GeometriaPlana

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIENCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CADERNO DIDATICO

Geometria Plana e Desenho Geomtrico e

Joo Batista Peneireiro a Maur Fronza da Silva cio

Santa Maria, Inverno de 2008 (Reviso) a

Apresentao caPrezado leitor, estas anotaes de Geometria Euclidiana Plana so material de notas co a de aula da disciplina de Geometria Plana e Desenho Geomtrico do Curso de Matemtica e a da UFSM. Elas servem de s ntese para os tpicos tratados na disciplina e nem de longe o pretendem ser completas e sem falhas. Como orientao para o uso destas notas, queremos chamar a ateno para a necessica ca dade de dar-se uma introduo sobre o mtodo dedutivo, com nfase ao racioc lgico e ca e e nio o as regras de lgica que so, em geral, utilizadas ao longo de todo curso. Ateno especial o a ca deve ser dada ao mtodo de reduo ao absurdo (reductio ad absurdum). e ca Ao ler este texto, o leitor deve estar municiado de lpis para poder acoma panhar o racioc nio com esquemas (desenhos). Os desenhos so dispensveis a a para as demonstraes apresentadas, mas revelam-se um bom aux para o co lio entendimento das mesmas. Lembre-se, toda demonstrao dever ser indeca a pendente dos desenhos, o uso destes somente um auxiliar util. Argumentaes e co baseadas em desenhos podem levar a resultados absurdos (veja o surpreendente Apndice e A). Estas anotaes constituem uma verso corrigida e ampliada daquelas do inverno de co a 2001. Todas as sugestes que visem a melhoria deste texto so bem vindas, erros que o a eventualmente existam no texto devem ser debitados, exclusivamente, aos autores.

Joo Batista Peneireiro ([email protected]) a Maur Fronza da Silva ([email protected]) cio

Lista de S mbolosA, B, C, ... r, s, t, ... AOB, O , , , ... 1, 2, 3, ... AB AB ABC, ABC AB rP x (A) ponto reta a ngulo de vrtice O ou medida de ngulo e a a ngulo ou medida de ngulo a a ngulo ou medida de ngulo a segmento de extremidades A e B ou reta que passa por A, B medida do segmento AB tringulo de vrtices A, B, C a e

semi-reta de origem A contendo B semiplano determinado por r contendo P coordenada do ponto A em relao a um sistema de ca coordenadas da reta C (O, r) circunferncia de centro O e raio r e AB CD segmento AB congruente ao segmento CD AOB C O D ngulo AOB congruente ao ngulo C O D a a ABC XY Z tringulo ABC congruente ao tringulo XY Z, e a cona a gruncia a aplicao tal que A X, B Y, C Z e e ca r s retas r, s so paralelas a rs retas r, s so perpendiculares a A1 A2 ...An pol gono de vrtices A1 , A2 , ..., An e ABCD quadriltero cujos lados opostos so AB, CD; e AC, BD a a ABC XY Z tringulo ABC semelhante ao tringulo XY Z, e a semela a hana a aplicao tal que A X, B Y, C Z c e ca AB m(AB) tAB ln an a (R) AC B arco AB medida do arco AB (em graus) a ngulo em que um dos lados passa por B e o outro a e semi-reta t lado de um pol gono regular de n lados inscrito em uma circunferncia e aptema de um pol o gono regular de n lados inscrito em uma circunferncia e a rea da regio poligonal R a C est entre A e B. a

Sumrio a1 A Origem da Geometria e o Mtodo Axiomtico e a 9

2 Axiomas de Incidncia e da Ordem e 13 2.1 Axiomas de incidncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 2.2 Axiomas da ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Axiomas Sobre Medida de Segmentos e de Angulos 3.1 Axiomas sobre medida de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 28 32

4 Axiomas de Congruncia e 35 4.1 Axiomas sobre congruncia de segmentos, ngulos e tringulos . . . . . . . 35 e a a 4.2 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Desigualdades nos Tringulos a 43 5.1 O teorema do ngulo externo e algumas de suas conseqncias . . . . . . . 43 a ue 5.2 Desigualdades nos tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 a 5.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 Axioma das Paralelas 51 6.1 O axioma das paralelas e algumas consequncias . . . . . . . . . . . . . . . 51 e 6.2 Construo de um sistema de coordenadas no plano . . . . . . . . . 55 ca 6.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 Pol gonos 57 7.1 Denies gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 co 7.2 Quadrilteros convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 a 8 Paralelismo e o Teorema do Feixe de Retas Paralelas 63 8.1 Feixe de retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.2 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7

SUMARIO

SUMARIO

9 Tringulos Semelhantes e Semelhana de Pol a c gonos 69 9.1 Denies e consideraes gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 co co 9.2 Casos de semelhana de tringulos e o Teorema de Pitgoras . . . . . . . . 70 c a a 9.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10 Circunferncia e 10.1 Elementos da circunferncia . . . . . . . e 10.2 Angulos e arcos numa circunferncia . . e 10.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Comprimento de uma circunferncia e de e 10.5 Exerc cios complementares . . . . . . . . 77 77 78 86 88 89 93 93 97 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . arco de uma . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . circunferncia . e . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 Resultados Notveis sobre Tringulos a a 11.1 Pontos notveis de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 11.2 Pontos de Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Construes com Rgua e Compasso co e 12.1 Regras para construo com rgua e compasso . ca e 12.2 Alguns problemas de construo e suas solues ca co 12.3 Expresses algbricas . . . . . . . . . . . . . . . o e 12.4 Construo de tringulos . . . . . . . . . . . . . ca a 12.5 Problemas de tangncia . . . . . . . . . . . . . e 12.6 Exerc cios complementares . . . . . . . . . . . . 13 Area de Figuras Planas 13.1 Denies e axiomas . . . . . . . . . . . . co 13.2 Area de um quadrado . . . . . . . . . . . . 13.3 Area de um retngulo . . . . . . . . . . . . a 13.4 Area de paralelogramos e tringulos . . . . a 13.5 Area de um c rculo e de um setor circular . 13.6 Equivalncia plana . . . . . . . . . . . . . e 13.7 Exerc cios complementares . . . . . . . . . Apndice A e

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

101 . 101 . 102 . 106 . 108 . 110 . 113 119 119 121 122 123 126 127 128 135

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

8

Cap tulo 1 A Origem da Geometria e o Mtodo e Axiomtico aD-se um curto apanhado histrico da geometria antiga, a o introduz-se comentrios sobre mtodo axiomtico e listaa e a se os termos no denidos a serem considerados neste traa balho. A palavra geometria vem do grego geometrien ( ) onde geo signica terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a cincia de medio de terras. e ca O historiador grego Herdoto (500 a.C.) atribuiu aos eg o pcios o in da geometria, cio mas outras civilizaes antigas (babilnios, hindus, chineses) tambm possuiam muitas co o e informaes geomtricas.1 co e A geometria dos povos antigos era uma coleo de regras obtidas a partir de experica mentaes e observaes de analogias, tentativas e ocasionais lampejos de intuiao. Foram co co c as necessidades prticas que impulsionaram a busca de respostas `s questes geomtricas, a a o e mesmo que s de forma aproximada. Assim, para os babilnios, no per o o odo de 2000 a 1600 a.C., a rea do c a rculo era calculada tomando trs vezes o quadrado do raio (isto , eles e e tomavam como 3 o valor ; este tambm era o valor de para os chineses naquela poca). e e 16 2 Os eg pcios de 1800 a.C., de acordo com o papiro de Rhind, usavam 9 3, 1604 como valor aproximado de . Muitas vezes, os eg pcios tinham clculos corretos; por exemplo, a conheciam a frmula correta para o clculo do volume de um tronco de pirmide de base o a a quadrada. Por outro lado, a frmula correta para o clculo da rea do retngulo, era por o a a a eles aplicada tambm a qualquer quadriltero. e a A geometria eg pcia no foi uma cincia no sentido entendido pelos gregos, era somente a e uma coleo de regras para clculo sem qualquer motivao ou justicativa. ca a ca A matemtica babilnica foi mais avanada que a dos eg a o c pcios na aritmtica e lgebra; e a alm disso, eles conheciam o tradicional teorema de Pitgoras, num tringulo retngulo o e a a a quadrado do comprimento da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos comprimentos e dos catetos, bem antes mesmo do que Pitgoras. a1

As idias de cunho histrico aqui expostas so anotaes baseadas no excelente livro [10]. e o a co

9

A Origem da Geometria e o Mtodo Axiomtico e a Foram os gregos, por volta de 600 a.C. com Tales de Mileto, que iniciaram as investigaes de cunho geomtrico, estabelecendo a necessidade de se empregar o mtodo co e e dedutivo no lugar do mtodo de tentativa e erro. Tales, segundo Proclus2 , visitou o Egito e e a Babilnia tendo trazido desses lugares os conhecimentos geomtricos da poca. Com o e e o objetivo de vericar a correo dos resultados executados, ele desenvolveu a primeira ca geometria lgica. O desenvolvimento organizado dos teoremas atravs de provas (demono e straes) foi caracter co stica da matemtica grega, e uma prtica inteiramente nova at a a e ento. a A sistematizao iniciada por Tales foi continuada, nos dois sculos seguintes, por ca e Pitgoras de Samos e seus disc a pulos. Em Crotona, sul da atual Itlia, ele fundou uma a irmandade que cou conhecida como Escola Pitagrica. Foram os pitagricos, membros o o dessa irmandade, que descobriram os nmeros irracionais, tais como 2, criando um u verdadeiro trauma na escola, uma vez que o lema fundamental dessa irmandade era que tudo nmero, onde por nmero entendia-se os inteiros positivos e razo entre eles. e u u a A fundamentao sistemtica da geometria plana foi realizada pela escola pitagrica, ca a o por volta de 400 a.C., em Elementos escrito pelo matemtico Hipcrates de Chios (no a o a confundir com o mdico). Um sculo depois, Euclides de Alexandria, publicou sua obra e e Elementos [12], onde reuniu, praticamente, quase tudo que se conhecia de matemtica a at ento. No sculo 4 a.C., Plato fundou sua famosa academia onde na entrada ese a e a tava xado o lema Que ningum que ignore a geometria entre aqui. Euclides foi um e disc pulo da escola platnica. Por volta de 300 a.C. ele produziu o tratamento denitivo o da geometria grega e da teoria dos nmeros nos seus treze volumes do Elementos. Neste u tratado, Euclides colocou os trabalhos de Pitgoras nos livros I-IV e IX; no livro VIII, os a de Architas; os de Eudoxo, nos livros V, VI e XII e os de Teeteto nos livros X e XIII. O livro Elementos se tornou, ao longo do tempo, a obra mais publicada e lida. Sua abordagem da geometria dominou o ensino desta matria por mais de 2000 anos. e Fora tudo disso, o mtodo axiomtico usado por Euclides em Elementos o prottipo e a e o de tudo que chamamos hoje de matemtica pura. Ela pura no sentido de puro a e pensar; nenhum experimento f sico preciso para vericar se suas armaes so corretas, e co a somente o racioc nio nas demonstraes precisa ser conferido. co Os Elementos de Euclides puro no sentido de que esse trabalho no inclui aplicaes e a co prticas. Naturalmente, a geometria de Euclides tem um grande nmero de aplicaes a u co a problemas prticos na engenharia, mas eles no so mencionados em Elementos. a a a Muitas vezes, resultados puramente matemticos passam a ter importncia em questes a a o aplicadas, sendo por isso uteis ` sociedade. Alm disso, aquelas partes da Matemtica a e a que no tm sido aplicadas so tambm vlidas ` sociedade, tanto como trabalhos a e a e a a estticos, comparados ` msica e ` arte, como contribuio ` expanso da conscincia e e a u a ca a a e do conhecimento do homem. Matemticos podem fazer uso da tentativa e erro, clculo de casos especiais, coma a putadores, ou outros meios para demonstrar teoremas. Para alguns dos mais importantes resultados em matemtica foram, originalmente, dadas provas incompletas (o ultimo Teoa Proclus (410-488 d.C.), lsofo neoplatnico, escreveu Comentrio sobre o primeiro livro de Os o o a Elementos de Euclides.2

