Guia Para Analisis de Experimentos Correg_feb_2014

Gua para Analisis de Experimentos

Laboratorios de Fsica

Preparado por:

Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc

Programa de FsicaFacultad de Ciencias Basicas

Universidad del Atlantico

Version corregida, febrero de 2014

Contenido

1 Introduccion 1

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Magnitudes Fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Las Unidades Basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Prefijos para los Multiplos y Submultiplos . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Factores de Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Orden de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Mediciones y Errores 9

2.1 El proceso de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Tipos de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Criterio de aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3 Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Errores Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Errores Sistematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2 Errores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

E. E. Coral Gua para Analisis de Experimentos

ii CONTENIDO

2.6 Calculo de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1 Error Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2 Incertidumbre relativa y porcentaje de error . . . . . . . . . . 15

2.6.3 Calculo practico de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Propagacion de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable . . . . . . . . 18

2.7.2 Funciones de dos o mas variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.3 Metodo general para calcular errores . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Tratamiento estadstico de medidas 25

3.1 Como se minimiza este error? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Desviacion de la Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Desviacion Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Desviacion Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.5 La Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.6 Incertidumbre Estandar de la Media . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.7 Error Relativo Porcentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Analisis de error para N pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Construccion del Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Evaluacion de Experimentos 35

4.1 Analisis de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Linealizacion de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Ecuacion lineal y mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Graficos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Gua para Analisis de Experimentos E. E. Coral

CONTENIDO iii

4.3.1 Funcion Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.4 Linealizacion de modelos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.1 Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Calculadora Cassio FX350ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Uso de programas de computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5.1 Graficas en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Apendices 51

A Instrumentos de Medicion 1 53

A.1 Calibrador o Pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.1.1 Principales partes del calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.1.2 Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

B Instrumentos de Medicion 2 57

B.1 Micrometros y Esferometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.1.1 El micrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.1.2 El Esferometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

C Modelo de informe 61

Referencias bibliograficas 63


Lista de figuras

2.1 Medicion de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Errores aleatorios y sistematicos en un ejercicio de practica de tiro.a)Alta precision y exactitud: Debido a que las marcas de losdisparos estan muy cerca unas de otras, podemos decir que los er-rores aleatorios son pequenos (buena precision). Debido a que ladistribucion de disparos esta centrada en el blanco, los errores sis-tematicos tambien son (buena exactitud). b) Alta precision y bajaexactitud: Los errores aleatorios son todava pequenos, pero los sis-tematicos son mucho mas grandes, los disparos estan sistematicamentecorridos hacia la derecha. c) Baja precision y Buena exactitud:En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistematicosson pequenos, los disparos estan muy dispersos, pero no estan sis-tematicamente corridos del centro del blanco. d) Baja precision ybaja exactitud: Aqu ambos errores son grandes. . . . . . . . . . . . 14

3.1 Ejemplo de un Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Histograma para los datos del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Ejemplo de una figura bien realizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Grafica de la funcion y = kxn en papel logartmico . . . . . . . . . . . 41

4.3 Grafica de la funcion y = Aekx en papel semilogartmico . . . . . . . 42

4.4 Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador . . . . . . . 43

4.5 Linealizacion de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog. 43

4.6 La pantalla en el modo Regresion Lineal presenta dos columnas x y y. 46

4.7 Pantalla inicial de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8 Seleccion de la opcion graficar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


vi LISTA DE FIGURAS

4.9 Seleccion de ajuste de la grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10 Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionarpara el ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.1 Partes del Calibrador o Pie de rey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2 Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm . . . . . . . . . . . . . . 54

A.3 La division 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, laspuntas se separan 0,3 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.4 Las puntas estan separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta division delnonio coincide con una division de la escala principal . . . . . . . . . 56

B.1 Esquema de un micrometro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.2 Imagen de una medicion con el micrometro. . . . . . . . . . . . . . . 58

B.3 Lectura de una medicion con un microometro. . . . . . . . . . . . . . 58

B.4 Esquema de un esferometro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 60

B.5 Modo de usar un esferometro para calcular el radio de curvatura. . . 60


Lista de tablas

1.1 Unidades basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definicion de las Unidades basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Submultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Algunos Factores de conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Algunos Ordenes de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Ejemplo de cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . 12

3.1 Mediciones del tiempo de reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Intervalos para el histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Datos para analisis de un comportamiento lineal . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Datos para la descarga de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.1 Longitud de cada division del nonio al cero de la escala. . . . . . . . . 55


Captulo 1

Introduccion

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio

El objetivo del trabajo en el laboratorio es familiarizarse con el aspecto fenomenologicode la Fsica. En cierta forma, el estudiante comprobara las leyes y principios que seimparten en el curso teorico o que han sido estudiadas previamente por el. Por otrolado y de acuerdo a la orientacion del profesor, el estudiante podra llegar a las leyesa partir del experimento.

Los experimentos propuestos no se realizaran siguiendo una serie de instruccionescomo se ha hecho tradicionalmente. El estudiante debe recordar permanentementeque la Fsica es una disciplina cientfica y que en su formacion, debe hacer destacarsu espritu cientfico y es aqu en el Laboratorio de Fsica, en donde debe apropiarsede esto, ya que los experimentos propuestos son ante todo un problema que losestudiantes deben resolver, y para lograr soluciones satisfactorias, deben investigarla bibliografa citada, leer otras guas de laboratorio, navegar en la Internet, etc. Masconcretamente, el estudiante debe ser conocedor del Metodo Cientfico y aplicarloen su investigacion.

El trabajo en el laboratorio corresponde a una parte de la investigacion que losestudiantes van a realizar para resolver su problema experimental. Basicamente losestudiantes van al laboratorio a medir las magnitudes de las propiedades del sistemafsico que van a investigar. Pero, como se insinuaba en el parrafo anterior, antes ydespues de las mediciones, se requiere una buena dedicacion de tiempo estudiando yentendiendo el problema de laboratorio, para esto, los estudiantes deberan conocerpreviamente los siguientes aspectos:


2 Captulo 1. Introduccion

a) Conceptos teoricos involucrados en el tema que se va a experimentar

b) El sistema que se va a estudiar.

c) Las variables o propiedades que se van a medir.

d) Distinguir la variable dependiente de la variable independiente.

e) Las unidades en que se van a medir las variables.

f) Los factores que pueden afectar las mediciones.

El estudiante debe tener en cuenta todo lo que acontece en el laboratorio, lo masaconsejable es que tome nota de todo lo que suceda, especialmente de su propioprocedimiento. Cada estudiante debe tener una libreta de apuntes. Al finalizarla practica de laboratorio, cada grupo debe entregar un preinforme de los datosmedidos en el formato que aparece al final de esta gua.

Para evaluar los datos experimentales se debe tener el conocimiento basico de lasTeora de Errores y Analisis de Graficos, temas que se van a exponer en una formabreve en esta gua. El reporte de sus resultados se debe entregar en un informe quepresente el formato de Artculo Cientfico que tambien se incluye en esta gua.

1.2 Magnitudes Fsicas

Magnitud es toda cantidad que se puede medir. Medir significa comparar. Cuandomedimos cualquier magnitud, ya sea,una longitud o la intensidad de una corrienteelectrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con otra de la misma especieque consideramos arbitrariamente como patron. Por ejemplo, al determinar unamasa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masaspatrones (las pesas de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sido comparadas(o calibradas) con algun patron secundario y al seguir la cadena de comparacionesse llega hasta el patron universal de masa (kilogramo) que se conserva en la OficinaInternacional de Pesas y Medidas (BIPM) en Se`vres, cerca de Pars, donde fueadoptado mediante convenios internacionales.

De igual forma, se definen patrones para otras magnitudes que se consideranmagnitudes fundamentales, puesto que las unidades de una de ellas no se puedeexpresar en funcion de las otras. Existen diferentes sistemas que definen las unidadesde estas magnitudes. Uno de estos, el Sistema Internacional de Unidades (SI) vigenteen la mayora de los pases desde 1960, considera siete unidades basicas a partirde las cuales se pueden derivar todas las restantes unidades de medida de otrasmagnitudes fsicas, ver tabla 1.1.


1.3 Las Unidades Basicas del SI 3

Tabla 1.1: Unidades basicas del SI

Magnitud Unidad Smbololongitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo stemperatura Kelvin Kcantidad de sustancia mol molintensidad de la corriente Ampere Aintensidad de la luz buja o candela cd

1.3 Las Unidades Basicas del SI

La definicion de las unidades basicas ha venido cambiando por la necesidad de tenerpatrones o referencias mas estables y precisas a traves del tiempo. La definicionactual de las unidades basicas del SI aprobada por la Conferencia General de Pesasy Medidas (CGPM) en 1983 se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Definicion de las Unidades basicas del SI

Magnitud Unidad Definicionlongitud metro Distancia recorrida por la luz en el vaco durante un

intervalo de 1/299.792.458 s - 17a. CGPM, 1983.masa kilogramo Masa de un cilindro de PLATINO-IRIDIO que se

conserva en la BIPM en Pars - 3a. CGPM, 1901.tiempo segundo Duracion de 9.192.631.770 vibraciones en la transi-

cion de dos niveles hiperfinos del atomo de 123Cs-13a. CGPM, 1968.

temperatura Kelvin Es 1/273,16 de la temperatura termodinamica delpunto triple del agua - 13a. CGPM 1968.

1.4 Sistema de unidades

Es importante senalar que existen varios grupos de unidades asociadas a las mag-nitudes basicas longitud, masa, tiempo, conocidas como sistemas de unidades.Como ya se indico anteriormente, el SI es el mas utilizado en la actualidad, peroexisten pases como los de habla inglesa que usan diferentes unidades de medicion,



(ver tabla 1.3). El estudiante debe estar en capacidad de pasar las unidades de unsistema a otro aplicando los factores de conversion de unidades.

