Grafostatica-Cabos e Arcos

8/20/2019 Grafostatica-Cabos e Arcos

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Capítulo 7 – Cabos e arcos 159

Estática Aplicada para Engenharia Civil e Arquitectura

7.1.In trodução

A realização de estruturas de Engenharia Civil funcionandoem flexão é relativamente recente, tendo sido possibilitadapelo advento de materiais com aptidão para este tipo deesforço, como o aço, o betão armado e, mais recentemente,o betão pré-esforçado. A madeira constituiu, duranteséculos, o único material disponível para essa forma deutilização, mas as modestas dimensões das vigas e a baixadurabilidade da maioria das espécies limitaram o âmbito dasua aplicação.Por outro lado, é na resposta à solicitação em esforço axialque os materiais apresentam o seu melhor desempenho,tanto no tocante a resistência como a rigidez (resistência àdeformação), embora estes aspectos se relacionem tambémintimamente com a concepção da estrutura. Dito doutromodo: o volume de material a dispender na realização deum determinado vão será mínimo para uma soluçãoestrutural baseada em esforços axiais nas barras.Nas grandes pontes contemporâneas, este aspecto torna-secrítico, no sentido de que não é possível a realização devãos flectidos de dimensão superior a cerca de 200m. Assoluções para este tipo de casos passarão, então, por umatopologia em arco (Figura 7.1), se o vão não excede valoresda ordem de 500m, ou de suspensão (Figura 7.2), paravãos maiores

1. O peso próprio do tabuleiro origina,

basicamente, esforços de compressão no arco ou esforçosde tracção no cabo de suspensão, como o presente capítulopermitirá compreender.Por este motivo, a construção de pontes suspensas teve de

esperar até à Revolução Industrial e ao desenvolvimento datecnologia do aço, material resistente à tracção. Pelocontrário, as pontes em arco têm um passado que se contapor milénios, uma vez que a matéria prima adequada à suaconstrução, a pedra, era abundante por toda a parte.

As aplicações práticas dos conceitos de funicular e anti-funicular , apresentados e discutidos nas secções seguintes,não se esgotam nos exemplos das pontes, mas estãopatentes numa variedade de situações, desde simplespórticos (Figura 7.3) a linhas de transmissão aérea (Figura7.4), constituindo também o fundamento mecânico paramembranas bi- ou tridimensionais, como túneis (Figura 7.5),abóbadas de catedrais (Figura 7.6) e cúpulas de recintos

desportivos (Figura 7.7).

7.2.Polígono s funi cu lar e ant i-fun icular

Considere-se o sistema de duas forças coplanaresquaisquer, representado na Figura 7.8a. Tal sistema é,como se demonstra no Anexo A, estaticamente equivalentea uma força única ou resultante, com linha de acção adeterminar. A direcção, sentido e intensidade da resultantepodem ser facilmente determinadas por via analitica ou pelaconstrução do polígono de forças do sistema, comoilustrado na Figura 7.8b.

1 A estas acrescem, mais recentemente, as pontes atirantadas, que não se

enquadram, no entanto, na temática a que este capítulo se dedica.

Figura 7.2

Figura 7.1

Figura 7.4

Figura 7.7

Figura 7.3

Figura 7.6

Figura 7.5


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160 Capítulo 7 – Cabos e arcos


A solução do problema ficará inteiramente definida com adeterminação de um ponto da linha de acção da resultante.Embora a abordagem analítica seja sempre possível, não éessa a via que se pretende enfatizar nesta exposição.Em seu lugar, proceder-se-á à construção e discussão do

chamado polígono funicular . Esta construção baseia-se emconceitos da Grafostática, abordagem dos problemas deEstática baseada na representação gráfica rigorosa dasforças e suas posições no espaço. Com a crescentefacilidade de acesso a meios de cálculo automático, estamatéria deixou de ser abordada em detalhe nos curricula das disciplinas de Mecânica e afins. Considerando, noentanto, que os conceitos nela introduzidos sãoindispensáveis à percepção do comportamento mecânicodas estruturas em estudo neste capítulo, seguir-se-á umavia de compromisso, recorrendo de tais conceitos namedida em que sejam estritamente indispensáveis aodesenvolvimento da exposição.

