00cap 17 Formulas de Reduccion, Uso de La Tabla de Integrales
Formulas Integrales de Cauchy
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Formulas integrales
De Cauchy
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2
Ms sobre integracin en contornos cerrados...
Podemos usar el teorema de Cauchy Gpara integrar
funciones en contornos cerrados siempre que stas sean:
(a) analticas, o
(b) analticas en ciertas regiones
Por eemplo,
f(z) es analtica en todo punto
e!cepto enz " #
Pero, $qu sucede si el contorno encierra un punto singular%
#=C z
dzC
C
%=C z
dz
-
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EJEMPLO
2#,
&
circuloeles'donde
)(
&*
=+
+
+
+ tiz
dziziz
C
-
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+
Frmula Integral de Cauchyeaf(z) analtica en un dominio simplemente cone!oD.
Para cualquier puntoz# enD- cualquier contorno cerrado C
enDque inclu-az#:
)(2)(
#
#
zfidz
zz
zf
C
=
D
#z
C
-
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(2) donde Ces el crculo z+i "&
/ecesitamos un trmino en la forma &0(z-z#) as que rescribimos la
integral como:
1n primer lugar, notemos que &0(z2&) presenta
puntos singulares enz "i.
1l contorno Cinclu-e uno de esos puntos,z " 3i.
1se es nuestro puntoz#en la frmula
)(2)(
#
#
zfidzzz
zf
C
=
+Cz
dz
&2
Ci
i+
D
dz
iz
iz
iziz
dz
z
dz
CCC
+
=
+
=
+
&
))((&2
-
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4
=+
Cz
dz
&2
)(2)(
#
#
zfidz
zz
zf
C
=
iz =#
Ci
i+
D
izzf
=
&)(
20)( # izf =
dziz
iz
iziz
dz
z
dz
CCC
+=
+=
+
&
))((&2
-
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5enemos que
1l contorno Cinclu-e uno de esos puntos,z " i.
1se es nuestro puntoz#en la frmula
donde
67ora
donde Ces el crculo z+i "& Cz
dz
&+ C
i
i+
& &+
++=
CC
izizzz
dz
z
dz
))()(&)(&(&+
=
CC
dziz
zf
z
dz )(
&+ ))(&)(&(
&)(
izzzzf
++=
+)2)(&)(&(
&)()( #i
iiiifzf =
+==
2)(2
)(
& ##+
==
zfidzzzzf
z
dz
CC
-
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Frmula integral de Cauchy para derivadas
SI TENEMOS EPONENTE en
El !enomina!or"Generalizacin de la frmula integral de Cauchy
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En su #orma mas o$erati%a
Generalizacin de la frmula integral de Cauchy
( ) )(82)(
#
)(
zfn
i
dzzz
zf n
Cn
= +
-
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( )
[ ]
( )
[ ]
=
=
=
=
+
C z
zC
dz
zdidz
z
z
dz
zzdidz
z
zz
2
2
2
*
&
2
2
2
#
#
cos
2
cos
,*
2&
*
-
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&2
9tro 1emplo
1aluar la integral
donde Ces el crculo z "2
sea
sea
f(z) es analtica enD,- Cinclu-ez#
)(2)()(
#2
#
zfidzzzzf
C
=
C
z
dzz
e2
C
##=z
zezf =)(
==
=#
# )(
)(
ezf
ezf z
D
iz
dze
C
z2
2 2
=
-
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&+
1emplo
1aluar la integral
donde Ces el crculo z "2
sea
sea
f(z) es analtica inD,- Cinclu-ez0
)(2
2)()(
#*
#
zfidzzzzf
C
=
( ) Cdz
iz
z*
2 C
iz =#
2)( zzf = 2)(
2)(
# =
=
zf
zf
D
iiz
dzz
C
2)( *
2
=
z
-
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&
Calcular
donde C es la circunferencia con
sentido positivo.
( ) +C
z
dziz
e
*2
*=z
( )
( )( )
( )i
C
zi
iz
C
n
n
C
z
ieIi
Idz
iz
e
ie
ezfezfiz
siendo
dzzz
zf
i
nzf
dziz
eI
2
*
2
2##
&
#
#
)(
*
22
82
)()(;2
:
,)(
2
8
2
+
==+
=
===
=
+=
-
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-
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&emostracin norigurosa de
la frmula integral de 'auc7-:
Por el principio de deformacin
de contornos:
'ambio de
ariable:
#C
C#z
zi
er#
= # ##)()(
CCdzzz
zf
dzzz
zf
derzfideir
er
erzfdz
zz
zf ii
C
i
i
+=+
=
2
#
###
2
# #
##
#
)()()(
#
ii eird
dzerzz ### ; =+=
-
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2*
?emos tomado un r# arbitrario. ?agmoslo infinitamente
peque@o:
$Au no es riguroso aqu%
)(2)(
)()(lim
#
2
##
2
# #
2
# ##
##
zifdzif
dzfiderzfi ir
=
== +
)(2)(
#
#
zfidz
zz
zf
C
=
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'PLIC'CIONES
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Se dice que un dominio D essimplemente conexosi cualquiercontorno cerrado simple C que se localice completamente en D
puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. Enotras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquiercontorno cerrado simple C que se encuentre completamente enaqul encierra nicamente a puntos del dominio D. Expresadoen forma alterna, un dominio simplemente conexo no tieneorificios. El plano complejo completo es un ejemplo de un
dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplementeconexo se denominadominio mltiplemente conexo;esto es,un dominio mltiplemente conexo tiene orificios,vase figura10.8. Un dominio con un orificio se denominadoblementeconexo, un dominio con 2 orificios se denominatriplementeconexo, etc.
Preliminares
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En 1883, el matemtico francs douard Goursat demostr el teorema deCauchy sin la hiptesis de continuidad def.La versin modificadaresultante del teorema de Cauchy se conoce comoteorema de Cauchy-Goursat.
Como el interior de un contorno cerrado simple es undominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco ms prctica:
e $rue(a
on )reencauchy *iem
TEOREMA DE CAUCHY
GOURSAT