Geoestadistica

Geoestadstica

Robinson VILLANUEVA NEZ

LIMA PER (noviembre 2008)

Remote Sensing, Natural Resources and Environment

RESENAREN SAC

GEOESTADSTICA Pg.

1. INTRODUCCIN 6 2. APLICACIONES DE LA GEOESTADSTICA 6

CAPITULO 1.

ETAPAS DE UN PROYECTO MINERO E IMPORTANCIA DE LA GEOESTADSTICA EN MINERA

1.1. ETAPAS DE UN PROYECTO MINERO 7 1.1.1. Prospeccin 7 1.1.2. Factibilidad 7 1.1.3. Proyecto minero 8 1.1.4. Programa de explotacin 9

1.2. CAMPOS DE APLICACIN 9 1.3. IMPORTANCIA DE LAGEOESTADSTICA EN MINERA 9

CAPITULO 2. TEORA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS

2.1. DEFINICIN DE GEOESTADSTICA. 11 2.2. VARIABLES REGIONALIZADAS (V.R.) 11

2.2.1. Soporte y campo 13 CAPTULO 3

HIPTESIS DE TRABAJO Y VARIOGRAMA 3.1. HIPTESIS DE TRABAJO 14

3.1.1. Funcin aleatoria. 14 3. 2. EL VARIOGRAMA. 15 3.2.1. Propiedades de un variograma 16

3.2.1.1. Relacin con la covarianza. 16 3.2.1.2. Simetra. 16 3.2.1.3. Positividad. 16 3.2.1.4. Isotropa. 16 3.2.1.5. El variograma rinde cuenta de la regularidad de un fenmeno. 16 3.2.1.6. Incorporacin de parmetros estructurales 18

3. 3. CONTINUIDAD ESPACIAL. 19 3.3.1. Covariograma (C(h)) 19 3.3.2. Correlograma ((h)) 20

CAPITULO 4 EL SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL

2.1. DEFINICION. 22 2.2. CONSTRUCCIN DE UN VARIOGRAMA. 22 2.2.1. Soporte y regularizacin. 22 2.2.2. Construccin de un variograma 23 2.2.3. Representacin esquemtica de las iteraciones 24 2.3. ANLISIS ESTRUCTURAL. 27 2.3.1.Comportamiento del variograma en el origen 27

a) Ausencia de estructuras 27 b) Valores muy regulares y continuos 27 c) Continuidad media 28

Robinson Villanueva [email protected] 2

d) Presencia de microestructuras 28 2.3.2. Alcance. 29 2.3.3. Efecto de pepita (Co). 30 2.4. CLCULO DEL VARIOGRAMA A MALLA IRREGULAR EN DOS DIMENSIONES 31 2.4.1.Mtodo de los sectores 32 2.4.2. Mtodo del Lpiz 34 2.4.3. Rotacin y direccin 34

CAPITULO 5

EL VARIOGRAMA TERICO 5.1.MODELOS DE VARIOGRAMAS 36 5.1.1.Variograma con efecto de pepita. 36 5.1.2. Variograma con meseta. 37 5.1.3. Variograma sin meseta. 38 5.1.4. Efectos que se manifiestan en los semivariogramas: 39

a) Semivariogramas con tendencia 39 b) Efecto de agujero (trou) 40 c) Efecto proporcional 42 d) Semivariogramas compuestos 49

5.2. ISOTROPA 50 5.3. ANISOTROPA 51

5.3.1. Modelizacin de variogramas anistropos 52 5.3.2. Ejemplo de ajuste de un variograma anistropo 53 5.4. RELACIONES VOLUMEN-VARIANZA 54 5.5. REAGRUPAMIENTO DE K VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES EN UN VARIOGRAMA EXPERIMENTAL PROMEDIO 56

CAPTULO 6 VARIANZA DE ESTIMACIN

6.1. EL ERROR DE ESTIMACIN Y SU DISTRIBUCIN 58 6.2. GENERALIZACIN DE LA ESTIMACIN DE LA LEY 59 6.2.1. Error de estimacin 59 6.2.2. Varianza de estimacin e intervalo de confianza. 60 6.3. CLCULO DE LA VARIANZA DE ESTIMACIN. 61 6.3.1. Expresin matemtica. 61 6.4. VARIANZA DE EXTENSIN. 62 6.5. FUNCIONES AUXILIARES. 63 6.5.1. Unidimensionales. 63 6. 5.2. Funciones auxiliares bidimensionales. 64 6.6. EFECTO DE PEPITA . 65


6.7. CONFIGURACIONES TIPOS 65

6.7.1. Relacin importante 65 6.7.2. Reconocimiento de un tramo (galera, chimenea) 65 6.7.3. Ejemplo a dos dimensiones: reconocimiento de un panel. 67

CAPTULO 7

LA VARIANZA DE DISPERSIN 7.1. DISTRIBUCIN DE UNA VARIABLE REGIONALIZADA 72 7.2. INTERPRETACIN PROBABILSTICA 73 7.3. VARIANZA DE DISPERSIN. 73 7.4. SELECCIN DE RESERVAS. 75 7.4.1. Influencia del soporte 75 7.4.2. Influencia de la informacin 78 7.5. RELACIN DE ALISADO. 78 7.6. VARIANZA DE LOS VALORES PUNTUALES. 79

CAPTULO 8

VARIANZA DEL ERROR GEOMTRICO 8.1. ERROR GEOMTRICO 82

8.1.1. Estimacin de una superficie 82 8.1.2. Varianza del error geomtrico 82 8.1.3. Estimacin de un volumen 83

8.2. INFLUENCIA DEL ERROR GEOMTRICO EN LAS ESTIMACIONES GLOBALES 84

. 8.3. ERROR DE BORDE 85 8.4. HIPTESIS DE INDEPENDENCIA INTERNA 85 8.5. ERROR DE ESTIMACIN DE UN PRODUCTO. 86

CAPTULO 9 EVALUACIN DE LAS RESERVAS. LA ESTIMACIN GLOBAL.

MTODOS CLSICOS9.1. INTRODUCCIN 87 9.2. PRIMER RECONOCIMIENTO SISTEMTICO 87 9.3. MTODOS DE EVALUACIN 88 9.3.1.MTODOS CLSICOS GEOMTRICOS 88 9.3.1.1. MTODO DE LOS PERFILES, SECCIONES O

CORTES 89


9.3.1.2. MTODO DEL INVERSO DE LAS DISTANCIAS 93

CAPTULO 10 LA ESTIMACIN GLOBAL.

MTODOS GEOESTADSTICOS

10.1. LA ESTIMACIN GLOBAL, CONOCIDOS LA GEOMETRA Y EL VOLUMEN DEL YACIMIENTO 97 10.1.A. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE ERRORES ELEMENTALES 99 10.1.A.1. COMPOSICIN DIRECTA DE ERRORES ELEMENTALES 100 10.1.A.2. COMPOSICIN DE ELEMENTOS O TRMINOS 105 10.1.B. PRINCIPIO ALEATORIO RELATIVO A LA INFORMACIN 107

CAPTULO 11 GEOESTADSTICA-EVALUACIN DE RESERVAS

EL KRIGEAJE (KRIGING O KRIGEAJE) 11.1. EL KRIGEAJE 109 11.2. ESTIMACIN LOCAL 110 11.3. ECUACIN DE KRIGEAJE 110 11.4. KRIGEAJE PUNTUAL. 115 11.5. KRIGEAJE DE BLOQUES 117 11.6. INFLUENCIA DE LA VARIANZA DE KRIGEAJE EN LA DEFINICIN DE RESERVAS DEL YACIMIENTO 118 11.7. KRIGEAJE INDICADOR 120 11.8. COKRIGEAGE 121

BIBLIOGRAFA 170

BACOS 157-169


1. INTRODUCCIN Uno de los objetivos que se persigue con este manual es mostrar las bondades de la geoestadstica en las diferentes etapas de un proyecto minero, desde el reconocimiento geolgico del terreno hasta la optimizacin de la cadencia de explotacin. Constataremos como a travs del tiempo la practicidad, desarrollo y aplicaciones de la Geoestadstica en las Ciencias de la Tierra, se ha incrementado en gran medida, por el desarrollo acelerado del hardware y software informticos. George Matheron y su equipo del Centro de Morfologa Matemtica al estar en contacto con los problemas mineros desarrollaron el formulismo terico y los mtodos prcticos que conforman actualmente la geoestadstica, estos mtodos al ser generales pueden aplicarse a cualquier campo que trate con variables numricas y que midan fenmenos naturales: geologa, petrleo, geofsica, industria forestal, geografa, cartografa, agricultura, hidrogeologa, etc.

