G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH

KRESNOHADI ARIYOTO 1

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH

Selain pendekatan yang dilakukan oleh Black-Scholes dalam memformulasikan harga option, cara lain berdasar Binomial juga

dilakukan oleh Cox,Ross, dan Rubinstein (1979) dan Rendleman dan Barter (1979) secara sendiri-sendiri. Cara Binomial lebih mudah

dipahami dan lebih memberikan solusi.


1.Model Binomial untuk Harga Call Option yang Underlanya SahamAsumsi: pasar modal efisien dan tidak terjadi arbitrage opportunities.Harga saham, S, mengikuti multiplicative binomial generating process seperti yang tampak pada Fig.7.11. berikut ini.

S=Harga sahamq=0.5=prob harga saham akan bergerak ke atas1+rf =1.1u=1.2=multiplicative upward movement in the stock price (u>1+rf > 1),d=0.67=multiplicative downward movement in the stock price (d<1<1+rf)


Di akhir periode harga saham dapat meningkat menjadi uS dengan prob.q (0.5), $24.00. atau turun menjadi $13.40. S tidak akan negatif dan batas atas harga saham tidak ada. Asumsi lain yang penting adalah u> 1+rf > d. Jika tidak ada asumsi ini maka ada arbitrage riskless opportunity. rf > 0.

Ada call option,c, dengan X=$21 underlanya saham. Payoff tampak pada Fig 7.12. Dengan prob 0.50 harga call eropa dapat ke $3 atau turun ke $0.


Dengan peluang seperti itu (ke $3 dan $0, berapa harga c yang kita mau beli. . . .?

Untuk menjawabnya, kita membuat risk free hedge portfolio dulu terdiri dari 1 lbr saham, S dan m lbr call option yang underlanya saham tsb. Payoff portfolio kita ada di Fig 7.13.

Jika diakhir periode payoff-nya sama, maka portfolio tsb adalah risk-free hedge.Jadi uS –mcu= dS – mcd

Dari persamaan tsb, m = hedge ratio, dapat dicari yaitu m = S(u-d) / (cu – cd) - - - - (7.20)Dengan angka-angka m= ($20(1.2-0.67)/($3-$0) = 3.53.


Artinya riskless hedge portfolio terdiri dari 3.53 call option dan 1 lbr saham sebagai underla-nya . Payoff dalam kondisi apapun akan sama.________________________________________________________________

State of Nature Portfolio Payoff_________________________________________________________________

Bagus uS – mcu 1.2($20)-3.53($3) = $ 13.40Jelek dS - mcd 0.67($20)-3.53($0)=$13.40

_________________________________________________________________ Jika kita ingin tahu besarnya rate of return dari investasi ini, kita anggap harga call option yang kita beli adalah c dan investasi awal kita adalah S-mc. Sementara itu riskless hedge portfolio selama periode rf menghasilkan uS-mcu , sehingga (1+rf)(S-mc) = uS – mcu . Dari persamaan ini dapat dicari rumus untuk c, yaitu

c = - - - - - - - - - - -(7.21)

Kita tahu bahwa m = S(u-d)/(cu-cd), karena itu kita bisa mendapatkan rumus untuk c, sbb.

c=[cu {(1+rf)-d)/(u-d)} + cd {(u-(1+rf))/(u-d)}] ÷ (1+rf) - - - - - - - - (7.22)

S[(1+rf) – u] + mcu

m (1+rf)


Jika {(1+rf)-d}/(u-d) = p, dan (1-p)={(u-(1+rf)}/(u-d), maka c dapat menjadi lebih sederhana yaitu

c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) - - - - - - - - - - - - - - (7.23)

