Funcoes de Varias Variaveis Calculo 22

8/3/2019 Funcoes de Varias Variaveis Calculo 22

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Notas de aula --- Parte II

FUNES DE VRIAS VARIVEIS

Escritas pelo Professor Wilson Canesin

Utilizada na disciplina Matemtica C para o curso de Cincias Aeronuticas da UniversidadeBraz Cubas


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Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva

Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 18

1- FUNES DE VRIAS VARIVEIS

Em muitas situaes prticas, o valor de uma certa quantidade,

depende dos valores de duas outras ou de trs outras. Ento, usualrepresentar estas relaes como funes de vrias variveis.Por exemplo, numa fbrica, uma quantidade chamada de

produo (P), depende do nmero de homens-hora (L) e do nmerode mquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentao funcional dessa relao

P = f( L, K)

O mesmo conceito se estende para qualquer nmero devariveis.

1.2 Funes de duas variveisSeja D um subconjunto (regio) do espao R2 (plano) . Chama-

se funo f de D toda relao que associa, a cada par (x,y) D, umnico nmero real, representado por f(x,y). O conjunto D o domnioda funo.Assim,D o domnio da funo em R2 ,f a funof(x,y) o valor da funo calculado em (x,y).

Exemplos de valores de funo de 2 variveis:Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , ento f(2,3) = 22 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32

Domnio das funes de duas variveisO domnio dessas funes segue as mesmas regras do domnio

de funes de uma varivel, ou seja, o domnio a regio D R2 , talque os valores calculados da funo,para todo (x,y) D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).

Ex.1 - Achar o domnio da funo f(x,y) = x y A condio de existncia dessa funo y-x0 (real) , portanto o seudomnio D ={ (x,y) R2 / y - x 0 }.

yx

z

(x,y) D

f(x,y)


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Ex.2 Ache o domnio da funo f(x,y) = y x

x2

2

, a funo finita

quando 2x-y 0. Assim, domnio D (xy) o conjunto de pontos, taisque,

D ={ (x,y) R2 / y 2x }.

Ex.3 - Ache o domnio da funo f(x,y) = y x

x32 , a funo finita

quando 3x - y > 0. O domnio o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) R2 / 3x - y > 0 }.

1.3 - Grfico de uma funo de 2 variveis

J vimos que para as funes de uma varivel, o grfico noplano x,y e y=f(x).Para funes de 2 variveis o grfico em R3 e z = f(x,y). Uma

funo de 2 variveis sempre gera uma superfcie no espao R3.

y

z

xD

D

A superfcie obtidapara cada par x,y ,fixando um valor dex e variando y, emseguida fixa um 2o valor de x e varia y ,depois fixa um 3o x evaria y ,etc., atvariar x e y em todoo domnio.

Y

X Y0 00 10 20 31 0

1 11 21 32 02 12 22 33 03 1... ...

X

Z


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Exemplos de funes de 2 variveis:

Ex.1 A funo z = f(x,y) = 5

Ex.2 - A funo z = f(x,y) = 6 2 x + 3 y . Esta funo pode serescrita na forma 2x 3y + z = 6 que a equao de um plano. Paraachar os pontos onde este plano intercepta os eixos, so fazer :

a) x =0 e y =0 z = 6b) x =0 e z = 0 y = 2c) y =0 e z = 0 x = 3

X

Y

5

Z

A superfcie umplano infinito, paraleloa x,y e passando porz=5

X

Y

Z

(3,0,0)(0,2,0)

(0,0,6)

Portanto, o grfico de f noplano

Z

Y

X

A superfcie um parabolidede revoluo.

A superfcie gerada uma semi-esfera

de centro na origem.

Z

Y

X

Ex. 4 - A funo z = f(x,y) = 221 y x

Ex.3 A funo z = f(x,y) = x2 + y2


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1.4 Limite e Continuidade de Funes de 2 Variveis

O limite da funo f(x,y), quando (x,y) tende para um valor

(x0,y0), o nmero L (se existir) e representado por),(),(

),(

00 y x y x

L y x f mil

=

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),dizemos que a funo contnua neste ponto. Caso contrrio afuno ser descontnua no ponto. O mesmo vlido para umintervalo, isto , a funo contnua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral fcil verificara continuidade das funes, por simples inspeo da mesma.

