geometria_descriptiva

Diapositiva 1¿Qué es la Geometría Descriptiva?
Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones.
La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal.
Concepto
¿Qué es una Proyección?
Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie.
Principios de la proyección
Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano de proyección de las visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a representar
Teoría de la Proyección
En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados
Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en si.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección.
1.- Teoría De la Proyección
Proyección
Geometría Descriptiva
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie.
Principios de la proyección
Unidad Nº 2
Vistas múltiples
Sistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.
Tipos de sistemas de representación
Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección.
Sistema Diédrico
Sistema de representación en perspectiva
El término de diédirco viene de la obtención de una doble proyección ortogonal, (la proyección vertical y horizontal del cualquier objeto).
Se aplica la proyección horizontal pero utilizada solamente en el plano de proyección horizontal. Las distancias de los diferentes puntos al plano horizontal se les llama cota.
Nos permite mostrar en un solo plano de proyección las tres dimensiones del objeto. Se representa el objeto tridimensionalmente y se pueda aplicar tanto la proyección cilíndrica como la cónica
Unidad Nº 2
Sistemas de representación
Este depende a la conveniencia del campo de trabajo del ingeniero y la manera de comunicación gráfica del objeto. Por ejemplo en el área de topografía, el sistema acotado es utilizado para la elaboración de planos de curvas de niveles. El sistema más utilizado por el ingeniero es el Diédrico, y se utiliza la perspectiva como complemento de información del trabajo a desarrollar.
Es por ende que se utilizará para el desarrollo de esta unidad el sistema diédrico como sistema de representación para la comunicación gráfica de los diferentes elementos en el espacio en el campo de la ingeniería.
Sistema diédrico y cuadrantes espaciales
Refiere los problemas espaciales a dos planos de proyección perpendiculares entre si. La intersección de estos dos planos forma la línea de tierra, dividiendo el plano vertical y el horizontal en dos semiplanos, formando cuatro diedros o cuadrantes.
Unidad Nº 2
Vista de canto del Sistema Diédrico
Existen dos planos de posición, el I Bisector que divide al I y III diedro en partes iguales y el IIº Bisector que divide al II y al IV diedro.
Los planos horizontales y verticales son planos de proyección y los bisectores son solo planos de posición.
Nota
PH
PV
Para representar un objeto en el espacio abatimos el plano horizontal alrededor de la L.T.
Al ver la vista ortogonal del abatimiento, el Semiplano Horizontal Posterior (SHP) se confunde con el SVI y el Semiplano Horizontal Anterior (SHA) se confunde con el SVS
Teoría del giro
Unidad Nº 2
DIEDROS
P
P
v
PV
P
h
PH
P
P
h
v
Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección horizontal
Es el elemento geométrico mas simple en el espacio
Determinación de un punto mediante coordenadas
P ( 95, 60, 40)
P ( x, y, z )
X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil
Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano vertical)
Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal
O
Iº
IIº
IVº
IIIº
Y
-Y
Z
-Z
El punto tiene coordenadas (+ ; - ; -) esta en el III diedro.
Para el replanteo en vista de canto la distancia en X no se toma en cuenta
P
P
h
P
V
Estos pueden determinarse en una vista de canto. Los signos dependen de la posición que se encuentre el punto con respecto a los diedros.
Vista de canto
Unidad Nº 2
Las posiciones fundamentales que puede ocupar un punto en el espacio son 13
3.2.- Alfabeto del punto. Representación espacial del punto en los diferentes diedros.
A- En el I diedro
B- En el II diedro
C- En el III diedro
D- En el IV diedro
Vista de canto
I(20;50;50)
I
I
h
v
I
-y
z
-z
L
J
N
M
K
N
hv
M
J
J
M
v
v
h
h
O
h
J
hv
v
J
v
K
h
K
L
L
v
h
v
M
M
h
N
Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera:
Unidad Nº 2
Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: mas alto, mas bajo).
Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este, oeste; inclinación).
Ejemplo:
Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un alejamiento de 2m y un aprtamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m al sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100.
Ejercicios prácticos
1- Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran: A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).
Práctica Nº 3
3.- El Punto
La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una dirección y pendiente constante.
En el espacio la línea recta esta definida, bien sea por dos puntos o un punto y una dirección.
Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula.
Concepto
O
A
V
B
h
V
B
A
A
A
h
v
B
B
B
h
v
representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B)
Ejemplo:
r
Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección (horizontal, vertical o frontal y de perfil) esta pueden recibir diferentes denominaciones.
Tipos de rectas
De Pie AB
De Punta CD
Horizontal GH
Oblicua IJ
Recta de Punta (CD):
Recta frontal (EF):
Recta paralela a la L.T.
Es paralelo a la línea de tierra
Recta Horizontal (GH):
Recta oblicua (IJ):
Recta de Perfil (LK):
N
M
N
N
v
h
M
M
v
F
E
F
F
v
h
E
E
v
h
D
C
CD
D
v
h
h
C
B
B
v
h
v
A
A
B
L
v
H
G
H
H
v
h
G
G
v
h
I
J
h
K
K
K
v
L
h
L
v
J
h
J
h
v
Unidad Nº 2
Trazas de la recta
La traza (o intersección) es el punto de penetración de una recta en un plano de proyección también se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta.
Para que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyección sobre la proyección de la recta
Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).
Traza Vertical
Se determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de tierra encontrando el punto V (Vh=0) donde corta con la proyección vertical.
Traza Horizontal
Se determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra encontrando el punto H (Hv=0) donde corta con la proyección horizontal.
Ejemplo:
Distancia y verdadera magnitud de la recta
Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, su distancia se puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela.
Método del triángulo de rebatimiento:
Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.
Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes métodos para determinar su verdadera distancia en el espacio.
