Fractales-ITCR

Revista Digital Matemtica Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate)

Alberto Soto A.

Instituto Tecnolgico de Costa Rica, 2010

ractales

Manuel Alfaro A. Manuel Murillo T.

k

FRACTALES

Manuel Alfaro A.Escuela de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa Rica.

Manuel Murillo T.Escuela de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa RicaUniversidad Estatal a Distancia.

Alberto Soto A.Escuela de MatemticaUniversidad Estatal a Distancia.

ii

Derechos Reservados cPrimera Edicin.Revista digital, Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/), 2010.Correo Electrnico: [email protected] de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa RicaApdo. 159-7050, CartagoTelfono (506)25502225Fax (506)25502493

Manuel Alfaro A.,Fractales / Manuel Alfaro A., Manuel Murillo T. y Alberto Soto A. 1 ed. Escuela de Matemtica,Instituto Tecnolgico de Costa Rica. 2010.82 p.ISBN 978-9968-641-03-61. Fractal 2. Atractor 3. Grafos 4. Espacios mtricos 5. Medida Hausdorff 6. Enteros gaussianos7.Dimensin 8. Conjuntos de Cantor 9. Dimensin fractal 10. Dimensin topolgica

Lmite de responsabilidad y exencin de garanta: El autor o los autores han hecho su mejor esfuerzo en la preparacin de este material. Estaedicin se proporciona tal cual. Se distribuye gratuitamente con la esperanza de que sea til, pero sin ninguna garanta expresa o implcitarespecto a la exactitud o completitud del contenido.

La Revista digital Matemticas, Educacin e Internet es una publicacin electrnica. El material publicado en ella expresa la opinin de susautores y no necesariamente la opinin de la revista ni la del Instituto Tecnolgico de Costa Rica.

Este libro se distribuye bajo la licencia: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License. Esta licencia per-mite copiado y distribucin gratuita, pero no permite venta ni modificaciones de este material.Ver http://creativecommons.org/about/licenses/.

Prefacio

Esta obra est dirigida, principalmente, a estudiantes de Matemtica y de Computacin, sin em-bargo, est dirigida tambin a todas aquellas personas que encuentran en lasmatemticas el lengua-je universal con el cual se pueden explicar los fenmenos en nuestro entorno y, por supuesto, atodos los que ven en ella una puerta que los llevar hacia la bsqueda del conocimiento orientadoal desarrollo cientfico y tecnolgico.Se pretende introducir, con un nivel intermedio, el tema de los fractales. Nos interesa rescatar sudesarrollo matemtico: topologa, teora de la medida y geometra, sin olvidar la parte visual y lashermosas imgenes generadas por computadora que tienen estos conjuntos.Los fractales constituyen un tema matemtico de actualidad y se han convertido en algo muypopular en los ltimos aos. Las figuras fractales se obtienen de repetir una y otra vez el mismoprocedimiento, en forma recursiva o bien iterada, tpicamente un fractal es algo irregular, pero loms importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, l an sigue irregular.Para nosotros, los fractales sern en general figuras geomtricas que se caracterizan por su autose-mejanza sin embargo existen otros, como la frontera del conjunto de Mandelbrot, que son fractalesno autosemejantes. Son estructuras infinitas contenidas en una superficie finita y resultan de util-idad en el anlisis de una gran diversidad de fenmenos como turbulencias, bolsa de valores,dispersin del humo, etc., adems de sintetizar imgenes como montaas, nubes, costas rocosas,ros y plantas entre otras.En el Captulo 1 se introducen los sistemas iterados de funciones y se muestran algunos ejemplosde sus atractores como el conjunto de Cantor, el tringulo de Sierpinski y el dragn de Heighway yse define la dimensin de semejanza. Tambin formaliza propiedades de estos conjuntos y detallesimportantes.En el Captulo 2 se representan nmeros complejos usando bases complejas, se discute sobre bue-nas" bases y malas" bases. Se obtienen las figuras de conjuntos de fracciones de nmeros repre-sentables en estas bases y se describen propiedades topolgicas de ellos.En el Captulo 3 se define las dimensiones topolgica y Hausdorff, cuando la dimensin topolgicaes menor se define un fractal en el sentido original deMandelbrot. Se trabaja con ejemplos de cmocalcular las dimensiones involucradas. Se exhiben otros tipos de dimensin fractal y se notan lassimilitudes que hay entre ellas.En el Captulo 4 se presentan algunas aplicaciones interesantes, como son la compresin de im-genes, los dilemas espaciales de evolucin, as como el crecimiento fractal y el modelo D.L.A.En el Apndice A se presentan algunos de los programas computacionales que se han utilizadopara implementar los algoritmos dados y generar las figuras o grficos que se presentan.Finalmente, la bibliografa es extensa y los libros, artculos as como los dominios en internet quese incluyen, le puede servir a los lectores para profundizar en los temas aqu tratados.

M. ALFARO, M. MURILLO, A. SOTOSan Jos, Costa Rica2008

iii

Lista de Smbolos

(S, ), (T, ), . . . denotan espacios mtricos(r1, r2, . . . , rn) lista de razones( f1, f2, . . . , fn) lista de semejanzas

Nr(A) r-vecindario de AL(A) medida de A en el sentido de LebesgueC conjunto de Cantor clsico otros conjuntos de Cantor0 cardinalidad de1 cardinalidad de

E() conjunto de las palabras infinitas(V, E, i, t, r) grafo de Mauldin-Williams

R(A) radio espectral de Adim(F) dimensin fractal

Contenido

Prefacio iii

1 Autosemejanza 11.1 Sistemas iterados de funciones 11.2 Mtrica Hausdorff 21.3 Atractores para sistemas iterados de funciones 51.4 Espacios de hileras 161.5 Grafos 19

2 Sistemas de numeracin 262.1 Bases para nmeros reales 262.2 Bases para nmeros complejos 272.3 Representacin de los enteros Gaussianos 282.4 Ejemplos de conjuntos de fracciones 30

3 Dimensin Hausdorff 333.1 Dimensin topolgica 333.2 Generacin de medidas 343.3 Medida Hausdorff 363.4 Dimensin de semejanza vs dimensin Hausdorff 393.5 Dimensin Hausdorff vs dimensin del grafo 423.6 Otras dimensiones fractales 47

4 Aplicaciones 504.1 Los dilemas espaciales de evolucin 50

4.1.1 Dilema del Prisionero 514.1.2 La invasin de delatores: Un caleidoscopio evolutivo. 564.1.3 Un fractal dinmico 574.1.4 Conclusiones 59

4.2 Compresin de imgenes 604.2.1 Comprimiendo imgenes con IFSs 614.2.2 Descomprimiendo imgenes con IFSs. 624.2.3 Mtodos de particin de imgenes 654.2.4 Conclusiones 66

4.3 Crecimiento Fractal y el modelo D.L.A. 674.3.1 Procesos de crecimiento fractal. 684.3.2 Simulaciones de algunos procesos de crecimiento. 704.3.3 Estimando la dimensin fractal. 72

v

14.3.4 Conclusiones 74

Apndice A: Programas 75A.1 Mathematica 75A.2 Logo 79A.3 DraTEX 81Bibliografa 83

Bibliografa 83

Indice Analtico 85

Sobre los autores 87

1 AUTOSEMEJANZAEn esta seccin se introduce el concepto de autosemejanza de un conjunto, que se formaliza usandosistemas iterados de funciones, se define el atractor para un sistema y su dimensin de semejanza.Se presentan algunos conjuntos clsicos, se muestra que cada uno de ellos es el atractor para unsistema iterado de funciones y algunas propiedades de estos conjuntos que van a ser de utilidad alo largo de este trabajo. Se identifica E(), el espacio de hileras infinitas, con algn atractor de unsistema iterado de funciones en n.

1.1 Sistemas iterados de funciones

Una de las formas ms populares para generar fractales es utilizar el concepto de los sistemasiterados de funciones, que introdujo Michael Barnsley en el ao de 1985, dado que estos conjun-tos presentan autosemejanza, es decir, el conjunto se puede descomponer en un nmero finito departes de modo que una de ellas es idntica, salvo escala, al todo. Para definir formalmente autose-mejanza de conjuntos, se darn algunas definiciones bsicas.

Una funcin f : S T con (S, ) y (T, ) espacios mtricos, cumplecon la condicin de Hlder de exponente si existe una constantec > 0 tal que para x, y S se cumple

( f (x), f (y)) c(x, y) (1.1)Si = 1 se dice de Lipschitz, o de crecimiento acotado. Si cumplecon

( f (x), f (y)) c(x, y) (1.2)se llama de decrecimiento acotado. Cuando cumple con ser de crec-imiento acotado y de decrecimiento acotado se llama distorsin aco-tada.

Una funcin f : S T con (S, ) y (T, ) espacios mtricos, es unasemejanza de razn r, con r > 0, si cumple

( f (x), f (y)) = r(x, y) x, y S. (1.3)tambin se le conoce como aplicacin afn de razn r.

Es claro que cuando una funcin cumple con la condicin de Hlder con > 0, es continua,adems cuando es una distorsin acotada es un homeomorfismo. La continuidad no se aseguracuando solo es de decrecimiento acotado. Toda semejanza es una distorsin acotada. Se puedendescribir las semejanzas de 2 en 2 como traslaciones, rotaciones, reflexiones o composicionesde estos tres tipos de transformaciones.

Una lista finita de razones es una n-tupla ordenada (r1, r2, . . . , rn)de nmeros positivos; la lista se llama contractiva cuando ri < 1,i = 1, . . . , n. Un sistema iterado de funciones en un espaciomtrico S que realiza una lista de razones, es una lista ( f1, f2, . . . , fn)de semejanzas de razn ri res-pectivamente. Un conjunto compacto novaco K S es un conjunto invariante del sistema iterado de fun-ciones ( f1, f2, . . . , fn) si y solo si

K =n

i=1fi[K].

en este caso se dice que K es autosemejante.

Teorema 1. Sea (r1, r2, , rn) una lista contractiva de razones. Entonces existe un nico nmero no neg-ativo s que satisface ni=1 r

si = 1. El nmero s es 0 si y solo si n = 1.

Demostracin. Sea n 1 y defina (x) = ni=1 rxi , esta funcin es continua, derivable y ddx =ni=1 r

xi ln(ri); esta derivada es negativa por lo que (x) es estrictamente decreciente y como (0) =

n y limx (x) = 0, por continuidad existe un s > 0 tal que (s) = 1. !

La dimensin asociada a (r1, r2, . . . , rn), una lista contractiva de ra-zones, es el nmero positivo s tal que

rs1 + rs2 + + rsn = 1

y se denomina dimensin de semejanza.

1.2 Mtrica Hausdorff

Felix Hausdorff describe la convergencia de conjuntos definiendo una distancia entre los mismosque no requiere encontrar parametrizaciones de ellos, lo cual para nuestros propsitos es conve-niente, ya que se desea analizar la convergencia de sucesiones de compactos en un espacio mtricocompleto. Aqu L denota la medida en el sentido de Lebesgue en y Ld la correspondiente para

d.

2

3Sean A, B S acotados, de un espacio mtrico (S, ) y sea r > 0. Sedefine un r-vecindario o cuerpo r-paralelo de A por

Nr(A) = {y S : (x, y) r para algn x A}Se define la funcin sobre subconjuntos acotados de S, D(A, B) como:

D(A, B) = inf{r : A Nr(B) y B Nr(A)}

Esta funcin no define una mtrica para los subconjuntos acotados de S, pero si se restringe alconjunto de los subconjuntos compactos de S no vacos, K(S), s lo es. En este caso D se llama lamtrica Hausdorff.

