Fotonika - fiz.fmf.uni-lj.sitine/fotonika.pdf · velike zakasnitve ˝sta polji E(0) in E(˝)...

Univerza v LjbuljaniFakulteta za Matematiko in Fiziko

Fotonika

skripta

prof. dr. Martin opi£

Ljubljana, 2011

Kazalo

1 Koherenca 6

1.1 asovna koherenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Zveza med avtokorelacijsko funkcijo in spektrom . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Prostorska koherenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Koherentni snopi svetlobe 12

2.1 Obosna valovna ena£ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Osnovni Gaussov snop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Snopi vi²jega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Transformacije snopov z le£ami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Linearne racionalne transformacije kompleksnega krivinskega radija . . . . 20

3 Opti£ni resonatorji 23

3.1 Gaussovi snopi v resonatorjih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Resonan£ne frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Izgube v resonatorjih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Obravnava z uklonskim integralom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Sklopitev resonatorja z okolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Sklopitev dveh resonatorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Interakcija svetlobe s snovjo 39

4.1 Kvantizacija elektromagnetnega polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Sevanje £rnega telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Absorpcija, spontano in stimulirano sevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Absorpcijski koecient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5 Nasi£enje absorpcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6 Opti£no oja£evanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Opti£no £rpanje trinivojskega sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.8 *Homogena in nehomogena raz²iritev spektralne £rte . . . . . . . . . . . . 494.9 *Nasi£enje nehomogeno raz²irjene absorpcijske £rte . . . . . . . . . . . . . 504.10 Izpeljava verjetnosti za prehod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Laser 55

5.1 Zasedbene ena£be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Spektralna ²irina enega laserskega nihanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Primerjava laserjev in obi£ajnih svetil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Mnogofrekven£ni laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3

Kazalo

5.5 Relaksacijske oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6 Delovanje v sunkih s preklopom dobrote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.7 Uklepanje faz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8 *Stabilizacija frekvence laserja na nasi£eno absorpcijo . . . . . . . . . . . . 745.9 *Absolutna meritev frekvence laserja in denicija metra . . . . . . . . . . 765.10 *Semiklasi£ni model laserja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Primeri laserjev 84

6.1 Neodimov laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 He-Ne laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3 Argonski ionski laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Laser na ogljikov dioksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5 Ekscimerni laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.6 Laserji na organska barvila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.7 Titan-sarni laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.8 Polvodni²ki laserji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Modulacija svetlobe 95

7.1 Elektroopti£ni pojav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Amplitudna modulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Fazna in frekven£na modulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 Modulacija pri visokih frekvencah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.5 Elastoopti£ni pojav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6 Braggov uklon na zvo£nih valovih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.7 Modulacija s teko£imi kristali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.8 Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Nelinearna optika 114

8.1 Podvajanje frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.2 Podvojevanje Gaussovih snopov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 *Ra£un podvajnja Gaussovih snopov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.4 Parametri£no oja£evanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.5 Nelinearni pojavi 3. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.6 Samozbiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.7 Opti£ni solitoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.8 Opti£na fazna konjugacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9 Opti£na vlakna 131

9.1 Planparalelni vodnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2 Cilindri£no vlakno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.3 Cilindri£no vlakno s paraboli£nim prolom lomnega koli£nika . . . . . . . 1349.4 Sprememba lomnega koli£nika vlakna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5 Izgube v opti£nih vlaknih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.6 Disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4

Kazalo

9.7 Potovanje sunka po enorodovnem vlaknu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5

1 Koherenca

Pojem koherence svetlobe je povezan s pojavom interference. Ohlapno pravimo, da jesvetloba, s katero se posre£ijo interferen£ni poskusi, koherentna. Poskusimo deniratipojem koherence bolj natan£no.Da bomo razumeli, zakaj ni mogo£e z vsakim svetlobnim izvorom opazovati interfer-

en£nih pojavov, vzemimo interferenco na dveh reºah. Pri obi£ajni enostavni obravnavipredpostavimo, da sta obe reºi osvetljeni z ravnim valovanjem, tako da imata delni val-ovanji, ki izhajata iz reº, ves £as poskusa enako fazno razliko. Interferen£ni vzorec naoddaljenem zaslonu je tedaj le posledica razlike poti obeh valovanj od reº do dane to£kezaslona. Predpostavka konstantne faze valovanja, ki vpada na reºi, pa je do neke mereupravi£ena le, £e je izvor kvaliteten laser, kot bomo videli kasneje, pri obi£ajnih svetilihpa ne.Faza svetlobe obi£ajnega svetila se slu£ajno spreminja s karakteristi£nim £asom, ki

je skoraj vedno bistveno kraj²i kot £as, v katerem lahko opazujemo interferenco. e jezakasnitev enega delnega valovanja proti drugemu, ki nastane zaradi razli£no dolgih poti,ve£ja kot karakteristi£ni £as spreminjanja faze, bomo na danem mestu zaslona imeli zdajkonstruktivno, zdaj destruktivno interferenco in v dolgem £asu opazovanja interferencane bo vidna.Spreminja se tudi fazna razlika valovanja v obeh reºah. To moramo pri²teti fazni

razliki zaradi razli£no dolgih poti do zaslona, zaradi £esar se na zaslonu interferen£naproga nekoliko premakne. Ker se fazna razlika na reºah s £asom spreminja, poplesavanjeinterferen£nih prog delno ali v celoti izpovpre£i interferen£ni vzorec, odvisno od povpre£nevelikosti fazne razlike med obema reºama.Razloºimo, zakaj se faza svetlobe obi£ajnih svetil slu£ajno spreminja. Naj bo izvor

plinska razelektritvena cev. Z ustreznim ltrom izberimo eno samo spektralno £rto, kiima seveda kon£no frekven£no ²irino. V splo²nem je ta posledica naravne ²irine, raz²iritvezaradi trkov in zaradi Dopplerjevega pojava. Da bo razaprava kar se da enostavna, najdominira raz²iritev zaradi trkov, Dopplerjevo pa zanemarimo.Elektri£na poljska jakost v izbrani to£ki prostora je vsota delnih valov, ki izvirajo

iz raznih delov izvora. Vsak atom, naj jih bo N, seva neodvisno, zato so tudi delnavalovanja med seboj neodvisna. Konstantno fazo ohranjajo v £asu med dvema trkomaatoma, recimo mu tc. Njihovo vsoto je mo£ predstaviti v kompleksni ravnini, kjer jeamplituda delnih valovanj modul, faza pa argument, kot kaºe slika 2.1. Faza celotnegapolja je o£itno tudi slu£ajna in se gotovo povsem spremeni v £asu, ko se spremeni fazaposameznih pripsevkov, to je tc, povpre£na velikost skupne amplitude je ni£, povpre£nikvadrat skupnega polja, ki je sorazmeren z gostoto svetlobnega toka, pa je NE2

1 , kjer jeE1 amplituda sevanega polja posameznega atoma. Shemati£no kaºe amplitudo celotnegapolja kot funckijo £asa slika 2.2, gostoto toka pa slika 2.3. Pribliºno konstantna faza se

6

1.1 asovna koherenca

v izbrani to£ki ohranja v £asu tc, ki ga imenujmo koheren£ni £as. S tako svetlobo bomovideli interferenco, £e bo razlika poti delnih valovanj manj²a od c tc.Koheren£ni £as je zvezan s spektralno ²irino svetlobe. Rekli smo, da je tc £as, ki ga

imajo atomi na voljo, da nemoteno sevajo. Valovni paket dolºine tc mora vsebovatifrekvence v pasu ∆ω, za katerega velja tc∆ω ∼ 1. Koheren£ni £as je torej kar redavelikosti obratne vrednosti spektralne ²irine svetlobe.Kako pa je s fazno razliko valovanj v dveh to£kah, ki sta nekoliko razmaknjeni v smeri

pravokotno na ²irjenje svetlobe? Prispevki iz razli£nih delov svetila opravijo do obehto£k razli£no dolgo pot, zato se tudi faza med njima spremeni. Razlika faz bo temve£ja, £im bolj sta razamaknjeni to£ki in £im razseºnej²e je svetilo. Obenem se sevedaspreminja v £asu tc. Interferenco na dveh reºah dobimo, £e sta razmaknjeni le toliko,da je povpre£na fazna razlika manj²a od 2π. Najve£jemu pre£nemu razmiku, ki ²e dainterferenco, recimo pre£na koheren£na razdalja dc. Ta je sorazmerna z velikostjo svetila,kot bomo podrobneje videli v razdelku 1.3.Velja poudariti, da je pojem koherence statisti£en. V £asu, ki je kratek v primerjavi

s tc, se vedno se²tevajo amplitude valovanj in dobimo neko interferen£no sliko. Ta seslu£ajno spreminja z zna£ilnim £asom tc in £e je £as opazovanja mnogo dalj²i, dobimole povpre£eno sliko, pri kateri interferen£ne proge izignejo, kadar so razlike poti ve£je odctc ali razmik reº ve£ji od dc.

1.1 asovna koherenca

asovno koherenco je najlaºje obravnavati na primeru Michelsonovega interferometra,ki ga kaºe slika 2.4. Valovanje iz to£ke P razdelimo na polprepustnem zrcalu na dvadelna snopa in enega s premikanjem zrcala zakasnimo. Z zaslonko doseºemo, da nainterferometer res pade le valovnaje iz to£ke P, s kolimacijsko le£o pa doeseºemo, daje £im ve£ ºarkov, ki izhajajo iz P, paralelnih z osjo interferometra. Mo£, ki jo zaznadetektor, je sorazmerna s kvadratom elektri£ne poljske jakosti obeh delnih valovanj:

|Ed(t)|2 = |E(t) + E(t+ τ)|2 = |E(t)|2 + |E(t+ τ)|2 + 2ReE(t)E∗(t+ τ) . (1.1.1)

Zakasnitev τ je dolo£ena s premikom pomi£nega zrcala, τ = 2x/c. Navadno opazujemov £asu T , ki je dolg v primerjavi s koheren£nim £asom, zato moramo ²e povpre£iti po£asu:

〈|E|d|2〉 =1

T

ˆ T/2

−T/2|E|d(t)|2 dt

= 2〈|E|2〉+ 2Re〈E(0)E∗(τ)〉= 2[I0 +ReG(τ)] . (1.1.2)

Prvi £len je vsota povpre£nih mo£i obeh delnih snopov, drugi pa opisuje interferenco. Vnjem smo predpostavili, da je polje v povpre£ju satcionarno in je zato povpre£je neodvisno

7

1 Koherenca

od izbire za£etka ²tetja £asa. Ta interferen£ni £len je £asovna avtokorelacijska fukcijaelektri£nega polja, ki izhaja iz to£ke P.Ugotovili smo, da se elektri£na poljska jakost svetlobe naklju£no spreminja. Za dovolj

velike zakasnitve τ sta polji E(0) in E(τ) statisti£no neodvisni in je povpre£je produktaenako produktu povpre£ij. Ker je 〈E〉 enako 0, pri velikih zakasnitvah torej ne dobimo in-terference in se se²tevajo le mo£i delnih snopov. Koheren£ni £as tc sedaj lahko deniramokot tisto zakasnitev, pri kateri postane vrednost avtokorelacijske funkcije majhna.Zakasnitev delnih valov je navadno posledica razli£no dolgih opti£nih poti, zato pogosto

uporabljamo namesto koheren£nega £asa tudi koheren£no dolºino lc = ctc. Pri temmoramo biti toliko pozorni, da koheren£ne dolºine ne zame²amo s pre£no koheren£norazdaljo, o kateri bo govora nekoliko kasneje.

1.2 Zveza med avtokorelacijsko funkcijo in spektrom

asovna avtokorelacijska funkcija polja svetlobe, ki smo jo sre£ali v prej²njem razdelku,je zvezana s spektrom svetlobe. Spekter deniramo kot gostoto svetlobne mo£i nafrekven£ni interval. Izra£unamo ga lahko kot absolutni kvadrat Fourierove transforma-cije polja. Pri tem je potrebno nekaj previdnosti; za stacionarno svetlobo, pri kateri jepovpre£na mo£ konstantna, Fourierova transformacija v obi£ajnem smislu ne obstaja.Postopajmo takole. Vzemimo vzorec £asovne odvisnosti svetlobnega polja, ki traja £as

T . T mora biti mnogo dalj²i od tc, na koncu ra£una bi morali pravzaprav napraviti limitoT → ∞, da rezultat ni odvisen od konkretnega vzorca svetlobnega polja. Polje razvijmov Fourierovo vrsto:

E(t) =∑n

A(n) ein∆ωt , ∆ω =2π

T. (1.2.1)

Amplitude A(n) so

A(n) =1

T

ˆ T/2

−T/2E(t) ein∆ωt dt . (1.2.2)

|A(n)|2 je sorazmeren mo£i komponente pri frekvenci n∆ω; da dobimo spekter, moramo²e deliti s frekven£nim intervalom ∆ω. Tako je spekter

S(ω) =T

2π|A(n)|2 . (1.2.3)

Zapi²imo sedaj spekter z upo"tevanjem izraza 1.2.2 za amplitudo A(n):

S(ω) =1

2πT

ˆ ˆ T/2

−T/2E(t)E∗(t′) eiω(t−t′) dt dt′ (1.2.4)

Uvedimo novo spremenljivko τ = t′ − t. Integral po t nam da ravno korelacijsko funkcijoG(τ). Ker je T tc, je korelacijska funkcija na mejah druge integracije po τ ni£ in lahkomeje raztegnemo do neskon£nosti. S tem dobimo iskano zvezo

S(ω) =1

2π

ˆ ∞

−∞G(τ)e−iωτ dτ . (1.2.5)

8

1.3 Prostorska koherenca

Spekter je torej Fourierova transformacija avtokorelacijske funkcije svetlobnega polja.V prej²njem razdelku smo videli, da £asovno avtokorelacijsko funkcijo merimo z Michel-sonovim interferometrom. Dobljena zveza s spektrom je osnova za Fourierovo spek-troskopijo, ki ima nekatere pomembne prednosti pred drugimi metodami in se danesprecej uporablja, posebej v infrarde£em podro£ju. Iz 1.2.5 seveda tudi sledi, da je ko-heren£ni £as tc pribliºno enak obratni vrednosti spektralne ²irine svetlobe.


Vrnimo se k obravnavi interference na dveh ozkih reºah, ki ju osvetljuje svetilo kon£nihrazseºnosti. Svetilo naj ²e vedno sveti skoraj enobarvno svetlobo in naj bo na simetralimed reºama, kot kaºe slika. arka, ki izhajata iz sredine svetila, opravita do obeh reº vravnini A enako dolgo pot in dasta na zaslonu B interferen£ne proge. arka, ki izahjataiz roba izvora, imata do reº razli£no dolgo pot, zato nastane med njima fazna razlikaºe tudi do ravnine A, ki se pri²teje fazni razliki v ravnini B. Interferen£ne proge, ki jihtvorita robna ºarka, so zato premaknjene glede na proge centralnih ºarkov. arki z robaso pri na²em svetilu statisti£no neodvisni od ºarkov is sredine in z njimi ne interferirajo.Celoten interferen£ni vzorec zato dobimo tako, da se²tejemo interferen£ne vzorce ºarkoviz razli£nih delov svetila. e bo razlika poti za ºarke z roba reda velikosti valovne dolºineλ ali ve£, se bo torej celotna interferen£na slika na zaslonu B izpovpre£ila. Iz slikerazberemo, da velja za razdaljo dc med obema reºama, pri kateri interferen£ne progeizginejo, pribliºno

R

zdc = ∆s ' λ ⇒ dc '

zλ

R(1.3.1)

dc imenujmo pre£no koheren£no razdaljo. Pogosto uporabljajo tudi pojem koheren£neploskve, to je obmo£ja, v katerem je fazna razlika v povpre£ju konstantna. Velikost teploskve je pribliºno d2c . V obmo£ju koheren£ne ploskve so tudi valovne fronte pribliºnogladke.Merjenje pre£ne koheren£ne razdalje svetlobe zvezd je osnova za Michelsonovo metodo

dolo£anja zvezdnih premerov. Svetlobo izbrane zvezde zberejo v teleskop preko dvehmanj²ih parov zrcal, kjer sta zunanji zrcali na pomi£nih rokah, tako da jih je mogo£erazmikati. Glavno zrcalo teleskopa zbere svetlobna snopa v gori²£ni ravnini, kjer nas-tanejo interferen£ne proge, £e le pomi£ni zrcali nist preve£ razmaknjeni. Iz razmika, prikaterem interferen£ne proge izginejo, je mogo£e dol£iti premere bliºnjih svetlih zvezd.Za zvezdo velikosti 106 km v razdalji 10 svetlobnih let je pre£na koheren£na razdaljaza zeleno svetlobo okoli 10 m, kar je Michelsonovim zvezdnim interferometrom mogo£eizmeriti. Pri zvezdah, ki so dlje od nekaj deset svetlobnih let, metoda odpove.Zapi²imo gornje pribliºne ugotovitve nekoliko bolj strogo. Na zaslonu B izmerimo

gostoto svetlobnega toka, ki je sorazmerna povpre£ju kvadrata elektri£ne poljske jakostivalovanj, ki izhajata iz odprtin:

〈|E|d|2〉 = |K1|2〈|E1|2〉〈+|K2|2〈|E2|2〉+ 2ReK1K∗2 〈E1(0)E

∗2(τ)〉 (1.3.2)

kjer je τ = a sinϕ/c zakasnitev valovanja iz druge odprtine glede na valovanje iz prve.Faktorja K1 in K2 sta dolo£ena z uklonom na posameznih odprtinah in se nam zanju

9

1 Koherenca

ni treba posebej zanimati. Interferen£na slika je vsebovana v podobnem £lenu kot priMichelsonovem interferometru, le da imamo sedaj namesto avtokorelacijske medsebojnokorelacijsko funkcijo polj E1 in E2 iz obeh odprtin.Kako je interferen£ni £len povezan z lastnostmi svetila, brez teºav doºenemo v izbranem

primeru skoraj enobarvne svetlobe s srednjo frekvenco ω. Tedaj lahko za zakasnitve τmanj²e od koheren£nega £asa zapi²emo

E2(τ) = E2(0) e−iωτ (1.3.3)

in〈E1(0)E

∗2(τ)〉 = 〈E1(0)E

∗2(0)〉 eiωτ = J(P1, P2) e

iωτ . (1.3.4)

Re e−iωτ = cos(ka sinϕ) nam da ravno interferen£ne proge za koherentno osvetlitev za-slona A, povpre£je produkta polj v odprtinah ob istem £asu J(P1, P2) = 〈E(P1, 0)E

∗(P2, 0)〉pa meri stopnjo pre£ne koherence med obema odprtinama in je od njega odvisen kontrastinterferen£nih prog.Polje v odprtinah je vsota prispevkov iz vsega izvora:

E(Pj) =i

λ

ˆE(ξ, η)

eiksj

sjdξ dη . (1.3.5)

Faktor pred integralom i/λ smo dobili iz uklonske teorije. Tako je

J(P1, P2) =1

λ2

ˆ ˆ〈E(ξ, η)E∗(ξ′, η′)〉e

ik(s1−s′2)

s1s′2dξ dη dξ′dη′ . (1.3.6)

V na²em svetilu sevajo atomi neodvisno. Po drugi strani se svetlobno polje gotovone more znatno spremeniti na razdalji, manj²i od valovne dolºine. Od tod sledi, da stavalovanji, ki izhajta iz dveh to£k svetila, razmaknjenih za ve£ kot λ, neodvisni in jepovpre£je njunega produkta enako ni£. Tako pribliºno velja

〈E(ξ, η)E∗(ξ′, η′)〉 = λ2

πδ(ξ − ξ′, η − η′)〈|E(ξ, η)|2〉 . (1.3.7)

Faktor λ2/π poskrbi za ustrezno normalizacijo funkcije delta. Naj bo ²e oddaljenostsvetila od zaslona A mnogo ve£ja od dimenzije svetila, da lahko imenovalec pod inte-gralom v izrazu 1.3.6 nadomestimo z z2 in postavimo pred integral, pa dobimo

J(P1, P2) =1

πz2

ˆ〈|E(ξ, η)|2〉eik(s1−s2) dξ dη . (1.3.8)

Dobljeni izraz lahko ²e nekoliko poenostavimo, £e razvijemo s1 in s2 do drugega reda:

sj =√z2 + (xj − ξ)2 + (yj − η)2 ' z +

(xj − ξ)2 + (yj − η)2

2z, (1.3.9)

kjer sta xj , yj) koordinati to£ke Pj . Pi²imo ²e 〈|E(ξ, η)|2〉 = I(ξ, η) ter δx = x2 − x1 inδy = y2 − y1. S tem dobimo znani rezultat Van Citterta in Zernikea

J(x1, y1, x2, y2) =e−iφ

πz2

ˆI(ξ, η) exp [ik(∆xξ +∆yη)] dξ dη , (1.3.10)

10


kjer je fazaφ =

π

λz[(x22 + y22)− (x21 + y21)] (1.3.11)

razli£na od ni£, kadar odprtini v zaslonu A in svetilo ne leºijo simetri£no na isti osi.Dobljeni rezultat si je vredno nekoliko ogledati. Pre£no prostorsko korelacijsko funkcijo

J(P1, P2), ki dolo£a kontrast interferen£ih prog, smo izrazili kot Fourierovo transformacijointenzitete svetlobe na samem svetilu. Ob tem se spomnimo, da velja podobna zvezamed poljem v osvetljeni odprtini in njeno Fraunhoerjevo uklonsko sliko, pri £emer pa sokoli£ine, ki nastopajo v obeh zvezah, povsem razli£ne. Razli£na je tudi veljavnost obehformul; medtem ko je Fraunhoerjeva uklonska formula dobra le v veliki oddaljenosti,bliºje odprtine pa je treba uporabiti Fresnelov izraz, je rezultat za J(P1, P2) veljaven vobeh obmo£jih.Velikost svetila je kon£na, zato pri dovolj veliki razdalji med to£kama J(P1, P2) gotovo

pade na ni£. Najve£jo razdaljo, do katere je J(P1, P2) ²e razli£na od ni£, smo imenovalipre£no koheren£no razdaljo dc, ustrezno ploskev pa koheren£no ploskev Sc. O£itno veljaocena

Sc '(λz)2

S0' λ2

Ω0, (1.3.12)

kjer je S0 povr²ina svetila, Ω0 pa prostorski kot, ki ga tvori svetilo v ravnini A.Faza φ meri skupni premik interferen£nih prog, do katerega pride, kadar svetilo ni na

isti osi kot odprtini v zaslonu A.Doslej smo obravnavali le razmere v centru interferen£ne slike na zaslonu B, to je

pri tako majhnih kotih ϕ, da je zakasnitev manj²a od koheren£nega £asa. Pri ve£jihkotih moramo upo²tevati ²e vpliv kon£nega koheren£nega £asa, zaradi £esar se kontrastinterferen£nih prog ²e dodatno zmanj²uje.Oglejmo si primer. Naj bo svetilo okroglo, s polmerom R, spekter pa naj bo Lorentzove

oblike s ²irino γ. Obe odprtini v zaslonu naj imata y koordinati enaki ni£. asovnakorelacijska funkcija polja, ki je Fourierova transformacija spektra, je tedaj oblike e−γτ .Za pre£no korelacijsko funkcijo dobimo iz ena£be 1.3.10

J(x1, 0, x2, 0) = 2R2I0z2

J1(kR∆x/z)

kR∆x/z, (1.3.13)

kjer je J1 Besselova funkcija.Interferen£na slika na zaslonu B je produkt £asovnega in prostorskega dela. Za nekaj

razmikov med odprtinama je prikazana na sliki ??. e je ∆x λz/R, je modulacijainterferen£nih prog v sredini popolna in se zmanj²uje le pri ve£jih kotih ϕ zaradi kon£negakoheren£nega £asa. Pri nekaj ve£jem razmiku tudi v centru kontrast ni ve£ popoln.Obenem se seveda interferen£ne proge tudi zgostijo. Kadar je ∆x = 0.61λz/R, smo vprvi ni£li Besselove fukncije in interferen£ni vzorec prvi£ izgine. Pri ²e ve£jih razmikihje Besselova funkcija negativna, tako da spet dobimo slab²e izraºene interferen£ne proge,vendar z nasprotno fazo, to je, v sredini imamo temno progo. V tem primeru je za pre£nokoheren£no razdaljo smiselno vzeti ravno prvo ni£lo, to je dc = 0.61λz/R.LITERATURAGoodman, Statistical optics

11

2 Koherentni snopi svetlobe

Pri obravnavi elektromagnetnega valovanja zelo pogosto uporabljamo pribliºek ravnihvalov. Ti so v smeri pravokotno na smer ²irjenja neomejeni in so lahko le idealizacija.Omejeno valovanje, to je snop svetlobe, lahko dobimo tako, da ravno valovanje omejimoz odprtino v zaslonu. Za zaslonom valovna £ela ne bodo ve£ ravna in snop ne vzporeden,ampak se bo zaradi uklona ²iril (slika 2.0.1).V veliki oddaljenosti od zaslona lahko za ra£un polja uporabimo Fraunhoferjevo uk-

lonsko teorijo. Vendar pa za hitro oceno kota ²irjenja snopa podrobnega ra£una niti nepotrebujemo. Velja pribliºno

θ ' λ

a, (2.0.1)

kjer je a polmer zaslonke. Opis polja bliºje zaslona je nekoliko teºavnej²i, treba je upora-biti Fresnelov pribliºek. Iz slike 2.1 pa lahko ocenimo, da seºe obmo£je bliºnjega poljado razdalje

b ' a

θ=a2

λ(2.0.2)

V£asih ti pribliºni oceni zado²£ata. Bolj kvantitativen opis omejenih snopov bi lahkodobili s Fraunhoferjevo in Fresnelovo uklonsko teorijo, kar pa ni najudobnej²a pot. Lotimose naloge raje preko zelo uporabnega pribliºka obi£ajne valovne ena£be.

2.1 Obosna valovna ena£ba

Pri£nimo s £asovno neodvisno valovno en£bo za valovanje s frekvenco ω:

∇2E + k2E = 0 (2.1.1)

kjer je k = nω/c valovno ²tevilo in n lomni koli£nik sredstva, po katerem se valovanje ²iri.Zaradi enostavnosti obravnavajmo le eno polarizacijo, tako da je E kar skalar. I²£emore²itev, ki se ²iri pribliºno vzdolº osi z. Zapi²imo jo v obliki

E = E0ψ(~r, z)eikz (2.1.2)

kjer je ~r krajevni vektor v ravnini xy. Glavni del odvisnosti od z koordinate smo napisaliposebej v faktorju eikz, tako da lahko privzamemo, da se ψ v smeri z le po£asi spreminjain zato lahko zanemarimo druge odvode po z ∂2ψ/∂z2 v primeri s k∂ψ/∂z in k2ψ.Postavimo tako obliko polja v valovno ena£bo. Potem, ko zanemarimo druge odvode

ψ po z, dobimo

∇2⊥ψ = −2ik

∂ψ

∂z. (2.1.3)

12

2.1 Obosna valovna ena£ba

Slika 2.0.1: Omejen snop dobimo z uklonom ravnega vala na odprtini

Ena£bi pravimo obosna ali paraksialna valovna ena£ba in je prav taka kot Schrodingerjevaena£ba za prost delec v dveh dimenzijah, v kateri ima z koordinata vlogo £asa. Enadruºina re²itev, ki v kvantni mehaniki predstavljajo lastne funkcije energije in gibalnekoli£ine, so spet ravni valovi

ψ = eik1x+k2y e−iβz . (2.1.4)

β ustreza energiji v kvantni mehaniki, k1 in k2 pa komponentam gibalne koli£ine. Da boizraz 2.6 re²itev obosne ena£be 2.5, mora veljati zveza

β =k21 + k22

2k(2.1.5)

Ko postavimo tak ψ v izraz 2.4 za celotno polje E, dobimo raven val, v katerem imazveza z komponente valovnega vektorja s pre£nimi komponentami in valovnim ²tevilomk obliko

k3 = k − β = k − k21 + k222k

(2.1.6)

Za ravni val, ki je re²itev prvotne to£ne valovne ena£be 2.1, je zveza seveda

k3 =√k2 − (k21 + k22) (2.1.7)

O£itno dobimo ena£bo 2.8 iz 2.9 z razvojem korena, kar seveda ni ni£ nepri£akovanega.Ta ugotovitev nam tudi pove, da je obosna ena£ba dobra, kadar je razmerje pre£ne in vz-dolºne komponente valovnega vektorja, to je kot ²irjenja glede na os z, dovolj majhno, dalahko zanemarimo v razvoju £lene, vi²je od kvadratnih. To pa je tudi obmo£je veljavnostiFresnelove uklonske teorije, zato re²itve obosne valovne dajo enako dober pribliºek.asovno odvisnost poljubnega za£etnega stanja v kvantni mehaniki obi£ajno izra£u-

namo tako, da v nekem za£etnem trenutku paket razvijemo po lastnih stanjih energije -

13


ravnih valovih, katerih £asovna odvisnost je enostavna. Re²itev v poljubnem trenutku jepotem dana v obliki Fourierovega integrala. Ta pot je zelo uporabna tudi v optiki in jeosnova sklopa ra£unskih metod, znanih pod imenom Fourierova optika. V na²em primerupo njej brez teºav pridemo nazaj do Fresnelove uklonske formule (Naloga). Omejenemusnopu v kvantni mehaniki ustreza lokaliziran delec - valovni paket. Ta se s £asom ²iri,kar ustreza pojavu uklona v optiki.

2.2 Osnovni Gaussov snop

Na²e glavne naloge poiskati take re²itve obosne ena£be, ki bodo predstavljale omejenesnope, se lotimo nekoliko druga£e. Vemo, da najpo£asneje leze narazen valovni paketGaussove oblike. Zato poskusimo najti re²itev obosne ena£be 2.1.3 v obliki

ψ(r, z) = e−kr2

2α(z) e−iφ(z) , (2.2.1)

kjer funkcija α(z) meri, kako se snop ²iri v pre£ni smeri, φ(z) pa dovoljuje, da se tudifaza snopa vzdolº osi z po£asi spreminja. Postavimo nastavek 2.2.1 v ena£bo 2.1.3. Velja

∇2⊥ψ =

1

r

∂

∂rr∂ψ

∂r= kα(kαr2 − 2)ψ (2.2.2)

in∂ψ

∂z= (−kr

2

2α′ − iφ′)ψ (2.2.3)

Tako iz obosne ena£be 2.1.3 dobimo

kα(kαr2 − 2) = ik(kα′r2 + 2iφ′) (2.2.4)

Gornji izraz mora veljati pri vsakem r, zato morajo biti koecienti pri r2 in konstantiposebej enaki 0:

α2 − iα′ = 0 in φ′ = α (2.2.5)

Z integracijo dobimo najprej1

α= z0 + iz (2.2.6)

kjer je z0 integracijska konstanta, ki jo s primerno izbiro izhodi²£a lahko naredimo realno.Sedaj lahko integriramo ²e ena£bo za fazo:

φ =

ˆ z

0

dz

z0 + iz= −i ln(1 + i

z

z0) . (2.2.7)

Predpisali smo, da je faza v izhodi²£u 0. Tako imamo

ψ = exp

[− kr2

2(z0 + iz)

]exp

[− ln(1 + i

z

z0)

]=

1

1 + i zz0

exp

[− kr2z02(z20 + z2)

+ikr2z

2(z20 + z2)

]. (2.2.8)

14

2.2 Osnovni Gaussov snop

Realni del eksponenta o£itno opisuje ²irjenje snopa. Denirajmo zato polmer snopa w:

w2 =2z0k

[1 + (

z

z0)2]= w2

0

[1 + (

z

z0)2], (2.2.9)

kjer je w0 polmer snopa na najoºjem delu, to je v izhodi²£u. Najoºji del imenujmo grlo

snopa. Odvisnost w od z je hiperbola, pri £emer je z0 polovi£na dolºina grla oziromarazdalja, pri kateri preide snop v asimptoti£no enakomerno ²irjenje. Pri z0 tudi preidemov obmo£je veljavnosti Fraunhoferjevega uklonskega pribliºka. Med w0 in z0 velja zveza

z0 =πw2

0

λ. (2.2.10)

Iz izraza 2.2.9 za w razberemo ²e kot divergence snopa v asimptoti£nem obmo£ju:

θ = arctan(2

kw0) ' λ

πw0(2.2.11)

Dobljeni izrazi so v skladu z ocenami, ki smo jih napravili v za£etku poglavja, pri £emerje faktor 1/π pri divergenci zna£ilen za Gaussov snop, ki ima od vseh moºnih obliknajmanj²o divergenco.Vrnimo se k imaginarnemu delu eksponenta v drugi ena£bi ??. Koli£ina

R = z[1 + (z0z)2] (2.2.12)

meri ukrivljenost valovnih front snopa v razdalji z. To najlaºje uvidimo, £e krogelni valrazvijemo po majhnih odmikih r od osi z:

1

ReikR =

1

Reik

√z2+r2 ' 1

Reik(z+

r2

2R) (2.2.13)

Upo²tevali smo, da je na osi z = R.Faktor pred eksponentom v izrazu ?? meri zmanj²evanje amplitude snopa in s tem

poskrbi za ohranitev energijskega toka, poleg tega pa da ²e dodatno spremembo faze.Zapi²imo ga v obliki

1

1 + i zz0

=1√

1 + ( z0z )2e−iη(z) =

w0

we−iη(z) , (2.2.14)

η(z) = arctan(z

z0) (2.2.15)

Dodatna faza η je posledica pove£ane fazne hitrosti valovanja, kadar je omejeno v pre£nismeri. Pojav je najizrazitej²i v bliºini grla snopa. Sre£amo ga tudi pri valovanju povalovodih.S tem lahko kon£no zapi²emo izraz za polje osnovnega Gaussovega snopa:

E = E0w0

wexpi[kz − η(z)]− r2[

1

w2(z)− ik

2R(z)] . (2.2.16)

15


Za ra£unanje je prikladno vpeljati ²e kompleksni krivinski radij q:

1

q(z)=

1

R+ i

2

kw2= iα(z) (2.2.17)

Ker je po 2.2.6 funkcija 1/α(z) linearna, je taka tudi odvisnost kompleksnega krivinskegaradija od z:

q(z) = z − iz0 . (2.2.18)

2.3 Snopi vi²jega reda

Osnovni Gaussov snop je le ena od mnogih v pre£ni smeri omejenih re²itev obosne valovneena£be. V kartezi£nih koordinatah jo re²ijo tudi funkcije

ψ =w0

wHn(

√2x

w)Hm(

√2y

w) exp[

ik(x2 + y2)

2q− iηn,m] , (2.3.1)

kjer soHn Hermitovi polinomi stopnje n. V to se brez teºav prepri£amo, £e izraz vstavimov obosno ena£bo in upo²tevamo, da Hermitovi polinomi zado²£ajo ena£bi

H ′′n − 2H ′

n + 2nHn = 0 . (2.3.2)

Osnovni Gaussov snop je o£itno poseben primer gornje re²itve za m = n = 0. Polmersnopa w(z) in kompleksni krivinski radij q(z) sta za vse m in n enaka kot za osnovnisnop in podana z ena£bama 2.2.9 in 2.2.18. Faza je odvisna tudi od n in m:

ηn,m (z) = (n+m+ 1) arctan(z

z0) (2.3.3)

To hitrej²e spreminjanje faze v bliºnjem polju snopov vi²jega reda je analogno ve£ji faznihitrosti valov vi²jega reda v valovodih.Gauss-Hermitovi snopi 2.3.1 tvorijo popoln ortogonalen sistem funkcij koordinat x in

y. Kak²no je polje nekega valovanja, ki ga poznamo v ravnini z = 0, pri poljubnem z,lahko doºenemo z razvojem po Gauss-Hermitovih snopih. Pri tem je izbira premera grlaw0 poljubna, bo pa seveda vplivala na hitrost konvergence razvoja. Na tak na£in lahkoobravnavamo uklon na odprtini, kjer je o£itno smiselno vzeti w0 pribliºno enak dimenzijiodprtine. Dobljeni rezultat je enako natan£en kot Fresnelov uklonski integral.Pri velikih z, kjer je dobra Fraunhoferjeva uklonska teorija, je polje Fourierova trans-

formacija polja pri z = 0. Gauss-Hermitovi snopi ohranjajo pre£no obliko, ki se le ²iri.Od tod vidimo, da je Fourierova transformacija Gauss-Hermitove funkcije Hn(x)e

−x2/2

zopet Gauss-Hermitova funkcija.Za kasnje²o rabo ugotovimo ²e, da pri enakem w nara²£a efektivni polmer snopa, to je

oddaljenost od osi, kjer po zadnjem maksimu postane polje majhno, pribliºno kot√n.

V cilindri£nih kordinatah imajo snopi vi²jega reda obliko

ψ(r, φ, z) =w0

w

(√2r

w

)lLlp(2r

2/w2)e±ilφ exp[ikr2

2q− iηl,p] (2.3.4)

16

2.3 Snopi vi²jega reda

Slika 2.3.1: Preseki snopov vi²jega reda

17


kjer je Llp pridruºeni Laguerrov polinom in ηp,l = (2p+ l + 1) arctan(z/z0).

Polinom stopnje n ima n ni£el. Zato je v pre£nem preseku snopa vi²jega reda n+m (alil + p v cilindri£nem primeru) vozelnih £rt, kjer je gostota svetlobnega toka ni£. Na sliki2.3.1 je prikazanih nekaj oblik |ψn,m(x, y)|2 in |ψl,m(r, φ)|2. Iz laserjev navadno ºelimodobiti £im £istej²i osnovni snop, vendar lahko pogosto opazimo tudi snope vi²jega reda.Da dobimo le osnovni snop, je treba posebej paziti pri konstrukciji laserja.

2.4 Transformacije snopov z le£ami

Pri prehodu skozi opti£ne naprave se parametri snopa spremenijo. Za£nimo z enostavnotanko le£o z gori²£no razdaljo f . V geometrijski optiki je krivinski radij sferi£nega vala,ki izhaja iz to£ke na osi, kar enak razdalji do to£ke. Le£a preslika to£ko na osi v to£kona osi, od tod pa sledi, da se sferi£ni val s krivinskim radijem R1 po prehodu skozi le£ospremeni v val s krivinskim radijem R2, pri £emer velja zveza

1

R1− 1

R2=

1

f, (2.4.1)

pri £emer je krivinski radij v to£ki z pozitiven, £e je sredi²£e pri z′ ≤ z.Polmer snopa w se pri prehodu skozi tanko le£o ne spremeni, zato sledi iz 2.2.17, da

velja tudi za kompleksni krivinski radij tik pred in tik za le£o

1

q1− 1

q2=

1

f. (2.4.2)

Kompleksni krivinski radij je po 2.2.18 linearna funkcija z. To nam skupaj z gornjoena£bo 2.4.2 omogo£a ra£un prehoda snopa skozi poljuben sistem le£ brez aberacij. Kotprimer poglejmo, kako z zbiralno le£o ponovno zberemo snop.Vpadni snop naj ima grlo s polmerom w01 in dolºino z01 v to£ki, ki je oddaljena za

x1 od levega gori²£a le£e (slika 2.4.1). Izra£unati ºelimo poloºaj in polmer grla na desnistrani le£e. Naj bosta

qF1 = x1 − iz01 in qF2 = −x2 − iz02 (2.4.3)

kompleksna krivinska radija v levem in desnem gori²£u. Velja tudi

q1 = qF1 + f in q2 = qF2 − f . (2.4.4)

Od tod dobimo z uporabo 2.4.2 ena£bo za q v goi²£ih v kompaktni obliki

qF1 qF2 = −f2 , (2.4.5)

ki je po obliki podobna ena£bi za oddaljenost slike od gori²£a v geometrijski optiki, pomenpa ima druga£en. Zapi²imo posebej realni in imaginarni del

x1x2 = f2 − z01z02 (2.4.6)

18

2.4 Transformacije snopov z le£ami

Slika 2.4.1: Prehod Gaussovega snopa skozi tanko le£o

inx1z01

=x2z02

aliw201

w202

=x1x2

, (2.4.7)

od koder izra£unamo poloºaj grla na desni:

x2 =x1f

x21 + z201. (2.4.8)

Gornja ena£ba se ujema z izrazom za preslikavo to£ke v geometrijski optiki le, kadar jez01 x1. Kadar je z01 f , je val na le£i pri vsakem x1 skoraj raven in dobimo grlona desni v gori²£u. V praksi dobimo Gaussove snope iz laserjev in pogosto ne velja neprva ne druga limita, temve£ je treba uporabiti izraz 2.4.8. Tudi pove£ava polmera grlana desni, podana z 2.4.7, je precej druga£na kot v geometrijski optiki.Za primer vzemimo snop iz He-Ne laserja, ki ima grlo s polmerom 0.5 mm na izhodnem

ogledalu in je 50 cm pred le£o z f = 25 cm. Tedaj je z01 = 124 cm in po 2.4.8 dobimo grloza le£o v oddaljenosti 4 cm od gori²£a in s polmerom 0.2 mm. Ena£be geometrijske optikebi dale popolnoma napa£en poloºaj grla 25 cm za gori²£em s polmerom 0.5 mm, medtemko bi pribliºek, da je vpadni snop kar raven, dal grlo na desni v gori²£u s pribliºno pravimpolmerom.Najve£je razmerje polmerov grl na eni in drugi strani le£e dobimo, kadar je x1 =

0. Tedaj je tudi x2 = 0 in je limx2/x1 = f2/z201. Velikost grla na desni strani jew02 = λf/(πw01), torej tem manj²a, £im ve£ji je polmer grla na levi, kjer je lahko najve£enak polmeru le£e a. Najmanj²a velikost grla na levi je tako λf/a. Dobri objektivi(mikroskopski in fotografski) dosegajo numeri£no odprtino f/a ' 1 in je z njmi Gaussovsnop mogo£e zbrati v piko velikosti λ. Seveda je treba pred le£o snop dovolj raz²iriti. Tonapravimo s teleskopom (naloga).

19


2.5 Linearne racionalne transformacije kompleksnegakrivinskega radija

Gaussove snope povsem opi²emo, £e v izbrani ravnini z podamo kompleksni krivinskiradij q. Ugotovili smo ºe, da je q linearna funkcija premika po z. Vemo tudi, kako sespremeni pri prehodu skozi tanko le£o. V tem razdelku sku²ajmo ta rezultata posplo²iti.Pri premiku iz ravnine z v ravnino z′, ki je za d premaknjena, se q spremeni

q′ = q + d . (2.5.1)

Po 2.4.2 je pri prehodu skozi le£o

q′ =qf

f − q=

q

− qf + 1

. (2.5.2)

Eanko kot le£a seveda deluje sferi£no ogledalo s krivinskim radijem R0, pri katerem jef = R0/2. Le£a in premik dasta skupaj

q′ =q

− qf + 1

+ d =q(1− d

f ) + d

− qf + 1

. (2.5.3)

V vseh treh primerih lahko transformacijo q zapi²emo v obliki ulomljene linearne pres-likave

q′ =Aq +B

Cq +D. (2.5.4)

Koeciente preslikave razvrstimo v matriko∥∥∥∥A BC D

∥∥∥∥ (2.5.5)

Imejmo zaporedje dveh opti£nih sistemov s koecienti A1, B1, C1, D1 in A2, B2, C2, D2.Brez teºav se prepri£amo, da je skupna transformacija zopet oblike 2.5.4 in da jo dobimoz mnoºenjem matrik posameznih sistemov:∥∥∥∥A B

C D

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥A1 B1

C1 D1

∥∥∥∥∥∥∥∥A2 B2

C2 D2

∥∥∥∥=

∥∥∥∥A2A1 +B2C1 A2B1 +B2D1

C2A1 +D2C1 C2B1 +D2D1

∥∥∥∥ (2.5.6)

Gornji matri£ni formalizem je zelo prikladen za ra£unanje zapletenih opti£nih sistemov,saj ga je prav lahko izvesti na ra£unalnik. Poleg tega je enoli£no povezan z matri£nim for-malizmom v geometrijski optiki in daje moºnost prenosa rezultatov ra£unov geometrijskeoptike v optiko snopov.Sliko v geometrijski optiki dobimo kot prese£i²£e geometrijskih ºarkov, ki izhajajo

iz to£ke predmeta pred opti£nim sistemom. Geometrijski ºarek je normala na valovneploskve, pri £emer moramo vzeti ²e limito, ko gre valovna dolºina proti ni£. Ukrivljenost

20

2.5 Linearne racionalne transformacije kompleksnega krivinskega radija

Slika 2.5.1: K matri£ni obravnavi prehoda ºarka skozi le£o

valovne fronte je neposredno povezana s spreminjanjem naklona ºarkov. Snop ºarkovgeomtrijske optike, ki izhajajo iz to£ke, ustreza snopu valovanja, pri katerem pa je premergrla kon£en. e naj se v to£ki slike zberejo vsi ºarki, £e naj so torej napake le£ majhne,seveda nakloni ºarkov glede na os ne smejo biti veliki.arek lahko v izbrani ravnini z opi²emo z oddaljenostjo od osi r in s strmino glede na

os r′. Iz teh dveh koli£in tvorimo stolpec∥∥∥∥rr′∥∥∥∥ . (2.5.7)

Iz slike 2.5.1 razberemo, da se pri premiku za d spremeni le odmik od osi∥∥∥∥r2r′2∥∥∥∥ =

∥∥∥∥r1 + dr′1r′1

∥∥∥∥ , (2.5.8)

kar lahko zapi²emo v matri£ni obliki∥∥∥∥r2r′2∥∥∥∥ =

∥∥∥∥1 d0 1

∥∥∥∥∥∥∥∥r1r′1∥∥∥∥ . (2.5.9)

Pri prehodu skozi tanko le£o se spremeni nagib ºarka. e je pred le£o vzporeden z osjo,gre za le£o skozi gori²£e, zato∥∥∥∥r2r′2

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ r1− r1f

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ 1 B− 1

f D

∥∥∥∥∥∥∥∥r1r′1∥∥∥∥ . (2.5.10)

arek, ki gre na osi skozi le£o, ostane nespremenjen; to nam da keocienta B in D:∥∥∥∥ 0r′1∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ 1 B− 1

f D

∥∥∥∥∥∥∥∥ 0r′1∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ BDr′1

∥∥∥∥ . (2.5.11)

21


Sledi B = 0 in D = 1. Matrika za prehod skozi le£o je tako∥∥∥∥ 1 0− 1

f 1

∥∥∥∥ (2.5.12)

in je enaka kot matrika transformacije kompleksnega krivinskega radija za tanko le£o.Matriko sestavljene opti£ne naprave o£itno dobimo z mnoºenjem matrik komponent.Tako je tudi splo²no matrika za transformacijo parametrov ºarka v geometrijski optikienaka kot transformacija kompleksne ukrivljenosti v optiki snopov.

22

3 Opti£ni resonatorji

Opti£ni resonatorji so votline, v katerih je mogo£e vzpostaviti stoje£e svetlobno valovanje,katerega £as du²enja je mnogo dalj²i od nihajne periode. Taka stoje£a valovanja so skorajstacionarne re²itve valovne ena£be z ustreznimi robnimi pogoji v votlini in se obna²ajokot harmonska nihala. e resonator vzbujamo z zunanjim poljem z dolo£eno frekvenco,dobimo pri frekvencah lastnih nihanj resonance.Podobno kot v mikrovalovnem in radijskem podro£ju uporabljamo opti£ne resonatorje

predvsem v dva namena.

• V njih lahko z vzbujanjem z zunanjim poljem majhne mo£i dobimo veliko elektri£nopoljsko jakost pri resonan£ni frekvenci. Za vzdrºevanje konstantne amplitude last-nega nihanja mora zunanji vir pokrivati izgube v resonatorju; £e so te majhne, bopolje v resonatorju veliko.

• Delujejo kot ltri, ki prepu²£ajo le polje z dolo£eno frekvenco in prostorsko odvis-nostjo. Primer take uporabe je Fabri-Perotov interferometer.