Nas funes abaixo o limite existir sempre,com exceo nasrestries.

Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 xy , contnua para todo par x,y

Ex.2 f(x,y) = x3y2 xy + y3 + 6, contnua x , y

Ex.3 f(x,y) = 1

22

+

y x y x

contnua x.y 1 ou y 1/x

Ex. 4 f(x,y) = y x y x

+

contnua se x y

X

y

D

X

y

D

y = x


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Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) contnuax,y tal que x - y > 0ou y > x

Ex.6 f(x,y) =22

1 y x contnua se 1-x2

-y2

0 ,ou x2

+y2

1

Ex.7 f(x,y) = x y / 1 a funo contnua se y 1/x 0 , y 1/xQue resulta no grfico:

y > xy

x

x

y

D

O domnio umacircunferncia decentro na origeme de raio r 1

y

x


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1.5 Derivadas de Funes de 2 Variveis

A definio de derivada parcial de uma funo de 2 variveis a

mesma que a de funes de uma varivel. A nica diferena aqui que , como se tem duas variveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se d acrscimos para a outra. Assim, seja a funo f(x,y) ,sua derivada em relao a x

),(),( y x f y x x f f += incremento da funo

x y x f y x x f

x f

+=

),(),( taxa de variao da funo

Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante aderivada parcial em relao a y

1.6 Interpretao geomtrica da derivada parcial

Nas funes de uma varivel, a derivada mede a inclinao dareta tangente curva no ponto dado. Nas funes do tipo f(x,y) deduas variveis, a derivada em relao a x, mede a inclinao da retatangente superfcie, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seo paralelaao eixo x, com y constante, e numa seo paralela a y e com xconstante.

),( y x f x f

x f

x==

Derivada parcial em x

y0 yx0x

z

Assim,

tan = fx(x0,y0) = f / x

tan = fy(x0,y0) = f / y

l i mx0

0 ymil ),( y x f

y

f

x

f y=

=

Derivada parcial em y


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TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais)

Nmero Funo f = f(x,y) Derivada f s = f/ s , s = x,y

1 f = k ( k = constante) f s = 0 (derivada de 1 const.)

2 f = x ou f = y f s = 1 s = x ou y

3 f = u n ; u = f(x,y) Ds un = n u n-1 us , u s=u/ (x,y)

4 f = n mu Dsn msn m u

unum

u =

5 f = ln u Ds ln u =u

u s

6 f = lg a u Ds lga u =au

u sln

7 f = a u Ds au = a u lna u s

8 f = e u Ds eu = e u us

9 f = u v f s = v u s + u v s

10 f = u / v , u s=u/ (x,y) f s =(v u s u v s ) / v 2

11 f = senu f s = cosu .u s

12 f = cosu f s = -senu .u s

13 f = tanu f s = sec2u .u s

14 f = secu f s = secu.tanu.u s

15 f = cscu f s = -cscu.cotu.u s

16 f = cotu f s = -cotu.cscu.u s


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1.6.1- A tcnica de Derivadas Parciais

A derivada parcial em relao a "x" , considera y como

constante, enquanto que a derivada parcial em relao na "y"considera x como constante.

fx = f / x y=constante

fy = f / y x=constante

Ex.1 - Derivar a funo f(x,y) =3 x3y2

fx = (3x3

y2

) / x = 9x2

y2

fy = (3x3

y2

) / y = 6x3

y

Ex.2 - Derivar a funo f(x,y) = x2 + y2

fx = ( x2 + y2) / x = 2x fy = (x2 + y2) / y = 2y

Ex.3 - Derivar a funo f(x,y) =x /( x2 + y2 )

f = u / v , u =x e v = x 2 + y 2 f s = [ v u s u v s ]/v 2

fx =[(x2 + y 2).1 x. 2x]/( x 2 + y 2)2 = (y 2-x2)/(x 2 + y 2)2

fy =[(x2 + y 2).0 x. 2y]/( x 2 + y 2)2 = -2xy/(x 2 + y 2)2

Ex.4 Calcular a inclinao da reta tangente interseo dasuperfcie z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).Soluo: Para derivar em relao a x, mantm y constante.