10

A Origem da Geometria e o Mtodo Axiomtico e a rema de Fermat, por exemplo). Provas corretas sero dadas mais tarde e assim o trabalho a matemtico estar satisfeito. a a As provas nos do segurana de que os resultados so corretos. Em muitos casos elas a c a nos do resultados mais gerais. Um exemplo o Teorema de Pitgoras, que generaliza a e a resultados que os eg pcios, hindus e outros povos conheciam s casos particulares. Finalo mente, provas, muitas vezes, nos do uma viso de relaes entre coisas diferentes, nos a a co forando a organizar nossas idias de um modo coerente. c e Anal, o que o mtodo axiomtico? Se quisermos nos persuadir, por meio de e e a racioc da necessidade de alguma armao A1 , podemos mostrar como esta armao nio ca ca segue logicamente de outra armao A2 que podemos aceitar como verdadeira. No ca entanto, se no temos estabelecido A2 como verdadeira, podemos mostrar que A2 decorre a logicamente de A3 . Podemos ter que repetir este processo muitas vezes at atingirmos uma e armao que j tenhamos como certa e que no precise de justicativa. Essa armao, ca a a ca assumida como certa, toma o papel de um Axioma (ou Postulado). Se no pudermos a atingir uma armao que ser aceita como base de nossas argumentaes, estaremos ca a co mergulhados numa regresso innita, dando uma demonstrao aps outra, sem m. a ca o Assim, dois quesitos devem ser assumidos para que possamos concordar que uma prova est correta: a 1. Aceitao de algumas armaes chamadas Axiomas ou Posca co tulados sem justicao adicional. ca 2. Aceitao de certas regras de racioc ca nio, isto , aceitao de e ca como, e quando, uma armao segue logicamente de outra. ca A grande realizao de Euclides foi ter estabelecido, a partir de uns poucos postulados, ca 465 proposies (teoremas) mais complicadas e nem sempre intuitivas, onde est conco a tida toda a geometria conhecida de seu tempo, [12]. Uma razo para ser os Elementos a um belo trabalho que muito foi deduzido de to pouco. e a Tendo combinado as duas regras acima, para se poder concordar quando uma demonstrao est correta, antes de tudo, precisamos xar certas terminologias e s ca a mbolos a serem utilizados. Assim, combinamos tambm o seguinte: e 3. Os teoremas e s mbolos usados no sistema axiomtico devero a a ter signicado compreendido igualmente por todos. Temos o direito de dar denies de termos novos baseados em outros que assumico mos como indenidos. Assim, no desenvolvimento da geometria plana que faremos nos prximos cap o tulos, iremos assumir quatro termos que sero bsicos para denir todos os a a outros termos geomtricos, a saber: e - ponto; - reta; - incidente; - estar entre. Esta lista constitui-se dos termos geomtricos indenidos ou termos primitivos. e Todo corpo axiomtico que construiremos estar baseado nesses termos, e nas noes a a co algbricas de conjunto, correspondncia, aplicao, etc. e e ca 11

A Origem da Geometria e o Mtodo Axiomtico e a

12

Cap tulo 2 Axiomas de Incidncia e da Ordem eO ambiente no qual constri-se a geometria chamado o e plano, e denominam-se ponto e reta os conceitos geomtricos primitivos (objetos primitivos) do plano. e Assume-se que o plano constitu por pontos e que retas e do so subconjuntos distinguidos de pontos do plano. Listaa se um grupo de axiomas, em n mero de sete, que xaro u a relaes e deniro conceitos relativos aos objetos primico a tivos (no se apresenta axiomas relacionando esses entes a no contexto do espao por s estar-se interessado em dec o senvolver geometria de objetos planos).

2.1

Axiomas de incidncia e... nos dizem sobre a disposio m tua de pontos e retas; ca u caracteriza reta.

Axioma 1 Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma unica reta que os contm. e

2.1 Observao. Reservaremos as letras maisculas do alfabeto latino para nomear ca u ponto e as letras minsculas para nomear retas. Assim, dizemos simplismente ponto u P e reta r, por exemplo. 2.2 Observao. Usando a notao da teoria dos conjuntos podemos, sinteticamente, ca ca escreve o axioma 1 do seguinte modo: A, B, A = B | r : A, B r. 2.3 Observao. As expresses um ponto pertence a uma reta, um ponto incidente ca o e em uma reta, um ponto est sobre uma reta e uma reta passa por um ponto so a a assumidas como equivalentes. 13

Axiomas de incidncia e 2.4 Observao. De acordo com este axioma, somente uma reta passa atravs de dois ca e pontos. Segue-se da que uma reta est completamente determinada pela especicao , a ca de dois pontos. A partir disto, denotaremos ento a reta que passa pelos pontos A e B, a por reta AB. 2.5 Denio. Se um ponto comum a duas retas dizemos que elas se interceptam ca e nesse ponto, ou que esse ponto um ponto de interseo dessas retas. Duas retas que e ca se interceptam num unico ponto so ditas concorrentes ou mutuamente transversais. a 2.6 Denio. A coleo de todos os pontos chamaremos de Plano. Nomearemos planos ca ca utilizando-se das letras do alfabeto grego. Por exemplo: plano .

Axioma 2 Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos.

Axioma 3 Existem trs pontos distintos que no pertencem a uma mesma reta. e a

2.7 Observao. O axioma 3 diz que reta um subconjunto prprio do plano. ca e o 2.8 Exerc cio. Prove que existem retas concorrentes. 2.9 Teorema. Duas retas distintas ou no se interceptam, ou se interceptam somente a num ponto. Prova: Dadas duas retas distintas, suponhamos que elas se interceptam em dois (ou mais) pontos. Se isso um fato, essas retas sero coincidentes devido ao axioma 1, o que e a uma contradio pois, por hiptese, elas so distintas. Assim a interseo dessas retas e ca o a ca ou vazia ou s contm um ponto. e o e 2.10 Denio. Pontos pertencentes a uma mesma reta so ditos colineares, caso ca a contrrio so no-colineares. a a a 2.11 Observao. E comum darmos uma representao grca aos entes primitivos da ca ca a geometria euclidiana, imaginando um plano como a superf de uma mesa que se estende cie indenidamente em todas as direes. Nela, a marca da ponta de um lpis representa co a um ponto e a parte de uma reta obtida usando-se uma rgua. Cabe esclarecer que, ao e e estudarmos geometria, hbito utilizarmos desenhos. (vide apndice A). e a e

14

Axiomas da ordem Por exemplo, na Figura 2.1, esto rea b presentadas duas retas, a e b, e trs pontos e A A, B e P . O ponto A pertence a reta a e B, a reta b; o ponto P o ponto de interseo e ca das duas retas. P Muitas vezes faremos uso desse arB tif cio, mas chamamos a ateno do leitor ca a a para o fato de que o desenho s um inse o trumento de apoio ` intuio e ` linguagem a ca a Figura 2.1: Retas a, b e pontos A, B e P. mas, em momento algum, deve ser utilizado como dado para demonstraes. (vide apndice A). co e

. . .

2.2

Axiomas da ordem...nos dizem sobre as propriedades da disposio mtua de ca u pontos numa reta; para essa disposio de pontos usa-se o ca termo estar entre.

Com os prximos axiomas, estaremos o interessados em caracterizar, exatamente, o que signica dados trs pontos em uma e reta dizer quando um deles se localiza entre os outros dois. Gracamente, isso est a ilustrado na Figura 2.2, para pontos A, B e C de uma reta r.

A

. .C

B

.

r

Figura 2.2: O ponto C est entre A e B. a

Axioma 4 Para quaisquer trs pontos distintos colineares, um, e somente um deles, est e a entre os outros dois.

2.12 Observao. As expresses, um ponto C est entre A e B, um ponto C separa os ca o a pontos A e B ou os pontos A e B esto em lados opostos do ponto C, so equivalentes. a a 2.13 Observao. Para dizer que C est entre A e B vamos usar a seguinte notao: ca a ca A C B.

Axioma 5 Se A C B ento estes trs pontos so distintos, colineares e B C A. a e a

15

Axiomas da ordem 2.14 Observao. Em notao de teoria dos conjuntos o axioma 5 pode ser escrito do ca ca seguinte modo: A = B, A = C, B = C; r : A, B, C r e AC B B C A. 2.15 Observao. Se C separa A e B, podemos dizer tambm que B e C esto situados ca e a do mesmo lado em relao a A. ca 2.16 Denio. Dados dois pontos A e B, distintos, o conjunto de pontos constitu ca do pelos pontos A, B e todos os pontos que esto entre A e B chamado de segmento AB, a e a e (ou segmento de reta AB). Se A e B so coincidentes dizemos que AB o segmento nulo. Os pontos A e B so denominados extremidades ou extremos do segmento AB. a 2.17 Exerc cio. Use a notao da teoria de conjuntos e escreva a denio de segmento ca ca AB. 2.18 Exerc cio. Mostre que AB = BA (observe que esta uma igualdade de conjuntos). e 2.19 Denio. A todo subconjunto prprio do plano chamaremos de gura geomtrica, ca o e gura plana ou simplesmente gura. 2.20 Exerc cio. Utilizando somente os axiomas 1 - 5, d exemplos de guras planas. e Utilizando-se segmentos podemos construir muitas guras geomtricas no plano. Uma e das mais simples aquela formada por trs pontos no colineares e pelos segmentos e e a denidos por esses trs pontos. (Figura 2.3) e A 2.21 Denio. Sejam A, B, C trs pontos noca e a colineares. Tringulo determinado por A, B, C a e a o conjunto ABACBC. Os pontos A, B, C so os vrtices do tringulo e os segmentos AB, AC, BC e a so os lados do tringulo. a a

B

C

2.22 Observao. Indicaremos o tringulo deter- Figura 2.3: Representao grca do ca a ca a minado pelos pontos A, B, C por ABC. tringulo determinado pelos pontos a A, B e C. 2.23 Exerc cio. Prove que existe pelo menos um tringulo (sugesto: use os axiomas e a a denies dados). co

Axioma 6 Dados dois pontos distintos A e B, existe um ponto C entre A e B.

16

Axiomas da ordem 2.24 Exerc cio. Mostre que existem pelo menos sete tringulos. a

Axioma 7 Dados dois pontos distintos A e B, existe um ponto D tal que B est entre a A e D e um ponto E tal que A est entre E e B. a

A partir da noo de segmento de reta vamos introduzir o conceito de semi-reta atravs ca e da denio seguinte. ca 2.25 Denio. Dados dois pontos distintos, A e B, semi-reta de origem A contendo ca o ponto B o conjunto de pontos do segmento AB unido com todos os pontos C tais e que B est entre A e C. a 2.26 Observao. Usaremos a notao AB para representar a semi-reta de origem A ca ca contendo o ponto B. 2.27 Exerc cio. Mostre que existe um ponto na reta AB que no pertence ` AB. a a 2.28 Exerc cio. Qual o conjunto de pontos denido por AB? 2.29 Exerc cio. Mostre que AB = BA. 2.30 Denio. Dada a semi-reta AB tomamos um ponto C tal que A esteja entre B e ca C. Chamamos a semi-reta AC de semi-reta oposta a AB. 2.31 Observao. O conceito de semi-reta nos diz que um ponto de uma reta divide ca essa reta em duas semi-retas de mesma origem. 2.32 Exerc cio. Mostre que AB = AB BA. 2.33 Denio. Dizemos que dois pontos distintos, P e Q, esto em um mesmo lado ca a em relao a uma reta r se a interseo do segmento P Q com r for vazia. ca ca Caso contrrio, dizemos que os pontos esto a a em lados opostos em relao a r. ca

P

. .

.Q

2.34 Denio. Sejam P um ponto e r uma ca r reta que no contm P ; semiplano determia e nado por r contendo P o conjunto de todos e os pontos Q tais que P e Q esto em um mesmo a Q' lado em relao ` reta r. ca a A reta r chamada de origem do semie Figura 2.4: Lados em relao a reta r. ca plano. 17

Axiomas da ordem O semiplano caracterizado pela reta r e pelo ponto P ser representado por rP . a

Axioma 8 (Separao do Plano) Uma reta determina somente dois semiplanos disca tintos (ou opostos).