V mikrovalovnem podor£ju, kjer so valovne dolºine okoli 1 cm, so resonatorji zaprte vot-line z dimenzijami, primerljivimi z valovno dolºino. Zato smo obi£ajno blizu osnovnegalastnega nihanja in so resonan£ne frekvence med seboj dobro lo£ene in ni teºko dose£i,da imamo v frekven£nem intervalu, ki nas zanima, le eno lastno nihanje.V opti£nem podro£ju je druga£e. e naj so uporabni, morajo biti resonatorji navadno

mnogo ve£ji od valovne dolºine svetlobe. Tedaj je ²tevilo N lastnih nihanj na smiselnovelik frekven£ni interval veliko in ga je mogo£e zapisati s pomo£jo zvezne gostote stanj:

N =V ω2

π2c3∆ω =

8πV ν2

c3∆ν (3.0.1)

Pri frekvenci ν = 3 ·1014 Hz in ²irini frekven£nega intervala ∆ν = 3 ·1010 Hz, ki je tipi£naza Dopplerjevo raz²irjeno emisijsko £rto v plinu, je v votlini z V = 1 cm N = 2 · 109. ebi bile vse stene votline idealna zrcala, bi bil £as du²enja vseh lastnih nihanj pribliºnoenako dolg, tako da bi vedno vzbujali veliko ²tevilo resonanc hkrati. Tak resonator bibil neuporaben. Tej teºavi se izognemo z uporabo odprtih resonatorjev. e zmanj²amoodbojnost stranskih sten votline, se bo pove£alo du²enje stoje£ih valov v pre£ni smeri,medtem ko se du²enje valov, pravokotnih na kon£ni, idealno odbojni steni, ne bo dostispremenilo. Navsezadnje lahko stranske stene odstranimo, s £emer stoje£ih valov v pre£nismeri ni ve£, ostane le ²e nekaj valov, ki so dovolj pravokotni na kon£ni steni (slika 3.0.1).Poglejmo to nekoliko podrobneje. V zaprti pravokotni votlini z idealno prevodnimi

stenami so dovoljene vrednosti valovnega vektorja za lastna nihanja

~kn,l,m =

(lπ

a,mπ

a,nπ

L

), (3.0.2)

23


Slika 3.0.1: Odprt resonator

kjer so n, l in m cela ²tevila, L dolºina, a pa pre£na dimenzija resonatorja. Lastnefrekvence so

ωn,l,m = c|~kn,l,m| . (3.0.3)

Dolºina resonatorja je velika v primeri z λ in je zato n veliko ²tevilo. e pre£nih sten ni,mora biti ~k pribliºno vzporeden z osjo z, zato morata biti l in m majhna. Tedaj lahkovelikost valovnega vektorja razvijemo in dobimo za frekvenco

ωn,l,m = c

(nπ

L+l2 +m2

2n

L

a2

). (3.0.4)

Drugi £len v oklepaju je obi£ajno le majhen popravek, tako da so lastne frekvence odprtihopti£nih resonatorjev odvisne predvsem od ²tevila vozlov v vzdolºni smeri. To je navadnoveliko, med 105 in 107. Moºna so tudi lastna nihanja z nekaj vozli v pre£ni smeri, ki pale malo vplivajo na lastne frekvence. Zato bomo v nadaljevanju obravnavali predvsemlastna stanja brez vozlov v pre£ni smeri, ki jih bomo ozna£ili z enim samim indeksom n.Razlika frekvenc dveh zaporednih lastnih nihanj n in n+ 1 je

∆ωn =πc

L. (3.0.5)

Pri dolºini resonatorja L = 30 cm dobimo v frekven£ni interval 3 · 1010 Hz sedaj le ²e 30nihanj, ki jih je brez teºav mogo£e razlo£iti.V zaprtih votlinah s prevodnimi stenami dobimo dobro dolo£ena lastna stanja pri

poljubni obliki votline. Pri odprtih resonatorjih to ni ve£ res. Da bomo dobili lastnanihanja z majhnimi izgubami, morata biti izpolnjena dva pogoja:

• Najprej mora obstojati snop geometrijskih ºarkov, ki po mnogih odbojih ostajaujet med zrcali resonatorja.

24

Slika 3.0.2: Prepustnost Fabry-Perotovega interferometra

• Na poti od enega zrcala do drugega se valovanje zaradi uklona ²iri. Zrcalo na enistrani mora zato biti ve£je od uklonsko raz²irjenega snopa, ki izhaja iz nasprotnegazrcala:

a2 >λ

a1L ali

a1a2λL

> 1 , (3.0.6)

kjer sta a1 in a2 premera zrcal. Izrazu a1a2/(λL) pravijo Fresnelovo ²tevilo.

Pravimo, da so resonatorji, ki zado²£ajo gornjima pogojema, stabilni.Poglejmo znani primer Fabri-Perotovega interferometra. Sestavljata ga dve med seboj

vzporedni ravni zrcali z veliko odbojnostjo. Da bomo med zrcali lahko dobili stoje£evalovanje, mora biti razmik L enak nλ/2, kar je enako pogoju 3.1.1. Prepustnost inter-ferometra za ravno valovanje, ki pada pravokotno na zrcala z odbojnostjo R, je [?]

T =1

1 + 4R(1−R)2

sin2 kL(3.0.7)

in je njena odvisnost od k prikazana na sliki 3.0.2. V resonanci, ko je frekvenca vpadnegavalovanja enaka lastni frekvenci resonatorja, je prepustnost 1. irina resonance je temmanj²a, £im ve£ja je odbojnostjo zrcal. Ta seveda tudi dolo£a £as du²enja vzbujenegalastnega nihanja.Prvemu pogoju stabilnosti ustrezajo v Fabri-Perotovem interferometru le ºarki, ki so

natanko pravokotni na zrcali. e pa sta zrcali le malo neparalelni, stabilnih ºarkov splohni ve£. Plan-paralelni interferometer je tako na meji stabilnosti. Z izgubami zaradiuklona pa obi£ajno ni teºav, saj morajo biti pri 30 cm dolgem resonatorju in valovnidolºini 0.5 µm zrcala le ve£ja od 0.4 mm, da ustrezajo pogoju 3.0.6.Bolj stabilne resonatorje lahko dobimo tako, da vzamemo nekoliko konkavna zrcala.

Tedaj so ºarki, ki tvorijo z osjo dovolj majhen kot, ujeti med zrcali in energija lastnihvalovanj ostaja lokalizirana blizu osi.

25


Slika 3.1.1: Gaussov snop v odprtem resonatorju z urkivljenimi zrcali

Kak²no je natanko polje v resonatorju, doºenemo tako, da re²imo valovno ena£boz ustreznimi robnimi pogoji. V primeru odprtih resonatorjev so ti zapleteni. Zato jera£un teºak in ni mogo£e dobiti to£nih analiti£nih re²itev. Zate£i se moramo k pribliºniobravnavi.

3.1 Gaussovi snopi v resonatorjih

V stabilnih resonatorjih s konkavnimi zrcali pri£akujemo, da bodo lastna valovanja ome-jena na okolico osi. Tedaj lahko za obravnavo uporabimo obosno valovno ena£bo 2.1.3.Naj bodo zrcala mnogo ve£ja od polmera lastnega nihanja. Veliko odbojnost dobimotedaj, kadar je prevodnost zrcal velika. To nam da robni pogoj, da mora biti elektri£nopolje na zrcalu pribliºno ni£ in mora zato valovna fronta stoje£ega valovanja sovpadati spovr²ino zrcala.V pre£ni smeri omejene re²itve obosne ena£be smo na²li v obliki potujo£ih Gaussovih

snopov. Stoje£e snope o£itno lahko dobimo s superpozicijo snopov, ki se ²irijo v obehsmereh osi. Da bomo zadostili robnim pogojem na zrcalih, moramo zahtevati, da sekrivinski radij snopa ujema s krivinskima radijema zrcal R1 in R2 (slika ??). Pri tem staneznanki polmer in poloºaj grla snopa. Polmer je podan s parametrom z0. Postavimoizhodi²£e osi z v grlo, kot smo navajeni, tako da sta zrcali pri z1 in z2. Z uporabo ena£beza krivinski radij snopa 2.2.12 dobimo

−R1 = z1

[1 +

(z0z1

)2]

R2 = z2

[1 +

(z0z2

)2]

. (3.1.1)

26

3.1 Gaussovi snopi v resonatorjih

Slika 3.1.2: Podro£je stabilnih resonatorjev

Krivinski radij naj bo za konkavno zrcalo pozitiven, z1 pa je po sliki negativen, zato jepotreben znak minus pred R1. Veljati mora ²e

z2 − z1 = L (3.1.2)

Iz gornjih ena£b najprej izra£unamo razdaljo z1, ki dolo£a poloºaj grla v resonatorju,nato pa parameter z0, ki dolo£a tudi polmer grla:

z20 =L(R1 − L)(R2 − L)(R1 +R2 − L)

(R1 +R2 − 2L)2(3.1.3)

Za realen omejen snop mora biti z20 > 0, torej mora biti ²tevec gornjega izraza pozitiven.Ta pogoj lahko po kratkem ra£unu zapi²emo v obliki

0 < (1− L

R1)(1− L

R2) < 1 . (3.1.4)

Resonatorji, ki zado²£ajo pogoju 3.1.4, so stabilni. Stabilne vrednosti za ukrivljenostizrcal pri dani dolºini resonatorja je mogo£e nazorno predstaviti na diagramu, kjer na osinana²amo L/R1 in L/R2. Na sliki 3.1.2 je stabilno obmo£je, kot ga razberemo iz 3.1.4,sen£eno.V praksi se v£asih uporabljajo tudi nestabilni resonatorji, to je taki, za katere ne obsto-

jajo re²itve v obliki Gaussovih snopov. Taki resonatorji imajo velike izgube na robovihzrcal, ker v njih ne obstojajo ujeti ºarki. Uporabni so v laserjih z velikim oja£enjem.Vrnimo se k stabilnim resonatorjem in si oglejmo posebni primer simetri£nega res-

onatorja z R1 = R2 = R. Grlo je tedaj v sredini resonatorja, ena£ba 3.1.3 se poenostaviv

z0 =1

2

√(2R− L)L) , (3.1.5)

27


polmer grla pa je

w0 =

√λz0π

=

√λ

2π[(2R− L)L]

14 . (3.1.6)

Po 2.2.9 lahko izra£unamo ²e polmer snopa na ogledalu:

w21 = w2

0

[1 +

(L

2z0

)2]=λ

π

R√L√

2R− L(3.1.7)

Pri dani dolºini resonatorja je polmer snopa na zrcalu najmanj²i, kadar je R = L.Tedaj tudi sovpadata geometrijski gori²£i obeh zrcal, zato imenujemo tak resonator kon-fokalen. Zanj velja tudi L = 2z0 in se snop od grla do zrcala raz²iri za

√2. Konfokalni

resonatorji so tudi najmanj ob£utljivi na majhne zasuke enega zrcala. Pri tem se v sta-bilnih resonatorjih premakne os, ki gre skozi krivinski sredi²£i obeh zrcal. V praksi jepomembno, da je najve£ji odmik nove osi £im manj²i, kar se zgodi ravno pri konfokalnihresonatorjih. (Naloga ??).V laserjih moramo skrbeti za £im bolj²o izrabo oja£evalnega sredstva, zato mora

pogosto biti polmer grla snopa dovolj velik, kar po ena£bi 3.1.6 pomeni, da mora bitikrivinski radij zrcal velik. S tem se seveda nekoliko poslab²a stabilnost.Poglejmo primer. Naj bo dolºina resonatorja He-Ne laserja 1 m in valovna dolºina 633

nm. Tedaj bo v konfokalni geometriji po ena£bi 3.1.6 polmer grla w0 = 0.3 mm. Premerrazelektritvene cevi je obi£ajno nekaj milimetrov in pribliºno tako debel mora biti tudisvetlobni snop, £e naj dobro izkoristi oja£enje zaradi stimuliranega sevanja. Za 2 mmdebel snop moramo tako vzeti zrcala s krivinskim radijem okoli 50 m. Primer kaºe, dada ºe majhna ukrivljenost zrcal dokaj ozke snope.Pogosto se uporabljajo tudi resonatorji, ki imajo eno zrcalo ravno. Polje v takem

resonatorju je o£itno enako kot v dvakrat dalj²em simetri£nem resonatorju in je grlo naravnem zrcalu.Skrajna primera stabilnega simetri£nega resonatorja sta koncentri£ni, pri katerem sov-

padata krivinski sredi²£i zrcal, in planparalelni. V prvem primeru gre polmer grla protini£, v drugem pa raste sorazmerno z R1/4. Pri povsem ravnih ogledalih postanejo znatneuklonske izgube na robeh ogledal. Ra£un z Gaussovimi snopi tedaj ni ve£ veljaven in jepotrebno uporabiti druge pristope, ki jih bomo na kratko opisali nekoliko kasneje.V prej²njem poglavju smo videli, da obstajajo poleg osnovnega Gaussovega snopa

²e re²itve obosne ena£be z vozli v pre£ni smeri, to je snopi vi²jega reda. Imajo enakparameter z0 in enako ukrivljenost valovnih ploskev, zato so seveda tudi dobre re²itveza polje v stabilnih resonatorjih. Pri tem si je treba le zapomniti, da je pri enakem w0

dejanski polmer snopa reda n za pribliºen faktor√n ve£ji. Za ozna£bo reda se pogosto

uporablja oznaka TEMm,l, za osnovni snop torej TEM00.V prej²njem poglavju smo videli, da je osnovni Gaussov snop najidealnej²e omejeno

valovanje. Ima najbolj gladko valovno fronto, ohranja pre£no obliko in ima najmanj²odivergenco pri danem polmeru grla. Ravno tak snop dobimo iz laserja, v katerem jevzbujeno le TEM00 lastno stanje, na kar je pri konstrukciji laserjev pogosto treba posebejpaziti.

28

3.2 Resonan£ne frekvence

3.2 Resonan£ne frekvence

Doslej smo obravnavali le prostorsko obliko polja v resonatorju. Frekvence lastnih nihanjdobimo iz pogoja, da se mora faza snopa pri enem obhodu, to je pri preletu resonatorja vobeh smereh, spremeniti za monogokratnik 2π. Fazo za osnovni snop zapi²emo po ena£bi2.2.16

kz − η(z) = kz − arctan(z

z0) . (3.2.1)

Resonan£ni pogoj je, da je razlika te faze pri prehodu od enega zrcala do drugega mno-gokratnik π:

ωnL

c− [arctan(

z2z0

)− arctan(z1z0

)] = nπ (3.2.2)

Pri tem smo zanemarili, da lahko dobimo dodatno majhno spremembo faze pri odboju nazrcalu. Ta preprosto za del£ek valovne dolºine spremeni efektivno dolºino resonatorja,ki je obi£ajno niti ne poznamo toliko natan£no. Iz istega razloga nam tudi ni trebaupo²tevati £lena v oglatem oklepaju en£be 3.2.2, kadar imamo opravka le z osnovnimsnopom. Zanj tako dobimo znano ena£bo za resonan£ne frekvence

ωn =nπc

L. (3.2.3)

Razmik med dvema zaporednima lastnima frekvencama je

∆ω =πc

L. (3.2.4)

Za snope vi²jega reda, ki imajo vozle v pre£ni smeri, je fazni premik odvisen tudi od²tevila vozlov. V cilindri£nih koordinatah imamo

ηp,l(z) = (2p+ l + 1) arctan(z

z0) (3.2.5)

in je resonan£ni pogoj

ωn,p,lL

c− (2p+ l + 1)[arctan(

z2z0

)− arctan(z1z0

)] = nπ . (3.2.6)

Resonan£ne frekvence so torej odvisne tudi od ²tevila pre£nih vozlov, kar je drugi razlog,da je ugodno, £e v laserjih vzbujamo le osnovno lastno nihanje.Zanimiv in prakti£no pomemben je primer konfokalnega resonatorja, kjer je z0 = L/2

in arctan(L/2z0) = π/4. Resonan£ne frekvence so

ωn,l,p =πc

L[n+

1

2(2p+ l + 1)] . (3.2.7)

e je 2p + l sodo ²tevilo, dobimo iste resonan£ne frekvence kot za osnovne snope, prilihih 2p + l pa dobimo ²e resonance na sredini med osnovnimi. Razmik med sosednjimifrekvencami je tako ∆ν = c/4L in se konfokalni interferometer obna²a kot dvakrat dalj²iplanparalelni. To lahko razumemo tudi iz geometrijske slike: ºarek, ki vstopi v konfokalniinterferometer vzporedno z osjo, se ²ele po dveh preletih vrne sam vase.

29


V primeru skoraj planparalelnega resonatorja je z0 L in lahko arctan(L/2z0) razvi-jemo, pa imamo

ωn,l,p =πc

L

[n+ (2p+ l + 1)

√2L

R

]. (3.2.8)

Resonance snopov nizkega pre£nega reda so torej blizu resonancam osnovnih snopov, nisopa £isto enake.

3.3 Izgube v resonatorjih

Energija lastnega nihanja odprtega resonatorja se zmanj²uje zaradi ve£ vzrokov:

• Odbojnost ogledal ni £isto enaka 1. e ho£emo nihanje sklopiti z zunanjim poljem -ali spraviti nekaj svetlobe iz laserja ali ltrirati vpadajo£i snop, mora biti odbojnostmanj²a od 1.

• Absorpcija in sipanje na sredstvu in opti£nih elementih v resonatorju. Te izgubeºelimo obi£ajno £im bolj zmanj²ati.

• Uklonske izgube so odvisne od premera zrcal in premera snopa na njih. V danigeometriji imajo najmanj²i polmer osnovni snopi, snopi vi²jega reda so ²ir²i, zatoimajo ve£je uklonske izgube. Merilo za uklonske izgube je Fresnelovo ²tevilo NF =a2/(Lλ), kjer je a polmer ogledal. Pri enakem NF so najmanj²e za konfokalniresonator. e je NF znatno ve£ji od 1, kar je obi£ajno, so uklonske izgube zane-marljive.

Vse izgube lahko popi²emo z razpadnim £asom za energijo nihanja

dW

dt= −2

τW (3.3.1)

Deleº izgub na en obhod resonatorja je

Λ = Λ0 + (1−R1) + (1−R2) . (3.3.2)

R1,2 sta odbojnosti zrcal, od katerih je obi£ajno ena kolikor mogo£e blizu 1. Z Λ0 smoozna£ili absorpcijo in sipanje znotraj resonatorja. Tipi£ne vrednosti zanjo so do nekajstotink. Izgube na enoto £asa dobimo, £e gornji izraz delimo s £asom obhoda resonatorja:

2

τ= Λ

c

2L=

2

τ0+

c

2L[(1−R1) + (1−R2)] , (3.3.3)

kjer smo s τ0 = Λ0c2L ozna£ili razpadni £as zaradi notranjih izgub.

Namesto razpadnega £asa τ se pogosto za opis izgub uporablja dobrota resonatorja

Q = ωnτ/2.Zaradi du²enja imajo lastne frekvence kon£no ²irino

∆ω1/2 =1

τ(3.3.4)

30

3.4 Obravnava z uklonskim integralom

e so notranje izgube zanemarljive in sta odbojnosti obeh zrcal enaki, je ²irina 1/τ =c/2L(1−R). Do istega rezultata pridemo tudi za razvojem izraza za prepustnost Fabri-Perotovega interferometra 3.0.7 okoli maksimuma pri ωn:

T =1

1 + 4R(1−R)2

sin2 Lc (ω − ωn)

' 1

1 +[

2(1−R)

Lc (ω − ωn)

]2 , (3.3.5)

kjer smo upo²tevali ²e, da je odbojnost blizu 1.Poglejmo tipi£en primer. Naj bodo notranje izgube na en obhod 0.01, eno zrcalo naj

bo idealno, drugo naj ima R = 0.93. Dolºina resonatorja naj bo 0.5 m, valovna dolºinapa 5 · 10−7 m. Tedaj je 1/τ = 12 · 106 s−1. Zanimivo je ²e razmerje med polovi£no ²irinoresonance in razmikom med zaporednima resonan£nima frekvencama: ∆ωτ ' 50.

3.4 Obravnava z uklonskim integralom

V primeru nestabilnih resonatorjev, v katerih ne obstoja stacionarna re²itev v oblikistoje£ega Gaussovega snopa, je precej zahtevnej²e poiskati obliko polja. Problem jesoroden obravnavi uklona in ga je mogo£e re²evati, £e izhajamo iz uklonske teorije.Naj bo elektri£no polje v to£ki P1 prvega zrcala E1(P1). Polje na drugem zrcalu lahko

zapi²emo s pomo£jo Kirchoovega uklonskega integrala

E2(P2) = − i

2λ

ˆ1E1(P1)

eikr(1 + cos θ)

rdS1

= − i

2λ

ˆ1E1(P1)K(P1, P2)dS2 , (3.4.1)

kjer je r razdalja med to£kama P1 in P2, θ pa kot med zveznico in normalo na zrcala.Polje na prvem zrcalu mora biti na enak na£in povezano z drugim. e naj predstavljalastno nihanje resonatorja, mora biti pt dveh odbojih sorazmerno za£etnemu polju:

E1(P ) = − γ

λ2

ˆ1

ˆ2E1(P1)K(P1, P2)K(P2, P ) dS1 dS2 . (3.4.2)

Ena£ba 3.4.2 je homogena integralska ena£ba, katere lastne re²itve so iskana lastna ni-hanja elektronagnetnega polja v resonatorju. Kompleksne lastne vrednosti γ dolo£ajofrekvenco in du²enje nihanj. V splo²nem re²itev ni mogo£e poiskati analiti£no in se jetreba zate£i k pribliºnim numeri£nim metodam. Najenostavnej²a je iterativna metoda,pri kateri za£nemo z nekim za£etnim poljem in ponavljamo integracijo v ena£bi 3.4.2toliko £asa, da se polje ne spreminja ve£.Integralsko ena£bo 3.4.2 je mogo£e re²iti v posebnem primeru konfokalnega resonatorja.

Vzemimo, da je brez izgub. Ker je resonator tudi simetri£en, se polje na obeh zrcalihlahko razlikuje kve£jemu za predznak.Vpeljimo kartezi£ne koordinate na obeh zrcalih, kot kaºe slika 3.4.1. Pri£akujemo, da

bo pre£na razseºnost lastnega stanja majhna v primeri z dolºino resonatorja, zato lahko

31


Slika 3.4.1: Koordinatna sistema na zrcalih resonatorja

r razvijemo do drugega reda v pre£nih koordinatah:

r ' L− xx′ + yy′

L. (3.4.3)

Upo²tevali smo, da je krivinski radij zrcal enak dolºini resonatorja. V imenovalcu jedraintegrala ?? lahko r nadomestimo kar z L. Koti med zveznico to£k na obeh zrcalih innormalo na zrcali so majhni, zato lahko postavimo cos θ = 1. Tako iz ena£be ?? dobimo

E(x, y) = ± ieikL

λL

ˆE(x′, y′) exp

[−ik(xx′ + yy′)

L

]dx′ dy′ . (3.4.4)

Integracija poteka po celem zrcalu. Jedro integrala je produkt dveh faktorjev, ki vsebu-jeta vsak le x ali y koordinati. Zato poi²£imo re²itev 3.4.4 v obliki produkta

E(x, y) = E0f(x)g(y) . (3.4.5)

S tem nastavkom morata biti funkciji f(x) in g(y) re²itve en£be

αf(x) =

ˆf(x′) exp

[−ikxx′

L

]dx′ , (3.4.6)

kjer je α ²e neznana konstanta.Meje integrala so od enega do drugega roba zrcala. e je dovolj veliko, pri£akujemo,

da bo polje na robu zelo majhno in lahko meje vzamemo kar od −∞ do ∞. Vpeljimo ²ebrezdimenzijski koordinati

X = x√k/L in Y = y

√k/L , (3.4.7)

32

3.5 Sklopitev resonatorja z okolico

pa imamo

αf(X) =

√L

k

ˆ ∞

−∞f(X ′)e−iXX′

dX ′ , (3.4.8)

s podobno ena£bo za g(Y ). Ena£ba 3.4.8 tedaj pravi, da mora biti f(X) podobna svojiFourierovi transformiranki. To lastnost ima Gaussova funkcija

f(X) = exp[−1

2X2] . (3.4.9)

Polje na zrcalu je tako

E(x, y) = E0 exp

[−k(x

2 + y2)

2L

](3.4.10)

in je pri£akovane oblike Gaussovega snopa.Konstanta α mora imeti vrednost

√2πL/k =

√λL. Enaki izrazi veljajo tudi za smer

y. Postavimo 3.4.10 z dobljeno vrednostjo za α v 3.4.4 in upo²tevajmo, da mora bitiE2 = ±E1. Dobimo zvezo

iα2 eikL

λL= ieikL = ±1 , (3.4.11)

od koder dobimo ºe iz drugega razdelka poznani resonan£ni pogoj za frekvenco lastnegastanja:

ωn = ckn =c

2L(2n+ 1)π . (3.4.12)

Bralcu prepu²£am pokazati, da so splo²ne funkcije, ki so sorazmerne svoji Fourierovitransformaciji, Gauss-Hermitove funkcije, in izra£unati lastne frekvence stanj vi²jegareda.Integralska ena£ba, dobljena iz uklonske teorije, nam je tako dala isti rezultat kot

stoje£e valovanje oblike Gaussovih snopov, ki so re²itve obosne valovne ena£be. Tonas seveda ne presene£a, saj je obosna valovna ena£ba enako natan£na kot Fresnelovauklonska teorija.


V uvodu smo omenili, da rresonatorji sluºijo tudi kot frekven£ni in prostorski ltri zasvetlobno valovanje. Povezavo med lastnimi nihanji resonatorja in prepustnostjo terodbojnostjo za valovanje, ki na resonator vpada, bomo poiskali s formalizmom sklaplanjavalovanj, ki je neke vrste perturbacijska analiza in ki je dostikrat zelo uporaben.Pri£nimo z resonatorjem z idealno odbojnimi stenami brez izgub. Stoje£e lastno valo-

vanje lahko zapi²emo kot produkt krajevnega in £asovnega dela:

E(~r, t) = f(t)g(~r) . (3.5.1)

Krajevni del naj bo normaliziran tako, da je´g2dV = 1. asovni del zado²£a nihajni

ena£bi drugega redaf + ω2

nf = 0 . (3.5.2)

33


Vpeljimo novo kompleksno spremenljivko

a =

√ε02(f +

i

ωnf) . (3.5.3)

Z odvajanjem in uporabo 3.5.2 ugotovimo, da za a velja enostavna diferencialna ena£ba

a = −iωna (3.5.4)

a ima enostavno odvisnost od £asa eiωnt. Elektri£ni del energije polja v resonatorju, kije ravno polovica celotne energije, je 1/2ε0f2

´g2dV = 1/4(a+ a∗) = 1/2|a|2, tako da je

celotna energija lastnega nihanja resonatorja

W = |a|2 (3.5.5)

asovna odvisnost elektri£nega polja vsebuje £lena z e−iωn in eiωn , a pa ima le prvi£len. Zato ji v£asih pravimo tudi komponenta amplitude s pozitivno frekvenco. Prednostspremenljivke a je v enostavnej²ih ena£bah, ki so le prvega reda. a in konjugirano kom-pleksna spremenljivka a∗ sta tudi klasi£na oblika kreacijskih in anihilacijskih operatorjevv kvantnomehanskem opisu harmonskega oscilatorja.Izgube resonatorja lahko lahko opi²emo tako, da en£bo 3.5.4 popravimo:

a = −iωna−1

τa (3.5.6)

Da je ta en£ba dobra, morajo biti izgube majhne; £e niso, je treba uporabljati obi£ajnonihajno ena£bo drugega reda. Gornji pribliºek namre£ ne vsebuje zmanj²anja nihajnefrekvence pri velikem du²enju. Prehod na dve nesklopljeni ena£bi prvega reda za a in a∗

je to£en le, kadar ni izgub. Izgube sklopijo en£bi za a in a∗ in to sklopitev smo zanemarili.Naj bo odbojnost enega zrcala resonatorja nekoliko manj²a od 1. Zaradi tega se zgodi

dvoje:

• pove£ajo se izgube za 1/τe = c/(4L)(1−R)

• resonator postane sklopljen z okolico, lastno nihanje je mogo£e vzbujati z valovan-jem, ki vpada na resonator, in valovanje tudi izhaja iz resonatorja

Naj bo s+ snop valovanja, ki vpada na resonator. Amplituda s+ naj bo izbrana tako, daje |s+|2 enako mo£i valovanja. Za£asno tudi izpustimo notranje izgube resonatorja 1/τ0.S tem lahko zapi²emo

a = −iωna−1

τea+ κs+ , (3.5.7)

kjer je κ sklopitveni koecient med vapdnim valovanjem in amplitudo lastnega nihanja.κ ni neodvisen, saj je dolo£en s kon£no prepustnostjo zrcala, ki je ºe vsebovana v 1/τe.Poi²£imo torej zvezo med κ in 1/τe.Naj ima vpadno valovanje frekvenco ω. Tedaj je v stacionarnem stanju amplituda

nihanjaa =

κs+

i(ωn − ω) + 1τe

. (3.5.8)

34


Del valovanja, ki se odbije od resonatorja, ozna£imo z s−. e vpadnega vala ni, pojemaenergija nihanja zaradi odtekanja v s−. Ohranitev energije da

− d

dt|a|2 = 2

τe|a|2 = |s−|2 (3.5.9)

ali

s− =

√2

τea , (3.5.10)

kjer smo fazo s− priredili z izbiro referen£ne ravnine, v kateri opazujemo s−.Ob prisotnosti vpadnega vala s+ lahko odbiti val zapi²emo kot vsoto direktnega odboja

s+ in prispevka iz resonatorja:

s− = rs+ +

√2

τea , (3.5.11)

kjer r zaenkrat ²e ne poznamo. V stacionarnem stanju mora biti vpadna mo£ enakaodbiti, ker ni notranjih izgub, torej

|s+|2 = |s−|2 . (3.5.12)

Uporabimo ²e izraz 3.5.8 za stacionarno vrednost a in dobimo enakost

r2 +2(τeκ

2 + rκ√2τe)

1 + τ2e (ω−n ω)2

= 1 . (3.5.13)

Veljati mora pri vsaki frekvenci, to je pri vsaki vrednosti imenovalca ulomka. Zato morabiti r2 = 1 in τeκ = −r

√2τe. Ker sta τe in κ pozitivna, je r = −1 in

κ =

√2

τe. (3.5.14)

Odbito valovanje lahko torej zapi²emo

s− = −s+ +

√2

τea . (3.5.15)

Z upo²tevanjem notranjih izgub amplituda nihanja uboga ena£bo

a = −iωna− (1

τ0+

1

τe)a+

√2

τes+ . (3.5.16)

Ena£bi 3.5.15 in 3.5.16 sta osnovna izraza za sklaplanje resonatorjev z enim vhodom. Zaprimer uporabe izra£unajmo odbojnost resonatorja s−/s+ kot funkcijo frekvence vpad-nega vala. V ena£bo 3.5.15 postavimo izraz za stacionarno vrednost amplitude nihanja

a =

√2τes+

i(ωn − ω) + ( 1τ0

+ 1τe)

(3.5.17)

35


pa imamos−s+

=1τ0

− 1τe

− i(ωn − ω)1τ0

+ 1τe

+ i(ωn − ω). (3.5.18)

Dale£ od resonance je odbojnost -1. V resonanci, ωn = ω, odboja ni, kadar je τe = τ0.Takarat je mo£, ki gre iz vpadnega valovanja v vzbujanje resonatorja, najve£ja in jesklopitev, ki jo meri τe, popolnoma prilagojena izgubam. Taka prilagoditev je analognazahtevi, da mora biti impedanca bremena na koncu valovoda ali koaksialnega kabla enakaimpedanci valovoda oziroma kabla.e sta obe zrcali resonatorja delno prepustni, kot na primer pri obi£ajnem Fabri-

Perotovem interferometru, bo ena£ba za amplitudo nihanja

a = −iωna− (1

τ0+

1

τe1+

1

τe2) + κ1s+1 + κ2s+2 . (3.5.19)

s+1 in s+2 sta valovanji, ki vpadata z ene in druge strani. Izgube zaradi kon£ne prepust-nosti so ²e vedno

1

τei=

c

4L(1−Ri) , i = 1, 2 (3.5.20)

S podobnim razmislekom kot prej, s tem da je najprej eno, nato drugo vpadno valovanjeni£, dobimo

κi =

√2

τei. (3.5.21)

Prepustnost resonatorja, to je razmerje med mo£jo vpadnega valovanja z ene strani inizhodnega z druge, bo

T =|s−2|2

|s+1|2=

2

τe2

|a|2

|s+1|2=

4τ2/τe1τe21 + τ2(ωn − ω)2

, (3.5.22)

kjer je 1/τ = 1/τ0 + 1/τe1 + 1/τe2. e ni notranjih izgub, je prepustnost v resonanci

T =4/τe1τe2

(1/τe1 + 1/τe2)2. (3.5.23)

Prepustnost je v resonanci popolna, £e sta obe zrcali enaki, τe1 = τe2. Gornja izraza seujemata z znanim izrazom 3.0.7 za prepustnost Fabri-Perotovega interferometra v bliºiniresonanc, £e so izgube in prepustnost zrcal majhne.Resonatorji imajo mnogo lastnih nihanj. O£itno veljajo gornji izrazi za vsako posebej

in dobimo celoten odziv resonatorja na poljubno vpadno valovanje kot vsoto po vsehlastnih nihanjih. Pri tem ne smemo pozabiti, da mora vpadno valovanje, ki se sklapljaz izbranim lastnim nihanjem, imeti prostorsko odvisnost, ki ustreza lastnemu stanju. Vprimeru stabilnih resonatorjev iz prej²njih razdelkov mora torej biti vpadni snop Gaussovz enakim w0 in istega pre£nega reda kot resonatorsko stanje. e vpadno valovanje ni tako,ga moramo najprej razviti po Gaussovih snopih, ki ustrezajo resonatorju.V praksi pri zahtevnej²ih interferometri£nih meritvah je za to, da vzbudimo le eno

resonanco, potrebno vpadni snop prilagoditi resonatorju, to je, polmer na vhodnem zrcalu

36

3.6 Sklopitev dveh resonatorjev

Slika 3.6.1: Resonatorja, sklopljena s polprepustnim zrcalom

mora biti enak polmeru lastnega nihanja, krivinski radij vpadne valovne fronte pa enakkrivinskemu radiju zrcala. Obratno pa resonator deluje ne le kot frekven£ni lter, ampaktudi kot prostorski. Recimo, da ima vpadno valovanje isto frekvenco kot eno od nihanjresontorja. Prepu²£eno valovanje bo imelo tedaj obliko Gaussovega snopa, kot jo dolo£aresonator, ne glede na obliko vpadnega snopa.Gornji na£in obravnave resonatorjev in sklopitve z vpadnim valovanjem je posebej

prikladen za ra£un nestacionarnega obna²anja in za primer, ko je resonator napolnjen znelinearnim sredstvom.

3.6 Sklopitev dveh resonatorjev

Podobno kot sklopitev z zunanjim valovanjem lahko obravnavamo tudi sklopitev meddvema resonatorjema. Imejmo dva resonatorja brez izgub, sklopljena z delno prepustnimzrcalom, kot kaºe slika 3.6.1. Sklopitev naj bo ²ibka, pa lahko zapi²emo

a1 = −iω1a1 + κ12a2

a2 = −iω2a2 + κ21a1 . (3.6.1)

Zaradi ohranitve energije sklopitvena koecienta κ12 in κ21 nista neodvisna. Vsotaenergij obeh resonatorjev mora biti konstantna, zato

d

dt(|a1|2 + |a2|2) = a1a

∗1 + a∗1a1 + a2a

∗2 + a∗2a2

= a∗1κ12a2 + a1κ∗12a

∗2 + a∗2κ21a1 + a2κ

∗21a

∗1

= 0 . (3.6.2)

37


Od tu vidimo, da mora bitiκ12 + κ∗21 = 0 . (3.6.3)

Za primer na sliki 3.6.1 znamo sklopitveni koecient brez teºav izra£unati. V drugemresonatorju imamo stoje£e valovanje. Mo£ tistega dela, ki potuje proti prvemu res-onatorju, je polovica energije, deljena s £asom preleta od enega zrcala do drugega:

|s+|2 =1

2|a2|2

c

L. (3.6.4)

Z upo²tevanjem ena£be 3.5.14 je

κ12a2 =

√2

τes+ =

√c

τeLa2 , (3.6.5)

tako da jeκ12 =

c

2L

√1−R , κ21 = −κ12 . (3.6.6)

Zaradi sklopitve se spremenijo lastne frekvence. Poglejmo dva enaka sklopljena res-onatorja:

a1 = −iω0a1 + κ12a2

a2 = −iω0a2 − κ12a1 . (3.6.7)

I²£emo re²itve oblike Aie−iωt. e to postavimo v gornji diferencialni ena£bi, dobimo

homogen linearen sistem za A1 in A2, ki je netrivialno re²ljiv, £e je determinanta enakani£. To nam da ena£bo za frekvenco

(ω − ω0)2 = κ212 (3.6.8)

inω1,2 = ω0 ± κ12 . (3.6.9)

Zaradi sklopitve sta se prej enaki frekvenci razcepili v dve, kot smo lahko pri£akovali.

38

4 Interakcija svetlobe s snovjo

Doslej smo obravnavali le svetlobo v praznem prostoru. Oglejmo si ²e osnovne proceseinterakcije svetlobe s snovjo. To je seveda zelo ob²irna tema in jo bomo obdelali le toliko,kolikor je potrebno za obravnavo oja£evanja svetlobe s stimulirano emisijo. Najprej bomona kratko pogledali termodinamsko ravovesje svetlobe v stiku s toplotnim rezervoarjem,torej sevanje £rnega telesa. Za to je potrebno tudi elektromagnetno polje obravnavatikvantno. Nato bomo vpeljali fenomenolo²ki Einsteinov opis mikrskopskih procesov ab-sorpcije, stimulirane in spontane emisije in pokazali, da ti procesi niso neodvisni. Izpeljalibomo izraze za absoprcijski in oja£evalni koecient, na koncu poglavja pa bomo nakazali²e kvantnomehansko izpeljavo verjetnosti za prehod atoma iz vi²jega energijskega stanjav niºje s sevanjem.

4.1 Kvantizacija elektromagnetnega polja

Ravni valovi so enostavne in zelo prikladne re²itve valovne ena£be in jih pri re²evanjuproblemov pogosto uporabimo kot bazo, po kateri razvijemo elektromagnetno (ali kak²nodrugo) polje. Moºen je razvoj po vsem prostoru, vendar je tedaj nekoliko nerodno nor-malizirati bazi£ne funkcije, zato vzamemo raje omejen del prostora. e je ta dovolj velik,kon£ni rezultat ni odvisen od izbire velikosti, oblike in robnih pogojev. Najenostavnejeje vzeti votlino v obliki dovolj velike kocke s stranico L in idealno prevodnimi stenami.Re²itve Maxwellovih ena£b znotraj take votline so stoje£a valovanja [?]

Ex = Ex0 cosπm1x

Lsin

πm2y

Lsin

πm3z

Le−iωt

Ey = Ey0 sinπm1x

Lcos

πm2y

Lsin

πm3z

Le−iωt

Ez = Ez0 sinπm1x

Lsin

πm2y

Lcos

πm3z

Le−iωt . (4.1.1)

Vsako stoje£e valovanje je dolo£eno z valovnim vektorjem~k = (πm1/L, πm2/L, πm3/L), katerega velikost je povezana s frekvenco ω = ck.Zaradi ∇ · ~E = 0 velja tudi ~k · ~E = 0, tako da imamo za vsako trojico m1, m2, m3 le

dve neodvisni polarizaciji.Pre²tejmo, koliko je lastnih nihanj v intervalu velikosti valovnega vektorja med k in

k+ dk. Moºni valovni vektorji tvorijo tridimenzionalno mreºo v prvem oktantu prostoravseh valovnih vektorjev. Razmik med dvema zaporednima mreºnima to£kama v smeriene od osi je π/L. tevilo to£k v osmini krogelne palsti med k in k+dk je za dovolj velikem1,m2 inm3 enako volumnu plasti, deljenemu z volumnom, ki pripada posamezni mreºni

39


to£ki, to je (π/L)3. Upo²tevati moramo ²e, da imamo pri vsakem ~k dve polarizaciji.

dN =

(L

π

)3

πk2 dk (4.1.2)

Gostoti nihanj na interval frekvence in enoto volumna votline pravimo gostota stanj:

ρ(k) dk =1

π2k2 dk (4.1.3)

ali z upo²tevanjem zveze med k in ω:

ρ(ω) dω =ω2 dω

π2c3. (4.1.4)

S pomo£jo gostote stanj lahko vsote po lastnih valovanjih, to je po dovoljenih vrednostihvalovnega vektorja spremenimo v integrale po k ali ω:∑

k

. . .→ V

ˆρ(k) . . . dk = V

ˆρ(ω) . . . dω . (4.1.5)

Ozna£imo krajevni del re²itve ?? z Eα, kjer α ozna£uje vsa tri cela ²tevila m1, m2 inm3 in ²e obe moºni polarizaciji, da bo manj pisave. Pripadajo£e magnetno polje dobimos pomo£jo Maxwellove ena£be ∇× ~Eα = iω ~Bα. Polja ~Eα in ~Bα tvorijo poln ortogonalensistem, zato lahko vsako elektromagnetno polje v votlini razvijemo:

~E(~r, t) = −∑α

1√V ε0

pα(t) ~Eα(~r)

~B(~r, t) = −∑α

√µ0Vωαqα(t) ~Bα(~r) . (4.1.6)

asovno odvisnost koecientov razvoja pα in qα seveda poznamo, vendar je ne izpi²imo.Postavimo razvoj ?? v Maxwellove ena£be in dobimo

pα = qα in ω2αqα = −pα , (4.1.7)

od koder sledi ²epα + ω2

αpα = 0 . (4.1.8)

Ta ena£ba nam da seveda pri£akovano odvisnost od £asa.S pomo£jo razvoja ?? lahko zapi²emo ²e energijo polja - Hamiltonovo funkcijo:

H =1

2

ˆ(1

µB2 + ε0E

2) dV =1

2

∑α

(p2α + ω2αq

2α) . (4.1.9)

Ena£bi 4.1.8 in 4.1.9 kaºeta, da lahko polje v votlini obravnavamo kot sistem neodvisnihharmonskih oscilatorjev. Pri tem se koecienti razvoja pα in qα obna²ajo kot impulzi in

40

4.2 Sevanje £rnega telesa

koordinate. Prehod v kvantno meahniko doseºemo tako, da jim priredimo operatorje pαin qα, ki morajo zado²£ati komutacijskim pravilom

[qα, pα] = i~ , (4.1.10)

vsi ostali komutatorji pa so ni£.Lastne vrednosti energije harmonskega oscilatorja so

Wn,α = ~ωα(nα +1

2) , nα = 1, 2, . . . (4.1.11)

Celotna energija kvantiziranega elektromagnetnega polja v votlini je torejW =∑

α ~ωαnα,pri £emer smo izpustili ni£elno energijo.Razliki energije enega harmonskega oscilatorja, £e se nα spremeni za 1, pravimo foton.

Iz same konstrukcije vidimo, da je pojem fotona vezan na dolo£en opis elektromagnetnegapolja - reprezentacijo. V njej na primer vpra²anje, kje se foton nahaja, o£itno nima smisla.

4.2 Sevanje £rnega telesa

Naj bo sevanje v votlini v toplotnem ravnovesju s stenami s temperaturo T . Verjetnost,da je v izbranem stanju votline α nα fotonov, je podana s kanoni£no porazdelitvijo:

P (nα) =e−β~ωαnα∑nαeβ~ωαnα

= e−β~ωαnα(1− e−β~ωα) . (4.2.1)

Povpre£no ²tevilo fotonov v stanju je torej

nα =∑nα

nαP (nα) =1

eβ~ωα − 1. (4.2.2)

S tem izrazom lahko tudi verjetnost P (n) zapi²emo nekoliko druga£e:

P (n) =nn

(1 + n)1+n. (4.2.3)

Ravnovesno gostoto energije elektromagnetnega polja v votlini na frekven£ni intervaldobimo tako, da povpre£nbo energijo posameznega stanja nα~ωα ponoºimo s ²tevilomstanj na frekven£nem intervalu, to je, z gostoto stanj:

uT (ω) dω = ~ωnρ(ω) dω =~

π2c3ω3 dω

eβ~ω − 1. (4.2.4)

Ta formula je Planckov zakon za spekter svetlobe v toplotnem ravnovesju z okolica stemperaturo T .

41


Slika 4.3.1: Dvonivojski atom

4.3 Absorpcija, spontano in stimulirano sevanje

Oglejmo si sedaj osnovne procese interakcije svetlobe s snovjo. Naj bo v votlini polegelektromagnetnega polja ²e N atomov, ki se med seboj ne motijo. Za za£etek naj bodoprav enostavni: imajo naj le dve energijski stanji z energijama E1 in E2 (Slika 4.3.1).Zaradi interakcije s poljem pri frekvenci prehoda ω0 = (E2 − E1)/~ atomi prehajajo

iz niºjega stanja v vi²je in obratno. Verjetnost na £asovno enoto za prehod atoma izspodnjega stanja v zgornje - temu procesu re£emo absorpcija - je sorazmerna spektralnigostoti energije polja, to je energiji na enoto volumna in frekven£ni interval:

r12 = B12u(ω0) , (4.3.1)

kjer je B12 sorazmernostni koecient. Zaradi absorpcije se seveda zmanj²a ²tevilo fotonovv enem od stanj polja pri frekvenci ω0.Iz gornjega stanja v spodnje lahko atom prav tako preide zaradi interakcije s poljem.

Temu procesu pravimo stimulirano sevanje. Pri tem se ²tevilo fotonov v stanju, ki jeprehod povzro£ilo, pove£a za ena. Verjetnost na £asovno enoto za stimuliran prehod jespet sorazmerna s spektralno gostoto energije polja:

r21 = B21u(ω0) . (4.3.2)

Vemo, da atom v vzbujenem stanju tudi brez vpliva zunanjega polja ni stabilen, temve£prej ali slej preide v niºje stanje, pri £emer se izseva foton v katerokoli stanje polja vokolici frekvence prehoda. Verjetnost na enoto £asa za tako spontano sevanje ozna£imoz A21. Karakteristi£ni razpadni £as gornjega stanja je seveda 1/A21.Fenomenolo²ke koeciente A21, B21 in B12 je vpeljal Einstein. Videli bomo, da je z

njimi mogo£e uspe²no opisati velik del pojavov pri interakciji svetlobe s snovjo.

42

4.3 Absorpcija, spontano in stimulirano sevanje

Preden nadaljujemo, se ²e nekoliko pomudimo pri izrazih za absorpcijo in stimuliranoemisijo. Zaradi kon£nega ºivljenskega £asa ima gornje stanje tudi kon£no spektralno²irino. Ena£bi 4.3.1 in 4.3.2 sta dobri, kadar je spektralna gostota elektromagnetnegapolja u(ω) preko vse ²irine prehoda pribliºno konstantna. To je gotovo res, £e je sevanje vvotlini v termi£nem ravnovesju. e pa na atome svetimo s svetlobo s spektrom, ki je ozekv primerjavi s ²irino prehoda,na primer iz laserja, bo verjetnost za prehod odvisna tudiod tega, kako blizu centralne frekvence prehoda je frekvenca svetlobe. Naj bo wω gostotaenergije (ne spekter!) monokromatske svetlobe s frekvenco ω. Tedaj lahko verjetnost naenoto £asa za absorpcijo zapi²emo v obliki

r12 = B12g(ω)wω , (4.3.3)

kjer funkcija g(ω) opisuje obliko atomske spektralne £rte. Pri ω0 ima vrh. V splo²nemprimeru, ko se spekter svetlobe spreminja v obmo£ju frekvence prehoda, moramo se²tetiprispevke oblike 4.3.3 po ozkih frekvne£nih intervalih:

r12 = B12

ˆg(ω)u(ω) dω . (4.3.4)

e se spekter ne spreminja dosti v obmo£ju prehoda, lahko u(ω) postavimo pred inte-gral in mora splo²ni izraz 4.3.4 preiti v ena£bo 4.3.1. Sledi, da mora biti funkcija g(ω)normirana: ˆ

g(ω) dω = 1 . (4.3.5)

Zelo pogosto je g(ω) Lorentzove oblike:

g(ω) =1

π

γ

(ω − ω0)2 + γ2. (4.3.6)

Za grobe ocene jo lahko aproksimiramo tudi s pravokotnikom ²irine δω ' γ in vi²ine1/δω.Vrnimo se k Einsteinovim koecientom. Pokaºimo, da med sabo niso neodvisni. V

prisotnosti svetlobe se bo v splo²nem ²tevilo atomov v spodnjem in zgornjem stanju -zasedenost stanj - spreminjalo. Naj bo N1 zasedenost spodnjega stanja, N2 pa zgornjega.Obravnavajmo termi£no ravnovesje, ko je spekter svetlobe gotovo ²irok v primerjavi s²irino atomskega prehoda. Zasedenost zgornjega nivoja se bo zmanj²evala zaradi stimuli-ranih in spontanih prehodov v spodnje stanje, pove£evala pa zaradi absorpcije s spodnjegastanja:

dN2

dt= −A21N2 −B21u(ω0)N2 +B12u(ω0)N1 . (4.3.7)

Zaradi ohranitve ²tevila atomov velja dN1/dt = −dN2/dt.V termi£nem ravnovesju sta zasedenosti konstantni, tako da imamo

A21N2 +B21u(ω0)N2 −B12u(ω0)N1 = 0 . (4.3.8)

43


V termi£nem ravnovesju mora biti spektralna gostota energije sevanja u(ω) kar termi£naPlanckova gostota uT (ω), ki jo lahko izrazimo tudi iz 4.3.8:

uT (ω0) =A21

B12N1N2

−B21

. (4.3.9)

Za zasedenosti N1 in N2 mora veljati kanoni£na porazdelitev

N2

N1= e−β(E2−E1) , (4.3.10)

kjer je β = 1/kT . Tako imamo

uT (ω0) =A21/B12

eβ~ω0 −B21/B12. (4.3.11)

Gornji izraz lahko primerjamo s Planckovo formulo za uT (ω0). O£itno morata biti B21

in B12 enaka (£e sta stanji nedegenerirani) in mora med A21 in B21 veljati zveza

A21 =~ω3

π2c3B21 . (4.3.12)

Koecient pred B21 je enak gostoti stanj EM polja ρ(ω) pomnoºeni z energijo fotona~ω. Videli bomo, da to ni slu£ajno in da sledi iz ra£una verjetnosti za prehod v kvantnielektrodinamiki. Pozoren bralec ja lahko tudi opazil, da je z izrazom 4.3.11, ki smoga dobili le z uporabo kanoni£ne porazdelitve za atome, ºe dolo£ena oblika Planckoveformule, ne da bi karkoli rekli o fotonih.

