине коромысла укреплена агатовая призма. Ребром своим

она опирается на агатовую подушку. На равных расстояниях от нее

расположены еще две призмы, на которые с помощью сережек подвешены

грузоприемные чашки. Для предохранения ребер агатовых призм от быстрого

изнашивания весы снабжены арретиром – приспособлением, позволяющим

приподнимать вверх коромысло с чашками и выводить их из соприкосновения

с подушками, на которые опираются призмы. Когда весами не пользуются и

когда изменяются нагрузки во время взвешивания, весы обязательно должны

быть арретированы.

В данной работе используются весы типа АДВ-200, что означает:

аналитические демпферные весы с предельной нагрузкой 200 граммов

(рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема аналитических демпферных весов

4

Слово «демпферные» означает, что весы снабжены устройством

(демпфером), обеспечивающим быстрое затухание колебаний коромысла. Весы

заключены в стеклянный футляр с поднимающейся передней дверцей. На

основании весов установлена колонка 1. На ней помещается подушка для

средней призмы коромысла. В середине коромысла укреплена агатовая призма,

которая своим ребром опирается на агатовую подушку. На концах коромысла

расположены еще две призмы, на которые с помощью сережек подвешены

стаканы демпферов 2, грузоприемные чашки. К середине коромысла

прикреплена тонкая вертикальная стрелка. Арретирующее устройство

приводится в действие маховичком 3. Весы снабжены световым экраном 4, на

который проектируется микрошкала, укрепленная на нижнем конце стрелки.

Свет, освещающий шкалу, включается при реарретировании весов

маховичком 3. Лимбы 5 и 6 (внутренний и внешний) управляют встроенными

накладными гирями, навешиваемыми на планку на правой стороне весов.

Взвешиваемые образцы всегда располагают на левой чашке. Гири массой 1 г и

более помещают на правую чашку через правую боковую дверцу. Гири малой

массы (от 0,01 г до 0,99 г) накладывают с помощью поворота двух дисков 5 и 6

на общей оси. Поворот по часовой стрелке приводит к наложению гирь,

поворот против часовой – к их снятию. Диски вращаются независимо друг от

друга. Поворачивая малый диск 5, можно изменять массу гирь от 0,01 до 0,09 г.

Поворот большого диска обеспечивает изменение массы от 0,1 до 0,9 г.

Суммарный вес наложенных кольцевых гирь отсчитывается по цифрам против

риски. Для еще более точного взвешивания необходимо использовать световую

шкалу 4, которую нужно предварительно проградуировать. Вначале

определяют нулевую точку, т. е. то деление шкалы, против которого

останавливается стрелка ненагруженных весов. Чтобы ее найти, надо

поворотом маховичка 3 реарретировать весы и, дождавшись их успокоения,

отсчитать деление шкалы n0, на котором остановился световой зайчик. Если n0

отличается от нулевого деления шкалы на 2–5 делений, то их можно совместить

ручкой, находящейся справа сверху от маховичка 3. Далее на правую чашку

5

накладывается гирька массой 10 мг (это можно сделать, поворачивая диск 5),

весы разарретируются, и после их успокоения отсчитывается по шкале

положение равновесия n. Теперь можно определить чувствительность весов и

цену деления :

.)/.(101

,./.10

0

0делмг

nnмгдел

nn

.

Взвешивание производится следующим образом. Груз неизвестной массы

M размещают в середине левой чашки, а на правую, по возможности ближе к

центру, помещают гири. Пока весы мало уравновешены, не следует

освобождать коромысло полностью, его освобождают лишь настолько, чтобы

можно было судить, которая из чашек легче. После этого весы сразу же

арретируют и в зависимости от того, куда отклоняется стрелка, прибавляют или

убавляют разновески. Таким образом, можно определить массу груза M с

точностью до массы минимального используемого кольцевого разновеса m, т. е.

определить, что M лежит в диапазоне A < M < A+m, где A – масса гирь на

правой чашке. Наложение кольцевых разновесов осуществляется при помощи

лимбов 5 и 6. При этом следует добиться, чтобы зайчик осветителя установился

в пределах световой шкалы как можно ближе к нулевой точке. Масса груза

подсчитывается так. Пусть масса разновеса на правой чашке равна A, цифра

против риски на внешнем диске равна B, а на внутреннем – C. При этом зайчик

осветителя установился на делении шкалы с номером D. Тогда очевидно, что

DCBAM 001,01,0 .

Полученный результат отягощен систематическими погрешностями,

имеющими разное происхождение. За погрешность, обусловленную самими

весами, можно принять цену деления шкалы, т. е. СM = . Однако результат

также отягощен погрешностью, связанной с погрешностью разновесов. Для

оценки погрешности M, возникающей по этой причине, применяют более

сложную процедуру. Погрешность суммарной массы гирь, уравновешивающих

образец, складывается из погрешности отдельных разновесов, имеющих

систематический характер. Допустимые пределы этих погрешностей хотя и

6

задаются (для новых разновесов), но точные значения абсолютных

погрешностей, лежащих внутри этих пределов, неизвестны. Эти погрешности

могут иметь любой знак, так что при взвешивании с использованием

нескольких разновесов эти погрешности должны суммироваться алгебраически.

Общая абсолютная погрешность при этом может оказаться как больше, так и

меньше погрешности отдельного разновеса. Очевидно, что отклонение

суммарной номинальной массы гирь от истинного значения их массы в

значительной степени неопределенно. Значит, если провести взвешивание

другим набором разновесов, то полученное значение массы образца может

оказаться другим.

