GERMANO DE ALBUQUERQUE ANDRADE TESE SUBMETIDA...

UM MODELO MARKOVIANO PARA SIMULAÇÃO

DE VAZÕES DIÁRIAS

GERMANO DE ALBUQUERQUE ANDRADE

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVE~

SIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS RE

QUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM CIÊNCIA (M. Se.)

Aprovada por:

Prof. Dirceu~ado Olive Presidente

Cl~~L,, i~ Prof. Nelson Maculan FTI

I

Prof. Rui Carlos V. da Silva

~~f fc ÚJ_..Y, ~ r, ..õãõ/zardo R.H.Araujo J

RIO DE JANEIRO ESTADO DA GUANABARA - BRASIL

SETEMBROJDEiq972 ' . .-

-

SUMÁRIO

Pesquisa de um modelo para simular vazoes diárias,

com base na teoria das cadeias de Markov.

Para esse fim, a sucessao histórica das vazoes

analisada como processo de la. e 2a. ordem, sendo que, em

~

e

am-

bos os casos determina-se a ergodicidade da cadeia e sua dis -

tribuição estacionária.

Analisa-se um ajustamento teórico para as linhas

das matrizes markovianas, usando-se os Índices de Pearson é e

testando-se as distribuições gama, normal e lognormal.

São observados separadamente os períodos ,!;seco" e

"molhado" do ano hidrológico e as séries simuladas são compar~

das com as históricas correspondentes, com a finalidade de in

dicar o processo melhor ajustável ao período observado.

ABSTRACT

Research of a model to simulate dayly flows under the

base of Markov's chains theory.

To reach this goal, a historie sucession of mentioned

flows is analysed as a first and second order process prevailing

\. . . . that, for both cases, the~cha1n,ergod1c1ty is determined and its

·- . " "~ ~-

stationary distribution is observed.

A theoretic adjustment for markovian matrix lines is

analysed through Pearson's indexes, drying out gama, normal and

lognormal distributions.

Dry and wet periods of the hydrologic year are observed

separately, while simulated series are compared with the corres

ponding histories in arder to point out the best adjustable

process for the period under analysis.

INDICE

I. INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações gerais

1.2 - métodos empregados na pesquisa de Modelos Hidrológicos

l. 3 - Objetivos

II. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

2.1 - Generalidades

2.2 - Classificação dos Processos Es tocásticos

2.3 - Aplicação as Séries Hidrológicas

2.4 - Distribuição de Probabilidade Condicional no lR n

2.5 - Processos Markovianos de la e 2a. ordem

2.6 - Probabilidade de Transição em n-Etapas

2.7 - Vetor distribuição de Probabilidade

III. CONSTRUÇÃO DOS MODELOS HIDROLÕGICOS

3.1 - Formação das matrizes de transição

3.2 - Observações sobre as matrizes de transição.

3.3 - Sucessão Hidrológica corno Cadeia Irredutível

.{.,(,,(,

pg.

l

2

3

4

5

5

6

10

13

14

17

29

31

3.4 - Cálculo da Distribuição Estacionária da série de Vazões

3.5 - Testes da Distribuição das li nhas das Matrizes de Transição

3.6 - Resultados e Conclusões dos testes

3.7 - Simulação através dos Modelos de la. e 2a. ordem

IV. ESTUDO COMPARATIVO DAS SÉRIES REAIS E SIMULADAS

V. APfNDICE

4.1 - Séries reais e simuladas

4.2 - Diagramas

4.3 - Conclusões

4.4 - Considerações finais

VI. BIBLIOGRAFIA

,lv

32

36

39

44

46

47

51

52

AGRADECIMENTOS

O autor agradece a todos que contribuíram direta ou

indiretamente para a realização desse trabalho.

À COPPE, nas pessoas dos Professores Fernando Luiz

Lobo B. Carneiro, Chefe do Programa de Engenharia Civil, Rui Car

los Vieira da Silva, Chefe da Área de Hidráulica, Dirceu Machado

Olive pela orientação e João Lizardo R. H. Araujo, pelas suges -

tões no trato com as Cadeias de Markov.

À Universidade Federal da Paraíba, nas pessoas dos

Professores Serafim Rodrigues Martinez, Vice-Reitor, Vitoriano

Gonzales y Gonzales e Newton Maia, respectivamente Direior e Che

fedo Departamento de Hidráulica da Escola de Engenharia.

À Escola Técnica Federal da Paraíba nas pessoas do

Diretor, Professor Itapoan Botto Targino e do Chefe do Departa -

mento de Mecânica, Professor José Maria Fonsêca.

Particularmente agradece a Maria de Lourdes de Al -

meida pelo serviço datilográfico.

A memÓIÚa de meu pai,

A minha mãe, e~po~a e óilho~,

A Licinha

F( • )

. p ( . )

P·. lJ

P· ºk lJ

P~n) l

p. ~n) lJ

11. (n) l

{n) 11 •• lJ

PRINCIPAIS SÍMBOLOS USADOS

Função distribuição de probabilidade

Função de probabilidade

Estado da cadeia markoviana relativo ao tempo t

Probabilidade de transição para o estado j dado o

estado i, em uma etapa

Probabilidade de transição para o estado k dados

(i j), em uma etapa

Probabilidade absoluta ou marginal dei no instan

te n

Probabilidade absoluta ou marginal de i,j no ins

tante n

Vetor distribuição de probabilidade no instante n

(processo de la. ordem)

Vetor distribuição de probabilidade de ( ij) ,po ,in~.

tante n (processo de 2a. ordem)

Espaço amostral das vazões reais

Evento aleatório relativo ao instante t

n-ésima realização do processo

1.

I. INTRODUÇÃO

1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

O planejamento e desenvolvimento de projetos

hidráulicos necessitam fundamentalmente do conhecimento das sé

ries históricas hidrometeorolÓgicas, sendo de suma importância

para esses projetos, aquela que caracteriza o regime do rio · ·OU

seja, a sequência das vazões relativas ao tempo.

A análise de sequências desse tipo (denomin~

das séries temporais) pode determinar a estrutura do processo

hidrológico, permitindo averiguar as características do fenôme

no gerador da série [a]. Assim pode-se obter uma representação

matemática (ou modelo matemático) para o fenômeno, que permiti-

rã reproduzÍ-lo, resultando uma série temporal simulada.

constituirá a meta dessa pesquisa.

Isso

As vantagens dessas representações matemáti

cas, evidenciam-se pelo grande número de modelos existentes no

campo da hidrologia, nos quais os pesquisadores procuram otimi

zar os processos adotados e assim, conseguir de maneira racio -

nal, realizar a simulação ou a previsão das séries hidromete.oro·

2 .

lógicas, isto é, "a formulação das inferências a respeito do

comportamento futuro dos fatos que constituem a matéria em estu

do", (ref. [7]).

1. 2 - MfTODOS EMPREGADOS NA PESQUISA DE MODELOS HIDROLÕGICOS

Segundo BHUIYA [a] , há tres formas de cons

truir modelos hidrológicos:

1. através de esquemas paraméticos usando

funções empíricas características das

condições particulares da bacia;

2. através de esquemas puramente probabi

lísticos, nos quais o processo é consi

derado como estocástico;

3. combinando esquemas paramétricos e pro

babilÍsticos de forma que o processo

seja constituído pela soma de duas com

ponentes - uma paramétrica e outra es

tocástica.

A segunda forma será utilizada nessa pesqui-

sa onde consideraremos a sequência de vazões diárias como um

processo estocástico.

3.

1. 3 - OBJETIVOS

São objetivos do presente trabalho:

1. Elaboração e programaçao, em computador digital,

de um algorítmo que modele uma série hidrológica (série das va

zoes diárias), por cadeias de Markov de la. e 2a. ordem.

2. Verificação da propriedade irre·dutível da ca-

deia e determinação da sua distribuição estacionária.

3. Pesquisa de uma distribuição teórica para as sé

ries de frequência formadoras da matriz de transição correspon -

dente ao processo adotado.

4. Simulação do período observado através dos mode

los de la. e 2a. ordem, construídos com dados dos rios Juquiá

(SP) e Grande (MG).

5. Estudo comparativo dos modelos, visando verifi -

car se descrevem adequadamente o processo físico e qual deles se

ajusta melhor aos dados. Subsidiariamente, análise de um número

modesto .de simulações, visando sua futura utilização em proble -

mas de planejamento.

4.

II. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

2.1 - GENERALIDADES

2.1.1 - Definição

Denomina-se processo estocástico aos fenômenos se

quenciais cuja evolução é determinada por leis probabilisticas.

Considerando o evento aleatório l;t relativo ao ins

tante t, as sequências {l;t' t f T} formam uma familia de reali

zações do processo, tendo a particularidade de apresentar suces

soes distintas para cada periodo de observação. Assim sendo,

· {l;t} é uma variável aleatória n-dimensional.

2.1.2 - Caracterização

O processo estocástico é caracterizado pelo conjun-

to de funções

F(x1 , ... ,xn' t 1 , ... ,tn) =

= Pr[l;t ;; x1,· .. ' l;t ;; xn] 1 n

n f 1N , t 1 , ... , tn f T

que representam a familia das funções distribuição de probabili-

5.