Teorema 2. Sea S un espacio mtrico, entonces D(A, B) es una mtrica sobreK(S). Adems si S es completoK(S) es tambin completo.Demostracin. Vase [9, p. 66-67]. !

Ahora recordemos el teorema de la aplicacin contractiva. Este dice que si f : S S es una apli-cacin contractiva y S es un espacio mtrico completo existe un nico punto fijo de f , x S que sepuede encontrar a partir de la sucesin:

x0 = a S (1.4)xn = f (xn1), n 1. (1.5)

Esto ser especialmente til para el siguiente teorema.

Teorema 3. Sea (S, ) un espacio mtrico completo, sea (r1, r2, , rn) una lista de razones contractiva, ysea ( f1, f2, , fn) un sistema iterado de funciones en S que realiza esta lista de razones. Entonces existeun nico conjunto compacto no vaco, invariante para el sistema iterado de funciones.

Demostracin. Sea F : K(S) K(S) definida por

F(A) =n

i=1fi[A]

Entonces como A es compacto, fi[A] tambin lo es. As F(A) es la unin finita de compactos, quees compacta. Defina r = mn{r1, r2, . . . , rn}, claramente 0 < r < 1, para usar el teorema del puntofijo necesitamos demostrar que F es contractiva. Sea B K(S) y sea q > D(A, B) arbitrario y seax F(A). Entonces para algn i tenemos x = fi(a) con a A; existe b B tal que (a, b) < qpues q > D(A, B) entonces ( fi(a), fi(b)) = ri(a, b) < rq de donde F(A) Nrq(F(B)). De formasimilar se obtiene F(B) Nrq(F(A)), y D(F(A), F(B)) < rq entonces D(F(A), F(B)) < rD(A, B)as F es contractiva y utilizando el teorema del punto fijo existe un nico conjunto compacto novaco invariante. !

La unicidad del punto fijo hace que no importe el conjunto de K(S) que se elija para construir unasucesin, el lmite es siempre el mismo.

Corolario 1. En la notacin del teorema anterior, si A0 es cualquier conjunto compacto no vaco en S, y siAk+1 =

ni=1 fi[Ak], para k 0, entonces la sucesin (Ak) converge en la mtrica Hausdorff al conjunto

invariante del sistema iterado de funciones.

4 AUTOSEMEJANZA

El conjunto invariante de un sistema iterado de funciones contractivoes llamado el atractor del sistema. En este caso se define la dimensinde semejanza del atractor como la dimensin s asociada a la lista derazones.

Esta dimensin para el atractor es dependiente del sistema de funciones, por ejemplo, dado elintervalo [0, 1] y dos semejanzas de razn 12 que apliquen [0, 1] a los intervalos

[0, 12

]y[ 12 , 1

]re-

spectivamente, es claro que la dimensin de semejanza es 1. Ahora considere otras semejanzas derazn 34 que apliquen [0, 1] a los intervalos

[0, 34

]y[ 14 , 1

]. Al calcular la dimensin de semejanza se

obtiene un nmero mayor que 1, es ms, si se toman dos semejanzas de razn nn+1 que apliquen[0, 1] a los intervalos

[0, nn+1

]y[ 1n+1 , 1

]se observa que la dimensin de semejanza aumenta con-

forme n crece, esto se debe a que el traslape es muy grande. En el teorema 5 se da una condicinsobre las intersecciones de las imgenes para evitar esta situacin. Algo similar se hace en 3.4.

Proposicin 1. Sea S un espacio mtrico completo, (r1, r2, , rn) una lista contractiva de razones, y sea( f1, f2, , fn) un sistema iterado de funciones sobre S que realizan esta lista de razones. Para la sucesin(xm) definida por: x0 = a, xm = fkj(xm1) con kj {1, 2, . . . , n} para m 1, se tiene que

1. Todo punto de acumulacin de la sucesin (xm) pertenece al atractor K del sistema.

2. Todo punto de K es un punto lmite para alguna sucesin de (xm) en S.Demostracin. Defina A0 = {a} y Ak+1 = ni=1 fi[Ak] esta sucesin converge por el corolario 1 alatractor K del sistema y cumple que xm Am para cualquier sucesin que se elija. Para probar (1),dado > 0 y sea y un punto de acumulacin de la sucesin (xm). Entonces existe N tal queD(Am,K) < /2, para todo m N. Como xm Am existe kxm K tal que (xm, kxm) < /2, paraeste N existe l N tal que (xl, y) < /2, as (kxl , y) (xl, y) + (kxl , xl) < , por lo que y es unpunto de acumulacin de K, y como K es compacto, y K. Para la parte (2), defina el conjunto

A = {x : existe (xm) con xm Am, tal que xm x},probaremos que A = K. De (1) se tiene que A K, y para la otra inclusin basta ver que para todox K existe xm Am tal que (xm, x) < D(Am, A) + 1m lo que implica que xm x. !Teorema 4. Sea A d un conjunto medible en el sentido de Lebesgue, y sea f : d d una semejanzacon razn r, entonces, f [A] es medible en el sentido de Lebesgue y Ld ( f [A]) = rdLd(A).Demostracin. [19, p. 64]. !

El siguiente teorema se usa para ver cmo se utiliza la teora de la medida, en el clculo de la di-mensin fractal (captulo 3) para el atractor de un sistema iterado de funciones dado, por medio dela dimensin de semejanza de la lista de razones. Adems da condiciones para calcular la dimen-sin de semejanza de un atractor de una forma indirecta, en este caso la dimensin de semejanzaes nica.

Teorema 5. Sea (r1, r2, , rn) una lista contractiva de razones y s su dimensin. Sea ( f1, f2, , fn) sucorrespondiente sistema iterado de funciones en d, y sea A d un conjunto no vaco medible en el sentidode Lebesgue. Suponga que Ld( fj[A] fk[A]) = 0 para j *= k, y A = nj=1 fj[A]. Si 0 < Ld(A) < ,entonces s = d.Demostracin. Sean los conjuntos Bk definidos en forma recursiva como B1 = f1[A] y Bi+1 =fi+1[A] \ ij=1(Bj fi+1[A]). Estos forman una familia finita y disjunta dos a dos, adems se tieneque A =

nj=1 fj[A] =

nj=1 Bj. Como Ld( fj[A] fk[A]) = 0 se tiene que Ld(Bj) = Ld( fj[A]), ahora

Ld(A) = Ld n

j=1fj[A]

= Ld

n

j=1Bj

= n

j=1Ld(Bj) =

n

j=1

Ld( fj[A])

5y por el teorema 4 se tiene

Ld(A) =n

j=1

rdj Ld(A) = Ld(A)n

j=1

rdj

y como Ld(A) es finito y diferente de cero, se obtiene 1 = nj=1 rdj es decir, la dimensin de seme-janza s es d. !

El teorema anterior muestra que si las imgenes de cada par de semejanzas no se traslapan mu-cho", y si la medida del atractor del sistema iterado de funciones es positiva, entonces el interiordel atractor es no vaco. Esto ser particularmente til para indicar cuando un atractor llena a d".

1.3 Atractores para sistemas iterados de funciones

En esta seccin se discute sobre tres conjuntos que son clsicos dentro del estudio de los frac-tales. En primer lugar, el Conjunto de Cantor, que present Georg Cantor en 1883, despert granpolmica a finales del siglo pasado. Es un subconjunto de que tiene propiedades analticas ytopolgicas no intuitivas, poco usuales en subconjuntos de nmeros reales, por lo que es usadoen el anlisis para construir contraejemplos. En segundo lugar, el tringulo de Sierpinski, descritopor Wacaw Sierpinski en 1915, cuya construccin es similar al conjunto de Cantor y como ste, esun fractal. Por ltimo, se presenta una construccin del dragn Heighway descubierto por John E.Heighway en 1967. Es una curva que llena el plano y cuya frontera es un fractal. Todos se puedenver como atractores para sistemas iterados de funciones.

Los conjuntos de Cantor.. Considere el intervalo C0 = [0, 1] y divdalo en tres partes iguales. Alremover el intervalo abierto que corresponde al tercio central, obtenemos

C1 =

[0,13

][23, 1]

El siguiente conjunto C2 lo obtenemos removiendo el tercio central a cada intervalo de C1, demanera que

C2 =

[0,19

][29,13

][23,79

][89, 1]

y siguiendo de la misma forma obtenemos una sucesin anidada de conjuntos cerrados C0 C1 C2 . . . cuyo lmite llamamos conjunto de Cantor conjunto de los tercios centrales omitidos,vase figura 1.1, y lo denotamos por C.

C0 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

C1 ................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................

C2 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

C3 ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................

C4 ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ............

Figura 1.1 C = limk Ck =k=0 Ck .

Proposicin 2. La dimensin de semejanza deC es ln 2/ ln 3.

6 AUTOSEMEJANZA

Demostracin. Se tiene que la construccin anterior, conocida como construccin por tremas1, cor-responde a la aplicacin del corolario 1 para A0 = C0 = [0, 1] con f0(x) = x3 y f1(x) =

x+23 ,

as, el conjunto de Cantor es el conjunto invariante para el sistema iterado de funciones ( f0, f1),que realizan la lista de razones (1/3, 1/3). Y resolviendo la ecuacin ( 13 )

s + ( 13 )s = 1 se obtiene el

resultado. !

Note que cada Ck contiene 2k intervalos cerrados, cada uno de ellos de longitud(13

)k, y que en

el primer paso quitamos un subintervalo de longitud 13 , en el segundo paso dos intervalos de

longitud 19 , en general, en el k-simo removemos 2k1 intervalos de longitud

(13

)k. As, la suma de

las longitudes de los intervalos que eliminamos del intervalo [0, 1] es:

13+ 2 1

32+ 22 1

33+ = 1

3

(1+

23+

(23

)2+

)

=13

(1

1 23

)= 1

es decir, al conjunto inicial [0, 1], cuya longitud es 1, le hemos quitado intervalos que tienen lamisma longitud 1.

Quin vive en C?

Vamos a determinar ahora, cules nmeros reales pertenecen aC, es decir vamos a caracterizarlos.En primer lugar, por la forma de construirlo, es claro que los extremos de cada intervalo de Ckpertenecen a C, pues si un nmero es extremo de algn intervalo de Ck, ser extremo de algnintervalo de Cn para cualquier n k, y por lo tanto estar en C. Por ejemplo 0, 19 , 29 , 13 , 23 , 79 , 89 , 1,que son los extremos de los intervalos de C2, estn enC. Para buscar una caracterizacin de todoslos elementos deC, representaremos los nmeros en base 3 (representacin tridica). Recordemosque para cualquier x , existe n y an, . . . , a0, a1, . . . {0, 1, 2}, con an *= 0, tales que

x = (anan1 . . . a1a0, a1 . . . )3= an 3n + + a1 31 + a0 30 + a1 31 +

Ntemos que la representacin tridica para cualquier x [0, 1] es (0, a1a2 . . . ak . . . )3, con ai {0, 1, 2}, i . Si a1 = 0 entonces x

[0, 13

], si a1 = 1 entonces x

[13 ,

23

], y si a1 = 2

entonces x [ 23 , 1]. Como en el primer paso de la construccin de C removimos ] 13 , 23[, cualquiernmero en C tiene una expresin con a1 *= 1; luego si a1 {0, 2} y a2 = 1 entonces x

]19 ,

29

[] 7

9 ,89[, por lo que no estar en C2 y por consiguiente tampoco en C, o bien es un extremo de estos

subintervalos y tiene otra representacin con a2 *= 1. As, en el k-simo paso de la construccin deC quedan solamente los nmeros que tengan una representacin con a1 *= 1,. . . , ak *= 1, de estaforma obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 6. Para x [0, 1]: x C si y solo si se puede representar en base 3 usando solamente 0 y 2 comodgitos.

