GUIA_3_DEFORMACIÓN SIMPLE

2008-2009

Ing. Ramón E. Vilchez G.

e-mail:

[email protected]

Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”.

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. GUÍA N 3. DEFORMACIÓN SIMPLE

Web: http://resistenciadelosmaterialesunefm.blogspot.com

U.N.E.F.M. RESISTENCIA DE LOS MATERIALES. TEMA N° 2. DEFORMACIÓN SIMPLE

Prof. Ing. Ramón E. Vilchez G. e-mail: [email protected]

Web: http://resistenciadelosmaterialesunefm.blogspot.com Página 2

Contenido Propiedades Mecánica de los Materiales: .................................................................................... 3

Deformación Simple (δ): ............................................................................................................... 5

Deformación Unitaria (ε): ........................................................................................................... 6

Diagrama Esfuerzo- Deformación. ................................................................................................ 6

La ley Hooke ................................................................................................................................. 8

Deformación Axial: ........................................................................................................................ 8

Elementos estáticamente indeterminados: ................................................................................... 9

Deformación que Causan los Cambios de Temperatura ............................................................ 10

Coeficiente de Expansión Térmico (α): ................................................................................... 10

Expansión Térmica:................................................................................................................. 10

Esfuerzo Térmico: ................................................................................................................... 11

Problemas Propuestos................................................................................................................ 12




Propiedades Mecánica de los Materiales:

a) Resistencia mecánica: la resistencia mecánica de un material es su capacidad de resistir

fuerzas o esfuerzos. Los tres esfuerzos básicos son:

Esfuerzo de Tensión: es aquel que tiende a estirar el miembro y romper el material.

Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la misma dirección, magnitud y

sentidos opuestos hacia fuera del material. Como se muestra en la siguiente figura. Y

viene dado por la siguiente fórmula:

TA

T

elemtodelltransversaÁrea

elemetodelltransversaáreaallarperpendicuFuerza

.___

______

Esfuerzo de compresión: es aquel que tiende aplastar el material del miembro de carga

y acortar al miembro en sí. Donde las fuerzas que actúan sobre el mismo tienen la

misma dirección, magnitud y sentidos opuestos hacia dentro del material. Como se

muestra en la siguiente figura. Y viene dado por la siguiente fórmula:

TA

C

elemtodelltransversaÁrea

elemetodelltransversaáreaallarperpendicuFuerza

.___

______

T T

Lo

T T

Lf

Figura N° 1. Elemento sometido a Tensión




Esfuerzo cortante: este tipo de esfuerzo busca cortar el elemento, esta fuerza actúa de

forma tangencial al área de corte. Como se muestra en la siguiente figura. Y viene dado

por la siguiente fórmula:

cA

V

elemtocortedeÁrea

elemetodelltransversaáreaalgencialFuerza

.___

_____tan_

b) Rigidez: la rigidez de un material es la propiedad que le permite resistir deformación.

c) Elasticidad: es la propiedad de un material que le permite regresar a su tamaño y formas

originales, al suprimir la carga a la que estaba sometido. Esta propiedad varía mucho en los

diferentes materiales que existen. Para ciertos materiales existe un esfuerzo unitario más

allá del cual, el material no recupera sus dimensiones originales al suprimir la carga. A este

esfuerzo unitario se le conoce como Límite Elástico.

Plasticidad: esto todo lo contrario a la elasticidad. Un material completamente plástico es

aquel que no regresa a sus dimensiones originales al suprimir la carga que ocasionó la

deformación.

d) Ductilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones

plásticas al ser sometido a una fuerza de tensión.

e) Maleabilidad: es la propiedad de un material que le permite experimentar deformaciones

plásticas al ser sometido a una fuerza de compresión.

V

V

Área de corte

Figura N° 2. Elemento sometido a Cortante Simple




f) Deformación: son los cambios en la forma o dimensiones originales del cuerpo o elemento,

cuando se le somete a la acción de una fuerza. Todo material cambia de tamaño y de forma

al ser sometido a carga

Deformación Simple (δ):

Se refiere a los cambios en las dimensiones de un miembro estructural cuando este se

encuentra sometido a cargas externas.

Estas deformaciones serán analizadas en elementos estructurales cargados axialmente; es

decir, las cargas estudiadas estarán comprendidas las de tensión y compresión.

Figura N° 3. Deformación Simple

Un ejemplo de ellos:

Los miembros de una armadura.

Las bielas de los motores de los automóviles.

Los rayos de las ruedas de bicicletas.

Todo miembro sometido a cargas externas se deforma debido a la acción de esas fuerzas.




Deformación Unitaria (ε):

Se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del

elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de

tensión o compresión axial.

