Funci on de partici on - Universitat de València Saez.pdf · Surge a ra z del problema general de...

Definicion de la funcion particionPropiedades funcion particion

Aplicaciones de la funcion particion

Funcion de particion“Partiendo” desde el principio

Investmat

A. FerreroI. GarcıaA. IdrissiA. Saez

Universitat de Valencia, 2013

A. Ferrero, I. Garcıa, A. el Idrissi, A. Saez Funcion de particion

1 Definicion de la funcion particion

2 Propiedades funcion particion

3 Aplicaciones de la funcion particion

Introduccion

¿Como surgio p(n)?

Surge a raız del problema general de la Teorıa aditiva de numeros.

Introduccion

Problema general de la Teorıa de numeros

Si A = a1, a2, a3 . . . es un sistema de enteros dado. Consideramostodas las posibles representaciones de un entero arbitrario npositivo de la forma:

n = ai1 + ai2 + . . .+ ai`

donde pueden haber o no las siguientes restricciones:

` prefijado,

aj 6= at ∀j 6= t,

el orden de los enteros importa.

Introduccion

Problema general de la Teorıa de numeros

Si A = a1, a2, a3 . . . es un sistema de enteros dado. Consideramostodas las posibles representaciones de un entero arbitrario npositivo de la forma:

n = ai1 + ai2 + . . .+ ai`

donde pueden haber o no las siguientes restricciones:

` prefijado,

aj 6= at ∀j 6= t,

el orden de los enteros importa.

Introduccion

Ejemplo

A → conjunto de cuadrados.

Problema → Escribir n como suma de cuadrados:

n = b21 + b2

2 + . . .+ b2`

` = 2 y n = 2 o n ≡ 1 (mod 4) primo → Teorema de Fermat:n = x2 + y2.

` = 4 → Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange:n = a2 + b2 + c2 + d2.

` = 24 → Problema del cual surge la funcion τ de Ramanujan.

Introduccion

Ejemplo

n = b21 + b2

2 + . . .+ b2`

Introduccion

Ejemplo

n = b21 + b2

2 + . . .+ b2`

Introduccion

Ejemplo

n = b21 + b2

2 + . . .+ b2`

Introduccion

Es uno de los problemas no resueltos mas difıciles de la teorıa denumeros:

Ejemplo

A → conjunto de numeros primos.

` = 2 y n > 2 par → Conjetura de Goldbach (1742)

“Todo numero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dosnumeros primos”.Ası la conjetura lo que dirıa es que existe, al menos una forma deescribir los numeros pares mayores que 2 como suma de dos primos.

Introduccion

Nuestro caso

Imponemos las siguientes premisas:

A = N,

` arbitrario,

aj = at aunque j 6= t,

el orden no importa.

A raız de estas condiciones obtenemos la definicion de particion yfuncion particion.

Introduccion

Nuestro caso

A = N,

` arbitrario,

Introduccion

Nuestro caso

A = N,

` arbitrario,

Definicion de particion

Definicion: particion de n

Una particion de n es una representacion de n como suma deenteros positivos.

Dos representaciones con los mismos sumandos pero en ordendistinto, representan la misma particion de n.

Para evitar confusion los elementos de la particion se ordenanen orden decreciente.

Definicion de particion

Una particion de n es una representacion de n como suma deenteros positivos.

Dos representaciones con los mismos sumandos pero en ordendistinto, representan la misma particion de n.

Para evitar confusion los elementos de la particion se ordenanen orden decreciente.

Ejemplo: particiones del 5

Dado n = 5, aquı tenemos todas las posibles representaciones de 5:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

5 = 2 + 1 + 1 + 1,

5 = 2 + 2 + 1,

5 = 3 + 1 + 1,

5 = 3 + 2,

5 = 4 + 1,

5 = 5.

Se observa que la cantidad de particiones es 7.

Ejemplo: particiones del 5

Dado n = 5, aquı tenemos todas las posibles representaciones de 5:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

5 = 2 + 1 + 1 + 1,

5 = 2 + 2 + 1,

5 = 3 + 1 + 1,

5 = 3 + 2,

5 = 4 + 1,

5 = 5.

