Guia Metodo Slope Deflection 2013

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________ Autor: Claudio Montes López 1

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles

Análisis Estructural

E 2.1 106⋅ kg

cm2:=

I 0.00045m4:=

Problema 1: La estructura de la figura es un modelo inicial de una futura obra. Por especificaciones se requiere que el momento máximo no exceda los 8,438 Tm. Se le pide a usted como ingeniero que determine la máxima carga “q”, para cumplir con las especificaciones de diseño.

Desarrollo

I. EI=9450 Tm2

II. Grados de libertad: 3 Giros

ө4 ө1 ө2

___________________________________________________________________________________




µ24 0.45− q⋅:= q

µ42 0.3− q⋅:= q

µ54 7.2:=

µ45 4.8−:=

βab1

2:=ab

Kab 4EIL

⋅:=ab

4EI3

⋅ 12600= 4EI

1310483.834=

4 2⋅ EI5

15120=

Mab Kab θa β ab θb⋅+( )⋅ µab+:=ab

M12 K12 θ1 0.5 θ2⋅+( )⋅ µ12+:=

III. Momentos de empotramiento perfecto

7.2 - 4.8 -0.45q 0.3q Los momentos de empotramiento perfecto de las otras barras son igual a cero, ya que no presentan carga en el tramo. IV. Factor de transmisión

Inercia = Constante ; entonces para todas las barras.

V. Rigidez extrema

K12 = K21 = K23 = K32 = K24 = K42 = K54 = K45 =

VI. Condiciones de borde

M12 = 0 ө3 = ө5 = 0

VII. Ecuaciones en los nudos

M21 + M23 + M24 = 0 (1) M42 + M45 = 0 (2)

VIII. Ecuaciones de slope

Ecuación general Slope sin desplazamientos: (3) 0 = 12600ө1 + 6300ө2

___________________________________________________________________________________




M21 K21 θ2 0.5 θ1⋅+( )⋅ µ21+:= 21

M23 K23 θ2 0.5 θ3⋅+( )⋅ µ23+:= 23

M21 0.14361 q 1.9215−( )⋅:=

M23 0.20482 q 1.9215−( )⋅:=

M32 0.10241 q 1.9215−( )⋅:=

M24 0.35844− q 1.9215−( )⋅:=

M42 0.22748 q 8.2148+( )⋅:=

M45 0.22748− q 8.2148+( )⋅:=

q1 1.9215M

0.14361+:=

q2 1.9215M

0.20482+:= q2 43.119=

q1 60.678=

q3 1.9215M

0.10241+:=

q4 1.9215M

0.35844−:=

q5 8.2148− M0.22748

+:=

q6 8.2148− M0.22748

−:=

q7 76.187M

0.11374−:=

q3 84.316=

q5 28.879=

q7 2=

q4 21.619−=

q6 45.308−=

(4) M21 = 12600ө2 + 6300ө1

(5) M23 = 12600ө2

(6) M32 = 6300ө2 (7) M24 = 10483.83ө2 + 5241.82ө4 - 0.45q

(8) M42 = 10483.83ө4 + 5241.82ө2 + 0.3q (9) M45 = 15120ө4 – 4.8 (10) M54 = 7560ө4 +7.2

IX. Solución del problema: Resolviendo el sistema de 10 ecuaciones se obtienen los

momentos internos de la estructura en función de “q”. Finalmente se iguala cada ecuación al momento máximo M=8.438 Tm, para poder despejar “q”.

La máxima carga que puede soportar la estructura según las especificaciones de diseño es:

q=2 T/m

M32 K32 θ3 0.5 θ2⋅+( )⋅ µ32+:= 32

M24 K24 θ2 0.5 θ4⋅+( )⋅ µ24+:= 24

M42 K42 θ4 0.5 θ2⋅+( )⋅ µ42+:= 42

M45 K45 θ4 0.5 θ5⋅+( )⋅ µ45+:= θ

M54 K54 θ5 0.5 θ4⋅+( )⋅ µ54+:= θ

M54 0.11374− q 76.1875−( )⋅:=

___________________________________________________________________________________




∆2 0.707∆:=∆2 0.707∆:=

∆2 ∆ cos 45( )⋅:= ∆∆1 ∆ sen 45( )⋅:= ∆

Problema 2: Para la siguiente estructura se pide determinar los esfuerzos internos y diagramas de momento, corte y axial. Nota: Todas las barras son EI=1000 Tm2

I. Deformada

∆1 0.707∆:=∆1 0.707∆:=

___________________________________________________________________________________




µ∆12

µ∆ab6− EI⋅

L2∆ab⋅:=∆ab

µ∆216− EI⋅

42∆12⋅ 265.125= ∆

∆12 0.707− ∆:= ∆ ∆21 0.707− ∆:= ∆

∆24 0.707∆:= ∆ ∆42 0.707∆:= ∆

∆ab

∆23 0:= ∆32 0:=

µ∆23 µ∆32

µ∆24 µ∆426− EI⋅

32∆24⋅ 471.333−= ∆

∆54 ∆:= ∆∆45 ∆:= ∆

µ∆45 µ∆456− EI⋅

4 2⋅( )2∆45⋅ 187.5−= ∆

II. Grados de libertad: 6 Giros y 1 Desplazamiento independiente. ө3

ө4

ө1 ө2

ө24

ө3 ∆

III. Momentos de empotramiento perfecto

Las barras no presentan cargas en el tramo, por lo tanto, el momento de empotramiento perfecto para todas las barras es igual a cero.

IV. Momentos por descenso de la barra

: Desplazamiento (Perpendicular a la barra) relativo entre en nudo a y el nudo b. El signo del desplazamiento depende si la barra se desplaza en sentido horario o anti-horario. Se adopta en convenio de signo de slope-Deflection.