2. APLICACIONES DE LA GEOESTADSTICA El anlisis e interpretacin de los semivariogramas y los mtodos geoestadsticos, pueden ser tiles para: evaluar el potencial econmico minero de un yacimiento; determinar el tamao, la densidad y el esquema ptimo de muestreo; definir el rea de influencia de la muestra y la morfologa del fenmeno estudiado; caracterizar la naturaleza de la mineralizacin, es decir poner de manifiesto la homogeneidad o heterogeneidad de la mineralizacin a travs de la variografa. La aplicacin de la geoestadstica en minera y geologa permite entre otras cosas evitar el uso de mtodos de ponderacin arbitrarios y de estimadores sesgados en el clculo de reservas y recursos. Si la base de datos inicial es correcta, a travs de la geoestadstica podemos determinar el mejor estimador no sesgado posible, importante en yacimientos que trabajan con lmites econmicos severos.

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REMOTE SENSING, NATURAL RESOURCES AND ENVIRONMENT RESENAREN S.A.C.


CAPTULO 1

ETAPAS DE UN PROYECTO MINERO E IMPORTANCIA DE LA GEOESTADSTICA EN MINERA

1.1. ETAPAS DE UN PROYECTO MINERO

En cuanto a estas etapas, no se conoce de una secuencia standard. Por ejemplo, los problemas que se presentan en un gran prfido de cobre son diferentes a los de una pequea mina subterrnea filoneana. La secuencia que a continuacin describiremos corresponde a la de un proyecto minero de gran tonelaje y baja ley, que en nuestros das es prctica cotidiana en las grandes compaas mineras. 1.1.1. Prospeccin (reconocimiento geolgico)

En esta etapa, a partir de ndices geolgicos: afloramientos, anomalas geoqumicas o magnticas, minas abandonadas o prolongacin de un yacimiento conocido y tomando como base trabajos de reconocimiento como: sondajes, trincheras, galeras, re-muestreo, etc., se trata de delimitar una zona mineralizada. Es decir, verificar la existencia de mineralizacin y comprender la naturaleza cualitativa del fenmeno (grado y tipo de alteracin, mineraloga, tectnica, estructuras geolgicas, superficie que abarca los sondajes positivos, profundidad de la zona mineralizada, mercado y precios internacionales, interrelaciones sociales, etc.). Estos factores cualitativos de ser favorables permitirn pasar a la etapa siguiente. 1.1.2. Factibilidad

El estudio de factibilidad, a travs de una campaa de sondajes a gran escala, y de dimensiones de malla gruesa (gran malla) ms o menos regular, se espera localizar de manera precisa la masa mineralizada y estimar el tonelaje total, la ley promedio y el contenido metlico o cantidad de metal (Q). Es lo que en geoestadstica se denomina estimacin global. Si los resultados y la coyuntura econmica son favorables, se decide efectuar una segunda campaa de sondaje a malla ms cerrada, en caso contrario el proyecto se detiene hasta que las condiciones econmicas sean favorables.

En esta etapa, se debe responder y dar solucin a las siguientes interrogantes: a) Cmo estimar la superficie (o el volumen) mineralizado a travs de sondajes positivos y negativos? b) Cmo calcular la ley media tomando como base datos de distinta naturaleza (puntos, DDH, canales) y distribuidos irregularmente. c) Qu grado de confianza tienen los resultados?

Por experiencia, los mineros saben que la precisin en la estimacin de la ley media, no es slo funcin del nmero de sondajes sino que tambin depende de la disposicin de ellos mismos (regular o irregular) y de la variabilidad propia de la ley.

Clsicamente, la geologa caracteriza la calidad de estimacin a travs de una clasificacin de reservas. Esta clasificacin se establece de acuerdo a ciertos criterios cuantitativos: si las reservas son bien conocidas puede justificarse una inversin importante de capital.

La siguiente etapa de cerrar la malla permitir clasificar las reservas de manera ptima.



1.1.3. Proyecto minero Considerado el yacimiento como explotable, se trata de definir las tcnicas de

explotacin: ampliacin de equipos, caracterizado por la cantidad de metal a extraer (cadencia de explotacin), vida media de la mina, mtodo de explotacin, nivel de seleccin, ley de corte, etc.

La cadencia de explotacin es posible, si se conoce a detalle, la reparticin de las leyes en el yacimiento.

El objetivo de esta etapa es entonces realizar una estimacin local de tonelajes y leyes y de establecer parmetros de reservas recuperables. Para ello se definen unidades de volumen a explotar: estas unidades de explotacin, pueden ser, por ejemplo de un bloc de 15x15x15 m en una cantera o un volumen de 200x200x200 m en una explotacin subterrnea por Block Caving.

La malla fina de reconocimiento permite estimar cada una de estas unidades, que son reagrupadas en grficos de explotacin correspondiente a condiciones econmicas diferentes: los contenidos metlicos estimados en tonelajes totales y ley promedio de estos perfiles, se muestran en curvas denominadas tonelaje-ley media estimados que, constituyen parmetros de reservas explotables en condiciones econmicas dadas. En esta etapa se debe resolver los siguientes problemas: a) Definir ptimamente el estimador local y precisin en los clculos. b) Diferenciar recursos in situ de reservas explotables. c) Previsin de la selectividad de tal o cual mtodo de explotacin d) Disposicin ptima de sondajes en la estimacin de volmenes.

Si el contenido metlico Q, va a generar beneficios, se pasa a la fase siguiente: clculo del proyecto minero propiamente dicho. Para ello se debe definir: - El mtodo de explotacin y - la seleccin.

Si el yacimiento ha sido dividido en bloques, siendo z(v) la ley del bloque. El

bloque explotable ser aquel cuya ley sea superior a la ley de corte o ley del cut off z(c).

Uno de los objetivos primordiales de la geoestadstica es justamente el clculo de reservas recuperables.



Este clculo permite cumplir dos objetivos: - usar la tcnica del Krigeaje; para estimar la ley de los bloques a partir de los

sondajes y; - de otra parte, estimar las reservas, que se pueden visualizar a travs de las dos

curvas que a continuacin se indican:

max

)(

TT cz 100% )(czm

0 z(c) z(c) Porcentaje del tonelaje total recuperado Evolucin de la media de las En funcin de la ley de corte z(c) leyes en funcin de la ley de o cut-off corte.

1.1.4. Programa de explotacin.

Definidos el Mtodo de Explotacin y el Criterio de Seleccin, queda por resolver la programacin de la explotacin de manera ptima, para ello deben respetarse ciertas condiciones, como por ejemplo el tamao y el nmero de bloques a explotar, el material a utilizarse, etc.

En esta etapa, debe tomarse en cuenta el tonelaje mnimo y mximo que se debe suministrar a la planta por unidad de tiempo, de tal forma que el aprovisionamiento sea el ms regular posible, tanto en calidad como en cantidad. Es necesario entonces que exista armona entre la mina y la planta, que se podr conservar, ya sea, a travs de stocks de mineral o por un racionamiento adecuado de material tratado por la planta.