Si se numeran los intervalos de Ck de 1 a 2 k, se puede mostrar que ak = 0 si el nmero est en unintervalo impar y 2 si est en uno par.

1Del latn tremissis, moneda romana que vala la tercera parte de un slido de oro.

7Ejemplo 1. Algunos elementos deC son:

(0, 02)3 = (0, 020202 . . . )3 = 2 32 + 2 34 + = 14(0, 022)3 = (0, 022022022 . . . )3 =

413

(0, 0022)3 = (0, 002200220022 . . . )3 =110

(0, 20022)3 = (0, 200222002220022 . . . )3 =85121

"

Los elementos que pertenecen al conjunto C, dados en el ejemplo anterior, son todos racionales,sin embargo, algunos elementos de este conjunto son irracionales.

Ejemplo 2. Es claro que (0, 202002000200002 . . .)3 es un nmero irracional y adems, pertenece aC. "

Teorema 7. Si x C, entonces 1 x, x3 , x+23 C.

Demostracin. Como x C, sea x = (0, a1a2 . . . ak . . . )3, con ai {0, 2}, i :1. Como

1 x = 2

i=1

3i

i=1

ai3i

=

i=1

(2 ai)3i

y como ai {0, 2} entonces 2 ai {0, 2}, por lo tanto 1 x C.

2. Como

x

3=

13 x = (0, 1)3 (0, a1a2 . . . ak . . . )3

= (0, 0 a1a2 . . . ak . . . )3

se tiene que x3 C

3. Como

x+ 23

= (0, 1)3 [(0, a1a2 . . . ak . . . )3 + (2)3]= (0, 1)3 (2, a1a2 . . . ak . . . )3 = (0, 2 a1a2 . . . ak . . . )3

se tiene que x+23 C!

Ejemplo 3. Como sabemos que 14 C, se tiene que 34 C pues 34 = 1 14 , adems, 112 C pues112 =

1/43 . "

8 AUTOSEMEJANZA

Cardinalidad y algunas propiedades de C

Consideremos el conjunto

A = { f : {0, 2} / f es funcin}

La cardinalidad de A es |A| = |{0, 2}|| | = 20 = 1 = | |, de manera que A es no numerable.Adems, para toda f A, existe un nico x = (0, f (1) f (2) f (3) . . . ) tal que x C, es decir, existeuna biyeccin entre A y C, por lo que |C| = 1. En otras palabras, C tiene la misma cantidad deelementos que tiene !. A pesar de estoC posee una estructura topolgica muy diferente:

1. C es compacto: Es cerrado pues es la interseccin numerable de conjuntos cerrados, y C esacotado, por el teorema de Heine-Borel, es compacto.

2. C no contiene ningn intervalo: Suponga que I =]a, b[ C, entonces I Ck k . ComoCk esta formado por 2 k intervalos cerrados disjuntos, I es subconjunto de algn intervalo de

tamao(13

)k, por lo que b a

(13

)k k , lo que implicara que b = a.3. C no tiene puntos aislados: Si x no es extremo de ningn intervalo de Ck para algn k, sea xn el

extremo izquierdo del intervalo de Cn que contiene a x; luego 0 < x xn (13

)n, por lo que

xn x. Si x es extremo izquierdo en algn intervalo de Ck para algn k, tome xn como elextremo derecho de ese intervalo para n k y xn = 1 en otro caso; por un argumento similar,xn x.

En suma C es un conjunto totalmente disconexo, compacto y perfecto. Adems es no numerabley tiene medida cero. En general un conjunto de Cantor es un conjunto que cumple con estas tresprimeras propiedades, y se puede demostrar que todos los conjuntos de Cantor son homeomorfos.Sean f1(x) = x3 y f2(x) =

x+23 con dominio y codominio igual aC; ambas funciones son inyectivas

y:

f11(C

[0,13

])= f12

(C

[23, 1])

= C

Esto significa que si observamos solamente la mitad derecha o la mitad izquierda del conjunto deCantor obtenemos una copia homeomorfa de este. De manera que podemos encontrar una copiahomeomorfa del conjunto de Cantor incluida en la interseccin deC con cualquier intervalo de Ck(tan pequeo como queramos tomando k suficientemente grande).

Generalizacin de C

La construccin de C se puede generalizar de manera evidente, quitando un subintervalo abiertocentrado de longitud , con ]0, 1[, y seguir con un proceso anlogo al del caso = 13 . Porejemplo, para = 15 se tiene C0 = [0, 1], C1 =

[0, 25

] [ 35 , 1], C2 = [0, 425] [ 625 , 25 ] [ 35 , 1925] [2125 , 1

]. Al conjunto lmite de esta sucesin lo denotamos 1

5, en general a conjuntos generados as

los denotamos por . Note que C = 13.

Notemos que el tamao de C1 es 1 y est compuesto de dos intervalos cada uno de longitud12 =: ; as cada Ck est compuesto por 2

k intervalos de longitud k y los intervalos que re-movemos en el ksimo paso miden k1. Por ejemplo con = 25 tenemos 15 y 35 se obtiene con = 15 .Para cualquier ]0, 1[ y x en , definimos la direccin de x en como la sucecin {s0, s1, s2, . . . },donde cada si es 0 1. Para saber qu valor asignamos a sn basta con enumerar los intervalos de

9Ck de 1 hasta 2 k, sk1 ser 0 si x est en un intervalo impar y 1 si est en uno par. As definida ladireccin de x en , es fcil ver que este tiene representacin nica de la forma:

x =

i=0

sii(1 )

As como caracterizamos los elementos deC como los nmeros que se pueden representar en base3 usando solamente 0 y 2 como dgitos, podemos caracterizar algunos de la siguiente manera:

Teorema 8. Si n , n 3 y = 1n entonces = {(0, a1a2 . . . ak . . . )n / ak {0, n 1}}

Ejemplo 4. Con n = 4 obtenemos

12= {(0, a1a2 . . . ak . . . )4 / ak {0, 3}}

As 45 = (0, 30)4 12 . Otros elementos de 12 son:116 ,

120 ,

6364 y

15 . Aplicando reiteradamente las

funciones: g1(x) = 1 x, g2(x) = x+34 y g3(x) = x4 , a elementos de 12 , obtenemos otros de suselementos. "

Ejemplo 5. Con n = 5 obtenemos 35, y algunos de sus elementos son: 16 ,

56 ,

2930 y

2531 . "

Se pueden construir conjuntos de Cantor dividiendo a [0, 1] en n partes iguales y dejar algunossubintervalos de longitud = 1n (no necesariamente los intervalos laterales como enC).

Teorema 9. Sea n , n 3, D = {0, . . . , n 1} y B subconjunto propio de D con |B| 2, entoncesnB = {(0, a1a2 . . . ak . . . )n / ak B}

es un conjunto de Cantor.

En la figura 1.2, con n = 5 y B = {1, 2, 4}, se muestra 5{1,2,4}. Se debe notar que este conjunto estformado por los nmeros en [0, 1] que en base 5 tienen representacin utilizando solamente a 1, 2y 4 como posibles dgitos.

C0 .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

C1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................

C2 ................................................................................................................. ......................................................... ......................................................... .............................

C3 ............................................. ....................... ....................... ............ ....................... ............ ..................

C4 .................. ......... .............. .............. ........ .............. ........ ........ ........

Figura 1.2 5{1,2,4} = limk Ck.

En general a partir de un elemento x de nB se pueden obtener ms elementos aplicando reiterada-mente las funciones: fi(x) =

x+ain , con ai B.

Relacin de C con el espacio de arreglos

Denotamos por E() el espacio de los arreglos infinitos de 0 y 1. Sea g : E() , que interpreta unarreglo como un nmero en base 2, cuya parte decimal es el arreglo y la parte entera es cero.

10 AUTOSEMEJANZA

Ejemplo 6. g(001) = (0, 001)2 = 17 . "

Como todo nmero real tiene expansin en base 2, tenemos que g(E()) = [0, 1], y si definimosf : E() de la misma forma que g, pero cambiando los dgitos 1 por 2 y la representacin enbase 3, tenemos que f (E()) = C. Es claro que f as definida es un homeomorfismo entre E() yC.

Ejemplo 7. f (001) = (0, 002)3 = 113 C. "Un resultado muy interesante es el hecho que un conjunto cero dimensional y separable es deCantor si es homeomorfo a un subconjunto de E(), vase [9].

Sobre el tamao de En este momento es oportuno preguntarnos ser 1

5ms grande que 3

5?. El siguiente grfico

indica que la sucesin de Ck que converge a 35se desvanece ms rpido que la sucesin que

converge a 15, por lo que en algn sentido 3

5ser ms pequeo" que 1

5.

...........................................................................................................................................................................................................................................................

................................................... ...................................................

........... ........... ........... ...........

..... ..... ..... .....

...........................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................... .....................................................................................................

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. .................

Figura 1.3 Comparacin de 35y 1

5.

El anlisis sobre el tamao no es evidente ya que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad,adems son conjuntos de medida cero. Para poder hacer alguna diferencia entre estos definimos elconjunto:

= {x y / x, y } = {t / ( + t) *= }con + t = {x + t / x }, que es una traslacin de en [t, 1+ t], y as se puedeinterpretar como los tiempos donde una copia de interseca a recorriendo el eje x con veloci-dad constante. Con este conjunto podemos diferenciar 1

5de 3

5en el siguiente sentido: cuanto

mayor sea , significa que se intersecar durante ms tiempo con una copia suya, por loque en este sentido ser un conjunto ms grande. Por ejemplo, en [25] se prueba que 3

5 3

5es

un conjunto de Cantor de medida cero, y es fcil ver que 15 1

5= [1, 1], por lo que 1

5es ms

grande que 35. El valor = 13 es lmite para comparar conjuntos de esta naturaleza [25], en este se

prueba que si > 13 , L( ) = 2 y si < 13 , L( ) = 0.Recordemos que en la construccin de C removimos el tercio central a cada intervalo. Sea C

=

3{0,1}, cuya construccin es anloga a la deC pero quitando en cada paso el intervalo semiabierto,cerrado a la derecha, correspondiente al tercer tercio de cada intervalo. El lector puede verificar queCC = [1, 1] mientras que C C =

[ 12 , 12

], de donde se concluye que C es ms grande

queC.

Notemos que para algunos t [1, 1] se tiene que ( + t) *= . Cuntos elementos tiene ( + t) dependiendo de la escogencia de t?. Un resultado muy interesante es el siguiente:Teorema 10. Si 0, se puede encontrar k tal que rk < , y entonces para todom > pkse tiene que r(m, ) rk < . Con lo que se finaliza la demostracin de este teorema. !Se puede dotar a E() de otramtrica a partir de una familia de pesos w > 0, E() que satisfacew > w si < siempre y cuando para toda E() la sucesin de pesos al recorrer la hilera tienda a cero. Esta tambin cumplir que diam [] = w.

Proposicin 5. Si (, ) = w, donde es el mayor prefijo comn entre , y (, ) = 0 si = entonces define una ultramtrica sobre E().

Demostracin. Vase [9, p. 71]. !

Sea (r1, r2, , rn) una lista de razones contractiva, E ={1, 2, , n} el alfabeto de n letras y E() el espacio de las hileras in-finitas sobre E. La lista de razones (r1, , rn) se denota por (re)eE.Para cada e E, existe una funcin e : E() E(), que se llamacorrimiento a la derecha, definida por e() = e.