332 8)()4( y y x y x x

y x x x

z =

=

mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se

tan = )2,3( x f

= 40 = tan-1(40) = 88,57

Ex. 6 Calcular a inclinao da tangente interseo da superfciez = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).


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x f

= 3x2 + 2y

tan = )1,1( x

f

= 5 = tan-1(5) = 78,69

Ex. 7 Achar as derivadas parciais da funo f(x,y) =( x2 + y3).senx

x f

=

xvu

).( =

xv

uv xu

+

.. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx

y f

=

yvu

).( =

yv

uv yu

+

.. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx

1.7 Diferencial total de uma funo de 2 ou mais variveis

A condio para que uma funo seja diferencivel que suasderivadas parciais existam. Assim, dada a funo z = f(x,y) , suadiferencial total :

dy y f

dx x f

zd +

=

Ex.1 diferenciar a funo z = 3x3y2 2xy3 +xy 1

x f

= 9x2y2 2y3 +y e

y f

= 6x3y 6xy2 + x

assim, a diferencial da funo

df = (9x2y2 2y3 +y ) dx + (6x3y 6xy2 + x) dy

A funo de vrias variveis diferencivel se suas derivadas parciaisforem contnuas. A diferencial de uma funo F(x1,x2,...xn) de nvariveis :

dF = 11

dx xF

+ 2

2

dx xF

+......+ n

n

dx xF

=

= n

ii

i

dx xF

1

Ex.2 -Calcule a diferencial da funo F(x,y,z) =2x+3xy-2zy

Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y


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dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy 2ydz

1.8 Derivada de funes compostas

Seja a funo f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . Aderivada desta funo em relao a t

t d yd

y f

t d xd

x f

t d f d

+

=

Ex.1 Calcular a derivada da funo F(x,y) = x2 + 3y 5 ,

onde x(t) = et

e y(t) = t3

.a) A funo pode ser posta em funo de t , F(t) = e2t +3t3 5

E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

b) Calcula-se pelas derivadas parciais

x f

= 2x ;

y f

= 3 ; =

t d xd et ; =

t d yd 3t2

Assim

t d F d = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2

Se a funo tiver mais de 2 variveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),x2(t),...xn(t) , so funes de t, ento a sua derivada em relao a t dada pela regra da cadeia

t d xd

x f

dt df i

n

i= = 1 = t d xd x f t d xd x f t d xd x f n

n+++

...22

1

1

Ex.2 Dada a funo f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2

fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

t et t d

f d t 4.3cos.2 +=


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Exerccios propostos: achar as derivadas df/dt

1) f(x,y,z) =x+x2

y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3

2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-13) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3

1.9 Derivada de uma funo implcita de 2 ou mais variveis

Uma funo est na forma implcita, quando no est resolvidapara uma varivel especfica. As funes resolvidas para uma varivelso chamadas de explcitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na formaimplcita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.

A derivada de uma funo implcita do tipo f(x,y)=0, em relao ax

0=+

dxdy

y f

dxdx

x f 0=

+

dxdy

y f

x f

ou,

Ex.1 Derivar a funo f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente afrmula acima,

2154 y

x

y f x f

dxdy =

=

Ex.2 Derivar a funo f(x,y) = 4y2 6xy = 0

x y y

y f x f

dxdy

686

=

=

Para mais de 2 variveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) ediferenciando, e aps algumas consideraes teremos

y

x

f f

y f x f

dxdy =

=


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Ex.3 - Achar as derivadas x z e y z , da funo x2+y3- z=0.Soluo;

z f x f

x z

=

= x x 21

2 =

z f y f

y z

=

= 22

31

3 y

x =

Exerccios propostos: Derivar as funes implcitas e achar x z e y z , nas expresses abaixo

1) 2 x3- 4 y2 6 z = 0

2) x2 + xy2 + xyz3 3 =0

1.10 Derivadas parciais de segunda ordem

Se f uma funo de duas variveis x e y, suas derivadasparciais so fx =f / x e fy = f / y . Se derivarmos essas derivadasmais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,que so representadas por

2

2

x

f f xx

= , y x

f f xy

=2

, x y

f f yx

=2

, x y

f f yy

=2

Quando a funo e suas derivadas so contnuas, as derivadascruzadas so iguais , ou seja f xy = fyx .