Mengingat nilai 0< p < 1, maka p memenuhi syarat sebagai suatu probabilita, dan p kita sebut sebagai risk-neutral probability. Nyatanya p adalah nilai q yang terjadi pada kondisi ekuilibrium jika saja preferensi investornya risk-neutral. Berdasar Fig.7.9 berikut ini,risk-neutral investor hanyamembutuhkan risk-free-ratedari investasinya di saham.Karena itu:(1+rf) S = qS + (1-q) dS

sehingga q = {(1+rf)-d}/(u-d). Padahal p= {(1+rf)-d}/(u-d).Jadi, p=q untuk investor yang risk-neutral !!!, dan berdasar pers 7.23, tsb di atas, maka harga call option eropa tsb dapat diartikan sebagai ekspektasi dari seorang risk-neutral investor atas future value dari investasinya pada call option eropa. Tentu saja, hal tsb tidak berarti bahwa rate of return dari investasinya pada call option eropa, hanya sebesar risk-free rate saja. Perlu dicatat bahwa risiko investasi pada call option eropa, sama risikonya dengan membeli saham dengan skema margin. Artinya “Buying on margin means that part of the investment in the stock is borrowed. In fact the exact payoffs of the call option can be duplicated by buying(cu-cd)/[(u-d)S] shares of stock and [ucd-dcu]/(u-d)(1+rf) units of risk free bond. See Cox and Rubinstein (1979)”


Berdasar rumus c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) pada pers (7.23) dan dengan angka-angka dari contoh kita, dimana cu=$3, cd=$0, u=1.2, d=0.67, maka => p=(1.1-0.67)/(1.2-0.67), sehingga c=$2.2126.

Dengan diketahuinya harga call option eropa, maka dapat dihitung berapa dollar yang dibutuhkan untuk investasi pada hedge portfolio tsb dimana payoff nya $13.40 dan menghasilkan return sebesar risk-free rate. Untuk itu ingat kembali pada Fig 7.11. berikut ini. Portfolio hedge terdiri dari 1 lbr saham ($20) dan 3.53 lbr call option yang underlanya saham tsb.

Investasi kita dapat dihitung yaitu S-mc=$20 – 3.53 ($2.2126) = $12.19,dan rate of return dari investasi = $13.40 ÷ $12.19 = 1.1 yang tidak lain 1+rf

Besarnya nilai call option eropa, sangat tergantung pada hedge portfolio dan nilai yang tepat dari call option tsb agar rate of return betul-betul sama dengan rf .Jika tidak, bisa terjadi risk-free arbitrage profit.


Terdapat 3 hal yang menarik dari membuat formula suatu call option eropa.1. Variabel q tidak mempengaruhi besarnya nilai call option eropa, besarnya probabilita

obyektif dari harga saham bergerak ke atas. Konsekuensinya, walaupun investor mempunyai ekspektasi bermacam-macam terhadap besarnya q, namun investor tetap meyakini bahwa harga call mereka itu tergantung pada besarnya u,S, X, dan rf pada 1 periode. Harga saham itu sendiri merupakan berbagai harapan atas besarnya q

2. Pengaruh dari preferensi risiko investor tidak relevan ketika membuat rumus untuk menilai harga call option. Yang relevan adalah memperhatikan keinginan investor untuk meningkatkan kekayaannya supaya investor tidak melakukan arbitrage profit

3. Satu-satunya random variable yang diperhitungkan adalah harga saham itu sendiri. Hal tsb tidak tergantung pada portfolio pasar (yang terdiri dari seluruh sekuritas di suatu pasar modal)

Apa yang sudah dijelaskan tsb diatas, semata-mata penilaian harga call option eropauntuk 1 periode transaksi option. Bagaimana menentukan harga option eropa ketika transaksi lebih dari 1 periode?


Untuk 2 periode transaksi, Fig 7.14 dan Fig 7.15 memperlihatkan hal tsb.

