Functions and mappings tuzFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 Tak (function) 11.1 tak() vs. tarai() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tapering (mathematics) 32.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tetraview 53.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Three-dimensional graph 64.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Collapsing the information in a three-dimensional graph into a two-dimensional graph . . . . . . . . 84.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Transcendental function 105.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Algebraic and transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.5 Transcendentally transcendental functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.6 Exceptional set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.7 Dimensional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Transformation (function) 146.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Reection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3 Glide reection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15iii CONTENTS6.4 Rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.6 Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7 More generally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.7.1 Partial transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.8 Algebraic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.9 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Unary function 187.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Unfolding (functions) 198.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Unimodality 219.1 Unimodal probability distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.1.1 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.2 Uses and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.3 Gauss inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.4 VysochanskiPetunin inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.5 Mode, median and mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.6 Skewness and kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.2 Unimodal function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3 Other extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510Vector projection 2610.1Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.2Denitions based on angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.2.1 Scalar projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.2.2 Vector projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.2.3 Vector rejection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.3Denitions in terms of a and b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.3.1 Scalar projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.3.2 Vector projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.3.3 Vector rejection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.4.1 Scalar projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.4.2 Vector projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29CONTENTS iii10.4.3 Vector rejection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.5Matrix representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.6Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.7Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111Vertical line test 3211.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212Zero of a function 3412.1Solution of an equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.2Polynomial roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.2.1 Fundamental theorem of algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.3Computing roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.4Zero set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.7Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.8Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.8.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.8.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3812.8.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Chapter 1Tak (function)In computer science, the Tak function is a recursive function, named after Ikuo Takeuchi (). It is dened asfollows:(x, y, z) ={((x 1, y, z), (y 1, z, x), (z 1, x, y)) ify< xz otherwisedef tak( x, y, z) if y < x tak( tak(x-1, y, z), tak(y-1, z, x), tak(z-1, x, y) ) else z end endThis function is often used as a benchmark for languages with optimization for recursion.[1][2]1.1 tak() vs. tarai()The original denition by Takeuchi was as follows:def tarai( x, y, z) if y < x tarai( tarai(x-1, y, z), tarai(y-1, z, x), tarai(z-1, x, y) ) else y # not z! end endtarai is short for tarai mawashi, to pass around in Japanese.John McCarthy named this function tak() after Takeuchi.[3]However, in certain later references, the y somehow got turned into the z. This is a small, but signicant dierencebecause the original version benets signicantly by lazy evaluation. Though written in exactly the same manner asothers, the Haskell code below runs much faster.tarai :: Int -> Int -> Int -> Int tarai x y z | x y) { int oldx = x, oldy = y; x = tarai(x - 1, y, z); y = tarai(y - 1, z, oldx); if (x