Proposicin 6. Sea E(), (re)eE una lista de razones contractiva y sean w definidos recursivamentepor: w = 1, we = re w. Entonces existe una ultramtrica en E() tal que (, ) = w, donde esel mayor prefijo comn de y y se cumple que el diam [] = w.

Demostracin. Es inmediata de la proposicin 5 pues la lista de razones define una familia con lascondiciones de esta proposicin. !

A la mtrica definida en la proposicin 6 se le llama la mtrica inducida por la lista de razones(re)eE. Con esta mtrica los corrimientos a la derecha forman un sistema iterado de funciones,esto se formaliza en la siguiente proposicin.

Proposicin 7. Sea la lista contractiva de razones (re)eE y (e)eE los corrimientos a la derecha y sea(E(), ) el espacio de hileras infinitas de n letras con la mtrica inducida por la lista de razones. Entonces(E(), ) es un espacio compacto y separable.

Demostracin. Con una demostracin similar a la del teorema 13, el espacio (E(), ) es completo,adems, se puede ver que el sistema iterado de funciones (e)eE realiza la lista de razones (re)eE,dado que si es el mayor prefijo comn entre y se tiene que e es el mayor prefijo comn dee y e, de donde (e() , e()) = we = rew = re(, ). Esto significa que e es una semejanzaen(E(),

)con razn re. Se verifica que E() es el conjunto invariante de este sistema iterado de

funciones, y usando el teorema 3 se prueba la compacidad. Para ver que es separable basta recordarque todo espacio compacto es separable. !

El espacio E() se puede identificar con algn atractor de un sistema iterado de funciones en n.El siguiente teorema define una aplicacin h : E() n cuyo rango es este atractor. A esta apli-cacin se le llama la aplicacin modelo". Este teorema es un caso particular del teorema 41, quedemostraremos en el captulo 3.

18 AUTOSEMEJANZA

Teorema 14. (AplicacinModelo del Espacio de Hileras). Sea S un espacio mtrico completo no vaco, ysea ( fe)eE un sistema iterado de funciones que realiza la lista contractiva de razones (re)eE en S. Entoncesexiste una nica funcin continua h : E() S tal que h(e) = fe(h()) para todo E() y para todoe E. El rango h[E()] es el conjunto invariante del sistema iterado de funciones ( fe)eE.Proposicin 8. La aplicacin modelo tiene crecimiento acotado.

Demostracin. Sea B = diam(h[E()]

). B es finito y positivo pues h[E()] es compacto. Sean y

en E() y k = || donde = e1 ek es el mayor prefijo comn de y , es decir = y = entonces (h() , h()) = re1 rek (h() , h()) w B = B (, ). !Si E = {0, 1} y f0 : y f1 : tales que f0(x) = x3 y f1(x) = x+23 . La aplicacinmodelo h : E() , descrita en el teorema 14, es h(0) = h()3 y h(1) = h()+23 y cumple conh[E()] = C.

Proposicin 9. h : (E(), r) tiene distorsin acotada si y solo si r = 13 . En este caso h : (E(), 1/3)C es un homeomorfismo.

Demostracin. Suponga que h tiene distorsin acotada, as existen a y b tales que:

ar(, ) |h() h()| br(, ), (1.9)adems se tiene:

|h(1) h(1)| =h() + 23 h() + 23

= |h() h()|3 (1.10)r(1, 1) = rr(, ) (1.11)

en forma similar

|h(0) h(0)| = 13|h() h()|

r(0, 0) = rr(, )

Si || = n, se puede multiplicar la desigualdad (1.9) por 13n , y usando las ecuaciones (1.10) y (1.11)se obtiene:

a

3nrnr(, ) |h() h()| b3nrn r(, ) (1.12)

Si r > 13 se puede encontrar n tal queb

3nrnr(, ) < ar(, ), con esta desigualdad y la

ecuacin (1.12) se tiene que|h() h()| < ar(, )

que contradice la hiptesis. Si r < 13 se tendra demanera anloga que |h() h()| > br(, )que tambin la contradice, de donde se debe tener r = 13 . En [9, p. 70] se prueba el recproco. Unadistorsin acotada es biyectiva y su inversa es continua, con lo cual se completa la prueba. !

Sea E = {L,R,U} y sean fL, fR, fU : 2 2 tales que

fL((x, y)) =12(x, y)

fR((x, y)) =12(x, y) +

12(1, 0)

fU((x, y)) =12(x, y) +

12(0, 1)

19

Se sabe que estas funciones son semejanzas de razn 12 . Con esto se define un sistema iterado defunciones que realizan la lista contractiva de razones ( 12 ,

12 ,

12 ). Para describir a h, la aplicacin del

teorema 14, se usa la expansin en base 2 de las coordenadas del punto (u, v). Si E() y lai-sima letra de es L entonces el i-simo dgito de u y v es 0; si es U entonces el i-simo dgito deu es 0 y el de v es 1, si es R entonces el i-simo dgito de u es 1 y el i-simo dgito de v es 0. Porejemplo

h(RULRRUL ) = ((0.1001100 )2 , (0.0100010 )2)De aqu se tiene que h[E()] = S. Adems h cumple con h(L) = fL(h()), h(U) = fU(h()) yh(R) = fR(h()), y es continua para todo E().Si se considera E() con la mtrica 1/2 se tiene que diam [] = ( 12 )

||. Se sabe que h tiene crec-imiento acotado, sin embargo no es una distorsin acotada.

Proposicin 10. La aplicacin h definida como antes no es de decrecimiento acotado.Demostracin. Si se toma = (LRRR ) y = (RLLL ), se tiene que 1/2(, ) = 1 y adems

h() h()= ((0.0111 )2 , (0.0 )2) ((0.1000 )2 , (0.0 )2)= 0

!

1.5 Grafos

Los grafos se utilizan para dar una generalizacin de los espacios de hileras E(). Para hablar degrafos deben existir un conjunto V de vrtices o nodos y un conjunto E de aristas o flechas. Cadaarista va de un nodo a otro nodo cualquiera. La direccin de la arista en nuestro caso es importantede tomar en cuenta, y por esto se trabajar con grafos dirigidos. Cuando exista ms de una aristaconectando un par de nodos dados se le llamar multigrafo. Es por esto que se darn las siguientesdefiniciones.

Sea V un conjunto finito no vaco y E VV, entonces al par (V, E)se le llama grafo dirigido. Los elementos de V son llamados vrtices onodos y los de E sern llamados aristas o flechas.

Ahora se extiende esta definicin para que pueda existir ms de una arista conectando un mismopar de nodos.

Unmultigrafo dirigido (V, E, i, t), consiste de dos conjuntos finitosV, E, y dos funciones i : E V y t : E V, tales que para cada e E,i(e) es el vrtice inicial de e, y t(e) su vrtice terminal. DenotaremosEuv al conjunto de aristas e, tales que i(e) = u y t(e) = v. Un caminoen un multigrafo dirigido es una sucesin de aristas, tomadas en ciertoorden de modo que el vrtice terminal de cada arista sea el vrtice inicialde la siguiente arista. Un multigrafo es fuertemente conectado si,para cada par de vrtices u,v de E, existe un camino de u a v.

Un camino ser a menudo identificado con una hilera de etiquetas de las aristas. Adems el vrticeinicial de un camino es el vrtice inicial de la primera arista, anlogamente se define el vrtice final

20 AUTOSEMEJANZA

de un camino. El nmero de aristas de un camino diremos que es su longitud, la denotamos con||. Un camino que cumple que i() = t() es llamado ciclo, y un lazo es un ciclo de longitud 1.Escribiremos E()uv para denotar el conjunto de caminos con vrtice inicial u y vrtice terminal v osea los caminos que van de u a v o que conectan u con v. Escribiremos E(n)uv para todos los caminosde u a v con longitud n. Diremos para cada u V que el conjunto E(0)uu tiene un elemento, a saberel camino vaco de u en s mismo, escrito u. Por supuesto que vamos a identificar E con E(1) y aEuv con E

(1)uv . Vamos a considerar E() como el conjunto de todos los caminos finitos en el grafo.

Sea (V, E, i, t) un multigrafo, vamos a considerar E() con una estructura de rbol, es decir, si esun camino entonces los hijos de son los caminos de la forma e, para las aristas e que cumplan quei(e) = t(). Realmente esto no es un rbol sino ms bien una unin disjunta de rboles, un rbolE()v para cada nodo v V. Una unin disjunta de rboles es llamada bosque". As llamaremos a

esto el bosque de caminos del grafo.

Una hilera infinita = (e1e2 . . . ) corresponde a un camino infinitosi el vrtice terminal de cada arista coincide con el vrtice inicial dela prxima arista, es decir, t(en) = i(en+1) n . Dado un grafo(V, E, i, t) escribimos E() para el conjunto de todos los caminos infini-tos, E

()v para el conjunto de todos los caminos infinitos que empiezan

en v, v V. Adems si E(), [] = { E() : }, elconjunto de todos los caminos infinitos que comienzan con .

Algunas mtricas pueden ser definidas sobre los espacios E()v en forma similar a lo hecho enespacios de hileras en la seccin 1.4. Debe tomarse en cuenta la posibilidad de que algunos nodosde E() no tengan hijos o tengan un nico hijo. As, si no tiene hijos, entonces [] = , y por lotanto su dimetro es 0. Si tiene un nico hijo , entonces [] = [], as se debe cumplir diam [] =diam []. Estos casos no ocurren en grafos (V, E, i, t) donde cada nodo tiene al menos dos aristaspartiendo de este.Sea (V, E, i, t) un multigrafo dirigido. Dada una familia w de nmeros reales positivos, uno paracada camino finito E(), se definen mtricas ; de hecho nicamente se necesita definir distan-cias entre hileras con el mismo vrtice inicial, y as obtenemos espacios mtricos E()v , disjuntos,uno para cada nodo v V, que llamaremos en adelante espacios de caminos. Mas an, cada define una ultramtrica sobre los espacios E()v tal que diam [] = w para la mayora de los ,anlogo a lo hecho en la proposicin 5. Pero vamos a estudiar lo anterior, con ms detalle, en laprxima seccin con el fin de definir la dimensin de un grafo.

Autosemejanza de Grafos

Algunos conjuntos no presentan autosemejanza como los vistos en la seccin 1.1, es decir, unaparte no es semejante al todo. Ms bien, el conjunto presenta autosemejanza por pedazos, o sea,este se puede dividir en varias partes que a su vez, cada una de ellas se descompone utilizandolas partes originales afectadas por algn factor de escala. Esto nos permite estudiar una mayorcantidad de conjuntos. Mauldin y Williams en [29] hacen una formulacin de este tema y dan unacorrespondencia entre estos conjuntos y los multigrafos dirigidos. Es por ello que vamos a definira continuacin algunas estructuras nuevas.

21

La estructura involucrada, un multigrafo dirigido (V, E, i, t) junto conuna funcin r : E ]0,[, ser llamado un grafo de Mauldin-Williams y se denotar por (V, E, i, t, r). Un sistema iterado defunciones que realiza este grafo est compuesto de espacios mtricosSv, uno para cada nodo v, y semejanzas fe, una para cada arista e E,tales que fe : Sv Su si e Euv, cada una con una razn de seme-janza r(e). Un grafo de Mauldin-Williams (V, E, i, t, r) ser llamadoestrictamente contractivo si r(e) < 1 para todo e E.

La definicin de la funcin r que evala aristas puede ser extendida a caminos definiendo r(u) =1 para caminos vacos, y r(e) = r(e)r() para cualquier camino y cualquier arista e con t(e) =i().La prxima definicin generaliza la definicin 1.1, que en este contexto correspondera a un niconodo y un lazo para cada una de las semejanzas.

