GM Black Hole

7/29/2019 GM Black Hole

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N U C L E A RP H Y S I C S B

ELSEVIER Nu clea r Physics B430 (1994) 427-440

Black ho le thermodynamics and g lobal m ono polesHong-Wei Y u *

C C A S T (World Laboratory) , P.O. Bo x 8730, Beij ing 100080, ChinaInsti tute o f Physics and Physics Department, Hu na n Nor m al University , Changsha, Hu nan 410081, ChinaReceiv ed 17 January 1994; revised 10 Aug us t 1994; accep ted 12 Aug us t 1994

A b s t r a c t

T h e t h e r m o d y n a m i c s o f a s t a t ic s p h e ri c a l ly s y m m e t r i c b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l es y s t e m is i n v e s t i g a t e d b y t w o m e t h o d s : s u r f a c e g r a v i t y a n d t h e e u c l i d e a n p a t h i n t e g r a l . I t iss h o w n t h a t i f t h e m a s s o f t h e b l a c k h o l e t h a t s w a l l o w s t h e m o n o p o l e i s s u f f ic i e n t l y l a r g ec o m p a r e d t o t h a t o f t h e m o n o p o l e , t h e n t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e i s d e c r e a s e d a n d t h eh o r i z o n a r e a i s r a i s e d by t h e p r e s e n c e o f a g l o b a l m o n o p o l e , b u t t h e e n t r o p y - h o r i z o n a r e ar e l a t i o n S = 1 A , w h e r e S i s t h e e n t r o p y a n d A i s t h e h o r i z o n a r e a , i s u n a l t e r e d . I t i s f o u n dt h a t t h e c o a l e s c e n c e o f a s u f f ic i e n tl y h e a v y b l a c k h o l e w i t h a g l o b a l m o n o p o l e i s t h e r m o d y -n a m i c a l l y p e r m i s s i b l e b e c a u s e i t i s i n a c c o r d w i t h t h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s , i .e . ,t h e H a w k i n g a r e a t h e o r e m ; s u c h a b l a c k h o l e w i t h a g l o b a l m o n o p o l e , i f i t e x i st s i n t h e f i rs tp l a c e , w i ll n o t d e c a y t o a b l a c k h o l e w i t h o u t a g l o b a l m o n o p o l e n e i t h e r b y c o l la p s e n o r b ya n n i h i l a t i o n o f t h e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e r v i a H i g g s r a d i a t i o n . A l s o i t i s n o t e d t h a t t h ef ir s t l aw o f b l a c k h o l e t h e r m o d y n a m i c s p r o p o s e d b y B a r d e e n , C a r t e r a n d H a w k i n g s h o u l db e m o d i f i e d .

I . I n t r o d u c t i o n

P h a s e t r a n s i t i o n s i n t h e e v o l u t i o n o f th e e a r l y u n i v e r s e c a n g i v e r i s e t o t o p o l o g i -c a l s t a b l e d e f e c t s [1 ,2 ]. T h e s e d e f e c t s a p p e a r w h e n s p o n t a n e o u s l o c a l o r g l o b a ls y m m e t r y b r e a k i n g o c c u r s . T h e r e a r e m a n y k i n d s o f d e f e c t s su c h a s d o m a i n w a l ls ,c o s m i c s t r i n g s , m o n o p o l e s a n d t e x t u r e s , d e p e n d i n g o n t h e s t r u c t u r e o f t h e m a n i -f o ld M o f d e g e n e r a t e v a c u u m s t a t e s . I n p a r t i c u l a r , m o n o p o l e s a r e f o r m e d i f t h eh o m o t o p y g r o u p - a 'z (M ) o f t h e m a n i f o l d o f d e g e n e r a t e v a c u o i s n o n t r iv i a l .

* Mail ing a ddress : Ins t i tu te of Phys ics and Phys ics Depa r tmen t , H unan Norm al Univers ity , Chang-sha, Hunan 410081, China.0550-3213/94/$07.00 1994 Else vier Science B.V. All rights reserv edS S D I 0 5 5 0 - 3 2 1 3 ( 9 4 ) 0 0 3 3 9 - 4


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428 H.-W. Yu /Nuclear Physics B430 (1994) 427-440M o n o p o l e s p r o d u c e d d u r i n g t h e G U T p h a s e a r e c a l l ed lo c a l o r g a u g e m o n o p o l e s ,b e c a u s e t h e y a r e t h e b y - p r o d u c t o f a c h a i n o f l o ca l s y m m e t r y b r e a k i n g d o w n t oS U ( 3 ) S U ( 2 ) U ( 1 ). T h e y m a y b e p r o d u c e d i n a h u g e q u a n t i t y in t h e e a r l yu n i v e r s e a c c o r d i n g t o t h e B i g B a n g [ 3 ] , s o o n e h a s t o i n v o k e a n a d e q u a t em e c h a n i s m , s u c h a s i n f l a t i o n , t o a v o i d t h e i r o b s e r v a t i o n . E f f e c t s h a v e b e e n m a d et o d e t e c t t h e m , a n d v e r y ti g ht b o u n d s o n t h e m o n o p o l e f lu x c a n b e g i ve n f r o m t h eX - r a y e x c e s s l i m i t f o r a n e u t r o n s t a r [ 4 ] a n d b y t h e s u r v i v a l o f g a l a c t i c m a g n e t i cf i el d s [5 ]. R e c e n t l y w e h a v e d i s c u s se d t h e g r a v i t a t io n a l f i e l d s o f s u c h m o n o p o l e s[6 ,7 ]; w e f i n d t h a t , b e c a u s e o f th e f a c t t h a t t h e i r m a s s e s a r e c o n c e n t r a t e d i n a v e r yt i ny c o r e a n d t h e e n e r g y o f t h e g a u g e f i e ld s o u t s i d e o f t h e m o n o p o l e i s e x a c t lyc o m p e n s a t e d b y t h e H i g g s f ie l ds , t h u s y i e l d in g a l o c a l iz e d e n e r g y d e n s it y , t h e yg e n e r a t e a R e i s s n e r - N o r d s t r o m - l i k e m e t r i c a n d m a y le a d t o c o l o re d b la c k ho l es .

U n t i l r e c e n t l y [8 ], h o w e v e r , l i tt l e a t t e n t i o n h a s b e e n p a i d t o g l o b a l m o n o p o l e sr e s u l t in g f r o m t h e g l o b a l s y m m e t r y b r e a k i n g . F o r s u c h m o n o p o l e s t h e v a r i a t i o n o ft h e l o n g - r a n g e N a m b u - G o l d s t o n e f ie l d is no t c o m p e n s a t e d b y a g a u g e fi el d , s o t h ee n e r g y d e n s i t y o f t h e H i g g s f i e l d g o e s l ik e r - 2 a n d t h e t o t a l e n e r g y i s l i n e a r lyd i v e rg e n t . G l o b a l m o n o p o l e s a n d a n t i - m o n o p o l e s a r e a t t r a c t e d b y a c o n f in i n gf o r c e i n d e p e n d e n t o f t h e i r m u t u a l d i s t a n c e [8 ], a n d i t w o u l d b e i m p o s s i b l e t o f o r ma n i s o l a t e d m o n o p o l e i n f l a t s p a c e . B u t i f t h e g l o b a l s y m m e t r y i n q u e s t i o n b r e a k sd o w n w h i l e t h e e a r l y u n i v e r s e i s e x p a n d i n g a n d c o o l i n g d o w n , o n e e x p e c t s t h a t t h ec o s m o l o g i c a l h o r i z o n a t t h e i r f o r m a t i o n ( t ~ t ~ ua -) c a n s e r v e a s a n a t u r a l c u t o f f o nt h e i r e n e r g y d e n s i t y. T h e s i t u a t i o n i s a n a l o g o u s t o t h a t o f s t ra i g h t g l o b a l s tr i ng sw i t h a l o g a r i th m i c a l l y d i v e r g e n t e n e r g y p e r u n i t l e n g t h [2].

