F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x)...

28
V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II

Transcript of F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x)...

Page 1: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

V(x) vs. x

IV

I

F(x) vs. x

III

II

����������� ������������������������������� ���"!��#�%$'&)(+*-,�(�.0/�12*3,4*65�7�89�;:���<=��>��?�A@CBED�FCG����IHJ� :���FK@��;�?H��L��> ML>��J�INH�����O?�P���QFR�S����:��I��TVUW��> <X�Y���Q�����L�� ���J�Z�?�[�����PH > O?�\�]>��ZM^��� �]� >�_�����`a�����P������#���Q�����P<I�?H HJ�I� C����N�> ��Ob &)5dc?*E�;:���<=��> ���A@�e^D;FCG2�?��HJ�J:��fFK@��"�?��Hf�J���]����ML�#H��S��O?��TDg�\GihD0�)Gjh6hD0<"Gjh6h6hD0N)Gjh-BD0�"Glk������]���m�J���IMn>���<I�?���J> �o�����6��!�>p���l�C��> ��OP�J���#�;�?HJ<��]�;:���<��J> �?�AT

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Page 2: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

V(x) vs. x

E E

dx dxdx dx

I II III IV

}A�Z�����V�� �������������� ���"!��#�L�;:���<��J> �?������$'&�("*3,C(�.;/�1�*3,K*35�7�8����IHJ� :��Z��?�J>p��>��?�RD�BiD�FCG����IHJ� :���FCG��;�?Hf��?���~��N�>�M^�����J>��?�������o`-�o����M�T���N����J���IN�����HJ> ���?�\�X������> ���]>���N�> <I�S���������������S� :��]���'�����IH O�`����;��H��L���Ho��> <�� �M^�"�3> ��O[> �9�J��> �z����J�I�\��> ����!��I����@'<I��HJHJ���J��?��N�>���O[���Y�����?:���N��o�X�S�J�j� `3� �J�IMaT��-M^��� �QHJ��O?> �����I@'�I��<X������I�6:����Q!�> N��J���?FK@'��H �^>���N�>�<+�S�J�IN��d�z�J�=�?��H������ �3<+�S�J> �?���]>����J���E!��I� �gTa�ZHJN���H�����^(�.0�9*�xI$'*3,C(j>��9�I��<X��JM^��� ����?�J>p��> ���i��> ��D0�?FCG=@���D;h�G~@-��D;h3h-G~@���D0h6h6h-G=@��S��Ni��D0h-BzG~@��;HJ�?M�1;&C,K7)*3x�(#���%x+�K&)5"("*3x�(����2�J���#���Ho��> <�� �M^�"���I�f����<X_j����Na�;�?Ho���l> �j�J���#!2��� ��TDg�\GE��D0h6h6h-G� ¡��D0h6h-G� ¡��D;h�BVG2 ¢��D0h-GD0�)Gi��D0h-G� ¡��D;h-BzG¤£W��D0h6h-G� ¡��D;h3h6h-GD0<"Gi��D0h6h6h-G� ¡��D0h6h-G¤£W��D;h�BVG2 ¢��D0h-GD0N)Gi��D0h-G� ¡��D;h-BzG� ¡��D0h6h-G� ¡��D;h3h6h-GD0�"Gi��D0h-G¤£W��D;h6h�G¤£¥��D0h6h6h�G¤£¥��D0h-BzG2�J>���<I���¦> ��<��?���o�X���\�

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§

Page 3: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

IIIP(x)

a b

VP(x)

a b

IP(x)

ba

IVP(x)

a b

IIP(x)

baE

V(x)

a b

¨A�Q�����H �J> <I�������-�I����HJO�`#��M^�"�?���K�C�=��!2���I��J���¤<I� ���J� > <+�S�S��:�HJ��>���O�C�?>��\���I@�©�����N�ª"@S>��]�������=�«N�> ML�I��� > �?�����C�S���I�\�J>¬���f���^�J���"!��¥> ��������­�O?:�HJ�s���¢�����a� �=���i�S�C�"�?�ST®�����s��:�H ��> ��OR��?> �\�E�S�E©�>��^N���­�����N¥�\`¢�S�> MLC�������JH������ �P!��S� ��@K!���>�� �P�����^�?���^�S�Vª%>��O�>��?���9�\`Y�����^> �\����HJ� �I<��J> �?��!�>��J�R�����jBED�FCG�<�:�H ���i�J���"!��ATUW��> <X�9���������Ec\10/�x+x+.0c?/�1#$m5�&)�m/��u.01g.�(~8¯�4.gx=("5d.0�mwK(".0&�,4x�@4°ED�FCG=@u� ���"!����?�9�J���EH > O?�\�<I�?H HJ�I� C����N��V�J�����>���� `3�o���IMaT�D0±f��<+�����3�J���S���J����<I� ���J� > <I���-�HJ�?���S��> ��>���`]N�>�� ��H > ��:-��> ���V> �mN���­����INL�J:�<X�P�J���S���J�����H �?������>�� >p��`���4­���N�>���OL�J���]���Ho��> <�� �Z>��j�����]�JM^�����²> �\�J�IH �S���'D;FK³JFP´¡�?FCG2> ��O?>p�?�����\`a�6µ'HJ�?�KD�FK³JFz´¡�?FCG¤£¶°ED�FCG��?FKT·GDg�\GihD0�)Gjh6hD0<"Gjh6h6hD0N)Gjh-BD0�"GaB

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

¸

Page 4: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

IV

x

I

III

II

x

¹K�v�����jC�?� >��J> �?���S�f�;��:�HV�?�6º �I<��J�P!�>�����N�>�»C�IHJ>���Os��`3��I�P���fML����>��?�9>����?���=�«N�> ML�I���J> ������HJ�E<+����J:�HJ��N�S��a� ��HJO��P�3:�Mz�C��H�S��H��S��N��?M��J> ML�I�#>����J���^<��?ML�:�����Ho�«O?�I����H��S�J�INv¼½� ������ �����J�I¼4�J���"!��������"�?�ST[D0������?��H ��>�<+����� �HJ�I��NL> �P������N��S���¤> �'� > ML���`V��N�N���NL�J�]ME��_S��������N������J>p��`%���CN������'ML�?H ��<I� �I��HJ�p`V�3> � > ������T¾G���!��C���J�J>���� �#�����=�«N�> ML�I��� > �?�����²ML����>��?�����SHJ��¿�VT��ÀM^���J���?� <I>�� �¬�d��> ��OP�S������������Na�����P� �HJ>���OÁ T��ÀME�S�J��:���N��IHJO��?> ��O%:���>��;�?H MÂ��<�<I�I���IHJ�S��>��?�j���P�����]H > O?�\�+@�� �X�SH ��>���Oz�;HJ��MÂHJ��� �

UW��> <X�aML����>��?��D0�@ Á G�O?�3�I��!�>��J�l!���> <X��¼½� ������ �����+¼mD;ÃX@�ÃJÃX@�à ÃJÃX@�ëÄ]G ÅDg�\G �V¿�Ã«Ä Á ¿�ÃJÃD0�)G �V¿�Ã«Ä Á ¿�ÃJà ÃD0<"G �V¿�à Á ¿�ÃJÃD0N)G �V¿�à Á ¿�ÃJà ÃD0�"G k��?���]���4������S�C�"�?�

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Æ

Page 5: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

dx dx dx

ψ = 0 ψ = 0

I II III

ÇA�������j������z�S�C�"�?�j� ���"!��%���?���~��N�>�M^�����J>��?�����'!2�"���i�;:���<=��> ���A@'ÈZD�FCG]���IHJ� :��PFKT[�����j�¬�S�C��� �I@uh�@uh3h)@����N^h3h6h)@6> ��N�> <+�d����HJ��O?> �?�����S�C�?:-��!���>�<X�EML�+��� :�HJ��M^���\���2�S�²��������?�J>p��>��?�%���A��������SH ��>�<I����<+���^�C�fME�SN���T�ZHJN���H]�J���L�HJ�?������> ��>��J> �I�����Q­���N�>���Oa�J���%���Ho��> <�� �PN����J<�HJ> ���IN��\`YÈZD�FCGZ> �R�l� ME�S� ��H �IO?>��?�Y����!�>�N����R�?F���+�SHf�I��<X�s� �����I� ��NjC��> �\�+@��;H �?MÉ�m.;7�7)*3x�(]���Lx+�R/�1g1;*3x�(\TDg�\Gj°^D0h6h6h�G2 ¢°ED;h-G2 ¥°ED;h6h�GD0�)Gl°^D0h6h-G2 �°^D0h-G2 ¥°^D0h6h6h�GD0<"Gl°^D0h6h6h�G2 ¢°ED;h6h�G2 �°ED;h�GD0N)Gl°^D0h-G2 ¥°^D0h6h-G� ¥°^D0h6h6h�GD0�"Gl°^D0h6h-G2 �°^D0h6h6h�G2 �°ED;h�G

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ê

Page 6: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

ψ(x) vs. x

ψ = 0 ψ = 0

ψ = -A

ψ = -2A

ψ = +A

ψ = +2A

ψ = +3A

-2a -a 0 +a +2a +3a +4a

ËA�i�����%�> <=��:�H �L���C�"���L� ���"!��V�j������#���2��D0HJ�S������H]��H �J>�­�<�>¬���¬Gf�?���=��N�> ML�I��� > �?���S�4!2�+�?�^�;:���<��J> �?�A@�È�D;FCG�?��HJ�J:��fFK@-�����IH������ZH�����O?�%DoÌ § ©�³~´ Æ ©3G=T'�����Z!��+�?�#�;:���<���>��?�i�S����>��J�����2�;�?H������C�S������H2�S��� :���������FKT'UW���S�> ���J���z�H �?������> � >p��`j�����d�]�iM^�I���J:�HJ�IML�I�\�#�S�Q�J���P��?�J>p��> ���s���'�J���P���Ho��> <�� ��!2�?:�� N�­���N[>p�Z>��s�����PHJ����O?�D�´ § ©�³~´ ¸ ©3G=@�>�TÍ��@��;H �?MÉFl£®´ § ©^���PFj£{´ ¸ ©3ÅDg�\G §?Î�ÏD0�)G[Ð Î�ÑD0<"G[Ð Î ÆD0N)G[Ð Î?§D0�"G[Ð Î�¸

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ñ

Page 7: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

ψ(x) vs. x

ψ = 0 ψ = 0

ψ = +A

ψ = +2A

-2a -a 0 +a +2a

∆a ∆a

Ò �V�����V­�O?:�HJ�z���C�"���z�J���"!��]�E�� �������Q�[D;H��S�J���IH#�SH ��>p­�<I> ����G�!2�+�?�z�;:���<���>��?�A@CÈZD�FCGf�?��HJ�J:��ZFK@AO?>����I���\`�����z��!��[¼Í�J�>�_��I��¼A�J����!��²@��+��<X�Y���'!�>�N����YÓ%©�T]�����V!2�"���P�;:���<��J> �?�����S��> � ���I�Z�;�?H���� �4���J���IH��S����:��I�����¤F�������J���"!��AT'UW��>�<X�E���²�������=Ô-�HJ���J� > �?���2�C��� �"!�>���<�� �?� �I� �����]�����f�S��� :��f���C������xI$m5�*6/��Y�?H�wm,4c?*65�(+/�.g,�(=8> �j��������?� >���>��?�i�S��HJ> ��������@�����M^����`iÓPFKTQ±��I<I��� �²�J���S�ÓzFaÕ×Ö Ø0F)Ù~Ú�ÌÛØ0FCÚ Ù

!����IH �iØoÜ"Ü"ܾÚ�N��������J�I�f/6��*65�/�7)*[�?H�* t $'*3c�("/�(�.;&�,¡��/�1gwK*)�Dg�\GjÓzFa£ ¸ © Î�ÊD0�)GlÓzFa£ § ©D0<"GlÓzFa£ § ÓL©D0N)GlÓzFa£ Æ © Î�ÊD0�"GlÓzFa£®Ó%©

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ý

Page 8: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

ÞA�2��������?� >���>��?�-�«�J���<���!2�+�?���;:���<=��>��?�A@?È�D;FCG~@?���C�����Ho��>�<I� ���S�'� �?ML�2> ��� �X�S�6��> �uO�>��?���P�\`�J�����;:���<=��> ��������;�?HJMÈ�D;FCG¤£ Ðßáà Ù ´®D;FiÌRF)â=G Ù Î�ã ÙJä

!����IH � à ³JF)â"³ ã ��HJ�E��� �¤<��?��� �����\����T�UW��>�<X���=Ô-�HJ���J� > �?�����I����!×!2�?:�� N����E<�� �?� �I� ����s�J���^�S����:��L���������xI$45d*6/��l�?Hmwm,4c?*65"("/�.0,C(~8E>��V�9&��9*3,C("wm�¢@�>gT½�ST�@SÓZå�@?�S�4�����S�m�J> ML��T�D�æQ��:V��H �������u�~Ô-C��<�����Nz���f���S����:��S������\`l> �\����O?H��S� �2�;�?H��J��> ���HJ�?�����IMaT·GDg�\GjÓZåjçéèê Î D ã à GD0�)GlÓZåjçéèê ÎSãD0<"GlÓZåjçéèê Î D ã Ù F)â=GD0N)GlÓZåjçéèê Î D ã Ù à Ù GD0�"GlÓZåjçéèê Î D ã F)â=G

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

ë

Page 9: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

ψ(x) vs. x

ìA�2�¥����������C�#��?�J>p��> ���-��� ���<I���I����HJO�`z�I> O��I���o�X�S�J��@\È�D;FCGm�?��HJ� :��QFK@\>����J����!��^�����"�?��T'�4�Z!���>�<X�L<��¬��� �J>�<+���� `3� �J�IM×!��?:���Nz����>��u� �?� :��J> �?����)��������> ML�=�«> ��N��I��I��N����\�¤�-<X��H+í�?N�>���O?�IHu�I�6:��S�J> �?�zML�?�o��� >�_�����`�<I�?H HJ���J��?��N)ÅDg�\Gi�¯�;HJ�������H �J> <I����@-M^�"�3> ��OL�S��<��?���o�X���\���?��� �3<I>���`E���P�����]H > O?�\�+TD0�)Gj�¯�;HJ�������H �J> <I����@-M^�"�3> ��OL�S��<��?���o�X���\���?��� �3<I>���`E���P�����]�������+TD0<"Gj�À���Ho��> <�� �Z:���N��IH O?�?>���O%:���>��;��HJMÂ�S<I<I��� ��H��S�J> �?�i�J�L�J���]HJ> O��6�I@�� ����H �J> ��Oz�;H �?MÉH �I�o�+TD0N)Gj�À���Ho��> <�� �Z:���N��IH O?�?>���O%:���>��;��HJMÂ�S<I<I��� ��H��S�J> �?�i�J�L�J���]� �����I@��o�X��Ho��> ��O%�;H �?MÉH �I�o�+TD0�"Gj���a���J���IHo!�> �J�#�;H �I�]���Ho��> <�� �S@�ML���3>���OP���P�����]H > O?�\�+@���:��f<I�?��� >�N�> ��O�!�>��J���S��>���­���>p����!2��� �gT