Una lista invariante para un sistema iterado de funciones, es una listade conjuntos compactos no vacos Kv Sv, uno para cada nodo v V,tales que

Ku =vVeEuv

fe[Kv] (1.13)

para todo u V. Cada uno de los conjuntos compactos Kv que satisfacetal ecuacin se dir que tiene autosemejanza de grafo.

Teorema 15. Dado (V, E, i, t, r) un grafo de Mauldin-Williams estrictamente contractivo y sea ( fe)eE unsistema iterado de funciones que realiza este grafo en espacios mtricos completos Sv. Entonces existe unanica lista (Kv)vV de conjuntos compactos (Kv Sv) tales que

Ku =vVeEuv

fe[Kv]

para todo u V.Demostracin. Sabemos que los espacios mtricos de los subconjuntos compactos no vacos de Sv,K(Sv) son completos, por lo tanto el producto cartesiano

vV

K(Sv)

es tambin completo con la mtrica usual del producto cartesiano. Vamos a escribir (Av)vV paraun elemento tpico del espacio producto. La funcin definida por

F ((Av)vV) =

vVeEuv

fe[Av]

vVes una aplicacin contractiva, y su nico punto fijo es

Ku =vVeEuv

fe[Kv]

para todo u V. Y esto es lo que se deseaba. !

22 AUTOSEMEJANZA

A continuacin vamos a definir la dimensin del multigrafo asociado a esta clase de conjuntos,para luego encontrar una frmula para el caso de dos nodos y finalmente damos un ejemplo paraaplicar los resultados de esta subseccin. En la seccin 3.5 vamos a necesitar esta dimensin paracalcular la dimensin Hausdorff de los conjuntos autosemejantes, (Kv)vV, que nos proporciona elteorema 15.

Nmeros de Perron.. Para definir la dimensin de un grafo de Mauldin-Williams introduciremoslos nmeros de Perron". Consideraremos nicamente el caso cuando el grafo sea fuertementeconectado y estrictamente contractivo.

Dado un grafo deMauldin-Williams, sea s un nmero real positivo. En-tonces los nmeros de Perron s-dimensionales para el grafo son nmerospositivos qv, uno para cada nodo v V, tales que se cumpla:

qsu = vVeEuv

r(e)s qsv

para todo u V.

Se puede probar bajo ciertas consideraciones sobre un grafo de Mauldin-Williams que existe unnico nmero real s 0 tal que los nmeros de Perron qv asociados al grafo existen. Este nmeros ser utilizado para definir la dimensin del grafo. La existencia y unicidad de la dimensin sonprobadas en el teorema 17. Pero antes, recordemos algunos resultados de lgebra lineal.Sea A una matriz cuadrada. El radio espectral de A, R(A), es el mximo de los mdulos de todoslos valores propios de A. Tambin diremos que: A 0 si todas las entradas de A son no negativas,A > 0 si todas las entradas de A son positivas. Una matriz A 0 se dice reducible si por mediode permutaciones sobre las filas y las columnas, A se puede escribir de la forma:

A =

[B OC D

]

donde B y D son matrices cuadradas con al menos una fila cada una y O es una matriz rectan-gular de ceros. Si una matriz no es reducible, entonces se dice que es irreducible.Adems se necesita citar el teorema de Perron-Frobenius cuya prueba se puede encontrar en [15,cap. 13].

Teorema 16. Sea A 0 una matriz cuadrada irreducible, y sea . Entonces:1. Si = R(A), entonces existe un vector columna x > 0 con Ax = x.

2. Si existe un vector columna x 0 con Ax = x, entonces = R(A).3. Si existe un vector columna x 0 con Ax < x, entonces > R(A).4. Si existe un vector columna x 0 con Ax > x, entonces < R(A).

Ahora enunciamos el teorema que garantiza la existencia y unicidad de la dimensin de un grafo.

Teorema 17. Sea (V, E, i, t, r) un grafo de Mauldin-Williams fuertemente conectado y estrictamente con-tractivo. Existe un nico nmero s 0 tal que existen nmeros positivos qv uno para cada nodo del grafotales que se satisface

qsu = vVeEuv

r(e)s qsv (1.14)

23

para todo u V.Demostracin. Una prueba completa puede encontrarse en [9, p. 190]. En resumen esta pruebausa el hecho de que si A(s) es la matriz con entradas Auv(s) = eEuv r(e)s y (s) = R(A(s))entonces A(s) es irreducible s 0, pues si suponemos que A(s) es reducible, entonces debe tenerla siguiente forma:

A(s) =

[B(s) O(s)C(s) D(s)

]

y si el grafo tiene n nodos, u1, u2, . . . , un y en este mismo orden se describen las filas y columnasde A(s), entonces la matriz cuadrada B(s) es de orden k, donde 0 < k n 1. Al quedar elbloque superior derecho de ceros,O(s), esto nos dice que los nodos u1, u2, . . . , uk pueden conectarsenicamente entre ellos mismos, lo que contradice que el grafo sea fuertemente conectado pues nose podr establecer un camino desde u1 hasta un. Usando el teorema 16 se prueba que (s) esuna funcin continua y que la ecuacin (s) = 1 tiene una solucin nica en el intervalo [0,[.Adems en esta demostracin se prueba que los nmeros de Perron existen si y solo si (s) = 1.!

El nmero s dado por el teorema anterior lo llamaremos la dimensindel grafo de Mauldin-Williams.

Si tomamos el caso de dos nodos podemos encontrar explcitamente la expresin para(s), ya quela matriz

A(s) =

[A11(s) A12(s)A21(s) A22(s)

]

tiene polinomio caracterstico pc() = 2 traza(A(s)) + det(A(s)) y los valores propios paraeste polinomio son

=12

(traza(A(s))

(traza(A(s))2 4 det(A(s))

)

ambos reales. Como necesitamos que pc(1) = 0 tenemos que s es la dimensin del grafo si:

1 =A11(s)+ A22(s)+

(A11(s)+ A22(s))2 4(A11(s)A22(s) A12(s)A21(s))

2(1.15)

El Polvo en dos partes.. Considere el grafo definido por dos nodos {U,V} y cuatro aristas E ={a, b, c, d} y la lista de razones ra = 1/2, rb = 1/4, rc = 1/2, rd = 3/4, descrito en la Figura 1.8.Podemos aplicar los resultados de esta seccin encontrando una lista de conjuntos invariante.

Figura 1.8 Grafo para el Polvo en dos partes.

Sean U0, V0 ambos como el segmento de lnea que une el punto (0, 0) con (1, 0). Sea la aplicacina de razn 12 que fija el punto (0, 0) y rota 30

o. La aplicacin b de razn 14 que fija el punto (1, 0) yrota 60o. La aplicacin c de razn 12 que fija el punto (0, 0) y rota 90o. Y por ltimo la aplicacin

24 AUTOSEMEJANZA

Figura 1.9 Construccin del Polvo en dos partes.

d de razn 34 que fija el punto (1, 0) y rota 120o. Algebraicamente, para un punto (x, y) 2 seobtienen

a(x, y) =14

(3x y, x+3y

)b(x, y) =

18

(x3y+ 7,3 (1 x) y

)c(x, y) =

12(y, x)

d(x, y) =38

(113 x3y,3 (1 x) + y

)

Ahora defina recursivamente:

Un+1 = a[Un] b[Vn]Vn+1 = c[Un] d[Vn].

Esto define una sucesin de aproximaciones que son mostradas en la Figura 1.9, ellas convergenen la mtrica Hausdorff a P; es ms, podemos empezar con cualesquiera dos conjuntos compactosno vacos U0 y V0 en 2.

Figura 1.10 Polvo en dos partes.

Por el teorema 15 sabemos que existe un par de conjuntos compactos no vacos U, V subconjuntosde 2, satisfaciendo:

U = a[U] b[V]V = c[U] d[V]

25

A este par de conjuntosU,V se le conoce como el Polvo en dos partes que denotamos por P, Figura1.10.Usando la igualdad (1.15) este grafo tiene dimensin 1. En este caso, los nmeros de Perron, unopara cada nodo, son qu = 1/3 y qv = 2/3. Lo importante acerca de estos nmeros es que sonpositivos y que satisfacen las ecuaciones:

qu = r(a)qu + r(b)qv

qv = r(c)qu + r(d)qv.

2 SISTEMAS DENUMERACINAlgunos conjuntos se pueden ver como los atractores de un sistema iterado de funciones perotambin como el conjunto de elementos representables en un sistema de numeracin. Esto permiteestudiarlos desde otra perspectiva. En esta seccin se presentan algunos de estos conjuntos.

2.1 Bases para nmeros reales

Los enteros positivos se pueden representar en cualquier base entera b > 1 usando 0, 1, . . . , b 1 como dgitos. Los sistemas decimal y binario son los ms conocidos. Los enteros positivos ynegativos se pueden representar en cualquier base b < 1, usando los dgitos desde 0 a |b| 1.Se generalizar esto; para ello se considera un nmero b con |b| > 1 como base, y un conjuntofinito de nmeros D = {d1, d2, , dk}, llamados dgitos", y se supone que 0 D. Los nmerosenteros" en esta base, son los que tienen la forma:

M

j=0

djbj (2.1)

con aj D. SeaW el conjunto formado por estos nmeros. Las fracciones" para este sistema tienenla forma:

1

j=djb

j (2.2)

con dj D. Sea F el conjunto formado por las fracciones. Un nmero arbitrario x , repre-sentable en este sistema se puede ver como la suma de un entero y una fraccin, esto es

x =M

j=

djbj (2.3)

Es claro que para la convergencia de esta serie se debe tener que |b| > 1.

Teorema 18. Sea b tal que |b| > 1 y D = {d1, d2, , dk}. Entonces el conjunto F de las fraccioneses compacto y no vaco.

Demostracin. Considere las funciones fi(x) = dib1 + b1x, como

| fi(x) fi(y)| = |b|1|x y|se tiene que son semejanzas en 2 de razn ri = |b|1 < 1, por lo que forman un sistema iteradode funciones contractivo. Se probar que F es el atractor del sistema, es decir,

F =k

i=1fi[F]

Para ello, sea y F entonces y = a1b1 +2i= aibi. Como a1 D se tiene que a1 = dj paraalgn j. Tomando x = a2b1 + a3b2 + F se tiene que fj(x) = a1b1 +2i= aibi = y,por lo que y fj[F] ni=1 fi[F]. Por otro lado, sea y ni=1 fi[F], entonces y fj[F] para algn j,de esta forma

y = fj

( 1

i=aib

i

)= djb

1 +2

i=ai+1b

i F

As, F es el atractor y por el teorema 3 el conjunto invariante es compacto. !

Corolario 4. La dimensin de semejanza de F es s = ln kln |b| .

En el caso decimal o el binario se tiene que:W est formado por los nmeros enteros no negativos,F = [0, 1] y cualquier x [0,[ se puede escribir de la forma x = Mj= ajbj.Si se usa b = 2 y D = {0, 1}, los nmeros de la forma (2.1) son los enteros, el conjunto de lasfracciones es [2/3, 1/3]. Todo nmero real tiene la forma (2.3).En el sistema decimal o el binario algunos nmeros no tienen representacin nica, por ejemplo0.1 = 0.09, sin embargo el conjunto de los nmeros con representacin mltiple es numerable.Pero ocurre que hay nmeros que no tienen representacin del todo. Por ejemplo, para b = 3y D = {0, 2}, el nmero 1/2 = (0.1)3 no tiene representacin de la forma (2.3). De hecho losnmeros en [0, 1] que tienen representacin de la forma (2.2) forman el conjunto de Cantor.Es usual trabajar con bases enteras positivas, pero para representar nmeros negativos se debenusar bases negativas. Un artculo muy interesante que discute el uso de bases fraccionarias es [6].Nos interesa extender estos resultados para representar nmeros complejos en bases complejas.