Таким образом, взвешивание с использованием различных наборов

разновесов создает условие случайности в процессе проведения эксперимента.

Значит, появляется возможность применения способов обработки случайных

измерений к полученному набору данных. Другими словами, погрешность M,

связанную с систематическими погрешностями разновесов, можно определить

по формулам расчета случайных погрешностей. Такая процедура

искусственного создания случайных условий называется рандомизацией.

1.2. Лабораторные весы

Весы предназначены для взвешивания тел массой до 311 г с точностью

0,01 г. Весы, изображенные на рис. 1.2, могут быть использованы для

взвешивания в гидростатических и осмотических экспериментах

Рис. 1.2. Вид лабораторных весов

7

Рис. 1.3. Схема устройста лабораторных весов. На схеме цифрами обозначены следующие

элементы: 1 – держатель чашки 2; 2 – чашка, в которую помещается взвешиваемый образец;

3 – гидростатическая пластина; 4 – крюк для держателя чашки; 5 – регулировочный винт для

уравновешивания весов; 6 – четыре скользящих веса на рельсах: 6.1 – от 0 до 200 г с шагом

100 г; от 0 до 100 г с шагом 10 г, от 0 до 10 г шагом 1 г; 6.2 – с 0,01-граммовой отметкой,

измеряет от 0 до 1 г; 7 – демпферная система; 8 – индикатор уровня весов

Перед началом измерений массы тела с помощью лабораторных весов

необходимо уравновесить весы. Для этого все веса 6 (см. рис. 1.3) необходимо

поставить в положение «0». Поворачивая регулировочный винт 5, нужно

добиться установления равновесия, при этом индикатор уровня 8 должен

оказаться на нулевой отметке. Весы готовы к проведению измерений.

Для взвешивания нужно поместить образец на чашку весов 2 и с

помощью перемещения скользящих весов (6.1 и 6.2), начиная с самых больших

весов, добиться установления индикатора уровня 8 на нулевой отметке. Общая

масса образца – сумма отдельных весов.

Для выполнения гидростатических измерений сначала поднимают

гидростатическую пластину до желаемой высоты, отодвинув держатель чашки

в сторону. На платформе помещается резервуар с соответствующей жидкостью.

Для выполнения измерений образец подвешивается на крючок 4, после чего

восстанавливается баланс путем перемещения скользящих весов.

8

2. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ

Измерение линейных размеров тел проводится при помощи таких

инструментов, как линейка, штангенциркуль и микрометр.

2.1. Штангенциркуль

Штангенциркуль – это обычная миллиметровая линейка, с которой

скреплено дополнительное устройство – так называемый нониус. Оно названо

так по имени придумавшего его португальского математика Нуниша.

Штангенциркуль (рис. 2.1) состоит из стальной линейки 7 с неподвижными

измерительными губками 1 и подвижных измерительных губок 2. Измеряемый

объект зажимается между неподвижными и подвижными губками. Губки 2

сделаны зацело с подвижной рамкой 3, которая может стопориться винтом 4.

Рамка 3 при помощи винта и гайки микрометрической подачи 8 соединена с

рамкой 5, имеющей стопорный винт 6. На нижнем краю рамки 3 нанесены

деления нониуса (10 или 20).

Рис. 2.1. Штангенциркуль

Когда губки 1 и 2 соприкасаются, нулевые деления линейки и нониуса

совпадают. Чтобы измерить длину предмета, его помещают между губками 1 и

2 и сдвигают их до соприкосновения с предметом (но без сильного нажима).

Стопорный винт 4 позволяет зафиксировать расстояние между ножками 1 и 2,

т. е. измеряемую длину. Затем по линейке и нониусу отсчитывают длину так,

как описано ниже.

Нониус представляет собой короткую линейку с нанесенными на ней

делениями, скользящую вдоль шкалы основной линейки (рис. 2.2). Но длина

9

делений нониуса l1 не равна длине делений на линейке l2 (l2 = 1 мм). Число же n

делений на нониусе бывает либо 10, либо 20. Обычно соотношение между l1 и l2

имеет вид

21

12 lnln . (2.1)

Рис. 2.2. Элемент шкалы штангенциркуля

Если n = 10, то длина десяти делений нониуса (вся его шкала) равна

длине 19 делений шкалы линейки (этот случай проиллюстрирован на рис. 2.2).

Если n = 20, то длина шкалы нониуса равна длине 39 делений шкалы линейки.

Иногда используются нониусы, у которых соотношение длин иное:

21

1 lnln . (2.2)

В таких нониусах, как это видно из выражения (2.2), длина деления

нониуса меньше длины деления шкалы линейки. В дальнейшем речь пойдет о

нониусах, описываемых формулой (2.1), поскольку они встречаются чаще. Из

этой формулы следует, что длина деления нониуса выражается формулой:

n

lll 2

212 . (2.3)

Величина l2/n называется точностью нониуса и обозначается буквой .

Название это означает, что с помощью нониуса можно измерять длину с

точностью, составляющей 1/n от цены деления шкалы линейки. Если число

делений на нониусе равно 10, то точность нониуса равна 0,1 мм. Если n = 20, то

она равна 0,05 мм. Значение точности нониуса обычно указано на приборе,

снабженном нониусом. Из (2.3) видно, что

12

2 2 lln

l . (2.4)

10

При измерении длины какого-нибудь тела линейкой с нониусом тело

помещают так, чтобы один его конец А (рис. 2.3) совпал с нулевой отметкой

линейки. К другому концу В подводят нулевое деление шкалы нониуса. Так как

длины делений нониуса и линейки неодинаковы, то при любом положении

нониуса относительно шкалы линейки одно из делений нониуса непременно

совпадет с каким-нибудь делением линейки. На этом и основан отсчет длин по

линейке с нониусом.

