DYNAMIC  GAMES  OF  COMPLETE  INFORMATION  

 PRELIMINARIES  

   

         The  Extensive-­‐Form  Game    • Set  of  players  N  • Players’  payoffs  as  a  function  of  outcomes   𝑣!(. ) !∈!  • Order  of  moves  • Actions  of  players  when  they  can  move  • The  knowledge  that  players  have  when  they  can  move.  • Probability  distributions  against  exogenous  events.  • The  structure  of  the  extensive-­‐form  game  represented  by  the  above  mentioned  points  is  common  knowledge  among  all  players.  

   

Game  Trees            

     

       Definition:  A  game  tree  is  a  set  of  nodes  𝑥 ∈ 𝑋  with  a  precedence  relation  𝑥 > 𝑥′,  which  means  “x  precedes  x’”.  Every  node  in  a  game  tree  has  only  one  predecessor.  The  precedence  relation  is  transitive,  asymmetric  and  incomplete.  There  is  a  special  node  called  the  root  of  the  tree,  denoted  by  x0,  which  precedes  any  other  𝑥 ∈ 𝑋.  Nodes  that  do  not  precede  any  other  nodes  are  called  terminal  nodes,  denoted  by  the  set  𝑍 ⊂ 𝑋.  Terminal  nodes  denote  the  final  outcomes  of  the  game  with  which  payoffs  are  associated.  Every  node  x  that  is  not  a  terminal  node  is  assigned  to  either  a  player  or  to  Nature.      

1    

x0  

o   f  o   f

 

F  O  

 

x1  2  

x2  2  

2  1  

0  0

 

0  0  

1  2  

x3   x4  x5  

x6  

Information  Sets          

 

     

       Definition:  Every  player  i  has  a  collection  of  information  sets  ℎ! ∈ 𝐻!  that  partition  the  nodes  of  the  game  at  which  player  i  moves  with  the  following  properties:  1. If  ℎ!  is  a  singleton  that  includes  only  x  then  player  i  who  moves  at  x  knows  that  he  is  at  x.  

2. If  𝑥 ≠ 𝑥′  and  if  both  𝑥 ∈ ℎ!  and  𝑥! ∈ ℎ!  then  player  i  who  moves  at  x  does  not  know  whether  he  is  at  x  or  x’.  

3. If  𝑥 ≠ 𝑥′  and  if  both  𝑥 ∈ ℎ!  and  𝑥! ∈ ℎ!  then                          𝐴! 𝑥 = 𝐴!(𝑥′).  

   

o   f  o   f

 

F  O  

 

x1  2  

x2  2  

2  1  

0  0

 

0  0  

1  2  

x3   x4   x5   x6  

1  

x0  

       Imperfect  versus  Perfect  Information    Definition:  A  game  of  complete  information  in  which  every  information  set  is  a  singleton  and  there  are  no  moves  of  Nature  is  called  a  game  of  perfect  information.  A  game  in  which  some  information  sets  contain  several  nodes  or  in  which  there  are  moves  of  Nature  is  called  a  game  of  imperfect  information.    Imperfect  information  can  be  due  to  two  causes:  • Exogenous  uncertainty:  Uncertainty  over  the  choice  of  Nature.  

• Endogenous  uncertainty:  Uncertainty  over  the  choice  of  another  player.  

   

Strategies  and  Nash  Equilibrium    Pure  Strategies  in  Extensive-­‐Form  Games:  A  pure  strategy  for  player  i  is  a  complete  plan  of  play  that  describes  which  pure  action  player  i  will  choose  at  each  of  his  information  sets.    In  the  simultaneous  move  Battle  of  Sexes  game  Si={O,F}  for  both  players.      In  the  sequential  move  Battle  of  Sexes  game,  • S1={O,F}  • S2={oo,  of,  fo,  ff}  

   Definition:  A  pure  strategy  for  player  i  is  a  mapping  𝑠!:  𝐻! → 𝐴!  that  assigns  an  action  𝑠!(ℎ!) ∈ 𝐴!(ℎ!)  for  every  information  set  ℎ! ∈ 𝐻! .  We  denote  by  𝑆!  the  set  of  all  pure  strategy  mappings  𝑠! ∈ 𝑆!      

Mixed  versus  Behavioral  Strategies    Definition:  A  mixed  strategy  for  player  i  is  a  probability  distribution  over  his  pure  strategies  𝑠! ∈ 𝑆!    Definition:  A  behavioral  strategy  specifies  for  each  information  set  ℎ! ∈ 𝐻!  an  independent  probability  distribution  over  𝐴!(ℎ!)  and  is  denoted  by  𝜎!:  𝐻! → ∆𝐴!(ℎ!)  where  𝜎!(𝑎!(ℎ!))  is  the  probability  that  player  i  plays  action  𝑎!(ℎ!) ∈ 𝐴!(ℎ!)  in  information  set  ℎ! .                