Ba´
A
B
β
β
α
α
dv
dc
dc
dv
Ba
Método del triángulo de rebatimiento:
Ba´
A
B
β
β
α
α
dv
dc
dc
dv
Ba
Para determinar la verdadera magnitud:
Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular (BvBa´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde AvBa´ es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β(beta) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.
Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular (BvBa) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α(alfa) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.
Unidad Nº 2
Ba´
A
B
β
β
α
α
dc
dc
dv
Ba
Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela.
Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) y determinamos su verdadera magnitud (AvBa´) sobre el verdadero tamaño medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá proporcionalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud
Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)
dv
C
C
d
Ángulo de una recta
Una recta en el espacio forma generalmente un ángulo α (alfa) con el plano horizontal y un ángulo β (beta) con el plano vertical
Se debe verificar que la suma de dichos ángulos tienen que estar comprendida entre 0º y 90º
Ejemplos:
α=0º
β= 90º
β= º
α=0º
β=0º
Se determina por el método de triángulo de rebatimiento
Se puede medir en un plano lateral y los ángulos son complementarios α y β suman 90º
α
β
z
y
dv
dc
dv
dc
Para problemas de rectas de perfil casi siempre es necesaria construir al lado de la recta de perfil, una vista auxiliar de perfil (paralela al plano de perfil para resolverlos, (donde la recta se muestra en verdadero tamaño).
Unidad Nº 2
Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección, (conociendo sus ángulos α y β por medio de triángulos de rebatimiento).
Cuando la recta no es paralela a los planos de proyección se recurre al triangulo de rebatimiento para determinar las proyecciones de esta
Dado el punto “A” se desea conocer las proyecciones de una recta dada por el segmento AB que forma un ángulo α y β con los planos de proyección.
Se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento pero empezando a dibujar en un lugar arbitrario la hipotenusa que es el segmento AB (distancia conocida en V.T.).
Para obtener las proyecciones (PV y PH) dibujamos los catetos adyacentes que estarán determinada por los ángulos α y β.
Y para determinar la distancia de la PH y la PV se traza desde “B” perpendiculares a estas, quedando genera con PV dv y con PH dc.
Teniendo generada la PH y PV del segmento AB y sus dv y dc, se procede a colocar las proyecciones de estas en doble proyección ortogonal con respecto al punto “A”
Hay varias soluciones del problema cuando B tiene mayor cota o menor cota, mayor vuelo o menor vuelo, o si B este a la izquierda del punto A.
Otra solución PH de AB
Otra solución PV de AB
< cota q´ A
> cota q´A
< vuelo q´ A
> vuelo q´A
Unidad Nº 2
Construcción de una recta, mediante un Punto y una dirección,
Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB) y el ángulo α (ángulo con el mismo plano cuya proyección se conoce), ¿construir la recta sabiendo que pasa por “A”.?
La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento, el problema se resuelve en determinar la diferencia de cota, para ello utilizamos la proyección horizontal en el cual se traza el ángulo α dado y trazando una perpendicular desde la P.H. del segmento AB y con la intersección de la hipotenusa o segmento en verdadera magnitud queda generada la dc (diferencia de cotas de los dos puntos.
Determinada dc, se procede a dibujar la proyección desde Av
Datos:
Solución:
Unidad Nº 2
Conociendo la Proyección Horizontal (P.H.) de una recta (AB), y el ángulo que forme con el plano vertical (β). determinar la proyección vertical de ella, y que pase por el punto “A”.
Datos:
Solución:
Determinamos dv? mediante la P.H. de AB conociendo β
La P.V. del segmento AB se obtiene con el método de triangulo de rebatimiento.
El problema se resuelve en dibujar un triángulo arbitrario conociendo el ángulo β delimitado con el cateto opuesto que será la dv de AB, quedando generada así la P.V. de segmento AB.
Luego se coloca este segmento (PV) en la proyección vertical de la recta desde Av.
A
B
β
dv
Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo β el problema es similar al ejemplo primero anterior.
Si conocemos la proyección vertical (PV) y el ángulo α el problema es similar al ejemplo segundo anterior.
dv
A
B
β
dv
PH ?
dv ?
PH
Orientación y pendiente de una recta
Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con el eje coordendao Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º
Unidad Nº 2
Orientación de una recta con respecto a un punto
Ejemplo: Dado el punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientación N 66º E.
4.- La recta
Orientación y pendiente de una recta
Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta en el espacio con el plano horizontal de proyección. Se proyectará en verdadera magnitud en un plano vertical paralelo a la recta.
Unidad Nº 2
Pendiente de una recta con respecto a un punto
La pendiente se puede denotar en ángulos o en porcentaje. Para determinar la pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ángulo determina el valor de la pendiente en base al 100%.
En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la línea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ángullo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la línea de tierra.
Pendiente determinado por ángulo
Pendiente determinado por porcentaje
Representación del punto y la recta en el sistema diédrico
Ejercicios propuestos
1- Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB.
5. Dado el punto C( 30; 15; 40):
a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.
b) Hallar las trazas.
1 – Dada una mina de cobre:
a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].
b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.
c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión de la recta "r" que mide 45 mt.
d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH.
e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D
Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.
2- Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10).
a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A.
b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón).
c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie.
d) Determinar el Angulo b de AH.
Representación de la recta en el Sistema Diédrico
Rectas en posiciones notables
Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta y trazas y verdadera magnitud del segmento AB.
Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV.
La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal que es el punto Qh, no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV.
La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyección de la recta.
Solución de ejercicios.
1 – Práctica Nº4
Av
Bv
Ah
Bh
Qv
Qh
Ah
Av
Hh
Hv
Bv
Bh
Dado el punto C( 30; 15; 40):
a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D.
b) Hallar las trazas.