I f t h e g l o ba l m o n o p o l e s e x i s t, th e y w o u l d s h a r e w i t h o t h e r t o p o l o g i c a l d e f e c t s ,s u c h a s d o m a i n w a l l s a n d s t r i n g s , c u r i o u s a n d r a t h e r u n c o n v e n t i o n a l g r a v i t a t i o n a le f f e c t s. W i t h a l a r g e e n e r g y i n t h e G o l d s t o n e f i e l d s s u r r o u n d i n g g l o b a l m o n o p o l e si t w o u l d b e r e a s o n a b l e t o e x p e c t th a t s p a c e - t i m e w o u l d b e h i g h ly c u r v e d n e a r b y.T h e g r a v i t a t io n a l f i e l d o f a g l o b a l m o n o p o l e h a s b e e n d i s c u s s e d [8 ,9 ] a n d i t h a sb e e n s h o w n [8,9] t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l f ie l d o f a gl o b a l 0 ( 3 ) m o n o p o l e c o r r e s p o n d -i n g t o t h e f o l lo w i n g l a g r a n g i a n o f t h e G o l d s t o n e f ie l ds :

1 a= - - n o ) , ( 1 . 1 )( O a o 2 2w i t h a = 1, 2 , 3 a n d t h e 0 ( 3 ) g r o u p i n d e x, c a n b e d e s c r i b e d b y t h e m e t r i c

d s2 2 m g ) ( )- - - d t 2 - 1 _ 8 7 rG 'q 2 - 2Gmg- -1 d_r 2r r- - r 2 ( d 0 2 + s in 2 0 d ( b 2 ) , ( 1 . 2 )

w h e r e r/o is t h e s y m m e t r y b r e a k i n g s c a le , A t h e c o u p l i n g c o n s t a n t a n d m g m t h em a s s o f t h e g l o b a l m o n o p o l e . A n u m e r i c a l a n a l ys i s o f t h e c o u p l e d E i n s t e i n - s c a l a re q u a t i o n s s h o w s t h a t mgrn i s a p p r o x i m a t e l y - - 6 7 r r / 0 A - 1 / 2 [ 9 ] . I t i s r e m a r k a b l e t h a tt h e g r a v i t a t i o n a l e f f e c t s p r o d u c e d b y a g lo b a l m o n o p o l e a r e a n a l o g o u s t o t h a t o f ad e f i c it a n g l e p l u s a t i n y n e g a t i v e m a s s a t t h e o r i g in , o f th e o r d e r o f t h e m a s s i n t h ec o r e .


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H.-W. Yu / Nuc lear Phys ics B430 (1994) 427-4 40 42 9N o w i m a g i n e a i n te r e s ti n g p r o c e s s d u r i n g t h e G U T p h a s e t r a n si t io n in w h i c h a

S c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e s w a l l o w s a g l o b a l m o n o p o l e ; t h e r e s u l t w o u l d b e a b l a c kh o l e w i th " h a i r " i n t h e f o r m o f gl o b a l m o n o p o l e s . T h e m e t r i c o f su c h a b la c kh o l e - g l o b a l m o n o p o l e c o m b i n e d s y s t e m h a s t h e f o r m a s E q . ( 1 .2 ) [8 ], i .e .,t 2 G m ) { 2 G m ) 's 2 = 1 - 8 7r G r t 2 - - - d / 2 - 1 - 8 ~rG r/2 - - - d r 2

r r

- r 2 ( d 0 2 + s in 2 0 d t h 2 ) . ( 1 . 3 )T h e m a s s m i n E q . ( 1 . 3 ) i s g i v e n b y m = m s - I m g m I, w h e r e m s r e p r e s e n t s t h e

m a s s o f th e r e l e v a n t S c h w a r z sc h i ld b l a c k h o l e a n d m g m t h e e f f e c ti v e n e g a t i v e m a s sf o r t h e g l o b a l m o n o p o l e [9 ]. m s > l in g m I i s i m p l i e d t h r o u g h o u t t h e p a p e r f o r t h ed i s c u s s i o n s t o b e m e a n i n g f u l .

B l a c k h o l e s a r e i n t r i g u i n g o b j e c t s a n d w o r t h s t u d y i n g in a l l p o s s i b l e v a r i e t ie s .T h e i d e a o f b l a c k h o l e s h a s b e e n p r o v e d t o b e h i g h ly fr u i tf u l ; p a r t i c u la r l y , t h et h e o r e t ic a l d i sc o v e r y b y H a w k i n g [ 10] o f q u a n t u m r a d i a t io n f r o m b l a c k h o l e sp r o v i d e u s w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t b l a c k h o le s m a y p l a y t h e r o l e o f a " R o s e t t as t o n e " t o r e la t iv e g ra v it y , q u a n t u m t h e o r y a n d t h e r m o d y n a m i c s . C o n c e r n i n g t h eq u a n t u m a s p e ct s o f t h e c o m b i n e d b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l e s y s t e m o n e m a y a skw h a t e f f e c t s t h e g l o b a l m o n o p o l e h a i r w i ll h av e o n t h e H a w k i n g r a d i a t io n a n dw h e t h e r t h e f a m o u s t h e r m o d y n a m i c r e la t io n s , s u c h a s t h e B C H l aw s [11] a n d t h er e l a t io n b e t w e e n t h e B e k e n s t e i n e n t r o p y [ 12] a n d t h e e v e n t h o r i z o n a r e a , w h ic hw a s d e r i v e d f o r a p e r f e c t f l u i d a n d e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s [ 1 1 ] , s t i l l h o l d i n t h ep r e s e n t c a s e . T h e s e q u e s t i o n s a r e w h a t w e a r e g o i n g t o in v e s t i g a t e i n t h i s p a p e r .W e f i n d t h a t i f t h e m a s s o f t h e b l a c k h o l e t h a t s w a l lo w s t h e m o n o p o l e iss u ff ic i en t ly la r g e, t h e n t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e is d e c r e a s e d b y t h e p r e s e n c e o ft h e g l o b a l m o n o p o l e , a n d t h e b l a c k h o l e w i th a n i n t e rn a l g l o b a l m o n o p o l e is c o o l e rt h a n o n e w i t h o u t t h e m o n o p o l e b u t w i t h th e s a m e m a s s . T h i s r e su l t is c o n t r a r y to ar e c e n t a c c l a i m i n t h e l i t e r a t u r e [9 ,1 3]. W e a l s o f i n d t h a t a s u f fi c i e n t l y h e a v y b l a c kh o l e w i t h a g l o b a l m o n o p o l e , i f i t e x i st s i n t h e f i r st p l a c e , is t h e r m o d y n a m i c a l l ys t a b l e b e c a u s e t h e s p o n t a n e o u s d e c a y o f i t i n t o a b l a c k h o l e w i t h o u t a g l o b a lm o n o p o l e w i ll v i o l a te t h e s e c o n d l a w o f th e r m o d y n a m i c s , i .e ., t h e H a w k i n g a r e at h e o r e m [14] a n d t h e e n t r o p y - h o r i z o n a r e a r e l a t io n w h i c h s ay s t h a t t h e e n t r o p y o ft h e b l a c k h o l e is p r o p o r t i o n a l t o o n e - f o u r t h o f t h e h o r i z o n a r e a s e e m s t o b e q u i t eg e n e r a l a n d s ti ll h o l d s i n th e p r e s e n t c a s e , b u t w i t h t h e p r e s e n c e o f a g lo b a lm o n o p o l e t h e e n e r g y a n d t h e m a s s o f t h e b l a c k h o l e o b s e r v e d a t i nf in i ty a r e n ol o n g e r e q u a l a n d t h e d i f f e r e n ti a l f o r m o f t h e f i rs t l aw o f b la c k h o l e t h e r m o d y n a m -i cs g i v e n b y B C H [1 1] s h o u l d b e s l i g h t l y m o d i f i e d .

T h e r e m a i n i n g p a r t o f t h e p a p e r i s d e v o t e d t o t h e d e r i v a t io n b y t w o m e t h o d s o ft h e r e s u l t s d e s c r i b e d a b o v e . I n S e c t i o n 2 w e u s e t h e s u r f a c e g r a v i ty m e t h o d a n d i nS e c t i o n 3 t h e e u c l i d e a n p a t h - i n t e g r a l m e t h o d . F i n a l l y w e c o n c l u d e w i t h S e c t io n 4w i t h s o m e d i s c u s s i o n s .

W e a d o p t u n i ts w h e r e h = c = k B = 1 b u t r e t a i n t h e N e w t o n g r a v i ta t io n a lc o n s t a n t G f o r c o n v e n i e n c e .