Ex.1 Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 6xy

fx =f / x = 8x 6y e fy = f / y = 6y 6x

z

x

f f

z f x f

x z =

=

e z

y

f

f

z f y f

y z =

=


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2

2

x f

f xx = = 8 ; ;

x y f

f yx =

2

= -6

y x f

f xy =

2

= -6 ; x y

f f yy

=2

= -6

EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y

fx =f / x = 2e2x+5y fy = f / y = 5e2x+5y

2

2

x f

f xx = = 4e2x+5y ;

x y f

f yx =

2

= 10e2x+5y

y x f

f xy =

2

= 10e2x+5y ; x y

f f yy

=2

= 25e2x+5y

EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)

fx =f / x = 222

y x x+

; fy = f / y =V U

y x y =+ 222

2

2

x f

f xx = =

2

..V

V U U V x x =222

22

)()(2

y x x y

+ ;

x y f

f yx =

2

=222 )(

4 y x

xy+

y x f

f xy =

2

=2

..

V

V U U V y y =222 )(

4 y x xy

+ ;

x y f

f yy =

2

=222

22

)()(2

y x y x

+

Note que f xy = fyx


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1.11 Derivadas Parciais de Funes de Vrias Variveis

As derivadas parciais tm a mesma definio j vista para 2 variveis

e so representadas da mesma forma.Exemplos:

1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x

fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx

2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )fx = 2232

2t z y x ++

; fy = 22323

t z y x ++

fz = 22322

t z y x z

++ ; ft = 2232

2t z y x

t ++

Exerccios propostos - Derivar as funes:1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz

3) f(x,y,z) = z x y x

+

4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)

1.12 Derivadas de Ordem Superior

Seja a funo f de n variveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de

ordem superior so calculadas a partir de suas primeiras derivadas.fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.

Ex.1 f(x,y,z) = x2 + 4xy2 3y2z3

fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy= 8y ; fxz = 0

fy = 8xy 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x 6 z3 ; fyz =-18yz2

fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z


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Ex.2 Calcule as derivadas de ordem superior da funo :

f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us

fx = y2z

3/ xy

2z

3=1/x ; fxx = )(

1

x x = -1.x-2

= -1/x2

fxy = 0 ; fxz = 0

fy = 2xyz3 /xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = )2( 1

y y

= -2y-2 = -2 / y2

fyz = )2( 1

y z

= 0

fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2

EXERCCIOS -Derivar as funes a seguir (c/respostas)

1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4yfxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0

2) f(x,y,z) = z y y x + ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy= fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3

3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2

;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z)

;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)

; fzz= 18(x+2y+3z) .4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2

fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;


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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;

fzz=(1/2)(yx)2

(xyz)-1/2

.

5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)

fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;

fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2 /( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;

fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2 /(2x2+y2-zt2)2;

fzx=4xt2 /( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2 /(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4 /(2x2+y2-zt2)2

6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;

fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);

fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)

fxy = -cos(x2

+xy+yz2

)+(2x+y)(x+z2

)sen(x2

+xy+yz2

)fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)fyx= fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)

7) f(x,y,z) =322 z y xe ++ ; fx=2x

322 z y xe ++ ; fy=2y322 z y xe ++ ; fz=3z2

322 z y xe ++

fxx=2322 z y xe ++ +4x2

322 z y xe ++ ; fxy=4xy322 z y xe ++ ; fxz=6xz2

322 z y xe ++

fyx=fxy ; fyy=2

322 z y x

e++

+ 4y2 322 z y x

e++

; fyz= 6yz2 322 z y x

e++

fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z322 z y xe ++ +9z4

322 z y xe ++


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1.13 Mximos e mnimos para funes de duas variveis

Uma importante aplicao do estudo de derivadas parciais, a

da otimizao de funes. Otimizar uma funo, significa encontrarseu desempenho mximo ou mnimo. Como para as funes de umavarivel, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontosextremos que podem ser mximos ou mnimos. Para saber de que tiposo esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessianocalculado no ponto (x0,y0 ), que definido a seguir.