Se observa que la cantidad de particiones es 7.

Definicion de la funcion particion

Definicion: funcion particion de n

La funcion particion de n, p(n), es el numero de veces diferentesque se puede escribir un numero dado n como suma de numerosenteros positivos.

Ası en el ejemplo anterior:

p(5) = 7.

Definicion de la funcion particion

Definicion: funcion particion de n

La funcion particion de n, p(n), es el numero de veces diferentesque se puede escribir un numero dado n como suma de numerosenteros positivos.

Ası en el ejemplo anterior:

p(5) = 7.

Por convenio, se tiene que:

p(0) = 1,

p(m) = 0 con m entero negativo.

Ejemplos de la funcion particion

Calculando mas valores de la funcion particion, p(n) para n ≥ 0,obtenemos la siguiente sucesion de numeros:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385,

490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,

6482, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338,

44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525,

204226, 239943, 281589, 329931, 386155, 451276, 526823, 614154,

715220, 831820, 966467, 1121505, 1300156, 1505499, . . .

Ejemplos de la funcion particion

Calculando mas valores de la funcion particion, p(n) para n ≥ 0,obtenemos la siguiente sucesion de numeros:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385,

490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,

6482, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338,

44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525,

204226, 239943, 281589, 329931, 386155, 451276, 526823, 614154,

715220, 831820, 966467, 1121505, 1300156, 1505499, . . .

Funcion particion

Como se observa, cada vez es mas alto el valor de p(n), lo cualdificulta su obtencion usando la definicion.

Cuestion

¿Hay alguna forma de obtener el valor exacto de p(n) para un ndado sin tener que calcular todas las posibles particiones de n?

Hasta hace apenas un ano, la respuesta era NO.

Vamos a ver primero resultados que ya se sabıan y que se usabanpara calcular los valores de la funcion.

Funcion particion

Cuestion

Funcion particion

Cuestion

Funcion particion

Cuestion

Formula recursiva

¿Podemos calcular numeros como p(200)?

Mirando como van creciendo los numeros parece complicado.

La solucion a esta pregunta la dio Leonhard Euler:

Teorema (Euler (1700s))

p(n) = p(n− 1) + p(n− 2)− p(n− 5)− p(n− 7) + p(n− 12) + . . .

Formula recursiva

¿Podemos calcular numeros como p(200)?

Mirando como van creciendo los numeros parece complicado.

La solucion a esta pregunta la dio Leonhard Euler:

Teorema (Euler (1700s))

p(n) = p(n− 1) + p(n− 2)− p(n− 5)− p(n− 7) + p(n− 12) + . . .

Formula recursiva

Fue muy famoso en 1915 el calculo de los primeros 200 valores dela funcion particion, usando el teorema de Euler.

p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1

p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2

p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3

p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5

p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7

· · ·p(200) = 3972999029388

Formula recursiva

p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1

p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2

p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3

p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5

p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7

· · ·

p(200) = 3972999029388

Formula recursiva

p(1) = p(1− 1) = p(0) = 1

p(2) = p(2− 1) + p(2− 2) = 1 + 1 = 2

p(3) = p(3− 1) + p(3− 2) = 2 + 1 = 3

p(4) = p(4− 1) + p(4− 2) = 3 + 2 = 5

p(5) = p(5− 1) + p(5− 2)− p(5− 5) = 5 + 3− 1 = 7

· · ·p(200) = 3972999029388

Aproximacion

Cuestion

¿Podemos aproximar el valor de la funcion de particion?

Teorema (Hardy-Ramanujan (1918))

Para n muy grande, se tiene:

p(n) ∼ 1

3· eπ√

Aproximacion

Cuestion

¿Podemos aproximar el valor de la funcion de particion?