56.unknown
1 – Dada una mina de cobre:
a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)].
b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB.
c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión de la recta "r" que mide 45 mt.
d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH.
e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D
Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE.
Solución de ejercicios.
2 – Práctica Nº5
2- Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10).
a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A.
b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón).
c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie.
d) Determinar el Angulo b de AH.
Estudio de las superficies plana
Material de apoyo para la construcción de cuerpos en el espacio
Unidad Nº2
Unidad Nº2
Estudio de superficies planas
El plano es un lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se denomina con letras griegas (αβΩπΦ…).
Concepto del plano
Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).
Un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas).
Representación de un plano
La forma mas expresiva de representar un plano es a través de sus trazas. Las trazas del plano son rectas del plano (V y H) que se originan por la intersección del plano en el espacio con los planos de proyección; determinando la posición de este.
Traza vertical (V): recta del plano contenida en el plano vertical. (recta frontal).
Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en el plano horizontal (recta horizontal)
Ejemplo: representación de un plano Ω (omega) dado por sus trazas.
El Plano
Estudio de superficies planas
Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω). Es conveniente conocer sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante.
Tipos de planos
Tipos de planos
a) Plano oblicuo
VΩ
HΩ
Ω
VΩ
HΩ
Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección
Sus trazas son paralelas a la L. T.
El Plano
El Plano
f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal
VΩ
Ω
HΩ
HΩ
VΩ
Ω
HΩ
VΩ
HΩ
VΩ
Ω
HΩ
VΩ
HVΩ
B
A
HVΩ
HVΩ
Formas de determinar un plano
Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir ciertas condiciones como son:
Planos determinados por dos rectas que se cortan
Planos determinado por 3 puntos no alineados
Planos determinados por un punto y una recta
Plano determinado por sus trazas.
Planos determinado por 2 rectas paralelas
Ω
a
b
Ω
a
b
P
P
P
El Plano
e) Planos dado por sus trazas
VΩ
HΩ
El Plano
Como determinar las trazas de un plano.
Como determinar las trazas de un plano
Dado una plano β por 2 rectas paralelas (a y b) se pide determinar sus trazas.
β
a
b
Para obtener la traza de un plano se deben conseguir 2 puntos de esta.
Para obtener la traza Vert. Se consiguen las trazas verticales de 2 rectas del plano.
Para obtener la traza Horiz. Se consiguen las trazas horizontales de las 2 rectas del plano.
Vβ
Hβ
Vβ
Vβ
Hβ
Vβ
a
b
a
b
a
b
Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber como representar un punto o una recta cualquiera contenida en si.
P
Para que un punto tal como P pase por un plano ab es condición de que sea de una recta (“c”) perteneciente al plano.
Se conoce el plano ab y la proyección vertical de P, determinar su proyección horizontal sabiendo que esta en el plano ab.
Para que P este en el plano tiene que estar en “c” que es una recta del plano
Toda recta para que pertenezca a un plano debe pasar por 2 puntos de ese plano
c
Rectas características
Rectas Características
Es un recta horizontal (h) que se encuentra contenida en el plano
hv es paralela a la L.T. y hh a la traza Horizontal.
Recta Horizontal (h) de un plano
Se les llama rectas características de un plano a todas las rectas horizontales y frontales de este
Recta Frontal (f) de un plano
h
Es un recta frontal (f) que se encuentra contenida en el plano
fh es paralela a la L.T. y fv a la traza Horizontal.
Vβ
Hβ
f
Rectas características
Rectas Características
Es perpendicular a la traza horizontal al igual que todas las rectas horizontales del plano
Determina el ángulo (α) que forma dicho plano con el plano horizontal.
Para obtener α en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PH.
Recta de máxima pendiente
dc
Vβ
Hβ
dc
α
B
Es perpendicular a la traza vertical al igual que todas las rectas frontales del plano. Determina el ángulo (β) que forma dicho plano con el P.V.
Para obtener β en verdadera amplitud se determina por el método de triangulo de rebatimiento sobre la PV.
El Plano
α
β
α + β = 90º
Cuando el plano pasa o es paralelo a la LT
α+β>90ºy<180
Casos restantes
(los ángulos se determinan con rectas de máxima pendiente e inclinación)
α
β
Determinar las trazas del Plano δ definido por dos rectas paralelas.
a {K(20;25;10) L(30;05;25)},
Esquema espacial
Dado un Plano {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano
El Plano
Esquema espacial
Dado un Plano {X(10; 0; 0), H(80; 70; 0) y V(80; 0; 40)} Se pide: a) Determinar las proyecciones de los Puntos I, J, K, que pertenecen al plano mediante una recta cualquiera, horizontal y frontal, respectivamente. I(30; 10; ?), J(35; ?; 10), K(40; 15; ?); b) Hallar la recta horizontal de Cota 20, del plano y hallar la Frontal de Vuelo 25 del plano
El Plano
Determine los ángulos que forma el plano {X(15; 0; 0), H(80; 75; 0) y V(80; 0; 45)} con los planos de proyección.
p
v
p
h
i
v
i
h
A
h
A
v
B
h
B
v
C
v
C
h
D
v
D
h
p
i
A
B
α
β
dv
dc
D
C
Construcciones geométricas en método directo
Construcciones geométricas en métodos directo
1.Se dan: A (20;35;25) y B (45;25;??). Se pide: Halle las proyecciones de un pentágono regular contenido en un plano Horizontal, donde AB es un lado del polígono. Tomar la solución de mayor vuelo. Halle las trazas del plano.
2.Se pide determinar las proyecciones de un hexágono regular ABCDEF contenido en un plano De Perfil que pasa por el punto A (45;40;15), sabiendo que el lado AB es una recta De Pié y mide 20 mm (B mayor cota que A). Tomar la solución de menor vuelo. Dibuje las trazas del plano.