2.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

1, Segundo a estrutura de · {st}, o processo estocás

tico pode ser:

a) Estacionário se o conjunto de funções distribui

ção n-dimensionais for invariante com uma trans

lação no tempo, ou seja se:

F(x1 , ... ,xn,t1 , ... ,tn)=F(x1

, ... ,xn,t1

+1õ, •••

. . . , t + G) n

para qualquer t 1 , t 1 +G, ... , tn,tn +~ E' T.

b) Segundo a natureza do sistema relativamente ao

espaço amostral.{xt} e ao período de observação

T, classifica-se esses processos como:

• i. continuo no espaço e no tempo

ii. contínuo no espaço e discreto no tempo

iii. discreto no espaço e no tempo

iv. discreto no espaço e contínuo no tempo

2. 3 - APLICAÇÃO ÀS SÉRIES HIDROLÕGICAS

No· caso particular das vazoes diárias, numa dada s~c

çao de um rio, consideraremos a sucessão histórica como um pro -

cesso discreto no espaço e no tempo, sendo

6.

{xt} = · {x I O ~ x ~ m}

T = {O, 1, 2, .. }

Como tais sucessoes sao sabidamente correlacionadas,

foi aplicada a teoria das cadeias de Markov, fazendo-se maiores

considerações sobre essa técnica, nos capítulos seguintes.

2.4 - DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONDICIONAL NO IRn

Se a variável aleatória ~t assume somente valores

discretos ou seja se o espaço amostral é constituído dos valores

l. . r II+ ( . O 1 ) e J= ,, ••• ,n J

T = 1,2, ... ,n podemos construir a fun-

ção denominada "função de probabilidade n-dimensional" represent~

da por

(2.1)

que dá uma completa descrição da distribuição de ~t [14] .

A p(i1 , ... ,in) satisfaz as seguintes condições:

1. o $ p(i1,· .. ,in) t 1

2. ~ 4 p(i1,···,in) = 1 ( 2 . 2 ) 11 l n

X ~i n n

7 .

Sendo F(x1 , ... ,xnl a função distribuição de proba

bilidade da citada variável aleatória.

Aplicando o conceito de distribuição de probabili

dade marginal ou absoluta de cada variável aleatória podemoses

crever:

p. = Pr[,; 1 =i1l = ? ? ? p(i1,···,inl ].l ]. 2 ]. 3 l.n

P. = Pr [,; 2 =i 2] = l ? ? p(il' ... ,inl ].2

il ]. 3 ]. n

l i n-1

p ( i 1 ' ... 'in l

Este conceito pode ser estendido a duas ou

variáveis aleatórias ou seja:

p, . . =Pr[t;1=i1,· .. ,t; -l=i -1] = 1 1' 1 2' ... ' 1 n-l n n

( 2. 3)

mais

8.

(2.4)

Como as distribuições condicionais são rigorosamen

te relacionadas às distribuições n-dimensionais [2], podemoses

crever:

e aplicando a definição de probabilidade condicional temos:

p(ili1,···,i 1>= n n-

= p(i1,···,i) n.

7

Donde se conclui que:

p(i li1,··. ,i 2).p(i lil', ... ,i ·. 1) n n- n n-

- ........... • .......... .

=

( 2 . 5 )

)

= •••••••••••••••••

= pil. p(i2li1) .

p(i3 I il ,i2) •...• p(in I il, ... ,in-1)

Em termos diretos de probabilidade teremos:

Pr[,; 1 = i 1 , ... , sn = in] =

= Pr[,; 1 = il] Pr[,; 2 = i2ls1 = i1J .

Pr[,; 3 = i 3 ls 1 = il, s2 = i2J

. Pr[sn = in ls1 = il, ... , sn-1 = in-1]

9 •

( 2. 6)

(2.7)

Nas aplicações práticas, em geral é complexa a dete~

minação das funções condicionais da (2.7) [sJ. Dois casos entre

tanto facilitam seu emprego.

1. Quando nao há dependência estocástica entre os e

lementos de ·{,;t}, temos os processos independentes nos quais:

Pr[,; 1 = i 1 , ... ,sn = in] = Pr[,; 1 = i 2] .

. Pr[,; 2 = i 2] ..... Pr[,;n = in]

ou seJa a probabilidade da cadeia e igual ao produto das probabi

lidades absolutas dos eventos.

10.

2. No caso contrário, ou seja, quando há dependência

entre os elementos de {;t} sendo a sucessao discreta no espaço e

no tempo, temos os processos markovianos nos quais

Pr[; 1 = i 1 , ... , ;n = in] = Pr[; 1 = i 1]

Pr[;2

= i2

1;1 = i 1]. Pr[; 3 = i 3 1;1 = i 2 ,; 2 = i 2J .... Pr í~n = i I F s=i . , .... f. = i J L"' n "!1-s n-s · n-1 n-1

( 2 . 8 )

isto é, a probabilidade da cadeia é igual ao produto das probabi

lidades condicionais até a ordem s (s = 1,2, ... ,m).

No item que se segue, analisaremos os processos de

la. e 2a. ordem com mais detalhes.

2.5 - PROCESSOS MARKOVIANOS DE la. e 2a. ORDEM

2.5.1 - Processos markovianos de la. ordem sao aque

les nos quais o estado atual só depende do estado imediatamente

anterior.

= Pr r~n - i 1 ~ - i ] L, - n "n-1 - n-1

Dessa forma, todas as evoluções de estados podem ser

representadas pela probabilidade condicional

( 2. 9)

11.

onde i, j representam qualquer estado de S. Nisso reside a gran

de vantagem dos processos markovianos dado as si.mplificações decor

rentes.

A p .. denominada probabilidade de transição em uma l.J

etapa, significa a "chance" de evolução do processo markoviano do

estado i para o estado j em um instante ou etapa e é tal que:

1. O ~ P· · ~ 1 l.)

r 2. l

j=l p. . = 1

l.)

V i,j s

Vi

Os elementos pij podem ser arranjados em forma de ma

triz de ordem r, denominada matriz de transição do processo e re

presentada por JP •

P11 P12 Pir

P21 P22 P2r

(2.10) IP = ( p .. ) =

l.)

Prl Pr2 Prr rxr

A matriz que atende as condições 1 e 2 é denominada

matriz estocástica de forma que toda matriz de transição temes

sa classificação.

12.

2.5.2 - Processos de 2a. ordem

São aqueles nos quais o estado atual depende do co

nhecimento de dois estados anteriores. Considerando o instante

t e i, j, k f S e aplicando um raciocínio análogo ao do item an

terior, podemos escrever:

(2.11)

A representação matricial desse processo (ver BAR -

TLET [13] ) tem a seguinte forma:

11 12 lr 21

11 o

12 o o o

lr o o o o

21 o

2r o o o o

rl Prl2 ... o

rr o o o o

2r

o

o

o

o

o

o

rl

o

o

o

P2r1 ...

o

p 1 ... rr

rr

o

o

o

o

(2.12)

2 2 r xr

13.

Onde os pares de Índices, indicam estados associa-

dos ou seja:

Pijk = Pij, jk = Pr [jk i ij] (2.13)

Por essa razao sao nulos os elementos cujos Índi -

ces centrais sao diferentes.

Essa notação é de grande importância para operar

matricialmente os processos de 2a. ordem, como veremos nos capf

tulos seguintes.

2.6 - PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO EM N-ETAPAS

Define-se probabilidade de transição em n-etapas,

a evolução do processo markoviano do estado i para o estado j

(processo de la. ordem) ou (i j) para o estado k (processo de

2a. ordem) apos n transições.

Em linguagem formal

P f j ) = Pr [,; t + n = j I F; t = i J

Pij~n) = Pr[F;t+n = kjF;t+l = J, F;t = i]

Admitindo-se que a cadeia independe do instante t

14.

podemos escrever:

(n) r~ . p. "k = Pr Ls = J l.J n

(2.14)

onde tomamos o instante inicial t = O

2.7 - VETOR DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Sejam os vetores formados pela probabilidade margJ.

nal (Pr[E;t= i.]) t E' T,i. E' S. J J

Para t = O temos o vetor distribuição inicial dado

por:

enquanto para t = ri temos o vetor distribuição no instante n ou

seja:

Em linguagem mais compacta:

rr ~ n) ].

= (P~n)) = ]. ' ... ' (2.15)

Do conceito de distribuição marginal para dois es

tados, podemos escrever:

15.

ou sob a forma de componentes:

t p<_o). l J Pjk j

Através de raciocínio idêntico chega-se a expressao

p (n) = k

r p, (n-1) J J

(2.16)

ou seja o vetor distribuição de probabilidade no instante n é o

produto matricial do vetor distribuição no instante anterior pe

la matriz de transição em uma etapa.

Para os processos de 2a. ordem o vetor distribuição

de probabilidade do par (i j) no instante n sera:

1T •• J. J

(n) = (P (n) 11 P

(n) p (n) p (n) p (n)) ,· 12 ' · · · ' lr ' 21 ' · · · ' rr

ou em função da matriz de transição pijk e sob a forma de compo

nentes:

ra:

P.~n) = J.J l

k P

(n-1) ki

(2.17)

A distribuição absoluta do estado j nesse caso se-

p~n) = J

P. ~n) J.J

(2.18)

16.

As equaçoes (2.16) e (2.18) permitirão calcular as

distribuições estacionárias dos processos adotados. No parágr~

fo 3.4 trataremos desse assunto.

17.