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430 H . - W . Y u / N u c l e a r P h y si cs B 4 3 0 ( 1 9 9 4 ) 4 2 7 - 4 4 02. Surface gravi ty method

I n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s io n w e a s s u m e t h a t t h e m a s s o f th e S c h w a r z s c h i l d b la c kh o l e is b i g g e r t h a n t h a t o f t h e g l o b al m o n o p o l e . T h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e o f ab l a c k h o l e i s g i v e n i n t e r m s o f i ts s u r f a c e g r a v i ty b y T = K / 2 ~ - . N o t e t h a t t h em e t r i c o f E q . ( 1 . 3) is n o l o n g e r a s y m p t o t i c a l l y f la t , s o t h e k n o w n f o r m u l a

1 Or g t t = l im - - , ( 2 .1 )r---~rH 2 ~ g t t g r rw h e r e r H is t h e e v e n t h o r i z o n r a d i u s o f t h e b l a c k h o l e f o r c o m p u t i n g t h e s u r f a c eg r a v it y f o r a g e n e r a l s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c a s y m p t o t i c a l ly fl a t m e t r i c , c a n n o t b eu s e d . I t is w o r t h n o t i n g t h a t a l t h o u g h t h e m e t r i c ( 1 . 3 ) i s n o t a s y m p t o t i c a l l y f l a t, itis , h o w e v e r , a s ym p t o t ic a l ly b o u n d e d . I n o r d e r t o g e t th e H a w k i n g t e m p e r a t u r e o ft h e b l a c k h o l e s w i t h g l o b a l m o n o p o l e s , w e f i r s t d e r i v e a g e n e r a l f o r m u l a f o rc a l c u l a t in g t h e s u r f a c e g r a v it y f o r a s y m p t o t ic a l l y b o u n d e d ( t h e a s y m p t o t ic a l l y f l a ts i t u a t io n i s a s p e c i al c a s e ) sp h e r i c a l l y s y m m e t r i c b l a c k h o l e s p a c e - t i m e , t h e n a p p l yi t t o t h e c a s e d e s c r i b e d b y E q . ( 1 . 3) . A s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c a s y m p t o t i c a l l yb o u n d e d s p a c e - t i m e m e t r i c d e s c r i b in g a b l a c k h o l e c a n , w i t h o u t l o ss o f ge n e r a li t y,b e c a s t i n t h e f o r m

d s 2 = g t t d / 2 - g rr d r 2 - - r2 ( d 0 2 + s in 20 d q ~ 2 ), (2 . 2 )w i t h t h e a s y m p t o t i c a l b e h a v i o r o f th e m e t r i c c o e f f i c i e n t s

l im g t t = A < ~ ,F ----> ~l im g r r = B < ~ . ( 2 . 3 )

N o t e t h a t o n e h a s A ( a n d B ) = 1 f o r t h e a s y m p t o t i c a l l y f l a t c a s e . T h e s u r f a c eg r a v it y f o r t h e b l a c k h o l e s d e s c r i b e d b y E q . ( 2 .2 ) c a n b e f o u n d f r o m t h e r e l a t i o n[11,151

K 2 = 11 1~;" ( 2 . 4 )- - ~ p , ; v ~ [ r = r H ,w h e r e U is t h e t i m e - l i k e K i ll in g v e c t o r n o r m a l i z e d s o t h a t i t w o u l d h a v el im r _~ =l~ P" = 1 . F o r E q . ( 2 . 2 ) w e h a v e

P ' = 6 ~ lim ~ g t t . ( 2 . 5 )t- ---~ oo

P u t t i n g E q . ( 2 . 5 ) i n t o E q . ( 2 . 4 ) a n d u s i n g E q . ( 2 . 2 ) , w e f i n d a f t e r s o m e c a l c u l a t i o nK 2 = l C 2 g t t g r r ( g t t . r ) 2 [ r = r H , ( 2 . 6 )

w h e r eC 2 = l im g " ( 2 . 7 )

/, ----) oo


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H.-W. Yu / Nuclear Physics B430 (1994) 427-440 431so

C O g t t r = r H " ( 2 . 8 )" 2vgt 7/T h i s i s t h e g e n e r a l f o r m u l a w e o b t a i n f o r c o m p u t i n g s u r f a c e g r a v i ty f o r s p h e r i c a l lys y m m e t r i c a s y m p t o ti c a ll y b o u n d e d b l a c k h o l e s p a c e - t i m e a n d i t r e d u c e s t o E q .( 2 .1 ) f o r t h e a s y m p t o t i c a l l y f l a t c a s e w h e r e w e h a v e C = 1 .

N o w i n t r o d u c in g a d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t T ] 2 = 8 7 " / ' G T ] 2 , t h e h o r i z o n r ia f o r th ec o m b i n e d b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l e d e s c r i b e d b y E q . ( 1. 3) is g iv e n b y

2 G mrH 1 - r t 2 .S u b s t i t u t in g t h e a b o v e r e s u l t i n t o E q . ( 2 .8 ) y i e l d s t h e s u r f a c e g r a v it y f o r a b l a c kh o l e - g l o b a l m o n o p o l e ,

(1 - T/2) 3/24 G mK = (1 - 7 2 ) - 1 / 2 G mr 2

S o t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e is( 2 . 9 )

(1 - 'r/2) 3/2 KT = - - - . ( 2 . 1 0 )8 ~ r G m 2 r e

T h e a r e a o f th e h o r i z o n w ill b e1 6 7 rG2 m 2

A = " r ' ' ' f = r r ~ ~ g % ~ dO d~b = 4-n 'r 2 - (1 - ~ 2- z ') ( 2 . 1 1 )

T o s e e k t h e r e l a t io n b e t w e e n t h e e n t r o p y S a n d t h e h o r i z o n a r e a A , w e f o l lo w t h em e t h o d g i v e n in R e f . [1 6] b y A r y a l , F o r d a n d V i l e n k in . U s e t h e t h e r m o d y n a m i cr e l a t i o n

d Ed S = T ' ( 2 . 12 )w h e r e E is th e e n e r g y o f t h e b l a c k h o l e a s m e a s u r e d b y a n o b s e r v e r a t i n fi ni ty .W i t h t h e p r e s e n c e o f a g l ob a l m o n o p o l e t h e s p a c e - t i m e is n o l o n g e r a s ym p t o t ic a l lyf l a t a n d t h e e n e r g y a n d t h e m a s s o b s e r v e d a t i n f in i ty m a y n o t b e i d e n t i c a l w h i c h i sd i f f e r e n t f r o m t h e c a s e w i t h o u t a g lo b a l m o n o p o l e i n w h i c h o n e h a s E = M . I ts h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t t h e o r e t i c a l l y t h e t o t a l m a s s o f th e b l a c k h o l e - g l o b a lm o n o p o l e c o m b i n e d s y s te m w o u l d b e d i v e r g e n t d u e t o t h e l i n e a r ly d iv e r g e n te n e r g y c o n t a i n e d i n th e s u r r o u n d i n g N a m b u - G o l d s t o n e f ie ld s , b u t t h is w ill n o tp o s e a p r o b l e m f o r o u r d i sc u s si o n b e c a u s e w e a r e o n l y c o n c e r n e d w i t h t h et h e r m o d y n a m i c s o f th e b l a c k h o le s p a c e - t i m e a n d f u r t h e r m o r e , a s w e h a v ee m p h a s i z e d p r e vi o u sl y , t h e c o s m o l o g ic a l h o r i z o n c a n p l a y t h e r o l e o f a n a t u r a lc u t o f f o n t h e l i ne a r l y d i v e r g e n t e n e rg y .