Retomando o exemplo da Figura 7.8a, o ponto requeridopoderá ser o correspondente à intersecção das linhas deacção das forças F 1 e F 2 . Se, no entanto, tal ponto seencontrar fora da área disponível para desenho, seránecessário proceder à determinação de um pontoalternativo.Para esse efeito considere-se, a respeito do polígono deforças da Figura 7.8b, um ponto auxiliar ou polo O, e a forçafictícia r 1, com origem em O e extremidade em A (Figura7.9a). Construindo o polígono de forças para r 1 e F 1, obtém-se a resultante parcial r . Se, na Figura 7.8a, se fizer passara força r 1 por uma linha de acção qualquer, aquelaresultante parcial deverá passar no ponto de intersecção

dessa linha com a do suporte de F 1 (ponto P , Figura 7.9b). A Figura 7.9a permite ainda constatar que r está emequilíbrio com F 2 e r 2 , uma vez que o polígono das trêsforças tem resultante nula. r 2 é outra força fictícia, comorigem em C e extremidade no polo O. Então, no ponto deintersecção da linha de acção de r com a de F 2 (ponto Q naFigura 7.9b), deverá ser igualmente aplicada a força r 2 .Observando, da Figura 7.9a, que a resultante de r 1 e r 2 éigual e oposta à de F 1 e F 2 , pode concluir-se que aquelassão as forças equilibrantes destas, segundo duas direcçõesarbitrárias, definidas pela escolha do ponto O. Uma vez queo equilíbrio requer que a acção e a reacção tenham amesma linha de acção e sentidos opostos, segue-se que o

ponto S, de intersecção de r 1 e r 2 , definirá, conjuntamentecom a direcção conhecida de R , a linha de acção daresultante.

A linha quebrada r 1-P-Q-r 2 da Figura 7.9b constitui o polígono funicular do sistema de forças F 1 e F 2 , a respeitodo polo O. Como é evidente, há uma infinidade de polígonospossíveis, para um dado sistema de forças, tantos quantosos pares de direcções segundo as quais a resultante podeser decomposta. A construção da Figura 7.9a é geralmentereferida por dinâmico.Embora o caso descrito contenha em si os aspectos maisrelevantes para a construção e compreensão do polígonofunicular, é com um sistema mais complexo que melhor se

pode apreender todo o potencial do conceito e, nomeada-mente, compreender o papel fundamental que desempenhano comportamento estrutural de arcos e cabos.

F 1

F 2

(a)

F 1

F 2

R

(b)Figura 7.8

F 1

r 1

r 2

r O

A

B

C

F 2

R

(a)

R

F 1

F 2

r -r

r 1

P

S

r 2

Q

(b)Figura 7.9


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Considere-se, então, um sistema de n forças arbitrárias (5,no exemplo ilustrado). Na Figura 7.10 representa-se odinâmico construído, para um polo arbitrário O, de formaanáloga à indicada para o sistema anterior.O polígono funicular da Figura 7.11 é também obtido por um

procedimento idêntico ao daquele caso, podendosistematizar-se pela sequência seguinte:

Fazer passar a linha de acção de r 1 por um pontoqualquer da linha de acção de F 1 (ponto P );

Fazer passar por P a linha de acção de r 2 , prolongando-aaté à intersecção com a linha de acção de F 2 (ponto Q);

Fazer passar por Q a linha de acção de r 3, prolongando-a até à intersecção com a linha de acção de F 3 (ponto R );

...

Fazer passar por T a linha de acção de r 6 .

Os vectores r 1 e r 6 constituem as forças equilibrantes daresultante do sistema, a qual é definida em intensidade,direcção e sentido, pelo polígono de forças (ou pelodinâmico) e em linha de acção pelo ponto de intersecção,no polígono funicular, das rectas de suporte de r 1 e r 6 .Note-se que esta construção pode ser aplicada a qualquersubsistema de forças. Exemplificando com o par de forçasF 2 e F 3, as forças equilibrantes corresponderão aos raiospolares r 2 e r 4 do dinâmico (não numerados na figura) e aposição da resultante parcial R 23 obter-se-á pela intersecçãodos lados do polígono funicular correspondentes a estesraios.O polígono funicular representa a configuração geométricaassumida por um fio inextensível e sem massa, decomprimento P-Q-R-S-T e ancorado imediatamente àesquerda de P e à direita de T , quando se lhe aplica osistema de forças F 1 – F 5 . r 1 e r 6 serão, nesse caso, asreacções de apoio ou forças de ancoragem do fio.