5 10 15 20 25

5 10

2ml2

ml1

k

k+1

A B

L

Рис. 2.3. Пример измерения длины тела АВ с помощью штангенциркуля

В самом деле, пусть конец тела В оказался между k-м и (k+1)-м

делениями шкалы линейки. Длина тела AB, следовательно, равна k+L, где k –

целое число миллиметров, а L – неизвестная доля (k+1) миллиметра.

Допустим, что с каким-то делением линейки совпало m-е деление нониуса. Из

формулы (2.3) видно, что одно деление нониуса расходится с двумя делениями

линейки на величину, равную точности нониуса . Значит, m делений нониуса

разойдутся с 2ml2 делениями шкалы на величину, равную m значениям

точности нониуса. Но это расхождение и есть искомая величина L. Это видно

из рис. 2.3. Итак, mllmmlmlL 1212

22 . Значит, длина тела AB

равна

mklL 2 . (2.5)

Итак, отсчет длины тела выполняется следующим образом:

1) по шкале линейки отсчитывается целое число миллиметров от нуля

линейки до нуля нониуса;

11

2) затем находят то деление шкалы нониуса, которое совпадает с каким-

либо делением линейки, и умножают номер этого деления на точность нониуса.

Это дает число десятых и сотых долей миллиметра. Формула (2.5) верна и в том

случае, когда нониус устроен согласно формуле (2.2), т. е. когда длина деления

нониуса меньше, чем у линейки. Примеры отсчета по нониусу, для которого

l2 = 1 мм и = 0,1 мм, приведены на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Примеры отсчета по нониусу, для которого l2 = 1 мм и = 0,1 мм

2.2. Микрометр

Для измерения длины с еще большей точностью – до 0,01 мм –

используется микрометр (рис. 2.5). Главная его часть – микрометрический винт

2 с шагом, равным 0,5 мм, который проходит через стебель 3. Другой конец

винта скреплен внутри с полым цилиндром – барабаном 4, который скреплен, в

свою очередь, с трещоткой 5. Вращением барабана винт перемещается,

ввинчиваясь во внутреннюю резьбу стебля 3, закрепленного в скобе 7. На

другой стороне скобы имеется упор 1. Винт 2 и упор 1 образуют как бы тиски, в

которые и зажимается измеряемое тело.

Рис. 2.5. Микрометр

На рис. 2.6 стебель и барабан показаны более детально. На скошенном

срезе барабана 1 по его окружности нанесена круговая шкала, имеющая 50

12

делений. При вращении барабана в резьбовой втулке 3 микровинт 2 скользит

вдоль неподвижного стебля 4, на котором нанесена горизонтальная ось. Ниже

этой оси миллиметровые деления, а выше нее – точно такие же деления, но

сдвинутые относительно нижних на 0,5 мм вправо.

Рис. 2.6. Детальное изображение стебля и барабана микрометра

(элементы 3 и 4 на рис. 2.5)

Тогда стебель винта и упор соприкасаются, край барабана должен

совпасть с нулевым делением нижней линейки шкалы, а нулевое деление

барабана должно в точности совпасть с осью линейной шкалы. Так как шаг

микрометрического винта равен 0,5 мм, а на барабане 50 делений, то поворот

на одно деление соответствует смещению винта по горизонтали на 0,01 мм. Эта

цифра дает точность микрометра.

Как уже сказано выше, при измерении какого-либо линейного размера

тело помещают между стеблем винта и упором. Затем вращают барабан,

пользуясь насечкой и трещоткой 5 (рис. 2.5) до тех пор, пока тело не окажется

«зажатым». При этом нужно помнить, что заканчивать вращение барабана

нужно обязательно трещоткой 5. При первом же звуке трещотки вращение

нужно прекратить и сделать отсчет показания микрометра. Трещотка

обеспечивает равномерность нажатия и предотвращает появление

неисправностей, возникающих из-за слишком сильного «сдавливания»

предмета. При необходимости микровинт может быть закреплен при помощи

стопора 6.

Отсчет показания микрометра делается так: по нижней линейной шкале

отсчитывается число n – номер деления нижней линейной шкалы, ближайшего

13

к краю барабана. Этот номер дает целое число миллиметров. Если между ним и

краем барабана не видно деления верхней шкалы (рис. 2.7, а и 2.7, в), то

измеряемая длина определяется по формуле:

ммnnL 01,0 , (2.6)

где n' – номер того деления на круговой шкале барабана, которое либо совпало

с осью линейной шкалы, либо находится сразу под ней. Если же между n-м

делением нижней шкалы и краем барабана видно деление верхней линейной

шкалы (рис. 2.7, б и 2.7, г), то длина тела определяется выражением:

ммnnL 01,05,0 . (2.7)

Рис. 2.7. Примеры отсчета показаний микрометра

2.3. Линейка

Линейка является простейшим измерительным инструментом,

представляющим собой узкую пластину, у которой как минимум одна сторона

прямая. Обычно линейка имеет нанесенные штрихи (деления), кратные единице

измерения длины (сантиметр, миллиметр, дюйм), которые используются для

измерения расстояний. Несмотря на большое разнообразие линеек (угольники,

рулетки, измерительные ленты и т. п.), принцип измерений одинаков. Начало

линейки совмещается с одним из концов предмета, а положение второго конца

предмета на шкале линейки позволяет зафиксировать его длину с точностью до

0,1 см.