Entonces, la formula de la deformación unitaria es:

L

En donde:

ε: Deformación Unitaria

δ: Deformación Total

L: Longitud inicial.

Diagrama Esfuerzo- Deformación.

a

b c

d

e

Figura N° 4. Diagrama Esfuerzo Vs. Deformación




a) Límite de proporcionalidad: se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado

límite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilíneo, de donde se deduce la tan

conocida relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación enunciada en el año

1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja de ser proporcional

a la tensión.

b) Limite de elasticidad o limite elástico: es la tensión más allá del cual el material no

recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una

deformación residual llamada deformación permanente.

c) Punto de fluencia: es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia

del material sin el correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras

dura la fluencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es característico del acero al

carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales

diversos, en los que no manifiesta.

d) Esfuerzo máximo o esfuerzo de Rotura: es la máxima ordenada en la curva esfuerzo-

deformación.

e) Esfuerzo de Rotura: en el acero al carbono es algo menor que la tensión de rotura, debido

a que la tensión este punto de rotura se mide dividiendo la carga por área inicial de la

sección de la barra, lo que es más cómodo, es incorrecto.

El error es debido al fenómeno denominado estricción. Próximo a tener lugar la rotura, el

material se alarga muy rápidamente y al mismo tiempo se estrecha, en una parte muy

localizada de la probeta, de forma que la carga, en el instante de rotura, se distribuye

realmente sobre una sección mucho más pequeña.




La ley Hooke

Expresa que la deformación que experimenta un elemento sometido a carga externa es

proporcional a esta.

En el año 1678 por Robert Hooke enuncia la ley de que el esfuerzo es proporcional a la

deformación. Pero fue Thomas Young, en el año 1807, quien introdujo la expresión matemática

con una constante de proporcionalidad que se llama Módulo de Young

E

En donde:

ζ: es el esfuerzo.

ε: es la deformación unitaria.

E: módulo de elasticidad

Deformación Axial:

Recordando que la deformación unitaria es la relación que existe entre la deformación total con

respecto a su longitud inicial:

L

a

Y la Ley de Hooke es:

Fenómeno de Estricción

Falla de la Probeta

Estado inicial sin carga




Igualando la ec. (a) y la (b) se obtiene:

Esta expresión es válida bajo las siguientes hipótesis:

La carga debe ser axial.

La barra debe ser homogénea y de sección constante.

El esfuerzo no debe sobre pasar el límite de proporcionalidad.

Elementos estáticamente indeterminados:

Son aquellos elementos cargados axialmente en los que las ecuaciones de equilibrio estático

no son suficientes para determinar las fuerzas, que actúan en cada sección. Lo que da por

resultados que las reacciones o fuerzas resistivas excedan en número al de ecuaciones

independientes de equilibrio que pueden establecerse. Estos casos se llaman estáticamente

indeterminados.

A continuación se presentan unos principios generales para enfrentar estos tipos de problemas:

1. En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o parte de ella, aplicar las ecuaciones del

equilibrio estático.

2. Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio, obtener nuevas

ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas

producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas




Deformación que Causan los Cambios de Temperatura

Los elementos de máquinas cuando están en funcionamiento sufren cambios de temperatura

que provocan deformaciones en estos productos de estos diferenciales de temperatura.

Algunos ejemplos de ellos son: las piezas de los motores, hornos, máquinas herramientas

(fresadoras, tornos, cortadoras), equipos de moldeo y extrusión de plástico.

Los diferentes materiales cambian de dimensiones a diferentes tasas cuando se exponen a

cambios de temperaturas.

La mayoría de los metales se dilatan al aumentar la temperatura, aunque algunos se contraen y

otros permanecen del mismo tamaño. Estos cambios de dimensiones está determinado por el

coeficiente de expansión térmica.

Coeficiente de Expansión Térmico (α):

Es la propiedad de un material que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un

cambio unitario de temperatura.

Las unidades en que se exprese el coeficiente de expansión térmica son:

Expansión Térmica:

Son las variaciones de dimensión en un material producto de los cambios de temperatura en el

mismo. Y la ecuación es la siguiente:




TLT ..

En donde:

Esfuerzo Térmico:

Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento sometido a cambios de temperaturas se le

sujetan de tal modo que impiden la deformación del mismo, esto genera que aparezcan

esfuerzos la pieza.

Recordando que: TL

TL

L

T

...

Por la Ley de Hooke:

En donde:




Problemas Propuestos

1) Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P= 6000 kgf, como se indica en la figura la

sección AB es 4 cm2 y la de BC es 6 cm2. si E= 2x106 kgf/cm2, determinar el desplazamiento

horizontal y vertical del punto B. cmcm vH 397,1;267,0

Figura N° 5. Problema # 1.