Teorema (Hardy-Ramanujan (1918))

Para n muy grande, se tiene:

p(n) ∼ 1

3· eπ√

Aproximacion

Si denotamos Aprox := 14n√

3· eπ√

Veamos como aproxima:

n p(n) Aprox(n) Aprox(n)p(n)

1020304050· · ·200· · ·

42627560437338204226· · ·3972999029388· · ·

48,104 . . .692,384 . . .6080,435 . . .40080,080 . . .217590,501 . . .· · ·4100251432187,829 . . .· · ·

1,145 . . .1,104 . . .1,085 . . .1,073 . . .1,065 . . .· · ·1,032 . . .· · ·

Con lo visto hasta ahora seguimos sin solucionar nuestro problema:¿Hay alguna forma directa de calcular p(n) para un n dado?

Teorema (Rademacher (1943))

Si n es un entero positivo, entonces

p(n) = 2π(24n − 1)−34

∞∑k=1

k· I 3

(π√

24n − 1

Ak(n) =∑

0≤m<k;(m,k)=1

eπi[η(m,k)− 1k

I 32(z) =

√2zπ

(sinh zz

p(n) = 2π(24n − 1)−34

∞∑k=1

k· I 3

(π√

24n − 1

Ak(n) =∑

0≤m<k;(m,k)=1

eπi[η(m,k)− 1k

I 32(z) =

√2zπ

(sinh zz

p(n) = 2π(24n − 1)−34

∞∑k=1

k· I 3

(π√

24n − 1

Ak(n) =∑

0≤m<k;(m,k)=1

eπi[η(m,k)− 1k

I 32(z) =

√2zπ

(sinh zz

La formula asintotica de Hardy y Ramanujan fueposteriormente perfeccionada por Rademacher para obteneruna formula “exacta”.

Para probar dicha formula, Rademacher uso principalmentelos cırculos de Ford (centro (p/q, 1/(2q2)) y radio1/(2q2),donde p y q son coprimos), series de Farey, simetrıamodular y la funcion η de Dedekind.

Cuestiones

Como dijo Ken Ono en una de sus conferencias: “There are crazyinfinite sums of perfectly good integers”.

¿Podrıamos obtener el valor de p(n) truncando la suma?

¿Hay alguna suma finita con la que obtener el valor de p(n)?

La respuesta ahora es SI: usando la siguiente formula finitaalgebraica.

Cuestiones

Genialidad

Teorema (Bruinier-Ono (2013))

Tenemos una funcion llamada P(z) (la forma debil de Maass) talque:

p(n) =1

24n − 1· (P(αn,1) + P(αn,2) + · · ·+ P(αn,hn)) .

Los numeros P(αn,m) son algebraicos.

Los α′s son raıces de hn ∼√n ecuaciones cuadraticas.

La formula es una suma corta de numeros algebraicos.

Da un efectivo y eficiente metodo para obtener p(n).

Genialidad

Teorema (Bruinier-Ono (2013))

Tenemos una funcion llamada P(z) (la forma debil de Maass) talque:

p(n) =1

24n − 1· (P(αn,1) + P(αn,2) + · · ·+ P(αn,hn)) .

Los numeros P(αn,m) son algebraicos.

Los α′s son raıces de hn ∼√n ecuaciones cuadraticas.

La formula es una suma corta de numeros algebraicos.

Da un efectivo y eficiente metodo para obtener p(n).

Generatriz de la funcion particion

Dejando a un lado estas recientes formulas, vamos a hallar lafuncion generatriz de p(n) la cual fue hallada por Euler.

Queremos obtener la funcion F (x) tal que:

F (x) =∞∑n=0

p(n)xn

Dejando a un lado estas recientes formulas, vamos a hallar lafuncion generatriz de p(n) la cual fue hallada por Euler.

Queremos obtener la funcion F (x) tal que:

F (x) =∞∑n=0

p(n)xn

Por definicion, toda particion de n contribuye con un 1 en elcoeficiente de xn.

Vamos a considerar el siguiente producto infinito:

F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .

)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .

·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .

)· · · =

∞∏i=1

( ∞∑k=0

donde en cada factor i (i.e. factor numero i), el exponente k · i dela x representa que i aparece k veces en una particion de un ciertonumero entero positivo n.

Por definicion, toda particion de n contribuye con un 1 en elcoeficiente de xn.