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432 H.-W. Yu /Nuclear Physics B430 (1994) 427-440L e t T , , b e t h e e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r f o r s o m e m a t t e r f ie ld p r o p a g a ti n g o n

t h e b a c k g r o u n d s p a c e - t i m e ; i t c o u l d r e p r e s e n t e i t h e r H a w k i n g r a d i a t io n o r c l as si -c a l m a t t e r b e i n g t h r o w n i n t o t h e b l a c k h o l e ; t h e n P ' T , v i s a c o v a r i a n t ly c o n s e r v e dv e c t o r c u r r e n t , a n d t h e r a t e o f fl ow o f e n e r g y i n o r o u t o f t h e b l a c k h o l e m a y b ew r i t t en as [1 6 ]

E= f l '~T . , d E ~, ( 2 . 1 3 )w h e r e t h e s u r f a c e i n t e g r a l i s t a k e n o v e r t h e h o r i z o n . T h e m e t r i c f o r a g l o b a lm o n o p o l e c h a r g e d b l a c k h o l e w i t h s lo w l y c h a n g i n g m a s s i s o f t h e f o r m o f E q . ( 1 .3 )w i t h

m = m ( t ) = m 0 + r h t ,w h e r e m 0 a n d r h a r e c o n s t a n t s . T h e E i n s t e i n t e n s o r f o r t h e m e t r i c c a n b ee x p r e s s e d a s

c . . = + G.T + O( h2).A p p l i c a t i o n o f th e E i n s t e i n e q u a t i o n G . ~ = 8 r G T . ~ t h e n l e a d s t o

1- 8 ~ ' G f r= r u o ~ " P " d E "

1 2 G m ( 1 - . 2 ) - 1 / 2 ~ d O d~b8 7 r G = r H r 2= ( 1 - ~ T z ) - l / Z r h . ( 2 . 1 4 )

C o n s e q u e n t l y i n t h e p r e s e n c e o f a g l o b al m o n o p o l e , t h e e n e r g y a t in f i n it y E a n dt h e m a s s p a r a m e t e r m a r e n o t i d e n t i c a l, w h i c h is a n a l o g o u s t o t h e s i t u a t io n w i th aco smic s t r in g [1 6 ] .

U s i n g t h e a b o v e re s u l t d E = ( 1 - r / Z ) - l / Z d m a n d p u t t i n g E q . ( 2. 14 ) i n to E q .(2 .1 2 ) , w e h av e

1 8 7 r G m 8 ~ ' G m- - - - - d mS= f T d E = f ( 1 __ r / 2 ) 3 / 2 d E = f ( 1 - " 2 ) 24 r r G m z 1(1 - " 0 2 ) 2 4GA" ( 2 . 1 5 a )

I f w e f u r t h e r a d o p t u n i t s w h e r e G = 1 t h e n E q . ( 2 . 15 a ) b e c o m e sS = l z A , ( 2 . 1 5b )

o f w h i c h t h e f o r m i s p e r h a p s m o r e f a m i l i a r t o u s [1 7,1 8]. S o w e f i n d t h a t t h er e l a t i o n S = A s e e m s t o b e q u i t e g e n e r a l a n d is u n a l t e r e d b y t h e p r e s e n c e o f ag l o b a l m o n o p o l e .F o r a ty p i c a l G U T s y m m e t r y b r e a k i n g s c a l e r io ~ 1016 G e V a n d ' 17 2 : 8 ~ - G ~ 2 ~1 0 - 6 , m u c h l es s t h a n u n i ty , a n d w e a s s u m e r / < 1 t h r o u g h o u t t h e p a p e r . T o f i n d


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H.-W. Yu / Nuclear Physics B430 (1994) 427-440 43 3o u t t h e r e a l e f f e c t o f th e p r e s e n c e o f a g lo b a l m o n o p o l e o n t h e H a w k i n gt e m p e r a t u r e a n d t h e h o r i z o n a r e a l e t u s r e c a l l t h a t

m = m s - [ m g m l , m s > I m g m l ,a n d t h a t t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e T s a n d h o r i z o n a r e a A s a r e r e s p e c t iv e l y

1T s = 8rcGm-~ ' As = 16"n 'GZm~"T h e n w e f i nd

A T = T - T s > O ~

A T = T - T s < O ~ m s >

[ m g m [I m g m l < m s < ( 2 . 1 6 a )1 - (1 - T]2)3 / 2 '] m g m [

1 - - (1 - - r /E ) 3 / 2 ' (2 .1 6 b )

A A = A - A s > 0 ~ m s > - -I m g m l77 2A A = A - A s < O ~ Im g m l < m s < - -I m g m lr/2

( 2 . 1 6 c )

( 2 . 1 6 d )A n a n a ly s i s o f t h e a b o v e r e s u l t s s h o w s t h a t i f t h e m a s s o f t h e o r i g i n a l S c h w a r z s c h i l db l a c k h o l e m s i s l a r g e r t h a n o r e q u a l t o I m g m [ /~ 7 2 ( n o t e t h a t I m ~ l / r / 2 >[ m g m I / [ 1 - ( 1 - ~72)3 /2 ] f o r ~7 l e s s t h a n u n i t y ) , t h e n a b l a c k h o l e w i t h a g l o b a lm o n o p o l e h a s a l a r g e r ( o r e q u a l ) h o r i z o n a r e a t h a n t h e o r i g i n a l S c h w a r z s c h i l db l a c k h o l e a n d i ts H a w k i n g t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s c o n t r a r y t o a r e c e n t a c c l a im i nt h e l i t e r a t u r e [ 9 ,1 3] , s o t h e t r a p p i n g b y a b l a c k h o l e o f a g l o b a l m o n o p o l e is ina c c o r d w i t h t h e H a w k i n g a r e a t h e o r e m a n d t h e r e s u l t i n g s y s t e m i s t h e r m o d y n a m i -c a l ly p e r m i s s i b l e t h u s t h e r m a l l y s t a b le a g a i n s t s p o n t a n e o u s d e c a y b y c o l l a p s e t of o r m a r e g u l a r S c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e . I f o t h e r w i s e , t h e n t h e c o a l e s c e n c e o f ab l a c k h o l e w i t h a g lo b a l m o n o p o l e v i ol a te s t h e H a w k i n g a r e a t h e o r e m t h u s isp e r h a p s t h e r m o d y n a m i c a l l y f o r b i d d e n , a n d i f a n y w a y s uc h o b j e c ts e x i s t e d in t h ef ir s t p l a c e d u e t o s o m e p e r t u r b a t i o n , t h e n t h e y m i g ht s p o n t a n e o u s l y d e c a y byc o l l a p s e t o t h e b l a c k h o l e s w i t h o u t g l o b a l m o n o p o l e s .N o w w e h a v e s e e n t h a t a h e a v y b l a c k h o l e w i t h a g l ob a l m o n o p o l e ( m s >] m g m [ / 'r / 2 ) c a n n o t s p o n t a n e o u s l y d e c a y b y c o l l a p s e t o a s im p l e b l a c k h o l e w i t h o u tv i o l a t in g t h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s . B u t s u c h a b la c k h o l e w i t h t h em o n o p o l e q u a n t u m c h a r g e m a y d e c a y to a r e g u l a r S c h w a r z sc h i ld b l a c k h o l e v iaH i g g s r a d i a t i o n d u e t o t h e a n n i h i la t i o n o f t h e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e r . T o f in do u t w h e t h e r t h i s c a n o c c u r , w e s h o u l d e s t i m a t e t h e e n t r o p y i n H i g g s r a d i a t io n a n dt h e n t h e t o t a l e n t r o p y c h a n g e i n s u c h a tr a n s i t io n . F o r t h is p u r p o s e l e t u s n o t e t h a tt h e e n e r g y o f a m o n o p o l e - a n t i - m o n o p o l e p a i r is ~ G - l r l Z R , w h e r e R i s t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e p a i r . T h e a t t r a c t i n g f o r c e a c t i n g o n t h e p a i r i s F = dE~OR ~G - l r / z . U n d e r t h e a c t i o n o f t h is d i s t a n c e - i n d e p e n d e n t f o r c e , t h e p a i r o sc i ll a te s a n d