 

           Pr{o|O}  =  poo  +  pof  =  1/3  ;                              𝜎! 𝑜 ℎ!! = !

!  

 Pr{f|O}  =  pfo  +  pff  =  2/3  ;                                    𝜎! 𝑓 ℎ!! = !

!  

 Pr{o|F}  =  poo  +  pfo  =  1/2  ;                                  𝜎! 𝑜 ℎ!! = !

!  

 Pr{f|F}  =  pof  +  pff  =  1/2  ;                                    𝜎! 𝑓 ℎ!! = !

!  

   poo  +  pfo  +  pof  +  pff  =  1  

o   f  o   f

 

F  O  

 

x1  2  

x2  2  

2  1  

0  0

 

0  0  

1  2  

1/3   2/3   1/2   1/2  

x0  

1  

 Definition:  A  game  of  perfect  recall  is  one  in  which  no  player  ever  forgets  information  that  he  previously  knew.    The  Absent  Minded  Driver    Introduced  by  Piccione  and  Rubinstein  in  1997  Single  person  decision  problem.    A  driver  has  to  go  home.  Exit  1  is  the  wrong  exit  and  gives  him  a  payoff  0  Exit  2  is  the  correct  exit  and  gives  him  a  payoff  4.  Missing  both  exits  will  eventually  lead  him  home  through  a  long  way,  giving  him  a  payoff  of  1.    Mixed  strategy:  The  probability  that  he  will  exit  at  any  Exit  he  passes  in  p.    Expected  payoff:  0𝑝 + 4𝑝 1 − 𝑝 + 1(1 − 𝑝)!  Maximized  for  𝑝 = !

!  

 If  he  knows  with  some  probability  q  that  he  s  at  Exit  1  and  with  some  probability  (1-­‐q)  that  he  is  at  Exit  2,  his  expected  payoff  would  be  𝑞 4𝑝 1 − 𝑝 + 1 1 − 𝑝 ! + 1 − 𝑞 [4𝑝 +1(1 − 𝑝)]    This  leads  to  an  interesting  dynamic  inconsistency:  The  driver  would  plan  one  thing  in  advance  and  then  rationally  change  his  mind  once  he  finds  himself  at  an  intersection.      

1  

1  Exit  

Exit  

1  4  

0  

   Normal-­‐Form  Representation  of  Extensive-­‐Form  Games    Simultaneous  move  Battle  of  Sexes  game     Chris Alex

O

F

O

2,1

0,0

F

0,0

1,2

 Sequential  move  Battle  of  Sexes  game     Chris Alex

oo

of

fo

ff

O

2,1

2,1

0,0

0,0

F

0,0

1,2

0,0

1,2

 Even  though  we  have  been  able  to  represent  the  extensive  form  game  into  the  normal  form  game,  there  is  the  lack  of  dynamism  in  the  representation.    Why  do  we  then  try  to  represent  it  in  this  way?  Concept  of  Nash  equilibrium  is  static  in  nature,  in  that  the  equilibrium  posits  that  players  take  the  strategies  of  others  as  given,  and  in  turn  they  play  a  best  response.  The  above  representation  suffices  to  find  all  Nash  equilibria  of  the  game.  

Nash  Equilibrium  and  Paths  of  Play      Consider  the  normal  form  representation  of  the  sequential  Battle  of  Sexes  game.     Chris Alex

oo

of

fo

ff

O

2,1

2,1

0,0

0,0

F

0,0

1,2

0,0

2,1

   Nash  equilibria:  (O,oo),  (O,of),  (F,ff)    Even  though  (O,oo)  and  (O,of)  result  in  the  exact  same  outcome,  there  is  an  important  difference.    The  difference  between  these  two  equilibria  is  not  in  what  the  players  actually  play  in  equilibrium,  but  instead  what  player  2  plans  to  play  in  an  information  set  that  is  not  reached  in  equilibrium.                              

           

 

     

       In  the  extensive  form  of  the  game,  every  outcome  is  associated  with  a  unique  path  of  play.    If  a  strategy  profile  s*  is  a  Nash  equilibrium,  each  player  i  prefers  sticking  to  the  predicted  path  of  play  over  leaving  it  and  choosing  some  other  path  in  the  game,  given  his  belief  that  the  other  players  will  stick  to  𝑠!!∗    Let  𝜎∗ = (𝜎!∗,𝜎!∗,…  𝜎!∗)  be  a  Nash  equilibrium  profile  of  behavioral  strategies  in  an  extensive-­‐form  game.  We  say  that  an  information  set  is  on  the  equilibrium  path  if  given  𝜎∗it  is  reached  with  positive  probability,  We  say  that  an  information  set  is  off  the  equilibrium  path  if  given  𝜎∗  it  is  never  reached          

o   f  o   f

 

F  O  

 

x1  2  

x2  2  

2  1  

0  0  

1  2  

x3   x4   x5   x6  

x0  

1