Foundations of Electromagnetic Theory 611 spring 19...Electrostatic Theory: 3 charges are not...
Transcript of Foundations of Electromagnetic Theory 611 spring 19...Electrostatic Theory: 3 charges are not...
1Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Prologue ofโModern Problems in Classical Electrodynamicsโ
by Charles Brau
Foundations of Electromagnetic Theory
2
โข Topics to be covered in this prologue: electrostatics, magnetostatics, electrodynamics, electromagnetic waves, conservation laws, and Maxwellโs stress tensor.
โข Almost all forces perceived in Nature (except for gravity) are electromagnetic forces.
โข For most of the topics listed above, this is intended to be a review, not an introduction.
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Foundations of Electromagnetic Theory
Electrostatic Theory:
3
charges are not moving, they are fixed in space.
charge density: ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐ ๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
4
Milestones in Electrostaticsโข 600 B.C.: Thales of Miletus, amber rubbed with fur attracts other
object, electron = amber in greek
โข 1600 D.C.: Gilbert, โambernessโ phenomena is also displayed by other materials
โข 1733: du Fay, repulsion is also possible (in addition to attraction), two flavors of electric charge
โข 1834: Faraday, electric charge comes in discrete amounts (is quantized in modern terminology)
โข 1909: Millikan, ๐๐ โ โ1.62 ร 10โ19 ๐ถ๐ถ
โข 1746: Watson, 1747: Franklin, electricity as a fluid that moves from one body to another, conservation of electric charge
โข 1785: Coulomb, force between small electrically-charged objects
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
5
๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
Coulomb Law
๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐๐ญ๐ญ
๐ช๐ช
(force on ๐๐ located at ๐๐due to ๐๐๐ located at ๐๐๐)
๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐
โ ๐๐ ๐๐๐
๐๐0 โ 8.854187817 ร 10โ12๐ถ๐ถ2
๐๐ ๐๐2
(permittivity of free space)Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
โ๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ 2
6
๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐ =๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ 3
๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐ =๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐โฒ 3
๐๐๐๐ ๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
โข Continuous distribution of charges ๐๐ ๐๐๐ :
โข Discrete charges ๐๐๐๐ located at ๐๐๐๐:
Net Force from Multiple ChargesPrinciple of Superposition: forces are added (vectorially)
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
7
The force ๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐ on ๐๐ is linearly proportional to ๐๐:
The proportionality constant is called the electric field ๐ฌ๐ฌ ๐๐ :
๐ฌ๐ฌ ๐๐ โก๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
An Important Consequence:
๐ญ๐ญ๐๐ ๐๐ โ ๐๐
8
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ 3
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐โฒ๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐โฒ 3
โข Multiple discrete charges ๐๐๐๐ located at ๐๐๐๐:
โข Continuous distribution of charges ๐๐ ๐๐๐ :
โข Single charge ๐๐๐ located at ๐๐๐:
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =๐๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
Electric Field
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐
๐ช๐ช
๐๐
๐ช๐ช
๐ช๐ช
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
9
Flux of the Electric Field on a Arbitrary Surface
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฌ๐ฌ โก๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ฌ๐ฌ ๐๐ cos ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐
๐ช๐ช
๐๐
vector vectordot
product
๐ ๐ ๐ ๐ โก ๏ฟฝ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐๐
vector unit normal vector
differential area
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
10
Divergence Theorem
๏ฟฝ๐๐๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป.๐ธ๐ธ ๐๐ ๐๐๐๐
Consider a closed surface S that surrounds a volume V
also known as Gauss's theorem or
Ostrogradsky's theorem
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
S
V
S
V
SV
and a vector field ๐ธ๐ธ ๐๐ , if ๐ธ๐ธ ๐๐ is a continuously differentiable vector field:
11
Illustration: Net Flux along x-direction
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ธ๐ธ ๐๐ + โ๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐๐
= ๐ธ๐ธ ๐๐ + โ๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐๐ . + ๏ฟฝ๐๐๐๐ + ๐ธ๐ธ ๐๐ . โ ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง
๐ธ๐ธ ๐๐
๐น๐น
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
= ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ + โ๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง
โ๐น๐น
=๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐น๐น โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง
= ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ +๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐น๐น โ๐น๐น โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง
โ๐ฆ๐ฆ
โ๐ง๐ง
+๏ฟฝ๐๐๐๐
โ๏ฟฝ๐๐๐๐
๐ ๐ ๐ ๐ = โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง ยฑ ๏ฟฝ๐๐๐๐
12
Net Flux along all directions
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ธ๐ธ ๐๐
๐น๐น
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง
๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
โ๐น๐น
=๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐น๐น
+๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐ฆ๐ฆ
+๐๐๐๐๐ง๐ง๐๐๐ง๐ง
โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง
โ๐ฆ๐ฆ
โ๐ง๐ง
= ๐ป๐ป.๐ธ๐ธ ๐๐๐๐
13
Electric Flux on a closed surface:
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฌ๐ฌ, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฌ๐ฌ,๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ ๐๐๐๐
Divergence Theorem
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
14
Single charge ๐๐๐ located at ๐๐๐:
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =๐๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
๐ป๐ปโ1๐๐ โ ๐๐๐
=๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐
๐๐๐4 ๐๐ ๐๐0
๐ป๐ป. ๐ป๐ปโ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐
HW:
HW:
=๐๐๐
4 ๐๐ ๐๐0๐ป๐ป
โ1๐๐ โ ๐๐๐
๐ป๐ป. ๐ป๐ป๐๐ ๐๐ = ๐ป๐ป2 ๐๐ ๐๐
= ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐4 ๐๐ ๐๐0
๐ป๐ป2โ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
15
๐ป๐ป2โ1๐๐ โ ๐๐๐
= 4 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐HW:
๐๐โฒ
๐๐0
0
if qโ is inside V
if qโ is outside V
= ๏ฟฝ๐๐
๐๐โฒ
4 ๐๐ ๐๐04 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐
๐๐๐4 ๐๐ ๐๐0
๐ป๐ป2โ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ =
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
{=
=๐๐โฒ
๐๐0๏ฟฝ
๐๐๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐๐
16
Multiple discrete charges ๐๐๐๐ located at ๐๐๐๐:
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ 3
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐ป๐ปโ1
๐๐ โ ๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐
14 ๐๐ ๐๐0
๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐ป๐ป2โ1
๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐
14 ๐๐ ๐๐0
๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ 4 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐= ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐0
= ๏ฟฝ๐๐=๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐0
๏ฟฝ๐๐๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ ๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
17
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐= ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐0
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐0
independent of charge location inside S
independent of shape of surface S
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
18
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐โฒ 3๐๐๐๐๐
Continuous Distribution of Charges ๐๐ ๐๐๐ :
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐ป๐ปโ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐๐
๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐ป๐ป2โ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐๐
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ 4 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ3 ๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
= ๐ป๐ป.1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐ป๐ปโ1๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
19
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐0
๐๐๐๐
๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
Gaussโs Law (differential form)
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐0
๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ =
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐0
Gaussโs Law (integral form)
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
20
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ 3
Back to the Electric Field:
= โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
ฮฆ ๐๐ โก1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
Electric Field ๐ฌ๐ฌ ๐๐is a vector field
Electric Potential ฮฆ ๐๐is a scalar field
(discrete charges)
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐ป๐ปโ1
๐๐ โ ๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
21
Back to the Electric field:(continuous charge distribution)
= โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
ฮฆ ๐๐ โก1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐ ๐ป๐ปโ1
๐๐ โ ๐๐โฒ๐๐๐๐๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐โฒ 3๐๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
22
๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
ฮฆ๐ ๐๐ = ฮฆ ๐๐ + ฮ
๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
A couple of observations:
(1) Adding a constant ฮ to the electric potential ฮฆ ๐๐ has no impact on the electric field ๐ฌ๐ฌ ๐๐ :
(2) We can solve the electric potential first and then use it to determine the electric field:
๐ป๐ป. โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
Poissonโs equation
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
23
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป๐๐ ๐๐ = 0HW:
๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐ = 0
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= ๐ป๐ป ร โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ = โ๐ป๐ป ร ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ = 0
24
Stokesโ Theorem
๏ฟฝ๐ถ๐ถ๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
CS
๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐๐
๐ธ๐ธ ๐๐
๐ถ๐ถ ๐ถ๐ถ
๐๐๐๐
Consider a loop C surrounding a surface S
and a vector field ๐ธ๐ธ ๐๐ ,
if ๐ธ๐ธ ๐๐ is a continuously differentiable vector field:
25
Illustration: Net Loop in the x-y plane
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= ๐ธ๐ธ ๐๐ . + ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐น๐น + ๐ธ๐ธ ๐๐ โ โ๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ๐๐๐๐ . โ ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐น๐น
๐น๐น
๐ฆ๐ฆ
๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ โ๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐น๐น