4.4 Absorpcijski koecient

Koecienta A21 in B21 sta zvezana z makroskopskim absorpcijskim koecientom plinaatomov. Naj na plin vpada snop svetlobe s frekvenco ω, ki je blizu frekvence atomskegaprehoda ω0, in z gostoto toka jω = wωc (slika 4.4.1). Spekter snopa naj bo sedaj ozek vprimerjavi s ²irino atomskega prehoda. V tej obliki zapisane formule nam bojo kasnejepri obravnavi laserja pri²le bolj prav. Kako je, £e je spekter svetlobe primerljiv ali ²ir²i odatomske £rte, bo brez teºav bralec dognal sam. Privzemimo ²e, da je stanje stacionarno.V plasti plina debeline dz se bo gostota toka zmanj²ala zaradi absorpcije in pove£alazaradi stimulirane emisije. Spontano sevanje bo ²lo skoraj vedno iz smeri snopa, zatoga ne upo²tevamo. Sprememba mo£i snopa je enaka razliki med ²tevilom absorpcij instimuliranih prehodov na enoto £asa, mnoºenih z energijo fotona, tako da lahko zapi²emo

dP = S dj =1

V(N2 −N1)S dzB21g(ω)~ωwω , (4.4.1)

kjer je S presek snopa, V pa volumen plina. Tako dobimo ena£bo za spreminjanje gostotetoka

dj =1

V(N2 −N1)B21g(ω)

~ωcjω dz (4.4.2)

44

4.5 Nasi£enje absorpcije

Slika 4.4.1: Absorpcija snopa svetlobe v plasti atomov

Dostikrat je udobno vpeljati ²e presek za absoprcijo ali stimulirano sevanje σ(ω) =B21g(ω)~ω/c. Z njim se izraz 4.4.2 poenostavi:

dj =1

V(N2 −N1)σ(ω)j dz . (4.4.3)

Navadno imamo opravka s plinom, ki je blizu termi£nega ravnovesja, zato je N2 < N1 inje dj negativen. V tem primeru imamo absorpcijo z absorpcijskim koecientom

µ(ω) =1

V(N2 −N1)B21g(ω)

~ωc

=1

V(N2 −N1)σ(ω) . (4.4.4)

Energija se pri absorpciji na na²em plinu dvonivojskih atomov seveda ne izgublja, temve£le siplje. Atom, ki je pre²el v vzbujeno stanje, se s spontano emisijo vrne nazaj v osnovno,svetloba pa se izseva kamorkoli.

4.5 Nasi£enje absorpcije

Ena£be 4.4.3 za zmanj²evanje gostote svetlobnega toka pri prehodu skozi absorbirajo£iplin ni mogo£e takoj integrirati. e je gostota svetlobnega toka dovolj velika, bo zabsorpcijo lahko znaten deleº atomov pre²el v vi²je stanje in se bo razlika N1 − N2

zmanj²ala, zaradi £esar se bo zmanj²al tudi absorpcijski koecient. Temu pojavu pravimonasi£enje absorpcije.Spet naj na plin vpada snop monokromatske svetlobe in naj je stanje stacionarno.

Podobno kot smo dobili v termi£nem ravnovesju ena£bo 4.3.8 imamo

A21N2 +B21g(ω)

c(N2 −N1)j = 0 . (4.5.1)

45


N2 lahko izrazimo s celotnim ²tevilom atomov N in razliko zasedenosti: N2 = 1/2N +1/2(N2 −N1). S tem lahko izra£unamo razliko zasedenosti

N2 −N1 = − N

1 + 2Bg(ω)cA j

. (4.5.2)

Pri majhni gostoti toka j so vsi atomi v osnovnem stanju in prispevajo k absorpciji. Privelikih gostotah toka pa naraste imenovalec gornjega izraza, razlika zasedenosti gre protini£ in absoprcija se zmanj²uje. Drugi £len v imenovalcu ena£be 4.5.2 bo imel vrednost 1,kadar bo gostota energijskega toka dosegla vrednost saturacijske gostote

js(ω) =A21c

B21g(ω)=

~ω3

π2c2g(ω), (4.5.3)

kjer smo upo²tevali zvezo 4.3.12 med A21 in B21. Saturacijska gostota je odvisna le odfrekvence in ²irine atomskega prehoda. Za £rto z valovno dolºino okoli 600 nm in ²irino108 s−1 je okoli 50 mW/cm2. Tako gostoto toka v ozek frekven£ni interval je z obi£ajnimisvetili, na primer plinsko razelektritveno cevjo, prakti£no nemogo£e dose£i, medtem kojo iz laserjev dobimo z lahkoto. Izraz za razliko zasedenosti lahko sedaj zapi²emo vpregledni obliki

N2 −N1 = − N

1 + 2jjs(ω)

. (4.5.4)

Postavimo gornji izraz v ena£bo za zmanj²evanje gostote toka 4.4.3:

dj = − µ0

1 + 2jjs

j dz , (4.5.5)

kjer smo z µ0 = 1/(V c)NB21g(ω)~ω ozna£ili obi£ajni absorpcijski koecient pri majhnihgostotah vpadnega toka. Ena£bo brez teºav integriramo:

lnj

j0+

2

js(j − j0) = −µ0 z , (4.5.6)

kjer smo z j0 ozna£ili za£etno gostoto toka. Kadar je ta dosti manj²a od js, imamoobi£ajno eksponentno pojemanje, pri velikih vpadnih gostotah pa je pojemanje samolinearno:

j = j0 −1

2µ0jsz = j0 −

N

2VA~ω . (4.5.7)

V tem primeru je zasedenost spodnjega in zgornjega nivoja skoraj enaka in je absorpcijaomejena s tem, kako hitro se atomi vra£ajo v osnovno stanje preko spontanega sevanja,kar je razvidno tudi iz zadnje oblike izraza 4.5.7.

4.6 Opti£no oja£evanje

V primeru, da je N2 > N1, se bo snop pri prehodu skozi tako pripravljen plin oja£eval.V tem primeru pravimo, da imamo stanje obrnjene zasedenosti. Tako stanje seveda v

46

4.7 Opti£no £rpanje trinivojskega sistema

termi£nem ravnovesju ni moºno in ga je treba vzdrºevati z dovajanjem energije plinu,£emur pravimo tudi opti£no £rpanje. To je mogo£e v razli£nih sistemih napraviti namnogo na£inov.

V plinih je najpogostej²i na£in vzbujanja z elektri£nim tokom. Elektroni, ki so glavninosilci toka, se zaletavajo v atome ali ione in jih vzbujajo na vi²je nivoje, pri £emer lahkopride do obrnjene zasedenosti med nekim parom nivojev. Pogost proces v plinih je tudiprenos energije med atomi s trki. Vzemimo me²nico dveh plinov, pri katerih se nek nivoenih atomov ujema po energiji s stanjem drugih atomov. Vzbujen atom prve vrste lahkopri trku preda energijo brez sevanja atomu druge vrste, ki iz osnovnega stanja preide vustrezen vi²ji nivo. e je pod tem nivojem ²e drugo vzbujeno stanje, bomo med njimadobili obrnjeno zasedenost, kadar bo ºivljenski £as gornjega nivoja dalj²i od spodnjega.

V trdnih neprevodnih kristalih sta v opti£nem podro£ju absoprcija in sevanje pridolo£eni valovni dolºini navadno posledica primesi. Obrnjeno zasedenost para nivojevprimesi najve£krat dobimo tako, da kristal obsevamo s svetlobo s frekvenco, ki ustrezaprehodu na nek nivo nad izbranim parom. Tak na£in opti£nega £rpanja deluje tudi vorganskih barvilih.

V polvodnikih doseºemo obrnjeno zasedenost med prevodnim in valen£nim pasom zvbrizgavanjem elektronov in vrzeli v obmo£je p-n spoja z elektri£nim tokom v prevodnismeri. Moºen mehanizem vzbujanja so tudi kemi£ne reakcije. Po reakciji lahko odprodukti ostanejo v vzbujenem stanju in lahko dobimo obrnjeno zasedenost med paromastanj.

Nekoliko bolj podrobno si bomo nekaj teh mehanizmov ogledali kasneje na konkretnihlaserjih. Sedaj si kot primer oglejmo le model opti£nega £rpanja plina atomov s tremistanji.

4.7 Opti£no £rpanje trinivojskega sistema

Naj imajo atomi poleg stanj |1〉 in |2〉 ²e niºje leºe£e osnovno stanje |0〉. Na plin svetimo ssvetlobo, ki vzbuja atome iz stanja |0〉 v stanje |2〉, pri £emer je lahko spektralna gostotaup te £rpalne svetlobe ²iroka. Poleg tega naj se po plinu ²iri ²e monokromatska svetlobas frekvenco ω blizu frekvence prehoda ω0 med stanjema |1〉 in |2〉 in z gostoto energije w.Ugotoviti ºelimo, pri kak²nih pogojih lahko doseºemo med stanjema |1〉 in |2〉 obrnjenozasedenost in s tem oja£evanje svetlobe okoli frekvence ω0.

Zapi²imo ena£be za spreminjanje zasedenosti stanj. Osnovno stanje se bo praznilozaradi absorpcije £rpalne svetlobe in polnilo zaradi spontanih prehodov iz stanj |1〉 in|2〉 ter stimuliranih prehodov iz stanja |2〉. Zasedenost stanja |2〉 se bo pove£evala zaradiabsorpcije s spodnjih nivojev in zmanj²evala zaradi spontanega in stimuliranega sevanja.Srednje stanje se bopolnilo s stimuliranimi in spontanimi prehodi iz stanja |2〉 in praznilo

47


zaradi absorpcije v |2〉 in spontanih prehodov v |0〉. Zasedbene ena£be so torej

dN0

dt= −B20up(N0 −N2) +A20N2 +A10N1

dN1

dt= B21g(ω)w(N2 −N1) +A21N2 −A10N1

dN2

dt= −B21g(ω)w(N2 −N1)−A21N2 −A20N2 + (4.7.1)

+B20up(N0 −N2) . (4.7.2)

Vse tri ena£be niso neodvisne; vsota vseh treh zasedenosti mora biti enaka ²tevilu vsehatomov: N0+N1+N2 = N . Zanima nas stacionarno stanje, ko so vsi trije £asovno odvodienaki ni£. Poleg tega je navadno ²tevilo atomov v vzbujenih stanjih mnogo manj²e odzasedenosti osnovnega stanja in lahko napravimo pribliºek N0 ' N . Tedaj je tudi izrazB20up(N0 −N2) ' B20upN = rN . Mehanizem £rpanja smo skrili v r in prav ni£ ni ve£pomembno, na kak²en na£in poteka. Brez ²kode lahko tudi zanemarimo spontano sevanjeiz stanja |2〉 v osnovno stanje. Tako lahko zadnji dve ena£bi sistema ?? v stacionarnemstanju zapi²emo

B21g(ω)w(N2 −N1) +A21N2 −A10N1 = 0

−B21g(ω)w(N2 −N1)−A21N2 + rN = 0 . (4.7.3)

Od tod lahko izra£unamo obe zasedenosti

N1 =rN(A21 +B21g(ω)w)

A10A21 +A10B21g(ω)w

N2 =rN(A10 +B21g(ω)w)

A10A21 +A10B21g(ω)w(4.7.4)

in razliko zasedenosti

N2 −N1 =rN(A10 −A21)

A10A21 +A10B21g(ω)w. (4.7.5)

Obrnjeno zasedenost dobimo, £e je A10 > A21, torej kadar je razpadni £as stanja |1〉kraj²i kot razpadni £as stanja |2〉. Tak rezultat smo seveda lahko pri£akovali.Poglejmo, kako se pove£uje gostota energijskega toka svetlobe j = wc pri frekvenci ω.

Enako kot pri absorpciji imamo

(1

j+

1

js) dj = Gdz , (4.7.6)

kjer je saturacijska gostota js enaka kot v primeru absorpcije, ni pa faktorja 2 kot vimenovlacu ena£b 4.5.2, 4.5.4 in 4.5.5, ker imamo sedaj tri stanja in ne velja pogojN1 +N2 = N . Z G smo ozna£ili koecient oja£enja pri majhnih vpadnih gostotah toka.Podan je z

G =rN(A10 −A21)B21~ωg(ω)

V cA10A21' rNB21~ωg(ω)

V cA21. (4.7.7)

48

4.8 *Homogena in nehomogena raz²iritev spektralne £rte

V drugem koraku smo predpostavili, da je A10 A21. Kot pri absorpciji imamo dvareºima. Pri majhnih gostotah toka j js je nara²£anje eksponentno

j(z) = j0eGz . (4.7.8)

Pri velikih gostotah toka dobimo nasi£enje in je oja£evanje le linearna funkcija razdalje:

j(z) = j0 + jsGz = j0 +rN

Vz . (4.7.9)

V tem primeru je gostota toka dovolj velika, da vsi atomi, ki jih s £rpanjem spravimi vnajvi²je stanje, preidejo v stanje |1〉 s stimuliranim sevanjem. Pri konstantnem £rpanjuje tedaj razumljivo linearno nara²£anje gostote toka.

4.8 *Homogena in nehomogena raz²iritev spektralne £rte

Doslej smo predpostavili, da svetijo vsi atomi obravnavane snovi £rto pri isti frekvenciω0 in z isto spektralno ²irino, ki smo jo popisali s funkcijo g(ω0 − ω). V tem primerupravimo, da je rza²iritev homogena. Primera homogene raz²iritve sta naravna ²irina inraz²iritev zaradi trkov.Spektralna £rta je lahko raz²irjena tudi zato, ker vsi atomi ne svetijo pri povsem enaki

frekvenci. Tedaj govorimo o nehomogeni raz²iritvi. Najpomebnej²i primer je Dopplerjeveraz²iritev v plinu. V laboratorijskem, mirujo£em sistemu so frekvence ω posameznihatomov premaknjene odvisno od hitrosti v atoma v smeri opazovanja:

ω = ω0 −v

cω0 = ω0 − k0v . (4.8.1)

Ozna£imo z N (v) porazdelitev gostote atomov po hitrostih v smeri opazovanja. Vtermi£nem ravnovesju je N (v) Maxwellova:

N (v) =N

V

(m

2πkBT

)1/2

emv2

2kBT . (4.8.2)

Porazdelitev atomov po frekvencah dobimo tako, da hitrost izrazimo iz ena£be 4.8.1, pri£emer dobljeno funkcijo gD(ω − ω0) normiramo tako, da bo njen integral enak 1:

gD(ω − ω0) =c

ω0

(m

2πkBT

)1/2

emc2

2kBTω0(ω−ω0)2 . (4.8.3)

Dopplerjeva raz²iritev v plinu je torej Gaussove oblike. irina je

∆ωD =√kBTmc

2ω0 . (4.8.4)

Za prehod Ne pri 632.8 nm, na katerega deluje znani He-Ne laser, pri temperaturi 300K dobimo ∆ωD = 9 × 109s−1. Nehomogena Dopplerjeva raz²iritev v redkem plinu jeobi£ajno precej ve£ja od homogene naravne ²irine in raz²iritve zaradi trkov.

49


4.9 *Nasi£enje nehomogeno raz²irjene absorpcijske £rte

V razdelku 4.5 smo obravnavali nasi£enje absorpcije pri homogeno raz²irjenem prehodu.Pri nasi£enju absorpcije, kadar prevladuje nehomogena raz²iritev, nastopijo pomembninovi pojavi, zato si to podrobneje oglejmo.Naj na plin vpada mo£an snop monokromatske svetlobe s frekvenco ω, ki je blizu centra

ω0 Dopplerjevo raz²irjene £rte. S svetlobo lakho sodeluje le skupina atomov, pri katerise Dopplerjevo premaknjena frekvenca ne razlikuje od ω za ve£ kot homogeno ²irino, kijo opisuje funkcija g(ω). Zato ne moremo zapisati zasedbenih ena£b za vse atome hkrati,ampak le za tiste, ki imajo hitrost med v in v+dv in ki absorbirajo pri frekvenci ω0−kv.Naj sta N1(v) in N2(v) hitrostni porazdelitvi atomov v spodnjem in v zgornjem stanju.Ena£ba za spreminjanje gostote N2(v) je analogna ena"bi 4.22 za celotno zasedenost vhomogenem primeru:

dN2(v)

dt= −1

cBg(ω − ω0) + kv)jω[N2(v)−N1(v)]−AN2(v) , (4.9.1)

kjer je jω gostota vpadnega svetlobnega toka. Upo²tevali smo, da je zaradi Dopplerjevegapojava prehod premaknjen k frekvenci ω0 − kv. Velja

N1(v) +N2(v) = N (v) indN2(v)

dt= −dN1(v)

dt. (4.9.2)

Vpeljimo Z(v) = N1(v)−N2(v). Izrazimo N2(v) = 1/2N (v)− 1/2Z(v), pa imamo

Z(v) = −2

cBg(ω − ω0) + kv)jωZ(v)−A(Z(v)−AN (v) . (4.9.3)

V stacionarnem stanju je

Z(v) =N (v)

1 + 2BAc g(ω − ω0 + kv)jω

. (4.9.4)

e je nasi£enje majhno, lahko imenovalec v gornji ena£bi razvijemo:

Z(v) ' N (v)[1− 2B

Acg(ω − ω0 + kv)jω] . (4.9.5)

Porazdelitev Z(v)je podobna nemoteni porazdelitvi atomov po hitrosti N (v), le da jepri hitrosti v = (ω0 − ω)/k zmanj²ana zaradi vpliva vpadne svetlobe, ki jo atomi s tohitorstjo lahko absorbirajo in s tem prehajajo v gornje stanje. V porazdelitvi atomov vspodnjem stanju tako nastane vdolbina, pravijo ji tudi Bennetova vdolbina, v gornjemstanju, ki je bilo na za£etku prazno, pa dobimo ustrezen ozek vrh (Slika ??). irinavdolbine je dolo£ena s homogeno ²irino prehoda, to je s funkcijo g(ω− ω0 + kv), globinapa z gostoto vpadnega toka.Zapi²imo sedaj absorpcijski koecient pri neki frekvenci ω′, ki ga izmerimo tako, da na

plin posvetimo z dodatnim, ²ibkim testnim snopom. Upo²tevati moramo, da k absorpciji

50

4.9 *Nasi£enje nehomogeno raz²irjene absorpcijske £rte

prispevajo vsi atomi, katerih hitrost je taka, da je prehod dovolj blizu ω′. Zato dobimoabsorpcijski koecient s se²tevanjem po porazdelitvi Z(v):

µ(ω′) =~ω′

c

ˆZ(v)Bg(ω′ − ω0 + k′v) dv (4.9.6)

Homogena raz²iritev je navadno dosti manj²a od Dopplerjeve ²irine. V prvem pribliºkuvzemimo, da lahko g(ω) nadomestimo kar z δ(ω), pri £emer to ne smemo narediti tudi vimenovalcu izraza za Z(v). Tako dobimo

µ(ω′) =~ω′

k′cB

N (ω′−ω0k )

1 + 2BAc g(ω − ω′)jω

' ~BN (ω′ − ω0

k)[1− 2B

Acg(ω − ω′)jω] . (4.9.7)

V drugi vrstici smo uporabili pribliºek 4.9.5. Odvisnost µ(ω′), ki jo izmerimo tako,da spreminjamo frekvenco testnega snopa ω′, je Gaussove oblike z vdolbino pri ω inje podobna porazdelitvi Z(v), kot jo kaºe slika ??. Vdolbina ima obliko homogenoraz²irjene £rte. Merjenje nasi£enja absorpcije s testnim ºarkom torej omogo£a dobitiobliko homogene £rte kljub mnogo ve£ji nehomogeni Dopplerjevi raz²iritvi in je zato vmoderni spektroskopiji velikega pomena.Absorpcijski koecient za prvi, mo£an vpadni snop dobimo s tem, da v gornjem izrazu

postavimo ω′ = ω. N ((ω − ω′)/k) opisuje obi£ajno Gaussovo obliko Dopplerjevo raz²ir-jene £rte, izraz v oglatem oklepaju pa da zmanj²anje absorpcije zaradi nasi£enja, ki jeodvisno le od vrednosti g(0) in zato enako pri vseh ω. Z enim samim snopom izmerjena£rta je kljub nasi£enju ²e vedno Gaussove oblike. Vdolbina, ki jo izºge svetloba v hitrostniporazdelitvi atomov, s takim preprostim opazovanjem ne moremo zaznati.Namesto z dvema razli£nima snopoma, od katerih lahko enemu spreminjamo frekvenco,

lahko vdolbino v porazdelitvi zaznamo tudi z enim snopom spremenljive frekvence, kise po prvem prehodu skozi plin odbije od ogledala in vrne v nasprtni smeri. S tem sev porazdelitvi atomov v spodnjem stanju simetri£no pri hitrostih ±(ω0 − ω)/k pojavitadve vdolbini. Kadar je ω blizu ω0, se za£neta obe vdolbini prekrivati, stopnja nasi£enjase pove£a in s tem se celotna absorpcija po dveh prehodih zmanj²a (Slika ??).Zapi²imo ²e ena£be za ta primer. Snop povzro£i spremembo zasedenosti pri prehodu

skozi plin v obeh smereh, zato je sedaj

Z(v) ' N (v)1− 2B

Acjω[g(ω − ω0 + kv) + g(ω − ω0 − kv)] . (4.9.8)

Eanko kot prej je absoprcijski koecient za ²irjenje svetlobe v pozitivni smeri

µ+(ω) =~ωcB

ˆZ(v)g(ω − ω0 + kv) dv

' ~BN (ω − ω0

k)1− 2B

Ac[g(0) + g(2(ω − ω0))]jω . (4.9.9)

Ker je Z(v) = Z(−v), je izraz za absorpcijo v negativni smeri enak. Pri ω = ω0 jenasi£enje ve£je in absorpcija se zato zmanj²a. Izmerjeni absorpcijski prol ima na sredini

51


vdolbino, ki je zopet podobna homogeno raz²irjeni £rti. Faktor 2 v argumentu funkcijeg(2(ω − ω0)) je posledica na²ega grobega pribliºka, ko smo v integraciji g(ω − ω0 + kv)nadomestili kar z δ funkcijo. Natan£nej²i ra£un pokaºe, da je vrh pri ω0 kar oblikeg(ω − ω0) (Naloga).

4.10 Izpeljava verjetnosti za prehod

Verjetnosti za prehod atoma iz enega stanja v drugo s sevanjem, ki smo jih opisali sfenomenolo²kimi Einsteinovimi koecienti A21 in B21, je mogo£e izpeljati z uporabokvantne elektrodinamike, to je, s kvantno obravnavo tako atoma kot elektromagnetnegapolja. Povsem strog ra£un je nekoliko zahtevnej²i ??, zato si na kratko oglejmo le, kakodobimo rezultat z uporabo perturbacijske metode.Postavimo dvonivojski atom v votlino z elektromagnetnim poljem in vpra²ajmo, ko-

lik²na je verjetnost, da zaradi interakcije s poljem preide iz stanja |2〉 v stanje |1〉, pri£emer se ²tevilo fotonov v izbranem stanju elektromagnetnega polja α pove£a od nα nanα + 1. V vseh ostalih stanjih polja naj bo ²tevilo fotonov ni£.Med atomom in poljem privzemimo elektri£no dipolno interakcijo

Hi = −eE(~r, t)x , (4.10.1)

kjer je x operator koordinate elektrona v atomu. Privzeli smo, da je polje v smeri osix. Stanja celotnega sistema, atoma in polja, zapi²emo v obliki direktnega produktaatomskih stanj in stanja elektromagnetnega polja, kjer moramo navesti ²tevilo fotonov vvsakem nihanju votline α:

|i, nα〉 ≡ |i〉|nα〉 . (4.10.2)

Za£etno stanje naj bo |2, nα〉, to je, atom je v gornjem stanju, polje pa ima nα fotonovv enem samem stanju α. Kon£no stanje je |1, nα + 1〉.V prvem redu teorije motenj je verjetnost na £asovno enoto za prehod iz za£etnega v

kon£no stanje

wzk =2π

~|〈1, nα + 1|Hi|2, nα〉|2 δ(E2 − E1 − ~ωα) . (4.10.3)

Delta funkcija poskrbi, da so moºni le prehodi, pri katerih se ohranja energija.Operator elektromagnetnega polja lahko po ?? razvijemo po lastnih nihanjih votline

E(~r, t) = − 1√ε0

∑α

pα(t)Eα(~r) , (4.10.4)

kjer je pα operator impulza nihanja α, Eα pa funkcija, ki popisuje krajevno odvisnostpolja.Vsako elektromagnetno nihanje votline se obna²a kot harmonski oscilator. Zato lahko

vpeljemo ?? kreacijske in anihilacijske operatorje

a+α =

√1

2~ωα(ωαqα − ipα)

aα =

√1

2~ωα(ωαqα + ipα) . (4.10.5)

52

4.10 Izpeljava verjetnosti za prehod

Kreacijski operatorji pove£ujejo, anihilacijski pa zniºujejo ²tevilo fotonov v danem stanju.Veljajo zveze

a+α |nα〉 =√nα + 1|nα + 1〉

aα|nα〉 =√nα|nα − 1〉 . (4.10.6)

Operatorje pα izrazimo s kreacijskimi in anihilacijskimi operatorji in jih vstavimo v razvojelektri£nega polja:

E(~r, t) = −i∑α

√~ωα

2V ε0[a+α − aα]Eα(~r) . (4.10.7)

Sedaj ºe lahko izra£unamo potrebni matri£ni element. Operator koordinate x deluje lena atomski del stanja, E pa le na elektromagnetno polje, zato velja

〈1, nα + 1|Hi|2, nα〉 = −e〈1, nα + 1|Ex|2, nα〉= −e〈1|x|2〉〈nα + 1|E|nα〉 . (4.10.8)

Izrazimo polje E s kreacijskimi in anihilacijskimi operatorji in upo²tevajmo njihove last-nosti ??:

〈nα + 1|E|nα〉 = −i∑β

√~ωβ

2V ε0〈nα + 1|a+β − aβ |nα〉Eβ(~r)

= −i√

~ωα

2V ε0

√nα + 1Eα(~r) . (4.10.9)

Od vseh operatorjev v razvoju polja smo dobili od ni£ razli£en matri£ni element le zakreacijski operator za stanje α. Vpeljimo ²e simbol za matri£ni element koordinate medatomskimi stanji 〈1|x|2〉 = x12, pa lahko zapi²emo iskano verjetnost za prehod iz za£et-nega stanja, v katerem smo imeli vzbujen atom in nα fotonov, v kon£no z atomom vosnovnem stanju in nα + 1 fotonov v stanju α:

wzk =πe2ωαx

212

V ε0(nα + 1)E2

α(~r) δ(E2 − E1 − ~ωα) . (4.10.10)

Verjetnost za prehod je sorazmerna z nα+1 in je od ni£ razli£na tudi, £e je ²tevilo kvantovpolja ni£. Tedaj imamo seveda spontano sevanje. Prispevek, ki je sorazmeren s ²tevilomºe prisotnih fotonov, pa predstavlja stimulirano sevanje. Prehodna verjetnost vsebuje ²ekvadrat prostorske odvisnosti polja E2

α(~r). e ne poznamo natan£nega poloºaja atomaali £e imamo plin atomov enakomerno porazdeljen po votlini, ga lahko nadomestimo kars povpre£no vrednostjo. V na²em primeru, ko imamo ravno stoje£e valovanje, je to 1/2.Spontana emisija je moºna v vsa elektromagnetna nihanja votline s pravo frekvenco.

Celotno verjetnost za prehod atoma iz vzbujenega v osnovno stanje, pri £emer v za£etkuni fotonov in se nastali foton izseva kamorkoli, to je kar Einsteinov koecient A21, dobimotako, da se²tejemo verjetnosti za prehod z izsevanim fotonom v dolo£enem stanju:

A21 =∑α

wzk =∑α

πe2ωαx212

2V ε0δ(E2 − E1 − ~ωα) . (4.10.11)

53


Za prostorsko odvisnost polja E2(~r) smo vzeli povpre£je 1/2. Vsoto po nihanjih lahko zuporabo 4.1.5 spremenimo v integral:

A21 =πe2x2122V ~ε0

ˆρ(ωα)δ(ω0 − ωα) dωα =

e2ω30x

212

2πε0~c3. (4.10.12)

Z ω0 = (E2 − E1)/~ smo ozna£ili frekvenco prehoda.Zaradi spontanega sevanja vzbujeno atomsko stanje ne more biti popolnoma sta-

cionarno. Energija stanja s kon£nim razpadnim £asom pa ni natan£no dolo£ena. Zatolahko nekoliko popravimo verjetnost za stimulirano sevanje 4.10.10. Delta funkcijo en-ergije nadomestimo s kon£no ²iroko funkcijo g(ω), ki ima vrh pri ω0 in je njen integral1. Pri tem dobimo zaradi spremembe integracijske spremenljivke ²e en faktor 1/~. Takoimamo

wzk =πe2ωαx

212

2V ε0~(nα + 1)g(ωα) . (4.10.13)

Od tod lahko zapi²emo Einsteinov koecient za stimulirano sevanje, £e upo²tevamo, daje gostota energije polja nα~ωα/V :

B21g(ωα) =V wzk

nα~ωα=πe2x2122ε0~2

g(ωα) . (4.10.14)

Primerjajmo dobljena izraza 4.10.12 in 4.10.14 za Einsteinove koeciente. Njunorazmerje je tako, kot smo ga izpeljali z uporabo Planckove formule. Prehojena pot jasnokaºe zvezo med spontanim in stimuliranim sevanjem in gostoto stanj elektromagnetnegapolja.

54

5 Laser

Stoje£e valovanje v opti£nem resonatorju se obna²a kot du²eno harmoni£no nihalo. Iznihala lahko napravimo oscilator, to je napravo, ki samostojno niha brez zunajega vzbu-janja, £e nam dano nihalo uspe povezati v povratno zvezo z ustreznim oja£evalnikom, kipokriva izgube nihala zaradi du²enja. Primeri so ure z mehanskimi nihali, oscilatorji zelektri£nim nihajnim krogom v elektroniki, pa vrsta glasbenih in²trumentov.Ugotovili smo, da je oja£evanje svetlobe mogo£e dobiti v sredstvu z obrnjeno zasedenos-

tjo med dvema nivojema. Postavimo tako snov v opti£ni resonator. Na za£etku dobimopredvsem spontano sevano svetlobo, ki se odbija med zrcaloma resonatorja in se priprehodu skozi snov oja£uje. Tako se vzbujajo nihanja resonatorja z nihajnimi frekven-cami blizu frekvence atomskega prehoda, pri katerem snov oja£uje. Energija nihanj zdovolj majhnimi izgubami bo rasla, dokler se oja£evanje ne bo izena£ilo z izgubami. Takizvor svetlobe je laser. Beseda je nastala iz kratice za Light Amplication by StimulatedEmission of Radiation.Kot analogija za laser so posebno zanimiva glasbila, predvsem pihala. Vzemimo na

primer klarinet. To glasbilo razdelimo na dve bistveni enoti: cev, v kateri lahko nastanestojni zvo£ni val, in ustnik, katerega naloga je dovajati energijo in s tem vzdrºevatikonstantno amplitudo nihanja.Frekvenca stoje£ega vala, to je nihanja zra£nega stolpca v pi²£ali, je dolo£ena z dolºino

cevi ( pravzaprav le do prve odprte tonske luknjice, vendar te podrobnosti za nas nisopomembne ) in s ²tevilom vozlov stoje£ega vala v cevi. Na gornjem koncu, pri ustniku,lahko predpostavimo, da je cev zaprta, zato imamo tam hrbet nihanja pritiska. Cev jetorej zvo£ni resonator.Ustnik je polobel zaklju£ek cevi, ki ga skoraj povsem zapira plo²£at, proºen jezi£ek.

Ko glasbenik piha v ustnik, se ta trese in s tem proizvaja zvok. e ustnik ni nataknjen nacev klarineta, je nastali zvok bolj nekak²en ²um kot pa lep, dobro dolo£en ton. Tresenjejezi£ka je le pribliºno periodi£no in vsebuje mnogo frekvenc.Ko ustnik nataknemo na cev in pihnemo vanj, za£ne tresenje jezi£ka vzbujati tiste

stoje£e valove v cevi, katerih frekvence so vsebovane v spektru tresenja jezi£ka. Dok-ler je vzbujanje ²ibko, se ne zgodi ni£ posebnega, ko pa amplituda tlaka v cevi dovoljnaraste, pride do £isto novega pojava. Nihanje tlaka v gornjem koncu cevi povratnodeluje na ustnik in ga sili, da niha s frekvenco najbolj vzbujenega stoje£ega vala v cevi,nihanje jezi£ka z drugimi frekvencami pa zamre. Mo£ pihanja gre le ²e v nihanje jezi£kas pravo frekvenco in oja£uje nihanje zra£nega stolpca. S pihanjem v ustnik lahko torejzaradi povratne zveze med nihanjem jezi£ka in nihanji zra£nega stolpca v cevi vzdrºu-jemo stoje£e valovanje s konstantno amplitudo. Dovedena mo£ se seveda izseva kot zvokna odprtem koncu klarineta.Vrnimo se k svetlobi in si najprej oglejmo najpreprostej²i model laserja. Privzemimo,

55

5 Laser

Slika 5.0.1: Osnovna shema laserja

da je le eno resonatorsko nihanje tako, da njegova frekvenca sovpada s frekvenco pre-hoda aktivne snovi, ki jo konstantno £rpamo in s tem vzdrºujemo obrnjeno zasedenost.Ta privzetek v ve£ini laserjev ni avtomati£no izpolnjen, vendar je pogosto z dodatnimielementi v resonatorju mogo£e dose£i, da je vzbujeno le eno nihanje, kot bomo videlinekoliko kasneje.Naj bo W energija svetlobnega valovanja v resonatorju. Zaradi izgub skozi zrcali in

zaradi absorpcije in sipanja se energija na en prelet resonatorja zmanj²a za

∆Wizgube = −ΛW = −[αL+ (1− 1

2R1) +

1

2(1−R2)]W , (5.0.1)

kjer so Λ celotne izgube, α izgube na enoto poti zaradi absoprcije in sipanja, R1 in R2

pa odbojnosti obeh zrcal. Vsaj eno od obeh zrcal mora imeti odbojnost manj od 1, £enaj laser nekaj svetlobe tudi izseva.Zaradi oja£evanja s stimuliranim sevanjem snovi z obrnjeno zasedenostjo se energija

nihanja resonatorja na en prelet po ena£bi 4.7.6 pove£a za

∆Woj =LGW

1 +W/Ws. (5.0.2)

Upo²tevali smo, da pride pri veliki energiji svetlobe do nasi£enja, pri £emer smo namestosaturacijske gostote svetlobnega toka js vpeljali saturacijsko energijoWs = V js/c. Privzelismo tudi, da je oja£enje na en prelet dovolj majhno, da nam ena£be 4.7.6 ni treba inte-grirati.V stacionarnem stanju se morajo izgube izena£iti z oja£enjem:

−∆Wizgube = ∆Woj , od koder dobimo, da je ali W = 0 ali

Λ =LG

1 +W/Ws. (5.0.3)

Energija svetlobnega nihanja je torej

W =LG− Λ

ΛWs (5.0.4)

56

5.1 Zasedbene ena£be

Slika 5.0.2: Odvisnost energije svetlobe v laserju od oja£enja

in je pozitivna le, £e je oja£enje G ve£je od praga

Gpr =Λ

L. (5.0.5)

Oja£enje je seveda odvisno od stopnje obrnjene zasedenosti, ki jo lahko spreminjamo zmo£jo opti£nega £rpanja. Pogosto, na primer pri trinivojskem sistemu, obravnavanemv razdelku 4.7, je kar sorazmerno z mo£jo £rpanja. Energija svetlobe v laserju je podpragom ni£, nad pragom pa je linearna funkcija oja£enja, kot kaºe slika 5.Izhodno mo£ laserja dobimo tako, da deleº energije, ki gre na en prelet skozi izhodno

zrcalo, delimo s £asom preleta preko resonatorja L/c:

Pizh =1

2(1−R1)

c

LW . (5.0.6)

e upo²tevamo en. 5.0.1 in 5.0.4, vidimo, da je izhodna mo£ v primeru, da imamo leizgube skozi izhodno zrcalo, najve£ja, £e je reektivnost £im bliºe 1. Ker imamo vedno²e druge izgube, je izhodna mo£ najve£ja pri R1 < 1 (Naloga).


Za podrobnej²o sliko se moramo vrniti k ena£bam za zasedenost atomskih nivojev ??, kijim dodamo ²e ena£bo za energijo lastnega valovanja v resonatorju. e naprej se omejimona primer, ko je vzbujeno le eno resonatorsko stanje.Zaradi enostavnosti obravnave lahko ena£be ?? brez ²kode precej poenostavimo. Privzemimo,

da je razpadni £as spodnjega laserskega stanja |1〉, ki ga dolo£a koecient A10, dosti kraj²iod razpadnega £asa zgornjega stanja |2〉. Tedaj je N1 ' 0, £e le ni preve£ stimuliranegasevanja, in lahko zasedenost atomskih stanj popi²emo z eno samo spremenljivko N2. En-ergijo v izbranem stanju resonatorja zapi²imo s ²tevilom fotonov n, tako da je gostotaenergije polja n~ω/V , kjer je V volumen resonatorja. S tem dobimo za zasedenost

dN2

dt= − 1

V~ωB21g(ω)nN2 −N2A21 + rN (5.1.1)

57

5 Laser

Energija svetlobe v resonatorju se pove£uje zaradi stimuliranega sevanja. Atomi zgornjega stanja prehajajo ²e s spontanim sevanjem, ki ga nekaj tudi gre v izbrano nihanjeresonatorja. V razdelku 4.8 prej²njega poglavja smo videli, da je verjetnost za prehodatoma z vi²jega na niºje stanje z izsevanjem fotona v izbrano stanje elektromagnetnegapolja sorazmerno z n+1, kjer je n ²tevilo fotonov v stanju. Od tod sledi, da upo²tevamoprispevek spontanega sevanja s tem, da v prvem £lenu desnega dela izraza 5.1.1 pi²emon+1 namesto n. Energija resonatorja se zmanj²uje zaradi izgub skozi zrcala in absorpcijein sipanja, kar smo v tretjem poglavju opisali z razpadnim £asom τ/2 = Λc/L. Takoimamo

dn

dt=

1

V~ωB21g(ω)(n+ 1)N2 −

2

τn . (5.1.2)

Dobili smo sistem dveh diferencialnih ena£b za £asovni razvoj ²tevila fotonov v res-onatorskem stanju in za zasedenost atomskega stanja. Ena£bi sta nelinearni in ju neznamo analiti£no re²iti.Kot je pri nelinearnih diferencialnih ena£bah obi£ajno, poglejmo najprej, kak²ne so

stacionarne, to je, od £asa neodvisne re²itve N2 = 0 in n = 0. Izrazimo N2 iz 5.1.1 inpostavimo v 5.1.2. Dobimo kvadratno ena£bo za ²tevilo fotonov:

2

V τn(A21 +B21~ωg(ω)n)−

1

VB21~ωg(ω)rN(n+ 1) = 0 . (5.1.3)

Preden zapi²emo re²itve dobljene ena£be, jo ²e nekoliko preoblikujmo. Ulomek B21~ωg(ω)rNV cA21

je koecient oja£enja, ki smo ga v prej²njem poglavju ozna£ili z G. 2/cτ so izgube,kimorajo biti enake oja£enju na pragu Gpr. Vpeljimo ²e brezdimenzijsko konstanto p:

p =V A21

B21~ωg(ω)=

V ω2

π2c3g(ω)=

V A21

B21~ωg(ω)' V ω2

π2c3∆ω . (5.1.4)

V zadnjem izrazu smo upo²tevali, da je v maksimumu g(ω) '= 1/∆ω. p je torej pribliºnoprodukt gostote stanj elektromagnetnega polja v resonatorju in ²irine atomskega prehoda,torej kar ²tevilo vseh stanj v frekven£nem intervalu atomskega prehoda. To je navadnoprecj veliko, okoli 108 do 1010. S primerjavo izraza 4.5.3 za saturacijsko gostoto tokavidimo ²e, da je p tudi ²tevilo fotonov v resonatorju, pri katerem pride do nasi£enjaoja£enja, £e je frekvenca nihanja resonatorja blizu centra atomske £rte. S tem en. 5.1.3dobi obliko

1

pn2 − (

G

Gpr− 1)n− G

Gpr= 0 (5.1.5)

s pozitivno re²itvijo

n =p

2

[(G

Gpr− 1) +

√(G

Gpr− 1)2 +

4G

pGpr

]. (5.1.6)

Ker je p veliko ²tevilo, lahko koren razvijemo, £e le ni oja£enje preve£ blizu praga, ko jeG

Gpr' 1. Pod pragom je G < Gpr in je

n ' p

2

[(G

Gpr− 1) + (1− G

Gpr) +

2G

p(Gpr −G)

]=

G

Gpr −G. (5.1.7)

58


Slika 5.1.1: Odvisnost ²tevila fotonov od oja£enja

Pri razvoju korena smo upo²tevali, da mora biti pozitiven. Nad pragom je ²tevilo fotonov

n ' p(G

Gpr− 1) . (5.1.8)

Poglejmo, kaj smo dobili. Pod pragom je ²tevilo fotonov v izbranem resonatorskemnihanju blizu ena do neposredne bliºine praga, kjer hitro naraste in doseºe takoj nadpragom red velikosti p. Mo£ £rpanja, s katero spreminjamo koecient oja£enja G, grepod pragom preko spontanega sevanja skoraj vsa v veliko ²tevilo stanj elektromagnetnegapolja, nad pragom pa povsem prevlada stimulirano sevanje v eno samo izbrano nihanjeresonatorja. Obna²anje ²tevila fotonov n pri spreminjanju oja£enja G kaºe slika 5.1.Prehod preko praga je zaradi velikega p v ve£ini laserjev tako hiter, da ga ni mogo£eizmeriti; izjema so polvodni²ki laserji, katerih volumen je zelo majhen, zato je tudi pdovolj majhen, da je mogo£e opaziti zvezen prehod preko praga.Iz ena£be 5.1.2 lahko izra£unamo ²e zasedenost gornjega atomskega nivoja v sta-

cionarnem stanju:

N2 =2V

τB21~ωg(ω)n

n+ 1. (5.1.9)

Na pragu je po ena£bi 5.1.6 n =√p. Tako dobimo

N2pr =2V

τB21~ωg(ω)

√p

√p+ 1

. (5.1.10)

Ker je tudi√p veliko ²tevilo, sledi iz gornjih ena£b, da obrnjena zasedenost nara²£a do

bliºine praga, nad pragom pa je prakti£no konstantna in skoraj natanko enaka kot napragu. To ni teºko razumeti. Nad pragom je ²tevilo fotonov v resonatorju veliko inlinearno (v na²em preprostem modelu) nara²£a s pove£evanjem mo£i £rpanja, zato sepove£uje tudi hitrost praznenja gornjega atomskega stanja s stimuliranim sevanjem, karravno izni£i u£inek pove£anja £rpanja. V stacionarno delujo£em laserju torej ni mogo£epove£ati obrnjene zasedenosti nad vrednost na pragu N2pr, kar ima pomembne prakti£neposledice, kot bomo videli nekoliko kasneje.

59

5 Laser

V laserju nad pragom je ²tevilo fotonov zelo veliko, zato prispevka spontanega sevanjav ena£bi 5.1.2 v nadaljevanju ne bomo upo²tevali.Obravnava laserja z zasedbenimi ena£bami je seveda zelo groba. Nismo upo²tevali,

da je svetloba v resonatorju valovanje, ki uboga valovno ena£bo. S tem smo privzeli,da je prostorska odvisnost polja v delujo£em laserju enaka kot za lastno stanje praznegaresonatorja. Poleg tega smo privzeli, da so atomi lahko le v lastnih energijskih stanjih, karje res le v primeru stacionarnih stanj brez zunanjega, £asovno odvisnega polja svetlobe.e za opis svetlobe uporabimo klasi£no valovno ena£bo, za atome pa kvantno mehaniko,dobimo polklasi£ni pribliºek vedenja laserja, ki je mnogo zahtevnej²i od zasedbenih ena£b,opi²e pa skoraj vse pojave v laserjih, razen vpliva spontanega sevanja. Za doslednoin podrobno obravnavo tega pa je potrebno tudi svetlobo opisati s pomo£jo kvantneelektrodinamike.Povzemimo, kaj smo z modelom zasedbenih ena£b ugotovili o delovanju enofrekven£nega

laserja. Pri dovolj velikem oja£enju s stimuliranim sevanjem, ki pokriva izgube res-onatorja, je v stacionarnem stanju energija in s tem amplituda izbranega lastnega nihanjaresonatorja razli£na od ni£. Del valovanja izhaja skozi eno ali obe zrcali. Frekvenca svet-lobe je dolo£ena z izbranim lastnim stanjem resonatorja. To dolo£a tudi prostorskoodvisnost valovanja v resonatorju in izhodnega snopa. Ugotovili smo, da ima v obi£a-jnem stabilnem resonatorju polje obliko zelo blizu Gaussovega snopa, zato je tak tudiizhodni snop.Lepa prostorska odvisnost izhodnega snopa je morda najpomembnej²a lastnost laser-

jev. Gaussov snop se najmanj ²iri zaradi uklona in ga je mogo£e zbrati v piko pribliºne ve-likosti valovne dolºine. S tem se tudi najbolj pribliºa idealno to£kastemu izvoru svetlobe.Te lastnosti so zelo pomembne za uporabo; na njih so osnovani opti£ni komunikacijskisistemi, £itanje opti£nih diskov, laserski obdelovalni stroji...

5.2 Spektralna ²irina enega laserskega nihanja

Spektralni ²irini svetlobe enofrekven£nega laserja je treba posvetiti nekaj ve£ pozornosti.Videli smo, da je amplituda svetlobe laserja konstantna. Spektralna ²irina klasi£negaharmonskega nihala s stalno amplitudo je ni£, frekvenca nihanja je natanko dolo£ena.e bi se lastno stanje elektromagnetnega polja v resonatorju obna²alo povsem enakokot klasi£no harmonsko nihalo, bi bil tudi spekter laserja neskon£no ozek. Laserji imajoseveda kon£no spektralno ²irino, v idealnem primeru zaradi kvantizacije elektromagnet-nega polja, v praksi pa zaradi zunanjih motenj.Poskusimo najprej oceniti raz²iritev zaradi vpliva kvantizacije. Zaradi nje imamo poleg

stimuliranega tudi spontano sevanje. To je kvantni ²um, ki povzro£i majhno raz²iritevspektra. Stroga obravnava tega pojava je mogo£a le z dosledno uporabo kvantne elek-trodinamike, kar seºe izven okvira te knjige, zato se zadovoljimo le z grobo oceno.Amplitudo svetlobe na izbranem mestu v resonatorju predstavimo kot ²tevilo v kom-

pleksni ravnini (Slika 5.2). Kot, ki ga amplituda tvori z realno osjo, je faza glede naneko izbrano za£etno fazo. Energija svetlobe je sorazmerna s ²tevilom fotonov; velikostamplitude polja zato lahko merimo kar s korenom iz ²tevila fotonov v nihanju. Velikost

60

5.2 Spektralna ²irina enega laserskega nihanja

Slika 5.2.1: Amplituda polja v resonatorju in prispevek spontanega sevanja.

amplitude je prakti£no konstantna, vzdrºuje jo stimulirano sevanje, ki ravno pokrivaizgube resonatorja. Pri tem ostaja tudi faza nespremenjena. Pa£ pa se faza spremenizaradi majhnega prispevka spontanega sevanja.Pri spontani emisiji se foton izseva s poljubno fazo; prispevek k kompleksni ampli-

tudi na sliki 5.2 ima torej dolºino 1 in poljubno smer. Zanima nas povpre£ni kvadratspremembe faznega kota pri enem spontano izsevanem fotonu:

δφ21 =1

ncos2 ψ =

1

2n, (5.2.1)

kjer smo s ψ ozna£ili slu£ajno fazno razliko med celotnim poljem in spontano izsevanimfotonom, indeks 1 pa ozna£uje, da gre za spremembo za 1 foton. Zaporedne spontaneemisije so med seboj neodvisne, zato dobimo povpre£ni kvadrat spremembe faze pri memisijah kar tako, da se²tejemo povpre£ne kvadrate za posamezne fotone:

δφ2m = mδφ21 =m

2n. (5.2.2)

Pre²teti moramo ²e, koliko je spontano izsevanih fotonov na enoto £asa. Stimuliranosevanje ravno pokrije izgube resonatorja, zato je stimulirano izsevnih fotonov na enoto£asa 2n/τ . Iz razdelka 4.8, ena£ba 4.10.10 vemo, da je razmerje med verjetnostjo zastimulirano in spontano sevanje enako ²tevilu fotonov v danem stanju polja, zato je ²tevilospontanih sevanj na £asovno enoto kar 2/τ . Tako imamo v poljubnem £asu m = 2t/τ in

δφ2(t) =t

nτ. (5.2.3)

as tp, v katerem se bo faza znatno spremenila, recimo za 1, je torej velikostnega reda

tp ' 2nτ =W

~ωτ =

P

~ωτ2 . (5.2.4)

To lezenje faze nam seveda da spektralno ²irino 1/tp.tevilo fotonov v laserskem nihanju je nad pragom zelo veliko, recimo 109 v majhnem

He-Ne laserju. τ je reda velikosti 10−7, tako da je karakteristi£ni £as - koheren£ni £as

61

5 Laser

- idealnega laserja mnogo sekund. Iz ena£be 5.2.4 vidimo ²e, da je spektralna ²irinaobratno sorazmerna z izhodno mo£jo laserja. V neposredni bliºini praga, kjer je n ' 1,je spektralna ²irina pribliºno enaka ²irini nihanj praznega resonatorja.Dejanski laserji seveda nimajo niti pribliºno tako ozkega spektra, kot smo pravkar

ocenili. Frekvenca laserja je dolo£ena z dolºino resonatorja: ω = nπc/L, pri £emerje n zelo veliko celo ²tevilo. Majhna sprememba dolºine resonatorja povzro£i tudi spre-membo frekvence laserja, pri znatnej²i spremembi dolºine pa lahko pride tudi do preskokavzbujenega stanja resonatorja, to je ²tevila n. Dolºina resonatorja se lahko spreminjapredvsem zaradi zunanjih mehanskih motenj in zaradi spreminjanja temperature. Zato sespreminja tudi frekvenca laserja in £e se posebej ne potrudimo s konstrukcijo resonatorja,so te uktuacije frekvence kar reda velikosti razmika med sosednimi stanji resonatorja,to je reda velikosti 100 MHz.Tu velja opozoriti, da je narava spektralne raz²iritve v laserju tako v idealnem kot

v prakti£nem primeru druga£na kot v navadnih svetilih. V prvem poglavju smo videli,da intenziteta svetlobe navadnega svetila uktuira na £asovni skali koheren£nega £asa,ki je obraten spektralni ²irini. Po elektrotehni²ko lahko re£emo, da je taka svetlobaamplitudno moduliran ²um. Pri enofrekven£nem laserju je druga£e. Amplituda in s temintenziteta izhodne svetlobe je konstantna, uktuira le frekvenca oziroma faza. umlaserja je torej v obliki frekven£ne modulacije.Fluktuacije dolºine in s tem frekvence laserja je mogo£e zmanj²ati. S skrbno konstruk-

cijo in uporabo materialov z majhnim toplotnim raztezkom se zmanj²a vpliv vibracij intemperaturnih sprememb v okolici. Poleg tega lahko okolico temperaturno stabiliziramoin laser postavimo na vibracijsko izolirano mizo. Na tak na£in je mogo£e dobiti laser zefektivno spektralno ²irino pod 1 MHz.e oºjo lasersko £rto lahko dobimo z aktivno stabilizacijo dolºine resonatorja. Ideja

je taka: frekvenco svetlobe, ki izhaja iz laserja, primerjamo z nekim standardom in izrazlike ugotovimo spremembo dolºine resonatorja. Eno od obeh zrcal je name²£eno napiezoelektri£nem nosilcu, ki mu z elektri£no napetostjo lahko spreminjamo dolºino intako popravimo dolºino resonatorja.Pogalvitna teºava je seveda, kako najti dovolj stabilen primerjalni standard za frekvenco.