Tabla 1.3: Sistemas de Unidades

Sistema Longitud Masa TiempoSI m kg sCGS cm g sINGLES pie slug s

1.5 Prefijos para los Multiplos y Submultiplos

Los prefijos son nombres que se les da a ciertas potencias de 10 cuando usamosnotacion cientfica y sirven para determinar los multiplos y submultiplos de la unidadprincipal. Para utilizarlos, basta con expresar una cantidad en notacion cientfica yreemplazar la potencia por el smbolo correspondiente seguido de la unidad basica.

Tabla 1.4: Multiplos

Factor Prefijo Smbolo1024 yotta Y1021 zetta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h101 deca d

Tabla 1.5: Submultiplos

Factor Prefijo Smbolo101 deci d102 centi c103 mili m106 micro 109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a1021 zepto z1024 yocto y

Veamos como ejemplo el metro: 1 m esta dividido en 100 partes y cada una deestas equivale a 0, 01 m o 102 m y de acuerdo a la tabla, corresponde a un cent-metro, abreviado 1 cm. La milesima parte del metro es igual a 0, 001 m o 103 mcorresponde a 1 mm.

Existen otras magnitudes como la capacitancia electrica que solo se expresaen submultiplos del Faradio (F ), su unidad de medida, como 106 F = 1 F ,109 F = 1 nF , 1012 F = 1 pF .


1.6 Factores de Conversion 5

1.6 Factores de Conversion

Para pasar de un sistema de unidades a otro es necesario conocer la relacion quehay entre los distintos sistemas. Muchas veces tambien necesitamos pasar multiplosy submultiplos a la unidad fundamental o viceversa. Algunas factores de conversionentre el Sistema Ingles y el SI se encuentran en la tabla 1.6.

Tabla 1.6: Algunos Factores de conversion

Longitud masa1 m = 39,37 in = 3,281 ft =102 cm 1 lb = 0,454 kg = 16 oz1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 oz = 28,35 g = 0,0625 lb1 ft = 0,3048 = 30,48 cm = 12 in 1Kg = 103 g = 2.2 lb1 mi = 5280 ft = 1609 m = 1,609 km

Veamos como ejemplo las unidades del tiempo que, aunque no corresponden alsistema decimal, si son aceptadas por el SI. Cuantos segundos tiene un da? usandolos factores de conversion tenemos los siguiente:

1 dia = 1dia 24h1dia

60min

1h 60 s

1min= 86400 s

Ahora, si queremos convertir de km/h a m/s, por ejemplo 72 km/h, procedemosde manera similar al caso anterior pero convirtiendo dos unidades:

72 km/h = 72km

h 1h

3600 s 10

3 m

1km= 20

m

s

Otro caso es el de las unidades de capacidad o volumen. Como estas unidadescorresponden a unidades lineales elevadas al cubo, lo mejor es escribir el multimplode la unidad y elevarlo al cubo, por ejemplo 1 m3 convertirlo a mililitros (ml):

1m3 = 1m3 (10

2 cm)3

1m3= 106

cm3 1ml1

cm3= 106 ml



1.7 Analisis Dimensional

Para verificar si una ecuacion esta bien formulada, se debe tener en cuenta lasvariables que operan en dicha ecuacion. Al hacer un analisis dimensional, las di-mensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. Los smbolos empleadospara denotar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L, My T. Dos cantidades que se suman, al igual que los terminos a ambos lados de unaecuacion, deben tener las mismas dimensiones.

Como ejemplo, mostremos que la ecuacion x = vt, es dimensionalmente correcta.Por ser x una longitud tiene dimension [x] = L y t tiene dimension [t] = T . Lavelocidad por medirse en metros sobre segundo, tiene dimension [v] = L/T , portanto

[x] = [v][t]

L =L

TT

L = L

Al cancelar T en la derecha, las unidades tienen la misma dimension que en laizquierda.

1.8 Orden de Magnitud

Cuando queremos hacer calculos aproximados de ciertas cantidades, es importanteaproximar los factores que intervienen en las operaciones, a la potencia de 10 mascercana. De esta forma, se dice, que la potencia de 10 representa el orden de mag-nitud de una cantidad. El orden de magnitud tambien sirve para referirse en formaoral o escrita de ciertas cantidades cuyas cifras son enormes o muy pequenas, comola masa de un electron o la masa del sol y su distancia a la tierra. Algunos ejemplosse dan en la tabla 1.7.

Tabla 1.7: Algunos Ordenes de Magnitud

Cantidad magnitud Orden de MagnitudRadio de la orbita tierra-sol 1.5 1011 m 1011 mMasa del electron 9.11 1031 kg 1031 kgEdad promedio de un estudiante 5.7 108 s 108 s


1.9 Ejercicios 7

1.9 Ejercicios

Conversion de Unidades

1. Cuales de las siguientes unidades no son fundamentales:a) m b) m/s c) C d) l e) m/s2 f) N g) s h) kg.

2. Cual es su estatura en pies?

3. Un cohete alcanzo una altura de 300 km. A cuanto equivale esta distanciaen millas?

4. Cuantos segundos tiene 1 ano?

5. La rapidez de la luz en el vaco es aproximadamente 3, 00108m/s. Cuantoskm viajara un pulso de un laser en 1 h?

6. Un ano luz es la distancia que recorre la luz en un ano a 300.000 km/s. Cuales esta distancia en m? Exprese la distancia de la tierra al sol en anos luz.

7. Una certificacion de buceo se realiza a 40 pies. Cuantos metros debe bajarel buzo a pulmon libre para certificarse?

8. Cual es su peso en libras?

9. 1 cm3 equivale a 1 ml. Cuantos litros hay en 1 m3?

Orden de magnitud

11. Cual es el orden de magnitud de su edad en meses, das y segundos?

12. Estime el numero de veces que el corazon de un humano late en una vidapromedio de 70 anos.

13. El radio promedio de la tierra es de 6, 37 106 m, y el de la luna es de1, 74 108 cm. Con estos datos calcule la razon entre el area superficial de latierra y de la luna.

14. Determine el numero aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatrolados de una casa de tamano regular.

15. Una persona utiliza 200 l de agua por da aproximadamente. Cual debe serel orden de magnitud en m3 del volumen de un recipiente capaz de abastecerde agua a la ciudad de Barranquilla en un da?



Determine el orden de magnitud de los resultados de las siguientes operaciones.

16. (3 108 m/s) (3 105 s)17. 7000/0,0035

18. (0,501 0,042)/420.000.00019. Suponga que un proton tiene la forma de un cubo cuya arista es del orden de

1013 cm. Cual es el orden de magnitud del volumen del cubo?

20. Deseando construir un modelo del sistema solar, un estudiante representa elsol por medio de una pelota de balompie. Se sabe que el orden de magnituddel radio del sol es de 109 m y el de la tierra es de 107m, siendo la distancia dela tierra al sol del orden de 1011m. Cual debera ser entonces, en este modelo,el orden de magnitud de la esfera que representa la tierra?, La distancia deesta esfera a la pelota de balompie?

Analisis Dimensional

Diga si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas. (v es velocidad,a es aceleracion, t es tiempo, A es area, T periodo y r radio)

21. v2 = v20 + 2at

22. x = xo+ vt

23. x = at

24. v = vo+ ax

25. A = pir2

26. t =

2xa

27. v =

2ax v0t28. T = 2pi

lg

29. Cuales son las unidades de las constantes en la ecuacion x = At2 + Bt + C,para que sea dimensionalmente correcta?

30. Muestre que si x = At3 + Bt es dimensionalmente correcta cuando x tieneunidades de longitud y t tiene unidades de tiempo, entonces la derivada dx/dttiene unidades de longitud sobre unidades de tiempo.

31. Cual es el valor de los exponentes para que la ecuacian v2 = kamsn seadimensionalmente correcta?

32. Para que valores de m y n la ecuacion x = kamtn es dimensionalmentecorrecta?


Captulo 2

Mediciones y Errores

2.1 El proceso de medicion

Medir es comparar una magnitud desconocida con otra llamada patron. Al realizaruna medicion de cierta magnitud, se obtiene un numero acompanado de una unidadasociada a la magnitud respectiva. En el caso mas general, este resultado debe iracompanado por otro numero que representa la incertidumbre en la medicion.

2.2 Tipos de medicion

Las mediciones pueden obtenerse de dos formas:

Mediciones Directas: Son el resultado de comparar directamente una magni-tud desconocida con un instrumento de medida calibrado segun un patron estable-cido previamente. El resultado se mide directamente en una escala numerica queposee el instrumento.

Mediciones Indirectas: Se obtienen a traves de una operacion entre dos o masmediciones directas o a traves de una funcion de las cantidades medidas. Por ejemplola densidad se obtiene como funcion de la masa y el volumen de una sustancia.

2.3 Cifras significativas

El Numero de cifras que debe tener el escalar que representa una magnitud medida,esta muy relacionado con el numero de divisiones que tenga la escala del instrumentode medida. Por ejemplo, si ustedes miden cierta longitud con una cinta metrica


10 Captulo 2. Mediciones y Errores

que solo esta graduada en metros (m), el resultado sera un entero que representacuantas veces cabe la unidad patron en esa longitud y es una cifra que tiene certezaen su medida. Pero si existe cierta fraccion de la longitud que no se puede medirdirectamente con el instrumento, ustedes tendran que hacer uso de la apreciacionsimple vista, dando en este caso, un unico decimal que es incierto. Por ejemplo:2,4 m de longitud. En este caso decimos que hay dos cifras significativas.

Si ahora usamos una cinta metrica divida en decmetros dm, al reportar el re-sultado de la medicion en metros m, el numero de cifras ciertas corresponde a losmetros y a los decmetros. Pero si el extremo de la magnitud a medir se ubica entreuna division de un decametro y el siguiente, podremos ahora apreciar una fraccionmas pequena imaginando diez divisiones en este espacio cuyo valor sera una cifradudosa dada en centmetros cm. Por ejemplo, la medicion de la fig. 2.1 se puedereportar como L = 2,46 m. Aunque este resultado esta por encima de la mitad delintervalo de 1 dm, las mediciones 2,45 m o 2,47 m, tambien son validas, ya que laultima cifra siempre va a ser incierta. De esta manera podemos decir que hay trescifras significativas en esta medicion.