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ï

Page 10: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

+V0

a b

E E

I

ψ(x) vs. x for a < x < b

II

a b

III

�6îK�^�����z­�O?:�HJ�%�?�������L�������]�S�C�"�?�P>���N�>�<+�S�J�I�#�j���Ho��>�<I� �V���Q�I����HJO�`Y�Â���+��HZ�J���P�C��:���N���Ho`������[¼Í� ����:�A@��J���I�jN���!��²¼��?H2H �I<=�X����O�:��¬��H2����HJH > ��H2��������6�J>¬����� �3<+�d���INE�C�=��!2���I�jFa£®©L����NiFj£¶ªf�����J����!��²@�!�>��J�ï^ð � ð ´]B)â"TQë�u`��?:s� �?�������J���]��> ML�=�«> ��N��I��I��N����\�Z�3<X��H"í�?N�> ��O?��H��I�6:��S�J> �?�a> �l�����]H �IO?>��?��D0©�³Xª=G�:��J> ��O����>���C�S���I�\�J>¬�����S��Nj����>����I����HJO�`�@)!���> <X�l���4�����]��?�J� > �����Z!��+�?�]�;:���<=��>��?�����?�j������H > O?�\��<��?:���Nl`��?:l­���N)ÅDg�\Gihj����Nah6h^�?����`�TD0�)Gjh6h6hE�?���p`?TD0<"Gjhi�?����`?TD0N)Gjhj����Nah6h6hE������`�TD0�"Gjh)@�h6hi����Nah6h6hi��H �]��� �A��?� �J> ��� ��T

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð ï

Page 11: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

0 L

EE

IV

0 L

I

III

II

�)�)��æQ�?:���H �'O?>����I����<I��M^�:-���IH��HJ�?O?HJ��MW!���> <X�]> ��N��I�J>�O?����N]�J���J�?�p�?���J���'��> ML�=�«> ��N��I��I��N����\�4�-<X��H+í�?N�> ��O?�IH�I�6:��S�J> �?�9D0��Ão�-ñ�GÌ èê Ù

§dò� Ù ÈZD�FCG�?F)Ù ´¡BED�FCGoÈ�D;FCGQ£®�È�D;FCG

�;�?HP����SH ��>�<I���E> ���J> N��E�����j>���­���>p���L!2��� ��� ���"!��¡�S�C�"�?��D;N���­����INv�\`�> ML��I���=��H��S��� �L!������ �P�d�zFW£ ï ³ à����N�!�>p����BiD�FCGz£ ï > ��������!��I���)G�;�?HV���\`9�S��� :��^���f�ó  ï T������i�HJ��O?H���Mô­���N��P�J�?��:���>��?���]���s�J��> ����Ho��> <�:��¬�SH4��Ão�-ñ[!���> <X�P�����J�����S�J> � ��`#�J���2���?:���N���H `�<��?��N�>p��> ���È�D ï G'£ ï ����N�?:��J�:����4!��+�����;:���<=��>��?���'> ��PO?H������> <I�����;��HJM^�S�+T��¯<��?�\�?����> ���6�fH ���;�IH �I��<��#���S� :��Z�S�m�����IH O�`j>���N���­����INl���P���]��õ3ö)÷�£¯èê Ù�ø Ù Î?§Sò à Ù Tù �?��� > N���H��J���#�;�?� ���"!�> ��Oz�o�X�S�J�IML�I�\���������?:����J���#!��+�?�=�;�?HJML�fÃ'úiëÄÀ�J���"!��s���C�"����¿ÃX¿ æQ��:�<��?:�� NlO?�=��ûu> O�T-Ã2�S�f��:����:-�f�;��H��J�?ML�Z�S��� :��#�S�'�ü ] ¥�fõ-ö)÷�TÃJÃX¿ æQ��:�<��?:�� NlO?�=��ûu> O�T-ÃJÃ������?:��J�:����;�?H��J��M^�Z�S����:��#���u� ð ��õ3ö�÷uTÃJà ÃX¿ôæQ��:�<��?:�� NlO?�=��ûu> O�T-ÃJà Ã2�����?:-���:����;�?H���£ § ��õ3ö)÷�TëÄz¿ýæQ��:�<��?:�� NlO?�=��ûu> O�T-ëÄé�����?:��J�:����;�?H��J��M^�#�S��� :��#�����LT

UW��> <X�a���4�������J��� ���S����M^���6�J��>���Dg��H �"G��JHJ:��+ÅDg�\GiÃJà Ã�����NaëÄ��?����`D0�)GjÃJà Ã2�?����`D0<"GjÃ��S��N�à Ã�������`D0N)GjÃ��S��N�à ÃJÃQ�?���p`D0�"Glk������]���m�J���IMþ�SHJ�Z��H :��

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� ����IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð?Ð

Page 12: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

I

0 H

|ψ(z)|2 vs. z

IV

0 H

III

0 H

II

0 H

�3}����é���H �J> <I���#> �fN�HJ���C��N��;H �?Mn�^���I> O��6��ÿ :���N���H��J���>�� � :�����<I�����'O�H��+�3>���`l����Ns���?:���<��I�I@)!�>��J���?:��� �?� ��S���I����HJO�`�@u�;HJ��M � � �S��J:�H �0��<��YDg�S���[£ ï G]���S<X_R:�����a�����^����ML�^���I> O��6�ITiUW��> <X�9���������E�����������������E!��?:�� N����^�J���i���I�o�PHJ���HJ���J�I�\���S��>��?�����������i�6:����\��:�MýM^��<X������>�<+���Q��?�J>p��> ���-��� ���<I�L�H �?������>�� >p��`N��I���J>���`�@�� È�D��\G�� Ù �?�IH �J:�����@)���u���l�I����HJO�`l��> O?����� ���S���#�;�?H��J��> ���o`3� ����M�TDg�\GihD0�)Gjh6hD0<"Gjh6h6hD0N)Gjh-BD0�"Glk������]���m�J���IMþ�SHJ�#��?�J� > �����#�J�?��:���>��?�������4����>����HJ����� ��M�T