III. CONSTRUÇÃO DOS MODELOS MARKOVIANOS

3.1 - FORMAÇÃO DAS MATRIZES DE TRANSIÇÃO

Inicialmente admitimos a sucessao de vazoes como um

processo discreto no espaço e no tempo e devido a dependência es

tocásticas dessas séries, pudemos utilizar a teoria vista no ca

pítulo anterior, ou seja tratar essas sequências como cadeias

markovianas.

Com a finalidade de obter melhor uniformidade na

distribuição das vazões históricas, tomou-se para espaço amos

tral de~ses eventos, o conjunto:

no qual

sendo

· {xt} = {a, b, ... , m, n}

a= avmin

b = ªª

n = am

vmax = an

O conjunto de estados {S} = {1,2, ... ,r} associa- se

ponto a ponto a {xt} de forma que:

18.

vrnin ~ 1 ~ a

a < 2 ~ b

m < r ~ vrnax

Foram observados separadamente os períodos "seco" e

"molhado" do ano d'água empregando-se 25 anos de observações

dos rios Juquiá (SP) e Grande (MG). Assim, determinou-se 24 se

quências {~t} com 180 elementos cada uma. Para atender a tabe

la de Sturges (ref. [7]) para 180 pontos, utilizamos 8 interva

los de classe de forma que tomou-ser= 8 para o conjunto de es

tados.

As matrizes markovianas foram construídas conside -

rando-se as primeiras 23 sequências {~t}, de acordo com os _i:;e.:.

guintes algorítmos:

1. Para o processo de la. ordem, os elementos p .. l.J

sao dados, aproximadamente, pela expressão (ver exemplos na

TAB. 3.1.1):

P·. l.J "" f ..

l.J = fa(i, j)

r }: fa(i,j) j

( 3 .1)

para qualquer i fixado e j = 1,2, ... ,r sendo fa, a frequência

absoluta de transição do estado i para o estado j em uma etapa.

19.

2. Para os processos de 2a. ordem, aplicamos um re

curso que resultou em grande economia de "memória" ou seja, tra

tamos a (2.11) como tri-dimensional. Nessa hipótese a matriz de

transição (2.12) foi arranjada em eixos tri-ortogonais da forma

indicada na fig. 3.1.

Pode-se observar que nessas condições a ordem matri

cial é r x r x r ou seja a "área de memória" a ocupar sera mui

to menor do que aquela necessária para (2.12).

O ponto genérico p .. k traduz a probabilidade da cal.J

deia "evoluir" de (i j) para k em uma etapa.

Os valores p .. k sao calculados pelo processo das l.J

frequências relativas e neste caso, a exemplo do anterior, a pr~

habilidade aproximada será (ver exemplo na TAB.3.1.2):

Pijk ct f ijk = fa(i,j,k)

r Lfa<i,j,k) k=l

para cada i, j fixados e k = 1, 2, ... , r.

(3.2)

o

r ---------r-- ----------- --?I / ,, ,..' 1

., , 1 / 1 / r•I / 1 / 1 / ,,.,'1 / ,,

/ / / , / ., "' 1 ., 1 / ,

/ r-2 ,/ / 1 / ,r------ -~---"--..Â..----- -- ,

/ 1Pa&,/ .," 1 .11P Srr /

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1 1

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1 .-------- ----=;e -,---/..1'---J ' ,I 1 , , / 1 /- , / / ..,___ ·------------------ .... -P,,a,' , 1 1 / / 1 • / I ,. 2 1 " / :--- ·r--t -------------------------,P,.,..,,' 1 I //

- ----- - - ---------- --- - -- - - -- _y

FIC.. J.1

20.

21.

É importante observar que processos de ordem mais e

levada, podem ser também considerados, desde que a linguagem de

programação empregada possa operar com blocos de quatro ou mais

Índices como no nosso caso, no qual utilizamos o Fortran G no

IBM 360/40 do NCE/UFRJ que opera "matrizes" de até sete Índices~

Nos processos práticos como o nosso, nao acontecem

transições de estados "distanciados" como (i) para (i+k), (k

grande) ou o caso contrário. A observação das matrizes de fre-

quência absoluta dos dados dos rios Juquiá e Grande comprovam es

sa afirmativa (tabelas TAB 3.1/1,2,3 a seguir).

1 Nota do Prof. Nelson Maculan Filho - COPPE/UFRJ.

22.

RIO JUQUIÃ - OUT/MAR

ESTADOS J

I 1 2 3 4 5 6 7 8

1 169 50 9 o o o o o

2 57 790 169 36 3 1 o o

3 o 197 591 157 31 3 o o

4 o 4 201 484 124 34 o o

5 o o 11 166 268 76 7 o

6 o o o 11 103 202 39 o

7 o o o o 3 41 96 6

8 o o o o o o 5 19

1 RIO GRANDE ABR/SET -

ESTADOS J

I 1 2 3 4 5 6 7 8

1 17 5 14 o o o o o o

2 14 850 22 o o o o o

3 o 28 929 34 o o o o 4 o o 47 798 27 o o o

5 o o o 38 333 8 o o 6 o o o o 10 71 2 o

7 o o o o o 3 17 o 8 o o o o o o 1 18

TAB. 3.1.1 - MATRIZ DE TRANSIÇÕES (PIJ)

23.

RIO JUQUIÁ - OUT/MAR

ESTADOS K

I J 1 2 3 4 5 6 7 R

1 1 109 33 8 o 1 o o o

1 2 1 29 11 2 o o o o

1 3 o 1 4 3 1 o o o

1 4 o o o o o o o o 1 5 o o o o 1 o o o

1 6 o o o o o o o o

1 7 o o o o o o o o 1 8 o o o o o o o o

2 1 37 9 1 o o o o o 2 2 43 556 107 25 3 1 o o

2 3 o 25 83 4 2 8 2 o o

2 4 o 1 5 11 12 5 o o ~

2 5 o o 1 o o 2 o o

2 6 o o o o o 1 o o 2 7 o o o o o o o o

2 8 o o o o o o o o

3 1 o o o o o o o o

3 2 2 141 41 7 o o o o 3 3 o 126 376 79 15 o o o

3 4 o o 43 68 40 10 o o

3 5 o o 3 5 10 9 1 o

3 6 o o o 1 o 1 1 o

24.


ESTADOS K

I J 1 2 3 4 5 6 7 8

3 7 o o o o o o o o

3 8 o o o o o O', o o

4 1 o o o o o o o o

4 2 o 3 o o o o o o 4 3 o 39 129 32 4 1 o o

4 4 o o 102 335 57 16 o o

4 5 o o 1 36 62 28 3 o

4 6 o o o 1 4 19 10 o

4 7 o o o o o oc o o 4 8 o o o o o o o o

5 1 1 o o o o o o o 5 2 o o o o o o o o

5 3 o 1 7 3 o o o o 5 4 o 1 50 95 21 2 o o 5 5 o o 4 88 168 29 2 o

5 6 o o, o 1 16 54 5 o

5 7 o o o o o o 6 1

5 8 o o o o o o o o


6 3 o o o o o o o o 6 4 n 1 4 <; l n n n

=

RIO JUQUIÁ - OUT/MAR

ESTADOS K

I

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

8

8

J 1 2 3 4 5 6

5 1 o 2 39 54 9

6 o o o 6 70 113

7 o o o o o 10

8 o o o o o o

1 n o ro o o o ? n n o n n n

~ o o o o o o

4 o o o o o o

5 o o o 2 L. o

6 o o o 2 16 22

7 o o o o 3 32

8 o o o o o o

1 o o o o o o

2 o o o o o o

3 o o o o o o

4 o o o o o o

5 o o o o o o

6 n n o o o o

7 o o o o o 1

8 o o o o o o

TAB. 3.1,2 - MATRIZ DE TRANSIÇÕES (PIJK)

RIO JUQUIÁ

2 5.

7 8

1 o

20 o

27 2

o o

o o o n

o o

o o

o o 3 o

60 3

o 6

º" o

o o

o o

o o

o o

o o 5 o 6 13

26.

RIO GRANDE - OUT/MAR

ESTADOS K

I J 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 70 10 1 1 o o o o

1 2 o 13 o o o o o o

1 3 o o 3 o o o o o 1 4 o o o 1 o o o o

1 5 o o o o o o o o


1 8 o o o o o o o o 2 1 5 3 1 o o o o o 2 2 9 211 41 o o o o o

2 3 1 3 38 3 o o o o 2 4 o o o o o o o o 2 5 o o o o o o o o

2 6:, o o o o o o o o

2 7 o o o o o o o o

2 8 o o o o o o o o 3 1 1 o o o o o o o

3 2 o 35 2 o o o o o 3 3 o 34 480 56 o o o o

3 4 o o 5 54 3 1 o o 3 5 o o 1 o o o o o

3 6 o o o o o o o o

27.


ESTADOS K

I J 1 2 3 4 5 6 7 8

3 7 o o o o o o o o 3 8 o o o o o o o o 4 1 o o 1 o o o o o 4 2 o o o o o o o r, O

4 3 o o 52 4 1 o o o 4 4 1 o 52 687 63 2 o o

.