Figura 2.1: Medicion de una magnitud

Veamos como mejora la medicion de la misma magnitud, pero usando ahora unacinta metrica dividida en centmetros cm. Al reportar el resultado en m, estamosseguros de la posicion de los metros, los decmetros y los centmetros, pero podemoshacer una apreciacion del orden de los milmetros, obteniendo as una ultima cifradudosa o incierta. Ejemplo: 2,463 m. En este caso la cifra apreciada esta por debajode la mitad de la division mas pequena, los cm. Un resultado aceptable tambienpodra ser 2,462 m o 2,464 m. En este caso, tenemos una medicion con cuatrocifras significativas. Escribir una quinta cifra carece de sentido ya que no hay masdivisiones en nuestro instrumento de medicion. Para tener una cifra segura en laposicion de los milmetros, debemos usar una cinta metrica graduada en milmetrosy tendramos as una cuarta posicion decimal como cifra apreciada, o cifra incierta,para un total de 5 cifras significativas, por ejemplo: 2,3638 m.

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el resultado de una medicionva acompanado de un numero de cifras que tienen certeza y una ultima cifra quesiempre es dudosa. Estas son las llamadas cifras significativas.


2.4 Operaciones con cifras significativas 11

En una medicion se debe tener en cuenta que los ceros a la izquierda no soncifras significativas, mientras que los ceros intermedios y ceros a la derecha si soncifras significativas.

Cuando se tenga un numero muy grande de ceros a la izquierda la mejor manerade expresar el resultado de la medicion es usando potencias de diez, pero conservandoel mismo numero de cifras significativas. Algunos ejemplos se dan en la tabla 2.1.

Tabla 2.1: Ejemplo de cifras significativas

Magnitud Numero de cifras significativas0,012 mm 20,1204 g 41,0200 s 54,34 104 m 3

2.4 Operaciones con cifras significativas

2.4.1 Criterio de aproximaciones

Al realizar operaciones resultan numeros con muchas cifras decimales. Algunas deestas cifras deben ser eliminadas (redondeo) para dejar las mas significativas, deacuerdo al siguiente criterio:

1. La cifra que queda se aumenta en una unidad si la cifra contigua que se quitaes > 5.

2. Si la primera cifra que se elimina es < 5, la que queda se deja igual.

3. Si la primera cifra que se elimina es = 5 y no existen otros dgitos a su derechao son solamente ceros, el numero que queda se aumenta en 1 siempre y cuandola cifra resultante sea par.

2.4.2 Suma

Cuando se suman dos o mas numeros con distintas cifras significativas, los decimalesdel resultado debe igualar al operando que posea el menor numero de estos, usandoel criterio anterior. Ver ejemplo en la tabla 2.2



Tabla 2.2: Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas

numero original aproximacion descripcion20,45 20,45 Menor No. de decimales40,1368 40,14 Elimina 6 y 8. 3 aumenta en 120,5500 20,55 Elimina ceros, 5 no cambia60.6952 60,69 Elimina 5 y 2, 9 no cambia30,365 30,37 Elimina 5, 6 aumenta en imparSuma = 172,1970 Suma = 172,20 Aproxima a dos cifras decimales

2.4.3 Multiplicacion

Al multiplicar o dividir dos cantidades, el resultado debe tener el mismo numero decifras significativas del operando que tenga el menor numero de ellas.

Ejemplo

Calcular el volumen de un cilindro circular recto donde r = 4, 5 cm y h = 55, 7 cm.Sabemos que V = pir2 h. El numero pi = 3,14159..., Cuantas cifras le asignamosal este numero irracional? Como vemos r tiene dos cifras significativas, h tiene tres,por lo tanto, asignamos a pi el mismo numero de cifras significativas de h, es decir,3,14.

Valor obtenido con la calculadora: V = 3541.6845 cm3

Valor obtenido segun el criterio dado: V = 3, 5 103 cm3

Para expresar las dos cifras significativas hemos usado potencias de diez.

2.5 Errores Experimentales

En general, todo procedimiento de medicion tiene imperfecciones que dan lugar aun error en el resultado de la medicion, lo que hace que el resultado sea solo unaaproximacion del valor real de la magnitud medida. De acuerdo a la naturalezade los errores experimentales, se acostumbra a dividirlos en dos clases: ErroresSistematicos y Errores Aleatorios.


2.5 Errores Experimentales 13

2.5.1 Errores Sistematicos

Se deben a diversas causas y se repiten constantemente cuando las mediciones serealizan en las mismas condiciones. Los resultados se ven afectados en el mismosentido. Estos errores se pueden detectar facilmente y se pueden eliminar si seconoce la causa. Algunas fuentes de error sistematico son:

a) Errores de calibracion de los instrumentos de medida. Ajuste del cero, escalainapropiada, construccion defectuosa.

b) Condiciones de trabajo no apropiadas (presion, temperatura, humedad, lumi-nosidad, frecuencia de la red).

c) Tecnicas imperfectas. Generalmente por falta de experiencia del experimen-tador o por falta de planeacion de los procedimientos.

d) Formulas incorrectas. Cuando se hacen aproximaciones, los resultados expe-rimentales no son exactamente los esperados en la teora.

2.5.2 Errores Aleatorios

Se deben a perturbaciones pequenas o fluctuaciones y no es posible detectar la causaque los produce. Si un experimento se repite en condiciones identicas, los resultadosde la medicion no son siempre los mismos cuando se presenta este error. Paradisminuir el error aleatorio, se debe realizar un numero determinado de medicionesy realizar un tratamiento estadsticos de los resultados. Se puede dar una idea decomo se presentan estos errores:

a) Errores de apreciacion. Se presentan al leer en la escala de un instrumentohaciendo estimacion de una fraccion de la division mas pequena de la escala.Al realizar varias mediciones esta apreciacion vara aleatoriamente.

b) Condiciones de trabajo. La variacion de las condiciones ambientales, vibra-ciones de la mesa de trabajo, senales electromagneticas.

c) Falta de definicion de la cantidad a medir. Como el diametro de una esfera yaque esta no es una esfera perfecta.

Segun el tipo de error, las mediciones se pueden clasificar en:

Precisas.- Son aquellas mediciones que tienen errores aleatorios pequenos.

Exactas.- Son aquellas mediciones que tienen errores sistematicos pequenos.

Esto se puede observar claramente en la figura 2.2,



(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.2: Errores aleatorios y sistematicos en un ejercicio de practicade tiro. a)Alta precision y exactitud: Debido a que las marcas delos disparos estan muy cerca unas de otras, podemos decir que los erroresaleatorios son pequenos (buena precision). Debido a que la distribucion dedisparos esta centrada en el blanco, los errores sistematicos tambien son(buena exactitud). b) Alta precision y baja exactitud: Los erroresaleatorios son todava pequenos, pero los sistematicos son mucho masgrandes, los disparos estan sistematicamente corridos hacia la derecha. c)Baja precision y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatoriosson grandes, pero los sistematicos son pequenos, los disparos estan muydispersos, pero no estan sistematicamente corridos del centro del blanco.d) Baja precision y baja exactitud: Aqu ambos errores son grandes.


2.6 Calculo de Incertidumbres 15

2.6 Calculo de Incertidumbres

2.6.1 Error Absoluto e Incertidubre

En una medicion la ultima cifra resulta siempre incierta. Esto quiere decir que nuncavamos a obtener el valor real de una medida, pero nos aproximamos a el mejorandoel procedimiento y los instrumentos de medicion. Toda medicion va acompanada deuna incertidumbre y su determinacion nos dice que tan cerca estamos del valor realde la magnitud. Definimos el error absoluto , como la diferencia entre el valor realVR y el valor observado VO o valor medido, en la forma

= VR VO (2.1)Se expresa como el valor absoluto ya que podemos acercarnos al VR por exceso o

por defecto, es decir, que esta diferencia puede ser positiva o negativa. Pero comocalcular el error absoluto si jamas conoceremos el valor verdadero? En la practicael error absoluto se define con relacion a una medida arbitraria. Por eso definimosla incertidumbre V tal que para cualquier VO se cumple que

= VR VO V (2.2)Si podemos determinar V , entonces para cualquier medicion experimental VO

se cumple que el valor real de la cantidad satisface la desigualdad:

VO V VR VO + V (2.3)Esto quiere decir, que al hacer una medicion, lo que estamos buscando es un

intervalo donde se encuentra el valor mas probable del valor real. En otras palabras,buscamos los lmites superior e inferior de una magnitud. Una forma mas util deexpresar este intervalo de medicion es

VR = VO V (2.4)Esta es la manera como deben reportarse el valor de una medicion de cualquier

magnitud, sea directa o indirecta.

2.6.2 Incertidumbre relativa e incertidumbre porcentual

Muchas veces necesitamos saber que tan significativa es V respecto a VO. Porejemplo, una incertidumbre de 1cm en la longitud de un cuaderno es significativo.



Pero si medimos la distancia entre la tierra y la luna o el tamano de una bacteria conel mismo error, este carece completamente de sentido. Es por esto que es necesariocomparar la incertidumbre estimada con el valor medido en la forma

R =V

VO(2.5)

Esta es la incertidumbre relativa que tambien se puede reportar como un por-centaje al multiplicar por 100 en la forma

R =V

VO 100 (2.6)

2.6.3 Calculo practico de la incertidumbre

Al cuantificar la incertidumbre de una cierta magnitud x debemos, en principio,tener en cuenta todos los tipos de incertidumbres que esten presentes. Una formade obtener el valor de la incertidumbre total es mediante la suma de los cuadradosde todas las incertidumbres presentes de acuerdo a la siguiente ecuacion,

(x)2 =Nn=1

x2n (2.7)

Por lo general en el laboratorios es frecuente encontrar las siguientes incertidum-bres:

a) Incertidumbre de escala (xe)

b) Incertidumbre de calibracion (xc)

c) Incertidumbre estadstica o aleatoria (xa)

En este caso, el calculo de la incertidumbre total viene dado por

x =

(xe)2 + (xc)2 + (xa)2 (2.8)

Normalmente se atribuye como incertidumbre de escala de una medida a la mitadde la division mas pequena. Por ejemplo, si ustedes miden con una regla graduadaen milmetros entonces, la incertidumbre atribuida puede ser 0.5 mm ( 0.05 cm)(pero esto no es adecuado del todo ya que depende del estado del objeto a medir ydel propio instrumento de medida).