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4 3 4 H.-W. Yu /Nuclear PhysicsB430 (1994) 427-440l o se s e n e r g y b y e m i t t in g G o l d s t o n e b o s o n s . T h e e n e r g y - l o s s r a t e c a n b e r o u g h l ya p p r o x i m a t e d a s f o ll o w s u s i n g t h e m e t h o d s i m i la r t o t h a t f o r t h e r a d i a t i o n o fG o l d s t o n e b o s o n s b y g l o b a l s tr i n gs [1 9]. T h e r a d i a t i o n e n e r g y f l ux a t a d i s t a n c e rf r o m t h e p a i r i s ~ T / ~ O t ~ a ~ i ~ ) a ~ 7 2 / r 2 . H e n c e t h e /~ 4 ~ r 2 T / O ~ i .. -, -1 2~ g t . r r / .T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t t h e l i f e ti m e o f t h e p a i r i s r ~ R a n d l a r g e p a i rs e p a r a t io n s a r e e x p o n e n t i a l l y s u p p r e s s e d b y a n a l o g y w i t h t h e m o n o p o l e s c o n n e c t e db y s tr i n g s [2 0], w e c a n c a l c u l a t e t h e e n t r o p y i n t h e H i g g s r a d i a t i o n SI_ b yc o n s i d e r i n g t h e a n n i h i l a t i o n o f t h e g l o b a l m o n o p o l e w i t h a a n t i - m o n o p o l e j u s to u t s i d e t h e b l a c k h o l e h o r i z o n r H = 2 G m . T h a t i s

S H = f d . ~ _ ~ f r = 2 G r n 4 7 r r / 2 m 8~'Gn2m 2. . . . d t - - - - - -Jo (1 -9 " /2 ) 3 /2 (1 - ' 0 2 ) 3 /2 " ( 2 . 1 7 )

C o n s e q u e n t l y t h e t o t a l e n t r o p y c h a n g e i n th e t r a n s i t i o n i s

4 m 2 I m 2 1S . . . . [ 1 - 2 r / 2 ( 1 - , q 2 ) 1 / 2 ] - ( 1 - r / 2 ) 2( 1 - - ~ 2 ) 2 m s s ( 2 . 1 8 )D e m a n d i n g t h a t A S > 0 a n d n o t i n g t h a t r/ is m u c h l e s s t h a n u n i t y y i e ld s a p p r o x i -m a t e l y

] m g m lm s > , 1 / 4 ( 2 . 1 9 )

S u m m a r i z i n g a l l t h e d i s c u s s i o n s p e r f o r m e d a s f a r , w e c a n d r a w t h e f o l l o w i n gc o n c l u s io n s : I f m s < I m gm I / r / 2 , t h e n t h e s y s t e m r e s u l t i n g f r o m t h e t r a p p i n g b y ab l a c k h o l e o f a g l o b al m o n o p o l e is th e r m a l l y u n s t a b l e , f o r i t c a n d e c a y t o a r e g u l a rS c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e e i t h e r b y c o l l a p s e o r b y a n n i h i l a t i o n o f t h e m o n o p o l eq u a n t u m n u m b e r v ia H ig g s r a d i a ti o n ; i f I m g m I / ' /1 2 < m s < I m g m I / r / a , t h e r e s u l t -i n g s y s t e m is " m e t a s t a b l e " , f o r it c a n n o t d e c a y t o a r e g u l a r S c h w a r z s c h i l d b l a c kh o l e b y c o l la p s e b u t c a n d o t h a t b y a n n i h il a t io n o f t h e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e rv i a H i g g s r a d i a t i o n ; i f m s > I m gm I / ' 7 4 , t h e r e s u l t i n g s y s t e m i s t h e r m a l l y s t a b l e , f o ri t c a n d e c a y t o a r e g u l a r S c h w a r z s c h i ld b l a c k h o l e n e i t h e r b y c o l l a p s e n o r b ya n n i h il a t io n o f t h e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e r v i a H ig g s r a d i a ti o n .

T o g e t a m o r e c o n c r e t e p i c t u r e o f t h e a b o v e a n a ly s is , l e t u s r e c a l l t h a t m g m i s o ft h e o r d e r 6 ~ - % A - ] / 2 [9], t h e n I m gm I ' q -2 = (VrA r t ) - I _~ 6 , t h e s i ze o f t h e m o n o p o l ec o r e . W e s e e t h a t m s > ( < ) 1 m g m l r / 2 m e a n s t h a t t h e o r i g in a l S c h w a r z s c h i ldr a d i u s r s o f t h e b l a c k h o l e is l a r g e r ( s m a l l e r ) t h a n t h e s i ze o f t h e m o n o p o l e c o r e a ,t h e r e f o r e t h e b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l e s y s t e m m a y b e c l a ss if ie d i nt o t w oc a t e g o r i e s , r s > 6 a n d r s < 6 . T h e f o r m e r c a s e c a n b e i d e n t i f i e d a s th e " b l a c k h o l ew i t h a n i n t e r n a l g l o b a l m o n o p o l e " , w h i l e t h e l a t e r c a n b e c a l l e d t h e " b l a c k h o l e i na g l o b a l m o n o p o l e " ( f o r c l o se l y r e l a t e d c o n c e p t s s e e R e f s . [ 21 ,2 2] ). T h e a b o v ea n a ly s is m a y b e c o n s i d e r e d a s a s t r o n g i n d i c a t i o n o f t h e t h e r m a l s t a bi li ty o f as u f f ic i e n t ly h e a v y " b l a c k h o l e w i t h a n i n t e r n a l g l o b a l m o n o p o l e " ( m s > I m gm I / / 7 7 4 )a n d t h e t h e r m a l i n s t a b il i ty o f t h e " b l a c k h o l e i n a g l o b al m o n o p o l e " .


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H.-W. . Yu /Nu c le ar Phys ics B43 0 (1994) 427-44 0 4 3 5Using Eq. (2 .10) , (2 .12) , (2 .14) , (2 .15) , we f ind

Kd m = (1 - r / z ) 1 /2 ~ - -~ d A, (2 .20 )w h i c h i s d i f f e r e n t f ro m d m = ( K / 8 7 r ) d A a s s o c i a te d w i t h a b l a c k h o l e w i t h o u t ag l o b a l m o n o p o l e f o r m u l a t e d b y B C H [ 1 1] . T h e r e a s o n f o r th i s is t h a t w i t h t h ep r e s e n c e o f a g lo b a l m o n o p o l e t h e m a s s a n d t h e e n e r g y o f t h e b l a c k h o l e a re n ol o n g e r i d e n t i c a l . S o t h e d i f f e r e n t i a l f o r m o f t h e f i r s t l a w o f t h e r m o d y n a m i c s f o r ab l a c k h o l e w i t h a g l o b a l m o n o p o l e s h o u l d t a k e t h e f o r m

Kd E = 8 - - ~d A . ( 2 . 2 1 )

3 . E u c l i d e a n p a t h - i n t e g r a l m e t h o dI t is d e s i r a b l e to c o n s t r u c t t h e t h e r m o d y n a m i c s o f b l a c k h o l e s i n a m a n n e r t h a t

i n c o r p o r a t e s t h e r o l e o f q u a n t u m g r a vi ty , a s s t re s s e d b y H a w k i n g [ 1 7 ] . I n t h i ss e c t i o n w e w i l l u s e t h e e u c l i d e a n p a t h - i n t e g r a l m e t h o d t o d i s c u s s t h e r m o d y n a m i c so f th e c o m b i n e d b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l e s y st em . F o r t h i s p u r p o s e , w e s h a l lf o l lo w G i b b o n s a n d H a w k i n g [ 18 ,1 7] i n a s s u m i n g t h a t t h e p a r t i t io n f u n c t i o n

z = f ~ [ g ] ~ [ ~ ] e - * tg '* l ( 3 . 1 )c o n t a i n s t h e f i r s t - o r d e r c l a s s i c a l e u c l i d e a n a c t i o n s o f a h o l e a s i t s l e a d i n g t e r m ,w h e r e I is t h e e u c l i d e a n a c t i o n o f th e s y s t e m a n d a s u m o v e r a ll p o s s ib l e m e t r i c sg u ~ a n d m a t t e r f i e l d s 4 ) c o n s i s t e n t w i t h c e r t a i n c o n s t r a i n t c o n d i t i o n s i s i m p l i e d[18].