Diasumsikan two-period risk free rate sebagai (1+rf)² (This is equivalent to asuming a flat term structure of interest rate)


Kita tahu pers 7.23 –bukan pers 7.19 adalah rumus untuk menilai besarnya harga call option eropa yaitu c=[pcu+(1-p)cd]÷(1+rf) untuk transaksi 1 periode. Harga-harga call option eropa diakhir 1 periode baik jika naik maupun turun adalah:

cu=[pcuu + (1-p)cud] ÷ ( 1 + rf), dan cd=[pcdu + (1-p)cdd] ÷ ( 1+ rf) - - - - - -(7.24)

Selanjutnya kita dapat membuat risk-less hedge portfolio pada periode pertama agar tidak terjadi arbitrage opportunities. Present value dari portfolio tsb adalah

c = [pcu + (1-p) cd] ÷ ( + rf)

Dengan mensubstitusikan cu dan cd dari pers 7.24, di peroleh harga call option eropa 2 periode yaituc = [ p² cuu + p(1-p) cud + (1-p) pcdu + (1-p)² cdd] ÷ ( 1+ rf)² - - - - - -(7.25)Rumus tsb di atas merupakan penerapan model 1 periode yang dilipat gandakan (applying the one-period model twice) – One can easiliy imagine how this iterative technique lends itself to a

computer program- Term didalam tanda kurung pada pers 7.25 tidak lain adalah binomial expansion dari term pada pers 7.23. model binomial untuk 1periode. Nilai-nilai yang mungkin dipunyai oleh cuu, cud, dan cdd adalah cuu= MAX[0,u²S-X], cud=MAX[0,ud S-X], dan udd=[0,d²S – X].Pers 7.25 dapat dikatakan sebagai expected payoff dari 2 periode dengan risk neutral probability, p dan 1-p, yang didiskonto dengan risk-free rate.


2. A Binomial Model for Pricing Call Options on BondsSelama jangka waktu berlakunya bond, nilainya berakhir secara konvergen ke face valuenya sebaliknya saham justru mempunyai berbagai kemungkinan harga sebagaimana pada Fig 7.14 (bukan Fig 7.15- wah salah lagi nih buku)

Mengingat harga bond tergantung pada risk free rate, maka risk-free rate diasumsikan mengikuti binomial stochastic process seperti terlihat pada Fig 7.16.


Sebagai contoh, rf=10%, u=1.2, d=0.85, prob bergerak harga rf keatas dan kebawah sama 50/50, q=0.5. Default-free bond D=$1000, dan membayar coupon setahun $ 100, dan umur bond 3 tahun. Harga bond adalah present value dari cash flow ke depan yaitu

Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26)

Harga bond naik jika rf turun dan sebaliknya


Bt = (q Bd,t+1 + (1-q) Bu,t+1 + coup) / (1+rf) - - - - - - - - (7.26)

Harga bond naik jika rf turun dan sebaliknya Harga bond stochastic sampai habis masa hidupnya, karena rf juga stochastic, seperti Fig 7.17 berikut ini.


Anggaplah ada call option yang underlanya default free bond tsb, dengan X=$1000.Harga call = ct pada suatu saat t. Saat di eksersais payoff nya tampak pada Fig 7.18 berikut ini.

Jika call option mempunyai waktu hidup sama lamanya dengan maturity default free bond, maka call option akan mempunyai payoff yang sama pada apapun state of nature-nya namun juga dapat saja tidak berharga lagi. Call option yang underla-nya default free bond, harusnya mempunyai umur yang lebih singkat dibandingkan dengan umur bond itu sendiri. Karena itu bond di Fig 7.18 merupakan call dengan periode hidup 2 periode sedangkan bond sebagai underla-nya hidup selama 3 periode berakhir.


Agar dapat merumuskan besarnya nilai dari call option eropa yang underla-nya bond, harus dibuat lagi portfolio risk free hedge yang terdiri dari 1 lbr bond dikurangi dengan m lembar call option yang underla-nya bond tsb. Hedge risk free portfolio akan mempunyai payoff yang besarnya sama pada kondisi apapun baik harga bond naik atau turun. Dengan demikian besarnya payoff saat harga bond keatas dan kebawah harus sama, sebagai berikut ini.

Bd,t+1 + coup – mcd,t+1 = Bu,t+1 + coup –mcu,t+1

Hedge ratio, m, adalah m=(Bd,t+1 - Bu,t+1 ) / (cd,t+1 - cu,t+1) - - - - - -(7.27)

Kita juga tahu bahwa nilai portfolio sekarang jika dikalikan dengan (1+rf) akan sama dengan payoff risk less hedge portfolio pada akhir periode bond, sehingga dapat dibuat persamaan berikut.