Ainda com respeito ao mesmo sistema de forças, considere-se agora o polo O à esquerda do polígono de forças,

obtendo-se o dinâmico representado na Figura 7.12, no qualr 1 e r 6 são, como anteriormente, os raios polares extremos.Procedendo à construção do polígono funicular, segundo

um procedimento rigorosamente idêntico ao do casoanterior, obtém-se a solução representada na Figura 7.13,para o qual se mantêm válidas as considerações deequilíbrio total ou parcial proferidas a respeito daquele.

r 1

r 6

F 1

F 2

F 3

F 4

F 5

R

R 23

P

Q R S

T

Figura 7.11

r 1

r 6

F 3

F 2

F 4

O R

F 1

F 5

Figura 7.12

r 1

r 6

F 1

R 23

F 2

F 3

F 4

F 5

O

R

Figura 7.10


4/15



Asd asd as da sd as yad w.

r 1 e r 6 constituem, ainda, as forças equilibrantes doconjunto. Um hipotético sistema de bielas, alinhadassegundo a linha poligonal P-Q-R-S-T e carregadas nos nóspelas forças F 1 – F 5 , estará sujeito unicamente a esforçosde compressão. A linha constitui o polígono anti-funicular das cargas e constitui o princípio caracterizador dos arcos.

Assim, para equilibrar um dado sistema de forças, dispõe-sede duas possibilidades, similares no princípio mecânico masopostas quanto ao sinal dos esforços que originam:soluções suspensas, correspondentes ao caso funicular,induzindo estados de tracção nos elementos, e soluções emarco, que produzem o efeito contrário.Note-se que, para um dado sistema de forças, o problemada definição do polígono (anti-)funicular apresenta trêsgraus de liberdade, isto é, a determinação unívoca de umpolígono requer a fixação de três parâmetros. A posição dopolo do dinâmico, que determina a direcção das duas forçasequilibrantes do sistema, reduz a um o número de graus deliberdade. A recta O-O’ -O’’ na Figura 7.14a, por exemplo, é

o lugar geométrico dos polos aos quais corresponde umaforça equilibrante r 1 com direcção constante e igual àrepresentada na Figura 7.13. A recta O-O’ -O’’ na Figura7.14b tem o mesmo significado, a respeito de r 6 . O terceirograu de liberdade relaciona-se com a posição do polígonofunicular no sistema de forças. Na Figura 7.15, por exemplo,representam-se três funiculares, correspondentes aomesmo dinâmico mas com diferentes pontos de insercçãoP , P’ e P’’ .

r 1

r 6

F 1

F 2 F 3

F 4

F 5

R P

Q R S

T

Figura 7.13

r 1

r 6

r 6

’ r ’’ 6

F 1

F 2

F 3

F 4

F 5

O

O’’

R

O’

(a)

r 1

r ’ 1

r ’’ 1

r 6

F 1

R 23

F 2

F 3

F 4

F 5

O

O’

O’’

R

(b) Figura 7.14

F 2

F 3 F

4

F 5

R

F 1

P

P’

P’’

Figura 7.15


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7.3. Traçado de arco s e cabos

A consideração dos graus de liberdade referidos na secçãoanterior será determinante para a definição da geometria dosistema (anti-)funicular a conceber. Num arco ideal, porexemplo, o coeficiente angular nos apoios determinará ainclinação dos impulsos nos encontros, como se representana Figura 7.16. Aquela deverá ser escolhida em função dascaracterísticas do terreno e da flecha f pretendida para oarco, a qual, por sua vez, será condicionada por requisitoscomo a inclinação máxima dos troços de acesso ou asexigências de circulação, por veículos ou embarcações, sobo vão. Como se esquematiza também na figura, os impulsosI serão, sob carga total constante, tanto maiores quantomais abatido for o arco, isto é, quanto maior fôr o ráciovão/flecha.Um caso de particular interesse em Engenharia Civil e