= = = = 0 = =

= =

___________________________________________________________________________________




βab1

2:=ab

Kab 4EIL

⋅:=ab

4 EI⋅4

1000= 4 EI⋅3

1333.333=

4 EI⋅4 2⋅

707.107=

M12 K12 θ1 0.5 θ2⋅+( )⋅ µ12+ µ∆12+:= µ

M21 K21 θ2 0.5 θ1⋅+( )⋅ µ21+ µ∆21+:= µ

M23 K23 θ2 0.5 θ3⋅+( )⋅ µ23+ µ∆23+:= µ

M32 K32 θ3 0.5 θ2⋅+( )⋅ µ32+ µ∆32+:= µ

M42 K42 θ4 0.5 θ42⋅+( )⋅ µ42+ µ∆42+:= µ

M24 K24 θ24 0.5 θ4⋅+( )⋅ µ24+ µ∆24+:= µ

M45 K45 θ4 0.5 θ5⋅+( )⋅ µ45+ µ∆45+:= µ

M54 K54 θ5 0.5 θ4⋅+( )⋅ µ54+ µ∆54+:= µ

V. Factor de transmisión

Inercia = Constante ; entonces para todas las barras.

VI. Rigidez extrema

K12 = K21 = K23 = K32 = K24 = K42 =

K45 = K54 = VII. Condiciones de borde

M12 = M32 = M54 = M24 = 0

VIII. Ecuaciones en los nudos

M21 + M23 = -5 (1) M42 + M45 = 0 (2)

IX. Ecuaciones de slope

Ecuación general Slope Deflection: Mab Kab θa β ab θb⋅+( )⋅ µab+ µ∆ab+:= µ

(3) 0 = 1000ө1 + 500ө2 + 265.125∆

(4) M21 = 1000ө2 + 500ө1 + 265.125∆ (5) M23 = 1333.333ө2 + 666.665ө3 (6) 0 = 1333.333ө3 + 666.665ө2 (7) 0 = 1333.333ө24 + 666.665ө4 - 471.33∆ (8) M42 = 1333.333ө4 + 666.665ө24 - 471.33∆ (9) M45 = 707.107ө4 + 353.55ө5 – 187.5∆ (10) 0 = 707.107ө5 + 353.55ө4 – 187.5∆

___________________________________________________________________________________




X. Ecuaciones de Corte Debido a que tenemos 11 incógnitas y solo 10 ecuaciones, es necesario obtener más ecuaciones del despiece de la estructura. Uno de los métodos es partir con variables auxiliares desde un extremo de la estructura e ir desarrollando el despiece.

Se desarrollo el despiece hasta obtener el mismo número de ecuaciones como incógnitas De la estructura se obtuvieron las siguientes ecuaciones: (11) M45 + 4H - 4V = 0 (12) M42 - 3H = 0 (13) M21 – 4·(4+V) = 0

___________________________________________________________________________________




XI. Solucion de sistema

De manera análoga a los ejercicios anteriores se resuelve el sistema de ecuaciones, obteniendo los siguientes resultados:

XII. Despiece de la Estructura

M21 14.55 M23 -19.55 M42 -4.35 M45 4.35 ө1 -0.0486 ө2 -0.0195 ө24 -0.0541 ө3 0.00977 ө4 0.0476 ө5 0.034 ∆ 0.22 H -1.45 V -0.36

___________________________________________________________________________________




XIII. Diagramas

Momento Corte

Axial

___________________________________________________________________________________




Pregunta 3: Para la siguiente estructura determinar:

a) Desplazamiento horizontal máximo en cada nivel. b) Determinar los Drifts de cada nivel (Desplazamiento

relativo/Altura entre piso).

Todo EI = 1000Tm2.

I. Reducción de la estructura La estructura no corresponde a una estructura simétrica ni a una anti-simétrica, pero al presentar cargas puntuales en los nodos y las barras horizontales ser axialmente indeformables, se puede trabajar con una superposición de estructura simétrica y anti-simétrica. Para este ejemplo basta con trabajar con la estructura anti-simétrica para determinar los desplazamientos.

II. Deformada

La deformada de la estructura está asociada a los posibles desplazamientos que puede presentar la estructura y es independiente de las cargas aplicadas.

___________________________________________________________________________________




III. Grados de libertad independientes

IV. Rigidez al giro Se debe calcular para cada extremo de las barras consideradas en el análisis (Ver formula en apuntes de clase).

V. Momentos de empotramiento perfecto

Se debe calcular para cada extremo de las barras consideradas en el análisis que posean carga en el tramo (Ver formula en apuntes de clase). En este ejemplo no hay momentos de empotramiento perfecto, ya que no existen cargas de tramo. VI. Momentos por descenso Se debe calcular para cada extremo de las barras consideradas en el análisis (Ver formula en apuntes de clase). Para este factor se considera el desplazamiento relativo entre dos puntos sucesivos y perpendicular a la barra.

___________________________________________________________________________________




VII. Condiciones de borde

VIII. Equilibrio en los nodos

IX. Ecuaciones de Slope Deflection para cada barra Se debe calcular para cada extremo de las barras consideradas en el análisis (Ver formula en apuntes de clase

X. Ecuaciones de momento

Debido a que tenemos 12 incógnitas y solo 10 ecuaciones, es necesario obtener más ecuaciones del despiece de la estructura. Uno de los métodos es partir con variables auxiliares desde un extremo de la estructura he ir desarrollando el despiece.

___________________________________________________________________________________




Se desarrollo el despiece hasta obtener el mismo número de ecuaciones como incógnitas. XI. Solución del sistema Resolviendo el sistema 12 ecuaciones obtenemos:

Guia Metodo Slope Deflection 2013

Documents

Transcript of Guia Metodo Slope Deflection 2013