2.6 Calculo de Incertidumbres 17

Si se determina que una longitud tiene 15,00 cm y solo tenemos en cuenta estaincertidumbre, entonces el resultado de la medicion es L = (15, 00 0.05) cm oen otras palabras, su valor verdadero se encuentra en el intervalo

14, 95 cm < L < 15, 05 cm

Vamos a adoptar el siguiente metodo para obtener un intervalo de una medida,considerando que su instrumento de medicion esta bien calibrado.

1. Obtenemos los valores lmites , L1 y L2 observando la escala.

2. Calculamos el valor observado Lo como el promedio de estos dos valores

Lo =L1 + L2

2(2.9)

3. Asignamos la incertidumbre de escala segun la ecuacion

L =L1 L2

2(2.10)

4. Expresamos el valor de la medicion como L = (Lo L)unidad

Por ejemplo, observando en la figura 2.1, se puede apreciar que la longitud Lesta entre L1 = 2, 40 cm y L2 = 2, 50 cm. Con estos lmites podemos asignar el valorcentral u observado

Lo =2, 50 + 2, 40

2= 2, 45 cm

en donde 5 es la cifra incierta en la medicion. Ahora obtenemos el valor de laincertidumbre

L =2, 50 2, 40

2=

0, 10

2= 0, 05 cm

la cual coincide con la mitad de la division mas pequena. El resultado final dela medicion es

L = (2, 45 0, 05) cmLa calidad de la medicion se expresa mediante la incertidumbre porcentual.



r =0, 05

2, 45 100 = 0, 02 100 = 2%

Se aclara al estudiante que este metodo empleado es meramente didactico, yaque al usar procedimientos de metrologa para calcular la incertidumbre en unamedicion, se encuentra que el metodo es mucho mas refinado que el que se exponeen estas notas.

2.7 Propagacion de la Incertidumbre

Al hacer una medida indirectamente, como por ejemplo, calcular el area de uncampo de futbol, en donde se mide por separado el largo y el ancho, es obvioque la incertidumbre asignada a ambas mediciones conlleva a una incertidumbreen el area calculada. Es por esta razon que necesitamos conocer procedimientosmatematicos para obtener la incertidumbre en una medicion indirecta, a partir demedidas directas, en donde se involucran funciones de una o mas variables.

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable

Supongamos que la medida de una magnitud es x = x0 x y queremos calcularel valor de z mediante la funcion z = f(x). Es de esperarse que z = z0z, dondez0 = f(x0) y el intervalo x alrededor de x0 genera un intervalo z alrededorde z0.

Como ejemplo tomemos el caso de z = x2. Reemplazando x por x0 x obten-emos

z = z0 z = (x0 x)2 = x20 2x0x+ (x)2 (2.11)Como x es pequeno, entonces (x)2

2.7 Propagacion de la Incertidumbre 19

y escribirlo en forma de incertidumbre

z =df(x)

dxx (2.14)

2.7.2 Incertidumbre en funciones de dos o mas variables

Sean x y y dos magnitudes que se han medido independientemente una de otra consus respectivos incertidumbres

x = x0 x ; y = y0 y (2.15)

a) Para la suma y la resta de x y y se tiene

s = x+ y = x0 x+ y0 y = (x0 + y0) (x+ y) (2.16)

s = s0 s (2.17)

Por tanto, la incertidumbre en la suma es

s = x+ y (2.18)

b) El producto de x y y es

p = x.y = (x0 x)(y0 y) = x0y0 (y0x+ x0y) +xy (2.19)

p = p0 + p (2.20)

La incertidumbre es

p = y0x+ x0y (2.21)

El error relativo sobre p es

p

p0=

x

x0+

y

y0(2.22)



c) La division de x y y

d = d0 d = xy

=x0 xy0 y (2.23)

d = d d0 = x0 xy0 y

x0y0

=y0x x0yy20 + y0y

(2.24)

Si en el denominador despreciamos el termino y0y y asumimos el signo ne-gativo en y para que el resultado sea consistente con el incremento del error, laincertidumbre relativa es

d

d0=

x

x0+

y

y0(2.25)

d) En forma general, para el producto de dos o mas variables elevadas a distintaspotencias, como se muestra en la ecuacion siguiente,

z = xmyn (2.26)

obtenemos primero el logaritmo de la funcion

logz = mlogx+ n logy (2.27)

y luego obtenemos el diferencial

dz

z= m

dx

x+ n

dy

y(2.28)

Convertimos los diferenciales en valores absolutos de las incertidumbres obte-niendo asi la incertidumbre relativa de z, ecuacion 2.29.

z

z= m

x

x+ n

y

y(2.29)

Nota: El valor absoluto siempre hara que los errores se incrementen en medi-ciones indirectas, aunque los exponentes sean negativos,

2.7.3 Metodo general para el calculo de Incertidumbres

Siempre que tengamos una funcion de la forma


2.7 Propagacion de la Incertidumbre 21

s = f(x, y, z) (2.30)

obtenemos primero el diferencial total

ds = fxdx+ f

ydy + f

zdz (2.31)

Luego convertimos los diferenciales en incertidumbres

s = fxx+ f

yy + f

zz (2.32)

En donde se deben conocer las incertidumbres en x, y y z, ademas de obtenerlas derivadas parciales de la funcion f evaluada en las cantidades x0, y0, z0.

Un metodo mas aceptado actualmente, indica que la incertidumbre se obtienecomo la raz cuadratica dado por la ecuacion

s =

(fx

x

)2+

(f

yy

)2+

(f

zz

)2(2.33)

Ejemplo

Determinacion de la densidad de una esfera aparentemente de acero. El diametrose midio con un micrometro de precision 0, 01mm: d = (15, 538 0, 005)mm Lamasa se midio con una balanza de precision 0, 05 g: m = (15, 2 0, 1) g

Empezamos expresando la densida como una funcion de m y d. Utilizando laecuacion resultante y los valores dados para m y d, obtenemos el valor de la densidadmediante una calculadora, esto es:

=m

V=

m43pi(d

2)3

=6m

pid3= 7, 73855038

g

cm3(2.34)

Para el calculo de la incertidumbre, obtenemos el logaritmo natural de la ecuacionanterior y luego el diferencial y lo expresamos en terminos del valor absoluto de lasincertidumbres, (ecuacion 2.36).

log = log6

pi+ logm logd3 (2.35)



=

m

m+ 3

d

d(2.36)

Despejamos y reemplazamos los valores correspondientes.

= (m

m+ 3

d

d) = 7, 73855(

0, 1

15, 2+ 3 0, 005

15, 538) = 0, 05838

g

cm3(2.37)

El valor obtenido es = (7, 74 0.06) g

cm3

Ahora calculemos la incertidumbre usando la derivada de respecto a m y a d

m=

6

pid3

m(m) =

6

pid3= 0, 509 cm3 (2.38)

d=

6m

pi

d(d3) =

18mpid4

= 14, 941 gcm4

(2.39)

Calculamos la incertidumbre en usando la ecuacion 2.33.

=

(0, 059 cm3 0, 1 g)2 + (14, 941 g/cm4 0, 0005 cm)2 = 0, 0514 g/cm3

Por tanto el valor de la densidad es

= (7, 74 0, 05) gcm3

2.8 Problemas

1. Determine el numero de cifras significativas en los siguientes numeros: 23 cm;3,589 s; 4,67103 m/s; 0,0032 m; 1,007 m; 0,015 s

2. Cual de las siguientes cantidades tiene el mayor numero de cifras significati-vas: 0,254 cm; 0,00254 102 cm; 254 103 cm?

3. Cual de estos numeros tiene 3 cifras significativas: 305,0 cm; 0,0500 mm;1,00081 kg?


2.8 Problemas 23

4. Efectue la suma de los siguientes numeros: 756; 37,2; 0,83 y 2,5.

5. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular 15,30 cm y 12,80 cmrespectivamente, calcule el area de la placa.

6. Calcule el area y la longitud de la circunferencia de un crculo de radio iguala 4,65 cm.

7. Obtenga el producto de 3,2 3,5638. Obtenga la suma de 4, 67 103 y 2, 2 102

9. Usando un metro de madera para medir un lado de mi escritorio, estoy segurode que su longitud no es menor a 142,3 cm ni mayor que 142,6 cm. Enuncie estamedicion como un valor central incertidumbre. Cual es la incertidumbrerelativa de la medicion?

10. Para realizar mediciones de tension y corriente en un circuito utilizo un vol-tmetro y un ampermetro de aguja. Estoy seguro de que la lectura del am-permetro esta entre 1,24 A y 1,25 A, y la del voltmetro entre 3,2 V y 3,4 V .Exprese cada medida como un valor central incertidumbre, y evalue la in-certidumbre relativa de cada medicion.

11. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de1mm, cual es la distancia mas corta que puedo medir para que la in-

certidumbre relativa no exceda el a) 1%, b) 5%?

12. Se utiliza un termometro graduado en 1/5 grado Celsius para medir la tem-peratura del aire exterior. Medida con una aproximacion de 1/5 de grado,la temperatura de ayer fue de 22,4C, y la de hoy es de 24,8C. Cual es laincertidumbre relativa en la diferencia de temperaturas entre ayer y hoy?

13. El reloj del laboratorio tiene un segundero que se mueve por pasos de unsegundo. Lo uso para medir un cierto intervalo de tiempo. Al principio delintervalo marcaba las 09:15:22, y al final las 09:18:16. Cual es la incertidumbrerelativa del intervalo medido?