Arquitectura é o do traçado do polígono (anti-)funicular paraum sistema de forças paralelas, normalmente associadas auma carga gravítica, como o peso próprio de um tabuleirode uma ponte ou de uma ábside de catedral.O dinâmico e o polígono apresentam, nestes casos, granderegularidade geométrica, como ilustram as Figuras 7.17a-b,para o funicular, e 7.18a-b para o antifunicular. Coloca-seagora a questão de saber qual a forma da curva para a qualo polígono converge, quando o limite de decomposição dacarga se aproxima de zero, isto é, quando se considera acarga continuamente aplicada.Para responder a esta questão, considere-se o equilíbrio doelemento de cabo dx , representado na Figura 7.19, sujeito,por hipótese, a uma carga distribuída q(x), actuando nadirecção y . Sendo a curva y(x) uma funicular docarregamento aplicado, as secções transversais estãosujeitas unicamente a esforço axial de tracção. Dado queeste varia ao longo do cabo, os valores nas extremidadesdo elemento serão T e T+dT . Concomitantemente,designem-se por V e V+dV os valores das respectivascomponentes segundo a direcção y .O coeficiente angular da curva do cabo é dado por

(7.1)

ou, considerando que T é tangente ao traçado, também por

(7.2)

donde

(7.3)

Tendo em consideração que, por exigência do equilíbrio deforças na direcção x , a componente H se mantém constanteem todo o comprimento do cabo vem, por derivação de (7.3)

(7.4)

que é a equação diferencial da curva funicular, cuja formadependerá de cada tipo de carregamento particular.

O

(a)

(b)Figura 7.18

dx

x

y y(x)

T

H

V

V+dV

H

T+dT

q(x)

Figura 7.19

dy tg

dx

V tg

H

dy V

dx H

2

2

d y 1 dV q( x)

H dx H dx

1

1

2

2

3

3

f

I

Figura 7.16

O

(a)

(b)Figura 7.17


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7.3.1. Carregamen to un iform emen te d istr ib uí- do q o ao longo do eixo x

Este tipo de carregamento é, aproximadamente, o queocorre numa ponte suspensa, na condição de que o valor dopeso próprio do cabo possa considerar-se desprezável emrelação ao do tabuleiro, dele suspenso por pendurais, comomostra a Figura 7.20. Embora, a rigor, o cabo esteja sujeitoa uma grande quantidade de forças concentradas, o valorpequeno do espaçamento dos pendurais, em relação ao vãoda ponte, permite assimilá-las a um carregamentouniformemente distribuído.

7.3.1.1. An co rag ens de nível

Considerando as extremidades do cabo ao mesmo nível e aorigem das coordenadas no vértice da curva (ponto A naFigura 7.21), obtém-se, da integração da equação (7.4)

(7.5)

A constante de integração C 1 é determinada pela condição

(7.6)

Uma nova integração da equação (7.5) resulta em

(7.7)

Com a origem em O, a constante de integração C 2 é nula

resultando, para a expressão da curva funicular do cabosujeito a carregamento uniformemente distribuído ao longodo eixo x

(7.8)

A flecha a meio vão será tanto menor quanto maior for aforça de ancoragem (ou a sua componente H ), uma vez que

o cabo se aproximará da configuração rectilínea. A relaçãoentre a flecha e esta força pode obter-se de (7.8), por

(7.9)

A flecha e a força de ancoragem são também determinadaspelo comprimento do cabo. Este será, no mínimo, igual aocomprimento da corda definida pelos pontos de ancoragem,valor para o qual as forças de ancoragem seriam horizontaise infinitas, na hipótese do cabo inextensível.

A dedução do comprimento do cabo, cuja pormenorizaçãoaqui se omite

2, resulta na expressão

(7.10)

2 Consultar, para este efeito, a obra Curso de Mecânica: Volume II

(Estática), Adhemar da Fonseca, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.,Rio de Janeiro, Brasil, 1975

qo

x

f

O

L

y

Figura 7.21

o1

q x dy C

dx H

1

dy (0 ) 0 C 0

dx

2

0 2

q x y C

2H

2

0 q x y 2H

2

oq L

y(L / 2 ) f f 8H

s

F

q = F/s

F F F F F F F

Figura 7.20

2 2

2 2

1 f L f f S 1 16 ln 4 1 16 L

2 8f LL L


7/15



onde f e L são, como nas expressões anteriores, a flecha eo comprimento da corda.

