Fourier Donusumleri Ve Kismi Turevli Denklemler Fourier Transforms and Partial Differential...

8/3/2019 Fourier Donusumleri Ve Kismi Turevli Denklemler Fourier Transforms and Partial Differential Equations

http://slidepdf.com/reader/full/fourier-donusumleri-ve-kismi-turevli-denklemler-fourier-transforms-and-partial 1/52

FOURIER DÖNÜŞÜMLER

VE

KISM TÜREVL DENKLEMLER

Özcan DÖNMEZER

Matematik Anabilim DalıYüksek Lisans Tezi

2005



FOURIER TRANSFORMS

AND

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Özcan DÖNMEZER

Department of Mathematics

Thesis for Master Degree

2005



FOURIER DÖNÜŞÜMLER

VE

KISM TÜREVL DENKLEMLER

Özcan DÖNMEZER

Osmangazi Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca

Matematik Anabilim Dalı

Uygulamalı Matematik Dalında

Yüksek Lisans Tezi

Olarak Hazırlanmıştır.

Danışman: Doç Dr. M. Naci Özer

Temmuz 2005



Özcan DÖNMEZER in yüksek lisans tezi olarak hazırladığı“FOURIER DÖNÜŞÜMLER

VE KISM TÜREVL DENKLEMLER ” başlıklı bu çalışma jürimizce lisans üstü yönetmeliğinin ilgili maddeleriuyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir.

Üye: Doç. Dr. M. Naci ÖZER

Üye: Yrd. Doç. Dr. Bülent SAKA

Üye: Yrd. Doç. Dr. Filiz TAŞCAN

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu

nun ............................ gün

ve ..................................... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Abdurrahman KARAMANCIOĞLU

Enstitü Müdürü



ÖZET

Fourier in yapmış olduğu çalışmalar, uygulamalı matematik alanında önemli bir yer tutar.Fourier serileri, adi ve kısmi türevli denklemleri içeren problemlerin çözümünde,elektromagnetik teorisinde, akustikte, ısı akımında, matematik ve fiziğin bir çok alanındakullanılmaktadır.

Bugün uygulamalı Matematik, Fizik ve Mühendislik problemlerinde çok kullanılan bir yöntem de integral dönüşümleridir. Bunların önemli bir bölümünü Fourier dönüşümlerioluşturur. Fourier dönüşümü, integrallerin hesabı, serilerin toplanması, kısmi türevli diferensiyeldenklemlerin sınır değer problemlerinin çözümleri gibi modern bilimin uygulamalarında sıkçakullanılmaktadır.

Bu tez çalışmasının 1. bölümünde periyodik fonksiyonların tanımı ve özelikleri, Fourier serileri, Fourier kosinüs ve Fourier sinüs serileri ve kompleks fourier serilerinin tanımlarıverilmiş ve bunlarla ilgili örnekler çözülmüştür. Ayrıca Mathematica paket programı ile, verilen

bir fonksiyonun Fourier katsayıları ve Fourier seri açılımı bulunmuştur 2. bölümde ise, Fourier ntegralinin bulunması, Fourier integralinin kompleks şekli, tek ve

çift fonksiyonlar için Fourier integrali incelenmiştir. Ayrıca Fourier dönüşümlerinin, Fourier

sinüs ve Fourier kosinüs dönüşümlerinin tanım ve özellikleri örneklerle açıklanmıştır.Mathematica programı ile de Fourier dönüşümleri yapılmıştır.Son bölümde, kısmi diferensiyel denklemlerin sınır değer problemlerinin Fourier dönüşümü

ile çözümleri bulunmaktadır.Tezde Mathematica5.0 versiyonu kullanılmıştır. Tezin içeriğinde kullanılan Mathematica

hesapları bir disket halinde arka kapaktadır..

SUMMARY

The studies that Fourier had done takes important place in applied mathematics. Fourier series are used in the problems which contain ordinary and partial differential equations,electromagnetic theory, acoustic, heat problems and also most part of mathematics and physics.

In current time, another method which used in applied mathematics and physics is integraltransformations. The Fourier transforms are big part of them. Fourier tranforms are being used,frequently in calculation integrals, sum of series, solving boundary value problems of partialdifferential equations.

In the first chapter of this thesis study, description and properties of periodic functions,Fourier series, Fourier cosinüs and Fourier sinüs series and description of complex Fourier seriesare given and examples about these are solved. Furthermore, Fourier coefficients and Fourier series expansions of a function that is given with Mathematica program has been found.

In the second chapter, finding Fourier integrals, complex forms of Fourier integrals, odd andeven functions for Fourier integrals are examined. Also, Fourier transforms, Fourier sinüs andFourier cosinüs transforms, description and properties are explained with examples. And alsoFourier transform calculations have been done by Mathematica program.

In the last chapter, boundary value problems have solved by Fourier transforms.In thesis, Mathematica5.0 has been used. The mathematica calculations which have been

used in this thesis were given as a disk at the back front of the material.



TEŞEKKÜR

Yüksek Lisans çalışmalarımın her aşamasında bana rehberlik eden, büyük yardımlarını vedesteklerini gördüğüm değerli tez danışmanım;

Doç.Dr.M. Naci ÖZER’esonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Eskişehir, 2005Özcan DÖNMEZER



Fourier SerileriGiriş

Bu bölümde, Fourier serileri hakkında genel bilgilerle bazı temel özellikler verilecek, Fourier

katsayılarının bulunması, Fourier sinüs ve kosinüs serileri ve kompleks Fourier serileriincenelecektir. Ayrıca Mathematica paket programı yardımıyla örneklerde verilenfonksiyonların Fourier katsayıları bulunup seri açılımları yapılacaktır.

Fourier serilerine geçmeden önce periyodik fonksiyonları tanımlayarak bazı özellikleriniverelim.

Periyodik Fonksiyonlar Herhangi bir f x fonksiyonunda, her x için,

f x L f x

eşitliği sağlanıyorsa, f x fonksiyonuna periyodik fonksiyon ve L değerine de periyod denir.Örnek 1.1: sin x sin x 2 sin x 4 sin x 6 . . . olduğundan ”sin x"

fonksiyonu k 1,2,. . için 2, 4, 6, . . . , 2k periyodlarına sahip olan periyodik bir fonksiyondur.

Periyodik Fonksiyonların Bazı Özellikleri f periyodik bir fonksiyon f x L f x olsun.

1)a L/2

a L/2

Þ f xdx

L/2

L/2

Þ f xdx

dir. a L/2 alınısa,

0

L

Þ f xdx

L/2

L/2

Þ f xdx

bulunur.

2) L

L x

Þ f xdx

0

x

Þ f xdx,

3) g x

0

x

Þ f udu ise L/2

L/2

Þ f xdx 0 olduğunda

g x L g x dir.

4)c

c L

Þ f xdx

0

L

Þ f xdx dir.

Fourier Serileri2 L periyodlu bir f x fonksiyonunun, Fourier serileri veya Fourier açılımları,

a02

Ý

n1 an cos n x

L bn sin n x

L 1.2.1

şeklindeki bir trigonometrik seri ile tanımlanır, a0, an ve bn (n 1,2,.. . Fourier katsayılarıolarak adlandırılır.

f x fonksiyonu 2 L periyodlu, L, L aralığında tanımlanmış bir fonksiyon olsun. f x

fonksiyonunun (1.2.1)şeklinde bir Fourier serisine açılabilmesi için aşağıdaki Dirichletşartlarını sağlaması gerekir:

a) f x fonksiyonu, L, L aralığında sürekli veya parçalı süreklidir.b) f x fonksiyonunun bir periyod içindeki maksimum ve minimumları sonlu sayıda olmalıdır

( f x türevi parçalı sürekli olabilir ).c) f x fonksiyonunun bir periyod aralığındaki mutlak integrali,



Þ | f x|dx sonlu Ý

olmalıdır.Dirichlet Teoremi

, aralığında tanımlanan 2 periyodlu f x fonksiyonu , Dirichlet şartlarını sağlıyorsa,, aralığında (1.2.1) Fourier serisine açılabilir ve Fourier serisi,

1) f x fonksiyonunun sürekli olduğu noktalarda (aralığın içinde) f x fonksiyonunayakınsak,

2) f x fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalarda, f x 0 f x 0

2değerine yakınsak,

3) Aralığın x , x uç noktalarında, f 0 f 0

2

değerine eşit olur.Böylece f x fonksiyonunun Fourier serisi,

f x a0

2

n1

Ý

an cosnx bn sin nx 1.2.2

şeklinde gösterilir.Fourier Katsayılarının Hesaplanması

Bu kısımda Fourier katsayılarını hesaplayacağız.a0 Katsayısının Hesabı

(1.2.2) serisinin her iki tarafının , aralığında integrali alınırsa,

Þ f xdx

Þ a0

2

Ý

n1

an cosnx bn sin nx dx

Þ a0

2dx

ÞÝ

n1

an cosnx bn sinnxdx

a0

2x

a0

olduğundan, a0 katsayısı,

a0 1

Þ f xdx 1.2.3

olarak bulunur.an Katsayısının Hesabı

(1.2.2) serisinin her iki tarafını cosnx ile çarpar ve , aralığında integralini alırsak,



Þ f xcosnxdx

Þ a0

2

Ý

n1

an cosnx bn sin nx cosnxdx

Þ a0

2cosnxdx

ÞÝ

n1

an cosnx cosnxdx

ÞÝ

n1

bn sin nx cosnxdx

Þ a0

2cosnxdx

Ý

n1

Þ an cosnx cosnxdx

Ý

n1

0

Þ bn sinnx cosnxdx

Ý

n1

Þ an cosnx cosnxdx

an

2x

an

olduğundan, an katsayısını,

an 1

Þ f xcosnxdx 1.2.4

olarak buluruz. bn Katsayısının Hesabı

Benzer şekilde, (1.2.2) serisinin her iki tarafını sin nx ile çarpar ve , aralığındaintegralini alırsak, bn katsayısı,

bn 1

Þ f x sin nxdx 1.2.5

olarak bulunur. Böylece (1.2.2) Fourier serisinde, katsayılar n 0,1,2,... için,

a0 1

Þ f xdx , an 1

Þ f xcosnxdx,

bn 1

Þ f x sinnxdx , 1.2.6

olarak bulunur.Ayrıca Fourier katsayılarını ve Fourier serisini Mathematica paket programı yardımı ile de

bulabiliriz. Fourier katsayıları ve Fourier serisinin bulunması için kullanılan Mathematicakomutları şu şekildedir.