14

3. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Плотностью вещества называется величина, равная отношению массы

тела m к его объему V; иначе говоря, плотность вещества – это величина, равная

массе единицы объема этого вещества:

V

m . (3.1)

Масса относится к числу немногих величин, значения которых могут

быть определены непосредственным измерением с помощью взвешивания на

весах (см. п. 1). Напротив, объем тела определяется обычно путем косвенных

измерений. В случае образцов правильной геометрической формы (цилиндры,

призмы, конусы и т. п.) объем тела находят из измерений его линейных

размеров (см. п. 2). Если же нужно определить плотность вещества образца

неправильной формы или, например, для сыпучих тел, то вычисление объема

через линейные размеры невозможно, и тогда используют другие методы.

Среди них – так называемый пикнометрический метод, в котором измерение

объема заменяется серией взвешиваний.

В настоящем лабораторном практикуме подробно описаны и

используются оба эти способа определения плотности тел.

Лабораторная работа № 1. Определение плотности вещества тел

правильной геометрической формы

Цель работы: ознакомиться с простейшими методами измерения длины

и массы, входящих в число основных величин, на которых основана система

единиц СИ, и связанной с ними производной величины – плотности вещества.

Другая, не менее важная, цель работы – научиться объективно оценивать

погрешности непосредственно измеряемых величин (прямые измерения) и

непосредственно не измеряемых величин (косвенные измерения).

Краткая теория

Распределение массы по объему тела характеризуется величиной,

называемой плотностью. В общем случае при неравномерном распределении

массы по объему тела плотность определяется следующим образом:

15

dV

dm

V

m

V

lim

0

. (3.2)

Здесь m – масса, заключенная в объеме V, который при предельном

переходе стягивается в точку, в которой определяется плотность. Очевидно, что

в общем случае плотность зависит от положения точки, то есть = (x, y, z).

Предельный переход в (3.2) не следует понимать так, что V стягивается

буквально в точку, так как такое понимание математического определения

предела приводит к тому, что величина плотности будет изменяться

скачкообразно от точки к точке. Действительно, почти вся масса атома

сосредоточена в его ядре, размер которого примерно в сто тысяч раз меньше

размера самого атома. Поэтому для двух практически совпадающих точек, одна

из которых приходится на ядро, а другая – на промежуток между атомами,

получились бы результаты, колоссально отличающиеся друг от друга. В физике

под предельным переходом V0 понимают уменьшение V до такой степени,

пока не будет достигнут физически бесконечно малый объем. Под физически

бесконечно малым объемом понимают такой объем, который, с одной стороны,

достаточно мал, чтобы макроскопические свойства его можно было считать

одинаковыми, с другой стороны, достаточно велик, чтобы он содержал большое

число молекул и не проявлялась дискретность (прерывность) вещества.

Если тело однородно, то есть его свойства во всех точках одинаковы, то

плотность будет определяться по формуле (3.1). Так, например, если образец

можно считать прямым круговым цилиндром, то объем его рассчитывается по

формуле:

ld

V4

2

, (3.3)

где d – диаметр основания цилиндра, а l – его длина. Тогда, если предположить,

что образец однороден, плотность его вычисляется по формуле:

ld

m2

4

. (3.4)

16

Важно отметить, что в эту формулу входят только величины, значения

которых определяются из прямых измерений. Итак, если моделью образца,

плотность которого подлежит измерению, является однородный круговой

цилиндр, то определяется по формуле (3.4).

Обсудим более подробно понятие модели объекта (явления, процесса) и

возникающей в связи с этим погрешности измерений. Под моделью понимают

некоторый мысленный образ объекта (явления, процесса), опирающийся на уже

известные понятия, позволяющий построить полезную аналогию, получить

удобную математическую формулу для описания связи между свойствами

объекта. Можно сказать, что мы мыслим моделями или, точнее, когда мы

говорим что-либо о каком-нибудь объекте (явлении), мы передаем на самом

деле информацию о параметрах модели этого объекта (явления). Ни одна

модель не может быть вполне безупречной, абсолютно точной, иначе говоря, не

может быть полностью адекватна реальному объекту. В силу этого степень

адекватности модели подлежит экспериментальной проверке. Примерами

моделей в механике являются, например, материальная точка, абсолютно

твердое тело, идеальная жидкость и другие.

В данной работе исследуемый объект – образец некоторого вещества,

измеряемое свойство – плотность этого вещества. Для определения численного

значения плотности необходимо провести косвенное измерение. При

проведении косвенного измерения всегда используется модель исследуемого

объекта. Визуальные наблюдения позволяют предположить модель формы

исследуемого объекта – прямой круговой цилиндр. Следствием этого является

формула (3.3) для определения объема образца. Предположение об

однородности образца не столь очевидно, оно не следует из визуальных

наблюдений, а определяется скорее способом и технологией изготовления

образца. Таким образом, предполагается, что справедлива формула (3.1), где

объем определяется формулой (3.3), то есть что плотность может быть

вычислена по формуле (3.4). Итак, проведя прямые измерения диаметра d,

длины l и массы m цилиндра и подставив результаты этих измерений в (3.4),

17

можно определить численное значение плотности вещества, из которого

изготовлен цилиндр. Очевидно, что полученное значение будет отягощено

погрешностью, которая обусловлена погрешностями измерительных

инструментов. Кроме того, неточное соответствие между свойствами реального

объекта и его моделью является источником еще одной погрешности (помимо

инструментальной) – погрешности методической (погрешности модели).