A tensão numa secção qualquer S do cabo, de coordenadas( x S ; y S), pode ser determinada estabelecendo o equilíbriodo cabo à esquerda ou à direita dessa secção, como

ilustrado na Figura 7.22. A reacção V é primeiro calculadapor uma equação global de momentos em relação àancoragem esquerda. Em seguida, uma equação deequilíbrio parcial de forças segundo a direcção y permitedeterminar V S. A componente horizontal (constante) doesforço axial obtém-se por uma equação de equilíbrioparcial de momentos. O esforço axial T S é, finalmente,determinado pela composição vectorial de V S e H .O esforço axial é mínimo no vértice, confundindo-se aí como valor H , uma vez que a tangente é horizontal, nesseponto. Procedendo ao equilíbrio de momentos, em relação àancoragem direita, do meio-cabo representado na Figura7.23, vem

(7.11)

que recupera, sob outra forma, a expressão (7.9).Este valor pode ser utilizado para, em conjugação com acomponente ou reacção vertical V na ancoragem,determinar o esforço de tracção nesta secção, onde tem ovalor máximo. Vem, então

(7.12)

A Figura 7.24 representa graficamente a equação (7.12).

Como se vê, até valores da ordem de f/L da ordem de 0.1, avariação de esforço axial é pequena e pode admitir-se, com

uma margem de erro pequena, que o cabo se encontrasujeito a um estado de tracção quase constante. Paravalores superiores, a razão T máx /H aumenta paulatinamente,mas deve assinalar-se que tal se deve não ao aumento do

qo

T S

T

V S

V

H

H

S( ; ) x yS S

Figura 7.22

qo

f

T H

T

L/2

V

H

Figura 7.23

2 2 o

o

q LLT * f q 0 T

8 8f

2 4 2 2 2 4 2 2 2 o o o

máx 2 2 2

q L q L q L 16f T H V (1 )

464f 64f L

2 máx T f 1 16 H L

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 , 0

5

0 , 1

5

0 , 2

5

0 , 3

5

0 , 4

5

0 , 5

5

0 , 6

5

0 , 7

5

0 , 8

5

0 , 9

5

1 , 1

0

1 , 3

0

1 , 5

0

1 , 7

0

1 , 9

0

f/L

T m a x / H

Figu ra 7.24


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esforço de tracção, mas antes à redução do valor dacomponente horizontal H .Com efeito, representando T máx para um vão L ecarregamento q dados, obtém-se o gráfico da Figura 7.25,no qual se pode observar que o factor (8T máx /qL) converge

assimptoticamente para 4 com o aumento do rácio f/L, ouseja, que o esforço máximo de tracção converge para

(7.13)

Este valor corresponde a metade da carga total porque,quando f/L tende para infinito, a inclinação do caboaproxima-se da vertical (direcção y ), nas secções de

ancoragem.

7.3.1.2. Anc oragens desniv eladas

No caso de um cabo ancorado em pontos situados a cotasdiferentes (Figura 7.26), a equação diferencial (7.4) da curvafunicular, estabelecida com base no equilíbrio de um troçoelementar arbitrário, mantém a sua validade. A únicadificuldade está na determinação das constantes deintegração, uma vez que a posição do vértice da curva nãoé antecipadamente conhecida. Designem-se por a e b oscomprimentos nos quais o vão L é dividido por esse ponto epor f a e f b as ordenadas dos pontos de ancoragem, comreferência ao sistema de eixos com origem no vértice O.

Coincidindo a origem com o vértice, mantém-se válida acondição expressa por (7.6). A equação da curva funicularserá, portanto, do tipo da da equação (7.7), mas adeterminação da constante de integração não será imediata.Com efeito, sabe-se que

(7.14)

mas desconhecem-se os valores de a e b, apenas ligados

pela condição

(7.15)

0

4

8

12

16

20

24

0

, 0 5

0

, 1 5

0

, 2 5

0

, 3 5

0

, 4 5

0

, 5 5

0

, 6 5

0

, 7 5

0

, 8 5

0

, 9 5

1

, 1 0

1

, 3 0

1

, 5 0

1

, 7 0

1

, 9 0

f/L

8 T m a x / q L

Figu ra 7.25

máx máx

8T qL4 T

qL 2

qo

x

f bf a

Oa bL

y

Figura 7.26

a by( a) f e y(b) f

a b L


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Explicitando as condições (7.14) vem, então, de (7.7)