H(x0,y0 ) =),( 00 y x

yy yx

xy xx

f f

f f

Assim ,

Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) um extremo, e

a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) 0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 ento (x0,y0) um mnimo.

c) H(x0,y0 )


19/33



Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metlica de 12cmde largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidademxima.

A rea da seo da calha a rea do retngulo, mais a rea dos doistringulos.

A = f = (1/2).xcos.xsen. 2 + x sen.(12-2x) (a)

f(x,) = x2 cossen + 12xsen -2x2sen

Estudar os extremos (mximos e mnimos) da funo.fx = ( f / x) = 2xsencos + 12sen - 4xsen=0

2xcos = 4x 12 ou cos = 2-6/x

f = ( f / ) = x2 cos2 + 12xcos - 2x2 cos=0

= x ( 2cos2 - 2cos-1)+12cos

substituindo o valor cos = 2 6/x na 2a equao eresolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cos =2-6/4=1/2

cos = = 60o

O resultado to razovel, que omitimos o teste das 2as

derivadas,tambm p causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certezapodemos calcular a rea (a) para valores de x e abaixo e acimadestes e confirmaremos se a capacidade ou no mxima.

sen2 = 2sen cos =2 cos 2 - 1

cos2 =cos 2 - sen 2

= 2cos2

-1

xx

x sen y cos

12-2x


20/33



X Y, Z,

Ponto de mximo: (x,y) = ( 4, 60 )

0 5 10 15 20

05

1015

20

0

5

10

15

20

XYZ

193

194

195

196197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

4 6 3.336

4 12 6.58

4 18 9.647

4 24 12.4534 30 14.928

4 36 17.013

4 42 18.662

4 48 19.846

4 54 20.553

4 60 20.785

4 66 20.562

4 72 19.919

4 78 18.904

4 84 17.576

4 90 16

=

Ex.2 Achar os extremos da funo

f(x,y) = sen[0,0225(x2

+y2

) 0,45(x+y) + 4,5].Calculando as primeiras derivadas , tem-se:

fx = cos[0,0225(x2+y2) 0,45(x+y)+4,5].(0,045 x 0,45) = 0

fy = cos[0,0225(x2+y2) 0,45(x+y)+4,5].(0,045 y 0,45) = 0

Como o cos(...) diferente de zero(para no dar uma soluo nula)ento quem deve ser zero so : 0,045 x 0,45 = 0 , e 0,045 y 0,45 =

0 , que resulta x = 10 e y =10 .Para verificar se o ponto de mximo ou de mnimo calcula-se assegundas derivadas.

fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(). 0,045fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(). 0,045

Ento, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mnimo da funo.

mximo

1007550

25


21/33



Substituindo os valores x = y = 10 na funo f(x,y) vemos que vai darzero, e portanto a funo tem um mnimo nesse ponto. Isso confirmado pelo grfico tridimensional da funo.

MGrfico 3D da funo seno

0 5 10 15

05

10

15

0.5

0

0.5

Ex.3 Achar os extremos da funo, com os mesmos valores doexemplo 2, para uma exponencial.

f(x,y) = 5,4)(45,0)(0225,022 ++++ y x y xe = ef(x,y)

fx = [-0,045 x + 0,45] .5,4)(45,0)(0225,0 22 +++ y x y xe

fy = [-0,045 y + 0,45] .5,4)(45,0)(0225,0 22 +++ y x y xe

fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y)+ 0,045 . ef(x,y)

fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y)+ 0,045 . ef(x,y)

No ponto x=y=10, tem-se:

fxx + fyy < 0

que corresponde a um ponto de mximo, conforme pode serverificado no grfico da funo.