14. En el escritorio mencionado en el problema 1, se mide ahora su ancho, y seobserva que la medida cae entre 78,2 cm y 78,4 cm. Cual es la incertidumbreabsoluta en el area calculada de la cubierta del escritorio?

15. Para medir la resistencia de un resistor, se miden la cada de tension entresus terminales y la corriente que circula por el. La lectura del volmetro es de(15, 2 0, 2)V , y la lectura del ampermetro es de (2, 6 0, 1)A. Cual es laincertidumbre absoluta de la resistencia calculada como R = V/I?



16. Un pendulo simple se usa para medir la aceleracion de la gravedad, usandoT = 2pi(l/g)1/2 . El perodo T medido fue de (1, 24 0, 02) s. y la longitudde (0, 381 0, 002)m. Cual es el valor resultante de g con su incertidumbreabsoluta y relativa?

17. Un experimento para medir la densidad de un objeto cilndrico utiliza laecuacion = m/pir2l. Los valores medidos son: masa, m = (0, 0290, 005)kg,radio, r = (8, 2 0, 1)mm y longitud, l = (15, 4 0, 1)mm, cual es la incer-tidumbre absoluta del valor calculado de la densidad?

18. Use el metodo general para calculo de incertidumbres en funciones y obtengala incertidumbre de la medida indirecta de

z =x

x2 + 1

19. La distancia focal f de una lente delgada se mide usando la ecuacion

1/o+ 1/i = 1/f

en donde

distancia al objeto: o = (0, 154 0, 002)mdistancia a la imagen: i = (0, 382 0, 002)mCual es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta ysu incertidumbre relativa?

20. Use la identidad trigonometrica para sen(a b) y demuestre que el errorobtenido en el calculo indirecto z = sen es z = (cos), teniendo encuenta que para angulos pequenos send d y cosd 1. ( Asuma que = 0 )

21. Se mide experimentalmente la longitud de onda de la luz, usando la ecuacion = d sen. La medida de es de 13 34 2. Suponiendo que el valor ded = 1420 109m no tiene error, cual es el error absoluto y relativo en elvalor de

22. Se da un valor como (14, 253 0, 1) U . Reescrbalo con el numero adecuadode cifras significativas. Si el valor se diera como (14, 253 0, 15) U , comodebera escribirse adecuadamente?

23. Se da un valor como 6,74914 0,5 %. Enuncielo como un valor observado incertidumbre, ambos con el numero adecuado de cifras significativas.


Captulo 3

Tratamiento estadstico demedidas

Los errores aleatorios se presentan como resultado de fluctuaciones o variaciones enla medida. Estos errores no se pueden eliminar ya que no podemos determinar lacausa que los producen. Estas variaciones se pueden observar cuando ustedes hacenuna serie de mediciones y se encuentra que todos los valores varan al menos en suultima cifra.

3.1 Como se minimiza este error?

Una manera de minimizar los errores aleatorios se obtiene realizando una serie deN mediciones.

x1, x2, x3, ... , xN (3.1)

3.1.1 Valor Promedio

Una vez se tiene un numero de datos (N 10) obtenemos el valor promedio o valormas probable, que tambien es conocido como media aritmetica.

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xN

N=

1

N=

Nn=1

xn (3.2)


26 Captulo 3. Tratamiento estadstico de medidas

3.1.2 Desviacion de la Media

La desviacion nos indica que tan alejada esta una medida del valor promedio de ungrupo de mediciones. Si d1 es la desviacion de la primera medida (x1) y d2 para lasegunda medida (x2), entonces, la desviacion de la media se puede expresar como:

d1 = x1 xd1 = x2 x...

...

d1 = xn x (3.3)Observe que el valor de las desviaciones de la media puede tener valores tanto

positivos como negativos y que la suma algebraica de todas las desviaciones debeser cero.

3.1.3 Desviacion Promedio

La desviacion promedio es una indicacion de la precision de los instrumentos emplea-dos al hacer las mediciones. Instrumentos altamente precisos daran una desviacionpromedio muy baja. Por definicion la desviacion promedio es la suma de los valoresabsolutos de las desviaciones dividida por el numero de lecturas. Teoricamente, estadebe tender a cero ya que las mediciones se ubican a la izquierda y derecha del valorpromedio.

d =d1+ d2| + d3+ ...+ dN

N=

1

N

Nn=1

dn (3.4)

3.1.4 Desviacion Estandar

Cuando el conjunto de medidas se aleja mucho del promedio, la medida es pocoprecisa y se dice que hay alta dispersion de los datos. Por el contrario, cuando elconjunto de medidas esta mas concentrado en torno al valor promedio, se dice que laprecision de la medida es alta y los valores medidos tienen una distribucion de bajadispersion. Cuantitativamente la dispersion de un conjunto de medidas se puedecaracterizar por la desviacion estandar del conjunto definido como

S =

d21 + d

22 + d

22 + ...+ d

2N

N 1 = 1N 1

Nn=1

d2n (3.5)


3.1 Como se minimiza este error? 27

La desviacion estandar S caracteriza un intervalo en donde hay el 68,27% deprobabilidad de que un valor medido se encuentre dentro de este intervalo. Porejemplo, si se realizan 100 mediciones, se encuentra que lo valores se distribuyen detal forma que:

El 68,27% estan entre x S y x + SEl 95,45% estan entre x 2S y x+ 2SEl 99,73% estan entre x 3S y x+ 3S

3.1.5 La Varianza

La varianza es una cantidad conveniente en muchos computos por cuanto tiene lapropiedad aditiva.

V = S2 (3.6)

La desviacion estandar, sin embargo, tiene la ventaja de tener las mismas unidadesde la variable haciendo facil la comparacion de magnitudes.

3.1.6 Incertidumbre Estandar de la Media

A medida que se realizan mas mediciones, la compensacion de los errores aleatoriosentre si van mejorando y la media del conjunto de medidas va a tener una mejorprecision. La incertidumbre estandar de la media se define como

x = Sm =SN

(3.7)

3.1.7 Incertidumbre Relativa Porcentual

El error relativo indica la calidad de la medicion y viene dado por

r =x

x 100% (3.8)



3.2 Calculo de la incertidumbre para N pequeno

El analisis estadstico anterior se puede aplicar con confianza a un numero de datosdel orden de N = 100. Para medidas en el Laboratorio es aplicable a partir deN = 10. En el caso en que N es menor que 10 se procede de la manera siguiente:supongamos que tenemos N = 5 medidas, calculamos el promedio de los cinco valoresde acuerdo a la ecuacion dada (ecuacion 3.2)

a =a1 + a2 + a3 + a4 + a5

5(3.9)

La incertidumbre se calcula restando al maximo de estos valores el valor mnimode los mismos y dividendo entre 2

a =amax amin

2(3.10)

Finalmente el intervalo de medicion se puede escribir

a = aa (3.11)

Ejemplo

Se mide el tiempo de cada de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las4 mediciones realizadas con un cronometro son:

t1 = 12, 0s; t2 = 12, 5s; t3 = 13, 0s; t4 = 12, 8s

El valor promedio del tiempo segun la calculadora es:

t =12, 0 + 12, 5 + 13, 0 + 12, 8

4= 12, 575s

Redondeando obtenemos

t = 12, 6s


3.3 Histograma 29

La incertidumbre obtenida de acuerdo a ecuacion 3.10 es

t =13, 0 12, 0

2= 0, 5s

y por la ecuacion 3.11 intervalo de la medicion obtenido es

t = (12, 6 0, 5)s

En resumen podemos decir que cuando:

N = 1 Se realiza la medida y el error de apreciacion.

N < 10 Se calcula el promedio y el error maximo.

N 10 Se realiza tratamiento estadstico (Calculo de promedio y error estandar).

3.3 Histograma

En la seccion anterior se explico que al relizar N mediciones de una magnitud x elmejor valor de la medicion es el valor promedio y que la desviacion estandar nosinforma como se distribuyen los N datos alrededor de este valor. Si se analizandetenidamente los datos, se encuentra que hay unos que se repiten mas que otros.Si se agrupan de acuerdo al numero de repeticiones, se puede observar que los demayor frecuencia son los que estan cerca del valor promedio. Esto nos da la ideade que hay valores que tienen mas probabilidad de obtenerse que otros al hacerla siguiente medicion. Entonces podemos preguntarnos, Cual es la probalilidad deobtener un dato en el intervalo x y x+x? Si agrupamos los datos por intervalos deancho x y contamos el numero de datos en ese intervalo y ahora hacemos un graficoxy en donde los intervalos se colocan en la abcisa y las frecuencias en la ordenada,obtenemos un Histograma de las mediciones. En el histograma se puede observarclaramente como se dispersa el conjunto de mediciones al rededor del valor medio yse puede entender mejor el signifidado de la desviacion estandar y de probabilidad dela medicion. En teora de probabilidades, cuando se hace un numero muy grande demediciones, se habla de funcion de distribucion de probabilidades f(x) y un graficode x en funcion de f(x) describe una curva que comunmente se le conoce comocampana de Gauss.

En la figura 3.1, se muestra esquematicamente un histograma. En el se han dibu-jado 6 rectangulos cuyas bases corresponden al ancho de los intervalos de mediciony cuyas alturas representan la frecuencia o numero de datos en el intervalo. El areade estos rectangulos representa la probabilidad de obtener cualquier valor, dentrode ese intervalo, al hacer una medicion.



