Formulacion y Resolucion de Modelos de Dimensionamientode Lotes bajo Incertidumbre mediante Tecnicas de Redefini-cion de Variables.1

V ctor M. Albornoz S.Departamento de Industrias

Universidad Tecnica Federico Santa MaraAv. Espana 1680. Casilla 110 V. Valparaso. Chile

valborno@ind.utfsm.cl

Abstract. In this paper it is used an alternative approach for modeling and solving lotsizing problems with uncertain demands. More specifically, we state a linear stochasticoptimization model that includes the uncertainty through a finite set of scenarios, definedfor the whole planning horizon. This class of models takes with one the solution of mixedinteger models that must be efficiently solved. In this case, it is used variable redefinitiontechniques and the reformulated models solved by standard mixed integer programmingsolver.Palabras Clave: Planificacion de la Produccion, Dimensionamiento de Lotes, Redefinicionde Variables, Programacion Estocastica.

1. Introduccion

Los modelos de optimizacion comunmente suponen como conocidos todos los parametrosinvolucrados en la formulacion del problema. En la planificacion de la produccion estesupuesto puede no ser correcto y, por lo tanto, conducir a decisiones inapropiadas. Lamayor parte de la literatura relacionada con la incorporacion de parametros inciertos enmodelos de optimizacion se conoce con el nombre de Programacion Estocastica. En estetrabajo se formula y resuelve un modelo lineal de programacion estocastica para el problemacapacitado de dimensionamiento de lotes bajo incertidumbre en las demandas.

En el caso determinista, la resolucion de este problema permite encontrar una polticaoptima de produccion que satisface los requerimientos de demanda, tomando en cuenta,por una parte, los distintos costos involucrados en el problema y, por otra, la escasez deciertos recursos. Enfrentados a distintos escenarios de demanda, sobre todo el horizontede planificacion, se considera un modelo que provee una solucion que toma en cuenta laoptimalidad y la factibilidad de la solucion propuesta ante cada escenario de demandaparticular.

1Parcialmente financiado por el Fondo Nacional de Investigacion Cientfica y Tecnologica de Chile, Proyec-

to Fondecyt N1990106 y por la Direccion General de Investigacion y Postgrado de la Universidad TecnicaFederico Santa Mara, Proyecto N28.00.01

1

El modelo resultante es reformulado mediante una tecnica de redefinicion de variables.La utilizacion de tecnicas de redefinicion de variables es reciente en la literatura y ha resul-tado particularmente exitosa en su aplicacion a distintos modelos de programacion entera,permitiendo el uso de software estandar para alcanzar buenos resultados.

2. El problema de dimensionamiento de lotes

En este trabajo se aborda la resolucion del problema capacitado de dimensionamientooptimo de lotes [8]. Mas especficamente, este problema tiene por objetivo proveer los nivelesoptimos de produccion de un conjunto de productos finales, sobre un cierto horizonte deplanificacion de mediano plazo de modo que, por una parte, minimice la suma de los costosde produccion, inventario y setup, y, por otra, permita satisfacer los requerimientos dedemanda para los distintos productos, tomando en consideracion restricciones impuestaspor los recursos escasos como la disponibilidad de las maquinas.

Este problema contempla la elaboracion de N productos, sobre un horizonte de pla-nificacion de T perodos, utilizando un total de Q maquinas (recursos). Las variables dedecision del modelo son: xit la cantidad elaborada del producto i en el perodo t, Iit el nivelde inventario para el producto i en el perodo t y it una variable de setup que vale 1 siel producto i es elaborado en t y 0 si no. En el caso determinista, el problema puede serformulado mediante el siguiente modelo lineal de programacion entera:

MinNi=1

Tt=1

citxit +Ni=1

Tt=1

hitIit +Ni=1

Tt=1

ritit (1)

s.a. xit + Iit1 Iit = dit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T (2)Ni=1

aiqxit pqt q = 1, . . . , Q; t = 1, . . . , T (3)

xit DitTit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T (4)xit 0, Iit 0, it {0, 1} i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T (5)

La funcion objetivo (1) consiste en minimizar la suma de los costos de produccion, demantencion de inventario y de setup, obtenidos utilizando cit como costo marginal de elab-oracion del producto i en el perodo t, hit como costo marginal de mantencion de inventariodel producto i durante el perodo t y rit como costo fijo de setup del producto i en el perodot, respectivamente.

La restriccion (2) establece el cumplimiento de los requerimientos de demanda dit asocia-da al producto i en el perodo t, donde Ii0 el inventario inicial del producto i. La restriccion(3) impone el cumplimiento de las restricciones de capacidad de cada una de las maquinas,donde aiq es la cantidad del recurso q utilizada en la elaboracion de una unidad del producto

2

i y pqt la capacidad maxima disponible del recurso q en el perodo t. La restriccion (4), juntocon definir un una cota superior DitT del nivel produccion del producto i en el perodo t,es una restriccion que permite representar correctamente los costos fijos de setup cada vezque se decide elaborar el producto i en el perodo t.