4 5 o o . o 11 50 10 o o 4 6 o o o 3 o 4 o o 4 7 o o o o n n n o 4 8 o o o o ' o o o o 5 1 o o o o o o o o 5 2 o o o o o o o o 5 3 o o 1 o o o o o 5 4 o o o 66 5 2 o o 5 5 o o o 63 559 44 1 o 5 6 o o o o 5 49 2 o 5 7 o o o o 1 o o o 5 8 o o o o o o o o 6 1 o o o o o o o o 6 2 o o o o o o o o 6 3 o o o o o o o o 6 4 o o o 2 o 2 o o


ESTADOS K

I

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

8

8

J l 2 3 4 5 6 7

5 o o o o 57 l o

6 o o o 2 52 337 17

7 o o o o o 7 13

8 o o o o o o o

l o o o o o o o

2 o o o o o o o

3 o o o o o o o

4 o o o o o o o

5 o o o o o l o

6 o o o o l 18 l

7 o o o o o 13 44

8 o o o o o o o

l o o o o Oé o o

2 o o o o o o o

3 o o o o o o o

4 o o o o o o o

5 o o o o o o o

6 o o o o o o o

7 o o o o o o 2

8 o o o o o o 2

...... ~ i::: ·, .. . ) ... ! ~' • .,; j- ... ,,,,

TAB. 3.1.3 - MATRIZ DE TRANSIÇÃO (PIJK)

( RIO GRANDE)

28.

8

o

o

o

o

o o

o o

o o

2

2

o

o

o

o o o

o 19

29.

3. 2 - OB.SERVAÇÃO SOBRE 'AS MATRIZES DE TRANSIÇÃO

Analisando as matrizes segundo os exemplos das tab~

las TAB. 3.1/1, 2, 3 podemos fazer as seguintes observações:

1. A matriz de la. ordem, apresenta valores consid~

ráveis nas evoluções dos estado (i) para os estados (j) = (i-2),

(i-1), (i), (i+l) e (i+2) sendo muito pequena ou nula a ocorren

cia de evoluções para os demais estados. Isso se deve ao fato

de não haver grandes alterações nas vazões diárias dos rios a

qui analisados.

2. A matriz de 2a. ordem só apresenta valores consi

deráveis nas transições do estado (i) para os estados (j) = (i-1)

(i) (i+l) e (k) = (i-2), (i-1), (i), (i+l) e (i+2). Dai se con

clui que as variações bruscas atendendo aos limites referidos no

item 2, dificilmente ocorrem por três dias consecutivos e que os

picos de cheia são atingidos ou decrescem de forma lenta.

3. Em ambos os casos citados, o maior valor de Fi

corresponde ao elemento p .. (i = j) e p. "k (i = j = k). l.J l.J

4. Do item 1 constatamos que nem todos os estados

se comunicam na matriz de uma etapa. Foi verificado entretanto,

que na 3a. etapa, isso deixa de ocorrer (todos são comunicantes)

3 O •.

de forma que podemos tratar a cadeia como irredutível e pesqui

sar uma distribuição estacionária Única para a mesma.

5. Para o processo de 2a. ordem, surge uma dificul

dade; alguns pares de estado nunca ocorrem. Temos assim, na ma

triz de transição, linhas e colunas correspondentes nulas, ou se

ja:

Se (i j) nao ocorre temos

P··k = Pk·· = O para todo k. J.J J.J

Devemos então, eliminar estas linhas e colunas; um

modo prático de efetuar isto é dar probabilidade inicial zero a

esses pares de estados.

Isso nao afeta os resultados pois a probabilidade

... ~ ""!.2. \ -,· r-,-i;.;.' 'r'' '•. ~ ... na n-esima etapa sera:

para todos os pares (i j) que nao ocorrem.

Testando a matriz assim reduzida, esta mostrou-se

irredutível donde a distribuição estacionária é Única.

31.

3.3 - SUCESSÃO HIDROLÕGICA COMO CADEIA IRREDUTÍVEL DE MARKOV

Consideremos o comportamento do vetor distribuição

de probabilidade absoluta P~n) para n grande. J

Se

lim n~

P~n) J

= u. J

j t s

onde

gÓdica.

u. é um vetor constante, diz-se que a cadeia é erJ

Da mesma fórma para

lim n~

p~i:1) l. J

= u .. l.J

no caso de processo de 2a. ordem.

i ,j ( s

Considerando então a cadeia como ergÓdica e fazen

do n~00 nas equaçoes:

(n) P· =

J

(n) p ..

l.J

obtemos os vetores

=

, (n-1) l pk k

í k

u. l.

u .. l.J

= l k

32.

( 3 • 3)

uk. · pk · ' l. l.J (3.4)

Um vetor que satisfaz a equaçao (3.3) é denominado

vetor distribuição estacionária do processo de la. ordem; satis

fazendo a (3.4), tem-se o vetor distribuição estacionária do

processo de 2a. ordem. Neste ponto, a cadeia atinge a denomin~

qa distribuição limite que é Única nos processos markovianos

irredutíveis como o aqui tratado.

3.4 - CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO ESTACIONÁRIA DA SÉRIE DE VAZÕES

A fim de operar as equaçoes (3.3) e (3.4) tomou-se

para vetor distribuição inicial

onde

ordem.

(o) 1T •

l.

1 p. = - (n = numero de estados) no processo de la. l. n

Para o processo de 2a. ordem levando em conta os

pares (i j) que nao ocorrem o vetor distribuição inicial será:

(o) 1T • • =

l.J

33.

Sendo

para as linhas nulas e

p. ~ o) = l l.J s ( 3. 5)

no caso contrário, onde s ~

= numero de pares de estados que ocor-

rem.

Consideramos estacionários os vetores

a. l.

= p~n) l.

e a .. l.J

= P~i:1) tais que: l.J

IP~n) - P~n-l)I ~ 0.001 l. l.

IP~i:i> - p~i:i- 1 >1 ~ 0.001 l.J l.J

respectivamente para os processos de la. e 2a. ordem.

(3.6)

Neste Último, a distribuição estacionária absoluta

~

de acordo com (2.18) e

r a. = l a ..

J i=l l.J (3.7)

Os resultados obtidos para os vetores distribuição

estacionária, compõem a tabela TAB. 3.4 a seguir. Observa-se

que estes vetores são muito próximos para as duas distribuições

34.

em cada período observado, como era de se esperar.

A Última linha da tabela se refere ao número deite

raçoes necessárias para atingir a estacionaridade. Em todos os

-casos o valor de n e menor no processo de 2a. ordem como se veri

fica na tabela referida.

35.

RIO JUQUIÁ RIO GRANDE

ESTADOS OUT/MAR ABR/SET OUT/MAR ABR/SET

PIJ PIJK PIJ PIJK PIJ PIJK PIJ PIJK

1 0.045 0.039 0.081 0.083 0.016 0.014 0.061 O. 06.

2 0.221 0.217 0.281 0.294 0.074 0.077 0.306 0.308

3 0.227 0.235 0.347 0.348 0.188 0.190 O. 312 0.314

4 0.212 0.222 0.162 0.156 0.280 0.281 0.223 0.222

5 0.140 0.145 0.075 0.068 0.239 0.238 0.076 0.073

6 0.098 0.094 0.032 0.030 0.155 0.154 0.015 0.016

7 0.044 0.039 0.015 0.015 0.029 0.029 0.003 0.002

8 0.009 0.006 0.003 0.003 0.015 0.013 0.001 0.000

valor de n 28 23 39 34 34 31 89 85

TABELA 3.4 - DIST. ESTACIONÁRIA

36.

3.5 - TESTES DA DISTRIBUIÇÃO DAS LINHAS DAS MATRIZES DE TRANSIÇÃO

Determinadas as frequências absolutas das evoluções

do estado i (processo de la. ordem) ou (i j) (processo de 2a. or

dem) para qualquer dos outros estados, formam-se séries de fre

quência Fi correspondentes as linhas da matriz markoviana para as

quais pesquisamos uma distribuição teórica.

Assim, a simulação da sequência histórica se

através de um modelo probabiÍÍstico conhecido.

faria

Com essa finalidade os seguintes testes foram reali-

zados:

3.5.l - Teste da Normal

Calculados os coeficientes de assimetria e curtose

da sériee(X., F.), através do método dos momentos, verificou-se a · 1 1

simetria e o achatamento da curva. Admitindo-se um erro de 10%,

a curva seria normal se

[ASj ~ 0.1

jCURTI ~ 0.1

e neste caso a frequência relativa teórica é dada por:

3 7.

1 exp lãir 0 x

1 [- ½ (x::x rJ ( 3. 8)

onde ux e ºx sao respectivamente a média e o desvio padrão da

série particular analisada, calculados a partir do primeiro e

segundo momento.

3.5.2 - Teste da Lognormal

Se o logaritmo da variável aleatória tem uma dis

tribuição normal e se essa variável apresenta uma distribuição

assimétrica positiva, tem-se a denominada distribuição lognor -

mal.

Com base nessa definição, consideraremos lognormais

as séries de frequência para as quais se tenha:

AS > O

j ASL j ~ O. 1

j CURTL 1 ~ O • 1

Onde AS é o coeficiente de assimetria da variável aleatória;

~ - . . ~

ASL, essa mesma caracteristica,-, relativa ao logaritmo desta va

riável e CURTL o coeficiente de curtose da variável logarítmiz~

da.

38.