I n o r d e r t o a p p l y t h e e u c l i d e a n p a t h - i n t e g r a l m e t h o d t o t h e b l a c k h o l e d e -s c r ib e d b y E q . ( 1 .3 ) w e f i r s t i n t r o d u c e t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n

t " -> ( 1 - - ' r / 2 " 1 / 2 ) t , r ~ (1 - - " r / 2 ) - i / 2 r ( 3 . 2 a )a n d n e w p a r a m e t e rs

M = ( 1 - ' q 2 ) - 3 / 2 m , b = l - r / 2 , ( 3 . 2 b )a n d t h e n w e c a n r e w r i t e m e t r i c E q . ( 1 . 3 ) a s

2 G M ~ - 1d t 2 - r ~ d r 2 - + s i n 2 0s 2 = (1 2 G M ) (1 . r Z b ( d O 2 d~b2). (3.3)T h i s m e t r i c i s, a p a r t f r o m t h e d e f i c i t s o l id a n g l e , v e r y s i m i l a r t o t h e S c h w a r z s c h i l dm e t r i c a n d w e w i ll u s e i t i n o u r f o l lo w i n g d is c u s si o n . W e m a y f o r m a l l y e u c l i d e a n i z ei t b y s e t t i n g t ---) i r t o y i e l d

a s 2 = - 1 r d r 2 - 1 d r 2 - r 2 b ( d O 2 + s in 2 0 d 4 ~ 2 ),( 3 . 4 )


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436 H.-W. Yu /N uclea r PhysicsB430 (1994) 427-440r e p r e s e n t i n g t h e e u c l i d e a n s e c t i o n o f a st a ti c s p a c e - t i m e d e s c r ib i n g a b la c kh o l e - g l o b a l m o n o p o l e . H o w e v e r , w e n o w s e e t h a t t h e f o r m e r l o r e n t z i a n c o o r d i -n a t e s i n g u l a r i t y a t r = 2 G M i s i n d a n g e r o f b e c o m i n g a r e a l s i n g u l a r i t y i ne u c l i d e a n s p a c e , s i n c e t h e m e t r i c c h a n g e s i t s s i g n a t u r e f r o m f o u r t o z e r o f o rr < 2 G M . S o w e s h o u l d d i s c a r d t h e e n t i r e t < 2 G M r e g i o n , r e t a i n i n g t h e ( a n a l y t i cc o n t i n u a t i o n o f ) t h a t r e g i o n t h a t w a s o u t s i d e t h e o u t e r m o s t h o r i z o n ( i.e . r >>. 2 G M )a s t h e o n l y r e g i o n o f r e le v a n c e i n o u r e u c l i d e a n s e c ti o n . C o n s t r u c t i n g a n e wv a r i a b l e p b y t a k i n g p2 = 1 6 G 2 M e r - l ( r _ 2 G M ) w e s e e t h a t

d s 2 = - p 2 d 4 - ~ d o 2 - 4 G 2 M 2 b d~(2 ( 3 . 5 )n e a r r = 2 G M , w h i c h s h o w s t h a t z m u s t b e i d e n t i f i e d w i t h p e r i o d / 3 = 8 r r G M , a n dt h a t r a n d z a r e a n a l o g o u s t o c y l i n d r i c a l p o l a r c o o r d i n a t e s o n a p l a n e . T h i sp e r i o d i c it y in i m a g i n a r y ( e u c l i d e a n ) t i m e i s in t e r p r e t e d a s e v i d e n c e o f a t h e r m a lb a t h o f t e m p e r a t u r e T = 1 / /3 [ 1 8] , a n d t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r e is t h e r e f o r ei d e n t i f i e d a s

1 (1 - ~/2) 3/2T = 8 ~ G M 8 z r G mT a k e t h e t o t a l e u c l i d e a n a c t io n f o r th e b l a c k h o l e - g l o b a l m o n o p o l e s y s t e m to

b e1 6 ~ G ) 1= -~M ~ d 4 x q- G f0 . ( K - K ) ~ / T d 3x ( 3 . 6 )

a n d d e f i n e RI g = - 1- -d a d 4 x , ( 3 . 7 )I M= f ~ M v r g - d 4 x , ( 3 . 8 )

1I1 - 8 ~ ' G fo.~K v t ~ d B x ' ( 3 . 9 )1lsubstract- 87 rG faz K x / ~ d 3 x ' ( 3 .1 0 )

w h e r e X i s t h e s p a c e - t i m e r e g i o n w i t h m e t r i c E q . (3 .4 ) , K i s t h e t r a c e o f t h ee x t ri n si c c u r v a t u r e o f th e b o u n d a r y O X ( r = c o n s t .) , a n d 3 ' i s t h e d e t e r m i n a n t o f th em e t r i c i n d u c e d b y E q . ( 3 . 4 ) o n t h e b o u n d a r y . W e f i n d

V / T = b r 2 s in 0 (1 2G M ) 1 /2K = 2 - (r 2 G M ) 1/2 G M (- - r11 = 1 2 r r b G M 2 - 8 ~ r b M r .

2 a M ) - 1/2 ,( 3 . 1 1 )

( 3 . 1 2 )( 3 . 1 3 )


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H . - W . Y u / N u c l e a r P h y s i c s B 4 3 0 ( 1 99 4 ) 4 2 7 - 4 4 0 4 3 7T h e s u b t r a c t i o n t e r m i n v o lv i n g K n o r m a l i z e s t h e a c t i o n t o z e r o f o r t h e l i m i t i n gs p a c e - t i m e ( M = 0 ) w i t h t h e g i v e n " d e f i c i t so l id a n g l e " b o u n d a r y a n d K i s t h ee x t r in s i c c u r v a t u r e t r a c e c a l c u l a t e d f o r ~ i s o m e t r i c a l ly e m b e d d e d i n t h i s s p a c e -t i m e . A s u i t a b l e f o u r - m e t r i c i s

d s 2 = - d r 2 - d r 2 - r 2 b ( d O 2 + s in 0 2 d q ~ 2 ) , ( 3 . 1 4 )w h e r e z h a s p e r i o d [2 3]

y = [ 8 g 2 = 8 - CM 1 - - - r ' ( 3 . 1 5 )w h i c h i s t h e p r o p e r l e n g t h o f t h e ~- c i r c le . W e f i n d ~ = r Z b s i n 0 a n d K = - 2 r - 1,t h u s

[ s u b t r a c t = - G - l b C l ' r = - 8 ~ b M r 1 - . ( 3 . 1 6 )T h e s u b t r a c t io n h a s b e e n c o n s t r u c t e d b y r e q u i r in g t h e t h e r m a l e n e r g y to b e e q u a lt o z e r o f o r t h e g i v e n g e o m e t r y w i t h M = 0 . H e n c e , t h e s u b t r a c t i o n i s a n a l o g o u s t or e m o v i n g t h e z e r o - p o i n t e n e r g y f o r a c o l l e c t io n o f h a r m o n i c o s c i ll a ti o n s a t a f i x edt e m p e r a t u r e , w h i c h d o e s n o t i n f l u e n c e t h e e n t r o p y [2 3]. T o g e t t h e t o t a l a c t i o n w es h o u l d a l s o c a l c u l a t e I g a n d I M . I t i s o b v i o u s t o s e e t h a t I g a n d I M a r e d i v e r g e n ti n d i v i d u a l l y , a n d a t t h e f i r s t s i g h t t h i s d i v e r g e n c e w h i c h i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h el i n e a r d i v e r g e n c e o f t h e e n e r g y c o n t a i n e d i n t h e N a m b u - G o l d s t o n e f ie l ds w il lm a k e o u r d i s c u s s i o n p r o b l e m a t i c , b u t c a r e f u l a n a l y si s s h o w s o n t h e c o n t r a r y t h a tt h e s u m o f I g a n d I M is c o n v e r g e n t ( in f a c t is z e r o ) a s w i ll b e s h o w n . M a k i n g u s e o ft h e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e g l o b a l m o n o p o l e c o n f i g u r a t i o n g i v e n i n R e f . [8 ],

~ )a = T l O x a / r , ( 3 . 1 7 )w i t h x a x a = r 2 w h i c h l e a d s t o t h e m e t r i c E q . ( 1 .2 ) , a n d p u t t i n g i t i n t o E q . ( 1 . 1 ) a n du s i n g E q . ( 1 . 3 ) , y i e l d s

L M = - ~ 7 2 1 r 2. ( 3 . 1 8 )( N o t e t h a t i f w e u s e E q . ( 3 . 3) f o r c a l c u l a ti o n , t h e n w e s h o u l d m u l t i p l y E q . ( 3. 17 ) b y

b e c a u s e i n g o i n g f r o m E q . ( 1 . 3) to E q . ( 3 .3 ) w e h a v e i n t r o d u c e d a c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n E q . ( 3 . 2 a ) ) . O n t h e o t h e r h a n d a s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n f r o mt h e m e t r i c l e a d s t o