Ena moºnost je, da izhodno svetlobo spustimo skozi konfokalni interferometer, ki je sko-raj v resonanci z laserjem in ima dovolj ozek vrh prepustnosti. Majhen premik frekvencelaserja bo povzro£il, da se bo spremenil skozi interferometer prepu²£eni svetlobni tok.Na prvi pogled je videti, da s tem nismo ni£ pridobili, saj bo resonan£na frekvenca inter-ferometra stabilna tudi le toliko, kot je stabilna njegova dolºina. Vendar je z izolacijo intemperaturno stabilizacijo moºno drºati dolºino praznega resonatorja - interferometra -mnogo natan£neje kot dolºino laserja, v katerem imamo aktivno sredstvo, ki mu moramodovajati energijo.Druga moºnost je stabilizirati laser na primerno molekularno absorpcijsko £rto. Te

so lahko zelo ozke, zato je tudi spekter laserja lahko izredno ozek, pod 1 kHz. Pri temmoti Dopplerjeva razi²iritev absorpcijske £rte, ki pa se ji je mogo£e izogniti. Kako tonapravimo in kako je bila s tem omogo£ena nova denicija metra, si bomo pogledali vrazdelku ????.

62

5.3 Primerjava laserjev in obi£ajnih svetil

Slika 5.3.1: Zaslonke za pripravo prostorsko koherentnega snopa iz nekoherentnega svetila

5.3 Primerjava laserjev in obi£ajnih svetil

as je, da povzamemo, kar smo doslej dognali o lastnostih laserjev in jih primerjamoz obi£ajnimi svetili. Kot ves £as doslej obravnavajmo enofrekven£ni laser, v katerem jevzbujeno le eno osnovno stanje resonatorja, ki je Gaussove oblike.Svetlobni snop, ki izhaja iz laserja, ima dve takoj o£itni odliki. Je zelo usmerjen

in zelo enobarven. Prva lastnost je seveda posledica tega, da je lastno stanje stabilnegaresonatorja Gaussove oblike in je zato tak tudi izhodni snop. Kot smo videli v 3. poglavju,je divergenca takega snopa samo posledica uklona in je najmanj²a moºna. Valovne fronteso gladke in na dani razdalji ves £as enake, laserski snop je torej prostorsko idealnokoherenten. Je tudi najbolj²i pribliºek to£kastega svetila, kar je v neposredni zvezi sprostorsko koherenco.Koherenten Gaussov snop lahko z ustrezno optiko zberemo v piko velikosti valovne

dolºine, s £imer doseºemo ºe pri skromni mo£i zelo veliko gostoto svetobnega toka. Toizkori²£ajo v tehnologiji za natan£no in £isto obdelavo materialov in v medicini, kjerlaserje uporabljajo za zahtevne kirur²ke posege.Kako pa je z obi£ajnimi svetili? V njih vsak atom sveti po svoje, zato nimamo pros-

torske koherence. Valovna fronta na danem mestu je nepravilna in se v koheren£nem£asu znatno spremeni. Svetlost povr²ine svetila je neodvisna od smeri (Lambertov za-kon). Osvetljenost slike, ki jo dobimo s poljubnim opti£nim sistemom, ne more biti ve£jaod izsevane gostote svetlobnega toka.Tudi iz svetlobe obi£ajnega nekoherentnega svetila lahko pripravimo koherenten snop.

Na neki razdalji od svetila moramo postaviti zaslonko, ki je manj²a od koheren£ne ploskvena tistem mestu (glej razdelek 1.3). Ocenimo, kolik²na je mo£ snopa za zaslonko. Svetilonaj ima svetlost1 B. Pri najsvetlej²ih nekoherentnih izvorih, to so ºivosrebrne svetilke,doseºe B vrednost do 100 W/cm2. Mo£ snopa za zaslonko je (slika 5.3)

P = BS0∆Ω =BS0Scz2

' BS0z2

λ2z2

S0= Bλ2 . (5.3.1)

1Svetlost je svetilnost na enoto ploskve

63

5 Laser

Tu je S0 povr²ina svetila, z oddlajenost zaslonke, Sc pa velikost koheren£ne ploskve, zakatero smo uporabili oceno ?? iz prvega poglavja. Pri svetlosti 100 W/cm2 dobimo, daje mo£ koherentnega snopa le pribliºno 3 ·10−7 W, kar je ²tiri rede velikost manj od prav²ibkih laserjev z mo£jo 1 mW.Druga odli£na lastnost svetlobe iz enofrekven£nega laserja je zelo majhna spektralna

²irina. Z nekaj truda je ta lahko pod 1 kHz, emisijske £rte v plinu pa so zaradi Dopplerjeveraz²iritve ²iroke vsaj nekaj GHz, pa ²e to le v razmeroma redkem in hladnem plinu, kjerje svetlost majhna.Razli£ne ²irine spektrov obi£ajne svetilke in laserja lahko upo²tevamo tako, da kot

primerjalno koli£ino vzamemo namesto celotne mo£i v koherentnem snopu spektralnogostoto mo£i. Majhen ²olski He-Ne laser seva 1 mW v pribliºno 107 Hz, tako da jespektralna gostota mo£i dP/dν ' 10−10 W/Hz. Zelo svetla ºivosrebrna svetilka seva vmo£no raz²irjene spektralne £rte s ²irino okoli 10 nm ' 1013 Hz. Spektralna gostota vkoherentnem snopu, ki ga pripravimo iz take svetilke, bo tako le okoli 3 · 10−20 W/Hz.Majhen ²olski He-Ne laser tako preka²a najmo£nej²e nekoherentno svetilo za skoraj 10velikostnih redov. Z laserji je seveda mogo£e dose£i mnogo ve£je mo£i, v sunkih tja do 1012

W, tako da po spektralni gostoti mo£i v koherentnem snopu laserji preka²ajo obi£ajnasvetila do preko 20 velikostnih redov. Za toliko je tudi ve£ja dosegljiva gostota mo£ina enoto ploskve in frekvence, kar je za vrsto uporab laserjev, posebno v spektroskopiji,odlo£ilnega pomena. Najbrº v zgodovini teºko najdemo ²e kak drug izum, ki je prineseltolik²no izbolj²avo v neki bistveni koli£ini in tako ni £udno, da je prihod laserjev v za£etku60-tih let povzro£il novo rojstvo optike.Med laserji in obi£ajnimi svetili je ²e ena pomembna, a manj opazna razlika. Z us-

treznim interferometrom lahko tudi snop iz nekoherentnega svetila ltriramo, tako dadobimo enako spektralno ²irino kot iz laserja, sveda z mnogo manj²o mo£jo. Vendarje narava spektralne raz²iritve razli£na. um laserja je v obliki frekven£ne modulacije,pri £emer je amplituda svetlobnega vala konstantna, ²um nekohernetnega svetila pa je vobliki amplitudne modulacije.

5.4 Mnogofrekven£ni laser

Doslej smo obravnavali le laser, v katerem je bilo vzbujeno eno samo stanje resonatorja.Oja£evalna ²irina ve£ine aktivnih sredstev je precej velika. V plinih je na primer zaradiDopplerjevega pojava vsaj nekaj GHz. Lastne frekvence resonatorja so navadno mnogomanj narazen, pri 30 cm dolgem resonatorju je razmik 500 MHz. Tako se prav lahkozgodi, da je oja£enje v laserju dovolj veliko za ve£ nihanj hkrati. Vzbujena bodo vsa tistanihanja, za katere je oja£enje ve£je od oja£enja na pragu Gpr. Svetloba iz takega mno-gofrekven£nega laserja ni ve£ monokromatska, temve£ je sestavljena iz mnoºice ozkih £rtznotraj oja£evalnega pasu in tako ni mnogo bolj monokromatska kot ustrezna spektralnakomponenta svetle£ega plina. Ostaja pa prostorsko koherentna.Za holograjo, interferometrijo in nekatere spektroskopske uporabe potrebujemo ozko

spektralno £rt. Zato moramo poskrbeti, da bo vzbujeno le eno nihanje resonatorja,najbolje tisto, ki je najbliºje vrhu oja£enja ativnega sredstva, kar napravimo tako, da

64

5.5 Relaksacijske oscilacije

Slika 5.4.1: Frekven£na odvisnost oja£enja, poloºaj lastnih frekvenc resonatorja inoja£enje na pragu.

pove£amo izgube za vsa ostala nihanja. Ena moºnost je, da v resonator postavimo ²eFabry-Perotov interferometer, kot kaºe slika 5.4. Njegova prepustnost v odvisnosti odfrekvence, razmika med zrcali Lf in nagiba glede na os resonatorja je podana z ena£bo(glej 3. poglavje)

T =1

1 + 4R(1−R)2

sin2(ωcLf cosφ)(5.4.1)

in jo kaºe slika 5.4. Izrazitost vrhov prepustnosti je odvisna od reektivnosti zrcal in-terferometra. Z ustrezno izbiro razmika med zrcali in nagiba lahko doseºemo, da vrhprepustnosti ravno sovpada z izbranim stanjem resonatorja. Izgube za ostala nihanja,vsebovane v Gpr, so se s tem pove£ale in laser sveti le pri eni sami izbrani frekvenci. Nasliki 5.4 so prikazane pove£ane izgube, lastna stanjaresonatorja in oja£enje aktivnega sredstva. Ker zado²£a ºe zmerno pove£anje izgub, je

reektivnost zrcal interferometra obi£ajno dokaj nizka, pod 0,5.Naloga: Izberi ustrezne parametre interferometra.Nagib interferometra je potreben tudi zato, da se neprepu²£ena svetloba odbije ven

iz smeri osi resonatorja. e bi bila os interferometra vzporedna z osjo resonatorja, binastale dodatne, neºeljene resonance z osnovnimi zrcali resonatorja, kar bi mo£no motilodelovanje laserja.


Doslej smo obravnavali le stacionarno delovanje laserjev. V£asih ºelimo izhodno mo£modulirati s spreminjanjem £rpanja. Pogosto laserji delujejo v sunkih. V nekaterih ak-tivnih sredstvih je mogo£e dose£i obrnjeno zasedenost le za kratek £as, £rpanje v sunkihje v£asih enostavnje²e, recimo z bliskavko pri trdnih laserjih, dostikrat pa tudi ºelimo do-biti iz laserja kratke in mo£ne koherentne sunke svetlobe. Za obravnavo nestacionarnegadelovanja moramo seveda re²evati sistem diferencialnih ena£b 5.1.1 in 5.1.2, kar gre vsplo²nem le numeri£no.

65

5 Laser

Slika 5.4.2: Frekven£na odvisnost oja£enja, poloºaj lastnih frekvenc resonatorja inoja£enje na pragu, kadar je v resonator vgrajen Fabry-Perotov interferometer.

Preden se lotimo sunkov, poglejmo, kako se obna²a laser, ki je blizu stacionarnegastanja. Spet se omejimo na enofrekven£ni laser, ki ga opi²emo z ena£bami 5.1.1 in 5.1.2.Te zaradi preglednosti zapi²imo nekoliko druga£e. Vpeljimo brezdimnezijski £as t′ = tAin τ ′ = τA, £as torej merimo v enotah ºivljenskega £asa laserskega nivoja. Upo²tevajmo²e, da je V A/(B~ωg(ω0)) = p, kjer je p ²tevilo stanj elektromagnetnega polja v volumnuV in znotraj spektralne ²irine laserskega nivoja. Tako imamo

dN2

dt′= −1

pnN2 −N2 +N20 (5.5.1)

dn

dt′=

1

pnN2 −

2

τ ′n . (5.5.2)

Pri tem smo vpeljali konstanto N20 = rN/A, ki ima tudi nazornen pomen: je zasedenost,ki bi jo dobili pri danem stacionarnem £rpanju, £e v izbranem stanju ne bi bilo fotonovin s tem ne stimuliranega sevanja in torej meri mo£ £rpanja. V ena£bi za hitrost sprem-injanja ²tevila fotonov smo zanemarili prispevek spontanega sevanja, za katerega smo ºeugotovili, da se pozna le do praga.Pri nelinearnih diferencialnih ena£bah lahko pogosto dobimo uporabne pribliºke z lin-

earizacijo. Naj laser najprej deluje stacionarno, v nekem trenutku pa ga nekoliko iz-maknemo iz stacionarnega stanja, recimo tako, da spremenimo mo£ £rpanja. Trenutnozasedenost N2 in ²tevilo fotonov n lahko zapi²emo v obliki

N2 = N2s + x in n = ns + y , (5.5.3)

kjer sta N2s in ns vrednosti N2 in ns v stacionarnem stanju. Zanju velja

N2s =2p

τ ′(5.5.4)

66


inns = p

N20 −N2s

N2s= p(a− 1) . (5.5.5)

Kot smo ugotovili ºe v drugem razdelku, je stacionarna zasedenost enaka zasedenostina pragu, ki je odvisna od izgub resonatorja, kar kaºe tudi ena£ba 5.5.4. Razmerjea = N20/N2s je mera za mo£ £rpanja in mora biti v delujo£em laserju ve£je od 1. Vve£ini prakti£nih primerov doseºe a vrednosti do 3 ali 5.Postavimo sedaj nastavka 5.5.3 v ena£bi 5.5.1. Dobimo

dx

dt′= −1

pnsN2s −N2s +N20 −

1

p(nsx+N2sy + xy)− x (5.5.6)

dy

dt′=

1

pnsN2s −

2

τ ′ns +

1

p(nsx+N2sy + xy)− 2

τ ′y (5.5.7)

Ker sta x in y majhna v primeri s stacionarnimi vrednostmi, lahko zanemarimo produktxy. Vsi £leni, ki vsebujejo le stacionarne vrednosti, dajo ravno 0, saj smo jih tako dolo£ili.e upo²tevamo ²e izraza 5.5.4 in 5.5.5, dobimo ºeljeni linearizirani diferencialni ena£biza odmika od stacionarnih vrednosti

dx

dt′= −a x− 2

τ ′y (5.5.8)

dy

dt′= (a− 1)x . (5.5.9)

Kot smo pri linearnih sistemih diferencialnih ena£b s konstantnimi koecienti vajeni,poi²£emo re²itev v obliki eksponentne funkcije

x = x0eλt′ in y = y0e

λt′ . (5.5.10)

Dobljeni homogeni sistem linearnih ena£b

(a+ λ)x0 +2

τ ′y0 = 0 (5.5.11)

−(a− 1)x0 + λy0 = 0 (5.5.12)

bo imel netrivialno re²itev le, £e bo njegova determinanta ni£:

λ2 + aλ+2

τ ′(a− 1) = 0 . (5.5.13)

Re²itvi sta

λ = −a2±√a2

4− 2

τ ′(a− 1) . (5.5.14)

Narava re²itve je odvisna od velikosti brezdimenzijskega relaksacijskega £asa nihanjaresonatorja τ ′ = Aτ . Za τ ′ > 2 je izraz pod korenom pozitiven pri vseh a in laserse vra£a v stacionarno stanje eksponentno. Za τ < 2 pa je koren v nekem obmo£juparametra a imaginaren in laser se vra£a v stacionarno stanje z du²enim nihanjem, kimu pravimo relaksacijske oscilacije.

67

5 Laser

Slika 5.5.1: Relaksacijske oscilacije

V obi£ajnih resonatorjih je τ velikostnega reda 10−7 s. Razpadna konstanta laserskeganivoja A je navadno dokaj majhna, ker je le v takih primerih lahko dose£i obrnjenozasedenost, tipi£na vrednost je recimo 105 s−1, lahko pa je ²e dosti manj²a. Tedaj jeτ ′ ' 10−2 in imamo relaksacijske oscilacije pri vseh dosegljivih vrednostih £rpanja nadpragom, to je za a > 1. Ker a v praksi ni nikoli dosti ve£ji od 3, je frekvenca oscilacij ω′

r vbrezdimenzijskih enotah pribliºno 1/

√τ ′. e preidemo nazaj na prave enote £asa, dobimo

ωr '√A/τ . V tem primeru je torej frekvenca relaksacijskih oscilacij velikostnega reda

geometrijske sredine med razpadnima konstantama nihanja resonatorja in atomskegastanja. Primer takega nihanja pri vklju£itvi laserja kaºe slika 5.5.Relaksacijske oscilacije so prakti£no pomembne, ker dolo£ajo gornjo mejo hitrosti, s

katero lahko izhodna mo£ laserja sledi modulaciji £rpanja. Poleg tega imamo pri tejfrekvenci resonanco, pri kateri se ²um £rpanja oja£ano prena²a v ²um izhodne mo£i.

5.6 Delovanje v sunkih s preklopom dobrote

Veliko trenutno mo£ dobimo iz laserjev, kadar delujejo v kratkih sunkih. Pogosto tedajtudi oja£evalno sredstvo £rpamo v sunkih. Pri tem se pojavi teºava. Ko ob mo£nem£rpanju obrnjena zasedenost znatno preseºe zasedenost praga (v nestacionarnem stanjuje to mogo£e), laser posveti in v kratkem £asu zasedenost pade nazaj pod prag. e tedaj£rpanje ²e traja, £ez £as zasedenost zopet dovolj naraste in laser ponovno posveti. To selahko ve£krat ponovi. Razmiki med zaporednimi sunki so reda velikosti periode relaksaci-jskih oscilacij, so pa lahko precej nepravilni. Pri takem reºimu delovanja v posameznemsunku ne dobimo razpoloºljive energije £rpanja v enem samem lepo oblikovanem sunku,kar je za vrsto uporab zelo pomembno.Opisani teºavi se je mo£ izogniti. V sistemu atomov v stanju obrnjene zasedenosti je

shranjena energija, ki se preko stimuliranega sevanja lahko pretvori v koherenten svetlobnisunek. im ve£ja je stopnja inverzije, tem ve£ energije je na voljo. Ugotovili pa smo,da obrnjene zasedenosti v resonatorju z danimi izgubami ni mogo£e pove£ati znatno nadprag. Pri velikih izgubah je prag visoko in je shranjene energije ve£. Zato postopamotakole. Najprej drºimo izgube resonatorja velike in ustvarimo veliko obrnjeno zasedenost.

68

5.6 Delovanje v sunkih s preklopom dobrote

Slika 5.6.1: Obrnjena zasedenost in energija v laserju pri preklopu dobrote

Nato dovolj hitro izgube zmanj²amo. Opti£no oja£enje je veliko in energija svetlobe vkratkem £asu mo£no naraste. S tem se tudi obrnjena zasedenost hitro zniºa na vrednostmo£no pod pragom. Predstavljamo si lahko, da dobimo prvi nihaj relaksacijskih oscilacij,le da je za£etno stanje dale£ od stacionarnega in je zato linearni pribliºek zelo slab. Izlaserja dobimo kratek in zelo mo£an sunek svetlobe. Energija sunka je skoraj tolik²nakot je bila energija obrnjene zasedenosti. Elektrotehniki izgube resonatorjev podajajo zdobroto, to je razmerjem frekvence lastnega stanja in njegove ²irine, zato opisano tehnikoimenujemo preklop dobrote. Dogajanje kaºe slika 5.6.Izgube resonatorja je mogo£e spreminjati na mnogo na£inov. Najenostavneje je vrteti

eno od ogledal. Tedaj dobimo ugla²en resonator le v kratkem trenutku, ko je ogledalopravokotno na os. Metoda je dokaj uspe²na, a zastarela. Bolj²i in danes najve£kratuporabljani na£in je, da v resonator vgradimo elektroopti£ni ali akustoopti£ni modulator,o katerih bomo govorili kasneje. Z njimi lahko elektri£no krmilimo izgube.Kot smo ºe povedali, nelinearnih laserskih ena£b ne moremo analiti£no re²iti. Zato

najprej napravimo nekaj ocen. Trajanje sunka je odvisno od hitrosti, s katero se izpraznigornji laserski nivo. To se ne more zgoditi hitreje kot v nekaj preletih sunka skozi res-onator. Trajanje sunka je torej vsaj nekajkrat 2L/c, to je za 15 cm dolg resonator vsaj10 ns.Ocenimo lahko ²e tudi hitrost nara²£anja na za£etku in upadanja na koncu sunka.

69

5 Laser

Zapi²imo najprej ²e enkrat ena£bi za zasedenost in ²tevilo fotonov, pri £emer upo²te-vajmo, da nas zanima le dogajanje v £asu sunka, ki je zeko kratek v primeri atomskimrazpadnim £asom, zato zanemarimo ustrezni £len v ena£bi 5.1.1. Navadno je tudi £rpanjepre²ibko, da bi med sunkom znatno vplivalo na zasedenost, zato lahko £len rN izpustimo.S £rpanjem seveda ustvarimo za£etno zasedenost N20. Tako nam ostane

dN2

dt= − 1

VB~ωg(ω)nN2 (5.6.1)

dn

dt=

1

VB~ωg(ω)nN2 −

2

τn . (5.6.2)

Na za£etku sunka se vrednost N2 ne razlikuje dosti od za£etne vrednosti N20, tako da²tevilo fotonov nara²£a pribliºno eksponentno:

n(t) = n0e1VB~ωg(ω)t = n0e

t/τr . (5.6.3)

Za£etnega ²tevila fotonov ne poznamo, vemo pa, da je velikostnega reda 1, saj ga dobimozaradi spontane emisije. Da bo n narastel na znatno vrednost, recimo ve£ od 1010 fotonov,je potreben £as blizu 30 τr.Vzemimo za primer neodimov laser. Presek za stimulirano sevanje σ(ω) = 1

cB~ωg(ω)(razdelek 4.4) je okoli 10−19 cm2. Naj bo za£etna gostota zasedenosti N20/V = 1019/cm3.Tedaj je τr = 3 ns. Proti koncu sunka pade obrnjena zasedenost precej pod prag inza grobo oceno lahko predpostavimo, da oja£evanja ni ve£. tevilo fotonov bo tedajupadalo s krakteristi£nim razpadnim £asom resonatorja τ/2 ' 2L/c(1−R)−1. V laserjihs preklopom dobrote je odbojnost izhodnega zrcala navadno dokaj nizka, recimo 0,5.Pri L = 15 cm je tako τ = 4 ns. Celotno trajanje sunka je v izbranem primeru takopribliºno 10 ns, pri £emer traja okoli 100 ns od preklopa dobrote, da sunek zraste iz ²umaspontanega sevanja. Energija sunka je blizu N20~ω, to je pri aktivnem volumnu 0,5 cm3

nekaj desetink joula. Od tod lahko ocenimo ²e, da je mo£ v vrhu sunka velikostnega reda10 MW.Iz ena£b 5.6.1 sicer ne moremo izra£unati £asovnih odvisnosti N2 in n, lahko pa na-

jdemo njuno medsebojno zvezo. Izrazimo iz prve dt in ga postavimo v drugo ena£bo.Dobimo

dn = −dN2 +N2p

N2dN2 , (5.6.4)

kjer smo upo²tevali, da je N2p = 2V/(B~ωg(ω)τ). Ena£bo brez teºav integriramo:

n = N20 −N2 +N2p lnN2

N20. (5.6.5)

Vzeli smo, da je na za£etku N2 = N20 in n = 0. Iz dobljene zveze lahko najprej izra£u-namo, kolik²na je kon£na zasedenost N2k. Na koncu mora biti zopet n = 0, kar nam datranscendentno ena£bo za N2k. Ima obliko (x/a) = exp(x − a), kjer je x = N2k/N20 ina = N20/N2p. Kadar je za£etna zasedenost le malo nad pragom, tudi kon£na ne padedosti pod prag, zato je izraba energije slab²a. Pri ve£jih za£etnih vrednostih N20 pa padekon£na skoraj na ni£. Za a = 2, na primer, je x = 0, 41, medtem ko je ºe pri a = 4 x le²e 0,08. S tem lahko izra£unamo celotno energijo sunka: W = ~ω(N20 −N2k).

70

5.7 Uklepanje faz

Slika 5.7.1: asovna odvisnost mo£i mnogofrekven£nega laserja z enakimi fazami

Trenutna mo£, ki izhaja iz laserja, je dana s P = (2~ω/τ)n. Najve£ja bo v vrhu sunka,ki je dolo£en z dn/dN2 = 0. Ta ena£ba ima o£itno re²itev pri N2 = N2p, vrh sunka jetorej natanko tedaj, ko pade zasedenost na prag. Mo£ je tedaj Pmax = (2~ω/τ)[N20 −N2p −N2p ln(N20/N2p)].S preklopom dobrote dobimo zelo kratke in mo£ne svetlobne sunke. Vendar je najve£ja

energija omejena. e je za£etna obrnjena zasedenost dovolj velika, postane oja£enje to-lik²no, da se svetloba ºe v enem preletu aktivnega sredstva mo£no oja£i in izprazni laserskinivo. To omejuje nadaljne £rpanje. Ve£je mo£i doseºejo tako, da sunke iz laserja oja£ijos prehodom skozi enako aktivno snov, kot je v laserju. Z ve£stopenjskim oja£evanjem jemogo£e dose£i zelo velike energije v nanosekundnih sunkih, do 100 kJ. Da se oja£evalnikimed seboj ne motijo, jih je treba lo£iti s Faradayevimi izolatorji.Naloga: Oceni, kolik²na je dosegljiva zasedenost pri dani dolºini Nd:YAG pali£ke.

5.7 Uklepanje faz

e dosti kraj²e sunke kot s preklopom dobrote je mogo£e dobiti na povsem drug na£in, kije prav presentljiva manifestacija koherentnosti laserske svetlobe. Naj v laserju niha ve£nihanj hkrati. Njihove frekvence so enakomerno razmaknjene za ∆ω = πc/L. Celotnoelektri£no polje v neki to£ki v laserju je

E(t) =

N/2∑m=−N/2

Amei[(ω0+m∆ω)t+ϕm(t)] . (5.7.1)

N je ²tevilo vseh vzbujenih nihanj. Upo²tevali smo, da ima vsako nihanje lahko poljubnofazo ϕm(t), ki je v splo²nem predvsem zaradi zunanjih motenj slu£ajna funkcija £asa.Zaradi tega se tudi celotno polje slu£ajno spreminja, kar mo£no zmanj²uje uporabnosttakega laserja tam, kjer je potrebna £asovna koherenca.Denimo, da so faze vseh nihanj enake. Poleg tega zaradi enostavnosti ra£una privzemimo

²e, da so tudi vse amplitude Am enake. Tedaj postane vsota 5.7.1 geometrijska in jo lahko

71

5 Laser

Slika 5.7.2: Prostorska odvisnost fazno uklenjenih sunkov.

brez teºav se²tejemo:

E(t) = A0eiω0t sin(N∆ωt/2)

sin(∆ωt/2). (5.7.2)

Trenutna mo£ izhodne svetlobe ima £asovno odvisnost

P (t) = P0sin2(N∆ωt/2)

sin2(∆ωt/2)(5.7.3)

in jo kaºe slika 5.1.4. Predstavlja periodi£no zaporedje sunkov, ki si slede s periodoT = 2π/∆ω = 2L/c, kar je enako £asu obhoda svetlobe v resonatorju. Konstanta P0 jemo£ posameznega nihanja. Mo£ v vrhu sunka je tako N2P0, povpre£na mo£ pa NP0.Ra£unsko je pojav enak kot uklon na mreºici in lahko re£emo, da imamo opravka zinterferenco v £asu. Dolºina sunkov je

τML =T

N=

2π

N∆ω=

2π

∆ωG, (5.7.4)

ker je N ravno ²tevilo nihanj znotraj ²irine oja£evanja ∆ωG. Dolºina sunka je torejobratno sorazmerna s ²irino oja£evanja aktivnega sredstva.Premislimo ²e, kak²na je prostorska odvisnost elektri£nega polja v resonatorju. Polje

na danem mestu opisuje ena£ba 5.7.2. e krajevno odvisnost dobimo, £e v 5.7.2 za-menjamo t s (t − z/c). To pa predstavlja svetlobni paket, ki potuje sem in tja medogledali resonatorja. Na izhodnem ogledalu se ga vsaki£ nekaj odbije, nekaj pa gre veniz resonatorja (slika 5.7). Razmik med sunki, ki izhajajo iz resonatorja, je 2L, prostorskadolºina posameznega sunka pa τMLc = 2L/N .V na²em ra£unu predpostavka, da so vse amplitude Am enake, ni prav ni£ bistvena

za osnovne ugotovitve. e vzamemo realisti£en primer, da so amplitude oblike Am =A0 exp[(m∆ω/∆ωG)

2], vsote 5.7.1 ne znamo to£no se²teti, lahko pa jo pribliºno pretvo-rimo v integral, ki je Fourierova transformacija Gaussove funkcije (Pri prehodu z diskretnevsote na integral seveda izgubimo periodi£nost zaporedja sunkov.). Ta je zopet Gaussovafunkcija, katere ²irina je obratna vrednost ²irine prvotne funkcije, prav podobno, kot smo

72

5.7 Uklepanje faz

dobili zgoraj. Odvisnost amplitud nihanj od m vpliva torej le na to£no obliko sunkov,osnovne ugotovitve pa se ne spremene. (Naloga).

Pa£ pa je predpostavka, da so vse faze ϕm enake, bistvena. V na²i dosedanji sliki mno-gofrekven£nih laserjev so resonatorska stanja med seboj neodvisna, zato so faze poljubnein se zaradi motenj lahko ²e spreminjajo. Da dobijo za vsa nihanja isto vrednost, moramoposkrbeti posebej. Tako uklepanje faz je mogo£e dose£i na ve£ na£inov. Ena moºnostje, da moduliramo izgube resonatorja s frekvenco, ki je ravno enaka razliki frekvenc medresonatorskimi stanji. To ni teºko razloºiti. Naj bo modulator tak, da je ve£ino £asa za-prt, le v razmikih T = 2L/c naj bo kratek £as odprt. Postavimo ga tik ob eno ogledalo.Tedaj se v resonatorju o£itno lahko uspe²no oja£uje le kratek sunek, kakr²en je na sliki??. Izgube za vsa nihanja bodo majhne le tedaj, kadar bodo vse faze enake. V praksini potrebno, da je modulacija tako izrazita. Obi£ajno zado²£a sinusna modulacija izgub,kjer je relativna prepustnost v minimumu za nekaj destink manj²a od maksimalne.

Kako pri modulaciji pride do uklepanja faz, lahko uvidimo ²e druga£e. Modulacijaamplitude posameznega nihanja povzro£i, da se v spektru nihanja pojavita ²e stranskapasova pri frekvencah ωm±∆ω. Ta se ravno pokrivata z obema sosednjima nihanjema inse konstruktivno pri²tejeta, £e imata enako fazo. S tem pa so tudi izgube manj²e in imadelovanje laserja z uklenjenimi fazami najniºji prag. Zadnji razmislek nam tudi pove, dani dobra le amplitudna modulacija, temve£ tudi fazna (ali frekven£na), saj se tudi tedajpojavijo stranski pasovi.

Za modulacijo se najpogosteje uporabljajo akustoopti£ni modulatorji, pri katerih izko-ri²£amo uklon svetlobe na stoje£ih zvo£nih valovih v primernem kristalu (Glej 7. poglavje).Frekvenca zvo£nega vala mora biti enaka polovici zahtevane modulacijske frekvence, za1,5 m dolg laser torej 50 MHz.

Poleg opisanega aktivnega postopka je mogo£e faze ukleniti tudi tako, da v resonatorpostavimo plast barvila, ki mo£no absorbira svetlobo laserja pri majnhi gostoti toka,pri veliki gostoti toka pa pride do nasi£enja absorpcije (glej razdelek 4.5), zato postanebarvilo prozorno. Na za£etku imamo v laserju predvsem spontano sevanje, ki se pri enemprehodu skozi aktivno snov deloma oja£i. Barvilo najmanj absorbira najve£jo uktuacijo.Pri dovolj velikem oja£enju bo ta rastla in spet dobimo fazno uklenjeni sunek. Ker morapo prehodu sunka absorpcija v barvilu zopet hitro narasti, mora biti relaksacijski £asbarvila zelo kratek, v obmo£ju pikosekund.

Z uklepanjem faz je danes mogo£e dobiti sunke z dolºino pod 100 fs (10−13 s). Taksunek traja le ²e nekaj deset opti£nih period. S posebnimi prijemi jih lahko ²e skraj²ajona okoli 10 fs. e je potrebna ve£ja energija sunkov, jih oja£ijo, kar ne pokvari mnogoosnovnega sunka. Zelo kratke svetlobne sunke danes na ²iroko uporabljajo za ²tudijhitre molekularne dinamike in kratkoºivih vzbujenih elektronskih stanj v polvodnikih inmnogih drugih snoveh. Z njimi se je £asovna lo£ljivost pove£ala za nekaj redov velikosti[?].

73

5 Laser

Slika 5.8.1: Odvisnost mo£i laserja z nasi£enim absorberjem od frekvence

5.8 *Stabilizacija frekvence laserja na nasi£eno absorpcijo

V drugem razdelku smo videli, da je efektivna spektralna ²irina enofrekven£nega laserjaodvisna od uktuacij dolºine opti£ne poti svetlobe pri preletu resonatorja. Na to lahkopoleg spreminjanja geometrijske dolºine vpliva ²e spreminjanje lomnega koli£nika. e seposebej ne potrudimo, laser sveti nekje blizu vrha oja£evalnega pasu, pri £emer frekvencaple²e za znaten del razmika med resonatorskimi stanji. V ²olskem He-Ne laserju je to naprimer nekaj deset MHz.Bistveno manj²o ²irino lahko doseºemo z aktivno stabilizacijo dolºine resonatorja. Pri

tem je pogalvitni problem, kako dobiti primerjalni standard. S stabilizacijo na pomoºniinterferometer, ki smo jo na kratko opisali v drugem razdelku, lahko dobimo zelo ozko£rto, ki pa ima le toliko natan£no dolo£eno frekvenco, kot poznamo dolºino interfer-ometra. V£asih, na primer za natan£na interferometri£na merjenja dolºin, s tem nismozadovoljni in potrebujemo drug, absoluten standard.Tak standard za frekvenco so ozki prehodi v primernem razred£enem plinu. Vendar

naletimo na teºavo. Zaradi Dopplerjevega pojava so absorpcijske £rte mo£no raz²irjene.Pomaga nam pojav nasi£enja absorpcije, o katerem smo govorili v razdelku 4.9. Tamsmo videli, da se pri dvakratnem prehodu monokromatskega snopa svetlobe skozi plin vnasprotnih smereh pojavi v sredini Dopplerjevo raz²irjene £rte vdolbina, ki ima oblikohomogeno raz²irjene £rte. Homogena ²irina je lahko mnogo manj²a od Dopplerjeve in jezato vdolbina uporabna kot frekven£ni standard.V laserski resonator postavimo poleg aktivnega sredstva ²e celico s primernim plinom,

ki ima absorpcijsko £rto v bliºini vrha oja£enja aktivnega sredstva. Za He-Ne laser pri 633nm so to na primer pare ioda. Zaradi absorpcije se pove£ajo izgube v laserju in izhodnamo£ se zmanj²a. Spreminjajmo sedaj dolºino resonatorja in s tem frekvenco laserja. Kose ta pribliºa na homogeno ²irino centru absorpcijske £rte pri ω0, se absorpcija zmanj²ain s tem se mo£ laserja pove£a. Odvisnost mo£i laserja z absorberjem od dolºine kaºeslika 5.8. Pove£anje mo£i v vrhu obi£ajno ni prav veliko, manj od procenta.Shema stabilizacije na nasi£eno absorpcijo je prikazana na sliki ??. Eno od zrcal

resonatorja je na piezoelektri£nem nosilcu. Nanj vodimo izmeni£no napetost s frekvenco

74

5.8 *Stabilizacija frekvence laserja na nasi£eno absorpcijo

Slika 5.8.2: Shema stabilizacije laserja na nasi£eno absoprcijo

Ω in s tem moduliramo frekvenco laserja, da se vozi preko absorpcijske vdolbine pri ω0.Zaradi tega se spreminja tudi izhodna mo£ laserja, ki jo opazujemo s fotodiodo. Kadarje srednja frekvenca laserja enaka ω0, se mo£ zmanj²a simetri£no pri odmikih navzgorin navzdol od ω0 in se zato spreminja z dvojno frekvenco modulacije 2Ω. Kadar pa jesrednja frekvenca laserja nekoliko odmaknjena od ω0, se izhodna mo£ pri odmiku v zrcalav eno stran spremeni druga£e kot v drugo, kar pomeni, da je v signalu s fotodiode tudikomponenta s frekvenco Ω. Da drºimo srednjo frekvenco laserja enako ω0, moramo torejmeriti komponento izhodne mo£i pri modulacijski frekvenci in s povratno zanko skrbeti,da je ta enaka ni£.Komponento signala s frekvenco Ω zaznamo s faznim detektorjem, ki deluje tako,

da signal mnoºi z refen£no modulacijsko napetostjo. V produktu dobimo istosmernokomponento, ki je sorazmerna signalu pri frekvenci Ω in ki jo izlo£imo z nizkopasovnimltrom. Izhod iz faznega detektorja je tako sorazmeren odmiku srednje frekvence laserjaod ω0. Preko primernega oja£evalnika ga vodimo na piezoelektri£ni nosilec zrcala in takopopravljamo dolºino laserja.Napravimo kvantitativno oceno opisane stabilizacijske sheme. Odvisnost izhodne mo£i

od frekvence laserja ω lahko pribliºno zapi²emo v obliki

P (ω) = P0 +P1γ

2

(ω − ω0)2 + γ2. (5.8.1)

P0 je mo£ laserja brez saturacijskega vrha pri ω0, P1 pa pove£anje mo£i pri ω0. Pred-postavili smo, da se oja£enje laserja in nehomogeno raz²irjeni del absorpcije ne sprem-injata mnogo preko homogene ²irine absorberja in je zato P0 pribliºno konstantna.Frekvenco laserja moduliramo:

ω = ω0 +∆ω + a sinΩt . (5.8.2)

75

5 Laser

Z ∆ω smo ozna£ili odstopanje srednje frekvence laserja od centra absorpcijske £rte ω0.e sta a in ∆ω majhna v primeri s homogeno ²irino γ, lahko imenovalec v ena£bi 5.8.1razvijemo:

P (ω) = P0 + P1[1−1

γ2∆ω2 +

2

γ2a∆ω sinΩt− a2

γ2sin2Ωt] . (5.8.3)

Amplituda signala pri Ω je 2P1a∆ω/γ2. Najmanj²a razlika, ki jo lahko zaznamo, je

dolo£ena s ²umom meritve. Kot bomo videli v poglavju o detekciji svetlobe, je osnovniizvor ²uma fotodiode Poissonov ²um ²tevila parov elektron-vrzel, ki nastanejo zaradifotoefekta v p-n spoju. Najmanj²a sprememba svetlobne mo£i, ki jo lahko izmerimo, je(glej 10??. poglavje)

PN '√

~ωP1

τ, (5.8.4)

kjer je P celotna svetlobna mo£, ki vpada na diodo, τ pa £as meritve, ki je v na²emprimeru dolo£en s £asovno konstanto nizkopasovnega ltra na izhodu faznega detektorja.Vzemimo na primer He-Ne laser, stabiliziran na iodove pare. Povpre£na mo£ laserja P0

naj je 10 mW in P1 = 0.1 mW. irina absorpcijske £rte γ = 106 s−1. Izberimo amplitudomodulacije a = 105 s−1 in τ = 10−4 s. asovna konstanta τ ne sme biti prevelika, dolo£anamre£, kako hitro popravljamo dolºino laserja. Gornje vrednosti nam dajo za najmanj²ozaznavno mo£ pri Ω PN = 0.5×10−8 W. Najmanj²e merljivo odstopanje frekvence laserjaje tedaj

∆ωN =PNγ

2

2P1a= 2.5× 103 s−1 . (5.8.5)

Tak²no in ²e bolj²o stabilnost frekvence tudi zares doseºejo. Pozoren bralec bo opazil, daje ∆ωN < 0.01γ, to je, poloºaj absorpcijskega vrha je na opisan na£in mogo£e dolo£iti znatan£nostjo nekaj tiso£ink celotne ²irine.Na absorpcijsko £rto stabiliziranega laserja navadno ne uporabljamo direktno, temve£

z njim kontroliramo drug laser. Del izhodne svetlobe iz obeh laserjev zme²amo na detek-cijski fotodiodi. V signalu dobimo utripanje, ki je enako razliki frekvenc obeh laserjev. Sspreminjanjem dolºine drugega laserja skrbimo, da je frekvenca utripanja konstantna. Nata na£in lahko v ozkem frekven£nem intervalu ²e spreminjamo frekvenco drugega laserja.Z merjenjem utripanja med dvema stabiliziranima laserjema ugotavljajo tudi njihovo

stabilnost.

5.9 *Absolutna meritev frekvence laserja in denicija metra

Najnatan£neje merljiva koli£ina je £as odnosno frekvenca. Frekvence laserja, ki sveti vvidnem podro£ju seveda ni mogo£e direktno pre²teti. Pa£ pa je v za£etku sedemdesetih letuspelo s heterodinsko tehniko, ki se v mikrovalovni tehniki pogosto uporablja, napravitiprimerjavo stabiliziranega He-Ne laserja z osnovno cezijevo uro in tako dolo£iti frekvencoabsorpcijske £rte metana pri 3.39 µm z isto natan"nostjo, kot jo ima cezijeva ura.S heterodinsko tehniko primerjamo frekvenci dveh ali ve£ valovanj tako, da jih zme²amo

na primernem nelinearnem elementu, obi£ajno neki diodi. Zaradi nelinearnosti dobimo v

76

5.10 *Semiklasi£ni model laserja

odzivu diode razli£ne mnogokratnike vpadnih frekvenc, njihove vsote in razlike. Od tehje kaktera lahko dovolj nizka, da jo lahko direktno pre²tejemo.Za primerjanje frekvenc nad mikrovalvnim podro£jem je potreben ustrezen me²alni

element. Polvodni²ke diode nehajo biti uporabne pri pribliºno 20 GHz. Za vi²je frekvenceuporabijo diode kovina-izolator-kovina, ki jih sestavljajo oksidirana povr²ina niklja, ki seje dotika ostra volframska konica. Taka dioda deluje kot uporaben me²alni element dofrekvenc okoli 200 THz, to je skoraj do vidnega podro£ja.Za primerjavo He-Ne laserja, stabiliziranega na metan pri 3.39 µm, z osnovno cezijevo

uro je bilo potrebno zgraditi celo verigo vmesnih primerjav, ki jo kaºe slika ??. FrekvencoCO2 laserja dobimo na primer iz utripanja med frekvencama CO2 laserja pri 10.2 µmin pri 9.3 µm, trikratnikom frekvence HCN laserja in ²e klistrona s frekvenco 20 GHz.Na ta na£in so izmerili, da je frekvenca CH4 £rte na katero je stabiliziran He-Ne laser,88.376181627 THz.Valovno dolºino laserja dobimo z interferometri£no primerjavo z dolºinskim standar-

dom, ki je bil do leta 1984 dolo£en z neko kriptonovo £rto. Iz znane frekvence in valovnadolºine dolo£imo hitrost svetlobe. Zaradi relativno velike ²irine £rte kriptonove svetilkeje bil po starem meter deniran le z relativno natan£nostjo 10−8, kar je pomenilo, datudi hitrost svetlobe ne more biti dolo£ena bolj natan£no. Meritev frekvence laserja paje dosti natan£nej²a. Zato je bilo smiselno opustiti meter kot osnovno enoto in rajedenirati hitrost svetlobe kot pretvornik med sekundo in metrom. Z njeno vrednostso vzeli, kar so dobili z nabolj²o primerjavo stabiliziranega laserja in kriptonove £rte:c = 299792458 m/s . Na metan ali jod stabilizirani laser je postal sekundarni stan-dard za dolºino. Laser je pravzaprav pri tem le pomoºna naprava; standard je ustreznimolekularni prehod.


Doslej smo laserje obravnavali le z modelom zasedbenih ena£b. Ta je zelo grob, saj smozanemarili nekaj pomembnih pojavov. Svetlobo v resonatorju smo opisali smo opisalile s celotno energijo ali ²tevilom fotonov in se za njeno valovno naravo nismo menili.Kar privzeli smo, da je frekvenca delujo£ega laserja in oblika polja v njem enaka kot zalastno stanje praznega resonatorja. Aktivno snov smo opisali le z zasedenostjo zgornjegain spodnjega laserskega stanja in smo s tem izpustili moºnost, da se zaradi sodelovanjaz elektromagnetnim poljem atomi nahajajo v nestacionarnem, me²anem stanju.Gornje pomanjkljivosti odpravimo s tem, da elektromagnetno polje v resonatorju

obravnavamo z valovno ena£bo, za atome aktivne snovi pa upo²tevamo, da se pokoravajoSchroedingerjevi ena£bi. S tem dobimo semiklasi£ni model laserja. Za ²e natan£nej²i opispa moramo tudi svetlobo obravnavati kvantno, kar presega okvir te knjige.Aktivna snov naj bo ²e naprej kar najenostavnej²a, to je mnoºica enakih dvonivojskih

atomov s stanji |1〉 in |2〉, ki imata energiji W1 in W2. Atomi s svetlobo sodelujejopreko dipolne interakcije oblike exE(t), kjer je E(t) polje v resonatorju, ki naj bo zaradipreprostosti polarizirano v smeri osi x. asovno odvisno stanje atomov zapi²imo v obliki

|ψ〉 = c1(t)|1〉 exp(−iW1t/~) + c2(t)|2〉 exp(−iW2t/~) . (5.10.1)

77

5 Laser

Slika 5.9.1: Primerjalna veriga za meritev frekvence He-Ne laserja

78


Iz Schroedingerjeve ena£be dobimo za koecienta c1(t) in c2(t)

c1 =1

i~E(t)v12e

−iω0tc2c2 =1

i~E(t)v12e

iω0tc1 , (5.10.2)

kjer je ω0 = (W2 −W1)/~ in v12 = e〈1|x||2〉.Elektri£ni dipolni moment atoma v stanju ketψ je

p = −e〈ψ|x|ψ〉 = −(c∗1c2e−iω0t + c1c

∗2e

iω0t)v12 . (5.10.3)

Razdelimo p na dva dela:

p = p+ + p− = v12[η(t) + η∗(t)] , (5.10.4)

kjer smo vpeljali η(t) = c∗1c2e−iω0t.

Zanima nas, kako se dipolni moment spreminja s £asom. Zato s pomo£jo ena£b 5.10.2izrazimo

η = −iω0η −1

i~E(t)v12(|c2|2 − |c1|2) . (5.10.5)

|ci|2 je verjetnost za zasedenost stanja |i〉. Izraz v oklepaju na desni strani gornje ena£betorej meri razliko zasednosti obeh stanj; ozna£imo ga z ζ. Podobno kot zgoraj izrazimo£asovni odvod

ζ =2v12i~

E(t)(η∗ − η) . (5.10.6)

S tem smo iz Schroedingerjeve ena£be dobili ena£be za £asovni razvoj diponega momentain obrnjene zasedenosti, ki pa jih moramo ²e dopolniti. Naj bo atom na za£etku v stanju|2〉 in naj bo E(t) = 0. Za£etna vrednost ζ(0) = 1 in po ena£bi 5.10.6 naj bi bila ζ(t)konstantna. Vemo pa, da se atom, ki je v vzbujenem stanju, s£asoma vrne v osnovnostanje. Verjetnost za prehod na £asovno enoto smo ozna£ili z A. Poleg tega moramona nek na£in upo²tevati ²e £rpanje, s katerim vzdrºujemo obrnjeno zasedenost in s temlasersko delovanje. Za podroben opis £rpanja bi morali v Hamiltonov operator dodatiustrezne £lene in morda upo²tevati ²e druga stanja atomov, vendar nas take podrobnostina tem mestu ne zanimajo. Zaradi £rpanja stacionarna vrednost ζ v odsotnosti laserskegapolja E(t) ni -1, temve£ zavzame neko vrendost ζ0 med -1 in 1, odvisno od mo£i £rpanja.Tako lahko ena£bo 5.10.6 popravimo:

ζ = A(ζ0 − ζ) +2v12i~

E(t)(η∗ − η) , (5.10.7)

kjer prvi £len popisuje spontane prehode v niºje stanje in vpliv £rpanja.Podobno dopolnimo ²e ena£bo 5.10.5. Pri E(t) = 0 da £asovno odvisnost η oblike

e−iω0t, to je brez du²enja. Vema pa, da polarizacija v me²anem stanju razpada vsaj zaradispontanega sevanja, lahko pa ²e zaradi drugih vplivov, na primer trkov z drugimi atomi.Ozna£imo koecient du²enja polarizacije z γ, ki meri tudi spektralno ²irino svetlobe, kijo sevajo atomi pri prehodu 2 → 1. Tako imamo

η = −(iω0η + γ)− 1

i~E(t)v12ζ . (5.10.8)

79

5 Laser

Tej ena£bi moramo dodati ²e konjugirano kompleksno ena£bo. Ena£be 5.10.7 in 5.10.8pogosto imenujejo Blochove ena£be. Najprej so jih uporabili za obravnavo jedrske mag-netne resonance.Potrebujemo ²e ena£bo za polje E(t). Zanj dobimo iz Maxwellovih ena£b valovno

ena£bo, kjer moramo upo²tevati, da imamo tudi od ni£ razli£no polarizacijo snovi, ki jev primeru, da so vsi atomi enakovredni, podana z

P =N

Vv12(η + η∗) = P+ + P− . (5.10.9)

Valovna ena£ba je tedaj [?]