Поясним это на примере.

Предположим, что в качестве модели основания цилиндра выбран круг и

измеряется диаметр образца, который, согласно модели, должен быть одинаков

(рис. 3.1).

Рис. 3.1. Примеры моделей основания цилиндра

Пусть для того, чтобы определить пригодность этой модели, измерения

проводят в различных направлениях. Если при этом разности результатов

измерения будут меньше погрешности прибора, то можно считать, что модель

круга является адекватной при описании формы основания образца с

точностью, равной погрешности прибора. Однако может оказаться, что

разность результатов измерений в разных направлениях превышает

погрешность прибора. Этот факт указывает на неточность выбранной модели и

требует более строгого анализа полученных результатов. Если при проведении

такого анализа обнаруживается, например, что наибольший и наименьший

результаты получены при измерениях во взаимно перпендикулярных

направлениях и при этом результаты от максимального до минимального

меняются достаточно монотонно, то это позволяет предложить в качестве

18

уточненной модели формы основания эллипс (рис. 3.1). Таким образом, если в

этой ситуации при определении плотности образца используется модель круга

для формы основания, то полученный результат будет отягощен погрешностью.

Эта погрешность есть следствие неточности модели, то есть это погрешность

модели. Она имеет систематический характер. Проведение измерений в

различных направлениях позволяет обнаружить и частично исключить эту

погрешность, введя поправленную модель для формы основания – эллипс.

Площадь эллипса, как известно, рассчитывается по формуле S = (/4)ab, где а и

b – длины осей эллипса (рис. 3.1). Очевидно, при этом изменится и формула

(3.4). Она будет иметь вид: = (4m)/(abl). Следует понимать, однако, что

модель эллипса не является единственной, описывающей наблюдаемое

изменение результатов измерения диаметра. Такое изменение результатов

можно описать, используя, например, модель четырехцентрового овала. Какая

из возможных моделей в данной ситуации верна, можно установить только

дальнейшими экспериментами.

В описанном выше примере показан один из способов частичного

исключения погрешности модели путем проведения измерений при различных

условиях: проводились измерения диаметра основания в разных направлениях.

Однако, в отличие от предыдущего примера, часто бывает, что анализ

результатов измерений не выявляет какой-либо закономерности их изменения.

Рассмотрим следующий пример. Поскольку предполагается использование

модели прямого кругового цилиндра, то, согласно этой модели, диаметр

цилиндра должен быть одинаков на разных высотах. Пусть при проведении

таких измерений оказалось, что полученные результаты изменяются

беспорядочно, без какой-либо видимой системы. Причиной этому, помимо

неизбежных погрешностей случайного происхождения, является сложный вид

образующей. То есть цилиндр нельзя считать прямым, образующая которого

есть отрезок прямой (рис. 3.2). Тем самым при вычислении объема цилиндра по

формуле (3.3) будет допускаться погрешность, обусловленная погрешностью

модели и имеющая систематический характер.

19

Рис. 3.2. Модель цилиндра со сложной образующей

Для исключения такой погрешности надо предложить (как это делалось в

предыдущем примере) уточненную модель образующей, но полученные

результаты не дают достаточной информации для этого. Следовательно, каким-

либо образом необходимо хотя бы провести оценку погрешности, вносимую

неточностью модели. Для этого можно использовать так называемую

процедуру рандомизации. Она предполагает такую методику проведения

измерений, при которой погрешности, имеющей в принципе своей причиной

неточность модели и выступающей как систематическая, можно было бы

придать свойства случайной погрешности. В данном примере такую ситуацию

можно создать, если высоты, на которых проводятся измерения диаметра,

выбираются случайным образом. Среднее значение результатов таких

измерений можно считать наилучшей оценкой значения диаметра, который

является параметром модели прямого кругового цилиндра, и, следовательно,

пользоваться для определения объема образца формулой (3.3), в которую

вместо d следует подставлять среднее значения диаметра. Очевидно, что такой

способ определения «диаметра» образца отягощен погрешностью, но теперь эту

погрешность можно оценить по формулам оценки случайной погрешности.

Рассмотренные выше примеры исключения и оценки погрешности

измерений, привносимой неточностью, неадекватностью модели объекта,

свойства которого измеряются, достаточно искусственны и элементарны.

Однако они демонстрируют основные черты такого анализа, применимого в

20

той или иной степени в более общих случаях. К сожалению, однозначных

рецептов для анализа адекватности модели дать невозможно.

В заключение следует отметить, что зачастую вообще невозможно

сформулировать достаточно простую модель формы образца, плотность

которого измеряется. Так бывает, если нужно определить плотность вещества

образца неправильной формы, например, сыпучих тел. В этом случае

вычисление объема через линейные размеры невозможно, и тогда используют

другие методы измерения плотности. Среди них так называемый

пикнометрический метод, в котором измерение объема заменяется серией

взвешиваний. Этот способ подробно изложен в описании к лабораторной

работе № 2.

Методика проведения эксперимента

Для определения плотности однородного образца, геометрическая форма

которого моделируется прямым круговым цилиндром, необходимо, согласно

(3.4), провести прямые измерения массы образца m и его линейных размеров

(l, d). Измерение массы с помощью весов описано в п. 1, а линейных размеров

образца с помощью микрометра и штангенциркуля – в п. 2.