La geoestadstica puede predecir la ley del producto y a la vez, realizar una programacin de la explotacin lo ms ptima posible. 1.2. CAMPOS DE APLICACIN Es sin duda que la minera es el campo de aplicacin ms importante de la geoestadstica, sin embargo, la morfologa matemtica y el formalismo terico que la sustentan permiten que pueda aplicarse a otros dominios, como son la gravimetra, hidrocarburos, medio ambiente, medicina, ecologa, etc. 1.3. IMPORTANCIA DE LAGEOESTADSTICA EN MINERA

La Geoestadstica considera que cualquier punto de un yacimiento est espacialmente relacionado con sus vecinos y cuanto menos alejados estn mayor ser la correlacin entre ellos.



La base terica de esta disciplina permite cuantificar y comprender los conceptos siguientes:

rea de influencia (a = rango o range o porte) Erraticidad del sector mineralizado en estudio (Co =efecto de pepita o nugget o

effet de ppite). Zonas de alta, regular y baja mineralizacin (anisotropa). Estimacin, inferencia o interpolacin de valores a sectores donde no se tiene

informacin, minimizando el error estimado. Clculo del error de estimacin para cada punto o bloque estimado, esto permite

conocer los lmites de confiabilidad de la estimacin. Optimizar el muestreo.

A pesar de todo, la Geoestadstica no resuelve todos los problemas en la estimacin

de recursos o reservas minerales, debe considerarse como una tcnica que bien empleada puede dar muy buenos resultados. Es necesario enfatizar que cualquier mtodo de estimacin que se use, el resultado siempre conlleva algn error y la Geoestadstica no escapa a este criterio. En minera se puede aplicar para: predecir de leyes en mineral. Decidir donde y cuanto muestrear (planificacin minera). Determinar mezclas ptimas de mineral para su envo a la planta concentradora,

etc.



CAPTULO 2

TEORA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS

2.1. DEFINICIN DE GEOESTADSTICA.

La geoestadstica es una disciplina que se ha desarrollado y consolidado, con una slida base terica y existe como repuesta a necesidades prcticas concretas, aplicadas a casos de la vida real, como por ejemplo: estimacin de reservas de mineral.

La escuela matemtica francesa, consolid las bases tericas de esta disciplina en lo que actualmente se conoce como la teora de las variables regionalizadas (George Matheron, 1962). Esta concepcin terica tiene como objetivo primordial diferenciar datos numricos, aparentemente del mismo tipo, pero cuya posicin espacial, los hace diferentes para anlisis geolgicos.

Bajo esta ptica, podemos decir que la geoestadstica, es la aplicacin de la teora de las variables regionalizadas (VR) al reconocimiento y estimacin de un fenmeno natural.

2.2. VARIABLES REGIONALIZADAS.

La Geoestadstica con respecto a la Estadstica considera en su anlisis y formulismo matemtico no slo el valor o magnitud en el punto donde se tom la muestra, sino tambin la posicin de ese punto dentro del cuerpo mineralizado y su relacin con las otras muestras. Para comprender mejor lo anterior, analicemos las dos series de leyes en Cu, dados en porcentaje:

Serie A: 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5 ; 6,0 Serie B: 1,5 ; 4,5 ; 6,0 ; 3,5 ; 2,5 ; 0,5

Las dos series presentan la misma media y varianza 3,08 y 4,04 respectivamente

(se trata de los mismos datos), sin embargo notamos una marcada diferencia espacial, puesta de manifiesto en las diferencias sucesivas entre las muestras contiguas:

Serie A: 1,0; 1,0; 1,0; 1,0; 1,5 Serie B: 3,0; 1,5; 2,5; 1,0; 2,0

Estas diferencias pueden utilizarse para poner de manifiesto la existencia de una

relacin espacial en los valores de la variable, que los mtodos estadsticos no toman en cuenta.

La Geoestadstica establece que la distribucin estadstica de la diferencia en el valor de una variable (ley) entre pares de puntos (muestras) es similar en un yacimiento y que depende de la distancia y orientacin entre las parejas de puntos.

Una regionalizacin se asume como el desplazamiento en el espacio (o en el tiempo) de un cierto fenmeno, caracterizado por magnitudes.

Una variable puede considerarse regionalizada si est distribuida en el espacio y si muestra algn grado de correlacin espacial. En verdad, casi todas las variables que corresponden a las ciencias de la tierra peden considerarse como VR. Una VR es una funcin Z(x), que representa el valor, segn su ubicacin en el espacio, de una variable asociada a un fenmeno natural. Pero esta funcin Z(x) no se comporta como las funciones matemticas clsicas, ya que es



desordenada en su variacin espacial y no es posible expresarla como un polinomio x3

z variable regionalizada z(x)

x2 x1 Ejemplos de variables regionalizadas: Sea una mineralizacin cualquiera: Superficie p(x), z(x) Podemos definir:

- La potencia de la mineralizacin p(x) - La acumulacin a(x), es decir la cantidad de metal correspondiente a p(x). - La ley z(x) = a(x)/p(x) p(x),a(x), z(x) son variables regionalizadas. Una VR se presenta bajo dos aspectos:

Uno aleatorio: gran irregularidad y variaciones imprevisibles en un punto. Otro estructural: particular a cada regionalizacin.

.

1% 2%

50

10En el grfico adjunto se ha representado la V.R. ley en funcin de la profundidad. Este grfico muestra de una parte un aspecto aleatorio imprevisible e irregular, y de otra parte una tendencia regular, estructurada y previsible.

Profundidad Uno de los objetivos de la geoestadstica es describir las estructuras mixtas de estas variables regionalizadas.



2.2.1. Campo y Soporte.

Los valores de la VR se definen en un campo. Este campo por ejemplo, puede ser un yacimiento o una parte de l. Adems, una VR slo es fsicamente mesurable en trminos de un soporte, por ejemplo, una ley en mineral puede medirse bajo un cierto soporte el testigo. ( ) 321V 321 ,,zv

1 dxdxdxxxxzv = V Soporte (testigo)

En geologa, para definir, los lmites del campo es necesario utilizar un modelo geolgico adecuado, por ejemplo, en la figura siguiente (fuente: curso: Estimacin de Recursos Mineros, Marco Alfaro, mayo 2007), se pueden distinguir dos campos disjuntos, los cuales se pueden tratar de manera independiente y corresponden a unidades geolgicas diferentes: xidos y sulfuros. Una seccin del prfido de cobre, Inca de Oro. En esta seccin se observa diferentes unidades geolgicas

(campos): xidos, mixtos, enriquecimiento secundario y sulfuros primarios.

En un mismo yacimiento G pueden haber varios campos o unidades geolgicas G1, G2,..., Gk, en general disjuntos, cuya reunin es el yacimiento G.

El soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo el soporte es un cilindro llamado testigo.

En el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes de tamaos diferentes.

En resumen, otro de los objetivos de la geoestadstica es describir este tipo de estructuras y estimar sus valores.



CAPTULO 3

HIPTESIS DE TRABAJO Y VARIOGRAMA 3.1. HIPTESIS DE TRABAJO. 3.1.1. Funcin aleatoria. Ley

Las leyes slo son conocidas en ciertos z(x) x puntos y deseamos conocer estos valores en todos los puntos x. x

Un polinomio que pase por cada uno de x x los puntos dados, resolvera el problema pero existe una infinidad de polinomios x soluciones. x Se tendra que escoger el polinomio que d menor error y la seleccin podra ser totalmente arbitraria. Para resolver este problema la

geoestadstica plantea una hiptesis de base:* En primer lugar, z(x) variable regionalizada, es una realizacin de una funcin aleatoria denotada por Z(x). * Una FA es una familia de funciones cada una con su propia probabilidad de ocurrencia.

Ley z(x)

x

X

X

X

X

X

En un punto x0, z(x0) es una realizacin de una F.A. Z(x0)

Para definir una FA, se determinan los siguientes trminos:

- E (Z(x)) = m(x)

- Var Z(x) = 2(x)

- Cov (Z(x) Z(y)) = K (x,y) En realidad, las caractersticas de la funcin aleatoria Z(x) no son estimables debido a que el nmero de datos que se dispone es siempre insuficiente. Este hecho nos obliga a particularizar Z(x). Diremos entonces que Z(x) es estacionaria, es decir que la ley de Z(x) es la misma en todos los puntos x.