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð §

Page 13: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

|ψ(x)|2 vs. x

E = 1.2 eV

�3¨����À���Ho��>�<I� �#>��a����>���­���>p���Z!��I���QD;!�����HJ�PB^D;FCGQ£ ï �C�=��!2���I�s�J���]��������H !�>��J��> MLC�������JH���������!2��� ���XG2> �> �l�������I���IHJOS`���> O?����� ���S���]<��?HJH �I�J��?��N�> ��OL���%�������HJ��������>�� >���`^N������J>p��`� ÈZD�FCG� Ù �?��HJ� :���F[� ���"!��[�����"�?��T�����#�I���IHJOS`i�����J��> ���o�X�S�J�Z> �2��£éÐ�� §� B%TuUW���S��> �2�J���Z�I���IHJOS`i�����J���Z� �"!��I�o��C�?� �J>���� ����� ����!��INE�I����HJO�`� ���S���]> �j�J��> ��!��I����ÅDg�\G ï � ï� BD0�)G ï � ¸� BD0<"G ï � Æ BD0N)G ï � Ñ� BD0�"G[Ð�� §� B

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð ¸

Page 14: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

�\¹4�¡�n�C�I��M �S����SH ��>�<I���I�z�����I���IHJOS`�� > �z>���<I>�N��I�\�I@¤�;H �?Mý�J���j� �=���+@¤�?�v��� �J�IvC�S���I�\�J>¬�����S�����I> O��6�B)â ð �þ���]�J����!��9> �Y�����P­�O?:�HJ�L�?���J���L���=Ô3�z���O?��TL����>���H �?�����IM >����S�����I�R�����S��`3�I��N9:�� > ��Oa��¬�S���=�!��+���#�J�?��:���>��?���¤���A�J���f�J> ML�=�«> ��N���C����N����6���-<X��H+í�?N�>���O?�IH��I�6:��S�J> �?�L!�>��J�E> ��<I> N��I�\�#D;ÃoG=@6HJ� � �I<=����N�Dg±�GQ����N��HJ�����JML>�� ����N9D;�fG�<I�?MLC�����I�\����H �I�H �I�J���\���INs�6`E�����]�J��� :��J> �?�ÈZD�FCGQ£�� h ������ ´�� �������� �;�?H�F�� ï� �� !� �;�?H ï ��F

!����IH �#"L£ Ö §Sò � Î èê Ù ����N%$�£ Ö §Sò D0�{ÌvB)â~G Î èê Ù TUW��> <X�a���u�J����!2�+�?�=�;�?HJML��� ���"!��s�?�a�����]������������Na�C��� �"!¶�J���]­�O?:�H �����a�J������=Ô3�����O?�^D0���SM^����`jÃX@ÃJÃX@�à ÃJÃX@�ëÄz@���H�Ä]G2���I� ��HJ���HJ���J���6�J���J���#��HJ:���� �?� :-��> ���j> �i����> �f����H �\��<X�)ÅDg�\GiÃD0�)GjÃJÃD0<"GjÃJà ÃD0N)GjëÄD0�"GiÄ

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð Æ

Page 15: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

x < 0 x > 0

IV

I

ψ(x) vs. x

II

III

V

x < 0 x > 0

ψ(x) vs. x

incidentreflectedtransmitted

I

R

T

x < 0 x > 0

V = 0

V0

E E

µ'HJ����� ��Mô�\¹4��ûm> O?:�H �I��h)@�h6h)@�h6h6h�@�h-B%@)����N�Bü�J���"!¯��?�J� > �����#�J�?��:���>��?���2�J�L�J���]�J<I�S�J�J�IHJ>���O%�HJ����� ��M> � ��:�� �JH��S�J�INi>��j�����]:����IH���������<I��HJ����Hf>��j���IH M^���S�u>���<I>�N��I�\�VD0N��S�J����N)G=@�H � � ��<�����N�D;�J�?��> N)G�����N��HJ����� M^>p�J����NRD0N���� ����N)G���¬�����Z!��+�?���J��� :��J> �?����T

Ð Ê

Page 16: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

-a 0 +a

V(x) vs. x

+V0

IV

-a 0 +a

|ψ(x)|2 vs. x

I

III

II

�3Ç��#�����V������f�?���J������������J���"!����^��������6�J>¬���K�����IH O�`l�;:���<��J> �?�²@²BED;FCG��?�IH �J:���FK@C<��?HJH �I�J��?��N�> ��OL���i�S�& �S� `3M^ML���JHJ>�<�¼�> ��­���>����]!��I� �gT������V> ��­���>����]!��I� �m> ������!�> N-��� § ©�@�!�>����s> MLC�������JH���������!2����� ���S��F[£(']©)@��:���!����IH �iB^D;FCG#£�´�B�â]�;�?HPÌ�© ð F ð×ï ����N9BiD;FCG#£ ï �;�?H ï[ð F ð ´#©�Ti���������P­�O?:�HJ�I���?�Y�����HJ>�O?�\�+@'!���> <X�v> �*)���H �jM^�?�o�P� >�_�����`����Y�C�l��\`3�J>�<+������`9��<I<��I����������a�����IH O�`���> O?����� ���S���l�J��� :��J> �?����;�?Hz�������>�M^�~��> ��N��I��I��N��I�\���-<X��H+í�?N�> ��O?�IH��I�6:��d��> ���l�;��H�����>���!��I����ÅDg�\Gihj����Nah-Bü�?���p`D0�)Gjhi�?����`D0<"Gjh6hi����N�h6h6hE�?����`D0N)Gjh6hE�?����`D0�"Gjh-Bü�?����`

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� ����IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð Ñ

Page 17: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

I

IV

II

V(x) vs. x

E

V(x) vs. x

III

�3Ë�����������!���>�N��I�\�J> <+�S�-�>�<��J:�HJ���'> �V�J����<I���6�J�IH'���)�J���2­�O?:�HJ�������"�?���J����!¢�Z�?���~��N�>�M^�����J>��?�����3��������6�J>¬���g@BiD;FCGu���IHJ� :��2FK@3���¤!2��� �)�����]���?HJ>��I�?�\������N���� ���INE� > ����> ��N�>�<+�S�J> ��OZ���6:����\�J> �I��NE�����IH O�`L� �����I�)<I��HJHJ���J��?��N-�> ��O���z�����]x+. t (��v* t c\.�("*3��x�("/�(+*�T�UW��> <X�l���������Z!��+�?�#�;:���<���>��?�i��������#D0�J����!��l�?�i�J���Z����j�?H2�����J�J�?MHJ�"!��XG�> ��ML�?� �f��> _�����`^���L<I�?H HJ�I� C����Ns���%����> ��� ���S���+Å�kf�����]�����d�f�J���]�?�IHo��>�<+����N��S�J����N�� >����I��>��a�J���È�D;FCG�?��HJ�J:��LFv�>�<���:�HJ�I�V<I�?H HJ�I� C����N����������j� �3<+�S�J> �?���������J���j<I� ���J� > <+�S�Q�J:�HJ��>���O[��?> �\���> ���J���lBiD�FCG�� �S�+TDg±��I<I��� �A�J���S��������� �"!��I�o�������IH O�`a� �X�d����> ��<I�?�\���I�\��>��?��������`j<I��� ���INj������7)5�&Cw4,4�Ûx=("/�("*)@����������~Ô-����>�O?���IH�I����HJO�`l�������I��<I��HJHJ���J��?��N������P�J���,+u5dx�(L* t c\.�("*3��x�("/�(+*j����Nl�J�%�;�?Ho���AT¾GDg�\GihD0�)Gjh6hD0<"Gjh6h6hD0N)Gjh-BD0�"Gj������HJ��>��¤�J�?ML���J��> ��O�> ��<I�?��� > �o���I�\�2�����?:��Q�+��<X�E�?�����J�������S�����?�������C������M¦> �����^��<I<��I�������� ��!2�"����;:���<=��>��?�j�;�?H�����>���� �X�d����T