FourierCoefficient[expr,x,n]

x 12 ile x

12 aralığında,

exp r periyodik fonksiyonunun

üstel seri açılımında n. katsayı



FourierSinCoefficient[expr,x,n] sinüs seri açılımında n. katsayı

FourierCosCoefficient[expr,x,n] kosinüs seri açılımında n. katsayı

FourierSeries[expr,x,k]

x 12

ile x 12

aralığında,

expr periyodik fonksiyonunun

k.mertebeden üstel seri açılımı

FourierTrigSeries[expr,x,k] k.mertebeden trigonometrik seri açılımı

FourierParameters-{a,b}

fonksiyonun periyodu

|b|

21a

Ý

Ý

Þ f xe ibuxdx

Örnek 1.2: (Şekil 1.1) de verilen , aralığında tanımlanmış 2 periyodlu f x xfonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.

x

f(x)

¡ ¢

- ¡

Sekil 1.1

Çözüm 1.2: Verilen fonksiyon , aralığında sürekli, fakat uç noktalarda süreksizdir. Bunoktalarda f x fonksiyonu,

f f 0 f 0

2

2 0

f 0

değerlerini alır ve Fourier katsayıları,

a0 1

Þ xdx 0 , an 1

Þ x cosnxdx 0

bn 1

Þ x sinnxdx 2n cosn 1n 2n

dir. Böylece, f x fonksiyonunun Fourier seri açılımı,

f x x 2 sin x sin2 x2

sin3 x

3 sin4 x

4. . . , x

olarak bulunur. x için seri f x fonksiyonunun değerine değil de, f x fonksiyonunun sağdanve soldan aldığı değerlerin aritmetik ortalamasına, yani yukarıda bulduğumuz gibi sıfıra yaklaşır.

x için serinin her terimi sıfırdır. f f 0Şimdi , aralığında tanımlanmış 2 periyodlu f x x fonksiyonunun Fourier

katsayılarını ve trigonometrik Fourier serisini Mathematica programı ile bulalım.Önce Calculus‘FourierTransform‘ komut paketi yüklenmelidir. Calculus‘FourierTransform‘f x



xFonksiyonun grafiğini Plot komutu ile çizdirelim.a1 Plot[x 2 Pi, {x, -3 Pi, -Pi}, DisplayFunction - Identity];a2 Plot[x, {x, -Pi, Pi}, DisplayFunction - Identity];a3 Plot[x - 2Pi, {x, Pi, 3Pi}, DisplayFunction - Identity];

grfk Show[a1, a2, a3, DisplayFunction - $DisplayFunction,AspectRatio - Automatic];

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-3

-2

-1

1

2

3

f x x fonksiyonunun ilk katsayılarını FourierCoefficient, FourierCosCoefficient,FourierSinCoefficient komutları yardımıyla bulalım.

FourierCoefficient[f, x, 0, FourierParameters -

{0, 1/(2Pi)}]0FourierCosCoefficient[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0FourierCosCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0FourierCosCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0an katsayısı,FourierCosCoefficient[f, x, n, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0dır.

FourierSinCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]2FourierSinCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]-1bn katsayısı,FourierSinCoefficient[f, x, n, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

−2H− 1Ln

n

bulunur. f x x fonksiyonunun trigonometrik Fourier serisini bulabilmek içinFourierTrigSeries komutunu kullanacağız. Seri açılımının ilk terimi,

FourierTrigSeries[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0

bulunur. lk iki terim toplamı,FourierTrigSeries[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]2 Sin[x]şeklindedir. n 1,2, . . . için seri toplamını elde edebilirizFourierTrigSeries[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]2 Sin[x] - Sin[2 x]FourierTrigSeries[f, x, 3, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

2 Sin@xD− Sin@2 xD +2

3Sin@3 xD

Fourier Kosinüs Ve Fourier Sinüs Serileri



Tek Ve Çift Fonksiyonlar Bir f x fonksiyonu a, a aralığında1. f x f x ise, f x fonksiyonuna tek fonksiyon denir ve

a

a

Þ f xdx 0

dir. Örneğin, x3, x3 3 x3,sin x,tan3 x. . . fonksiyonları tek fonksiyondur.2. f x f x ise, f x fonksiyonuna çift fonksiyon denir ve

a

a

Þ f xdx 2

0

a

Þ f xdx

dir. Örneğin, x4, 2 x6 4 x2

5,cos x, e x e x, . . . fonksiyonları çift fonksiyondur.

Fourier Kosinüs Serisi f x fonksiyonu çift fonksiyon ise, Fourier katsayıları,

a0 2

0Þf xdx , an

2

0Þf xcosnxdx , bn 0

olarak bulunur. Çift fonksiyonun Fourier serisi,

f x a0

2

n1

Ý

an cosnx 1.3.1

şeklindedir. Bu seriye Fourier kosinüs serisi denir. Çift fonksiyonun Fourier serisinde yalnızkosinüs terimleri ( veya kosinüs terimi olarak alabileceğimiz bir sabit) bulunur.

Fourier Sinüs Serisi f x fonksiyonu tek fonksiyon ise, Fourier katsayıları,

a0

0 , an

0 , bn

2

0Þ f x sinnxdx

olarak bulunur. Tek fonksiyonun Fourier serisi,

f x

n1

Ý

bn sin nx 1.3.2

şeklindedir. Bu seriye Fourier sinüs serisi denir. Tek fonksiyonun Fourier serisinde yalnız sinüsterimleri bulunur.

Örnek 1.3: , aralığında,

f x

1, x 0

1, 0 x

0, x 0, x

şeklinde tanımlanan 2 periyodlu fonksiyonun Fourier serisini bulunuz.Çözüm 1.3: f x f x eşitliği sağlandığından, f x fonksiyonu tek fonksiyondur (orijine

göre simetrik). Buna göre Fourier serisi,

f x

n1

Ý

bn sinnx

şeklinde olmalıdır. Fourier katsayıları,



a0 0 , an 0

bn 2

0

Þ 1.sinnxdx 2 1 1n

0, n çift ise4 , n tek ise

olarak bulunur. O halde f x fonksiyonunun Fourier seri açılımı, f x

4 sin x

sin3 x3

. . . sin2n 1 x

2n 1. . .

bulunur.Örnek 1.4: (Şekil 1.2) de verilen , aralığında tanımlanmış 2 peryodlu f x | x|

fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz.

x

f(x)

¡ ¡

Sekil 1.2

Çözüm 1.4: f x f x olduğundan, f x fonksiyonu çift fonksiyondur (O y eksenine göresimetrik). f x x fonksiyonunu 0, aralığında kosinüs serisine açalım.

| x| a0

2

Ý

n1

an cosnx

olacaktır. Fourier katsayıları,

a0 2

0

Þ xdx

an 2

0

Þ x cosnxdx 2n2 1n 1

0, n çift ise

42k 12

n 2k 1

k 1,2,.. .

olarak hesaplanır. Böylece;

| x| 2 4 cos x cos3 x

32 . . . cos2k 1 x2k 1

2 . . .

elde edilir. Bu seride x 0 için f 0 0 olduğundan,

2 8 1

19

1

25. . .

eşitliği bulunur. f x fonksiyonunun grafiğini çizerek, Fourier katsayılarını ve trigonometrik Fourier serisini

Mathematica paket programı ile hesaplayalım. Calculus‘FourierTransform‘f Abs[x]Abs[x]b1 Plot[Abs[x 2 Pi], {x, -3 Pi, -Pi}, DisplayFunction - Identity];b2 Plot[Abs[x], {x, -Pi, Pi}, DisplayFunction - Identity];



b3 Plot[Abs[x - 2 Pi], {x, Pi, 3Pi}, DisplayFunction - Identity];grfk Show[b1, b2, b3, DisplayFunction - $DisplayFunction, AspectRatio -Automatic];

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.51

1.52

2.53

Sinüs seri açılımındaki katsayılar sıra ile,FourierSinCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0FourierSinCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0FourierSinCoefficient[f, x, n, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0şeklindedir. Görüldüğü gibi bn katsayıları 0 dır. Buradan seri açılımında sinüslü terim

olmadığını anlıyoruz. Kosinüs seri açılımındaki katsayılar sıra ile,FourierCosCoefficient[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

π

2

FourierCosCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

−4

π

FourierCosCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]0FourierCosCoefficient[f, x, 3, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

−4

9 π

dır. an katsayısı,FourierCosCoefficient[f, x, n, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

2H− 1 +H− 1LnLn2 π

olarak bulunur. Trigonometrik Fourier serisinin terim terim toplamı aşağıdaki gibidir.FourierTrigSeries[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

π

2

FourierTrigSeries[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

π

2−

4 Cos@xD

π


π

2−

4 Cos@xDπ




π

2−

4 Cos@xDπ

−4 Cos@3 xD

9 π


π

2−

4 Cos

@x

Dπ

−

4 Cos

@3 x

D9 π

−

4 Cos

@5 x

D25 π

Yarım Aralıkta Fourier Sinüs ve Fourier Kosinüs SerileriBir yarım aralıkta Fourier sinüs veya kosinüs serisinde sadece sinüs terimleri veya sadece

kosinüs terimleri bulunur. Bir fonksiyona yarım aralıkta karşılık gelen Fourier serisi istenirse,fonksiyon genel olarak (0,) aralığında tanımlanır ve tek veya çift olarak sınıflandırılır. Böylecearalığın diğer yarısı olan (-,0) aralığında da tanımlanmış olur. Verilen aralığa göre Fourier katsayılarını bulalım.

I. (-, aralığında Fourier açılımı için Fourier katsayıları,

a0 1

2

Þf xdx

an 1

Þ f xcosnxdx

bn 1

Þ f x sinnxdx

formülleri ile hesaplanır. Eğer f x çift fonksiyon ise, yine , aralığında n 1,2,...içinFourier katsayıları ,

a0 1

0Þf xdx,

an 2

0

Þ f xcosnxdx,

bn 0,

olacaktır.Eğer f x tek fonksiyon ise , , aralığında n 1,2, . . . için Fourier katsayıları,

a0 0,

an 0,

bn 2

0

Þ f x sinnxdx,

olacaktır.II. Eğer verilen fonksiyonun 0, 2 aralığındaki Fourier seri açılımı isteniyorsa, Fourier

katsayıları,



a0 1

2

2

0

Þ f xdx

an 1

2

0

Þ f xcosnxdx

bn 1

2

0

Þ f x sin nxdx

olarak bulunur.III. Aralık 0,2 L olduğu zaman, Fourier katsayılarını bulmak için

x L

değişkendeğiştirmesi yapılır. Bu durumda f x ve 0 2 alınarak,

a0

Ý

n1

an cosn bn sinn 1.3.3

bulunur. Burada,

an 1

2

0

Þ .cosn. d

bn 1

2

0

Þ .sinn.d

şeklinde tanımlanmaktadır. x L

ifadesini (1.3.3) denkleminde yerine yazdığımızda, Fourier katsayıları,

a0

1

2 L

2 L

0Þ f xdx

an 1

L

2 L

0

Þ f x.cos n x L

. dx

bn 1

L

2 L

0

Þ f x.sin n x L

.dx

ve böylece Fourier serisi ,

f x

a0

Ý

n1 an cos

n x

L

bn sin

n x

L

olarak bulunur.IV. Aralık L, L olduğu zaman, Fourier katsayılarını bulmak için yine

x L

değişkendeğiştirmesi yapılır. Bu durumda Fourier katsayıları,



a0 1

2 L

L

L

Þ f xdx,

an 1

L

L

L

Þ f xcos n x

L

dx,

bn 1

L

L

L

Þ f x sin n x L

dx,

bulunur. Eğer fonksiyon çift ise, Fourier katsayıları,

a0 1

L

L

0

Þ f xdx,

an 2

L

L

0

Þ f xcos n x L

dx,

bn 0,

fonksiyon tek ise, Fourier katsayıları,

a0 0,

an 0,

bn 2

L

L

0

Þ f x sin n x L

dx,

olarak bulunur.