Figura 3.1: Ejemplo de un Histograma

3.3.1 Construccion del Histograma

Para construir un histograma, se van a seguir los siguientes pasos:

1. Se ordenan los datos recopilados de menor a mayor y se establece la frecuenciade los datos que se repiten.

2. Calcular el Rango de la variable restando al dato mayor el dato menor.

Rango = dato mayor dato menor (3.12)

3. Elegir un numero impar de intervalos para el histograma que este comprendidoentre 7 y 15.

4. Calcular el ancho x de los intervalos.

x =Rango

Numero de intervalos(3.13)

5. Si el cociente anterior no es un numero entero, puede ampliarse el rango de lavariable escogiendo un valor mayor que dato mayor y un valor menor que elmenor valor y obtener un nuevo rango y el ancho del intervalo

x =Nuevo Rango

Numero de intervalos=x>xmax x

3.3 Histograma 31

6. Determinar los extremos de los intervalos de tal forma que el primero seacerrado y el segundo abierto.

7. Obtener la frecuencia contando el numero de datos en cada intervalo.

8. Calcular las marcas, en donde las marcas son los puntos medios de cada inter-valo.

9. Elegir unidades arbitrarias sobre los ejes, para representar las frecuencias enordenadas y los anchos de los intervalos en abscisas.

10. Dibujar los rectangulos correspondientes.

Ejemplo

En la tabla 3.1 se muestran los datos experimentalmente del tiempo de reaccion deuna persona, medidos cuando se solto una regla entre sus dedos la cual deba agarrarcuando la vea cayendo. Se desea saber: a) el tiempo de reaccion promedio t, b) ladesviacion estandar S, c) el intervalo de la medicion, d) la distribucion de los datosmediante un histograma, e) el significado fsico de t, S y t S, .

Tabla 3.1: Mediciones del tiempo de reaccion

t(s) frecuencia0,185 10,186 10,191 20,193 10,203 20,204 20,205 20,211 30,219 40,220 30,223 20,224 20,230 10,233 20,234 20,235 1


32 Captulo 3. Tratamiento estadtico de medidas

Solucion:

a) Haciendo uso de la ecuacion 3.2 se tiene

t = 0, 214 s

b) Con la ecuacion 3.5 se tiene

S = 0, 015 s

c) Despues de haber obtenido t y S calculamos la incertidumbre estandar de acuerdoa la ecuacion 3.7 para obtener el intervalo medicion del tiempo:

t =0, 015 s

16= 0, 00375 s

La medicion es: t = (0, 214 0, 015) sd) Para el histograma, obtenemos primero el rango de los datos

RANGO = 0, 250 0, 180 = 0, 070y

t =0, 070

7

Por tanto, construimos el histograma comenzando en 0,180 s con intervalos deancho 0,010 s en los que las frecuencias estan dados en la tabal 3.2

Tabla 3.2: Intervalos para el histograma

Intervalos Rangos Frecuencia1 0,180 - 0,190 22 0,190 - 0,200 33 0,200 - 0,210 64 0,210 - 0,220 75 0,220 - 0,230 76 0,230 - 0,240 57 0,240 - 0,250 2


3.2 Calculo de la incertidumbre para N pequeno 33

e) El valor t = 0, 214 s es el valor mas probable, es decir se puede considerar comoel valor que se encuentra mas cercano al valor verdadero de t.

El valor S = 0,015 s es una medida de la dispersion de los valores medidos. Coneste valor podemos calcular el porcentaje datos caractersticos del intervalo dedispersion dado por:

t = (0, 2140, 015) s

Esto significa que el 68,27% de los 31 datos estan entre 0, 199 s y 0, 229 s . Esdecir 0,6827 31 = 21 datos.Si observamos la tabla de datos, estos valores estan en el comienzo del intervalo3 y el final del 5 (entre 0,200 y 0,230) en donde se encuentran 20 datos. (6datos en el intervalo 3, 7 en el 4 y 7 en el 5).

Figura 3.2: Histograma para los datos del ejemplo



3.4 Ejercicios

1. Se mide 10 veces la temperatura del interior de una caja, con un multmetro.Los valores expresados en C son los siguientes: 44,6 - 44,1 - 44,3 - 44,7 - 44,9- 45,0 - 45,1 - 44,2 - 44,4 - 44,8 Hallar el valor mas probable.

2. Se mide 35 veces la corriente que circula por un circuito con un galvanometro.Los valores obtenidos, expresados en mA (miliamperes), son los siguientes:21,90 - 22,00 - 21,86 - 21,93 - 22,01 - 21,71 - 21,76 - 21,83 - 21,82 - 21,75 -21,48 - 21,85 - 21,76 - 21,87 - 21,74 - 21,80 - 21,74 - 21,65 - 21,84 - 21,59 -21,83 - 21,68 - 21,84 - 21,63 -21,67 - 21,94 - 21,64 - 21,82 - 21,66 - 21,73 -21,82 - 21,72 -21,73 - 21,79 - 21,76 Determine : a) el valor mas probable, b)el grado de tolerancia que admiten , c) la aproximacion de los resultados endeterminaciones futuras, d) trace el histograma correspondiente.

3. En el ejercicio anterior, dentro de que lmites hay una probabilidad del 68%de que este incluida una medida particular?

4. Que lmites dan una probabilidad del 95% ?

5. En una serie de 1500 medidas el promedio fue 637 Unid. y el error fue S = 11.Cuantas medidas dan un resultado mayor de 659 Unid?


Captulo 4

Evaluacion de Experimentos

4.1 Analisis de graficas

Esta seccion tiene como objetivo, dar a conocer el procedimiento de analisis de datosexperimentales mediante las graficas en un plano cartesiano. Normalmente se deseaanalizar un sistema observando el comportamiento de alguna de sus propiedadesmientras se modifica otra propiedad asignandole variaciones iguales a voluntad; porejemplo, al comprimir el aire mientras se infla la rueda de una bicicleta, se aumentala presion y como consecuencia de esto, disminuye el volumen. Si se logran medir lapresion y el volumen y se recolectan los datos en una tabla, se tendra una buena in-formacion. Pero una tabla de datos no es suficiente para entender el comportamientodel sistema. Se requiere llevarlos a un plano cartesiano xy, en donde x correspondea la variable independiente que es la que se modifica a voluntad (abscisa) y y serala variable dependiente (ordenada), que es la que vamos a analizar respecto a laotra. Esto sugiere que debe haber una relacion funcional entre las variables. Lo queimporta de aqu en adelante es encontrar una ecuacion matematica que se ajuste ala forma de la curva trazada por los puntos en el papel milimetrado.

Como realizar un buen grafico?

Al realizar un experimento y obtener una tabla de datos, siga los siguientes pasospara obtener un buen grafico un papel milimetrado:

1. Observe el rango de sus datos en cada columna de la tabla.

2. Trace un plano cartesiano en papel milimetrado y escoja una escala para cadauno de ellos de acuerdo al rango de los datos en su tabla. Los ejes no deben ser


36 Captulo 4. Evaluacion de Experimentos

ni demasiado grandes ni demasiado pequenos. Las escalas no necesariamentecomienzan en cero. El primer valor en un eje puede estar cerca al valor masbajo de cada columna. Las escalas no siempre son iguales.

3. Elegir el eje horizontal para la variable independiente y el vertical para lavariable dependiente.

4. Escoja escalas de facil lectura, por ejemplo de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en10 y escriba en el eje solamente los numeros mas representativos de la escala.Nunca coloque los datos de la tabla.

5. Al final de los ejes deben escribirse los nombres de las variables (ya sea consu nombre completo o con su representacion simbolica), con sus respectivasunidades, por ejemplo t(s) y x(m).

6. Comience a ubicar la pareja de coordenadas (x, y) en el grafico, dibujandoun punto pequeno sobre el papel, solo la huella de la punta del lapiz. Pararesaltarlo se encierra en un crculo o un cuadradito, etc. No trace lneas guaspara ubicar los puntos, las lneas del papel milimetrado lo guiaran.

7. Normalmente no se unen los puntos, pero si lo desean, puede trazar suavementela forma de la curva.

Figura 4.1: Ejemplo de una figura bien realizada


4.2 Linealizacion de graficos 37

4.2 Linealizacion de graficos

El objetivo de realizar graficas de dos variables experimentales es conocer la relacionmatematica que existe entre ellas dos. Las formas de las curvas que se percibenen la grafica, pueden estar asociadas con alguna de las siguientes ecuaciones quenormalmente son las mas comunes en este nivel.

y = Ax+B (4.1)

y = Ax2 +Bx+ C (4.2)

y = Ax3 +Bx2 + Cx+D (4.3)

y = Axn, n < 0 o n > 0 (4.4)

y = Ax1 (4.5)

y = Aekx (4.6)

Si ustedes dibujan previamente las formas de las curvas que representan estasecuaciones les sera facil asociar las curvas experimentales con alguna de estas ecua-ciones.

Ejercicio. Usen papel milimetrado para dibujar las curvas correspondientes alas ecuaciones anteriores, asignandole valores arbitrarios a la variable x.

4.2.1 Ecuacion lineal y mnimos cuadrados

Si al dibujar en un plano cartesiano una serie de datos experimentales (parejas xy)y los puntos obtenidos se pueden hacer corresponder con una linea recta, entoncesla ecuacion matematica asociada es la lineal, ecuacion 4.1. Escribamos ahora estaecuacion en en la forma habitual y = mx + b, donde m es la pendiente de la rectaque se obtiene graficamente tomando dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que se encuentrenen la mejor lnea que une todos los puntos (interpolar)

m =y2 y1x2 x1 (4.7)

b es el punto de interseccion o intercepto de la recta con el eje y y se obtienedirectamente del grafico. Use este metodo cuando quiera hacer calculos rapidos yaproximados o cuando no disponga de otra herramienta.

Existe un metodo estadstico para encontrar la relacion lineal de una serie demediciones, conocido como mnimos cuadrados. Se puede aplicar este metodo paraencontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del grafico tienen estatendencia. Las calculadoras Cassio traen incluido el modo LR (regresion lineal) para



calcular estos parametros. Existen programas de computador para analisis de datosexperimentales como Excel y Origin que ademas de graficar, ofrecen la posibilidadde encontrar la ecuacion que mas se ajuste a los datos.