(Bt – mct)(1+rf) = Bd,t+1 + coup - mcd,t+1 - - - - - - - - - - - - -(7.28)

Jika harga m dimasukkan ke pers 7.28, dapat diperoleh besarnya harga call option eropa yang underla-nya bond, yaitu: --

Ct=[Bd,t+1 + coup - Bt(1+rft)] cu,t+1 – [(Bu,t+1 + coup) - Bt(1+rft)] cd,t+1 ÷ [(Bd,t+1 - Bu,t+1)(1+rf)]- -(7.29)

Jika harga-harga dari variabel-variabel dalam contoh kita, dimasukkan dapat diketahui harga call saat t=0 adalah $89.069


3. A Digreesion on The Binomial Distribution, p.224, skipped

4.The Complete Binomial Model for Pricing Call Options on StockUntuk mengeneralisasi T periode penggunaan Binomial untuk pricing option, adalah mudah dengan cara mengetahui besarnya probabilitas dari outcome akhir, dikalikan dengan besarnya nilai outcome dan mendiskontonya dengan risk free rate selama periode T ke present value. Bentuk umum dari payoff adalah

MAX [0,un dT-n S-X],

Dimana T = lamanya perioden=banyaknya pergerakan keatas dari harga saham (n=0,1,2,……T). Bentuk umum besarnya probabilitas untuk setiap payoff adalah dist Binomial sbb

B(n|T,p) = T!/(T-n)!n! pn (1-p)T-n

Mengalikan besarnya payoff dengan besarnya probabilitas dan menjumlahkan seluruh payoff yang mungkin, diperoleh rumus:

c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n MAX [0,un dT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.30)


Pers (7.30) merupakan pernyataan yang lengkap dari memperhitungkan nilai option dengan menggunakan model Binomial. Namun, salah satu dari tujuan pembahasan ini adalah membandingkan antara penetapan harga option berdasar Binomial yang diturunkan secara diskrit, dengan model Black- Scholes yang justru diturunkan berdasar waktu yang kontinyu. Karena itu pada pembahasan selanjutnya akan ditunjukkan cara mengubah model Binomial supaya dapat dibandingkan dengan cara Black-Scholes.Pertama-tama, kita terapkan adanya kenyataan bahwa banyak payoff final dari call option yang selesai menjadi nol karena out-of the money. Jika a adalah integer (bilangan bulat) positif yang mecakup seluruh state of nature dimana option tidak punya nilai yang negatif (bernilai positif). Dengan demikian, pers (7.30) dapat ditulis kembali sebagai berikut.

c={ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [un dT-n S – X]} ÷ (1+rf )T - - - - (7.31)

Jika pada pers (7.30) n=0,…..T, sekarang menjadi n=a,….T. Juga MAX [0,un dT-n S – X] dapat dihapuskan karena dalam perhitungan harga option, hanya payoff yang positif saja yang diperhatikan.


Selanjutnya pers (7.31) dipisahkan menjadi dua bagian sebagai berikut.

c=S [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n [un dT-n S ]

– X (1+rf )-T [ T∑n=0 T!/((T-n)! n! ) pn (1-p)T-n ] - - - - - - - - -(7.32)

Bagian kedua adalah nilai eksersais yang didiskontokan, yaitu X(1+rf)-T , dikalikan dengan dist Binomial komplementer, B(n≥ a|T,p). Yang dimaksud dengan complementary Binomial probability adalah probabilita kumulatrif untuk berada dalam kondisi in-the-money options (misalnya dimana n≥ a) dimana probabilita-probabilita adalah probabilita hedging (atau risiko netral) ditentukan oleh risk-free hedge portfolio. Bagian pertama adalah harga saham dikalikan dengan probabilitas Binomial komplementer. Bagian itu dapat diinterpretasikan dengan cara yang sama sbb

p’ Ξ [u/(1+rf )]p dan 1-p’ = [d/(1+rf )](1-p)Selanjutnya didapat pn

(1-p)T-n un dT-n /(1+rf )T = [u.p/(1+rf)]n [{d/(1+rf)} (1-p)]T-n = (p’)n (1-p’)T-n