โ๐น๐น
=๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐ฆ๐ฆ โ
๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐น๐น โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ
= ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ +๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐ฆ๐ฆ โ๐ฆ๐ฆ โ๐น๐น
โ๐ฆ๐ฆ
+๏ฟฝ๐๐๐๐
โ๏ฟฝ๐๐๐๐
+ ๐ธ๐ธ ๐๐ . + ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐ฆ๐ฆ + ๐ธ๐ธ ๐๐ + โ๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐๐ . โ ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐ฆ๐ฆ
+๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๏ฟฝ๐๐๐๐ + ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ + โ๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐๐ โ๐ฆ๐ฆ
+ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ โ๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐น๐น โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ
= ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐๐ โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ
26
Net Loop
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ธ๐ธ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐ง๐ง โ๐น๐น โ๐ฆ๐ฆ + ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐ฅ๐ฅ โ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง+ ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ ๐ฆ๐ฆ โ๐ง๐ง โ๐น๐น
= ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ . ๐ ๐ ๐ ๐
27
๏ฟฝ๐๐, ๐ถ๐ถ1
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ
๐ถ๐ถ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐+๏ฟฝ
๐๐, ๐ถ๐ถ2
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= ๏ฟฝ๐๐๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐
= ๏ฟฝ๐๐
0 . ๐ ๐ ๐ ๐
= 0
๏ฟฝ๐๐, ๐ถ๐ถ1
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = โ๏ฟฝ
๐๐, ๐ถ๐ถ2
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= ๏ฟฝ๐๐, ๐ถ๐ถ2
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = constant, regardless of the path
๐๐
๐๐
๐ถ๐ถ1 ๐ถ๐ถ2
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ ๐ ๐๐
28
= ฮฆ ๐๐ โฮฆ โโ
๐ฌ๐ฌ ๐๐ โก โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= ๏ฟฝโโ
๐๐๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= ๏ฟฝโโ
๐๐ ๐๐ฮฆ๐๐๐น๐น
๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ +๐๐ฮฆ๐๐๐ฆ๐ฆ
๏ฟฝ๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐ฮฆ๐๐๐ง๐ง
๏ฟฝ๐๐๐ง๐ง . ๐๐๐น๐น ๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ๐๐๐ฆ๐ฆ + ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ๐๐๐ง๐ง
= ๏ฟฝโโ
๐๐ ๐๐ฮฆ๐๐๐น๐น
๐๐๐น๐น +๐๐ฮฆ๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐๐ฆ๐ฆ +๐๐ฮฆ๐๐๐ง๐ง
๐๐๐ง๐ง = ๏ฟฝโโ
๐๐๐๐ฮฆ
โ๏ฟฝโโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
๐๐ โ โโ๐๐ โ ๐๐
29
ฮฆ ๐๐ โก โ๏ฟฝโโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐
๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐
โโ๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐ + ๏ฟฝ
โโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐
= ฮฆ ๐๐ โฮฆ ๐๐
regardless of the path ๐ถ๐ถ๐๐
๐๐
๐ถ๐ถ
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= โ๏ฟฝโโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐ + ๏ฟฝ
โโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐๐ . ๐ ๐ ๐๐๐
30
Workdone by the electrostatic force ๐ญ๐ญ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ when a charge q moves from a to b
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
๐ญ๐ญ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ = ๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐ ฮฆ ๐๐ โ ฮฆ ๐๐
๐๐
๐๐
๐ถ๐ถ
regardless of the path
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
31
External Workdone by an external force to perfectly balance the electrostatic force
๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๐๐ ฮฆ ๐๐ โ ฮฆ ๐๐๐๐
๐๐
๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๐๐ ฮฆ ๐๐ โ ฮฆ โโ
= ๐๐ ฮฆ ๐๐
๐ญ๐ญ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ = โ ๐ญ๐ญ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐
stored energy !!Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ถ๐ถ
โโ
๐๐
๐ถ๐ถ
๐๐ โ โโ0
32Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping:
๐ฌ๐ฌ ๐๐ =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ 3
= โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
ฮฆ ๐๐ โก1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
=1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐ป๐ปโ1
๐๐ โ ๐๐๐๐
33Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, continued:๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐ป๐ปฮฆ ๐๐
๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐ป๐ป ร ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ = 0
๏ฟฝ๐ถ๐ถ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐ = 0
โ๏ฟฝโโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ฮฆ ๐๐ โฮฆ โโ
34Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, continued:
โ๏ฟฝโโ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = ฮฆ ๐๐
๐ญ๐ญ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ = โ ๐ญ๐ญ ๐๐
๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๏ฟฝโโ
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐ = โ๏ฟฝ
โโ
๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐ . ๐ ๐ ๐๐
= โ ๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐
= ๐๐ ฮฆ ๐๐
35
๐๐1 & 2 = ๐๐1 ฮฆ2 ๐๐1
= ๐๐2 ฮฆ1 ๐๐2
=12๐๐1 ฮฆ2 ๐๐1 +
12๐๐2 ฮฆ1 ๐๐2
๐๐1 ๐๐2
๐ช๐ช
๐๐1 ๐๐2
External work done to assemble charges = Stored Energy
two point charges
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐2
36
๐๐1 ๐๐2
๐ช๐ช
๐๐1 ๐๐2
Additional work for bringing a third charge
๐๐3โ๐๐ = ๐๐3 ฮฆ1 ๐๐3 + ๐๐3 ฮฆ2 ๐๐3