O teorema seguinte arma a existncia de uma innidade (neste texto, os termos uma e innidade e innito signicam tanto quanto quisermos) de pontos num segmento de reta AB. 2.35 Teorema. Se A e B so pontos no pertencentes ` uma reta r, onde A pertence a a a a um semiplano e B ao outro daqueles determinados por r, ento a interseo do segmento a ca AB com r no vazia. (Sugesto: prove por reduo ao absurdo). e a a ca 2.36 Teorema. (de Pash) Se ABC um tringulo e r uma reta que intercepta o lado e a e AB num ponto entre A e B, ento r tambm intercepta um dos outros dois lados. a e Prova: C pertence ` r ou no. Caso armativo, segue a validade da concluso; isto a a a , C intercepta ambos os lados BC e AC. Consideremos o caso em que C no pertence e a a ` r (vide gura 2.5). Como A e B no pertencem ` r e AB interceptam r, segue-se por a a denio que A e B esto em lados opostos em relao ` r. Se C no pertence ` r, ou C ca a ca a a a est do mesmo lado de A em relao ` r ou no lado oposto a este (Axioma da Separao). a ca a ca Se C e A esto do mesmo lado em relao a ca A r a ` r, ento C e B esto em lados opostos em a a relao ` r. Isto signica que r intercepta ca a a BC e no intercepta AC. Se C e B esto do a mesmo lado em relao ` r, de modo anlogo ca a a a ` concluso anterior, temos que r intercepta a B C AC, mas no intercepta BC. Assim, em cona cluso ` todas as hipteses para r, chegamos a a o que r intercepta um dos outros dois lados do Figura 2.5: r intercepta outro lado do tringulo que no AB. a a tringulo. a 2.37 Lema. Se A B C e B C D, ento B e C pertencem ao segmento AD. a Prova: Seja E um ponto que no pertence a retaAB. Seja F um ponto da reta CE, a tal que C E F . Sendo AEC um tringulo e A B C, temos que BF intercepta o a segmento AE ou a retaCE. Como C E F , F no pode estar entre C e E. Dos dois a fatos anteriores, segue-se que a reta BF tem que interceptar o segmento AE (Teorema de Pash). Considerando-se agora o tringulo BF C e a reta AE, temos novamente do a Teorema de Pash que o ponto de interseo das retas AE e BF est entre os pontos B e ca a F . Chamemos de G esse ponto de interseo. Analogamente, prova-se que CF intercepta ca o segmento GD em algum ponto H. 18

Axiomas da ordem Como H deve estar no segmento GD, e E no pertence ao segmento AG, ento a a a retaEH ter um ponto em comum com o a segmento AD (Teorema de Pash aplicado ao AGH). Assim, C est no segmento AD. Da a mesma forma, pode-se facilmente mostrar que cio!) B tambm pertence ` AD. (Exerc e a

F

.

.E G. .H . B C . . A

.D

Figura 2.6: B e C esto contidos em AD. a 2.38 Lema. Se A C D e A B C, ento A B D e B C D. a Prova: Seja G um ponto no pertencente a reta AB e F um ponto tal que B G F . a A reta CF no tem ponto em comum com a F AB, nem com BG. Assim, CF no tem ponto a em comum com AG. Como A C D e AGD um trinngulo, temos do Teorema de Pash e a que CF intercepta GD em algum ponto H (vide gura 2.7). Pelo mesmo modo, sendo BGD um G H tringulo, segue-se que F H intercepta BD. Vea mos assim, que B C D, e da conclu mos a veracidade da segunda armao do lema. Das ca hipteses, e, da armao e do lema anterior, A o ca B C D segue-se que A B D. Figura 2.7: A B D e b C D.

.

.

. . . .

.

2.39 Teorema. Entre dois pontos distintos , existe uma innidade de pontos. Prova: Seja r uma reta e a e B dois pontos distintos desta reta. Entre A e B existe um ponto C, tal que A C B. Do mesmo modo, existe D tal que A D C. Assim, do lema anterior, segue-se que A D B, e consequentemente A, B, C, D so pontos a distintos de r. De maneira anloga, pode-se armar que existe um ponto E em r, tal a que A E C e A E B, de forma que os pontos A, B, C, D, E so distintos e a ` pertencentes A r. Continuando este mesmo racioc nio, podemos obter entre A e B um conjunto innito de pontos C, D, E, ... Isto prova o teorema. 2.40 Observao. O teorema acima nos diz que qualquer segmento de reta um conca e junto innito de pontos. 2.41 Corolrio. (a) Em uma semi-reta existe um conjunto innito de pontos. (que no a a aquele de um segmento que tenha a origem como extremidade). (b) Em uma reta existe um conjunto innito de pontos. (que no aquele de um segmento a particular). 19

Exerc cios complementares 2.42 Observao. A representao usual para reta, semi-reta e segmento, que estamos ca ca habituados a fazer, no se justica pelos axiomas e teoremas at aqui apresentados. A a e idia de cont e nuo de pontos s ser introduzida na geometria a partir dos axiomas sobre o a medidas (prximo cap o tulo). 2.43 Exerc cio. Mostre que: a) Se A C B, ento todos os pontos de AC pertencem a AB. (Sugesto: use o a a lema 2.38) b) Se AC B, ento nenhum ponto interior de AC pode ser ponto de CB. (Sugesto: a a Use reduo ao absurdo, o lema 2.38 e o axioma 6) ca c) Se A C B, ento cada ponto de AB, diferente de C, pertence ou a AC ou a CB. a (Sugesto: Suponha M pertencente ` AB e M = C. Agora, considere M no pertencente a a a ca a ` AC, nem a CB. Procure argumentar usando o lema 2.37 e a segunda armao do lema 2.38). 2.44 Denio. Um subconjunto do plano convexo se o segmento que liga quaisquer ca e dois de seus pontos est totalmente contido nele. Em s a mbolos: F convexo se, e e somente se, A, B F, AB F. 2.45 Exerc cio. Quanto a subconjuntos convexos, verique: a) A interseo de subconjuntos convexos um subconjunto convexo. ca e b) Um semiplano um subconjunto convexo. e c) A interseo de n semiplanos um subconjunto convexo. ca e d) Unio de subconjuntos convexos um subconjunto convexo? a e e) Um tringulo uma gura convexa? a e f) Um tringulo determina dois conjuntos no plano, um dos quais convexo. O a e conjunto convexo assim obtido, menos os pontos do tringulo , por denio, o interior a e ca do tringulo. a

2.3

Exerc cios complementares

2.46 Exerc cio. Considere o conjunto = {A1 , A2 , ..., An }, n 2 e os subconjuntos binrios arij = {Ai , Aj }, i, j = 1, 2, ..., n, i = j. Chamemos Ai de pontos, rij de retas e de plano. a) Verique que, nesta geometria, vale o axioma 1. b) Mostre que, nesta geometria, vale o teorema 2.9.

2.47 Exerc cio. Considere um conjunto C de n (n 3) pontos de um plano que tem umsubconjunto C1 formado por p (2 p n) pontos colineares. Sabe-se que toda vez que 3 pontos de C so colineares eles so pontos de C1 . Calcule o nmero de retas determinadas por esses n a a u pontos (Sugesto: considere o conjunto formado por todos os pontos 3 a 3 colineares). a

2.48 Exerc cio. Mostre que imposs construir um modelo de uma geometria com 6, e velpontos, em que sejam vlidos os axiomas 1 e 2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 a pontos.

20

Exerc cios complementares (sugesto: considere as vrias possibilidades de C pertencer a AB). a a

2.49 Exerc cio. Mostre que, se C AB e C = A, ento AB = AC, BC AB e A BC a /

2.50 Exerc cio. Considere as armaes: coi) Existem dois segmentos distintos que tm dois pontos em comum. e ii) Existem dois segmentos distintos que tm somente dois pontos em comum. e Diga quais dessas armaes so verdadeiras ou falsas. Justique sua resposta. co a

21


22

Cap tulo 3 Axiomas Sobre Medida de Segmentos e de AngulosBaseados nos axiomas de Incidncia e da Ordem, deniu-se e segmento e semi-reta. O conceito de medida de um segmento, ou a determinao de seu comprimento, que inca e troduzido, usualmente, mediante ` adoo de uma unidade a ca de comprimento, aqui estabelecido atravs de axiomas. e e Introduz-se tambm o conceito de ngulo e sua medida e a

3.1

Axiomas sobre medida de segmentos...dizem como medir segmentos; do uma maneira de coma parar segmentos.

Com os axiomas de incidncia e de ordem, vistos nas sees anteriores, pudemos denir e co segmento de reta. Em geral, o conceito de medida de um segmento, ou a determinao ca de seu comprimento, introduzido mediante a adoo de uma unidade de comprimento. e ca Neste curso faremos axiomaticamente a introduo de tal medida, relacionando-a com a ca prtica usual de adoo de uma unidade. A partir do momento em que soubermos como a ca medir segmentos estaremos aptos ` poder compar-los em tamanho e, da dizer se um a a , segmento maior, menor ou igual, em comprimento, a um outro. e'

$

Axioma 9 Existe uma funo d que a cada par (A, B) de pontos do plano, associa um ca nmero real d (A, B) tal que: u (i) d (A, B) 0, A, B, e d (A, B) = 0 A = B. (ii) d (A, B) = d (B, A) , A, B.&

%

3.1 Denio. O nmero d (A, B) chamado distncia entre os pontos A e B, ou ca u e a medida do segmento AB, ou ainda comprimento do segmento AB. 23

Axiomas sobre medida de segmentos 3.2 Observao. Quase sempre indicaremos d (A, B) , escrevendo em seu lugar AB. ca O axioma seguinte estabelece uma correspondncia entre nmeros reais e pontos de e u uma reta.

Axioma 10 (Existncia de Sistema de Coordenadas) Para cada reta r do plano e existe um bijeo x : r R que, a cada ponto P r, associa um nmero real x (P ) tal ca u que para quaisquer dois pontos A, B r tem-se |x (A) x (B)| = d (A, B) .

A bijeo x do axioma 10 chamada sistema de coordenadas para r e o nmero ca e u real x (P ) , associado ao ponto P, ser chamado de coordenada de P em relao a r. O a ca ponto de r associado ao nmero 0 chamado de origem do sistema de coordenadas. u e A origem de um sistema de coordenadas divide a reta r em duas semi-retas opostas. A semi-reta que contm o ponto associado ao nmero 1 chamaremos de parte positiva e u de r e, a outra, parte negativa. O axioma seguinte estabelece que a medida de segmentos goza da propriedade de aditividade.