As frequências relativas teóricas para este caso,

sao dadas por:

ra as quais

é inteiro.,

l l = V(logx) lã-rr"

2

[ - .!_(logx - E(logx)) J 2 V(logx)

( 3. 9)

3.5.3 - Teste da distribuição gama

Terão distribuição gama as séries de frequência pa-

k = [E(X)] 2 V(X)

,

Como a distribuição gama tende assintoticamente pa

ra a distribuição normal quando k cresce [31 consideraremos esse

tipo de distribuição se:

sendo

dadas por:

(k - Cl) ~ 4

(l = E(X) V(X)

Neste caso as frequências relativas teóricas serao

k-1 -ax X e (k-1)!

39.

(3.10)

3.6 - RESULTADO E CONCLUSÕES DOS TESTES

Foram analisadas, de acordo com a teoria exposta em

3.5, todas as linhas das matrizes de la. ordem e as linhas prin

cipais das matrizes de 2a. ordem ou seja as linhas (i, i-l)(i,i)

e (i, i+l) que apresentam valores consideráveis (ver TAB. 3.1.1

. e TAB. 3.1.2). Nas tabelas TAB. 3.6.1, 3.6.2 e 3.6.3 se encon -

-tram •os valores dos quatro primeiros momentos centrados na

dia, dos parâmetros desvio padrão, coeficiente de assimetria

me-

e

curtose para as variáveis X e logx (relativas aos estados)

da distribuição sugerida para cada linha analisada.

além

Podemos observar que as séries de frequência nao

.obedecem a nenhuma distribuição teórica pesquisada. Em vista

disso, empregamos funções empíricas para as simulações tratadas

nesse trabalho, como está descrito no parágrafo 3.7.

RIO JUQUIÁ -SÉRIE DE MOMENTOS X FREQUÊN-CIA la.or. 2a.or ..,a. ar. 4a. or DP AS CURT

1 1.183 0.162 0.126 0.147 0.403 1. 934 2. 5 9:

2 2.058 0.173 0.066 0.233 0.416 0.916 4. 77:

3 3.066 0.235 0.165 0.641 0.485 1.444 8. 54:

4 3. 9 3 3 0.329 0.140 O. 70 9 0.573 0.741 3. 54:

5 4.883 0.521 0.152 1. 005 0.722 0.403 O. 6 9,

6 6.644 0.547 0.076 0.746 0.740 0.189 -o. 51]

7 6.633 0.485 0.047 0.618 0.696 0.140 -0.377

8 7.571 0.244 r-0. 034 0.064 0.494 ..-0.288 t-1.916

TAB. 3.6.1 - PARÂMETROS DAS LINHAS PIJ

ABR/SET

LOG(X)

DP AS

2.593 1. 771

0.211 t-l.052

0.157 r-0.231

0.144 r-0.111

0.148 r().138

0.111 r-0. O 6 8

0.105 r-0 .123

- -

CURT

1. 353

5.363

4.258

1. 317

0.468

-0.370

0.248

-

DISTRIBUIÇÃO

SUGERIDA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

ç o

RIO GRANDE - ABR/SET SÉRIE DE

MOMENTOS X LOG( X) DISTRIBUIÇÃO FREQUÊN-CIA

la.or. 2a.or. 3a.or. 4a.or DP AS CURT DP AS CURT SUGERIDA .

1 1. 074 0.068 : O; 051 0.054 0.261 ,3:25: 8.580 0.181 : 3; 2 52 8.580 EMPIRICA

2 2.009 0.040 o. oo · 0.040 0.201 O. 9 7. 21.510 0.108 -2.835 2 8599 EMPIRICA

3 3.006 0.062 0. 0 Ü 1 0.062 0.250 o. 311 12.960 0.086 -1. 592 14 .72 O EMPIRICA

4 3.977 0.084 -0.017 0.083 0.290 -0.69! 8 •. 672 - EMPIRICA - -5 4.920 0.115 -o. 05. 0.100 0.339 -1. 311 4.604 EMPIRICA - - -6 5.903 b.135 -0.056 0.115 0.367 -1. 132 3.295 EMPIRICA - - -

.7 6.850 J.12~ -0.089 0.078 0.357 -1.960 1. 843 - EMPIRICA - -8 7.947 ).049 -0.044 0.042 O. 2 2 3 -4.006 14D05 - - - EMPIRICA

TAB. 3.6.2 - PARÂMETROS DAS LINHAS PIJ

JUQUIÁ ,,

RIO - OUT/MAR SÉRIE DE MOMENTOS X LOG(X) DISTRIBUIÇÃO FREQUÊN-CIA SUGERIDA

1 1. 350 0.413 0.587 1. 615 0.642 2.213 6.461 0.370 1. 352 0.636 EMPIRICA

2 2.325 0.359 0.219 Q.497 0.599 1. 019 0.860 0.247 0.070 1.543 EMPIRICA

3 1. 234 0.221 0.193 0.275 0.470 1. 848 2.593 0.305 1.560 0.811 EMPIRICA

4 2.172 0.368 0.360 1.111 0.607 1. 608 5.171 0.266- -0.195 2.893 EMPIRICA

5 3. 243 0.671 o. 3 3 7 1.658 0.819 0.613 0.674 0.253 -o J.4 6 --0.118 EMPIRICA

6 2.277 0.294 0.230 O. 413 0.542. 1.441 1. 759 0.216 0.697 1.766 EMPIRICA

7 2.971 0.443 0.160 0.762 0.666 0.542 0.872 0.226 --OJ.91 -o.o 6 6 EMPIRICA

8 4.105 0.752 0.238 1.358 0.867 0.265 1-n s oi n ?11 ln nni l..n _qii; EMPIRICA

9 3.019 O. 46 7 0.226 1. 034 0.684 0.706 1. 726 0.226 --0.157 0.201 EMPIRICA -

10 3. 974 O .436 0.196 0.832 0.660 0.679 1. 364 0.163 0.041 0.384 EMPIRICA

11 4.969 O. 614 0.118 0.995 0.783 0.245 -0.36 2 0.158 -OJ.24 --0.399 EMPIRICA

12 3. 84 O 0.465 0.102 0.697 0.683 0.324 0.219 0.179 --0.2 O 3 0.001 EMPIRICA

13 4.783 0.437 0.036 0.638 0.661 0.126 0.332 0.140 --0 .3 4 3 0.365 EMPIRICA

14 5.828 0.299 -o.o O 9 0.370 O. 54 7 -0.555 1.130 - - - EMPIRICA

SÉRIE DE FREQUÊN-CIA la.or.

15 4.660

16 5.703

17 6.794

18 5.604

19 6.642

20 -~( 1 21 -'

22 7.684


MOMENTOS X LOG(X)

7a.or. 3a.or. 4a.or. DP AS :::URT DP AS

J.601 -0.310 2.469 0.775 .... 0.664 3.823 - -J.457 -0.035 0.598 0.676 -0.115 -0.14 - -p.265 -0.033 0.211 0.515 i-0.24: o.ao - -p.471 ,-Q.053 0.635 0.686 -o. 16 l -o .141 - -

.352 r0.118 0.392 0.593 -0.565 O. 16' - -- - - - - - - -

- - - - - - - -J. 216 r-0.079 J.076 0.464 -0.792 -1.13' - -

TAB. 3.6.3 - PARÂMETROS DAS LINHAS PIJK

~URT

------

--

DISTRIBUIÇÃO

SUGERIDA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

EMPIRICA

AMOST.INSUFIC.

AMOST.INSUFIC.

EMPIRICA

.je w .

44.

3.7 - SIMULAÇÃO ATRAVÉS DOS MODELOS DE la. e 2a. ORDEM

3.7.1 - Modelo de la. ordem (PIJ)

Construída a matriz markoviana a partir das frequê~

cias de transição de estados, utilizando-se as 23 primeiras se

quências dos períodos "seco" e "molhado" do ano hidrológico, to

ma-se a função de probabilidade acumulada

sendo it o estado de partida, correspondente ao primeiro dia da

24a. sequência histórica (a ser simulada). Através da subrotina

RANDU gera-se um número aleatório r no intervalo [o ,1] o qual,

segundo o esquema seguinte, fornece o estado simulado it+l"

Q..___ _____ _,_ _______ Estados

45.

~

O processo e repetido tomando-se a

(n = 2,3, ... ) (3.11)

3.7.2 - Modelo de 2a. ordem (PIJK)

Segundo as mesmas considerações do item anterior, to

ma-se a função das frequências relativas acumuladas

sendo it-l e it os estados de partida correspondentes aos

primeiros dias do período a simular.

dois

Determinado o estado it+l (simulado), repete-se o es

quema utilizando a função

(3.12)

No Apêndice se encontram os diagramas de blocos e

listagens respectivas dos programas relativos a cada processo a

qui tratado.

IV. ESTUDO COMPARATIVO DAS SÉRIES REAIS

E SIMULADAS

4.1 - SÉRIES REAIS E SIMULADAS

46.

Com a finalidade de comparar os resultados obtidos

através dos modelos descritos no item anterior, com as sequên -

cias reais de cada período observado, utilizou-se ,curvas de

frequência relativa acumulada de cada série .. tomada.

Para os dados reais, considerou-se uma curva de

... . . . - ... frequencias de estados, relativa a todas as repetiçoes do peri~

do ao longo dos 25 anos e outra relativa a Última ou seja, a se

Quanto aos dados simulados, tomou-se a frequência

média de 15 repetições do período simulado.

Todos esses resultados foram plotados juntamente

com as curvas de distribuição estacionária, formando os diagra

mas·D-4.2/1,2,3,4 que se seguem.