Teorema 19. Sea b con |b| > 1, y sea D un conjunto finito de nmeros reales que incluyen al cero.Entonces, o bien algunos nmeros reales no tienen representacin en la forma (2.3) o algunos nmeros realestienen ms de una expansin en la forma (2.3).


Lo que indica este teorema es que no existe una base en donde todos los nmeros complejos puedanser representados en forma nica.

2.2 Bases para nmeros complejos

Se dice que el entero Gaussiano z = x + iy con x, y se puede expresar en la base complejab si este se puede escribir de la forma z = kr=0 arb

r para algn k , donde los nmeros arson llamados los dgitos de la representacin, y se escribe z = (akak1 . . . a0)b. El algoritmo para

27

28 SISTEMAS DE NUMERACIN

representar nmeros en una base entera se puede extender a bases complejas si el conjunto dedgitos escogidos forman un sistema completo de residuos mdulo el cuadrado del mdulo de labase.Se dar un algoritmo para representar nmeros complejos en bases complejas, este algoritmo sedetermina para enteros Gaussianos.El siguiente teorema fundamenta el nmero de dgitos que debe tener una base para que se puedanrepresentar todos los nmeros complejos.

Teorema 20. Sea b , sea D un conjunto finito de nmeros complejos que incluye al 0. Suponga que|D| = k, que todo nmero complejo se puede representar en este sistema y que la medida bidimensional deLebesgue del conjunto de los nmeros con mltiple representacin es 0. Entonces |b|2 = k.Demostracin. Como todo nmero complejo se puede representar en este sistema, se tiene que elconjunto de la fracciones F cumple con 0 < L2(F) < . Este conjunto es el atractor del sistemaiterado de funciones descrito en la prueba del teorema 18, y se sabe por el corolario 4, que su dimen-sin de semejanza es ln k/ ln |b|. Adems el hecho de que la medida bidimensional de Lebesguedel conjunto de los nmeros con mltiple representacin es 0, significa que L2( fi[F] fj[F]) = 0,con esto se cumplen todas las hiptesis del teorema 5, por lo que la dimensin de semejanza s esigual a 2. Igualando se tiene que ln k/ ln |b| = 2 y despejando se obtiene el resultado. !Gauss demostr que si n y m son primos relativos entonces los nmeros 0, 1, . . . , n2 +m2 1 for-man un sistema completo de residuos mdulo |b|2. Ms an, si n y m tienen un factor comn,entonces cualquier sistema completo de residuos mdulo b debe contener algunos nmeros conparte imaginaria distinta de cero. Una condicin necesaria para que la base b = n+ im representetodos los enteros Gaussianos, usando slo enteros como dgitos es que m = 1, dado que todaslas potencias de la base (n + im)r tienen su parte imaginaria divisible por m. Con esto, solo seconsiderarn bases de la forma n i con dgitos 0, 1, . . . , n2.Como ejemplo se considera como base al nmero complejo b = 1 + i que provee una repre-sentacin binaria de todos los nmeros complejos. Algunas representaciones son

9 = (111000001)1+i ya que (1+ i)8 + (1+ i)7 + (1+ i)6 + 1 = 9,5 3i = (101110)1+i.

Al conjunto de todas estas fracciones, que se denota con T, se le llama usualmente Twindragon3,Figura 2.1 izquierda. Una construccin de ste se encuentra en [16]. Note que este conjunto es elatractor para el sistema iterado de funciones definido por f0(x) = b1x y f1(x) = b1 + b1x y larazn para ambas funciones es |(1+ i)1| = 1

2, resolviendo la ecuacin ( 1

2)s + ( 1

2)s = 1, se

tiene que s = 2.

2.3 Representacin de los enteros Gaussianos

Se dice que el nmero complejo b es una buena" base, si cada entero Gaussiano puede ser rep-resentado en la forma (2.1) en la base b, si esto no ocurre se dice que b es una mala" base. Porejemplo en este sentido 2 es una buena base para pues todos los nmeros enteros se puedenrepresentar en esta base de la forma (2.1), as: 1 = (11)2, 9 = (1011)2, y 7 = (11011)2.Para representar nmeros complejos en bases complejas se ocupa un algoritmo de divisin seme-jante a la divisin entera. Se esboza aqu este mtodo, para dividir q0 = a+ bi por n i:

3Se le d este nombre pues est formado de dos copias del Dragn de Heighway.

29

Figura 2.1 Twindragon y teselacin fractal del plano.

a+ bi n ir0

b na+ nr0n2 + 1

s0i =: q1

donde r0 y s0 son el residuo y el cociente de dividir a+ nb por n2 + 1, recordando que el residuoes no negativo y menor que n2 + 1. Se divide ahora q1 por n i y se obtiene r1, siguiendo esteproceso, que para n i se sabe que es finito por ser buena base, hasta que qk = 0 se tiene quea+ bi = (rkrk1 . . . r0)ni. Como ejemplo, el nmero complejo 6+ 31i se representa en la base2+ i como sigue:

6+ 31i 2+ i1 9 11i 2+ i

2 5+ 3i 2+ i1 3+ 0i 2+ i

3 0

as 6+ 31i = (3121)2+i, es decir 6+ 31i = 3(2+ i)3 + 1(2+ i)2 + 2(2+ i)1 + 1(2+ i)0.Otras representaciones son por ejemplo: 1 = (144)2+i, 8+ 3i = (1204)2+i, 5 = (1310)2+i, y10 = (133120)2+i. De estas dos ltimas representaciones se pueden inferir las reglas de la sumaen esta base.Se considerarn algunas bases de nmeros complejos y se ver la forma que tiene el conjunto delas fracciones en esta base.Sea b = 1+ i, se ha mencionado que el conjunto de las fracciones T, con los dgitos {0, 1} se llamaTwindragon. Este conjunto representa en el plano complejo todos los nmeros cuya representacines (0.a1a2 . . . an . . . )1+i. Ver Figura 2.1.Se puede cubrir el plano con una cantidad numerable de conjuntos idnticos a este conjunto, dela forma T + w donde w es un entero gaussiano, y como todos los enteros gaussianos se puedenrepresentar en esta base, se puede obtener un mosaico o teselacin" fractal del plano, Figura 2.1derecha. Se dice fractal pues las fronteras de estos conjuntos son fractales [27], cuya dimensinfractal es aproximadamente 1.52.Con la base b = 1 i, aunque su conjunto de fracciones es simtrico a T, no se pueden representartodos los enteros gaussianos, por ejemplo a 1:

1 = (1 i)(1 i) + 11 i = (i)(1 i) + 0

i = (i)(1 i) + 1i = (i)(1 i) + 1


este procedimiento no es finito, de manera que no es posible representar a 1 en esta base con losdgitos 0 y 1.Ktai y Szab probaron en [24] que los nicos enteros gaussianos que pueden ser usados pararepresentar todos los nmeros complejos, usando nmeros naturales como dgitos son n + i yn i para n entero positivo. Para b = 2 i con D = {0, 1, 2, 3, 4}, la representacin del conjunto

Figura 2.2 Fracciones con b = 2 i

de las fracciones en el plano complejo es una curva dragn, Figura 2.2. Mandelbrot la utiliz en[27] como un modelo para responder a la pregunta cunto mide la costa de Bretaa?

Figura 2.3 Fracciones con b = 12 + 32 i y b = 110 + i

Se pueden generar diferentes curvas dragn, considerando cualquier entero gaussiano como base,sin embargo, al considerar bases que no son de este tipo se obtienen conjuntos interesantes, porejemplo, al considerar como base b = 110 + i, el conjunto de las fracciones en esta base con D ={0, 1} se representa en el plano complejo en la Figura 2.3 derecha.Los conjuntos de fracciones en la Figura 2.3, estn representados con los nmeros complejos cuyaexpansin binaria en estas bases es de la forma (0.a1a2 . . . a14)b con ai {0, 1}, es decir, es unaaproximacin de los conjuntos reales. En algunos se muestran como figuras disconexas, sin em-bargo, solamente para b = 12 + 32 i lo es, en este caso se tiene que |b| 1.58 y en [3], se prueba quelos conjuntos de fracciones tales que |b| > 2 son totalmente disconexos.Usando el programa A.1.1, hecho en Mathematica, se obtuvo la Figura 2.2. Cambiando el conjuntode dgitos y la base, se obtienen las Figuras 2.3, 2.4.

2.4 Ejemplos de conjuntos de fracciones

31

En esta parte se presentarn diferentes tipos de conjuntos de fracciones que se obtienen de variarbases y sus conjuntos de dgitos; nos interesa los conjuntos de fracciones para nmeros reales ynmeros complejos.

Fracciones de Eisenstein.. Considere ahora dgitos complejos, por ejemplo D = {0, 1,,2}donde = 12 (1+ i

3) y b = 2 da una representacin de todos los nmeros complejos. Al

conjunto de todas las fracciones se le llama Fracciones de Eisenstein, Figura 2.4.

Figura 2.4 Fracciones de Eisenstein

Note que este conjunto es el atractor para el sistema iterado de funciones definido por f0(x) = 12x,f1(x) = 12 (1+ x), f2(x) = 12 ( + x) y f3(x) = 12 (2 + x). La razn para estas funciones es|(2)1| = 12 , resolviendo la ecuacin 4( 12 )s = 1 se tiene que la dimensin de semejanza es s = 2.Note que todos los dgitos no nulos tienen mdulo igual a 1.

El conjunto de Cantor como conjunto de fracciones.. Si se usan los dgitos D = {0, 1, 2} y labase b = 3, el conjunto de las fracciones es el intervalo [0, 1], as, la representacin tridica paracualquier x [0, 1] es (0.a1a2 . . . ak . . . )3, con ai {0, 1, 2}, i . En el teorema 6 del captuloanterior, se prob que x C si y solo si se puede representar en base 3 utilizando solamente 0 y 2como dgitos.

El tringulo de Sierpiski como conjunto de fracciones.. Al describir el tringulo de Sierpinski seus la representacin de las coordenadas del plano en base 2, esto nos permite dar una descripcinexacta de cules son puntos de S. Se puede encontrar un subconjunto de los nmeros complejosa partir de las coordenadas del tringulo de Sierpinski e identificar este conjunto con el tringulomismo, de esta manera si (x, y) son las coordenadas de un punto en S se dice que el nmerocomplejo x + iy pertenece al tringulo de Sierpinski. Si se usan los dgitos D = {0, 1, i} con b = 2como base, se puede describir el conjunto de una forma sencilla.

Proposicin 11. El conjunto de las fracciones de nmeros complejos para b = 2 y D = {0, 1, i} es eltringulo de Sierpinski S.

Demostracin. Recordemos la construccin por tremas. Se empieza con S0, los vrtices de S0, son0, 1 e i. Como se reduce en cada paso de la construccin de S los lados a la mitad, pertenecen12 = (0.1)2,

i2 = (0.i)2 y

12 +

i2 = (0.1i)2 en general al considerar las coordenadas de los puntos

(x, y) en su expansin en base 2, x = (0.a1a2 )2 y y = (0.b1b2 )2 con ai, bi {0, 1}, i . Sesabe por el teorema 11 que todas las expansiones de las coordenadas no tienen un uno en la misma


posicin, por lo que se puede representar

x+ iy =

k=1

(ak + ibk)2k

donde (ak + ibk) D. !Algunos nmeros del tringulo de Sierpinski son:

34+ i

18

= (0.110)2+ (0.00i)2 = (0.11i)2

272341

+ i68341

= (0.1100110000)2 + (0.00ii00ii00)2 = (0.11ii11ii00)2

79+ i

1063

= (0.110001)2 + (0.00i0i0)2 = (0.11i0i1)2

38+ i

1732

= (0.01100)2+ (0.i000i)2 = (0.i110i)2

Es claro que S no va a rellenar el plano pues el nmero mnimo de dgitos que debe tener esta basepara que todo nmero complejo se pueda representar es 4, pues el teorema 20 da una condicinnecesaria, adems 2 no es una buena base para los nmeros reales por lo que no ser til tampocopara los complejos.