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� ����IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð Ý

Page 18: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

V(x) = +kxV(x) = -kx V(x) = +kxnot allowed

� Ò �E�����%�> <=��:�H �L���Y�J���%� �=���]���������%�J���"!���l�����=�«N�> ML�I��� > �?�����u��������\��>¬�S�u�I���IHJOS`[�;:���<��J> �?�YO?>p�?�����\`BiD;FCG¤£-".� F���D0� �?� >�NP� >����I��G����'!2��� �)���'�����f��> O?�\�Q� �"!��I�o�2�S� � �"!��IN%�I���IHJOS`%�I> O��I���o�X�S�J�I��D0N���� ���IN^���?H > �I���6������ >����I��T·Gz�������J���I����HJO?>��I�f��HJ�]O?>p�?���A@�> �j����HJML�����u�%�6:��S�6�J>���`0/�@��\`i�����]�S����:��I���£üD Ð�� ï ³ § � ¸ ³ ¸ � § ³ Æ �pФ³ Æ � ë ³ Ê � Ê ³ Ñ � § ³ Ñ � ë ³1�2�2�·G3/

�������� �����?�a�J���]HJ>�O?�\���J���"!��������%¼Í�������¬��!2��� �g¼3���IHJ� > �?�a���4����>���C���J�I�\��> ����@-����ML�I�p`^�J���S�fO?>����I�l�\`BED;FCG¤£4�65 �;�?H�F ð�ï´7"3F �;�?H�Fs  ï

�J�i�J���S���J���V����J�I�\��> ���m>��f�J���z�J��M^���;�?H�FR  ï @²��:��������V���H �J> <�� �]> �������#�S� � �"!��IN�> �s�J���VH �IO?>��?�sF ð{ï T������M^�?�o��� >�_��I�p`E��S�J�J�IHJ�a���m�I����HJO�`l��> O?���\���S� :�����> �j�����%¼Í�����p�¬�«!��I� �g¼��?�j�J���]HJ> O��6��>���O?>����I�a�\`Dg�\Gj��£×D § � ¸ ³ Æ �pФ³ Ê � Ê ³ Ñ � ë ³1�2�2�·G8/D0�)Gl��£×D Ð�� ï ³ ¸ � § ³ Æ � ë ³ Ñ � § ³1�2�2�·G8/D0<"Gl��£×D Ð�� ï ³ § � ¸ ³ ¸ � § ³ Æ ��Ð�³1�9�2�¾G:/ÛD;>�TÍ��Tp@������]�J��M^�#�����IH O�`l�J��I<=��H :�MiGD0N)Gl��£×D Ð�� ï ³ § � ¸ ³ ¸ � § ³ Æ ��Ð�³1�9�2�¾GID § /'GZD;>�TÍ��Tp@������������IH O?> �����SHJ�]�����AN��?:���� �IN�GD0�"Gl��£×D Ð�� ï ³ § � ¸ ³ ¸ � § ³ Æ ��Ð�³1�9�2�¾GID;/ Î?§ G�D0>�TÍ��Tp@��J���]�I����HJO?>��I�f��HJ�������²���S���?��N)G

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð ë

Page 19: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

E0

E1 = 3E0

E2 = 6E0

E3 = 10E0

E4 = 16E0

E = 0

�3Þ����������J��I<=��HJ:�Mü���C�#�?���=�«N�> ML�I���J> �������3�C�?:���N%� �X�d����� `3�o���IM¦>����J����!��L> �P�J����­�O?:�H ������������@6� ����H �J> ��O!�>��J�������O?H �?:���N� ���S���ZDg��â~GK:�����HJ�?:�O������� Æ �J��~Ô�<�>��J�INz�o�X�S�J�ZD0�=<�G~Tuûu>p�?�Q> ��N�> � �J> ��O�:�> � ���������'�I� ��<��JHJ�?�����HJ�E_3����!������[���i>�������>��!��I� ��>Q�J���I>�HzMz:��J:�����> �\����H���<=��> �����V<I�����C�i���IO?���I<��J�INATYUW���S�z> �V�J���i� �"!��I�o�C���J�J>���� �Z�J���X�S�A�I����HJO�`j�J���S��� :�<X���%� ���S���]<+�S�a���"���"ÅDg�\G ïD0�)G Ê ��âD0<"G[Ð Æ ��âD0N)G ¸?Ñ ��âD0�"G ë?ï ��â

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

Ð Ï

Page 20: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

V(x) vs. x

-a 0 +a

E E

-a +a0

IV

I

|ψ(x)|2 vs. x

III

II

�3ì��^�Z�������P� �����Z���������P> �#�^�> <=��:�H �P���Q���[> �-­���>��J�V!��I� �mC�S���I�\�J>¬���g@C!�>��J��> ML��I���=��H��S��� ��!������ ���S�?']©)@��:��P!�>p���v���J� ���\���IN������J�J�?M �J�[�����d�%�?���j�I��Nv>��PN��I��C��Hz�����S���J���j���J���IH�T9�n���Ho��>�<I:�� ��HV�6:����\�J> �I��N�I����HJO�`E� �=�?�I�C> ��> ��N�>�<+�S�J�IN^�6`^���������?HJ>��I�?�\�����)N����J���INl� >�����T4UW��> <X�j�����J����!2�+�?�Z�;:���<=��>��?�����?�^�����ZH > O?�\�D0��������f���@� ÈZD�FCG� Ù �?��HJ� :��ZF���HJ���J����!���G�> �fM^��� �f� >�_��I�p`j���^<I�?H HJ�I� C����Ns���L����>��������IH O�`a� �=�?�I�¬Å¥Dgû��?H������!��+���L�;:���<���>��?�Y�> <=��:�H �I�]�?�[�����LH > O?�\�I@²�����P���IH �J> <I����N���� ���INR� >����z> ��N�> <I�S�����������%<��I�\����H��S���J���P!2��� �'�S�Fl£ ï T·GDg�\GihD0�)Gjh6hD0<"Gjh6h6hD0N)Gjh-BD0�"Gj�����=`���HJ�%��������?�J� > �����z�J�?��:���>��?����@�N��I��I��N�> ��Oa�?�[�����%�~Ô��S<����6:�M^��HJ>�<+�������H���ML���J�IH �#�����J���P!2��� ��J����!��²T