= ๐๐1 ฮฆ3 ๐๐1 + ๐๐2 ฮฆ3 ๐๐2
=12๐๐3 ฮฆ1 ๐๐3 +
12๐๐1 ฮฆ3 ๐๐1 +
12๐๐3 ฮฆ2 ๐๐3 +
12๐๐2 ฮฆ3 ๐๐2
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐3
๐๐1 ๐๐2
37
๐๐1 & 2 & 3 =12๐๐1 ฮฆ2 ๐๐1 +
12๐๐2 ฮฆ1 ๐๐2
+12๐๐3 ฮฆ1 ๐๐3 +
12๐๐1 ฮฆ3 ๐๐1
+12๐๐3 ฮฆ2 ๐๐3 +
12๐๐2 ฮฆ3 ๐๐2
=12๐๐1 ฮฆ2 ๐๐1 + ฮฆ3 ๐๐1
+12๐๐2 ฮฆ3 ๐๐2 + ฮฆ1 ๐๐2
+12๐๐3 ฮฆ2 ๐๐3 + ฮฆ3 ๐๐3
Work needed to assemble three charges(stored energy)
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
38
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐, ๐๐โ ๐๐
๐๐12๐๐๐๐ ฮฆ๐๐ ๐๐๐๐
Work needed to assemble โNโ charges(stored energy)
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
39
๐๐๐๐ =12๐๐๐๐ ๐๐ ฮฆ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ = ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐ = โ ๐๐0 ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐
= โ12๐๐0 ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
Energy Stored in a Continuous Distribution of Charges
โฮฆ ๐๐ ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ = โ ๐ป๐ป. ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ + ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ป๐ปฮฆ ๐๐HW:
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= โ ๐๐0 ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
40
=12๐๐0 โ ๐ป๐ป. ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ + ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ =12๐๐0๏ฟฝ
โโ
+โ
โ ๐ป๐ป. ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ + ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
=12๐๐0 โ ๏ฟฝ
โโ
+โ
ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐ + ๏ฟฝโโ
+โ
๐ป๐ปฮฆ ๐๐ . ๐ป๐ปฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
=12๐๐0๏ฟฝ
โโ
+โ
๐ป๐ปฮฆ ๐๐ 2 ๐๐๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐๐๐ = โ12๐๐0 ฮฆ ๐๐ ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ ๐๐๐๐
0
=12๐๐0๏ฟฝ
โโ
+โ
๐ฌ๐ฌ ๐๐ 2 ๐๐๐๐
41
๐น๐น๐ธ๐ธ ๐๐ โก๐๐๐๐๐๐๐๐
=12๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐ 2
(Electric) Energy and Energy Density
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐ =12๐๐0๏ฟฝ
โโ
+โ
๐ฌ๐ฌ ๐๐ 2 ๐๐๐๐
Magnetostatic Theory
42
steady (constant) current
current density: ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ฑ๐ฑ ๐๐
๐ฑ๐ฑ โก๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
43
Conservation of Electric Charge
๏ฟฝs๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ ๐ ๐ ๐ = โ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
๏ฟฝ๐๐๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐
๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0 ๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐ = 0if then and
always valid due to conservation of charge
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= โ๐๐๐๐๐ก๐ก๏ฟฝ
๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐
โ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐=
44
๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐ = 0
Satisfies ร ViolatesProf. Sergio B. MendesSpring 2018
๏ฟฝs๐ฑ๐ฑ ๐๐ . ๐ ๐ ๐ ๐ = 0
๏ฟฝ๐๐๐๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐ = 0
Continuous Flow of Electric Current
45
Milestones in Magnetostaticsโข 2637 B.C.: reports of magnets by Chinese civilization
โข 3rd century A.D.: Chinese ships used compass
โข 1600: Gilbert, (De Magnete) described Earth as a magnet
โข 800 A.D.: Greek reports on lodestones (magnetite Fe2O3)
โข 1820: Oersted, an electric current deflects a compass
โข 1830โs: Ampere, nearby currents create a force on each other
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
46
Magnetic Forceโข On a moving ๐๐ electric charge (๐๐) due to a magnetic field (๐ฉ๐ฉ)
๐๐๐ญ๐ญ = ๐๐๐๐ ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ
๐ญ๐ญ = ๐๐ ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ Lorentz force
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
โข On an electric current due to a magnetic field ๐ฉ๐ฉ
= I dr ร ๐ฉ๐ฉ = dV ๐ฑ๐ฑ ร ๐ฉ๐ฉ
โข For a non-zero magnetic force, charges must be moving and in a path not collinear with the magnetic field
โข [B] = Tesla in S.I. units
โข Static magnetic force is always orthogonal to the instantaneous direction of charge motion
โข Work: ๐๐๐๐ = ๐ญ๐ญ . ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐ ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ . ๐๐ ๐๐๐ก๐ก = 0
47
Magnetic Fieldis created by electric charges in motion (electric current)
๐ฉ๐ฉ ๐๐ =๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝ๐ถ๐ถ
I ๐๐โฒ d ๐๐โฒ ร๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
=๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝโโ
+โ
๐ฑ๐ฑ ๐๐โฒ dV๐ ร๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
Biot-Savart Law
๐๐๐๐ = 4 ฯ ร 10โ7๐๐๐ด๐ด2
(permeability of free space)Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
48
๐ฉ๐ฉ ๐๐ =๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝโโ
+โ
dV๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐โฒ ร๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
๐ป๐ป. ๐๐ ร ๐๐ = ๐๐ .๐ป๐ป ร ๐๐ โ ๐๐ . ๐ป๐ป ร ๐๐HW:
=๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝโโ
+โ
dV๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3.๐ป๐ป ร ๐ฑ๐ฑ ๐๐โฒ โ ๐ฑ๐ฑ ๐๐โฒ .๐ป๐ป ร
๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3
= โ๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝโโ
+โ
dV๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐โฒ .๐ป๐ป ร ๐ป๐ปโ1๐๐ โ ๐๐๐
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป๐๐ ๐๐ = ๐๐ ๐ป๐ป.๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐๐because: = 0,
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
0
๐ป๐ป. ๐ป๐ป.