(7.16)

Subtraindo as duas expressões (7.16) membro a membro,vem

(7.17)

Substituindo b por L-a na última destas expressões e

simplificando obtém-se, finalmente

(7.18)e

(7.19)

A componente horizontal do esforço axial do cabo é, comoanteriormente, constante em todas as secções. O seu valorpode, de novo, calcular-se pelo equilíbrio de momentos daparte do cabo situada de um dos lados do vértice, o que

vem a resultar em

(7.20)

As expressões (7.18-19) são funções implícitas de a (ou b).

Substituindo nelas as expressões (7.20), estescomprimentos tornam-se funções explícitas dos dadosgeométricos do traçado do cabo, ou seja

(7.21)

e

(7.22)

O esforço axial máximo ocorre na ancoragem superior epode ser determinado, como no caso das ancoragens denível, pela composição vectorial de H , dado por qualquerdas expressões (7.20), e de V que, por imposição doequilíbrio parcial de forças na direcção y (Figura 7.27) éigual a

(7.23)

O valor de T máx é, portanto

2

o2 a

2

o2 b

q aC f

2H

q b C f 2H

2 2 o oa b a b

a boa b

o

q qa b f f a b a b f f

2H 2H

2 f f H q La b f f a b

2H q L

a b

o

f f H La

2 q L

a b

o

f f H Lb

2 q L

2 2

o o

b a

q b q aH

2f 2f

a b

a b a

f L f a 1

f f f

b a

a b b

f L f b 1

f f f

qo

f b

T H

T

b

V

H

Figura 7.27 oV bq


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(7.24)

O esforço axial na ancoragem mais baixa determina-se deforma similar, valendo

(7.25)

7.3.2. Carregamen to un iform emen te d istr ibuí- do q o ao longo do compr imento

Este é o caso a considerar quando o peso próprio do caboconstitui a acção gravítica mais importante embora, paracabos de pequena flecha, como os de linhas telefónicas ede linhas eléctricas de baixa tensão, a pequena curvaturapermita a utilização, com um erro reduzido, do modeloestudado em 7.3.1.

7.3.2.1. An co rag ens de nível

Com respeito à Figura 7.28 e designando por po o peso porunidade de comprimento do cabo, o peso total de um troçoelementar ds será pods. Sendo dx a projecção do troçoelementar na direcção x , este peso corresponderá a umacarga distribuída, em dx , de

(7.26)

Substituindo esta expressão em (7.4), obtém-se

(7.27)

que é a equação diferencial da catenária.Num sistema referencial com a origem no vértice da curva,a equação integral de (7.27) é

(7.28)

Para uma distância L entre os pontos de suspensão, ocomprimento total do cabo será de

(7.29)

e a flecha de

(7.30)

O esforço de tracção numa secção de coordenadas ( x ,y ) é,

simplesmente,

2 2 4

2 2 2 2 omáx o o2

bb

q b bT H V q b q b 1

2f 4 f

2

esq o

a

aT q a 1

2f

dx

d s x

y

y(x)

T

H V

V+dV

H

T+dT po

Figura 7.28

oo

p ds dsq(x ) p

dx dx

2 o

2

pd y ds

H dx dx

o

o

p x H

y cosh 1 p H

o

o

p LH s 2 sinh

p 2H

o

o

p LH f cosh 1

p 2H


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(7.31)

O valor máximo deste esforço ocorre nas ancoragens e,como no caso do cabo parabólico, pode determinar-se por

soma vectorial das respectivas componentes vertical ehorizontal. A primeira é igual a metade do peso total, ou seja

(7.32)

Uma vez que H é uma função implícita da geometria do

cabo, é necessário recorrer a um processo iterativo desolução. Determinada aquela componente, a partir dequalquer das equações (7.29)-(7.32), as restantesquantidades são directamente calculadas por simplessubstituição.