Es la obtención de la proyección de los cuerpos en el espacio directamente sobre los planos de proyección, esto se logra cuando estos tienen posiciones características, sus partes son paralelas o perpendiculares a los planos de proyección.
El Plano
Construcciones geométricas en métodos directo
3.Se da el punto A (40;00;25). Determine las proyecciones de un triángulo rectángulo ABC contenido en un plano Paralelo a la Línea de Tierra. El lado AB es un segmento paralelo al plano vertical y mide 35 mm. El segmento BC es De Perfil y mide 40 mm. Dibujar las trazas del plano.
4.Se dan los puntos: M (40;20;30) y N (60;40;05). Se pide determinar las proyecciones de un triángulo MNP contenido en un plano Proyectante Horizontal, donde MN y MP tienen igual longitud. El lado MP es una recta Horizontal (P a la derecha de M). Halle las trazas del plano.
El Plano
Construcciones geométricas en métodos indirecto
Se utiliza la formación de sistemas auxiliares de planos de proyección, empleando un nuevo plano de proyección como una vista auxiliar.
Una vista auxiliar primaria se obtiene por la proyección sobre un plano que es perpendicular a uno de los 3 principales.
Una vista auxiliar secundaria se obtiene por la proyección sobre un plano auxiliar primario.
Para este método es importante tener claro que la distancia de un punto en el espacio a un plano de proyección, se proyecta en los planos adyacentes perpendicularmente.
Método por cambio de plano.
PV
PH
H-3
LT
H
3
d
d
H
3
Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano horizontal”:
d
V
3
Representación de un plano auxiliar primario o línea de giro “perpendicular a un plano vertical”:
PV
A veces conviene cambiar los planos sucesivamente hasta obtener la posición deseada.
Si construimos un plano auxiliar secundario, se toman las coordenadas de la pareja inmediata anterior.
3
4
d
d
H
3
d
V
3
d
d
PV
PH
H-3
A
PV
Obtención de una recta en verdadero tamaño
Se logra a través de la obtención de un nuevo plano de proyección auxiliar paralelo a una de las proyecciones del segmento de la recta.
PV
PH
H
3
H
3
A
B
LT
Obtención de una recta perpendicular al plano de proyección
Se debe proyectar como punto, es decir que sea perpendicular a un plano de proyección y paralelo al otro.
Pasos:
a) Primero se proyecta un plano auxiliar primario paralelo a la recta obteniendo su verdadera magnitud.
b) luego, se proyecta un plano auxiliar secundario perpendicular a la recta; donde se obtendrá la proyección como punto.
H
3
Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección
Para obtener un plano auxiliar de proyección perpendicular a una plano (o superficie plana), se debe trazar un plano auxiliar o línea de giro perpendicular a una recta característica (o traza) del plano dado.
H-3
Si no tenemos las trazas se pueden determinar o sino, se determina con un recta característica del plano.
Obtención de un plano perpendicular al plano de proyección
h
Obtención de un plano en verdadero tamaño
Se logra a través de la construcción de un plano auxiliar paralelo al plano dado
a) Si el plano no es proyectante, Se obtiene el plano como borde a través de un plano auxiliar primario
b) Cuando el plano se muestre como borde, utilizamos un plano auxiliar paralelo a este, obteniendo una proyección paralela al plano dado (obteniendo la forma en verdadero tamaño).
Pasos:
El Plano
Se da: 1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00) y los puntos A(55; ?; 25) y C(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un cuadrado ABCD. AC diagonal del cuadrado.
Unidad Nº 2
Datos del problema
Proyectamos el plano dado como borde a través de un plano de proyección auxiliar perpendicular a una recta característica del plano dado
Con un nuevo plano auxiliar paralelo al plano visto como borde conseguimos la diagonal del cuadrado en verdadero tamaño perteneciente a
Por construcción geométrica elaboramos el cuadrado consiguiendo sus vértices faltantes
Conseguimos las proyecciones faltantes; primero en el plano como borde, y las distancias de la línea de giro 3-4 a los puntos 4 se determina las cotas del cuadrado faltante
Los vuelos de los puntos del cuadrado ubicados en el plano horizontal, corresponde a las distancias que se encuentran entre la línea de giro V-3 al plano vista como borde de cada punto respectivamente
Esquema espacial
El Plano
Dado el plano 1( 70; 00; 00), 2( 10; 60; 00) y 3( 70; 00; 30) y el punto O( 40; ??; 40), centro del pentágono. Determine las proyecciones de un pentágono A B C D E, contenido en , inscrito en una circunferencia de radio = 25 mm. O A es recta de pié.
Unidad Nº 2
Esquema espacial
El Plano
Se da el plano 1(20; 00; 00); 2(80; 00; 64); 3(90; 45; 00) y los puntos A(55; ?; 25) y D(85; ?; 40). Se pide: Construir por cambio de plano un hexágono ABCDEF. AD diagonal del hexágono.
Unidad Nº 2
Dado el plano 1( 50; 08; 30); 2( 80; 36; 30) y 3( 80; 08; 60). Determine las proyecciones de un cuadrado A B C D, contenido en , dando los vértices A( 80; 25; ??) y B ( 57; 31; ??).
Unidad Nº 2
Se da: 1(90; 45; 00); 2(30; 00; 60); 3(30; 00; 00) y la recta m A(55; ?; 25); B(75; ?; 30 Se pide: Construir por cambio de plano las proyecciones de un pentágono ABCDE contenido en el plano . AB lado del pentágono.
Unidad Nº 2
Estudio de las posiciones relativas espaciales
Unidad Nº2
Posiciones relativas espaciales
1 - Paralelismo
2 - Perpendicularidad
3 - Intersección
En todos los sistemas de proyección cilíndrica el paralelismo se conserva como propiedad proyectiva
Dos rectas que están en el espacio paralelas, sus proyecciones también se ven representadas paralelamente.
