Guia3-Series de Fourier
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7/24/2019 Guia3-Series de Fourier
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA
UNANMANAGUA
RECINTO UNIVERSITARIO RUBEN DARIO
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
INGENIERA EN ELECTRNICACURSO: SEALES Y SISTEMAS
Laboratorio: Introduccin a las series de Fourier con MATLAB
Elaborado por:
MSc. Jairo Gonzlez Moreno
Octubre del 2015
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ndice
INTRODUCCIN .................................................................................................................. 1
APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES ........................................ 1
Objetivos ............................................................................................................................... 3
Marco conceptual ................................................................................................................. 4
Desarrollo ............................................................................................................................. 6
Funciones Armnicas........................................................................................................ 6
EJEMPLO: SEAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES ...................................... 11
Bibliografa .......................................................................................................................... 15
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INDICE DE FIGURAS
Figura 1: Fourier ................................................................................................................... 4
Figura 2: Amplitudes diferentes ............................................................................................ 6
Figura 3: Amplitudes iguales ................................................................................................ 6
Figura 4: Fases Distintas ...................................................................................................... 7
Figura 5: Suma de funciones trigonomtricas ...................................................................... 8
Figura 6: Suma no peridica ................................................................................................. 9
Figura 7: Seal cuadrada unitaria ....................................................................................... 11
Figura 8: Espectro en amplitud ........................................................................................... 12
Figura 9: Primer armnico .................................................................................................. 13
Figura 10: Suma de primero y tercer armnico .................................................................. 13
Figura 11: Suma de tres armnicos .................................................................................... 13
Figura 12: Los primeros tres armnicos en el dominio del tiempo ...................................... 14
http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691145http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691146http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691147http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691148http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691148http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691147http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691146http://c/UNAN/Se%C3%B1ales%20y%20Sistemas/II%20semestre%202015/Guias/Guia3-Series%20de%20Fourier.docx%23_Toc432691145 -
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INTRODUCCIN
Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en
ocasiones, descomponiendo la incgnita en series (sumas infinitas). Las series ms
interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carcter peridicode tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos
oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza econmica, en electrnica
(se aplican por ejemplo en teora de seales), en acstica o en ptica. Los problemas
tericos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances
fundamentales en distintos mbitos de las matemticas y siguen siendo considerados hoy
como problemas muy difciles.
APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
Es importante considerar la aplicacin de las series de fourier, ya que estas sirven mucho
en el procesamiento digital de seales, la cual es un rea de las ciencias e ingeniera que se
ha desarrollado rpidamente en los ltimos aos.
Este desarrollo es resultado de avances tecnolgicos tanto en las computadoras como en
la fabricacin de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rpidos
han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar
funciones y tareas del procesado de seales que convencionalmente se realizaban
analgicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, ms barato y a menudo ms
fiable. Es relevante la diferencia entre una seal analgica y digital para comprender mejor el
procesamiento de seales, el nombre de una seal analgica se deriva del hecho de que es
una seal anloga a la seal fsica que se representa .La magnitud de una seal analgica
pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una seal analgica exhibe una variacin
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continua sobre su campo de actividad. La gran mayora de seales en el mundo que hay a
nuestro alrededor son analgicas. Los circuitos que procesan estas seales se conocen
como circuitos analgicos. Una forma alternativa de representacin de seal es la de una
secuencia de nmeros, cada uno de los cuales representa la magnitud de seal en uninstante determinado. La seal resultante se llama seal digital, est a diferencia de la seal
analgica es una seal que esta discretisada en el tiempo y cuantificada en magnitud. El
procesamiento de seales se correlaciona con las series de fourier ya que esta nos permite
expresar una funcin peridica de tiempo como la suma de un nmero infinito de senoides
cuyas frecuencias estn armnicamente relacionadas La importancia de esto radica en que
la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con seales, ya que para que
nosotros podamos procesar estas seales es necesario expresarlas como una combinacin
lineal de trminos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier (Grisales, 2009).
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Objetivos
Realizar una simulacin a travs de software para comprender las seales en el dominio
del tiempo.
Realizar la descomposicin de una seal a travs de los mtodos matemticos paraencontrar la serie de Fourier
Representar algunos ejemplos de la serire de fourier en el software MATLAB y ver
grficamente como se reconstruye una seal.