Cuando no se tiene una calculadora o un computador disponibles, es facil hallarla ecuacion de la lnea recta aplicando las siguientes ecuaciones que se obtienen pormnimos cuadrados (Ver ref.[1] cap. 6 pag. 128, y Apendice 2 pag. 172 ):

Para obtener la pendiente,

m =nni (xiyi)

ni xi

ni yi

nni x

2i

[ni xi

]2 (4.8)

y para obtener el intersecto,

b =

ni x

2i

ni yi

ni xi

ni (xiyi)

nni x

2i

[ni xi

]2 (4.9)

Tambien es posible obtener las incertidumbres en m y b con las ecuaciones:

Incertidumbre en m

m =n

nni x

2i

[ni xi

]2 (4.10)

Incertidumbre en b

b = m

ni x

2i

n(4.11)

En donde es la desviacion estandar obtenida con el analisis por mnimos cuadra-dos, dada por

=

ni (yi mxi b)2

n 2 (4.12)

Si ustedes saben usar un lenguaje de programacion como Qbasic, TurboPascal,C++, se puede realizar un programa usando ecuaciones 4.8 a 4.12 para calcular estosvalores. Intentelo!


4.2 Linealizacion de graficos 39

4.2.2 Ejemplo

Como ejemplo, vamos a ilustrar el metodo analizando los siguientes datos que sesuponen tienen un comportamiento lineal.

Tabla 4.1: Datos para analisis de un comportamiento lineal

n x y x2 xy (y mx b)21 2 4.5 4 9 0.092 3 5.0 9 15 0.363 4 7.5 16 30 0.254 5 8.0 25 40 0.165 6 10.0 36 60 0.04ni = 20 35 90 154 0.90

Para m tenemos

m =5 154 20 35

5 90 202 =70

50= 1, 4

y para b

b =90 35 20 154

5 90 202 =70

50= 1, 4

La ecuacion de la lnea recta que se ajusta a estos datos es

y = 1.40 + 1.40x ; 2 x 6

Los errores respectivos para A y B con = 0.55 son:

m = 0.17 0.2

b = 0.35 0.4

Por tanto

m = 1.4 0.2b = 1.4 0.4



4.3 Graficos no lineales

Cuando obtengan un grafico que no presenta forma lineal (el resto de las ecuacionescitadas arriba), el metodo que se sigue es el de linealizacion, que consiste en trans-formar de alguna manera la supuesta ecuacion que ajusta a sus datos hasta obteneruna forma lineal y as, aplicarle el metodo de mnimos cuadrados. Por ejemplo, parala ecuacion cuadratica 4.2 y = Ax2 +Bx+ C la forma lineal es

y Cx

= Ax+B (4.13)

Si al termino de la derecha le llamamos z, la ecuacion toma la forma

z = Ax+B (4.14)

Al realizar un grafico de z en funcion de x, dandole valores arbitrarios a x,debemos obtener la lnea recta que se ajusta a los datos experimentales. El valordel coeficiente B es la interseccion de la recta en el grafico de z vs. x y el coeficienteA es la pendiente. C es el valor inicial de y en x = 0.

4.3.1 Funcion Potencial

En muchos casos el grafico de una serie de datos x, y no se ajustan con una formalineal, ni a una funcion cuadratica, entonces, probando con la funcion y = Axn enla siguiente forma lineal

Para linealizar la funcion, aplicamos el logaritmo decimal en la siguiente forma:

y = Axn = log y = log(Axn)log y = logA+ log xn

log y = logA+ n log x (4.15)

Si hacemos Y = log y , X = log x, b = log A y m = n la ecuacion 4.15 toma laforma lineal:

Y = mX + b (4.16)

Para observar la linealidad en forma logartmica, se hace el grafico log y vs.log x o los datos de las variables se llevan directamente a un papel logartmico


4.3 Graficos no lineales 41

( papel log-log) como se muestra en la figura 4.3. Los valores de m y b se obtienenpor el metodo de mnimos cuadrados. Cuando se ha dibujado el grafico en papel log-log, recuerde que al calcular la pendiente, los valores usados deben ser los logaritmosde los datos.

Figura 4.2: Grafica de la funcion y = kxn en papel logartmico

4.3.2 Funcion exponencial

Si la funcion es de forma exponencial de base e, se linealiza aplicando el logaritmonatural o neperiano (ln) a ambos lados de la ecuacion:

y = Aekx = ln y = ln(Aekx)ln y = lnA+ ln ekx

ln y = lnA+ k ln ex

ln y = lnA+ kx (4.17)

la ecuacion resultante es de forma lineal, en donde ahora: Y = ln y, X = x,m = k y b = lnA. Al realizar la grafica de lny vs. x obtenemos una lnea recta,siempre y cuando esa sea la curva que se ajuste a los datos experimentales. Encaso contrario, se deja a un lado y se prueba con otra ecuacion. Un ejemplo deeste tipo de linealizacion se muestra en la figura 4.4 en donde se ha usado papelsemilogartmico (semi-log) para observar el comportamiento lineal .



Figura 4.3: Grafica de la funcion y = Aekx en papel semilogartmico

4.3.3 Ejemplo

Los siguientes datos muestran el resultado de la medicion de la descarga en funciondel tiempo de un elemento electronico llamado condensador o capacitor. Los datosse obtuvieron midiendo el voltaje cada 2 segundos.

Tabla 4.2: Datos para la descarga de un condensador

Voltaje(V ) Tiempo(s)50,0 0,0033,5 2,0022,5 4,0015,1 6,0010,1 8,006,8 10,004,5 12,003,0 14,002,0 16,001,4 18,00

Al realizar la grafica del voltaje contra el tiempo, (ver figura 4.4), se observauna curva decreciente. Asumimos hipoteticamente que la ecuacion es de la formay = Aekx. Para confirmar esto, realizamos un grafico de ln x contra t,(figura 4.5).


4.3 Graficos no lineales 43

Figura 4.4: Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador

Figura 4.5: Linealizacion de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.



Como se puede observar, la serie de puntos dibujados muestra una tendencia linealen la forma de la ecuacion 3.3, lo que sugiere que nuestra hipotesis es verdadera.Aplicando el metodo de mnimos cuadrados y comprobando con una calculadora, seencuentra que la ecuacion de la recta es

ln y = 0, 2x+ 3, 91

donde ln A = 3, 91 , por tanto

A = ln1 (3, 91) = e3,91

luego

A = 50

Para la pendiente tenemos

k = 0, 2

Por tanto la ecuacion del grafico es:

y = 50e0,2x

Ahora, usando las variables de los datos iniciales se tiene:

V = 50e0,2t, 0 t 18s

4.3.4 Linealizacion de modelos conocidos

En la mayora de experimentos que ustedes van a realizar, ya conocen de antemanoel modelo matematico del sistema que se estudiara. Para la comprobacion de losmodelos se pueden basar en los siguientes procedimientos.

Terminos lineales sencillos

Existen algunos modelos en donde los terminos se pueden representar directamentecomo terminos lineales, por ejemplo la funcion


4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras 45

v2 = 19, 62x (4.18)

Si hacemos Y = v2 y 4X = x, al graficar Y contra X obtendremos una lnearecta de pendiente 19,62 (Unidades). Tambien se puede usar la forma equivalente

x =1

19, 62v2 (4.19)

tomando como variable vertical a x y como variable horizontal a v2.

Variables Combinadas

Existen algunos casos de graficos no lineales en donde no es inmediato obtener eltermino lineal. Para lograrlo, se recurre a realizar operaciones en ambos lados dela ecuacion hasta obtener terminos donde aparecen las variables combinadas quevienen a representar las variables X y Y en la forma lineal. Un ejemplo es el casodel periodo para el pendulo fsico que viene dado por:

T = 2pi

h2 + k2

gh(4.20)

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacion y luego multiplicando por h setiene

h2 =g

4pi2T 2h k2 (4.21)

Esta forma de la ecuacion ya es lineal, pero si despejamos h2 obtenemos unaforma lineal mas sencilla

T 2h =4pi2

gh2 +

4pi2

gk2 (4.22)

Haciendo Y = h2 , X = T 2h, m = 4pi2

gy b = k2, tenemos una relacion lineal y

un grafico de h2 contra T 2h sera el de una lnea recta.

4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras

Se puede usar una calculadora Cassio para obtener los parametros m y b de una seriede datos experimentales cuya grafica tiene comportamiento lineal, ya sea dibujada



en papel milimetrado, logartmico o semilogartmico.

4.4.1 Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS

Digite las teclas para entar en el modo REG.

Aparecera el siguiente menu 1(Lin), 2(Log), 3(Exp).

Presione para entrar en el modo de Regresion Lineal.

Inicie siempre el ingreso de datos con .

Para introducir la pareja de datos (x,y), por ejemplo (2; 4,5), digite:

2 4.5

Repitan el paso anterior para introducir las siguientes parejas de datos.

Para obtener los valores de la pendiente y el intercepto, la calculadora usa laformula y = B+Ax, donde A y B corresponden al intercepto y la pendiente respec-tivamente.

Pendiente:

Intercepto:

4.4.2 Calculadora Cassio FX350ES

Todos los calculos estadsticos se realizan en el modo STAT. Para entrar a este modo,presiones las teclas: MODE 2

Para seleccionar el modo de Regresion lineal, presione de nuevo la tecla 2 .Aparecera la pantalla que se observa en la figura 4.6

Figura 4.6: La pantalla en el modo Regresion Lineal presenta dos columnas x y y.

Como observa el cursor aparece en la columna x. Si quiere mover el cursor ala columna y utilice las teclas del cursor. La ecuacion lineal en la calculadora esy = A+Bx.


4.5 Uso de programas de computador 47

Para ingresar los datos en x, escriba el numero, por ejemplo 12.3 y luego la tecla= , el cursor baja para esperar el siguiente dato.

Ubique el cursor en eje y para ingresar los datos de esta columna en la mismaforma que en x.

Borre la pantalla presionando AC .