Paralelismo
Son las situaciones creadas en la interacción de diferentes elementos geométricos en el espacio tales como: rectas, rectas y planos, planos y rectas o planos y planos.
las situaciones mas características creadas entre los elementos antes mencionados son:
Paralelismo entre rectas y rectas
A
v
A
B
h
B
r
PV
PH
C
v
C
D
h
D
a
Paralelismo
C
v
B
h
A
h
D
h
C
h
A
v
B
v
D
v
v
r
r
h
v
a
a
h
Toda recta paralela a un plano ha de ser paralela a una recta perteneciente al plano
Recta paralela a un plano
Por ejemplo determinar la proyección horizontal de la recta “a”. sabiendo que es paralela al plano ABC.
En caso que ninguno de los segmentos del plano no sean paralela a la proyección vertical podemos determinarla.
“a” es paralela a “r”.
A
v
B
h
C
v
D
h
A
B
r
PV
PH
C
D
a
B
h
A
h
D
h
C
h
A
v
B
v
D
v
C
v
75.unknown
Dados por dos rectas que se cortan
Casos particulares entre dos planos paralelos
Paralelismo entre planos y planos
Es condición suficiente de que existan dos direcciones de rectas de un plano, las cuales sean paralelas a un segundo plano
Dados por dos rectas paralelas
El plano resultante debe ser paralelo a ellos y además a una recta de dirección arbitraria del plano dado.
Plano paralelo a otro dado por sus trazas por un punto cualquiera
Es condición suficiente saber que dos planos paralelos tienen sus rectas características paralelas y también sus trazas
Plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra
Casos particulares entre dos planos paralelos
Paralelismo entre planos y planos
Trazar un plano β paralelo a α y q´ pase por “P”. El ejercicio se resuelve en una vista de perfil
P
h
P
h
P
p
P
v
P
v
P
Hβ
Vβ
β
Vα
Hα
α
P.P.
Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan
Casos particulares
Perpendicularidad
Han de tener un punto en común donde forma un ángulo recto. Se evidencia en proyección en el segmento donde se muestra en verdadera magnitud.
En este sistema de proyección cilíndrica el ángulo por lo general no goza de la propiedad proyectiva y solo se manifiesta en ciertas ocasiones.
El ángulo recto no se proyecta como tal a menos que unos de los lados sea paralelo al plano de proyección, caso palpable en las rectas horizontales y frontales, donde se proyecta como ángulo recto en la proyección que se ve en verdadera magnitud.
Perpendicularidad
Perpendicularidad entre dos rectas que se cruzan
Aún cuando las proyecciones se cruzan estas son ortogonales o perpendiculares entre si.
Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan
Cuando tenemos 2 rectas y una de ellas es horizontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano horizontal, donde el segmento esta en verdadera magnitud. Y si es una recta frontal la perpendicularidad se manifiesta en el plano vertical.
Perpendicularidad
Recta perpendicular a un plano
Cuando tenemos un plano determinado por una recta horizontal y una frontal del plano (h y f) es fácil levantar una recta “p” perpendicular al plano, ya que pv es perpendicular a fv y ph es perpendicular a hh.
Por ende, las proyecciones de una recta perpendicular a un plano también es perpendicular a sus trazas.
Dada una recta “a” por el punto “B” trazar un plano perpendicular a esta recta.
El plano lo podemos definir mediante una recta frontal y horizontal que sean perpendicular a “a” y pasará por “B”.
Para determinar sus trazas basta con determinar la traza V de la recta “h”.
Plano perpendicular a una recta
v
r
r
h
r
Perpendicularidad
Se da el plano α y una recta “m”, trazar un plano β que pase por “m” y sea perpendicular al plano α.
Para ello debe existir por lo menos una recta del plano β que sea perpendicular al plano α. Basta tomar sobre la recta “m” un punto “A” y por el trazar una recta perpendicular al plano α el plano mp es perpendicular al plano.
Plano perpendicular a otro plano
Para que un plano (β) sea perpendicular a otro dado (α) debe contener otra recta que sea perpendicular a éste. En línea general, se traza una recta “p” perpendicular a β.
p
α
β
Vα
Hα
α
m
m
76.unknown
Perpendicularidad
Continuación
Vα
Hα
El resultado, aunque el nuevo plano buscado β sus trazas principales se encuentran en el segundo diedro en el espacio al intersectarse estas superficies forman perpendicularidad
α
α
β
β
Hβ
Vβ
77.unknown
Perpendicularidad
Plano perpendicular a otro plano dado por sus trazas
Cuando ambos planos están dados por sus trazas en casos particulares se pueden determinar si son o no perpendiculares entre si.
Perpendicularidad entre:
Perpendicularidad
Otros casos:
Perpendicularidad entre:
Plano vertical con uno horizontal
Plano horizontal con un plano de perfil
Vα
Hα
Vβ
β
α
α
β
Vβ
Hα
Vα
Hα
Hβ
Vβ
Z
Y
α
β
p
p
α
β
81.unknown
82.unknown
83.unknown
Intersección
Intersección entre una recta y un plano.
Es el punto común (I) entre la recta y el plano.
Para poder determinar el punto de intersección se puede suponer que detrás de la recta “r” existe otra recta “t” (recta tapada) que esta tapada por la recta “r”, teniendo las mismas proyecciones verticales de la recta “r”, perteneciente al plano a intersectar, determinando la proyección th por medio de los puntos 1 y 2.
Existen varios métodos para determinar la intersección entre recta y plano (por cambio de plano, inclusión de la recta en un plano proyectante y por método de la recta tapada); el cual, se puede seleccionar cualquiera de estos métodos en donde convenga visualizar y representar la forma mas fácil las intersecciones de los elementos geométricos en el espacio.