Vamos a considerar el siguiente producto infinito:

F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .

)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .

·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .

)· · · =

∞∏i=1

( ∞∑k=0

donde en cada factor i (i.e. factor numero i), el exponente k · i dela x representa que i aparece k veces en una particion de un ciertonumero entero positivo n.

F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .

)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .

·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .

)·(1 + x4 + x8 + x12 + . . .

)· · ·

= 1 · 1 · · · 1 + 1 · x2 · 1 · · · 1 + 1 · x4 · 1 · · · 1 + . . .

+ x · 1 · · · 1 + x · x2 · 1 · · · 1 + x · x4 · · · 1 + · · ·+ x2 · 1 · · · 1 + x2 · x2 · 1 · · · 1 + x2 · x4 · 1 · · · 1 + . . .

+ x3 · 1 · · · 1 + x3 · x2 · 1 · · · 1 + . . .+ x4 · 1 · 1 · · · 1 + . . .

+ 1 · 1 · x3 · 1 · · · 1 + x · 1 · x3 · 1 · · · 1 + · · ·+ 1 · 1 · 1 · x4 · · · 1 + · · ·= 1x0 + 1x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + . . .

F (x) =(1 + x1 + x2 + x3 + . . .

)·(1 + x2 + x4 + x6 + . . .

·(1 + x3 + x6 + x9 + . . .

)·(1 + x4 + x8 + x12 + . . .

)· · ·

= 1 · 1 · · · 1 + 1 · x2 · 1 · · · 1 + 1 · x4 · 1 · · · 1 + . . .

+ x · 1 · · · 1 + x · x2 · 1 · · · 1 + x · x4 · · · 1 + · · ·+ x2 · 1 · · · 1 + x2 · x2 · 1 · · · 1 + x2 · x4 · 1 · · · 1 + . . .

+ x3 · 1 · · · 1 + x3 · x2 · 1 · · · 1 + . . .+ x4 · 1 · 1 · · · 1 + . . .

+ 1 · 1 · x3 · 1 · · · 1 + x · 1 · x3 · 1 · · · 1 + · · ·+ 1 · 1 · 1 · x4 · · · 1 + · · ·= 1x0 + 1x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + . . .

Por tanto, escribiendo F (x) como una serie de Taylor serıa:

F (x) = ao + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + . . . =

= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + 11x6 + . . .

donde los coeficientes am son los valores de p(m).

∞∏i=1

( ∞∑k=0

)=∞∑n=0

p(n)xn

Por tanto, escribiendo F (x) como una serie de Taylor serıa:

F (x) = ao + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + . . . =

= 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 + 11x6 + . . .

donde los coeficientes am son los valores de p(m).

∞∏i=1

( ∞∑k=0

)=∞∑n=0

p(n)xn

Por otro lado, observamos que cada factor de F (x) es la sumainfinita de una serie geometrica de razon xk , con k = 1, 2, 3, . . ..Por tanto:

F (x) =1

1− x

1− x2

1− x3

1− x4· · ·

= (1− x)−1 ·(1− x2

)−1 ·(1− x3

)−1 · · · =∞∏n=1

(1− xn)−1

Por tanto, esta es la funcion generatriz de la funcion particion.

∞∑n=0

p(n)xn =∞∏n=1

(1− xn)−1

Ası p(n) es el coeficiente de xn cuando calculamos el productoinfinito de la derecha, lo que no soluciona nuestro problema,aunque sı nos da otro metodo para calcular p(n).

Por tanto, esta es la funcion generatriz de la funcion particion.

∞∑n=0

p(n)xn =∞∏n=1

(1− xn)−1

Ası p(n) es el coeficiente de xn cuando calculamos el productoinfinito de la derecha, lo que no soluciona nuestro problema,aunque sı nos da otro metodo para calcular p(n).

Propiedades de la funcion particion

¿Que propiedades aritmeticas se conocen sobre la funcion p(n)?

¿Sabemos si p(n) toma mas veces valores pares que impares?

¿Sabemos si p(n) toma 1/3 veces valores multiplos de 3?