V. Aralık C ,C

2 L ise, Fourier katsayıları,

a0 1

2 L

C 2 L

C

Þ f xdx,

an 1

L

C 2 L

C

Þ f xcos n x L

dx,

bn 1

L

C 2 L

C

Þ f x sin n x L

dx,

şeklinde hesaplanır.Örnek 1.5: 0, aralığındaki f x x2 fonksiyonunun Fourier sinüs ve Fourier kosinüs seri

açılımlarını bulunuz.Çözüm 1.5:i f x x2 fonksiyonunun orijine göre simetriğini alarak (-, 0 aralığına uzatırsak, (-,

aralığında 2 periyodlu tek fonksiyon elde etmiş oluruz. Bu fonksiyonun Fourier katsayıları,

a0 0 , an 0 , bn 2

0

Þ x2 sin nxdx 21n

n 41n 1

n3

olduğundan, Fourier sinüs serisi,

x2 2 sin x

1

sin2 x

2

sin3 x

3

. . . 8

sin x

13

sin3 x

33

. . .

şeklindedir. Görüldüğü gibi x 0 , x de fonksiyonun ve serinin değeri sıfırdır. ( x



süreksizlik noktası )ii f x x2 fonksiyonunun Oy eksenine göre simetriğini alarak (-, 0 aralığına uzatalım.

Fonksiyon çift olduğundan, Fourier kosinüs serisine açılır. Fourier katsayıları,

a0 2

0

Þ x2dx 22

3, an

2

0

Þ x2 cosnxdx 1n 4n2 , bn 0

şeklinde bulunur ve Fourier serisi,

x2

2

3 4

Ý

n1

1n cosnxn2

olarak elde edilir. x 0 için serinin toplamı f 0 0 olduğundan,

2

12 1 1

4

19 1

16. . .

olarak bulunur.

Kompleks Fourier Serileri

Fourier serisinde, trigonometrik fonksiyonlar yerine üstel kompleks eşlenik fonksiyonlarıkullanarak seri açılımlarını basitleştirebiliriz.

f x a0

2

Ý

n1

an cosnx bn sin nx 1.4.1

Fourier serisini üstel şekle getirmek için,

e inx cosnx i sin nx

einx cosnx i sin nx

1.4.2

1.4.3

değerlerini kullanalım. (1.4.2) ve (1.4.3) denklemlerini taraf tarafa toplar ve 2 ile bölersek,

cosnx 12

e inx einx 1.4.4

elde ederiz. (1.4.2) ve (1.4.3) denklemlerini taraf tarafa çıkarır ve 2i ile bölersek,

sin nx 12i

einx einx 1.4.5

buluruz. Buradan 1i

i ifadesini kullanarak,

an cosnx bn sin x 12

aneinx

einx 12i

bneinx einx

12

an ibneinx

12

an ibneinx

buluruz. Burada,

cn an ibn

2ve cn

an ibn

21.4.6

yazarsak,an cosnx bn sin x cneinx

cneinx

eşitliğini elde ederiz. Böylece c0 a0

2 diyerek, (1.4.1) trigonometrik Fourier serisinin kompleksşekli,

f x c0

Ý

n1

cne inx cneinx 1.4.7

haline gelir. Burada cn ve cn, (1.4.6) ile verilen an, bn değerlerine bağlı katsayılardır. Sonolarak, (1.4.7) serisi,

f x c0

Ý

n1 cne

inx

1

nÝ cneinx

1.4.8



şeklinde yazılarak,

f x

Ý

nÝ

cne inx

cn 1

2

Þ f xeinxdx

n 0, 1, 2, . . . 1.4.9

elde edilir. Burada. f x fonksiyonuna, kompleks Fourier serisi ve cn ye ise f x fonksiyonununkompleks Fourier katsayısı denir.

2L periyodlu bir fonksiyon için kompleks Fourier serisi ve kompleks Fourier katsayısı,

f x

nÝ

Ý

cne in x/ L

cn 1

2 L

L

L

Þ f xein x/ Ldx

n 0, 1, 2, . . . 1.4.10

şeklindedir.Örnek 1.7: f x e x, x ve f x 2 f x olarak tanımlanan f x fonksiyonunun

kompleks Fourier serisini bulunuz.Çözüm 1.7: (1.4.9) formüllerinden kompleks Fourier katsayısı,

cn 1

2

Þ e xeinxdx 1

21

1 ine1in x

bulunur. Burada cn katsayısının pay ve paydasını 1 in le çarpar ve

e in ein

1n

eşitliğini kullanırsak,

cn 1

2

1 in

1 n2

1ne

e

buluruz. Son olarak 2sinh ifadesini kullanarak f x fonksiyonunun kompleks Fourier serisini,

e x

sinh

nÝ

Ý

1n 1 in1 in2

e inx x

şeklinde elde ederiz. f x fonksiyonunun kompleks Fourier katsayılarını ve üstel Fourier seri açılımını

Mathematica paket programı ile bulalım. Calculus‘FourierTransform‘f Exp[x]

x

c1 Plot[Exp[x 2 Pi], {x, -3 Pi, -Pi}, DisplayFunction - Identity];c2 Plot[Exp[x], {x, -Pi, Pi}, DisplayFunction - Identity];c3 Plot[Exp[x - 2Pi], {x, Pi, 3Pi}, DisplayFunction - Identity];grfk Show[c1, c2, c3, DisplayFunction - $DisplayFunction, AspectRatio -Automatic];



- 7 . 5 - 5 - 2 . 5 2 . 5 5 7 . 5

5

1 0

1 5

2 0

n 0,1,2,... için kompleks Fourier katsayıları,FourierCoefficient[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

−−π

+ π

2 π

FourierCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

−

I 1

2−

2M Sinh@πD

π

FourierCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

I 1

5−

2

5M Sinh@πD

π

FourierCoefficient[f, x, n, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

H− 1LnSinh@πD

H1 + nL π

şeklinde bulunur. Kompleks Fourier seri açılımını bulabilmek için FourierSeries komutunukullanalım,

FourierSeries[f, x, 0, FourierParameters - {-1, 1/(2Pi)}]

− −π

+ π

2 π


− −π

+ π

2 π−

I 1

2−

2M

− xSinh@πD

π−

I 1

2+

2M

xSinh@πD

π


−−π

+π

2π−

I1

2−

2M

−xSinh@πD

π−

I1

2+

2M

xSinh@πD

π+

I1

5−

2

5M

−2xSinh@πD

π+

I1

5+

olarak bulunur.

Örnek 1.8: f x 1, 0 x 1

0, 1 x 2( periyod 2 L 2 ) fonksiyonunun kompleks

Fourier serisini bulunuz.Çözüm 1.8: Fourier katsayıları,



cn 1

2 L

c2 L

c

Þ f xein x/ Ldx

L 1 ve c 0 alınarak,

cn 12

1

0

Þ 1ein xdx

2

1

Þ 0ein xdx

12

1

0

Þ ein xdx

12in

ein x01

1

2in1 ein

bulunur. cn katsayısı , n 0 için c0 00

şeklinde belirsiz bir ifade vermektedir. Bu bakımdan c0

değeri içinn

0 verilerek yeniden hesaplanırsa,

c0 12

a0 1

2 L

c2 L

c

Þ f xdx

olup , L 1 ve c 0 için

c0 12

1

0

Þ 1dx

2

1

Þ 0dx

12

x1

0

12 bulunur. Öyleyse verilen f x fonksiyonunun Kompleks Fourier serisi,

f x

nÝ

Ý

12in

1 einein x

olarak gösterilir veya,

ein cosn i sin n 1n

eşitliği kullanılırsa,

f x

nÝ

Ý

12in

1 1nein x

bulunur.(n 0 için ein x in katsayısı olarak c0 12

alınacak) f x fonksiyonunun kompleks Fourier katsayılarını ve Fourier serisini Mathematica programı

yardımı ile bulalım. Calculus‘FourierTransform‘f If[0 x 1, 1, 0]If[0 x 1, 1, 0]FourierCoefficient[f, x, 0, FourierParameters - {0, 1}]

1

2

FourierCoefficient[f, x, 1, FourierParameters - {0, 1}]



π

FourierCoefficient[f, x, 2, FourierParameters - {0, 1}]0

FourierCoefficient[f, x, n, FourierParameters -

{0, 1}]

− H−1+ H−1LnL

2 nπ

Fourier serisi,FourierSeries[f, x, 0, FourierParameters - {0, 1}]

1

2

FourierSeries[f, x, 1, FourierParameters - {0, 1}]

1

2+

−2 πx

π−

2 πx

π

FourierSeries[f, x, 2, FourierParameters - {0, 1}]

1

2+

−2 πx

π

−

2 πx

π

şeklinde bulunur.

Fourier ntegralleri Ve Fourier DönüşümleriFourier serileri, Dirichlet koşullarını sağlayan periyodik fonksiyonları içeren çeşitli

problemlerin çözümünde güçlü bir araçtır. Birçok mekanik ve elektrik sistemlerde genel periyodik karışıklıklara yanıt bulmayı olanaklı kılar. Diğer yandan, güç ya da voltaj içeren birçok problem (mekanik - elektrik sistemleri v.s.) periyodik değildir. Bu tür fonksiyonlar için Fourier serisini kullanamayız. Fakat verilen bir periyodik fonksiyonun periyodu sonsuza gittiğinde,serinin yaklaştığı limitini (eğer varsa) inceleyerek, periyodik olmayan fonksi- yonların uygun bir gösterimini elde edebiliriz. Bu tür problemleri çözmek için Fourier integralini kullanacağız.Fourier integrali, elektrik kominikas- yonunda, bazı integrallerin hesaplanmasında ve kısmidiferensiyel denklemlerin çözümünde kullanılır. Bu bölümde Fourier integrallerinin bulunması,kompleks Fourier integrali, tek ve çift fonksiyonlar için Fourier integralleri incelenmiştir. Fourier dönüşümlerinin elde edilişine, Fourier sinüs ve kosinüs dönüşümlerine yer verilmiştir. Ayrıcaverilen bir fonksiyonun Fourier dönüşümünün bulunmasında Mathematica paket programındanda yararlanılmıştır.

Fourier ntegralinin Bulunması f x L f x fonksiyonunda, L Ý için , yani ( L peryodu sonsuza giderse) f x

fonksiyonunun periyodikliği ortadan kalkar. O halde Fourier serisini böyle problemlerinçözümünü içerecek şekilde genişletmeliyiz. Örneğin,

L2

x L2

için f x e| x| ve f x L f x ile tanımlanan L periyodlu fonksiyonda, L periyodu sonsuza giderse, bu fonksiyon periyodik olmaz.