Esta hiptesis se traduce, de la siguiente manera:

- E (Z(x)) = m - Var Z(x) = 2- Cov (Z(x) Z(y)) = K (y-x) = K (h), con h= y-x

Este concepto denominado concepto de estacionariedad es el punto de

partida de la Geoestadstica, y aunque no siempre se cumple, casi siempre se asume como vlido. Desde una ptica pragmtica, estacionariedad implica trabajar con muestras perfectamente ubicadas en un determinado sector y derivar estadsticas e inferir parmetros de la funcin aleatoria (FA) de ellas. En otras palabras, si una FA es estacionaria, entonces, por ejemplo, la media, la mediana, la varianza, etc., son independientes de las coordenadas de la muestra, de la misma manera los parmetros como la covarianza o el correlograma son independientes de la ubicacin de cada una de las variables y dependientes de la distancia que los separa.

Es necesario usar criterios adecuados en la implantacin de esta hiptesis, por ejemplo en el contorno de un yacimiento, las leyes tienden a disminuir, por tanto dicho efecto, en este sector del yacimiento, no se cumple, pero se asume como vlido. 3. 2. EL VARIOGRAMA. La Estadstica considera las muestras como aleatorias e independientes entre s, en cambio la Geoestadstica asume cierta correlacin entre ellas y una forma de expresar dicha correlacin es a travs de la funcin variograma o semivariograma. David (1978) define el variograma como una funcin que mide el grado de correlacin o dependencia entre dos pares de muestras separadas una distancia h, en cierta direccin. x

x+h El variograma, como herramienta matemtica intenta capturar el nivel de continuidad de una FA., es decir, define la correlacin espacial entre los valores muestreados. La hiptesis estacionaria es muy rigurosa: los crecimientos de Z(x) son estacionarios, es decir que: Z(x+h) Z(x) es una funcin aleatoria estacionaria. En esto consiste la hiptesis intrnseca. Matemticamente, esta funcin aleatoria se define como:

Var (Z(x+h) Z(x)) = E (Z(x+h) Z(x))2 = 2 (h) Siendo (h) la funcin variograma, donde:



E (Z(x+h) Z(x)) = 0. 3.2.1. Propiedades del variograma. 3.2.1.1. Relacin con la covarianza. Var ( (Z+h) Z(x)) = Var (Z+h) + Var Z(x) 2 Cov ( Z(x+h) , Z(x)) = 2 + - 2K (h) 2 = 2 2 - 2K(h) = 2(h) (h) = 2 - K(h) = K(0) K(h) 3.2.1.2. Simetra. Demostraremos que: (h) = (-h) Haciendo: x = x + h 2 (h) = Var ( Z (x + h ) Z (x) = Var ( z (x) Z (x- h) ) = 2 (-h) En conclusin: (h) = (-h) 3.2.1.3. Positividad. (h) por definicin es una varianza, por lo tanto para todo h, (h) es positiva y no nula. 3.2.1.4. Isotropa. Siendo h un vector, entonces (h) es una funcin vectorial, es decir depende de la longitud y de la direccin de dicho vector. En el caso que (h) dependa slo de la longitud de h, estaremos frente a una isotropa. 3.2.1.5. El variograma rinde cuenta de la regularidad de un fenmeno. Se presenta dos casos lmites: i) Efecto de pepita: (h) - (h) = K(0) para h 0 K(0) - (h) = 0 para h = 0 En el caso de efecto de pepita: K(h) = 0 para h 0 K(h) = K(0) para h = 0 K(h) h 0

Es decir que la covarianza es nula para h 0, esto quiere decir que existe independencia entre los puntos, que el fenmeno es completamente irregular y que se trata de la aleatoriedad pura. Este es el caso del efecto de pepita.



ii) Fenmeno muy regular: (h)

Este fenmeno muestra un comportamiento parablico en el origen. En estos casos, la validez de la hiptesis de estacionariedad queda confirmada.

Sea Z(x) = ax + b +Y(x) una F.A., donde Y(x) es una F.A. estacionaria h

si y (h) es el variograma de Y, entonces:

Var (Z(x+h) Z(x)) = ( ) ( )( ) 2xZhxZE + = E (a(x+h) + b + Y (x+h) (ax+ b + Y(x)))2 = E (ax+ah + b + Y (x+h) ax- b - Y(x))2 = E (ah +(Y (x+h) y(x)))2

= 2

0

22 ))()(())()((2 xYhxYExYhxYEahha ++++ 444 3444 21 = ( )hha y+22 ( )hz = ( )hha y+22 La forma general de un variograma, que sigue la frmula anterior, es la que se muestra en la figura, tendencia lineal en h = 0. (h) 0 h



3.2.1.6. Incorporacin de parmetros estructurales Continuidad o falta de continuidad de la mineralizacin que se refleja en el

incremento de (h) para valores pequeos de h. Zona de influencia conocida como alcance (a) y que representa la distancia en

la cual influye el valor de una muestra sobre sus vecinas Medida de los cambios laterales en la mineralizacin, denominado anisotropa. Correlacin, conocido como meseta (C), llamado tambin variabilidad y

expresa la variacin que existe entre las muestras separadas a cierta distancia en un yacimiento.

La velocidad del incremento de (h) con el lag es una prueba de la velocidad a la

cual la influencia de una muestra disminuye con la distancia, dndonos una definicin adecuada de la denominada zona de influencia. La distancia en la que (h) se hace constante corresponde alpunto en el que la covarianza cov(h) entre muestras adyacentes disminuye hasta el valor cero. Esta distancia define el lmite de la zona de influencia de una muestra (vase el grfico siguiente).

Siguiendo la traza del variograma, nos encontramos con la la existencia de un alcance a para un valor determinado de h. (h) K(b) Meseta K(0) a h a h La traza de la covarianza en funcin de h, muestra que a partir de K(h) = 0 (covarianza cero), no hay correlacin alguna entre las muestras tomadas a esas distancias (muestras independientes). El alcance determina la morfologa del fenmeno.



3. 3. CONTINUIDAD ESPACIAL. En Geoestadstica, continuidad espacial es el anlisis de los covariogramas, variogramas y correlogramas. A continuacin describiremos: el covariograma C(h) y el correlograma (h)que, al igual que el variograma permiten describir la medida de la continuidad espacial entre dos variables. 3.3.1. Covariograma (C(h))

)*)(*)(()(

1)()(

1hhi

hN

ii mmhxzxzhN

hC +=

+= Donde: N(h) es el nmero de parejas (z(xi), z(xi+h) de datos a una distancia h.

m-h y m+h son los promedios de los valores izquierdos y derechos respectivamente, de las parejas de datos a la distancia h, definidas por:

=

=)(

1)(

)(1 hN

iih xzhN

m y =

+ +=)(

1)(

)(1 hN

iih hxzhN

m

De lo anterior, podemos expresar que el covariograma no est interesado en una suma de promedios sino ms bien en una suma de desviaciones cuadrticas. Esta herramienta es entonces una herramienta estructural, equivalente al variograma y adems no requiere de ninguna hiptesis de estacionariedad, por lo tanto, se resuelven los problemas de ocurrencia (reproducible), de altos valores y de tratamiento de valores nulos (que son siempre una fuente de trazas para los variogramas). Entre una desventaja de utilizar el covariograma es que el muestreo debe sobrepasar el campo. La estimacin de un covariograma, presenta problemas de clculo, cuando el muestreo no obedece a una malla regular. Se proponen dos soluciones prcticas (Bez et al., 1995):

1. La creacin de una grilla regular fina, en la cual cada nodo contar con informacin del dato ms cercano a l. Los errores del covariograma calculado son cercanos a los errores de discretizacin. El inconveniente del mtodo radica en linealizar el covariograma y de atribuir toda gama de distancias a cada resultado de densidades.