Otros conjuntos similares.. Si se completa el nmero de dgitos en la base 2 resultan conjuntosde fracciones que presentan alguna semejanza con el tringulo de Sierpinski pero que tampocopueden ser usados para representar a todos los nmeros complejos. Considere D = {0, 1, i,1}con b = 2. El conjunto de fracciones en esta base puede ser construido por tremas de la sigu-iente forma; tome un tringulo rectngulo issceles con la base en la hipotenusa, nase los puntosmedios de cada lado, el tringulo queda dividido en cuatro tringulos congruentes, elimine el in-terior del tringulo central y agrguese el tringulo formado por los puntos medios de las bases delos tringulos que han quedado, de la misma forma continese con el proceso en cada uno de loscuatro tringulos. El rea eliminada en cada paso es 18 del rea total por lo que tambin tiende acero.Ahora se considerar el conjunto de los dgitos

D = {0, 1, i, 12(1+ i)}

con la base b = 2, el nmero que se ha usado para completar tiene mdulo igual a 1 y se encuentraen el tercer cuadrante, el mdulo para los dgitos es 1 para los no nulos.El conjunto de las fracciones tambin se pueden construir por un proceso similar a los anteriores,solamente que en este caso se elimina tambin el tringulo central y se agrega el tringulo formadopor los puntos medios de los segmentos que forman cada vrtice con el circuncentro, cada uno deestos segmentos mide igual y el tringulo formado es semejante con razn de proporcin 12 . Enambos casos se tienen figuras en alguna forma parecidas al tringulo de Sierpinski, pero por labase no se pueden representar todos los complejos.

3 DIMENSIN HAUSDORFFEn esta seccin se define un fractal en el sentido original de Mandelbrot. Esta se har comparandola dimensin Hausdorff y una dimensin topolgica de un conjunto dado. La dimensin Haus-dorff fue introducida por Felix Hausdorff, en 1919, cuando trabaj con conjuntos de dimensinfraccionaria, mientras que la dimensin topolgica toma valores enteros o es infinita.

3.1 Dimensin topolgica

Aqu se define una dimensin topolgica, es decir, invariante bajo homeomorfismos, y se ver quese pueden caracterizar los conjuntos con dimensin cero.

Un subconjunto de un espacio mtrico se llama clopen1si es cerradoy abierto, es decir, si su frontera es vaca. Adems se dice que un espa-cio mtrico es cero-dimensional si existe una base para los abiertosformada por conjuntos

A un espacio mtrico S, se le asocia un nmero entero o infinito, deno-tada por ind S, que se llama dimensin inductiva pequea y estdefinida recursivamente as: ind = 1, para k 0 se dice queind S k si y solo si existe una base para los abiertos de S formadapor conjuntos U que cumplen ind U k 1. As que ind S = k siy solo si ind S k y ind S * k 1. Por ltimo si ind S k no escierto para todo k, se dice que ind S = .

Teorema 21. Sean S y T espacios topolgicos. Si T S entonces ind T ind S y si S y T son homeomorfosentonces ind S = ind T.

1Contraccin del ingls closed and open"

33

34 DIMENSIN HAUSDORFF

Demostracin. [9, p. 82]. !

Teorema 22. Si S es separable, entonces ind S = 0 si y solo si S es homeomorfo a algn subconjunto de{0, 1}().Demostracin. Vase [9, p. 83]. !

En la proposicin 9 se prob queC, el conjunto de Cantor de los tercios centrales es homeomorfo a(E(), 1/3) por lo que ind C = 0. Todos los espacios que cumplen con el teorema 22 son llamadosgenricamente Conjuntos de Cantor", aunque no todos los conjuntos de Cantor tienen medida enel sentido de Lebesgue igual a cero, [48].

Proposicin 12. El tringulo de Sierpinski S, cumple ind S = 1.

Demostracin. Es claro que ind S no puede ser 2, pues el tringulo de Sierpinski no contiene aalguna bola de radio r > 0. Y no es 0 pues una base para los abiertos de S formada por las in-tersecciones de S con cada tringulo de Sn, no tienen frontera vaca, por lo que no son clopenes.!

3.2 Generacin de medidas

En esta parte se recordarn algunos resultados sobre medidas. Estos se usarn para construir apartir de una funcin no negativa, una medida. Ser de utilidad especialmente para definir lamedida Hausdorff que se ocupar en 3.3. Nos interesa este tipo de enfoque por su construccin.Sea X un conjunto cualquiera. Recordemos que si F es una -lgebra de subconjuntos de X, unamedida sobre F es una funcinM : F [0,] que cumple lo siguiente

1. M() = 0;2. Si An es una sucesin disjunta de conjuntos, entonces

M(

nAn

)=

n=1

M(An) (3.1)

Adems, si P denota el conjunto de partes de X, una medida exterior sobre X es una funcinM : P [0,] que satisface las siguientes condiciones

1. M() = 0;2. Si A B, entoncesM(A) M(B);3. M (n An) n=1M(An).

Teorema 23. Teorema del Mtodo I. Sea X un conjunto, A una familia de subconjuntos de X que locubren. Sea C : A [0,] una funcin. Entonces, existe una nica medida exteriorM sobre X tal que

1. M(A) C(A) para todo A A,2. SiN es otra medida exterior sobre X conN (A) C(A) para todo A A, entoncesN (B) M(B)

para todo B X.Demostracin. [9, p. 134]. En esta prueba se da una frmula explcita paraM. Si D es un cubrim-iento numerable de B con subconjuntos de A,M(B) = infAD C(A). !

35

Una medida exteriorM sobre un espacio mtrico (X, ), se llamame-dida exterior mtrica sii M(A B) = M(A) +M(B) para con-juntos A y B cuya distancia entre ellos es positiva. Se dice que es finitasiM(A) < .

La razn de definir una medida exterior mtrica, y eventualmente una medida mtrica al restringira los conjuntos medibles, es porque todo conjunto de Borel es medible, hecho que no se cumplecon cualquier medida exterior.

Teorema 24. Sea M una medida exterior mtrica sobre un espacio mtrico S, entonces todo conjunto deBorel en S esM-medible.Demostracin. Vase [9, p. 138]. !

SiM es una medida mtrica finita sobre un espacio mtrico compacto S, se puede probar queM(E) = inf{M(U) : E U, abierto}

ademsM(E) = sup{M(K) : K E, compacto}

para todo conjunto medible E S, as que dado > 0 existe un conjunto compacto K y un abiertoU con K E U tal queM(U \ K) < para todo > 0, puesM(U) 2


Teorema 25. La funcin sobre conjuntosM definida por el Mtodo II es una medida exterior mtrica.Demostracin. Vase [9, p. 141]. !

Teorema 26. Sea E() un espacio de hileras infinitas. Suponga que nmeros no negativos w satisfacenw = eE we para E(). Entonces la medida exterior,M, definida por el teorema 23 para la funcinsobre conjuntos C([]) = w es una medida exterior mtrica sobre E() que cumple conM([]) = w. As0 0Hs(F) (3.3)

es la medida exterior Hausdorff s-dimensional del conjunto F. Ntese que si F es un conjunto finitoo numerable, entoncesHs(F) = 0 para todo s > 0, ya que se puede tomar el propio conjunto comoun -cubrimiento de dimetro igual a cero.

Teorema 27. En la medida Hausdorff unidimensional H1 coincide con la medida de Lebesgue L.Demostracin. Vase [9, p. 149]. !

Para un conjunto F dado, la medida Hausdorff Hs(F) se comporta como una funcin de s decre-ciente que toma a lo sumo tres valores. El siguiente teorema muestra esto y otros detalles msimportantes.

37

Teorema 28. Sea F un conjunto de Borel. Sea 0 < s < t, siHs(F) < entoncesHt(F) = 0, siHt(F) > 0entoncesHs(F) = .Demostracin. Si diam (A) Hs(A) (diam (A))t ts (diam (A))s. Por lo tanto por elteorema del mtodo IHt(F) ts Hs(F). Ahora siHs(F) es finito entoncesHt(F) lim0 ts Hs(F) = 0 Hs(F) = 0. La segunda afirmacin es la contrapositiva. !Esto significa que hay un valor crtico s0 en [0,] tal que Hs(F) = si s < s0 y Hs(F) = 0 sis > s0.

Al valor s0 se le llama la dimensinHausdorff o dimensin fractaldel conjunto F, que se denota por dim(F).

Es posible que Hs(F) = 0, s > 0 por lo que dim(F) = 0. De la misma forma puede suceder quedim(F) = .Se puede usar en los cubrimientos conjuntos abiertos, cerrados o hasta subconjuntos del propioconjunto al que le quiere calcular la dimensin Hausdorff. Si un conjunto es compacto, se puedenusar cubiertas finitas para calcular la dimensin del compacto. En particular se puede asumir quelos cubrimientos usan slo subconjuntos de F.La dimensin Hausdorff satisface propiedades esperadas para una definicin de dimensin talescomo las de los teoremas 29 y 33 y la proposicin 18; adems se cumple que si F es un conjuntonumerable entonces dim(F) = 0 y dim( d) = d. Existen otras dimensiones fractales que cumplencon estas mismas propiedades.

Teorema 29. Sean A, B y (Ai)i , conjuntos de Borel.

(1) Si A B entonces, dim(A) dim(B),(2) dim

k Ak = sup{dim(Ak), k }.

Demostracin. (1) Suponga que A B, si s > dim(B) entonces se cumple queHs(A) Hs(B) = 0,por lo tanto la dim(A) s, esto es cierto para todo s > dim(B) as que dim(A) dim(B).(2) Si s > sup{dim(Ak), k } entonces s > dim(Ak) luego Hs(Ak) = 0, por lo que

Hs(

kAk

)

kHs(Ak) = 0

esto es cierto para todo s > supk {dim(Ak)} as

supk

{dim(Ak)} dim(

kAk

)

y como Ak k Ak se tiene quedim(Ak) dim(

k

Ak)

por lo que supk {dim(Ak)} dim(k Ak). !

Teorema 30. Sea f : S T una semejanza con razn r > 0, sea s un nmero real positivo, y sea F S unconjunto de Borel entonces, Hs( f [F]) = rsHs(F). As la dim( f [F]) = dim(F).Demostracin. Sea T = f [S]. Como f es inyectiva sobre el mbito, es biyectiva y posee inversa f1.Como para A S se cumple que diam ( f [A]) = r diam (A), entonces si A es un -recubrimientopara F S entonces f [A], A A, es un r-recubrimiento para f [F] T entonces

Hs( f [A]) diam ( f [A])s = rs(diam (A))s


Por el teorema delmtodo I se tieneHsr( f [F]) rsHs(F) y viceversa si B A es un r-recubrimientopara f [F], f1[B] es un -recubrimiento para F entonces

Hs( f1[B]) (diam ( f1[B]))s = rs(diam (B))s

por lo tanto rsHs(F) Hsr f [F] por lo que son iguales y haciendo 0 se obtiene Hs(F) =rsHs( f [F]) y dim( f [F]) = dim(F). !Los elementos de esta demostracin son los mismos para la demostracin del siguiente resultadoy por esto se omite; se puede consultar [11, p. 27].