1 • O

O. 8

0.6

0.4

O. 2

1. o

O. 8

O. 6

0.4

O. 2

1 • O

O. 8

O. 6

0.4

O. 2

+

2 3 4

•

2 3 4

X

• 2 3 4

• • . .

_ V.ü,-t:. e4,t;ac.. PIJ

5

+

5

5

+ SêlÚe S-i.mul. PIJ

6 7 8

- V-i.4-t:. E4-t:ac.. PIJK + S ê11.-i.e S-i.mul. PIJK

6 7 8

_V,i,4,t;.25 ano4 + V-i.4t. e4-t:ac.. PI J

, V-i.4Z.E4tac.. PIJK x V-i.4-t:. 6 me4e4

6 7 8

D-4.2.1 - RIO JUQUIÁ - OUT/MAR

47.

1 • O

O. 8

0.6

0.4

O. 2

1 • O

O. 8

O. 6

O. 4

O. 2

1 • O

O. 8

O. 6

O. 4

O. 2

1

1

D-11.2.2 -

+

+

2 3 4

2 3 4

+

X

+

X

2 3 4

RIO JUQUIÁ

•

5

5

5

Vi4t. E4tae. PIJ + sé~ie Simul. PIJ

6 7 8

Vi4t. E4tae. PIJK

+ sé~ie Simul. PIJK

6 7 8

- Vi4t. 25 Q/!04

+ Vi4t. E4tae. PIJ • Vi4t. E4tae. PIJK X Vi4t. 6 me4 e4

6 7 8

- ABR/SET

118.

1 • O

0.8

0.6

0.4

O. 2

1 • O

O. 8

O. 6

O. 4

O. 2

1 • O

0.8

0.6

O. 4

O. 2

2

2

2

D-4.2.3 - RIO

+

+

3 4

3 4

t X

"

3 4

GRANDE

s

s

• .. X

s

+

v.u,t. Ea ta.e.. PIJ + Sê1t.i.e S.i.mul. PIJ

6 7 8

_V.i.a:t. Ea:ta.c.. PIJK +Sêlt.i.e S.i.mul. PIJK

6 7 8

V.La ;t. 25 a.noa + V.La:t. E ata.e. • PIJ • V.i.a;t. E ata.e.. PIJK x V.i.a:t. 6 meaea

6 7 8

- OUT/MAR

49.

1. o

O. 8

O. 6

0.4

O. 2

1 • O

O. 8

0.6

0.4

O. 2

1. o

O. 8

0.6

0.4

O. 2

1

1

D-4.2.4

+

2

+

2

X

2

-

+

...

3 4

+

3 4

...

í

~

.3 4

RIO GRANDE -

...

5

5

+

5

Vi4t. E4tac. PIJ + Sé/Úe. Simu.l. PIJ

6 7 8

- Vi4t. E4tac. PIJK + Sél!Á.e. Simu.l. PIJK

6 7 8

- Vi4t. 25 ano4 + Vi4t. E4tac. PIJ • Vi4t. E4tac . PIJK X Vi4t. 6 me.4 e.4

6 7 8

ABR/SET

5 O.

51.

4.3 - CONCLUSÕES

A análise dos diagramas 4.2/1,2,3,4 permite as se

guintes conclusões:

1. As distribuições estacionárias se aproximam bas

tante da distribuição de 25 anos, comprovando que as séries de

vazões diárias, se comportam como processos markovianos. Vale

observar que essa aproximação é muito melhor para o rio Juquiá

do que para o rio Grande. Um estudo mais detalhado das razoes

disto foge no entanto, as finalidades deste trabalho.

2. Em ambos os processos, a frequência relativa me

dia das séries simuladas, tende para a distribuição estacioná -

ria admitindo-se então que as 15 simulações tomadas sao sufici

entes para alcançar um bom ajustamento. Nota-se também que o

desvio é mais acentuado para o rio Grande. Isto se liga a len

tidão da convergência para a distribuição estacionária (aproxi

madamente o dobro das iterações requeridas para o rio Juquiá no

pior caso), e deve ser levado em consideração em qualquer simu

lação para fins de planejamento.

3. O processo de 2a. ordem dá melhor ajustamento

em relação aos dados reais para,todos os períodos observados ou

seja, as vazões dos rios aqui estudados, comportam-se melhor co

52.

mo processo desta ordem.

4.4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esse estudo permite simular vazoes diárias de perí2

dos variados, sendo suficiente, para isso, alterar as condições

iniciais, relativas ao período observado (ver Apêndice).

Seu emprego segundo [2] é conveniente a modelos pa

ra operaçao de reservatórios podendo ser Útil também a complemen

tação de séries históricas.

A fim de facilitar a compreensao dos programas uti

lizados, àqueles que desejarem utilizar esse estudo, apresenta

mos os Apêndices A e B contendo respectivamente os diagramas de

blocos e listagens correspondentes.

FORMACAO DE ESTADOS

PERIODO OBSERVADO

CONDIÇOES INICIAIS

LAG 1 = 2 73 PERC=1.35 NEST=B NDSMU=180

LEITURA DAS

VAZOES REAIS

SEQUENCIA DAS VAZOES PER~O OBSERVADO

N 3 = O N4 = O N ANOS=NANOS-1

N =1, NANOS

1 4 5

53.

N1 =(N-1) • 365 + LAG1

N3= N 3 + 1

N 3 = O

54.

)--- N 2 = N1 + NDSMU

N1 = N1 + 1 N2 = N11- NDSMU.

1 = N1,N2

145

N4=N4+1 Q(N4)= Q(I)

MAXIMOS E MINI MOS

VAZOES. REAIS

NO =N4

NV=1

I=1,NO

115

S(l)=Q(I)

All,1) = Q(I)

SUBROUTINE

TALLY

VAZÓES

MINIMA E MAXIMA

FORMAÇAO DOS

ESTADOS

LA G 2';,~ E S T

LAG3=NEST-1

55.

Al (1 )=PERC~VM I N(1

A1(1l=PERC,tA1 CI-1 l

ESTADQ.S E VAZOES

CORRESPOND.

SEQUENCIA DE

ESTADOS

1 =1 ,LAG2

10

A2 ( 1 ) = FLOA T( 1)

56.

1 = 1 ,N4

1 42

J = 1, LAG3

135

Q(ll=A2(J J ...

5 7.

>

w

TRANSICAO DE ESTADOS PIJ K

l=l, LAG J=1,LAG2 '1-----

K=11LAG2

SNU,Jl=0. ,__ ___ _J

P(I J,Kl=-0.

11 = o NANOS=NANOS-1

12=1, NAN 849

1 I= 11 + 1 QUl= Q( 11 l

LDADO=NDOBS-

58.

I= 1 + 1

J=J +1

K== K+1

>

P(l,J,Kl=P(I,J,K l+1.

59.

MATRIZ TRANS.

ESTADO

-SIMULA Ç A O PI J K

ESTADOS PARTIDA

N5=N4-NDOBS L=Q(N5+1l M=Q(N5+2l

MATRIZ MARKOVIA

= 1,LAG J = 1,LAG2 >------,

= 1 LAG '

SN( 1,Jl=SN(l,J l+P( 1,J,Klt----~

1= 1, LAG2 r----~ J=1,L AG2

K=\LAG2

P(l,J,Kl=P(l,J K l/SN(l,J l

60.

I=1,LAG2 J=1,LAG2

. K=1, LAG2

P 1 ( I,J 1K l = O.>------~

l-=1,LAG2 J:1

7 LAG2

K=1 1 LAG2 >--------1

K1 = K

KK:1, K1

P1 ( l,J, K) == P1 ( l ,J,K J + P ( 11 J ,KK)>--~

61.

SIMULACAO 1 5

PERi O DOS

IJ=1,15

Jó2

I=1,NEST

. L 1 =0

1 = 1,NDSMU

36 O

UBROTINA

RANDU

62.

<

L1=L1+1 SIMUL (L1l=A1 (N) FES(Nl:FES(Nl+1 L=M . M=N

DADOS SIMULADOS

I::1,NEST

FE S (1 ):: FES (1 J / NDSMU t-------'

FREQ. REL.

EST. SIM UL.

63.

64.

~ , TESTES DE DISTRIBUlç.OES JEORICAS

l =1,NES T

X< 1 l = 1 XL{ll =ALOG{X{lll

N SE RS-2?>------------,

CALLEXIT

LINHA

DA MATRIZ

I=1,NEST

F T OT = FT OT + F R EQ{ 1 l t------'

~ NUMERO FTOT-10 )-.:__-----j lNSUF. DE

PONTOS

GO TO 803

MOMENTOS

I=1,LAG2 >------

RMO(Kl"RMO(Kl1-FRE:Q(ll X(1J1-~

02=1, /FTOT RMO(Kl== Q2il<RMO(Kl

XMED == RMO(Kl

RM O (K b O.

l=:1 1 LAG2

RMO(Kl= RMO!Kl+FR EQ!I l/'FT or..:1X'!1 l.:XME:Dlo· K i---~

65.

DP=SQRT(RMO( 2 ll AS=RMO(3l/ op, .. 3 CURT= (RMO!<íl/OP..-<íl

AS-0.1

K :::.1 RMO(Kl:0.

I=1,LAG2

<

RMO(Kl=RMOIKl+FREQ(ll * XL(l l

66.

D IS T.

NORMAL

GO TO S03

RMO(KJ:J, / FT OT.,.RMOO<J XMEDL= RMO(Kl

RMO(Kl=O.