49
๐ป๐ป ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐ป๐ป ร๐๐๐๐4 ๐๐
๏ฟฝโโ
+โ
dV๐ J ๐๐โฒ ร๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐ โ ๐๐๐ 3= ๐๐๐๐ J ๐๐HW:
๐ป๐ป ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐Ampรจreโs Law(differential form)
๏ฟฝ๐๐๐ป๐ป ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๐๐๐๐๏ฟฝ
๐๐๐ฑ๐ฑ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐
๏ฟฝ๐ถ๐ถ๐ฉ๐ฉ ๐๐ .๐ ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐๐
Ampรจreโs Law(integral form)
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
50
Vector Potential: ๐จ๐จ ๐๐
๐ป๐ป.๐ฉ๐ฉ ๐๐ = 0
๐ฉ๐ฉ ๐๐ โก ๐ป๐ป ร ๐จ๐จ ๐๐
HW: ๐ป๐ป. ๐ป๐ป ร ๐ธ๐ธ = 0
๐ป๐ป.๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐ป๐ป. ๐ป๐ป ร ๐จ๐จ ๐๐
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
= 0
51
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป ร ๐จ๐จ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป ร ๐๐ = ๐ป๐ป ๐ป๐ป.๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐๐HW:
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐
๐ต๐ต ร ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐ = ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐ โก ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐
52Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐จ๐จ ๐๐ + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ต๐ต ร ๐จ๐จโฒ ๐๐ = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐
๐๐ ร ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ = 0
because
then
We have certain freedom to choose the Vector Potential:
= ๐ฉ๐ฉ ๐๐
53Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐จ๐จ ๐๐ + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐ + ๐ต๐ต.๐ป๐ป๐ฌ๐ฌ ๐๐
= ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐ + ๐ป๐ป2๐ฌ๐ฌ ๐๐
Now, we will find ๐ฌ๐ฌ ๐๐ such that ๐ป๐ป2๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐๐.๐จ๐จ ๐๐ .
๐๐.๐จ๐จ๐ ๐๐ = 0
๐ต๐ต ร ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐
Coulomb gauge
How can we benefit from this freedom?
0
Then we will get:
54Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Big picture in
Electrostatics and Magnetostatics:
55Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฉ๐ฉ ๐๐ = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐ =๐๐ ๐๐๐๐0
๐ฌ๐ฌ ๐๐ = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐
ฮฆ ๐๐ โก1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐ ๐จ๐จ ๐๐ โก๐๐๐๐
4 ๐๐๏ฟฝโโ
+โ๐ฑ๐ฑ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
Electrostatics Magnetostatics
๐๐ ๐๐๐ฑ๐ฑ ๐๐
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = 0โ๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก = 0
charge conservation
๐ฐ๐ฐ
Electrodynamic Theory
56
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐กโ๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
time-dependent theory for electric and magnetic fields
}
57Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
What remains valid ?
58Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฌ๐ฌ, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก โก ๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ
๐๐
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
๐๐๐๐
๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
= ๏ฟฝ๐๐๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐ ๐๐๐๐๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฌ๐ฌ, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โก ๏ฟฝ
๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐0
๐๐๐๐
59Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฉ๐ฉ, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก โก ๏ฟฝ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐ = 0
๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฉ๐ฉ, ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โก ๏ฟฝ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐ .๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ
๐๐๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐ ๐๐๐๐ = 0
60Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
What is new ?
61Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฉ๐ฉ ๐ก๐ก โก ๏ฟฝ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ ๐ ๐ ๐
โ๐๐๐๐๐ก๐ก๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐ฉ๐ฉ ๐ก๐ก = ๏ฟฝ
๐ถ๐ถ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ ๐ ๐๐
Faradayโs Law
โ๐๐๐๐๐ก๐ก๏ฟฝ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ ๐ ๐ ๐
โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
= ๏ฟฝ๐๐๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ ๐ ๐ ๐
62Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
What needs to be modified ?
63Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก +๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 0
๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐๐0๐๐ ๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐0๐๐ ๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก= 0
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 0
= ๐ต๐ต. ๐ต๐ต ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
๐ต๐ต ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐ต๐ต. ๐ต๐ต ร ๐ธ๐ธ ๐๐, ๐ก๐ก
64Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
In summary, Maxwellโs equations:
๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
1.
2.
3.
4.
Gaussโs Law
Faradayโs Law
GeneralizedAmpรจreโs law
Gaussโs Law of Magnetism
65
Vector Potential: ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐๐ = 0
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โก ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ต๐ต. ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
66Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Scalar Potential: ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐ ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก +๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก +๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โก โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
&
โก ๐ต๐ต ร โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
67Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐๐ = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
Fields: ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก & ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
&
Potentials: ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก & ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
68Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
How to determine
the scalar ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก and vector ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก potentials
directly from
the charge ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก and current ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก densities ?
69Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
๐ต๐ต. โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
=
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
Gaussโs Law
70Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐ก
โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ต๐ต ร ๐๐ = ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐๐
๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0 ๐ต๐ต๐๐ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก +๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
Remember HW:
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 + ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
Ampรจreโs Law
71Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ป๐ป.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 + ๐ป๐ป ๐ป๐ป.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐๐๐๐ก๐ก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
The scalar ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก and vector ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก potentials can then be determined from
the charge ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก and current ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก densities:
72Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
How can we simplify those equations ?
73Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
We have certain freedom to choose the vector and scalar potentials:
๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โก ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก โก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ต๐ตฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
= โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
= โ๐ต๐ต ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
= ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
Conclusion: if ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก & ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก is a solution then ๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก & ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก (as defined above) is also a
solution, and vice-versa.
= ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐๐๐๐๐ก๐ก ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
??
74Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก = ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
How can we use the freedom in the choice of the potentials
โ๐ป๐ป2ฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
to simplify the following equations:
75Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก = ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต.๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก +
+ ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐๐๐๐ก๐ก
โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ป๐ป๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
= โ ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
We now solve for ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก such that ๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐๐ฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐ :
= ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
76Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ต๐ต.๐จ๐จโฒ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
โ๐ป๐ป2ฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0
๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จโฒ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จโฒ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ป๐ป2ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2ฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2=๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
Lorenz gauge
= 0
77Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2=๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
In the Lorenz gauge:
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก determines ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก determines ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
78Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping:
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก +๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 0
๐ต๐ต.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
๐ต๐ต.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐ต๐ต ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ญ๐ญ = ๐๐ ๐ฌ๐ฌ + ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ
79Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐๐ = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
80Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐๐ = ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐ต๐ตฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
ฮฆโฒ ๐๐, ๐ก๐ก โก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โก ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ต๐ต๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
= ๐ต๐ต ร ๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
= โ๐ต๐ตฮฆ๐ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐จ๐จ๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
81Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก2=๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
Lorenz gauge:
= 0
82Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
In addition to the Lorenz gauge, there are other possible choices to
simplify the equations below !!
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
83Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
The Coulomb gauge
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
+ ๐ต๐ต ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐กฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 + ๐๐๐๐ ๐๐0 ๐ต๐ต
๐๐๐๐๐ก๐ก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
or radiation gauge or transverse gauge
= 0
= 0
84Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐โฒ, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
โ๐ป๐ป2ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
85Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐0 ๐ต๐ต
๐๐๐๐๐ก๐ก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ1
4 ๐๐ ๐ต๐ต๐๐๐๐๐ก๐ก
๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐โฒ, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
= ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก +1
4 ๐๐ ๐ต๐ต ๏ฟฝโโ
+โ๐ต๐ต๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐๐, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ๐ป๐ป ๐๐, ๐ก๐ก
๐ต๐ต. ๐ฑ๐ฑ๐ป๐ป ๐๐, ๐ก๐ก = 0๐ฑ๐ฑ๐ป๐ป ๐๐, ๐ก๐ก โก ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก +1
4 ๐๐ ๐ต๐ต ๏ฟฝโโ
+โ๐ป๐ป๐. ๐ฑ๐ฑ ๐๐๐, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ ๐๐๐๐๐
ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐โฒ, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐
86Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐๐ = ๐ป๐ป ร ๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐0 ๐ต๐ต
๐๐๐๐๐ก๐ก ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก
The Coulomb gauge ๐ต๐ต.๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก = 0is particularly useful in the absence of
charges ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก = 0 and currents ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
ฮฆ ๐๐, ๐ก๐ก =1
4 ๐๐ ๐๐0๏ฟฝโโ
+โ๐๐ ๐๐โฒ, ๐ก๐ก๐๐ โ ๐๐โฒ
๐๐๐๐๐ = 0= 0
= 0= 0
= 0
โ๐ป๐ป๐๐๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐จ๐จ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2 = 0
87Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Conservation Theorems
88Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Energy and Power
๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก .
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก .
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก =
= โ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก .๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก .๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
89Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป. ๐๐ ร ๐๐ = ๐๐ .๐ป๐ป ร ๐๐ โ ๐๐ . ๐ป๐ป ร ๐๐HW:
= ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
= โ12๐๐ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐กโ ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0
12๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐ก
= โ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก .๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โ ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก .๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ป๐ป. ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