Порядок выполнения работы и условия эксперимента

1. Получить у преподавателя образец, плотность вещества которого

должна быть измерена.

2. Обдумать, какие линейные размеры должны быть измерены для

последующего вычисления объема тела.

3. Выбрать, каким из предложенных приборов (штангенциркулем или

микрометром) следует выполнять измерения каждого из линейных размеров.

4. Выполнить все необходимые измерения не менее чем 5 раз.

Результаты измерений занести в таблицу. Таблица с результатами должна быть

подписана преподавателем.

5. Взвесить тело на аналитических весах или по результатам измерений

линейных размеров тела получить у преподавателя значение массы образца с

известной погрешностью.

21

6. Вычислить значение плотности вещества, из которого изготовлен

образец, по формуле (3.4).

Обработка результатов эксперимента

Обработать результаты измерений диаметра d, длины l и массы m образца

имеющего цилиндрическую форму, а также погрешности для прямых

измерений, согласно алгоритму, описанному в п. 4. Получить для каждой

величины результат по форме с доверительной вероятностью p = 0,95:

...,)(

...,)(

...,)(

pгmmm

pммlll

pммddd

Далее, подставляя средние значения измеренных величин формулу (3.4),

определяется наилучшая оценка истинного значения плотности вещества, то есть

ld

m

2

4

. (3.5)

Теперь необходимо определить погрешность величины, которая

является результатом косвенного измерения. Для этого надо использовать

формулу для определения погрешности косвенного измерения, которая в

общем случае имеет вид:

,1

2

n

iix

ix

yy

где y – абсолютная погрешность косвенно измеренной величины y, которая

является функцией измеренных напрямую величин x1, x2, xn, имеющих

абсолютные погрешности x1, x2, xn, В данном случае y x1 m, x2 d и

x3 l. Эта зависимость определяется формулой (3.4). Итак,

222

l

ld

dm

m

. (3.6)

Фигурирующие здесь частные производные находятся так же, как и

обыкновенные производные от функции , но при условии, что при взятии

производной все аргументы, кроме того, по которому берется производная,

22

считаются постоянными. В результате для определения погрешности

вычисления плотности получается следующее выражение:

22

42

l

l

d

d

m

m (3.7)

Окончательный результат для плотности должен быть записан в виде:

95,0,/)(3

pсмг .

Теперь можно провести сравнение полученного значения плотности

вещества с табличным значением. При ссылке на справочник обязательно

нужно указать автора, название, издательство и год.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение плотности вещества.

2. В каких случаях можно проводить определение плотности с помощью

массы и линейных размеров тела?

3. Что такое нониус? Как определяется его точность? Как проводится

отсчет по нониусу?

4. Поясните алгоритм измерения линейных размеров тела с помощью

штангенциркуля и микрометра.

5. Что такое погрешность модели?

Лабораторная работа № 2. Измерение плотности твердых тел

пикнометрическим методом

Цель работы: ознакомление с устройством аналитических весов и

методами высокоточного взвешивания, определение плотности образцов

неправильной формы при помощи пикнометра.

Краткая теория

Плотностью вещества называется величина, равная отношению массы

тела m к его объему V, которая определяется выражением (3.1). При определении

плотности вещества образцов сложной геометрической формы вычислить объем

образца через линейные размеры невозможно. В этом случае используют другие

методы, среди которых так называемый пикнометрический метод.

23

Пикнометр (от греческого «пикнос» – плотный) представляет собой

сосуд, изготовленный из стекла (вследствие его малой химической активности),

объем которого известен с большой точностью. По ГОСТу при объеме

пикнометра 100 см3 допустимая погрешность составляет 0,12 см3, а для

пикнометра высшего класса – 0,012 см3. Сосуд имеет узкое горло и глухую

пробку для уменьшения испарения. Такая конструкция пикнометра позволяет

достаточно точно заполнить его жидкостью до метки, нанесенной на узком

горлышке. Объем жидкости в этом случае и есть обозначенный объем

пикнометра.

Пикнометрический метод измерения плотности состоит в следующем:

1. Пикнометр заполняют дистиллированной водой (до метки), закрывают

пробкой и взвешивают. Масса пикнометра с водой M0, очевидно, равна:

РРmVM

00 , (3.8)

здесь 0 – плотность воды при температуре опыта, VР и mР – объем и масса

сосуда.

2. Взвешивают исследуемый образец. Очевидно, что его масса m равна:

Vm , (3.9)

где – искомая плотность образца и V – объем образца.

3. Взвешенный образец погружают в пикнометр с водой. Излишек воды

удаляют, чтобы ее уровень снова совпал с меткой на горлышке пикнометра.

Определяют массу M пикнометра с водой и образцом:

pppp

mVVmmVVVM 00

. (3.10)

Вычитая (3.10) из (3.8) и прибавляя (3.9), определяем массу вытесненной воды:

VmMM00

и, определив отсюда объем V, получим выражение для

искомой плотности:

0

0

mMM

m

V

m. (3.11)

Эта формула используется в работе для вычисления плотности. Однако

следует помнить, что получена она при условии точного равенства заполнения

24

пикнометра до и после помещения в него образцов. Оценим погрешность,

допускаемую в том случае, когда объемы заполнения до и после погружения

образцов в пикнометре отличаются на величину v. Тогда уравнение (3.10) будет

иметь вид

pp

mvVVmM 0

. (3.12)

Решая систему уравнений (3.8), (3.9), (3.12), получим для расчета

плотности вместо формулы (3.11) следующее выражение:

0

00

0

00

0

1

1

MMm

vMMm

m

vMMm

m

.