7.3.2.2. Anc orag ens a níveis difer entes

As expressões (7.26)-(7.31) mantêm-se válidas quando asancoragens se situam a níveis diferentes, mas existe adificuldade adicional de identificação da posição do vértice,que determina a origem do sistema de coordenadas.Geralmente, usa-se o expediente de considerar umaancoragem fictícia, de nível com uma das ancoragens reais(no caso da Figura 7.29, o ponto A’ ). No entanto, o processode resolução torna-se, em regra, extremamente laborioso,dada a forte não-linearidade das equações envolvidas. Nãose considerando ser um tópico de relevância maior para o

público-alvo, evita-se aqui o desenvolvimento do assunto.

7.3. Traçado de arco s e cabos

As expressões (7.26)-(7.31) mantêm-se válidas quando asancoragens se situam a níveis diferentes

o

o

H T p y

p

o o p s p LV H sinh2 2H

xO

A A’

B y

Figura 7.29


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EXEMPLOS DE APLICAÇÃ O

Exemplo 7.1. Determin e a flech a e a força de anco ragemde um c abo inextensível com 50m de com prim ento, comum peso de 15N/m, anco rado em pon tos de nível A e B,afastados de 40m (Figura E7.1).

Resolução

A solução iterativa da equação (7.29) resulta em

(7.33)

Esta componente é constante em todas as secções,incluindo as ancoragens.

A componente vertical da força de ancoragem é, por suavez, igual a metade do peso do cabo, ou seja

(7.34)

A força de ancoragem é, pois, igual a

(7.35)

Para a flecha, substituindo o valor de H em (7.30), obtém-se

(7.36)

Exemplo 7.2. Que comprim ento d everá ter um cabo deaço in ext ensível, com um a secção tr ans ver sal de 1cm

2 ,

e qual a força de estic amento a aplicar- lhe para q ue aflech a não exc eda 0,5m, para um a dis tânc ia de 30m

entre ancorag ens de nível? ( aço =77kN/m3 )

Resolução

O peso por metro linear de cabo será de

(7.37)

A solução iterativa da equação (7.29) resulta em

(7.38)

Substituindo em (7.29), obtém-se o comprimento com o qual

o cabo deverá ser produzido:(7.39)

15N/m

x

f

O

A B

40m

y

Figura E7.1

H 253,65N

dy f 13,27m

dx

V 15x50 / 2 375N

2 2 H V 452,73N

o p A 77E3 x1E 04 7,7N / m

H 1733,14N

s 30,022m


13/15



Exemplo 7.3. Duas fo rças d e 10 e 25kN es tão s uspen sasde um cabo in extensível e sem m assa, como ind icadona Figur a E7.3. Determin e as forças de an coragem e osesforços axiais no cabo, para os casos seguin tes:a) A flech a do p on to C éigu al a 5m;

b) O com prim ento to tal do c abo éde 35m.

Resolução

a) Sendo as ancoragens de nível, é possível a determinaçãoimediata das componentes verticais (V ) das forças deancoragem, recorrendo a equações de equilíbrio global demomentos em A e D, que resultam em

(7.40)

Uma vez que é dada a flecha do cabo em C , pode proceder-se ao equilíbrio parcial, de um dos lados desse ponto, paradeterminar a componente horizontal H a qual, no caso de

todas as forças serem verticais, é igual em todas assecções.Então, com respeito à Figura E7.4, tem-se:

(7.41)

Estabelecendo, seguidamente, o equilíbrio de momentos emrelação a D, vem

(7.42)

ambas as forças com os sentidos indicados na figura.

Uma vez que os troços de cabo estão sujeitos somente aesforço axial, as componentes numa extremidade de cadaramo definem o seu esforço e a respectiva orientação.Então, tem-se:

Ramo AB: V A = 15kN H = 40kN N AB = 42,72kN

Ramo BC : V C,esq = 5kN H = 40kN N BC = 40,31kN(7.43)

Ramo CD: V D = 25kN H = 40kN N AB = 47,17kN

b) Neste caso, começa-se novamente pelo cálculo dascomponentes verticais das forças de ancoragem as quais,

obviamente, têm os valores (7.40). A parte restante da resolução é mais complexa, porque nãoé possível estabelecer equações que forneçamdirectamente o valor de H .