2 " r / 2 1 6 ~ ' G r / ~R r 2 r 2 ( 3 . 1 9 )

C o n s e q u e n t l y I ~ + I M v a n i s h e s a l t h o u g h t h e y a r e d i v e r g e n t w h e n t r e a t e d i n d iv i d u -a ll y. T h a n k s t o t h is f a c t w e c a n n o w p r o c e e d o u r d i s c u s s io n . W e h a v e

/ = b 1 2 ~ r G M 2 - 8 7 r M r + 8 ~ r M r 1 r ' ( 3 . 2 0 )


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4 3 8 H . - W . Y u / N u c l e a r P h y si c s B 4 3 0 ( 19 9 4) 4 2 7 - 4 4 0w h e r e t h e f a c t o r b h a s c o m e i n t h r o u g h i n t e g r a t i o n o n t h e s o li d an g le . T h r o u g h o u tt h e p a p e r , b i s c o n s i d e r e d a f ix e d p a r a m e t e r a n d n o t a t h e r m o d y n a m i c va r ia b l e.T h e c l as s ic a l c o n t r i b u t i o n t o t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n i s g i v e n b y

Z = e - * ( 3 . 2 1 )T h e t o ta l t h e r m o d y n a m i c e n e r g y a s s o c ia t e d w it h th e c o m b i n e d b l a c k h o l e - g l o b a lm o n o p o l e s y s t e m i s t h e n [ 2 3 , 2 4 ]

]E 013 ~ 1 - 1 - (3 .22 )i n t h e l i m i t w h e n r g o e s t o i n f i n it y , E g o e s t o E = b M = (1 - , / . ] 2 ) l /2m, w h i c h i st h e v a l u e w e o b t a i n e d p r e v i o u s l y ( E q . ( 2. 14 )) . T h e t o t a l e n t r o p y c a n b e c a l c u l a t e df ro m E q . (3 .2 1 ) to b e [2 3 ,2 4 ]

f l 0 ( l n Z ) 4 r c G m 2S = I = 4r cb GM 2 - ( 3 . 2 3 )0 ] 3 ( 1 - - " /7 2 ) 2 'a n d t h e h o r i z o n a r e a f o r E q . ( 3 . 3 ) i s n o w

A = 4rrb (2GM ) 2 = 16rr bG2M z -1 6 7 rG 2 m 2(1 - ~ 2 ) 2 " ( 3 . 2 4 )

A s a c o n s e q u e n c e o f E q s. ( 3. 23 ), (3 .2 4 ) t h e e n t r o p y is p r o p o r t i o n a l t o o n e - f o u r t h o ft h e h o r i z o n a r e a , a s w a s s h o w n i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n b y a d i f f e r e n t a r g u m e n t .

4 . D i s c u s s i o n

W e h a v e s e e n t h a t t h e t r a p p i n g o f a g l o b a l m o n o p o l e b y a S c h w a r z s c h il d b la c kh o l e w i th a s u f f i c ie n t l y l a r g e m a s s w il l d e c r e a s e i t s H a w k i n g t e m p e r a t u r e a n di n c r e a s e i t s h o r i z o n a r e a w h i c h i s i n a c c o r d w i t h H a w k i n g ' s a r e a t h e o r e m , i . e . , t h es e c o n d l aw o f b l a c k ho l e t h e r m o d y n a m i c s , b u t t h e e n t r o p y - h o r i z o n a r e a r e l a t i o nr e m a i n s u n a l t e r e d . I f a g lo b a l m o n o p o l e is t r a p p e d i n a S c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l ew i t h [ m g m 1 / 7 } 2 < m s < [ m g m [ / / T / 4 i n t h e f i r s t p l a c e , t h e n t h e s p o n t a n e o u s d e c a yb y c o l l a p s e o f t h e r e s u l t i n g s y s t e m , i. e ., a b l a c k h o l e w i t h a n i n t e r n a l g l o b a lm o n o p o l e , v i o la t e s th e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s b u t t h e d e c a y b y a n n i hi la -t i o n o f th e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e r v i a H i g g s r a d i a t i o n is p o s s ib l e . S o su c hb l a c k h ol e s w it h i n t e r n a l g lo b a l m o n o p o l e s a r e r e f e r r e d t o a s b e i n g " m e t a s t a b l e " .H o w e v e r , i f m s > [ m e m I / T ] 4 , t h e n t h e d e c a y b o t h b y c o l la p s e a n d a n n i h i l a t i o n o ft h e m o n o p o l e q u a n t u m n u m b e r v i a H i g g s r a d i a t i o n o f t h e r e s u l t in g s y s te m , i. e. , as u f f ic i e n t ly l a r g e b l a c k h o l e w i t h a n i n t e r n a l g l o b al m o n o p o l e , v i o l a t e s th e s e c o n d


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H.-W. Yu / N uc lear Phys ics B430 (1994) 427-4 40 4 3 9l aw o f t h e r m o d y n a m i c s a n d i s t h u s f o r b id d e n . C o n s e q u e n t l y , w e m a y c o n c l u d e t h a ts u c h b l a c k h o le s w i t h g l ob a l m o n o p o l e s i n si d e a r e t h e r m o d y n a m i c a l l y s ta b le . B u t i fa g l o b a l m o n o p o l e i s s w a l l o w e d b y a S c h w a r z s c h i ld b l a c k h o l e w i t h m s < [ m g m I / r l 2b y s o m e p e r t u r b a t i o n i n t h e f i r st p l a c e , t h e n t h e r e s u l t i n g s y s t e m is u n s t a b l e a n dw i l l p r o b a b l y s p o n t a n e o u s l y d e c a y t o a b l a c k h o l e w i t h o u t a g l o b a l m o n o p o l e .T h e s e p r o p e r t i e s a r e r a t h e r d i f f e re n t f r o m t h a t o f a b l a c k h o l e w i th a c o s m i c s tr in gp a s s i n g t h r o u g h i t [16 ]. R e f . [ 16] s t u d i e d t h e t h e r m o d y n a m i c s o f a b l a c k h o l e w i t h ac o s m i c s t r i n g p a s s i n g t h r o u g h i t a n d f o u n d t h a t n e i t h e r t h e H a w k i n g t e m p e r a t u r en o r t h e e n t r o p y - h o r i z o n a r e a r e l a t io n i s m o d i f i e d b y t h e p r e s e n c e o f a c o s m i cs t r i n g , b u t t h a t t h e m e r g i n g o f a b l a c k h o l e w i t h a c o s m i c s t r i n g h a s a n a p p a r e n tv i o la t io n o f t h e H a w k i n g a r e a t h e o r e m . I t s h o u l d b e n o t e d , h o w e v e r , th a t t h ee n t r o p y - h o r i z o n a r e a s e e m s to b e q u i te g e n e r a l f o r i t is n e i t h e r m o d i f i e d b y t h ep r e s e n c e o f a g l o b a l m o n o p o l e n o r b y t h a t o f a c o s m i c s tr in g . T h e f ir s t l a w o f b l a c kh o l e t h e r m o d y n a m i c s g i v en b y B C H [11] s h o u ld b e m o d i f i e d a n d t a k e s t h e f o r mE q . ( 2 .1 8 ) b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t t h e e n e r g y a n d t h e m a s s o f t h e b l a c k h o l eo b s e r v e d a t in f in i ty a r e n o t l o n g e r i d e n t i c a l in t h e p r e s e n c e o f a g l o b a l m o n o p o l e .