∇2E − 1

c2E = µ0P . (5.10.10)

Namesto mikroskopske koli£ine ζ lahko uvedemo ²e gostoto obrnjene zasedenosti Z =(N/V )ζ, pa lahko ena£bi 5.10.7 in 5.10.8 prepi²emo v obliko

P± = (∓iω0 − γ)P± +v212i~E Z (5.10.11)

Z = A(Z0 − Z)− 2

i~E(P− − P+) . (5.10.12)

Prehod od ena£b 5.10.7 in 5.10.8 na ?? je mogo£ le, kadar so vsi atomi enakovredni, toje, kadar ni nehomogene raz²iritve. Kako je v primeru nehomogene raz²iritve, si braleclahko ogleda v [?].Ena£be 5.10.7, 5.10.8 ali ??, skupaj z 5.10.10 dajejo semiklasi£ni opis sodelovanja

svetlobe in snovi. Iz izpeljave je vidno, da je v njem spontano sevanje obravnavanopomankljivo, le s fenomenolo²kim nastavkom, kar je mo£ popraviti tako, da tudi elek-tromagnetno polje kvantiziramo. Kljub tej pomanjkljivosti je s semiklasi£nim modelommogo£e zelo podrobno obravnavati ve£ino pojavov v laserjih in tudi druge probleme²irjenja svetlobe po snovi. Re²evanje zapisanega sistema nelinearnih parcialnih diferen-cialnih ena£b pa je v splo²nem zelo teºavno.Da bomo semiklasi£ne ena£be le nekoliko pobliºe spoznali, na kratko poglejmo na-

jenostavnej²i primer, to je laser, v katerem je vzbujeno le eno resonatorsko stanje. Poljeima tedaj obliko

E(~r, t) = Eλ(t)uλ(~r) , (5.10.13)

kjer je uλ(~r) krajevni del lastnega stanja resonatorja, ki zado²£a ena£bi

∇2uλ −ω2λ

c2uλ = 0 . (5.10.14)

Eλ(t) opisuje £asovno odvisnost, ki je za laser v stacionarnem delovanju periodi£na,vendar frekvenca ni nujno kar enaka lastni frekvneci praznega resonatorja ωλ, temve£ jomoramo ²e izra£unati.Tudi polarizacijo lahko razvijemo po lastnih funkcijah uλ(~r). Ker so te med seboj

ortogonalne, preide valovna ena£ba 5.10.10 v

ω2λEλ − Eλ =

1

ε0Pλ . (5.10.15)

80


Razstavimo Eλ(t) na dva dela:

Eλ(t) = E+λ (t) + E−

λ (t) = A+(t)e−iωλt +A−(t)eiωλt . (5.10.16)

Dejanska frekvenca laserja je blizu ωλ, zato pri£akujemo, da bosta amplitudi A±(t) vprimerjavi z e−iωλt le po£asni funkciji £asa. Izra£unajmo

E+λ = −ω2

λE+λ − 2iωλA

+e−iωλt + A+e−iωλt

' −ω2λE

+λ − 2iωλ(E

+λ + iωλE

+λ ) (5.10.17)

V drugi vrstici smo izpustili £len z A+, ker pri£akujemo, da je majhen. S tem smonapravili pribliºek po£asne amplitude.Polarizacija snovi je pribliºno periodi£na s frekvenco ω0, z amplitudo, ki je tudi po£asna

funkcija £asa. Zato je P+λ ' −ω2

0P+λ . Pri drugem odvodu polja po £asu smo potrebovali

en £len ve£, ker se £len −ω2λE

+λ na levi strani ena£be 5.10.10 od²teje. Z uporabo tega

pribliºka in ena£b 5.10.14 in ?? preide valovna ena£ba 5.10.10 za eno nihanje v

E+λ = −iωλE

+λ +

iω0

2ε0P+λ . (5.10.18)

Doslej nismo upo²tevali, da je polje v praznem resonatorju du²eno, zato moramo gornjoena£bo ²e popraviti:

E+λ = (−iωλ − 1

τ)E+

λ +iω0

2ε0P+λ . (5.10.19)

Kadar v reosnatorju ni snovi, je dobljena ena£ba enaka kot ena£ba 3.5.15.Ena£bi ?? in 5.10.11 sta nelinearni, zato ju n mo£ kar tako prepisati za primer razvoja

po lastnih stanjih resonatorja. Pri ena£bi za razvoj polarizacije ?? imamo v zadnjem £lenuna desni produkt komponente polja Eλ in obrnjene zasedenosti Z, od katere bistvenoprispeva le krajevno povpre£je Z, ki se tudi s £asom le po£asi spreminja. Seveda vsebujeZ tudi krajevno odvisne komponente, ki pa so pomembne predvsem zato, ker sklaplajorazli£na lastna stanja resonatorja, kar presega na²o trenutno obravnavo. Tako imamo

P+λ = (−iω0 − γ)P+

λ +v212i~

E+λ Z . (5.10.20)

Ena£bo za Z dobimo iz 5.10.11. V zadnjem £lenu imamo produkte E±P± = E±λ P

±λ u

2λ(~r),

kar moramo prostorsko povpre£iti. Funkcije uλ(~r) naj so normalizirane tako, da je´u2λ(~r) dV = V . Tako imamo u2λ(~r) = 1 in

˙Z = A(Z0 − Z)− 2

i~(E+

λ + E−λ )(P

−λ − P+

λ ) , (5.10.21)

kjer je Z0 povpre£je nenasi£ene zasedenosti Z0. V zadnjem £lenu nastopajo produkti, kinihajo s frekvencami ωλ − ω0 in ωλ + ω0. Obe frekvenci sta si zelo blizu, zato je njunavsota mnogo ve£ja od razlike. leni E+

λ P+λ in E−

λ P−λ se torej zelo hitro spreminjajo

81

5 Laser

in skoraj ni£ ne vplivajo na valovanje blizu ωλ, zato jih izpustimo. S tem je £asovnaodvisnost Z podana z

˙Z = A(Z0 − Z)− 2

i~(E+

λ P−λ − E−

λ P+λ ) . (5.10.22)

Ena£be 5.10.19, 5.10.20 in 5.10.22, skupaj s konjugirano kompleksnimi ena£bami za E−λ

in P−λ , so zaklju£en sistem, ki opisuje delovanje enofrekven£nega laserja. Uporabimo jih

za izra£un frekvence izhodne svetlobe.Naj bo stanje stacionarno. Tedaj lahko polje zapi²emo v obliki E+

λ = E0e−iΩt, kjer je

E0 realna konstanta, frekvenca svetlobe ω pa je blizu ω0 in ωλ. V stacionarnem stanjumora imeti polarizacija enako £asovno odvisnost: P+

λ = P0e−iΩt. Tedaj je v ena£bi

5.10.22 drugi oklepaj konstanten in mora biti tudi Z v stacionarnem stanju od £asaneodvisna. Sistem ena£b 5.10.19, 5.10.20 in 5.10.22 nam tako da

−[i(ωλ − Ω) +1

τ]E0 −

iω0

2ε0P0 = 0

−[i(ω0 − Ω) + γ]P0 +v212i~

E0Z = 0

A(Z0 − Z)− 2

i~E0(P

∗0 − P0) = 0 . (5.10.23)

Najprej izra£unamo P0 iz druge ena£be, ga postavimo v tretjo in izra£unamo Z:

Z = Z0

[1 +

v212~2A

E20

2γ

(ω0 − Ω)2 + γ2

]−1

(5.10.24)

Ta izraz ºe poznamo. πv212/(ε0~2) je Einsteinov koecient B. E20 je sorazmern gostoti

energije polja v resonatorju, zadnji ulomek v oklepaju pa nam podaja obliko homogenoraz²irjene atomske £rte:

Z = Z0

[1 +

2B

Ag(ω0 − Ω)w

]−1

(5.10.25)

To je natanko enako izrazu za nasi£enje zasedenosti stanj, ki smo ga izpeljali iz zasedbenihena£b v £etrtem poglavju.Postavimo P0 iz prve ena£be sistema ?? v drugo:

E0[i(Ω− ωλ) +1

τ][i(Ω− ω0) + γ] = −v

212ω0

2~ε0E0 Z . (5.10.26)

V delujo£em laserju je E0 6= 0, zato lahko kraj²amo. Z je realen, tako da mora bitiimaginarni del leve strani enak ni£:

(Ω− ωλ)γ + (Ω− ω0)1

τ= 0 . (5.10.27)

Od tod lahko izra£unamo frekvenco laserja

Ω =ωλγ + ω0

1τ

γ + 1τ

. (5.10.28)

82


Frekvenca torej ni enaka frekvenci praznega resonatorja ωλ, temve£ je premaknjena proticentru atomske £rte ω0. Premik je odvisen od razmerja ²irine atomske £rte in izgubresonatorja.Bralec lahko sam iz ena£be 5.10.26 izra£una ²e energijo svetlobe v resonatorju in rezul-

tat primerja s tistim, ki smo ga dobili z uporabo zasedbenih ena£b.Gornji primer uporabe polklasi£nih ena£b je zelo preprost. Prava mo£ modela se pokaºe

pri obravnavi mnogofrekven£nega laserja, na primer pri ra£unu uklepanja faz laserskihnihanj, kar pa presega okvir te knjige. Ve£ bo bralec na²el v [?].

83

6 Primeri laserjev

Danes je v rabi veliko ²tevilo razli£nih laserjev in tu ne moremo opisati vseh. Na kratkopoglejmo le nekaj najpomembnej²ih, ne da bi se pri tem spu²£ali v podrobnosti in ra-zli£ne moºne izvedbe. Navadno laserje razlikujemo po aktivnem sredstvu, pri £emer papogosto obstoja mnogo razli£nih izvedb. Eno sredstvo lahko sluºi na primer tako v zveznodelujo£em laserju kot v takem, ki deluje le v kratkih sunkih.Laser je lahko dokaj preprosta naprava, z malo sestavnimi deli, lahko pa je tudi zelo

velik in zapleten sistem. Ve£ina velikih laserskih sistemov, ki dajejo zelo veliko svetlobnomo£, je sestavljenih iz osnovnega laserja, ki ni posebno mo£an, daje pa kvalitetno svet-lobo, in iz enega ali ve£ oja£evalnikov. V njih se svetloba oja£uje v sredstvu, ki je enakokot v osnovnem laserju in ki je v kolikor mogo£e visokem stanju obrnjene zasedenosti,le da brez resonatorja. V ve£ih oja£evalnih stopnjah je tako moºno dose£i zelo velikosvetlobno mo£. Pri tem nastopi tudi vrsta novih problemov. Da gostota svetlobnegatoka ni prevelika in ne povzro£a po²kodb opti£nih komponent, mora premer oja£evanegasnopa in s tem premer oja£evalnih stopenj nara²£ati. Zadnje stopnje velikega laserskegasistema v Rochestru imajo na primer premer pol metra, kar seveda pomeni, da morajoimeti tolik²no opdrtino tudi vse ostale opti£ne komponente. Polega tega je potrebnoskrbno paziti, da se odbita svetloba ne vra£a v prej²nji oja£evalnik ali v osnovni laserin moti njegovo delovanje. Zato so med oja£evalnimi stopnjami opti£ni izolatorji, kitemeljijo na Faradayevem pojavu vrtenja polarizacije v snovi v magnetnem polju.V laserske resonatorje pogosto vgrajujemo tudi dodatne opti£ne elemente, s katerimi

vplivamo na delovanje laserja. V prej²njem poglavju smo ºe govorili o modulatorjihza spreminjanje dobrote, s £emer dobimo mo£ne kratke sunke ali uklenemo faze ve£ihlastnih nihanj. Dobroto resonatorja lahko spreminjamo tako v laserju, ki ga £rpamo le vsunkih, kot v stalno £rpanem laserju. V drugem primeru deluje laser neprekinjeno, kadarje modulator izklju£en, ali v sunkih, £e modulator deluje. V nekaterih laserjih sta celodva modulatorja, eden za preklaplanje dobrote, drugi za uklepanje faz, ki lahko delujetavsak posebej ali oba hkrati. V zadnjem primeru dobimo iz laserja ob vsakem preklopukvalitete kratko zaporedje fazno uklenjenih sunkov (Slika 6.8.1).V na²em pregledu bomo navedli le osnovne karakteristike najpomebnej²ih laserjev in

se ne bomo spu²£ali v podrobnosti razli£nih izvedb.

6.1 Neodimov laser

Eden najpomembnej²ih laserjev je osnovan na itrij- aluminijevem granatu Y3Al5O12

(YAG) s primesnimi ioni Nd3+. Valovna dolºina, pri kateri neodimov laser deluje, je1,06 µm. Redke zemlje, med katere sodi neodim, imajo zelo bogat spekter vzbujenihstanj v opti£nem podro£ju. Del ga kaºe slika 6.8.2. Zna£ilno za spektre ionov redkih

84

6.1 Neodimov laser

zemelj, ki so vgrajeni v neko kristalno mreºo, je, da so le malo moteni zaradi vplivakristalnega polja, to je elektrostatske interakcije z okoli²kimi atomi. Nezapolnjena 4forbitala je namre£ deloma sen£ena z zapolnjeno 6s orbitalo. Zato so nivoji v kristalupodobni kot za prost atom in so le malo raz²irjeni zaradi termi£nih motenj okolice.Neodimov laser deluje med stanjema 4F3/2 in 4I11/2. irina tega prehoda je 180 GHz.

Presek za stimulirano sevanje, ki smo ga denirali v razdelku 4.4, je σ = 9× 10−19 cm2,kar je precej velika vrednost. Poleg tega je ºivljenski £as gornjega laserskega stanja 1/A =5.5× 10−4 s, spodnjega pa mnogo manj. Zato je lahko dose£i veliko zasedenost gornjegastanja in veliko obrnjeno zasedenost. Spodnje stanje je dovolj visoko nad osnovnim,da pri sobni temperaturi v ravnovesju ni znatno zasedeno. Zaradi vsega tega je pragneodimovega laserja zelo nizek in je prav lahko dose£i zvezno stacionarno delovanje, pravtako dobro pa deluje tudi v sunkih.Kot je obi£ajno za laserje, v katerih je aktivna snov kristal ali steklo s primesmi,

neodimov laser £rpamo s svetlobo vi²je frekvence, kot je laserski prehod. Najpomembnej²iabsorpcijski pasovi so tik pod vidnim podro£jem pri 790 nm in 750 nm in v zelenemdelu vidnega spektra. Aktivna snov je v obliki pali£ke dolºine od nekaj cm do dobrih10 cm. Za £rpanje uporabljamo mo£ne ksenonove svetilke za zvezno delovanje ali podobnebliskovne lu£i za sunkovno delovanje. Skupaj z aktivno pali£ko so vgrajene v cilindri£noali elipti£no z zrcalnimi ali belimi stenami, tako da se £im ve£ji del £rpalne svetlobeabsorbira v laserski pali£ki (Slika ??).Pri £rpanju s ksenonovo lu£jo je le manj²i del £rpalne svetlobe v absorpcijskih pasovih,

zato je izkoristek dokaj slab, pod 0.01. Preostala mo£ gre v gretje, zaradi £esar je vlaserjih z nekoliko ve£jo povpre£no mo£jo potrebno vodno hlajenje. Gretje povzro£a tuditoplotne deformacije laserske pali£ke, kar lahko mo£no spremeni lastnosti resonatorja.Toplotni u£inki so ena poglavitnih prakti£nih teºav pri izdelavi neodimovih laserjev.V zadnjem £asu se uveljavlja tudi £rpanje z mnoºico polvodni²kih diodnih laserjev, ki

svetijo v pasu med 750 nm in 800 nm, to je ravno v obmo£ju absorpcije Nd. Zato jeizkoristek dosti bolj²i in je gretja manj, kar omogo£a bolj kompaktno konstrukcijo, bolj²ostabilnost izhodne mo£i in ve£jo zanesljivost.Naloga: Oceni iz gornjih podatkov, kolik²na je potrebna mo£ ksenonove svetilke, da

doseºemo prag delovanja neodimovega laserja z dolºino resonatorja 20 cm in reektivnos-tjo izhodnega zrcala 0.96. Ksenonova svetilka pretvori v svetlobo pribliºno polovico elek-tri£ne mo£i.Tipi£na izhodna mo£ zvezno delujo£ega Nd-YAG laserja je nekaj deset W, za kar je

potrebna elektri£na mo£ nekaj kW.Pri delovanju v sunkih se skozi bliskovno lu£ izprazni nabit kondenzator, ki mora imeti

precej veliko kapacitivnost, da je energija bliska zadostna, to je vsaj nekaj J. as trajanjabliska je dolo£en RC konstanto kondenzatorja in lu£i in je okoli 0.1 ms. Tipi£na energijaizhodnega sunka je okoli 0.1 J.Namesto v ustrezen kristal je Nd lahko vgrajen tudi v steklo. Zaradi neurejene okolice

je laserska £rta precej ²ir²a, blizu 1 THz in ºivljenski £as gornjega nivoja malo kraj²i, okoli0.3 ms. Zato je oja£enje manj²e kot v Nd-YAG in je za prag laserskega delovanja potrebnaprecej ve£ja mo£ £rpanja. Laserji Nd-steklo zato delujejo le v sunkovnem na£inu, kjer paso za velike energije celo bolj²i od Nd-YAG. Zaradi manj²ega oja£enja pri dani obrnjeni

85

6 Primeri laserjev

zasedenosti je v laserju s preklopom kvalitete moºno dose£i ve£jo na£rpanost, ne da bipri²lo do praznenja zaradi oja£evanja spontanega sevanja v enem preletu pali£ke. Energijaizhodnih sunkov laserjev Nd- steklo so tako do nekaj J.Ve£je energije sunkov je mogo£e dobiti z oja£evalniki. Med najve£jimi je laserski sistem

Nd-steklo v Rochestru v drºavi New York, ki ga uporabljajo za raziskave fuzije. Okoli 1 nsdolg sunek iz osnovnega laserja razdelijo na deset oja£evalnih vej, ki so dolge po 180 m.Da prepre£ijo po²kodbe povr²in elementov zaradi prevelike gostote svetlobne energije,morajo snope raz²iriti, tako da je premer zadnjih oja£evalnih stopenj pol metra. Kon£naenergija sunka je nad 100 kJ. Z njim z vseh strani posvetijo na kroglico iz devterija intritija, ki se dovolj segreje in stisne, da pride do zlivanja devterija in tritija. Vr²na mo£laserskega sunka je 1013 W. e jo zberemo na povr²ino 1 mm2, dobimo elektri£no poljskojakost okoli 1011 V/m2, kar je pribliºno enako polju v vodikovem atomu.

6.2 He-Ne laser

Prvi zvezno delujo£i laser je bil He-Ne laser, v katerem je prehod med stanji 2S in 2patomov Ne dal svetlobo z valovno dolºino 1.15 µm. Prehodi v Ne dajo lasersko delovanjetudi pri 3.39 µm, 632.8 nm in nekaj valovnih dolºinah v oranºnem in zelenem delu spektra.Energijska stanja He in Ne kaºe slika ??. Najpomembnej²i je prehod pri 632.8 nm.Slika ?? kaºe shemo tipi£nega plinskega laserja, kakr²en je He-Ne laser. Elektri£ni

tok te£e skozi razelektritveno cev, v kateri je me²anica pribliºno 1 mb He in 0.1 mb Ne.Okna cevi so nagnjena za Brewsterjev kot, da so izgube pri odboju za eno polarizacijo£im manj²e. Izhodna svetloba iz laserja je zato seveda polarizirana. V manj²ih laserjihso namesto Brewsterjevih oken na razelektritveno cev privarjena kar resonatorska zrcala.Tak laser je nepolariziran. Elektroni, ki so glavni nosilci toka, s trki vzbujajo atome He vve£ vzbujenih stanj. Ti se vra£ajo v osnovno stanje, pri tem pa se nabirajo v dolgoºivihmetastabilnih stanjih 23S in 21S, ki imata razpadne £ase 0.1 ms in 5 µs. Ti dve stanjiimata skoraj enako energijo kot 2S in 3S stanja Ne in se energija pri trkih vzbujenih Heatomov z Ne atomi v osnovnem stanju lahko prenese na Ne atome. Majhna energijskarazlika (okoli 1.2 THz) preide v kineti£no energijo obeh atomov. Ta prenos je glavni£rpalni proces v He-Ne laserju.Znano rde£o svetlobo He-Ne laserja dobimo pri prehodu s 3S stanja na eno od 2p stanj.

ivljenski £as 3S stanja je 10−7 s, 2p stanje pa v okoli 10−8 s preide s sevanjem v 1Sstanje. To je metastabilno - dipolni sevalni prehodi v osnovno stanje so prepovedani,zato se v njem atomi nabirajo in se pri trkih z elektroni vra£ajo v spodnje lasersko stanje2p. To zmanj²uje obrnjeno zasedenost. Atomi preidejo z 1S stanja v osnovno najve£ pritrkih s steno cevi, zato oja£enje raste z zmanj²evanjem premera cevi.Lasersko delovanje dobimo tudi pri prehodu s 3S na 3p, ki ima valovno dolºino 3.39 µm.

Oja£enje je za ta prehod je celo precej ve£je kot za 632.8 nm, deloma zaradi niºje frekvence(glej zvezo med Einsteinovima koecientoma A in B), deloma pa zaradi kratke ºivljenskedobe spodnjega laserskega nivoja 3p. Zato bi pri£akovali, da bo He-Ne laser svetil pri3.39 µm in ne pri 632.8 nm. To prepre£i absorpcija v steklu in selektivna reektivnostresonatorskih zrcal, kar dvigne prag za 3.39 µm nad prag za 638.2 nm.

86

6.3 Argonski ionski laser

Izhodna mo£ He-Ne laserja je od nekaj desetink mW do 100 mW. So preprosti, zanesljiviin poceni, zato so poleg polvodni²kih najve£ uporabljani laserji. Uporabljamo jih meril-nih napravah, v opti£nih £italnih sistemih, na primer v £italcih £rtne kode, v ²olah, vraziskovalnih laboratorijih za intereferometrijo itd. Na njem je osnovan tudi sekundarnistandard za meter, kot smo videli v prej²njem poglavju.

6.3 Argonski ionski laser

Prehodi v ioniziranem Ar omogo£ajo lasersko delovanje v pri vrsti valovnih dolºin vzelenem, modrem in bliºnjem UV podro£ju spektra. Zato je Ar ionski laser med na-jpomembnej²imi, ki se danes porabljajo. Kot ve£ino drugih plinskih laserjev tudi tega£rpamoz elektri£nim tokom. Da dobimo ioniziran argon z obrnjeno zasedenostjo in dovoljvelikim oja£enjem, mora biti elektri£ni tok precej velik, nekaj deset amperov. S tem jevelika tudi potrebna elektri£na mo£, do 10 kW in ve£. Zaradi velike koli£ine odve£netoplote je navadno Ar laser vodno hlajen.Ar laser da najve£jo svetlobno mo£ pri 488 nm in 514.5 nm, do kakih 20 W. Da

izberemo eno od moºnih £rt, moramo v resonator vgraditi ²e nek frekven£no selektivenelement. Najpogosteje uporabijo kar majhno prizmo pred enim od obeh zrcal, kot kaºeslika ??. Z vrtenjem sklopa prizme in zrcala lahko izberemo valovno dolºino svetlobe, kije pravokotna na obe zrcali.Argonski laser je zanesljiv in lahko daje zelo kvaliteten izhodni snop, to je, brez teºav

doseºemo, da deluje v osnovnem Gaussovem na£inu in pri eni sami frekvenci. Zato sedosti uporablja v opti£ni spektroskopiji, interferometriji, holograji in merilni tehniki.Zelo podoben mu je ²e kriptonov laser, ki deluje v rde£em in oranºnem delu spektra.

6.4 Laser na ogljikov dioksid

Vsi doslej opisani laserji so delovali na elektronskih prehodih. CO2 laser pa izrabljaprehode med vibracijskimi stanji molekule. Pri tem elektroni ostanejo v osnovnem stanju.Energije vibracijskih prehodov so 10 do 100 krat manj²e od elektronskih, zato CO2 indrugi podobni molekularni laserji delujejo v infrarde£em podro£ju.Molekula CO2 je prikazana na sliki ??. V osnovnem stanju (a) je linearna. Atomi

lahko nihajo glede na teºi²£e na tri na£ine: oba kisika se gibljeta simetri£no vzdolº osimolekule, pri £emer ogljik miruje - simetri£ni razteg (b), atomi nihajo simetri£no v smeripravokotno na os - upogib (c) in atoma kisika se gibljeta oba v isti smeri vzdolº osi, ogljikpa v nasprotni smeri - asimetri£ni razteg (d). Najvi²jo frekvenco ima asimetri£ni razteg,najniºjo pa upogib. Energija vsakega nihanja je dana s ²tevilom energijskih kvantovv nihanju; celotna nihajna energija molekule CO2je torej podana s tremi celimi ²tevili(n1, n2, n3).Nekaj najniºjih vibracijskih stanj molekule CO2 je prikazanih na sliki ??. CO2 laser

vzbujamo z elektri£nim tokom skozi me²anico CO2 in du²ika. Podobno kot v He-Nelaserju se tudi CO2 £rpa predvsem preko trkov z du²ikovimi molekulami, katerih prvovzbujeno vibracijsko stanje ima skoraj enako energijo kot stanje (001), ki je gornje stanje

87

6 Primeri laserjev

CO2 laserja. Laserski prehod med stanjema (001) in (100) ima valovno dolºino 10.6 µm.Celotni izkoristek laserja je razmeroma velik, blizu 3010 kW v stalnem delovanju. Polegvelikega izkoristka k temu prispeva tudi to, da se molekule iz spodnjega laserskega stanjahitro vrnejo v osnovno stanje, kjer jih je mo£ zopet porabiti v oja£evalnem procesu. Tose zgodi predvsem preko trkov z drugimi molekulami ali atomi, na primer He, ki je dodanplinski me²anici.CO2 laserji se uporabljajo najve£ v industriji za zahtevne obdelave materialov, na

primer za rezanje plo£evine po krivih robovih. Obdelava z laserji omogo£a veliko natan£nostin £isto£o in je zelo eksibilna.

6.5 Ekscimerni laser

Ekscimerji so vzbujena vezana stanja dveh atmov, podobna molekuli, ki disociirajo vosnovnem stanju. Za laserje so zanimivi predvsem ekscimerji teºkih ºlahtnih plinov (Xe,Kr, Ar) in halogenov (F, Cl, Br, I), ker jih je mogo£e dokaj u£inkovito pridobivati in kerdajejo lasersko svetlobo v ultravijoli£nem podro£ju med 200 nm in 400 nm, ki ga drugilaserski sistemi le teºko pokrivajo.Vezano stanje dveh atomov dobimo, kadar je ionizacijska energija prvega atoma man-

j²a od vsote elektronske anitete drugega atoma in elektrostati£ne energije vezave obehionov. Vzemimo za primer klor in kripton. Ionizacijska energija kriptona v osnovnemstanju je 14 eV, v vzbujenem pa 5 eV. Elektronska aniteta klora je 3.75 eV in elek-trostati£na vezavna energija KrCl okoli 7 eV. Tako je za formiranje molekule KrCl vosnovnem stanju potrebno dodati okoli 4 eV, pri tvorbi molekule v vzbujenem stanjupa se sprosti okoli 6 eV. Pribliºno obliko celotne potencialne energije molekule KrCl vosnovnem in vzbujenem stanju kaºe slika ??. Molekula, ki je vezana v vzbujenem stanju,po sevalnem prehodu v osnovno stanje takoj razpade, zato je zelo lahko dose£i obrnjenozasedenost.Razpadni £as vezanega stanja je blizu 10 ns, spodnjega nevezanega pa okoli 0.1 ps. Zato

je spektralna ²irina prehoda precej velika, okoli 1 nm, in laser, ki ta prehod uporablja,lahko deluje v ve£jem delu tega intervala.Ekscimeri se formirajo v me²anici halogenega in ºlahtnega plina, ki ga vzbujamo z

m£nim elektronskim snopom. Ekscimerni laserji delujejo ve£inoma v sunkih s precej ve-liko energijo, do 100 kJ z dodatnimi oja£evalnimi stopnjami. Imajo tudi dober izkoristek,do 8%, kar vse pojasnjuje veliko zanimanje za ekscimerne laserje.

6.6 Laserji na organska barvila

Posebej zanimivi so sevalni prehodi z veliko spektralno ²irino. V frekven£nem intervalutakega prehoda je moºno spreminjati frekvenco laserja, kar je posebej za uporabo vspektroskopiji izrednega pomena. Eno moºnost nudijo organska barvila.Pribliºno shemo energijskih nivojev molekule tipi£nega organskega barvila, znan primer

je rodamin 6G, prikazuje slika ??. Vsa elektronska stanja so razcepljena v vibracijskain rotacijska podstanja. Rotacijska stanja so tako blizu skupaj, da se v raztopini zaradi

88

6.6 Laserji na organska barvila

trkov zlijejo med seboj v zvezen pas, ki ima tipi£no ²irino do 50 nm. Elektronska stanjaso lahko singletna (S), ki imajo elektronski spin 0, in tripletna (T) z elektronskim spinom1. Elektri£ni dipolni prehodi med tripletnimi in singletnimi stanji so prepovedani, zatoje najniºje tripletno stanje metastabilno.

V toplotnem ravnovesju je molekula na dnu osnovnega elektronskega stanja S0. Zabsorpcijo vidne svetlobe primerne frekvence preide v nekam v vzbujeno stanje S1. Prekotrkov z molekulami topila vzbujena barvilna molekula zelo hitro, v £asu okoli pikosekundepreide na dno vzbujenega stanja, od koder s sevanjem preide nekam v osnovno stanjeS0, od koder zopet s trki hitro preide nazaj na dno osnovnega stanja, kot kaºe slika??. Ker sta obe elektronski stanji raz²irjeni zaradi vibracijskih in rotacijskih stanj, staabsorpcijska in emisijska uorescen£na £rta ²iroki. Tipi£na ²irina je blizu 50 nm. Energijaizsevane svetlobe je zmanj²ana za energijo prehodov s trki, zato je uorescen£na £rtapremaknjena k niºjim frekvencam od absorpcijske. Absoprcijski in uoresecen£ni spekterprehoda S0 − S1 kaºe slika ??.

Absorpcijski presek med osnovnim in vzbujenim singletnim stanjem je velik, sevalnirazpadni £as z dna stanja S1 pa dolg v primeri z nesevalnimi prehodi z vibracijsko-rotacijskih nivojev stanja S0 na njegovo dno, zato je lahko dobiti oja£enje v uorescen£ni£rti. Barvilni laser £rpamo s svetlobo z nekaj vi²jo frekvenco, ki ustreza vrhu absorpcijske£rte. Pri tem ve£ina molekul, ki so se vzbudile z absoprcijo, sodeluje pri stimuliraniemisiji, zato je izkoristek pri pretvorbi £rpalne svetlobe v mo£ laserja lahko zelo velik.

Energija tripletnega stanja T1 se deloma prekriva s stanjem S1, zato so moºni prehodis trki iz S1 v T1. Ker je tripletno stanje metastabilno, se lahko v njem nabere znatno²tevilo molekul barvila. Zaradi tega se zmanj²a ²tevilo molekul v singletnem stanju, polegtega pa je moºna absorpcija iz stanja T1 v T3, kar lahko prepre£i lasersko delovanje medstanjema S1 in S0. Tej teºavi se izognemo, £e laser deluje le v sunkih, pri stacionarnemdelovanju pa tako, da raztopina barvila kroºi skozi laser.

Barvilni laser lahko deluje pri vseh frekvencah znotraj ²iroke uorescen£ne £rte. Zatomoramo v resonator vgraditi nek frekven£no selektiven element, s katerim lahko nastavl-jamo frekvenco laserja. Uporabna je prizma kot v primeru Ar laserja ali kombinacijeinterferometrov. Zanimiva moºnost je, da eno od zrcal nadomestimo z uklonsko mreºico,ki je postavljena pod takim kotom, da se po osi resonatorja odbije svetloba ºeljene valovnedolºine (slika ??. To lahko spremenimo s spreminjanjem kota nagiba mreºice.

Barvilne lahko laserje £rpamo z bliskovno lu£jo. Danes pogosteje uporabimo druglaserjem primerne valovne dolºine, na primer Ar ali ekscimerni laser. Pri tem zaradidobrega izkoristka barvila ne izgubimo mnogo mo£i, pridobimo pa moºnost nastavljanjafrekvence. Z menjavo barvil tako zvezno pokrijemo ves vidni del spektra.

iroko obmo£je oja£evanja barvila nam z uklepanjem faz omogo£a dobiti tudi zelokratke svetlobne sunke. V prej²njem poglavju smo videli, da je dolºina sunka iz faznouklenjenega laserja obratno sorazmerna s spektralno ²irino oja£evalne £rte. Iz barvilnegalaserja zato lahko dobimo zelo kratke sunke, pod 1 ps.

89

6 Primeri laserjev

6.7 Titan-sarni laser

Podobne lastnosti kot barvila imajo nekateri prehodni elementi, vgrajeni v primernokristalno mreºo. Posebej velja omeniti sar, to je kristal Al2O3, s primesjo titana. PrehodTi v bliºnjem infrarde£em obmo£ju je zaradi interakcije s fononi mo£no raz²irjen, takoda je moºno dobiti oja£evanje v obmo£ju od 700 do 1000 nm. V tem intervalu je titan-sarnemu laserju mogo£e nastavljati frekvenco. rpamo ga navadno z drugim laserjem,najve£krat z argonskim.Titan-sarni laser zelo dobro deluje v sunkih z uklepanjem faz. Zaradi velike spektralne

²irine oja£evanja so sunki izredno kratki, okoli 100 ps.

6.8 Polvodni²ki laserji

Za ²iroko uporabo so danes brez dvoma najpomembnej²i polvodni²ki laserji. Njihoveglavne zna£ilnosti so majhne dimenzije, neposredno £rpanje z elektri£nim tokom majhnejakosti in pri nizki napetosti, velik izkoristek, preko 20pri pretvorbi elektri£ne mo£i vsvetlobno, in moºnost hitre modulacije svetlobne mo£i z modulacijo elektri£nega toka.Poleg tega jih je mo£ integrirati z drugimi polvodni²kimi elementi in se za njihovo izdelavouporablja obi£ajna polvodni²ka tehnologija.Polvodniki absorbirajo svetlobo s frekvenco nad energijo prehoda iz valen£nega v pre-

vodni pas. Pri tem z vzbuditvijo elektrona iz valen£nega v prevodni pas nastane parelektron-vrzel. Ta se lahko rekombinira z izsevanjem fotona, kar ustreza spontanemuali stimuliranemu prehodu v atomih in molekulah. Zaradi ohranitve gibalne koli£ine sevalovni vektor elektrona pri prehodu le zelo malo spremeni, saj je valovni vektor vidnesvetlobe majhen v primerjavi z vektorjem recipro£ne mreºe polvodni²kega kristala. Toima pomembno posledico. Najobi£ajnej²a polvodnika, silicij in germanij, imata vrh pre-vodnega pasu v centru Brilluinove cone, to je pri valovnem vektorju ni£, dno prevodnegapasu pa pri kon£no velikem valovnem vektorju. Zato direkten prehod z dna prevodnegapasu v vrh valen£nega pasu z izsevanjem fotona ni moºen, potrebna je so£asna emisijaali absorpcija fonona, ki poskrbi za ohranitev gibalne koli£ine. Tak proces pa je sevedamnogo manj verjeten, zato v siliciju in germaniju v obi£ajni obliki ni mogo£e dobitiznatnega sevanja s prehodi iz prevodnega v valen£ni pas.Opisane teºave ni pri spojinah iz tretje in pete skupine elementov, na primer GaAs,

kjer je valen£ni pas 1,4 eV nad prevodnim. Na njih so osnovani polvodni²ki laserji.Verjetnost za zasedenost elektronskih stanj v termi£nem ravnovesju v polvodniku je

podana s Fermi-Diracovo funkcijo ??:

f(E) =1

e(E−EF )/kBT + 1. (6.8.1)

Pri nizkih temperaturah so zasedena vsa stanja do Fermijeve energije EF , nad njo paso prazna. V £istem polvodniku je EF na sredini med valen£nim in prevodnim pasom,z dodajanjem donorskih primesi pa se pribliºuje prevodnemu pasu. e je koncentracijaprimesi dovolj velika, lahko EF tudi pri absolutni ni£li pride nad dno prevodnega pasu.Tak degenriran polvodnik se obna²a podobno kot kovina.

90


e polvodnik ni v termi£nem ravnovesju, na primer v p-n spoju, skozi katerega te£eelektri£ni tok, lahko vpeljemo pribliºni Fermijevi energiji EFv in EFp posebej za valen£niin prevodni pas. Tak pribliºek je dober, kadar je £as, v katerem preidejo vzbujeni elektroniz vi²jih energij na dno prevodnega pasu, dosti kraj²i od £asa prehoda iz prevodnega vvalen£ni pas. Ta pogoj je v polvodnikih, ki jih uporabljamo za laserje, navadno zelo dobroizpoljnen. Preko trkov s fononi elektroni preidejo v dno prevodenga pasu v pikosekundah,za prehod v valen£ni pas, to je za rekombinacijo elektrona z vrzeljo, pa so potrebnenanosekunde.Neravnovesno stanje, ki ga lahko opi²emo z pribliºnima Fermijevima energijama, do-

bimo, kadar v degeneriran polvodnik p-tipa z dovolj veliko hitrostjo dodajamo elektronev prevodni pas. To lahko storimo preko p-n spoja, na katerem je napetost v prevodnismeri. Tedaj dobimo poloºaj, ki ga kaºe slika ??. Naj bo Np gostota elektronov v pre-vodnem pasu, I elektri£ni tok skozi spoj, τ pa £as za rekombinacijo elektrona in vrzeli.Velja

Np

τ=

I

eV, (6.8.2)

kjer je V volumen, v katerem se elektroni nahajajo. Po drugi strani je Np podana kotintegral gostote elektronskih stanj v prevodnem pasu ρp(E) = 1/(2π2)(2mp/~2)3/2(E −Eg)

1/2, kjer je mp efektivna masa prevodnih elektronov, in Fermi- Diracove funkcije:

Np =

ˆ ∞

0ρp(E)fp(E) dE (6.8.3)

Iz ena£b 6.8.2 in 6.8.3 lahko izra£unamo vrednost EFp pri poljubni temperaturi. PriT = 0 je integral preprost in je

EFp(T = 0) = (2π2)2/3~2

2mpN2/3

p (6.8.4)

EFp je odvisna od toka skozi spoj in od temperature, kar je pomebno za delovanjepolvodni²kega laserja.Naj na p-n spoj vpada svetlobni snop s frekvenco ω, ki je nekoliko nad Eg/~. Svetloba

povzro£a prehode med stanji z energijo Ep v prevodnem pasu in med stanji z energijo Ev

v valen£nem pasu, kot kaºe slika ??. Ta stanja se lahko razlikujejo po valovnem vektorju,zato moramo verjetnost za stimuliran prehod najprej zapisati za dolo£en valovni vektor ~k,nato pa se²teti po vseh moºnih ~k. V primeru izotropnih elektronskih pasov je verjetnostza prehod odvisna le od velikosti ~k. Uporabimo zlato pravilo, kjer upo²tevamo, daje verjetnost za zasedenost gornjega stanja fp(Ep) in verjetnost, da je spodnje stanjenezasedeno, 1− fv(Ev):

ws(k) =2π

~|Hpv|2δ(Ep − Ev − ~ω)fp(Ep)[1− fv(Ev)] , (6.8.5)

kjer je Hpv = |p〉x|v〉E matri£ni element za dipolni prehod v svetlobnem polju E medprevodnim in valen£nim pasom. Podobno je verjetnost za absorpcijo

wa(k) =2π

~|Hpv|2δ(Ep −Ev − ~ω)fv(Ev)[1− fp(Ep)] . (6.8.6)

91

6 Primeri laserjev

Razliko med ²tevilom spontanih emisij in absorpcij na enoto volumna dobimo, £erazliko gornjih verjetnosti se²tejemo po vseh k:

Npv −Nvp =

ˆ[ws − wa]ρ(k) dk

=2

π~|Hpv|2

ˆ[fp(Ep)− fv(Ev)]δ(Ep − Ev − ~ω)k2 dk . (6.8.7)

Upo²tevli smo, da je gostota stanj ρ(k) = 1/π2k2dk. tejmo energijo od vrha valen£negapasu. Energija elektronov blizu dna prevodnega pasu je Eg + 1/(2me)~2k2, vrzeli privrhu prevodnega pasu pa 1/(2mh)~2k2, kjer sta me in mh efektivni masi elektronov invrzeli. Tako je

Ep − Ev = ~ω′ =~2k2

2(1

mh+

1

me) + Eg =

hbar2k2

2mr+ Eg , (6.8.8)

kjer smo zmr = memh/(me+mh) ozna£ili reducirano maso lektrona in vrzeli. Iz zadnjegaizraza dobimo

k2 =2mr

~(ω′ − Eg

~) (6.8.9)

in

k2dk =1

2(2mr

~)3/2

√ω′ − Eg

~) . (6.8.10)

V ?? preidemo z integracije po k na ω′ in dobimo z upo²tevanjem lastnosti delta-funkcije

Np −Nv =1

π~2(2mr

~)3/2

√ω − Eg

~[fp(Ep)− fv(Ev)] . (6.8.11)

Zaradi 6.8.9 je ²e Ep = mr/me(ω − Eg/~) + Eg in Ev = mr/mh(ω − Eg/~).Dobljeni izraz je sorazmeren z oja£enjem vpadne svetlobe v polvodniku. Oja£enje bo

o£itno realno le, £e bo ω ve£ja od Eg/~. Pri niºjih frekvencah seveda sploh ni prehodovin polvodnik je prozoren. Da bomo imeli res oja£enje in ne absorpcije, mora biti tudifp(Ep) > fv(Ev), torej

1

e(Ep−EFp) + 1>

1

e(Ev−EFv) + 1. (6.8.12)

Gornja neena£ba bo veljala, £e bo

~ω < EFp − EFv . (6.8.13)

To je osnovni pogoj za oja£evanje v polvodnikih. Oja£ujejo se lahko tiste frekvence, kiso nad energijsko ²pranjo Eg in pod razliko pribliºnih neravnovesnih Fermijevih energijza oba pasova. Oja£enje kot funkcijo frekvence kaºe slika ??.Vrednosti EFp in EFv sta odvisni tako od toka skozi p-n spoj kot od temperature. Z

njima je povezan tudi vrh oja£enja, kar je mogo£e izkoristiti za spreminjanje frekvencepolvodni²kega laserja s tokom ali temperaturo.

92


Oja£enja v polvodni²kih laserjih je precej veliko, lahko ve£ od 100 cm−1. Zato jemogo£e dobiti delujo£ laser ºe v zelo kratkem aktivnem volumnu le nekaj mikronov.Obi£ajni polvodni²ki laserji so dolgi okoli 0.25 mm.Najpomembnej²i polvodni²i laserji so osnovani na na sistemu GaAs z Ga1−xAlxAs

in na sistemu Ga1−xInxAs1−yPy. Prvi delujejo od 750 nm do 880 nm, odvisno od xin koncentracije primesi, drugi pa med 1,1 µm in 1,6 µm in so posebno pomembni zaopti£ne komunikacije, ki najve"krat delujejo pri 1,3 µm in 1,55 µm. Poglejmo si delovanjegalij-arsenidnega laserja nekoliko pobliºe.Galij-arsenidni laser je narejen iz plasti GaAs in Ga1−xAlxAs z ustreznimi primesmi,

kot kaºe slika ??. Take plastne strukture je naredijo z epitaksialno rastjo. Pri tem jepomembno, da so medatomske razdalje plasti £im bolj enake, da na meji dveh plasti ninapak. Ga1−xAlxAs ima energijsko ²pranjo med vvalen£nim in prevodnim pasom nekolikove£jo kot £isti GaAs, poleg tega ima tudi nekoliko ve£ji lomni koli£ni. Obe lastnosti stapomembni za delovanje laserja. Aktivna plast je tanka, okoli 0,2 µm debela plast £istegaGaAs. Potek energije pasov preko aktivne plasti z napetostjo v prevodni smeri kaºe slika??. Elektroni te£ejo iz n-tipa Ga1−xAlxAs v prevodni pas aktivne plasti GaAs, vrzeli paiz p Ga1−xAlxAs v valen£ni pas. Zaradi manj²e energijske ²pranje so tako elektroni kotvrzeli ujeti, da ne morejo difundirati iz aktivne plasti in je zato koncentracija elektronovv prevodnem pasu in vrzeli v valen£nem ºe pri razmeroma majhnih tokovih lahko velikain je izpolnjen pogoj za oja£evanje svetlobe.Zaradi manj²ega lomnega koli£nika GaAs od Ga1−xAlxAs je laserska svetloba ujeta v

aktivni plasti, podobno kot v opti£nih vlaknih, kot kaºe slika ??. To dodatno zmanj²ujeizgube, ker prepre£uje absorpcijo v podro£ju izven aktivne plasti, kjer ni izpolnjen pogojza oja£evanje.Resonatorska zrcala so navadno kar gladko odklane stranske ploskve polvodni²kega

kristala, ki imajo zaradi velikega lomnega koli£nika (n = 3, 6) dovolj veliko reektivnostza u£inkovito delovanje laserja.Pri strukturi, ki jo kaºe slika ??, je aktivna plast v pre£ni smeri neomejena, zato

lahko hkrati sveti mnogo pre£nih nihanj, zaradi £esar je slab²a pre£na koherenca snopain delovanje laserja nestabilno. To slabost popravijo tako, da plasti ob straneh pojedkajo,da ostane le kakih 10 µm ²irok greben, kot kaºe slika ??. Odjedkani material nadomestijos £istim Ga1−xAlxAs, tako da je aktivni volumen od vseh strani obdan s snovjo z ve£jimlomnim koli£nikom. S tem dobimo pravokoten svetlobni vodnik, v katerem je ujet laserskisnop. Ob primerni izbiri deleºa aluminija dobijo take lomne koli£nike, da je v laserjumoºen le osnovni snop brez vozlov v pre£ni smeri. Izhodni snop iz laserja je sevedaelipti£en s presekom okoli 1 µm v navpi£ni in 10 µm v pre£ni smeri. To da v ve£jioddaljenosti snop z divergenco kakih 70o v navpi£ni in okoli 5o v pre£ni smeri. epotrebujemo cilindri£no simetri£en snop, ga moramo popraviti z ustreznimi cilindri£nimile£ami (Naloga).Galij-arsenidni laser, kakr²en je prikazan na sliki ?? lahko deluje ºe pri £rpalnem toku

nekaj miliamperov. Tipi£ni tokovi so med 50 mA in 100 mA. Ker se velik deleº elektonovin vrzeli rekombinira s sevanjem v aktivni plasti, je izkoristek GaAs laserjev velik, tudipreko 3010 mW. Zaradi velike gibljivosti elektronov in vrzeli v GaAs je mogo£e tok in stem izhodno svetlobno mo£ tudi zelo hitro modulirati, do nekaj GHz, kar je pomembno

93

6 Primeri laserjev

za uporabo v opti£nih komunikacijah.

94

7 Modulacija svetlobe

V opti£nih napravah pogosto ºelimo spreminjati lastnosti svetlobnega valovanja. Nekajtakih primerov smo ºe sre£ali pri obravnavi laserja, kjer smo za preklop kvalitete laserjapotrebovali element, ki mu je mo£ hitro spreminjati prepustnost. Pri opti£nem pre-na²anju in obdelavi informacij je moºnost modulacije amplitude, frekvence ali faze svet-lobnega vala z elektri£nim signalom osnova skoraj vsake naprave.Opti£ni modulatorji izkori²£ajo nekaj pojavov, od katerih sta najpomembnej²a elek-

troopti£ni in elstoopti£ni pojav. Pri prvem doseºemo spremembo lomnega koli£nika snoviz elektri£nim poljem, pri drugem pa z deformacijo, ki jo navadno dobimo v zvo£nem valu,zato takim modulatorjem pravimo akustoopti£ni. Poseben zelo pomemben primer elek-troopti£nih modulatorjev predstavljajo naprave na osnovi teko£ih kristalov.