O halde f x L f x periyodik fonksiyonunun

f x a0

2

Ý

n1

an cos 2n x L

bn sin 2n x L

2.1.1

Fourier serisini gözönüne alalım. Burada,



a0 2

L

C L

C

Þ f xdx

an 2

L

C L

C

Þ f xcos 2n x

L

dx

bn 2

L

C L

C

Þ f x sin 2n x L

dx

2.1.2

2.1.3

2.1.4

katsayılarında C yi - L2

alırsak,

a0 2

L

L/2

L/2

Þ f xdx

an 2

L

L/2

L/2

Þ f xcos 2n x

L

dx

bn 2

L

L/2

L/2

Þ f x sin 2n x L

dx

2.1.5

2.1.6

2.1.7

elde ederiz, U n 2n L

alır ve a0 , an , bn katsayılarını f x fonksiyonunda yerine yazarsak,

f x 1

L

L/2

L/2

Þ f vdv 2

L

Ý

n1

cos U n x

L/2

L/2

Þ f vcos U nvdv

sin U n x

L/2

L/2Þ f v sin U nvdv 2.1.8

buluruz. U n1 U n U n dersek, U n 2 L

yazılır. Böylece istediğimiz formül,

f x 1

L

L/2

L/2

Þ f vdv 1

Ý

n1

cosU n xU n

L/2

L/2

Þ f vcos U nvdv

sin U n xU n

L/2

L/2

Þ f v sin U nvdv 2.1.9

şeklinde elde edilir. Bu formül sonlu istenildiği kadar büyük L ler için geçerlidir. L yi sonsuza

götürürsek, f x fonksiyonunun periyodikliği ortadan kalkar. O halde,Ý

Ý

Þ | f x |dx integrali varsa ( L sonsuz için)

1 L

L/2

L/2

Þ f vdv integrali sıfıra gider. Aynı zamanda U n 2 L

de sıfıra yaklaşacağından 2.1.9

daki integralin sınırları 0 Ý a olup belirli bir integrali gösterecektir. O halde aradığımızformül,

f x 1

Ý

0

Þ cosux

Ý

Ý

Þ f vcosuvdv sin ux

Ý

Ý

Þ f v sin uvdv du 2.1.10

şeklinde olur. Burada ,



Au

Ý

Ý

Þ f vcos uvdv 2.1.11

ve

Bu

Ý

ÝÞ f v sin uvdv 2.1.12

alınırsa,

f x 1

Ý

0

Þ Aucosux Bu sin uxdu 2.1.13

integrali elde edilir. Bu integrale f x fonksiyonunun Fourier ntegrali denir.

Fourier ntegralinin Kompleks Şekli

Fourier integralini kompleks formda yazabilmek için (2.1.10),

f x 1

Ý

0

Þ cos ux

Ý

Ý

Þ f vcos uvdv sin ux

Ý

Ý

Þ f v sin uvdv du 2.2.1

has olmayan integralini,

f x 1

Ý

0

ÞÝ

Ý

Þ f vcos ux cos uv sin ux sin uvdvdu 2.2.2

biçiminde çift katlı has olmayan integral şeklinde yazabiliriz. Burada,

cosux uv cos u x v cos ux cos uv sin ux sin uv

eşitliğini (2.2.2) denkleminde kullanırsak,

f x 1

Ý

0

ÞÝ

Ý

Þ f vcos u x vdv du 2.2.3

formülünü elde ederiz. Burada cos u x v u değişkenine göre çift fonksiyon olduğundan ,

f x 1

2

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f vcosu x vdv du 2.2.4

yazılabilir. Benzer olarak sin u x v tek fonksiyon olduğundan,

f x

i

2

Ý

ÝÞ

Ý

ÝÞ f v sin u x vdv du

0 2.2.5

yazılabilir. 2.2.4 ve 2.2.5 eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,

f x 1

2

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f ve iu xvdv du 2.2.6

elde edilir. Buna f x fonksiyonunun Fourier integralinin kompleks şekli denir.(2.2.6) ya eşdeğer olarak, eiu xv yerine trigonometrik değeri yazılırsa, f x fonksiyonunun

trigonometrik ifadesi,

f x 1

Ý

0

ÞÝ

Ý

Þ f vcos u x vdv du 2.2.7

şeklinde elde edilir.



Fourier Teoremi f x fonksiyonu, herhangi sonlu bir aralıkta parçalı sürekli, aralığın her noktasında sağdan ve

soldan türevlenebilir olsun veÝ

Ý

Þ | f x|dx

integrali bulunsun. Bu durumda, f x fonksiyonu (2.2.7) Fourier ntegrali ile gösterilebilir.Buna karşılık f x fonksiyonunun süreksizlik noktalarında , f x fonksiyonunun (2.2.7)

Fourier ntegrali, f x fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerinin aritmetik ortalamasınayakınsar.

Bu teoremi daha açık şöyle ifade edebiliriz: f x fonksiyonu her sonlu aralıkta Dirichlet şartları sağlıyor ve Ý, Ý aralığında mutlak

integrallenebilir bir fonksiyon ise (2.2.7) Fourier integrali, f x fonksiyonunun sürekli olduğu her yerde f x değerine ve süreksiz olduğu noktalarda ise sağ ve sol limitlerinin aritmetik ortalamasına eşittir. Yani her x için,

f x 0 f x

02 1

Ý

0Þ

Ý

ÝÞ f vcosu x vdvdu

eşitliği sağlanır. Bu teoreme Fourier teoremi denir.Örnek 2.1:

f x 1 , | x| 1

0 , | x| 1

olarak tanımlanan fonksiyonun Fourier ntegralini bulunuz.Çözüm 2.1: Önce genel formüldeki Au ve Bu değerlerini hesapla- yalım. Bunun için ,

Au

Ý

ÝÞ f vcosuvdv

1

1Þ cosuvdv

1u sin uv

1

1

1u sin u sinu

1u sin u sin u 2 sin u

uve benzer olarak,

Bu

Ý

Ý

Þ f v sin uvdv

1

1

Þ sin uvdv 0

elde edilir. Bu değerler,

f x 1

Ý

0

Þ Aucos ux Bu sin uxdu

formülünde yerine yazılırsa,

f x 1

Ý

0

Þ 2 sin uu cosux 0sinux du

2

Ý

0

Þ sin u cosuxu du

bulunur. f x fonksiyonunun x 1 noktasındaki ortalama değeri,

f 1 1

02 12



olur. Böylece Fourier integrali teoremine göre,

f x 2

Ý

0

Þ sin u cos uxu du

formülünde f x fonksiyonunun yukarıdaki değerini yerine yazarsak,

Ý

0

Þ sin u cos uxu du

2

, 1 x 1 için

4

, x 1 için

0 , x 1, x 1 için

integralinin değeri bulunmuş olur. Bu integrale Dirichletin Süreksizlik Faktörü denilmektedir.Örnek 2.2: Örnek (2.1) i şu şekilde çözülebiliriz. (2.2.7) formülünden,

f x 1

Ý

0

ÞÝ

Ý

Þ f vcos u x vdv du

1

Ý

0

Þ1

1

Þ cos u x vdv du

1

Ý

0

Þ 1u sin u x 1 sin u x 1du

2

Ý

0

Þ sin u cosuxu du

bulunur. Verilen f x fonksiyonunun, x 1 noktasındaki ortalama değeri,

f 1

1 0

2

1

2olduğundan Fourier teoremine göre f x fonksiyonunun Fourier integralinde aynı sonucu buluruz.

Örnek 2.3: (2.1) örneğinden faydalanarak Ý

0

Þ sin uu du

2

olduğunu gösteriniz.Çözüm 2.3: Bunun için, Örnek 2.1. de bulduğumuz,

f x 2

Ý

0

Þ sin u cos uxu du

formülünde, özel olarak x 0 alırsak,

f 0 2

Ý

0

Þ sin uu du

buluruz. f 0, f x fonksiyonunun tanımından,

f 0 1 1

2 1

dir.O halde aradığımız çözüm,

2

Ý

0

Þ sin uu du 1

veya



Ý

0

Þ sin uu du

2

olarak bulunur.

Tek ve Çift Fonksiyonlar çin Fourier ntegraliÇift Fonksiyonun Fourier ntegrali f x fonksiyonunun çift olması halinde,

Au 2

Ý

0

Þ f vcosuvdv 2.4.1

ve

Bu 0 2.4.2

olur. Buna bağlı olarak Fourier ntegrali de,

f x 1

Ý

0ÞAucosuxdx 2.4.3

olarak bulunur.Örnek 2.4: f x ea| x| , a 0 fonksiyonunun Fourier integralini hesaplayınız.Çözüm 2.4: f x ea| x | f x ea| x| f x f x olduğundan, fonksiyon çift

fonksiyondur. O halde Bu 0 dır.

Au 2

Ý

0

Þ eav cos uvdv

ifadesine iki kez kısmi integrasyon uygulanırsa,

Au 2

Ý

0Þ e

av

cosuvdv 2t Ý

lim

t

0Þ e

av

cos uvdv

eav

eavdv d

cosuvduv dw w 1u sin uv

2t Ý

lim

t

0

Þ eav cosuvdv 2t Ý

lim eav

u sin uvt

0

au

t

0

Þ eav sin uvdv

II. kısmi integrasyonla ,

eav

eavdv d

sin uvdv dw w 1u cos uv

2t Ý

lim eav

u sin uv aeav

u2cos uv

t

0

a2

u2

t

0

Þ cos uveavdv

2t Ý

lim

t

0

Þ eav cosuvdv 2t Ýlim u2

u2 a2

eav

u sin uv aeav cosuvu2

0

t

Au 2a

u2 a2

bulunur. Bu değer f x fonksiyonunun Fourier integralinde yerine yazılırsa,



f x ea| x| 2a

Ý

0

Þ cosuxu2

a2du

elde edilir. Böylece,Ý

0Þ cos uxu2

a2 du 2a ea| x|

integralinin değeri bulunmuş olur.Tek Fonksiyonların Fourier ntegrali

f x fonksiyonunun tek fonksiyon olması halinde,

Au 0 2.4.4

ve

Bu 2

Ý

0

Þ f v sin uvdv 2.4.5

olup buna bağlı olarak da f x fonksiyonunun Fourier integrali de,

f x 1

Ý

0

Þ Bu sin uxdx 2.4.6

olarak bulunur.Örnek 2.5: Örnek(2.4)teki f x eax x 0 için fonksiyonun f x f x tek fonksiyon olarak tanımlanması halinde,

Au 0

olur ve

Bu 2

Ý

0Þ eav sin uvdv

has olmayan integralden iki kez kısmi integrasyon uygulamakla,

Bu 2u

u2 a2

bulunur. Bu değer,

f x 1

Ý

0

Þ Bu sin uxdu

formülünde yerine yazılırsa,

f x 1

Ý

0

Þ 2uu2

a2sin uxdu

elde edilir. Buradan da,Ý

0

Þ u sin ux

u2 a2

du 2

eax

integralinin değeri hesaplanmış olur. Burada elde edilen,Ý

0

Þ cos uxu2

a2du

2a

ea| x|

ve



Ý

0

Þ u sin ux

u2 a2

du 2

eax

integrallerine Laplace integralleri denir.

Fourier DönüşümleriFourier dönüşümleri belirli integralin hesabında, serilerin toplanmasında, frekans spektrumun belirlenmesinde (elektrik tekniğinde) ve diferensiyel denklemlerin çözümlerinde kullanılır. Biz burada sadece serilerin toplanması ve belirli integrallerin hesaplanması üzerinde duracağız.Ayrıca Fourier dönüşümlerinin Mathematica paket programı ile hesabına yer vereceğiz.