2. Una ponderacin apropiada para las superficies de influencia de cada muestra.

El covariograma experimental, obtenido por la primera solucin prctica es ms regular que el variograma correspondiente (Figuras 2 y 3). Por tanto su modelizacin es mucho ms cmodo. Sus alcances no se interpretan en trminos de correlaciones sino en trminos geomtricos (stocks).



Fuente : Deuxime Forum Halieumtrique, Nantes,1995. Session II :Analyse de linformation. Le covariogramme :un outil structural. Nicolas Bez, Jacques Rivoirard, Jean-Charles Poulard. 3.3.2. Correlograma ((h))

El correlograma direccional se define como la correlacin entre los datos de una poblacin, en los puntos de muestreo, separados por una distancia h. En otros trminos es una medida de la dependencia espacial al igual que el covariograma y el variograma.

La diferencia con el correlograma omnidireccional es que en este caso, h es un vector y no un escalar (h, significa vector).



As, el conjunto de todos los vectores posibles de un lag se reparten generalmente en clases:

Los vectores que terminan en la misma celda se agrupan en una clase y el valor del correlograma se estima por separado para cada clase. El nmero de direcciones puede ser diferente (4, 8, 16, etc.)

El correlograma se estima a travs de la siguiente ecuacin:

hh

hCh+

= *)()(

Donde:

))(()(

1 2)(

1

22h

hN

iih mxzhN =

= ))(()(1 2)(

1

22h

hN

iih mhxzhN +=

+ +=


22

CAPTULO 4

EL SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL 2.1. DEFINICIN Siendo la V.R. z(x) una realizacin de una funcin aleatoria estacionaria Z(x), por definicin de (h):

(h) = ( ))()(21 xZhxZVar +

(h) = ( )2)()(21 xZhxZE +

2.2. CONSTRUCCIN DE UN SEMIVARIOGRAMA. 2.2.1. Soporte y regularizacin.

Por definicin (h) = ( ) ( )( ) 221 xZhxZE + .

Se dice que un variograma es puntual si (h) se define por puntos x.

En la prctica los datos fsicos no se miden por puntos sino por volmenes. Por ejemplo, la ley de un sondaje se obtiene sobre la base de un testigo. Es decir:

( ) += vv dyyxzvxz )(1

v(h) es un variograma regularizado

( ) [ ])()(21 xZhxZEh vv +=



23

(h)

puntual regularizado

h

El variograma regularizado se sita siempre por debajo del variograma puntual, ya que en l, se toma en cuenta el promedio de los valores sobre el volumen v.

En la prctica no se trabaja con variogramas puntuales, emplendose los variogramas regularizados, es evidente que el variograma depende del soporte, por ejemplo, importancia del volumen v del testigo. No es conveniente mezclar dos medidas iguales de soportes diferentes.

A partir de un variograma regularizado se puede construir el variograma puntual correspondiente, proceso llamado deconvolucin.

2.2.2. Construccin de un semivariograma. Datos a malla regular.

a = Longitud de la malla.= pasos de base = Lag nj = N(h) = nmero de pares de datos o pareja de datos

- ( += njj

xizjaxizn

aj2

)()(21).( ) para 1 y 2 .

- 2

))(2)((21)2.( xizjaxizn

ajj

+= para 3 y 4 . . Los datos de la grilla simulan valores de perforacin nos piden calcular los semivariogramas en las cuatro direcciones x1, x2, x3 y x4



24

2.2.3. Representacin esquemtica de las iteraciones: La geoestadstica expresa la correlacin que existe entre las variables a travs del variograma, que se obtiene calculando, para cada separacin entre las muestras (paso o lag) en una direccin determinada, la diferencia al cuadrado de los valores de las muestras (tabla adjunta). Para cada separacin h se calcula el valor de (h), de acuerdo a la frmula:

)(2))()(((

)(2

hNxzhxz

h += Donde: N(h) es el nmero de parejas, z(x+h) y z(x) es el valor de la VR en los puntos x+h y x respectivamente, siguiendo la direccin del vector h, a una distancia h de x (paso o lag). El lag o paso, son las distancias con las que se calculan las diferencias al cuadrado entre las muestras. El nmero mximo de lags, es decir, de distancia h para calcular el *(h), suele establecerse en la mitad de la distancia muestreada, ya que longitudes mayores generan pocas parejas, siendo este valor, desde el punto de vista estadstico, no representativo. Los valores obtenidos de (hi) se representan en un diagrama con su correspondiente valor de h, obtenindose de esta manera el semivariograma.



25

El incremento de (hi) con relacin a la distancia o paso es un reflejo de la velocidad a la cual la influencia de una muestra disminuye con la distancia, estableciendo de esta manera la denominada zona de influencia. La distancia en que (h) se hace constante corresponde al punto en que la covarianza entre las muestras adyacentes tiende a ser cero. Esta distancia define el lmite de la zona de influencia de una muestra. En la tabla adjunta, a manera de ejemplo, se ha calculado para la direccin x1 : El nmero de parejas N(1) = 24, para h = 1

==)24(2

197)1( 4,1

Z(xi) z(xi + h) (z(xi + h)-z(xi))2

35 35 0 35 33 4 33 33 0 33 34 1 34 31 9 31 35 16 35 37 4 37 41 16 41 41 0 35 35 0 35 35 0 35 33 4 37 35 4 35 37 4 37 35 4 37 37 0 37 39 4 39 39 0 39 41 4 37 40 9 40 42 4 34 36 4 36 41 25 42 33 81 197

De la misma manera se calculan los valores de (2) y (3), para los pasos 2 y 3. En la pgina siguiente se han representado los clculos y los semivariogramas para las cuatro direcciones requeridas por el problema anterior



26

Semivariogramas direccionales obtenidos Lag 1 Lag 2 Lag 3Direcciones n1 (1) n2 (2) n3 (3)

1 24 4,10 20 8,40 18 12,10

2 22 4,25 18 8,20 15 10,90

3 19 5,00 16 11,90 10 17,30

4 18 6,50 14 11,30 8 15,40

Semivariogramas obtenidos

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5

h

(h)

1234



27

2.3. ANLISIS ESTRUCTURAL. 2.3.1. Comportamiento del semivariograma en el origen. Al analizar el comportamiento de (h) cuando h tiende a cero, se presentan cuatro casos: a) Ausencia de estructura: Se trata del efecto de pepita puro: Este modelo traduce la irregularidad total de un fenmeno.Hay ausencia de estructura, cualquiera que fuera la escala las leyes de dos muestras son independientes. (h) (h) = Co para h ? 0 Co h 0 (h) = 0 para h=0 El grfico Ley en funcin de la distancia x sera: Ley x b) Valores muy regulares y continuos: Ley (h) 0 d x h

El comportamiento de las leyes es tan homogneo que los valores de dos muestras distantes entre si por d son practicamente las mismas, es decir que para h pequeo, (h) tiende a ser cero. En estas condiciones el variograma (figura de la derecha) muestra un comportamiento parablico en el origen, mostrando un fenmeno muy regular y dando cuenta de la existencia de una deriva.



28

c) Continuidad media: En un diagrama de leyes (grfico de la izquierda), donde la diferencia de leyes para dos muestras distantes de d es significativa: El variograma correspondiente, tiene un comportamiento lineal en el origen, poniendo de manifiesto un fenmeno de cierta regularidad, ms o menos estacionaria. Ley (h) . 0 d distancia h d) Presencia de micro estructuras: Ley c d

_

0 distancia (x) (h) Si las micro estructuras son del orden de decmetros y la estructura mayor est por las decenas de metros, entonces el semiva_ riograma tendr la apariencia del grfico adjunto. Existir un salto de la curva en el origen, debido a la micro variabilidad, hasta h = d para luego crecer moderadamente Co siguiendo la variabilidad mayor.