Axioma 11 Se A C B ento AC + CB = AB. a

3.3 Observao. Agora que sabemos determinar a medida de um segmento a partir das ca coordenadas de suas extremidades, e lembrando que os nmeros reais so ordenados pela u a relao menor do que (ou pela relao maior do que), vamos poder estabelecer uma ca ca relao de ordem para os pontos de uma reta. ca Se a < c < b (ou b < c < a ), dizemos que o nmero c est entre a e b. u a Como prembulo ao teorema 3.5, demonstraremos o seguinte lema: a 3.4 Lema. Se um ponto C, distinto de dois pontos A e B, pertence a AB, e AC tal e que AC < AB ento C est entre A e B. a a Prova: Desde que A a origem da semi-reta S(AB) e B S(AB) , A no pode estar e a entre B e C. Se B estivesse entre A e C ter amos (axioma 11) AB + BC = AC e, da , AB < AC, contrrio a hiptese AC < AB. Pelo axioma 3 temos ento A C B. a o a A correspondncia entre a relao de ordem de nmeros reais e a relao de ordem de e ca u ca pontos de uma reta ca estabelecida no seguinte teorema: 3.5 Teorema. Sejam x(A), x(B), x(C) as respectivas coordenadas dos pontos A, B, C de uma mesma reta. O ponto C est entre A e B se, e somente se, o nmero x(C) est entre a u a x(A) e x(B). 24

Axiomas sobre medida de segmentos Prova: (Necessidade) Suponhamos que A C B. Decorre do Axioma 11 que AC + CB = AB, isto : e |x(C) x(A)| + |x(B) x(C)| = |x(B) x(A)| . Inicialmente, vamos supor que x(B) > x(A). Neste caso, temos |x(B) x(A)| = x(B) x(A) e, da igualdade anterior, segue que |x(C) x(A)| < x(B) x(A) e |x(B) x(C)| < x(B) x(A). Assim: x(B) + x(A) < x(C) x(A) < x(B) x(A) e x(B) + x(A) < x(B) x(C) < x(B) x(A). Logo x(C) < x(B) e x(A) < x(C). Assim, x(A) < x(C) < x(B), isto , x(C) est entre x(A) e x(B). e a Se x(B) < x(A), um racioc nio anlogo nos leva ` mesma concluso. Deste modo a a a temos provada a condio necessria. ca a (Sucincia) Suponhamos que o nmero x(C) est entre x(A) e x(B), isto , x(A) < e u a e x(C) < x(B). Temos ento: a |x(C) x(A)| + |x(B) x(C)| = |x(B) x(A)| , e, em particular, AC < AB e CB < AB. Consideremos as semi-retas com origem em A; se B e C pertencem a uma mesma dessas semi-retas e sendo AC < AB, do lema 3.4, segue que C est entre A e B. a Resta mostrar que B e C no podem pertencer a a semi-retas distintas, isto , o ponto A no pode separar e a B e C. De fato, se isto acontecer ento B A C a 0 1 2 3 e da BA + AC = BC, resultando BA < BC, o que contradiz a desigualdade CB < AB, j obtida acima. a 1 0 2 3 Logo, A C B. O teorema acima justica que a disposio dos Figura 3.1: Ordem na repreca nmeros ao longo de uma reta, deve ser como no di- sentao dos nmeros como ponu ca u agrama de cima da Figura (3.4), e no como no dia- tos de uma reta. a grama que aparece embaixo.

. . . . . . . .

3.6 Exerc cio. Complete a demonstrao do teorema 3.5 considerando o caso x (B) < ca x (A) . 3.7 Exerc cio. D uma caracterizao para segmento e semi-reta, usando as coordenadas e ca dos seus pontos. 25

Axiomas sobre medida de segmentos 3.8 Teorema. Em qualquer segmento AB existe um unico ponto C tal que AC = CB. Prova: (Existncia) Dado o segmento AB, aos pontos A e B esto associadas suas e a coordenadas x(A) e x(B) (axioma 10). Consideremos o nmero real 1 (x(A) + x(B)) . u 2 De acordo com o axioma 10, existe um ponto C da reta determinada por A e B tal que x(C) = 1 (x(A) + x(B)). Como 2 1 AC = |x(A) x(C)| = x(A) (x(A) + x(B)) 2 x(A) x(B) = 2 2 e CB = |x(C) x(B)| = = x(A) x(B) , 2 2 1 (x(A) + x(B)) x(B) 2

1 conclu mos que AC = CB. Como o nmero 2 (x(A) + x(B)) est entre x(A) e x(B) u a (mostre isto), pelo teorema 3.5 segue que o ponto C est entre A e B. Mostramos, assim, a que existe um ponto que satisfaz as exigncias do teorema. e (Unicidade) Suponhamos que, alm do ponto C denido acima, exista um outro ponto, e C , no segmento AB, tal que AC = C B e seja x (C ) a coordenada desse ponto. Ento a |x(C ) x(A)| = |x(B) x(C )| e da

x(C ) x(A) = x(B) x(C ) ou x(C ) x(A) = x(C ) x(B). A segunda possibilidade no pode ocorrer pois implicaria em A = B, o que um a e absurdo. Logo 1 x(C ) = (x(A) + x(B)) . 2 Assim, x(C) = x(C ) e, pelo axioma 10, conclu mos que C = C . Isto prova a unicidade. 3.9 Denio. O ponto C do segmento AB, tal que AC = CB, chamado ponto ca e mdio desse segmento. e 3.10 Observao. O teorema 3.8 mostra que todo segmento tem um ponto mdio e este ca e unico. e 3.11 Observao. A distncia entre pontos satisfaz as seguintes propriedades: ca a i) AB 0 para quaisquer pontos A e B; ii) AB = 0 A = B; iii) AB = BA para quaisquer pontos A e B. 26

Axiomas sobre medida de segmentos Observe que a noo de distncia satisfaz propriedades que so as intuitivamente esperca a a adas. Uma outra propriedade, que se espera estar satisfeita, a chamada desigualdade e triangular, dada por: iv) AC AB + BC para quaisquer trs pontos A, B e C no plano. A igualdade vale e se C AB. Como veremos mais adiante (teorema 5.19), esta propriedade ser uma conseqncia a ue dos axiomas anteriores e do prximo grupo de axiomas a ser apresentado no cap o tulo 4. Com a noo de distncia entre pontos podemos denir circunferncia. Seja A um ca a e ponto do plano e R um nmero real positivo. u 3.12 Denio. Circunferncia de centro A e raio R o conjunto de pontos B do ca e e plano tais que AB=R. Notao: C(A,R) ca Um ponto C do plano tal que AC < R e dito ponto interior ` C(A,R); neste caso, dizemos a tambm que C est dentro da circunferncia. Se e a e A AC > R, o ponto C dito exterior ` C(A,R); neste e a caso dizemos tambm que C est fora da circune a ferncia. O conjunto de pontos interiores ` circune a ferncia chamado disco aberto ou bola aberta de Figura 3.2: Circunferncia de e e e centro A e raio r; que ser indicado por B(A,R). a centro em A. 3.13 Exerc cio. Use notao da teoria de conjuntos para escrever, de modo sinttico, os ca e conceitos da denio acima. ca 3.14 Denio. Um subconjunto do plano dito limitado se existe um disco aberto ca e que o contm; caso contrrio, dito ilimitado (ou no limitado). e a e a 3.15 Exerc cio. Utilizando as denices anteriores: o i) Prove que qualquer conjunto nito de pontos do plano limitado. e ii) Prove que todo segmento limitado. e iii) Prove que a unio nita de subconjuntos limitados ainda um conjunto limitado a e (observao: admita como verdadeira a desigualdade triangular). ca iv) Prove que todo tringulo limitado. a e v) Prove que dados um subconjunto limitado M , no plano, e um ponto P desse plano, existe um disco aberto com centro em P e que contm M . e vi) Prove que retas so conjuntos ilimitados. a 3.16 Exerc cio. Dizemos que o ponto C de um dado segmento AB a seo urea de AB e ca aAC se C tal que CB = AB . Neste caso, dizemos tambm que C divide AB em mdia e extrema e e e AC razes. o Mostre que se C seo urea de AB, ento AC = 51 AB e que AB = 5+1 AC (o nmero e ca a a u 2 2 5+1 2

conhecido como n mero ureo). Mostre que todo segmento possui uma seo urea. e u a ca a

27

Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos a

3.2

Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos a... dene-se ngulo e diz como medi-los; d-se uma maneira a a de comparar ngulos. a

e a 3.17 Denio. Angulo uma gura formada pela unio de duas semi-retas distintas ca que possuem a mesma origem e no esto contidas na mesma reta. a a Angulo raso a unio de duas semi-retas opostas. Semi-retas coincidentes denem e a um ngulo nulo. a As semi-retas so chamadas lados do ngulo e a origem comum o vrtice do ngulo. a a e e a 3.18 Observao. Muitos so os modos para se representar um ngulo; assim, se O o ca a a e vrtice e se A e B so pontos quaisquer distintos de O, um em cada lado do ngulo, este e a a a ngulo pode ser denotado por AOB ou B OA, (Figura 3.3). Nesta notao, a letra que denomina ca o vrtice deve sempre aparecer entre as e A outras duas. Caso nenhum outro ngulo a tenha o mesmo vrtice, podemos utilizar e s a letra que designa o vrtice para repreo e O sentar o ngulo. Assim, o ngulo represena a B tado na Figura 3.3 poderia ser denominado Figura 3.3: Angulo AOB ou O e ngulo . simplesmente por O. Em vrias ocasies a a o e comum utilizar-se letras do alfabeto grego para representar um ngulo; neste caso, escreve-se, prximo do vrtice e entre as duas a o e semi-retas, a letra que designa o ngulo (Figura 3.3). a

.

.

3.19 Observao. Dado um tringulo ABC, os ngulos ABC, B AC e ACB so ditos ca a a a os ngulos internos do tringulo ABC. a a De modo anlogo `quele utilizado para se introduzir medida de segmento, a medida a a de um ngulo feita atravs de alguns axiomas apropriados. a e e

Axioma 12 Existe uma funo que a cada ngulo associa um nmero real positivo. ca a u

3.20 Denio. O nmero associado a um ngulo, a que se refere o axioma 12, ca u a e chamado medida do ngulo. a 3.21 Observao. Via de regras, representaremos um ngulo e sua medida pelo mesmo ca a s mbolo. Assim, os s mbolos AOB e sero usados tanto para denotar um ngulo quanto a a a sua medida. 28

Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos a Sabemos que uma reta divide um plano em dois semiplanos (axioma 10). Tomemos um ponto O pertencente a uma reta r e uma semi-reta OP , P contido no semiplano H determinado por r. Nessa situao dizeca mos que a semi-reta divide o semiplano H. Fixemos ento um nmero real a u positivo K.#

P

.

H

O

.

r

Figura 3.4: Semiplano H determinado por r.

Axioma 13 Existe uma bijeo que a cada semi-reta OP que divide H associa um ca nmero real p ]0, K[. Sendo a e b, respectivamente, os nmeros associados as semi-retas u u OA e OB que dividem H, a medida do ngulo AOB o nmero |a b|. a e u"

!

Axioma 14 A uma das semi-retas de r com origem O est associado o nmero 0 e ` a u a semi-reta oposta a ela est associado o nmero K. A medida do ngulo nulo zero e a a u a e medida do ngulo raso K. a e

3.22 Observao. No caso em que K = 180 temos o modo usual de medir ngulo, ca a que aquele onde usamos um transferidor. A medida de ngulos feita nesse sistema e a de coordenadas d o resultado em graus. Falaremos em ngulo de x graus ou x onde a a 0 x 180. Quando K = 200 a medida em grado e quando K = a medida est e a dada em radiano . Daqui por diante, salvo meno em contrrio, vamos assumir que os ca a a ngulos so medidos em graus. a 3.23 Observao. Exibida uma correspondncia caracterizada pelos Ax. 13 e 14, a cada ca e semi-reta ca associado um nmero real entre 0 e K chamado coordenada da semi-reta. u 3.24 Denio. Consideremos as semi-retas OA, OB e OC. Se o segmento AB interca cepta OC, dizemos que OC divide o ngulo AOB. a 3.25 Exerc cio. Mostre que se OC divide o ngulo AOB independente a escolha dos a e pontos A e B nas semi-retas OA e OB, respectivamente. O prximo axioma vai estabelecer a propriedade da aditividade, coisa que se espera o de uma medida de ngulo. Para fazer isso, vamos considerar trs semi-retas de mesma a e origem OA, OB e OC, tais que as duas ultimas estejam contidas, propriamente, num dos semiplanos determinados pela reta que contm OA. e 29

Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos a

Axioma 15 Se uma semi-reta OC divide um ngulo AOB, ento AOB = AOC + C OB, a a e reciprocamente.