Fourier Dönüşümlerinin BulunmasıFourier integralinin kompleks şekli,

f x 1

2

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f ve iu xvdv du 2.5.1

dir. Bu integrali aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

f x 1

2Ý

Ý

Þ Ý

Ý

Þ f veiuxeiuvdvdu

1

2

Ý

Ý

Þ e iux

Ý

Ý

Þ f veiuvdv du 2.5.2

Burada,

F u 12

Ý

Ý

Þ f veiuvdv F f x 2.5.3

şeklinde tanımlanan F u fonksiyonuna , f x fonksiyonunun Fourier dönüşümü denir ve bu

integral dönüşümü F f x ile gösterilir. x değişkeninin tüm reel değerleri için tanımlanan f xana fonksiyonu (orijinal fonksiyon), reel veya kompleks olabilir.

F 1 F u sembolü ise, ters operatördür.

f x 12

Ý

Ý

Þ F ue iuxdu F 1 F u 2.5.4

f x fonksiyonuna da F u fonksiyonunun Ters Fourier Dönüşümü denir. (2.5.3) ve (2.5.4)formüllerine Fourier dönüşüm çifti denir.

Örneklere geçmeden önce Mathematica programında Fourier dönüşümü, Fourier sinüs veFourier kosinüs dönüşümü ve ters Fourier dönüşümü için kullanılan komutları verelim.

FourierTransform[expr,x,u] expr nin Fourier dönüşümü

InverseFourierTransform[expr,u,x] expr nin ters Fourier dönüşümü

FourierSinTransform[expr,x,u] Fourier sinüs dönüşümü

FourierCosTransform[expr,x,u] Fourier kosinüs dönüşümü

InverseFourierSinTransform[expr,u,x] Ters Fourier sinüs dönüşümü

InverseFourierCosTransform[expr,u,x] Ters Fourier kosinüs dönüşümü

Örnek 2.6: f x k fonksiyonunun 0 x a ve f x 0 iken Fourier dönüşümünü bulunuz.

Çözüm 2.6: (2.5.3) Fourier dönüşümü formülünde, verilen aralıkların kullanırsak,



F u 12

a

0

Þ keiuxdx k 2

eiua 1iu

k 1 eiua

iu 2

elde ederiz. Bu ise bize Fourier dönüşümünün genelde kompleks değerli bir fonksiyon olacağınıgösterir.

Örnek 2.7:

P T x 1 , | x| T

0 , | x| T

fonksiyonunda özel olarak T 1 alınarak bulunan,

f x 1 , | x| 1

0 , | x| 1

fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulunuz.Çözüm 2.7: (2.5.3) Fourier dönüşümü formülünden,

F u 12

Ý

Ý

Þ f veiuvdv 12

1

1

Þ eiuvdv

bulunur ve eiuv cosuv i sin uv olduğundan,

F u 12

1

1

Þ cosuvdv i2

1

1

Þ sin uvdv

12

1u sin uv

1

1

12

iu cos uv

1

1

12 sin uu sinu

u iu cos u cosu

12

sin uu

sin uu 0

12

2 sin uu

2

sin uu

elde edilir. Özel olarak u 0 alınırsa,

F u 2

bulunur. f x fonksiyonuna uyguladığımız Fourier dönüşümünü Mathematica paket programi ile de

bulalım. Önce fonksiyonu tanımlayalım. Calculus‘FourierTransform‘f If[-1 x 1, 1, 0]If[-1 x 1, 1, 0] f x fonksiyonunun Fourier dönüşümünü FourierTransform komutu ile,FourierTransform[f, x, u]

$ % %%2πSin@uDu

olarak buluruz.



Örnek 2.8: u x 0 , x 0

1 , x 0 birim basamak fonksiyonu olmak üzere,

f x eaxu x , a 0 fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulunuz.Çözüm 2.8:

F u 12

Ý

0

Þ eaxeiuxdx 12

Ý

0

Þ eaiu xdx 12

1a iu

veya

F u 12

aa2

u2 i u

a2 u2

elde edilir.Örnek 2.9: f x eax2

, a 0 olarak tanımlanan Gauss fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulunuz.

Çözüm 2.9: F u

Ý

Ý

Þ eax2eiuxdx

Ý

Ý

Þ ea x2iux/a dx integralini eu2/4aeu2/4a ile çarparak,

F u 12

Ý

Ý

Þ eu2/4a

ea x2

i uxa u2

4a2 dx

eu2/4a 1

2

Ý

Ý

Þ ea xiu2a

2

dx

buluruz. Burada a x iu2a

t dönüşümü yapılırsa,

F u eu2/4a 1

2

Ý

Ý

Þ et 2 dt / a

Euler integrali elde edilir. Bu integralin değeri dir. Böylece Gauss fonksiyonunun Fourier dönüşümü,

F eax2 F u

12a

eu2/4a

olarak bulunur.FourierTransform komutu ile f x fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulalım, Calculus‘FourierTransform‘FourierTransform[Exp[-a*x^2], x, u]

−u2

4a

è !!2 è!aBulduğumuz sonuca InverseFourierTransform komutu ile ters dönüşüm uygulayarak fonksiyonun kendisini elde edelim.

InverseFourierTransform[%, u, x]

−ax2

Fourier Kosinüs ve Fourier Sinüs Dönüşümleri

f x 1

2

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f ve iu xvdv du

Fourier integralini alalım,I. Eğer f x çift fonksiyon ise ,



f x 2

Ý

0

Þ cosuxdu

Ý

0

Þ f vcos uvdv 2.5.5

yazılabililir.Burada,

F cu 2

Ý

0Þ f vcos uvdv 2.5.6

olarak alınırsa,

F 1 F cu f x 2

Ý

0

Þ F cucosuxdu 2.5.7

bulunur. (2.5.6) eşitliğine Fourier kosinüs dönüşümü, (2.5.6) ve (2.5.7) eşitliklerinin ikisine birden Fourier kosinüs dönüşüm formülleri denir.

Örnek 2.10: f x 1 , 0 x 1

0 , x 1olarak tanımlanan fonksiyonun, Fourier

kosinüs dönüşümünü bulunuz.Çözüm 2.10:

F cu 2

Ý

0

Þ f vcos uvdv

2

1

0

Þ cos uvdv 2

1u sin uv

1

0

2

sin uu

olarak bulunur.Verilen fonksiyona Fourier kosinüs dönüşümü uygulamak için FourierCosTransform

komutunu kullanalım.f If[0 x 1, 1, 0]If[0 x 1, 1, 0]FourierCosTransform[f, x, u]

$ 2

πSin@uDu

II. Eğer f x tek fonksiyon ise ,

f x 2

Ý

0

Þ sin uxdu

Ý

0


yazılabilir. Burada,

F su 2

Ý

0


olarak alınırsa,

F 1 F su f x 2

Ý

0

Þ F su sin uxdu 2.5.10

bulunur. (2.5.9) eşitliğine Fourier Sinüs dönüşümü, (2.5.9) ve (2.5.10) eşitliklerinin ikisine birden

Fourier Sinüs dönüşüm formülleri denir.



Örnek 2.11: f x 1 , 0 x 1

0 , x 1olarak tanımlanan fonksiyonun, Fourier

sinüs dönüşümünü bulunuz.Çözüm 2.11: (2.5.9) eşitliğindeki formülden, f x fonksiyonunun Fourier sinüs dönüşümü,

F su 2

Ý

0

Þ f v sin uvdv

2

1

0

Þ sin uvdv 2 1

u cosuv1

0

2

1 cosuu

olarak bulunur. f x fonksiyonuna FourierSinTransform komutu ile Fourier sinüs dönüşümü uygulayalım.f If[0 x 1, 1, 0]If[0 x 1, 1, 0]FourierSinTransform[f, x, u]

2 − 2Cos@uDè !2 π u

Fourier Dönüşümünün Özelikleri1) Lineerlik özeliği:a, b sabitler ve F f 1 x F 1u , F f 2 x F 2u olmak üzere,

F af 1 x bf 2 x aF 1u bF 2u 2.5.11

dir. Gerçekten,

F af 1 x bf 2 x 1

2

Ý

Ý

Þ af 1 x bf 2 xeiuxdx

12

Ý

Ý

Þ af 1 xeiuxdx 12

Ý

Ý

Þ bf 2 xeiuxdx

aF 1u bF 2u

bulunur.2) a 0, a R olmak üzere, F f ax

1|a|

F ua dir.

Gerçekten,

F f ax 12

Ý

Ý

Þ f axeiuxdx

12

Ý

Ý

Þ f axei ua axdx 2.5.12

ax v dönüşümü yapalım.a 0 ise,

F f ax 1a

12

Ý

Ý

Þ f vei ua vdv

a 0 ise 2.5.12 integrali,

12

Ý

ÝÞ f vei

u

a v dva 1a 12

Ý

ÝÞ f vei

u

a vdv



olur. Böylece,

F f ax 1|a |

F ua 2.5.13

elde edilir.3) Öteleme özeliği: F f x F u ise, F f x a eiau F u dir.

Bu özeliğin doğruluğunu şu şekilde göstebiliriz.

F f x a 12

Ý

Ý

Þ f x aeiuxdx

Burada x a v dersek,

F f x a 12

Ý

Ý

Þ f veiuvadv

eiau 12

Ý

Ý

Þ f veiuvdv

bulunur. BöyleceF f x a eiau F u 2.5.14

elde edilir.5) Türevlerin Fourier dönüşümü: f x n defa türetilebilir, f x ve f n x mutlak integrali olan fonksiyonlar olsun. Ayrıca f x ve

ilk n 1 ci mertebeye kadar türevleri x Ý için sıfır ise yani,

xÝlim f v x 0 (v 0,1,. . . n 1 2.5.15

dir. Bundan başka, F f x F u ise f ̂ n x in Fourier dönüşümü,

F f n x iun F u

dir.a) Önce f x fonksiyonunun Fourier dönüşümünü gösterelim.