En este caso, el variograma registra todas las microvariaciones, tanto a la escala aproximada d como las variaciones de escala c

0 d



29

Esto implica que para h superiores al valor a no existe dependencia entre los valores, y que el valor en un punto no influye sobre el valor del otro, por tanto la funcin (h) se vuelve constante ((h) = C. La existencia de un alcance (a), permite limitar el estudio a un panel de dimensiones caracterizado por la distancia a.

Para se tiene que . ah 0)( =hK2.3.2. Alcance(a). (h) C meseta h a El alcance, tambin nos indica las caractersticas geolgicas de formacin de un yacimiento. Por ejemplo: En un yacimiento sedimentario, el alcance representa las dimensiones de las unidades de sedimentacin y en consecuencia de las zonas mineralizadas. En un yacimiento lenticular, representa la dimensin de los lentes. En un yacimiento estratiforme, refleja la potencia promedio. El alcance tambin nos indica la zona de influencia de una muestra, puesto que para distancias mayores que a, los valores de las muestras son independientes. Zona de Sector de valores influencia sector de valores independientes independientes xo a xo xo + a Con el siguiente ejemplo se pretende comprender una de las bondades del alcance: En un yacimiento de carbn se han tomado 80 muestras a malla regular de 5m. Las potencias de los 10 mantos de carbn, en metros, son: 31,6 ; 24,8 ; 5,1 ; 11,1 ; 4,6 ; 34,5 ; 49,2 ; 14,7 ; 10,2 ; 10,2.Al determinar la continuidad espacial de la VR Z(x), definida por:: 1 (en blanco), si la muestra se encuentra en el manto carbonfero Z(x) 0 (en negro), si la muestra se encuentra en los estratos estriles. Se calcul: el promedio = 0,5 m; la varianza = 0,25 (%)2 y los valores de (h):

(5) = 0,12 ; (10) = 0,20 ; (15) = 0,24; (20) = 0,25; (25) = 0,25



30

0

0.1

0.2

0.3

0 10 20 3

h(m)

0

Analizando el variograma experimental, se observa que el alcance es del orden de los 20m, distancia al cual la meseta C, es igual a 0,25 (%)2 coincidiendo con la varianza, de las muestras. En este caso el alcance, representa la potencia media de los mantos de carbn: Potencia media = (31,6+24,8+5,1+11,1+4,6+34,5+49,2+14,7+10,2+10,2)/10 = 19,8m 2.3.3. Efecto de pepita (Co)

La discontinuidad aparente que se aprecia cerca del origen, se le conoce como efecto de pepita, este efecto puede deberse a la presencia de micro estructuras, y artificialmente se puede generar por errores en el muestreo (toma de muestras, preparacin, manipulacin y anlisis de leyes) y tambin debido a las tasas de recuperacin. Este nombre comn en el lenguaje geoestadstico tiene sus races en los yacimientos aurferos de frica del Sur presencia de pepitas de oro-, que al representar en un plano la ley versus la distancia se obtiene el grfico: Ley (Au)

pepitas de oro La discontinuidad en el variograma manifestado al comienzo estara representado por: (h) Co h



31

Un efecto de pepita debido a la presencia de micro estructuras, permitir estudiar en detalle un fenmeno, estableciendo por ejemplo, en un plano de sondajes, una o varias cruces de sondajes.

2.4. CALCULO DEL VARIOGRAMA A MALLA IRREGULAR EN DOS

DIMENSIONES

Leyes de alcalinos en un banco de la mina de hierro de Marquesado (Espaa). Fuente:Curso, Estimacin de Recursos Mineros, Marco Antonio Alfaro Sironvalle



32

Supongamos que queremos calcular (h1), siendo h1 el vector siguiente:

Un muestreo de puntos como el de la figura, conlleva a que los variogramas en las direcciones N-S y E-W, no encuentren ninguna o pocas parejas debido a la irregularidad del muestreo, este hecho es frecuente en fenmenos geolgicos-mineros. En estas circunstancias es necesario hacer uso de aproximaciones para calcular (h). 2.4.1. Mtodo de los Sectores:

El principio consiste en que, dos muestras separadas por un vector h, fijado una muestra P1, la segunda P2 cae en la zona amarilla (ver figura que representa el mtodo de sectores): Para calcular el variograma en la direccin y mdulo h , para mallas irregulares se debe determinar una tolerancia angular, y una tolerancia de distancia .

La eleccin de y depende de la distribucin espacial de los datos y de la prctica. Se recomienda, en algunos casos usar = 15 y = 0,5b, siendo b la distancia mnima (denominada paso) entre dos muestras. Cada muestra que cae en la zona de tolerancia se toma como distante en el vector h de la muestra inicial.

P2 Figura. Mtodo de sectores Este mtodo presenta los inconvenientes siguientes: Puede caer ms de un punto en la zona. En este caso se consideran las diferencias en el clculo, si el mdulo de h es grande, ampliarse el ngulo, la aproximacin tiende a ser grosera:



33

El mtodo de sectores no es conveniente para mdulos de h grandes.

El mtodo de los sectores se puede generalizar al espacio de tridimensional:

Compsitos en el espacio tridimensional, con leyes de cobre en la mina Chuquicamata.

Aproximacin en el espacio de 3 dimensiones: Una especie de cono. Algunos softwares definen otro tipo de mtodo para evitar este problema (mtodo del lpiz):



34

2.4.2. Mtodo del Lpiz: En este caso hay que definir tres parmetros: , y d (d se denomina ancho de banda). Hay que tener presente que es necesario conocer bien el variograma en la vecindad cercana al origen h=0. En algunas situaciones no se justifica este mtodo.

Aproximacin para mdulos de h grandes.

Aproximacin en el espacio de 3 dimensiones: Mtodo del Lpiz Es necesario entender que los anchos de banda son regiones que toman como referencia a la lnea de la direccin del variograma en el cual se localizan los pares bajo una tolerancia angular establecida. 2.4.3. Rotacin y direccin:

La rotacin de los ejes coordenados puede utilizarse en depsitos que tienen cierta tendencia espacial. En los softwares se pueden calcular variogramas en diferentes direcciones, los ngulos horizontal y vertical pueden comenzar con un valor definido por el operador (por defecto el valor de entrada es cero), los incrementos tambin pueden ser especificados aunque algunos softwares usan por defecto 22,5 como incremento horizontal y 30 para la vertical. La siguiente figura ayuda a visualizar estos conceptos.



35

315 45 1 2 8 3 0 270 90 1 7 4 -30 6 5 -60 2 -90 225 135 3 -90 180 4 Vista de planta (45 de incrementos) Vista de seccin (30 de incrementos)




CAPTULO 5 EL VARIOGRAMA TERICO.

5.1. MODELOS DE VARIOGRAMAS Sabemos que un variograma se define como:

2))()((

21)( xZhxZEh +=

Experimentalmente, para una malla regular, se tiene que:

+==nj

xzjaxznj

ajh2

))()((21).()(

A partir de un variograma experimental trataremos de encontrar una ecuacin (variograma terico) que corresponda a esta expresin Por qu determinar tal ecuacin?.

Porque, en las diversas aplicaciones geoestadsticas, por ejemplo, la estimacin de la variable en un punto a travs del krigeaje necesita de la utilizacin del semivariograma que contenga informacin en todos los puntos de anlisis y este dato lo puede proporcionar slo el variograma terico, adems es evidente que el trabajo se tornar ms confiable, ptimo y cmodo trabajar con una ecuacin que con datos brutos. De la serie de variogramas tericos, se tiene que escoger aquel que se ajuste mejor a nuestro variograma experimental, sobre todo en las proximidades del origen porque es la zona ms confiable del variograma. A continuacin describiremos los modelos tericos existentes:

5.1.1. Variograma con efecto de pepita. (h) *(h)=CoCo h Es el caso de la aleatoriedad pura El nombre de efecto de pepita, est de alguna manera relacionado con la aparicin, ms o menos errtica, de pepitas de oro en algunos yacimientos aurferos. Las posibles causas de la presencia de este efecto las detallaremos ms adelante. El variograma muestra fluctuaciones aleatorias alrededor de una lnea horizontal. Los modelos pueden agruparse en dos grandes categoras: los que alcanzan una meseta (modelos de transicin) y los que no presentan meseta



5.1.2.Variograma con meseta. (h

Este variograma es muy frecuente, a es el alcance y para h superior al valor de a, (h) = constante = C

C a h Hablaremos de dos tipos de variogramas segn a, sea infinito finito.