· · ·

¿Que esta probado al respecto?

Teorema (O.Kolberg (1959))

Hay una cantidad infinita de veces que p(n) toma valorespares.

Hay una cantidad infinita de veces que p(n) toma valoresimpares.

Proporcion pares

Sea Pr2(N) := la proporcion de los primeros N valores que sonpares.

N Pr2(N)

200 000600 0001 000 000∞

0,5012 . . .0,5000 . . .0,5004 . . .12 ?

Conjetura

La mitad de los valores de p(n) son pares.

Proporcion pares

Sea Pr2(N) := la proporcion de los primeros N valores que sonpares.

N Pr2(N)

200 000600 0001 000 000∞

0,5012 . . .0,5000 . . .0,5004 . . .12 ?

Conjetura

La mitad de los valores de p(n) son pares.

Proporcion multiplos de 3

Sea Pr3(N) := la proporcion de los primeros N valores que sondivisibles por 3.

N Pr3(N)

800160024003200∞

0,334 . . .0,314 . . .0,319 . . .0,331 . . .13 ?

Conjetura

Un tercio de los valores de p(n) son divisibles por 3.

N Pr3(N)

800160024003200∞

0,334 . . .0,314 . . .0,319 . . .0,331 . . .13 ?

Conjetura

Un tercio de los valores de p(n) son divisibles por 3.

N Pr5(N)

500100015002000

0,336 . . .0,342 . . .0,348 . . .0,346 . . .

NO hay conjetura

En este caso no parece que una quinta parte vayan a ser numerosdivisibles por 5.

N Pr5(N)

500100015002000

0,336 . . .0,342 . . .0,348 . . .0,346 . . .

NO hay conjetura

En este caso no parece que una quinta parte vayan a ser numerosdivisibles por 5.

Lo que sı se observa es esta curiosa secuencia:

4→p(4) = 5

9→p(9) = 30

14→p(14) = 135

19→p(19) = 490

24→p(24) = 1575

29→p(29) = 4565

· · ·99→p(99) = 169229875

104→p(104) = 304801365

· · ·

Se puede ver que cada 5 numeros, empezando por 4, el valor de lafuncion particion es un multiplo de 5.

Relaciones similares las observo Ramanujan, a partir de las cualesenuncio el siguiente teorema ∀n ∈ N :

Teorema (Ramanujan (1915))

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)

p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)

p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Se puede ver que cada 5 numeros, empezando por 4, el valor de lafuncion particion es un multiplo de 5.

Relaciones similares las observo Ramanujan, a partir de las cualesenuncio el siguiente teorema ∀n ∈ N :

Teorema (Ramanujan (1915))

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)

p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7)

p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11)

No solo afirmo esas tres famosas congruencias, sino que ademasRamanujan aseguraba que solo existıan esas tres relacionesde ese tipo.

Pero no fue hasta 2005 cuando se probo que la afirmacion deRamanujan era cierta:

Teorema (Ahlgren y Boylan (2005))

Los unicos pares (`, a) tal que

p(`n + a) ≡ 0 (mod `);

son (5, 4), (7, 5), y (11, 6).

No solo afirmo esas tres famosas congruencias, sino que ademasRamanujan aseguraba que solo existıan esas tres relacionesde ese tipo.

Pero no fue hasta 2005 cuando se probo que la afirmacion deRamanujan era cierta:

Teorema (Ahlgren y Boylan (2005))

Los unicos pares (`, a) tal que

p(`n + a) ≡ 0 (mod `);

son (5, 4), (7, 5), y (11, 6).

Teorema (Ken Ono (2000))

Para primos q ≥ 5, existen infinitas progresiones An + B tal que

p(An + B) ≡ 0 (mod q)

Ejemplos

p(48037937n + 1122838) ≡ 0 (mod 17),

p(1977147619n + 815655) ≡ 0 (mod 19),

p(14375n + 3474) ≡ 0 (mod 23),

p(348104768909n + 43819835) ≡ 0 (mod 29),

p(4063467631n + 1122838) ≡ 0 (mod 31).