Intersección entre una recta y un plano, (por método de la recta tapada).
r
I
β
v
1
1
h
v
2
2
h
Intersección
Intersección entre una recta y un plano dado por sus trazas .
Si utilizamos el mismo método de la recta tapada se procede de forma similar al caso anterior.
r=recta dada y t=recta tapada.
Sabiendo que la intersección de la recta con el plano esta sobre la proyección de la recta, la recta tapada busca en ubicar una recta que contenga una proyección de la recta y que este contenida en el plano, pudiendo visualizar donde se corta en la proyección donde no esta contenida con la recta dada.
v
1
1
h
v
2
2
h
I
h
v
I
h
r
h
t
I
r
Intersección
Intersección entre una recta de perfil con un plano
Una forma de ver la intersección es colocar el plano como borde a través de cambio de plano donde podemos ver el punto de intersección.
Para determinar el punto común de intersección entre un plano y una recta, se debe proyectar este plano sobre un plano de proyección perpendicular a el y la recta proyectarla sobre esta vista como borde del plano. El punto común será el punto de intersección
Intersección entre una recta con un plano proyectante
El punto de intersección se obtiene de inmediato en la proyección de la recta con el plano donde forma perpendicularidad con un plano de proyección.
86.unknown
87.unknown
Intersección
Intersección entre dos planos
Por concepto se sabe que la intersección de dos planos es una línea recta, para conocer esta línea recta es necesario conocer dos puntos de ella. ( i = X Y).
Para determinar la intersección (i) por el método de la recta tapada, se necesita hallar las intersección de dos rectas de un mismo plano (α) con respecto a rectas del otro plano (β), por ejemplo, tomamos la recta tapada “t” contenida en EF del plano α determinada por los puntos 1y2 encontrando el primer punto de intersección X, luego tomamos la recta tapada “m” contenida en FD del plano β determinada por los puntos 3Y4 encontrando el segundo punto de intersección Y. XY determinan la recta “i”.
β
α
X
Y
i
Intersección
Intersección entre dos planos (por método cambio de plano).
Para hallar la recta de intersección “i” de dos planos se necesita la utilización de dos planos se necesita la utilización de planos auxiliares de proyección. En el plano donde se proyecta como borde se obtendrá la intersección.
Intersección
Visibilidad entre dos planos.
Como los planos en el espacio se consideran opacos, se deben determinar las partes vistas y oculta de ambos planos en cada una de las proyecciones.
Las líneas visibles se dibuja con trazo grueso de forma continua
Las líneas invisibles se dibujan con trazo grueso pero segmentado
Las líneas visibles serán las que tengan mayor altura, esto se puede determinar en la proyección vertical, por ejemplo el segmento BC y AC tienen mayor altura que las rectas del otro plano. Por lo tanto en la proyección horizontal AC y BC serán visibles hasta la intersección con el otro plano luego pasan a ser invisibles ya que se intersectan, salvo a que el plano no se tape con el otro.
Visibilidad en la proyección horizontal
Las líneas visibles serán las que estén mas cercas al observador, para esto se observará en la proyección horizontal y se verán las líneas que tengan mayor vuelo con respecto a las del otro plano, en caso que halla dudas, se pueden determinar 2 puntos donde se intersecten los dos planos en la proyección horizontal como 1 y 2, y 3 y 4, para ver cual tiene mayor cota. (2 y 4 tienen mayor cota que 1 y 3, por lo en el punto2 y 4 están mas cerca al observador que en 1 y 3 que pertenecen al otro plano. También se puede hacer el mismo procedimiento de forma inversa pero en la proyección vertical para determinar la visibilidad en la proyección horizontal..
Visibilidad en la proyección vertical
Intersección
Intersección entre dos planos dados por sus trazas
La recta de intersección (i) se consigue o queda determinada en la intersecciones de las trazas de los 2 planos dados, un punto en el plano horizontal y el otro en el plano vertical, uniendo las proyecciones homónimas verticales y horizontales de los dos puntos queda formada “i”.
Intersección de dos planos oblicuos
Casos de intersecciones
Intersección de dos planos proyectantes
Vα
Hα
Vβ
Hβ
Vα
Hα
Vβ
Hβ
Vα
Hα
Hβ
Vβ
β
α
β
α
β
α
i
i
i
v
i
i
h
v
i
i
h
v
i
i
h
88.unknown
89.unknown
90.unknown
Intersección
Casos de intersecciones
Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra
Intersección de un plano frontal y un plano horizontal
Intersección de un plano horizontal con un plano de perfil
Z
Y
β
α
Vα
Hα
Hβ
Vβ
α
β
α
Vβ
Hα
Vα
Hα
Vβ
α
β
i
i
i
β
p
p
v
i
i
h
v
i
i
h
i
h
v
i
91.unknown
92.unknown
93.unknown
Menor distancia entre elementos en el espacio
Menor distancias entre 2 puntos
La menor distancia entre 2 puntos en el espacio es una línea recta. Si la recta no es paralela a los planos de proyección se puede utilizar el método de triángulo de rebatimiento o cambio de plano para determinar su magnitud.
Menor distancia de un punto a una recta
La menor distancia entre un punto y una recta en el espacio resulta de una perpendicular a estos, que se visualiza en la proyección de la recta donde se ve en verdadera magnitud.
En caso que la recta no sea paralela a los planos de proyección utilizamos un plano auxiliar de proyección para ver su proyección en verdadero tamaño y la del punto para ver su ubicación, para así trazar la perpendicular desde el punto.
94.unknown
Menor distancia entre elementos en el espacio
Menor distancias de un punto a un plano
Para determinar la menor distancia de un punto (A) a un plano (α). Se lleva una perpendicular del punto al plano.