3.26 Exerc cio. Se a, b so as coordenadas dos lados do ngulo AOB, ento a medida a a a de AOB dada por |a b|. (Resulta diretamente do Ax. 13). e 3.27 Teorema. Para qualquer ngulo AOB, existe uma unica semi-reta OC que divide a AOB, tal que AOC = C OB. Prova: Vide exerc 3.53. cio 3.28 Denio. A semi-reta OC do teorema acima, chamada bissetriz do ngulo ca e a AOB. 3.29 Observao. O teorema 3.27 mostra que todo ngulo tem uma bissetriz e ela ca a e unica. Vamos introduzir, baseados nos axiomas at agora xados, algumas denies que e co estabelecero terminologias uteis. a 3.30 Denio. Dois ngulos so consecutivos se eles tm um lado em comum. Se os ca a a e outros lados dos ngulos esto em semiplanos opostos, denidos pelo lado comum, esses a a a ngulos so ditos adjacentes. (A Figura 3.5 ilustra a diferena entre ngulos consecutivos a c a e adjacentes) Prolongar um lado de um ngulo signica a tomar a semi-reta oposta a esse lado. A semiA reta assim obtida dita ser o prolongamento e C do lado do ngulo. Dados dois ngulos, se a a a soma de suas medidas 180 eles so ditos sue a plementares. O B Se a soma das medidas de dois ngulos 90 a e eles so ditos complementares. Dizemos que a Figura 3.5: Os ngulos AOB e B OC a a e a so consecutivos mas no so adja- um ngulo complemento de outro ngulo se a a a eles forem adjacentes e complementares. centes.

.

.

.

3.31 Denio. Um suplemento de um ngulo um ngulo adjacente a esse ngulo, ca a e a a obtido pelo prolongamento de um de seus lados. 3.32 Exerc cio. Mostre que um ngulo e seu suplemento so ngulos suplementares. a a a 3.33 Exerc cio. Mostre que se dois ngulos tm a mesma medida, o mesmo ocorre com a e os seus suplementos. 30

Angulo e Axiomas sobre medida de ngulos a 3.34 Denio. Angulos opostos pelo vrtice so aqueles que os lados de um so as ca e a a respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. 3.35 Teorema. Angulos opostos pelo vrtice tm a mesma medida. e e 3.36 Exerc cio. Prove o teorema anterior. 3.37 Denio. Angulo reto um ngulo cuja medida 90 . ca e a e 3.38 Denio. Se um ngulo mede menos que 90 ele dito agudo, e dito obtuso ca a e e se mede mais de 90 . 3.39 Exerc cio. Mostre que o suplemento de um ngulo reto tambm um ngulo reto. a e e a 3.40 Teorema. Se duas retas so concorrentes e denem quatro ngulos tais que um a a deles reto, ento os outros trs tambm so retos. e a e e a 3.41 Exerc cio. Prove o teorema anterior. O teorema 3.40 motiva a seguinte denio: ca 3.42 Denio. Duas retas concorrentes so perpendiculares se um dos quatro ngulos ca a a que elas denem reto. e 3.43 Denio. Duas semi-retas de mesma origem so perpendiculares se cada uma ca a delas est contida em retas perpendiculares. a O teorema seguinte d uma caracterizao de retas perpendiculares. a ca 3.44 Teorema. Duas retas concorrentes so perpendiculares se, e somente se, formam a a ngulos adjacentes suplementares de mesma medida. 3.45 Exerc cio. Prove o teorema anterior. Denimos quando duas retas so perpendiculares, mas, at agora, no exibimos uma a e a situao mostrando que, de fato, nossa denio no vazia de signicado, isto , ainda ca ca a e e no mostramos que existem retas perpendiculares (falar de elefante cor-de-rosa no implica a a que exista elefante com essa cor). s Construo de retas perpendiculares. ca Consideremos uma reta r e tomemos em r um ponto A (...podemos?). Esse ponto determina em r duas semi-retas que denem um ngulo raso. Alm a e disso, a reta r determina dois semiplanos. Consider A remos um desses semiplanos. Dentre todas as semiretas com origem em A e contidas nesse semiplano, a existe uma cuja coordenada o nmero 90. Esta semi- Figura 3.6: As retas r e s so pere u reta forma com as semi-retas determinadas em r, pelo pendiculares.

.

31

Exerc cios complementares ponto A, dois ngulos com medidas iguais a 90 (por que?). Logo, a semi-reta assim cona stru est contida numa reta s que contm o ponto A e perpendicular ` reta r dada. da a e e a Assim, r e s so perpendiculares. Os argumentos acima provam que retas perpendiculares a existem. Unicidade de retas perpendiculares passando por um ponto. Com um pouco mais de trabalho, podemos mostrar que a reta s passando por A e perpendicular ` r unica. a e De fato, suponhamos que s e s so duas retas perpendiculares a r passando por A. As a intersees de s e s com um dos semiplanos so semi-retas, cujas coordenadas chamaremos co a de c e c , respectivamente. Pelo axioma 13 segue que as semi-retas determinadas por A em r, tm coordenadas e iguais a 0 e 180. Como r, s so perpendiculares e a medida do ngulo entre elas dada por a a e |180 c| ou por |0 c| , segue que |180 c| = 90 ou |0 c| = 90. Analisemos o caso em que |180 c| = 90. Como r, s so perpendiculares e a medida do ngulo entre elas dada a a e por |180 c | temos tambm que |180 c | = 90, logo, |180 c| = |180 c | . Observe que e os nmeros c e c pertencem ao intervalo (0, 180) , o que nos permite reescrever a ultima u igualdade como 180 c = 180 c e, ento, c = c . a Como a correspondncia entre semi-retas que dividem um dado semiplano e nmeros e u do intervalo (0, 180) uma funo injetora, as semi-retas consideradas so coincidentes e, e ca a da s e s coincidem. , Os resultados obtidos acima podem ser reunidos no seguinte teorema: 3.46 Teorema. Dada uma reta, por qualquer um de seus pontos passa uma unica reta perpendicular a ela. 3.47 Denio. Dado um segmento AB, a reta perpendicular a AB passando pelo seu ca ponto mdio chamada mediatriz do segmento AB. e e

3.3


3.48 Exerc cio. (Generalizao do teorema 3.8) Em qualquer segmento AB, mostre que existe caum unico ponto C entre A e B tal que AC = kAB, onde k qualquer nmero real, 0 < k < 1. e u

3.49 Exerc cio. Mostre que se A e B so dois pontos distintos e k > 0 um nmero real, a e u existe um unico ponto P AB tal que AP = kAB.

3.50 Exerc cio. a) Prove que dois ngulos que tm o mesmo complemento possuem a mesma a emedida. b) Sabe-se que dois ngulos so complementares. Calcule a medida desses ngulos sabendo a a a que o suplemento do maior igual a 7 vezes o menor. e

3.51 Exerc cio. Prove que se um ngulo e seu suplemento tm a mesma medida ento ele a e a eum ngulo reto. a

32

Exerc cios complementares 3.52 Exerc cio. Mostre que:a) O suplemento de um ngulo obtuso sempre agudo. a e b) O complemento de um ngulo agudo sempre agudo. O suplemento de um ngulo agudo a e a sempre obtuso? e

3.53 Exerc cio. Prove o teorema 3.27 (sugesto: faa uma demonstrao anloga ` do teoa c ca a arema 3.8).

3.54 Exerc cio. Prove que as bissetrizes de dois ngulos opostos pelo vrtice so semi-retas a e aopostas.

3.55 Exerc cio. Prove que a bissetriz de um ngulo e a de um de seus suplementos so semia aretas perpendiculares entre si.

3.56 Exerc cio. Prove que se as bissetrizes de dois ngulos adjacentes so perpendiculares, a aento os ngulos so suplementares. a a a

3.57 Exerc cio. Prove que as retas perpendiculares ` bissetriz, com origem no vrtice de um a ea ngulo, formam ngulos de iguais medidas com os lados do ngulo dado. a a

3.58 Exerc cio. Considere o ngulo AOB (no nulo e no raso). Seja OA,B o semiplano a a adeterminado pela reta OA, que contm o ponto B, e OB,A o semiplano determinado pela reta e OB e que contm o ponto A. Mostre que o conjunto OA,B OB,A convexo. O conjunto e e OA,B OB,A AOB chamado interior do ngulo AOB e ser indicado por intAOB, e e a a cada um de seus pontos chamado ponto interior do ngulo AOB. e a AOB = C OD, OB est contida no interior de AOC e OC est contida no interior de B OD. a a Mostre que AOC = B OD.

3.59 Exerc cio. Considere quatro semi-retas, OA, OB, OC e OD, de mesma origem, tais que

existe uma unica semi-reta OC tal que C OB = k AOB.

3.60 Exerc cio. Dado um ngulo AOB e um nmero real positivo k, 0 < k < 1, mostre que a u

3.61 Exerc cio. Se traarmos n semi-retas de mesma origem, OAi , i = 1, 2, ..., n, n 2, cquantos ngulos elas determinam? a

3.62 Exerc cio. Pergunta-se: a que horas o ponteiro das horas de um relgio ser a bissetriz o ado ngulo formado pelo ponteiro dos minutos e a posio dos mesmos, ao meio-dia. a ca

33


34

Cap tulo 4 Axiomas de Congruncia eA partir das noes de medida de segmentos e de ngulos co a so introduzidos os conceitos de congruncia de segmena e tos, ngulos e tringulos. So apresentados, tambm, teoa a a e remas que do condies sucientes para a congruncia de a co e tringulos. a

4.1

Axiomas sobre congruncia de segmentos, ngulos e a e tringulos a... denem o conceito de congruncia ou igualdade de e segmentos de retas, tringulos. e ngulos. a a

4.1 Denio. Dois segmentos so congruentes se eles tm a mesma medida. ca a e 4.2 Denio. Dois ngulos so congruentes se eles tm a mesma medida. ca a a e 4.3 Observao. Usamos o termo congruentes, e no iguais, para distinguir do termo ca a igual, que signica, matematicamente, o mesmo objeto matemtico. a Indicamos congruncia entre segmentos (ngulos) AB e CD (A e B) escrevendo AB e a a CD (A B); assim, AB CD AB = CD (A B A = B). E fcil ver que a relao ca satisfaz as seguintes propriedades: (i) (reexiva) AB AB. (ii) (simtrica) Se AB CD, ento CD AB. e a (iii) (transitiva) Se AB CD e CD EF , ento AB EF . a Assim, a relao de congruncia entre segmentos uma relao de equivalncia. ca e e ca e 4.4 Exerc cio. Mostrar que congruncia entre ngulos tambm uma relao de equivalncia. e a e e ca e 4.5 Denio. Dois tringulos ABC e XY Z so congruentes se existe uma aplicao ca a a ca bijetora : {A, B, C} {X, Y, Z} 35

Axiomas sobre congruncia de segmentos, ngulos e tringulos e a a com a seguinte propriedade: se X = (A), Y = (B) e Z = (C) ento a A X, B Y, AB XY , AC XZ, C Z, BC Y Z.