Teorema (Ken Ono (2000))

Para primos q ≥ 5, existen infinitas progresiones An + B tal que

p(An + B) ≡ 0 (mod q)

Ejemplos

p(48037937n + 1122838) ≡ 0 (mod 17),

p(1977147619n + 815655) ≡ 0 (mod 19),

p(14375n + 3474) ≡ 0 (mod 23),

p(348104768909n + 43819835) ≡ 0 (mod 29),

p(4063467631n + 1122838) ≡ 0 (mod 31).

Con esto concluimos la parte de presentacion de la funcionparticion.Hemos comentado gran parte de lo que se conoce sobre ella hastaahora.

A continuacion vamos a hablar de sus aplicaciones en otro ambitode las matematicas.

Con esto concluimos la parte de presentacion de la funcionparticion.Hemos comentado gran parte de lo que se conoce sobre ella hastaahora.

A continuacion vamos a hablar de sus aplicaciones en otro ambitode las matematicas.

Nos podemos preguntar:

¿Donde podrıamos encontrar la funcion particion?

Una respuesta serıa:

En el algebra.

En particular,nos va a aparecer con los grupos simetricos.

Antes de nada, vamos a definir un par de nociones necesarias sobreesta parte del algebra.

En el algebra.

Supongamos que Ω es un conjunto finito.

Definicion: permutacion

Una permutacion de Ω es una aplicacion biyectiva f : Ω→ Ω.

Nosotros vamos a tomar el grupo SΩ de permutaciones de Ω conla multiplicacion fg = g f . De hecho, vamos a trabajar con Sn.

Definicion: Sn

El grupo Sn es el conjunto de aplicaciones de 1, . . . , n en1, . . . , n. Recordamos que |Sn| = n!.

Supongamos que Ω es un conjunto finito.

Definicion: permutacion

Una permutacion de Ω es una aplicacion biyectiva f : Ω→ Ω.

Nosotros vamos a tomar el grupo SΩ de permutaciones de Ω conla multiplicacion fg = g f . De hecho, vamos a trabajar con Sn.

Definicion: Sn

El grupo Sn es el conjunto de aplicaciones de 1, . . . , n en1, . . . , n. Recordamos que |Sn| = n!.

Ası, por ejemplo, los elementos de S3 son las siguientes 6(= 3!)permutaciones:

Elementos de S3

σ1 = (1)(2)(3) = 1

σ2 = (1 2)(3) = (1 2)

σ3 = (1 3)(2) = (1 3)

σ4 = (2 3)(1) = (2 3)

σ5 = (1 2 3)

σ6 = (1 3 2)

Una particion de n es una tupla λ = (λ1, . . . , λ`) de numerosenteros positivos tal que:

λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λ`λ1 + λ2 + . . .+ λ` = n

Teorema

Salvo orden y ciclos de longitud 1, cualquier permutacion se puedeescribir de forma unica como producto de ciclos disjuntos dos ados.

Como aplicacion de este teorema podemos hablar de la estructurade ciclos de cualquier σ ∈ Sn.

Teorema

Salvo orden y ciclos de longitud 1, cualquier permutacion se puedeescribir de forma unica como producto de ciclos disjuntos dos ados.

Como aplicacion de este teorema podemos hablar de la estructurade ciclos de cualquier σ ∈ Sn.

Definicion: Estructura de ciclos

La estructura de ciclos de una permutacion σ ∈ Sn es laparticion natural de n asociada a la permutacion σ.

La denotamos ası: type(σ)= (λ1, . . . , λ`) donde los λi son lostamanos de los ciclos de σ en orden decreciente.