Note que nos pontos x =10 e y=10, a funo tem um de seusmnimos.


22/33



MGrfico 3D da funo exponencial

010

20

0

10

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ex.4 A temperatura T (C) em cada ponto de um painel plano dada pela equao T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nospontos mais quentes e mais frios da regio.

fx = ( f / x) =32x +24 ; fy = ( f / y) = 80y

Os pontos extremos so calculados para fx =0 e fy =0 , resultando

x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .

H(x0,y0 ) =),( 00 y x

yy yx

xy xx

f f

f f =

)0,4 / 3(800

032

> 0

H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 um ponto de mnimo.

O ponto de mnimo (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outroponto na vizinhana dele, a temperatura j ser maior, conformemostra o grfico da superfcie.


23/33



X Y, Z,Ponto de mnimo: (x,y) =(-0,75 , 0)

05

1015

2005

1015

200

100

XYZ

0 1 28

9

10

1112

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

-1 1.2 49.6

-1 1.6 94.4

-1 2 152

-0.8 -2 151.04-0.8 -1.6 93.44

-0.8 -1.2 48.64

-0.8 -0.8 16.64

-0.8 -0.4 -2.56

-0.8 0 -8.96

-0.8 0.4 -2.56

-0.8 0.8 16.64

-0.8 1.2 48.64

-0.8 1.6 93.44

-0.8 2 151.04

-0.6 -2 151.36

=

Ex.5 Achar os pontos crticos da funo f(x,y) =x2 + y2 2x .

Os pontos crticos de f(x,y) , so a soluo do sistema:

fx = 2x 2 = 0 , ou x=1

fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto (x,y) =(1,0)Por outro lado,

fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2

H(1,0) = yy yx

xy xx

f f

f f =20

02 = 4 >0

fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto um mnimo de f(x,y).

1.14 Mximos e mnimos (locais) de funes de vrias variveis

Seja f uma funo de n variveis x1,x2,...xn , diz-se que um pontoP0(x10,x20,...xn0) um ponto de mximo local de f(x1,x2,...xn), quandof(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinhode P0(x10,x20,...xn0).

mnimo

Escala em x = x-10Escala em y =y-10


24/33



Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) um ponto de mnimo localde f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)vizinho de P0(x10,x20,...xn0).

O ponto P0 encontrado, pela soluo das equaes:

fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes superfcie no ponto)

O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de mximo oude mnimo, para o caso de n variveis dado por:

H(P0) =)(....)()(

................

)(....)()(

)(....)()(

000

000

000

11

12212

12111

P f P f P f

P f P f P f

P f P f P f

nnnn

n

n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

Alm disso necessrio calcular os n determinantes

0 =1

1 = )( 011 P f x x

2 = )()()()(

00

00

2212

2111

P f P f

P f P f

x x x x

x x x x

3 =

)()()(

)()()(

)()()(

000

000

000

332313

322212

312111

P f P f P f

P f P f P f

P f P f P f

x x x x x x

xx x x x x x

x x x x x x

..................................................................

n =

)(....)()(

................

)(....)()(

)(....)()(

000

000

000

11

12212

12111

P f P f P f

P f P f P f

P f P f P f

nnnn

n

n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x


25/33



Ento, se:

a) 0, 1, 2,...,n forem todos positivos, P0 um ponto de

mnimo de f .b) 0, 1, 2,...,n so alternadamente positivos e negativos, P0

um ponto de mximo de f.

Ex.1 Achar os pontos crticos da funo f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 everificar se so de mximos ou de mnimos.

H(0,0,0) =200

020

002

= 8

0=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = 2002

= 4 ; 3 =200

020

002=8

todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) um ponto de mnimo de f.

Ex.2 Estudar a funo f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 .