A aplicao chamada de congruncia. ca e e Os vrtices A e X, B e Y , C e Z so ditos correspondentes. Angulos correspone a dentes so aqueles cujos vrtices so correspondentes, e lados correspondentes so os a e a a lados cujas extremidades so vrtices correspondentes. a e Se os tringulos ABC e XY Z so congruentes, escrevemos ABC XY Z, signicando a a que a congruncia leva A em X, B em Y e C em Z. e 4.6 Exerc cio. Mostre que a relao de congruncia entre dois tringulos uma relao ca e a e ca de equivalncia. e O axioma seguinte estabelece a existncia de tringulos congruentes. e a

Axioma 16 Sejam ABC um tringulo e r uma semi-reta. Existe um tringulo ABC, a a congruente ao tringulo ABC, tal que A coincide com a origem de r, o vrtice B pertence a e a r e C um ponto contido num dos semiplanos denidos pela reta r que contm r. e e

O lema seguinte nos fala sobre a existncia de segmentos congruentes. e 4.7 Lema. (Transporte de segmentos) Sejam AB um segmento e r uma semi-reta. Existe um unico segmento A B contido em r onde A coincide com a origem de r e tal que A B AB. Prova: (Existncia) Tome um ponto C que no pertence ` reta AB (tal ponto e a a existe?) determinando o ABC. Pelo axioma 16, existe um tringulo A B C , congruente a ao tringulo ABC, tal que A coincide com a origem de r , o vrtice B pertence ` r e a e a C um ponto num dos semiplanos denidos pela reta r que contm r . Pela denio de e e ca congruncia de tringulos, A B AB. e a (Unicidade) Suponhamos que, alm do ponto B obtido acima, tal que A B AB, e possamos marcar outro ponto B pertencente a r , B = B , tal que A B AB. Dos trs pontos A , B , B , um deve estar entre os outros dois; ele no pode ser A , pois B e e a B no so separados pela origem da semi-reta. Se B que est entre A e B , ento a a e a a A B = A B + B B , e da B B = 0 o que imposs e vel, pois B = B . Assim, B no a est entre A e B . Concluso anloga obteremos supondo que B est entre A e B . Isto a a a a uma contradio; logo, B = B e, da temos conclu a prova da unicidade. e ca , da O lema seguinte nos fala sobre a existncia de ngulos congruentes. e a 4.8 Lema. (Transporte de ngulos) Sejam AOB um ngulo e r uma semi-reta. a a Existe um unico ngulo A O B , em que o vrtice O coincide com a origem de r , um lado a e coincide com r e A O B AOB. 36

Axiomas sobre congruncia de segmentos, ngulos e tringulos e a a 4.9 Exerc cio. Demonstre o lema 4.8 (sugesto: considere o tringulo AOB e use o axia a oma 16; no esquea que este tambm um resultado que envolve existncia e unicidade). a c e e e

Axioma 17 Se dois tringulos ABC e XY Z so tais que AB XY , A X e AC XZ, a a ento ABC XY Z. a

O axioma acima conhecido como e Primeiro Caso de Congruncia de e Tringulos ou simplesmente, caso LAL. a

B|

Y|||

4.10 Observao. Pela denio 4.5, para ca ca vericarmos a congruncia de dois tringulos e a || || A C X Z temos que vericar seis relaes: conco gruncia dos trs pares de lados corree e Figura 4.1: O Caso LAL de congruncia de e spondentes e congruncia dos trs pares e e tringulos. a de angulos correspondentes. No entanto, o axioma 17 arma que suciente vericar apenas trs delas, isto : e e e AB XY AB XY , AC XZ, BC Y Z e AC XZ = A X, B Y , C Z. AX|

Os resultados que seguem so conseqncias diretas, ou indiretas, do axioma 17. a ue 4.11 Teorema. (Segundo Caso de Congruncia de Tringulos ou caso ALA) e a Dois tringulos ABC e XY Z so congruentes se AB XY , A X e B Y . a a Prova: Sejam ABC e XY Z tringulos tais que AB XY, A X e B Y . Seja a D um ponto da semi-reta AC tal que AD XZ (existe este ponto?). Consideremos o tringulo ABD e comparemo-lo com o tringulo XY Z. Uma vez que AD XZ, AB a a XY e A X, pelo axioma 17 segue que ABD XY Z. Conclu mos da que ABD Y . Logo ABD ABC. Decorre da que as semi-retas BD e BC C Z coincidem. Logo, pelo teorema 2.9, os pontos C e D coincidem, e ento os tringulos a a ABC e ABD tambm coincidem e, pore tanto, ABC ABD. Como ABD | | B X Y XY Z, pela transitividade da relao A ca segue que ABC XY Z. A seguir, denimos alguns conceitos Figura 4.2: O Caso ALA de congruncia de e que sero uteis para xar linguagem sobre tringulos. a a tringulos. a|

|

37

||

|

Axiomas sobre congruncia de segmentos, ngulos e tringulos e a a 4.12 Denio. (a) Um tringulo que tem dois lados congruentes dito issceles. O ca a e o vrtice comum a esses dois lados chamado vrtice do tringulo isceles, os lados cone e e a o gruentes so chamados laterais e o terceiro lado chamado base. Os ngulos adjacentes a e a a ` base so chamados ngulos da base. a a (b) Um tringulo que tem os trs lados congruentes chamado equiltero. a e e a (c) Um tringulo que tem um ngulo reto chamado retngulo. Os lados que a a e a denem o ngulo reto so chamados catetos e o terceiro lado chamado hipotenusa do a a e tringulo. a Seja ABC um tringulo e D um ponto da reta determinada por B e C. a 4.13 Denio. (a) Se D for o ponto mdio do segmento BC, o segmento AD chamado ca e e e mediana do ABC relativamente ao lado BC (ao vrtice A). (b) Se D tal que S(AD) divide o ngulo C AB em dois ngulos congruentes, isto , e a a e C AD DAB, dizemos que AD bissetriz do ngulo A. e a (c) Se D tal que a reta determinada por A e D perpendicular ` reta determinada e e a e e por B e C, dizemos que AD altura do ABC relativamente ao lado BC (ou ao vrtice A). 4.14 Observao. A existncia da altura de um tringulo ser garantida no prximo ca e a a o cap tulo. 4.15 Exerc cio. Mostre que nas denies 4.12 e 4.13, os objetos ali apresentados esto co a bem denidos. 4.16 Teorema. Em qualquer tringulo issceles, os ngulos da base so congruentes. a o a a Prova: Seja ABC um tringulo issceles em que AB AC. Queremos provar que a o B C. Para isso vamos comparar o tringulo ABC com ele mesmo, denindo a seguinte a lei de correspondncia: e : {A, B, C} {A, B, C} tal que (A) = A, (B) = C e (C) = B. Por hiptese AB AC e AC AB. Como A A, segue, pelo axioma 17, que esta o correspondncia dene uma congruncia, isto , ABC ACB. Logo, B C. e e e 4.17 Teorema. Se um tringulo tem dois ngulos congruentes, ento ele issceles. a a a e o 4.18 Exerc cio. Prove o teorema 4.17. 4.19 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo issceles a mediana relativamente ` a o a base tambm altura e bissetriz. e e 4.20 Teorema. (Terceiro Caso de Congruncia de Tringulos ou caso LLL) e a Dois tringulos so congruentes se eles tm os lados correspondentes congruentes. a a e 38

Exerc cios complementares Prova: Sejam ABC e XY Z dois tringulos tais que AB XY , AC XZ e BC a Y Z. Mostremos que ABC XY Z. Consideremos a semi-reta S(AB) e escolhamos o semiplano denido pela reta determinada por A e B e oposto `quele que contm o vrtice a e e C. Construamos um ngulo com vrtice A, congruente ao ngulo X, tendo por lados S(AB) a e a e uma semi-reta r contida no semiplano escolhido acima. A partir de A, marquemos em r um ponto D tal que AD XZ (certique-se de que tudo isso poss de ser constru e vel do!). o Como AB XY (por hiptese), C Z AD XZ (por construo) e ca DAB X (por construo), temos ca que ADB XZY . Consideremos o segmento CD; como AD XZ AC e DB ZY CB, os tringulos a || || A B X Y ADC e DBC so issceles. Segue, a o da que ADB ACB. Pelo axioma , e 17, temos que ADB ACB. Mas Figura 4.3: O Caso LLL de congruncia de tringulos. a hav amos provado que ADB XZY logo ACB XZY ou ABC XY Z.||

||

|

4.21 Exerc cio. Enuncie os casos de congruncia de tringulos utilizando-se somente de e a palavras. (Sem uso de notaes simblicas). co o

4.2


4.22 Exerc cio. Estude a possibilidade de construir um tringulo issceles cujos lados medem a oa e b sendo a > b.

4.23 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo issceles as bissetrizes dos ngulos da base a o aso congruentes. a

4.24 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo equiltero as trs bissetrizes so congrua a e aentes.

4.25 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo issceles as medianas relativamente, aos a oa ngulos da base, so congruentes. a

4.26 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo equiltero as trs medianas so congruentes. a a e a 4.27 Exerc cio. Prove que em dois tringulos congruentes as bissetrizes dos ngulos respeca ativamente congruentes so congruentes. a

4.28 Exerc cio. Prove que em dois tringulos congruentes as medianas relativas a lados reaspectivamente congruentes so congruentes. a

39

||

|

Exerc cios complementares 4.29 Exerc cio. Detalhe o procedimento que voc utilizaria para construir um tringulo cone agruente a um tringulo dado. a

4.30 Exerc cio. Prove que todo tringulo, no qual uma altura e uma bissetriz so coincidentes, a a issceles. e o

4.31 Exerc cio. Prove que todo tringulo, no qual uma altura e uma mediana so coincia adentes, issceles. e o

4.32 Exerc cio. Prove que todo tringulo equiltero tem os trs ngulos congruentes, e recipa a e arocamente. suas respectivas bissetrizes OM , ON e marcam-se sobre as semi-retas OX, OM , OY , ON OZ, respectivamente, os segmentos congruentes OA OB OC OD OE. Encontre a relao ca entre os segmentos AB, BC, CD e DE. Compare os ngulos B AC e DCE. a

4.33 Exerc cio. So dados dois ngulos adjacentes congruentes: X OY e Y OZ. Traam-se a a c

4.34 Exerc cio. Duas estradas retil neas ligam uma cidade A a duas cidades B e C, conforme indicado na gura 4.4. Indique uma estratgia que permita voc determinar a e e distncia entre as cidades B e C, sabendo que entre B e C existe um morro (qualquer a medio que no seja atravs do morro poss ca a e e vel).B

. .C

A

.Figura 4.4: Exerc 4.34 cio

4.35 Exerc cio. Na gura 4.5, os tringulos ABC e ABD so issceles com base comum a a o AB. Prove que os ngulos C AD e C BD so congruentes e que CD bissetriz do ngulo a a e a ACB.C

D

A

B

B

Figura 4.5: Exerc 4.35. cio

40

Exerc cios complementares 4.36 Exerc cio. Na gura 4.5, o ngulo C M A reto e M ponto mdio de AB.Prove a e e e que AC BC.

A

.

M

B

.C

Figura 4.6: Exerc cios 4.36.

41


42

Cap tulo 5 Desigualdades nos Tringulos aEstabelece-se, usando o teorema do ngulo externo, a exa istncia de retas paralelas, a existncia e unicidade da pere e pendicular a uma reta dada passando por um ponto no a pertencente a essa reta, e uma condio necessria para ca a que trs n meros positivos possam ser comprimentos de e u lados de um tringulo. a

5.1

O teorema do ngulo externo e algumas de suas a conseqncias ue

5.1 Denio. Os suplementos dos ngulos internos de um tringulo so chamados ca a a a ngulos externos do tringulo. a a 5.2 Teorema. (Teorema do Angulo Externo) Um ngulo externo de um tringulo a a mede mais do que qualquer um dos ngulos internos no adjacentes a ele. a a Prova: Seja ABC um tringulo qualquer. Na semi-reta AB, marquemos um ponto a D tal que B esteja entre A e D. O teorema estar provado se mostrarmos que C BD > C a e C BD > A. Mostremos, inicialmente, que C BD > C. Para isso, consideremos o ponto mdio e C N M do segmento BC. Na semi-reta S(AM ) marquemos um ponto N tal que AM N e AM = M N. Ficam, assim, denidos os tringulos CM A e BM N. a M Como CM = BM, AM = M N e AM C = B M N (por qu?), segue que e A B D os tringulos CM A e BM N so congrua a entes. Logo, C = M BN. Como a semi-reta Figura 5.1: O Teorema do Angulo Externo. BN divide o ngulo C BD ento M BN < a a C BD e, da C < C BD. De modo anlogo, o leitor pode provar que C BD > A. , a

.