Model Binomial untuk call option Eropa menjadi sbb

c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33)


c=S B(n≥ a |T,p’) – X(1+rf)-T B(n≥a|T,p) - - - - - - - - - - (7.33) dimana pΞ [(1+rf) – d]/(u-d) dan p’ Ξ [u/(1+rf)] p,

aΞ integer yang tidak negatif terrendah yang nilainya lebih besar dari ln(X/Sdn)ln(u/d)

Dan jika a<T, maka c=0

B(n≥a|T,p) = probabilita komplementer Binomial bahwa n≥a.

Fungsi dist Binomial komplementer merupakan probabilita dimana jumlah dari random variabel sebanyak n, dengan setiap variabel randomnya dapat mempunyai nilai 1 dengan probabilita p dan 0 dengan probabilita (1-p), akan lebih besar dari atau sama dengan a. Secara matematik, hal tsb dapat dinyatakan dengan:

B(n≥ a|T,p) = T∑n=a T!/[(T-n)! n! ] (p(1-p)T-n )

dimana T=jumlah banyaknya periode waktu.

Dari per (7.33) dapat dipahami bahwa harga call option meningkat saat harga saham, S, meningkat dan menurun jika harga eksersais, X, meningkat.


Dapat ditambahkan, bahwa risk-free-rate, rf , banyaknya periode waktu sebelumm option sampai ke maturiti-nya, T, dan varians dari dist Binomial, б² = Tp(1-p), berdampak pada nilai call option. Jika risk free rate meningkat, dampak utamanya adalah padanilai diskonto dari harga eksersais, yaitu X(1+rf)-n , dan hal tsb meningkatkan nilai call (sekalipun ada dampak yang kedua berupa p dan p’ menurun ketika rf meningkat). Meningkatnya lama maturity. T, jelas akan meningkatkan harga call. Kita harus ingat bahwa nilai call option sama dengan nilai diskonto dari payoff final dikalikan dengan probabilita masing-masing hedging probabilities. Lamanya maturity tidak merobah besarnya hedging probabilities, p. Namun hal tsb menyebabkan lebih banyaknya payoff yang positif, karena dari pers (7.32) ada integer, a, yang nilainya menjadi batas payoff payoff yang positif, yang justru akan menurunkan nilai payoff tsb, ketika T makin lama (makin besar). Juga nilai ekspektasi dari payoff Binomial yaitu E(n) = pT, akan meningkat dengan meningkatnya T. Akhirnya, nilai call akan meningkat dengan meningkatnya varians Binomial, VAR(n)=Tp(1-p). Hal tsb dimungkinkan karena ketika size dari harga saham berobah, u, naik, maka varians juga naik dari dist Binomial. Varians yang lebih besar meningkatkan perobahan atas harga saham sehingga melampaui harga eksersais pada saat payoff final, karena itu harga call meningkat.


Dari semua itu, intuisi dibalik rumus call option, yaitu pers (7.33) adalah nilai dari call option sama dengan harga saham, DS, dikonversi kedalam suatu posisi dari risk adjusted dari sebuah call option dengan mengalikannya dengan satu sepanjang hedge ratio, B(n≥a|T,p’), kemudian mengurangi present value dari harga eksersais X(1+rf)-T dibobot dengan probabilitas bahwa option akan mature pada kondisi in-the-money, B(n≥a|T,p). Harap dicatat, bahwa p’ digunakan sebagai posisi risk-adjusted dan p sebagai probabilita obyektif dari akhir yang berada pada kondisi in-the-money.

Lainnya baca sendiri karena sudah mendapat landasan yang cukup

G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH

Documents

Transcript of G. DERIVATION OF THE OPTION PRICING FORMULA- THE BINOMIAL APPROACH