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Marco conceptual
Los fenmenos peridicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros
ancestros conocan las recurrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas
de los lagos y los ocanos y los ciclos del agua. El clculo y la ley de la gravitacin de IsaacNewton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus
sucesores quienes desarrollaron el anlisis de Fourier que ha tenido aplicaciones ms
profundas en el estudio de los fenmenos naturales y en el anlisis de seales y datos.
Figura 1: Fourier
Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora
digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas,
las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas
complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo.
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una
herramienta de software matemtico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con
un lenguaje de programacin propio (lenguaje M). Est disponible para las plataformas Unix,
Windows, Mac OS X y GNU/Linux.
Las ondas armnicas continuas no existen realmente, ya que todos los movimientos
ondulatorios estn limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el anlisis de
Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas ms complejas
como las que producen los instrumentos musicales.
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El anlisis de Fourier surgi a partir del intento de ste matemtico francs por hallar la
solucin a un problema prctico, la conduccin del calor en un anillo de hierro. Demostr que
se puede obtener una funcin discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Estatesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motiv severas objeciones
de los matemticos ms importantes de su poca como Lagrange, Laplace, etc.
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Desarrollo
Funciones Armnicas
En primer lugar, vamos a distinguir entre las magnitudes: amplitud A, frecuencia f y fase enla funcin armnica.
sin2. +
Dos amplitudes distintas, A=10 y A=5 y la misma frecuencia f=100 Hz, (el tiempo se mide enmilisegundos, ms)
subplot(2,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 10plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta amplitud')ylim([-11,11])
grid on
subplot(2,1,2)x=5*sin(2*pi*0.1*t); %amplitud 5plot(t,x,'r')ylim([-10,10])xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on
La misma amplitud A=10, dos frecuencias distintas f=100 y f=200 Hz
subplot(2,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t); %frecuencia, 100 Hzplot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta frecuencia')ylim([-11,11])grid on
subplot(2,1,2)x=10*sin(2*pi*0.2*t); %frecuencia, 200 Hz
plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on
Figura 2: Amplitudes diferentes
Figura 3: Amplitudes iguales
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Fases iniciales distintas: 0, /2, ,3/2, misma frecuencia f=100 Hz y misma amplitud A=10.subplot(4,1,1)t=0:0.1:50;x=10*sin(2*pi*0.1*t);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Distinta fase inicial')ylim([-11,11])grid on
subplot(4,1,2)x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi/2);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on
subplot(4,1,3)x=10*sin(2*pi*0.1*t+pi);
plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on
subplot(4,1,4)x=10*sin(2*pi*0.1*t+3*pi/2);plot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')ylim([-11,11])grid on
Una funcin peridica resultado de la superposicin de tres funciones armnicas condistintas frecuencias, amplitudes y fases iniciales.
200sin2.100 +2 + 100sin2. 200 + + 100 sin 2. 400 +3
2f=[100,200,400]; %frecuenciasA=[200,100,100]; %amplitudesphi=[90,180,270]; %fases
subplot(2,2,1)stem(f,A)axis([0,500,0,210])
xlabel('Frecuencia')ylabel('Amplitud')
subplot(2,2,2)stem(f,phi)axis([0,500,0,360])xlabel('Frecuencia')set(gca,'YTick',0:90:360)set(gca,'YTickLabel',{'0',90','180','270','360'})ylabel('Fase')
Figura 4: Fases Distintas
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subplot(2,2,3:4) %resultantet=(0:0.1:30)/1000; %milisegundosx=zeros(1,length(t));fori=1:length(f)
x=x+A(i)*sin(2*pi*f(i)*t+phi(i)*pi/180);endplot(t,x,'r')xlabel('t(ms)')ylabel('x')title('Resultante')ylim([-410,410])set(gca,'XTick',(0:5:30)/1000)set(gca,'XTickLabel',{'0','5','10','15','20','25','30'})grid on
Funcin peridica
Una funcin es peridica de periodo P si hay un nmero P>0 tal que:
+ Cualquier mltiplo n entero de P es tambin periodo
+ La funcin:
cos2+ cos4
2
Es la suma de dos funciones peridicas de periodos 1 y 0.5, respectivamente. Comopodemos ver en la grfica f(t) es peridica con periodo P=1.