1= 11 LA G2 >------------...-.

RM O (Kb RMO (KJ+ F R EQ (1 )/ FTOT( XL ( 1 J-XMEDL J,11"' K

DPL=SQRT ( RMOL( 2 JJ ASL=RMOL (3)/ DPU•*3 CURTLco.(RMOL( J/DPL>r..;,.4)-3

D IS T.

LOGNORMAL

GO TO 803

67.

RK=RMO(1),,..,.2 / RMO (2) RA=RM O (1 )/ RMO (2)

<

1 F I X ( R Kl -4 ,-....::~s._ __ __,

D IS T.

EM PI RICA

~O TO 803)

D IS T.

GAMA

GO TO 803

68.

69.

C PRCCESSO OE SEGUNDA ORDEM C FORMACAC CA SERIE CE ESTADOS e

CIMENSION C(9140l,Al(lOl,A2(101,P(l0,10,10l CIMENSJON SN(10,101,Pl(10,10,10l,S1MUL(l85.l,FES(l01 ClMENS!ON A(4600,ll,S(46COl,TOTAL(ll,AVER(ll,SD(ll,VMIN(ll D IMENS ION VMAX Ili

e C RIC GRANDE C PERICCO OBSERVACC - ABR/SET e C CONCJCOES INICIAIS

PERC=l.35

e e

LAG1=90 I\EST=8 I\DCBS=l82 NDSMU=l80 I\Al\·CS=ZS NAEIS=6

C LEITURA CAS VAZOES REAIS e

I\CADO=NANOS*365+NABIS I\MES=l2*NANOS I=O 1\ A= 1 DO 100 N=l,NMES f\A=NA+I f\B=NA+l5 I\C=NA+l6 tlD=NA+30

l 00 R E A O ( 8 , 1 O 5 1 1 Q I J l , J=NA, N B l , 1 , 1 Q ( J l , J =NC , NO 1 105 FORMAT(l6X,16F4.0,/,12X,I2,2X,16F4.0I e C SERIE CGS PERJOCOS OBSERVADOS e

1\3=0 t\4=0 NANOS=f\At\CS-1 CC 145 N=l,NANCS tll=(N-ll*365+LAG1 N3=N3+ l IFIN3-41132,132,131

131 J\'3=0 I\Z=Nl+NOOBS GOTO 133

132 Nl=Nl+l l\2=Nl+NOOBS

133 f\l=Nl+l CO 145 I=Nl,NZ l\4=N4+1 Q(N4l=C'(ll

145 CONTINUE e C CETERMINACAO 00 MINIMO E MAXIMO DAS VAZOES C REAIS DO PER!OCO OBSERVADO e

r-!O=N't !\V=l CO 115 I=l ,NO S(IJ=Q(II

115 All,l)=QCIJ CALL GALLYCA,S,TOTAL,AVER,SD,VMIN,VMAX,NO,NV) WRITE(S,120} VMIN(ll,VMAX(ll

70.

120 FCRMAT(20X,'VAZOES EXTREMAS DO PERIOOO OBSERVA00 1 ,//,20X, *'VMIN=',F6.0,10X,'VMAX=',F6.01

e C FORMACAO DOS ESTADOS 00 PER!ODO OBSERVADO e

LAG2=1\EST LAG3=NEST-l Al(ll=PERC*VMIN(l.) CD 9 I=2,LAG2

9 Al(ll=PERC*Al(J-ll W R IT E ( 5 , 1 1 1 l ( I , A 1 ( l l , I = 1 , L /1 G 2 )

111 FORMAT(///,10X,'ESTAD0S',5X,'VAZOES CORRESPONDENTES',//, *Cl3X,12,13X,F6.0,/ll

e C PASSAGEM DA SERIE OE VAZOES PARA A DE ESTADOS e

CD 130 l=l,L/IG2 13C /l2(IJ=FLO/IT(l)

CC l't2 !=1,N't 00 135 J=l,LAG3 !F(QCll-Al(Jl)l't0,140,135

135 CONTINUE 140 Ç(J)=A2(J) 142 CONTINUE

C ALGORITIMO DAS FREQUENCIAS DE ESTADOS - PlJK c C ESTADOS DE PARTIDA

N5=N4-l\'CGBS L=QIN5+1) 1"=Q{N5+2) \;RlTE{S,lC6)L,M

106 FGRMAT{/,2CX,'ESTAOO L=',15,SX,'ESTAOO M=',151 DO 150 I=l,LAG2 DO 150 J=l,LAG2 SN{I,J)=O. DO 150 K=l,L/lG2

150 F{l,J,Kl=O. II=O NANOS=N./>NOS-1 CO 849 12=1,N/lNOS CC 848 J=l,NOOBS I l=II+l C(Jl=i;(IIl

848 CONTINUE LDADO=NDCBS-2 00 850 N=l,LCACO !=O

805 I=I+l IF{C!Nl-Il81C,810,8C5

810 J=O 815 J=J+l

IFIQ(N+l)-Jl830,830,815 830 K=O 835 K=K+l

IF{Q(N+2)-Kl84G,840,835 840 P(I,J,Kl=P(J,J,Kl+l 850 CONTINUE 849 COI\TINUE

wR lT E { 5 , 8 5 5 l ( ( { P ( 1 , J , K l , K = 1 , LA G 2 l , J = l , LA G 2 l , I = l , L AG 2 l

71.

855 FORMAT{///,20X, 1 FREQUENCIA DAS TRANSICOES',//,(10X,8F6.0,/)J

C s1,uLACAO ATRAVES DO MODELO DE 2A. ORDEM - PIJK e C CALCULO DA ,ATRIZ MARKOVIANA e

CO 215 l=l,LAG2 DC 215 J=l,LAG2 CO 215 K= 1, LAG2

215 SN!I,Jl=SN(l,Jl+P(I,J,Kl DC 260 I=l,LAG2 CO 260 J=l,LAG2

J l F l SN ( I ,J) l 245,240,245

240 GC TO 260 245 DO 250 K=l,LAG2 2 5 C F ( I , J , K l = P l I , J , K l / SN ( I , J l 260 CONTINUE C DADOS REAIS DO PERIODO OBSERVADO e

l\5=N5+2 CO 87 8' I=N5, N4 CO 876 J=l,LAG2 IF( IFIX(Q( Il )-J)877,877,87é

876 CONTINUE 877 Q!I)=Al(.JJ 878 COf\TINUE

WRITE!5,901JII,QIIJ,I=N5,N4l 901 FCRMAT!'l',40X,'VAZOES REAIS 1 ,///,5(5X,I4,F8.0,7Xll e

IX=l CC 300 I=l,LAG2 DO 300 J=l,LAG2 CO 300 K=l,LAG2

300 Pl(I,J,K)=O. DO 315 I=l,LAG2 CO 315 J=l,LAG2 IF(SN!I,Jl )315,315,310

310 CO 314 K=l,LAG2

CQ 314 KK=l,Kl Pl( I,J,KJ=Pl( I,J,K)+P( I,J,KKJ

314 CONTINUE 315 CQNTINUE

72.

C SIMULACAO OE 15 PERIODOS - PIJK e

CO 362 IJ=l, 15 ll=O CO 316 I=l,NEST

316 FES(Il=O, CO 360 I=l,NOSMU CALL RANDU(IX,IY,YFL) IX=IY Xl=YFL CO 335 N=l,LAG2 IF(Pl!L,M,NJ-Xll335,340,340

335 CCNTINUE 340 Ll=Ll+l

e

SIMULILll=AllNJ L =M

C FREQUENCIA DOS ESTADOS SIMULADOS FES(~)=FESINJ+l.

360 CONTINUE e C SAIOA CDS DADOS SIMULADOS e

WRITE15,365J(K,SIMULIK),K=l,NOSMU)

73.

365 FORMAT('l',40X,'VAZOES SIMULADAS',///,5(5X,I4,F8.0,7Xl) CO 361 1=1,NEST

361 FES(I)=FES(l)/FLOAT(NDSMUJ WRITE!5,13l)(K,FES(Kl,K=l,NESTJ

131 FORMAT(///,20X, 1 FREQ. RELATIVA DOS ESTADOS SIMULADOS', *//,(30X,J3,5X,F6.3))

362 CONTII\UE CALL EXIT ENC

C ALGORITI~O DAS FREQUENCIAS DE ESTADOS - PIJ .e C ESTADOS OE PARTIDA

N5=N4-I\DOBS l=Q(N5+ll WRITE(5,106ll

106 FCRMAT(/,20X,'ESTACO L=',151 DC 30 I=l,LAG2 SN{Il=O. DC 30 J=l,LAG2

30 PI [.,J)=O. II=O ~AI\CS=NANOS-1 CO 849 12=1,NANCS CC 848 J=l,NDOes II=Il+l Q(Jl=Q{ll]

8'18 CONTINUE LDACC=NDOBS-1 CO 850 N=l,LCACO I=O

805 [.=[+l IF(Q(Nl-!)810,810,805

810 J=O 815 J=J+l

IF(Q(N+ll-JJ830,830,815 830 P(I,Jl=P{I,Jl+l 850 CCI\TII\UE 849 CONTINUE

WRITEl5,855J{{P{l,Jl,J=l,LAG2l,I=l,LAG2l

74.