+๐๐02๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐ก+
12 ๐๐๐๐
๐๐ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐ก+ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐ป๐ป. ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
90Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป. ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
+๐๐02๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐ก+
12 ๐๐๐๐
๐๐ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ก๐ก+ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐ป๐ป.๐ข๐ข +๐๐๐น๐น๐ธ๐ธ๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐น๐น๐ต๐ต๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐ค๐ค๐๐๐ก๐ก
= 0
๐ข๐ข โก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
๐น๐น๐ธ๐ธ =๐๐02 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐น๐น๐ต๐ต =1
2 ๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐๐๐ค๐ค๐๐๐ก๐ก = ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
Differential form of conservation of energy
(per-unit-time)
Poynting vector
91Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๏ฟฝ๐๐
๐ป๐ป.๐ข๐ข +๐๐๐น๐น๐ธ๐ธ๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐น๐น๐ต๐ต๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐ค๐ค๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐ = 0
๏ฟฝ๐๐๐ข๐ข .๐ ๐ ๐ ๐ +
๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ต๐ต๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
๏ฟฝ๐๐๐ข๐ข .๐ ๐ ๐ ๐ +
๐๐๐๐๐ก๐ก๏ฟฝ
๐๐๐น๐น๐ธ๐ธ + ๐น๐น๐ต๐ต + ๐ค๐ค ๐๐๐๐ = 0
Integral form of conservation of
energy (per-unit-time)
92Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐.๐ข๐ข +๐๐๐๐๐ก๐ก
๐น๐น๐ธ๐ธ + ๐น๐น๐ต๐ต + ๐ค๐ค = 0
๐ข๐ข โก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
๐น๐น๐ธ๐ธ =๐๐02๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก 2 ๐น๐น๐ต๐ต =
12 ๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก 2
๐ค๐ค = ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก . ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
Recapping: Power Conservation
๏ฟฝ๐๐๐ข๐ข .๐ ๐ ๐ ๐ +
๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ต๐ต๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
93Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
HW: From Maxwellโs equations, prove the following relation:
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+ ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
= 0
94Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
HW: Show that
= ๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐012๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ +
1๐๐๐๐
12๐ฉ๐ฉ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐ +
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐ =
95Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Linear Momentum
๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก +๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 0
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 01๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร
โ ๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
= 0
๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = 0โ1๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร
96Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+ ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
= 0
97Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐ = ๐๐๐ญ๐ญ๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐ญ๐ญ๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐๐the Lorentz force (per-unit-volume) due to the fields acting on charged particles
(charges and currents)the rate of
change of the linear momentum (per-unit-volume) of the charged
particles
=๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐๐, ๐ก๐กโก ๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๐ก๐ก
98Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
+๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
= 0
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+ ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก+ ๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๐ก๐ก
99Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก โก ๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
Linear momentum (per-unit-volume) associated withthe E & B fields
๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
=๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
= ๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ข๐ข
100Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
+๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= 0
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐๐
101Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
+๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
= 0
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐
Letโs calculate one Cartesian component:
102Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐๐๐ = ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐
๐ฌ๐ฌ ร ๐ธ๐ธ ๐๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐๐๐๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
otherwise
(1,2,3) or (2,3,1) or (3,1,2)
(1,3,2) or (3,2,1) or (2,1,3)
= 0
= + 1
= - 1
= ๏ฟฝ๐๐=1
3
๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐=1
3
๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐ธ๐ธ๐๐๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐
103Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
๐ฌ๐ฌ ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
= ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
104Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐ = ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
= ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
=12๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
โ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
=12๐๐ ๐ฌ๐ฌ 2
๐๐๐น๐น๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ
๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐น๐น๐๐
=๐๐๐๐๐น๐น๐๐
12๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐
105Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
+๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐๐ก๐ก
= 0
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก ๐๐
106Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐012๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐
+๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐น๐น๐๐
1๐๐๐๐
12๐ฉ๐ฉ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐๐๐๐๐ โก ๐๐012๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ +
1๐๐๐๐
12๐ฉ๐ฉ 2 ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
Maxwellโs stress tensor
107Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐๐๐ + ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐ = 0
๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐ก๐ก๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ = 0
โ๐น๐น๐๐
108Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐น๐น๐๐ = โ๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๐ญ๐ญ = โ๏ฟฝ๐๐๐ป๐ป . ๏ฟฝ๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ ๐ป๐ป . ๏ฟฝ๐๐
= โ๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ๐๐
unit vector normal to
the surface
๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐
= โ๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐๐
109Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐๐๐๐๐ โก ๐๐012๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ +
1๐๐๐๐
12๐ฉ๐ฉ 2 ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
= ๐๐0 โ12๐ฌ๐ฌ 2 ๏ฟฝ๐๐ + ๐ฌ๐ฌ ๐ฌ๐ฌ. ๏ฟฝ๐๐ +
1๐๐๐๐
โ12๐ฉ๐ฉ 2 ๏ฟฝ๐๐ + ๐ฉ๐ฉ ๐ฉ๐ฉ. ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ ๐ป๐ป . ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ๐๐02๐ฌ๐ฌ 2 +
12 ๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ 2 ๏ฟฝ๐๐ + ๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐ฌ๐ฌ. ๏ฟฝ๐๐ +1๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐ฉ๐ฉ. ๏ฟฝ๐๐
along the surface normal and always compressingthe surface inwards
along the fieldsand always tensioningthe surface outwards
110Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping:
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ
+1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ โ๐ฉ๐ฉ ๐๐.๐ฉ๐ฉ
111Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= ๐๐ ๐ฌ๐ฌ + ๐ฑ๐ฑ ร ๐ฉ๐ฉ =๐๐๐ญ๐ญ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
โก ๐๐๐ฟ๐ฟ
๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
โก ๐๐0 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ฌ๐ฌ ร๐ฉ๐ฉ๐๐๐๐
= ๐๐0 ๐๐๐๐๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก
๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ โ ๐ฌ๐ฌ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐ +1๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ โ๐ฉ๐ฉ ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐ โก๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐๐
๐๐๐๐๐๐ โก ๐๐012๐ฌ๐ฌ 2๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ +
1๐๐๐๐
12๐ฉ๐ฉ 2 ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ โ ๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
112Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
๏ฟฝ๐๐
๐๐.๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐ = 0
๏ฟฝ๐๐๐ป๐ป.๐ ๐ ๐ ๐ +
๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ท๐ท + ๐ฎ๐ฎ = 0
โ๐ป๐ป: the force (per-unit-area) creates a change in the total linear momentum
from both fields and particles
๐๐.๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
Conservation of Linear Momentum
๏ฟฝ๐๐=1
3๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
113Prof. Sergio B. MendesSpring 2019
Recapping, cont.:
โ ๐๐๐๐๐๐ โก โ๐๐02๐ฌ๐ฌ 2 +
12 ๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ 2 ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ + ๐๐0 ๐ธ๐ธ๐๐ ๐ธ๐ธ๐๐ +1๐๐๐๐๐ต๐ต๐๐ ๐ต๐ต๐๐
๐๐๐น๐น๐๐ = โ๏ฟฝ๐๐=1
3
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ๐๐02๐ฌ๐ฌ 2 +
12 ๐๐๐๐
๐ฉ๐ฉ 2 ๏ฟฝ๐๐ + ๐๐0 ๐ฌ๐ฌ ๐ฌ๐ฌ. ๏ฟฝ๐๐ +1๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐ฉ๐ฉ. ๏ฟฝ๐๐
along the surface normal and always compressingthe surface inwards
along the fieldsand always tensioningthe surface outwards
114Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ โฅ ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ๐๐02๐ฌ๐ฌ 2 ๏ฟฝ๐๐
๐ฉ๐ฉ โฅ ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= โ1
2 ๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ 2๏ฟฝ๐๐
๐ฉ๐ฉ = ๐๐ ๐ฌ๐ฌ = 0
๐๐๐ญ๐ญ๏ฟฝ๐๐ ๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐
115Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐๐ญ๐ญ๏ฟฝ๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ญ๐ญ
crashing can
116Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
117Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ฌ๐ฌ โฅ ๏ฟฝ๐๐ or โ๏ฟฝ๐๐๐ฉ๐ฉ = ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= +๐๐02๐ฌ๐ฌ 2 ๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ๐๐๐๐
= +1
2 ๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ 2๏ฟฝ๐๐
๐ฉ๐ฉ โฅ ๏ฟฝ๐๐ or โ ๏ฟฝ๐๐๐ฌ๐ฌ = ๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐๐๐๐ญ๐ญ
118Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐
๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ
๐๐๐ญ๐ญ
๏ฟฝ๐๐
๏ฟฝ๐๐
๐๐๐ญ๐ญ
119Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
Angular Momentum
๐ต๐ต.๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+ ๐๐๐ฟ๐ฟ = 0๐๐ ร
๐๐ ร ๐ต๐ต.๐ป๐ป + ๐๐ ร๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+ = 0๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โก ๐๐ ร ๐๐๐ฟ๐ฟ =๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก
We have found that:
the Lorentz torque (per-unit-volume)due to the fields acting on charged particles (charges and currents)
๐๐ ร ๐๐๐ฟ๐ฟ
the rate of change of the angular momentum (per-unit-volume) of the charged particles
120Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ต๐ต. ๐๐ ร ๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก= 0
๐๐ ร ๐ต๐ต.๐ป๐ป + ๐๐ ร๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก= 0
๐๐๐๐๐๐ โก ๐๐ ร ๐๐
๐๐ ร ๐ต๐ต.๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก= 0
๐๐ ร ๐ต๐ต.๐ป๐ป = ๐ต๐ต. ๐๐ ร ๐ป๐ป
๐๐ ร ๐ต๐ต.๐ป๐ป +๐๐ ๐๐ ร ๐๐
๐๐๐ก๐ก+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก= 0
HW:
121Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ต๐ต. ๐๐ ร ๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก= 0
๏ฟฝ๐๐
๐ต๐ต. ๐๐ ร ๐ป๐ป +๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ = 0
๏ฟฝ๐๐
๐๐ ร ๐ป๐ป .๐ ๐ ๐ ๐ +๐๐๐๐๐ก๐ก
๐ณ๐ณ๐๐๐๐ + ๐ณ๐ณ๐๐๐๐๐๐๐ = 0
๐ต๐ต โก ๐๐ ร ๐ป๐ปโ๐ต๐ต: the torque (per-unit-area) creates a change in the total angular momentum
from both fields and particles
122Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก =
๐ป๐ป.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
๐ป๐ป ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
Electromagnetic Waves๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก = 0 ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก = 0
+ ๐๐๐๐ ๐ฑ๐ฑ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐0
Consider: &
0
123Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป ร ๐๐ = ๐ป๐ป ๐ป๐ป.๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐๐HW:
๐ต๐ต ร ๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐ ๐๐.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ป๐ป.๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐
๐ป๐ป๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
= โ๐๐ ร๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= โ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
124Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ต๐ต ร
๐ป๐ป ร ๐ป๐ป ร ๐๐ = ๐ป๐ป ๐ป๐ป.๐๐ โ ๐ป๐ป๐๐๐๐HW:
๐ต๐ต ร ๐๐ ร ๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐ ๐๐.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก โ ๐๐๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ป๐ป.๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐
๐ป๐ป๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
= ๐๐๐๐ ๐๐0 ๐๐ ร๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
= ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐ ร ๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก
125Prof. Sergio B. MendesSpring 2018
๐ป๐ป๐๐๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐ฌ๐ฌ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
๐ป๐ป๐๐๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐0๐๐2๐ฉ๐ฉ ๐๐, ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก2
๐ฃ๐ฃ =1๐๐๐๐ ๐๐0
โ 2.99792458 ร 108 m/s