Paths and SyclesDefinition. A walk of length k in a graph G is a succesion of k edges of G of the form uv,vw,wx,yz. (denote this walk by uvwxyz and refer to it as a walk beetwen u and z)

all the edges are different: trailall the edges and all the vertices are different: pathWalk of the form uv,vw,wx,yz,zu: closed walkClosed trail whose vertices are all different : cycle

Definition. A graph G is connected if there is a path in G between any given pair of vertices, and disconnected otherwise.

Graf Euler

Kota Koningsberg dialiri sungai Pregel yang membagi kota tersebut menjadi empat daerah (A,B,C,D) yang dihubungkan oleh tujuh jembatan seperti tampak pada gambar disamping:

Dapatkah warga kota Koningsberg melakukan perjalanan dari suatu daerah dan kembali ke daerah tersebut dengan melintasi semua jembatan masing-masing tepat satu kali?

C

A

B

D

Definisi (Graf Euler). Suatu graf terhubung G disebut EULER jika ada suatu trail tertutup yang memuat semua garis dari G. Trail seperti ini disebut trail Euler.

Teorema (Teorema Euler). Misal G suatu graf terhubung. Graf G adalah Euler jika dan hanya jika setiap titik dari G mempunyai derajat genap.

Ilustrasi: Jika seseorang melintasi suatu jembatan dan sampai pada suatu daerah maka orang tersebut harus melintasi jembatan yang lain saat meninggalkan daerah tersebut, sehingga diperoleh dua derajat setiap kali melalui suatu titik. Hal ini mengakibatkan derajat setiap titik dalam graf Euler adalah kelipatan dua.

Algoritma FleuryJika G graf Eulerian maka langkah-langkah berikut dpt menghasilkan trail euler dlm G:Pilih suatu titik awal misal fPada setiap langkah, lintasi garis yang tersedia, pilih bridge jika tidak ada alternatif lain.Setiap melintasi garis hapus garis tersebut, hapus juga titik dengan derajat nol, kemudian pilih garis yang lain.Stop jika tdk ada garis lagi.

D

C

F

B

E

A

G

Definisi . Suatu graf terhubung G disebut graf yang garisnya dapat ditelusuri (edge-traceable) jika terdapat trail terbuka yang memuat semua garis dari G.

Teorema . Misalkan G graf terhubung. G merupakan graf yang garisnya dapat ditelusuri jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua titik berderajat ganjil.

Definisi. Digraf terhubung D merupakan digraf Euler jika terdapat trail tertutup yang memuat semua busur D.

Contoh:

Digraf Euler dengan trail eulernya : ABCDBEADEFA.

F

E

D

C

B

A

Definisi. Digraf terhubung D disebut dapat ditelusuri jika terdapat trail terbuka yang memuat semua busur D.

Teorema. Misalkan D digraph terhubung. D merupakan digraf Euler jika dan hanya jika derajat keluar setiap titik sama dengan derajat masuknya. D dapat ditelusuri busurnya jika dan hanya jika terdapat dua titik x dan y di D sedemikian hingga

Graf Hamilton

Definisi. Misalkan G graf terhubung. G disebut graf Hamilton jika ada sikel yang memuat setiap titiknya G. Sikel seperti ini disebut sikel Hamilton.

Contoh:

sikel yang memuat semua titik dalam graf tersebut: ABCDEA

A

E

D

C

B

Teorema. ( Teorema Dirac)Misalkan G graf terhubung sederhana dengan n titik, n 3. Jika der(v) (1/2)n untuk setiap titik v maka G merupakan graf Hamilton.

Teorema. (Teorema Ore)Misalkan G merupakan graf sederhana dengan n titik, n 3. Jika der(v) + der(w) n untuk setiap pasang titik v dan w yang tidak adjacent, maka G merupakan graf Hamilton.

Graf yang titiknya dapat ditelusuri adalah graf yang memiliki path, tetapi tidak memiliki sikel, yang melewati setiap titiknya satu kali saja yang disebut path Hamilton.

Suatu digraf terhubung D disebut digraf Hamilton jika terdapat sikel yang memuat semua titik di D. Sikel seperti ini disebut sikel Hamilton dalam digraf D.

Contoh :

Digraf Hamilton dengan sikel hamilton ABECDA.

A

D

C

B

E

Misalkan D merupakan digraf sederhana dengan n titik. Jika derajat keluar v n/2 dan derajat masuk v n/2 untuk setiap titik v pada D, maka D merupakan graf Hamilton.Misal D merupakan digraf sederhana dengan n titik. Jika derajat keluar v + derajat masuk w n untuk setiap pasangan titik v dan w yang tidak adjacent maka D merupakan graf Hamilton.

SELESAITERIMA KASIH