La formulacion original del problema de dimensionamiento de lotes con demanda de-terminista y cambiante en el tiempo, para un solo producto, sin restricciones de capacidady sin permitir demanda no satifecha se debe a Wagner y Whitin [11] y ha sido extendidocon posterioridad por diversos autores. La literatura tambien provee algunas referenciasen problemas del ambito de la planificacion de produccion que consideran la presencia deparametros no deterministas, entre estas cabe mencionar el artculo de Bitran and Yanasse[5], y el artculo de Escudero et al. [7]. Mas recientemente, Albornoz y Contesse [1, 2] hanformulado y resuelto modelos de optimizacion para un problema de planificacion agregadade la produccion con diversos escenarios de demanda.

En lo sucesivo, se asume la existencia de un numero finito de escenarios de demanda = {1, ..., S} y se denota por dsit la demanda de cada producto i en el perodo t bajo elescenario s . Cada escenario s tiene una probabilidad de ocurrencia ps, con ps 0para todo s ys ps = 1. En tanto, los restantes parametros del modelo determinista(1)(5) conservan sus valores estimados.

El modelo propuesto para el problema de dimensionamiento de lotes bajo un conjuntode escenarios de demanda consiste en:

Mins

ps(Ni=1

Tt=1

citxsit +

Ni=1

Tt=1

hitIsit +

Ni=1

Tt=1

ritsit ) +

s

ps(Ni=1

Tt=1

bitfsit ) (6)

s.a. xsit + Isit1 Isit + fsit = dsit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; s (7)

Ni=1

aiqxsit pqt q = 1, . . . , Q; t = 1, . . . , T ; s (8)

xsit DsitTsit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; s (9)xs N , Is N , s N , f s N (10)xsit 0, Isit 0, zsit 0, sit {0, 1} i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; s (11)

El modelo anterior esta basado en un modelo lineal de programacion estocastica [4].Mas precisamente, se ha introducido variables de produccion xsit, variables de inventarioIsit y variables de Setup

sit para cada producto i, en cada perodo t y escenario s .

Adicionalmente, se ha introducido un conjunto de variables fsit, correspondientes al nivelde unidades de demanda no satisfecha para cada producto i en cada perodo t y escenarios . Las eventuales infactibilidades que puedan ocurrir, en el cumplimiento de los requer-imientos de demanda de cada escenario, son incluidas en el modelo mediante una funcionde penalizacion que corresponde al valor esperado del costo de faltante, dado bit el costomarginal de una unidad de demanda no satisfecha para cada producto i en el perodo t.

3

Los valores que puedan tomar cada una de las variables de este nuevo modelo de-beran satisfacer un conjunto de restricciones adicionales, presentes en (10), conocidas enla literatura como restricciones de noanticipatividad o de implementabilidad, introducidasoriginalmente por Wets [7]. Estas restricciones arrojan soluciones que den una poltica im-plementable en el siguiente sentido: si dos escenarios diferentes s y s son identicos hastala etapa , con 1 T , entonces hasta esa etapa, las decisiones de produccion xsit yxsit deben ser identicas, para t = 1, . . . , . Lo mismo debe ocurrir con las decisiones deinventario, setup y faltante. Se denota por N el conjunto de las soluciones que satisfacendichas restricciones.

3. Redefinicion de variables

La tecnica de redefinicion de variables consiste en generar un modelo equivalente a laformulacion original del problema de programacion entera, de modo tal que la relajacionlineal del problema reformulado constituya una mejor aproximacion del problema original,en el sentido que el conjunto de soluciones factibles de la relajacion lineal del problemareformulado sea una mejor aproximacion de la envoltura convexa del problema original.

Las distintas tecnicas de redefinicion de variables, como las propuestas por Krarup yBilde [9], Barany et al. [3], Eppen y Martin [6] y Pochet y Wolsey [10], ha permitido reducirel esfuerzo computacional requerido para la obtencion de una solucion optima del problemade dimensionamiento de lotes, en el caso determinista. En particular, la solucion alcanzadapor la relajacion lineal del problema reformulado, en el caso nocapacitado para un soloproducto, corresponde a la solucion optima del problema de programacion entera.

Por ejemplo, la extension de la redefinicion de variables de Krarup y Bilde al modelopropuesto en (6)(11) consiste en:

Mins

ps(Ni=1

Tt=1

Tk=t

Citzsitk +

Ni=1

Tt=1

ritsit ) +

s

ps(Ni=1

Tt=1

bitfsit ) (12)

s.a.t

l=1

zsilt + fsit = d

sit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; s (13)

Ni=1

Tk=t

aiqzsitk pqt q = 1, . . . , Q; t = 1, . . . , T ; s (14)

zsitk dsiksit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; k = t, . . . , T ; s (15)Tk=t

zsitk =Tl=t

zsitl s y s id enticos hasta el periodo t t i (16)

s N , fs N (17)zsitk 0, fsit 0, sit {0, 1} i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , T ; k = t, . . . , T ; s (18)

4

Este modelo contempla variables de decision por escenarios, que corresponden a zsitk elnumero de unidades elaboradas del producto i en el perodo t para satisfacer la demandadel perodo k bajo el escenario s, sit la variable binaria de setup para el producto i en elperodo t bajo el escenario s y f sit el nivel de faltante del producto i en el perodo t bajo elescenario s, con el escenario s .