Para obtener la pendiente A presione las teclas en el orden: SHIFT 1 7 1

Para obtener el intercepto B presione las teclas en el orden: SHIFT 1 7 2

Si desean obtener mas informacion pueden descargar el manual completo de lacalculadora vistando la pagina de internet:

http://www.instructionsmanuals.com/u2 /pdf/calculadoras/Casio-FX350ES-es.pdf

4.5 Uso de programas de computador

Si saben usar programas graficadores para computador tales como Excel, Origin paraWindows o los equivalentes en Linux (Ubutu), intenten usarlos y repetir lo realizadoanteriormente para comparar resultados. Estos programas tienen subrutinas para realizarla regresion lineal y son capaces de dibujar las graficas que usted necesite evaluar y sepuede obtener la ecuacion que se ajusta a sus datos. Cualquier informacion se puedeobtener a traves de Internet.

4.5.1 Graficas en Excel

Aqu se va a hacer una breve explicacion del uso del programa Excell para Windows la cualdebea ser explorada para entender como funciona. Una vez abierto el programa Excell,aparece la pantalla de la figura 4.7

Inicie escribiendo los datos experimentales en las columnas. Excel siempre interpretala columna izquierda como la variable x y la columna derecha como la variable y. Alfinalizar, seleccione las columnas y ubique en el menu de la barra superior la opcioninsertar. De las opciones que despliega, seleccione dispersion y seguidamente haga clic enel icono que muestra solo puntitos, como se muestra en la figura 4.8. El resultado de todaesta operacion es una grafica en un como plano cartesiano como se ve en la figura 4.9.

Cuando se quiere hacer el ajuste a los puntos experimentales, ubique el cursor (flecha)sobre cualquier punto de la grafica y haga click con el boton derecho del mousse. Escojala opcion agregar linea de tendencia. Aqu se aparecen otras opciones que se refieren altipo de curva que va a ajustar (exponencial, lineal, logaritmica) seleccione la opcion masadecuada de acuedo a la geometria que adquieren sus puntos. Finalmente seleccione en lamisma ventana las opcion presentar ecuacion en el grafico.



Figura 4.7: Pantalla inicial de Excel

Figura 4.8: Seleccion de la opcion graficar


4.5 Uso de programas de computador 49

Figura 4.9: Seleccion de ajuste de la grafica

Figura 4.10: Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionarpara el ajuste.



4.6 Ejercicios

Use los conceptos de linealizacion y mnimos cuadrados anteriormente mencionados paraencontrar las ecuaciones que relacionan los datos de x y y en las siguientes tablas:

Tabla 4.3:Ejercicio 1

x y0 101 122 153 194 245 306 377 458 549 6410 75


x y0 51 82 143 224 375 616 1007 1668 2739 45010 742


x y1 12,52 6,33 4.24 3.15 2,56 2,17 1,88 1,69 1,410 1,3


Apendices


Apendice A

Instrumentos de Medicion 1

Los instrumentos de medicion son aparatos que poseen una escala numerica que se hacalibrado de acuerdo a la magnitud que se desea medir. Generalmente las escalas de losinstrumentos tradicionales son decimales (SI). Los instrumentos de medicion modernosposeen visualizadores digitales que son mas precisos.

Veamos a continuacion la descripcion de algunos instrumentos de medicion utiles enlas clases de laboratorios de fsica.

A.1 Calibrador o Pie de rey

El calibrador o pie de rey es un instrumento de precision que permite medir decimasde milmetro sin hacer estimaciones. Este instrumento fue inventado en 1631 por elmatematico frances Pierre Vernier, razon por la cual tambien se le conoce como Vernier.Este instrumento sirve para medir espesores, diametros exteriores e interiores y profundi-dades (ver figura A.1).

A.1.1 Principales partes del calibrador

1. Escala principal.

2. Nonio o escala movil.

3. Puntas para medicion de espesores y diametros exteriores (mandbulas fija y movil).

4. Puntas para medicion de diametros interiores.

5. Barra para profundidades.

6. Tornillo de fijacion.


54 Apendice A

Figura A.1: Partes del Calibrador o Pie de rey.

La escala fija tiene un rango de 15 cm y esta graduada en mm. Sobre la regla principal,se desliza una pequena regla llamada nonio con una escala de 10 divisiones o mas quecorresponde a lecturas de 1/10, 1/20, 1/40 o 1/50 de milmetro.

A.1.2 Principio de funcionamiento

Escala de 10 divisiones

En el caso de un nonio con una escala de 10 divisiones, cuando los dos ceros coinciden, laescala completa del nonio mide 9 mm. De esta forma, una division del nonio equivale a9/10 de mm (Ver figuras A.2).

Figura A.2: Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm

Observen que la primera division del nonio le falta 0,1 mm para completar 1 mm.Si ahora desplazamos el nonio hasta hacer coincidir la primera division con el primermilmetro de la escala fija, las mandbulas se separen justamente 0,1 mm. Ahora, anal-izando la segunda division, observamos que su distancia hasta el cero es de 1.8 mm, esdecir faltan 0,2 mm para alcanzar la segunda division de la escala fija. Si desplazamosahora el nonio hasta que la division 2 del nonio coincida con la segunda division supe-rior, se observa que las mandbulas se separan exactamente 0,2 mm. Si continuamos elprocedimiento anterior con todas las divisiones, entonces se encuentra que cada division


A.1 Calibrador o Pie de rey 55

Tabla A.1: Longitud de cada division del nonio al cero de la escala.

divisiones longitud diferenciasdel nonio en mm en mm

1 0,9 0,12 1,8 0,23 2,7 0,34 3,6 0,45 4,5 0,56 5,4 0,67 6,3 0,78 7,2 0,89 8,1 0.910 9,0 1.0

del nonio que coincida con la division superior que este a su derecha, corresponde a unaseparacion de las mandbulas equivalente a las decimas correspondientes del nonio. En latabla A.1 se observa lo anterior con mas claridad.

En las figuras A.3 y A.4 se dan dos ejemplos del procedimiento de lectura con elcalibrador. Para el caso de la figura A.3, se ha hecho coincidir la tercera division del noniocon la tercera division del la regla principal. De acuerdo con lo relacionado en la tabla A.1el nonio se ha desplazado 0,3 mm, quedando las puntas separadas en la misma magnitud.En el ejemplo de la figura A.4, el cero del nonio ha superado el primer milmetro de laescala principal pero se encuentra entre la primera y la segunda division, se observa quela cuarta division del nonio coincide con una division superior, quedando separadas laspuntas la cantidad correspondiente a 1,4 mm.

Figura A.3: La division 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, laspuntas se separan 0,3 mm

Una escala del nonio con un rango de 9 mm no es muy practica por lo que es mas


56 Apendice A

Figura A.4: Las puntas estan separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta division delnonio coincide con una division de la escala principal

diferencias entre las escalas fija y movil se obtiene entre la primera division y la segundadivision, entre la segunda division y la cuarta, etc. para lograr las mismas separacionesentre las mandbulas indicadas en la tabla A.1.

Escalas de 20 y 50 divisiones

Una escala de 20 divisiones permite medir hasta 0,05 mm. Esta escala se logra ampliandoel rango de la escala movil hasta 19 mm de tal forma que al dividirlo en 20 partes, cadadivision es igual a 1920 = 0, 95mm. De esta forma se obtiene una diferencia de 0,05 mmentre la primera division del nonio y la primera division de la escala fija, 0,1 mm entre lasegunda division del nonio y la segunda en la escala fija, etc.

Una escala de 50 divisiones se obtiene cuando la escala del nonio con un rango de 49mm se divide en 50 partes iguales en la que cada division es equivalente a 4950 = 0, 98mm yla diferencia entre las dos primeras divisiones de ambas escalas con las mandbulas cerradases de 0,02 mm, siendo esta cantidad la sensibilidad del calibrador.


Apendice B

Instrumentos de Medicion 2

B.1 Micrometros y Esferometros

Los micrometros y esferometros son instrumentos de medicion de longitudes del ordende 0,01 mm. Los micrometros se usan especficamente para medir espesores o diametrosmuy finos, mientras los esferometros, ademas de medir espesores o alturas muy pequenas,tambien sirven para medir indirectamente el radio de curvatura de superficies esfericas.

B.1.1 El micrometro

Un micrometro consta de las siguientes partes: 1) yunque de medicion, 2) husillo demedicion, 3) arco, 4) tambor, 5) trinquete, 6) seguro de husillo, 7)tambor graduado, 8)escala principal que se muestran en la figura B.1

Figura B.1: Esquema de un micrometro y sus partes.


58 Apendice B

La escala principal tiene un rango de 0 a 25 mm y posee dos graduaciones: las divisionessuperiores indican milmetros mientras que las inferiores indican medio milmetros. Eltambor graduado tiene una escala movil dividida en 50 partes que equivalen a 0.5 mm,es decir, casa division es igual a 0,01 mm. El objeto a medir se coloca entre el yunque yel husillo. El mecanismo del micrometro es un tornillo que avanza de derecha a izquierdamientras se gira con los dedos por medio del tambor. El tornillo avanza 0,5 mm por cadavuelta. El husillo esta unido al extremo del tornillo y cuando este esta cerca del objetoa medir, lo mas recomendable es hacer avanzar el tornillo por medio del trinquete paraevitar danos tanto en el objeto a medir como en el instrumento de medicion.

En la figura B.2 se puede ver la manera adecuada de usar el micrometro.

Figura B.2: Imagen de una medicion con el micrometro.

La figura B.3 muestra un ejemplo de una medicion. La graduacion superior de la escalafija indica mm y la inferior indica 0,5 mm y la lectura de la escala movil se multiplica por0,01 mm. As, la lectura indicada es: 1 mm + 0,5 mm + 0,90,01 = 1,59 mm, siendo 9la cifra incierta.

Figura B.3: Lectura de una medicion con un microometro.


B.1 Micrometros y Esferometros 59

B.1.2 El Esferometro

El Esferometro se usa principalmente para medir el radio de curvatura de objetos esfericos.Esta compuesto por las siguientes partes (ver figura B.4):

1. Trpode. Son por tres patas terminada en punta que forman un triangulo equilatero.La estructura en la que se ubican las

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