Расчет плотности по формуле (3.11) в этом случае привел бы к неверному

значению . Нетрудно получить, что

V

V

V

v

V

vp

p

1

1

1

1

.

Проведем оценку. При площади сечения горлышка пикнометра 0,5 см2 и

несовпадения уровней до и после погружения образцов ~1 мм величина v

составит около 0,05 см3, что дает значение v/V (Vp = 100 см3) порядка 0,15 %.

Объем образцов V выбирается так, чтобы V/Vp 1/3. Таким образом, получаем,

что несовпадение объема заполнения пикнометра до и после погружения

образцов может привести к ошибке около (0,1–0,2) % от истинного значения

плотности. В дальнейшем для определения будет использоваться формула

(3.11). Из нее видно, что пикнометрический способ предполагает как можно

более точное измерение масс M, m и M0. В данной работе для этой цели

используются аналитические весы АДВ-200.

Методика эксперимента

Измерение массы выполняется путем высокоточного взвешивания на

аналитических весах, как описано в п. 1. Однако результат взвешивания

отягощен еще одной погрешностью, которая возникает, потому что

взвешивание производится в воздухе. Дело в том, что при взвешивании

25

определяется в общем-то не масса образца, а сила, действующая со стороны

образца на коромысло весов (точнее, момент этой силы). Эта сила зависит от

того, в какой среде находится образец, так как на тело, кроме силы тяжести,

действует еще и выталкивающая сила Архимеда. Однако возникающую в силу

этого погрешность можно исключить, введя поправку на кажущуюся потерю

веса тела в воздухе (в воде). Такую поправку можно ввести для каждого

результата взвешивания, необходимого для определения , и уже поправленные

значения М, М0 и m подставить в формулу (3.11) и получить поправленное

значение плотности образца. Но поправленное значение можно определить и

другим способом.

Непоправленная плотность, как говорилось выше, определяется по

формуле (3.11). Введем обозначения: 1 – истинная плотность образца, a –

плотность воздуха, b – плотность разновесов материала. Тогда 1V будет

истинная масса кусочков испытуемого тела, 0V – истинная масса вытесненной

ими воды, aV – масса воздуха, вытесненного кусочками и, m(a/b) – масса

воздуха, вытесненного разновесами, уравновешивающими кусочки, а

(M0–M–m)(a/b) – масса воздуха, вытесненного разновесами,

уравновешивающими вытесненную воду. Тогда

b

a

a

b

a

amVmmVV

1 или ,

11 .

Аналогично для воды имеем:

b

a

amMMV

1

00 .

Деля эти равенства, получаем:

mMM

m

0a0

a1

,

откуда

a

0

a

aa0

0

11

mMM

m

. (3.13)

26

Порядок выполнения работы и условия эксперимента

1. Определить нулевую точку весов и цену деления световой шкалы.

2. Взвесить пикнометр с водой. Взвешивание произвести не менее 5 раз,

используя различные наборы разновесов. Найти средние, случайные и

систематические погрешности величины M0.

3. Взвесить исследуемые образцы, как это делалось в п. 2 для

пикнометра с водой. Их объем должен составлять примерно треть объема

пикнометра.

4. Высыпать образцы в пикнометр. Отобрать излишек воды (шприцем

или фильтровальной бумагой). При этом следует обратить внимание на то,

чтобы на кусочках не оставались пузырьки воздуха. Определить массу M

пикнометра с остатками воды и образцами, как в п. 2.

5. Рассчитать значение и его погрешности. Определить исправленное

значение плотности 1.

Обработка результатов эксперимента

После выполнения всех взвешиваний в нашем распоряжении имеется

набор средних значенийM0 ,M,m, а также их систематические и случайные

погрешности. По средним величинам рассчитывается неисправленное значение

плотности по формуле (3.11) и исправленное с учетом выталкивающей силы

воздуха значение плотности 1 по формуле (3.13). Величины 0 и а берутся из

таблиц и в дальнейшем их можно считать известными точно. Значение

является результатом косвенных измерений, т. е. погрешность этой величины

определяется по формуле (считаем, что 0 = 0):

22

0

0

2

M

MM

Mm

m

.

Проведя дифференцирование, получаем:

2

0

2222

02

0

0 MMmmMMMMm

(3.14)

27

Подставляя сюда случайные погрешности m, M, M получаем погрешность

, обусловленную случайными погрешностями ( ) (точнее, учитывая

рандомизацию погрешности разновесов). Если в (3.14) подставить

систематические погрешности, то получим погрешность с, обусловленную

систематическими погрешностями прямых измерений. Полная погрешность

рассчитывается по формуле: 22

с

.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение плотности вещества.

2. В каких случаях используется пикнометрический метод?

3. Как и для чего определяется нулевая точка весов?

4. Что такое чувствительность весов? В каких единицах она выражается?

5. Что такое цена деления шкалы весов? В каких единицах она

выражается? Для чего и как она определяется?

28

4. ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

И ИХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

В данном разделе приведем пример обработки результатов измерений

диаметра стального шарика с помощью микрометра с ценой деления барабана

0,01 мм. При пользовании микрометром, согласно его паспорту, необходимо

проверить нулевую отметку. При измерении микрометром обязательно

пользоваться трещоткой, вращая ее плавно, без рывков.