La funcion objetivo (12) contempla, al igual que la formulacion original, los costos es-perados de produccion, inventario y setup. Sin embargo, la nueva variable de produccionzitk requiere definir un nuevo costo Citk, que representa el costo marginal de produccion ymantenion de inventario de una unidad del producto i desde el perodo t hasta k, por lotanto

Ni=1

Tt=1

Tk=tCitkzitk representa el costo total de produccion e inventario.

La restriccion (13) representa los requerimientos de demanda, donde la demanda para elproducto i en el perodo t sera satisfecha por la produccion acumulada destinada a satisfacerla demanda de ese perodo particular. Como en (3), la restriccion (14) establece la disponi-bilidad de recursos, donde ahora la produccion, para un producto dado i, en el perodo tcorresponde simplemente a

Tk=t zitk. La restriccion (15) establece la cota superior sobre

las variables desagregadas de produccion zitk, de la cantidad de unidades elaboradas en elperodo t para satisfacer la demanda del perodo k, la cual no debera exceder, naturalmente,la demanda del perodo k. La restriccion (16) establece el cumplimiento de las restriccionesde noanticipatividad para las decisiones de produccion.

4. Experiencias computacionales

Las experiencias computacionales preliminares que se han llevado a cabo para la resolu-cion de diferentes problemas de dimensionamiento de lotes, fueron realizadas empleando ellenguaje de modelamiento algebraico AMPL utilizando el solver CPLEX para la resolucionde los distintos modelos lineales de programacion entera resultantes.

Se ha resuelto problemas de dimensionamiento optimo de lotes para problemas no ca-pacitados de un solo producto y problemas capacitados con 3 y 4 productos, considerandodiversos horizontes de planificacion. Para cada problema, se ha resuelto modelos con dis-tistinto numero de escenarios, tanto en la formulacion original como en la formulacion quehace uso de tecnicas de redefinicion de variables.

Estas experiencias preliminares permiten comparar, en primer lugar, el aumento signi-ficativo del numero de variables del modelo determinista respecto del modelo con escenariosy, enseguida, y como consecuencia de dicho aumento en el tamano, que se hace necesario elempleo de tecnicas de redefinicion de variables pues en todos los ejemplos es posible apreciarla reduccion en los tiempos de resolucion, ya sea para obtener una solucion optima o unabuena solucion entera.

5

Referencias

[1] V.Albornoz y L.Contesse, Modelos de Optimizacion Robusta un Problema de Planifi-cacion Agregada de la Produccion bajo Incertidumbre en las Demandas. InvestigacionOperativa, Vol 7, No.3 (1997), 116.

[2] V. Albornoz y L. Contesse, Modeling and Solving a Mixed Integer Robust AggregateProduction Planning Problem. Submitted to Annals of Operations Research, 1998.

[3] I. Barany, T.J. Van Roy and L.A. Wolsey,Strong formulations for multi-item capaci-tated lot sizing. Management Science 30 (1984), 12551261.

[4] J.R. Birge and F. Louveaux, Introduction to Stochastic Programming, SpringerVerlag,New York, 1997.

[5] G. Bitran and H. Yanasse, Deterministic Approximations to Stochastic ProductionProblems. Operations Research, Vol.32, No. 5 (1984), 9991018.

[6] G. Eppen and K. Martin, Solving multi-item capacitated lot-sizing problems usingvariable reduction. Operations Research, Vol. 35, No. 6 (1987), 832848.

[7] L. Escudero, P. Kamesan, A. King and R. Wets, Production Planning via ScenariosModeling. Annals of Operations Research, 43 (1993), 311335.

[8] S. C. Graves, A.H.G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin (Eds), Logistics of production andinventory, Handbooks in Operations Research and Management Science Vol.4, ElsevierScience Publishers B.V., The Netherlands, 1993.

[9] Krarup and Bilde, Plant Location, set covering and economic lot-size: an O(mn) al-gorithm for structural problems. In Numerische Methoden bei Optimierungsaufgabenund Ganzzahlen Problemem, Vol 36, Birkhauser Verlag, Basel and Stuttgar, 1977.

[10] Y. Pochet and L. Wolsey, Polyhedra for Lot-sizing with WagnerWhitin Costs. Math-ematical Programming 67 (1994), 297.

[11] H.M. Wagner and T.M. Whitin, Dynamic version of the economic lot size model. Man-agement Science 23 (1958), 8996.

6