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§�ï

Page 21: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

EC

EB

EA

V(x) for ‘variant’ of infinite well

-a +a-a/2 +a/20

+V0

II

III

p < 0 p > 0p = 0

|φ(p)|2 vs. p

I

}�îK�Z�Z�a�J����������������"�?��@��J���IH �>����L�> <=��:�H �]���u�J��HJ���N�>p»²��HJ���6���6:����\��>��I��Ns�I���IHJOS`��������I� �D0�BA4³X�BC¤³���D�G> �Y�i�S��HJ> ���\�Z�������Y>���­���>p���V� �6:���HJ�P!��I����¿�>p�+¼Í�#���Y> �-­���>��J�!��I�������Q!�> N��J� § ©l!�>p���Y> ML��I���=��H��S��� ��!������ ��S�%F®£E'�©�@���:��%!����IH ��B^D;FCG^£ ï �;�?HjÌ�© Î?§¡ð F ð ´#© Î�§ �S��N¡BiD;FCG^£ ´]B�â%> �������lH �I� �L���������!2��� �gT��Z�a�����HJ> O��6����H �����HJ�I�N�>�»C�IH �I�\�#�R&C�R*-,�(�wm�Y|XxI$4/�c?*[$45�&��4/��m.g10.�(=8¢�4.gx�(+5S.;�mwK(�.;&�,mxS@��� �S���f����GFmD å�G�� Ù �?��HJ�J:���å�@�<��?HJH �I� C�?��N�> ��OP�J�%�J���#����H �I�]� �=�?��� ��O?>����I�l�\`l�=Au@��BC'@�����N���DmT¤UW��> <X�lM^��M^���6�J:�MN�> �o��H > ��:��J> �?�¡D;h�@4h6h)@mh6h6h-G#O��-����!�>p���Y!���> <X�R�I����HJO�`�� �=�?����Å Dg±��I<+�S� �������S�]�����^�HJ�?������> ��>���`����2­���N�> ��O�����]��SH ��>�<I���Z!�>����lML�?ML�I�\��:�M�> �j������HJ����O?�LD å�³�åV´¡�+å�G2>���O?>����I�a�\`l�6µ¤H �?�KD å�³�åV´¡�+å�G'£4�HFuD å�G� Ù �"åAT·GDg�\G �BA[¿\h ��CR¿?h6h3h �BD�¿�h3hD0�)G �BA[¿\h6h ��CR¿?h �BD�¿�h3h6hD0<"G �BA[¿\h6h6h ��CR¿?h6h �BD�¿�hD0N)G �BA[¿\h ��CR¿?h6h �BD�¿�h3h6hD0�"G �BA[¿\h6h ��CR¿?h6h3h �BD�¿�h

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§ Ð

Page 22: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

}��)�]�����V�� ���������"�?�V� ���"!��Z�����C���J>��J> �?�3���J���<I���HJ��������>�� >���`EN��I���J>���`�@I� È�D;FK³�J�G�� Ù �?�IH �J:��LD�FK³*J�G=@)�;�?H��S��I����HJO�`L��> O?����� ���S�������������H �J> <�� ������M^��� � ò >��E�](~yz&�|X�4.0�9*3,mx+.;&�,4/�1u.0,K+u,m.�("*jx�LAw4/�5d*iyV*31g1²�S�A� ����O��J�à �?�a�+��<X�a�J>�N���T¤�����]��������\��>¬�S�A�I����HJO�`j�;��H��J:�<X�s�P!��I����> ��O?>p�?�����\`BED;FK³�J�G'£4� ï �;�?H ïPð FK³�J ð à5 �;�?H�Fs  à @�F ð�ï @MJi  à @��?HNJ ð�ï

UW���S�f> ���J���]�I����HJO�`l��> O?���\���S� :��#<��?HJH �I�J��?��N�> ��OP���P�J��> ��� ���S���+ÅDg�\Gj��£ Ý èê Ù ø Ù Î?§Sò à ÙD0�)Gl��£ Ñ èê Ù�ø Ù Î?§Sò à ÙD0<"Gl��£�Ð ¸ èê Ù�ø Ù Î?§Sò à ÙD0N)Gl��£�Ð § èê Ù ø Ù Î?§Sò à ÙD0�"Gl��£ §?Ê èê Ù ø Ù Î?§Sò à Ù

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§?§

Page 23: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

h h6h h6h6h

})}��2��������������Q�����"�?��> � ��:�� �JH��S�J��������C���J>��J> �?�3���J���<I���H �?������>�� >p��`zN������J>p��`L�;��H¤�J��HJ����N�>p»²��HJ���6��� ���S�������;�?H�L���H �J> <I���Z> �a�z(~yz&�|��m.0�9*3,mxI.0&�,K/�12.0,K+u,4.;("*�c\.;5Sc\w41;/�5Pyz*31g1 T¤�-:�<X���PC�S���I�\�J>¬���A>���N���­����IN��6`BiD�FK³*J�G'£¶BiD;O?G'£P� ï �;��HBO ð ©5 �;��HBOV �©

�����2�J��HJ����N�>�»C�IH �I�\�������IH O�`�I> O��I���o�X�S�J�I�'�����"�?�����+�?�������2���SM^�Q("&�("/�1²*3,K*35�7�8'T¤�ZH N��IH4�����Q����H �I���o�X�S�J�I�I@h)@�h6h)@)����N�h6h3h)@�>��l�J�IH M^�f���4������> H�5�&)(+/�(�.;&C,K/�1u��Hf/�,47�w410/�50QA.g,K*\(�.gcj*3,K*35�7�8'@R�,S[�^@��;H �?Mn�4.07��K*-x=(���^10&3yz*3x�(\TDg�\G0�,S[�iD;h6h�G� T�,S[�iD0h6h6h-G� U�,S[�iD;h-GD0�)GV�,S[�iD;h6h3h-G� U�,S[�ED0h-G� U�,S[�ED0h6h-GD0<"GV�,S[�iD;h-GQ£W�,S[�iD;h3h-G¤£-�,S[�ED0h6h6h-GD0N)GV�,S[�iD;h6h�G� T�,S[�iD0h-G� U�,S[�ED0h6h6h-GD0�"GV�,S[�iD;h6h3h-G� U�,S[�ED0h6h-G� U�,S[�iD;h-G

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§�¸

Page 24: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

+2

+1

0

-1

-2

wall

|ψ(x,t)|2 vs. x

t

|φ(p,t)}2 vs. p

- +0

I

- +0

II

- +0

III

- +0

IV

- +0

V

})¨��Q�vC�?� >��J> �?�-�«�J��S<I�¤!��+�?�2���<X_��=�'> �K<��?��� �JHJ:�<=����Nz!���> <X�zH �I�H �I� �I�\���¤����������IH !�>��J�Q�;HJ�I�Q���Ho��>�<I� �'!���>�<X�M^�"���I�����%������HJ>�O?�\�+@���>p�������a> MLC�������JH������ �Z!2��� �g@A¼½���?:���<I�I��¼�@C����Na�����I�\��:���� �p`lM^�"�?���f�;H �I����`i�J�L�J����������D0>gT½�ST�@3BiD�FCG¤£ ï ���#�������������¤����������>���­���>p���2!2��� �gT·G�ûu>����]¼½� ������ ��������¼6���C�J�����C�����+�3> �?H'���X� È�D;FK³ � G� Ù �?��HJ� :��Fj��H ���J���"!��^> �z�����f�������'ML�?�o�¤<I�?��:�M^�z�;��H���> ML�I�u�C�=�;�?HJ�D;� ð�ï G~@\N�:�H > ��O^D;��Y ï G=@6�S��NL�S������HfD;��  ï Gm�����<I�?��� >��J> ���ATmUW��>�<X�l���K�����]<I��HJHJ���J��?��N�>���O & ��> ML�=�«�¬����J��¼3������������K�J�����9&��9*3,C(�w4��|Xx�$m/�c?*a$45d&)�4/��m.g10.;(~8�m.0x�("5d.;�uw�(�.;&�,mx�@Z�HFuD åA³J� G� Ù �?��HJ� :���å�@3�J���"!��j> �L��������������H����IH �J> <I���C<��?� :�M^����D0� �����I� ��NEÃX@3ÃJÃX@3ÃJà ÃX@-ëÄV@�����NÄ]G#�C��� �HJ���HJ���J�I�\�J�V�����%<��?HJH �I�J��?��N�> ��O�<I�?��� > � > �?������ �I���9> ��ML�?M^���\��:�MP��� ���<I�+Å�Dgµm���J>��J>�����Dg´�G#����N���IO?�S��>p�?�VD��oG��S��� :��I�¤����ML�?ML�I�\��:�Mü��HJ�f> ��N�> <+�d���IN²@6!�>p����åi£ ï N�����������NE�\`%�����f�?��H ��>�<+���)N��S�J����Ni� >����I��T·GDg�\GiÃD0�)GjÃJÃD0<"GjÃJà ÃD0N)GjëÄD0�"GiÄ