F f x 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx

12

f xeiuxÝ

Ý

iu 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx

olur. (2.5.15) gereğince, ilk terim sıfır olup,

F f x iu F u 2.5.16

bulunur. b)

F f x 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx

12

f xeiuxÝ

Ý

iu 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx

iu 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx

iuiu F uF f x iu2 F u



olur. Buradan n. mertebeden türevin Fourier dönüşümü,

F f n x iun F u 2.5.17

elde edilir.c) f x, f x, f x düzgün parçalı sürekli ve x Ý için f x, f x 0 fonksiyonlar olsunlar.

f x nin kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümünü f x ve f x değerlerine bağlı olarak

hesaplayalım: f x fonksiyonuna Fourier kosinüs dönüşümü uygulanırsa,

F c f x 2

0

Ý

Þ f xcosuxdx

olur. Burada kısmi integral alırsak,

F c f x 2 f xcosux

Ý

0

u 2

0

Ý

Þ f x sin uxdx

2

f xcosuxÝ

0

2

uf x sin uxÝ

0 u2 2

0

Ý

Þf xcosuxdx

veya f x ve f x fonksiyonlarının her ikisi de x Ý için sıfıra yaklaşacağından,

F c f x f x x0 u2 F cu 2.5.18

buluruz. Benzer işlemlerle f x fonksiyonunun Fourier sinüs dönüşümü,

F s f x u f x x0 u2 F su 2.5.19

olarak bulunur.6) ntegralin Fourier dönüşümü

F

Ý

x

Þ f d F u

iu2.5.20

Faltung ntegrali f 1 x, f 2 x fonksiyonları ile tanımlanan

Ý

Ý

Þ f 1 f 2 x d f x 2.5.21

integraline, (-Ý, Ý aralığında f 1 x ve f 2 x fonksiyonlarının Faltungu denir. Simgesel olarak

f 1 f 2 f x

şeklinde gösterilir.Eğer f 1 x , f 2 x fonksiyonları,mutlak integrallenebilir ve integral, Lebesgue anlamında ise

f 1 f 2 Faltungu var olup, mutlak integrallenebilirdir (bütün x değerleri için). ntegral Riemannanlamında ise f 1 x fonksiyonunun bütün x değerleri için sınırlı, f 2 x fonksiyonunun mutlak integrallenebilir olması Faltungun varlığı için yeterlidir. O halde f 1 f 2 Faltungu bütün xdeğerleri için süreklidir.

f 1 f 2

Ý

Ý

Þ f 1 f 2 x d 2.5.22

Faltung Teoremi f 1 x , f 2 x fonksiyonları,mutlak integrallenebilir ve F 1u, f 1 x fonksiyonunun, F 2u da

f 2 x fonksiyonunun Fourier dönüşümü ise

F f 1 x f 2 x F 1u F 2u

dır.



spat: f 1 x f 2 x Faltunguna Fourier dönüşümü uygulayalım.

F f 1 x f 2 x 12

Ý

Ý

Þ f 1 x f 2 xeiuxdx

12Ý

Ý

Þ

Ý

ÝÞ f 1 f 2 x d eiuxdx

12

Ý

Ý

Þ f 1

Ý

Ý

Þ f 2 x eiuxdx d

çteki integral yerine öteleme özeliğini kullanarak,

12

Ý

Ý

Þ f 2 x eiuxdx F f 2 x eiu F 2u

yazılır. Böylece,

F f 1 x f 2 x 12

Ý

Ý

Þ f 1eiu F 2ud

12

Ý

Ý

Þ f 1eiud F 2u

ve

F f 1 x f 2 x F 1u F 2u 2.5.23

bulunur. Ters formül ise

f 1 x f 2 x 1

2

Ý

Ý

Þ F 1u F 2ueiuxdu 2.5.24

şeklindedir.

Kısmi Diferensiyel Denklemler çinBaşlangıç Ve Sınır Değer ProblemlerininFourier Dönüşümü le ÇözümleriGiriş

Bu bölümde, kısmi türevli diferensiyel denklemler için başlangıç ve sınır değer problemleriniFourier dönüşümü yardımıyla çözeceğiz. Buradaki amacımız, bazı bölgelerin sınırlarındadiferensiyel denklemin çözüm fonksiyonu için çeşitli varsayımlar yaparak veya verilerle çözümü

bulmaktır. Önce bu bölümde kullanacağımız iki değişkenli fonksiyonların Fourier dönüşümlerinive özeliklerini verelim.

v x, y fonksiyonunun,Fourier dönüşümü,

F v x, y V u, y 12

Ý

Ý

Þ v x, yeiuxdx 3.1.1

Bu dönüşümün ters dönüşümü,

v x, y 1

2

Ý

ÝÞV u, ye iuxdu 3.1.2

şeklindedir.



Fourier sinüs dönüşümü,

V su, y 2

Ý

0

Þ v x, y sin uxdx 3.1.3

Ters Fourier sinüs dönüşümü:

v x, y 2

Ý

0

Þ V su, y sin uxdu 3.1.4

Fourier kosinüs dönüşümü,

V cu, y 2

Ý

0

Þ v x, ycosuxdx 3.1.5

Ters Fourier kosinüs dönüşümü:

v x, y 2

Ý

0

Þ V cu, ycosuxdu 3.1.6

v x, y Fonksiyonunun Fourier Dönüşümünün Özelikleri:i)

F v x

iuF v 3.1.7

olduğunu gösterelim.

F v x

12

Ý

Ý

Þ v x

eiuxdx

0

12

eiuxvÝ

Ý

iu 12

Ý

Ý

Þ veiuxdx

iuF v

ii)F

2v x2

u2 F v 3.1.8


F 2v x2

12

Ý

Ý

Þ 2v x2

eiuxdx

0

Neiux 1

2v x Ý

Ý

iu 12

Ý

Ý

Þ v x

eiuxdx

iu

iuF v

12

Ý

Ý

Þ v x

eiuxdx

iu2 F v

u2 F v

olur. Buradan n. mertebeden türevin Fourier dönüşümü,

F nv xn iun F v 3.1.9

olarak bulunur.iii)

F vt

t

F v 3.1.10




F vt

12

Ý

Ý

Þ vt

eiuxdx t

12

Ý

Ý

Þ veiuxdx

t

F v

F nvt n

t nF v 3.1.11

Fourier Dönüşümünün Kısmi Türevli Denk- lemlereUygulanması

a ve b sabitler olmak üzere, ikinci mertebeden iki değişkenli kısmi türevli diferensiyeldenklemi,

a 2v x2

bv f 1 y 2v y2

f 2 y v y

f 3 yv f x, y 3.2.1

şeklinde alalım.Bu denklemde x Ý için v 0 olsun. Ayrıca x 0 için v veya v

xtürevinin değeri

verildiğinden, bu verilenler sınır koşullarını oluşturur. Böyle bir denkleme Fourier kosinüs veyasinüs dönüşümlerinin uygulaması genel bir çözüm yöntemi verir.

v , v x

, 2v x2 fonksiyonlarının sürekli ve Fourier dönüşümünün gerektirdiği koşulları

sağladığını varsayalım.Daha önce gösterdiğimiz (2.5.18) ve (2.5.19) eşitliklerini kullanacağız

F c f x f x x0 u2 F cu 2.5.18

F s f x u f x x0 u2 F su 2.5.19

Burada,

F cv U c F sv U s F c f F c F s f F s

gösterimlerini kullanır ve 3.2.1 denklemine Fourier kosinüs dönüşümünü uygularsak,

aF c2v x2

bF cv F c f 1 y 2v y2

f 2 y v y

f 3 yv F c f x, y 3.2.2

buluruz. Ayrıca,

f 1 y 2v y2

f 2 y v y

f 3 yv f 1 y 2

y2 f 2 y

y f 3 y v

yazar ve

f 1 y 2

y2 f 2 y

y f 3 y L

diferensiyel operatörünü kullanırsak, 3.2.2 denklemini,

aF c2v x2

bF cv F c Lv F c f

olarak yazarız. 2.5.18 denklemi kullanılırsa,

a v x x0

u2U c bU c

Ý

0

Þ Lv cos uxdx F c

olur. y değişkenine göre olan türev alma işlemi ile x değişkenine göre olan integrasyon işlemiyer değiştirebileceğinden,

a v x x0

u2U c bU c LU c F c 3.2.3

yazılabilir. Benzer şekilde, sinüs dönüşümünün ve 2.5.19 eşitliğinin 3.2.1 denklemineuygulanmasıyla,



au2U s uv x0 bU s LU s F s 3.2.4

elde edilir.Böylece x 0 noktasında v

xdeğerinin bilinmesi ile 3.2.3 denklemi U c ye göre y

değişkenli bir diferensiyel denklem, aynı şekilde x 0 noktasında v değerinin bilinmesi ile de3.2.4 denklemi, U s ye göre adi bir diferensiyel denklem olur.

U s veya U c den biri bulununca, ters dönüşüme geçerek v x, y çözümü elde edilir. Eğer x,Ý, Ý aralığında değişirse, x Ý için v 0 koşulu ile üstel Fourier dönüşümü kullanılır. Budurumda diferensiyel denklem daha genel şekli ile alınabilir.

a , b ve c sabitler, L ise y değişkenine göre lineer diferensiyel operatörü olmak üzere,

a 2v x2

b v x

cv Lv f 3.2.5

denklemine Fourier dönüşümünün uygulanması ve 3.1.9

F nv xn iun F v

eşitliğinin kullanılması ile F v U olmak üzere 3.2.5 denkleminden,

au2

U

ibuU

cU

LU

F 3.2.6şeklinde U ya göre y değişkenli diferensiyel denklem bulunur. Bu denklem çözülerek U ve sonrada ters dönüşüme geçerek v x, y bulunur.

Eğer diferensiyel denklemde v nin x değişkenine göre birinci mertebeden türevi bulunuyorsa,sinüs veya kosinüs dönüşümü uygulanmasıyla bulunan denklemde, hem U c hem de U s

bulunacaktır.Şimdi mühendislikte çok kullanılan bazı kısmi diferensiyel denklemler için sınır değer

problemlerini Fourier dönüşümü yardımı ile çözelim.

Örnekler Örnek 3.1: Yarım sonsuz bir ortamda lineer ısı akımı denklemi olan

vt

c2 2v

x2 3.3.1için başlangıç ve sınır koşulları,

t 0 , x 0 için v v0

t 0 , x 0 için v 0

olup, x Ý iken v , v x Ý varsayılıyor. Bu koşullar altında diferensiyel denklemin çözümünü

bulunuz.Çözüm 3.1: v x, t fonksiyonunun Fourier sinüs dönüşümünü,

F sv x, t 2

Ý

0

Þ v x, t sin uxdx V su, t

ile gösterir ve 3.3.1 denklemine Fourier sinüs dönüşümü uygularsak,

2

Ý

0

Þ vt

sin uxdx c2 2

Ý

0

Þ 2vt 2

sin uxdx 3.3.2

buluruz. Burada eşitliğin sol tarafı 3.1.10 a göre,

2

t

Ý

0

Þ v sin uxdx V st

dV sdt

olacaktır. 2.5.19 ve sınır koşullarına göre,

2

Ý

0Þ

2

vt 2 sin uxdx u 2 v0 u2V s



olduğundan, 3.3.2 denklemi,

dV sdt

c2u2V s c2u 2 v0

şeklinde t değişkenine göre birinci mertebeden lineer diferensiyel denkleme dönüşür. Budenklemin çözümünü DSolve komutunu kullanarak bulalım.