10kN

25kN

AB

C

D

x

y

10 10 10

Figura E7.3

A

D

V 15 N

V 20 N

25kN

20kN H

H

V C,esq

C

D

10

5

Figura E7.4

y C,esqF 0 V 5kN( )

DM 0 5x10 25x10 5xH 0 H 40kN


14/15



Existe uma infinidade de soluções, cada qualcorrespondendo a um determinado comprimento de cabo. Avia mais expedita consiste num processo iterativo emfunção de um parâmetro simples, que pode ser o própriovalor de H . Note-se que, conhecidas as componenters

verticais, H determina a direcção de cada troço de cabo e,portanto, o seu comprimento, devendo o total perfazer 35m,de acordo com o dado inicial. Notando, das Figuras E7.5,que

(7.44)

expressões onde H é a única quantidade indeterminada, e

ainda que

(7.45)

Obter-se-á, por via iterativa, a solução

(7.46)

vindo, finalmente, para os esforços axiais

(7.47)

Exemplo 7.4. Repita o exemplo 7.4, con siderando agoraos pon tos de ancoragem desnivelados, como m ostra aFigu ra E7.6. A flech a men cio nada n a alínea a) refere-seao nível d o ponto A.

Resolução

a) Neste caso, não é possível a determinação imediata dascomponentes verticais das forças de ancoragem, porquequalquer equação de equilíbrio envolverá, no mínimo, duasincógnitas.

A equação global de equilíbrio de momentos em relação a D escreve-se:

A

B

AB

10kN

H

H

V A

V B,dir

(a)

BC

BC H H

V B,dir

V C,esq

(b)

D

C

CD

15kN

H

H

V D

V C,esq

(c)Figura E7.5

A AB

C,esq

BC

DCD

V Arctg

H

V Arctg

H

V Arctg

H

AB BC CDL 10 / cos 10 / cos 10 / cos 35

H 24,06kN

2 2

AB

2 2

BC

2 2 CD

N 15,00 24,06 28,35kN

N 5,00 24,06 24,57kN

N 20,00 24,06 31,29kN

10kN

5

25kN

AB

C

D

x x’

y’ y

10 10 10

Fi ura E7.6


15/15



(7.48)

(7.49)

Seguidamente, estabelecendo o equilíbrio de momentos doramo CD, cujo diagrama de corpo livre se representa nasFiguras E7.8a-b, sendo nesta última já contemplado oequilíbrio de forças, vem

(7.50)

Substituindo em (7.48) e (7.49), tem-se

(7.51)

Estes valores permitem a determinação dos esforços nostrês ramos do cabo:

Ramo AB: V A = 24kN H = 24kN N AB = 31,24kN

Ramo BC : V C,esq = 1kN H = 24kN N BC = 24,02kN(7.52)

Ramo CD: V D = 24kN H = 24kN N AB = 33,94kN

b) O processo de solução é semelhante ao do caso comancoragens de nível, com a diferença de que ascomponentes verticais intervenientes nas expressões (7.44)dos ângulos de inclinação dos ramos do cabo são, tambémelas, funções da componente H a determinar iterativamente.

De (7.48) e (7.49) e da Figura E7.8b, vem

(7.53)

A expressão (7.45) mantém-se inalterada e é a que permitecontrolar a convergência para a solução, que é

(7.54)

vindo, finalmente, para os esforços axiais

(7.55)

10kN

H

H

V A

V D

5

25kN

A

B

C

D

10 10 10

Figura E7.7

D A

A

M 0 30V 5H 10x20 25x10 0

V 15 H / 6

y A D

D

F 0 V V 35 0 V 20 H / 6

25kN

H C,esq

V C,esq

C

D

20+H/6

H

(a)

25kN

C

D

20+H/6

5-H/6

H

H

(b)

Figura E7.8

DM 0 10H 10(5 H / 6 ) 25x10 0

H 24

A

D

V 11kN

V 24kN

A AB

C,esq

BC

DCD

V 15 H / 6 Arctg Arctg

H H


H H


H H

H 24,43kN

2 2

AB

2 2

BC

2 2

CD

N (15,00 24,43 / 6 ) 24,43 26,76kN

N (5,00 24,43 / 6 ) 24,43 24,45kN N (20,00 24,43 / 6 ) 24,43 34,30kN

Grafostatica-Cabos e Arcos

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