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� ����IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§ Æ

Page 25: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

t

|ψ(x,t)|

Re(ψ(x,t))

Im(ψ(x,t))

}�¹4�������jH �+���ZD0N��S�J����N)Gz����N�>�ME�SO?> ���SH `¡D0N����J����N)GV���Ho���z�S������?� >���>��?�-�«�J���<��^!2�+�?�j�;:���<=��> ����HJ�I�HJ�=��J���6�J> ��Oa�i�;HJ���P���Ho��> <�� �V!2�+�?�L���<X_S���+@4�����?��Oi!�>p���������LML�3N�:�� :����?H]�����J�?��:����z�S����:��lD0� �?� >�N)Gf�S�2È�D;FK³J� G> �P� ���"!��¡>����J���i­�O?:�HJ�a����������T����P��> ML�i�H �?O?H �I�J� �I��@�����N��J���j!��+�?�a���<X_S���L�J�HJ�+�SN��I@Q�����lHJ�I��������N> M^��O?>�����H `i���H �J�Z���'�J���V!2�"���P���<X_S���������+�SH����i���VML�?H �E¼á!�> O?O?�p`�¼C>��������z� �I��N�> ��OE�IN�O?�z���'�J���V!2�"��������S�v>��9�����i��H��S> � >���Oa�IN�O?�ST�UW��> <X��� ���S����M^���\�%�C��� �"! �C��� �%�=Ô-�H �I� �J�I�%!����S�z> �z� ���"!��¡>��9�����i­�O?:�HJ����������"ÅDg�\Gi�����²��?�J>p��>��?�-��� ���<���!2�"�����;:���<��J> �?���2�J�H �+��Nl!�>��J�i��> ML�����I<I��:�� �]�J���I>�H�HJ�I���A�S��Nl> M^��O?> ����H `%��SH ������+�?��N�>p»²��HJ�I�\�f����S�J�#�?��� �3<I>��J> ���ITD0�)Gj�����²��?�J>p��>��?�-��� ���<���!2�"�����;:���<��J> �?���2�J�H �+��Nl!�>��J�i��> ML�����I<I��:�� �]�J���I>�H�HJ�I���A�S��Nl> M^��O?> ����H `%��SH ���O?�=��>���<IH �+��� > ��O���`�¼½�?:-���S�u������J�S¼�!�>����a�+�S<X�����J���IH�TD0<"Gj�����YN�>p»²��HJ�I�\�jML�?ML�I�\��:�M <I��M^��?�����6�J�i!���> <X�Û��H ��:�� �INW����<I����� �JHJ:�<=�s�9�;H �I�[��SH ��>�<I����!2�"������<X_S���f��HJ�"���I�4�S��N�>p»²��HJ���6�f� C���IN���TD0N)Gj�����J���#�J�H �+��Na> �j�J���#C���J>��J> �?�3���J���<I��!2�+�?�]�;:���<=��> ���A@�ÓzF\[ @�> ��<�HJ�I���J����!�>p���i�J> ML��@-�J���]�J�H �+��Na> ������f<��?HJH �I� C�?��N�> ��O]ML�?ML�I�\��:�MP��� ���<���!��+�?���;:���<=��>��?�A@6ÓZåM[ @\Mz:��o�QN��I<�HJ�+�S�J��!�>����P�J> ML�2���#�����J:�H ������S�������]:���<��IHo�X��>��6��`i�HJ>���<I>��� �ZH �I� �S��>��?�j> ��M^��> �\����> ����NATD0�"Gj������H �+��������N�>�ME�SO?> ���SH `���SH ���^�������\`v!��+�?�[���<X_��=�lMz:�� �E�J�H �+��N¥>��¢� :�<X�Û�R!��+`¡�����S�^�����ML�-N�:�� :����?H��S���J�?��:����Z�S����:��]� È�D;FK³ � G�6�������J���]����ML��x+�4/�$'*l���#� È�D;FK³ ï G�·@���:��f> �mº :��o��!�> N���HIT

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§?Ê

Page 26: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

})Ç��é�������>�<��J:�HJ���i�?�¢�J�������~Ô-�i���O?��>�� ��:�� �JH��S�J�l�J�����J> ML���=�?�?��:���>��?��������!��+�?�[���<X_��=�l> ���R�?���=�N�> ML�I���J> ��������>���­���>p����� �3:���HJ��!��I� ���S�C!�>�N���� à @\�;�?HJML�INP�;HJ��M×�I���IHJOS`%�I> O��I���o�X�S�J�I��^\_�D�FCGu!�>����%�6:����\�J> �I��N�I����HJO?>��I�f�N_�@��\`j��������> ���I��H�<��?Mz��>����S��>��?�ÈZD�FK³J� G¤£ `a_�bdc ©�_e^\_�D;FCG ��� ögfh[2i:jk