DSolve[V’[t] c^2*u^2*V[t] c^2*u*Sqrt[2/Pi]*v, V[t], t]

::V@tD →

$ 2

πv

u+

−c2tu2C@1D>>

t 0 için v x, 0 0 olur. Buradan C 1 2

v0u bulunur. O halde bu denklemin çözümü

olan V s,

V s 2

v0u 1 ec2u2t

şeklindedir. Ters dönüşüm formülü (2.5.10 kullanılırsa,

v x, t F s1V su, t

2

Ý

0

Þ 2

v0u 1 ec2u2t sin uxdu

2v0

Ý

0

Þ sin uxu du 2v0

Ý

0

Þ sin uxu ec2u2t du

bulunur. lk integralin 2

olduğunu biliyoruz (S:32 Örnek2.3). kincisi ise,Ý

0

Þ sin uxu ec2u2t du

2

erf x2ct 1/2

dir. Böylece ısı denkleminin çözümü,

v x, t v0 1 erf x2c t

olarak bulunur. Aynı sonuca Mathematica paket programını kullanarak da ulaşabiliriz.V sfonksiyonuna InverseFourierSinTransform komutu ile ters Fourier sinüs dönüşümüuygularsak,

InverseFourierSinTransform A9Sqrt@2êPiD v

u J1−

−c2t u2 N=, u, xE

:−v ikjjjj−1 + ErfB Abs@xD2è c2 t Fy{zzzz Sign@xD>sonucunu elde ederiz.Örnek 3.2: c2 2v

x2 vt

diferensiyel denkleminin Ý x Ý , t 0 aralığında

| x| Ý için v 0

v x, 0 e x2

koşulu altındaki çözümünü Fourier dönüşümü uygulayarak bulunuz.Çözüm 3.2: Bu kez diferensiyel denkleme, 3.1.1 üstel Fourier dönüşümü uygulanırsa,

c2 12

Ý

ÝÞ

2

v2 x2 eiuxdx 12

Ý

ÝÞ vt eiuxdx



olur, burada F v V ile gösterip, 3.1.8

F 2v x2

u2 F v

eşitliğini kullanırsak,

c2u2V t

Ý

ÝÞ veiuxdx

c2u2V dV dt

t bağımsız değişkenli bir diferensiyel denklem buluruz. Bunun integrali alınırsa,

V Auec2u2t

olur. u nun fonksiyonu olan Au integrasyon sabitini, başlangıç koşullarına göre belirlemek içinönce bu koşullardaki V değerini, v nin dönüşümünden bulalım:

t 0 iken v e x2koşuluna göre

V F v 12

Ý

ÝÞ e

x2

eiux

dx

yazılır. Bu ise Gauss ntegrali olup,

V 12

e u2

4 3.3.3

şeklindedir. FourierTransform komutunu kullanarak aynı sonucu bulalım.FourierTransform[Exp[-x^2], x, u]

−u2

4è2

V Auec2

u2

t denkleminin t 0 için değerini, bulduğumuz (3.3.3) değerine eşitlersek, Au

12

e u2

4

olur. Böylece,

V 12

e u2

4 ec2u2t

V 12

e 14c2t u2

4 3.3.3’

elde edilir. Buradan ters dönüşüme geçerek v x, t fonksiyonu bulalım. (3.3.3’) ve 2.5.13F 1 F au

1a f t

a formüllerinden,

v F 1 12

e 14c2t u2

4 1

1 4c2t e

x2

14c2t

elde edilir.V denklemine ters Fourier dönüşümü uygulamak için InverseFourierTransfom komutunu

kullanarak ısı denkleminin çözümünü kısaca bulabiliriz.



InverseFourierTransform A−c2t u2

−

u2

4

è !2

, u, xE

−x2

1+4c2t

è ! ! !1 + 4 c2t

Örnek 3.3: ki ucu belirlenmiş sonsuz uzunluktaki bir telin serbest titreşimleri:Ý x Ý olmak üzere sonsuz uzunluktaki telin dış kuvvetlerin etkisinde kalmadan

hareketini ele alacağız. Hareket, denge durumundan ayırarak (biraz çekmekle) ve belirli bir hızvererek başlar. Denklemi,

c2 2v x2

2vt 2

3.3.4

dir. Bu denklemin,

t 0 için v x, 0 f x

vt

|t 0 k 0 x

başlangıç koşullarına uyan çözümlerini bulunuz.Çözüm 3.3: 3.3.4 denklemine üstel Fourier dönüşümü uygulayalım.

Ý

Ý

Þ 2vt 2

eiuxdx c2

Ý

Ý

Þ 2v x2

eiuxdx 3.3.5

olduğundan,

F v x, t U u, t

alınır ve 3.1.8 F 2v

x2 u2 F v ve 3.1.11 kullanılırsa,

2

t 2

Ý

Ý

Þ veiuxdx c2u2U

d 2U dt 2

c2u2U

d 2U dt 2

c2u2U 0 3.3.6

t değişkenine göre lineer bir diferensiyel denklem elde edilir. 3.3.6 denkleminin çözümünüDSolve komutu ile,

DSolve[U”[t] c^2*u^2*U[t] 0, U[t], t]

{{U[t] C[1]Cos[ctu]C[2]Sin[ctu]}}şeklinde buluruz. Bu denklemi

F v x, t U u, t C 1cos uct C 2 sin uct 3.3.7

olarak yazarbiliriz. Verilen koşullara göre, C 1 ve C 2 katsayılarını bulmak için,

t 0 için v x, 0 f x

ve

F v x, 0 F f x F u 3.3.8

olduğu kullanılırsa, 3.3.7 denkleminin t 0 için değeri

U u, 0 C 1

ve 3.3.8 denkleminden



F u C 1

olarak bulunur.C 2 katsayısı,

vt t 0

k 0 x

olduğundan,

U u, t

Ý

Ý

Þ veiuxdx

denkleminden türev alınarak bulunur, t 0 için,

dU u, 0dt

Ý

Ý

Þ v x, 0t

eiuxdx

Ý

Ý

Þ k 0 xeiuxdx

olduğundan,

dU u, 0dt

V 0u

Ý

Ý

Þ k 0 xeiuxdx 3.3.9

elde edilir. Diğer taraftan 3.3.7 denkleminin t ye göre türevinin t 0 için değeri ve 3.3.9denkleminden,

C 2 V 0u

ucolarak bulunur. Böylece 3.3.6 denkleminin çözümü, 3.3.7 denkleminden,

U u, t F ucos uct V 0u

ucsin uct

şeklinde bulunur. Bu eşitlikten ters dönüşüme geçersek,

vv, t F 1U u, t

1

2

Ý

Ý

Þ F ucosucte iuxdu 1

2

Ý

Ý

Þ V 0uuc sin ucte iuxdu

buluruz. Burada cos uct ve sin uct için Euler formülleri kullanılırsa,

v x, t 12

12

Ý

Ý

Þ F ueiuct eiuct eiuxdu

12c

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iuct eiuct e iuxdu

v x, t 12

12

Ý

Ý

Þ F ueiu xct eiu xct du

1

2c

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iu xct e iu xct du 3.3.10

bulunur.

f y

12

Ý

ÝÞ F ueiuy

du



göre ilk integral,

f x ct 1

2

Ý

Ý

Þ F ue iu xct du

olarak hesaplanır. kinci integral, 2.5.20 formülü,

F

t

Ý

Þ f d F u

iu F 1 F u

iu

t

Ý

Þ f d

yi anımsayarak,

12

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iu xct du

1

Ý

Þ k 0d , x ct

12

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iu xct du

2

Ý

Þ k 0d , x ct

eşitliklerini yazarsak,

12

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iu xct du 12

Ý

Ý

Þ V 0uiu

e iu xct du

1

2

Þ k 0d

xct

xct

Þ k 0d

şeklinde bulunur. O halde 3.3.10 denkleminin çözümü,

v x, t 12 f x ct f x ct

12c

xct

xct

Þ k 0d 3.3.11

olarak elde edilir.lk hızın t 0 da k 0 0 olması halinde 3.3.11 çözüm fonksiyonu,

v x, t 1

2

f x ct f x ct

olur.Örnek 3.4: Yarım sonsuz telin serbest titreşimleri :0,0 noktasına bağlı 0 x ekseninin pozitif yönü doğrultusunda gerilmiş bir tel ele alalım. Bu

durumda, transvers (yanlama) serbest titreşimler,

2vt 2

c2 2v x2

dalga denklemini sağlar.

t 0 için v x, 0 f x, vt t 0

0 x 0

ve

v0, t 0 (bütün t ler için)koşulları verilsin.Buna göre bu sınır değer probleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm 3.4: Diferensiyel denkleme Fourier sinüs dönüşümü uygulanırsa,Ý

0

Þ 2vt 2

sin uxdx c2

Ý

0

Þ 2v x2

sin uxdx

olduğundan,

F sv U s

alınır ve verilen koşullar kullanılırsa,



d 2U sdt 2

c2uv x0 u2U s

c2u2U s

d 2U sdt 2

c2u2U s 0

diferensiyel denklemi bulunur. Bu denklemin çözümü,

U su, t Aucosuct Bu sin uct

şeklindedir. Başlangıç koşulları,

t 0 iken v x, 0 f x U su, 0 F su

vt t 0

0 U st t 0

0

olduğundan,

Au F su , Bu 0

bulunur. Bunlara göre,

U su, t F sucosuct

olur. Ters dönüşüm uygulanılırsa,

F 1U su, t 2

Ý

0

Þ F sucos uct sin uxdu

v x, t 1

Ý

0

Þ F susin u x ct sin u x ct du

yazılır.

F 1 F su f x 2

Ý

0Þ F su sin uxdu

olduğundan, çözüm

v x, t 12 f x ct f x ct

olarak elde edilir.Örnek 3.5: 2v

x2 v2

y2 0 Laplace denkleminin, 0 x Ý , 0 y a aralıklarında

değişmesi halinde,

v x, 0 v x, a 0 x 0 (başlangıç)

v0, y 1 y

a

0 y a (sınır)

koşullarına uyan çözümünü bulunuz. Ayrıca x Ý için v 0 olduğu varsayılıyor.Çözüm 3.5: Diferensiyel denkleme Fourier sinüs dönüşümü uygular veF sv U s alırsak,

F s2v x2

2v y2

0

Ý

0

Þ 2v x2

sin uxdx

Ý

0

Þ 2v y2

sin uxdx 0

uv x0 u2U s 2U s y2

0

veya sınır koşulunu kullanırsak



d 2U sdy2

u2U s u 1 ya

diferensiyel denklemini elde ederiz. y değişkenine göre lineer olan bu diferensiyel denklemingenel çözümünü DSolve komutunu kullanarak bulalım.

DSolve[U”[y] - u^2 U[y] -u(1 - (y/a)), U[y], y]

::U@yD→a−y

au+

uyC@1D+

−uyC@2D>>

U s C 1ue yu C 2ue yu

a y

au 3.3.12

olduğundan sınır koşulu , y 0 ve y a için v 0 olacağından, U s 0 bulunur.(3.3.12) denkleminde, y 0 , y a için U s 0 değerleri yazılarak,

0 C 1 C 2 1u

0 C 1eau C 2eau

denklemlerinden C 1, C

2katsayıları,

C 1 eau

ueau eau, C 2

eau

ueau eau

olarak bulunur.C 1, C 2 değerleri 3.3.12 denkleminde yerine yazılırsa,

U s eu ya eu ya

ueau eau

a yau

veya

U s sinh u y a

u sinh ua

a yau

elde edilir. Ters dönüşüm uygulanırsa,

F s1U s v x, y

2

Ý

0

Þ sinh u y au sinh ua

sin uxdu 2a y

a

Ý

0

Þ sin uxu du

bulunur.Sağ taraftaki birinci integralin F-sinüs tablosundan aldığımız [9] değeri ile ikinci integralin

/2 değerini denklemde yerlerine yazarsak,

v x, y 2 arctan tan

y a2a

tanh x2a

a y

a

buluruz.Örnek 3.6: Yarım düzlemde,

2v x2

2v y2

0 y 0

Laplace denklemi için,

Sınır koşulu : v x, 0 f x Ý x Ý

Başlangıç koşulu : v x, y 0, p Ý burada p x2 y2

1/2dir .

olarak veriliyor. Problemin çözümünü bulunuz.Çözüm 3.6: Denkleme Fourier dönüşümünü uygulanırsa,

F 2v x2

F 2v y2

0

olduğundan, 3.1.8 F 2v x2 u2 F v ile



iu2U u, y 2

y2

Ý

Ý

Þ v x, yeiuxdx 0

veya

d 2U

dy2 u2U 0

diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin genel çözümü,

U u, y C 1euy C 2euy 3.3.13

olduğundan, verilen koşullara göre C 1, C 2 fonksiyonları belirlenmelidir.Başlangıç koşulu,

v x, y 0 için,

U u, y 0 y Ý

olur. | x| Ý için de, v x, y 0 olacağından (Riemann-Lebesque lemması) C 2 0 olmasınıgerektirir.