7.1 Elektroopti£ni pojav

V zunanjem elektri£nem polju, katerega frekvenca naj bo majhna v primeri z opti£nofrekvenco, se opti£ni dielektri£ni tenzor lahko spremeni. Omejitev na nizko frekvenco jepotrebna zato, da opti£no polje ²e vedno lahko obravnavamo linearno. Kako je, kadarto omejitev opustimo, si bomo ogledali v prihodnjem poglavju o nelinearni optiki, kamorpravzaprav formalno sodi tudi elektroopti£ni pojav.Iz zgodovinskih razlogov zapi²imo raje spremembo dielektri£nemu inverznega tenzorja

b = ε−1. Spremembo komponente bij lahko zapi²emo kot poten£no vrsto zunanjega polja:

δbij = rijkEk + qijklEkEl . (7.1.1)

Prvi £len, linearen z ozirom na zunanje polje, opisuje linearni elektroopti£ni pojav. Ten-zor tretjega ranga rijk, ki lastnost snovi, imenujemo kar elektroopti£ni tenzor ali tudiPockelsov tenzor. Kvadratnemu elektroopti£nemu pojavu pravimo Kerrov pojav. Zauporabo trdnih kristalov je pomemben predvsem linearni £len, zato se v nadaljevanju zaKerrov pojav ne bomo zanimali.Preden si nekoliko pobliºe ogledamo Pockelsov tenzor, zapi²imo ²e, kako se z δbij

izrazijo spremembe komponent dielektri£nega tenzorja. Vzemimo tak koordinatni sistem,da bo nemoten dieletkri£ni tenzor v njem diagonalen. Ker so spremembe majhne, velja

(b+ δb)−1 = [b(1 + b−1δb)]−1 = (1 + b−1)−1b−1 ' b−1 − b−1δb b−1 , (7.1.2)

torejδεij = −εikδbklεlj = εiiεjjδbij . (7.1.3)

95


Seveda je povsem vseeno, kako deniramo elektroopti£ni pojav, preko b ali ε. Obi£ajnadenicija Pockelsovega tenzorja ima za posledico, da v izrazih, kjer nastopa spremembadielektri£nega tenzorja, nstopajo ²e nemotene vrednosti ε ali lomnih koli£nikov.Simetrija pomembno vpliva na obliko tenzorjev, ki popisujejo lastnosti snovi. Pock-

elsov tenzor je tretjega ranga, zato je lahko razli£en od ni£ le v takih kristalih, katerihsimetrijska grupa ne vsebuje inverzije. Pri inverziji namre£ elektri£no polje spremenipredznak. Komponente simetri£nega tenzorja drugega ranga se obna²ajo kot produktikoordinat, b12 se transformira na primer enako kot xy, zato je bij na inverzijo neob£utljiv.Pockelsov tenzor rijk je lastnost snovi, zato se v primeru, da je inverzija simetrijski el-ement kristala, ne sme spremeniti. Od tod sledi, da mora biti rijk identi£no enak ni£.Kvadratni Kerrov pojav pa je dovoljen v vseh snoveh.Simetrija tudi v primeru, ko nimamo centra inverzije, navadno mo£no zmanj²a ²tevilo

neodvisnih komponent rijk. Pockelsov tenzor je po deniciji simetri£en v prvih dvehindeksih, zato ima v najmanj simetri£nem primeru triklinskega kristala 18 neodvisnihkomponent, v kristalih z vi²jo simetrijo pa manj. Za primer poglejmo, kako ²tiri²tevnasimetrijska os zmnanj²a ²tevilo komponent.Naj bo simetrijska os v smeri z. Elektri£no polje naj bo najprej paralelno osi. Rotacija

za π/2 je simetrijska operacija in prevede os x v y, zato r113 = r223. Poglejmo zvezo

δb12 = r123E3 . (7.1.4)

Pri rotaciji za π/4 gre x v y, y pa v −y, zato gre δb12 v −δb12 in dobimo

−δb12 = r123E3 . (7.1.5)

Zvezi 7.1.4 in7.1.5 lahko veljata le, £e je r123 = 0. Rotacija za π prevede zvezo δb13 =r133E3 v −δb13 = r133E3, zato je tudi r133 = 0 in z ozirom na enakovrednost x in yr233 = 0.Naj bo sedaj polje v smeri osi x. Pri rotaciji za π gre E1 v −E1, δb11 se ne spremeni

in je r111E1 = −r111E1, torej r111 = 0. Rotacija za π/2 zvezo δb23 = r231E1 prevede v−δb13 = r231E2. Po deniciji pa je δb13 = r132E2, zato velja r231 = −r132.Podobno ravnamo ²e s preostalimi komponentami in tako ugotovimo, da imamo v

tetragonalni grupi, ki vsebuje le ²tiri²tevno os, ²tiri neodvisne komponente elektroop-ti£nega tenzorja: r113 = r223, r333, r231 = −r132 in r131 = r232, vse ostale komponente paso ni£. Oblika razli£nih tenzorjev pri razli£nih kristalnih simetrijah je dana na primer v?? ali ??.V literaturi pogosto uporabljajo skraj²an zapis za elektroopti£ni tenzor. Prva dva

indeksa, v katerih je rijk simetri£en, zdruºijo v enega z vrednostmi od 1 do 6 po dogovoruxx = 1, yy = 2, zz = 3, yz = 4, zx = 5 in xy = 6. Tako postane rijk matrikavelikosti 6 × 3, simetri£ni tenzor drugega ranga bij pa ²etkomponenten vektor. Takzapis je prikladen, se pa v ra£une hitro prikradejo napake, posebej ²e pri transformacijahkoordinat, zato je ra£unati bolje v normalnem tenzorskem zapisu.

96

7.2 Amplitudna modulacija

7.2 Amplitudna modulacija

Poglejmo sedaj, kako lahko elektroopti£ni pojav izkoristimo za modulacijo amplitudesvetlobnega snopa. Osnovna zamisel je, da z elektri£nim poljem tako spremenimo dvolom-nost primerno izbranega in odrezanega kristala, da se spremeni polarizacija vpadnegavala, zaradi £esar se spremeni tudi svetlobna mo£, ki jo prepusti analizator za kristalom.Poglejmo si to kar na primerih.Vzemimo kristal s kubi£no simetrijo 43m, na primer ZnTe. Elektroopti£ni tenzor ima

le eno neodvisno komponento

r123 = r231 = r312 = r . (7.2.1)

Dieletktri£ni tenzor brez polja je seveda izotropen, dvolomnosti ni. Elektri£no poljevzdolº ene od osi, na primer z, povzro£i spremembo δε12 = −ε2rE3, zaradi £esar postanekristal dvoosen z opti£nima osema v ravnini xy, torej pravokotno na ~E. To ni najboljugodno. Bolje je izbrati polje v smeri (1,1,1):

~E =E0√3(1, 1, 1) , (7.2.2)

to je vzdolº tri²tevne osi, ki ostane tudi pod poljem. Opti£ne lastnosti so tedaj enake kotv trigonalnem kristalu, to je kristal postane enoosen z opti£no osjo vzdolº ~E. Dielektri£nitenzor dobi obliko

ε =[ε], δε =

E0√3ε2r . (7.2.3)

Da bomo znali izra£unati, kako se po takem kristalu ²iri vpadni svetlobni snop, moramogornji dielektri£ni tenzor diagonalizirati. V na²em primeru je to preprosto, saj smo ºeugotovili, da predstavlja enoosno sredstvo z opti£no osjo vzdolº ~E. Uvedimo torej novekoordinate z osjo z′ vzporedno z ~E:

z′ =1√3(x+ y + z) . (7.2.4)

V ravnini, pravokotni na z′ so vse smeri enakovredne, zato je vseeno, kako izberemo noviosi x′ in y′, le pravokotni morata biti na z′ in med seboj. Vzemimo

x′ =1√2(y − z)

y′ =1√6(−2x+ y + z) . (7.2.5)

Matrika prehoda iz starega v novi sistem je torej

R =[0]

(7.2.6)

in dielektri£ni tenzor v novem sistemu

ε′ = RεR−1 =[ε+ δε

]. (7.2.7)

97


Iz oblike ε′ razberemo, da je redni lomni koli£nik, to je koli£nik za svetlobo, ki je polar-izirana pravokotno na z′,

nr =√ε+ δε ' n0(1 +

δε

2ε) = n0 +

n30rE0

2√3

, (7.2.8)

kjer je n0 =√ε nemoteni lomni koli£nik. Izredni lomni koli£nik, za katerega je polar-

izacija vzporedna z osjo z′, je

ni = n0 −n30rE0√

3. (7.2.9)

Odreºimo iz obravnavanega kristala kvader z robovi vzdolº osi x′, y′ in z′. Postavimoga med prekriºan polarizator in analizator tako, da se svetloba ²iri vzdolº osi x′, kotkaºe slika ??. Polarizator naj tvori z osjo z′ kot 45o. Svetlobni val, ki vpada na kristal,moramo razdeliti na redni in izredni del. Po prehodu skozi kristal nastane med njimafazna razlika

φ = k0L(ni − nr) =

√3πn30rLU

λd, (7.2.10)

kjer je U napetost na kristalu.Polarizator na izhodni strani prepusti le projekcijo obeh lastnih polarizacij:

Eizh =1√2Evh(

1√2− 1√

2eiφ) , (7.2.11)

kjer je Evh amplituda svetlobnega vala za vhodnim polarizatorjem. Gostota prepu²£enegasvetlobnega toka bo torej

jizh =1

4jvh|1− eiφ|2 = 1

2jvh(1− cosφ) . (7.2.12)

Ko je napetost na kristalu ni£, je φ = 0 in je tudi jizh =), kot pri£akujemo, saj staanalizator in polarizator prekriºana, kristal pa je brez polja opti£no izotropen. Najve£joprepustnost dobimo, ko je φ = π. V ZnTe je r123 = 4 · 10−12 m/V in n = 3. Naj bokristal dolg 1 cm. Potrebno elekri£no polje, da bo φ = π, z drugimi besedami, da bokristal deloval kot plo²£ica λ/2, je pri valovni dol"ini 600 nm

Eλ/2 =Uλ/2

d=

λ√3n3rL

= 3, 2 · 105 V/m . (7.2.13)

Napetost, da popolnoma odpremo modulator, je torej precej velika, pri debelini kistala1 cm je potrebnih 3000 V. Velike delovne napetosti so zna£ilne za kristalne elektroopti£nemodulatorje in so njihova glavna slaba stran.V£asih ºelimo, da je zveza med modulacijsko napetostjo in izhodno gostoto toka lin-

earna. Za to mora modulator delovati v okolici φ = π/2. Namesto visoke stalne napetostilahko uporabimo med polarizatorjem in kristalom ²e plo²£ico λ/4, ki nam da zahtevanistalni fazni premik med rednim in izrednim valom.V praksi se pogosto uporabljajo kristali, ki imajo simetrijo niºjo od kubi£ne in so

dvolomni ºe brez zunanjega polja. Zato si kot primer poglejmo ²e modulator s kristalom

98

7.3 Fazna in frekven£na modulacija

kalijevega dihidrogen fosfata (KH2PO4). Je tetragonalne simetrije 42m in ima dve neod-visni komponenti Pockelsovega tenzorja: r123 = 10−11 m/V in r231 = r132 = 810−12 m/V.V uporabi sta dve geometriji, pri eni je opti£na os, to je ²tiri²tevna os kristala, vzporednas smerjo svetlobnega vala in je tudi zunanje modulacijsko polje v isti smeri, kar je manjugodno, pri drugi pa sta opti£na os in zunanje polje pravokotna na smer ²irjenja svetlobe,kot kaºe slika ??. Elektri£no polje v smeri z povzro£i, da se pojavi izvendiagonalna kom-ponenta dielektri£nega tenzorja δε12 = ε21r123E in lastni vrednosti dielektri£nega tenzorjav ravnini xy nista ve£ enaki. Ena lastna vrednost postane ε1 + δε z lastno smerjo x′ 45o

glede na kristalno os x, druga pa ε1−δε z lastno smerjo y′ -45o na os x. Kristal odreºemotako, da se svetloba ²iri vzdolº osi y′. Tedaj se zaradi zunanjega polja lomni koli£nik zasvetlobo, polarizirano v smeri x′ spremeni za n3rr123E/2 in je fazna razlika med obemalastnima polarizacijama (smeri x′ in z) po prehodu skozi kristal

φ = k0L

[(nr − ni) +

n3r2r123E

], (7.2.14)

kjer sta nr in ni redni in izredni lomni koli£nik nemotenega kristala. Ker je kristal ºesam po sebi dvolomen, povzro£i zunanje polje le majhno dodatno fazno razliko. Dolºinakristala mora biti taka, da velja k0L(nr−ni) = 2Nπ, £e naj bo modulator brez zunanjegapolja zaprt. Pri tem nastopi teºava. Pogoj je lahko zaradi temperaturnega raztezanjain odvisnosti lomnih koli£nikov od temperature izpolnjen le pri eni temperaturi, polegtega bi bil tak modulator tudi zelo ob£utljiv na to, da se svetloba ²iri natanko v smeri y′.Zato dvolomnost nemotenega kristala kompenziramo tako, da vzamemo dva enako dolgakristala in ju postavimo zapored tako, da sta opti£ni osi med seboj pravokotni, kot kaºeslika ??. Modulacijska napetost na drugem kosu mora imeti nasprotni predznak. Tedajse fazna razlika med obema polarizacijama zaradi naravne dvolomnosti od²teje, zaradimodulacijske napetosti pa se²teje.

7.3 Fazna in frekven£na modulacija

Amplitudno modulacijo svetlobe smo dobili tako, da smo z zunanjim poljem spreme-nili fazi lastnih valov, zaradi £esar je postalo linearno polarizirano vpadno valovanje poprehodu kristala elipti£no polarizirano. Spremembo polarizacije smo z analizatorjemprevedli v spremembo amplitude. V£asih pa ºelimo modulirati fazo vpadne svetlobe.Dobimo jo tako, da odstranimo izhodni polarizator, vhodno polarizacijo pa usmerimotako, da je vpadna svetloba lastno valovanje, za katero je sprememba lomnega koli£nikazaradi modulacijskega polja ve£ja. V primeru ZnTe, ki smo ga obravnavali v prej²njemrazdelku, je to izredno valovanje, polarizirano v smeri modulacijskega polja. Dodatnafaza na izhodni strani kristala je

φ = k0L(ni − n0) =ωn30rLU√

3cd. (7.3.1)

e je sprememba faze linearna funkcija £asa, to je, £e jo lahko zapi²emo v oblikiφ = ω1t+ φ0, predstavlja koecient ω1 spremembo frekvence vpadne svetlobe. Linearno

99


nara²£ajo£a modulacijska napetost da torej spremembo frekvence, kar v optiki pogostopotrebujemo. Dosegljive spremembe frekvence ω1 so seveda dokaj majhne, do nekaj stoMHz. Omejene so z moºno hitrostjo spreminjanja napetosti. Napetost seveda tudi nemore neomejeno nara²£ati. Kadar se napetost vra£a na ni£, dobimo frekven£ni premik vnasprotni smeri, ki pa ga lahko zanemarimo, £e je £as vra£anja kratek primeri s £asomnara²£anja.Poglejmo ²e, kak²en je spekter svetlobe, £e je fazna modulacija periodi£na:

U = Um sinωmt . (7.3.2)

Polje izhodne svetlobe bo tedaj

Eizh = Evh cos(ωt+ δ sinωmt) , (7.3.3)

kjer je δ = ωn30rUmL/(√3cd). Z uporabo identitet

cos(δ sinx) = J0(δ) + 2J2(δ) cos 2x+ . . .

sin(δ sinx) = 2J1(δ) sinx+ 2J3 sin 3x+ . . . (7.3.4)

je izhodno polje mogo£e zapisati v obliki

Eizh = Evh[J0(δ) cosωt± J1(δ) cos(ω ± ωm)t+

+J2(δ) cos(ω ± 2ωm)t± . . .] (7.3.5)

Periodi£na fazna modulacija torej da v spektru stranske pasove, odmaknjene od os-novne frekvence ω za modulacijsko frekvenco. Njihova velikost je podana s kvadratomBesselovih funkcij parametra δ. e je ta majhen, se lahko zadovoljimo le s prvim £lenom.

7.4 Modulacija pri visokih frekvencah

Pogosto je pomembna hitrost elektroopti£ne modulacije. Zato polejmo, kaj se zgodi privisokih modulacijskih frekvencah.Elektroopti£ni pojav pri nizkih frekvencah ima dva prispevka: direktnega, kjer zunanje

polje vpliva neposredno na elektronsko polarizabilnost, in posrednega preko piezoelek-tri£nega pojava. Snovi, ki nimajo centra inverzije, so tudi piezoelektri£ne in se v zunanjemelektri£nem polju deformirajo. Deformacija pa povzro£i spremembo lomnega koli£nika,o £emer bomo podrobneje govorili v enem od naslednjih oddelkov. Celotno spremembotenzorja bij lahko zapi²emo

δbij = r∗ijkEk + pijlmSlm

= r∗ijkEk + pijlmπlmkEk (7.4.1)

Tu je Slm = πlmkEk piezoelektri£no povzro£ena deformacija. Pri nizkih frekvencahsta oba prispevka primerljivo velika in je efektivni elektroopti£ni tenzor rijk = r∗ijk +

100

7.5 Elastoopti£ni pojav

pijlmπlmk. Pri dovolj velikih frekvencah deformacija kristala ne more ve£ slediti modu-lacijski napetosti in ostane le direktni prispevek r∗ijk. To se zgodi nad akusti£nimi reso-nancami kristala. Pri akusti£nih resonancah, to je, kadar modulacija v kristalu vzbudistoje£e zvo£no valovanje, pa se piezoelektri£ni prispevek resonan£no pove£a.Pogoj za akusti£no resonanco je, da je dimenzija kristala mnogokratnik polovice val-

ovne dolºine akusti£nega vala v kristalu. Uporabne dimenzije kristalov so reda velikosticentimeter, hitrost zvo£nih valov je okoli 5000 m/s, tako da dobimo resonance v po-dro£ju od nekaj sto kHz do nekaj deset MHz. Mogo£e jih je tudi izkoristiti za pove£anjeelektroopti£nega efekta pri izbrani frekvenci.Pri visokih frekvencah postane pomembna tudi elektri£na vezava modulatorja. Kristal

predstavlja neko kapacitivno breme. Njegova impedanca pada z rasto£o frekvenco, zatoje vedno ve£ji del padca napetosti na notranjem uporu izvora napetosti. Pomagamo silahko tako, da vzporedno s kristalom veºemo ²e tuljavo, tako da je resonan£na frekvenca1/(LtC) nastalega nihajnega kroga enaka ºeljeni modulacijski frekvenci ωm. Tedaj jeve£ina padca napetosti na kristalu in tuljavi. Da resonanca ni preostra in da imamo navoljo dovolj ²irok pas modulacijskih frekvenc, veºemo vzporedno s kristalom ²e upor zupornostjo R. irina modulacijskega pasu je

∆ωm =1

RC. (7.4.2)

Na uporu se tro²i mo£

P =1

2

U2

R=

1

2U2C∆ωm =

εε0La

2dU2C∆ωm , (7.4.3)

kjer je a velikost kristala v pre£ni smeri. Naj bo U ravno napetost, ki da fazno razlikoπ. Potem dobimo z uporabo ena£be 7.2.13

P =A

L

εε0∆ωmλ2

3n60r2

, (7.4.4)

kjer je A pre£ni presek kristala. Potrebna mo£ je odvisna od lastnosti modulatorja in²irine modulacijskega pasu. Pri ²irini modulacijskega pasu 1 MHz in preseku kristala1 cm2 je potrebna mo£ nekaj deset W, kar je za visokonapetosten in hiter izvor ºe znatnamo£.

7.5 Elastoopti£ni pojav

Dielektri£ne lastnosti in lomni koli£nik so odvisne tudi od deformacije snovi. Podobno kotpri elektroopti£nem pojavu lahko spremembo obratnega dielektri£nega tenzorja zapi²emo

δbij = pijklSkl . (7.5.1)

Skl je tenzor defomacije snovi:

Skl =1

2

(∂uk∂xl

+∂ul∂xk

), (7.5.2)

101


pijkl pa elastoopti£ni tenzor. Ta je razli£en od ni£ v vsaki snovi, ker povezuje dvasimetri£na tenzorja drugega ranga. Popisuje tudi spremembo dielektri£ne konstante inlomnega koli£nika zaradi spremembe gostote snovi. Je simetri£en v prvem in drugem paruindeksov, tako da ima v najbolj splo²nem primeru 36 neodvisnih komponent. Simetrijadanega kristala seveda to ²tevilo zmanj²a.Podobno kot pri elektroopti£nem pojavu lahko iz 7.5.1 izrazimo spremembo dielek-

tri£nega tenzorjaδεij = −εiiεjjpijklSkl , (7.5.3)

kjer smo ºe predpostavili, da je nemoteni ε diagonalen.Dvojni lom, ki se pojavi v deformirani snovi, izkori²£amo za ²tudij mehanskih napetosti

v modelih, ki so izdelani iz prozorne plasti£ne snovi. Nas bo v nadaljevanju zanimal uklonsvetlobe na periodi£ni modulaciji lomnega koli£nika, ki nastane zaradi zvo£nih valov vsnovi.

7.6 Braggov uklon na zvo£nih valovih

V plasti prozorne snovi vzbudimo stoje£e zvo£no valovanje. V zgo²£ini je lomni koli£niknekoliko ve£ji, zato je opti£na pot na takem mestu skozi plast dalj²a. Ravno svetlobnovalovanje, ki pada na plast, po izstopu iz plasti ne bo imelo ve£ povsod enake faze, valovno£elo bo periodi£no modulirano s periodo valovne dolºine zvoka. V veliki oddaljenosti odplasti bomo poleg osnovnega snopa dobili ²e uklonjene snopa v smereh, za katere velja

Λ sin θ = ±2Nπ , (7.6.1)

kjer smo z Λ ozna£ili valovno dolºino zvoka v snovi. Zgo²£ine in razred£ine izginejovsake pol zvo£ne periode, zato je tudi intenziteta uklonjenih snopov modulirana z dvojnofrekvenco zvoka.V splo²nem je deleº uklonjene svetlobe neuporabno majhen. Znaten postane le tedaj,

kadar je za enega od uklonjenih valov izpolnjen Braggov pogoj, to je, kadar velja

~k0 ± ~q = ~k1 , (7.6.2)

kjer je ~k0 valovni vektor vpadne svetlobe, ~k1 valovni vektor uklonjenega svetlobnegasnopa, ~q pa valovni vektor zvo£nega vala. Znak plus velja, kadar potuje zvok protiprojekciji ~k0 na ~q. Ena£ba 7.6.2 je pogoj za ohranitev gibalne koli£ine fotona pri sipanjuna zvo£nem valu. Lahko jo prepi²emo ²e nekoliko druga£e. Frekvenca zvo£nega vala jedosti niºja od frekvence svetlobe, zato se frekvenca svetlobe pri sipanju le malo spremeniin sta veck0 in ~k1 po velikosti skoraj enaka. Tedaj je q = 2k0 sin θB/2 (glej sliko 7.2.2),od koder imamo Braggov pogoj v obliki

2Λ sinθB2

= λ0 . (7.6.3)

Obenem mora biti vpadni kot na zvo£ni val enak izhodnemu, torej na zvo£nem valuse Braggovo sipana svetloba zrcalno odbije. Razmere so povsem analogne Braggovemu

102


sipanju rentgenske svetlobe na kristalnih ravninah. Kadar je izpolnjen Braggov pogoj,je mogo£e dose£i, da se vsa vapdna svetloba siplje, kot bomo pokazali nekoliko kasneje.e je zvo£ni val potujo£, kar smo v gornjem razmi²ljanju ºe privzeli s tem, ko smo mu

pripisali natanko dolo£en valovni vektor ~q, se spremeni tudi frekvenca sipanega vala zaradiDopplerjevega premika pri odboju zvo£nem valu, ki potuje s hitrostjo vz. Upo²tevatimoramo le projekcijo na smer vapdne in odbite svetlobe, zato je

∆ω

ω= ±2vz sin θB/2

c= ±2ΩΛ sin θB/2

c= ±Ω

ω; . (7.6.4)

Upo²tevali smo, da velja Braggov pogoj 7.6.3. Sprememba frekvence sipane svetlobe jekar enaka frekvenci zvo£nega vala. To sledi tudi iz zahteve, da se mora pri sipanju nazvo£nem valu ohraniti energija vpadnega fotona in kvanta zvo"nega valovanja - fonona, kise pri sipanju absorbira (znak plus, zvo£ni val potuje proti projekciji ~k0 na ~q) ali nastane.Kadar imamo v snovi stoje£e zvo£no valovanje, lahko sipanje obravnavamo kot vsoto

sipanja na dveh valovanjih z valovnima vektorjema ~q in −~q. Smer Braggovo sipanegavala je obakrat enaka, frekvenca pa se enkrat pove£a, drugi£ zmanj²a za Ω. Zato dobimoutripanje sipanega vala s frekvenco 2Ω.Braggovo sipanje svetlobe na zvo£nih valovih se uporablja v ve£ opti£nih napravah.

Najpomembnej²e je uklanjanje svetlobe iz vpadne smeri, pri £emer ima uklonjeni snop²e spremenjeno frekvenco. Z vklaplanjem in izklaplanjem zvo£nega vala, ki ga vzbu-jamo s piezoelektri£nim elementom, na katerega pritisnemo izmeni£no napetost, lahkomoduliramo intenziteto direktnega svetlobnega snopa. To potrebujemo na primer pripreklaplanju kvalitete laserskega resonatorja. S spreminjanjem zvo£ne frekvence pa lahkospreminjamo smer uklonjenega snopa, pri £emer pa smo precej omejeni s tem, da morabiti pribliºno izpolnjen Braggov pogoj.Druga uporaba je spreminjanje frekvence svetlobe. Moºne so spremembe do nekaj

sto MHz, kar je ravno primerno za uporabo v laserskih merilnikih hitrosti, kjer merimofrekvenco utripanja med svetlobo, odbito od merjenega predmeta, in referen£no svetlobo.e ima referen£na svetloba isto frekvenco kot merilni snop, ni mogo£e dolo£iti predznakahitrosti predmeta, £e pa referen£ni svetlobi nekoliko spremenimo frekvenco, dobimo utri-panje tudi tedaj, ko predmet miruje. Frekvenca utripanja se pove£a ali zmanj²a glede napredznak hitrosti predmeta.Tretja pomembna uporaba je kombinacija obeh gornjih za uklepanje faz v laserskem

resonatorju. e imamo v Braggovem elementu stoje£e zvo£no valovanje, je amplitudadirektnega snopa modulirana s frekvenco zvoka. e je frekvenca zvoka ravno enakarazmiku frekvenc laserskih nihanj, lahko dobimo uklenjene faze vzbujenih nihanj in stem kratke, periodi£ne sunke svetlobe, kot smo videli v petem poglavju.Zanimiva je tudi moºnost, da napravimo s pomo£jo Braggovega elementa hiter frekven£ni

analizator elektri£nih signalov. Shemo kaºe slika ??. Piezoelektri£ni element vzbujamoz elektri£nim siganlom, ki ima neznan spekter. Enak spekter imajo tudi vzbujeni zvo£nivalovi. Vsakemu valu dolo£ene frekvence ustreza dolo£en kot odklona svetlobnega snopa.Za Braggovim elementom postavimo le£o. Vsak delni uklonjeni snop da v gori²£ni ravninisvetlo to£ko, katere poloºaj je odvisen od kota odklona in s tem od frekvence zvo£negavala. Spekter zaznamo z vrsti£nim detektorjem. Na celo napravo lahko pogledamo tudi

103


takole: Braggova celica frekven£ni spekter zvo£nih valov prevede v prostorski spekterprepu²£ene svetlobe. Prostorski spekter svetlobe pa lahko analiziramo z le£o, ki nam vgori²£ni ravnini na desni da prostorsko Fourierovo transformacijo svetlobnega snopa nalevi strani le£e.Nismo ²e ugotovili, kolik²en je deleº uklonjene svetlobe. Re²iti moramo valovno ena£bo

v nehomogenem sredstvu, kar je dokaj teºaven problem in se moramo zate£i k pribliºkom.Ena moºnost je, da uporabimo obi£ajno uklonsko teorijo, kjer privzamemo, da lahko vplivperiodi£ne modulacije lomnega koli£nika snovi upo²tevamo s spremembo faze svetlobnegavala na izhodu iz snovi: δφ = δnk0L, kjer je L debelina plasti. (Naloga) Vendar je takra£un dober le v primeru, kadar je pre£na variacija faze majhna in je debelina L majhna.Primernej²a je metoda sklopljenih valov. Paralelen snop zvo£nega valovanja z val-

ovnim vektorjem vecq naj potuje v smeri x. irina snopa naj bo L. Nanj pod kotom φglede na os z vpada ravno svetlobno valovanje z valovnim vektorjem ~k = (k1, 0, k3) =k(sinφ, 0, cosφ). Vse valovanje, vpadno na levi zvo£nega snopa in izhodno na desni,obravnavajmo znotraj snovi, da nam ni treba upo²tevati ²e loma, ki le zaplete izraze.Zaradi periodi£ne modulacije lomnega koli£nika so ravni valovi, katerih x-komponentevalovnih vektorjev se razlikujejo za q, med seboj sklopljeni, zato njihove amplitude nisokonstantne, temve£ se v smeri z po£asi spreminjajo, kar ºelimo v razli£nih pribliºkihizra£unati.Privzemimo, da se v snovi zaradi zvo£nih valov spremeni le velikost dielektri£ne kon-

stante, ki jo lahko zapi²emo v obliki

ε = ε′ + ε1 sin(qx− Ωt) , (7.6.5)

kjer je sprememba ε1 povezana z amplitudo deformacije S0 v zvo£nem valu :ε1 = −ε2pS0.Izpustili smo indekse tenzorjev.Valovna ena£ba ima obliko

∇2E =ε′

c2∂E2

∂t2+ µ0

∂P 21

∂t2. (7.6.6)

Na levi strani smo zanemarili, da ∇ · ~E 6= 0, £e je ε funkcija kraja. Da s tem nismozagre²ili znantne napake, naj bralec ugotovi sam (Naloga). P1 = ε0ε1 sin(qx − Ωt)Epredstavlja dodatno polarizacijo snovi, ki nastane zaradi zvo£nega vala.Ena£bo 7.6.6 brez P1 re²ijo ravni valovi. U£inek £lena s P1 je, da ravnemu valu z

valovnim vektorjem ~k in frekvenco ω prime²a val z valovnim vektorjem ~k±~q in frekvencoω ± Ω. Zato i²£imo re²itve v obliki vsote ravnih valov, torej Fourierove vrste

E =∑n

An(z)ein(qx−Ωt)ei(k1x+k3z−ωt) . (7.6.7)

Zaradi sklopitve preko P1 moramo dovoliti, da so amplitude An funkcije z. e je ε1dovolj majhen, se An(z) le po£asi spreminjajo.Izra£unajmo

∇2E =∑n

−[k23 + (k1 + nq)2]An + 2ik3A

′n

ei[(k1+nq)x+k3z−(ω+nΩ)t] . (7.6.8)

104


len z A′′n lahko izpustimo, £e je le k3A′

n >> A′′n, to je, £e se An spreminjajo po£asi v

primerjavi z exp(ik3z). Vstavimo izraza 7.6.7 in 7.6.8 v valovno ena£bo 7.6.6 in zahteva-jmo, da je vsak £len vsote po n posebej enak ni£. Tako dobimo

−[k23 + (k1 + nq)2]An + 2ik3A′n =

= − ε′

c2(ω + nΩ)2[An − ε1

2iε′(An−1 −An+1) . (7.6.9)

Upo²tevamo, da je k21 + k23 = ε′(ω/c)2 = k2 in Ω = vzq. Ker je vz << c, zanemarimo£lene reda vz/c, pa dobimo

A′n + iβnAn + ξ(An+1 −An−1) = 0 , (7.6.10)

kjer jeβn =

nq

k3(k1 + nq) (7.6.11)

in

ξ =ε14ε′

k2

k3. (7.6.12)

Re²evanje sistema 7.6.10 je teºavno. Re²itve poi²£imo le v treh pomembnih limitnihprimerih. Naj bo amplituda vala, ki vpada z leve, A0(0) = A0, ostale An(0) pa ni£.Najprej privzemimo, da je Lξ << 1, da je torej ε1 majhen in debelina zvo£nega snopa

ne prevelika. Tedaj je pri vseh z in za pozitivne n An+1 << An in lahko £len An+1 vena£bi 7.6.10 ispustimo. S tem dobimo preprost sistem ena£b

A′n + iβnAn = ξAn , (7.6.13)

ki jih lahko zapored integriramo:

An(z) = ξe−iβnz

ˆ z

0An−1(z

′)eiβnz′dz′ . (7.6.14)

Podobne izraze dobimo za negativne n, to je za uklonjene valove, ki se jim frekvenca prisipanju zmanj²a.Poglejmo posebej prvi uklonjeni val z amplitudo A1. Po predpostavki, da je A±1 <<

A0, se le malo energije uklanja iz osnovnega vala in je A0(z) skoraj konstanta. Potemlahko integral v 7.6.15 izra£unamo:

A1(L) = A0ξLsinβ1L/2

β1L/2e−iβ1L/2 . (7.6.15)

A1(L) ima vrh pri β1 = 0, to je pri

q

cosφ(k sinφ+

q

2) = 0 (7.6.16)

ali2k sinφ = −q . (7.6.17)

105


Pre£na komponenta valovnega vektorja sipanega vala je tedaj

k1 + q = k sinφ− 2k sinφ = −k sinφ . (7.6.18)

Smer sipanega vala je torej pod kotom −φ glede na os z, simetri£no z vpadnim valom.e ²e ozna£imo θ = 2φ, vidimo, da predstavlja β1 = 0 ravno pogoj za Braggovo sipanjevpadnega vala.Razmere pri Braggovem sipanju je vredno pogledati ²e nekoliko podrobneje. Ker je

hitrost zvoka mnogo manj²a od hitrosti svetlobe, je Ω/c << q in sta velikosti vpadnega insipanega valovnega vektorja enaki. Komponenti x se razlikujeta za q. Kadar je Braggovpogoj izpolnjen, velja tudi da je sipani valovni vektor ~ks = ~k+ ~q, kot je razvidno iz slike?? ali kot se lahko prepri£amo s kratkim ra£unom. Braggov pogoj je torej enakovredenzahtevi, da se morajo pri sipanju ohraniti valovni vektorji. V kvantni mehaniki je ~~kgibalna koli£ina fotona, ~~q pa gibalna koli£ina kvanta zvo£nega valovanja fonona. Brag-gov pogoj je torej primer ohranitve gibalne koli£ine. e se ta ne ohranja, je sipanjeneu£inkovito in le oscilira okoli majhne vrednosti, kar opisuje faktor sin(ξL/2).Deleº mo£i uklonjenga vala je

I1I0

=

∣∣∣∣A1

A0

∣∣∣∣2 = (ξL)2(sinβ1L/2

β1L/2

)2

. (7.6.19)

Kadar je Braggov pogoj izpolnjen, je I0/I1 = (ξL)2, kar lahko velja le, dokler je ξL << 1.Da se izognem tej omejitvi, moramo upo²tevati tudi zmanj²anje mo£i vpadnega snopa.Braggov pogoj je hkrati lahko izpolnjen le za en uklonjen val, na primer n = 1. Zato so

tedaj vse ostale amplitude An, n 6= 0, 1 majhne in ne vplivajo na A1. To nam omogo£adrug pribliºek, ki je za uporabo zelo pomemben. Opustimo omejitev Lξ << 1, vendarzahtevajmo, da sta le A0 in A1 razli£ni od ni£. Sedaj A0(z) ne smemo ve£ obravnavatikot konstante. Iz sistema 7.6.10 dobimo

A′0 + ξA1 = 0

A′1 − ξA0 = 0 . (7.6.20)

Za£etni pogoji so A0(0) = A0 in A1(0) = 0. Re²itev ena£b ?? je

A0(L) = A0 cos ξL

A1(L) = A0 sin ξL . (7.6.21)

e je izpolnjen Braggov pogoj, se mo£ vpadnega vala na razdalji πξ/2 skoraj vsa preto£iv uklonjeni snop, nato pa zopet nazaj (slika ??). Za £im bolj u£inkovito delovanjeakustoopti£nega modulatorja seveda ºelimo dose£i ravno take pogoje.Razmerje med mo£jo uklonjenega in vpadnega snopa je

I1I0

= sin2(πn30pS0L

2λ cosφ

). (7.6.22)

106


kjer smo upo²tevali, da je ξ = πε1/(2n0λ cosφ) in ε1 = n40pS0, kjer je S0 amplitudadeformacije v zvo£nem valu. Izrazimo jo lahko z gostoto mo£i zvo£nega vala

jz =1

2CS2

0vz , (7.6.23)

kjer je C elasti£na konstanta snovi. Iz v2z = C/ρ izrazimo ²e C, s £emer dobimo

S0 =

√2jzρv3z

. (7.6.24)

Merilo uporabnosti neke snovi za akustoopti£ni modulator je

M =n60p

2

ρv3z. (7.6.25)

Poglejmo primer. V kremenu ρ = 2, 2 · 103 kg/m3, vz = 6000 m/s, n0 = 1, 46 inp = 0, 2, tako da jeM = 8 ·10−16 W/m2. Pri gostoti zvo£nega toka 10 W/cm2 in valovnidolºini 633 nm je za popolen prenos mo£iv uklonjeni snop L = 3 cm. Gornja gostotazvo£nega toka je kar velika in je ni prav lahko dose£i, zato so obi£ajni uklonski izkoristkinekaj manj²i od 1.Kot odklona uklonjenega vala 2φ je

2φ =q

k=

λ

n0Λ= 1, 7 · 10−3 . (7.6.26)

Kot je torej precej majhen.Opisani ra£un izkoristka uklona na zvo£nih valovih je uporaben tudi pri ra£unu izko-

ristka holograma. V primeru faznega holograma je ra£un £isto enak in nam kaºe tudirazliko med tankim in debelim hologramom, kako pa je z izkoristkom amplitudnega holo-grama, kjer je modulirana absorpcija v snovi, lahko bralec izra£una sam (Naloga).Ena£be 7.6.10 je enostavno re²iti ²e v it Raman- Nathovem pribliºku, ki sicer ni posebno

pomemben za uporabo, je pa zanimiv. Vpeljimo novo neodvisno spremenljivko ζ = 2ξz.Zveza 7.6.10 preide v

2dAn(ζ)

dζ+An+1(ζ)−An−1(ζ) =

βnξAn . (7.6.27)

len na desni lahko izpustimo, £e je

βnξ

=4nq

k

ε′

ε1(sinφ− nq

2k) << 1 , (7.6.28)

to je, £e je pri danem ε1 valovna dolºina zvoka dovolj velika v primeri z valovno dolºinosvetlobe. Iz 7.6.27 dobimo tedaj rekurzijsko zvezo za Besselove funkcije

2J′n + Jn+1 − Jn−1 = 0 (7.6.29)

in je An(z) = A0Jn(2ξz). Kadar je 2ξL ni£la J0, prvi£ je to pri 2ξL = 2.4, se vsa energijaukloni iz vpadnega snopa, vendar gre v tem primeru, ko Braggov pogoj ni izpolnjen, vmnogo uklonjenih snopov.

107


7.7 Modulacija s teko£imi kristali

Teko£i kristali so anizotropne kapljevine in so vmesna faza med obi£ajnimi izotropnimikapljevinami in kristali. Stopnja njihove urejenosti je lahko razli£na. Teko£e kristaletvorijo podolgovate ali plo²£ate molekule, vendar so za sedaj prakti£no pomembne lefaze, ki jih tvorijo podolgovate organske molekule. Tudi med njimi so bili do nedavnegav uporabi le opti£ne naprave z nematskimi teko£imi kristali, zato se zanimajmo le zanje.Obi£ajno jih tvorijo molekule z relativno togim jedrom iz dveh ali treh benzenovihobro£ev, ki imajo na koncih kraj²e ali dalj²e alifatske verige (slika ??). Teºi²£a molekulso v nematski fazi neurejena, enako kot v navadni teko£ini, osi molekul pa so v povpre£juurejene v dolo£eno smer. Smer povpre£ne urejenosti opi²emo z enotnim vektorjem ~n, kimu re£emo it direktor. Smeri ~n in −~n sta enakovredni, z drugimi besedami, molekule zenako verjetnostjo kaºejo v smeri +~n kot v −~n. Stopnja urejenosti v mikroskopski slikini prav velika, povpre£en odklon molekul od ~n je nekaj deset stopinj.Nematski teko£i kristal se obna²a kot enoosen dvolomni kristal z opti£no osjo vzporedno

z ~n. Ker je opti£na polarizabilnost benzenovih obro£ev vzdolº osi molekul precej ve£ja odpre£ne, je razlika med rednim in izrednim lomnim koli£nikom razmeroma velika, navadnomed 0,1 in 0,2.V makroskopskem vzorcu nematskega teko£ega kristala se smer ~n po vzorcu neurejeno

spreminja, £e posebej ne poskrbimo, da ima povsod isto smer. Energija takega deformi-ranega stanja je nekoliko ve£ja od energije homogenega stanja, zaradi £esar na del£ekteko£ega kristala okolica deluje z navorom, ki deluje v smeri zmanj²evanja nehonogenosti~n. Temu pojavu, zna"ilnemu za teko£e kristale, pravimo orientacijska elasti£nost. Neko-liko podrobneje je opisan v Dodatku na koncu poglavja. Vendar so ti elasti£ni navoripre²ibki, da bi uredili razseºne vzorce. Urejene vzorce, kakr²ne potrebujemo za uporabov opti£nih elementih, lahko dobimo s pomo£jo zunanjega polja ali pa v dovolj tankihplasteh, kjer mejne povr²ine ustrezno pripravimo.Zunanje elektri£no ali magnetno polje na teko£e kristale tudi deluje z navorom. Elek-

tri£na in magnetna susceptibilnost nematskega teko£ega kristala nista skalarja, temve£imata dve razli£ni lastni vrednosti, eno v za smer vzporedno z ~n, drugo za pravokotno.Zato je elektrostati£na energija odvisna od kota med zunanjim poljem vecE in ~n. Odkota odvisni del energije lahko zapi²emo v obliki

wa = −1

2ε0εa( ~E · ~n)2 , (7.7.1)

kjer je εa = ε‖ − ε⊥ anizotropni del dielektri£ne konstante. e je εa > 0, se molekulesku²ajo postaviti v smer polja, £e je εa < 0, pa pravokotno na polje.Urejen vzorec je mogo£e narediti tudi v tankih plasteh. e povr²ino, ki je v stiku s

teko£im kristalom, prevle£emo z primerno pastjo, se molekule teko£ega kristala tik obpov²ini na dolo£en na£in uredijo. Tanka plast najlona, ki jo podrgnemo v ºeljeni smeri,povzro£i, da je ~n ob povr²ini paralelen s povr²ino v smeri drgnenja. Drgnenje delomauredi verige najlona, zato se tudi molekule teko£ega kristala raje uredijo v isti smeri.Da je ~n pravokoten na povr²ino, doseºemo na primer s tanko plastjo lecitina. Ta imapolarno glavo, ki se adsorbira na stekleno povr²ino, in alifatsko verigo, ki stoji pribliºno

108

7.7 Modulacija s teko£imi kristali

pravokotno na povr²ino. Zato se tudi alifatski repi molekul teko£ega kristala uredijoenako. V obeh primerih, paralelni ali pravokotni orientaciji ob steni, se urejenost zaradiorientacijske elasti£nosti ohranja tudi stran od stene, tako da lahko brez teºav dobimourejene vzorce debeline do kakih 200 µm. Pri ve£jih debelinah so elasti£ni navori pre²ibkiin ostanejo v vzorcu defekti.Struktura teko£ekristalnega vzorca je tako odvisna od orientacijske elasti£nosti, od

robnih pogojev, ki jih dolo£imo z obdelavo mejne povr²ine, in od zunanjega elektri£negaali magnetnega polja.Preprost elektroopti£ni modulator ali kazalnik na osnovi nematskih teko£ih kristalov

lahko dobimo takole. Vzemimo vzorec teko£ega kristala med dvema stekloma, na katerihsta prozorni elektrodi. Ureditev teko£ega kristala naj bo vzporedna s povr²ino stekel.Tudi opti£na os ima isto smer. Dovolj velika napetost zasu£e ~n in s tem opti£no ospravokotno na stene, razen tik ob povr²ini. Pri debelini 10 µm je potrebna napetostnekaj voltov. Nekaj ve£ o tem preklopu najde bralec v Dodatku na koncu poglavja.Naj debelina h obravnavane plasti za izbrano valovno dolºino svetlobe ustreza pogoju

h(ni − nr) = (2N + 1)λ

2, (7.7.2)

kjer je N celo ²tevilo. Plast torej deluje kot plo²£ica λ/2. Ker je ni − nr ' 0, 1, jepotrebna debelina nekaj µm. Vzorec damo med prekriºana polarizatorja s prepustnosmerjo 45o na ~n. Plo²£ica polarizacijo svetlobe z izbrano valovno dolºino zasu£e za 90o,tako da gre svetlobe tudi skozi analizator. Ko vklju£imo napetost, se opti£na os obrne,polarizacija svetlobe se pri prehodu skozi plast ohrani in analizator je ne prepusti.Tak preklopnik ima nekaj slabih lastnosti. Prepustnost je odvisna od valovne dolºine

svetlobe in od temperature in debelina preklopnika mora biti povsod enaka. Zato se vpraksi uporablja zasukana nematska plast.Obrnimo eno od stekel za 90o, tako da sta smeri urejanja na obeh mejah med seboj

pravokotni. Tedaj se smer ~n v plasti zvezno zavrti od ene do druge povr²ine, kot kaºeslika ??. Polarizacija svetlobe, ki je ob vstopu v plast polarizirana v smeri urejanja,skozi plast pribliºno sledi smeri ~n, kot bomo pokazali nekoliko kasneje, in je ob izstopu izplasti polarizirana pravokotno na vpadno polarizacijo. Z elektri£nim poljem preklopimoopti£no os pravokotno na plast in polarizacija se ne zasu£e. Plast med prekriºanimapolarizatorjema brez polja prepu²£a svetlobo, v polju pa ne. Pri tem delovanje kazalnikani dosti odvisno niti od debeline plasti niti od valovne dolºine. Kadar ºelimo, da kazalnikdeluje v odbiti svetlobi, damo za zadnji analizator ²e odbojno povr²ino.Pri kristalnem elektroopti£nem modulatorju smo lahko dobili tudi vmesne prepust-

nosti, medtem ko s teko£imi kristali na opisan na£in lahko dobimo le zaprto in odprtostanje, vmesna stanja pa je zelo teºko kontrolirati.Pokaºimo ²e, da polarizacija v sredstvu, ki je lokalno enoosno in se opti£na os su£e

v pravokotni smeri, v dolo£enih pogojih res pribliºno sledi opti£ni osi. Poleg zasukanenematske celice je pomemben primer snovi s takimi lastnostmi holesteri£en teko£i kristal,ki je zelo podoben nematskim, le da se ~n spontano po£asi su£e okoli smeri, pravokotnena ~n.

109


Opti£na os sredstva naj leºi v ravnini xy in naj se enakomerno su£e, ko se premikamovzdolº osi z. Kot med opti£no osjo in osjo x lahko zapi²emo

φ = qz . (7.7.3)

Pri tem je 2π/q perioda sukanja opti£ne osi. Zanimajmo se le za ²irjenje svetlobe v smeriz. Tedaj potrebujemo le del dielektri£nega tenzorja v xy ravnini. Njegova oblika je

ε(z) =

[ε+ 1

2εa cos 2φ12εa sin 2φ

12εa sin 2φ ε+ 1

2εa cos 2φ

], (7.7.4)

kjer je

ε =ε‖ + ε⊥

2(7.7.5)

Valovna ena£ba za valovanje s frekvenco ω je

d2 ~E

dz2= −ω

2

c2ε(z) ~E (7.7.6)

ali v komponentah

−d2Ex

dz2= (β2 + α2 cos 2qz)Ex + α2Ey sin 2qz

−d2Ey

dz2= α2Ex sin 2qz + (β2 + α2 cos 2qz)Ey , (7.7.7)

kjer je α2 = εaω2/(2c2) in β2 = εω2/c2.

Ugodno je vpeljati kroºni polarizaciji E+ = Ex + iEy in E− = Ex − iEy. Ena£bi ??preieta v

−d2E+

dz2= β2E+ + α2E−e

2iqz

−d2E−dz2

= α2E+e−2iqz + β2E− . (7.7.8)

I²£emo lastne re²itve valovne ena£be v sredstvu s periodi£no modulacijo lomnegakoli£nika. Matemati£no podoben problem je iskanje lastnih funkcij elektronov v kristalu.Za te vemo, da morajo imeti Blochovo obliko, to je, biti morajo produkt periodi£nefunkcije s periodo kristalne mreºe in faktorja exp(ikz). Matematiki pravijo tej trditviFloquetov izrek. Veljati mora tudi v na²em primeru. Lastne valove torej poi²£imo vobliki

E+ = Aei(k+q)z

E− = Bei(k−q)z . (7.7.9)

Nastavek re²i sistem ??, £e A in B re²ita sistem homogenih linearnih ena£b

[(k + q)2 − β2]A− α2B = 0

−α2A+ [(k − q)2 − β2]B = 0 . (7.7.10)

110

7.8 Dodatek

Sistem je netrivialno re²ljiv, £e je determinanta kkoecientov enaka ni£:

(k2 + q2 − β2)2 − 4k2q2 − α4 = 0 . (7.7.11)

β in α sta sorazmerna z ω. Dobljena ena£ba tako predstavlja disperzijsko relacijo - zvezomed ω in k - za svetlobo v zavitem sredstvu. Prikazana je na sliki ??. Vsaki vrednosti ω,razen v ozkem obmo£ju med ω− in ω+, recimo mu frekven£na ²pranja, pripadajo 4 realnere²itve za k, po dve za valovanji v pozitivni in negativni smeri. V obmo£ju ²pranje jeen par re²itev imaginaren. Vsaki vrednosti k pripada neko razmerje koecientov A in B,ki ga izra£unamo iz en£b ?? in ki dolo£a polarizacijo lastnega vala. Polarizacije lastnihvalov so v splo²nem elipti£ne in med pri dani frekvenci med seboj niso pravokotne, kar jeposledica tega, da sistem ?? ne predstavlja £isto navadnega problema lastnih vektorjevsimetri£ne matrike. V obmo£ju frekven£ne ²pranje le en par re²itev predstavlja potujo£val, drug pa polje, ki eksponento pojema v sredstvo. Zato se svetloba s frekvenco v²pranji in z ustrezno polarizacijo, ki vpada na holesteri£en teko£i kristal, totalno odbije.Pojav je povsem analogen Braggovemu odboju na kristalih in daje holesterikom zna£ilenobarvan videz. Ve£ o zanimivih podrobnostih optike holesteri£nih teko£ih kristalov najdebralec v ?? in nalogah k temu poglavju.(naloga)Za razlago delovanja zasukane nematske celice zado²£a primer, ko je q << β in α, ko

je torej perioda sukanja opti£ne osi velika v primeri z valovno dolºino svetlobe. Tedajlahko q v disperzijski zvezi kar zanemarimo, prvi popravek je ²ele reda q2, in dobimo

k2 =β2 + α2 = ω2

c2ε‖ (7.7.12)

Ti vrednosti, ki ustrezata velikosti valovnega vektorja za izredni in redni val v obi£ajnemenoosnem kristalu, postavimo v eno od ena£b ?? in dobimo ²e polarizaciji lastnih valov:B = ±A.Izra£unajmo obe kartezi£ni komponenti elektri£nega polja za prvo re²itev:

Ex = 12(E+ + E−) = 1

2Aeikz(eiqz + e−iqz) = Aeikz cos qz

Ey = 12(E+ − E−) = 1

2iAeikz(eiqz − e−iqz) = Aeikz sin qz

. (7.7.13)

Polarizacija torej res kar sledi opti£ni osi. Druga re²itev da val, ki je polariziran pra-vokotno na lokalno opti£no os in se prav tako su£e z njo. Prvi val se ²iri s fzano hitrostjoc/ni, torej kot izredni val, drugi pa s c/nr, to je kot redni val. e na zasukano nematskocelico vpada svetloba, polarizirana ali paralelno ali pravokotno na opti£no os ob meji,dobimo na izhodni strani polarizacijo zasukano za pravi kot. V primeru, da vpadna po-larizacija ne sovpada z eno od lastnih, jo moramo seveda razstaviti na obe lastni in poprehodu skozi teko£i kristal zopet sestaviti, s £emer seveda na splo²no dobimo elipti£nopolarizacijo.