!�>��J�s����HJ�?�HJ>¬�d���]<I�3�hlL<I>��I�\����@²©�_-T#D0µ¤������������� È�D;FK³J� G�� Ù �?��HJ�J:���Fs�;�?H��S��H > �?:����J> ML�I����H �� ���"!��AT·GE�����!��+�������<X_S���2> �'N����J> O����IN%���]��HJ�"���I�)> ��>���> ��� �p`Z���]�����fH > O?�\�I@\HJ���J:�HJ��> ��O]���]�J��M^�=����>���O]� > _S��>��J�'> ��>p��>¬�S��� ���S����S������H��z��> ML���mDMn[D0>��J��<I� ���J� > <+�S�²��IHJ>��-N�G2����Nj��!��L���?:���<I�I��!�>p���j�����Z!2����� �I@������J����!����\`E�����]­�O?:�HJ�#��������%�������+TV�����^���I���"�3>��?H#���Q�����P!2�"���^���<X_��=�z�S���J�IH Æ ����N ë <I� ���J� > <+�S��C��HJ>��-N��#>��]��� � �j�J���"!��A@4�?�Y�����HJ>�O?�\�+T¤û��?H������I���¬�S�J�IH���>�M^���I@3�����#!2�"���V��S<X_����f!�> ����¿Dg�\Gjµm��HJM^�������6�J��`vHJ�=�;�?HJM >��\���R��!���@�N�> � �J> ��<=�E��+�S_3��@�HJ� � �I<=��> ��OR�����s�H �I�J����<I�s���#� �=��� �«M^�"�3> ��O�����NHJ>�O?�\� �«M^�"�3> ��OVM^�?ML�I�\�J:�MÉ<��?M^��?�����\���ITD0�)Gl±����;�?H M¦�=Ô���<��J��`L> �\�J���J����>���>��J>¬���-� �X�d���Z�d�����IHQ�]��> ML��!���> <X�EN��I��I��N��2�?�L������> ��>p��>¬�S���J�HJ�+�SNYDgÓzFCG=@�+�?��H���O?�[�����IH O�`{D �zGL���#������!��+�?�[���<X_��=�+@�����NWµ'�¬����<X_�¼Í�j<I����� �����\��D èê G~@fH �I��+�S�J> ��O������s<�`3<I��������IHJ�I�S������HITD0<"Gl±����;�?H M �~Ô��S<����p`¢>��\���R�J����>���>��J>¬�����o�X�S�J�[�S������Hi�R�J> ML�a!���> <X�¥> �^N����J�IH M^>����IN¥�\`v�����s!�>�N����¢��������V!2��� ��D à G=@������zM^��� �Z���'�����V���Ho��>�<I� �iD ò G~@A����NYµ'� ����<X_)¼½��<I�?���o�X���\�^D�èê G=@²H �I��+�S�J> ��OL�����V<�`3<I��������IHJ�I�S������HITD0N)G ù �?�\��>��6:��s�������?:���<I��@�� �HJ�I��NA@�����N � �S� �����A@����?���\��:�������`¢����H �\��<X��>���O���,K&�,�|�o\*65d&K@�<I����� �����\��S��� :��#����� ÈZD�FCG� Ù �"�?��Hf�J���]�I�\��>�HJ�Z!��I���A�;�?H���� �²�¬�S�J�IH2�J> ML�I�ITD0�"G ù �?�\��>��6:����������?:���<���@�� �HJ�I��NA@�����N � �S� �����A@��=�?�I�\�J:���� �p`¥����HJ�\�S<X��> ��O��9��/�,4.gx+�4.0,47W�S��� :��s���� È�D;FCG�� Ù �"�?�IH��J���]�I�\��>�HJ�#!2��� �A�;�?H��S� �²� �S����H���>�M^���IT

qsr�t $u1;/�.0,v8�&�w45E/�,mx=yz*65j.0,{��|~}�xI*3,C("*3,mc?*3xL.g,v(��4*�xI$m/�c?*�/��'&-��*)� q��� .;5dc\10*j(��K*[x�("/-("*3�9*3,C(%�'*310&3y�y^�m.0cd���4*3x+c?5d.;�'*3xL�K&-y�8C&�w b *3*312/��'&Cw�(E8�&�wK5E/�,4x�yz*656� �

���IH ` � �?ML��!����S� � �?ML��!����S� ���IHo`<��IHo�X��>�� <��IHo�X��>�� :���<I�IHo�X��>�� :���<I��H �X�S> �

§�Ñ

Page 27: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

t = 0

t = tCL/2

t = tCL

t = 0

t = 4tCL

t = 8tCL

µ'HJ����� ��Mþ})Ç���µ'�����������B� È�D;FK³ � G� Ù ���IHJ� :���F��;�?H��z!��+���V���<X_S����> �a���l> �-­���>��J�Z!2��� �gT¤µ¤���������"���IH����SHJ> ��:����> ML�I��N�:�HJ>���OP�����#­�H � �f<I� ���J� > <+�S�AC��HJ>��-N�D;� �����XG�����N��S������H Æ ����N ë ��IH > �3N���D0H > O?�\�XG���HJ�]�J����!��²T

§ Ý

Page 28: F(x) vs. xphysics.bu.edu/~goldberg/Bishop-543/PY354-03/QMeval/QMVI/QMVI… · V(x) vs. x IV I F(x) vs. x III II "! # %$'&)(+*-, ( .0/12*3,4*65 789 ;:  ? A@CBED FCG IHJ :

p &-��*3�Y�'*65i})î)î)îq *65SxI.0&�,¢î�� ¹

rtsvu#w]xys�z { |,}I~vu�w��1}������1�ysvu#������u?x�����w �Kw���xy�Xs�z |@w0x� r�{ �����

�����Q� :�H ����`#`��?:V�SHJ�Q�����?:�������<��?M^�� ���J��> ��N��I�J>�O?����N��J�f�HJ�?���'� �J:�N��I�\�J�I¼d:���N���HJ� ������N�>���Of���3<I�?��<��I��J�> ���6:����\��:�M{�J���I��H `?@S�I� C��<I>¬�S� ��`�������> HK����> � >p��`��J�f�3>��J:�����> ���'�3:����\��:�MÀML�I<X������> <+�S�?> N��I���4����N����I���?M^������@����Nl���"!Û����>�������>�� >p��`^<X������O?���������IH������Z:���N���HJO?HJ��N�:��d���#<+�SHJ�I��HIT¤����>��2����� ��> �2�C��> ��OPO?>p�?���i���P� �J:�N����6�J�H�����O?> ��O��;HJ�?M�:���N��IH O?H���N�:��S������> �L������> H2� �?�����M^�?H ��`��+��H]D;M^�3N���HJ�E��6`3� > <I����`3��Z<I� ���J� �I��G����­�HJ� �2`?�+�SHO?H��SN�:��S�J�[� ��:�N��I�\����T Á �I<+�S:��J�Y��������>��I@������YHJ����O?�[���N�>2l^<�:�����`¡`?�?:Û�I��<I�?:��\�J�IHl> �¥�����[> ���o��HJ:�M^���6�ME�+`a�J���IMþ���E�S��Ho`aN�H���M^�S�J> <+�S� ��`^�;HJ�?Mþ�6:���� ��>��?�s�J�i�6:��I�o��> ���AT@���3�?_a�S���I��<X�[>��J�IMþ<+�SHJ���;:�� ��`a�S��N�:�� �!����S�J���?��H�_6���"!�� ��N�O?�#`?��:�<I������HJ> ��O%�J�%�C�I��H����L�����o!2��H�>p�������C��� ��`?��:s<+�S�AT�����^����� �V<I�?��� > �o���V�S� §?Ê MV:����J> ����P<X���?> <��E�6:���� ��>��?����Tsû��?H��+��<X�9>�����M�@4����+��� �EHJ�I��NR�J���E�6:���� �J> �?�A@:��J>���O%��������<�<I�?ML����\`3> ��O%O?HJ�����>�<�@�>p�m����H �?�HJ> �S���S@�����Nj�J���I�� ù > H <I���Z�����]���I� ������� !��IHVDg�\G�@4D;�)G=@4D;<"G=@�D0N)G~@��?H�D0�+G=T� Á H > � � `%�=Ô-��¬�S> ��D0>��^�?���f��HQ��!��V� �I�\������<I���XGQ`��?:�HQHJ�+�S�J�?��>���O�> �L�> <X_6> ��O]�J���S�2�����o!2��H�>��L�J����� ���<���H ���3>�N��INAT� ù > H <I���%�J���%� ���S����M^���6�V�S�]�����^�����J�J�?M ���������%��SO?�L!���> <X���C��� �N��I� <IHJ>��C���V���"!ü`��?:R�;���I�¤�����?:��`?��:�Hf����� !��IH�@�º :�N�O?>���O%���"!{<I����­�N����6�f`?��:���H �#> �j`?�?:�HfH �I� C�?���J��T

� �3�-Nj��:�<X_j����Nl���+�����;:����

k���ML��¿

�-�3<=�o�3�I<=��k���¿

ù �?:�H �J��¿