43

O teorema do ngulo externo e algumas de suas conseqncias a ue 5.3 Exerc cio. Complete a demonstrao do teorema anterior. ca 5.4 Corolrio. A soma das medidas de quaisquer dois ngulos internos de um tringulo a a a menor do que 180 . e Prova: Seja ABC um tringulo qualquer; mostremos que A + B < 180 . Chamemos a de a medida do ngulo externo deste tringulo com vrtice em B. Pelo teorema 5.2 a a e < . Como e B so suplementares, temos que + B = 180 . Logo temos que A a + B < + B = 180 . A 5.5 Corolrio. Em todo tringulo existem pelo menos dois ngulos internos agudos. a a a Prova: Suponhamos que um tringulo possu a sse dois ngulos internos no agudos. a a Neste caso a soma deles seria maior ou igual a 180 , o que no pode ocorrer devido ao a teorema 5.4. Logo, vale o corolrio. a 5.6 Denio. Duas retas que no se interceptam so ditas paralelas. ca a a 5.7 Corolrio. Se r e s so retas distintas e perpendiculares a uma terceira, ento r e s a a a so paralelas. a Prova: Se r e s se interceptassem, ter amos denido um tringulo com dois ngulos a a retos, o que um absurdo devido ao corolrio 5.5. e a 5.8 Teorema. (Quarto Caso de Congruncia de Tringulos ou caso LAA ) e a Dois tringulos ABC e XY Z so congruentes se AB XY , B Y e C Z. a a 5.9 Observao. O s ca mbolo A do teorema anterior representa o ngulo oposto ao lado a BC de um tringulo ABC. a 5.10 Exerc cio. Prove o teorema anterior. 5.11 Exerc cio. Mostre que existem retas paralelas (sugesto: use o teorema 3.46). a O teorema seguinte nos fornecer um outro mtodo para constru a e rmos retas perpendiculares. Como consequncia do corolrio 5.7, podemos usar este mtodo para construir e a e retas paralelas. 5.12 Teorema. Por um ponto no pertencente a uma reta passa uma unica reta perpena dicular ` essa reta. a Prova: (Existncia) Seja r uma reta e P um ponto no pertencente ` r. Tomemos e a a em r um ponto A, qualquer. Consideremos o segmento AP ; se AP j perpendicular ` ae a r, acabamos de construir a reta procurada, a saber, aquela determinada por A e P . Caso contrrio, observemos que A divide a reta r em duas semi-retas, r e r. A a semi-reta S(AP ) dene, com uma dessas semi-retas, um ngulo agudo com vrtice em A. a e Suponhamos que r seja essa semi-reta e chamemos esse ngulo de P Ar . a 44

Desigualdades nos tringulos a Consideremos, agora, o semiplano denido pela reta r e que no contm P ; nesse a e semiplano construamos uma semi-reta s com origem A e que dena com r um ngulo a congruente a P Ar . Sobre essa semi-reta tomemos um ponto P tal que AP = AP . Mostremos que o segmento P P perpendice r' P ular ` r. De fato, uma vez que P e P so pona a tos pertencentes a semiplanos distintos determinados por r, temos que P P intercepta r num M unico ponto M . Ficam assim denidos dois tringulos, P AM a e P AM . Desde que AP = AP , P AM = P AM s' A P' e AM = AM, os tringulos P AM e P AM so a a r'' congruentes, e da P M A = P M A. Isso implica , que P P perpendicular ` r (vide teorema 3.44) e a e da a reta s determinada por P e P perpen, e Figura 5.2: Teorema 5.12. dicular ` r. Acabamos de provar a existncia. a e (Unicidade) Alm de s, suponhamos que exista outra reta, t, que passa por P e e e perpendicular ` r. Neste caso, ter a amos um tringulo com dois ngulos retos, o que um a a e absurdo de acordo com o corolrio 5.5. Logo, a reta passando por P e perpendicular ` r a a unica. e 5.13 Denio. (a) O ponto M no teorema 5.12 chamado de p da perpendicular ca e e baixada do ponto P a reta r. (b) Se N qualquer outro ponto de r, distinto de M, dizemos que o segmento P N e e obl quo em relao a r. ca (c) O segmento M N chamado de projeo de P N sobre a reta r. e ca (d) O nmero P M chamado de distncia do ponto P a reta r. u e a 5.14 Observao. Na denio 4.13, deniu-se altura de um tringulo, mas nada garanca ca a tia sua existncia; esta agora garantida pelo teorema 5.12. e e

5.2

Desigualdades nos tringulos a

5.15 Teorema. Se num tringulo, dois de seus lados no so congruentes, ento os a a a a a ngulos que se opem a esses lados no tm mesma medida e ao maior lado ope-se o a e o o maior ngulo. a Prova: Suponhamos que no tringulo considerado os ngulos que se opem aos dois laa a o dos no congruentes tenham mesma medida; pelo teorema 4.17, resulta que esse tringulo a a issceles, o que um absurdo. Logo, vale a primeira acertiva do teorema. e o e Mostremos agora que ao maior lado ope-se o maior ngulo. Para isso, consideremos o a um tringulo ABC tal que AB > BC; mostremos que ACB > B AC. Sobre a semi-reta a S(BA) , a partir de B, marquemos um ponto X tal que BC = BX. Pelo lema 3.4, como 45

Desigualdades nos tringulos a BC < AB, o ponto X pertence ao segmento AB, e da a semi-reta CX divide o ngulo , a ACB. Logo, tem-se ACB > B CX. (5.1) No entanto, observemos que B CX = C XB > X AC = B AC, (5.2)

uma vez que o tringulo BCX issceles, e a desigualdade ocorre, uma vez que C XB a e o e a ngulo externo do tringulo CAX. Logo, de (5.1) e (5.2), temos que ACB > B AC. a 5.16 Corolrio. Se num tringulo, dois de seus ngulos no so congruentes, ento os a a a a a a lados que se opem a esses ngulos no tm a mesma medida e ao maior ngulo ope-se o a a e a o o maior lado. 5.17 Exerc cio. Prove o corolrio anterior (sugesto: a primeira parte deste corolrio a a a segue diretamente do teorema 4.17; a prova da segunda parte uma aplicao esperta e ca do teorema 5.15). 5.18 Teorema. Em qualquer tringulo, o comprimento de um lado menor do que a a e soma dos comprimentos dos outros dois. Prova: Consideremos um tringulo qualquer ABC; mostremos que AC < AB + BC. a Para tanto, na semi-reta S(AB) , tomemos C um ponto X de tal modo que B est ena tre A e X, e que BX = BC. Assim, o tringulo CBX issceles com vrtice B a e o e e AX = AB + BC. Logo, temos B CX = B XC. Como B est entre A e X temos a B X A que B XC = B CX < ACX. Logo, pelo corolrio 5.16, segue-se que AC < AX, e a Figura 5.3: Teorema 5.18. da AC < AB + BC. 5.19 Teorema. (Desigualdade triangular) Para quaisquer trs pontos distintos A, B, C e (colineares ou no) tem-se AB AC + CB. A igualdade vale se, e somente se, A C B. a 5.20 Exerc cio. Prove o teorema anterior. 5.21 Observao. Para podermos construir um tringulo cujos lados tm comprimentos ca a e dados, tais comprimentos devem, necessariamente, satisfazer ` desigualdade triangular. a Assim, imposs construir um tringulo cujos lados medem 4, 5 e 11. e vel a 5.22 Teorema. Em qualquer tringulo, o comprimento de um lado maior do que a a e diferena dos comprimentos dos outros dois. c 5.23 Exerc cio. Prove o teorema anterior. 46


5.3


5.24 Exerc cio. A soma dos comprimentos dos lados de um tringulo seu per a e metro, e ametade do per metro o semiper e metro. Mostre que o comprimento de qualquer lado de um tringulo menor do que seu semiper a e metro.

5.25 Exerc cio. Justique as seguintes armaes relativas a tringulos retngulos: co a aa) os ngulos opostos aos catetos so agudos; a a b) o comprimento da hipotenusa maior do que o comprimento de qualquer cateto; e c) o comprimento da hipotenusa menor do que a soma dos comprimentos dos catetos. e d) Se dois tringulos retngulos so congruentes, os ngulos retos devem se corresponder; a a a a e) (Congruncia de tringulos retngulos) Sejam ABC e A B C dois tringulos retngulos e a a a a cujos ngulos retos so A e A , respectivamente. Mostre que a a a a a i) se BA B A e C C ento os tringulos so congruentes, ii) se CB C B e BA B A ento os tringulos so congruentes, a a a iii) se CB C B e C C ento os tringulos so congruentes. a a a

5.26 Exerc cio. O exerc 5.25-e-(ii) caracteriza um caso (LLA) de congruncia de tringulos cio e aretngulos. Mostre que esse no um caso de congruncia para tringulos no-retngulos. a a e e a a a

5.27 Exerc cio. Mostre que o lugar geomtrico dos pontos eqidistantes de dois pontos A, B, e u a mediatriz do segmento AB (a expresso lugar geomtrico dos pontos signica conjunto e a e dos pontos).

5.28 Exerc cio. Mostre que o lugar geomtrico dos pontos eqidistantes das semi-retas S(OA) e ue S(OB) a bissetriz do ngulo AOB. e a

5.29 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo issceles as alturas relativas aos lados cona ogruentes so congruentes. a

5.30 Exerc cio. Prove que um tringulo que possui duas alturas congruentes issceles. a e o 5.31 Exerc cio. Prove que um tringulo equiltero tem as trs alturas congruentes. a a e 5.32 Exerc cio. Prove que em tringulos congruentes as alturas relativas a lados respectivaamente congruentes so congruentes. a

5.33 Exerc cio. Mostre que, num tringulo retngulo cujos ngulos agudos medem 30 e 60 , a a ao menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa, e reciprocamente.

5.34 Exerc cio. Prove que tringulos que tm dois ngulos externos congruentes so issceles. a e a a o 5.35 Exerc cio. Prove que todo tringulo retngulo tem dois ngulos externos obtusos. a a a 5.36 Exerc cio. Com relao ` denio 5.13, mostre que P N > P M e P N > N M. ca a ca 47

Exerc cios complementares 5.37 Exerc cio. Mostre que o ponto P obtido na demonstrao do teorema 5.12, independe cado ponto A escolhido sobre a reta r.

5.38 Exerc cio. Na construo feita no teorema 5.12, o ponto P , obtido a partir do ponto caP e da reta r, chamado de reexo do ponto P relativamente ` reta r (ou imagem de P e a relativamente ` reta r). Mostre que P o reexo de P relativamente ` reta r se, e somente se, a e a P P perpendicular ` r e r intercepta P P no seu ponto mdio. e a e

5.39 Exerc cio. Se P r, por denio, P = P . Seja r uma reta xada no plano; designemos capor r a funo que a cada ponto do plano associa o seu reexo relativamente ` reta r. Esta ca a funo chamada reexo. Prove que a funo reexo goza das seguintes propriedades: ca e a ca a i) para todo ponto P do plano, r (r (P )) = P ; ii) r uma isometria, isto , ela preserva distncia entre pontos do plano. Assim, para e e a quaisquer pontos P e Q do plano, tem-se: r (P )r (Q) = P Q; iii) se P r e Q r e Q = r (Q) ento r a bissetriz do ngulo QP Q . / a e a

5.40 Exerc cio. Mostre que poss e vel, utilizando somente uma rgua no graduada e um e acompasso, construir um tringulo cujos lados so segmentos (dados) com comprimentos a, b, c a a tais que c < a + b, sendo c o maior lado do tringulo. a

5.41 Exerc cio. Dados dois pontos, A e B, no pertencentes a uma reta r, mostre que existe a um ponto X sobre r tal que AX + XB m e nimo. Considere os dois casos: a) A e B esto em asemiplanos distintos relativamente a r; b) A e B esto em um mesmo semiplano relativamente a a r.

5.42 Exerc cio. Na gura 5.4 (pg.7), = ; mostre que as retas r e s so paralelas. a a 5.43 Exerc cio. Use o exerc 5.42 para construir duas retas paralelas. cio 5.44 Exerc cio. Na gura 5.5 (pg.7), r e s so retas perpendiculares e P, Q so pontos dados. a a aDetermine o caminho mais curto para se ir do ponto P ao ponto Q tocando-se uma unica vez em cada reta.

5.45 Exerc cio. Na gura 5.6 (pg.7), se ABC equiltero e AD = BE = CF, mostre que o a e atringulo EDF equiltero. a e a

5.46 Exerc cio. Prove que em qualquer tringulo, a soma dos comprimentos das medianas aest compreendida entre o per a metro e o semiper metro.

