Sistemas e Sinais (LEIC) Anlise em FrequnciaCarlos Cardeira

Anlise em Frequncia

At agora a anlise que temos feito tem o tempo como domnio.

As sadas podiam ser funes no tempo correspondentes a sinais discretos ou contnuos ou mesmo sequncias de eventos.

Na anlise em frequncia, vamos ver os sinais no como funes do tempo mas sim como combinaes de sinusoides

A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as sries de Fourrier

Anlise em Frequncia

As sries de Fourier permitem definiorqualquer funo peridica como combinaes de sinusoides.

A representao de sinais peridicos atravsde sinusoides est tambm na base de muitostrabalhos de compresso de sinais.

Em sistemas lineares, se um sinal de entrada uma sinusoide de determinada frequncia, a sada uma sinusoide da mesma frequncia (a amplitude e a fase que podero variar).

Anlise em Frequncia

Um LTI pode ser caracterizado no tempo atravs da resposta impulsiva e tambm na frequncia atravs da resposta em frequncia.

Veremos que a resposta em frequncia a transformada de Fourrier da resposta impulsiva.

As respostas no tempo e na frequncia esto relacionadas.

Exponenciais complexas

A melhor forma de estudar sinusoides atravs das exponenciais complexas.

O apendice B apresenta um resumo dos sinais complexos, que deve ser lido para relembrar conceitos.

Sinusoides

Como vimos nos captulos introdutrios vimos como as sinusoides representam sons.

Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota msical definida.

O argumento de um sinal um ngulo.

Um ngulo mede-se em radianos.

2pi tem unidades radianos, t em segundos e a frequncia mede-se em ciclos por segundo (Hz). Ciclos adimensional pelo que o resultado em radianos.

Sinusoides

sin (wt) uma representao mais simples. W=2 x pi x f, e mede-se em radianos por segundo.

Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w em radianos por amostra.

O resultado final tem que dar sempre em radianos de modo a poder ser um argumento do som.

Em Matllab fcil ver as formas sinousoides dos sons e ouvi-las.

Para quem sabe de msica, fcil fazer uma escala musical.

Sinusoides

A soma de duas sinusoides no se parece com uma sinusoide.

No entanto, a partir da soma das sinusoides possvel recuperar cada uma das suas componentes.

Sinusoides e sons

Os ouvidos conseguem distinguir sons de frequncias diferentes.

Os ouvidos no so sensveis a diferenas de fase no sinal.

sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da mesma forma.

Um atraso num sinal sinusoidal pode ser representado por um desvio de fase. Nem todos os sinais tm esta caracterstica.

Sinusoides e sons

Se tivermos um som composto por vrias sinusoides e formos mudando a fase de um deles, a forma do sinal pode variar bastante mas o sinal ouvido o mesmo.

Em imagens, qualquer diferena de fase imediatamente reconhecida

Sinusoides e Imagens

No lab j vimos imagens que poderiam ser representadas por sinusoides.

Existe agora uma frequncia vertcial e uma frequencia horizontal que se mede em ciclos por amostra.

As diferenas de fase so imediatamente reconhecidas.

Jpeg uma representao da imagem em que se apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides.

Espectro Rdio

Onda mdia vai de 535 a 1705 kHz com 10 Khz de largura de banda

FM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de banda

TV analgica tem 6 Mhz de largura de banda

Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria possvel transmitir muito mais canais.

Espectro Rdio

A potncia de emisso limitada. Como a potncia do sinal decai com o quadrado da

distncia, a mesma frequncia pode ser reutilizada noutro local.

Em ferquencias elevadas a queda de sinal com a distncia ainda mais notria.

As antenas de telemveis usam frequncias elevadas e so em grande nmero (tipicamente, uma em cada 2 km).

Como o alcance reduzido, podem repetir a mesma frequncia alguns kilmetros depois.

Quando se muda de estao h um protocolo complexo (uma mquina de estados) para que as frequncias mudem sem que o utilizador se aperceba.

Sinais Peridicos

Sistemas contnuos:

Um sinal periodico de periodo p se:

)()(, tfptfRt

Sinais Peridicos e Sinusoides

Sistemas discretos:

Um sinal periodico de periodo p se:

)()(, nfpnfInteirosn

Sinais Peridicos

Em sistemas contnuos o periodo pode ter qualquer valor real (0.47 por exemplo).

Em sistemas discretos o periodo apenas assumir valores inteiros uma vez que p+n tem que continuar a pertencer ao domnio de f.