7.8 Dodatek

Energija nematskega teko£ega kristala je najniºja, kadar ima ~n povsod isto smer. Pove£anjeenergije zaradi krajevne odvisnosti ~n je v najniºjem redu sorazmerno s (∇~n(~r))2. Najs-plo"nej²i izraz za it orientacijsko elasti£no energijo dobimo tako, da tvorimo vse neodvisne

111


£lene, v katerih nastopa (∇~n(~r))2 in ki so invariantni na simetrijske operacije nematskefaze. Dobimo[?]

Fe =

ˆ K1(∇ · ~n)2 +K2[~n× (∇× ~n)]2 +K3[~n · (∇× ~n)]2

dV (7.8.1)

K1, K2 in K3 so tri Frankove orientacijske elasti£ne konstante. Prvi £len predstavljadeformacijo v obliki pahlja£e, drugi upogib, tretji pa zasuk (slika ??)V zunanjem elektri£nem polju se energija spremeni. Obi£ajno je neodvisna elektri£na

koli£ina elektri£na poljska jakost, ker je polje posledica predpisanih napetosti na ksnihelektrodah. Ustrezni £len v termodinami£nem potencialu je tedaj− ~D· ~E/2. ~E razstavimona komponento, paraleleno in pravokotno z ~n. Dielektri£ni tenzor ima v smeri ~n vrednostε‖, v pravokotni smeri pa ε⊥. Tako je

~D = ε0ε ~E = ε0ε‖(~n · ~E)~n+ ε0ε⊥[ ~E − (~n · ~E)~n]

= ε0εa(~n · ~E)~n− ε0ε⊥ ~E , (7.8.2)

kjer je εa = ε‖ − ε⊥. Drugi £len je neodvisen od ~n, zato ga lahko izpustimo. Prostaenergija nemati£nega teko£ega kristala v elektri£nem polju je tako

F = F0 + Fe −1

2(~n · ~E)2 . (7.8.3)

F0 predstavlja del proste energije, ki je neodvisen od ~n in ~E. V ravnovesju je prostaenergija najmanj²a. Kadar je εa > 0, se zato sku²a ~n postaviti vzporedno s poljem. Dalahko z minimizacijo F dobimo ~n(~r), moramo poznati ²e robne pogoje.Poglejmo primer. Naj bo nematski kristal med dvema paralelnima steklenima plo²£ama

v razmiku h. Na obeh plo²£ah naj bo ~n vzporeden s povr²ino v isti smeri. Brez zunanjegapolja je ~n povsod enako usmerjen. V dovolj velike zunanjem polju, pravokotnem na plo²£i,naj bo to smer z, dobi ~n komponento v smeri z:

~n(z) = (n1(z), 0, n3(z)) . (7.8.4)

Deformacija n3 naj bo majhna. Tedaj je n1 = 1n23/2. Robna pogoja sta n3(0) = n3(h) =0. Pribliºno re²itev, ki ustreza robnima pogojema, poi²£emo z nastavkom

n3(z) = a sin qz , q =π

h. (7.8.5)

Ta nastavek je prvi £len razvoja prave re²itve v Fourierovo vrsto. Velja

∇× ~n = (0,−dn1dz

, 0) (7.8.6)

in

~n× (∇× ~n) = (n3dn1dz

, 0, n1dn3dz

) ' (0, 0, n3dn3dz

) (7.8.7)

112

7.8 Dodatek

do drugega reda v n3. Prosta energija je tako

F =1

2

ˆ [K1

(dn3dz

)2

+K2n23

(dn3dz

)2

− ε0εa(n3E)2

]dz =

=1

2

ˆ h

0[K1q

2a2 cos2 qz +K3q2a4 sin2 qz cos2 qz − ε0εaEa

2 sin2 qz]dz =

=π

4q[K1q

2a2 +1

4K3q

2a4 − ε0εaEa2] . (7.8.8)

I²£emo amplitudo deformacije a, pri kateri je prosta energija najmanj²a. Tedaj mora bitia re²itev ena£be

(K1q2 − ε0εaE)a+

1

2K3q

2a3 = 0 . (7.8.9)

Re²itvi sta

a = 0 in a2 = 2ε0εaE −K1q

2

K3q2. (7.8.10)

Pri majhnih poljih, ko je ε0εaE < K1q2, je zikalno smiselna le prva re²itev, ko defomacije

ni. Pri ve£jih poljih pa je stabilna druga re²itev. Ko ve£amo polje, deformacija v srediniplasti hitro naraste, tako da se ~n postavi skoraj popolnoma v smer zunanjega polja.Tedaj na²a re²itev seveda ni dobra, saj smo ra£unali, kot da je n3 << 1. Prehodu iznedefromiranega stanja v deformirano stanje pravimo tudi Fredericksov prehod. Na njemje osnovano preklaplanje opti£nih kazalnikov na nematske teko£e kristale.V primeru zasukane nematske celice je prehod podoben, le ra£un je nekoliko bolj

zapleten, ker ima deformacija vse tri komponente, tudi zasuk (Naloga).

113

8 Nelinearna optika

Pri obravnavi svetlobnega valovanja v snovi smo doslej predpostavljali, da je polarizacijasnovi ~P linearna funkcija elektri£ne poljske jakosti svetlobe ~E. To je seveda le pribliºek.Pri dovolj veliki gostoti svetlobnega toka, kakr²no je mo£ dose£i v laserskem snopu,postanejo pomembni tudi £leni vi²jega reda v razvoju polarizacije po ~E:

Pi = PLi + PNL

i = ε0χijEj + dijkEiEj + fijklEiEjEk . (8.0.1)

S ~PL in ~PNL smo ozna£ili linearni in nelinearni del polarizacije. Nelinearni susceptibil-nosti dijk in fijkl sta tenzorja tretjega in £etrtega ranga. Pogosto ju pi²ejo tudi v oblikidijk = ε0χ

(2)ijk in fijkl = ε0χ

(3)ijkl.

Poseben primer nelinearne susceptibilnosti dijk smo pravzaprav ºe sre£ali pri elek-troopti£nem pojavu: elektroopti£ni tenzor rijk opisuje isto lastnost snovi, le da smo tamzahtevali, da je eno polje skoraj stati£no. Za dijk velja, kot za vsak tenzor tretjega ranga,da je lahko od ni£ razli£en le v snoveh brez centra inverzije. V centrosimetri£nih snovehje prvi od ni£ razli£ni nelinearni £len tretjega reda.Velikosti koecientov dijk so od 0,1 do 100 ·10−23 As/V2. Poglejmo, pri kak²nem polju

je nelinearni del polarizacije primerljiv z linearnim:

PNL

PL=dijkE

ε0χij' 10−11m

VE . (8.0.2)

Da bo razmerje PNL/PL=10−3, je potrebna gostota svetlobnega toka okoli 1 GW/cm2.To za laser ni ni£ posebnega, z nekoherentnim svetilom pa mnogo redov velikosti pre-ve£. Zato je bilo mogo£e nelinearne opti£ne pojave opazovati ²ele po iznajdbi laserjev.Potrebno polje je tudi primerljivo polju v atomu, kar nas seveda ne presene£a.Nelinearni del polarizacije povzro£i vrsto pojavov. Dve valovanji pri frekvencah ω1 in

ω2 povzro£ita zaradi produkta E1E2 v izrazu 8.0.1 novi valovanji pri frekvencah ω1 +ω2

in ω1 − ω2. V posebnem primeru, ko je ω1 = ω2, dobimo podvajanje frekvence in poljepri ω = 0 - it opti£no usmerjanje. len tretjega reda da vse moºne kombinacije trehfrekvenc, odvisnost lomnega koli£nika od gostote svetlobnega polja in s tem povezanosamofokusiranje svetlobnega snopa ter fazno konjugacijo.

8.1 Podvajanje frekvence

Za£nimo najprej z nelinearnostjo drugega reda, ki jo opisuje dijk. Ta je, kot smo ºe ugo-tovili, dovoljena le v kristalih, ki nimajo centra inverzije. Naj na tak kristal pravokotno

114


vpadata dve valovanji s frekvencama ω1 in ω2. V snovi nastajata valovanji z vsoto inrazliko frekvenc. Za opis pojava moramo re²iti valovno ena£bo

∇2 ~E − ε

c2∂ ~E

∂t= µ0

∂ ~PNL

∂t. (8.1.1)

Pri tem je ~PNL = d ~E ~E. Te ena£be na splo²no ne znamo re²iti in se moramo zate£ik pribliºkom. Uporabili bomo perturbacijski pristop sklaplanja valovanj, ki je podobenra£unu uklona na zvo£nih valovih iz prej²njega poglavja.Zanimajmo se le za nastajanje valovanja pri vsoti frekvenc ω3 = ω1 + ω2. Ta ome-

jitev ni huda. Dokler sta amplitudi valov pri vsoti in razliki frekvenc majhni, ju lahkoobravnavamo vsako posebej. Ni sicer nujno, da sta obe nastali amplitudi vedno majhni,vendar lahko toliko naraste, da postane primerljiv z vpadnim, le en val naenkrat, kotbomo videli kasneje. Celotno polje v snovi je tako vsota treh polj

~E1 =~a12

[E1(z) e

i(k1z−ω1t) + E∗1(z) e

−i(k1z−ω1t)]

~E2 =~a22

[E2(z) e

i(k2z−ω2t) + E∗2(z) e

−i(k2z−ω2t)]

~E3 =~a32

[E3(z) e

i(k3z−ω3t) + E∗3(z) e

−i(k3z−ω3t)]. (8.1.2)

Polja smo zapisali v realni obliki, to je s konjugirano-kompleksnimi deli, ker valovnaena£ba 8.1.1 ni linearna. Upo²tevali smo tudi, da so zaradi nelinearne polarizacije am-plitude funkcije kraja, za katere pa lahko privzamemo, da se le po£asi spreminjajo. Zavalovna ²tevila naj seveda velja k2i = εiω

2/c2, pri £emer je εi dielektri£na konstantapri frekvenci ωi in polarizaciji ~ai. S tem vsak od treh valov pri konstantni amplitudire²i linearni del valovne ena£be. Na²a naloga je ugotoviti, kako se zaradi nelinearnostispreminjajo amplitude. Dogovorimo se ²e, da bomo v tem poglavju z indeksi 1,2,... lo£e-vali valove z razli£nimi rekvencami in polarizacijami, kartezi£ne komponente vektorjev intenzorjev pa bomo ozna£evali z x, y in z.Izra£unajmo najprej

∇2 ~E1 = −~a12

[k21E1(z)− 2ik1

dE1(z)

dz

]ei(k1z−ω1T ) + k. k. . (8.1.3)

S k. k. smo ozna£ili konjugirano kompleksni del. Upo²tevali smo, da je E1(z) po£asnafunkcija kraja in smo zato zanemarili njen drugi odvod. Podobne izraze dobimo za E2

in E3.Nelinearna polarizacija vsebuje produkte polj, ki nihajo z vsemi moºnimi vsotami in

razlikami parov frekvenc ω1, ω2 in ω3. Od njih k spremembi amplitude vala s frekvencoω1 na levi strani valovne ena£be prispeva le del z enako frekvenco:

~PNL1 =

1

4d~a2~a3E

∗2E3e

i[(k3−k2)−ω1t] (8.1.4)

Izena£imo £lene s frekvenco ω1 na levi in desni strani valovne ena£be, upo²tevamo zvezomed k1 in ω1 in dobimo

ik1~a1dE1

dzeik1z = −µ0ω

21

4d~a2~a3E

∗2E3e

i(k3−k2)z . (8.1.5)

115

8 Nelinearna optika

Mnoºimo ²e obe strani skalarno z ~a1 in ravnajmo podobno ²e z ostalima dvema valovoma.Tako dobimo kon£no sistem sklopljeni ena£b za amplitude

dE1

dz=

iω1

4

√µ0ε0ε1

d123E∗2E3e

i∆kz

dE2

dz=

iω2

4

√µ0ε0ε2

d231E3E∗1e

i∆kz

dE1

dz=

iω3

4

√µ0ε0ε3

d312E1E2e−i∆kz (8.1.6)

in ²e tri konjugirano kompleksne ena£be. Pri tem je d123 = ~a1 · d~a2~a3. Ker ni nujno, daso polarizacijski vektorji vzporedni s koordinatnimi osmi, tudi d123 niso £iste kartezi£nekomponente tenzorja nelinearne susceptibilnosti. Z ∆k smo ozna£ili razliko valovnihvektorjev k3− k1− k2. eprav je ω3−ω2−ω1 = 0, je ∆k navadno razli£en od ni£ zaradifrekven£ne disperzije lomnega koli£nika, to je, ker so dielektri£ne konstante εi razli£ne.Videli bomo, da je to za vrsto nelinearnih opti£nih pojavov bistveno.Dobljeni sistem ena£b opisuje ve£ pojavov, odvisno od za£etnih pogojev in relativnih

intenzitet valovanj. Pogejmo si najprej najpreprostej²i in tudi najpomembnej²i primerpodvajanja frekvence, ko je ω1 = ω2 = ω in ω3 = 2ω. Zaradi moºnosti dveh razli£nihvpadnih polarizacij ²e vedno razlikujmo E1 in E2.Zanima nas, kako nara²£a E3(z) pri za£etnem pogoju E3(0) = 0. Vzemimo ²e, da

se pretvori le manj²i del vpadnega energijskega toka, tako da sta E1 in E2 pribliºnokonstantni. Tedaj lahko ena£bo za E3(z) brez teºav integriramo do dolºine kristala L:

E3(L) = − iω2

√µ0ε0ε3

d312E1E2e−i∆kL − 1

i∆k(8.1.7)

Iz tega izraza dobimo izhodno gostoto svetlobnega toka pri dvojni frekvenci

j2ω(L) =1

2

√ε0ε3µ0

|E3|2 =1

8

√µ0ε0ε3

ω2d2312|E1|2|E2|2L2 sin2∆kL/2

(∆kL/2)2. (8.1.8)

Razmerje med energijskim tokom pri podovojeni in osnovni frekvenci, to je, izkoristekpretvorbe, je

P2ω

Pω=

1

2

(µ0ε0

)3/2 ω2d2312n32ω

Pω

S

sin2∆kL/2

(∆kL/2)2L2 , (8.1.9)

kjer je n2ω lomni koli£nik pri dvojni frekvenci, S pa presek snopa.V izrazih 8.1.8 in 8.1.9 nastopa faktor sin2(∆kL/2)/(∆kL/2)2, zaradi katerega na poti,

dalj²i od 1/∆k mo£ podvojenega snopa ne nara²£a ve£ sorazmerno z L2, temve£ le nihamed ni£ in kon£no vrednostjo. ∆k je razli"en od ni£ zaradi odvisnosti lomnih koli£nikovod frekvence. V KH2PO4 je na primer redni lomni koli£nik pri 1000 nm 1,496, pri 500nm pa 1,514, tako da je Lc = 1/∆k le okoli 10 valovnih dolºin. Na tako majhni razdaljije stopnja pretvorbe zelo majhna.Odvisnosti stopnje pretvorbe od razlike valovnih vektorjev pri osnovni in podvojeni

frekvenci je lahko razumeti s pomo£jo slike 1. Opazujmo prispeveka k podvojenemu

116


valu, ki nastaneta eden na za£etku kristala in drugi na koncu. Prispevek z za£etka zradidisperzije na izhodni strani ni v fazi s prispevkom s konca. Pri dovolj veliki fazni razlikipride do destruktivne interference, ki zmanj²uje mo£ podvojene svetlobe. Razmere sopodobne kot pri uklonu na ²iroki reºi, kjer prav tako se²tevamo delna valovanja, ki sejim faza po re²i linearno spreminja.Za uporabno konverzijo je torej treba dose£i £im manj²o razliko valovnih vektorjev pri

osnovni in podvojeni frekvenci. Pomagamo si z dvojnim lomom v anizotropnih kristalih.V primerno izbrani smeri v kristalu je razlika med lomnima koli£nikoma za lastni polar-izaciji, v enoosnem primeru med rednim in izrednim koli£nikom, lahko nasprotno enakarazliki zaradi disperzije pri enojni in dvojni frekvenci. Tak²ne ugodne razmere, ki veljajona primer v KH2PO4, kaºe slika 2, na kateri so velikosti lomnih koli£nikov za enoosnikristal pri enojni in dvojni frekvenci v odvisnosti od kota glede na opti£no os. V prozornihkristalih, kjer ni absorpcije, je disperzija normalna in oba lomna koli£nika nara²£ata sfrekvenco. Ekscentri£nost elipse za izredni lomni koli£nik in frekven£na disperzija staseveda mo£no pretirani. Pri nekem kotu θm med smerjo ²irjenja svetlobe in opti£noosjo je izredni lomni koli£nik pri dvojni frekvenci enak rednemu koli£niku pri osnovnifrekvenci. e torej izberemo polarizacijo vpadnega vala tako, da je pravokotna na op-ti£no os, torej redna, bo za podvojeni val z izredno polarizacijo, to je v ravnini opti£neosi in smeri ²irjenja, pri kotu θm izpolnjen pogoj ujemanja faz, ∆k = 0.Lomni koli£nik za izredni val je kot funkcija θ podan z izrazom

1

n2i (θ)=

cos2 θ

n2r+

sin2 θ

n2i0(8.1.10)

Z ni0 smo ozna£ili glavno vrednost izrednega lomnega koli£nika. Pogoj za kot ujemanjafaz dobimo, £e izena£imo redni lomni koli£nik pri osnovni frekvenci z izrednim koli£nikom,izra£unanim iz gornjega izraza pri dvojni frekvenci. Tako dobimo

cos2 θm =(nωr )

−2 − (n2ωi0 )−2

(n2ωr )−2 − (n2ωi0 )−2

(8.1.11)

Moºna je tudi nekoliko bolj zapletena izbira, pri kateri sta v vpadnem valu prisotniobe polarizaciji, redna in izredna, podvojeni val pa je spet izredni. Tedaj mora bitiza ujemanje faz izredni lomni koli£nik pri dvojni frekvenci enak povpre£ju rednega inizrednega lomnega koli£nika pri osnovni frekvenci. Za prakti£no uporabo je ta izbira,kadar obstoja, celo ugodnej²a, ker je pri njej kot ujemanja faz bliºe π/2. Zato je uje-manje faz manj ob£utljivo na majhne napake v kotu ali temperaturne spremembe lomnihkoli£nikov. Ra£un kota θ za ta primer je siten, saj je treba re²iti je treba ena£bo £etrtestopnje.Na mo£ podvojenega snopa vpliva seveda tudi velikost koecientov tenzorja nelinearne

susceptibilnosti. V opti£no enoosnem kristalu je kot ujemanja faz dolo£en na stoºcu okoliopti£ne osi, kot smeri ²irjenja v ravnini, pravokotni na opti£no os, pa lahko izberemo tako,da izkorisitmo najve£je komponente nelinearne susceptibilnosti.Oglejmo si kot primer spet KH2PO4. Valovna dolºina osnovnega snopa naj bo 1000 nm.

Po podatkih, navedenih zgoraj, dobimo po (8.1.11) za kot ujemanja faz 40o. Nelinearna

117

8 Nelinearna optika

susceptibilnost ima v tetragonalni simetriji 42m od ni£ razli£ne komponente dXY Z =dZXY = dY ZX , kjer se oznake X, Y in Z nana²ajo na kristalne osi. Smer ²irjenjaosnovnega in podvojenega vala naj bo (slika ??)

~s = (sinφ sin θ, cosφ sin θ, cosθ) (8.1.12)

kjerje φ kot med osjo y in projekcijo ~s na ravnino XY ²e treba dolo"iti tako, da bopodvojena mo£ najve£ja. Vpadna polarizacija mora biti redna, torej pravokotna na os Z(opti£no os) in ~s:

~Eω = E0(cosφ,− sinφ, 0) (8.1.13)

Zaradi oblike tenzorja nelinearne susceptibilnosti je od ni£ razli£na le Z komponentanelinearne polarizacije:

P 2ωZ = dZXYE0 cosφ sinφ (8.1.14)

Nelinearna polarizacija je o£itno najve£ja, kadar je φ = π/4. Polarizacija podvojenegavala ~E2ω je izredna, to je v ravnini osi z in ~s. K njej bo prispeval le tisti del nelinearnepolarizacije, ki je pravokoten na ~s, to je P 2ω

Z sin θ.Po vsem tem maksimalni je efektivnikoecient d312, ki nastopa v izrazih za amplitudo in mo£ podvojene svetlobe, ena£be8.1.8 in 8.1.9, v izbranem primeru

d312 =sin θ

2dZXY . (8.1.15)

8.2 Podvojevanje Gaussovih snopov

Doslej smo osnovni in podvojeni snop obravnavali kot ravno valovanje, ki mora bitirazseºno v pre£ni smeri. V primeru, ko je ∆k = 0, nara²£a mo£ podvojene svetlobe skvadratom dolºine poti po nelinearnem sredstvu. Pretvorba v podvojeno svetlobo je poen. 8.1.9 tem u£inkovitej²a, £im ve£ja je gostota svetlobnega toka pri osnovni frekvenci.Zato v praksi osnovni snop vselej fokusiramo. Predpostavimo, da ima obliko osnovnegaGaussovega snopa. Pribliºno lahko vzamemo, da je efektivna dolºina za konverzijo L kardolºina grla; za njim se gostota toka zmanj²uje, s tem pa tudi konverzija v podvojenisnop. Tako je presek vpadnega snopa S = πw2

0 in L = 2z0 = nωw20/2c. Podvojeni

snop je sorazmeren s kvadratom osnovnega; polmer snopa nastopa v eksponentu, zato jepresek podvojenega snopa πw2

0/2, s tem pa iz en. 8.1.8 za izkoristek konverzije dobimo

P2ω

Pω=

1

4πc

(µ0ε0

)3/2 ω3d2

n2Pω

sin2∆kL/2

(∆kL/2)2L , (8.2.1)

Vidimo, da je za uspe²no konverzijo najbolje, da ja dolºina grla enaka dolºini nelin-earnega kristala. To seveda doseºemo z ustreznim fokusiranjem snopa. V tem primeruje izkoristek sorazmeren z dolºino, ne z njenim kvadratom.

Primer: Imejmo 1 cm dolg kristal KH2PO4, osnovna valovna dolºina naj bo 1,06 µm,efektivna nelinearna susceptibilnost je po 8.1.15 d = 1/2 sin2 θmdxyz = 3, 6 · 10−24 As/V,∆k = 0 in n = 1, 5. Tedaj je po 8.2.1 P2ω/Pω = 4, 3 · 10−5Pω/W , kar da pri zmerni

118

8.3 *Ra£un podvajnja Gaussovih snopov

mo£i, navadno v fazno uklenjenih sunkih, 10 kW skoraj 50 konverzijo. Da bo dolzinagrla 2z0 = 1 cm, mora biti polmer grla okoli 40 µm. Gostota svetlobnega toka v kristaluje pri tem 2 · 108 W/cm2, kar je ºe blizu praga za po²kodbe, predvsem na vstopni aliizstopni povr²ini.Gornji primer kaºe, da je odpornost nelinearnega kristala proti po²kodbam zaradi velike

gostote svetlobnega toka zelo pomembna za uporabo pri podvajanju frekvence svetlobe.To in moºnost ujemanja faz je pogosto odlo£ilno, koliko je dani material zares uporaben.

8.3 *Ra£un podvajnja Gaussovih snopov

Za podrobnej²i izra£un podvojevanja Gaussovih snopov se vrnimo k valovni ena£bi 8.1.1.Spet privzemimo, da imamo vpadna snopa pri frekvencah ω1 in ω2 in nastajajo£ snoppri frekvenci ω3 = ω1 + ω2. Vsako od polj naj ima obliko

Ei =1

2

√ωi

niψi(r, z)e

i(kiz−ωit) + k. k. (8.3.1)

kjer se amplituda ψi spreminja po£asi v smeri osi z, odvisna pa je tudi od pre£ne koordi-nate r. Dodatni faktor

√ωi/ni smo uvedli zaradi lep²ega zapisa ena£b. Postavimo 8.3.1

v valovno ena£bo 8.1.1 in zopet lo£imo na levi in desni £lene z enako frekvenco. Zane-marimo tudi druge odvode ψ po z. Tako namesto sistema ?? dobimo sklopljen sistemobosnih ena£b

∇2⊥ψ1 + 2ik1ψ

′1 =

k12κψ∗

2ψ3e−i∆kz

∇2⊥ψ2 + 2ik2ψ

′2 =

k22κψ∗

1ψ3e−i∆kz

∇2⊥ψ3 + 2ik3ψ

′3 =

k32κψ1ψ2e

i∆kz (8.3.2)

s pripadajo£im sistemom konjugiranih ena£b. Tu je

κ = d

√µ0ε0

ω1ω2ω3

n1n2n3. (8.3.3)

S £rtico smo ozna£ili odvajanje po z. Gornji sistem ena£b je o£itno posplo²itev sistema ??za primer, ko je valovanje odvisno tudi od pre£ne koordinate. Re²evanje tega nelinearnegasistema parcialnih diferencialnih ena£b je seveda v splo²nem ²e precej bolj zabeljeno.Poglejmo le najenostavnej²i primer podvojevanja, ω3 = 2ω1 = 2ω. Privzemimo, da

sta oba vpadna snopa enaka in osnovne Gaussove oblike, ψ1 = ψ2, da imamo poplnoujemanje faz, ∆k = 0, in da je ψ3 dovolj majhen, da nam zmanj²evanja ψ1 ni trebaupo²tevati. Vpadni snop lahko tako zapi²emo

ψ1 = A11

1 + iz/z1exp[− r2

w21(z)

− ik1r2

2R1(z)] (8.3.4)

kjer za polmer snopa in krivinski radij veljajo zveze iz drugega poglavja: w21 = w2

10(1 +z2/z21) in R1 = z(1 + z21/z

2). Upo²tevali smo tudi, da je spreminjanje amplitude in

119

8 Nelinearna optika

dodatno fazo po en. 2.23 zapisati v kompleksni obliki 1/(1 + iz/z1). Spomnimo se ²e,da velja z1 = πw2

10/λ = k1w210/2. Za podvojeni snop tudi privzemimo Gaussovo obliko s

po£asi nara²£ajo£o amplitudo:

ψ3 = A3(z)ψ3H(z, r) = A3(z)1

1 + iz/z3exp[− r2

w23(z)

− ik3r2

2R1(z)] (8.3.5)

ψ3H re²i homogeno obosno valovno ena£bo. Ko izraza za ψ1 in ψ3 postavimo v tretjoena£bo sistema ??, zato na levi ostane le 2ik3A

′3(z)ψ3H . Tako dobimo

A′3(z)

1

1 + iz/z3exp[− r2

w23(z)

− ik3r2

2R3(z)] = − iκ

4A2

1

1

(1 + iz/z1)2exp[− 2r2

w21(z)

− ik1r2

R1(z)] .

(8.3.6)Vzemimo, da je w2

30 = w210/2. Tedaj je z3 = k3w

230/2 = (2k1)(w

210/2)/2 = z1 in je tudi

w23(z) = w2

1(z)/2. Poleg tega je R3(z) = R1(z) in lahko ne obeh straneh pokraj²amoeksponentna faktorja. Ostane

A′3(z) = − iκ

4A2

1

1

1 + iz/z1. (8.3.7)

Gornjo en£bo seveda brez teºav integriramo. Naj bo grlo vpadnega snopa ravno nasredini nelinearnega sredstva, tako da te£e integracija od −L/2 do L/2:

A3(L) = − iκ4A2

1

ˆ L/2

−L/2

dz

1 + iz/z1

= − iκ4A2

1z1 ln1 + i Lz11− i L

2z1

=κ

2A2

1z1 arctanL

2z1. (8.3.8)

Mo£ Gaussovega snopa je

Pi =π

2w2i0cε0E

2i0/ =

π

2

(ε0µ0

)1/2 ωi

nA2

iw2i0 (8.3.9)

tako da je izkoristek pri podvojevanju Gaussovega snopa

P2ω

Pω=

1

4πc

(ε0µ0

)3/2 ω3

n2d2Pω

(2z1L

arctan2L

2z1

)L . (8.3.10)

Funkcija (arctan2 x)/x ima maksimalno vrednost 0.64 pri x = 1.39. Pri dani dloºininelinearnega sredstva L dobimo torej najve£ji izkoristek, kadar je z1 = 0.35L, kar jemalo manj kot smo dobili s preprosto oceno 2z1 = L. Tedaj je

P2ω

Pω=

1.28

4πc

(ε0µ0

)3/2 ω3

n2d2PωL , (8.3.11)

torej pribliºno 30 % ve£, kot smo dobili s preprosto oceno 8.2.1.

120

8.4 Parametri£no oja£evanje

8.4 Parametri£no oja£evanje

Nelinearno meanje treh valov, ki ga opisujejo ena£be ??, lahko izkoristimo tudi za oja£e-vanje opti£nih signalov. Imejmo vhodni signal pri frekvenci ω1 skupaj z mo£nim £rpalnimvalom pri frekvenci ω3 > ω1. Zaradi nelinearnosti se oja£uje val pri ω1, obenem pa nas-taja dodaten val pri razliki frekvenc ω2 = ω3 − ω1. Temu procesu pravimo parametri£nooja£evanje. Podoben princip se uporablja tudi v mikrovalvni tehniki, od koder je tudiime.Prepi²imo najprej en£be ?? v nekoliko prikladnej²o obliko, kot smo napravili ºe pri

vpeljavi sistema 8.2.1. Naj bo

Ai(z) =

√niωiEi(z) in κ = d

√µ0ε0

. (8.4.1)

S tem dobijo ena£be ?? obliko

dA1

dz=

iκ

2A∗

2A3ei∆kz

dA∗2

dz=

−iκ2A∗

3A1e−i∆kz

dA3

dz=

iκ

2A1A2e

−i∆kz (8.4.2)

Privzemimo, da je £rpalni val vselej dosti mo£nej²i od ostalih dveh, A3 >> A1, A2 in dasmo poskrbeli za ujemanje faz, ∆k = 0. A3 je tako pribliºno konstanta. Ozna£imo ²eg = κ/2A3, pa imamo

dA1

dz= igA∗

2

dA∗2

dz= igA1 (8.4.3)

Z za£etnima pogojema A1(0) = A10 in A2(0) = 0 dobimo iz ?? re²itev

A1(z) = A10chgz

A2(z) = iA10shgz (8.4.4)

Pri z > 1/g oba vala rasteta pribliºno eksponentno na ra£un £rpalnega vala. Pro-ces parametri£nega oja£evanja si lahko predstavljamo kot pretvorbo enega fotona prifrekvenci ω3 v fotona pri ω1 in ω2.Privzeli smo, da je ∆k = k3−k1−k2 = 0. Ta pogoj lahko izpolnimo na enak na£in kot

pri podvajanju frekvence, to je tako, da v dvolomnem kristalu izberemo ustrezno smerglede na opti£no os in ustrezne polarizacije, tako da velja ω3n3 = ω1n1 + ω2n2, kjer soni lomni koli£niki za odgovarjajo£e valove pri izbranih polarizacijah. Lahko na primervzamemo izredno polarizacijo za £rpalni val in redni polarizaciji za oba oja£evana valova,podobno kot pri podvajanju frekvence. Tedaj mora veljati

nω3i =

[(cosθmnω3r

)2

+

(sinθmnω3i0

)2]−1/2

=ω1

ω3nω1r +

ω2

ω3nω2r . (8.4.5)

121

8 Nelinearna optika

Moºne so seveda tudi druga£ne izbire polarizacij (Naloga). (Naloga: Obravnavaj parametri£nooja£evanja, kadar je∆k 6= 0.)

Primer: Naj bo nelinearno sredstvo LiNbO3, v katerem je d = 5 · 10−23 As/V inn = 2, 2. Vzemimo ν1 ' ν2 = 3 · 1014 Hz (λ1 = 1µm) in gostoto mo£i £rpalnega vala5 MW/cm2. Tedaj dobimo g = 0, 67 cm−1.Gornji primer kaºe, da oja£enje ni prav veliko, kljub dokaj mo£nemu £rpalnemu valu.

Zato je parametri£no oja£evanje zanimivo predvsem znotraj opti£nih resonatorjev, s £e-mer dobimo neke vrste laser - parametri£ni oscilator.

8.5 Nelinearni pojavi 3. reda

Doslej smo obravnavali najniºji red nelinearnosti, katerega glavni u£inek je me²anje trehfrekvenc, na primer podvajanje frekvence ali parametri£no oja£evanje. Ti pojavi somoºni le v kristalih brez centra inverzije. Naslednji £len razvoja nelinearne polarizacije poelektri£nem polju obstaja v vsaki snovi. V njem nastopa polje v tretji potenci. e vsebujevpadno polje le eno frekvenco, zaradi nelinearnosti tretjega reda dobimo polarizacijo pri3ω in ω. Pri dveh vpadnih frekvencah ω1 in ω2 so moºne kombinacije 2ω1 ± ω2 inω1 ± 2ω2, pri treh vpadnih frekvencah pa vse moºne vsote in razlike frekvenc. Moºnostije torej precej ve£ kot pri nelinearnosti drugega reda. Obravnava nastajanja valovanjapri kombinaciji frekvenc je povsem analogna podvajanju frekvence in parametri£nemuoja£evanju. V ena£bah za nastajanje novega valovanja ali oja£evanje katerega od vpadnihsnopov spet nastopi fazni faktor, ki vsebuje razliko vseh valovnih vektorjev ∆k. Da bonastajanje novega valovanja znatno, mora biti ∆kL ' 0, spet mora biti torej izpolnjenpogoj ujemanja faz. Ker sedaj nastopajo v splo²nem ²tirje valovni vektorji, je sevedatudi pri izbiri geometrije in polarizacij za ujemanje faz precej ve£ moºnosti.e vsebuje vapdno valovanje le eno frekvenco, je v nelinearni polarizaciji tudi kom-

ponenta pri tej frekvenci, kar je ena od bistvenih razlik med nelinearnostjo drugega intretjega reda. Nelinearne pojave pri eni sami frekvenci v"asih imenujejo tudi degeneri-rano me²anje ²tirih valov. Najpreprostej²i tak u£inek je odvisnost lomnega koli£nika odintenzitete vpadne svetlobe.Vzemimo v smeri osi x polarizirano valovanje, ki vpada na nelinearno, zaradi enos-

tavnosti izotropno snov. Nelinearna polarizacija ima tudi le komponento

PNL1 = ε0χ

(3)1111E

3 (8.5.1)

Polje spet zapi²imo kot vsoto dveh konjugirano-kompleksnih £lenov:

E =1

2(E1e

i(kz−ωt) + E∗1e

−i(kz−ωt)) (8.5.2)

Del polarizacije pri ω dobimo tako, da v izrazu za E3 vzamemo dvakrat nekonjugiranidel, enkrat pa konjugiranega. Taki £leni so trije. Tako imamo

Pω1 =

3

8ε0χ

(3)1111|E1|2E1 (8.5.3)

122

8.6 Samozbiranje

Ta del polarizacije lahko pri²tejemo k linearnemu delu in s tem dobimo lomni koli£nik,ki je odvisen od intenzitete:

ε0(ε− 1)E1 +3

8ε0χ

(3)1111|E1|2 = ε0[n(I)

2 − 1]E1 (8.5.4)

Lomni koli£nik zapi²imo v obliki

n(I) = n0 + n2|E1|2, (8.5.5)

n2 =3

8χ(3)1111 . (8.5.6)

Pojavu, pri katerem je sprememba lomnega koli£nika sorazmerna s kvadratom elek-tri£nega polja, smo imenovali Kerrov pojav. Ker je sedaj spremembo povzro£a karopti£no polje samo, govorimo tudi o opti£nem Kerrovem pojavu. Zanimivi posledicista samozbiranje svetlobnega snopa in ²irjenje solitonov po opti£nih vlaknih, kar si bomopogledali v naslednjih razdelkih.Tudi splo²ni primer degeneriranega ²tirivalovnega me²anja je pomemben, kjer se val-

ovanja razlikujejo po smereh valovnih vektorjev. Vodi do pojava fazne konjugacije. Prinjem dobimo valovanje z enako valovno fronto kot eno od vpadnih valovanj, ki pa se ²iri vnasprotni smeri od prvotnega valovanja. Fazna konjugacija ima nekaj zanimivih uporabin jo bomo obravnavali v zadnjem razdelku poglavja.

8.6 Samozbiranje

Poglejmo si najprej pojav samozbiranja ali samofokusacije (anlge²ko self focusing). Os-novni Gaussov snop naj vpada na sredstvo, v katerem je lomni koli£nik odvisen odintenzitete po ena£bi 8.5.6. Opti£na Kerrova konstanta n2 je obi£ajno pozitivna. Tedajje lomni koli£nik v sredini snopa ve£ji od nemotenega koli£nika na robu. V osi snopa seopti£na pod podalj²a in valovna fronta za£ne v osi zaostajati glede na rob snopa. e jezaostajanje dovolj veliko, lahko krivinski radij valovne fronte postane negativen in snopse ne ²iri, temve£ oºi (Slika??). Samozbiranje je pri dovolj veliki mo£i snopa tolik²no, dapride do katastro£ne zoºitve snopa in s tem do tolik²nega pove£anja gostote svetlobnegatoka, da nastanejo po²kodbe v snovi.Zaradi obi£ajnega uklona se snop ²iri, pojav samozbiranja pa ima nasprotni u£inek.

Zato je pri primerni mo£i snopa moºno, da se oba pojava po velikosti izena£ita in snopima v snovi konstanten polmer, valovne fronte pa so ravne. Snop samemu sebi ustvarjavalovni vodnik, kjer je v sredi lomni koli£nik ve£ji kot na robu. Ocenimo, koli²na morabiti mo£ v stacionarnem stanju.Vzemimo, da je na izbranem mestu valovna fronta ravna. Lahko si mislimo, da je tam

grlo Gaussovega snopa. Brez samozbiranja bi bil na razdalji dolºine grla z0 po izrazih izdrugega poglavja krivinski radij valovne fronte

R(z0) = z0[1 +

(z0z0

)2

] = 2z0 (8.6.1)

123

8 Nelinearna optika

V bliºini osi lahko Gaussovo funkcijo, ki opisuje pre£no odvisnost amplitude poja v snopu,razvijemo po pre£ni koordinati r do drugega reda; po ena£bi 8.5.6 je odvisnost lomnegakoli£nika pribliºno

n(r) = n0 + E20(1− 2

r2

w20

)n2 . (8.6.2)

Razlika med lomnim koli£niko na osi in pri w0 od osi je ∆n = 2E20n2. Zaradi tega je

razlika opti£nih poti za ºarek na osi in za w0 od osi ∆nz0. Valovna fronta bi se ukrivilana krivinski radij −R. Iz preproste geometrije velja zveza

∆nz0 = R−R

√1− w2

0

R2' 1

2

w20

R(8.6.3)

Da bo valovna fronta ostala ravna, morata biti krivinska radija v ena£bah 8.6.1 in 8.6.3enaka; od tu sledi

∆n =w20

4z20(8.6.4)

Amplitudo polja v osi izrazimo z mo"jo: E20 = 2P/(πε0cw

20), pa dobimo za mo£ snopa s

stacionarnim polmerom

Ps = πε0cw40

2n2z20=ε0cλ

2

4n2(8.6.5)

Zanimivo je, da kriti£na mo£ ni odvisna od za£etnega polmera snopa. Pri manj²i mo£i sesnop ²iri, £eprav nekoliko po£asneje kot v sredstvu s konstantnim lomnim koli£nikom, £epa je mo£ znatno ve£ja, lahko pride do katastro£nega samozbiranja in poru²itve snovi.

Primer. V CS2, ki je teko£ina z razmeroma velikim opti£nim Kerrovim pojavom, jen2 = 10−20 (m/V)2. Tedaj dobimo po gornji formuli za kriti£no mo£ vrednost

Ps = 104W.

Za podrobnej²i ra£un moramo zapisati valovno ena£bo v obosnem pribliºku. Za£n-imo spet s krajevnim delom valovne ena£be za monokromatsko valovanje v skalarnempribliºku

∇2E + n2ω2

c2E = 0 (8.6.6)

Kot v drugem poglavju zapi²imi polje v obliki po£asi spreminjajo£e se amplitude infaznega faktorja:

E = ψ(r, z)eik0z (8.6.7)

kjer je k0 = n0ω/c valovno ²tevilo brez nelinearnosti. ψ(r, z) se v smeri osi z le po£asispreminja, zato drugi odvod po z zanemarimo in dobimo

∇2⊥ψ +

ω2

c2(n2 − n20)ψ + 2ik0

∂ψ

∂z= 0 (8.6.8)

Upo²tevajmo odvisnost lomnega koli£nika od intenzitete, pri £emer zanemarimo £len zn22, ker je gotovo majhen:

∇2⊥ψ + 2k20

n2n0

|ψ|2ψ + 2ik0∂ψ

∂z= 0 (8.6.9)

124

8.6 Samozbiranje

Preden se lotimo re²evanja gornje ena£be, jo ²e nekoliko polep²ajmo. Vpeljimo

κ = 2k20n2n0

(8.6.10)

in novo spremenljivko vzdolº osi zζ =

z

2k0(8.6.11)

S tem preide ena£ba 8.6.9 v standardno oblikonelinearne Schrodingerjeve ena£be

i∂ψ

∂ζ+∇2

⊥ψ + κ |ψ|2 ψ = 0 . (8.6.12)

V treh dimenzijah je re²evanje ena£be 8.6.12 teºavno in analiti£ne re²itve niso znane.V dveh dimenzijah pa stacionarno re²itev znamo poiskati. Ker nam bo koristila tudinekoliko kasneje pri ra£unu ²irjenja solitonov po opti£nih vlaknih, si jo je vredno ogledati.Stacionarni re²itvi se vzdolº ζ lahko spreminja le faza, zato re²itev i²£imo v obliki

ψ = eiη2ζ u(x) (8.6.13)

kjer je η poljubna konstanta, katere pomen bomo videli kasneje. Iz ena£be 8.6.12 slediza funkcijo u(x), ki naj bo realna,

d2u

dx2=

1

2η2u− κu3 (8.6.14)

Z mnoºenjem obeh strani z u′ lahko ena£bo enkrat integriramo(du

dx

)2

+ C = η2u2 − 1

2κu4 (8.6.15)

Naj bo integracijska konstanta C kar 0. Lo£imo spremenljvki in dobimoˆ u

1

du

u√η2 − 1

2κu2= x− x0 (8.6.16)

kjer smo novo integracijsko konstanto zapisali tako, da je pri x = x0 vrednost u = 1.Integral brez tezºav izra£unamo:

ln

(√κ

2

u

η +√η2 − κu2/2

)= x− x0 (8.6.17)

Izarazimo iskano funkcijo:

u =

√κ

2η

2

eη(x−x0) + e−η(x−x0)=

√κ

2η

1

chη(x− x0)(8.6.18)

tako da je po ena£bi 8.6.13

ψ(x, z) =

√κ

2η

eiη2ζ

chη(x− x0)(8.6.19)

125

8 Nelinearna optika

Vidimo, da predstavlja 1/η mero za polmer snopa, x0 pa je le pre£ni premik snopa, ki galahko brey ²kode postavimo 0. Tako je polje stacionarnega snopa

Es(x, z) =

√κ

2

η

chη(x− x0)exp[ik0z(1 +

η2

2k20)] (8.6.20)

Od parametra η je torej odvisna tudi konstanta ²irjenja in s tem fazna hitrost. Ta je temmanj²a, £im manj²i je polmer snopa:

vf =c

n0(1 +η2

2k20)

(8.6.21)

Mo£ dvodimenzionalnega snopa 8.6.20 je sorazmerna z integralom kvadrata polja pox. Integriramo brez teºav in dobimo

ˆ|Es|2dx =

2

κη2ˆ ∞

−∞

dx

ch2ηx=

4η

κ(8.6.22)

Mo£ stacionarnega snopa v dveh dimenzijah je je obratno sorazmerna s ²irino snopa 1/η.Zato obstoja pri poljubni mo£i stacionarna ²irina. To je bistvena razlika med dvo- intridimenzionalnim primerom, kjer se snop z nadkriti£no mo£jo kr£i v singularnost.

8.7 Opti£ni solitoni

V prej²njem razdelkusmo ugotovili, da pojav samozbiranja svetlobnega snopa lahko ravnokompenzira ²irjenje zaradi uklona, tako da ima pri ustrezni mo£i snop povsod konstnatno²irino in obliko. Povsem analogen pojav imamo tudi v £asovni domeni. Sunek svetlob, kise ²iri po snovi s frekven£no siperzijo lomnega koli£nika, se podalj²uje, kot smo ugotoviliv poglavju o opti£nih vlaknih. Ob primernih pogojih lahko odvisnost lomnega koli£nikaod intenzitete ravno kompenzira disperzijo in sunek ohranja obliko. Sunkom svetlobe,ki potujejo po sredstvu brez spremembe oblike, pravimo tudi opti£ni solitoni. Posebejso pomembni v opti£nih vlaknih, kjer je disperzija izrazita in bi se je radi za u£inkovitprenos informacije £im bolj iznebili.Poijav opti£nih solitonov ni teºko razloºiti. V vrhu svetlobenga sunka je pri n2 > 0

lomni koli£nik najve£ji, zato je na dani geometrijski razdalji opti£na faza k0nz najve£ja.Ker faza vzdolº sunka ni ve£ povsod enaka, se od za£etka do konca sunka spreminja tudifrekvenca, ki je odvod faze, in sicer je v sprednejm delu sunka niºja , v zadnjem pa vi²ja.e je disperzija lomnega koli£nika taka, da grupna hitrost nara²£a s frekvenco, bo zadnjidel sunka dohiteval sprednjega. Ta u£inek nelinearnosti lahko ravno kompenzira ²irjenjesunka zaradi disperzije.Ra£unsko obravnavajmo primer ²irjenja solitona po enorodnem opti£nem vlaknu. Spom-

nimo se (en. ??), da se zaradi spremembme lomnega koli£nika vlakna spremeni valovno²tevilo

δβ =ω2

c2β

´n δn |u|2dS´

|u|2dS(8.7.1)

126

8.7 Opti£ni solitoni

kjer u(r) opisuje pre£no obliko valovanja v vlaknu. Valovno ²tevilo je v vlaknu funkcijafrekvence. Kot v razdelku ???? ga razvijmo okoli centralne frekvence in dodajmo ²eprispevek 8.7.1:

β (ω) = β (ω0) +dβ

dω(ω − ω0) +

1

2

d2β

dω2(ω − ω0)

2 +ω2

c2β

´n δn |u|2dS´

|u|2dS(8.7.2)

Svetlobni sunek, ki se ²iri po vlaknu, zapi²imo, kot smo ºe vajeni, v obliki po£asi sprem-injajo£e se amplitudne funkcije in faznega faktorja pri nosilni frekvenci:

E (r, z, t) = A (z, t) u (r) exp i [β (ω0) z − ω0t] (8.7.3)

V razdelku ???? smo s pomo£jo razvoja 8.7.2 in Foureirove transformacije izpeljali difer-encialno ena£bo ??? za A (z, t). Na isti na£in moramo sedaj le dodati £len δβ iz en.8.7.1:

(∂

∂z+

1

vg

∂

∂t)A = − i

2

d2β

dω2

∂2A

∂t2+ iκ|A|2A (8.7.4)

kjer je

κ =ω2

c2β

´n0 n2 |u|4dS´

|u|2dS(8.7.5)

Vpeljimo novo neodvisno spremenljivko

τ = t− z

vg(8.7.6)

s katero opi²emo obliko sunka, kot ga vidi opazovalec, ki se giblje z grupno hitrostjoskupaj s sunkom. Ena£ba 8.7.4 dobi s tem obliko

i∂A

∂z− 1

2

d2β

dω2

∂2A

∂τ2+ κ |A|2A = 0 (8.7.7)

Ta ena£ba ima kot pri obravnavi samozbiranja svetlobnega snopa v prej²njem razdelkuobliko nelinearne Schrodingerjeve ena£be 8.6.12, v kateri ima sedaj τ isto vlogo kot prejpre£na koordinata x. Re²itev s stacionarno dolºino sunka, ki ustreza re²itvi s konstantnimpremerom snopa v primeru samozbiranja, tako dobimo, kadar je d2β/dω2 < 0. Topomeni, da grupna hitrost nara²£a s frekvenco, kar je v skladu z razmislekom na za£etkutega razdelka. Opti£ni soliton v vlaknu ima torej obliko

A (z, τ) =

√2

κ

η

ch

[√2∣∣∣ d2βdω2

∣∣∣−1ητ

] exp(iη2z

)

A (z, t) =

√2

κ

η

ch

[√2∣∣∣ d2βdω2

∣∣∣−1ηvg

(vgt− z)

] exp(iη2z

)(8.7.8)

127

8 Nelinearna optika

Parameter η je sorazmeren z energijo solitona. Ta potuje z grupno hitrostjo in pri temohranja obliko. Analiza majhnih odmikov od dobljene re²itve pokaºe, da je soliton tudistabilen ( Naloga). Zaradi tega se zdi, da bilo solitone mogo£e izrabiti v opti£nih komu-nikacijskih sistemih, kjer je potrebna velika gostota prenosa informacije na velike razdalje.S tem bi se izognili teºavam, ki jih pri linearnem prenosu povzro£a disperzija.