2) Una barra prismática de longitud L, sección recta A y peso W se suspende verticalmente de

uno de sus extremos. Demostrar que su alargamiento total es AEW L

2 . Llamando w a su

peso específico demostrar también EwL

2

2

3) Una varilla de acero que tiene una sección constante de 3 cm2 y una longitud de 200 m se

suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 2500 kgf que pende de

su extremo inferior. Si el acero pesa 790 kgf/m3 y E= 2,1x106 kgf/m2. determinar el alargamiento

de la varilla.

cm69,8

4) Una barra de aluminio de sección constante de 2 cm2 soporta unas fuerzas axiales aplicada

en los puntos que indica la figura P-208. Si E= 7x105 kgf/m2. Determinar el alargamiento, o

acortamiento total de la barra.

cm43,1




5) Un tubo de aluminio está firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce como

muestra la figura P-108. se aplican cargas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el

valor de P con las siguientes condiciones: la deformación total no ha exceder de 0,18 cm, ni

las tensiones ha de sobrepasar 1400 kgf/cm2 en el acero, 850 kgf/cm2 en el aluminio ni 1250

kgf/cm2 en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente arriostrado para evitar

la flexión lateral y que los módulos de elasticidad son E=2x106 kgf/cm2 para el acero 7 x105

kgf/cm2 para el aluminio y 8x106 kgf/cm2 para el bronce.


6) Un bloque prismático de hormigón de peso W ha de ser suspendido de dos varillas cuyos

extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la Fig 7. Determinar la relación

de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.





7) Un pilar de hormigón de poca altura se refuerza axialmente con seis barras de acero de 6

cm2 de sección colocada simétricamente en círculo alrededor del eje del pilar, como se indica

en la figura N° 8. Se le aplica una carga de 120 000 kgf. Determinar las tensiones en el

hormigón y el acero teniendo en cuenta los módulos elásticos Ea=2,1x106 kgf/cm2 y Eh =1,4x105

kgf/cm2.

2250,282.1;5,85

cm

kgf

cm

kgfah

8) En el problema anterior y suponiendo que las tensiones admisibles son 1300 kgf/cm2 en el

acero y 60 kgf/cm2 en el hormigón, determinar la máxima carga axial P que se puede aplicar.

kgfP 240.84

9) Una cuadrada soporta una serie de cargas como se muestran en la figura N° 9. calcule el

esfuerzo y la deformación en cada segmento de la barra. Todas las cargas actúan a lo largo del

eje central de la barra.

30 cm

30 cm

120 ton

Fig. A Placa de apoyo






10) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N° 10.

Figura N° 10. Problema # 10 y 11.

11) Repita el problema anterior. con la barra circular de la figura N° 10. el tubo es de acero

cédula 40 de 1½ plg.

12) Un tubo de acero como se muestra en la figura, utiliza dos cables por el cual se soporta un

equipo. Sabiendo que el tubo es de acero cédula 40 de 1 ½. Determine el alargamiento del en

punto C y los esfuerzos en sección A-B y B-C.




Figura N° 11. Problema 12.

13) Una varilla de aleación de aluminio 2014-T6 de una máquina se sujeta por sus extremos

mientras se enfría a partir de 95º C. ¿A qué temperatura el esfuerzo de tensión en la varilla

seria igual a la mitad de la resistencia a la cadencia del aluminio si al principio se encuentra

libre de esfuerzo?

14) Una barra de acero con su extremo superior fijo se somete a tres cargas axiales, como se

muestra en la figura. El área de su sección circular es de 0.50 in2. determine la deflexión en

el extrema libre.





15) Una barra prismática AD está sometida a las cargas P1, P2 y P3 que actúan en los puntos B,

C y D, respectivamente, como se ve en la figura. Cada segmento de la barra tiene 20 in de

largo. La barra tiene un área transversal de 1.40 in2 y está hecha de cobre con E= 17 000

ksi. a) determine el desplazamiento D en el extremo libre de la barra. b) ¿Cuál debe ser la

carga P3 si se desea reducir el desplazamiento en el extremo D a la mitad de su valor

original?

16) Una placa de acero perfectamente rígida tiene una masa de 6000 kg, pende tres varillas

simétricamente colocadas, como se muestra en la figura. Antes de colocar la placa las

varillas en su parte inferior se encontraban en el mismo nivel. Determinar el esfuerzo en

cada varilla después de suspender la placa y una elevación de temperatura de 55ºC

Placa Rigida

Acero

L = 600 mm

L = 30 cm Bronce

W

20

in

20

in

20

in

P1: 3K P2: 3K P3:11 kN




Sabiendo que: área del acero es 5 cm2 y del bronce 10 cm2, el modulo del elasticidad del acero

Eac= 2,1x106 kgf/cm2 y el modulo del elasticidad del bronce Ebr= 8,4x105 kgf/cm2, el coeficiente

de expansión del acero αac=1,17x10-5 ºC-1 y del bronce αac=1,8x10-5 ºC-1

17) Con los datos del problema anterior determine la elevación de temperatura necesaria para

que la carga aplicada sea soportada únicamente por las varillas de acero.