Os pontos crticos da funo so:

fx = 2x = 0 x =0fy = 2y = 0 y =0 P0(0,0,0) ,que o nico ponto crticofz = 2z =0 z =0

fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2

fx = -2x = 0 x =0fy = -2y+4 = 0y =2 P0(0,2,1) ,que o nico ponto crticofz = -2z=2 =0 z =1

fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2


26/33



H(0,2,1) =200

020

002

= - 8

0=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = 2002

= 4 ; 3 =200

020

002

=-8

Os sinais dos (s) so alternados, logo o ponto P0(0,2,1) um pontode mximo da funo f.

Ex.3 Estudar os extremos da funo:

f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2

O Hessiano calculado nestes pontos H(x,y) =2040

062

y

x

H(4,7) =80

02 >0 e 0=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = 8002

= 4 ;

O ponto de mnimo.

H(4,3) =80

02

0 e 0=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = 8002

= 16

fxx =2x-6 , fxy =0 ,fyx = 0 , fyy = 4y - 20 .existem pontos que podem ser crticos, ou seja

P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)

fx = x2 6x +8 = 0 x1=4 e x2 =2fy = 2y2 20y + 42 = 0y1=7 e y2=3


27/33



O ponto de mximo.

Exerccios propostos:1 - Achar os extremos da funo f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 y3 /3 +1

Resp. P1(0,0) mnimo e P4(4,6) mximo eP2(0,6) e P3(4,0) so selas.

2 - Achar os extremos da funo f(x,y)=senx + sen(y+ /2)Resp. P1( /2,0) mximo.

3- Achar os extremos da funo f(x,y)= x3 /3 + y4 /4 - 25x + 27y + 1Resp. P1(5,-3) mnimo.

4- Achar os extremos da funo f(x,y)= -x3 /3 -y3 /3 -2x2-3y2+4x+8y+1Resp. P1(2,4) e P2(2,2) so de mximo.


28/33



1.15 Operadores especiais da fsica1.15.1 - Gradiente

Define-se o gradiente de uma funo escalar f(x,y,z), e

representa-se por grad f ouf, a expresso:

grad f =f = i x f

+ j y f

+ k z f

O gradiente um vetor e i , j , k so os vetores unitrios.

1.15.2 - DivergnciaDenomina-se divergncia de um vetor k V jV iV V z y x ++=

r

, erepresenta-se por divV ou . V , a expresso

div V = . V = xV x

+ y

V y

+ zV z

Uma aplicao de divergncia em aerodinmica, no escoamento deum fluido, onde V = v , ou seja, o produto da densidade pelavelocidade ento div ( v) representa o escoamento por unidade de

volume num ponto do fluido.1.15.3 - Rotacional

O rotacional do vetorV, representado por rot V, ou V definido por

rot V =V =

z y x V V V z y x

k ji

= i z

V

y

V y z

+ j

x

V

z

V z x

+ k

y

V

x

V x y

O rotacional em mecnica dos fluidos, mede a velocidade de rotao() do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma

= (1/2). rot ( v)


29/33



1.16 Integrais mltiplasAs integrais mltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou

podem ser mistas. Porm, seguem as mesmas regras das integrais

simples e por isso relembremos aqui as principais frmulas deintegrao simples:

u ndx = 11

+

+

nu n

+ C , onde u =f(x) e

n 1

= udu

ln u + C

e udu = e u + C

a udu = a u / lna + C

cosu du = senu + C

senu du = -cosu + C

tanu du = -ln |cosu + C

secu du = ln secu + tanu + C

csu du = ln cscu - cotu + C

cotu du = ln senu + C

sec 2u du = tanu + C

csc 2u du = - cotu + C

secu tanu du = secu + C

cscu cotu du = -cscu + C

sen 2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C

cos 2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C

A integral mltipla mais simples a integral dupla para calcular area de uma figura plana.

x

y

dx

dy

x1 x2

f(x)

dA

A rea infinitesimal dA = dx. dy obtida integrando de x

1at x

2

[ ] ==2

1

2

1

)(0

)(

0.

x

x

x f x

x

x f dx ydydx A

= 21

)( x

xdx x f A


30/33



Ex.1 Achar a rea sob a funo y= -2x2 + 18 , de x=0 at x=3.