Proposicin 14. Sea F n y suponga que f : F m satisface la condicin de Hlder | f (x) f (y)| c|x y| con c y positivos. Entonces para cada s se cumple

Hs/( f [F]) cs/Hs(F)Proposicin 15. Sea f : S T una funcin y sea A S un conjunto de Borel:(1) Si f es de crecimiento acotado entonces dim( f [A]) dim(A).(2) Si f es de decrecimiento acotado entonces dim( f [A]) dim(A).

Demostracin. (1) Como diam ( f [A]) = sup{( f (x), f (y)) : x, y A} sup{r(x, y) : x, y A} = r sup{(x, y), x, y A} = r diam (A) y como en la primera parte de la prueba del teorema30 se concluye que dim( f [A]) dim(A). La parte (2) es totalmente anloga. !Proposicin 16. Sea F n y suponga que f : F m satisface la ecuacin (1.1). Entonces dim f [F] 1dim F.

Demostracin. Si s > dim F se tiene queHs(F) = 0, de la proposicin 14 se tiene queHs/( f [F]) cs/Hs(F) = 0, de donde dim f [F] s

para todo s > dim F, as dim f [F] 1

dim F. !

Proposicin 17. Si F d con dim F < 1 entonces F es totalmente desconectado.Demostracin. Sean x y y puntos distintos de F. Defina f : d [0,[ por f (z) = z x, nteseque f (x) = 0 y f (y) > 0. De la desigualdad triangular se tiene que f (z) f (w) z x,de la proposicin 15 se ve que dim( f [A]) dim(A) 1, con lo que f [F] es un subconjunto de[0,[ de medida en el sentido de Lebesgue cero y as su complemento es denso en [0,[. Por ladensidad, se puede encontrar un r * f [F] que cumpla con 0 < r < f (y) y se tiene que F =f1

[[0, r[

]f1

[]r,[

], que son dos abiertos disjuntos que incluyen a x y y respectivamente. !

Un fractal es un conjunto tal que ind (A) < dim(A).

En las siguientes proposiciones se ver como el espacio de hileras E() dependiendo de la mtricaque se use puede tener diferentes dimensiones Hausdorff.

Teorema 31. Si E = {0, 1} entonces dim(E(), 1/2) = 1.Demostracin. [9, p. 151] !

Como en el teorema 22 se vi que ind (E()) = 0 se concluye que E() es un fractal.

Teorema 32. Sea E un alfabeto de n letras. Suponga que nmeros no negativos w satisfacen

w = eE

we (3.4)

39

para E() Sea M la medida del mtodo I con M([]) = w. Si es una mtrica en E() y s > 0satisface M([]) = (diam ([]))s para todo E(). Entonces M(B) = Hs(B) para todo conjunto deBorel en E().

Demostracin. Tome A = {[]} para diam [] y la funcin sobre conjuntos C : A [0,]definida por C([]) = (diam [])s y aplique la construccin del Metodo II. !

Proposicin 18. La dimensin Hausdorff de es 1.

Demostracin. Por el teorema 27 se tiene que H1([0, 1]) = L([0, 1]) = 1. Por lo tanto dim[0, 1] = 1.Ahora [0, 1] , as dim( ) dim[0, 1] = 1. Si s > 1, entonces Hs([0, 1]) = 0. Los intervalos[n, n+ 1] son isomtricos a [0, 1], se sigue que Hs([n, n+ 1]) = 0. Por lo tanto:

Hs( )

n=

Hs([n, n+ 1]) = 0

Esto significa que dim( ) s. Pero esto es correcto para cualquier s > 1, as dim( ) 1. Por lotanto se ha visto que dim( ) = 1. !

De donde no es un fractal.Dado que la medida de Lebesgue es til para calcular la dimensin de , no es difcil adivinar queL2 sea til para computar dim 2. En general dim d = d.La medida HausdorffHd(B), de cualquier conjunto de Borel en d es un mltiplo de la medida deLebesgue Ld para este mismo conjunto [11, p. 26]. El factor de multiplicacin es pid/2/2d(d/2), elvolumen de la bola d-dimensional de dimetro 1, y es la funcin Gama de Euler.

Teorema 33. Sea B d. Si B tiene interior no vaco entonces dim(B) = d.Demostracin. Se sabe, por el teorema 29, que si existe B(x) B dim B(x) dim B y comoHd(B(x)) aLd(B(x)) > 0 entonces dim(B(x)) d por lo que dim B d. Entonces por elmismo teorema se tiene dim B = d. !

Teorema 34. Sea S es un espacio mtrico. Si ind S 1 entonces dim S 1.Demostracin. Suponga que ind S 1. Entonces S no tiene una base de abiertos que consisten solode clopen. Sea a S y > 0 el conjunto Br(a) no es clopen para todo 0 < r < . Defina h : S tal que h(x) = (x, a), esta funcin es continua y cumple con ser de crecimiento acotado.

|h(x) h(y)| (x, y).

Su mbito incluye a ]0, [ pues como Br(a) no es clopen, su frontera no es vaca. Y dado x Fr(Br(a)), |h(x) h(a)| (x, a) r < , de manera que dim(S) dim h[S] dim(]0, [) = 1. !

Teorema 35. Si S es un espacio mtrico compacto entonces ind S dim S.Demostracin. Vase [9, p. 155]. !

3.4 Dimensin de semejanza vs dimensin Hausdorff

Usar un sistema iterado de funciones es una de las formas ms sencillas de producir ejemplos defractales y poder calcular la dimensinHausdorff a partir de la dimensin de semejanza s. Supongaque K es el conjunto invariante para el sistema iterado de funciones. Como K es compacto se tiene


que es medible. Se ver que es cierta la desigualdad dimK s, adems esta desigualdad puedeser estricta si los fi[K] se traslapan mucho. Bajo ciertas condiciones se tiene la igualdad.

Proposicin 19. La dimensin Hausdorff para E() con mtrica 1/3 es ln 2/ ln 3.Demostracin. Sea s = ln 2/ ln 3. Considere la mtrica 1/3 y la medidaM1/2. Si || = k, entoncesM1/2([]) = 2k = (3k)s = (diam [])s. Por tanto, por el teorema 32, se tiene Hs(E()) =M1/2(E()) = 1; de esta manera se concluye que dim E() = s = ln 2/ ln 3. !Corolario 5. La dimensin Hausdorff deC es ln 2/ ln 3.Demostracin. Por la proposicin 15 toda aplicacin con distorsin acotada preserva la dimensinHausdorff. La aplicacin modelo h de E() sobre C tiene distorsin acotada, esto se prob en elproposicin 9. Con esto y la proposicin 19 se completa la demostracin. !

Esto prueba que el conjunto de Cantor es un fractal pues como se sabe ind C = 0.Sea E = {L,U,R} un alfabeto de tres letras. Sea la mtrica sobre E() para la lista de razones(1/2, 1/2, 1/2). Sea (, ) = 2k donde k es el largo del mayor prefijo comn entre y . Loscorrimientos a la derecha realizan la lista de razones con razn 12 :

(L, L) =12(, ), (U,U) =

12(, ), (R,R) =

12(, )

con esto se puede calcular la dimensin Hausdorff de E().

Proposicin 20. La dimensin Hausdorff de (E(), 1/2) es s =ln 3ln 2

.

Demostracin. Sea s = ln 3/ ln 2. Considere la mtrica 1/2 y la medida M([]) = 3|| = w. Secumplen las condiciones del teorema 32 y se tiene que Hs(E()) = M(E()) = 1; as dim E() =s = ln 3/ ln 2. !

Corolario 6. La dimensin Hausdorff del tringulo de Sierpinski es a lo ms ln 3ln 2

.

Demostracin. Por la proposicin 8, la aplicacin modelo h es de crecimiento acotado y por laproposicin 15, se tiene dim S dim E(). !El clculo de la dimensin de semejanza para el espacio E() se usa en el clculo de la dimensinHausdorff del tringulo de Sierpinski S, pero no es suficiente pues la aplicacin modelo para esteconjunto no tiene decrecimiento acotado (de hecho no es inyectiva como se prob en la proposicin10). An as se puede calcular la dimensin Hausdorff de este conjunto a partir de la definicin.

Proposicin 21. Sea s = ln(3)ln(2)

, entoncesHs(S) = 1.

Demostracin. Dado > 0 existe k tal que 2k. Considere {A1, A2, . . . , A3k}, la inter-seccin de cada uno de los tringulos que forman Sk con S. Note que como los vrtices de cadatringulo pertenecen a S, el dimetro de cada tringulo es el dimetro de Ak, luego estos formanun -cubrimiento de S y

Hs(S) 3k

i=1

diam (Ak)s =3k

i=1

(12k

)s=

3k

i=1

(12s

)k= 3k

(13

)k= 1.

Sea > 0 existe una -cubrimiento A de S tal queHs(S) >

AAdiam (A)s

41

pero como i = 1, . . . , 3k se cumple queAi S

AA

A

se tiene que

1 =3k

i=1

diam (Ak)s AA

diam (A)s < Hs(S) 1

Hs(S) = 1por lo tanto, como es vlido para todo , al tomar lmites se obtiene que Hs(S) = 1. !Por lo tanto la dimensin Hausdorff del tringulo de Sierpinski es ln(3)/ ln(2) 1.58 y como enla proposicin 12 se vi que ind S = 1, se tiene que el tringulo de Sierpinski es un fractal. Estamedida depende de la mtrica que se use, de hecho en [3] se prueba que la medida anterior deltringulo con vrtices (0,0), (1,0) y (0,1) con la mtrica eucldea es

3, dndonos una referencia de

su tamao.

Teorema 36. Sea s cualquier nmero real positivo. Existe un espacio mtrico S con dim S = s.Demostracin. Tome 0 < r0 < 1 y r1 = (1 (r0)s)1/s. Es claro que rs0 + rs1 = 1 y la lista de razones(r0, r1) es contractiva. Considere E() como espacio de hileras infinitas sobre el alfabeto de dosletras E = {0, 1}. Defina diam [0] = r0, diam [1] = r1 y para E(), diam [0] = r0 diam []y diam [1] = r1 diam [], con esto se define una mtrica en E(). Para definir los pesos en cadano-do se toma w = (diam [])s. Note que:

w = 1 = rs0 + rs1 = w0 + w1

w = w (rs0 + rs1) = wr

s0 + wr

s1 = w0 +w1

Con esto se define una medida M y se cumplen todas las hiptesis del teorema 32 por lo queM(E()) = Hs(B) = 1 as dim(E()) = s. !Teorema 37. Dada la lista contractiva de razones (r1, r2, , rn) y s su dimensin de semejanza, entoncesexiste un espacio de hileras y una mtrica sobre l tal que su dimensin Hausdorff es igual a s.


Corolario 7. Sea K el conjunto invariante de la realizacin en un espacio mtrico completo S de una lista derazones contractivas con dimensin s. Entonces dimK s.Demostracin. De la proposicin 8, se sabe que h : E() S tiene crecimiento acotado. El resultadose obtiene de la proposicin 15. !

Con el resultado anterior se tiene una cota superior para la dimensin Hausdorff. La siguientedefinicin da una condicin para que esta sea a la vez una cota inferior, y as obtener la igualdad.

Se dice que el sistema iterado de funciones ( f1, f2, , fn) satisfacela condicin de conjunto abierto de Morn si y solo si existe unconjunto abierto no vaco U para el cual se cumple que fi[U] fj[U] = para i *= j y fi[U] U para todo i.

Como ejemplos considere el conjunto de Cantor C y el tringulo de Sierpinski S: las semejanzasdel primero son f0(x)

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