5.47 Exerc cio. Se ABC um tringulo e P um ponto de seu interior, mostre que vale a e a relao: P A + P BCA + CB. ca 48

Exerc cios complementares 5.48 Exerc cio. Se ABC um tringulo e P um ponto de seu interior, mostre que a soma e adas distncias de P aos trs vrtices est compreendida entre o per a e e a metro e o semiper metro do referido tringulo. a

5.49 Exerc cio. Mostre que, dados uma reta e um ponto no pertencente a ela, dentre toados os segmentos com uma extremidade neste ponto e outra num ponto da reta, o de menor comprimento aquele que perpendicular ` reta dada. e e a

t r

s

Figura 5.4: t transversal as retas r e s.

As

.P .Qr

F E B D C

Figura 5.5: rs

Figura 5.6: Exerc 5.45 cio

49


50

Cap tulo 6 Axioma das ParalelasO corolrio 5.7 acena para a possibilidade de existirem retas a paralelas; os teoremas 3.46 e 5.12 do meios de construir retas a paralelas e, da permitir armar que elas existem. O axioma , seguinte arma a unicidade de reta passando por um ponto e paralela a uma reta dada.

6.1

O axioma das paralelas e algumas consequncias e

Axioma 18 Por um ponto no pertencente a uma reta r passa uma unica reta paralela ` r. a a

Deste axioma decorre que o paralelismo de retas goza da propriedade transitiva, como mostra o teorema seguinte. 6.1 Teorema. Sejam r, s, w retas duas a duas distintas. Se r paralela ` s e s paralela ` w, e a e a ento r paralela a w. a e Prova: Se r e w no fossem paralelas, elas seriam concorrentes num ponto P (teorema 2.9); a desse modo ter amos duas retas passando por um ponto e paralelas a s, o que contradiz o axioma 18. Assim, r e w so paralelas. a 6.2 Teorema. Se uma reta intercepta uma de duas retas paralelas, ento ela tambm intercepta a e a outra. Prova: Se r e s so retas paralelas e se t interceptasse uma delas, digamos r, num ponto a P , mas no interceptasse a outra, s, ter a amos, passando por P , duas retas, r e t, paralelas ` s. a Isto contradiria o axioma 18. Antes de enunciarmos as proposies que garantem paralelismo, vamos, para efeito de nomenco clatura, dar algumas denies. Dadas duas retas r e s, cortadas por uma reta transversal t, co cam determinados oito ngulos, como os indicados na gura 6.1. a

51

O axioma das paralelas e algumas consequncias et ^ 6 ^ 7

^ 5 ^ 8 ^ 2 ^ 1 ^ 3 ^ 4

r

s

Os pares 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 so ngulos correa a spondentes. Os pares 1 e 7, 2 e 8 so ngulos alternos internos. a a Os pares 3 e 5, 4 e 6 so ngulos alternos externos. a a Os pares 1 e 8, 2 e 7 so ngulos colaterais internos. a a Os pares 4 e 5, 3 e 6 so ngulos colaterais extera a nos. 6.3 Exerc cio. Conclua que 1 = 3, 2 = 4, 5 = 7 e 6 = 8.

Figura 6.1: Retas r, s e t.

6.4 Exerc cio. Mostre que se 1 = 5 ento 2 = 6, 3 = 7 e a 4 = 8.

Os teoremas seguintes do meios de se poder armar o paralelismo de duas retas. a 6.5 Teorema. Se r e s so retas cortadas por uma transversal t, de modo que um par de a a ngulos correspondentes (alternos internos) so congruentes, ento as retas r e s so paralelas. a a a Prova: Suponhamos que r e s se interceptem num ponto P ; se A o ponto de interseo e ca de r com t e B o ponto de interseo de s com t, os trs pontos A, B, P denem um tringulo ca e a ABP (gura 6.2). Suponhamos que 3 e 7 o par de ngulos e a t r correspondentes que, por hiptese, so cono a gruentes. No tringulo ABP , 3 um ngulo a e a externo e 7 um ngulo interno no adjacente e a a ^ ao ngulo 3. Pelo teorema do ngulo externo a a 7 (teorema 5.2), ter amos 3 = 7, o que contraria a hiptese de serem congruentes. Logo, r e s o ^ 2 s no se interceptam. a

.

P

^ 3

Figura 6.2: Tringulo ABP. a

6.6 Exerc cio. Prove o teorema anterior, no caso em que um par de ngulos alternos intera nos so congruentes. a

6.7 Corolrio. Se r e s so retas cortadas por uma transversal, t, de modo que um par de a a a ngulos alternos externos so congruentes, ento as retas r e s so paralelas. a a a 6.8 Corolrio. Se r e s so retas cortadas por uma transversal t, de modo que um par de a a a ngulos colaterais internos (colaterais externos) so suplementares, ento as retas r e s so a a a paralelas. 6.9 Corolrio. Se r e s so retas cortadas por uma transversal t, de modo que um par de a a a ngulos colaterais internos (colaterais externos) no so suplementares, ento as retas r e s no a a a a so paralelas. a 6.10 Exerc cio. Prove o corolrio acima. a O rec proco do teorema 6.5 tambm verdadeiro, e um resultado importante que ser e e e a registrado no seguinte:

52

O axioma das paralelas e algumas consequncias e6.11 Teorema. Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ngulos a correspondentes congruentes. Prova: Sejam r e s duas retas paralelas e t uma reta que corta r e s nos pontos A e B, respectivamente. Consideremos r uma reta passando por A e que t r' forma com t quatro ngulos congruentes aos ngulos a a correspondentes formados por s e t. Pelo teorema A 6.5, r e s so paralelas. Pelo axioma 18, r e r devem a r ser coincidentes. Logo, r forma ngulos com a reta a t congruentes aos correspondentes formados por s e t. 6.12 Exerc cio. Prove o teorema anterior no caso em que um par de ngulos alternos internos so cona a gruentes.

B

s

Figura 6.3: Teorema 6.11

6.13 Exerc cio. Prove que duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam a ngulos alternos externos congruentes. 6.14 Exerc cio. Prove que duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam a ngulos colaterais internos (colaterais externos) suplementares. 6.15 Teorema. a) Se uma reta r paralela ` uma reta s e uma reta m paralela ` uma reta e a e a n, de tal modo que m transversal a r e s, ento o mesmo ocorre com n. e a b) Segmentos de paralelas compreendidos entre paralelas so congruentes. a 6.16 Exerc cio. Prove o teorema 6.15 6.17 Teorema. Prove que o segmento de paralela ` base do ABC pelo ponto mdio M do a e lado AB, passa pelo ponto mdio do outro lado e mede a metade do comprimento da base BC. e 6.18 Exerc cio. Prove o teorema 6.17 6.19 Observao. O axioma 18 (axioma das paralelas), da forma como est enunciado, ca a e atribu ao matemtico escocs John Playfair (1748 1819), embora j fosse conhecido por do a e a Proclus, no sculo V d.C. e usado por vrios autores. Euclides (300 a.C.) apresentou um e a axioma das paralelas (quinto postulado) numa forma um pouco diferente, a saber: Se uma linha reta encontrando-se com outras duas retas zer ngulos internos da mesma parte menores a que dois retos, estas duas retas, prolongadas ao innito, concorrero para a mesma parte dos a ditos ngulos internos. Outros quatro axiomas, xados por Euclides no Elementos so os a a seguintes: 1- Pode-se traar uma reta passando por dois pontos; c 2- Uma reta pode ser continuada at onde seja necessrio; e a 3- Pode-se traar uma circunferncia com qualquer centro e qualquer distncia; c e a 4- Todos os ngulos retos so iguais. a a No Elementos de Euclides, as 28 primeiras proposies do Livro 1 foram demonstradas co somente com base nos quatro axiomas acima. Pode-se provar que nosso axioma 18, junto com

53

O axioma das paralelas e algumas consequncias eos quatro axiomas acima, equivalente `quele enunciado por Euclides. Outras declaraes que e a co podem ser tomadas como axiomas no lugar do axioma das paralelas, e que do origem `s mesmas a a proposies demonstradas no Elementos, podem ser encontradas em [13]. co 6.20 Teorema. A soma das medidas dos ngulos internos de qualquer tringulo 180 . a a e Prova: Seja ABC um tringulo qualquer. Pelo vrtice C, consideremos a reta paralela ao a e lado AB. C determina sobre essa reta duas semi-retas, S(CX) e S(CY ) , onde X um ponto no e semiplano determinado pela reta BC e que no contm A, enquanto Y um ponto no semiplano a e e determinado pela reta AC e que no contm B. Temos que: a e X CB + B CA + ACY = 1 raso.

.Y A

C

.X B

Como as retas determinadas por X, Y e por A, B, respectivamente, so paralelas e a reta dea terminada por A, C transversal a elas, o teorema e 6.11 implica que ACY = B AC. Analogamente, conclu mos que X CB = C BA. Logo C BA + B CA + = 1 raso ou, A + B + C = 180 . B AC

Figura 6.4: Teorema 6.206.21 Corolrio. Em qualquer tringulo, a medida de um ngulo externo igual ` soma das a a a e a medidas dos ngulos internos que no lhe so adjacentes. a a a 6.22 Exerc cio. Prove o corolrio anterior. a 6.23 Exerc cio. Mostre que, num tringulo retngulo a soma das medidas dos ngulos agudos a a a 90 . e 6.24 Exerc cio. Os ngulos internos de um tringulo equiltero medem 60 . Prove isso. a a a 6.25 Teorema. Se r e s so retas paralelas, ento qualquer ponto de r dista igualmente de s. a a 6.26 Exerc cio. Prove o teorema anterior (sugesto: utilize o teorema 6.15). a O teorema 6.25 motiva a seguinte denio. ca 6.27 Denio. A distncia entre duas retas paralelas a distncia de um ponto qualquer ca a e a de uma delas a outra. A distncia entre duas retas concorrentes zero. a e 6.28 Observao. Pode-se provar que o teorema 5.4 (ou teorema 5.12), junto com os quatros ca primeiros postulados de Euclides, equivalente ao axioma das paralelas. e

54


6.2

Construo de um sistema de coordenadas no ca plano

Sejam r e s retas concorrentes num ponto O. Em cada uma delas tomamos um sistema de coordenadas que tenha o ponto O como origem. Chamamos a reta r de eixo das abscissas e a reta s de eixo das ordenadas. O par ordenado de retas (r, s) chamado um sistema e de coordenadas, e o ponto O, a origem do sistema. Dado um ponto P do plano, a ele e associamos um par ordenado de nmeros reais como segue. u (a) Se P r, ento associamos a P o par (x, 0) , a s sendo x a coordenada de P em relao ` r. ca a y (b) Se P s, ento associamos a P o par (0, y) , a P. sendo y a coordenada de P em relao ` s. ca a (c) Se P r e P s, ento passamos por P uma / / a paralela ` s, que encontra r num ponto cuja coora denada chamaremos de x, e uma paralela ` r, que a x O r encontra s num ponto cuja coordenada chamaremos de y. Ao ponto P associamos o par (x, y) acima constru do. Figura 6.5: Sistema de coordenadas no O par de nmeros reais (x, y) , por denio, plano. u e ca as coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas (r, s) . O nmero x chamado de abscissa de P e o nmero y de ordenada de P. u e u Quando as retas r e s so perpendiculares, o sistema de coordenadas (r, s) chamado de a e sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. 6.29 Observao. A aplicao que a cada ponto do plano associa um par ordenado de nmeros ca ca u reais, como denido acima, bijetiva. Isto nos permite identicar pontos do plano com pares e ordenados de nmeros reais, abrindo a possibilidade de resolvermos problemas geomtricos utiu e lizando lgebra, como se faz normalmente em Geometria Anal a tica. Por isso muitas vezes escrevemos P = (x, y) . 6.30 Exerc cio. Justique a armao feita na observao 6.29. ca ca

6.3


6.31 Exerc cio. Prove que a bissetriz de um ngulo externo, relativo ao vrtice de um tringulo a e a issceles, paralela ` base desse tringulo. o e a a 6.32 E

GeometriaPlana

Documents

Transcript of GeometriaPlana