Las funcionescosycos2Son peridicas de periodo
Figura 5: Suma de funciones trigonomtricas
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2 y 2/2 respectivamente, pero la suma cos+ cos2
No es peridica.
Figura 6: Suma no peridica
Serie de Fourier
A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas
representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es peridica, se puede
representar con una precisin arbitraria, mediante la superposicin de un nmero
suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armnica.
Toda funcin f(t) peridica de periodo 2P, se puede representar en forma de una suma
infinita de funciones armnicas, es decir,
2 + [cos
+ sin
]
=
Donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 .... bk .... son los denominados coeficientes de Fourier.
Teniendo en cuenta los resultados de las integrales:
cos sin
cos sin 0
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>>syms t m n;
>>evalin(symengine,'assume(n,Type::Integer)');
>>evalin(symengine,'assume(m,Type::Integer)');>>int('sin(m*t)*cos(n*t)',t,-pi,pi)
ans =0
cos cos
cos cos
2 (cos( + ) + cos( )) { 0, 0,
>> y=int('cos(m*t)*cos(n*t)',t,-pi,pi)y =
(2*(m*cos(pi*n)*sin(pi*m) - n*cos(pi*m)*sin(pi*n)))/(m^2 - n^2)
>> limit(y,m,n)ans =
pi*cos(pi*n)^2
sin sin
sin sin
2 (cos( + ) + cos( )) {
0, 0,
>> y=int('sin(m*t)*sin(n*t)',t,-pi,pi)
y =
-(2*(m*cos(pi*m)*sin(pi*n) - n*cos(pi*n)*sin(pi*m)))/(m^2 - n^2)
>> limit(y,m,n)
ans =
pi*cos(pi*n)^2
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Los coeficientes de la serie de fourier se encuentran a travs de las siguientes ecuaciones
(Matlab):
2
2 cos
2 sin
EJEMPLO: SEAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES
Por su importancia en la transmisin de informacin en comunicaciones y lo extenso de su
aplicacin se estudiar esta seal:
Figura 7: Seal cuadrada unitaria
En el intervalo 0 2 t la seal f(t) est dada por:
g tt
t( )
1 0
1 2
Representaremos esta seal por la serie trigonomtrica de Fourier. Se observa que la seal F(t) es
una funcin impar por lo que an=0 y contiene trminos seno.
bT
sen n tT
sen n tdtn
2 2
0
0
2
0
T = 2
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0
21
T
Entonces
b
nt
n
nt
nn
2
2
2
2
0
2
cos cos
1 1 +1
1
b nn
4
0
.... ........ ....... ...... para n impar
........ ........ ....... .... para n par
= sin 4 + 43 3 + 45 5
Figura 8: Espectro en amplitud
La expresin g(t) indica que sumando una seal senoidal de frecuencia:
f0
0
2
1
2
hertz y de4
volts de amplitud ms una seal senoidal de frecuencia
f = 3
2Hertzy una amplitud de
4
3volts + . se obtiene una seal de pulsos rectangulares.
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Figura 9: Primer armnico
Figura 10: Suma de primero y tercer armnico
Figura 11: Suma de tres armnicos
Representacin de la seal en MATLAB% el primer armnico o frecuencia fundamental de la seal cuadrada en azult=0:.1:10y=4*sin(t)/pi;plot(t,y)hold on%el segundo armonico en verde
y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];hold on
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plot(t,y,'g')%el tercer armonico en ++++y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];hold on
plot(t,y,'+')%la resultante en rojo,al sumar las armonicas, de la seal cuadrada.%siga sumando hasta 10 armonicos y observe que la resultante que se aparece mas%a la seal cuadrada
y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];plot(t,y,'r')
Figura 12: Los primeros tres armnicos en el dominio del tiempo
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Bibliografa
Grisales, G. G. (2009).ABC Matemtico. Obtenido de Como se Aplican las Seires de Fourier:
http://abcmatematico.blogspot.com/2009/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-
de.htmlMatlab. (s.f.). Matlab. Obtenido de Series de Fourier: http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-
renovables/MATLAB/simbolico/fourier/fourier.html