Frequncia fundamental

Se um sinal tiver perodo p chama-se frequencia fundamental ao valor 2pi/p

A frequncia fundamental mede-se em radianos/s uma vez que o perodo se mede em segundos

pw

20

Frequncia fundamental

Sinais com a mesma frequncia fundamental

Teorema fundamental

Qualquer sinal peridico pode ser decomposto numa soma de sinusoides mltiplas da frequncia fundamental.

Frequncia fundamental e harmnicas

A primeira sinuside a da frequncia fundamental.

s sinusoides multiplas desta, chamam-se harmnicas.

As harmnicas tem frequncias multiplas da frequencia fundamental e tm amplitudes e fases diferentes.

A0 a componente DC do sinal (o valor mdio do sinal)

Harmnicas

As ondas triangulares como as quadradas apresentadas anteriormente (ou qualquer outro sinal peridico com a mesma frequncia fundamental) podem ser representados pela soma de sinusoides, com as mesmas frequncias embora as amplitudes e fases de cada harmnica sejam naturalmente diferentes.

Exemplos

Exemplos

Sistemas Lineares

Os sistemas lineares no alteram a frequncia do sinal, podem apenas mudar a amplitude e a fase.

Por exemplo, uma estao de emisso de rdio no linear porque o sinal de voz no tem a mesma frequncia do sinal de emisso.

Sinais Finitos

f(t)

g(t)

p

p p p

n

nptgtfRt )(

Sinais finitos

Seja f(t) um sinal finito (domnio finito) qualquer

Seja g(t) a sua replicao infinita

g(t) peridico e pode ser representado por uma srie de Fourier. O que quer dizer que a srie de Fourier tambm representar o sinal f no seu domnio

n

nptgtfRt )(

Significado de A0

Consideremos o desenvolvimento em srie de fourier de um sinal:

Integrando ao longo de um perodo:

Ou seja, A0 o valor mdio do sinal

1

00 )cos()(k

kk tkwAAtf

pAdttkwAA

pa

a k

kk 0

1

00 )cos(

Exponenciais Complexas

jj

jj

eej

ee

2

1sin

2

1

2

1cos

Apndice B

Srie de Fourier na forma exponencial

0 if5.0

0 if5.0

0 if

2)(

0

1

)()(

0

0

00

keA

keA

kA

kXeX

eeA

Atf

k

k

kk

j

k

j

k

k

tjkw

k

k

tkwjtkwjk

Sinais reais

Suponhamos que o sinal real

Xk e X-k so necessariamente complexos conjugados

kX

kX

k

0 if5.0

0 if5.0

0 if0

keA

keA

kA

kX

k

k

j

k

j

k

Tempo Discreto

Se f : inteiros reais for um sinal peridico (p>0 inteiros) e w0=2pi/p (rad/amostra):

2

1

00 )cos()(

p

k

kk nkwAAnf

Tempo Discreto

As unidades passam a radianos por amostra.

A soma finita. O nmero de harmnicas metade do perodo.

Porqu p/2 ?

Frequncia mxima

Num sinal discreto a frequncia mxima que se pode obter pi rad/s (so necessrias 2 amostras para dar a volta completa)

Sinais Discretos

A vantagem que com uma srie finita se consegue a representao exacta de qualquer sinal.

A frequncia mxima que se pode obter corresponde a metade da frequncia de amostragem.

Em CDs a frequencia de amostragem de 44 Khz o que permite ouvir frequncias at 22 Khz. No telefone a frequncia de 8Khz o que indica que nunca se poder ouvir um som de frequncia superior a 4 Khz.

Exemplos

O sinal peridico O perodo 1/10 s Wo=2xpi/p=20pi

A0= 0 A1=1 phi1=0 A2=0 phi2=0 A5=1

)102cos()502cos()( tttxt

1

00 )cos()(k

kk tkwAAtf

Exemplos

O sinal no peridico porque no h um mnimo mltiplo comum para os perodos

)32cos()2cos()( tttxRt

Exemplos

Exemplos

Representao em srie de Fourier

Qualquer sinal peridico pode ser representado pela srie de Fourier (uma fundamental e as suas harmnicas).

Pode-se fazer compresso da informao se em vez de se enviar o sinal no tempo, se enviarem apenas os coeficientes da srie de Fourier.

Sinais Aperidicos

Um sinal de voz tipicamente aperidico.

Pode-se pegar em troos do sinal (por exemplo 16 ms) e calcular a srie de Fourier associada.

Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da Srie de Fourier com ganhos de compresso.

O mesmo princpio aplicado a imagens est na origem do formato jpeg

Lab

Mostra-se a decomposio em srie de Fourier de vrios sinais.

O clculo dos coeficientes dado no enunciado.

Mostra-se a representao dos sinais em frequncia e no tempo.