O n e m a y a s k w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o a c h i e v e z e r o s u r f a c e g r a v i t y i n th ep r e s e n c e o f a g l o b a l m o n o p o l e , i .e ., is t h e t h i r d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s s t il l v a l i d ?T h i s i s s u e d e p e n d s o n t h e p o s s i b l e v a l u e o f t h e s y m m e t r y b r e a k i n g s c a l e ~ /0 . I t isp h y s i c a l l y r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t W0 < m p la nc k ~ 1 0 1 9 G e V , f o r e x a m p l e , o n ehas "00 ~ 1 0 1 6 G e V f o r t h e t y p i c a l G U T s c a l e , s o " r / 0 / / m p l a n c k --~ 1 0 - 3 < 1 . T h e r e f o r ew e m a y c o n c l u d e t h a t i t is v e r y li k e ly t h a t t h e s u r f a c e g r a v i t y w i ll n o t r e a c h z e r o i na p h y si c a ll y r e a s o n a b l e s i t u a ti o n . B u t o n e m a y a r g u e t h a t a l t h o u g h i t is h i g h lyi m p l a u s i b l e p h y s i c a l l y t o h a v e a r /0 r e a c h i n g t h e P l a n c k s c a l e w h i c h w i l l s e t K t o b ez e r o , n e v e r t h e l e s s o n e c a n n o t c o m p l e t e l y e x c l u d e t h e p o s s i b il i ty o f h a v i n g s u c h as c a l e so t h a t w e i n d a n g e r o f v i o l a t in g t h e t h i r d l a w . W e w a n t t o p o i n t o u t h e r et h a t t h i s i s n o t s o s e r i o u s a s i t s e e m s t o b e a t t h e f i r s t s i g h t b e c a u s e i f r / 0a p p r o a c h e s t h e P l a n c k s c a l e t h e n t h e g r a vi ty m a y s u b s ta n t ia l ly c h a n g e t h e s t r u c -t u r e o f t h e m o n o p o l e a t s m a l l d i s t a n c e a n d t h e c o n d i t i o n w h i c h l e a d s t o t h e m e t r i cE q . ( 1 .2 ) w i ll n o t a p p l y , s o th e s i t u a t io n m a y h a v e d i f f e r e n t f e a t u r e s a n d m a yr e q u i r e a c o m p l e t e q u a n t u m t r e a t m e n t r a t h e r t h a n t h e s e m i c la s s ic a l o n e w e h a v eu s e d i n t h i s p a p e r .

F i n a l ly w e w o u l d l i k e to c o m m e n t o n a n i n t e r e s t i n g e f f e c t t h a t a g l o b a lm o n o p o l e w i l l h a v e o n t h e H a w k i n g r a d i a t i o n i n t h e f i n a l s t a g e s . S u p p o s e t h a t t h eb l a c k h o l e e v a p o r a t e s d o w n t o r n - - - 1 / G r l o ( sti ll la r g e r t h a n t h a t o f a g l o b alm o n o p o l e ) a n d i ts t e m p e r a t u r e is a lr e a d y T = rl0 a t w h i c h t h e g l o b a l s y m m e t r y t h a tr e s u l te d i n t h e m o n o p o l e m i g h t b e r e s t o r e d . O n e c o u l d i m a g i n e t h a t th e b l a c k h o l ec o n t i n u e s e v a p o r a t i n g w i t h o u t r a i s i n g i ts t e m p e r a t u r e b u t r a t h e r u s i n g i ts e n e r g y tor e s t o r e t h e s y m m e t r y a s m u c h a s p o s s ib l e a r o u n d t h e m o n o p o l e c o r e , u nt il t h em a s s o f th e h o l e b e c o m e s c o m p a r a b l e t o t h e e f fe c t iv e n e g a ti v e m a s s o f th em o n o p o l e a n d t h e h o r i z o n d i s a p p e a r s ! T h e a n a ly s is o f s u c h a n i n t e re s t in g p r o c e s si s a t p r e s e n t u n d e r i n v e s t i g a t i o n w h i c h r e q u i r e s t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e b a c k r e a c -t io n o f t h e e v a p o r a t i n g b l a c k h o le a n d t h e h i g h - t e m p e r a t u r e c o r r e c t io n s t o d e t e r -m i n e t h e m o n o p o l e c o n f i g u r a t i o n a n d s e e k i n g a m e t r i c t o m o d e l t h e e v a p o r a t i n gp r o c e s s o f th e b l a c k h o l e w i th a g l o b a l m o n o p o l e t r a p p e d i ns id e .


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4 40 H.-W. . Yu / Nuc lear Phys ics B4 30 (1994) 4 27 -44 0Acknowledgement

I t i s a p l e a s u r e t o e x p r e s s m y s i n c e r e t h a n k s t o P r o f e s s o r W . J .P r o f e s s o r Z . M . T a n g f o r t h e i r c o n s t a n t e n c o u r a g e m e n t a n d s u p p o r t .

W a n g a n d

References[1] T .W.B . Kibble , J . Phys . A 9 (1976) 1387.[2] A . Vi l enk in , Phys. R ep. 121 (1985) 263 .[3] J .P . P resk i l l , Phys . Rev. Le t t . 43 (1979) 1365.[4] E .W. Kolb e t a l . , Phys . Rev. Le t t . 49 (1982) 1373.[ 5 ] E . N . P a r k e r a n d T . J . B o g d a n , P h y s . R e v . D 2 6 ( 1 9 8 2 ) 1 2 9 6 .[6] H .W . Yu and K .J. W ang , Sci . Ch ina A 35 (1991) 1233.[ 7 ] H . W . Y u e t a l . , N u o v o C i m e n t o 1 0 7 B ( 1 9 9 2 ) 8 6 3 .[8] M. Bar r io la and A. Vi l enkin , Phys . Rev. Le t t . 63 (1989) 341 .[9] D . Hara r i an d C . Lo us to , Phys . Rev. D 42 (1990) 2626.

[ 1 0 ] S . W . H a w k i n g , C o m m u n . M a t h . P h y s . 4 3 ( 1 9 7 5 ) 1 9 9 .[ 1 1 ] J . M . B a r d e e n , B . C a r t e r a n d S . W . H a w k i n g , C o m m u n . M a t h . P h y s . 3 1 ( 1 9 7 3 ) 1 6 1 ;

B . C a r t e r , in B l a c k h o l e s , e d s . C . D e W i t t a n d B . S . D e W i t t ( G o r d o n a n d B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 7 3 ) .[ 1 2 ] J . D . B e k e n s t e i n , L e t t . N u o v o C i m e n t o 4 ( 1 9 7 2 ) 7 3 7 ;

Phys . Rev. D 7 (1973) 2333; D 9 (1974) 3292.[13] C . Lous to , In t . J . Mod. Phys . A 6 (1991) 3613.[ 14 ] S .W . H a w k i n g a n d G . F . R . E l l is , T h e l a r g e s c a le s t r u c t u r e o f s p a c e - t i m e ( C a m b r i d g e U . P . ,

Cambr idge , 1973) p . 318 .[ 15 ] R . M . W a l d , G e n e r a l r e l a ti v i t y ( U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , C h i c a g o , 1 9 8 4 ) p . 3 3 2.[ 1 6 ] M . A r y a l , U H . F o r d a n d A . V i l e n k i n , P h y s . R e v . D 3 4 ( 1 9 8 6 ) 2 2 6 3 .[17] S .W. Hawking , in G e n e r a l r e l a t i v i t y , e d s . S . W . H a w k i n g a n d W . I s r a e l ( C a m b r i d g e U . P . , C a m -

bridge, 1979) p. 746.[ 18 ] G . W . G i b b o n s a n d S .W . H a w k i n g , P h y s . R e v . D 1 5 ( 1 9 7 7 ) 2 7 52 .[19] R .L . Davi s , Phys . Rev. D 32 (1985) 3172.[ 2 0 ] A . E v e r e t t , T . V a c h a s p a t i a n d A . V i l e n k i n , P h y s . R e v . D 3 1 ( 1 9 8 5 ) 1 9 2 5 ;

E . Cope land e t a l . , Nuc l . Phys . B 298 (1988) 445 .[ 2 1 ] K . L e e , V . P . N a i r a n d E . J . W e i n b e r g , P h y s . R e v . D 4 5 ( 1 9 9 2 ) 2 7 5 1 .[ 22 ] D . K a s t o r a n d J . T r a s c h e n , P h y s . R e v . D 4 6 ( 19 9 2 ) 53 9 9.[23] J .W. York J r . , Phys . Rev. D 33 (1986) 2092.[ 2 4 ] N . D . B i r r e l l a n d P . C . W . D a v i e s , Q u a n t u m f i e l d s i n c u r v e s s p a c e s ( C a m b r i d g e , U . P . , C a m b r i d g e ,

1982).

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