Para , el modelo correspondiente es el =a Exponencial. Existen dos tipos:

a) Modelo de Formery

(h) C h

= a

h

ech 1)(

a/3 En este modelo la tangente en el origen, intercepta a la meseta a un valor de a/3 b)Modelo Gaussiano (h) C h

= 2

2

1)( ah

ech

a / 3 En este modelo la tangente en el origen, intercepta a la meseta a un valor de 3a



Para a finito, le corresponde el Modelo Esfrico o Modelo de Matheron. La ecuacin de este modelo, se define como: (h) T C 0

3

2a a h

( )

1 = 1

< 1 hph =)( con 0 2

p h 1



Si = 1 al modelo se conoce como lineal, de ecuacin: , donde p es la pendiente, h el lag y k el intercepto. Este modelo, segn Annels, 1991 suele presentarse en yacimientos de hierro.

kphh +=)(*

Existe otro tipo de variograma: el modelo logartmico, de la forma:

hCh log)( = con h 1 El inconveniente de este modelo es el de no pasar por el origen. Este modelo se us al inicio de la geoestadstica actualmente ha quedado descartado. En el modelo de Wijsian al igual que en el lineal, *(h) se incrementa ms all del valor de la varianza de los datos. Tiene por expresin:

+=23ln3)(*

Lhh

donde: es el coeficiente de dispersin absoluta (medida de la variacin espacial) L es el espesor equivalente. Este modelo se presenta slo en algunos yacimientos hidrotermales, principalmente de estao (variable: espesor del cuerpo mineralizado). 5.1.4. Efectos que se manifiestan en los semivariogramas

Algunos semivariogramas experimentales no se pueden ajustar exactamente a los modelos comunes, sin embargo no hay razones para rechazar la posibilidad de buscar una continuidad espacial, Annels y otros autores han puesto de manifiesto ciertas particularidades y caractersticas en los modelos, a saber: semivariogramas con: tendencia, efecto de agujero; efecto proporcional y semivariogramas compuestos

a) Semivariogramas con tendencia Un semi variograma como el de la figura siguiente, muestra cambios en la tendencia de la meseta, denominado ruptura, que se produce a una distancia mayor al alcance, por lo que no tiene mayor incidencia en la estimacin local de los bloques definidos para el yacimiento, puesto que las dimensiones del rea de bsqueda (alcance) son menores que la distancia representada por el punto donde se produce la ruptura. Cuando un semivariograma presenta esta tendencia, es decir, la ruptura se produce a distancias prximas al alcance, el concepto de estacionariedad ya no se cumple, en tales casos es necesario utilizar el krigeaje universal (Journel y Huijbregts, 1978), en vez del krigeaje ordinario que es aplicable a casos de estacionaridad. )(h Comportamiento parablico 2 Dimensiones mximas de los bloques a evaluar a h



b) Efecto de agujero (trou) Un semivariograma presenta un efecto de hueco, si su crecimiento no es montono, este efecto puede presentarse en esquemas con o sin meseta

1+ ( r ) 1 C( r ) r 0 2 3 4 r

El efecto de agujero es muy frecuente, pero no siempre es perceptible en el variograma experimental.

El modelo correspondiente es:

rsenrrC

rsenrr

=

=

)(

1)(

Si el semivariograma presenta un comportamiento parablico en el origen, con efecto de hueco y alcance entonces se verifica que:

0,6

)(2

= rcuandorr

Amplitud () del efecto de agujero: es el valor mnimo de la covarianza con respecto a C(o)

CohCInf )(.=

Si un semivariograma presenta un efecto de agujero de amplitud superior a 0,217 (amplitud mxima de un efecto de agujero a tres dimensiones), podemos afirmar que: este efecto no es significativo y que se debe a las fluctuaciones del semivariograma

experimental, o



que este efecto es direccional, es decir que slo se manifiesta en determinadas direcciones en el espacio R3 . Si se presenta un fuerte efecto de agujero direccional, entonces debemos utilizar un esquema de tipo positivo unidimensional, por ejemplo:

(r) = 1 cos r, con r R1 ( = 1 > 0,217)

El esquema anterior es peridico sin amortizacin. En la prctica es frecuente asociarlo a otro esquema, por ejemplo multiplicarlo a un esquema exponencial, para obtener la covarianza e-arcos(r) de tal forma que las oscilaciones cosenoidales son amortizadas.

Interpretacin: Una componente pseudo peridica de la regionalizacin puede provocar un efecto de agujero en un semivariograma experimental. As la sucesin estacionaria en un yacimiento de dos tipos de mineralizacin claramente diferenciados, si esta sucesin no es istropa (en general no hay razn para que lo sea), el efecto de agujero se observar slo en ciertas direcciones, con respecto al grfico siguiente existe un fenmeno pseudo peridico de estratificaciones horizontales, podemos decir que:

*El variograma vertical presentar un efecto de agujero de amplitud superior a 0,217, pudindose interpretar los valores de h1 y h2 como los extremos de las dimensiones promedios verticales entre la zona pobre-mineral de mena. *Los variogramas horizontales sern distintos segn representen el estrato rico o estril. Este efecto, se puede explicar a partir del siguiente ejemplo: Sea un yacimiento sedimentario con unidades de sedimentacin que conducen a zonas mineralizadas preferenciales, del tipo indicado en la figura (alternancia de reas de mena con reas estriles, dando lugar a una pseudoperiodicidad, reflejada en las variaciones del semivariograma alrededor de una aparente meseta): Al trazar la curva de leyes en funcin de la distancia, en la direccin indicada, obtendramos el esquema siguiente:

Ley z(x) Ley mena estril Distancia (x) x



El efecto de agujero se pone de manifiesto en la direccin vertical.

(h) (h) mena estril h 0 h1 h2 Direccin vertical (efecto de agujero) Direccin horizontal

c )Efecto proporcional En algunos casos, es frecuente observar que la variabilidad de los datos evoluciona con su media aritmtica. Por ejemplo, consideremos n sondajes para reconocer la misma mineralizacin con las siguientes caractersticas: m*A : promedio de los datos del sondaje A D2A(0/L) : varianza de dispersin definida en el sondaje A. Se supone que los n sondajes tienen la misma longitud L. *A(h) : variograma experimental calculado en el sondaje A. Se dice que existe efecto proporcional si los distintos variogramas elementales *A(h) son afines, o se corresponden, de tal manera que el mdulo depende del cociente de los promedios experimentales. Vase la siguiente figura La presencia de un efecto proporcional en los variogramas experimentales no implica necesariamente la no estacionaridad de un fenmeno sub-yaciente. *(h) m*B m*A afinidad m*A

0 alcance h

*A(h) )()( ***

hmmf B

B

A Implica que: para todo A, B = desde 1 hasta n

D2A(0/L) )/0()( 2**

LDmmf B

B

A



Observaciones: i) Un efecto proporcional se dice que es directo si el variograma crece con el

promedio experimental. Este efecto se espera cuando los datos presentan una distribucin lognormal, por ejemplo las leyes en Cu, Au de pequeo soporte, la mayora de los datos corresponden a leyes bajas.

ii) Un efecto proporcional es inverso si el variograma decrece cuando el promedio crece. Este fenmeno es menos frecuente que el anterior, es de esperarlo cuando los datos presentan una distribucin lognormal inverso, por ejemplo leyes de yacimiento: en Fe-hematita, en fosfatos triclcicos, y en general cuando las leyes de mineralizacin presentan fuertes concentraciones. A mayores valores del promedio, menor es la dispersin.

iii) En la prctica el efecto proporcional observado es del tipo m2:

B

A

B

A

mm

mmf 2

2

*

*

)(

El variograma relativo 2** )(m

hA y las distintas varianzas relativas son independientes del promedio local.

iv) Despus de corregir el efecto proporcional, se remite a un modelo de cuasi estacionaridad local, es decir a un modelo de regionalizacin donde se puede conocer, para cada punto x y por las distancias h limitadas a una vecindad V(x), los dos primeros momentos:

la esperanza E(Z(x)) = m(x), estimada por m* sobre V(x) el variograma E((Z(x+h)-Z(X))2) = 2(x,h), estimado por f(m*).2o(h),

v) El efecto proporcional afecta solo a la varianza, no altera en nada las caractersticas geomtricas (por ejemplo a las mesetas) de los variogramas, contrariamente a la anisotropa geomtrica.

vi) En estructuras superpuestas, el efecto proporcional puede jugar roles diferentes en cada una de las estructuras constituyentes. As por ejemplo en la figura adyacente, el efecto proporcional en m2 afecta slo al efecto de pepita Co.