Para ello se necesita determinar la intersección de la recta perpendicular (r) con el plano. La recta que queda genera desde el punto dado (A) al plano donde se encuentra el punto “I” es la menor distancia entre estos dos elementos.
v
1
1
h
v
2
2
h
I
h
v
I
h
r
h
t
A
h
v
A
I
r
Ángulos
Ángulos entre dos rectas
Después de haber estudiado los elementos geométricos antes vistos rectas y planos con sus posiciones relativas espaciales en los casos de perpendicularidad el ángulo resultante es de 90 º.
Cuando estos elementos son formados con un ángulo diferente a 90º y/o no se visualiza la propiedad proyectiva se debe determinar el ángulo donde se manifieste en V.M.
Cuando dos rectas se cruzan (tal como “f” y “r”) se debe tomar sobre una de ella (un punto tal como “I”), pasando una recta paralela a una de estas (“f1”). Se determina el ángulo α que forman en “I”.
Cuando se cortan dos rectas en el espacio se generan 4 ángulos que por lo general son 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos sumando 360 grados los cuatros. Para tomar la lectura de α se toma el valor del ángulo agudo.
En el caso cuando las dos rectas son paralelas al mismo plano de proyección los ángulos que se forman se visualizan directamente. En verdadera amplitud, tomando el ángulo agudo para expresar su valor.
Ángulos
α
α-180º
f
B
A
B
r
D
C
A
C
v
v
v
A
h
C
h
D
h
α
α-180º
f1
B
A
B
r
α
C
D
C
A
I
v
v
v
C
h
A
h
D
h
B
h
Ángulos entre dos rectas
En el caso para determinar el ángulo entre dos rectas cuando estas son oblicuas, el ángulo entre estas no se visualiza en verdadera amplitud para ello se debe utilizar un método auxiliar.
Para determinar el ángulo se parte del principio que dos rectas que se cortan generan un plano ilimitado. Para observar el ángulo se debe colocar las rectas que la generan el plano en verdadera magnitud (V.M.).
Para convertir el plano limitado en ilimitado se adopta una tercera recta que corte con las dos rectas en cuestión conformando un polígono de forma triangular en el espacio.
La tercera recta trazada es una recta paralela a los planos de proyección (“f” en este caso) seleccionada para facilitar la operación por las ventajas notables que representa.
Como siguiente paso se procede a determinar la V.M. del plano limitado ABD. Visualizándose el ángulo en el vértice “A” punto de intersección original de las dos rectas que se cortan (m y n).
Para representar la V.M. en este caso se utilizó el método auxiliar triángulo de rebatimiento determinando la V.M. de los lados AD y AC construyendo la verdadera forma y tamaño de ACD construyendo la V.M. a partir de la recta “f” definida por CD en la proyección vertical donde “f” se ve en
f
A
D
C
α
α-180º
B
m
n
Ángulos
Ángulos entre recta y planos
Para obtener el valor del ángulo formado por una recta “r” y un plano “Ω” se traza desde un punto (“A”) cualquiera sobre la recta “r” en cuestión una perpendicular (“p”) al plano (“Ω”).
Se determinan las intersecciones de las rectas r y p con el plano Ω en cuestión, genera un triángulo rectángulo, donde los ángulos restantes α y son complementarios.
Si este triángulo no se visualiza en verdadera magnitud (V.M.) se debe emplear un método auxiliar para verlo en (V.M.).
Existe otra forma de medir el ángulo desde un punto arbitrario (“A”) ubicado sobre la recta (“r”) se pasa una recta perpendicular (“p”) al plano en cuestión.
El ángulo pedido es el complemento de α o sea α = 90-.
α
p
r
i

A
B
I
Ω
α
Ángulos
Ángulos entre 2 planos
Existen diferentes procedimientos que podemos utilizar para determinar el ángulo entre dos planos, el cual emplearemos el procedimiento que nos aporte una solución más sencilla.
Desde un punto cualquiera como “A” se traza una perpendicular “p” al plano “α” y “β”. Y desde los puntos de intersección (I y J) se determinan las intersecciones m y n, rectas perpendiculares a la traza común de los planos, formando un cuadrilátero AIKJ en los cuales dos de sus lados forman 90º y con los dos restante forman habrán de sumar 180º sabiendo que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º
Entonces, se deduce también que el ángulo que forman las perpendiculares p y r es igual al ángulo entre los planos “α” y “β”. El ángulo “α” es el suplemento β=180 (α = 180- β).
Para simplificar la solución de esta manera teniendo ya representada las perpendiculares “p” y “r” desde el punto “A” hacia los planos “α” y “β”. Se procede a trazar un plano horizontal “∑” que corte a las dos perpendiculares en “B” y “C” generando una recta horizontal “h” común a estas. “h” se ve en verdadera magnitud en su proyección horizontal, delimitada por “B” y “C”, luego se coloca en verdadera magnitud los lados “AB” y “BC” para visualizar el ángulo “β” y el suplemento que es el ángulo “α”.
β
α
i
β
α
α
p
r
I
J
K
A
Ángulos
96.unknown
Para medir los ángulos entre dos planos los planos, estos deben estar como borde, lo que significa que ambos están perpendiculares al plano de proyección y la recta de intersección se vera como punto en la proyección.
Se representa la recta “i” como punto en el plano 1-V, donde los planos de proyección se visualizan como borde.
Ángulos
Se determina la recta de intersección entre ambos plano (recta i). Con ayuda de le plano auxiliar H-1.
Como la recta “i” es oblicua se dibuja en un plano auxiliar 1-2, donde “i” se representa en verdadera magnitud.
Se dibuja la recta “i” como punto en el plano auxiliar 3-2, donde los planos se proyectan como borde. Se obtienen 2 ángulos iguales por oposición, asumiendo el ángulo entre los planos el de menor magnitud.