855 FDRMAT{///,ZOX,•FREQUENCIA DAS TRANSICOES',//,110X,8F6.0,/ll

C SIMULACAC ATRAVES CO MODELO DE lA. ORDEM - PIJ c C CALCULC DA MATRIZ MARKOVIANA c

DC 80 1=1,LAG2 CO 80 J=l,LAG2

80 SN(ll=SN(Il+P(I,Jl CC 85 I=l,LAG2 IF(SN( I l )85.,85,83

83 CO 85 J=l,LAG2 P(l,Jl=P(I,J)/SNlll

85 CONTINUE c C DADOS REAIS DO PERIODO SIMULADO e

~5=N5+2 DC 878 I=N5,N4· CD 876 J=l,LAG2 l F ( I F IX l Q ( I l l - J l 877,877, e 7 é

876 CONTINUE 877 ~(ll=Al(Jl 878 CONTINUE

WRITE(5,90ll(I,Q(I),I=N5,N4) 901 FORMAT('l',40X,'VAZOES REAIS',///,5(5X,I4,F8.0,7X)l

l X= 1 DO 6 I=l,LAG2 CC 6 J=l,LAG2

é Pl(I,Jl=O. CD 12 I=l,LAG2 IF(SN( Il 112, 12,7

7 CC 12 J=l,LAG2 Jl=J CO 11 KK=l,Jl

11 PllI,:Jl=Pl(I,J)+P(I,KKl 12 CCNTINUE

75.

C SIMULACAO CE 15 PERIODOS - PIJ e

CO 28 IJ=l,15 CC 13 I=l,NEST

13 FES ( I J=O. Ll=O CC 26 I=l ,NOSMU CALL RMiCU(IX,IY,YFL) IX=IY XI=YFL CC 17 J=l,LAG2 IF(Pl(l,J)-Xlll7,21,21

17 COl\'TINUE 21 ll=ll-+l

e

SIMUL (Ll l=Al!J l L=J

C FREQUENCIA DOS ESTADOS SIMULADOS FES(Jl=FES(Jl+l.

26 CONTINUE e C SAICA CCS CADOS SIMULACOS e

WRITE(5,365)(K,SIMUL(Kl,K=l,NCSMU)

76.

365 FORMAT('l',40X,'VAZOES SIMULADAS',///,5(5X,I4,F8.0,7X)l CG 27 I=l,NEST

27 FES(Il=FES(Il/FLOAT(NOSMU) WRITE(5,131J(K,FES(Kl,K=l,NESTl

131 FORMAT(///,20X, 1 FREQ. RELATIVA DOS ESTADOS SIMULADOS', *//,(30X,I3,5X,F6.3))

28 CONTINUE CALL EXIT EI\C

I

C TESTES ESTATISTICOS DAS DISTRIBUICOES TEORICAS c

FTGT=O. CO 234 I=l,LAG2

234 FTCT=FTOT+FREQ(Il IF(FTCT-10.1236,236,238

23é WRITE(S,237) 237 FGRMAT(/,2CX,'NUMERO INSUFICIENTE DE PONTOS•)

GOTO 803 c C CALCULO DOS MOMENTOS DA LINHA PIJK{Nl e C PRIMEIRO MOMENTO 238 K= l

RMO(KJ=O. Cü 240 I=l,LAG2

240 RMO(KJ=RMO(XJ+FREQ(Il*Xlll (;2=1./FTCT RMCIK)=C2*Rí'O(Kl XMED=RMO(Kl

C SEG., TER., E QUARTO MOMENTOS CC 245 K=2,4 RMO(K)=O. CC 245 I=l,LAG2 RMC(Kl=RMD(K)+FREQ(ll/fTOT*(X(Il-XMEDl**K

245 CONT !11:UE WRITE(5,256)(!,RMO{Il,I=l,4l

256 FORMAT(/,30X,'MOMENTOS',//(20X,I4,5X,El4.7,/ll c C CALCULO DOS COEF. CE ASSIMETRIA E CURTOSE e

OP=SQRT(RM0(2ll IF(ABS(OPJ-0.01)257,257,259

257 GOTO 410 259 AS=RMC(3J/OP**3

CURT=(RM0(4l/DP*~41-3 hRITE(5,260lDP,AS,CURT

77.

260 FCRMIT(/,10X, 1 CESV.PA0=',El4.7,5X,'COEF.ASSIM=',El4.7,5X, *'CCEF.CURT=',El4.7l

C TESTE 00 TIPO CE OISTRIBUICAO c C PRIMEIRO TESTE - DISTRIBUICAO NORMAL

IF(ABS(AS)-0.11261 1 261,262 261 1F(ABS(CURT)-O.ll280,280,2é2 C SEGUNCO TESTE - CISTRIBUICAO LOGNORMAL 262 IF(AS-0.1)273,272,272 C PRIMEIRO MOMENTO CE LOG(X) 272 K=l

RMOL(Kl=O. CC 710 1=1,LAG2

710 RMOL(K)=RMOL(KJ+FREQ{Il*XL{I) RMOL(Kl=l./FTOT*RMOL(K) XMEDL=RMOL(KJ

C SEG., TER. E QUARTO MOMENTO DE LGG{Xl CC 715 K=2,4 Rl'CL( K) =O .• 00 715 I=l,LAG2 RMCL(Kl=RMOL!Kl+FREQ{ll/FTOT*{XL(Il-XMEDLl**K

715 CONTINUE CPL=SQRT{RMOL(2ll IF(ABS(DPLJ-0.01)410,410,718

718 ASL=RMOL(3l/OPL**3 CURTL=(RMOL(4J/OPL**4l-3. WRITE(5,720)0PL,ASL,CURTL

78.

720 FCRMAT(/,20X,'CPL=",El4.7,5X,•ASL=',El4.7,5X,'CURTL=',El4.7l IF(ABS(ASL)-0.11730,730,273

730 IF(ABS(CURTL)-0.1)290,290,273 C TERCEIRO TESTE - DISTRIBUICAO GAMA 273 RK=RMO(ll**2/RM0(2l

RA=RMC(ll/RMG(2l IF(RK-1.)410,275,275

275 IF{IF!X(RK)-4)300,300,410 410 WRITE(S,415) 415 FORMATl/,20X,'0!STRIBUICAO EMPIRICA•)

EC TO 803 . 280 WRITE(5,28ll 281 FORMATl/,20X,'CISTRIBUICAO NORMAL')

GC TO 803 290 WRITE(5,29ll 291 FORMAT(/,20X,'CISTRIBUICAO LOGNORMAL'l

GOTO 803 300 WRITE15,30ll 301 FORMAT(/,20X,'CISTRIBUICAO GAMA')

GC TO 803 900 CALL EXIT

ENC

C CISTRIBUICAO ESTACIONARIA - PIJK e

e

CIMENSION 0(10,10,10),P(lO,lOJ,Pl(lO,lOl CIMENSION S(10,10l,P2(10l

C . RIO JUÇUJA - S.P. C PERICCC OBSERVADO - ABR/SEJ e

~EST=8 l"=~ESJ

C l"ATRIZ f'/ARKOVIANA REA0(8,15l(((D(I,J,Kl,K=l,Ml,J=l,Ml,I=l,M)

15 FORl"AT(8F5.0l CO 20 I=l,M CC 20 J=l ,11

S( I,Jl=O. CC 20 K=l,1",

20 S(l,Jl=S<I,Jl+CII,J,Kl e C VETOR OISTRIBUICAO INICIAL e

SOf'A=O. CC 24 I=l,P CD 24 J=l ,M IFIS( I,J l 123,22, 23

22 P(!,Jl=O. GC 10 24

23 P{I,J)=l. SOPA=SOt-'A+l.

24 COll:TINUE CC 25 I=l,fv CC 25 J=l,1"

25 PII,Jl=PCI,Jl/SGMA üO 26 I=l,1" P2(ll=O. CC 26 J=l,M

26 P2(Il=P21Il+P(J,Il WRITE(5,27){P2(Il,I=l,Ml

79.

27 FORMAT(////,15X,'VETOR OISTRIBUJCAO JNICIAL',//,5X,8F6.3l CO 30 I=l,M CC 30 J=l,M. IF[S( I,Jl )30,30,28

28 CD 29 K=l,M 29 CII,J,K)=DII,J,Kl/S(I,J) 30 CONT I 11:UE

80.

C CALCULC DA MATRIZ DIST. ESTACIONARIA e

40

45

50

55

56

75

60

65

8C

N=l CC 45 I=l,M CD 45 J=l,M Fl(I,Jl=O. CONTINUE CC 50 I=l,M ao so J= 1,,, CC 50 K=l,t' Pl!I,Jl=Pl!I,Jl+P(K,ll*D(K,I,JJ CC 55 1=1,1< CC 55 J=l,t' IF ( A B S ( P l ! I , J l -P ( I, J l l- O • O O 11 5 5, 5 5, 60 CONTINUE CC 56 1=1,M P2(I)=0. CC 56 J=l,i" P2{ I l=P2{ I J+Pl!J, I l

•

WRITE(5,75 lN, (P2( II, I=l,Ml FGRMATl////,5X,'VETOR OISTRIBUICAO ESTACIONARIA - GER.',12,

*//,5X,8F6.3) GOTO 80 CO 65 I=l,~'. CO 65 J=l,M F(J,Jl=Pl!I,Jl ~=l\+l GO TO 40 CALL EXIT ENC

_ 81 i; . _ _. - - ~-

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