Ejemplo en S11

type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)

Ejemplo en S11

type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)

Ejemplo en S11

type ((9 6 3 4 1)(11 2)(5 7)(8)(10)) = (5, 2, 2, 1, 1)

Sabemos por teorıa de grupos que:

Definicion: Clase de conjugacion:

Sea g ∈ G = Sn, se tiene que la clase de conjugacion de g es:

C`G (g) = g x | x ∈ G =x−1gx | x ∈ G

Ejemplo con G= S5

Algunos elementos de C`G (g) con g = (5 2)(3 4 1)

x1 = (1 3)→ g x1 = (1 3)(5 2)(3 4 1)(1 3) = (5 2)(1 4 3)

x2 = (5 3)(4 2)→

g x2 = (5 3)(4 2)(5 2)(3 4 1)(5 3)(4 2)

= (4 3)(5 2 1)

Sabemos por teorıa de grupos que:

Definicion: Clase de conjugacion:

Sea g ∈ G = Sn, se tiene que la clase de conjugacion de g es:

C`G (g) = g x | x ∈ G =x−1gx | x ∈ G

Ejemplo con G= S5

Algunos elementos de C`G (g) con g = (5 2)(3 4 1)

x1 = (1 3)→ g x1 = (1 3)(5 2)(3 4 1)(1 3) = (5 2)(1 4 3)

x2 = (5 3)(4 2)→

g x2 = (5 3)(4 2)(5 2)(3 4 1)(5 3)(4 2)

= (4 3)(5 2 1)

Teorema

Dos permutaciones son conjugadas ↔ tienen la misma estructurade ciclo.

Dicho con otras palabras:

Teorema

Sea σ, τ ∈ Sn. Entonces σ es conjugada de τ ↔ type(σ) = type(τ)

Ejemplo con G= S5

Dado g = (5 2)(3 4 1)→ type (g) = (3, 2)

g x1 = (5 2)(1 4 3)→ type (g x1) = (3, 2)

g x2 = (4 3)(5 2 1)→ type (g x2) = (3, 2)

Teorema

Dos permutaciones son conjugadas ↔ tienen la misma estructurade ciclo.

Dicho con otras palabras:

Teorema

Sea σ, τ ∈ Sn. Entonces σ es conjugada de τ ↔ type(σ) = type(τ)

Ejemplo con G= S5

Dado g = (5 2)(3 4 1)→ type (g) = (3, 2)

g x1 = (5 2)(1 4 3)→ type (g x1) = (3, 2)

g x2 = (4 3)(5 2 1)→ type (g x2) = (3, 2)

Ejemplos, en S5

type (σ1) =type (1) = (1, 1, 1, 1, 1)

type (σ2) =type ((1 2)) = (2, 1, 1, 1)

type (σ3) =type ((1 2 3)) = (3, 1, 1)

type (σ4) =type ((1 2 3 4)) = (4, 1)

type (σ5) =type ((1 2 3 4 5)) = (5)

type (σ6) =type ((1 2) (3 4)) = (2, 2, 1)

type (σ7) =type ((1 2) (3 4 5)) = (3, 2)

Por ejemplo, si tomamos τ = (5 2)(3 4 1)→type (τ) = (3, 2) = type (σ7) .

Se tiene que los 7 elementos de E = σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7son representantes de las distintas estructuras de ciclos de S5.

Se puede ver que los elementos de E estan en biyeccion conlas particiones del numero 5:1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1

= 4 + 1 = 5 = 2 + 2 + 1 = 3 + 2

Recapitulamos

Todos los elementos de Sn con la misma estructura de ciclopertenecen a la misma clase de conjugacion.

Hay tantas clases de conjugacion como estructuras de ciclo.

Cada representante de una clase de conjugacion tiene unaestructura de ciclo diferente del resto de representantes.

Cada representante de una clase de conjugacion esta enbiyeccion con una particion de n.

Recapitulamos

Conclusion

El numero de clases de conjugacion en el grupo Sn es p(n).

References I

Jan Hendrik Bruinier y Ken OnoAlgebraic formulas for the coefficients of half-integral weightharmonic weak Maass forms .Advances in Mathematics, (2013).

Scott Ahlgren y Matthew Boylan,Arithmetic properties of the partition function.Inventiones mathematicae, Springer, (2003).

Benjamin SteinbergRepresentation Theory of the Symmetric Group RepresentationTheory of Finite Groups.Springer, 2012.

Funci on de partici on - Universitat de València Saez.pdf · Surge a ra z del problema general de...

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