Para medir los ángulos entre dos planos los planos, estos deben estar como borde, lo que significa que ambos están perpendiculares al plano de proyección y la recta de intersección se vera como punto en la proyección.
Pasos
Ángulos
En el mismo orden de ideas, para determinar el ángulo entre los dos planos se puede representar la verdadera magnitud del cuadrilátero AIJK para este ejemplo determinado por el método auxiliar cambio de plano. El ángulo entre los dos planos se encuentra en el vértice “K” en V.M.
Otro método:
Sólidos
Unidad Nº2
Comunicación gráfica
Unidad Nº 2
Representación de Sólidos
Concepto de Sólidos
Los sólidos o también llamados cuerpos en el espacio, se encuentran definidos o limitados por varias superficies bidimensionales, dando lugar así al origen de figuras tridimensionales.
Clasificación de los sólidos
Los sólidos se clasifican según sus propiedades internas o según la superficie que los envuelve. Subdividiendose en dos grupos: poliedros y cuerpos redondos.
Poliedros
Son todos aquellos sólidos que tienen todas sus caras planas
Cuerpos Redondos
Sólidos
El prisma
El prisma esta formado por una serie de caras laterales que se cortan entre si. Esta superficie lateral formada por las caras y arista longitudinales paralelas entre si, es cortada por dos planos que generan las bases del prisma. Si los planos secantes son perpendiculares a las aristas laterales, el prisma que resulta es recto.
Las caras laterales son siempre cuadriláteros. Las caras básicas limitadas por las aristas básicas, pueden ser polígonos regulares o no. En el primer caso se denomina regular. La altura de un prisma es la perpendicular común a su base.
Se denomina paralelepípedo rectángulo a recto de base rectangular.
Poliedros Radiales
La pirámide
Es un sólido que tiene un vértice al que convergen las aristas longitudinales y una base.
Se genera deslizando una recta, que mantiene un extremo fijo al que concurren en el vértice, formando caras triangulare, apoyadas estas caras por los lados de una forma poligonal cerrada.
Prisma de base hexagonal
Prisma de base cuadrada
Pirámide de base hexagonal
Pirámide de base cuadrada
Rectos:
Cuando la base es perpendicular al eje o altura del sólido.
Oblicuos:
Cuando la base no es perpendicular al eje o altura del sólido al igual que sus aristas.
Con la base regular o irregular
Regular:
Irregular:
Puede ser una figura cerrada que no presenta regularidad geométrica entre si.
Rectos y Oblicuos.
Poliedros radiales truncados
Pirámide truncada:
Puede ser recta u oblicua. Tiene como condición que las aristas longitudinales converjan en un punto.
Prisma Truncado:
Tienen como condición que las arista longitudinales permanezcan paralelas entre si.
Etc.:
Sólidos
Pirámides
Prismas
Rectos y Oblicuos.
Poliedros radiales truncados
Llamamos poliedros regulares a los cuerpos geométricos tridimensionales que están limitados por caras planas conformados por polígonos, aristas, ángulos, etc. iguales entre si.
El número de poliedros regulares posibles existentes son cincos, el cual se describen a continuación:
Sólidos
Caras: 4 triángulos equiláteros.
Aristas: 6
Secciones principales: 6, formadas por una arista y el punto medio de la arista opuesta (ADM ver gráfico))
Características de las caras
a = Aristas del tetraedro.
AD = a (arista)
DO= 3 ON
D
A
B
C
M
N
P
O
O
D
A
M
P
A
C
a
a
a
Sólidos
h=
a
2
3
h=
a
2
3
a
2
3
B
a
2
3
a
2
3
Caras: 6 cuadrados
Vértices: 8 a cada uno concurren 3 aristas y 12 diagonales.
Aristas: 12 ortogoneles o paralelas entre si
Secciones principales: 2 secciones principales
Cada sección esta conformada de la siguiente manera:
A
B
C
G
H
E
D
O
F
A
B
C
G
H
E
D
O
F
A
B
C
G
H
E
D
O
F
Centro del cubo
Es un poliedro conformado de la siguiente manera.
Caras: 8 triángulos equiláteros, las caras opuestas son paralelas entre si.
Vértices: 6 a cada uno concurren 4 aristas
Aristas: 12
Propiedades internas del octaedro.
Secciones internas del Octaedro
a
2
a
2
3
a
2
a
2
EC=
A
N
M
C
F
E
B
D
O
A
N
M
C
F
E
B
D
O
A
N
M
C
F
E
B
D
O
E
B
C
D
M
N
O
a
Esta sección es un cuadrado de lado a igual a las aristas del octaedro
Contiene:
El centre geométrico “O”.
A
F
M
N
a
Esta sección es un cuadrado de lado a igual a las aristas del octaedro
Contiene:
El centre geométrico “O”.
La sección principal es un rombo formado por 2 triángulos equiláteros de lado a.
Contiene:
La diagonal AF
Centro geométrico o.
Unidad Nº 2
Dado el segmento de recta AC {A( 140; 68; 00) C(80; 68; 35)} Se piden las proyecciones y visibilidad de un Pirámide recta de base cuadrada ABCD. El segmento AC es diagonal de la base y recta de máxima pendiente del plano que la contiene.
La altura del sólido es 90.
Sólidos
Unidad Nº 2
Hallar las proyecciones de un Tetraedro regular ABCD, cuya base ABC se encuentra apoyada en un plano de proyectante vertical: A(78;12;35) C (49;41;59)
Sólidos
DIEDRO
Exaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
D
A
B
C
M
N
P
O
O
D
A
M
P
A
C
BB
aa
a
a
2
3
a
2
3
a
2
3
a
2
3

geometria_descriptiva

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