8.8 Opti£na fazna konjugacija

Fazna konjugacija je zanimiv in danes tudi prekti£no pomemben pojav, pri kateremdobimo iz danega novo valovanje, ki ima enake valovne fronte in potuje v nasprotnismeri od prvotnega valovanja; novo valovanje je tako, kot bi za£etnemu obrnili predznak£asa. Pojav je v ozki zvezi s holograjo, kjer najprej zapi²emo predmetni snop, ki gakasneje reproduciramo, pri fazni konugaciji pa zapis za£etnega vala in njegova reproducijapotekata so£asno.Napravimo poskus, ki ga kaºe slika ??. Na nelinearen kristal naj v nasprotnih smereh

vpadata dva mo£na ravna £rpalna vala z valovnima vektorjema k1 in −k1. Poleg teganaj vpada ²e tretji, signalni snop, ki ni nujno raven val. Signalni val interferira s prvim£rpalnim valom in s tem zaradi nelineranosti tretejga reda povzro£i modulacijo lomnegakoli£nika, ki je skoraj periodi£na, £e je signalni val blizu ravnega vala. Na tej periodi£nimodulaciji se drugi £rpalni val uklanja, pri £emer je uklonjeni val enake oblike kot signalni,le potuje v nasprotni smeri, ker ima drugi £rpalni val nasprotno smer od prvega. rpalnavala sta seveda enakovredna in ni mogo£e lo£iti, s katerim je signalni val interferiral inkateri se uklanja.Pozoren bralec je ugotovil, da je gornja razlaga podobna razlagi holograje, le da sta

tam postopka zapisa interference predmetnega vala z refern£nim in reprodukcije lo£ena.Signalni val lahko zapi²emo v obliki

E3 = Re[ψ (r) ei(kz−ωt)

](8.8.1)

Videli bomo, da je novonastali val

E4 = Re[ψ∗ (r) ei(−kz−ωt)

](8.8.2)

Zaradi nasprotnega predznaka k potuje v obratni smeri od signalnega vala; poleg tega je²e amplituda konjugirano kompleksna. To seveda ne pliva na obliko valovnih front, te sopopolnoma enake kot pri signalnem valu. Zaradi lastnosti, da lahko novi val iz signalnegadobimo tako, da krajevni del kompleksno konjugiramo, nastalemu valu pravimo faznokonjugiran val.Uporabna posledica fazne konjugacije je prikazana na sliki ??. Naj na neko nerpavilno

sredstvo z leve vpada Gaussov snop. Po prehodu skozi sredstvo valovne fronte nisove£ gladke. Ta popa£en snop v faznem konjugatorju generira fazno konjugiran snop, kipotuje proti levi in ima enako nepravilne valoven fronte kot vpadni val. Po prehoduskozi nepravilno sredstvo se neravnosti valovne fronte kompenzirajo in dobimo enakegladke valoven ploskeve Gaussovega snopa, kot smo jih imeli na za£etku. To lastnost

128

8.8 Opti£na fazna konjugacija

popravljanja valovne fronte je mogo£e koristni uporabiti, na primer namesto enega zrcalav laserskem resonatorju.Poglejmo podrobneje, kako v nelinearnem sredstvu nastane fazano konjugiran val. Kot

kaºe slika ??, je celotno polje v nelienarnem kristalu vsota ²tirih valov, dveh £rpalnih,signalnega in odbitega:

E =1

2E1e

ik1·r +1

2E2e

−ik1·r +1

2E3 (z) e

ikz +1

2E4 (z) e

−ikz + k.k. (8.8.3)

S k.k. smo spet ozna£ili konjugirano kompleksne £lene. Ker so vsa polje pri isti frekvenci,nam £asovenga faktorja ni treba pisati. Zaradi enostavnosti zapisa nelinearne polarizacijevzemimo, da so vse polarizacije enake. Privzeli smo ²e, da sta £rpalna vala E1 in E2 dostimo£nej²a od E3 in E4, tako da sta njuni amplitudi konstantni, E3 (z) in E4 (z) pa se lepo£asi spreminjata.Postavimo E v £asovno neodvisno valovno ena£bo z nelinearno polarizacijo:

∇2E + εω2

c2E = −µ0ω2PNL (8.8.4)

Pri tem je ε ω2/c2 = k2. Ker obravnavamo le polje pri osnovni frekvenci, nastopajo vnelinearni polarozaciji le £leni s to frekvenco. Vsebujejo ²e vedno razli£ne kombinacijevalovnih vektorjev. K ena£bi za E4 prispevajo le tisti s krajevnim faznim faktorjemexp(−ikz), to je

PNL4 = ε0χ

(3)[E1E2E∗3 + (|E1|2 + |E2|2)E4] (8.8.5)

Tu je χ(3) efektivna nelinearna susceptibilnost za izbrano polarizacijo vseh polj. Zane-marili smo £lene, kjer E3 in E4 nastopata v vi²jih potencah, ker so majhni v primeriz zapisanimi. Z upo²tevanjem, da se E (z) le po£asi spreminja, dobimo enako kot prime²anju treh frekvenc

dE4

dz= i

ω

ncχ(3)

[E1E2E

∗3 + (|E1|2 + |E2|2)E4

](8.8.6)

Drugi £len na desni ºe poznamo; opisuje odvisnost lomnega koli£nika od intenzitete £r-palnih valov, torej opti£ni Kerrov pojav. Vpeljimo nove amplitude

Ak = Ek exp[−i ωnc

(|E1|2 + |E2|2

)z]

(8.8.7)

ki se od prvotnih razlikujejo le po faznem faktorju. S tem se ena£ba 8.8.6 poenostavi:

dA4

dz= i

ω

ncχ(3)A1A2A

∗3 (8.8.8)

Podobno dobimodA∗

3

dz= i

ω

ncχ(3)A∗

1A∗2A4 (8.8.9)

Z vpeljavo sklopitvene konstanteκ =

ω

ncχ(3) (8.8.10)

129

8 Nelinearna optika

se ena£bi poenstavita:dA4

dz= iκ∗A∗

3

dA∗3

dz= iκA4 (8.8.11)

Bralcu priporo£am, da si ²e enkrat ogleda korake, s katerimi smo zelo teºaven problemnelinearne valovne ena£be poenostavili na lineanren sistem dveh preprostih sklopljenihena£b za amplitudi signalnega in odbitega vala.Splo²ni re²itvi sistema 8.8.11 sta

A4 (z) = C1 cos |κ| z + C2 sin |κ| z (8.8.12)

A∗3 (z) = −i |κ|

κ∗(−C1 sin |κ| z + C2 cos |κ| z)

Potrebujemo ²e robne pogoje za obe valovanji. Z leve, pri z = 0, poznamo A∗3 (0), pri

z = L pa ne more biti odbitega vala:A4 (L) = 0. S tem lahko dolo£imo konstanti C1 inC2:

A4 (z) = iκ∗

|κ|sin |κ| (L− z)

cos |κ|LA∗

3 (0) (8.8.13)

A∗3 (z) =

cos |κ| (z − L)

cos |κ|LA∗

3 (0)

Amplituda odbitega vala pri z = 0 je

A4 (0) = iκ∗

|κ|tan |κ|L A∗

3 (0) (8.8.14)

Odbiti val je sorazmeren s kompleksno konjugirano amplitudo vpadnega vala in imanatnako nasproten valovni vektor, zato tudi ime fazno konjugiran val. Ker je lahkotan |κ|L > 1, je moºno tudi oja£enje odbitega vala, ki gre seveda na ra£un mo£i £rpalnihvalov.Doslej smo predpostavili, da je signalni val raven. e je njegova amplituda odvisna ²e

od pre£ne koordinate, ga lahko razvijemo po ravnih valovih in velja za vsako komponentoposebej en. 8.8.14. Odbite komponente so sorazmerne s konjugiranimi komponentamisignalnega vala z nasprotnim valovnim vektorjem in dajo skupaj valovno fronto enakeoblike kot pri signalnem valu, le giblje se v nasprtni smeri, kot smo opisali ºe na za£etkurazdelka.

130

9 Opti£na vlakna

Opti£na vlakna vodijo svetlobno valovanje s tem, da se na meji med sredico z ve£jimlomnim koli£nikom in pla²£em valovanje totalno odbije. So torej dielektri£ni valovni vod-niki za svetlobo. Njihove prednosti pred bakrenimi vodniki v komunikacijski tehnologijiso bistveno ve£ja koli£ina informacij, ki jo je mogo£ prena²ati po enem vlaknu, ma-jhne izgube in neob£utljivost na elektromagnetne motnje. Zato danes v veliki merinadome²£ajo kovinske vodnike, posebej v medkrajevni telefoniji in ra£unalni²kih povezavah.Njaenostavnej²i model opti£nega vodnika je planparalelna plast prozornega dielek-

trika z lomnim koli£nikom n1 ve£jim od od okolice (slika ??). Plasti z ve£jim lomnimkoli£nikom recimo sredica, okolici pa pla²£ vlakna. arek je ujet v sredici, £e je vpadni kotθ ve£ji od kota totalnega odboja, za katerega velja sin θc = n0/n1. Koli£ini sin (π/2− θc),ki dolo£a najve£ji kot divergence svetlobnega snopa, ki je ²e ujet v vlaknu, pravimo nu-

meri£na odprtina vlakna. Razlika lomnih koli£nikov n1 − n0 = ∆n je obi£ajno dokajmajhna, to je le nekaj stotink.Za podroben opis ²irjenja svetlobe po vlaknih, ki imajo obi£ajno polmer sredice od

nekaj do nekaj deset mikrometrov, geometrijska optika ne zado²£a. Re²iti moramoMaxwellove ena£be z ustreznimi robnimi pogoji, kar je za prakti£na vlakna dokaj dolgra£un. Ugotovimo najprej, kak²ne so osnovne zna£ilnosti valovanja po vlaknu.Geometrijskemu ºarku, ki potuje po sredici pod kotom in se na meji odbija, ustreza v

valovni sliki val, ki ima pre£no komponento valovnega vektorja razli£no k⊥ od ni£. Kot to-talnega odboja pri dani frekvenci dolo£a najve£jo moºno vrednost k⊥max ' n1k0 cos θc =k0√n21 − n20 ' k0

√2n∆n, kjer je k0 = ω/c, n pa povpre£ni lomni koli£nik. Ker je valo-

vanje v pre£ni smeri omejeno na sredico dimenzije a, ima lahko k⊥ le diskretne vrendosti,ki so pribliºno Nπ/a, kjer je N celo ²tevilo. Z vsakim N je dolo£en en rod valovanj vvlaknu. Ker je omejen k⊥, je ²tevilo rodov je navzgor omejeno: Nmax ' k0a/π

√2n∆n.

N je tudi ²tevilo vozlov, ki jih ima valovanje v pre£ni smeri. tevilo rodov v danemvlaknu je odvisno od razlike lomnih koli£nikov in od dimenzije vlakna. Videli bomo, dav opti£nih vlaknih en rod vselej obstaja, kar je ena od razlik med dielektri£nimi in kovin-skimi vodniki, kakr²ne poznamo iz mikrovalovne tehnike in po katerih se pod dolo£enofrekvenco ne more ²iriti nobeno valovanje. Opti£ni vodniki, po katerih se ²iri en sam rod,imajo posebej lepe lastnosti za uporabo v komunikacijskih sistemih.Fazna hitrost valovanja, ki potuje po valovnem vodniku, je odvisna od frekvence,

imamo torej disperzijo. Razlog je v diskretnih vrednostih k⊥. Naj bo β komponentavalovnega vektorja vzdolº vlakna, recimo ji tudi valovno ²tevilo, tako da je odvisnostpolja od koordinate vzdolº vlakna exp iβz. Veljati mora

n1ω

c=√β2 + k2⊥ (9.0.1)

131

9 Opti£na vlakna

. Za dano vrednost k⊥ torej zveza med valovnim ²tevilom in frekvenco ni linearna, zatoje fazna hitrost vf = ω/β odvisna od frekvence. Grupna hitrost vg = dω/dβ je razli£naod fazne in tudi odvisna od frekvence, kar ima za uporabo vlaken pomembne posledice.

9.1 Planparalelni vodnik

Preprost dvodimenzionalen model opti£nega vlakna je planparalelna plast prozornegadielektrika z lomnim koli£nikom ve£jim od okolice: n1 > n0 (Slika ??). Re²itev kra-jevnega dela valovne ena£be

∇2E+n (x)2 k20E =0 (9.1.1)

kjer je k0 = ω/c, i²£imo v oblikiE = ψ (x) eiβz (9.1.2)

Za amplitudo ψ (x) dobimo ena£bo

d2ψ

dx2+[n (x)2 k20 − β2

]ψ = 0 (9.1.3)

kjer je v plasti (obmo£je II.) lomni koli£nik n1, v okolici (obmo£ji I. in III.) pa n0.Robni pogoji so, da sta tangencialni komponenti elektri£ne in magnetne poljske jakostina meji zvezni. V planparalelnem primeru lahko valovanja lo£imo na transverzalno elek-tri£na (TE) in transverzalno magnetna (TM). V prvem primeru je E v smeri osi y, vdrugem pa H. Pri TE valovih je tangencialna komponenta magnetnega polja Hz. Kerje ∇×E = iωµ0H, dobimo iz zveznosti Hz, da je na meji zvezen tudi odvod ∂Ey/∂x. Stem postane problem matemati£no enak iskanju lastnih stanj energije za delec v kon£nogloboki enodimenzionalni potencialni jami v kvantni mehaniki, kjer lastni vrednosti en-ergije ustreza β2. Poglejmo najprej, kak²ne so moºne re²itve:

a. k0n0 < β < k0n1. Tedaj so re²itve oscilatorne v sredici in eksponentno pojemajo£e vpla²£u. Predstavljajo vodene valove v plasti. V kvantni mehaniki ustrezajo vezanimstanjem.

b. β < k0n0. Re²itve so oscilatorne v vseh treh obmo£jih in opisujejo valove, ki niso ujetiv plasti, temve£ z ene strani vpadajo na plast, se delno skoznjo lomijo, delno paodbijejo. V re²itvi je upo²tevana tudi interferenca na plasti (Naloga). Taka stanjav kvantni mehaniki opisujejo prost delec.

Zanima nas predvsem prvi primer. Za£nimo s TE polarizacijo, to je ψ(x) = (0, ψ(x), 0).Naj bo x = 0 v sredini plasti. Zaradi simetrije morajo biti re²itve za ψ (x) ali sode alilihe. Sode re"itve imajo v sredici obliko

ψII(x) = C1 cos k⊥x (9.1.4)

v obmo£jih I in III paψI,III (x) = C0 e

κ(a∓x) (9.1.5)

132

9.1 Planparalelni vodnik

Tu je k⊥ =√n21k

20 − β2 in κ =

√β2 − n20k

20. Zveznost elektri£ne poljske jakosti na meji

nam daC1 cos k⊥a = C0 (9.1.6)

Iz zveznosti odvoda dobimoC1k⊥ sin k⊥a = κC0 (9.1.7)

Zadnji dve ena£bi morata biti hkrati izpolnjeni, zato velja zveza

k⊥ tan k⊥a = κ (9.1.8)

Iz izrazov za k⊥ in κ dobimo ²e drugo zvezo

k2⊥ + κ2 = k20(n21 − n20

)(9.1.9)

Vpeljimo brezdimenzijske koli£ine ξ = ak⊥ , η = aκ in V 2 = a2k20(n21 − n20

). Z njimi

lahko gornji ena£bi zapi²emo v prglednej²i obliki

ξ tan ξ = η (9.1.10)

ξ2 + η2 = V 2 (9.1.11)

Dovoljene vrednosti ξ in η dobimo kot prese£i²£a krogov z radijem V in funkcije ξ tan ξ,kar je prikazano na sliki ??.Lihe re²itve imajo v sredici obliko

ψII(x) = C1 sin k⊥x (9.1.12)

v pla²£u paψI,III (x) = ±C0 e

κ(a∓x) (9.1.13)

Na enak na£in kot za sode re²itve dobimo iz robnih pogojev, da mora veljati zveza

k⊥ cot k⊥a = −κ (9.1.14)

ali−ξ cot ξ = η (9.1.15)

Funkcija −ξ cot ξ je na sliki ?? prikazana £rtkano. Lastne vrednosti za lihe re²itve dobimokot njena prese£i²£a s krogomz radijem V .Parameter V meri globino potencialne jame; iz slike vidimo, da eno vodeno valovanje

(ali vezano stanje v kvantni mehaniki) vselej obstaja. Pri velikih vrednostih V je re²itevza dovoljene vrednosti ξ ve£. Razen najve£je so zelo blizu mnogokratniku π/2, kar da zadovoljene vrednosti k⊥ pribliºno mnogokratnike π/(2a), kot smo pri£akovali ºe v uvodu.Ko smo dolo£ili lastne vrednosti k⊥, poznamo za vsak rod tudi disperzijsko zvezo medfrekvenco in valovnim ²tevilom:

n21ω2

c2= β2 + k2⊥ (9.1.16)

133

9 Opti£na vlakna

Pri tem je tudi lastna vrednost k⊥ lahko nekoliko odvisna od ω, ker je ta vsebovana v V .Osnovna lastna vrednost ξ0 je pri V << 1 pribliºno kar V . Zato je k2⊥ ' k20(n

21 − n20)

in je β = n0k0. V primeru zelo ²ibkega vodenja je torej fazna hitrost vodenega valapribliºno enaka fazni hitrosti v pla²£u, to je c/n0. To je lahko razumeti; pri majhnem Vje namre£ tudi κ majhen in se eksponentno pojemajo£e valovanje razteza dale£ v pla²£.(Naloga:Kak²na je v tej limiti grupna hitrost?). V nasprotnem primeru, ko je V >> 1,je ξ0 ' π/2 << V . Zato je tudi k⊥ ' π/(2a) << n1k0 in je pribliºno β ' n1k0. Vtem primeru je torej fazna hitrost taka kot v sredstvu z lomnim koli£nikom sredice, karje v skladu s preprosto predstavo, da se pri velikem V osnovni vodeni rod ²iri po sredicivzdolº osi vlakna.Ra£un za transverzalno magnetne (TM) valove je zelo podoben, le v robnem pogoju

za tangencialno komponento elektri£nega polja nastopita dielektri£ni konstanti sredice inpla²£a, zato je predvsem najniºja lastna vrednost za k⊥ nekoliko ve£ja kot za TE valove.(Naloga)

9.2 Cilindri£no vlakno

Obi£ajna vlakna so seveda tridimenzionalna s cilindri£no geometrijo. Najpreprostej²astrukutra, povsem analogna gornjemu primeru planparalene plasti, je jedro s konstatnimlomnim koli£nikom, ki je nekoliko ve£ji od lomnega koli£nika pla²£a. Pogoste so tudizapletenej²e konstrukcije, pri katerih je sredica sestavljena iz ve£ kolobarjev z razli£nimilomnimi koli£niki. S primerno izbiro je tako mogo£e zelo zmanj²ati disperzijo (Slika ??).Ra£un za ²irjenje svetlobe po cilindri£nem vlaknu s homogeno sredico je sicer podoben

kot za planparalelni primer, vendar je precej bolj zapleten. Glavna komplikacija je,da v cilindri£ni geomteriji ni ve£ delitve na £isto elektri£no in magnento transverzalnevalove, zato postanejo robni pogoji bolj zapleteni. Re²itve se izrazajo v obliki kombinacijBesselovih funkcij. Podrobnosti si bralec lahko ogleda v literaturi [?]. Osnovne zna£ilnostire²ite pa ostajajo enako kot v dvodimenzionalnem primeru. Kot smo ugotovili ºe naza£etku, obstoja kon£no ²tevilo vodenih valov, odvisno od premera sredice in razlikelomnih koli£nikov sredice in pla²£a. e sta ti koli£ini majhni, obstoja le eno vodenovalovanje in imamo enorodovno vlakno. Za njegovo valovno ²tevilo velja n0k0 < β <n1k0.

9.3 Cilindri£no vlakno s paraboli£nim prolom lomnegakoli£nika

V treh dimenzijah lahko hitro poi²£emo re²itve za vlakno, v katerem je dielektri£nakonstanta kvadratna funkcija radialne koordinate r:

n (r)2 = n20 + n22 r2 (9.3.1)

Parameter n2 je v praksi vselej majhen, zato ima za vse smiselne vrednosti r tudi lomnikoli£nik paraboli£en prol. Paraboli£na sredica mora sveda biti omejena, okoli nje imamo

134

9.4 Sprememba lomnega koli£nika vlakna

zopet pla²£ s konstantnim lomnim koli£nikom (Slika ??). Tipi£en radij sredice je nekajdeset mikrometrov.Komponento polja za izbrano polarizacijo napi²imo v obliki

E = E0ψ(x, y) eiβz (9.3.2)

Zanemarili smo, da zaradi odvisnosti od pre£nih koordinat in∇·E = 0 polje ne more imetipovsod iste smeri; £e ho£emo biti natan£ni, moramo v gornji obliki zapisati vektorskipotencial. Postavimo pribliºni nastavek v valovno ena£bo. Dobimo ena£bo

∇2⊥ψ +

[k20(n20 + n22r

2)− β2

]ψ = 0 (9.3.3)

ki je popolnoma enaka ena£bi za krajevni del lastnih funkcij dvodimenzionalnega har-monskega oscilatorja v kvantni mehaniki. Re²itve imajo obliko

ψlm = Hl

(√2x

w

)Hm

(√2y

w

)e−(x2+y2)/w2

, w2 =λ

πn2(9.3.4)

z lastnimi vrednostmi

β2lm = n20k20

[1− 2n2

k0n0(l +m+ 1)

](9.3.5)

Razmerje 2n2/ (k0n0) je majhno, zato je pribliºno βlm = n0k0

[1− n2

k0n0(l +m+ 1)

].e

je n2 neodvisen od frekvence, je grupna hitrost

vg =

(dβlmdω

)−1

=c0n0

(9.3.6)

enaka za vse rodove, kar je zna£ilnost vlakna s kvadratnim prolom lomnega koli£nika. Vdejanskem vlaknu je seveda taka odvisnost moºna le v omejenem obmo£ju sredice, zatoje tudi gornja analiza le pribliºna in velja dobro za tiste rodove, ki se ne raztezajo izvensredice.Neodvisnost grupne hitrosti od reda valovanja v vlaknu je prakti£no pomembna. Grupna

hitrost dolo£a £as potovanja svetlobnega sunka, ki lahko predstavlja en bit informacije.e se po vlaknu lahko ²iri ve£ rodov, ki imajo razli£no grupno hitrost, se sunek po pre-hodu skozi vlakno raz²iri, kar omejuje uporabno dolºino vlakna, kot bomo podrobnejevideli kasneje. Temu se lahko izognemo z uporabo enorodovnih vlaken, ki pa so draºjain je vanje te"je uvesti svetlobni snop, katerega divergenca in premer morata ustrezatiujetemu valu enorodovnega vlakna, £e naj ne bo izgub. Zato se za kraj²e zveze uporabl-jajo mnogorodovna vlakna, ki imajo sredico s pribliºno paraboli£nim prolom lomnegakoli£nika.

9.4 Sprememba lomnega koli£nika vlakna

Sprememba lomnega koli£nika sredice ali pla²£a vlakna povzro£i spremembo valovnega²tevila β danega roda. V enorodovnih vlaknih je to mogo£e izkoristiti za izdelavo sen-zorjev, na primer temperature ali tlaka. Zaradi zunanjih vplivov, ki jih ºelimo zaznati,

135

9 Opti£na vlakna

se spremeni lomni koli£nik vlakna in s tem propagacijska konstanta, kar lahko izmerimopreko spremembe faze valovanja na izhodu iz vlakna, to je, z ustrezno sestavljenim in-terferometrom. Ker je dolºina vlakna lahko velika, v nekaj centimetrov velik tulec lahkobrez teºav navijemo kilometre vlakna, je celotna sprememba faze velika ºe pri majhnihspremembah merjene koli£ine. Sprememba valovnega ²tevila povzro£a tudi nezaºeljenespremembe faze in odboje pri prenosu informacij. V tem razdelku zato poglejmo, kakose spremeni valovno ²tevilo pri dani spremembi lomenga koli£nika.Vzemimo rod vlakna s propagacijsko konstanto βlm in pre£nim prolom ψlm (r, φ) . Ta

mora zado²£ati valovni ena£bi

∇2⊥ψlm +

(ε(r)k20 − β2lm

)ψlm = 0 (9.4.1)

Naj se dielektri£na konstanta vlakna spremeni za δε. Zato se spremenita tudi propagaci-jska konstanta β = βlm + δβ in pre£na oblika ψ = ψlm + δψ. Tudi motena funckija ψmora zado²£ati ena£bi 9.4.1, zato za perturbacijo velja

∇2⊥δψ +

(ε(r)k20 − β2lm

)δψ + δε k20ψlm = 2βlmδβ ψlm (9.4.2)

kjer smo zanemarili produkte majhnih koli£in. Mnoºimo obe strani ena£be s ψ∗lm in

integrirajmo po preseku vlakna, pri £emer upo²tevajmo, da je δψ ortogonalna na ψlm:ˆψ∗lm∇2

⊥δψ dS +

ˆ (ε(r)k20 − β2lm

)δψ ψ∗

lm + k20

ˆδε |ψlm|2 dS (9.4.3)

= 2βlm δβ

ˆ|ψlm|2 dS (9.4.4)

Prvi £len na levi preoblikujmo z uporabo zvez´(u∇2

⊥v − v∇2⊥u) dS =

´∇⊥ · (u∇⊥v −

v∇⊥u) dS =¸ds× (u∇⊥v − v∇⊥u). Ker fuknciji ψlm in δψ opisujeta vodene valove,

morata iti za velike r proti ni£, zato je integral po krivulji v gornji zvezi ni£ in velja´ψ∗lm∇2

⊥δψ dS =´δψ∇2

⊥ψ∗lm dS. Ker ψ∗

lm zado²£a ena£bi 9.4.1, se v ena£bi 9.4.3 prviin drugi £len uni£ita in dobimo ºeljeno zvezo

δβ =k20´δε |ψlm|2 dS

2β´|ψlm|2 dS

(9.4.5)

ki je seveda analogna kvantnomehanskemu rezultatu s teorijo motenj prvega reda zaspremembo energije lastnega stanja pri majhni sprmembi Hamiltonovega operatorja.Rezultat je tudi intuitivno razumljiv: v najniºjem redu je δβ sorazmerna s uteºenimpovpre£jem δε, kjer je uteº ψlm.Sprememba valovnega ²tevila β v delu vlakna, po katerem potuje svetloba, ne povzro£i

le spremembe faze, ampak tudi odboj dela valovanja. Ta pojav je le nekoliko druga oblikaodboja na meji (zvezni ali ostri) dveh dielektrikov, ali splo²neje, odboja vsakega valovanjana obmo£ju, kjer se spremeni fazna hitrost valovanja.Odboj na obmo£ju vlakna, kjer se spreminja β, bomo najlaºje dobili preko formule za

odboj na meji dveh dielektrikov pri pravokotnem vpadu. Odbita amplituda je tedaj

Er =n2 − n1n2 + n1

E0 (9.4.6)

136

9.5 Izgube v opti£nih vlaknih

Mislimo si, da je sprememba β na delu vlakna sestavljena iz majhnih stopni£astih spre-memb ∆βi na intervalih ∆z. Za ravno valovanje, za katerega velja ena£ba 9.4.6, jesprememba lomnega koli£nika sorazmerna s spremembo fazne hitrosti. Ker tudi β dolo£afazno hitrost valovanja po vlaknu, je deleº odbitega valovanja na stopni£asti spremembi∆βi

∆Ei =∆βi2β

E0 (9.4.7)

Predpostavili smo, da je celotni del odbitega valovanja tako majhen, da ni treba upo²te-vati spremembe amplitude vpadnega vala E0. Vse odbito valovanje je vsota prispevkov naposameznih stopnicah ∆βi, pri £emer moramo upo²tevati ²e razli£ne faze delnih odbitihvalovanj:

Er =∑ ∆βi

2βe2iβzi E0 =

1

2β

∑ dβ

dze2iβzi∆z E0 (9.4.8)

Preidimo z vsote na integral, pa dobimo, da je odbita amplituda

Er =E0

2β

ˆdβ

dze2iβzdz (9.4.9)

Primer: Naj se valovno ²tevilo linearno spermeni za ∆β0 na razdalji L. Tedaj je pogornji formuli

Er

E0= 2

∆β0L

sinβL/2

β(9.4.10)

Odbojnost je najve£ja, kadar je L majhen v primeri z 1/β, torej kadar je spremembaβ ostra stopnica. im po£asnej²a je sprememba, tem manj je odboja, poleg tega paodboja ni vsaki£, ko je sinβL/2 = 0, to je, pride do destruktivne interference vseh delnihodbojev.(Naloga: Odboj na erf stopnici).

9.5 Izgube v opti£nih vlaknih

Ena najpomembnej²ih lastnosti opti£nih valken je majhno slabljenje svetlobnega vala,posebej ²e v vlaknih iz kremenovega stekla. Najbolj²a vlakna imajo danes izgube okoli0,2 db/km pri valovni dolºini 1,55 µm. (1 decibel je 0, 1 log(j0/j).). Glavni vzrokiizgub so absorpcija in sipanje na ne£isto£ah in sipanje na termi£nih uktuacijah gos-tote (Rayleighovo sipanje). Slika ?? prikazuje tipi£no odvisnost izgub od valovne dolºineza dobro enorodovno vlakno iz kremenovega stekla s primesjo GeO2. Sipanje na uktuaci-jah gostote je sorazmerno z λ−4, zato dominira pri majhnih valovnih dolºinah, sipanjena defektih in nepravilnostih je skoraj zanemarljivo, pri valovnih dolºinah nad 1,6 µmpa prevlada absorpcija. Vrh med 1,3 µm in 1,5 µm je posledica absorpcije na OH ionih,ki se jih je v steklu zelo teºko znebiti. Iz slike je razvidno, da so izgube najmanj²e okoli1,55 µm, zato se to obmo£je najve£ uporablja za zveze na velike razdalje. Najbolj²ihmodernih vlaken tudi ni ve£ mogo£e kaj dosti izbolj²ati glede izgub, saj so ºe doseglaspodnjo mejo, dolo£eno s termi£nimi uktuacijami.Pri opti£nih zvezah nastanejo ²e izgube na spojih vlaken, ki so okoli 0,2 db na spoj.

Skupne izgube so tako dosti manj²e kot v koaksialnem kablu in je moºen prenos signala

137

9 Opti£na vlakna

do nekaj sto kilometrov brez vmesnega oja£evanja. S tem pri dolºini opti£nih zvez izgubeniso ve£ glavna omejitev, ampak je to popa£itev signala zaradi disperzije.V opti£nem vlaknu nastanejo izgube tudi, kadar je vlakno ukrivljeno. Te izgube

postanejo znantne, kadar je krivinski radij vlakna centimeter ali manj. Ta pojav jedovolj zanimiv, da si ga je vredno nekoliko podrobneje ogledati.Vzemimo spet dvodimenzionalno plast debeline 2a z lomnim koli£nikom n1 v sredstvu

z lomnim koli£nikom n0, ki naj bo ukrivljena s krivinskim radijem R. Taka plast tvoridel kolobarja z notranjim radijem R−a in zunanjim radijem R+a, pri £emer je R >> a(Slika ??). Zapi²imo valovno ena£bo za dve dimenziji v cilindri£ni geometriji:

1

r

∂

∂rr∂E

∂r+

1

r2∂2E

∂φ2+ k20n

2 (r) E = 0 (9.5.1)

kjer ima n (r) vrednost n1 v sredici in n0 drugje. Zanimajo nas re²itve oblike

E = ψ (r) eimφ (9.5.2)

kjer je ψ (r) znatna le v sredici. Ker je valovna dolºina svetlobe dosti manj²a od R, je mveliko ²tevilo, ki je povezano z valovnim ²tevilom β: naj bo z = Rφ dolºina loka vzdolºsredine sredice. Tedaj je mφ = (m/R) z in je torej β = m/R. ψ zado²£a ena£bi

d2ψ

dr2+

1

r

dψ

dr+

[k20 n

2 (r)− m2

r2

]ψ = 0 (9.5.3)

Re²itve za ψ so kombinacije Besselovih funkcij reda m, kar pa zaradi velikosti m niposebno zanimivo. Dosti ve£ bomo izvedeli, £e primerno preoblikujemo valovno ena£bo9.5.1. Namesto r in φ vpeljimo koordinati x = r −R in z = Rφ. S tem smo pre²li nazajna koordinate planparelelne plasti in i²£emo popravke valovne enacbe 9.1.3 reda 1/R.Tako je 1/r ' 1/R in

m2

r2=

m2

(R+ x)2' m2

R2

(1− 2

x

R

)= β2

(1− 2

x

R

)(9.5.4)

S tem dobimo iz ena£be 9.5.3 pribliºno ena£bo za pre£no obliko polja

d2ψ

dx2+[k20 n

2 (r)− β2]ψ +

1

R

(dψ

dr− 2β2xψ

)= 0 (9.5.5)

9.6 Disperzija

Zaradi disperzije, to je odvisnosti fazne in grupne hitrosti od frekvence, se sunek svetlobe,ki potuje po vlaknu, podalj²uje. Ta pojav omejuje koli£ino informacije, ki jo je mogo£eprena²ati po vlaknu dane dolºine. Zato je £im manj²a disperzija v vlaknih vsaj tolikopomembna kot majhne izgube.Vzemimo najprej enorodovno vlakno in naj bo svetloba v vlaknu modulirana v obliki

kratkih sunkov, ki nosijo informacijo. Sunki potujejo z grupno hitrostjo

vg =dω

dβ=

(dβ

dω

)−1

(9.6.1)

138

9.6 Disperzija

Po ena£bi 9.0.1 je grupna hitrost odvisna od frekvence tako zaradi eksplicitne korenskezveze med ω in β kot zaradi odvisnosti lomnih koli£nikov sredice in pla²£a od frekvence.Prvemu prispevku recimo valovodna disperzija, ker je posledica omejitve valovanja vsredico vlakna, drugemu pa materialna disperzija. Oba prispevka sta pomembna.Naj bo dolºina vlakna L in trajanje posameznega sunka τ . Sunek potuje po vlaknu

£asT =

L

vg= L

dβ

dω(9.6.2)

Svetloba ima kon£no spektralno ²irino ∆ω. Ta mora biti vsaj 1/τ, lahko pa je tudive£ja, £e svetlobni izvor, obi£ajno polvodni²ki laser, ni povsem monokromatski. Ker vsespektralne komponente ne potujejo z isto hitrostjo, se sunek na koncu vlakna razleze za

∆τ =

∣∣∣∣dTdω∣∣∣∣∆ω = L

d2β

dω2∆ω (9.6.3)

Naj bo tudi razmik me zaporednimi sunki τ. Da se sunki ne bodo prekrivali, mora biti∆τ < τ in sme biti najvi²ja frekvenca modulacije kve£jemu

vmax =1

2∆τ(9.6.4)

Lo£iti moramo dva mejna primera. Kadar je ∆ω >> 1/τ , to je, kadar je spektralna²irina izvora mnogo ve£ja od ²irine zaradi modulacije, je

vmax =1

L∆ω

(d2β

dω2

)−1

(9.6.5)

Najve£ja gostota informacije, ki jo lahko prena²amo po vlaknu, je v tem primeru obratnosorazmerna z dolºino vlakna in spektralno ²irino laserja.V nasprotnem primeru, ko je laser dosti bolj monokromatski od raz²iritve zaradi same

modulacije, imamo ∆ω = 1/τ . Pri najvi²ji moºni frekvenci modulacije vmax je τ ' ∆τin je po ena£bi 9.6.3

(∆τ)2 = Ld2β

dω2(9.6.6)

in je

vmax =

√1

L

(d2β

dω2

)−1

(9.6.7)

V tem primeru je najvi²ja frekvenca modulacije obratno sorazmerna s korenom dolºinevlakna.Ve£ji del dicperzije grupne hitrosti prinese materialna disperzija, to je, odvisnost lom-

nega koli£nika od frekvence. Primer meritve raz²iritve sunka z znano spektralno ²irinov izbrani dolºini vlakna kaºe slika ??. Pri valovni dolºini okoli 1,3 µm ima materialnadisperzija, to je d2n/dω2, ni£lo, ki je v celotni disperziji nekoliko premaknjena zaradiprispevka valovodne disperzije. Na valovodno disperzijo je mogo£e vplivati s konstru-cijo vlakna. Sredica je lahko sestavljena iz ve£ plasti z razli£nimi lomnimi koli£niki in

139

9 Opti£na vlakna

razli£nimi debelinami, s £imer se spremeni prispevek valovodne disperzije in se poloºajni£le celotne disperzije premakne k valovni dolºini izvora.Iz slike ?? razberemo, da je tipi£na disperzija enorodovnega vlakna okoli 10 ps/km

pri spektralni ²irini 1 nm. Od tod je d2β/dω2 = ∆τλ/ (∆λLω) ' 5 · 10−23 s2/m. Poena£bi 9.6.7 je v 100 km dolgem vlaknu tedaj najvi²ja frekvenca modulacije okoli 109

Hz. Pri zmogljivih zvezah na velike razdalje je torej za najve£jo dolºino vlakna brezobnovitve signala disperzija huja²a omejitev kot izgube. Najve£ja moºna razdalja innajvi²je frekvenca modulacije sta danes nekaj sto kilometrov in nekaj GHz.V mnogorodvnih vlaknih se sunek ²iri zaradi razli"nih grupnih hitrosti posameznih

rodov. Razli£ne grupne hitrosti v valovni sliki ustrezajo razli£ni dolºini opti£ne poti zaºarke, ki potujejo pod razli£nimi koti glede na os vlakna. Te razlike so mnogo ve£je oddisperzije v enorodnih vlaknih, zato je pri dani dolºini vlakna popa£itev signala dostive£ja in se mnogorodovna vlakna ne uporabljajo za dolge zveze.

9.7 Potovanje sunka po enorodovnem vlaknu

Poglejmo si nekoliko podrobneje, kako po enorodovnem vlaknu ali drugem sredstvu zdisperzijo potuje sunek valovanja z dano za£etno obliko. Denimo, da smo poiskali lastnavalovanja in da torej poznamo zvezo med valovnim ²tevilom β in frekvenco ω. Zapi²imosunek v obliki

E (z, t) = a (z, t) ψ (x, y) (9.7.1)

kjer je ψ (x, y) lastna re²itev pre£enega dela valovne ena£be, ki dolo£a tudi β (ω). Funkcijoa (z, t), ki opisuje ²irjenje sunka in njegovo obliko v z smeri, lahko zapi²emo s Fourierovimintegralom po frekvencah

a (z, t) =

ˆa(ω, z) e−iωtdω (9.7.2)

Sunek naj bo pribliºno monokromati£en s frekvenco ω0, to pomeni, da je mnogo dalj²i odopti£ne periode. Pri dolo£eni ω ima Fourierova amplituda krajevno odvisnost exp[i β (ω) z],zato zado²£a ena£bi

∂a (z, ω)

∂z= i β (ω) a (z, ω) (9.7.3)

Privzeli smo, da je spekter sunka ozek, zato lahko β (ω) razvijemo okoli ω0:

∂a (z, ω)

∂z= i

[β (ω0) +

dβ

dω(ω − ω0) +

1

2

d2β

dω2(ω − ω0)

2

]a (9.7.4)

Vpeljimo novo amplitudno funkcijo, ki ne bo vsebovala osnovne odvisnosti exp[iβ (ω0) z]

a (z, ω) = A (z, ω − ω0) ei β(ω0) z (9.7.5)

140


Ker je spkter razli£en od ni£ le okoli ω0, je prikladno A pisati kot funkcijo ω − ω0.Napravimo obratno Fourierovo transformacijo zadnjega izraza:

a (z, t) =

ˆ ∞

−∞A (z, ω − ω0) e

i [β(ω0) z−ω t] dω (9.7.6)

=

ˆ ∞

−∞A (z, ω − ω0) e

−i(ω−ω0) td (ω − ω0) ei [β(ω0) z−ω 0 t]

= A (z, t) ei [β(ω0) z−ω 0 t]

Funkcija A (z, t), katere Fourierova transformacija je A (z, ω), o£itno predstavlja pros-torsko in £asovno odvisnost ovojnice sunka. Postavimo denicijo 9.7.5 v ena£bo 9.7.4:

∂A (z, ω − ω0)

∂z= i

[dβ

dω(ω − ω0) +

1

2

d2β

dω2(ω − ω0)

2

]A (z, ω − ω0) (9.7.7)

Z obratno Fourierovo transformacijo dobimo(∂

∂z+

1

vg

∂

∂t

)A (z, t) = − i

2

d2β

dω2

∂2A (z, t)

∂t2(9.7.8)

Upo²tevali smo, da jeˆ

(iω)nA (z, ω) e−iωt dω =∂n

∂tnA (z, t) (9.7.9)

in da je dβ/dω = 1/vg.Ena£ba 9.7.8 opisuje razvoj oblike sunka pri ²irjenju po vlaknu. e ni disperzije grupne

hitrosti, to je, £e je desna stran ena£be ni£, je re²itev poljubna funkcija f (z − vgt). Sunekpoljubne za£etne oblike potuje po vlaknu nepopa£en z grupno hitrostjo. Disperzija papovzro£i, da se spreminja tudi oblika. Ena£bo lahko ²e nekoliko poenostavimo z vpeljavonovih neodvisnih spremenljivk

τ = t− z

vg

ζ = z (9.7.10)

Za vrh sunka, ki naj ima pri t = 0 koordinato z = 0 in se giblje z grupno hitrostjo, jevselej τ = 0. Spremenljivka predstavlja τ torej £as v to£ki z = ζ , merjen od trenutka,ko tja prispe center sunka. Z novima spremenljivkama se ena£ba 9.7.8 zapi²e

d2β

dω2

∂2A

∂τ2+ 2 i

∂A

∂ζ= 0 (9.7.11)

Ta ena£ba ima isto obliko kot obosna valovna ena£ba, ki smo jo v drugem poglavjuuporabili za obravnavo koherentnih snopov. Podobnost seºe dlje od formalne oblike. Prisnopih, ki so omejeni v pre£ni smeri, disperzija fazne in grupne hitrosti po pre£nih kom-ponentah valovnega vektorja povzro£a spreminjanje pre£nega preseka snopa, pri £asovno

141

9 Opti£na vlakna

omejenih sunkih v sredstvu s frekven£no disperzijo pa se spreminja vzdolºna oblika sunka.Kot se morda bralec spominja, je tudi v praznem prostoru pri ²irjenju snopa v okolicigrla fazna hitrost funkcija frekvence. Zato se kratek sunek, ki je omejen v pre£ni smeri,tudi v praznem prostoru raz²iri tako v pre£ni kot v vzdolºni smeri. (Naloga)Obosno valovno ena£bo re²ijo Gaussovi snopi. V en. 9.7.11 ima vlogo pre£ne koordi-

nate τ. Po analogiji s snopi se bo zaradi disperzije najmanj ²iril sunek z Gaussovo £asovnoodvisnostjo. Ra£una nam ni treba ponavljati, kar v izrazu za Gaussove snope napravimoustrezno zamenjavo £rk. Valovnemu ²tevilu k pri snopih na primer ustreza parameterµ = (d2β/dω2)−1. Tako dobimo

A (τ, ζ) =A0

σ0√

1 + ζ2

ζ20

exp

(− τ

2

σ2

)exp

(−iµτ

2

2b

)eiφ(ζ) (9.7.12)

kjer je σ trajanje sunka, za katerega velja enaka zveza kot za polmer Gaussovega snopa:

σ2 = σ20

(1 +

ζ2

ζ20

)(9.7.13)

Tu je σ0 trajanje sunka pri ζ = 0, to je na mestu, kjer je sunek najkraj²i. Dodatnaskupna faza φ (ζ) ni posebno pomembna, pa£ pa je zanimiv drugi eksponentni faktor vena£bi 9.7.12. V njem smo z b = ζ

(1 + ζ20/ζ

2)ozna£ili koli£ino, ki je analogna kriv-

inskemu radiju valovnih front v primeru Gaussovih snopov. Odvod faze po τ predstavljaspremembo frekvence glede na centralno frekvenco sunka ω0:

ω − ω0 =µτ

b(9.7.14)

Za pozitivno disperzijo µ je frekvenca na prednji strani sunka, to je pri τ < 0, ve£jain se linearno zmanj²uje proti koncu sunka. Pri ζ = 0 je sunek toliko kratek, kolikorje moºno pri dani spektralni ²irini. Pri potovanju po vlaknu se zaradi disperzije sunekraz²iri, spektralna ²irina pa ostaja enaka, zato se je del pojavi kot spreminjanje frekvenceznotraj sunka. Lahko si mislimo tudi, da je sunek najkraj²i, to je omejen z Fourierovotransformacijo spektra, tedaj, kadar se vse frekven£ne komponente se²tejejo z isto fazo,to je pri ζ = 0. Da dobimo najkraj²e sunke, kadar je faza vseh delnih valov enaka, smosre£ali ºe pri fazno uklenjenih sunkih iz mnogofrekven£nih laserjev. Pri potovanju sunkase zaradi disperzije faze frekven£nih komponent razli£no spreminjajo in sunek se podalj²a.Zanimivo je, da je pri tem pomemben ²ele drugi odvod fazne hitrosti po frekvenci, ki jesorazmeren z µ, linearno spreminjanje faze pa ne povzro£i raz²iritve.Naloga: Pokaºi, da je spekter sunka nespremenjen.Naloga: Pokaºi, da je za sunek poljubne za£etne oblike raz²iritev mogo£e zapisati z

uklonskim integralom.Naloga: Pokaºi, da iz en. 9.7.13 sledi podobna ocena za maksimalno frekvenco modu-

lacije (minimalno raz²iritev sunka) pri dani dolºini vlakna, kot jo da en. 9.6.7.Raz²iritev sunka zaradi disperzije je pri µ > 0 mogo£e kompenzirati s parom paralel-

nih uklonskih mreºic, kot kaºe slika ??. Prva mreºica razli£ne frekven£na komponenterazkloni, druga pa zopet zbere, vendar dolºine opti£nih poti za razli£ne komponente niso

142


enake. celoten u£inek je enak kot pri raz²irjanju sunka po sredstvu z negativno disperzijo.Ra£un je nekoliko preglednej²i, rezultat pa povsem enak, £e namesto reeksijskih mreºicvzamemo transmisijski, kot kaºe slika ??. Naj na par vpada raven val pod kotom α.Pred prvo mre"ico je fazni faktor exp (ik1x) , kjer je k1 = ω/c sinα. Pri prehodu skozimreºico se polje pomnoºi s kompleksno prepustnostjo mreºice, ki povzro£i razcep valana uklonjene valove. Pri tem se faza za prvi uklonski red pove£a za qx, kje je q = 2π/Λin je Λ perioda mreºice. Premik do druge mreºice pove£a fazo za k3L. Za komponento

valovnega vektorja v smeri z velja seveda k3 =√

(ω/c)2 − (k1 + q)2. Po prehodu skozidrugo mreºico nas zanima prvi negativni uklonski red, ki da val v smeri prvotnega vala.Za ta red se faza spremeni za −qx, tako da je celotna sprememba faze

Φ = L

√(ω/c)2 − (k1 + q)2 =

L

c

√ω2 − (ω sinα+ qc)2 (9.7.15)

Disperzija, ki jo povzro£i par mreºic, je dolo£ena zdrugim odvodom faze po frekvenci:

d2Φ

dω2= − Lq[

ω2 − (ω sinα+ q c)2]3/2 (9.7.16)

Drugi odvod je vselej negativen. Par mreºic torej deluje kot sredstvo z negativno dis-perzijo. Sunek, ki se je raz²iril zaradi potovanja po sredstvu s pozitivno disperzijo, lahkoponovno skraj²amo do meje, dolo£ene s ²irino spektra. Postopek se uporablja za pri-dobivanje zelo kratkih sunkov. Sunku iz fazno uklenjenega barvilnega ali Ti:sarnegalaserja najprej v nelinearnem sredstvu raz²irijo spekter, pri £emer se sunek tudi £asovnopodalj²a. O tem najde bralec nekaj ve£ v poglavju o nelinearni optiki. Raz²irjen suneknato s parom mreºic skraj²ajo za faktor 10-100 glede na prvotno dolºino sunka. Takodobijo sunke dolge le okoli 10 fs, kar je le ²e nekaj opti£nih period.

143

Fotonika - fiz.fmf.uni-lj.sitine/fotonika.pdf · velike zakasnitve ˝sta polji E(0) in E(˝)...

Documents

Transcript of Fotonika - fiz.fmf.uni-lj.sitine/fotonika.pdf · velike zakasnitve ˝sta polji E(0) in E(˝)...