Sınır koşulundan,v x, 0 f x, U u, 0 F u 3.3.14

bulunur. Burada F u, f x fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. 3.3.14 denkleminden,

U u, y F ue|u| y

bulunur. v x, y ifadesini bulmak için Faltung teoremini kullanacağız.

v x, y

Ý

Ý

Þ f 1t f 2 x t dt 3.3.15

dir. Burada f 1 x yi F u nin tersi yani f 1 x f x ve f 2 x F 1e|u| y

y/

x2 y2

alınır ve 3.3.15 denkleminde yerine yazılırsa v x, y,

v x, y y

Ý

Ý

Þ f t dt

x t 2 y2

, y 0

olarak bulunur.Örnek 3.7: Sonsuz şeritte (band) Laplace diferensiyel denklemi:Laplace denkleminin 0 y a bandında,

v x, 0 f x , v x, a g x 3.3.16

sınır koşulunu sağlayan çözümünü bulunuz.Çözüm 3.7: Bu problem belirli sıcaklıkta tutulan iki duvar arasındaki sıcaklık dağılımını

tanımlamaktadır.

3.3.16 sınır koşullarından,U u, 0 F u , U u, a Gu

koşulları bulunur. F u ve Gu , f x ve g x fonksiyonlarının Fourier dönüşümleridir.Laplace denklemine Fourier dönüşümünü uygulayarak

U u, y C 1ue yu C 2ue yu 3.3.17

denklemini bulmuştuk. C 1, C 2 sınır koşullarına göre belirtilecek keyfi fonksiyonlardır.3.3.17 denklemi ve U u, 0 F u , U u, a Gu den elde edilen,

F u C 1u C 2u

Gu C 1ueau C 2ueau

sisteminden C 1u ve C

2u çözülerek, 3.3.17 denkleminde yerine yazılırsa,



U u, y F usinha yu

sinhau Gu

sinh yusinhau

0 y a

bulunur. U u, y fonksiyonunun ters dönüşümü olan v x, y çözümünü bulmada FaltungTeoremininde 2.5.22 ve 2.5.23 eşitliklerini kullanacağız.

F 1 sinh yu

sinhau k x, y 3.3.18

alınarak v x, y çözümü,

v x, y

Ý

Ý

Þ f t k x t , a ydt

Ý

Ý

Þ g t k x t , ydt 3.3.19

elde edilir 0 y a . Bu denklemin çekirdeği olan k x, y fonksiyonunu bulmak için,3.3.18 yerine, sinh yu

sinhaunin u değişkenine göre çift fonksiyon olması nedeniyle kosinüs

dönüşümü kullanılırsa,

k x, y F c1 sinh yu

sinhau

12a

sin y/acosh x/a cos y/a

bulunur. Bu değeri 3.3.19 denkleminde yerine yazarak,

v x, y sin y/a

2a

Ý

Ý

Þ f t dt cosh x t /a cos y/a

Ý

Ý

Þ g t dt cosh x t /a cos y/a

elde edilir.Örnek 3.8: 2v

x2 2v y2

1c2

2vt 2

dalga denkleminin v x, y, 0 f x, y ve v x, y,t

t t 0 0

şartlarına uyan çözümün,

v x, y, t 1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ F u,cosct u2 2 eiux ydud

olduğunu ve burada

F u, 1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f x, ye iux ydxdy

olduğunu gösteriniz.Çözüm 3.8: Verilen denkleme önce x e göre, sonra y ye göre Fourier dönüşümü uygulayalım.

1

2 Ý

Ý

Þ2v

x2e iuxdx

1

2 Ý

Ý

Þ2v

y2e iuxdx

1

c2

1

2 Ý

Ý

Þ2v

t 2e iuxdx



1

2

1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2v x2 eiuxei ydxdy

1

2

1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2v y2 e iuxe i ydxdy

1c2

1

2

1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2vt 2

eiuxe i ydxdy

12

Ý

Ý

Þ 2v x2 e iuxdx

Ý

Ý

Þ e i ydy

1

2Ý

Ý

Þ 2v y2 e i ydy

Ý

Ý

Þ e iuxdx 1

2c2

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2vt 2

e iux ydxdy

12

Ý

Ý

Þ 2v x2

eiuxdxÝ

Ý

Þ ei ydy 1

2e iux v

x Ý

Ý iu

Ý

Ý

Þ e iux v x

dxÝ

Ý

Þ ei ydy

1

2Ý

Ý

Þ ei y

dyiueiux

v x, y, t |Ý

Ý

iuÝ

Ý

Þ eiuxv x, y, t dx

1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ u2e i yv x, y, t eiuxdxdy

u2

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ v x, y, t e iuxe i ydxdy

u

2

1

2Ý

Ý

Þ Ý

Ý

Þ v x, y, t e

iux y

dxdy

u2V u,, t

buluruz. Benzer yolla,

12

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2v y2

eiux ydxdy 2V u,, t

elde edilir.

1c2

12

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ 2vt 2

e iux ydxdy 1

c22

t 21

2Ý

Ý

Þ v x, y, t e iux ydxdy

1c2

2

V u,,t t 2

bulunur.

12

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ v x, y, t eiux ydxdy V u,, t

olduğu ortaya çıkar. Bu değerleri denklemde yerine yazarsak,

1c2

2V u,, t t 2

u2V u,, t 2V u,, t

1c2

2V u,, t t 2

u2 2V u,, t 0

denklemi bulunur.



r 2

c2 u2

2 0 r ic u2 2

olup,

V u,, t a1eic u22 t

b1eic u22 t

bulunur. v x, y, 0

f x, y ye önce x sonra y ye göre Fourier dönüşümü uygulanırsa,1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ v x, y, 0e iux ydxdy 1

2Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ f x, ye iux ydxdy

V u,, 0 F u,

bulunur. Çözümde yerine yazarsak,

F u, a1 b1

olur. Diğer şart v x, y,t t t 0

0

t

12

Ý

Ý

ÞÝ

Ý

Þ v x, y, t e iux ydxdy 0

t

V u,, t |t 0 0

olur.V u,, t

t t 0 a1ic u2

2 eic u22 t b1ic u2

2 eic u22 t

0

a1 b1ic u2 2

0 a1 b1 0 a1 b1 F u, a1

V u,, t 12

F u, eic u22 t

eic u22 t

12

F u,2cos ct u2 2

bulunur.Böylece ters dönüşümden,

v x, y, t 1

2Ý

ÝÞ

Ý

ÝÞ F u,cos ct u2

2 eiux ydud

elde edilir.Örnek 3.9: 4v

x4 2v x2 0 denkleminin Ý x Ý , y 0

i x Ý için, v x, y 0 0 , v x 0 , v

y 0

ii v x, 0 f x , v x, y

y y0 0

şartlarına uyan çözümünü bulunuz.Çözüm 3.9: v x, y fonksiyonunun Fourier dönüşümünü ,

F v x, y 12Ý

Ý

Þ v x, yeiux

dx V u, y

ile gösterip, verilen denkleme Fourier dönüşümü uygulayalım,

12

Ý

Ý

Þ 4v x4

eiuxdx 12

Ý

Ý

Þ 2v y2

eiuxdx 0

12

Ý

Ý

Þ 4v x4

eiuxdx 2

y212

Ý

Ý

Þ v x, yeiuxdx 0

T3.1.9 F nv xn iun

F v ve 3.1.11 F nvt n

t nF v özeliklerinden

yararlanarak



iu4V u, y 2V u, y

y2 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin karakteristik polinomu 2 u4

0 dır. Buradan, iu2 olur.

V u, y

Aue

iu2 y

Bue

iu2 y

bulunur. Başlangıç şartlarından v x, 0 f x fonksiyonuna Fourier dönüşümü uygularsak,

12

Ý

Ý

Þ v x, 0eiuxdx 12

Ý

Ý

Þ f xeiuxdx V u, 0 F u

bulunur. Diğer yandan,

y

12

Ý

Ý

Þ v x, yeiuxdx 0 y

V x, y 0

olur. Buradan çözüm,

V u, y Aue iu2 y Bueiu2 y

V u, y Aucosu2 y Bu sin u2 y

yazılır. Başlangıç şartlarından, V u, 0 Au F u bulunur.

V u, y

y Auu2 sin u2 y Buu2 cos u2 y

V u, y

y Buu2

0

u 0 olduğundan, Bu 0 dır. O halde başlangıç şartlarına uyan çözüm,

V u, y F ucos u2 y

dir. Bu denkleme ters Fourier dönüşümü uygularsak,

v x, y 12

Ý

Ý

Þ V u, ye iuxdu

12

Ý

Ý

Þ F ucosu2 ye iuxdu

bulunur.



KAYNAKLAR

[1] Abell, M. L.and Braselton, J.P.,1993, Differential Equations with Mathematica, GeoorgiaSouthern University Statesboro, Geoergia, 631p.

[2] Brown, J. W.,1993, Fourier Series And Boundary Value Problems, Ruel V. Churchill-5th

ed-New York:McGraw-Hill, XVI, 348p.[3] Çınar, M. ve Çalışkan, F., 1995, Mathematica ile programlama, Beta Basımevi, stanbul,VI,261s.

[4] Dym, H., 1972, Fourier Series And Integrals, Academic Press, New York, X, 295p.[5] Körner, T.W.,1988, Fourier Analysis, Cambridge University Press, XII,591p.[6] Kreyszig, E., 1993, Advenced Engineering Mathematics,Ohio State

University,Ohio,968p.[7] Özer, N. ve Eser, D.,1996, Diferensiyel Denklemler(Teori ve Uygulamalar),Birlik

Yay.,Eskişehir,501s.[8] Uyan, B. , 1980, Çözümlü Problemlerle Diferensiyel Denklemler, .T.Ü., 1980,-VIII,

372s.[9] Yarasa, R.,1976, Fourier Analizi, Çağlayan Basımevi, 1976,-VIII224s.

[10] Yaşar, . B., 1988, Uygulamalı Matematik, Gazi Üniversitesi,Ankara,375s

Fourier Donusumleri Ve Kismi Turevli Denklemler Fourier Transforms and Partial Differential...

Documents

Transcript of Fourier Donusumleri Ve Kismi Turevli Denklemler Fourier Transforms and Partial Differential...