18) Para el sistema mostrado en la figura. Demuestre que el esfuerzo en la varilla 1 y la varilla

dos es el siguiente:

21

21

2

*

LLA

LP

21

12

2

*

LLA

LP

, respectivamente.

19) Una viga perfectamente rígida está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas

de igual sección, pero de distinta longitud, como se indica en la figura Fig. P-251. Determinar

la fuerza de tracción en cada varilla si W= 3300 kgf.

20) La viga horizontal ABCD está soportada por barras verticales BE y CF y está cargada por

fuerzas verticales P1=100 k y P2=90 k que actúan en los puntos A y D, respectivamente

(vea la figura). Las barras BE y CF son de acero (E=29,5x106 psi) y tienen áreas

1

2

1

P




transversales ABE=22,1 in2 y ACF=18,3 in2 . Las distancias entre puntos se muestran en la

figura. Determine los desplazamientos verticales δA, δD de los puntos A y D,

respectivamente.

21) Un alambre de acero y un alambre de cobre tienen iguales longitudes y soportan iguales

cargas P (vea la figura). Los módulos de elasticidad para el acero y cobre son Es= 29 x 106

psi y Ec= 18 x 106 psi, respectivamente. A) si los alambres tienen los mismos diámetros,

¿Cuál es la razón de alargamiento del alambre de cobre al alargamiento del alambre de

acero? B) si los alambres se alargan la misma cantidad, ¿Cuál es la razón del diámetro del

alambre de cobre al diámetro del alambre de acero?

22) Una barra de acero de diámetro 0,375 in es sometida entre paredes rígidas (pero sin

esfuerzos iniciales) con el dispositivo mostrado en la figura. Calcule la caída de temperatura

ΔT (grados Fahrenheit) para que el esfuerzo cortante promedio en el perno de 0,25 in de

diámetro es de 7500 psi. (Para el acero use αs= 6,5 x 10-6/°F y Es= 30 x 106 psi).

23) Se tienen que montar un anillo de acero inoxidable AISI 301 en una flecha que está a una

temperatura de 20 °C y cuyo diámetro es de 55,2 mm. El diámetro interno del anillo es de

6 ft 6 ft 8 ft

P1 P2

9 ft

3 ft

A B C

D

E

F




55,1 mm. ¿A que temperatura se debe calentar el anillo para que su diámetro sea de 55,3

mm y se pueda deslizar en la flecha?

24) Una barra larga rectangular de cobre sometida a una carga de tensión P, cuelga un pasador

que sostiene dos postes de acero (vea la figura). La barra de cobre tiene una longitud de 26

ft, un área transversal de 6,5 in2 y un módulo de elasticidad Ec= 15 x 106 psi. cada poste

tiene una altura de 35 in, un área transversal de 8,4 in y un módulo de elasticidad Es= 29 x

106 psi. Determine el desplazamiento δ hacia abajo del extremo inferior de la barra de cobre

debido a una carga P= 85 k. b) ¿Cuál es la carga permisible máxima Pmáx si el

desplazamiento δ está limitado a 0,30 in?.

25) Una barra ABC de longitud L consiste en dos partes de igual longitud pero de diferentes

diámetros (vea la figura). El segmento AB tiene un diámetro d1= 100 mm y el segmento BC

tiene un diámetro d2= 60 mm. Ambos segmentos tienden longitud L/2 = 0.6 m. se perfora un

agujero longitudinal de d a través del segmento AB a lo largo de la mitad de su longitud. La

barra es de plástico con un modulo de elasticidad E= 4 GPa. Las fuerzas de compresión P=

110 kN actúan en los extremos de la barra. Si el acortamiento está limitado a 8.0 mm, ¿Cuál

es el diámetro permisible máximo para el agujero?




26) Un cilindro de acero S se coloca dentro de un tubo de cobre C de la misma longitud (vea la

figura). El coeficiente de expansión térmica c del cobre es mayor que el coeficiente s del

acero. Después de ensamblado, el cilindro y el tubo se comprimen entre placas rígidas por

fuerzas P. obtenga una fórmula para el incremento de ΔT que hará que el tubo de cobre soporte

toda la carga.

P

S

C

C

P

"El éxito es lo que nos da confianza para poner en práctica lo que el

fracaso nos ha enseñado."

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