1. Измерение нуля микрометра d0

Запишем результаты измерений в таблицу 1

Таблица 1

Пример записи результатов измерений нуля инструмента в таблицу

№ п/п doi, мм

1 0,17

2 0,17

3 0,17

1.1. Вычисляем среднее арифметическое значение o

_

d :

3

1

_

170,0)17,017,017,0(3

1

3

1

i

oioммdd .

Примечание. Результат очевиден, поскольку мы получили три

одинаковых значения. Однако мы пишем o

_

d = 0,170 мм – на один знак больше,

потому что, во-первых, среднее всегда точнее, так как случайные погрешности

частично компенсируются, во-вторых, расчеты рекомендуется вести на порядок

точнее, чем окончательный результат, чтобы погрешность округления не

внесла заметный вклад.

1.2. Вычисляем случайную погрешность )(0

0d по формуле:

)1(

)(1

2

95,0,3

NN

xx

t

N

i

i

p

o

29

00,0)13(3

)170,017,0()170,017,0()170,017,0(30,430,4)(

222

0

x

o

Sd мм.

1.3. Записываем систематическую погрешность )(0d

с , равную цене

деления барабана микрометра: 01,0)(0 d

с мм.

1.4. Рассчитываем полную погрешность (0

d ) следующим образом:

ммdddс

01,0)00,0()01,0())(())((222

0

02

00 .

1.5. Записываем результат по форме: ммd )01,017,0(0

, р = 0,95.

2. Проводим измерение диаметра стального шарика dк. При измерении

диаметра стремимся возможное различие в диаметре в зависимости от места

измерения свести к случайной погрешности. Результаты измерения заносим в

таблицу 2 (первый и второй столбцы);

Таблица 2

Пример записи результатов измерений в таблицу

№ п/п dki, мм

ммd

ммdd

k

kki

922,4

),(

22,)( ммdd kki

1 4,92 –0,002 0,000004

2 4,90 –0,022 0,000484

3 4,92 –0,002 0,000004

4 4,92 –0,002 0,000004

5 4,95 +0,028 0,000784

0,000 0,001280

2.1. Вычисляем среднее арифметическое значение кd_

:

ммddi

кiк922,4

5

61,24)95,492,492,490,492,4(

5

1

5

1 5

1

_

;

2.2. Определяем случайную погрешность )d(ê

0 . Для удобства

вычисления случайной погрешности в таблице добавляем два последних

столбца: в третьем столбце таблицы построчно рассчитываются значения

разности )( kkidd с учетом знака, а во втором – квадрат значения, полученного

30

в третьем столбце 2)( kki

dd . Проверкой правильности вычислений найдем

сумму значений в третьем (

N

i

kikdd

1

)( ) и четвертом (

N

i

kikdd

1

2)( ) столбцах.

Если значение суммы в третьем столбце равно нулю, значит, вычисления

выполнены верно, и можно приступать к расчету случайной погрешности.

)1(

)(1

2

95,0,5

NN

dd

t

N

i

kik

p

o

,

ммSdxк

o

02224,0)15(5

001280,078,278,2)(

;

2.3. Записываем систематическую погрешность )(ксd , равную цене

деления барабана микрометра: 01,0)( ксd мм.

2.4. Рассчитываем полную погрешность ( кd ) следующим образом:

ммdddккск

024385,0)02224,0()01,0())(())((22202 .

2.5. Записываем результат по форме: ммdк

)024,0922,4( , р = 0,95.

3. Вычисление диаметра стального шарика d с учетом смещения нуля

прибора (используем результаты, полученные в п. 1 и п. 2):

.026,0

026356,0)024,0()01,0()()(

,752,4170,0922,4

2222

0

0

мм

ммddd

ммddd

к

k

Ответ: )026,0752,4( d мм.

31

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основная литература

1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Механика. Т. 1 /

Д.В. Сивухин. – М. : Физматлит, 2006. – 520 с.

2. Зайдель, А.Н. Ошибки измерений физических величин :

Методические рекомендации / А.Н. Зайдель. – СПб. : Лань, 2005. – 112 с.

3. ГОСТ Р 8.736 – 2011 ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы

обработки результатов наблюдений. Основные положения. – М. :

Стандартинформ, 2013. – 19 с.

4. Краткие сведения по обработке результатов физических

измерений. Методические указания / Под ред. Г.П. Яковлева. –

Екатеринбург : Изд-во Уральского университета, 2003. – 52 с.

5. Степанова, Е.А. Основы обработки результатов измерений : учебное

пособие / Е.А. Степанова, Н.А. Скулкина, А.С. Волегов. – Екатеринбург. : Изд-

во УрФУ, 2014. – 98 с.

Дополнительная литература

1. Иеверонова, В.И. Физический практикум. Механика и молекулярная

физика / В.И. Иеверонова. – М. : Наука, 1967. – 353 с.

Учебный электронный текстовый ресурс

Скулкина Н.А., Колчанова С.Г., Вилисова Е.А.,

Студенок С.И., Черняк В.Г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕЩЕСТВА

Описания лабораторных работ № 1 и № 2

к курсу общей физики «Механика»

Подготовка к публикации А.В. Ерофеевой

Разрешен к публикации 26.12.2016

Электронный формат – pdf

Объем 1,0 уч.-изд. л.

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Информационный портал

http://www.urfu.ru