A = 2

1

)(

0. x

x

x f dydx = 2

1

)( x x

dx x f = +30 2 )182( dx x = [ ]303

1832 x x +

A = - 18 + 54 = 46 (unid2)

Outros exemplos de integrais so:

Ex. 2 Calcular a integral mltipla mista (definida e indefinida) 2 x

x

xydxdy

Soluo:

2 x

x

xydxdy = dx y x x

x

2

2.

2

= dx x x

x

22

.24

= c x x +812

46

Ex.3 Calcular a integral mltipla mista + x

o

dxdy y x )sen(

+

x

o

dxdy y x )sen( = [ ] dx y x x

+

0)cos( = -

dx x x ]cos)2[cos( =

= c x x ++ sen)2sen(21

As integrais mltiplas so muito usadas para calcular integrais devolume de slidos, conforme mostra a figura

dxdy

dz

x

y

z O volume do slido pode ser calculado por uma integral

tripla, do tipo:

=a b c

dxdydzV 0 0 0


31/33



1.16.1- Volume de slidos de revoluoUm slido de revoluo se forma girando uma figura plana em

torno de uma reta fixa.Girando o grfico de uma funo f(x) em tono do eixo x, tem-se:

Ex1: Usando o mtodo do disco circular, calcule o volume do slidogerado pela revoluo da regio sob a funo y = f(x) = x3, no intervalo[1,2].

V =1

2

7x

dxxdx]x[dx)]x(f [72

1

62

1

232

1

2 = == = 7

127 (unid)3

Ex2: Achar o volume gerado pela funo f(x) = 22 xa em [-a, a]

a b x

y = f(x)r = f(x)

dV = r2 dx

dV = [f(x)] 2 dx

=b

a

dx x f V 2)]([

y

Figura plana girando em x Clculo do elemento de volume

1 2 x

y = x 3

(1,1)

(2,8)

R

y

(1,1)

(2,8)

x

r


32/33



V =a

a

3x

xadx]xa[dx]xa[dx)]x(f [3

22

1

22a

a

222a

a

2

= ==

=

+

3a

a3

aa

33

33 =

+

3a

a3

aa

33

33 =

3a2

a23

3

= 2a3

31

1 =34 a3 que o volume da esfera gerada.

Ex3: Calcule o volume gerado pela parbola y = x2 girando em torno

do eixo de y, no intervalo [0,4].

V =0

4

2y

ydydy]y[dy)]y(g[dyr4

0

24

0

2b

a

2b

a

2 == = = = 8 = 25,13 unid3.

Slido (esfera) gerado pela rotaodo semi-crculo

-a a x

y

y =22 xa = r

Semi-crculo em rotao

4

0 x

y = x 2

Seo plana parbola

x =y

x

y

Slido gerado pela parbola

de revoluo


33/33


EXERCCIOS PROPOSTOS1) Calcule o gradiente da funo (x,y,z)= x2+2xy+z3

Resp. grad = (2x+2y) i + 2xj + 3z2 k

2) Dada a funo vetorialV = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule asua divergncia.

Resp. divV = 6x2 + 3xz2

3) Calcule o rotacional do vetorV = x2 i + 2xyj + 5yz2 k

Resp. rot V = 5z2 i + 2yk

4) Calcular a integral + x

dxdy y x0

)( Resp. x3 / 2 = C

5) a b

xydxdy0 0

Resp. a2b2 / 4

6) Integrar as expresses do centride de uma figura plana,transformando integral dupla em integral simples. As expresses em

integral dupla so: xc = (1/A) 2

1

)(

)(

x

x

x f

xg

dxdy x e yc = (1/A) 2

1

)(

)(

x

x

x f

xg

dxdy y

Resp. xc =(1/A). 2

1

.)]()([ x

x

dx x xg x f e yc =(1/2A). 2

1

)]()([ 22 x

x

dx xg x f

7) Calcular o volume gerado pela hiprbole y =1/x , girando em x e de

0,5 at 3

Resp . V = ==3

5,0

23

5,0

2 ]1

[)]([ dx x

dx x f 8,34 unid3

Funcoes de Varias Variaveis Calculo 22

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