*(h) *B(h), m*B>m*A Co(m*B) *A(h), m*A Co(m*A) *A(h)



vii) Cuando en un plano se grafica los promedios al cuadrado versus las respectivas varianza, es posible poner en evidencia el efecto proporcional. Este efecto sirve para determinar las reas ricas, intermedias y estriles en un yacimiento y determinar la variabilidad en cada uno de los sectores estudiados. El yacimiento de plata de Uchucchacua presenta este efecto: ciertas labores de las zonas ricas e intermedias manifiestan alta variabilidad, en cambio las zonas ms pobres en plata tienen menor variabilidad y por tanto los costos de explotacin son menores.

Mina Uchucchacua_Veta Rosa

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

media*media

varia

nza

Ajuste del efecto proporcional (variable: Pot*Ag)

Ejemplo: yacimiento de uranio, tipo sedimentario (Nger) (Fuente: Escuela de Minas de Paris ) Se dispuso de:

Zona rica Zona intermedia

Zona pobre

26 sondajes verticales, donde tramos constantes de l=20cm de longitud han sido analizados qumicamente por U. En cada sondaje se han definido sectores mineralizados, de longitud Li. Sobre esta longitud se ha calculado: - la media experimental mi* de las leyes de U. - La varianza de dispersin s2i* de las leyes, este valor experimental es un estimador de la

varianza de dispersin D2(l/Li) de un testigo l en el segmento vertical de longitud Li. - El semivariograma experimental i*(h) en la direccin vertical.

Los semivariogramas experimentales mostrados en las Figuras Ej.1. y Ej.2. correspondiente a los sondajes S4 y S14, S10, S16 respectivamente difieren unos de otros tanto en la forma como en los niveles de varianza: S4 y S10 presentan un efecto de agujero bien marcado, el crecimiento de S14 es muy fuerte en tanto que S16 se estabiliza rpidamente. Asimismo se puede observar el efecto proporcional: la variabilidad aumenta cuando la media experimental mi* aumenta. La Figura Ej.3. muestra el semivariograma experimental promedio de los 26 semivariogramas elementales (*k, k=1 a 26), obtenido por la frmula de reagrupamiento:



=

== kk

k

k

kkk

hN

hhNh

1

1

)('

)(*)(')(*

Este semivariograma promedio corresponde a una longitud mineralizada promedio

mLi

L 1326

== , obtenida de 1600 muestras y de ley media m* = 2,2 %U. Este semivariograma promedio ya no presenta el efecto de agujero. l ha sido ajustado por dos esquemas esfricos superpuestos, con efecto de pepita, bajo el modelo: (h) = Co + C11(h) + C22(h), para todo h vertical ]0,4m], con Co = 3,5(%)2 1(h) y 2(h) son dos esquemas esfricos de parmetros : alcances: a1 = 1m a2 = 3m mesetas: C1 = 3,7(%)2 C2 = 1,1(%)2 Los dos alcances corresponden aproximadamente al mximo y mnimo del efecto de agujero observado en S4 y S10. Estos valores podran interpretarse como el espesor promedio vertical de las fases ricas (a1 = 1m) y la nter distancia promedio vertical entre las dos fases ricas (a2 = 3m), obsrvese el perfil vertical de leyes del sondaje S4 (Figura Ej.4.) Ajuste del efecto proporcional El modelo esfrico superpuesto anterior es representativo slo para la estructura vertical promedio del yacimiento, reconocido por los 26 sondajes (estos sondajes revelan una ley media m* = 2,2 %U). Para que este modelo pueda usarse a escala local en una zona de ley media m*i 2,2 %U, conviene tener en cuenta el efecto proporcional revelado por los semivariogramas elementales construidos sondaje por sondaje (cr. Figura Ej.2.). Para estudiar este efecto se ha considerado las varianzas de dispersin experimentales si2* de las leyes de cada longitud mineralizada Li. Para comparar significativamente las varianzas entre ellas, se ha seleccionado los 12 sondajes de mayor longitud mineralizada (Li del 11 al 23, referencia tabla de la Figura Ej.4.). Las varianzas experimentales si2* han sido evaluadas de un gran nmero de muestras (5 por metro), de esta manera puede considerarse como un buen estimador de la varianza a priori D2(1/ ) de leyes de testigo de longitud l. La Figura Ej.5.,representa la nube de puntos (s*i,mi*) de la varianza experimental versus la media experimental correspondiente. A la ley promedio global m*=2,2 %U se le hace corresponder la varianza experimental promedio s*2=8,3(%)2, deducida por la ponderacin de las 26 varianzas s*i elementales segn la frmula:

=

k

k

kkk

N

Ns

Ls

2

2 1 , estimador de =L

D 12

Siendo: S2k la varianza de dispersin experimental de los Nk datos de testigos de longitud l alineados en el sondaje nk de longitud Lk = Nkl.



Esta nube se ajusta a la parbola: s2 = 2,2m2 2,3, m [1,3 a 2 %] Luego se tiene que adoptar un semivariograma vertical local, en una zona de ley media constante m, siendo el modelo cuasi estacionario siguiente:

[ )()(3,8

3,22,2),( 22112

hChCCmmh o ++= ] , para h [0,4m] y m h [1,3;3 %]

(los parmetros Co, C1, C2, a1, a2 del modelo, son los valores anteriores) Ajuste del efecto de agujero A ttulo de ejemplo escogeremos el semivariograma del sondaje S4 de la figura IV-9, que es el que representa mejor el efecto de agujero. Este ajuste no es ms que un ejercicio de estilo, puesto que en la prctica desaparecen la estructura media y por tanto debe considerarse slo para clculos geoestadsticos. En primer lugar estimamos la amplitud:

417,08,4

8,48,6)(

)(. ==oC

hCInf 6,8 es el valor mximo en el semivariograma experimental, por tanto 2*8,6 is es el valor absoluto mnimo de la covarianza correspondiente. La varianza experimental s*2=4,8(%)2 es un estimador de la varianza a priori C(o). Como este valor 0,417 > mximo = 0,217 (efecto de agujero a tridimensional), este efecto es direccional y slo se manifiesta en la direccin vertical (se hizo mencin anteriormente). Es evidente entonces que en este yacimiento sedimentario sub horizontal, las fases mineralizadas ricas son aplanadas siguiendo la direccin horizontal. Estando limitado el efecto a la direccin vertical, podemos entonces modelar, usando los esquemas positivos unidireccionales y en particular el esquema cosinusoidal (1-cos h), admitiendo que la amplitud es igual a la unidad. La figura Ej.1. muestra este ajuste realizado por el modelo superpuesto siguiente: (h) = Co + C11(h) + C22(h) , para todo h ]0,4m] en la direccin vertical, con: 1(h) = A[1-exp(-h /)*cos(h )]

A = 2,26(%)2 , = 10m, = 2,5

Bh para todo h [0,a] h B = 9(%)/m =)(2 h con

Ba para todo h a a = 0,28m El esquema 1(h) es construido se

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